Fer n na n a d o u Hay muchos objetos que pueden representarse con una ecuación F ( x, y, ... ) = 0 . Por ejemplo, d S a y = x es una parábola y 3 x - 2 y = 1 es una en el plano la ecuación recta. En el espacio á m n la ecuación z = x + ey es un paraboloide de revolución y 3 x - 2 y = 1 es un plano. Todos estos El gr adie adiente nte como perpe perpendicular ndicular
r a
2
-
2
2
3
2
r
objetos están definidos por una función F . Para la primera parábola es t el paraboloide es F ( x, y , z ) = x 2 + y 2 - z = 0 .
x
E
Propiedad fundamental del gradiente. En cada punto P de un objeto F ( x, y, ... ) = 0 el vector gradiente e F ( P ) atraviesa al objeto perpendicularmente.
c F ( x, y ) = y - x 2 = 0 , y
h
e
z
F ( x, y , ... ) = 0
P
d Lógicamente, si se quiere atravesar F ( x, y , ... ) = 0 d perpendicularmente en otro punto Q habrá que tomar
-
F ( P )
D
e
a F (Q ) . el vector
p
F ( Q ) a
d
r a
Ejemplo. i Q t Para atravesar perpendicularmente la pará s 2 bola de ecuación y = x hay que proceder así: r se escribe el objeto F ( x, y ) = y - x 2 = 0 , cuyo e v gradiente es F ( x, y ) = ( -2 x,1 ) . En el punto 0, 0 ) hay que elegir el vector F ( 0, 0 ) = ( 0,1) P ( 0,0 y en el punto Q ( 1,1 ) el vector F ( 1,1 ) = ( -2,1 ) , como se muestra en el dibujo de la izquierda. s Q c Este proceso permite incluso calcular las rectas r e perpendicular y tangente en cada punto. Por ejemplo, en el punto Q ( 1,1 ) la recta perpendicular r es aquella que pasa por dicho punto y que tiene como vector director a ( -2,1 ) . La recta tangente pasa por ese punto pero su vector es perpendicular er al vector ( -2,1 ) , es decir, tiene como vector - director al vector ( 1, 2 ) . Así, la recta r es ì ï ï x = 1 + l ( -2 ) í ï ï y = 1 + l ( 1 ) î y, despejando l en ambas ecuaciones, se tiene x + 2 y = 3 . La recta tangente a la parábola que c pasa por el punto Q e es ì t ï ï x = 1 + l ( 1 ) e í ï y = + 1 l 2 ( ) z ï î s a a r c u que se puede escribir como 2 x - y = 1 . - i t d e á a Ejemplo. Una recta en el plano tiene como ecuación ax + by + c = 0 y es fácil calcular el vector m d e m e perpendicular: basta hacer el gradiente de F ( x, y ) = ax + by + c , que es F ( x e t , y ) = ( a, b ) . r a t dla recta 3 x - 5 y = 23 tiene como vector perpendicular a ( 3,-5 ) . M x Por ejemplo,
m
i
n
U
d e
M t a á t m
a i
r a
d u
a
m
r
F
e
n t o
n a n n a
d o S á n
h
x
E
D
e E d e o d t d n e a d i m s a t r r e a i v p e n D U
a
p a
Ejemplo. Un plano en el espacio Ax + By + Cz + D = 0 tiene como vector perpendicular a F ( x, y, z ) = ( A, B, C ) donde i s F ( x, y , z ) = Ax + By + Cz + D .
d
r t a ( A, B, C )
r
Esto permite e conocer rápidamente la ecuación de un plano conociendo su v vector perpendicular y un punto por el que pasa. Por ejemplo, un plano perpendicular al vector ( 3, -4,7 ) tiene como ecuación 3 x - 4 y + 7 z + D = 0 . El valor D se calcula si - Por ejemplo, si el plano contiene conocemos un punto del plano. s ⋅1 + 7 ⋅ 0 + D = 0 . al punto ( 1,1,0 ) entonces 3 ⋅ 1 - 4 c
i
n
U
e
n t o
Ax d e
M t a á t e m
a i
m
+ By + Cz + D = 0
1
U D n e i p v a e r r t a s i m d a e n d t o d e d E e x M t r a e t m e m a á d t i u c r a a s
Fer na n d o u Esta propiedad de perpendicularidad conocer el ángulo de d del vector gradiente permite además S a corte entre objetos. Para ello sólo hace falta saber la ecuación de cada á uno de los objetos y el m n punto (o los puntos) de e corte. El gr adiente como perpendicular
r a
-
r
c
En cada punto t de corte P de los objetos F ( x, y ,... ) = 0 y G ( x, y ,... ) = 0 el ángulo de corte es e el mismo que forman los vectores F ( P ) y G ( P ) .
