ANUALIDADES ANTICIPADAS
U
na anualidad es antic anticipada ipada si los pagos se hace hacen n al comenzar cada period per iodo. o. Cab Cabe e señ señala alarr cua cualqu lquier ier anu anuali alidad dad se res resuel uelve ve apl aplica icando ndo apropiadamente la formula general, ya que si se tiene un valor único equi eq uiva vale lent nte e a to toda dass la lass re rent ntas as,, al te term rmin ino o de dell pl plaz azo o es esta ta tr tras asla lada da a cualquier otra fecha con la formula de interés compuesto.
EJEMPLOS 1. MONTO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA DEDUCCION DE FORMULA GENERAL
CON
LA
Obtén el monto que se acumula en 2 años, si se deposita $1.500al inicio de cada mes en un banco que abona una tasa del 24% anual capitalizable por meses.
SOLUCIÓN
El valor futuro o monto de la anualidad es la suma de todos los anteriores que en orden inverso es:
Se fact factor oriz iza a la rent renta a $1.5 $1.500 00,, y lo que que qued queda a entr entre e los los corc corche hete tess corresponde a los términos de una progresión geométrica cuyo primer término es, la razón es r= 1.02 y el número de términos es m=24 Por tanto:
La suma, según la ecuación:
Si se sustituye este resultado en al ecuación anterior, se tendrá que el monto total es
El monto acumulado de np depósitos anticipados en las anualidades simples y ciertas es:
R es el pago periódico, n es el plazo en años e i es la tasa de interés anual capitalizable periodos por año. Los valores a remplazar por las literales son: R= 1.500 la renta mensual p= 12. La frecuencia de conversión y la de pagos, son mensuales n= 2, los años del plazo np= 24, el total de rentas i= 0.24 la tasa de interés anual capitalizable por meses i/p= 0.02, la tasa por periodo mensual. Entonces,
2. EJEMPLO EJEMPLO DE PLAZO PLAZO EN INVERSION INVERSIONES ES ¿En cuanto tiempo se acumula $10.000en una cuanta bancaria que paga intereses del 27.04% anual capitalizable por semanas, si se depositan $300 al inicio de cada semana?
SOLUCIÓN M = $10.000, el monto de la anualidad R= $300, la renta semanal I = 0.2704, la tasa anual compuesta por semanas p = 52, la frecuencia de conversión y de pagos, es el numero de semanas por año
i/p = 0.2704/52 0.0052, la tasa semanal capitalizable por semanas La incógnita es n, el plazo en años o np = x, el numero de rentas
Se divide entre 300(1.0052), se multiplica por 0.0052 y se suma la unidad a los dos lados de la ecuación
De donde
Si la incó incógn gnitita a esta esta en el expo expone nent nte e la ecua ecuaci ción ón se reso resolv lver erá á con con logaritmos, ya que “si dos números positivos son iguales entonces sus logaritmos son iguales”. Es decir:
Puesto que x= np, el numero de rentas debe ser un entero, esto deberá redondearse a 31, o 30, dando lugar a que la renta semanal, o el monto varié un poco.
Por ejemplo con np= 31 resulta que la renta es:
EJERCICIOS 1. ¿Cuantos abonos bimestrales vencidos de $40.000 son necesarios para pagar pagar el precio de un trac tractor tor que se comp compró ró con un anti anticipo cipo y un crédito de $ 350.000? Con intereses del 27.6% capitalizable por bimestre SOLUCIÓN 1 −(1.04 6 ) − 350 .000 = 40 .000 0.046 350 .000 ( 0.046 )
np
−1 = −(1.04 6) −x
40 .000 0.4025
1
−
(1.046 )
x
−
= −
(1.046 ) − x = 0.05975 Ln Ln (1.046 )
(
−x
= Ln ( 0.5975 )
x ) Ln Ln (1.046 )
−
− x =
− x = x
=
=
Ln ( 0.5975
(
Ln Ln 0.5975
(
Ln Ln 1.046
)
)
− 0.515000995 0.044973366
1104512442
6 pagos
)
2. El dueño de un camión de volteo tiene las siguientes opciones para vender su unidad: a) Un cliente cliente puede puede ganar ganarle le $300.000 $300.000 de cont contado ado b) Otro le ofrece ofrece $120.000 $120.000 de contado contado y 7 mensualid mensualidades ades de $ 30.000 cada una c) El ter erce cerro le ofr frec ecee $65 65.0 .000 00 de conta tado do y 20 ab abo onos quincenales quincenal es de $14.000 cada uno. SOLUCIÓN Inciso a) 12
24
1 + i = 1 + 0.396 24 12 12
1 + i = (1.0165 ) 12 1 + i = 1.481075478 12 24
12
De donde i
1+
12
1+
i i
=
i 12
=
12
1.481075478
= 1.03327225
( 0.03327225 )(12 )
= 0.3999267
Ó
39.9926%
Inciso b) El valor presente de las 7 mensualidades de $ 30.000 es: 1 − (11 .03327225 ) − C = 14 .000 0 . 03327225 7
C
=
30 .000 ( 6.154164206
C = $184 .624 .93
)
Agregando al anticipo 120.000 120 .000
+184 .624 .93 = 304 .624 .93
Inciso c) La úl últtim ima a op opcció ión n se titie ene qu que e el va valo lorr pr pre esen entte de la lass 20 re rent ntas as quincenales de $14.000 es: − 0.396 396 1 − 1 + 24 000 C = 14.000 0.396 24
20
C
=
14 .000 (16 .91743361
)
C = $236 .844 .07
Junto con los pagos de contado dan la cantidad de: 65 .000 .00
+ 236 .844 .07 = 301 .844 .07
La se segu gund ndaa op opci ción ón es la má máss co conv nven enie ient ntee a lo loss in inte tere rese sess de dell prop pr opie ieta tari rio o de dell ca cami mión ón.. Si Sin n em emba barg rgo o la pr prim imer eraa op opci ción ón es ma mass atractiva ya que dispone el dinero en efectivo.