Angulos en Posicion Normal

Trigonometría – 5º de Secundaria

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL I 1. Sistem Sistemas as de Coorde Coordenad nadas as

cualquier del sistema; su longitud o módulo esta representado por “r”. y (a; b)

Rectangulares y

IIC

IC

+

r 

|b|

+

x

O

x

 – 

|a| IIIC

 – 

IVC

Donde: r : Longitud del Radio Vector  Donde: x : Ej Eje de de Ab Abscisas y : Eje de Ordena enadas IC : Pri Primer mer Cuadr Cuadran ante te IIC : Segundo Segundo Cuadra Cuadrante nte IIIC : Tercer Cuadrante Cuadrante IVC: Cuarto Cuadrante O : Ori Orige gen n del del Sist Sistem ema a

r 2 = a2 + b2

r 

+

3. Ángu Ángulo lo en po posi sici ción ón no norm rmal al Ubicación de un Punto

Es aquel aquel Ángul Ángulo o Trig Trigono onomé métr tric ico o cuyo cuyo vértice coincide con el origen del sistema bidimensional y su lado inicial descansa en el semiej semieje e positi positivo vo de las abscisas, abscisas, mientr entra as que que su lado ado final pued puede e encontrars arse en cualq alquiera era de los cuadrantes o coincidir con algún semieje en cuyo caso es llamado ángulo cuadrantal. y

y

P(a; b)

 b

a

x

Donde: x P : Punt Punto o del del Sist Sistem ema a Bidim Bidimens ensio ional nal a : Abs Absci cisa sa del del Punto unto P b : Or Ordena denada da del del Pun Puntto P (a; b): Coordenadas del Punto P

Donde: α , β ∧θ son las medidas de los ángulos en posición normal mostrados. L.I.: Lado Inicial L.F.: Lado Final

2. Radi Radio o Vec Vecto torr (r) (r) Es el segmento de recta dirigido (flecha) que que part parte e del del orig origen en haci hacia a un pun punto

1

PROF. EDWIN RONALD CRUZ RUIZ

Trigonometría – 5º de Secundaria

También son llamados ∢s en  posición canónica o estándar.

Sen csc

+

Tg

+

cot

Del siguiente gráfico definiremos las Razones Trigonométricas para un ángulo en posición normal los cuales son independientes del sentido de giro o el número de vueltas que pudiera realizar.

Positivas Todas

Cos

+

sec

Ejercicios Resueltos

y

(x; y)

01. Del siguiente gráfico calcular: E

10 sen

r 

12 cot

y

x csc

M.T .V. Ordenada

r  y

Abscisa M.R.V.

sec

M.R.V. Abscisa

r x

Ordenada Abscisa

cot

Abscisa Ordenada

x  y

sen

Ordenada M.R.V.

cos tg

(1; -3)

Solución: a) Con el par ordenado del dato calculamos “r”: r 2 = 12 + (-3)2 ⇒ r = 10 b) Reemplazamos las definiciones: E

4. Regla de Signos

C

IIC

IIIC

IVC

+ + + + + +

+ +

+ + -

+ + -

cos tg cot sec csc

3

12

10 ⇒

1 3

E=1

02. Indicar el signo resultante de la siguiente operación. E = sen130º . cos230º . tg330º

R.T. sen

10 .

E = -3 + 4

IC

x

θ

Solución IIC

IIIC

IVC

E = sen130º . cos230º . tg330º E= + . – . –

2

⇒ E= +

PROF. EDWIN RONALD CRUZ RUIZ

Trigonometría – 5º de Secundaria 03. Si θ ∈ III ¿En qué cuadrante está 2θ /3?

Solución

3.

Si θ ∈ III ⇒

180º < θ

120º < ∴

< 270º

θ  

60º <

θ  

3

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

< 90º

3 2

Calcular: cscα + cosβ

< 180º

Como .2θ /3. está entre 120º y 180º, entonces pertenece al: 4.

.II Cuadrante.

Del E

x

(1; -2)

θ ∈ IIC 5.

Práctica Dirigida 1.

5 sec

calcular:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

04. Indicar el cuadrante al que pertenece la medida angular “θ ” si: tgθ < 0 ∧ cscθ > 0

Solución tg θ = - { IIC ∧ IVC } csc θ = + { IC ∧ IIC }

gráfico y4 cot

Por el punto P( 2; 5 ) pasa el lado final de un ángulo en posición normal cuya medida es “θ ”. Calcular: “Sec θ ” a) -1/2 d) -4/3

b) -2/3 e) -3/2

c) -3/4

Del siguiente gráfico calcular: E

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10 sen

12 cot

6.

 y

x

θ

7 ) pasa el lado Por el punto Q( 2 ; final de un ángulo en posición canónica cuya medida es “α ”. Calcular: “ 7 csc ”.

a) 1 d) -3

b) 2 e) -2

c) 3

(1; -3) 7. 2.

Del E

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

gráfico 11 cos

calcular:

2 3

Si: sen Calcular:

E

IIIC 5 (tg

sec

)

6 2tg

a) -1 d) 2

y ( 3; 2 )

8.

x

3

Si:

cot

b) -2 e) 3

3

c) -3

IVC

2

PROF. EDWIN RONALD CRUZ RUIZ

Trigonometría – 5º de Secundaria Calcular: E a) 1 d) 4

21 sec

b) 2 e) 5

b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7 sen

c) 3

Tarea Si el punto P( 1; 3 ) pertenece al 6. lado final de un ángulo en posición canónica cuya medida es “α ” calcular: E = cotα + cscα

1. Si el punto P(-2; 1) pertenece al lado final de un ángulo en posición canónica cuya medida es “α ” calcular: E = 5Sen α . Cosα a) – 5 d) – 2

b) – 3 e) – 1

a)

c) – 4

d)

3 2 3 5

b) e)

3 3

c)

3 4

3 6

2. Del gráfico calcular E = 25senα + tgθ y (24; 7) a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 x e) 9 (-4; -8)

7. Si el punto A(3; -4) pertenece al lado final de un ángulo en posición estándar cuya medida es “α ” calcular: M = 6tgα + 5cosα .

3. Del gráfico calcular “tgθ ”

8.

(1-x; 2x)

a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5

a) -1 d) -4

y

5. M

Del 5 (sen

b) 2 e) 5

c) 3

x

9. Indicar el signo de cada expresión: I. sen100º cos200º II. tg190º cot320º III. sec200º csc350º

4. Del gráfico calcular: M = sen φ - 2cosφ + 3tgφ y 4 a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5

c) -3

Si: cosφ = 0,3 ∧ φ ∈ IIC Calcular: E = tg2φ + secφ a) 1 d) 4

17

b) -2 e) -5

-3

φ

gráfico cos

a) +, +, + d) -, -, +

b) -, -, e) +, -, -

c) +, +, -

x calcular:

y)

a) 1 x

(2; -1)

4

PROF. EDWIN RONALD CRUZ RUIZ