UNIVERSIDAD UNIVERSID AD DE GUAYA GUAYAQUIL FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS INGENIERÍA EN GESTIÓN EMPRESARIAL EMPRESARIAL TEMA:
ANUALIDADES ANTICIPADAS
AUTORES:
ALV ALVARADO CABELLO CABEL LO JOEL (Líder) (Líder ) ALV ALVAREZ BENITEZ B ENITEZ ASTRID CHONILLO MACIAS NATHALY MONTIEL MORALES ANGY PAREDES VALERO YOSELINE
ASIGNATURA:
MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS FINANCIE F INANCIERAS RAS
DOCENTE:
EC. LUIS FAJARDO FAJARDO
CURSO:
GEMB ! "#
ANUALIDADES ANTICIPADAS ANTICIPADAS Una anualidad anticipada general es aquella cuyos pagos vencen al inicio de cada uno de los periodos que la componen, siendo stos di!erentes de los periodos de capitali"aci#n de los intereses$
La !orma m%s sencilla de tra&a'ar con una anualidad anticipada general es trans!ormarla en una anticipada simple, y luego utili"ar las !#rmulas ya conocidas de sta para determinar los valores deseados$ Una manera de reali"ar dic(a modi!icaci#n consiste en utili"ar la tasa de inters ) i ) capitali"a&le, veces por a*o$
Términos utili!"os #n l!s !nu!li"!"#s$ R#nt!+ Es el pago peri#dico de igual valor$ P#rio"o "# r#nt! + Es el tiempo que transcurre entre los pagos peri#dicos continuos$ En ocasiones se requiere calcular el valor de la renta o de los dep#sitos peri#dicos )), partiendo de un monto o valor !uturo espec-!ico de una anualidad anticipada simple )S), de una duraci#n )n) y de una tasa de inters por periodo ) i.$ En tales casos, el c%lculo de la renta se reali"a con la e/presi#n que resulta al despe'ar a )) de la !#rmula+
R#nt! #n %!lor &uturo R=
S∗i
[ ( 1 + i ) n + 1− i − 1 ]
R#nt! #n V!lor !'tu!l 1 + i −(1 + i ) [¿¿ −n + 1 ] A .i R=
¿
Pl!o o ti#m(o$ El tiempo que transcurre entre el principio del primer periodo y el !inal del 0ltimo periodo se denomina pla"o de la anualidad y se representa por la letra n$ Si se conoce el monto )S) de una anualidad anticipada simple, la tasa de inters por periodo ) i ) y el valor de la renta )) , puede calcularse el valor de )n) , o sea, el n0mero total de periodos 1o de pagos2 de la anualidad, mediante la e/presi#n que resulta al despe'ar a )n) de la !#rmula+
Ti#m(o 'on %!lor !'tu!l
[
A
log 1+ i −( n
= 1−
r
∗i )
]
log ( 1 + i )
Ti#m(o 'on %!lor &uturo log
n=
[(
vf ∗i + i +1 r
log ( 1 + i )
)] −
1
V!lor &in!l "# un! !nu!li"!" !nti'i(!"! $3 Esta&leciendo una ecuaci#n !inanciera tomando como !ec(a !ocal el !inal del (ori"onte temporal, el monto S de una anualidad anticipada puede o&tenerse del modo siguiente$
1 +i
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ S = R ¿
