Analisis-Sismico-De-Edificios - J. PIQUE DEL POZO

3

SECC. 8.3: GRADOS DE LIBERTAD DINÁMICOS

4

CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

masas se encuentran todas interconectadas dando origen a lo que se denomina modelo de acoplamiento lejano. Este modelo se representa en la Fig. 8.2. P 3

P 2

P 1 y

z x ( a ) Modelo de una edificación de 2 niveles.

[Figura obtenida del programa SAP 2000 versión educacional]

m3

L1

L1

L1 z

L2

m2

y

L2

y m1 x

L2 ( b ) Planta de la edificación.

L2

( c ) Pórtico secundario típico. Elevación “ y ”.

Fig. 8.2 Modelo de acoplamiento lejano

8.3 GRADOS DE LIBERTAD DINÁMICOS Los grados de libertad dinámicos son aquellos en los cuales se generan las fuerzas inerciales ( masa por aceleración o momento de inercia por aceleración angular). Por ende, dichos grados son los que interesarán para realizar el análisis. En la Fig. 8.3.a se muestra se muestra el modelo de una edificación de 2 niveles, conformada por vigas y columnas. Su planta esta esquematizado en la Fig. 8.3.b, en ella se resalta las columnas cuyos ejes fuertes son paralelos al eje “ y ”. En la Fig. 8.3.c se muestra un pórtico secundario típico. Finalmente en la Fig. 8.3.d se puede apreciar un pórtico principal típico, el cual será usado, de aquí en adelante, para poder explicar los conceptos.

x

L1

L1

L1

( d ) Pórtico Principal Típico. Elevación “ x ”.

Fig. 8.3 Edificación de 2 niveles: ( a ) Modelo. ( b ) Planta. ( c ) Pórtico Secundario. ( d ) Pórtico Principal.

SECC. 8.4: VIBRACIÓN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GDL. AMORTIGUAMIENTO

7

8


8.4 VIBRACIÓN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD (GDL). AMORTIGUAMIENTO

u2 u1

En esta sección nuestro estudio estará basado en el sistema simplificado de 2 GDL Dinámicos visto en la Fig. 8.6 , en el que además de las fuerzas inerciales también se considerarán fuerzas actuantes en cada GDL tal como se puede observar en la Fig..8.7 . Primeramente obtendremos una expresión general para la vibración forzada del sistema no amortiguado. Luego haremos algunas simplificaciones para poder obtener la vibración libre (en la Secc. 8.4.2 presentaremos la expresión general que considera el amortiguamiento). Para poder estudiar las propiedades básicas de un sistema como el que se muestra en la Fig. 8.7 se hará uso del modelo tipo cortante (ver Secc. 8.2). m2

∆1

∆2

m 2 u&&2

m2

k 2∆2 = k 2 (u2 − u1 ) k 2 m1u&&1

P 2 f (t )

k 2∆2 = k 2 (u2 − u1 ) P 1 f (t )

m1

k 1∆1 = k 1u1

P 2 f (t )

k 1

k 2

P 1 f (t )

m1

Fig.8.9 Diagrama de cuerpo libre ( DCL ) del Sistema Simplificado.

De la Fig.8.9 aplicando equilibrio dinámico para el primer y segundo nivel, resulta:

k 1

Fig.8.7 Sistema no amortiguado simplificado mas fuerzas actuantes.

El desplazamiento relativo es esquematizado en la Fig. 8.8 debido a su importancia mencionada en el Cap..5. Puesto que para poder obtener las fuerzas del resorte, en el diagrama de cuerpo libre del sistema que se muestra en la Fig. 8.9 se emplea el desplazamiento relativo.

m1u&&1 + k 1u1 − k 2 (u 2 − u1 ) = P 1 f (t )

→

m 2 u&&2 + k 2 (u 2 − u1 ) = P 2 f (t )

m 2 u&&2 − k 2 u1 + k 2 u 2 = P 2 f (t )

→

m1u&&1 + (k 1 + k 2 )u1 − k 2 u 2 = P 1 f (t ) (8.1)

(8.2)

Ordenando matricialmente las Ecs. (8.1) y (8.2) se tiene:

