io de la Educación R.M. 0606-22-05-92” 0606-22-05-92” “Patrimon io
ÁNGULOS VERTICALES
Ejemplos 1.
Son aquellos ángulos representados en el plano vertical, se clasifican en:
Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación “”. Nos acercamos una distancia igual al doble de la altura del edificio y el ángulo de
CLASIFICACIÓN
elevación es ahora “”. Calcula: L = cot - cot. Solución:
ÁNGULO DE ELEVACIÓN Es aquel ángulo formado por la línea horizontal y la visual. La visual es una línea imaginaria que parte del observador hacia el objeto y que está por encima de la línea horizontal. OBJETO
Áng. de elevación L. Horizontal
OBSERVADOR
ÁNGULO DE DEPRESIÓN Es aquel ángulo formado por la línea horizontal y la visual. La visual es una línea imaginaria que parte del observador hacia el objeto y que está por debajo de la línea horizontal. OBSERVADOR
L. Horizontal
2.
Una persona colocada en el extremo superior de un muro de 2m de altura sobre el nivel de un lago se encuentra encuentra en, observa a un globo con un ángulo de elevación de 30º y a su imagen con un ángulo de depresión de 45º. ¿A qué altura sobre el nivel nivel del lago se encuentra el globo
Solución:
Áng. de depresión
OBJETO
Línea visual
Observador
Línea horizontal
3.
Línea visual
Donde: α: ángulo de elevación β: ángulo de depresión El ángulo formado por dos líneas de mira se denomina ángulo de observación o de visibilidad
Un barco y un avión viajan en la misma misma dirección. En la primera observación desde el barco ven al avión adelante y con un ángulo de elevación de 53ª, luego de cierto tiempo la segunda observación del avión desde el barco es con un ángulo de elevación de 37º. Si en ese instante desde el avión se observa a la posición anterior del barco con un ángulo de depresión “”, calcular cot si la velocidad del avión es tres veces la del barco.
Solución:
1
ÁNGULOS HORIZONTALES Es aquel ángulo representado en el plano horizontal.
ROSA NÁUTICA
5.
Es aquel gráfico que muestra las 32 direcciones notables, tomando como referencia los puntos cardinales Norte (N), Sur (S), Este (E) y Oeste (O). El menor ángulo formado por 2 direcciones contiguas mide 11°
Solución:
15’. NNO
N
Desde un punto situado al sur de un árbol de 15m de altura, se observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 60° y desde otro situado al este el ángulo de elevación es de 45°. Determina la distancia entre los puntos de observación.
NNE NE
NO ONO
ENE
O
E
OSO
ESE
N NNE
SO
NE
SE
SSO
S
SSE
NE 1/4N
NE 1/4E
ENE
E 1/4NE E
RUMBO Se denomina de esta manera al ángulo horizontal que forma la dirección de un punto respecto a otro tomando como referencia el eje Norte-Sur.
1.
El rumbo de A respecto de P es : N ° E El rumbo de B respecto de P es : S ° O RUMBO
a) 400 d) 450
N
2. A
O
P
b) 300 e) 500
c) 350
Una persona colocada a orillas de un río ve el extremo superior de un árbol, plantado sobre la rivera opuesta, bajo un ángulo de elevación de 60°, si se aleja 40m el ángulo de elevación es 30°. ¿Cuál es el ancho del río?
E
a) 10 3.
B S
Ejemplos 4.
Desde un helicóptero que vuela a 600m sobre el nivel del mar se miden los ángulos de depresión de dos buques que forman con el helicóptero un plano vertical, estando además a un mismo lado de él, obteniéndose 37° y 53°. Calcula la distancia entre los buques.
4.
Solución:
d) 25
e) 30
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
Desde cierto punto del suelo se observa la parte superior de un edificio con un ángulo de elevación “” y desde el punto medio de la distancia que separa el pie de la torre y dicho punto, la elevación angular es 90° - . Calcula tg. a)
2
c) 20
Desde un punto, ubicado a 36m de la base de un poste, se observa la parte superior de éste con un ángulo de elevación de 37°. ¿Cuánto se tendrá que avanzar para que el nuevo ángulo de elevación tenga una tangente igual a 0,9? a) 2
Un náufrago ubica un barco “A” en la dirección SO y otro barco “B” en un rumbo 15º al este del sur. Además el barco “A” observa al barco “B” en la dirección SE. Calcula la distancia entre los barcos, sabiendo que el náufrago se encuentra a 7 Km del primer barco.
b) 15
2
b)
2 /2
c)
3
5.
d) 3 / 3 e) N.A. Una antena de radio está sobre la azotea de un edificio. Desde un punto a 12m de distancia de la base del edificio los ángulos de elevación de la punta de la antena y de la parte superior son 53° y 37° respectivamente. Calcula la altura de la antena. a) 6m d) 9m
6.
c) 8m
2
c) 18 3
b) 12 6
d) 24
e)
16
15.
