ANALISIS Y DISEÑOS DE VIGAS A FLEXION INTRODUCCION
Los supuestos fundamentales en los cuales se basa el análisis y diseño de elementos de concreto reforzado se mencionaron en la sección 1.8 del capítulo 1, y su aplicación al caso simple de carga axial se desarrolló en la sección 1.9. En este punto, es recomendable que el estudiante repase dichas secciones. En este capítulo se aplicarán los mismos supuestos y se utilizarán conceptos idénticos en el desarrollo de los métodos para análisis y diseño de vigas. Esta parte tratará el análisis y el diseño a flexión, e incluye la medición de las secciones transversales de concreto, y la selección y ubicación del acero de refuerzo. Otros aspectos importantes en el diseño de vigas, que comprenden el refuerzo a cortante, la adherencia, el anclaje de las barras de refuerzo y los asuntos concernientes al funcionamiento (es decir, los límites en las deflexiones y el control del agrietamiento del concreto) se analizarán en los capítulos 4,5 y 6. FLEXION DE VIGAS HOMOGENEAS
Las vigas de concreto reforzado no son homogéneas debido a que están hechas de dos materiales diferentes. Por consiguiente, los métodos usados en el análisis de vigas de concreto reforzado son distintos de aquéllos utilizados en el diseño o investigación de vigas elaboradas completamente de acero, madera o cualquier otro material estructural. Sin embargo, los principios fundamentales que los comprenden son esencialmente los mismos. En resumen, estos principios son: En cualquier sección transversal existen fuerzas internas que pueden descomponerse en fuerzas normales y tangenciales a la sección. Las componentes normales a la sección son los esfuerzos deflexión (tensión en un lado del eje neutro y compresión en el otro); su función es la de resistir el momento flector que actúa en la sección. Las componentes tangenciales se conocen como esfuerzos cortantes que resisten las fuerzas transversales o cortantes. Los supuestos fundamentales relacionados relacionados con la flexión y con el cortante por flexión son los siguientes: 1. Una sección transversal plana antes de la aplicación de las cargas permanece igual al someterla a
carga. Esto significa que las deformaciones unitarias en la viga, por encima y por debajo del eje neutro, son proporcionales a la distancia desde este eje.
EL esfuerzo de flexión f en cualquier punto depende de la deformación unitaria en aquel punto, de la misma manera que en el diagrama esfuerzo-deformación unitaria unitaria del material. Si laviga está hecha de un material homogéneo cuyo diagrama esfuerzo-deformación unitaria en tensión y en compresión es como el que aparece en la figura 3.la, puede afirmarse lo siguiente: si la deformación unitaria máxima en la fibra exterior es menor que la deformación unitaria e ep, hasta la cual los esfuerzos y deformaciones son proporcionales para determinado material, los esfuerzos de compresión y tensión en cualquier lado del eje son proporcionales a la distancia desde el eje, como aparece en la figura 3.1 b. Sin embargo, si la deformación unitaria máxima en las fibras exteriores es mayor que ep, lo anterior ya no es válido. El resultado es el que aparece en la figura 3 . 1e~s d~ec ir, en las porciones exteriores de la viga, donde e > ep, los esfuerzos y deformaciones unitarias ya no son proporcionales. En estas zonas, la magnitud del esfuerzo para cualquier c ualquier nivel, como f2 en la figura 3.lc, depende de la deformación unitaria e2 a este nivel, de acuerdo con lo dado por el diagrama esfuerzo-deformación unitaria del material. En otras palabras, para determinada deformación unitaria en laviga, el esfuerzo en un punto es el mismo del diagrama esfuerzo-deformación unitaria correspondiente a la misma deformación unitaria. 3. La distribución de los esfuerzos cortantes v en la altura de la sección depende de la forma de la sección transversal y del diagrama esfuerzo-deformación unitaria. Estos esfuerzos cortantes son máximos en el eje neutro e iguales acero en las fibras exteriores. Los esfuerzos cortantes en planos horizontales y verticales através de cualquier punto son iguales. 2.
