ANGULOS UNIDAD 2 FASE 3
ADRIANA MUNEVAR QUICENO CODIGO: 1.022.326.236
Tutor SAUL ENRIQUE VIDES
CURSO 551121_3
UNIVERSIDAD NACIONAL Y A DISTANCIA (UNAD) GEOMETRIA PLANA CEAD GIRARDOT VILLARRICA – TOLIMA MAYO 2017
Introducción
En este trabajo podemos ver la importancia que tiene el conocer acerca de la rama de la geometría, como bien sabemos es una parte fundamental para quien pretende seguir la labor de docente, más aún cuando se espera que la educación sea efectiva. Aquí se evidencia claramente el trabajo por medio del programa de geogebra, que nos permite realizar trazos exactos, y trabajar de una forma más sencilla siempre y cuando se conozca cómo manejar esta herramienta. El conocer los ángulos, los vértices y temas que aquí podemos encontrar nos permite medir y hallar con facilidades medidas y perímetros que sin duda alguna son importantes en tan importante labor.
DESARROLLO a. Consultar y explicar el significado de triángulo. Consultar los elementos de un triángulo. Rta/ El triángulo es un polígono de tres lados. El triángulo está determinado por tres segmentos de recta que se denominan lados, o por tres puntos no alineados llamados vértices. Los lados de un triángulo se escriben en minúscula, con las mismas letras de los vértices opuestos. Los vértices de un triángulo se escriben con letras mayúsculas. Los ángulos de un triángulo se escriben igual que los vértices.
b. (En Geogebra) Clasificar los triángulos según sus lados y según sus ángulos.
c. ¿Qué se entiende por perímetro y semiperímetro? Rta/ El perímetro es la suma de las longitudes de los lados de una figura plana y el semiperímetro de un polígono es la mitad de su perímetro. A pesar de que tiene una simple derivación a partir del perímetro, el semiperímetro aparece con bastante frecuencia en las fórmulas de los triángulos y otras figuras que se le da un nombre distinto. Por lo general, cuando es parte integrante de una fórmula, se lo denomina con la letra s. e. (En Geogebra) Encontrar el ángulo en el vértice de un triángulo isósceles si el ángulo exterior en dicho vértice es igual a 140°. Rta/
f. (En Geogebra) Un triángulo isósceles tiene un ángulo de 30° en vértice. ¿Qué ángulos forman las bisectrices de los otros dos ángulos?
Rta/
g. ¿Cuál es el menor ángulo que puedo ser formado en un triángulo rectángulo? Rta/ Cuando un triángulo dispone de un ángulo recto (que mide noventa grados), se lo clasifica como un triángulo rectángulo. Los otros dos ángulos del triángulo rectángulo siempre son agudos (miden menos de noventa grados).
i. (En Geogebra) Explicar los teoremas de igualdad de triángulos. Rta/ Criterios de igualdad en triángulos rectángulos. Determinar un triángulo significa decir cuánto miden sus tres ángulos y sus tres lados.
Para determinar de forma única un triángulo cualquiera, ya vimos que se necesitan tres datos y al menos uno de ellos debe ser un lado. En el caso de que el triángulo sea rectángulo ya se tiene un dato, que es que tiene un ángulo recto. Por tanto, basta con conocer dos elementos más, de los cuales uno debe ser un lado.
Primer criterio de igualdad de triángulos rectángulos Tener dos lados iguales. En caso de poder hacerse la construcción (siempre se debe cumplir la desigualdad triangular), esta será única puesto que los triángulos rectángulos no son nunca obtusángulos.
Segundo criterio de igualdad de triángulos rectángulos Tener un lado igual y un ángulo agudo igual.
j. En Geogebra) Demostrar el siguiente colorario deducido de los Teoremas de Igualdad de Triángulos: “Si un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es igual a un ángulo agudo de otro triángulo rectángulo, rectángulos son iguales”. Rta/
los
otros ángulos
agudos de
ambos triángulos
k. (En Geogebra) Definir y explicar el significado de Polígono. ¿Cuáles son los Elementos del polígono? Rta/ Un Polígono es la región del plano limitado por tres o más rectas que se cortan dos a dos. Al dibujar varios segmentos consecutivos obtendremos una línea poligonal. Un polígono es la región interior de una línea poligonal cerrada y no cruzada. Sus elementos son: los lados, los vértices y las diagonales. A la línea que lo rodea se la llama contorno del polígono. Las figuras pueden dividirse en dos grandes grupos: cóncavas y convexas. Ejemplo/
En el siguiente ejemplo se dibujó un polígono, el cual está constituido por 4 vértices; 4 ángulos y 4 lados; se debe tener en cuenta que un polígono puede tener n vértices, n ángulos y n lados; también está constituido por sus diagonales, el número de diagonales está dado por d= n(n-3)/2. Por lo que nuestro ejemplo tiene 2 diagonales.
