XI I I .- TRAN TR ANS SMISI MISI ÓN DE CALOR CAL OR POR CONVE CONVE CCI CC I ÓN, ÓN, ANAL ANAL OGÍAS Y ANÁL ANÁLII SI S DI DIME MENS NSII ONAL ONAL
XIII. XIII .1.- ANAL ANAL OGÍA ENTRE ENTR E L A TRANSMISIÓN TRANSMISIÓN DE CALOR C ALOR Y L A CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN FLUJ O TURBULENTO corrient e fluida fluida q ue circul circulaa sobre sobre una CAPA LI M I TE TÉRMI TÉRMI CA SOBRE SOBRE PLA PLA CA PLA PLA NA..- En una corrient placa pla na en régimen régimen tu rbulento, se pueden pueden distinguir dent ro de la capa límite según según una misma secci sección ón tra nsversa l, tres subcapa s de fluido cont cont enidas en la capa límite térmica, con con un os límites límites de separa ción ción no muy bien bien d iferenci iferenciaa dos, Fig XIII .1. .1. a ) La primera, subcapa viscosa, se encuentra encuentra en las proximida proximida des de la la par ed; en en ella ella prá ctica ctica mente no existen existen r emolino emolinoss y, por lo tan to, la va ria ció ción de la cant idad de movimiento movimiento se debe excluexclusivament e a la viscosidad. viscosidad. b) La segunda segunda zona zona , subcapa de transición, se corr corr esponde esponde con un r égimen int ermedio, y en ella se produce produce una va ria ción ción de la ca nt idad d e movimie movimient nt o debido a la viscosidad viscosidad y a la t urbulencia urbulencia . c) La tercera zona , subcapa turbulenta, se corresponde corresponde con con la pa rt e principal principal de la corriente corriente q ue ocupa ocupa ca si toda la secci sección ón tra nsversa l del tubo; es la la zona en la que existen tur bulencias bulencias d e int int ensida d relat ivam ente pequeña pequeña , aun que los los remolino remolinoss sean gra ndes; los los gra dientes de la veloci velocida da d respecto pecto a la d ista ncia a la par ed son son relat ivam ente pequeños, pequeños, por por lo lo que las va ria cione cioness de la la ca nt ida d de movimient movimient o predominan predominan tes, son debidas a los los esfuerzos esfuerzos de Reynolds
τt u r b en régimen régimen tur bu-
lento. En lo que sigue se supondrá que tanto los gradientes de temperatura dentro de la capa límite térmica, como como los los gra dientes de velo veloci cida da des dentro de la capa límite hidrodiná hidrodiná mica, está n perfecta perfecta ment e desar rollados y superpuest os, cumpliéndose cumpliéndose:: XIII.-217
δ T τ turb
uF Zona turbulenta uF
Subcapa de transición
τvisc Región de transición
Capa límite laminar
Subcapa viscosa Capa límite turbulenta
Fig XIII.1.- Subcapas de la capa límite térmica en régimen turbulento
Como,
δ δT
=
3
Pr , cua ndo, Pr = 1, las dos ca pas límite coinciden.
S i P r < 1, la capa límite térmica es más gruesa que la hidrodinámica y cuando Pr > 1, sucede todo lo cont ra rio.
Con ducti vidad té rmi ca.- Dent ro de la subcapa viscosa el calor fluye principalment e por conducción, aun que t a mbién interviene algo la convección, debido a q ue en esa zona existe a lgún remolino; a medida que se ava nza tra nsversalmente dentro de la capa límite, los efectos de la turbulencia se ha cen má s notorios, predominan do la tr a nsmisión de ca lor por convección. En los fluidos ordinarios con números de Prandtl superiores a 0,6 la conducción térmica es tota lmente desprecia ble en la subcapa tur bulenta , y puede llegar a ser considera ble en la zona de tra nsición cuando el número de P ra ndtl se aproxime a la unidad; par a números de Pr an dtl elevados, la conducción t érmica es desprecia ble en esa zona .
