SEGMENTOS Se llama segmento de recta a la porción de recta limitada por dos puntos llamados extremos. Si “M” “M” es es pun punto to medi medio o de de AB , ent enton once ces: s: AM MB o AM = MB = AB 2
El segmento mostrado en la figura se denota AB o BA , los puntos “A” y “B” son los extremos. La med medida ida del del segm segmen ento to AB AB se deno denota ta por por:: m AB o AB, AB, así en la figura:
Puntos colineales Son los que pertenecen a una misma recta. Por ejemplo los puntos A, B, C y D contenidos en la recta “r”. Además si se marcan sobre la recta en el orden en que se mencionan, diremos que A, B, C y D son consecutivos.
m AB = AB = d Segmentos congruentes.congruentes .- Son aquellos que tienen igual medida.
Operaciones con las medidas de los segmentos Sean A, B y C tres puntos consecutivos de una recta, luego tendremos:
Así, si AB y CD son congruentes, escribiremos: AB CD , o simplemente: AB = CD. Punto medio de un segmento Es aquel que lo divide en dos congruentes. Se dice que dicho punto biseca al segmento.
AC = AB + BC o x = a + b AB = AC - BC o a = x - b
PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMAS PROPUESTOS 01. En una recta se tienen tienen los puntos puntos consecutiv consecutivos os A, B y C, tal que AB=x+a; BC=x-a y AC=6. Calcular “x”. A) 2 B) 3 C) 5 D) 4 E) 1
A) 16 D) 15
07. Se tiene los puntos puntos A, A, B, C y D colineales colineales y consecutivos tales que AB=6 y AB.BD=AC.CD. Calcular CD. A) 3 B) 3 2 C) 6 D) 6 2 E) 12
03. En una recta se ubican los puntos puntos consecutivos consecutivos A, B, C y D tal que AD=25, AC=16 y BD=14. Calcular BC. BC. A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10 04. Calcular Calcular BC, BC, si en la figura figura se cumple que: que: 2(AC) + 3(AB) = 3(AC).
B) 4 E) 8
C) 10
06. En una recta se ubican los los puntos puntos consecutivos consecutivos A, A, B, C y D; tales tales que “B” “B” es es pun punto to medio medio de AC . Cal Calcul cular ar BD, si AC.BD+CD2=8+AB2. A) 8 B) 2 C) 3 2 D) 4 E) 2 2
02. En una una recta recta se ubican ubican los puntos puntos consecutivos consecutivos A, A, B y C tales que AB=10 y BC=8. Si “M” es punto medio de AB , calcular MC. A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
A) 5 D) 3
B) 18 E) 20
08. Dado el AB , “M” y “N” son puntos medios de AB y AM respectivamente. Si AN.MB=6, calcular AN. A) 1 B) 2 C) 3 D) 1,5 E) 3
C) 6
09. En una recta se ubican los puntos puntos consecutivos consecutivos A, A, B, C y D. Calcular AD, si: AC+BD=20 y BC= AD 3 A) 20 B) 25 C) 12 D) 10 E) 15
05. Sean A, B y C puntos puntos colineal colineales es y consecutivos, consecutivos, tales tales que que “M “M” es es pun punto to medi medio o de de AB . Si Si AC AC+BC +BC=30, =30, calcular MC.
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ASOCIACIÓN ASOCIACIÓN EDUCATIVA “PITÁGORAS”
Geometría
10. En una recta se ubican los puntos puntos consecutivos consecutivos A, B, C y D; siendo AB=3 y CD=6. Si “M” es el punto medio de BC y BM.MD=7, cal calcul cular AM. A) 2 B) 5 C) 3,5 D) 4 E) 6
16. Se tiene los los puntos puntos colineale colinealess y consecutivos consecutivos A, B, B, C, tale taless que que “M” “M” y “N” “N” son son punt puntos os medi medios os de AB y BC respectivamente. Si 3MN=2MC y AB-BN=2, AB-BN=2, calcular AC. A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
11. Se tiene tiene los puntos puntos colineales colineales y consecutivos consecutivos A, O, M y B; de modo que AO=OB. Calcular el valor de la siguiente expresión AM MB OM A) 1/2 B) 1 C) 3/2 D) 2 E) 5/2
17. Sean los puntos puntos consecutiv consecutivos os y colineales colineales F, F, A, N, I; 2 2 siendo “N” punto medio de AI . Calcular FA FI . AN 2 FN 2 A) 1 B) 0,5 C) 2 D) 1,5 E) 3
12. En una recta se ubican los puntos puntos consecutivos consecutivos A, A, B, C y D; siendo CD=3AB y AD+3BC=60. Calcular AC. A) 45 B) 30 C) 15 D) 10 E) 20
18. En una recta se ubican los puntos consecutiv consecutivos os A, A, B y C tal que AC=60. Si M, N, P y Q son puntos medios de AB , BC , AN y MC respectivamente, calcular PQ. A) 10 B) 12 C) 15 D) 20 E) 30
13. En una recta se ubican los puntos puntos consecutivo consecutivoss A, B, B, C, D y E tales que AC=12, BE=22, CE=15 y AD=20. Calcular DE-AB. A) 1 B) 3 C) 5 D) 6 E) 2
19. Se tiene tiene los puntos puntos colineales colineales y consecutivos consecutivos P, P, Q, R y S, S, tal tal que que “R” “R” es es punt punto o medi medio o de QS . Cal Calcu cula larr PR, PR, 2 si PQ.PS+ QS =169 4 A) 13 B) 14 C) 19 D) 32 E) 69
14. 14. En un segm segmen ento to AC se ubic ubica a un un pun punto to “B”, “B”, tal tal que que BC-AB=6. Calcular la distancia del punto “B” al punto medio de AC . A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
20. Se tiene tiene los puntos puntos A, B, C y D colineales colineales y consecutivos, tales que AB=a, CD=b y AB.BD+AC.CD=AD.BC. AB.BD+AC.CD=AD.BC. Calcular BC. A) a b B) 2 ab C) 2ab 2 a b 2 D) 2ab E) (a-b)
15. En una recta recta se tienen tienen los puntos puntos consecutiv consecutivos os A, B, C y D de modo que AB=2BC=3CD. Si AD=220, calcular BC. A) 50 B) 60 C) 70 D) 80 E) 90
TAREA 01. En una línea recta recta se han ubicado ubicado tres tres puntos puntos diferentes P, R y S, de tal manera que el punto R pertenece al segmento PS. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A) El punto P pertenece a RS . B) El punto S pertenece a PR . C) Todos los puntos de RS pertenecen a PS . D) Todos los puntos de PR pertenecen a RS . E) Ning Ningun una a de las las ant anter erio iore res. s.
