Universidad Nacional Abierta y a Distancia Vicerrectoría Académica y de Investigación Anexo 1. Estudios de caso: Axiomas de Probabilidad
1. Descripción general del curso Escuela o Unidad Académica Nivel de formación Campo de Formación Nombre del curso Código del curso Tipo de curso Número de créditos
Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Profesional Formación interdisciplinar básica común Probabilidad 100402 Teórico
Habilitabl e
2
1
S i
☒ N o
☐
ESTUDIO DE CASO 1
1
En una universidad de Bogotá se realizó un informe sobre el rendimiento académico de los estudiantes que cursaron asignaturas en el área de matemáticas en el periodo 2015 - I. Los resultados obtenidos muestran el rendimiento por curso, por programa y por profesor. Datos: La base de datos incluye la compilación de la información reportada por los docentes del área, incluye 2755 registros de estudiantes inscritos en alguna de las asignaturas ofrecidas por el área. Los profesores reportaron la valoración (notas) de cada corte, y con ellas se hizo seguimiento durante el semestre. APROBÓ: Estudiantes que finalizaron el curso con una nota superior o igual a 3.0. REPROBÓ: Estudiantes que finalizaron el curso con una nota inferior a 3.0 sin contar a quienes ya perdieron por fallas, o fueron reportados por cancelación de semestre. CANCELO O PERDIO POR FALLAS: Estudiantes que perdieron por fallas, o fueron reportados por cancelación de semestre
Curso
Algebra lineal Análisis numérico Cálculo infinitesimal Calculo integral Cálculo multivariado Calculo negocios Ecuaciones diferenciales Estadística básica Estadística inferencial Matemáticas avanzadas Matemáticas discretas Pre cálculo
Cancel oo Tota perdió l por fallas 30 218 21 182 39 328 15 79 64 357 61 331
Aprob ó
Reprob ó
178 146 252 56 244 226
10 15 37 8 49 44
178
47
40
265
33 269
11 70
9 98
53 437
199
53
73
325
44 42
13 24
23 17
80 83
1 Tomado y adaptado de Roa, E. (2015) Informe de rendimiento Académico U.P.C..
2
Curso
Probabilidad TOTAL
Aprob ó
Reprob ó
6
8
1873
389
Cancel oo Tota perdió l por fallas 3 17 275 493 5
Programa
Aprobó
Reprobó
Cancelo o perdió por fallas
Total
Administración ambiental Admón. empresas Arquitectura Contaduría Economía Ing Mecatrónica Ing. Civil Ing. Financiera Ing. Sistemas Ing. Telecomunicaciones Negocios Internacionales Psicología Total
146 295 297 99 99 515 88 83 127 32 69 23 1873
15 44 53 23 19 118 20 29 26 9 21 12 389
21 41 71 19 24 154 27 22 53 15 33 13 493
182 380 421 141 142 787 135 134 206 56 123 48 2755
Profesor
Aprobó
Reprobó
Cancelo o perdió por fallas
Total
1 5 18 21 4 26 13 21 20 26 29
53 36 119 204 45 197 156 167 203 161 137
César r. Claudia v. Diana m. Ernesto s. Diego v. Eduardo m. Enrique p Fernando m. Gloria a. Jairo a. Javier b.
52 31 97 166 36 154 118 125 151 116 98
4 17 5 17 25 21 32 19 10 3
José c. Luz p. Marcela f. María a . Mario g Mercedes s. Oscar n. Patricia m. Ricardo o. Sandra m. Total
49 142 60 93 90 60 111 37 57 30 1873
9 23 19 27 16 15 48 14 31 37 389
16 44 21 37 46 27 45 22 46 5 493
74 209 100 157 152 102 204 73 134 72 2755
Con el propósito de evaluar el resultado académico en los cursos del área de matemáticas, a usted le han llamado para que ayude en el análisis de datos. Utilice su conocimiento de la probabilidad para ayudar a realizar el informe solicitado.