4.
Debido la acción combinada de los esfuerzos cortantes (horizontal yvertical) y de los esfuerzos de flexión, se presentan esfuerzos inclinados de tensión y compresión en cualquier punto de la viga, de los cuales el mayor forma un ángulo de 90° con el otro. La magnitud del máximo esfuerzo inclinado o esfuerzo principal en cualquier punto está dada por
donde f magnitud del esfuerzo normal en la fibra v magnitud de los esfuerzos cortantes tangenciales =
=
El esfuerzo inclinado forma un ángulo a con la horizontal tal que tan 2a 2vf. =
5. Puesto que en el plano neutro los esfuerzos cortantes horizontales y verticales son iguales entre sí, y los esfuerzos de flexión son iguales a cero, los esfuerzos inclinados de tensión y compresión
FIGURA 3.1 Distribución de esfuerzos elásticos e inelásticos en vigas homogéneas.
en cualquier punto de este plano forman un ángulo de 45O (con la horizontal, donde la intensidad de cada uno de ellos es igual al valor del esfuerzo cortante unitario en el punto.
6. Cuando los esfuerzos en las fibras exteriores son menores que el límite de proporcionalidad&, la viga se comporta elásticamente como aparece en la figura 3.lb. En este caso puede afirmarse que: (a) El eje neutro pasa a través del centro de gravedad de la sección transversal. (b) La magnitud de los esfuerzos de flexión normales a la sección aumenta directamente con la distancia desde el eje neutro y es máxima en las fibras extremas. El esfuerzo en cualquier punto de la sección transversal está representado por la ecuación
donde f esfuerzo de flexión a una distanciay medida desde el eje neutro M momento flector externo en la sección I = momento de inercia de la sección transversal con respecto al del eje neutro El esfuerzo de flexión máximo ocurre en las fibras exteriores y es igual a =
=
donde c = distancia desde el eje neutro hasta la fibra exterior S Ilc módulo elástico de la sección transversal (c) El esfuerzo cortante (el longitudinal igual al transversal) v en cualquier punto de la sección transversal está dado por =
=
donde V = cortante total en la sección Q = momento estático con respecto al eje neutro de aquella porción de la sección transversal ubicada entre una línea que pasa por el punto en cuestión, paralela al-eje neutro, y la cara más cercana de la viga (superior o inferior) I = momento de inercia de la sección transversal con respecto al eje neutro b ancho de la viga en determinado punto (d) La intensidad del esfuerzo cortante a través de una sección transversal vertical en una viga rectangular varía de acuerdo con la forma de las ordenadas de una parábola, donde la intensidad es cero en las fibras exteriores de la viga y máxima en el eje neutro. El valor máximo es q ~ / b aya , que en el eje neutro Q = ba2/8y 1 = ba3/12 en la ecuación (3.4). El resto de este capítulo se refiere únicamente a esfuerzos de flexión y sus efectos sobre vigas de concreto reforzado. Los esfuerzos cortantes y sus efectos se analizan en forma separada en el capítulo 4. =
COMPORTAMIENTO DE VIGAS DE CONCRETO REFORZADO
Las vigas de concreto simple son ineficientes como elementos sometidos a flexión debido a que la resistencia a la tensión en flexión (módulo de rotura, ver la sección 2.9) es una pequeña fracción de la resistencia a la compresión. En consecuencia, estas vigas fallan en el lado sometido a tensión a cargas bajas mucho antes de que se desarrolle la resistencia completa del concreto en el lado de compresión. Por esta razón se colocan barras de acero de refuerzo en el lado sometido a tensión tan cerca como sea posible del extremo de la fibra sometida a tensión, conservando en todo caso una protección adecuada del acero contra el fuego y la corrosión. En una viga de concreto así reforzada, el acero de refuerzo resiste la tensión causada por los