h
x
E Ejemplo. La gráfica de la función sen x y el eje X se
z
cortan en el punto P ( p, 0 ) formando un ángulo a que e se puede d calcular. Para ello hay que escribir las ecuaciones de ambos objetos. La gráfica de sen x tiene como a P e y = sen x , es decir, F ( x, y ) = sen x - y = 0 . ecuación d a El eje X a tiene como ecuación G ( x, y ) = y = 0 .En ese punto de i corte, el ángulo que se forma es el ángulo que t s gradientes en dicho punto. Con lo cual, sólo hay que saber determinar forman los vectores qué r vectores son esos. Como F ( x, y ) = ( cos x, -1 ) y G ( x, y ) = ( 0,1 ) , entonces e F ( p, 0 ) = ( v -1, -1 ) y G ( p, 0 ) = ( 0,1 ) y así ( -1) ⋅ 0 + ( -1 ) ⋅1 1 p = arccos = a = ( ( -1, -1 ) , ( 0,1 ) ) = arccos ( -1, -1 ) ⋅ ( 0,1 ) 4 2 -
D
p
d
r a
m
i
n
U
d e
M t a á t e m
e
n t o
Ejemplo. Calcular el ángulo s de corte de la gráfica de la función e x y la recta y = 1 . Calcular las c rectas perpendicular y tangente a la gráfica de e x en ese punto de corte. -
a i
Se trata de calcular el ángulo de corte entre los objetos
a
P
a
m
e r t
s a a c r u i t d á a m e m e t r a t M x e E d e o d t d n e a d i m s a t r r e a i v p e n D U
se tiene
x
E
er El punto de corte es la solución al sistema -
r a
d u
F
x ì ï ï F ( x, y ) = e - y = 0 í ï ï î G ( x, y ) = y - 1 = 0
na n
d o S á n es decir, el punto P ( 0,1) . Como ì e x - y = 0 ï ï í ï ï î y - 1 = 0
(
)
F ( x, y ) = e x , -1 ,
ea = ( ( 1, -1) , ( 0,1 ) ) = arccos
c
1 ⋅ 0 + ( -1 ) ⋅ 1
( 1, -1) ⋅ ( 0,1 )
d La recta perpendicular a y = e x que pasa por el punto ( 0,1) es d a
h
G ( x, y ) = ( 0,1 )
= arccos
e
z
1 2
=
ì ï ï x = 0 + l ( 1 ) í ï ï î y = 1 + l ( 1 )
n
U
= s 0. es decir, la recta x - y + 1 -
a
r t a
m
e
n t o
d e
M t a á t e m
a c i
D
p
s y su ecuación queda como x + y = 1 . r La recta tangente en ese mismo punto es e
v i
4
e
ì ï ï x = 0 + l ( 1 ) í ï ï î y = 1 + l ( -1 )
d i
p-
2
U D n e i p v a e r r t a s i m d a e n d t o d e d E e x M t r a e t m e m a á d t i u c r a a s
Fer na n d o u Ejemplo. Las superficies z = x + y (paraboloide de revolución) y z = 2 (plano horizontal a d S a P (1,1,2 ) . Calcular el ángulo de corte. Determinar altura 2) se cortan en el punto á en ese punto el m superficie. n plano tangente a la primera e El gr adiente como perpendicular 2
r a
-
2
r
c
t
x
z = x 2 + y 2
E
z = 2
e
h
Para calcular el ángulo de corte sólo hay que ver e Como las cuáles son los vectores gradientes. z superficies son ì F ( x, y, z ) = x 2 + y 2 - z = 0 ï ï í ï ï î G ( x, y, z ) = z - 2 = 0 -
d d
D
P ( 1,1,2 )
e
entonces
a
d i
p a
r a
ì ï ï F ( x, y, z ) = ( 2 x, 2 y, -1 ) í ï ) ï î G ( x, y, z ) = ( 0, 0,1 t
s r
m
y se trata de calcular e el ángulo que forman los vectores gradientes F ( 1,1, 2 ) = ( 2, 2,-1) y G ( 1,1, 2 ) = v ( 0, 0,1) , y se obtiene un ángulo
i
narccos
U
( 2, 2, -1 ) ⋅ ( 0, 0,1 ) ( 2, 2, -1 ) ⋅ ( 0, 0,1 )
e
n 1 = arccos » 70 o t 3
d
M
e s , y , z ) = x 2 + y 2 - z = 0 en el punto P ( 1,1,2 ) es aquel El plano tangente a la superficie F x ( a c i t a á m 2 t F ( 1,1, e )= ( 2, 2,-1) y así la ecuación del plano es que es perpendicular al vector gradiente -
2 x + 2 y - z + D = 0
y el valor D se puede calcular pues el punto P ( 1,1,2 ) pertenece al plano, y así 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 - 2 + D = 0 .
u d a m e
r t
s a a c r u i t d á a m e m e t r a t M x e E d e o d t d n e a d i m s a t r r e a i v p e n D U
Fer na n d o 2 x + 2 y - z = 2 S á n
r a
El plano tangente es
-
c
h
x
E
e
z
e
-
d d
D
e
a
p a
d i
r t a
s r
m
e v i
n
U
-
d e
M
s a c i t a á t e m
e
n t o
3
U D n e i p v a e r r t a s i m d a e n d t o d e d E e x M t r a e t m e m a á d t i u c r a a s