Canti dad de movimi ento.- El esfuerzo cort a nt e en régimen turbulent o sigue una regla similar a lo anterior respecto a la viscosidad. Bajo ciertas condiciones ideales, existe una correspondencia exacta entre el flujo de ca lor y la va ria ción de la ca nt ida d de movimiento; sin emba rgo, en un ca so general, esta correspondencia será sólo aproxima da y el considera rla como exa cta podría conducir a gra ndes errores.
EXPRESI ÓN GENE RAL D E L A REL ACI ÓN BÁSI CA DE L A AN AL OGÍA EN TRE EL CALOR Y LA .- Cu a ndo se conoce el coeficient e de roza mient o λ entr e el fluido y la CANTIDAD DE MOVIM IENTO pared del conducto por el que circula, se puede determinar el coeficiente de transferencia de calor
h C , median te la a na logía entre la tra nsferencia de calor y la cant idad de movimiento. E l esfuerzo cortante τ en la capa lími te tur bul enta se compone de dos términos:
τ = τ visc + τ turb = η en la que
du dx
ρ u *F
v *F
τ turb se conoce como esfuer zo de Reyn olds, siend o
u *F la velocidad de agita ción, o fluc-
tua ción de la velocidad insta ntá nea u i , alrededor del valor medio u F :
XIII.-218
ui
=
uF
±
u *F = u F
±
u agit
mientr as q ue v *F es la fluctua ción t ra nsversa l de la velocidad insta ntá nea v i , de la forma : vi = vF
±
v *F = v F
± v agit
P a ra el flujo tur bulento de ca lor, se puede considera r q ue el flujo tota l de ca lor q * está compuesto por una componente conductiva q cond y por una componente tur bulenta q t u r b , es decir: q*
= q cond +
en donde,
q turb = - k Ti = TF TF
dT + dx
± TF* , e s la
ρ cF
v *F TF*
t e m pe r a t u r a i n st a n t á n e a
= T∞ , es la tempera tura
media del fluido
TF* , es la temperat ura debida a la fluctua ción
El término, u *F v *F , se obtiene a partir del significado físico del número de Prandtl que sugiere que la fluctua ción u u *F ≈ l m
* de F
la velocidad se relaciona con
du a tr a vés de la ecuación: dx
du dx
en la que l m es la lon gitud de mezcla del espesor
δ2 de la cantidad de movimi ento de la
capa límite hidrodi-
námica. Asimismo, la fluctua ción tra nsversa l v *F se adm ite es del mismo orden de magnit ud qu e u *F p ero de sign o opuesto: v* F
≈
- lm
du dx
;
ε m es la
en la que
u *F v * F
=
du 2 ) dx
- (l m
=
-
εm
du dx
difusividad t urbulenta de la cantidad de movimiento,
εm=
l 2m
du dx
P ar a ha llar la relación del término v *F TF* , con el gra diente de tempera tura s loca l medio,
se a-
plica un método similar , en la forma TF* ≈ - l c
dT dx
y
v *F
= lc
du dx
e n la q u e l c es la longit ud de mezcla del espesor de energía poner: du dT dx dx
=
siendo
ε c la difusividad turbulenta
- l2 c
=
-
εc
dT dx
v *F TF*
del calor:
εc =
l2 c
XIII.-219
du dx
δ3 de la
capa límite, por lo que se puede
Sustituyendo estos valores en las ecuaciones de τ y de q * , se obtiene:
τ
η
=
q*
=
q*
ρ cF
du + dx
dT + dx
-k
du dx
ρ εm
= -(
ρ cF
k
ρ cF
= ( ν +
v *F TF* = - k dT
εc )
+
τ ρ
;
dx
du dx
εm )
dT dx
= - (α +
ρ c F εc
εc )
dT = - (k dx
+ ρ cF εc )
dT dx
dT dx
ecua ciones q ue divididas ent re sí, proporciona n la s rela ciones bá sica s pa ra la circulación d e fluidos por tuberías:
τ
= -
q*
ν
εm c F ( α + ε c ) +
du dT
en la s que tan to ν como
α son propiedades d el fluido, mientr a s q ue εm y εc lo son del flujo. A pa rt ir de
ellas se deducen las analogías entre la transferencia de calor y la cantidad de movimiento.