l. A través de una tabla clasificar los polígonos según el número de lados (Sugerencia hasta el polígono de 12 lados). Relaciónalos con la suma de los ángulos internos, suma de ángulos externos, ángulos diagonales. Rta/
Aquí se puede observar el cálculo del perímetro de un polígono, debemos tener en cuenta que el perímetro de un polígono está dado por n*L; donde n es el número de lados del polígono y L la longitud de un lado. En nuestro ejemplo tenemos un polígono de 12 lados, un lado mide 4,5 cm, por lo tanto su perímetro mide 54 cm.
m. ¿Cómo se llama el polígono que tiene todos sus lados y ángulos iguales? Rta/ se llama polígono regular.
n. Si un polígono tiene 𝑛 lados, ¿cuántos vértices tendrá? ¿cuántos ángulos tendrá?
Rta/ Si n es el número de lados entonces: suma de angulos interiores es = s= 180(n-2) suma de angulos exteriores es = S=360 y el número de diagonales que pueden trazarse desde un vertice es = d= n-3
o. (En Geogebra) Si un polígono regular tiene 12 lados y cada lado mide 4,5 𝑐𝑚. ¿Cuánto mide su perímetro? Rta/
Rta/ si cada lado mide 4,5 lo multiplicamos por la cantidad de sus lados, que son 12 esto daría como resultado 54 4.5x12=54
p. Decir el nombre de los polígonos siguientes de acuerdo con el número de lados: 3 lados, 4 lados, 5, lados, 6 lados, 7 lados, 8 lados, 9 lados, 10 lados, 11 lados, 12 lados y 20 lados. RTa/ CANTIDAD
NOMBRE DEL
DE LADOS
POLIGONO
3
Triángulos
4
Cuadriláteros
5
Pentágonos
6
Hexágonos
7
Heptágonos
8
Octágonos
9
Eneágonos
10
Decálogos
11
Endecágono
12
Dodecágono
20
Icoságono
q. Si la suma de los ángulos exteriores de un polígono regular es igual a la suma de los ángulos interiores de dicho polígono ¿Cuántos lados tiene? Rta/ en el caso que el polígono tuviese 10 lados Si sabemos que la suma de los ángulos externos de un poligono es de 360° y que la suma de los ángulos internos se calcula con ΣAng int = 180(n -2) podemos contruir esta ecuación
6 / 1 = [ 180 (n - 2) ] / 360
360 * 6 = [ 180 (n - 2) ] * 1
2160 = 180 * (n - 2)
2160 / 180 = n - 2
12 = n - 2
n = 12 - 2
n = 10
Como son 10 lados decimos que se trata de un decágono.
Respuesta: Decágono.
r. (En Geogebra) ¿Cuál es el número de diagonales que se pueden trazar en un eneágono? Rta/ Un eneágono tiene 27 diagonales, resultado que se puede obtener aplicando la ecuación general para determinar el número de diagonales de un polígono, D=n(n-3)/2; siendo el número de lados n=9, tenemos: 𝐷=
9(9 − 3) 27 2
s. ¿Cuál es el polígono que se pueden trazar 90 diagonales en total? Rta/ el Pentadecágono es el que tiene 90 diagonales , resultado de la ecuación general así: 𝐷=
𝑛(𝑛 − 3) 2
Teniendo en cuenta que si el números de lados es n=15 tenemos
𝐷=
15(15 − 3) 90 2
t. (En Geogebra) ¿Cuál es la diferencia entre un polígono cóncavo y un polígono convexo? Rta/ Un polígono es convexo cuando carece de ángulos interiores mayores de 180º y es cóncavo cuando tiene un angulo interior mayor de 180º.
u. Definir y explicar el significado de cuadrilátero. Consultar las propiedades de los cuadriláteros. Rta/ Es un polígono de cuatro lados y cuatro vértices.
Los cuadriláteros tienen dos diagonales.
Las diagonales de un cuadrilátero se cortan si y solamente si es convexo.