06. En una una recta recta se se tiene tiene los puntos puntos consecutiv consecutivos os M, O, O, A y B tal que OA=6, OB=7. Calcular MO, si: MA+4(OA)-2(MB)=5 A) 10 B) 8 C) 6 D) 11 E) 2 07. En una recta se ubican los los puntos puntos consecutivos consecutivos A, A, B, M, C y D, tal tal que que “M” “M” es punt punto o medi medio o de de BC y AC+2CD-AB=30. Calcular MD. MD. A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 14
02. Sean A, B, C y D puntos puntos consecutivos consecutivos de una recta, recta, tales que: AB=BD=3CD. Calcular CD, si AD=12. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
08. Se titiene el se segmento AD y en en él él se se ub ubican can los los puntos B y C tal que AB
03. Se tiene tiene los punt puntos os A, B y C colin colineal eales es y consecutivos, tales que AB=8 y BC=14. Si “M” es el pun punto medio de AC , cal calcul cular BM. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
09. En una línea línea recta se se ubican los los puntos conse consecutivo cutivoss A, B, C y D tales que AB=2BC, CD=2AB y AD=28. Calcular BC. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
04. Se tiene los puntos puntos consecutivos consecutivos A, B, C y D en una recta tal que AC=BD=6 AC=BD=6 y AD=10. Calcular BC. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
10. ¿Cuál de las siguientes siguientes expresiones expresiones representa representa el número máximo de segmentos que determinan "n" puntos situados en una recta? A) n(n+1) B) n(n 1) C) n(n 1) 2 2 D) 2n(n-2) E) 2n(n-1)
05. En una recta recta se ubican ubican los puntos puntos consecutivo consecutivoss A, B y C; C; tal tal que que “M” “M” es el punt punto o med medio io de BC . Calc Calcula ular r AM, si AB+AC=12. A) 3 B) 4 C) 6 D) 3 2 E) 4 3
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ASOCIACIÓN ASOCIACIÓN EDUCATIVA “PITÁGORAS”
Geometría
ÁNGULOS DEFINICIÓN.DEFINICIÓN.- Se llama ángulo a la reunión de dos rayos que tienen el mismo origen pero que no están en la misma recta. Los dos rayos se llaman lados del del ángulo y su origen se llama vértice.
0 < α < 90
b)
Ángulo recto.recto.- Es aquel cuya medida mide 90.
En el gráfico adjunto OA y OB son los lados y “O” es el vértice del ángulo. El ángulo mostrado en la figura se denota por: AOB o BOA, es indiferente que lado se nombra primero. Para abreviar podemos escribir sencillamente O. La medida del ángulo AOB se denota por: m AOB, así en la figura:
Deci ecimos mos que que OA y OB son per perpen pendicular lares y escrib cribiimos mos:
OA
OB
m AOB=α c)
NOTA: La medida de un ángulo geométrico es un número real y positivo comprendido entre 0 y 180
Ángulo obtuso.obtuso .- Es aquel cuya medida está comprendida entre 90 y 180.
CONGRUENCIA DE ÁNGULOS Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida. Así por ejemplo:
90 < α < 180 180
Ángulos complementarios Son dos ángulos cuyas medidas suman 90. Se dice que uno cualquiera de ellos es el complemento del otro. Si “C” se lee Complemento Si m AOB=mMNL, entonces el AOB es congruente con el MNL y se denota:
C(α) = 90 90 - α
α < 90
Ángulos suplementarios Son dos ángulos cuyas medidas suman 180. Se dice que uno cualquiera de ellos es el suplemento del otro. Si “S” se lee Suplemento
AOB MNL
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO Es el rayo cuyo origen es el vértice del ángulo y que lo divide en dos ángulos congruentes.
S(α) = 180 180 - α
Ángulos adyacentes Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común, además los lados no comunes están situados en distintos semiplanos determinados por el lado común.
Para Para la figu figura ra adju adjunt nta a dir direm emos os que que OM bise biseca ca al áng ángul ulo o AOB, si:
AOM MOB
o AOB m m AOM = mMOB = 2
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS CONVEXOS a)
Ángulos opuestos por el vértice Son dos ángulos tales que los lados de uno s on los rayos opuestos de los lados del otro.