momentos flectores, mientras que el concreto usualmente es capaz de resistir sólo la compresión correspondiente. Esta acción conjunta de los dos materiales se garantiza si se impide su deslizamiento relativo, lo que logra mediante la utilización de barras corrugadas con su alta resistencia por adherencia en la interfase acero-concreto (ver la sección 2.13) y, si es necesario, mediante anclajes especiales en los extremos de las barras. En la figura 3.2 se presenta un ejemplo sencillo de una viga reforzada de esta manera y se indica la nomenclatura usual para las dimensiones de la sección transversal. Para simplificar, el análisis que sigue se relaciona únicamente convigas de sección transversal rectangular, aunque en la mayor parte de las estructuras de concreto son muy comunes los elementos con otras formas. Cuando la carga en dicha viga se incrementa de modo gradual desde cero hasta la magnitud que producirá su falla, claramente pueden distinguirse diferentes estados en su comportamiento. Para cargas bajas, mientras que el máximo esfuerzo de tensión en el concreto sea menor que el módulo de rotura, todo el concreto resulta efectivo para resistir los esfuerzos de compresión a un lado y de tensión al otro costado del eje neutro. Además, el refuerzo, que deforma la misma cantidad que el concreto adyacente, también está sometido a esfuerzos de tensión. En esta etapa, todos los esfuerzos en el concreto son de pequeña magnitud y proporcionales a las deformaciones. La distribución de las deformaciones unitarias y de los esfuerzos en el acero y en el concreto en la altura de la sección aparece en la figura 3.2~.
Cuando la carga se aumenta un poco más, pronto se alcanza la resistencia a la tensión del concreto y en esta etapa se desarrollan las grietas de tensión. Éstas se propagan con rapidez hacia arriba y muy cerca del nivel del plano neutro, que a su vez se desplaza hacia arriba con agrietamiento progresivo. La forma general y la distribución de estas grietas de tensión aparecen en la figura 3.2d. En vigas bien
diseñadas la amplitud de estas grietas es tan pequeña (grietas capilares) que no tienen objeción desde el punto de vista de la protección contra la corrosión o de la apariencia. Su presencia, sin embargo, afecta profundamente el comportamiento de la viga sometida a carga. Evidentemente, en una sección fisurada, es decir, en una sección transversal localizada en una grieta como la sección a-a en la figura 3.2d, el concreto no transmite ningún esfuerzo de tensión; de ahí que, al igual que en los elementos sometidos a tensión (ver la sección 1.9b), al acero le corresponde resistir toda la tensión. Para cargas moderadas, si el esfuerzo en el concreto no excede aproximadamente f22, los esfuerzos y las deformaciones unitarias continúan siendo proporcionales (ver la figura 1.15). La distribución de deformaciones unitarias y esfuerzos en la sección fisurada o cerca de ella es, en consecuencia, la que aparece en la figura 3.2. Cuando la carga se incrementa aún más, el esfuerzo y las deformaciones aumentan en forma correspondiente y desaparece la proporcionalidad. La relación no lineal entre esfuerzos y deformaciones unitarias que sigue es la determinada por la curva esfuerzo-deformación unitaria del concreto. Por consiguiente, al igual que en vigas homogéneas (ver la figura 3.1), la distribución de los esfuerzos en el concreto en el lado de compresión de la viga, tiene la misma forma que la curva esfuerzo-deformación unitaria. La figura 3.2f señala la distribución de esfuerzos y deformaciones unitarias cerca de la carga última. En algún momento se alcanza la capacidad de carga de la viga. La falla se puede presentar de dos maneras. Cuando se emplea una cantidad de refuerzo relativamente moderada, el acero alcanza su punto de fluencia con determinado valor para la carga. Para este esfuerzo, el acero de refuerzo fluye en forma súbita y se alarga de manera considerable (ver la figura 2.13), entonces las grietas de tensión en el concreto se ensanchan de manera visible y se propagan hacia arriba, presentándose simultáneamente una deflexión significativa de la viga. Cuando esto ocurre, las deformaciones unitarias en la zona de compresión restante del concreto se incrementan hasta tal punto que sobreviene el aplastamiento del concreto, o sea una