ANGULOS ANGULOS EN LA LA CIRCUNFEREN CIRCUNFERENCIA CIA
Ángulo Central (del Centro) El vértice se encuentra en el centro de la circunferencia, sus lados son dos radios. La medida del n!ulo central es i!ual a la medida del arco com"rendido entre sus lados.
α
= AB
Ángulo inscrito Su vértice se encuentra so#re la circunferencia, sus lados son dos cuerdas. La medida del n!ulo inscrito es i!ual a la mitad de la medida del arco com"rendido entre sus lados.
α
=
AB 2
Ángulo semi-inscrito El vérti vértice ce se encu encuen entra tra so#r so#re e la circu circunf nfere erenci ncia, a, sus sus lados lados son una una tan! tan!en ente te u una cuerda. La medida del n!ulo semi$inscrito es inscrito es i!ual a la mitad del arco corres"ondiente a la cuerda.
α
=
AB 2
Ángulo interior El vértice se encuentra en el interior de la circunferencia, sus lados son dos se!mentos de cuerda. La medida del n!ulo interior es i!ual a la semisuma de las medidas de los arcos com"rendidos entre sus lados % las "rolon!aciones de los lados.
α
=
AB
+ CD 2
Ángulo exterior Su vértice es e&terior a la circunferencia, sus lados "ueden ser dos secantes, una tan!ente % una secante o dos tan!entes. La medida del n!ulo interior es i!ual a la semidiferencia de las medidas de los arcos com"rendidos entre sus lados.
α
=
AB
− CD 2
Actividades: Considerando Considerando a ' como centro de la circunferencia, circunferencia, determine las medidas de los n!ulos o arcos indicados.
() Arco *A mide +-. Ð / = ... +) A*
≅
B C*.
Arco C* 0 (+-
1)
∠
α
.
= 23°
∠ & 0...
A
β C
A
O α
Ð3 = ...
α
C
B
x
D
∠α =.......
4)
5)
∠α = ......
6)
∠β = .......
∠α = .......
61°
β
α
60°
81°
73° α
α
83° 80°
7)
∠ x = .......
∠
α
8)
∠β
=.......
9)
= ......
x 24°
45°
β
39°
α
87°
O
∠α = ........
71° 33° ∠
∠ γ = 76°, β
α = .....O
∠β
O
(() (() En la fi!ura los arcos α
(')
Si el
113°
36°
= .....
α =
α α
2x + 3
y
β cum"len2
y
β = ∠β
γ β
3x – 5.
= ..... ....... ....
12) ∠ x = ........ 26°. ∠ A"C x=
13) Arcos: CA = 118° y ! = D C
P
O 30°
20° B A
14) Arco
α =
1#8°. β
α
∠ γ = 52°. Arco γ
16) α
75°
146°
∠α =
β
15) ∠α =.....
β =.......
140°
.......
15°
∠β =
α
31°
∠α = .....
34°
17)
α
........ 8#°
A 46°
B
18) O
19)
C
O
Arco α = .............
52
x
170°
α
D
=...........
∠ x
Ejercicios tipo PSU: +') En la fi!ura, 4A % 4* son secantes al n!ulo A4* 0 1' ° % el n!ulo AO* 0 5' °, los n!ulos α % β miden res"ectivamente2 A 8
a) 1° % 1° #) (° % ° c) '° % +'° d) 1'° % 6'° e) Falta informaci7n
4
β O
C
α *
+() En la fi!ura, 8O 99 CA, A* es dimetro % O es el centro. El n!ulo 8OC 0 β, determine el n!ulo *O8. a) (:' $ + β #) ;' $ β c) +β d) β β e)
B
O
D
C
A
2
++) En la fi!ura si!uiente, si!uiente, se tiene un semic
d) e) 5'>
+1) En la circunferencia de centro O, OC ⊥ A*. Si ∠ α 0 ', entonces ∠ β 0 ? C
a) (5' #) (- c) (-' d) (1' e) (+'
β
α A B
O
SEGE!"#S P$#P#$C%#!A&ES' La ra@7n entre dos tra@os es el cuociente entre los nmeros Bue e&"resan sus lon!itudes, si se an medido misma unidad. EDem"lo2 Los tra@os AB % CD estn en la ra@7n de 1 2 6 , "orBue la unidad d ca#e 1 veces en AB % 6 veces CD .
en
B
A
la
d
C
D
en
8os tra@os son "ro"orcionales a otros dos, cuando la ra@7n Bue e&iste entre las dos "rimeras, es i!ual a la ra@7n entre las dos ltimas . a
b
c
d
EDem"lo2 Si se dan los 6 tra@os si!uientes2 a 0 6 cm c 0 - cm
# 0 + cm d 0 1 cm
La ra@7n entre los dos "rimeros tra@os es2 La ra@7n entre los dos ltimos tra@os es2
a b
=
4 2
= 2
c 6 = = 2 d 3
Se dice, entonces Bue los tra@os a % # son proporcionales con c % d, es decir 2
a b
=
c d
%%%$ U! "$A*# E! U!A $A*#! AA' Pro+lema: 8ividir un tra@o A* en un nmero cualBuiera de "artes i!uales. Soluci,n: Sea
, el se!mento. Lo dividimos en "artes i!uales. Se tra@a un ra%o indefinido AC Hl
A
eorema 2 En un tra@o AB e&iste un s7lo "unto C e&tremos A % * del tra@o , estn en una ra@7n dada.
B
C
cu%as distancias a los
EDem"lo2 8ado el tra@o
AC
Su"on!amos Bue
A
% sea C ese "unto.
AB
CB
=
C
3 4
Se dice en este caso Bue “C divide interiormente al trazo
AB
“ en la ra@7n 1 2 6.