XIII .2.- ANALOGÍA DE REYNOLDS Est a an a logía es de aplica ción a l fl uj o de flui dos por tu bos rectos de sección cir cul ar ; se puede est udiar en su forma má s general, teniendo en cuenta que la r ela ción ent re las difusividad es moleculares
α y ν, es igua l a
εm y εc.
la r ela ción entr e las difusivida des
Como el número de P ra ndt l es una relación ent re difusivida des, se puede poner:
ν α
εm εc =
=
τ
=
q*
τ0
=
q* 0
uF
∫
du = -
0
en la que
;
Pr
α
=
Pr
ν + ε m c F ( α + ε c )
-
cF
τ0
Pr q * 0
τ 0 y
ν
;
ε m = εc
- (α Pr + ε m Pr ) du - Pr du du = = dT dT c F dT c F ( α + ε c )
TF
∫
dT
TpF
Pr
;
uF =
cF
τ0
Pr q * 0
(TpF - TF )
*
q 0 se toma n en la superficie.
Al ser:
π d L τ0 = q* 0
=
P
π d2 4
;
P
=
4 L τ0 = d
λ
L
ρ u 2F 2d
τ0 =
;
λ ρ u 2F 8
=
h C ( TpF - TF )
resulta ndo fina lmente: uF =
Cw
λ ρ u 2F
8 Pr h C ( TpF - TF )
( TpF - TF ) =
Cw λ ρ u2 F 8 Pr h C
;
XIII.-220
hC =
Cw λ ρ uF 8 Pr
Cw
= 4λ
=
Cw
ρ u 2F 2
hC λ = Cw Nu = = Re Pr c pF ρ u F 8 Pr 2 Pr
St =
que concuerda bast a nte bien con la ecua ción: Cw = 2 Stx Pr2/3
para números de P r próximos a la unida d.
λ se toman
Si los valores de
λ
-0 ,2
= 0, 184 Re d
, en el cam po,
de la ecuación:
10 4 < Re < 10 5 L = 0, 623 d
4
Re d
siendo L la dista ncia necesa ria par a que en el flujo turbulento el factor de fricción
λ llegue
a ser
const a nte, se tiene:
λ
Nu = St Re d Pr =
8
10 4 < Re < 105
;
3
Pr
Re d Pr =
0,184 0 ,8 Re d 8
0,5 < Pr < 100
;
3
0 ,8 3
Pr = 0, 023 Re d
Pr
L > 60 d
Reynolds propuso que t odo el flujo está forma do por un a región a lta mente t urbulenta , es decir, no considera la pr esencia de la subcapa viscosa, ni la subcapa de tra nsición, por lo que la s difusivida des molecula res del momento ν y del calor dades t urbulentas ν <<
τm ; α << τc por lo que no intervienen en el proceso.
Si se considera Pr = 1, resul ta, εm =
τ
τ0
=
q*
q *0
= -
εm εc
α son despreciables en comparación con las difusivi-
εc , por l o que:
du du = c F dT c F dT
ecua ción que se puede integra r ent re la s condiciones de la par ed T= TpF , u = u F y las condiciones media s del flujo principal T = TF , u = u F obteniéndose: TF
∫
dT = -
q*
uF
∫
;
T pF - TF =
q* 0 = hC (TpF - TF) = hC
q* 0 uF ; τ0 cF
T pF
τ cF
du
0
q* uF
τ cF
=
q* uF 0
τ0
cF
y como:
τ0 = λ
u2 F 8
se obtiene: hC
=
τ0
cF
uF
=
λ ρ uF
cF
8 XIII.-221
ρ
El número de St a nton vale: St =
Nu = Re Pr
hC
ρ uF
cF
=
λ =
Cw
8
2
que se podía haber obtenido haciendo P r = 1, en la ecua ción, St
=
l 8 Pr
λ
St =
8 (Pr)
XIII.3.- ANALOGÍA DE PRANDTL Prandtl considera al f luj o dividi do en dos zonas, viscosa y tur bul enta. En la zona viscosa supone predominan las difusividades moleculares y en la zona turbulenta supone predominan las difusividades turbulentas. P a ra la subcapa viscosa se tiene que,