Ángulo agudo.agudo .- Es aquel cuya medida está comprendida entre 0 y 90
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ASOCIACIÓN ASOCIACIÓN EDUCATIVA “PITÁGORAS”
Geometría 03. Ángulos formados formados a un mismo lado lado de una una recta recta
α=β
OBSERVACIONES: α + β + θ + ω = 180
01. Todo punto punto de de una recta recta determina determina en ella dos rayos rayos opuestos.
04. Ángulos formados formados alrededor alrededor de un punto.
Así en la figura adjunta OA y OB son rayos opuestos. 02. Ángulos adyacentes adyacentes suplement suplementarios arios (Par lineal)
α + β = 180 180 α + β + θ + ω + φ = 180
PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMAS PROPUESTOS 01. De la figura figura calcular calcular el el valor valor de “x”, “x”, si la m AOD=120 y la mBOC=20.
05. Se tiene tiene los ángulos ángulos consecutiv consecutivos os AOB, AOB, BOC y COD cuyas medidas son proporcionales a 4; 3 y 5 respectivamente, tal que la m AOD=120. Calcular la m AOC. A) 40 D) 70
B) 50 E) 80
C) 60
06. Se tiene los los ángulos ángulos consecutivos consecutivos AOB, AOB, BOC BOC y COD, COD, tales que: m AOC=45, mBOD=65 y m AOD=100. Calcular la mBOC. A) 10 D) 25
B) 15 E) 30
A) 10 D) 25
C) 20
B) 15 E) 30
C) 20
07. Del gráf gráfico ico calcu calcular lar “x”. “x”.
02. 02. En la fig figur ura a m AOX=130 y OX es bisectriz del ángulo BOC. Calcular la m AOB.
A) 110 D) 135 A) 60 D) 80
B) 50 E) 100
C) 70
B) 120 E) 140
C) 130
08. Si m AOC+mBOD=130, calcular “x”.
03. Si a la la medida medida de un un ángulo ángulo se le disminuye su suplemento resulta 20. ¿Cuánto mide dicho ángulo? A) 100 B) 80 C) 20 D) 180 E) 130 04. Las medidas medidas de dos ángulos complementario complementarioss están en la relación de 4 a 5. Calcular el suplemento del mayor. A) 100 D) 140
B) 120 E) 170
A) 30 D) 60
C) 130
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B) 20 E) 50
C) 40
ASOCIACIÓN ASOCIACIÓN EDUCATIVA “PITÁGORAS”
Geometría
09. La suma de las medidas medidas de dos ángulos ángulos es 70 y el el complemento del primero es el doble del segundo ángulo. Calcular la diferencia de las medidas de dichos ángulos. A) 30 B) 45 C) 60 D) 70 E) 80
15. 15. Calc Calcul ular ar la la m AOB, si Sα+Cβ=SCθ+40.
10. 10. Calcu Calcula larr “x” “x”,, si θ-β= θ-β=6. 6.
A) 130 D) 140
A) 54 D) 63
B) 57 E) 66
B) 150 E) 100
C) 120
16. Se tiene tiene los ángulos ángulos consecutiv consecutivos os AOB, AOB, BOC y COD tal que sus medidas suman 180, además la mBOC=40. Calcular la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos AOC y BOD. A) 70 B) 80 C) 40 D) 50 E) 45
C) 60
11. Se tiene tiene dos ángulos consecutivos consecutivos AOB y BOC BOC de
maner manera a que que OM es bise bisect ctri rizz del del ángu ángulo lo BOC. BOC. Si la
17. Si a uno de dos ángulos ángulos suplementar suplementarios ios se le disminuye su complemento para agregárselo al otro; éste nuevo ángulo resulta ser ocho veces lo que queda del primero. Calcular el menor de dichos ángulos suplementarios. A) 45 B) 50 C) 55 D) 60 E) 70
m AOB+m AOC=136, calcular la m AOM. A) 44 B) 58 C) 72 D) 68 E) 88 12. Si el complemento complemento de “α” y el suplemento suplemento de “θ” suman 70, calcular “x”.
18. Se tiene tiene los ángulos ángulos adyacentes adyacentes suplement suplementario arioss AOB
y BOC, se traza las bisectrices OM y ON de los
A) 90 D) 150
B) 120 E) 160
ángulos AON y BOC respectivamente. Si la mMOB=60, calcular la mMOC. A) 120 B) 110 C) 90 D) 100 E) 105
C) 110
19. Sean los ángulos consecutivos consecutivos AOB AOB y BOC, BOC, tal que que mBOC=m AOB+36. Se trazan trazan las bisectrices OX, OY y OZ de los ángulos AOB, BOC y XOY respectivamente. Calcular la mBOZ. A) 8 B) 9 C) 12 D) 18 E) 27
13. Se tiene los rayos rayos coplanarios coplanarios OA, OA, OB, OC, OC, OD y
OE; OE; tal tales es que que OB es bise bisect ctri rizz del del ángu ángulo lo AOC OC,, m AOB+m AOE=81 y mCOD=2mDOE. Calcular la m AOD. A) 27 B) 40,5 C) 36 D) 54 E) 48
20. Se tiene tiene un ángulo ángulo convexo convexo AOB AOB que mide “n”, “n”, de manera que es dividido por “n” rayos en ángulos consecutivos de igual medida. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices del tercer y enésimo ángulo formados. A) n(n 1) B) n(n 3) C) n(n 3) n 1 n 1 n 1 n(n 2) n(n 2) D) E) n 1 n 1
14. Se tiene tiene los ángulos ángulos consecutivos consecutivos AOB AOB y BOC, BOC, tal tal
que que OM es bise bisect ctri rizz del del ángu ángulo lo AOC AOC. Si: Si:
mBOC-m AOB=50, calcular la m BOM. A) 20 B) 25 C) 40 D) 45 E) 50
TAREA 01. 01. Calcu Calcula larr “α”. “α”.