P$#CE%%E!"# PA$A %%%$ U! "$A*# %!"E$%#$E!"E' Problema: 8ividir un tra@o AB interiormente en la ra@7n + 2 1. Solución: Sea AB el tra@o dado. 4or los e&tremos del se!mento L( % L+ tales Bue L ( 99 L+ Se ace2
AB
E
se tra@an
B
C
A
0 + unidades ar#itrarias BF 0 1 unidades ar#itrarias Se une E con F % se o#tiene el "unto C AE
L1 F L2
Resulta2
AC CB
=
2 3
eorema2 So#re la "rolon!aci7n de un tra@o AB , e&iste un s7lo "unto cu%as distancias a los e&tremos del tra@o estn en una ra@7n dada. A
B
C
Sea 8 el "unto dado en la "rolon!aci7n de
AB
. Su"on!amos Bue
Se dice Bue “D divide exteriormente al segmento
AB
AC BC
=
4 3
“ en la ra@7n de 6 2 1 .
P$#CE%%E!"# PA$A %%%$ U! "$A*# E."E$%#$E!"E' 4ro#lema2 8ividir e&teriormente un tra@o en la ra@7n de 1 2 + . Soluci7n2 Sea
AB
AE
BF
L2
E
F
el tra@o dado.
4or los e&tremos del se!mento L( % L+ tales Bue L ( 99 L+ Se ace2
L1
AB
AB
se tra@an
A
0 1 unidades ar#itrarias. 0 + unidades ar#itrarias.
Se une E con F % se "rolon!a asta interce"tar la "ro%ecci7n de Resulta2
D
B
AD DB
=
AF BE
=
AB
en 8.
3 2
DEFINICIN: 8ividir un tra@o arm7nicamente, es dividirlo interior % e&teriormente en una ra@7n dada
P$#CE%%E!"# PA$A %%%$ U! SEGE!"# A$/!%CAE!"E E! U!A $A*/! AA 4ro#lema2 ividir un tra@o dado
AB
, arm7nicamente, en la ra@7n de 2 1 .
Soluci7n2 L1
-
Se di#uDa el se!mento
-
En am#os e&tremos co"iamos so#re se!mentos "aralelos las lon!itudes % 1 dando ori!en a los "untos R % .
-
-
AB
.
S
Uniendo R % se determina el "unto 4 de divisi7n interior de AB As< ! P divide interiormente al trazo en la ra@7n 2 1 es decir 2
AP PB
=
L2
R
A
B
P
D
T
AB
5 3
-
En direcci7n o"uesta a
-
Se une R con S % se "rolon!a asta interce"tar la "ro%ecci7n de encontramos el "unto e&terior 8 .
-
BT
di#uDamos
As<, D divide exteriormente al trazo Lue!o , resulta 2
AP PB
=
AD BD
=
BS
AB
de lon!itud 1.
en la ra@7n 2 1 , es decir 2
AB
AD BD
=
en 8 %
5 3
5 3
E0E$C%C%#S I.
8ivide en la forma indicada 2
(.
8ivide el se!mento dado en cinco "artes i!uales
+.
8ivide interiormente el tra@o dado en la ra@7n
1 2
1.
8ivide e&teriormente el tra@o dado en la ra@7n
26
II.
8ivide arm7nicamente los se!mentos dados en la ra@7n dada2
6.
62
.
21
"E#$EA E "1A&ES t
"eorema 2: Si varias "aralelas determinan A
se!mentos i!uales en una de dos rectas transversales, determinan tam#ién se!mentos en la otra transversal. Es decir, se!n la fi!ura2
t’ A’
i!uales B
C
B’
C’
Si AA' 99 % si AB 0
t % tJ son dos transversales BC entonces A' B' = B' C'
CC'
"eorema 3: H "eorema de "4ales)
t
t’
A
Si varias "aralelas cortan a dos transversales entonces estas determinan en ellas se!mentos corres"ondientes "ro"orcionales.
A’
B
Es decir 2
B’
C’
C
Si t % tJ son dos transversales, % si si AA' 99 BB' 99 CC' AB entonces AB BC
=
0
BC
A' B' B' C'
A
"eorema 5: Si una recta es "aralela a uno de los lados de un trin!ulo, entonces los otros dos lados Buedan divididos en se!mentos "ro"orcionales.
E
D
Es decir, en el trin!ulo A*C2 Si
99
DE
AD
=
BC
entonces B
AE
C
"eorema 6: ($ec7proco) Si una recta divide dos lados de un trin!ulo en se!mentos "ro"orcionales, entonces es "aralela al tercer lado. Es decir, en el trin!ulo A*C, anterior si Si
AD DB
=
AE EC
entonces
DE
99
BC
A
"eorema 8: El se!mento Bue une los "untos medios de un trin!ulo, es "aralela al tercer lado e i!ual a su mitad.
M
Es decir, en el trin!ulo A*C2 Si K % N son los "untos medios de
AB
% AC B
entonces
MN // BC
%
KN 0
C
*C +
"eorema 9: La #isectri@ de un n!ulo de un
A
trin!ulo divide al lado o"uesto en dos se!mentos "ro"orcionales a los lados Bue forman ese n!ulo. Es decir, en el trin!ulo A*C2
B
D
C
Si
AD
#iseca al n!ulo A entonces AB AC
=
BD DC
E0E$C%C%#S -.
En la fi!., si
DE
99
,
BC
AC
0 (+
5.
Si
A x
5 B
D
AB
99
A
4
EF 99 CD
E
2x"1 5x#4
F
E
D
!"4 B
C
4ara la si!uiente fi!ura, L ( 99 L+. :.
C
7
8etermina el valor de & en cada caso 2
0 +& $ ( , AB 0 & 1 DE 0 & 6 , BC 0 & $ ( AE
D
E A
;.
0 +& , EB 0 & ( ,
AB
B
0 1& CD 0 +& $ (
AC
C L1
('.
En el trin!ulo A*C, BD #iseca el ((. n!ulo *, entonces & 0 ?
Encuentra AD 0 ; ,
B
CD CE
L2
, si DE 99 AB 0 + , BC 0 :
C
E
D
A
D
2x
C
3x - 1
A
En los eDercicios (+ % (1, la recta Bue es "aralela al tercer lado. Encuentra la (+.
B
interce"ta a dos de los lados del trin!ulo medida Bue falta (1.
6
9
x 4
4
3 A
A
C
(6.
AD es
A
#isectri@
(.