⎡m1 0 ⎤ ⎧ u&&1 ⎫ ⎡k 1 + k 2 ⎢ 0 m ⎥ ⎨u&& ⎬ + ⎢ − k 2 ⎦⎩ 2 ⎭ 2 ⎣ ⎣

− k 2 ⎤ ⎧ u1 ⎫ ⎧ P 1 ⎫ ⎥ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ f (t ) k 2 ⎦ ⎩u 2 ⎭ ⎩ P 2 ⎭

O lo que es lo mismo escribir:

∆

&& + KU = F f (t ) M U

V

(8.3)

donde: k

V = k ∆

&& && = ⎧⎨ u1 ⎫⎬ U & u ⎩ &2 ⎭

,

⎧ u1 ⎫ U = ⎨ ⎬ ⎩u 2 ⎭

y

⎧ P 1 ⎫ F = ⎨ ⎬ ⎩ P 2 ⎭

son el vector aceleración, desplazamiento y fuerza (P1 y P2 son constantes) en ese orden; y Fig.8.8 Desplazamiento relativo generado en un sistema de 1 GDL

SECC. 8.4: VIBRACIÓN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GDL. AMORTIGUAMIENTO

&& + KU = F f (t ) = 0 ⇒ M U && + KU = 0 ∴ M U

11

(8.8)

11

SECC. 8.4.1.1: ECUACIÓN CARACTERÍSTICA

donde 0 representa un vector con n componentes, todas ellas cero. Las condiciones iniciales son: U (0) = U 0

y

& (0) = U & U 0

Recordemos que en el Cap. 5 se observó que un sistema de 1 GDL sometido a una perturbación inicial desde su posición de equilibrio estaría forzado a vibrar con un movimiento periódico de período T o frecuencia circular ω = 2π /T , que es una característica del sistema ( ω2 = k/M) . Por analogía es interesante averiguar si un sistema de varios grados de libertad, al que se le imponen un juego inicial de desplazamientos (o velocidades) vibrará armónicamente, manteniendo la forma relativa de estos desplazamientos y variando solamente sus amplitudes por un factor de proporcionalidad. Basado en esto, para nuestro sistema de 2 GDL el vector de desplazamientos vendría a ser:

⎧ u1 ⎫ ⎧ x1 Sen( ω t + φ )⎫ ⎧ x1 ⎫ U = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬Sen( ω t + φ ) ⎩u 2 ⎭ ⎩ x 2 Sen( ω t + φ )⎭ ⎩ x 2 ⎭

→ U = X Sen( ω t + φ )

(8.9)

donde “ x1 y x2 ” son los máximos desplazamientos de los pisos 1 y 2 respectivamente (los cuales obviamente no son función del tiempo). Derivando la Ec. (8.9) dos veces, obtenemos:

&& = − X ω 2 Sen( ω t + φ ) U

(8.10)

Reemplazando las Ecs. (8.9) y (8.10) en la Ec. (8.8) se tiene:

(

)

2 M − X ω Sen( ω t + φ ) + K ( X Sen( ω t + φ )) = 0

Al simplificar la última expresión se obtiene: K X − ω M X = 0 2

(8.11)

8.4.1.1 Ecuación Característica 2 El problema, en la Ec. (8.11), es determinar si es que hay valores de ω y vectores correspondientes X que satisfacen esta ecuación matricial, además de la solución trivial ω = 0 , X = 0 . Este es un problema matemático llamado de

valores característicos o de valores propios [ Ref. 9 ]. Al factorizar el vector de máximos desplazamientos en la Ec. (8.11), el problema a considerar resulta de la forma: ( K − ω M ) X = 0 2

(8.12)

18

CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD n

19 Solución:

V = ∑ a1 X i

i=1

SECC. 8.4.1.6: APLICACIÓN Y VERIFICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LAS FORMAS DE MODO

(8.24)

Los coeficientes ai se obtienen usando las condiciones de ortogonalidad.

a) Sabemos que para este tipo de sistema la ecuación característica, por ser de vibración libre (ver Secc 8.4.1.1, Ec.(8.13)), viene dada por:

Siendo “ai(t)” una variable dependiente del tiempo que expresa la contribución ó participación dinámica (ello se verá en el Cap. 9).