A) 45 D) 65
B) 55 E) 75
C) 60
02. De la figur figura a calcular calcular el valor valor de “x”, “x”, si m AOD+m AOC-mBOD=60.
A) 20 D) 18
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B) 15 E) 40
C) 10
ASOCIACIÓN ASOCIACIÓN EDUCATIVA “PITÁGORAS”
Geometría
03. En el el gráfico gráfico mostrad mostrado: o: m AOC=50, mCOE=70,
06. Se tiene tiene los ángulos ángulos consecutiv consecutivos os AOB, AOB, BOC y COD cuyas medidas son 20; 40 y 70 respectivamente. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD. A) 65 B) 85 C) 75 D) 80 E) 70
bisec ectr triz iz del del áng ángul ulo o AO AOC y OD es bise bisect ctri rizz OB es bis del ángulo COE. Calcular la mBOD.
07. Si el suplemento suplemento del complemento complemento del suplemen suplemento to de un ángulo es 130, calcular la medida de dicho ángulo. A) 100 B) 115 C) 140 D) 150 E) 135 A) 35 D) 50
B) 40 E) 60
08. Si al mayor de dos ángulos complementar complementarios ios se le quita 20 para agregarle al otro; ambos se igualan, calcular el menor de dichos ángulos A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 45
C) 45
04. Calcula Calcularr el valor valor de “x”. “x”.
09. Se tiene tiene los ángulos ángulos consecutivo consecutivoss AOB, BOC BOC y COD. COD. Calcular la m BOC, si m AO D= 90 y m AOC+mBOD=140. A) 20 B) 100 C) 25 D) 40 E) 50 10. Se tiene tiene los ángulos ángulos consecutiv consecutivos os AOB, AOB, BOC y COD tal que el BOC es recto y además la bisectriz del
AOC
A) 15 D) 20
B) 16 E) 25
C) 18
es perpendicular a OD . Calcular la medida
del del ángu ángulo lo det deter ermi mina nado do por por dich dicha a bis bisec ectr triz iz y OB , si m AOB-mCOD=45. A) 30 B) 25 D) 10 E) 15
05. La suma suma del complem complemento ento de de un ángulo ángulo y el suplemento de otro ángulo es 140. Calcular el suplemento de la suma de ambos ángulos. A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80
C) 20
ÁNGULOS DETERMINADOS POR UNA TRANSVERSA TRANSVERSAL L SOBRE SOBRE DOS RECTAS PARALELAS POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS DE UN PLANO En un plano dos rectas pueden presentar las siguientes posiciones: a)
NOTAS: Observe que las rectas paralelas siempre están contenidas en un mismo plano. El símbolo // significa “es paralela a”.
Secante Secantes, s, si su su inter intersecc sección ión es un punto. punto.
ÁNGULOS DETERMINADOS POR UNA TRANSVERSAL TRANSVERS AL SOBRE DOS RECTAS PARALELAS Toda recta secante a dos rectas paralelas determina con ellas ocho ángulos que según su posición (consideradas de dos en dos) reciben los nombres de: alternos, correspondientes y conjugados.
En la figura m y n son secantes.
b)
m
01. Ángulo Ánguloss alterno alternos: s: Pueden ser:
n = {P}
a)
Internos:
Para Parale lelas las,, si no se se inte inters rseca ecan. n.
p // q
p
Si a // b
q = φ
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α=β
ASOCIACIÓN ASOCIACIÓN EDUCATIVA “PITÁGORAS” a)
Geometría
Externos:
PROPIEDADES GENERALES 1ra Propiedad
Si a // b
α=β
02. Ángulo Ánguloss corresp correspond ondien ientes tes::
Si a // b
x=α+θ
2da Propiedad
Si a // b
α=β
03. Ángulo Ánguloss conj conjuga ugados dos:: Pueden ser: a)
Internos:
Si a // b
a)
x+y+z=α+β+θ+ω
3ra Propiedad
Si a // b
α + β = 180 180
α + β = 180 180
Externos:
Si a // b OBSERVACIÓN:
Si L1 // L2 entonces:
a=c=e=g
Si m // n
b =d =f =h
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a
+ b + c + ... + x + y + z = 180
ASOCIACIÓN ASOCIACIÓN EDUCATIVA “PITÁGORAS”