La suma de la medida de los ángulos de un cuadrilátero ABCD convexo es 360º o 2π radianes.
A+ B+ C+ D=360
Todo cuadrilátero simple puede expresarse como la unión de dos triángulos con lado común que es una de las diagonales.
En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia la suma de la medida de sus ángulos opuestos es igual a 180º.
Sea ABCD un cuadrilátero inscrito en una circunferencia de diámetro AB, entonces las proyecciones de los lados AD y BC sobre la recta CD son iguales.
El área de un cuadrilátero inscrito se obtiene con la fórmula A=(p-a)(p-b)(p-c)(pd) donde a, b, c, d son los lados y p es el semiperímetro.
Si 2α es la suma de dos ángulos opuestos de un cuadrilátero circunscrito, A su área, a,b, c, d sus lados entonces cabe la fórmula A2 = (abcd)sen2α.
Si las diagonales de un cuadrilátero convexo lo divide en cuatro triángulos y los radios de la circunferencias inscritas en estos triángulos son iguales, entonces dicho cuadrilátero es un rombo.
Si se unen con cuatro segmentos los puntos medios de todos los lados de un cuadrilátero, entonces dichos segmentos forman un paralelogramo.
Si en el cuadrilátero ABCD los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos ABC, BCD, CDA, DAB son iguales, entonces dicho cuadrilátero es un rectángulo.
Si las diagonales de un cuadrilátero lo dividen en cuatro triángulos de igual perímetro, entonces el cuadrilátero original es un rombo.
Si un cuadrilátero está circunscrito entonces la suma de sus lados opuestos con iguales. AB+CD=BC+DA.
Para un cuadrilátero convexo se cumple ^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+4m^{2}} donde a,b,c, d son los lados; {d_{1},d_{2}},las diagonales y m, la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales.
También se verifica: d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}} donde d_{1},d_{2}} s on las diagonales y {1},m_{2}} son los segmentos que unen los puntos medios de lados opuestos.
v. (En Geogebra) Ubicar los elementos de un cuadrilátero Rta/ 4 vértices: puntos de intersección de los lados que conforman el cuadrilátero. 4 lados: segmentos que unen los vértices contiguos. 2 diagonales: segmentos cuyos extremos son dos vértices no contiguos. 4 ángulos interiores: el determinado por dos lados contiguos. 4 ángulos exteriores: el determinado por la prolongación de uno de los lados sobre un vértice y el contiguo en el mismo vértice.
w.
(En Geogebra) Clasificar los cuadriláteros, paralelogramos, trapecios y trapezoides.
Rta/ cuadriláteros Cuadrilátero cóncavo
Cuadrilatero convexo
Paralelogramos
Trapecios
Trapecio generico
Trapecio rectángulo
Trapecio isoceles
Trapezoides Romboide
(En Geogebra) Construir un cuadrado cuya diagonal sea de 4 cm. Rta/
Conclusión
Una línea recta es una figura geométrica en el plano formada por una sucesión de puntos que tienen la misma dirección. Dados dos puntos diferentes, sólo una recta pasa por esos dos puntos. Con líneas rectas podemos formar triángulos, cuadrados, rectángulos, en general todos los polígonos Los modelos más simples pueden constituirse con líneas rectas, por ejemplo un objeto en movimiento con aceleración constante puede hacerse con un línea recta donde la pendiente es la aceleración.
Bibliografia
hamorro, M.C. (2003). Didáctica de las Matemáticas. Pearson Educación.
Dickson, L., Brown, M. y Gibson, O. (1984). El aprendizaje de las matemáticas. Traducción al español. Ministerio de Educación y Ciencia (1991). Labor.
Ilustración. Referencias bibliográficas y electrónicas. Fuente: Intef.
Godino, J., Batanero, C. y Roa, R. (2002). Medida de magnitudes y su didáctica para maestros. Proyecto Edumat-Maestros. Febrero, 2002.
Moreno, F., Gil, F. y Frias, A. (2001). Área y volumen. En E. Castro (Ed.). Didáctica de las Matemáticas en la Educación Primaria (p. 503-532). Madrid: Síntesis.