τ q*
=
τ0 q *0
= -
ν α
du c F dT
Pr du = c F dT
ε m << ν ⇒
;
ε c << α
q* dT = - Pr τ c pF du
que integra da entre la s condiciones de la pa red T = TpF , u = 0 y las del borde de la su bcapa viscosa T = T1, u = u 1 proporciona:
TpF - TF = - Pr
q* 0 τ 0 c pF u1
P a r a la subcapa turbu lenta supone que ν << εm,
α << εc y si εm y εc son del mismo orden εm= εc= ε, se
obtiene:
τ q*
=
τ0 q *0
= -
εm εc
du c F dT
du = c F dT
que integrada entre los límites,
u u
⇒
q* 0 dT = τ 0 c F du
= u 1 , T = T1 = u F , T = TF
proporciona la diferencia de temperat ura s entr e el borde de la ca pa límite y el borde de la subca pa turbulenta:
T1 - TF =
q* 0 τ 0 c pF ( u F - u 1 )
y suma da a la obtenida a nteriormente TpF - T1, permite obtener: q* 0 TpF - TF = τ 0 c pF Pr u 1 +
q* 0 τ 0 c pF ( u F - u 1 ) =
q* 0 uF τ 0 c pF { 1 +
XIII.-222
u1 ( Pr - 1)} uF
Como el coeficiente de transmisión de calor h C y el fa ctor de fr icción λ pa ra el flujo por el int erior del tubo, son de la forma :
q* 0
= h C ( TpF - TF )
;
τ0 = λ
ρ u 2F 8
sustit uidos en la ecua ción an terior, se obtiene finalment e:
hC
= λ8
ρ cF 1 +
uF
u1 ( Pr - 1) uF
;
St =
ρ
hC = c F uF
λ 8 { 1 +
u1 ( Pr - 1)} uF
La velocida d u 1 del borde de la subca pa viscosa , se determina con a yuda de la ley de distribución de velocidades para flujos turbulentos, mediante, por ejemplo, la siguiente ecuación empírica:
τ0 ρ
=(
u1 2 ) = 5
λ u 2F 8
;
u1 = 5 uF
λ 8
por lo que el número de St queda finalmente en la forma :
St =
λ
1
8
λ
1 + 5
8
(Pr - 1)
que se reduce a la a na logía de Reynolds ha ciendo P r = 1.
XIII.4.- ANALOGÍA DE VON KÀRMÀN Von Kà rmà n a mplió la a na logía de P ra ndtl, dividiendo el ca mpo de flujo en tr es subcapas diferentes,
viscosa, de tr ansición y tur bul enta . Hizo suposiciones simila res a la s de Pr a ndt l sobre las ma gnitud es relat ivas de las difusividad es molecula res y tur bulenta s del calor, y de las va ria ciones de la cant ida d de movimiento en la subcapa viscosa y en la zona tur bulenta , incorpora ndo ad emás los efectos de la subcapa de tra nsición, considera ndo que las difusivida des molecula r ν y turbulenta
εm de esta
subcapa , era n del mismo orden de magn itud. La a na logía de Kà rmà n entre la tra nsferencia de calor y la cant idad de movimiento en un flujo tur bulento, dentro de un t ubo circula r, se expresa por la siguient e ecua ción: St =
Nu = Re Pr
ρ
hC λ = cF u F 8
1 1 + 5
λ {(Pr 8
5 Pr + 1 - 1) + ln } 6
1 + 5
XIII.-223
λ=
4 Cw
=
Cw 2
=
que da muy buenos resulta dos par a valores de P r < 30.