K − ω 2 M = 0

ó

Pre-multiplicando ambos lados de la ecuación por la matriz M y el vector X jT : n

T T X j M V = ∑ ai X j M X i

⎡k 1 + k 2 ⎢ − k 2 ⎣

m 0⎤ − k 2 ⎤ 2⎡ 1 ⎥ − ω ⎢ 0 m ⎥ = 0 k 2 ⎦ 2⎦ ⎣

→

k 1 + k 2 − ω 2 m1

− k 2

(8.25)

i =1

− k 2 =0 k 2 − ω 2 m2

Siendo las matrices K (de rigidez) y M (de masas) al reemplazar los datos:

pero como X M X j = 0 para i diferente de j : T i

⎡m1

T

X M V ai = T i X i M X i

(8.26)

Esta propiedad es extremadamente importante porque permite expresar la solución de cualquier problema dinámico como una sumatoria donde cada término representa la contribución de un modo. Permite reducir la solución de un sistema de n grados de libertad a la solución de n sistemas independientes de 1 GDL, desacoplando así las ecuaciones de movimiento.

8.4.1.6 Aplicación y Verificación de las Propiedades de las Formas de Modo de Vibración Libre

M = ⎢

⎣0

0 ⎤

⎥ m2 ⎦

⎡k 1 + k 2 ⎣ − k 2

K = ⎢

→

− k 2 ⎤ ⎥ k 2 ⎦

0 ⎤ ⎡11,437 M = ⎢ ⎥ 11,437 ⎦ ⎣ 0

→

⎡ 6 969,75 − 3 279,9⎤ ⎥ ⎣− 3 279,9 3 279,9 ⎦

K = ⎢

Luego el determinante de la ecuación característica vendría dado por: 6 969,75 − 11,437ω 2

− 3 279,9

− 3 279,9

3 279,9 − 11,437ω 2

=0

Para el sistema mostrado calcule: b) Es la solución del determinante la que nos permitirá la obtención de las frecuencias y los periodos. Luego, operando el determinante:

a ) La ecuación característica. b ) Las frecuencias y los periodos.

(6 969,75 − 11,437ω 2 ).(3 279,9 − 11,437ω 2 ) − (−3 279,9) 2 = 0

c ) Formas de modo. d ) Normalizar las formas de modo. e ) Verificar las propiedades. m2 k 2

Datos: m1 = m 2 = peso / g = 11, 437 k 1 = 3 689,87

u2

t m

y

t − s 2

m1

m

k 2 = 3 279,88

t m

k 1

u1

2 Resolviendo esta última ecuación, sabiendo que es el valor λ = ω característico, se tiene: Cuyas raíces vienen dadas por : λ 2 − 896,133λ + 92 516,988 = 0 λ 1 = 119,059 y λ 2 = 777,077

Esta última ecuación es llamada el polinomio característico. Polinomio cuyas raíces nos proporcionarán las frecuencias y periodos, para ello es necesario que las frecuencias angulares se ordenen de menor a mayor:

20


Frecuencias angulares: ω i = + λ i ω 1 = 10,91 rad / s

y

Observe que : ω 1 < ω 2

ω 2 = 27,876 rad / s (ordenamiento que se ha hecho para obtener T 1>T 2 )

Como el periodo natural se define como: T 1 = 0 ,576 s

y

y

21

Recordar que en la Secc 8.4.1.3 se despejó x 2en función de x1i . En este i problema optaremos por despejar en función de , que es equivalente a lo hecho en la sección antes mencionada puesto X i que la única finalidad es ω iobtener de manera cualitativa las formas de modo correspondientes a . Luego para:

2π i =1

ω i

T 2 = 0 ,225 s

Observe que según la Ec. (8.16): 1 Frecuencias naturales: f i = T i f 1 = 1,74 Hz

T i =


ω i = ω 1 = 10,91 rad / s

:

x11 =

T 1 ( PeriodoFundamental ) > T 2

→

f 2 = 4,44 Hz

Observe que : f 1 < f 2

x 21

2

2

1

1

x11 = 0,5848

3 279,9

(6 969,75 − 11,437 x 10,91 ) 2

x11 = 0,5848

⎧ x11 ⎫ X 1 = ⎨ ⎬ ⎩ x 21 ⎭

luego

c) Las Formas de modo se obtendrán a partir de las frecuencias angulares ya calculadas. De la siguiente igualdad (ver Secc 8.4.1.3) :

⎧0,5848⎫ X 1 = ⎨ ⎬ ⎩ 1 ⎭

⇒

[i = 1]

Al usar la primera fila, puesto que la segunda fila es dependiente de la primera o viceversa, tenemos:

i=2

(k + k − ω m ) x 2

1

Reemplazando:

2

i

1

1i

− (k 2 ) x2i = 0

:

ω i = ω 2 = 27,876 rad / s

x12 =

(6 969,75 − 11,437ω ) x 2

i

x1i =

(3 279,9) x2i

(6 969,75 − 11,437ω ) 2

y

x12 =

, cuyas

→ luego

x2i

i

Se suele hacer x 2i = 1 , es decir la componente segunda en cada modo tomará el valor de uno. En general para sistemas de “ n ” GDL se hace x = 1 siendo n dicho valor a elegir arbitrario.