Geometría
PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMAS PROPUESTOS
01. En la figura calcular “a/b”, si L1 // L2 .
A) 120 D) 150
B) 130 E) 160
A) 3/5 D) 1
B) 1/2 E) 3/2
06. Calcular “x”, si a // b .
C) 2
C) 140
02. En la fifigura mostrada: L1 // L2 . Calcular “y”.
A) 90 D) 120
B) 60 E) 70
C) 30
07. Del gráfico calcular “x”, si L1 // L2 . A) 70 D) 85
B) 75 E) 65
C) 80
03. Calcular “x”, si a // b .
A) 10 D) 30
B) 20 E) 45
C) 15
08. Calcular “θ”, si a // b .
A) 75 D) 130
B) 70 E) 30
C) 150
04. Calcular “x”, si a // b y BA // CD . A) 130 D) 120
B) 140 E) 110
C) 70
09. En la figura L1 // L2 , calcular “x”.
A) 130 D) 175
B) 100 E) 80
C) 60
A) 36 D) 60
05. Calcular “x+y”, si L1 // L2 .
-50-
B) 18 E) 30
C) 72
ASOCIACIÓN ASOCIACIÓN EDUCATIVA “PITÁGORAS”
Geometría 15. Del gráfico gráfico adjunto adjunto calcular el valor valor de “x”. “x”.
10. Calcular “x”, si en la figura L1 // L2 .
x°
2x°
θ°
θ° A) 130 D) 100
B) 120 E) 140
A) 30 D) 75
C) 110
B) 45 E) 50
C) 60
16. Calcular “x”, si L1 // L2 .
11. Si L1 // L2 , calcular “x”.
A) 100 D) 120
B) 110 E) 130
C) 125 A) 100 D) 130
B) 120 E) 140
C) 110
12. Calcular “x”, si m // n .
17. En la figura L1 // L2 . Si α; β; θ y ω están en progresión aritmética de razón 15, calcular “x”
A) 84 D) 106
B) 96 E) 95
C) 104
A) 15 D) 45
13. En la figura adjunta L1 // L2 // L3 y θ+φ=230.
B) 20 E) 60
Calcular “x”.
C) 30
18. En la figura adjunta L1 // L2 . Ca Calcular “x+y”.
A) 55 D) 70
B) 60 E) 75
A) 60 D) 80
C) 65
B) 70 E) 100
C) 90
19. Si L1 // L2 , calcular “x”.
14. En la figura r // s . Calcular “x”.
A) 43 D) 34
B) 47 E) 46
A) 9 D) 18
C) 56
-51-
B) 10 E) 20
C) 15
ASOCIACIÓN ASOCIACIÓN EDUCATIVA “PITÁGORAS”
Geometría
20. Si L1 // L2 , calcular “x”
A) 45 - α 2 D) 90 - α 2
C) 45 + α 2
B) 45 - α E) 60 - α 3
TAREA
01. Calcular “θ”, si L1 // L2 .
A) 30 D) 18
05. Calcular “x”, si a // b .
B) 20 E) 28
C) 16 A) 24 D) 4,5
02. Calcular “x”, siendo L1 // L2 .
B) 16 E) 8
C) 7
06. Si L1 // L2 , calcular “x”
A) 50 D) 70
B) 45 E) 75
C) 60 A) 25 D) 40
B) 30 E) 45
C) 35
03. Si m // n , calcular “x”.
07. Si m // n , calcular “x”.
A) 60 D) 105
B) 75 E) 120
C) 90
A) 50 D) 85
B) 65 E) 55
C) 70
04. Calcular “x”, si L1 // L2 .
08. Calcular “x”, si m // n .
4x°
L1
72° 5x° A) 7 D) 10
B) 8 E) 11
L2 A) 45 D) 60
C) 9
-52-
B) 55 E) 65
C) 50
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Geometría
09. Si L1 // L2 , calcular x y x
A) 30 D) 60 A) 1/2 D) 3/2
B) 3 E) 4/3
10. Si L1 // L2 , calcular “x”.
B) 36 E) 54
C) 45
C) 2
TRIÁNGULOS Se denomina triángulo a la figura geométrica determinada al unir tres puntos no alineados mediante segmentos de recta . Se llama perímetro de un triángulo a la suma de las medidas de sus lados y se llama región triangular a la reunión del triángulo con su interior.
02. En todo triángul triángulo, o, la medida medida de un ángulo ángulo externo externo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no contiguos.
x=α+β
03. La suma de las medidas de los ángulos ángulos extern externos os de un triángulo, uno en cada vértice, siempre es igual a 360. Elementos: Vértices: A, B y C Lados: AB , BC y AC Ángulos: A, B y C Ángulos externos: KAB, TBC y FCA Perímetro (2p):
x + y + z = 360
2p = AB+BC+AC 04. En un mismo mismo triángulo triángulo se cumple cumple que al mayor mayor lado lado se le opone el mayor ángulo y viceversa.
donde “p” es el semiperímetro OBSERVACIÓN: Todo triángulo tiene seis ángulos externos, como muestra la figura adjunta:
a>b
α>β
05. En todo todo triángulo triángulo se cumple que que la medida medida de un lado es menor que la suma de las medidas de los otros dos y mayor que su diferencia.
b - c < a < b +c TEOREMAS FUNDAMENTALES 01. En todo triángulo triángulo se cumple cumple que la suma de las medidas de sus ángulos es igual a 180. NOTA: NOTA: Esta relación también es conocida como la desigualdad triangular.
α + β + θ = 180 180
-53-
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Geometría
PROPIEDADES PARTICULARES
Obtusángulo: Es Obtusángulo: Es el que tiene un ángulo obtuso y dos ángulos agudos.