C
x
9
AD es
#isectri@
C
A !"1 2x - 5
12
10
!"1
D
C x"4
x - 3
B 1
D
C 3
A
B
4
15
x " 13 B
D
(-.
AB
99
CD
Congruencia de tringulos 8os fi!uras son con!ruentes cuando tienen la misma forma % el mismo tamaMo, es decir, si al colocarlas una so#re la otra son coincidentes en toda su e&tensi7n. Esto si!nifica Bue de#en tener lados % n!ulos i!uales2 C
A
C’
B
AB
=
A' B' ;
∠A = ∠A'
AC
=
A' C' ;
∠B = ∠B'
BC
=
B' C' ;
∠C = ∠C'
B’
A’
La notaci7n de Bue un trin!ulo es con!ruente con otro lo anotamos
∆ A*C ≅ ∆ AJ*JCJ
E&isten criterios Bue "ermiten afirmar Bue dos trin!ulos son con!ruentes 2
"# C$I%E$I& 'N()*& + *'D& + 'N()*& ,' - * + '. 8os trin!ulos son con!ruentes si tienen res"ectivamente i!uales un lado % los n!ulos ad%acentes a él2 C
C’
A$ ∠ α % ∠ α’ L$ AB % A' B' A$ ∠ β % ∠ β’
β’
α’
β
α A
B’
A’
B
/# C$I%E$I& *'D& + 'N()*& + *'D& ,* - ' + *. 8os trin!ulos son con!ruentes si tienen res"ectivamente i!uales + lados % el n!ulo com"rendido entre ellos2 C’
C L$ AC % A' C' A$ ∠ α % ∠ α’ L$ AB % A' B' A
β’
α’
β
α
B’
A’
B
0# C$I%E$I& *'D& + *'D& + 'N()*&
,* - * + '.
8os trin!ulos son con!ruentes si tienen res"ectivamente i!uales + lados % el n!ulo o"uesto al ma%or de ellos2 C
C’ L$ AC % A' C' L$ BC % B' C' A$ ∠ α % ∠ α’
γ
α A
γ ’
β
α’ B
A’
β’ B’
1# C$I%E$I& *'D& + *'D& + *'D&
,* - * + *.
8os trin!ulos son con!ruentes si tienen sus tres lados res"ectivamente i!uales2 C’
C L$ AC % A' C' L$ BC % B' C' L$ AB % A' B'
γ
γ ’
β
α A
β’
α’ B
B’
A’
Ejemplos de aplicaci,n C
EOREKA2 La #isectri@ corres"ondiente al n!ulo #asal trin!ulo is7sceles es "er"endicular a la #ase % la #iseca.
1 2
i"7tesis2 ∆ A*C es is7sceles CD es #isectri@ esis2 ∠ A8C 0 ∠ C8* 0 ;'> AD 0 DB 8emostraci7n2 En "rimer lu!ar se de#en u#icar los datos i"7tesis en la fi!ura "ara lue!o darse cuenta cul es el criterio a utili@ar, as< 2 L 2 A 2 L 2 4or tanto2
0 BC ∠ ( 0 ∠ + CD 0 CD
de un
de la A
D
B
Hlados i!uales de un trin!ulo is7sceles ) H"or ser C8 #isectri@ ) H lado comn a los dos trin!ulos )
AC
∆ A8C ≅ ∆ 8*C H"or criterio L.A.L.)
Aora, si dos trin!ulos son con!ruentes, entonces todos sus elementos res"ectivos son i!uales Hse dice Bue los elementos om7lo!os son i!uales), as<2
∠ A8C ∠ C8* 0 (:'>
Hson n!ulos ad%acentes )
% como éstos son i!uales, cada uno mide ;'> Hlos n!ulos om7lo!os son los o"uestos a lados i!uales ). Adems2
AD 0 DB
H"or ser elementos om7lo!os) E
F
2& En la fi!ura 2
i"7tesis2 esis2
C
8emostraci7n2
A 2 ∠ CFA 0 ∠ E8A & 2 AF 0 AD A 2 ∠ CAF 0 ∠ EA8 "or tanto 2
A
0 AD % ∠ CFA 0 ∠ E8A i) ∆ ACF ≅ ∆ A8E ''& A es el "unto medio de CE AF
i) ∆ ACF ≅ ∆ A8E
H "or i"7tesis ) H "or i"7tesis ) H n!ulos o"uestos "or el vértice ) H "or criterio L.A.L.)
D
''&
AC
0
H lados om7lo!os )
AE
C
3& En la fi!ura 2
i"7tesis2 esis2 i)
0 AD % BC 0 ∆ A*C ≅ ∆ A*8 ''& ∠ AC* 0 ∠ A8* AC
BD
A
B
8emostraci7n2
&: &: &:
AC
BC
AB
D
0 0 0
H "or i"7tesis ) H "or i"7tesis ) H "or i"7tesis )
AD
BD AB
i) ∆ A*C ≅ ∆ A*8 ''& ∠ AC* 0 ∠ A8* '''&
As<2
H"or criterio L.L.L.) Hn!ulos om7lo!os )
Ejercicios Considera los si!uientes "ares de trin!ulos, en los Bue se indica los lados o res"ectivamente con!ruentes. En Bué casos se "uede ase!urar la con!ruencia del "ar de trin!ulos? Indica el criterio utili@ado en cada caso2
(5.
E
F
B
(:.
C D
A E
C
D AB
=
DE
AC
=
FE
BC
=
DF
A
D
B
A
=
DF
AB
=
DE
∠CAB = ∠ED
C
(;.
D
+'.
B
B
A AB ∠DAB ∠DBA
F
AC
AB = ∠CB = ∠CA
=
C
AB
=
BC
=
DE
=
DF
=
AC
E
F
FE
SeMala en Bué condiciones ser
++. 8os rectn!ulos
+1. 8os cuadrados
+6. 8os circunferencias
Res"onde las si!uientes "re!untas HPustifica tus res"uestas) +. 4ueden dos trin!ulos ser con!ruentes sin ser co"lanares? +-. 4ueden dos art
+5.