falla por compresión secundaria con una carga sólo ligeramente superior que la carga que causó la fluencia en el acero. En consecuencia, la realización efectiva del punto de fluencia en el acero determina la capacidad de carga de las vigas moderadamente reforzadas. Esta falla por fluencia es gradual y está precedida por signos visibles de peligro, como el ensanchamiento y alargamiento de las grietas y el aumento notorio en la deflexión. De otra parte, si se emplean grandes cantidades de refuerzo o cantidades normales de acero de muy alta resistencia, la resistencia a la compresión del concreto puede agotarse antes de que el acero comience a fluir. El concreto falla por aplastamiento cuando las deformaciones unitarias son tan grandes que destruyen su integridad. Todavía no se conocen las razones para la presencia de este tipo de falla, pero se ha observado que las vigas rectangulares fallan en compresión cuando el concreto alcanza valores de deformación unitaria del orden de 0.003 a 0.004. La falla por compresión debida al aplastamiento del concreto es repentina, de naturaleza casi explosiva y ocurre sin ningún aviso. Por esta razón, es aconsejable calcular las dimensiones de las vigas de tal manera que, si se sobrecargan, la falla se inicie por fluencia del acero en vez del aplastamiento del concreto. El análisis de esfuerzos y resistencias en los diferentes estados que se acaban de describir se hará en las siguientes secciones. Esfuerzos elásticos y sección no fisurada
Mientras el esfuerzo de tensión en el concreto se mantenga por debajo del módulo de rotura, de manera que no se desarrollen grietas de tensión, la distribución de deformaciones unitarias y esfuerzos que aparece en la figura 3.2 es esencialmente la misma que en una viga elástica y homogénea (ver la figura 3.1 b). La única diferencia es la presencia de otro material: el acero de refuerzo.
FIGURA 3.3 Sección transformada no fisurada de una viga.
Como se demostró en la sección 1 . 9e~l e~sf uerzo en el acero para determinado valor de deformación unitaria en el intervalo elástico, es n veces el del concreto [ecuación 1.61. En la misma sección se demostró que se puede tomar ventaja de este hecho en los cálculos, con el remplazo de la sección real transversal acero-concreto por una sección ficticia conformada únicamente de concreto. En esta "sección transformada" el área real del refuerzo se remplaza por un área equivalente de concreto igual a rzA,, localizada al nivel del acero. La sección transformada no fisurada de la viga de la figura 3% aparece en la figura 3.3. Una vez obtenida la sección transformada, pueden aplicarse los métodos usuales de análisis de vigas elásticas homogéneas. Es decir que las propiedades de la sección (localización del eje neutro, momento de inercia, módulo de sección, etc.) se calculan de manera usual, y los esfuerzos, en particular, con las ecuaciones (3.2) a (3.4). Ejemplo 3.1. Una viga rectangular tiene las dimensiones (ver la figura 3.21) b 10 pulg, h 25 pulg y d 23 pulg y está reforzada con tres barras No. 8 de manera que A, 2.35 pulg2. La resistencia del cilindro del concreto f,' es 4000 lb/pulg2 y la resistencia a la tensión en flexión (módulo de rotura) es 475 lb/pulg2. El punto de fluencia del acero es& 60,000 lb/pulg2, y las curvas esfuerzo-deformación unitaria de los materiales son las que aparecen en la figura 1.15. Determine los esfuerzos causados por un momento flector M 45 Mb-pie. Solución. Con un valor n EJE, 29,000,000/3,600,000 8, es necesario adicionar a la forma rectangular de la sección un área (n 1)A, 7x 2.35 16.45 pulg2, dispuesta como aparece en la figura 3.4, =
=
=
=
=
=
=
-
=
=
=
=
con el fin de obtener la sección transformada no fisurada. Cálculos convencionales demuestran que la localización del eje neutro en esta sección está dada por y = 13.2 pulg y que su momento de inercia con respecto a este eje es de 14,710 pulg4. Para M 45 klb-pie 540,000 lb-pulg, el esfuerzo de compresión en el concreto en la fibra superior se puede obtener a partir de la ecuación (3.3), =
=