θ+ω=α+β
OBSERVACIÓN: En OBSERVACIÓN: En todo triángulo obtusángulo el lado opuesto al ángulo obtuso es el lado mayor. B) Según la congruencia congruencia de sus lados. lados. x=α+β+θ
01 .
Escaleno: Es aquel que tiene sus lados diferentes, además sus ángulos también son diferentes.
AB BC BC AC AB AC
02 .
Isósceles: Es aquel que tiene dos lados congruentes, en consecuencia los ángulos opuestos a dichos lados también son congruentes.
AB BC
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS A) Según la medida medida de sus ángulos. ángulos. 01.
Rectángulo: Es aquel que tiene un ángulo recto y dos ángulos agudos. Los lados que forman al ángulo recto se llaman catetos y el que se le opone recibe el nombre de hipotenusa.
03 .
α β 90
Oblicuángulo: Es aquel que no tiene ángulo recto, puede ser:
-
Acutángulo: Acutángulo: Es el que tiene sus 3 ángulos agudos.
β° α°
AB BC AC
02.
Equilátero: Es aquel que tiene sus tres lados congruentes; tiene también sus tres ángulos congruentes.
RECOMENDACIÓN: Si PQ=PR y mQPR=60, se recomienda unir los puntos “Q” y “R” para formar un triángulo equilátero.
α < 90, 90, β < 90 90 y θ < 90 90 θ°
En la figura el triángulo PQR es equilátero.
-
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Geometría
PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Los ángulos ángulos interior interiores es de un triángulo triángulo miden 6x+5; 6x+5; 11x-20 y 5x+15. Calcular la medida del m ayor ángulo del triángulo. A) 69,8 B) 71,4 C) 70 D) 75 E) 80
A) 20 D) 50
B) 35 E) 30
C) 40
08. En la figura figura DE=6 DE=6.. Calcula Calcularr DC.
02. Si m // n , calcular “x”.
A) 3 D) 9
A) α+β D) 2α+β
B) α-β E) 2β-α
B) 6 E) 12
C) 8
09. Dos lados lados de un triángulo isósceles miden 4 y 9. Calcular el perímetro del triángulo. A) 13 B) 17 C) 22 D) 26 E) 17 y 22
C) 3β-α
10. Calcu Calcular lar “x”. “x”.
03. 03. Calcu Calcula larr “x”. “x”.
x°
3α° 145° α° A) 40 D) 35
B) 45 E) 30
3θ° θ° C) 50 A) 80 D) 150
04. De la figura figura calcular calcular “x”. “x”.
B) 90 E) 120
C) 100
B) 3/2 E) 3
C) 2
11. 11. En la figu figura ra AB=BC y DE=EC. DE=EC. Calcular: α . β
A) 10 D) 40
B) 20 E) 50
C) 30
05. Dos lados lados de un triángulo triángulo miden miden 4 y 8. ¿Cuántos ¿Cuántos valores enteros puede tomar la medida del tercer lado del triángulo? A) 3 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
A) 1 D) 4/3
06. En un triángu triángulo lo ABC: AB=6 y BC=5. BC=5. Calcular Calcular el el perímetro del triángulo si AC es el doble de la medida de uno de los otros dos lados. A) 21 B) 23 C) 24 D) A y B E) 22
12. En la figura figura AB=BC= AB=BC=CD=D CD=DE. E. Calcular Calcular “x”. “x”.
07. Si AB=BD AB=BD=DC =DC,, calcular calcular “x”. “x”.
A) 16 D) 24 -55-
B) 18 E) 26
C) 20
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Geometría
13. 13. En la fig figur ura a mBED=20. Calcular “x”.
A) 60 D) 40
B) 50 E) 80
C) 70
17. Del gráfico gráfico mostrado mostrado calcular calcular el máximo máximo valor entero de “x”, si HC-AB=k (k Z+)
A) 17 D) 14
A) 10 B) 15 C) 20 D) 30 E) 40 14. Las medidas medidas de dos dos lados de un triángulo triángulo isósceles isósceles están en la relación de uno a dos. Si el perímetro del triángulo es 20, calcular la medida de la base. A) 4 B) 5 C) 4 ó 5 D) 10 E) 4 ó 10 15. En la figu figura ra calcul calcular ar “x”. “x”.
B) 100 E) 70
C) 22
18. De la figura mostrada, mostrada, calcular calcular “a+b+c”. “a+b+c”.
A) 90 D) 360
A) 60 D) 110
B) 18 E) 13
B) 180 E) 120
C) 270
19. 19. En el triá triáng ngul ulo o AB ABC en en AC se ubic ubican an los los pun punto toss “E “E” y “D”, tales que m AED+mBDC=230, AE=BE y BD=DC. Calcular la m ABC. A) 130 B) 120 C) 115 D) 110 E) 100
C) 90
16. En la fifigura AB=BC y L1 // L2 . Calcular “x”.
20. 20. Se tien tiene e un un tri trián ángu gulo lo ABC, BC, AB AB=BC, =BC, en AC se ubic ubica a el punto “D” tal que AB=DC, AB=DC, y en la prolongación de BD se ubica el punto “E” tal que BC=BE. Si la mDAE=35, calcular la m C. A) 35 B) 40 C) 30 D) 50 E) 45
TAREA 01. Las medidas medidas de los los ángulos ángulos externos externos de un triángul triángulo o se encuentran en progresión aritmética. Calcular la medida de uno de los ángulos internos de dicho triángulo A) 40 B) 60 C) 90 D) 120 E) 75 02. Si AB=AD AB=AD=DC =DC,, calcular calcular “x”. “x”.