Un cuadrado tiene un lado i!ual a uno de los lados de otro cuadrado. Son los cuadrados necesariamente con!ruentes?
+:. Un cu#o tiene i!ual arista a una arista de otro cu#o. Son los cu#os con!ruentes ?
En los casos si!uientes demuestra lo Bue se indiBue2 +;. 1ip,tesis: ∠( 0 ∠ + ∠ 1 0 ∠ 6
"esis
1'. 1ip,tesis: ∠1 0 ∠ 6 0 ;'>
2 ∆ RQS ≅ ∆ RQ
RS
"esis
R
=
RT
2∆ RQS ≅ ∆ RQ T
1 2 3
R
4
(
3 4 T
1(.
(
S
S
1ip,tesis: ∠8 0 ∠ DZ DE
"esis
⊥
=
1+.
FY
EF ; XY
XZ
⊥
"esis
AC
=
BC
CD
=
CE
2 ∆ AC8 ≅ ∆ E*C
2∆ 8EF ≅ ∆ Q
C
E
D
1ip,tesis:
!
F
(
1ip,tesis: "esis
BD
⊥
A
)
11.
AC
* es "unto medio de 2 ∠ ( 0 ∠ +
AC
1ip,tesis: ∆ A*C es is7sceles,
0 BC 8 % F "untos medios de AC % BC 2 AF = BD % ∠ ( 0 ∠ + "esis
D
1
F
2 C
B
A
Usando con!ruencia "aralelo!ramos2 16.
de
trin!ulo
Los lados o"uestos de los "aralelo!ramos son i!uales. D AB 0 CD % AD 0 BC
demuestra
1. C
las
B
si!uientes
"ro"iedades
Los n!ulos o"uestos de los "aralelo!ramos son i!uales. D ∠ A*C 0 ∠ A8C % ∠ 8AC 0 ∠ *C8 E
A
AC
C
D A
B
E
D
B
A
B
C
de
los
1ip,tesis: AD BC % AB 2 ∆ AC8 ≅ ∆ AC* 15. "esis
Las dia!onales de un "aralelo!ramo se dimidian2 AE 0 EC % BE 0 DE
1-.
DC
D
D
C
C E
A
A
B
1ip,tesis: AB 0 DC % ∠+ 0 ∠6 1:. "esis 2 ∆ AC8 ≅ ∆ AC* % AD < BC D
1;.
B
Las dia!onales de un rom#o son "er"endiculares entre s<. 1ip,tesis: A*C8 es rom#o "esis : AC ⊥ DB
C 4 D
C
2 A
B A
6'.
Las dia!onales de un rectn!ulo son i!uales.
B
D
C
1ip,tesis: A*C8 es rectn!ulo "esis : AC 0 DB A
B
C#!"$#& ;#$A"%# 2' 8ivide el se!mento A* dado en 1 "artes i!uales. A
3' 8i#uDa un se!mento se!mento DB .
AB
*
0 6cm % determina, en él, un "unto 8 tal Bue 8 divida al en la ra@7n 1 2 . Adems indica la medida de los se!mentos AD % AB
5' 8ivide el tra@o A* en "artes "ro"orcionales a
( 2 6 2 . Cunto mide cada uno de los
se!mentos o#tenidos? A
*
6' 8ivide arm7nicamente el se!mento dado en la ra@7n
m2n ,
si m % n
se!mento Bue se indican. m n L
En la fi!ura , L 1 99 L6 99 L AC 0 +&
L A3
L C
L E
L B
4
5
D F
1
2
son los
0 &5 BD 0 1 DF 0 CE
8etermina D
-
el valor de & el valor del se!mento AE
8' En la fi!ura
B
99 DE AB 0 & + , DE 0 1&('C 8etermina los valores de los se!mentos AB % DE AB
3
12
A
E
9' El "er
8emuestra Bue2 Los lados o"uestos de un "aralelo!ramo son i!uales. i"7tesis2 A*C8 "aralelo!ramo AB 99 CD AD 99 CB AC dia!onal esis 2 AB 0 CD AD 0 CB
D
C
A
C
B
=' 8emuestra Bue2 En todo trin!ulo is7sceles los
n!ulos
#asales son i!uales t+
i"7tesis2 ∆ A*C is7sceles CD 0 tc esis 2 ∠ α 0 ∠ β
A
α
β D
B
Semejan>a de tringulos $
-
8os fi!uras son semeDantes si tienen la misma forma, no necesariamente el mismo tamaMo. 8os trin!ulos son semeDantes si tienen sus n!ulos res"ectivamente con!ruentes % si sus lados om7lo!os son "ro"orcionales. H lados om7lo!os son los o"uestos a n!ulos i!uales ) EsC decir 2 C’ ,
* *’
,’ A
B
+
A’
B’
+’
∆ A*C ∼ ∆ AJ*JCJ Htrin!ulo A*C es semeDante al trin!ulo AJ*JCJ) ssi 2 i) ∠ A 0 ∠ AJ ∠ * 0 ∠ *J ∠ C 0 ∠ CJ ii)
a a'
=
b b'
=
B
c
10
c' 6
EDem"lo2
Los trin!ulos si!uientes son semeDantes2
En efecto2
C
B’
8 5
3 C’
4
A’
A
∠ A 0 ∠ AJ ∠ * 0 ∠ *J ∠ C 0 ∠ CJ a a'
=
b
=
b'
c c'
=2
C
Postulado: en el trin!ulo A*C2 Si
A' B' 99 AB
AB A' B'
=
BC B' C'
=
, entonces2
B’
A’
AC A' C'
A
B
E2emplo:
En el trin!ulo GAT, Q // GA A 0 6, ! 0 :, GQ 0 Encuentra
!Q
0
/
A
.
Criterios de semejan>a de tringulos CRIERIO n!ulo $ n!ulo HA $ A)
C
Si dos n!ulos de un trin!ulo son con!ruentes a dos n!ulos de un se!undo trin!ulo, entonces estos dos trin!ulos son semeDantes. Es decir, en los trin!ulos A*C % 8EF2 ∠ A 0 ∠8 % ∠ * 0 ∠ E Entonces ∆ A*C ∼ ∆ 8EF
F
A D
B
E
E2emplo: Se!n la fi!ura, si AB // DE , Es ∆ A*C ∼ ∆ 8CE?