Unidad 3: Fase 4 - Círculo y Circunferencia
ADRIANA MUNEVAR QUICENO CODIGO: 1.022.326.236
Tutor SAUL ENRIQUE VIDES
CURSO 551121_3
UNIVERSIDAD NACIONAL Y A DISTANCIA (UNAD) GEOMETRIA PLANA CEAD GIRARDOT VILLARRICA – TOLIMA MAYO 2017
Introducción
Desarrollo
¿Qué se entiende por razón y proporción?. Explicar las propiedades de las proporciones. Rta/ RAZÓN Una razón es una comparación entre dos o más cantidades. Puede expresarse mediante una fracción. Si las cantidades a comparar son a y b, la razón entre ellas se escribe como: a: b,a /b ó a/b y se lee “a es a b
Como la razón aritmética de dos cantidades no es más que la resta indicada de dichas cantidades, las propiedades de las razones aritméticas serán las propiedades de toda suma o resta. Primera propiedad Si al antecedente se le suma o resta una cantidad la razón aritmética queda aumentada o disminuida dicha cantidad. Primer caso (con la suma) Sea la razón aritmética 7 a 5 es igual a 2:
7-5=2\7.5=2
Si le sumamos al antecedente el número 4 (aclaramos que puede ser cualquier número) entonces tendríamos (7+4)-5= 6. Como se observa la respuesta de la razón aritmética original (7-5=2), después de sumarle 4 al antecedente ((7+4)-5= 6) la respuesta queda aumentada en dicha cantidad. Segundo caso (con la resta) Sea la razón aritmética 18 a 3 es igual a 15: 18-3=15\ ó 18.3=15 Si le restamos al antecedente el número 2 (aclaramos que puede ser cualquier número) entonces tendríamos (18-2)-3= 13. Como se observa la respuesta de la razón aritmética original (18-3=15), después de restarle 2 al antecedente ((18-2)-3= 13) la respuesta queda disminuida en dicha cantidad. Segunda propiedad. Si al consecuente de una razón aritmética se suma o se resta una cantidad cualquiera, la razón queda disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo en la cantidad de veces que indica dicho número. Primer caso (sumando una cantidad cualquiera al consecuente) Sea la razón aritmética 45 a 13 es igual a 32:
Si le sumamos al consecuente el número 7 (aclaramos que puede ser cualquier número) entonces tendríamos 45-(13+7)=25. Como se observa la respuesta de la razón aritmética original (45-13=32), después de sumarle 7 al consecuente 45-(13+7)=25) la respuesta queda disminuida en dicha cantidad es decir de 32 paso a ser 25. Segundo caso (restando una cantidad cualquiera al consecuente) Sea la razón aritmética 36 a 12 es igual a 24: Si le restamos al consecuente el número 3 (aclaramos que puede ser cualquier número) entonces tendríamos 36-(12-3)= 27. Como se observa la respuesta de la razón aritmética original (36-12=24), después de restarle 3 al consecuente (36-(12-3)= 27) la respuesta queda aumentada en dicha cantidad es decir de 24 paso a ser 27.
PROPORCIÓN Una proporción es la igualdad de dos razones.
Propiedad 1: en toda proporción, la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su consecuente, como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su consecuente. a= c → a+b =c+d b d b d a= c → a-b = c-d b d b d Propiedad 2 : en toda proporción , la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su antecedente , como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su antecedente . a= c → a+b=c+d b d a c a= c → a-b= c-d b d a c Propiedad 3 : en toda proporción, la suma entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a la diferencia entre los mismos , como la suma entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a la diferencia de los mismos . a= c → a+b = c+d b d a-b c-d
Serie de razones iguales: una serie de razones iguales es una igualdad entre dos o más razones. a= c =e = m b d f n Propiedad 4 : en toda serie de razones iguales la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes , como uno de los antecedentes es a su consecuente . a = c = e = m = a + c + e+ m b
d
f
n
b+ d + f+ n
¿Qué significa cuarta proporcional, tercera proporcional y media proporcional? Poner un ejemplo de cada significado.
Rta/ Cuarta proporcional: Es uno cualquiera de los términos de una proporción. Para calcularlo se divide por el opuesto, el producto de los otros dos términos. 2 4 = 𝑥 10
𝑥=
2.10 4
𝑥=5
Tercera proporcional: En u n a p r op o r ci ón c on ti n u a , s e d en omi n a te r c e r o pr op o r ci on al a ca da u n o d e l os t é r mi n os d e si gu al es .U n t e r c e r o pr op o r ci on al e s i gu a l al cu a dr ad o d e l os té rmi n os i gu al e s , di vi di do p o r el té rmi n o d esi gu al .