04. Calcula Calcularr “ a+b+c+ a+b+c+d+e d+e+f +f ”.
A) 180 D) 90
A) 30 D) 15
B) 20 E) 40
B) 270 E) 360
C) 540
05. 05. Dado Dado un triá triáng ngul ulo o ABC ABC,, en en el el que que AB=A AB=AC, C, en AB se ubic ubica a el el pun punto to “E” “E” y en en AC los los pun punto toss “D” “D” y “F”. “F”. Calcular la m BAC, si se sabe que BC=BF=FE=ED=DA.
C) 35
03. 03. En un triá triáng ngul ulo o equ equililát áter ero o AB ABC en en AC se ubic ubica a el el punto “D” tal que la mCBD=18. Calcular la m ADB. A) 60 B) 42 C) 36 D) 78 E) 68
A) 10 D) 25 -56-
B) 15 E) 30
C) 20
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Geometría
06. Si AB=BC AB=BC=AD =AD,, calcular calcular “x” “x”..
A) 360 D) 270
B) 450 E) 900
C) 180
08. Se tiene un triángulo triángulo isósceles isósceles ABC, ABC, AB=BC AB=BC,, en AB en AB se ubic ubica a el el punt punto o “P” “P” y en en CP el punt punto o “Q” “Q” tal tal que que BP=BQ y mQBC=36. Calcular la m ACP. A) 36 B) 12 C) 72 D) 18 E) 24
A) 124 D) 134
B) 128 E) 138
09. Dos lados lados de un triángulo triángulo miden 7 y 9. 9. Calcular Calcular el perímetro del triángulo si el tercer lado mide el doble de lo que mide uno de los otros dos. A) 16 B) 21 C) 30 D) 34 E) 30 ó 34
C) 130
07. Calcula Calcularr “α+β+θ+ω “α+β+θ+ω+ρ+ +ρ+a+b a+b+c” +c”
10. Del gráfico siguiente siguiente calcular calcular “x”.
A) θ/2 D) 90-θ/2
B) 60 E) 180-2θ
C) 90-θ
LÍNEAS LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO 01. 01. Medi Median ana. a.-- Es el segmento de recta cuyos extremos son un vértice del triángulo y el punto medio del lado opuesto.
BE : Bisectriz exterior OBSERVACIÓN:
En la figu figura ra si “M” “M” es es el el pun punto to medi medio o de de AC , entonces BM es mediana relativa al lado AC . 02. 02. Alt Altura. ura.-- Es el segmento perpendicular a un lado del triángulo trazado a partir del vértice opuesto.
Si AB BC
BF //AC
04 04.. Medi Mediat atri riz. z.-- La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento en su punto medio.
Si BH AC , ent enton once cess BH es una una de de las las altu altura rass del del triángulo ABC. 03. 03. Bise Bisect ctri riz. z.-- Es el rayo que partiendo de uno de los vértices del triángulo determina con los lados de él ángulos congruentes.
Si “M” es el punto nto medio dio de AB y L
BD : Bisectriz interior
es mediatriz de AB . L es
-57-
AB , entonces
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Geometría En la figura:
En la figur figura a most mostra rada da la mediat mediatri rizz de de AC inters interseca eca a BC en el punto “P”.
BD : Ceviana interior BE : Ceviana exterior OBSERVACIÓN:
05. 05. Cevi Cevian ana. a.-- Es el segmento de recta cuyos extremos son un vértice del triángulo y un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación.
Si: AB BC BH:Altura BH:Mediana
BH :Bisectriz
BH :Mediatriz
PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMAS PROPUESTOS 01. En un triángulo triángulo acutángul acutángulo o ABC ABC se traza la altura altura BH y la la med media iana na BM , tal tal que que AH= AH=5 5 y HC=1 HC=11. 1. Calc Calcul ular ar HM. A) 1 B) 2 C) 3 D) 2,5 E) 4 02. Dado el trián triángulo gulo ABC ABC se se cumple cumple que que m A=60 y m C=40. Se traza la bisectriz interior del ángulo B que que int inter erse seca ca a AC en “D”. Calcu alcula larr la la m ADB. A) 60 B) 70 C) 85 D) 80 E) 95
06. 06. En el triá triáng ngul ulo o PQR PQR se traz trazan an las las med media iana nass QM y PN . Calcular PR QN MR NR A) 1,5 B) 2 C) 2,5 D) 3 E) 4 07. En el el trián triángulo gulo ABC: ABC: m A=70 y mC=30. Calcular la medida del menor ángulo que forman la mediatriz de AC y la bisectriz exterior del ángulo “B”. A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80
08. 08. En el triá triáng ngul ulo o ABC ABC se traz traza a la medi median ana a AM , tal tal que que AM=MB. Si la mC=40, calcular la m MAB. A) 40 B) 45 C) 60 D) 50 E) 55
03. 03. En el gráf gráfic ico o BD es bise bisect ctri rizz del del ángu ángulo lo ABC y m A-mC=50. Calcular “x”.