A
B
Si AB // DE , entonces ∠ D= ∠ B Halternos internos entre "aralelas ) %
C
∠ E = ∠ A H alternos internos entre "aralelas)
"or lo tanto 2
∆ A*C
∼
∆
D
8CE
CRIERIO lado $ n!ulo $ lado HL A $ L)
E
A
8os trin!ulos son semeDantes si tienen dos lados "ro"orcionales % con!ruentes el n!ulo com"rendido entre ellos. B
D
C
decir , en los trin!ulos A*C % 8EF , Si ∠ A 0 ∠ 8 % Entonces
AC DF
∆ A*C
∼
=
AB DE
∆
8EF E
F
E2emplo: Son semeDantes los trin!ulos ?
8
B
( (+ = (' :
como
entonces
∆
% adems
35
Ð R 0 Ð * 0 1>
10 L
CRP ∼
∆
L*V
A
CRIERIO lado $ lado $ lado HL L $ L) 8os trin!ulos son semeDantes si tienen sus tres lados res"ectivamente "ro"orcionales.
B
AB DE
BC
=
EF
=
C D
Es decir, en los trin!ulos A*C % 8EF2 Si
AC DF
E
Entonces
∆ A*C
∼
∆
F
8EF
E2emplo: Son semeDantes los trin!ulos KV % CP? "$
como
"2
=
"2 $
=
"5
T
18
"# 12
entonces
∼
∆ A*C
∆
M
8EF
C
15
10
8
! 12
E0E$C%C%#S 6(.
Encuentra el valor de +
AD , AC
0
6+.
A
Se sa#e Bue PQ = PR % Bue PX #iseca ∠ QPR . 8emostrar Bue ∆ V4 ∼ ∆ V4R P
D
15 3 B
C
E
4ara cules de los si!uientes n!ulos , el 61.
66.
∆ RNV es semeDante al ∆ W*?
∠ R 0 -+> ∠ N 0 51> ∠ W 0 -+> ∠ * 0 51> ∠ V 0 :'> ∠ W 0 5(>
∠ R 0 5(> ∠ 0 5'>
R
!
! R
B
8ado Bue ∠ 0 ∠ NGW 8emostrar Bue ∆ NGW ∼ ∆ N
6.
6-.
8ado Bue ∠ R 0 ∠ T 8emostrar Bue ∆ PT ∼ ∆ PKR
R
.
!
T
8ado Bue
CB
)
.
65. 8emostrar Bue2 ∆ LXK ∼ ∆ *CK
Se!n la fi!. N ⊥ & M ⊥ & N 0 6 , M 0 - , &M 0 ( , &N 0?
6:.
C L
/
M
L /
M
B
i"7tesis2 !Z = XY ; 6;. esis2 ∆ TQ ∼ ∆ WT
'. i"7tesis2
esis 2 ∆ F*E ∼ ∆ 8EC
!X = ZY
(
CF
⊥
AB
BD
⊥
AC
C D
!
)
E
T
B
A
F
∆ A*C ∼ ∆ 8EF?
En Bué casos el
C
(.
+.
AB DE AB
=
=
BC
BC EF
=
DE EF
CA FD
;
∠
B=∠E
E
D A
1. 6.
.
BC EF
∠
=
AC DF
A=∠D
%
%
B
∠B=∠D
∠C=∠E
F
8emostrar Bue el trin!ulo cu%os vértices son los "untos medios de los lados de un trin!ulo dado es semeDante al trin!ulo dado.
-.
En el trin!ulo GX, G = ( PR ⊥ G ) PQ ⊥ ( 8emostrar Bue GR ⋅ PQ 0 PR ⋅ (Q
5.
Se!n la fi!ura, RQ ⊥ PQ PQ ⊥ PT ) ST ⊥ PR 8emostrar Bue2 ST ⋅ RQ 0 PS ⋅ PQ
T
/
R
R S .
P
P
1omotecia La "ro%ecci7n de una dia"ositiva es un #uen modelo f
G’
J’
H’
G
F’
E’
D’
K’ B’ A’
H
J
F E
C’
K
D
B
A
C
La fi!ura se constru%7 de modo Bue AB // A' B' BC // B' C' CD // C' D' EF // E' F' FG // F' G' G( // G' (' (& // (' &' & // &' ' A // A' ' . 4or lo tanto ∆ OAX ∼ ∆ OJAJXJ semeDantes?
DE // D' E'
∆ OXP ∼ ∆ OJXJPJ,Vué otras "areDas de trin!ulos son
Al ser los trin!ulos semeDantes se tiene Bue sus lados om7lo!os son "ro"orcionales, lue!o todos los lados corres"ondientes se encuentran en una misma ra@7n. Como los se!mentos de cada "ol
E2ercicio:
C
A
C’
B
A’
B’
:. Encuentra el centro de omotecia O % el factor de conversi7n *A'
Y 0
=
*A
A' B' AB
;. 8ada la fi!ura % el "unto , reali@a una omotecia H,).