2

2

1

x22 = 1

x 22 = 1

x22

2

x12 = −1,7104

3 279,9

(6 969,75 − 11,437 x 27,876 ) 2

x12 = −1,7104

⎧ x12 ⎫ X 2 = ⎨ ⎬ ⎩ x22 ⎭

⎧− 1,7104 ⎫ ⎬ ⎩ 1 ⎭ ∴ U 2 = X 2 Sen (ω 2t + φ 2 ) ⇒

y

(k + k − m ω ) 1

1i − (3 279,9) x2i = 0

Notar que cada ω i producirá una forma de modo distinta X i componentes, al despejar la última ecuación, serían:

k 2

→ Modo 1

⎧0,5848⎫ U 1 = ⎨ ⎬Sen(10,91t + φ 1 ) ⎩ 1 ⎭

⎯ ⎯→

∴ U 1 = X 1 Sen(ω 1t + φ 1 )

− k 2 ⎞⎟⎧ x1i ⎫ ⎧0⎫ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ 2 k 2 − ω i m 2 ⎠⎟⎩ x 2i ⎭ ⎩0⎭

x21 = 1

x 21 = 1

(k + k − m ω ) 1

x11 =

⎛ k 1 + k 2 − ω i 2 m1 ⎜ ⎜ − k 2 ⎝

k 2

y

X 2 = ⎨

[i = 2]

⎯ ⎯→

→ Modo 2

⎧− 1,7104⎫ ⎬Sen(27,876t + φ 2 ) ⎩ 1 ⎭

U 2 = ⎨

22


d) La Normalización de las formas de modo será hecha basada en la Secc 8.4.1.4 :

d.1 ) Se deja como ejercicio para el lector. d.2 ) Haciendo las componentes xri = 1 de los correspondientes modos X i , siendo dicha componente “ r ” arbitraria. Luego los componentes restantes de cada modo “ i ” serán calculados en función de dicha componente “ r ”. En la parte ( c ) se ha visto cuando x 2i = 1 . A continuación veremos el caso cuando x1i = 1 , para lo cual es necesario dividir su valor actual (positivo o negativo) al modo correspondiente, obteniendo modos equivalentes “ e ”. Esto se verá a continuación:

[i = 1]

→ Modo 1 X 1

⇒

[i = 2]

X 1

(e)

equivalent e ( e )

⎧ x x ⎫ ⎧ 1 ⎫ = ⎨ 11 11 ⎬ = ⎨ ⎬ x11 ⎩ x21 x11 ⎭ ⎩1 0,5848⎭ X 1

⎧ x ( e ) ⎫ ⎧ 1 ⎫ = ⎨ 11 ( e ) ⎬ = ⎨ ⎬ ⎩ x21 ⎭ ⎩1,7097 ⎭

→ Modo 2 X 2

⇒

=

X 2

(e)

equivalent e ( e )

=

1 ⎧ x x ⎫ ⎧ ⎫ = ⎨ 12 12 ⎬ = ⎨ ⎬ x12 ⎩ x22 x12 ⎭ ⎩1 (−1,7104 ) ⎭

X 2

⎧ x12 ( e ) ⎫ ⎧ 1 ⎫ = ⎨ (e) ⎬ = ⎨ ⎬ ⎩ x22 ⎭ ⎩− 0,5848 ⎭

d.3 ) Normalizando con respecto a la matriz de masas “ M ” : Φ i M Φ i = 1 T

de donde: - Φi

=

X i T

X i M X i

ó

Φi =

X i n

∑ (m ( x ) ) 2

j

j =1

ji


23 Observar que Φ i son los modos normalizados con respecto a la matriz de masas. Trabajando con los vectores normalizados de la parte ( c ) del problema tenemos para:

24


⎧ x11 ⎫ ⎧0,5848⎫ [i = 1] X 1 = ⎨ ⎬ = ⎨ → Modo 1: con ⎬ ⎩ x 21 ⎭ ⎩ 1 ⎭ 0 ⎞ ⎧0,5848⎫ ⎛ 11,437 T ⎟⎨ X 1 MX 1 = [0,5848 1]⎜⎜ ⎬ 11,437 ⎠⎟ ⎩ 1 ⎭ ⎝ 0 T X 1 MX 1 = 11,437 x (0,5848) 2 + 11,437 x (1) 2 X 1 MX 1 = 15,3484 T

Φ1 =

luego


25

e) La Verificación de las propiedades de las formas de modo será hecha basada en la Secc 8.4.1.5. Luego, siendo las matrices de masas ( M ) y rigidez ( K ) simétricas y K corresponde a una estructura estable, podemos garantizar que:

e.1 ) Existen tantas frecuencias angulares como grados de libertad se han considerado. Es decir, si existen “ n = 2 ” GDL, entonces, existirán “ 2 ” frecuencias naturales y por ende “ 2 ” periodos siendo el mayor el fundamental.

X 1

=

T 1

X MX 1

⎧0,5848⎫ ⎨ ⎬ 15,3484 ⎩ 1 ⎭ 1

e.2 ) Para cada frecuencia existe una única forma de modo. Esto se ha podido observar durante la solución del problema. e.3 ) Condición de Ortogonalidad ; las formas de modo que corresponden a dos

⎧ϕ ⎫ ⎧ 0,1493 ⎫ ⇒ Φ1 = ⎨ 11 ⎬ = ⎨ ⎬ ⎩ϕ 21 ⎭ ⎩0,2553⎭ T verificand o Φ1 M Φ1 = 1

frecuencias naturales son ortogonales (perpendiculares para un sistema uno, dos ó e tres grados de libertad ). Cumpliéndose:

2

Φ1 M Φ1 = ∑ m jj (ϕ j1 ) 2 =11,437 x (0,1493) 2 + 11,437 x (0,2553) 2 T

como

X i M X j = 0 T

j =1

Φ1T M Φ1 ≅1 (Ok !)

X 2 MX 2 = 44,8956 T

luego

⎧− 1,7104 ⎫ Φ2 = = ⎨ ⎬ T 1 44,8956 ⎩ ⎭ X 2 MX 2 X 2

1

⎧ϕ ⎫ ⎧− 0,2553⎫ Φ 2 = ⎨ 12 ⎬ = ⎨ ⎬ ⎩ϕ 22 ⎭ ⎩ 0,1493 ⎭ T verificand o Φ 2 M Φ 2 = 1

⇒

2

para j ≠ i

X i K X j = 0

para j ≠ i

T

⎧ x12 ⎫ ⎧− 1,7104 ⎫ [i = 2] X 2 = ⎨ ⎬ = ⎨ → Modo 2 : con ⎬ ⎩ x22 ⎭ ⎩ 1 ⎭ 0 ⎞ ⎧− 1,7104 ⎫ ⎛ 11,437 T ⎟⎨ X 2 MX 2 = [− 1,7104 1]⎜⎜ ⎬ 11,437 ⎠⎟ ⎩ 1 ⎝ 0 ⎭ T 2 2 X 2 MX 2 = 11,437 x ( −1,7104 ) + 11,437 x (1)

Siendo

C

para j ≠ i

X i C X j = 0 T

la

matriz de constantes

de amortiguamiento. La construcción de dicha matriz es análoga a la de K como se verá en la siguiente sección. Verificando la condición de ortogonalidad por ejemplo para:

⎞ ⎧− 1,7104 ⎫ ⎟⎨ ⎬ 11,437 ⎠⎟ ⎩ 1 ⎝ 0 ⎭ T X 1 MX 2 = 11,437 x (0,5848) x( −1,7104) + 11,437 x (1 x1) ⎛ 11,437

X 1 MX 2 = [0,5848 1]⎜⎜ T

0

→ X 1 MX 2 = 0 T

Los demás productos con M, C, K y combinaciones de formas modales, de 2 en 2, son análogos. e.4 ) Para nuestro caso, no se tienen multiplicidad en la raíces por tratarse de un sistema sencillo de 2 GDL.

SECC. 8.5: SISTEMAS CONTINUOS O DE MASA DISTRIBUIDA: VIGA DE CORTE, VIGA DE FLEXIÓN

29 con una frecuencia Ω .Resolviendo el problema resultante para esas incógnitas obtendremos que la solución corresponderá a las características de la vibración libre.