Prepare un informe en el que debe incluir como mínimo lo siguiente: 1. La probabilidad de que un estudiante apruebe un curso del área de matemáticas 2. La probabilidad de que un estudiante repruebe un curso del área de matemáticas. 3. Por cada profesor, establezca la probabilidad de que un estudiante apruebe un curso del área de matemáticas. 4. Clasifique los cursos del área de acuerdo a los resultados obtenidos. Establezca los criterios que utilizó y dé las razones de su elección.
5. Califique los profesores del área de acuerdo a los resultados obtenidos. Establezca los criterios que utilizó y dé las razones de su elección 6. En que programa hay mejores resultados. Establezca los criterios que utilizó y dé las razones de su elección ESTUDIO DE CASO 22 Los jueces del condado Hamilton (E.E.U.U.) procesan miles de casos al año. En la gran mayoría de los casos presentados, la sentencia permanece como se presentó. Sin embargo, algunos casos son apelados y en algunos de estos se revoca la sentencia. Una periodista del 2 Tomado y adaptado de Anderson, D., Sweeney D., Estadística para Negocios.Cengage Learning 2011
4
diario Cincinnati Times realizó un estudio de los casos manejados por los jueces del condado de Hamilton durante un periodo de tres años En la siguiente tabla se muestran los resultados de 182908 casos presentados a 38 jueces del Tribunal Penal, del Tribunal de Familia y del Tribunal Civil. Dos de los jueces (Dinkelacker y Hogan) no trabajaron en el mismo tribunal durante todo el periodo de tres años. El propósito del estudio es evaluar el desempeño de los jueces. Las apelaciones con frecuencia son resultado de errores cometidos por los jueces y el diario quería saber cuáles jueces estaban haciendo un buen trabajo y cuáles cometían demasiados errores. A usted le han llamado para que ayude en el análisis de datos. Utilice su conocimiento de la probabilidad y la probabilidad condicional para ayudar a calificar a los jueces. Tal vez pueda analizar la probabilidad de los casos que se apelaron y revocaron manejados en los diferentes tribunales
CASOS PRESENTADOS, APELADOS Y REVOCADOS EN LOS TRIBUNALES DEL CONDADO DE HAMILTON Juez Tribunal Penal Fred Cartolano Thomas Crush Patrick Dinkelacker Timothy Hogan Robert Kraft William Mathews William Morrissey Norbert Nadel Arthur Ney, Jr. Richard Niehaus Thomas Nurre John O’Connor Robert Ruehlman J. Howard Sundermann Ann Marie Tracey Ralph Winkler Juez Tribunal de Familia
Casos Presentados 3037 3372 1258 1954 3138 2264 3032 2959 3219 3353 3000 2969 3205 955
Casos apelados 137 119 44 60 127 91 121 131 125 137 121 129 145 60
Casos Revocados 12 10 8 7 7 18 22 20 14 16 6 12 18 10
3141 3089
127 88
13 6
Casos Presentados 5
Casos apelados
Casos Revocados
Penelope Cunningham Patrick Dinkelacker Deborah Gaines Ronald Panioto
Juez Tribunal Civil Mike Allen Nadine Allen Timothy Black David Davis Leslie Isaiah Gaines Karla Grady Deidra Hair Dennis Helmick Timothy Hogan James Patrick Kenney Joseph Luebbers William Mallory Melba Marsh Beth Mattingly Albert Mestemaker Mark Painter Jack Rosen Mark Schweikert David Stockdale John A. West
2729
7
1
6001 8799 2,970
19 48 32
4 9 3
Casos Presentados 6149 7812 7954 7736 5282 5253 2532 7900 2308 2798
Casos apelados 43 34 41 43 35 6 5 29 13 6
4698 8277 8219 2971 4975 2239 7790 5403 5371 2797
25 38 34 13 28 7 41 33 22 4
Casos Revocados 4 6 6 5 13 0 0 5 2 1 8 9 7 1 9 3 13 6 4 2
Prepare un informe con las calificaciones de los jueces. Incluya también un análisis de la probabilidad de la apelación y la revocación de casos en los tres tribunales. Como mínimo, su informe debe incluir lo siguiente: 1. 2. 3. 4.