•
-'. 8i#uDa una fi!ura % real<@ale una omotecia de factor de conversi7n 1,-(. Una omotecia con factor de conversi7n menor Bue uno % ma%or Bue cero nos "ermite
o#tener una fi!ura ms "eBueMa. 8i#uDa una fi!ura % real<@ale una omotecia * %
"
3
P%"AG#$AS ? EUC&%ES' eorema ( 2 Si en un trin!ulo rectn!ulo se tra@a la altura corres"ondiente a la i"otenusa, se verifica Bue los trin!ulos as< formados son semeDantes, es decir2 C
8ado ∆ A*C, rectn!ulo en C % CD 0 c, altura corres"ondiente so#re la i"otenusa c, entonces se cum"le Bue2
∆ A*C ∼
+
∆ A8C ∼ ∆ *8C
A
B
D
eorema de Euclides . HReferente a la i"otenusa) En todo trin!ulo rectn!ulo, la altura corres"ondiente a la i"otenusa es media "ro"orcional entre los se!mentos Bue determina la i"otenusa, es decir2 8ado ∆ A*C , rectn!ulo en C, CD 0 c , con AD 0 " , BD 0 B , entonces 2 , -c 2 -c = , ⋅ + = ⇔ -c +
C
so#re
+ A
B
D
E2emplo: En el trin!ulo A*C, rectn!ulo en C, determinar la medida de *8. C
Soluci7n2 1 2 A
5
D
x
B
c+ 0 AD ⋅ BD (66 0 ⋅ BD BD 0 +:,:
As<2
eorema de Euclides. HReferente al cateto). En todo trin!ulo rectn!ulo, cada cateto es media "ro"orcional entre la i"otenusa % su "ro%ecci7n so#re ella, es decir2 C
8ado ∆ A*C , recto en C , c a c b
=
=
a + b ,
CD
0 c +
a2 = c ⋅ +
⇒
A
2
⇒
b =c ⋅,
D
B
+
E2emplo: ∆ A*C rectn!ulo en C, con las medidas indicadas, determinar los valores de
Solución:
AC
%
BC
C +
1& # 0 - ⋅ (1 #+ 0 5: # 0 :,:1
,
2& a+ 0 5 ⋅ (1 a 0 ;,6
A
*
+
6
D
B
7
Aplicaciones de los "eoremas de Euclides C
-+. En el trin!ulo A*C , rectn!ulo en
C2 +
*&
" 0 : cm
%
c 0 (+ cm, calcula B.
,&
c 0 - m
%
B 0 ',; m, calcula ".
-1.
En un ∆ A*C, " cm.
-6.
Las medidas de los catetos de un trin!ulo ∆ A*C, rectn!ulo en C, son a 0 ;cm, # 0 (+ cm. Calcula las medidas de las "ro%ecciones de a % # so#re la i"otenusa.
-.
En un trin!ulo i"otenusa mide
A
D
B
mide 5 cm ms Bue B. 8etermina la medida de
B si c 0 (+
%
A*C, rectn!ulo en C, la "ro%ecci7n del cateto # so#re la
+ cm
menos Bue él. Si la i"otenusa mide
25 3
cm, entonces
calcula la medida de #. eorema de 4it!oras. C
En todo trin!ulo cuadrados i!ual al cuadrado es decir2
*
,
A
rectn!ulo, la suma de los construidos so#re los catetos es construido so#re la i"otenusa,
+
B
Si ∆ A*C es rectn!ulo % a, # 0 catetos c 0 i"otenusa c+ 0 a+ #+
!#"A: Wale tener "resente Bue , en un trin!ulo en Bue c es el lado ma%or, % a, # son los otros dos lados , se tiene Bue 2 c+ 0 a+ #+ c+ Z a+ #+ c+ = a+ #+
*& si ,& si +& si
, entonces el trin!ulo es rectn!ulo , entonces el trin!ulo es o#tusn!ulo , entonces el trin!ulo es acutn!ulo.
Aplicaciones del "eorema de Pitgoras --.
Clasifica los trin!ulos "ara los lados Bue se dan 2 -
*&
:
('
#)
(
1-
1-
6
5
+&
',1
',6 ',
d)
-
e)
('
(+
f)
+ +,(
-5.
(1
+,;
Calcula la dia!onal de un rectn!ulo cu%as dimensiones son ( % : m.
-:. Calcula el rea de un rectn!ulo si la #ase mide ( cm % una dia!onal miden 1- cm. -;. Una de las dia!onales de un rom#o mide +' m de lar!o. Un lado mide Encuentra la medida de la lon!itud de la otra dia!onal. 5'. En un ∆ A*C rectn!ulo en C, se conocen las medidas de " % B. Calcula , cada caso , la altura c del trin!ulo 2 , = $ 2 c. ; + = 2 c. a) " 0 cm B 0 +' cm #) 5(. Com"ro#ar Bue las e&"resiones a 0 +&, # 0 & + $ ( % c 0 & + ( medidas de los lados de un ∆ A*C rectn!ulo en C, si &Z(.
+- m.
en
corres"onden a las
5+. En un ∆ A*C rectn!ulo en C, la "ro%ecci7n del cateto a mide (+ cm ms Bue la "ro%ecci7n del cateto # so#re la i"otenusa. Calcula la altura c si mide el do#le Bue la menor de las "ro%ecciones de los catetos. 51. Calcula la medida de la altura de un trin!ulo eBuiltero cu%o lado mide 2 a) cm
#) -
3
cm
2
c)
3
3 cm
56. Calcula la medida del lado de un trin!ulo eBuiltero cu%a altura mide 2 a)
0
3 3
cm
#)
0 - cm
c)
0
2 3 3
c.
5. En un trin!ulo rectn!ulo tal Bue la i"otenusa mide +' % un cateto mide (-, calcula el "er
3
3
. 8etermina cunto mide el "er
55.
8ado2 &( ⊥ XB 8emostrar2 H X& )+ H (B )+ 0 H X( )+ H &B )+
5:.
8ado 2 TC ⊥ CN TC ⊥ TQ 8emostrar2 H TN )+ $ H CN )+ 0 H CQ )+ $ H TQ )+
C
!
B
T
C#!"$#& ;#$A"%# En cada caso, encuentra el valor Bue se indiBue2 (.
Sea A*C trin!ulo rectn!ulo en C. 8etermina los valores de " % c
+.
Sea A*C8 rom#o, AC 0 (+ BD 0 (- . 8etermina el valor de AB
C
D
C
*
16 +
A
A
1.
+
128
D
B
A*C8 es cuadrado de "er
B
B
A*C trin!ulo rectn!ulo en C. 8etermina los valore de ", B, c % c. A P D
E
3 +
C
.
D
C
4
B
Clasifica el trin!ulo si la medida de sus lados son 6 cm , ( cm % +6 cm
Resuelve los "ro#lemas2 -.
El ∆ A*C rectn!ulo en C, la i"otenusa mide (' cm. Calcular el "er
5.