El %!lor (r#s#nt#+ Este se representa por el s-m&olo a n4i o por 1P5A, n, i2, que signi!ica el presente de una anualidad en n periodos a la tasa i$ 1 +i
¿ ¿ 1 + i −¿ ¿ ¿ A = R ¿
E)ERCICI*S
ANUALIDADES ANTICIPADAS$ VAL*R FUTUR* E)ERCICI* El Ing$ Carlos Paredes reali"a un dep#sito de 6778 cada trimestre durante 7 a*os y la instituci#n !inanciera le reconoce un 9: de inters capitali"a&le &imestralmente$ ;Cu%l es el valor acumulado de la cuenta al !inali"ar el per-odo< DAT=S+ + 6 778 c5trimestre N+ 7 a*os > trimestres T+ 9: &imestral
$%&' *+ +%
VF = R
VF =220
[
[
( 1 + i )n+ 1 −(1 + i ) i
]
(1 + 0.075 )8+1−( 1 + 0.075 ) 0.075
]
1.075 ¿ −(1.075 ) VF =220 [ ¿¿ 0.075 ] 9
VF =220
[
(0.842238662 ) 0.075
]
VF = 220 [ 11.22984883 ] VF = $ 2470.57
TA+LA DE CAPITALI,ACIÓN
E)ERCICI*- . El se*or ?uan Pre" desea conocer el monto que se acumular% al dcimo 9to dep#sito &imestral con pagos peri#dicos de >888$88 con tasa del 7,@: &imestral nominal, Esta&le"ca la tasa e!ectiva tam&in desea conocer el rendimiento de los dep#sitos en caso de usar tasa e!ectiva$ Esta&le"ca cu%l de los dos resulta m%s conveniente para el se*or Pre"$
DAT*S$
+ 6 >888 7$@: &imestral
I+
N+ B9 dep#sitos &imestrales
VF = R
[
(1 + i )n+ 1 −( 1 + i ) i
]
VF = 8000
[
(1 + 0.0236 )15+1−( 1+ 0.0236 )
VF = 8000
[
1.452393964 −1.0236 0.0236
0.0236
]
]
VF =8000 [ 18.16923576 ]
VF = $ 145172.83
[
Je = 1+
]
j2 −1 m2
I+ 7$@: &imestral
[
Je = 1+
0.1416 6
]
7$@:8$BB
6
−1
Je = [ 1 + 0.0236 ] −1 6
Je =1.150221982 −1
Je = 0.1502219823 Je =15.022
VF = R
[
( 1 + i )n+ 1 −(1 + i ) i
]
VF = 8000
[
(1 + 0.02503666667 )15+1−( 1+ 0.02503666667)
VF = 8000
[
1.485355517 −1.02503666667
0.02503666667
0.02503666667
]
]
=8000 [ 18.37578814 ]
VF
VF =$ 147086.31
RENTA EN VAL*R FUTUR* E)ERCICI* ;Cu%nto de&es depositar al principio de cada &imestreF en una cuenta de a(orros que paga BB$: de inters con capitali"aci#n &imestral, para que al !inal de a*os se tengan reunidos 6 B79888< DATOS,
GH+ 6 B79888 N+ a*os 7 &imestres I+ BB$: 8$8858$8B
r=
r=
r=
S.i
[ ( 1+ i ) + − i + 1 ] n 1
125000∗0.019
[( 1+ 0.019)
24 + 1
−0.019 + 1 ]
2375
[ (1.60086596 )− 0.019 +1 ]
r=
2375 [ 0.5818645963 ]
r = $ 4081.71
TASA DE INTER/S EN VAL*R FUTUR* ;A qu tasa de inters converti&le &imestralmente se acumulan 6 B9@9@$> luego de B9 dep#sitos &imestrales anticipado de 6 >888 ; Cu%l es la tasa e!ectiva equivalente o&tenida<
DAT*S$ GH+ 6 B9@9@8$> N+ B9 dep#sitos + 6 >888 I+ <
(1 + i)n + 1−i + 1 i
=
S R
( 1 + i)n +1−i+ 1 14535360.89 = B>$B7@79 i 8000
( 1 + 0.01 )15 +1−0.01 + 1 0.01
(1 + 0.02 )15 +1−0.02 + 1 0.02
(1 + 0.03 )15+1−0.03 + 1 0.03
=16.25786449
=17.63928525
=19.1568813
( 1 + 0.025 )15+1−0.025 + 1 0.025
=18.38022483