=
Cw 5 Pr + 1 } {(Pr - 1) + ln 2 6
Si, C w =
0,0576 5
, resulta:
Re x 0,8
Nu x =
0,0288 Re x
Pr
{(Pr - 1) + ln 1 + 0,849 Re -0,1 x
5 Pr + 1 } 6
Para un flujo totalmente desarrollado hidrodinámicamente el valor del coeficiente de rozamiento λ se obtiene del diag ra ma de Moody, o de las ecuaciones que lo definen, de la forma :
ε = d
P a r a t u b er a s l is a s ,
λ
= 0, 3164 Re -0,25 1
λ
2000 < Re < 105 Blasius
;
Re λ ) 2,51
= 2 log 10 (
0
Re > 10 5
;
1ª E c . d e K à r m à n -P r a n d t l
P a r a t u b er í a s r u g os a s :
ε 1
= 2 log 10 (
λ 1 1
d
= 2 log 10
λ
ε
λ
Re
d + 1, 74 2ε
= 2 log 10
λ
2, 51
d + 3,71
+ 1,14
λ
;
λ=
; ;
)
λ=
f (
f (
= f ( Re ,
ε)
d
ε)
d
ε)
d
Colebrook -Whit e
2ª E c . d e K à r m à n -P r a n d t l Nikuradse
XIII.5.- ANALOGÍA DE COLBURN Colburn modifica la ecua ción de la a na logía de Reynolds, por otra de la forma :
St =
λ 2 Pr 2/3
,
(par a tubos)
;
(par a placas) ;
0 , 7 < Pr < 160 ; Re > 10.000 0,7 < Pr < 160 ; Re > 3, 5.10 5
Como la ma yor resistencia a la t ra nsmisión de calor procede de la ca pa de fluido que se mueve en régimen tu rbulento, la s propieda des del fluido se toma n a la t empera tur a m edia de película, q ue representa fielmente las propiedades física s de esta capa. P ar a tubos lisos, el número de Sta nton es de la forma : St =
λ 2 Pr
2/3
=
λ=
0,046 Re
-0 ,2
=
0, 023 Re Pr
-0 ,2
2/3
=
hC
ρ cF uF
=
Nu Re Pr
y el nú mero de Nusselt como: Nu = 0,023 Re 0 ,8 Pr 1 /3
que es casi idéntica a la de Dittus-Boelter, no especificando si se trata de un calentamiento o un enfriamiento. XIII.-224
Fig XIII.11.- Diagrama de Moody
XIII.-225
P a r a , Re > 10. 000, la relación
L no influye en los fluidos que se ca lient a n. d
Para tener en cuenta el efecto de las variaciones radiales de la viscosidad debidas al gradiente de tempera tur a (pared calefactora -fluido), se introduce el factor a dimensiona l, (
ηF η pF
)0 ,14 , q u e s e u t i -
liza única mente cuan do la viscosidad va ría ma rcada mente con la tempera tura , tomando la ecua ción que determina el valor de h C la siguiente forma : h C = 0, 023
η F 0 ,14 kF Re0 ,8 Pr 1 /3 ( η pF ) d
Asimismo, la a na logía de C olburn d efine un fa ctor a dimensiona l
Ψ, función del número de Rey-
nolds, de la forma:
Ψ=
hC cF G
(
cF k
η
2/3
)
= 0,023 (
di G
η
-0,2
)
que se utiliza en gra n nú mero de ecuaciones empírica s. Con carácter aproximado se puede tomar,
Ψ= λ 8
XIII.6.- ANÁLI SIS DIME NSIONAL TEOREM A DE BUCKINGH AN.- E l T eorema de Bu ckin ghan establece que en un problema físico en el que se tienen
va n
ria bles linealment e independientes, que incluye
bles se pueden agrupar en (n-m) parámetros
π adimensionales,
dimensiones, m
las varia-
linealmente independientes.
Alguna s de las va ria bles que pueden intervenir en un determina do fenómeno son: F , fuerza ; L, longitud ; u, velocidad ;
ρ
densidad ; η viscosidad dinámica ; g, gravedad ; c s velocidad del
sonido ; σ tensión superficial ; k F conductividad térmica del fluido ; c F calor específico a presión constante ; h C coeficiente de convección. L a s dimensiones son: Longitud L, ma sa M, tiempo t y temperat ura T. L a s fuerzas F pueden ser: F inercia (debida a un gradiente de presiones); F elástica ; F g r a v e d a d ; F viscosidad (rozamiento); F capilaridad (tensión superficial). S i A 1, A 2,..., A n son la s va ria bles considera da s, como presión, velocida d, viscosidad , etc., que se supone son esenciales a la hora de resolver un problema , podemos suponer vienen rela cionada s mediant e una expresión funciona l de la forma : F ( A 1 , A 2 , .. . , A n ) = 0
y si
π 1, π 2,..., π n-m ,
representan los parámetros adimensionales que agrupan a las variables A 1,
A2,..., An , que incluyen, entr e todas ellas, las m dimensiones, el Teorema de B uckingha n esta blece XIII.-226
la existencia de una ecua ción, función de estos pará metr os, de la forma : f ( π1 ,
π 2 , .. . , π n− m )
= 0
El método que permite obtener los parámetros
π consiste
en seleccionar m de las n var iables
Ai , la s cua les pueden t ener diferentes dimensiones, pero deben ser linealment e independientes, de forma que contengan entre todas ellas las
dimensiones, m
pudiéndose emplear como variables
repetitiva s a l combinarla s con la s va riables A restant es, formá ndose así cada pará metro adimensional
π.