En un trin!ulo rectn!ulo Bue tiene un cateto i!ual a (- cm, la "ro%ecci7n de éste so#re la i"otenusa tiene ,- cm ms Bue la "ro%ecci7n del otro cateto so#re la i"otenusa. allar el cateto Bue falta % la i"otenusa del trin!ulo dado.
Elementos de una circun@erencia L
A L
O 0 centro de la circunferencia OA 0 O* 0 OC 0 radio de la circunferencia A* 0 dimetro de la circunferencia L( 0 recta tan!ente a la circunferencia L+ 0 recta secante a la circunferencia 8E 0 cuerda de la circunferencia
1
2
C
O
D
B
E
Con estos elementos, en la circunferencia, se "ueden tra@ar n!ulos Bue son mu% im"ortantes en su a"licaci7n. Estos tienen una relaci7n con los arcos Bue forman2 a) 'ngulo 3ormado por dos radios#
#) 'ngulo 3ormado por dos cuerdas
B Ox
B
α
C
β Ox
A A
Relaci7n entre el n!ulo % el arco 2
∩
Relaci7n entre el n!ulo % el arco 2
α 0 A* +&
AC 2
β =
*os dos 4ngulos anteriores en una & 5arios 4ngulos inscritos 3ormando el misma circun3erencia : mismo arco B
C
β
β δ
Ox α
α x
O
A
Relaci7n entre los n!ulos2
Relaci7n entre los n!ulos2
α 0 +β
α 0 β 0 δ
d& 'ngulo
3ormado por dos cuerdas C
:& 'ngulo A
B Ox
3ormado por dos secantes D
α
Ox
α D
B
A
C
Kedida del n!ulo α
Kedida del n!ulo α
∩BC /∩AD
α 0 ;& 'ngulo
∩
α 0
2
3ormado por dos tangentes A
AC 0 BD 2
& 'ngulo
3ormado por una cuerda 6 una tangente A
•D C•
O
P
α
P
α
x
O B
∩ ∩
x
B
∩
Kedida del n!ulo α 2
α 0 '&
Kedida del n!ulo α 2
ACB 0 ADB 2
α 0
7ngulos 8ue 3orma una semicircun3erencia :
<& C
A
AB 2
'ngulo 3ormado por una secante 6 una tangente : A
α
P
α O
x
O
x
B
C
B
Kedida del n!ulo α 2
Kedida del n!ulo α 2
α 0 ;'
α 0
=& 'rcos
3ormados por rectas paralelas 8ue cortan a una circun3erencia
>&
AC 0 AB 2
'ngulos opuestos de un cuadril4tero inscrito : A D α
D O
A O
C
β
C
x
x
B B
Relaci7n entre arcos
Relaci7n entre n!ulos 2
A* 0 C8
α β 0 (:'
∩ ∩
Ejercicios 5;. allar ∠ *AC
:'. ∠ % 0 ((+> ∠ & 0 A
C
A
B O x 46
?x O x B
C
:(.
∠ & 0 5> %0
:+.
60
A
&0 %0
D x
D ? O x
x
65
?
A
C O
x
C
B B
:1.
:6.
α 0 5+> &0 %0
C A
x
% 0 (6'> ∠ *8C 0
A
?
α x
O
x
O B
B
D
? C
:.
∠ % 0 ((> ∠ & 0
:-.
∠ & 0 6'> ∠ % 0
C A O
x
x
D
0 0 2
? B
O
x
E
x
? B
A C
::.
:5. ∠ & 0 -(> %0 A
E 25
D x
? O
&0 %0 x
B A
C
70 Ox
x
? C B
:;.
&0 %0
;'.
D 2x
?
A
&0 %0
E ? D
2x
x
C O
A
x
C O
x
3x"10
3x"6
3x B B
;(.
8ado2 A* dimetro del c
A
?
x
x
O
O’ B
x
;+. AC #isectri@ ∠ *A8 ∠ *AC 0 ∠ AE* 0 ∠ *8C 0 ∠ A8* 0 B
C
E
O
A
x
160
C 80
D
Segmentos en el c7rculo "eor
A
ema 2: Los dos se!mentos tan!entes a una circunferencia desde un "unto e&terior son con!ruentes % determinan n!ulos i!uales con se!mento Bue une el "unto e&terior al centro.
OX
P
el B
AP
,
BP
AP
0
BP
se!mentos tan!entes2 ,
∠ O4A 0 ∠ O4*
"eorema 3: Si se tra@an dos rectas secantes desde un "unto e&terior a una circunferencia, entonces2 A AP
⋅
BP
0
PD
⋅
PC
B
OX
P C
D
"eorema 5:
A
Si desde un "unto e&terior a una circunferencia se recta tan!ente % una recta secante, entonces2
tra@a una OX
AP
+
0
PC
⋅
P B
BP
C
"eorema 6: Si se tra@an dos cuerdas Bue se cortan dentro de una circunferencia, entonces2
AE
⋅
BE
0
CE
⋅
D
A
DE
OX E B
C
E0E$C%C%#S ;1. Se!n la fi!ura 2 Si AP 0 - BP 0 ( % determinar PD . B
;6. Se!n la fi!ura 2 PC 0 : , 261 Si BP 0 determina AP
PC
0 +'
A
A
OX
%
P OX C
D
C
B
P
;. En la fi!ura 2 0 8etermina DE
;-. 0 +⋅ AE
EB
CD
En la fi!ura 2 0 (' 8etermina
0 (
*E
*D
AE
0 :
AB
C B
D
A
B
E
OX
OX E C
A
D
;5. En la fi!ura2
;:. En la fi!ura2
0 - , 8etermina
AD
AB
0 1 ,
0 (+ , 8etermina
AC
AB
AC
0 (: ,
CD
B
A D OX
OX C
C
A
D
B
;;. En la fi!ura2
(''. En la fi!ura 2
AD 0 DB
,
EC 0
8etermina
AD
(6 ,
AE
0 6
,
0 , 8etermina *C
B
AE
0-,
BD 0
AD
B D
C
OX
D
O
A
X
E
E A
C
('(.