09. 09. En la fig figur ura a mHBC=36, =36, AB es bise bisect ctrriz del del áng ángul ulo o
HAP HAP y HP es bise bisect ctri rizz del del ángu ángulo lo AHB. AHB. Calc Calcul ular ar la m APH. A) 65 D) 75
B) 55 E) 95
C) 85
04. Del gráf gráfico ico calcul calcular ar “x”. “x”.
A) 43 D) 72
B) 53 E) 60
C) 63
10. En la figura mostrada L1 y L2 son mediatrices de A) 45 D) 90
B) 75 E) 30
C) 60
lcula ar “x”, si α+β=100. AB y AC . Calcul
05. En la figura PQ // AC , AB=7 y BC=9. Calcular PQ.
A) 14 D) 17
B) 15 E) 18
C) 16
A) 100 D) 70 -58-
B) 50 E) 80
C) 60
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Geometría
11. En un triáng triángulo ulo ABC: ABC: m A=15, se traza la bisectriz
16. En un triángulo acutángulo acutángulo ABC ABC se traza traza la la altura altura
exterior BD (“D” en la prolongación de AC ). Si
Sean: BH , la bisectriz interior AD y la ceviana CN . Se
CB=BD, calcular la m ADB. A) 35 D) 55
B) 45 E) 65
AD BH = {P}; BH CN ={Q} y CN AD ={R}. Si CR-BQ=6, calcular el perímetro del triángulo equilátero PQR. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 12
C) 50
12. En la figura adjunta: QE // AC y AQ - PC=10. Calcular PQ.
17. En la figur figura, a, calcul calcular ar “a+b” “a+b”..
59° a° α°α° α° A) 10 D) 25
B) 15 E) 5
A) 209 D) 239
C) 20
θ° θ° θ°
b° B) 219 E) 249
C) 229
18. En la figura AH=3 y HC=2. HC=2. Calcular Calcular BH.
13. En un un triáng triángulo ulo ABC: ABC: m A=15 y mC=30. Si AB=8, calc calcul ular ar la medi medida da de la altu altura ra AH . A) 4 B) 4 2 C) 4 3 D) 6 E) 3 3
14. En la figura AP es bi bisectriz y BH es altura. Si Si BQ BQ=5, calcular BP. A) 3 D) 2 2
A) 2,5 D) 5
B) 5 2 E) 10
B) 4 E) 5
C) 3,5
19. 19. En el triá triáng ngul ulo o ABC ABC se tra traza za la cevi cevian ana a BD tal tal que que AB+BD=18. Si las medidas de los ángulos ACB, ACB, BAC BAC y CBD son proporcionales a 1; 2 y 3 respectivamente, calcular DC. A) 36 B) 15 C) 12 D) 24 E) 18
C) 7,5
20. En un un trián triángulo gulo ABC: ABC: m A=2mC, la bisectriz
15. Si AD=DB AD=DB y β=50, β=50, calcular calcular “x”. “x”.
interior BD
(“D” en AC ), interseca en “E” a la
bisectriz exterior de “C”. “C”. Calcular CE, si DE=4. DE=4. A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 12 A) 60 D) 80
B) 70 E) 75
C) 50
TAREA 02. Del gráf gráfico ico calcu calcular lar “x”. “x”.
01. En la figura AD es bisectriz, m ABC=110 y mBAD=20. Calcular “x”.
A) 15 D) 40
B) 20 E) 55
A) 150 D) 130
C) 30
-59-
B) 120 E) 140
C) 125
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Geometría
03. En la figura MN // AC , AM=4 y NC=7. Calcular MN.
07. 07. En un triá triáng ngul ulo o ABC ABC la medi median ana a AM y la la bis bisec ectr triz iz
BF se intersecan perpendicularmente. Calcular: E AB BC AB BM AB CM B) 3,5 C) 4 E) 2
A) 3 D) 4,5
08. En el el triáng triángulo ulo ABC: ABC: m A=80 y mC=30. Calcular la medida del ángulo que forman la bisectriz exterior de “B” y la mediatriz de AC . A) 75 B) 70 C) 55 D) 60 E) 65 A) 12 D) 11
B) 13 E) 14
C) 10
09. En el triángulo triángulo ABC: BC - AB = 3 y la medida del ángulo exterior “B” es el cuádruplo de la medida del ángulo interior “C”.Se traza la bisectriz exterior BF tr trazándose a continuación AE // BC (E BF BF ). Calcular BE. A) 3 B) 4 C) 6 D) 1,5 E) 5
04. 04. En un triá triáng ngul ulo o ABC ABC se traz traza a la la bis bisec ectr triz iz inte interi rior or AP , tal que AC=AP=PB. Calcular la medida de uno de los ángulos del triángulo. A) 24 B) 30 C) 36 D) 40 E) 60
10. 10. En la figu figura ra adju adjunt nta a BH es altu altura ra,, AP= AP=2 2 y PQ=QB Q=QB=4 =4.. Calcular QC.
05. 05. En un triá triáng ngul ulo o isó isósc scel eles es PRQ PRQ de base base PQ , se se tra traza za la al altura PS . Ca Calcular la mPRQ, si la mSPQ=22. A) 34 B) 44 C) 46 D) 54 E) 68
06. 06. En un triá triáng ngul ulo o ABC ABC se tra traza za la bise bisect ctri rizz ext exter erio iorr BE , “E” “E” en en la prol prolon onga gaci ción ón de AC , tal tal que que BE= BE=CE CE.. Si Si la la m A=30, calcular la m BEC. A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50
A) 5 D) 8
-60-
B) 6 E) 9
C) 7