P or ejemplo se puede suponer q ue A1, A2 y A3 cont ienen la s dimensiones (M, L, t ), ma sa , longitu d y t iempo, no necesar ia ment e en cada una de ellas, pero sí en forma colectiva . El primer parámetro
π a dimensional es, π 1
El segundo pa rá metro
π adimensiona l es, π 2
y a sí sucesivam ente hasta el pará metro
x
x
x
= A 11 A 22 A 3 3 A 4
π n−m
y
y
y
= A1 1 A2 2 A 3 3 A 5 z
z
z
= A 11 A 22 A 33 A n
Los exponentes de esta s ecuaciones se tienen que exam ina r de ta l manera que ca da pa rá metro
π resulte ad imensiona l; se sustit uyen la s dimensiones de la s va ria bles A i y los exponent es de M, L, t,... se igua lan a cero por sepa ra do, formá ndose un sistema de ecua ciones (tres par a el ejemplo propuesto), con t res incógnitas para cada pará metro por lo ta nto, los par á metros
π, pudiéndose deter mina r los exponent es
x , y , z , y
π corr espondient es.
ECUACI ÓN GENE RAL D E RESISTENCIA .- La s va ria bles que int ervienen en el movimient o de un sólido inmerso en un a corriente fluida se pueden r ela cionar mediant e la ecuación: F = f ( V0 , L , AL
ρ, η)
siendo la m a tr iz correspondient e de la forma : F/AL
V0
η
M
0
L 0
ρ
1
1
1
L
-1
1
1
-3
-1
t
-2
-1
0
0
-1
Si por ejemplo se eligen como va ria bles linealmen te ind ependient es V 0, L, ρ , su determinante es distin to de cero:
0 1 −1
0 1 0
−3 0 1
= 1
y como el núm ero de var iables
qu e n
interv ienen en el fenómeno es 5 y el númer o de dimensiones XIII.-227
m
es 3, resulta que el número de parámetros
π 1 = ( V0 ) x 1 π 2 = ( V0 ) y1
( L) x 2 ( ρ) x 3
( L ) y 2 ( ρ) y 3
η=
π a dimensiona les que se pueden forma r son 2, π1 y π2:
( L t -1 )x 1 ( L) x 2 ( M L-3 ) x 3 (M L-1 t -1 ) = = ( L )x 1 +x 2 -3x 3-1 ( M ) x 3 +1 ( t) - x 1 -1 =
( L ) 0 ( M ) 0 ( t )0
F = ( L t-1 )y 1 ( L ) y 2 ( M L-3 ) y 3 (M L-1 t-2 ) = AL
= ( L )y 1 +y 2 -3y 3-1 ( M ) y 3 +1 ( t) - y 1 -2 = ( L ) 0 ( M ) 0 ( t) 0 Los par ám etros
π1 y π2 proporciona n los siguientes sist ema s de ecuaciones:
x3 + 1 = 0 x1 + 1 = 0 x1 + x2 - 3 x3 - 1 = 0 y3 + 1 = 0 y1 + y2 - 3 y3 - 1 = 0 y1 + 2 = 0 F AL
= π2 ρ V02
=
1 (2 2
⇒ ⇒
x1 = -1
;
x2 = - 1 ;
y1 = -2
;
y2 = 0 ;
π 2 ) ρ V02
=
1 C 2 w
x 3 = -1 ;
y3 = - 1 ;
π1 =
π2 =
V0-1 L-1
V0-2
ρ −1
ρ −1 η =
Re -1
F AL
ρ V02
que es la forma que toma la ecua ción de resistencia , ya demostra da a nteriormente.