16.
acerca 20m el ángulo de elevación sería “ ”. Calcula la altura de la torre, si ademàs se sabe que : ctg - ctg =
8.
b) 80
Desde la parte superior e inferior de un muro se observa la parte superior de otro muro con ángulo de elevación de 37° y 45° respectivamente. Si el muro más alto mide 48m, entonces la altura del otro muro es:
9.
b) 12m e) 32m
c) 16m
ángulo de depresión de 60°, si dicho obstáculo dista 20 m de pie de la cima. Calcula la altura de la cima. d) 60 10.
17.
Desde lo alto de una cima se observa un obstáculo con un
a) 20m
b) 20
3
m
3
c) 60m 18.
e) 40m
3
Desde lo alto de un faro, se divisan dos barcos a un mismo lado del faro, con ángulos de depresión de 45º y 37º. Si la altura del faro es de 96m. ¿Cuál sería la distancia entre los barcos a) 4m d) 32m
b) 8m
12.
c) 16m
b) 4m e) 8m
Una persona sale de su casa y hace el siguiente recorrido: 37m hacia el norte. 40m al este. 108m al sur y finalmente 80 2 m en dirección NO. ¿A qué distancia de su casa se encuentra? b) 41 e) 50
c) 42
Desde un punto situado al sur de una torre, se observa su parte superior con un ángulo de elevación de 53° y desde otro punto situado al este de la torre el ángulo de elevación para su parte superior es de 30°, si la torre mide 12m; calcula la distancia que separa a ambos puntos de observación. a) 3
57
b) 4
d) 6
57
e)
c) 5
57
57
57
A las 8 a.m. un barco que navega en la dirección 53° al este del sur con una velocidad constante de 50 km/h, observa un faro en la dirección 53° al norte del este. A las 10 a.m. el faro se observa en el rumbo N20°O. Calcular la distancia en km del faro al barco en la primera observación (Tan 33° = 0.649) a) 64.9
b) 69.4
d) 96.4
e) 46.9
c) 94.5
La recta que une los puntos A y B está en la dirección E30°N de A y la distancia entre ellos es 12km. Un barco que navega en la dirección S30°E es visto desde A en la dirección NO a las 8a.m.. A qué hora cruza la recta que une los f aros (velocidad del barco 12km/h). b) 8:15 e) 8:14
c) 8:13
b) 2/3 e) 5/6
Un buque detecta a un faro en la dirección 20° al norte del este, luego avanza 173km con rumbo E50°N, desde donde observa nuevamente al faro pero ahora en la dirección E40°S. Calcula la distancia que separa esta vez el buque del faro. ( 3 =1,73)
a) 100km
b) 10 3 km
d) 100 3 km
e) 50km
20.
desde la parte más alta del cuarto piso el ángulo de depresión es “ ”. Calcula: “tg .ctg ”.
13.
c) 29
c) 12m
Desde la parte superior de un edificio de 6 pisos iguales el ángulo de depresión para un punto en el suelo es “ ” y
a) 1/2 d) 4/5
b) 20 e) 31
e) 64m
Desde un punto que se encuentra a 48m del pie de una torre el ángulo de elevación para la parte más alta es 45º. ¿Cuánto debe acercar dicho punto para que el nuevo ángulo de elevación sea 53º? a) 10m d) 16m
Un móvil parte con rumbo N20°E y recorre 20km, otro móvil parte del mismo punto con rumbo N70°O y recorre 21km. Calcula la distancia entre los móviles.
a) 8 d) 7 19.
11.
e) msec
c) mtg
c) 160
e) 40
a) 8m d) 24m
d) mctg
a) 40 d) 43
2
Desde de un punto en tierra se divisa lo alto de una torre con un ángulo de elevación “ ”. Si el observador se
0,25 a) 10 d) 240
b) mcos
a) 13 d) 30
Un árbol esta al pie de una colina cuya inclinación con respecto al plano horizontal es de 15°. Una persona se encuentra en la colina a 24 m de la base del árbol y observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 45° ¿Cuál es la altura del árbol? (en metros) a) 12
7.
b) 7m e) 10m
14.
a) msen
c) ¾
Una colina está inclinada con un ángulo ” ” respecto a la horizontal. A una distancia “m” del inicio de la colina y sobre ella se encuentra un objeto. ¿A qué altura se encuentra respecto a ala horizontal
Un barco que navega con rumbo N37°E observa al norte a un avión que vuela en la dirección oeste este. Luego de navegar 35km vuelve a observar el avión pero ahora hacia el este, con un ángulo de elevación de 16° y a : 100 3 km de distancia. Calcula el ángulo de elevación en la primera observación.
a) 15° d) 60°
2
c) 20 3 km
b) 30° e) 75°
c) 45°
2
2