29

SECC. 8.5.1.1: VIGA LIBRE: VIGA EN VOLADIZO

- desplazamiento en la base cerov(0) = 0 - giro en la parte superior cero, porque el cortante en el extremo es cero y por consiguiente en este caso eso requiere que la primera derivada del desplazamiento en ese punto sea cero, o sea v ′(H) = 0 . Se obtiene como solución no trivial: p = (2n - 1)π /(2H)

(8.39)

o expresado en términos de la frecuencia Ω : /(2H)] G/ ρ Ω n = [(2n - 1)π

(8.40)

Las frecuencias naturales corresponderán a valores sucesivos de n : 1; 2; 3 El término

G/ ρ corresponde a la velocidad de propagación de las ondas de

corte, V s , en un estrato de suelo que se modela elásticamente como si fuera una viga de este tipo para las ondas transversales que causan esa deformación.

Fig. 8.14 Viga de Corte en Voladizo

Supóngase que la viga vibrará siguiendo una función v(x,t) dependiente de la altura de la viga y del tiempo, que es a su vez función de una " forma" v 0 (x) independiente del tiempo y de una función armónica de frecuencia Ω , sen( Ω t +Ψ ) . v( x , t ) = v o ( x ). sen( Ω t +Ψ )

(8.35)

Sustituyendo esta función y sus derivadas en la ecuación diferencial anterior se tiene:

Los períodos se expresan como: T n = 2π / Ω

(8.41)

T n = 4H/(2n - 1)V s

(8.42)

El período fundamental, cuando n = 1 viene dado por la expresión: T 1 = 4H/ V s

(8.43)

Las formas modales vienen expresadas por ( Fig. 8.15) 2

d v 2 + p v0 = 0 d x 2

v on (x) = Bsennπ x/2L

(8.36)

donde: 2

p =

ρ Ω 2 G

(8.37)

Obsérvese que la solución de esta ecuación diferencial proveerá la forma de la función v 0 (x) que será la que adoptará la viga al vibrar libremente con la frecuencia Ω incluida en el parámetro p . En buena cuenta representa la forma modal y Ω la frecuencia modal asociada. La solución general de la ecuación diferencial Ec. (8.36) es: v0 = A cos px + Bsenpx

Para el caso de la viga en voladizo las condiciones de borde son ( Fig. 8.14):

(8.38)

(8.44)

32


Cuadro 8.2 Comparación de períodos promedio entre una viga de corte y una de flexión con los de un pórtico de 12 pisos con placas o muros de corte [ Ref. 9 ]

REFERENCIAS

33

REFERENCIAS 1.

Biggs, J.M., "Dynamic Analysis of One-Degree Systems", en Notas del curso Fundamentals of Earthquake Engineering for Buildings . Massachusetts Institute of Technology. Cambridge, Massachusetts. 1972

2.

Röesset, J.M. "Structural Dynamics". Notas de clase. Massachusetts Institute of Technology. Cambridge, Mass. 1974.

3.

Biggs, J.M., Introduction to Structural Dynamics. McGraw-Hill. New York. 1964

4.

Craig Jr., R.R., Structural Dynamics. John Wiley & Sons. New York. 1981

5.

Clough, R.W. & Penzien, J. Dynamics of Structures. McGraw-Hill. New York. 1975

6.

Okamoto, S. Introduction to Earthquake Engineering. Halsted Press. John Wiley & Sons. New York. 1973

7.

Hurty, W.C. & Rubinstein, M.F. Dynamics of Structures. Prentice Hall. New Jersey 1964.

8.

Bathe, K.J., Wilson, E.L. Numerical Methods in Finite Element Analysis, Prentice-Hall. Englewood Cliffs, New Jersey. 1976

9.

Wilkinson, J.H., Oxford. . 1965

10.

Piqué, J., Echarry, A. "A Modal Combination for Dynamic Analysis of Reinforced Concrete Frames". 9a. Conferencia Mundial de Ingeniería Antisísmica. Tokyo-Kyoto. Japón. 1988

11.

Bazán, E., Meli, R. Diseño Sísmico de Edificios, Editorial Limusa. Balderas, México. 2002

12.