𝑥 6 = 6 12
62 𝑥= =3 12
Media proporcional: Un a p r o po r ci ón e s c on t i n u a si ti en e l o s d os m edi o s i gu al es. Pa ra cal cu l ar el m edi o p r op o r ci on al d e u n a pr o po r c i ón co n ti n u a s e e xt ra e l a r aí z cu ad rad a d el pr o du c t o d e l os e xt r em o s.
3 𝑥 = 𝑥 12
𝑥 2 = 3.12
𝑥 = ±√36
𝑥 = ±6
C. ¿Qué significa serie de razones iguales? Proponer dos ejemplos. ¿Qué significa Razón de dos segmentos? Proponer dos ejemplos.
Rta/ Se llama Serie de Razones Iguales a la igualdad de dos o más razones. Esto es, en
símbolos: Sean 𝑎 𝑏 , 𝑐 𝑑 , , 𝑒 𝑓 , 𝑔 ℎ ,…. , 𝑚 𝑛 razones; entonces 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 = 𝑒 𝑓 = 𝑔 ℎ = ⋯ = 𝑚 𝑛 es una Serie de Razones Iguales . Observación: Una proporción es una serie de dos razones iguales. Ejemplos Las razones 10/6 Y 15/9 forman una serie de razones iguales porque al simplificarlas resulta la razón 3/5, por lo tanto se tiene que 3/5 = 10/6 =15/9
Razón de segmentos: Para calcular la razón de dos segmentos basta con medir sus longitudes y dividirlas.
d. Consultar el antecedente y consecuente en una proporción cualquiera. Proponer dos ejemplos. Rta/ Razón es el cociente entre dos números o dos cantidades comparables entre sí, expresado como fracción. 𝑎 → 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑏 → 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒
Los términos de una razón se llaman: antecedente y consecuente. El antecedente es el dividendo y el consecuente es el divisor. a: antecedente o dividendo b: consecuente o divisor Te pongo un ejemplo: Sea la razón 8/4 8 es el antecedente y 4 el consecuente
e. Un número es igual a 275 veces otro número y la razón de estos dos números es de 7:12 (se lee de 7 a 12). Hallar dichos números.
Rta/
Encontrar la media proporcional entre 6 y 24. Encontrar la cuarta proporcional entre 3, 5 y 27.
Rta/ media entre 6 y 24 = 6: 𝑥 = 𝑥: 24 6.24 = 𝑥. 𝑥 144 = 𝑥 2 12 = 𝑥 12 es la media
Encontrar la cuarta proporcional entre 3, 5 y 27
3: 5 = 27: 𝑥 3𝑥 = 135 𝑥=
135 3
𝑥 = 45
g. ¿Para qué se utiliza la razón y la proporción en Geometría? Proponer dos ejemplos.
Ejemplo: Hallar la razón geométrica entre 57cm y 19cm. 57 − 19
3 La razón geométrica entre 57 cm y 19 cm es 3 cm.
Se le llama producto al resultado de una multiplicación. Ejemplo: 4 x 3 = 12 El producto es 12.
h. Consultar el Teorema de Thales y proponer dos ejemplos (En Geogebra). Rta/
𝑎1 𝑏1 𝑐1 = = = 2.5 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎1 𝑎 i. ¿Qué significa que un número sea conmensurable o inconmensurable? Rta/ Se llaman magnitudes conmensurables aquellas que se miden con la misma medida, e inconmensurables aquellas de las que no es posible hallar una medida común. Las líneas rectas son conmensurables en cuadrado cuando sus cuadrados se miden con la misma área, e inconmensurables cuando no es posible que sus cuadrados tengan un área como medida común.
j. Los lados no paralelos de un trapezoide miden 10 y 15 unidades, respectivamente. Una recta paralela a las bases divide al lado de 10. Rta/
Bibliografia
hamorro, M.C. (2003). Didáctica de las Matemáticas. Pearson Educación.
Dickson, L., Brown, M. y Gibson, O. (1984). El aprendizaje de las matemáticas. Traducción al español. Ministerio de Educación y Ciencia (1991). Labor.
Ilustración. Referencias bibliográficas y electrónicas. Fuente: Intef.
Godino, J., Batanero, C. y Roa, R. (2002). Medida de magnitudes y su didáctica para maestros. Proyecto Edumat-Maestros. Febrero, 2002.
Moreno, F., Gil, F. y Frias, A. (2001). Área y volumen. En E. Castro (Ed.). Didáctica de las Matemáticas en la Educación Primaria (p. 503-532). Madrid: Síntesis.