En la fi!ura2 0 , 8etermina BP
AB
('+. 0 1⋅ BP ,
En la fi!ura2 0 6 8etermina PT
PT
T
6
,
A*
0 ,
BP
B O X
OX B
6,
A
P
B P
('1. 8os cuerdas de una circunferencia se interce"tan. Las lon!itudes de los se!mentos de una cuerda son 6 % -. Si la lon!itud de un se!mento de la otra cuerda es 1. Cul es la lon!itud del otro se!mento? ('6. 8os cuerdas
% EF se cortan en . Calcular la medida del se!mento sa#iendo Bue AB , EF % A( miden (6-, (6+ % ;' cm, E( res"ectivamente.
('.
AB
En la fi!ura2 CD
0
" 2
('-.
DP , BP 0 6 , CP 0 +(
, 8etermina
AP
0 ;',
AB
2
BP
0 5 2 :,
DP
0
(8etermina
P
AP
En la fi!ura2
CP
C
B
A
D OX
OX
D P
A
B
C
Control @ormativo (.
8esde un "unto A situado fuera de la circunferencia, se tra@a un se!mento secante de (- cm Bue determina una cuerda de cm. Si el radio de la circunferencia es 5 cm. Cul es la distancia de A al centro de la circunferencia?
+.
El radio de una circunferencia es de ( cm. allar2 *& ,&
la distancia del centro a una cuerda cu%a lon!itud es de (: cm. la lon!itud de una cuerda Bue dista ; cm del centro.
1.
En una circunferencia, una cuerda Bue mide (- cm est a la distancia de - cm del centro. allar la lon!itud de una cuerda cu%a distancia al centro es de : cm.
6.
En la circunferencia de centro O, AE = 6 c. BE = $ c. BC = 1 c. CD = "# c. . Cunto mide DE ?
E D
x O
A
.
En la circunferencia de centro O, BQ = EF = $ c. EQ = 6 c. CD = 4 c. AD = DG = 6 c. . Cunto mide AB ?
A
B
C
C D . x O
F
B
E
Per7metros ? reas de @iguras planas
P#&G#!#
%U0#
PE$E"$#
Á$EA
C
4 0 A* *C CA
"$%Á!GU&# D
A
A0
-⋅c 2
B
+
A 0 a+
4 0 6a
CUA$A#
*
*
,
$EC"Á!GU&#
4 0 +a +#
A 0 a ⋅ #
4 0 1a
A0
4 0 6a
A 0 a⋅
*
"$%Á!GU&# EBU%&Á"E$#
*
a *
*
$##
AB
=
BD
=
* D
a2 4
3
C
*
B
A
40
2⋅
2
2
+
A 0
⋅ 2
, *
$##%E
*
4 0 +⋅Ha #)
,
A 0 # ⋅
+ *
"$APEC%#
d
40a#cd
,
C%$CU!;E$E!C% A
O
@
4 0 +⋅ π ⋅ r
A0
5a / c ⋅ 2
A 0 π ⋅ r +
@
SEC"#$ C%$CU&A$
O
4 0 +r
α
7⋅α "$#
π ⋅
A0
72 ⋅ α 36#
π ⋅
@
4 0 A*
SEGE!"# C%$CU&A$
π ⋅
"$#
A∆ A*C
A
@ O
72 ⋅ α A 0 $ 36#
π ⋅ r ⋅ α
α @ B
Ejercicios Calcula el rea % el "er
(('. A
24 +
B
(((. 10
1 0 + A
D
4
C
((+.
((1. 6
O
((6.
16
6
8
((.
8
((-.
((5.
4
4
5
4 12
((:.
((;. 16
0x
9
3
x 0’
5
8
x
(+'.
(+1.
x
12
16 16
(+6.
(+.
12
x4
(+-. A
10
B
4
D
3
E
C
Áreas ? olmenes de cuerpos geomDtricos CUE$P#
;%GU$A
Á$EA
#&UE!
A 0 -a+
W 0 a1
A0 +a#+#c+ac
W 0 a[#[c
*
CU#
* *
PA$A&E&EP%PE# $EC"#
* + ,
A 0
*
"E"$AE$# $EGU&A$
* *
0
x
a2 3
a2 3 A* 0 4
"
W0
3
A* [
@
C%&%!$# $EC"#
Alateral0 +[π[r[ W 0 π[r +[ Atotal0 +[π[r[Hr)
C#!# $EC"#
Alateral0 π[r[!
; @
@
ES;E$A
W0
" 3
π
⋅ 72 ⋅ -
Atotal0 π[r[H!r)
A 0 6 [ π [ r +
W0
4 π [ r 1 3
Ejercicios Resuelve aora los si!uientes "ro#lemas2 (+5. Un estanBue de a!ua mide - cm de lar!o, 6 m de anco % + m de "rofundidad. Se deDa caer una esfera de ' cm de radio Bue flota a la mitad. Cunto su#e el nivel del a!ua? (+:. Calcula el volumen % el rea de la su"erficie esférica de un !lo#o cu%o c
a) Cul es el volumen del cilindro? #) Cul es el volumen de la esfera? c) Cul es la diferencia entre los dos volmenes? d) Cul es la ra@7n entre el volumen de la esfera % el del cilindro? e) Cul es el volumen de aire contenido en un !lo#o de 6 cm de dimetro? (1'. Un macetero tiene forma de semiesfera, cu%o dimetro interior es de 1' cm. cul es la cantidad de tierra Bue se necesita "ara llenar el macetero? (1(. Un cilindro, una semiesfera % un cono tiene el mismo radio - cm. La altura del cilindro % del cono vale (' cm.2 a) #) c) d)
Calcula el volumen de cada uno Cuntas veces est contenido el volumen del cono en el volumen del cilindro? Cuntas veces est contenido el volumen del cono en el volumen de la semiesfera? Cuntas veces est contenido el volumen de la semiesfera en el volumen del cilindro?
(1+. Calcula el volumen del "risma
2+ 6+ 4+
2+
12+
18+
Control @ormativo Calcula el rea % el "er
C +. A*Ctrin!ulo eBuiltero deT lado - cm, VRS cuadrado circunscrito a la circunferencia.
F
A A
E
B
R
B S