La La La La
probabilidad probabilidad probabilidad probabilidad
de de de de
casos que se apelan y revocan en los tres tribunales que se apele un caso, por cada juez que se revoque un caso, por cada juez una revocación dada una apelación, por cada juez
6
5. Clasifique a los jueces dentro de cada tribunal. Establezca los criterios que utilizó y dé las razones de su elección.
ESTUDIO DE CASO 33 Con frecuencia es necesario hallar la probabilidad incondicional de un evento B, dado que un evento A ha ocurrido. Una de estas situaciones ocurre al hacer exámenes de selección, que solían estar asociados principalmente con exámenes médicos de diagnóstico pero que ahora están encontrando aplicaciones en varios campos de actividad. Los exámenes de esteroides en atletas, los exámenes caseros de embarazo y los exámenes para detectar sida son algunas otras aplicaciones. Los exámenes de selección se evalúan sobre la probabilidad de un falso negativo o un falso positivo y éstas dos son probabilidades condicionales. Un falso positivo es el evento de que el examen sea positivo para una condición determinada, dado que la persona no tiene la condición. Un falso negativo es el evento de que el examen sea negativo para una condición determinada, dado que la persona tiene la condición. Se pueden evaluar estas probabilidades condicionales usando una fórmula derivada por el probabilista Thomas Bayes, llamada el Teorema de Bayes. El teorema se utiliza para revisar probabilidades previamente calculadas cuando se posee nueva información y fue desarrollado por el reverendo Thomas Bayes en el siglo XVII. Se supone que una cierta prueba detecta cierto tipo de cáncer con probabilidad del 80% entre gente que lo padece, y no detecta el 20% restante. Si una persona no padece este tipo de cáncer la prueba indicará este hecho un 90% de las veces e indicará que lo tiene un 10% de ellas. Por estudios realizados se supone que el 5% de la Población padece este tipo de cáncer.
3 Tomado y adaptado de Pateiro B., Bioestadística 2011
7
Con base en esta información y usando el Teorema de Bayes, elabore un informe que como mínimo, debe incluir: (se sugiere elaborar un diagrama de árbol)
1. Probabilidad de que una persona tenga este tipo de cáncer: Probabilidad de que NO tenga este tipo de cáncer 2. Probabilidad de un falso positivo, es decir que el examen indique que la persona tiene cáncer dado que la persona no tiene la enfermedad 3. Probabilidad de un falso negativo, es decir, que el examen indique que la persona tiene cáncer dado que la persona no tiene la enfermedad 4. Probabilidad de que el examen indique que la persona tiene cáncer 5. Probabilidad de que la persona tenga cáncer dado que el examen indico que tiene cáncer 6. Probabilidad de que la persona NO tenga cáncer dado que el examen indico que NO tiene càncer 7. De acuerdo con las probabilidades encontradas, que tan confiable es este examen para detectar este tipo de cáncer ESTUDIO DE CASO 44 Un fabricante de reproductores de DVD compra un microchip en particular, denominado LS-24, a tres proveedores: Hall Electronics, Schuller Sales y Crawford Components. Los registros de la compañía muestran que el Veinticinco por ciento de los chips LS24 se le compran a Hall Electronics; el treinta por ciento a Schuller Sales y el restante, a Crawford Components. El fabricante cuenta con amplios historiales sobre los tres proveedores y sabe que 2% de los chips LS-24 de Hall Electronics tiene defectos, 4% de los de Schuller Sales también y6 % de los que vende Crawford Components son defectuosos. Cuando los chips LS-24 se reciben, se les coloca directamente en un depósito y no se inspeccionan ni se identifican con el nombre del proveedor. Un trabajador selecciona un chip para instalarlo en un reproductor de DVD y lo encuentra defectuoso. Como el fabricante no identificó los chips, no se está seguro de qué proveedor los fabricó. Con el propósito 4 Tomado y adaptado de Lind, D.,Marshall D., Estadística aplicada a los Negocios.McGraw Hill 2012