ECUACI ÓN GENERAL DE LA PERDI DA DE CARGA EN UNA CONDUCCIÓN CI LÍNDRI CA.- E n un condu cto de sección circula r la pérdida de presión debida a la fricción se conoce como pérdida de ca rga P, que multiplica da por la sección t ra nsversa l AT tiene que ser igual a la pérdida por fricción F, o fuerza de arra stre, en la forma :
F
2 = P π 4d
1 ( 8 P = 2d
=
1 ( 2 2
π2) ρ
V02
π2 ) ρ V02 L=
AL =
λ ρ V02 2d
L
1 C 2 w
=
8
ρ V02 π d L
ρ Cw
V02 L
2d
en la q ue el va lor de λ se determina median te formu lación empírica o á ba cos y diagra ma s, de entre los que desta ca el diagr a ma de Moody.
M ÉTODO BÁSI CO DE AN ÁLI SI S DI M ENSIONA L.- Consiste en reducir a l mínimo el número de va ria bles que pueden intervenir en un problema , forma ndo con las misma s una serie de grupos a dimensiona les independient es. En este método toda s las ecua ciones ra cionales se pueden ha cer a dimensiona les con un ciert o número de términos independientes; la s va ria bles se a comodan en una ecua ción dimensional única, de forma que la combina ción de va ria bles par a forma r grupos o términos a dimensiona les, proporciona un número de gr upos independient es siempre menor que el de variables originales. E l proceso se puede inicia r ident ifica ndo sólo aq uella s va ria bles que son significa tiva s del problema; después se agrupan en una ecuación funcional y se determinan sus dimensiones. XIII.-228
Como aplica ción directa del método, vamos a ha cer un estudio inicia l de la t ra nsmisión de calor desde un t ubo cilíndrico a un fluido que circula por su in terior en régimen t urbu lento. Si se consider a un flujo en convección forza da , y qu e el tu bo est á limpio y sin incru st a ciones, los coeficientes de película h C se determina n experiment a lmente como función d e un cierto número de fa ctores que representa n la s cara cterísticas diná micas del flujo y la s propiedades física s del fluido. El frotamiento del fluido supone un intercambio de energía entre el mismo y la superficie interna del tubo, mientra s que la tr a nsmisión de calor por convección forza da supone un int ercambio de energía térmica entre la superficie del tubo y el fluido; a mbos fenómenos dependen d el gra do de turbulencia del fluido. En general el frota miento de un fluido en circulación forza da depende de los siguientes fa ctores:
a) Di ámetro i nterior del tu bo d i ; b) L ongitu d del tu bo L ; c) Velocidad media del f lu ido u F en el in ter- valo corr espondiente a la longi tud L ; d) Densidad del f lu ido
ρ ;
e) V iscosidad dinámica del flui do
η;
f)
Rugosidad relati va del tu bo ε/d i La tr a nsmisión de ca lor depende de la conductivida d k F del fluido y d e su ca lor específico a presión constante cF ; la d eterm ina ción del coeficiente h C de la t ra nsm isión de calor por convección forza da , se puede inicia r a par tir de la ecuación: Q AL
∆T
= hC =
φ ( d i ,
uF ,
ρ, η,
L, k F , c F ,
ε di
)
que se puede poner ta mbién en la forma : F ( d i , u F ,
ρ, η , L , k F , c F , dε
)= 0
i
y qu e adimensionalment e puede expresarse por la m a tr iz que se indica a continua ción: di
uF
ρ
η
L
k F
cF
hc
Masa M
0
0
1
1
0
1
0
1
Longitud L
1
1
-3
-1
1
1
2
0
Tiempo t
0
-1
0
-1
0
-3
-2
-3
Temperatura T
0
0
0
0
0
-1
-1
-1