( 1 + 0.0230 )15+1−0.0230 +1 0.0230
=18.07965957
i B 7 @ 7$98 7$@8 7$@9 7$@
S0R B$79J>J BJ$@7>979 B$B9>>B@ B>$@>877>@ B>$8J99J B>$B97JB7 B>$B7@9JJ
(1 + 0.0235 )15+1−0.0235 + 1 0.0235
=18.15427126 ( 1 + 0.0236 )15+1−0.0236 + 1 0.0236
=18.16923577
R--
?os Kelo e!ect0a dep#sitos anticipados mensuales por valor de 67@,9J cada uno, en una cuenta de a(orros que a&ona el @9$: anual converti&le mensualmente$ Determine+ a$2 El &alance de la cuenta 'ustamente antes del >vo deposito $2 Durante qu tiempo 1a*os2 de&e reali"ar dic(os dep#sitos si pretende acumular la suma de 6B9888$88
Datos+ 67@$7J S 6B9888$88 i @9$: anual 5B7 33M 7$J: mensual 8$87J
( 1 +i )n +1−i−1 ¿ VF = R [ ¿¿ i ] ( 1 +0,027 )7+1− 0,0297 −1 ¿ VF =623,57 [ ¿¿ 0,0297 ] =623,57 [ 7,88287513 ]
VF
VF = 491,52
VAL*R PRESENTE La se*ora Kercedes enites arrienda una o!icina, paga B> mensualidades de 6778 con un inters J: semestral$ ;Cu%nto de&e pagar durante ese tiempo< DATOS,
R /e01234e1 N "# /e1e1
5 6%-' *""''''''6
[
−n+ 1
VP = R 1 +
1−( 1+ i ) i
[
] −17
VP= 220 1 +
1−( 1+ 0.0116666667 ) 0.0116666667
[
1−( 1+ 0.0116666667 )
[
1−( 0,8210384731 )
VP =220 1 +
VP =220 1 +
[
VP=220 1 +
− 17
0.0116666667
❑
0.0116666667
0.17896152289 0.0116666667
]
]
]
]
VP=220 [ 1 +(15.33955941 ) ]
VP
=220 [ 16.33955941 ]
VP =3594,70
RENTA EN VAL*R PRESENTE EL SE= ATU= =?A ADOUIEE UN CEDIT= P= J9$888 PAA PAAL= EN @ A=S CAPITALIQALE CUATIKESTALKENTE KEDIANTE CU=TAS ANTICIPADAS C=N UNA TASA DE INTES DEL B$9 : ANUAL$;C=N OUE GAL= OUEDAN L=S PA=S <
DAT=S
[
− n+1
1−( 1 + i ) VP= R 1 + i
GP+J9$888
]
1−( 1 + 0.005 ) 75000 = R 1 + 0.005
[
75000= R 1 +
N @@ PEI=D=S
I B$9:5@8$889
−9 + 1
[
75000= R 1 +
1− ( 0.960885203 ) 0.005
1−( 1.005 )
❑
0.005
]
−8
]
[
75000= R 1 +
( 0.039114796 )❑ 0.005
]
75000= R [ 1 +(7.82295924 ) ] 75000= R [ 8.82295924 ]
PEI=D=
CU=TA
INTEESES
8 B 7 @ 9 J >
8 6 >$988,99 6 >$988,99 6 >$988,99 6 >$988,99 6 >$988,99 6 >$988,99 6 >$988,99 6 >$988,99 6 >$988,99
8 6 8,88 6 @@7,98 6 7B, 6 798,B 6 78,@ 6 BJ,B 6 B7,7 6 >,@J 6 7,7
DISKINUCI=N DEL GAL= 8 6 >$988,99 6 >$B>,89 6 >$78>,> 6 >$7, 6 >$7B,B 6 >$@@7, 6 >$@J,@B 6 >$B,B> 6 >$9>,7
SALD= 6 J9$888,88 6 $,9 6 9>$@@B,8 6 98$B77,9B 6 B$>J7,9J 6 @@$9>B,@> 6 79$7>,J 6 B$>J, 6 >$9>,7 6 8,88
R=75000 / 8.82295924 R= 8500.55
TIEMP* EN VAL*R PRESENTE E)ERCICI* Andrs Korla compra a crdito un autom#vil valorado en 6988888 con !inanciamiento del B88: del valor del auto al B7$@: anual converti&le quincenalmente y acordando reali"ar pagos quincenales de 6998$7J comen"ando de inmediato$ Determine durante cu%ntos a*os se (a&r%n de e!ectuar dic(os pagos$ DAT=S+ GP+ 6 988888 I+ B7$@: 8$889B79 quincenal + 6 998$7J N+ <