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de evaluar con que proveedor hay mayor probabilidad de tener chips defectuosos, usted ha sido llamado para que ayude en el análisis de datos. Utilice su conocimiento de la probabilidad y las aplicaciones del Teorema de Bayes para ayudar a realizar el informe solicitado. Prepare un informe en el que debe incluir como mínimo lo siguiente:
1.- Un diagrama de árbol que represente las probabilidades dadas (probabilidades a priori) y las probabilidades encontradas (probabilidades a posteriori) 2.- Probabilidad de que un chip este defectuoso 3- Probabilidad de que el chip este en buenas condiciones 4.- Si el chip seleccionado resulta defectuoso, debe encontrar la Probabilidad de que haya sido fabricado por cada uno de los proveedores 5.- Si el chip seleccionado está en buenas condiciones, debe encontrar la Probabilidad de que haya sido fabricado por cada uno de los proveedores
ESTUDIO DE CASO 55 En su excitante novela “Congo”, Michael Crichton describe la búsqueda de depósitos de diamantes azules cubiertos de boro llevada a cabo por Earth Resources Technology Services (ERTS), una compañía dedicada a estudios geológicos. Según ERTS los diamantes son la clave para una nueva generación de computadoras ópticas. En la novela ERTS compite contra un consorcio internacional por encontrar la cuidad perdida de Zinj, que prosperó dada la minería de diamantes hace varios miles de años (según la leyenda africana) y se ubica en lo más profundo de la selva tropical de Zaire Oriental. Después de la misteriosa destrucción de su primera expedición, ERTS lanza una segunda expedición dirigida por Karen Ross, una experta en computación de 24 años de edad, acompañada por el profesor Peter Eliot, un antropólogo; Amy, un gorila parlante; y el afamado mercenario y líder de la expedición, el “capitán” Charles Munro. Las acciones ofensivas del consorcio, la mortal selva tropical y las hordas de gorilas “parlantes” asesinos, que percibieron que su misión era defender las minas de diamantes, bloquean los esfuerzos de Ross para encontrar la ciudad. Para superar estos obstáculos Ross utiliza computadoras de la era espacial para evaluar las probabilidades de éxito en todas las circunstancias posibles y las acciones que pudiera llevar a cabo la expedición. En cada etapa de la expedición, ella evalúa rápidamente las probabilidades de éxito. 5 Tomado y adaptado de Anderson, D., Sweeney D., Estadística para Negocios.Cengage Learning 2011
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En una etapa de la expedición Ross recibe informes de su oficina principal en Houston, de que sus computadoras estiman que tiene 18 horas y 20 minutos de retraso en relación con el equipo competidor euro-japones, en lugar de 40 horas de ventaja. Cambia los planes y decide que 10 miembros de su equipo desciendan en paracaídas en una región volcánica cerca de la ubicación estimada de Zinj. Según el relato de Crichton, “Ross había vuelto a revisar las probabilidades de la computadora de Houston y los resultados eran inequívocos. La probabilidad de un salto exitoso era 0,8790; sin embargo, dado un salto exitoso, la probabilidad de éxito de la expedición era de 0,9483 con lo cual casi se aseguraba de que vencerían al consorcio” Sin olvidar que se trata de la cita de una novela, examine las probabilidades mencionadas y determine: 1. ¿Si fuera uno de los 10 miembros del equipo, cual es la probabilidad de completar su salto con éxito? 2. Si la probabilidad de que los 10 miembros del equipo tengan un salto exitoso es de 0.8790, cual es la probabilidad de que un solo miembro del equipo pueda completar el salto con éxito? 3. En el relato se afirma que: “esa probabilidad de 0,8790 significaba que había casi una posibilidad entre cinco de que alguien se hiera seriamente en un salto”. ¿Concuerda usted con esa afirmación? Si o no. ¿Por qué?
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