de 7 va ria bles y cuyo discrimina nt e es de ra zón 4, por lo que ha brá que especifica r de a nt ema no el valor de 3 va riables cua lesquiera. El va lor de h C se puede expresar en la forma a dimensiona l siguiente: b hC = da i uF
ρc ηd Le kfF ciF
(M t -3 T -1 ) = ( L ) a ( L t-1 )b ( M L-3 )c ( M L-1 t-1 ) d (L ) e ( M L t -3 T -1 ) f ( L2 t -2 T -1 ) i =
= Identificando coeficientes se obtiene:
XIII.-229
M c+ d + f La+ b-3c-d + e+ f+ 2i t - b-d -3f-2i T - f-i
c+ d+ f= 1 a+ b- 3 c- d+ e + f + 2 = 0 b+ d + 3f + 2i = 3 f+ i = 1
qu e es un sist ema de 4 ecua ciones linea lment e independient es, con 7 incógnit a s, pudiéndose fijar 3 incógnit a s, por ejemplo (i, b, e) y poner la s otra s 4 en función de ellas, q ueda ndo: f= 1 - i d = 1 - c- f= i- c = 3 - b- 3 f- 2i= 3 - b- 3 + 3 i- 2i = - b+ i c= b a = - b + 3c + d- e- f- 2i = - 1 + b- e
por lo que: h C = d -1+b-e u Fb i
ρ b η -b+i
Le k 1-i c iF = ( F
d i -1 d i u F ρ b d i -e η c F i ) ( η ) ( L ) ( kF ) kF
que a su vez se puede poner en la forma : h C di kF
=
ϕ(
d i uF
ρ
,
η
di L
,
η cF kF
)
y que para la transmisión de calor por convección forzada, indica que si se efectúan una serie de pruebas q ue difiera n solament e en el va lor de la velocidad u F , con los valores que a sí se obtenga n, junto con los de h C medidos experimenta lmente, se pueden determ ina r la función o funciones que ligan a los grupos adimensiona les Re =
di u F
η
ρ
=
d i uF
ν
;
Nu =
hC di kF
;
Pr =
cF η kF
que sólo serán válidas para valores particulares de los demás grupos adimensionales; por lo tanto: Nu =
ϕ ( Re ,
Pr ,
di L
)
modelo que no a dmite cam bios de esta do en el fluido que circula; la formula ción desarr ollad a es muy a decua da para estudiar la influencia de la velocidad u F sobre el coeficient e de tr a nsm isión de calor por convección forzada h C de un sistema cua lquiera , pues estas dos va riables apar ecen una sola vez. El procedimiento norma l para determina r los exponentes (b, e, i) a par tir de da tos experimenta les consiste en igua lar el ca lor t ra nsmitido a l fluido por convección, con la va ria ción de enta lpía que experimenta por esta ca usa. Ca lor tr a nsmit ido al fluido por convección: Q = h C A L (TpF - TF ) XIII.-230
Varia ción de ent a lpía del fluido: Q = m c F ( Tsal - Tent ) = A T u F
ρ c F ( Tsal - Tent )
= G A T c F ( Tsal - Tent ) = G A T ( isal - i ent )
en la que:
G es la velocidad másica = 3600 u F ρ , Kg/m2 hora, viniendo u F en m/seg AT es el área de la sección transversal del tubo correspondiente al diámetro interior A L es el área de la superficie de la pared en contacto con el fluido Igualándolas se obtiene: hC = cFG
A T ( Tsal - Tent ) A L ( TpF - TF )
= St =
Nu Re Pr
El número de St a nton St se ca lcula a part ir de datos de Laborat orio mediant e la ecua ción a nterior. P a r a f lu idos que se cali entan en el in teri or de tubos , se aplica satisfactoriamente la ecuación de Ditt us-B oelter, de la forma : Nu = 0,023 Re 0 ,8 Pr 0 ,4
El n úmero de Pr a ndt l se define como la relación ent re las difusivida des molecular es ν y forma: Pr =
ν α
=
cF
α en la
η
kF
y el número de Nusselt, Nu =
hC kF
∆T ∆T
L =
hC L kF
como la relación entre el calor transmitido por convección y el transmitido por conducción, en la longitud L , siendo un número que tiene la misma forma que el de B iot, y d el que se diferencia en qu e la conductividad térmica k F es la del fluido.
XIII.-231