[
vp ∗i ) r log ( 1 + i )
log 1+ i −(
n = 1−
[
]
log 1+ 0.005125−( n
= 1−
]
500000 ∗0.005125 ) 5560.27
log ( 1 + 0.005125 )
n = 1−
n = 1−
n
log [ 1.005125 −( 0.4608589151 ) ] log ( 1.005125 )
(−0.2641887272 ) 0.0022200751
=1−(−118.9999055)
n =199
INTER/S EN VAL*R PRESENTE Una persona se comprometi# a pagar @,88 en la !ec(a de (oy, pero al no poder cumplir con su compromiso acuerda saldar la deuda mediante pagos semestrales, e iguales de ,88 comen"ando de inmediato$ =&tenga la tasa que (a sido aplicada
5 B: 7: : 9: 9,79: 9,7J:
[
A-R
−n+ 1
1 + i −( 1+ i ) i
[
1 + i −( 1+ i ) i
[
1 + 0,01 −( 1 + 0,01 ) 0,01
[
1 + 0,04 −( 1+ 0,04 )
− n+1
]
=
]
= A R
34009 =7,393253253 4600
>,9BJJJ97 >,@79>B J,J@7J>J9 J,@7B7J9J J,@>@9JB@ J,@@79@79@
− 9+ 1
− 9+ 1
0,04
[
]=
8,651677752
]=
7,732744875
− 9+ 1
1 + 0,05 −(1 + 0,05 ) 0,05
]=
7,463212757
[
1 + 0,0525 −(1 + 0,0525 ) 0,0525
[
1 + 0,0527 −(1 + 0,0527 ) 0,0527
−9+ 1
−9 + 1
]=
7,398395713
]=
7,393253253
1CU2L ES LA TASA INTER/S N*MINAL Y EFECTIV*3 La tasa de inters nominal es aquella que se paga por un prstamo o una cuenta de a(orros y no se suma al capital, es e/presada en trminos anuales con una !recuencia de tiempo de pago, por e'emplo+ Tasa nominal anual del B8: pagadera mes vencido$ Se asimila a la tasa de inters simple$ La tasa de inters e!ectiva se paga o se reci&e por un prstamo o un a(orro cuando no se retiran los intereses, se asimila a un inters compuesto$ Esta tasa es una medida que permite comparar las tasas de inters nominales anuales &a'o di!erentes modalidades de pago, ya que generalmente se parte de una tasa e!ectiva para esta&lecer la tasa nominal que se pagar% o reci&ir% por un prstamo o un a(orro$
Por lo general las instituciones !inancieras tra&a'an con tasa e!ectiva, de&ido a que las nic lo requieren La tasa nominal es la tasa peri#dica que por lo general viene dada, diaria, mensual, trimestral, semestral La tasa e!ectiva es el resultado del inters compuesto de una tasa nominal, la tasa de inters e!ectiva no puede dividirse, porq la tasa e!ectiva es el resultado de una multiplicaci#n permanente, peri#dica, autom%tica de la tasa nominal De&emos recordar que cuando tra&a'amos con tasas e!ectivas no podemos decir que una tasa de inters del 7: mensual equivale al 7: anual, ya que esta tasa genera intereses so&re los intereses generados en periodos anteriores$ En caso de invertir los 6B88 durante un a*o al 7: e!ectivo mensual ;cu%l es la tasa de inters e!ectiva anual< GH 6B881BR8,872B7
GH 6B7,>7 La tasa e!ectiva del 7: mensual e/presada anualmente ser-a 16B7,>736B88256B88 7,>7: di!erente de 7:$