Piqué, J., Scaletti, H., Análisis Sísmico de Edificios, Ediciones Capítulo de Ingeniería Civil. Lima, Perú. 1991

The Algebraic Eigenvalue Problem, Clarendon Press.

34


35

ANEXO - CAP. 8: COCIENTE DE RAYLEIGH

ANEXO COCIENTE DE RAYLEIGH Factorizando el vector de máximos desplazamientos en la ecuación característica, Ec. (8.11), el problema a considerar resulta de la forma: ( K − ω 2 M ) X = 0

(8.49)

reordenando esta última ecuación se tiene: K X = ω 2 M X

(8.50)

Suponiendo que se conoce la solución X i de la Ec. (8.50), entonces se cumple que: K X i = ω i M X i 2

(8.51)

2

y haciendo ω i = λ i la Ec. (8.51) queda: K X i = λ i M X i

(8.52)

multiplicando la Ec. (8.52) por X iT : X iT K X i = λ i X iT M X i

(8.53)

despejando la Ec. (8.53) : T

λ i = ω i = 2

X i K X i T i

X M X i

(8.54)

El cociente de Rayleigh nos permite calcular el valor de λ i conocido su correspondiente vector característico X i . Esto se puede apreciar en la Ec. (8.54). Debido a que la Ec. (8.54) puede ser usada con aproximaciones a los vectores propios [ Ref. 12 ], entonces, suponiendo que se conoce una forma de modo de manera aproximada: X i ← V Reemplazando la Ec. (8.55) en la Ec. (8.54) se tiene:

(8.55)

36


λ i = ω i = 2

V T K V V T M V

37

ANEXO - CAP. 8: COCIENTE DE RAYLEIGH n

n

∑ M j (v j )

(8.56) T i = 2π .

Las fuerzas aplicadas serían:

∑ P j (v j )

2

j =1

= 2π .

n

∑ F j v j

n

(8.62)

g . ∑ F j v j

j =1

K V = F

2

j =1

j =1

(8.57)

EJEMPLO: Al reemplazadas deichas fuerzas en la Ec. (8.56) tenemos: V T F

λ i =

V T M V

Para el siguiente sistema que se muestra calcule de manera aproximada el periodo:

(8.58)

m3 = 8

La Ec. (8.58) escritas en forma de sumatorias es: m2 = 9

n

∑ F j v j

λ i =

j =1 n

∑ M j (v j )

t − s 2 m t − s 2

(8.59) m1 = 10

2

j =1

m t − s 2 m

m3 k 3 = 8 000 m2 k 2 = 8 000 m1

t m t m

k 1 = 10 000

donde F j y v j son elementos de los vectores columnas F y V , y M j es un

t m

elemento que pertenece a la diagonal principal de la matriz de masas M .

Solución:

2

Como λ i = ω i , entonces la Ec. (8.59) quedaría: n

λ i = ω i =

∑ F j v j

j =1

2

→

n

Suponiendo de manera aproximada las fuerzas aplicadas, se tiene:

n

∑ F j v j

∑ M j (v j )

2

ω i =

j =1

j =1 n

∑ M j (v j )

(8.60)

2

F 3 = 30 000 t

m3

j =1

F 2 = 20 000 t

Si en la Ec. (8.60) se trabaja con pesos en vez de masas, entonces:

m2

n

g . ∑ F j V j ω i =

j =1

n

∑ P j (V j )

(8.61)

2

j =1

Y como se conoce que T i =

2π

ω i

, entonces el periodo correspondiente a la forma

de modo X i según la Ec. (8.61) sería:

F 1 = 10 000 t

m1

38


v3

∆3

v2

∆2

v1

∆1

Resumiendo todos los cálculos en tablas se tiene: Nivel j

k j

F j supuestas

(t/m)

(t)

(t)

V’ j = F j

acumuladas

∆ j =

V ' j

v j= ∆ j acumuladas

k j

3

8 000

30 000

30 000

3,75

16,00

2

8 000

20 000

50 000

6,25

12,25

1

10 000

10 000

60 000

6,00

6,00

Nivel

M j 2

(t-s /m)

M j .v j2

F j .v j

3

8

2 048,00

480 000

2

9

1 350,56

245 000

1

10

360,00

60 000

∑ = 3 758,56 ∑ = 785 000 Usando la Ec. (8.60): T = 2π

3 758,56 785 000

→

T = 0,435 s

Analisis-Sismico-De-Edificios - J. PIQUE DEL POZO

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