Contenido Introducción Concepto de anualidad y aplicaciones principales. Tipos principales Valuación Valuación de Anualidades Ordinarias Construcción de una tabla de amortización de deudas Reconstrucción de la tabla cuando cambia la tasa de interés Monto de una perpetuidad Valor Valor presente de una perpetuidad Rentas de una perpetuidad Cálculo de "i" en una perpetuidad Capitalización Conclusión Reerencias
Concepto de Concepto de anualidad y aplicaciones principales Anualidad! e aplica a problemas a problemas inancieros inancieros en los #ue e$isten un con%unto de pa&os i&uales a inter'alos de tiempo tiempo re&ulares. re&ulares. Aplicaciones típicas:
( Amortización Amortización de de préstamos en abonos. ( )educción )educción de de la tasa de interés interés en en una operación de pa&os en abonos ( Constitución Constitución de de ondos de amortización Tipos principales de anualidades
Vamos a distin&uir dos tipos de anualidades anualidades!! *a+ Anualidades ordinarias o 'encidas cuando el pa&o correspondiente a un inter'alo se ,ace al inal del mismo- por e%emplo- al inal del mes. *b+ Anualidades adelantadas- cuando el pa&o se ,ace al inicio del inter'alo- por e%emplo al inicio del mes. Ambos tipos de anualidades pueden aplicarse en un conte$to de certeza- en cuyo caso se les llama anualidades ciertas o en situaciones caracterizadas por la incertidumbre- en cuyo caso se les conoce como anualidades contin&entes. . ara el caso de una anualidad ordinaria de n pa&os- el desplie&ue de los datos datos en en la l/nea del tiempo es!
a&os de 'alor R
R
R
R
R
R
011111111011111111011111111011. . .1110111111110 0
2
3
4
n52
n
Inicio
in
y para el caso de una anualidad anticipada de n pa&os! a&os de 'alor R
R
R
R
R
R
011111111011111111011111111011. . .1110111111110 0
2
3
4
n52
Inicio
n in
6n estos problemas se supone #ue el con%unto de pa&os es in'ertido a interés compuesto ,asta el in del plazo de la operación. 6sta consideración es undamental para deinir el Valor uturo o monto de una anualidad y el Valor Valor presente de la anualidad. Valuación Valuación de Anualidades Ordinarias
*a+ Valor uturo uturo de una anualidad ordinaria Responde a la pre&unta! 7Cuál es el monto o 'alor uturo de una suma de pa&os i&uales distribuidos de manera uniorme a lo lar&o del tiempo8 *a+
6l 'alor uturo de un con%unto de n pa&os 'encidos de 'alor R cada uno es!
R 9 'alor del pa&o re&ular. i 9 tasa de interés para cada uno de los inter'alos de tiempo en #ue se ,a di'idido el plazo completo. n 9 n:mero total de inter'alos de la operación. 6%ercicios! 2.
;na persona ;na persona se se ,a propuesto depositar < 43= mensualmente durante 3 a>os *3? meses+
en una 4cuenta bancaria #ue pa&a el 2@ anual de interés *2.B mensual+. 7Cuál será la cant cantiidad dad acum acumul ulad adaa al ina inall de los dos dos a>os a>os cons consid ider eran ando do #ue #ue el banco banco capitaliza mensualmente los intereses8 Aplicando *2.2+!
*b+ Valor Valor presente de la anualidad. Responde a la pre&unta! 7Cuánto 'ale ,oy un con%unto de n pa&os i&uales a realizar a inter'alos re&ulares en el uturo8 a órmula #ue responde a la pre&unta es!
6%ercicios! ?.3 ?.3. ;na empre empresa sa tien tienee en su carte cartera ra de acti'os acti'os 2= pa&arés de < 3== cada uno y con 'encimi 'encimient entos os mensua mensuales les consecuti consecuti'os 'os.. 6l primer primero o de ellos ellos 'ence 'ence dentro dentro de un mes. mes. a empresa necesita empresa necesita li#uidez y planea 'enderlos a un banco- el cual ,a aceptado la transacción considerando una tasa de interés de reerencia del 3? anual *3 mensual+. 7Dué cantidad recibirá recibirá la empresa empresa si si se realiza la operación8 6n otras palabraspalabras- 7cuál es el 'alor presente presente de estos pa&arés8 )atos! R 9 3==- i 9 =.=3- n 9 2= Aplicando!
b+
6l cálculo
del
pa&o
re&ular *R+ Resp Respond ondee a la pre& pre&unt unta! a! 7Cuá 7Cuánt ntos os pa&o pa&oss *o abon abonos os++ se deben deben ,acer ,acer para para alcan alcanza zarr un determinado 'alor uturo uturo o 'alor presente- se&:n sea el caso8 Cuando conocemos el 'alor uturo- el pa&o re&ular se calcula como!
6%ercicios! ?.4 ;na empresa tiene empresa tiene una deuda de < 2- ===-=== a pa&ar en un :nica e$,ibición dentro de 2= meses y desea pa&ar en 2= pa&os mensuales i&uales a in de mes. 7Cuál es el 'alor del pa&o mensual si la tasa de interés mensual interés mensual es del 2 *23 anual+8 )atos! Valor Valor uturo *+ 9 2- ===-===E i 9 =.=2- n 9 2= Aplicando!
a deuda se pa&a con 2= documentos i&uales documentos i&uales mensuales de < FB-B@3.=@ Cuando conocemos el 'alor presente del problema la órmula para encontrar el 'alor del pa&o es!
6%ercicios! ?.? ?.? ;na persona #ue tiene disponible la cantidad de < 2- 3B=-=== desea utilizarlos para ase&urarse un in&reso i%o mensual durante los pró$imos tres a>os. Con tal propósito- deposita esa cantidad cantidad en una cuenta bancaria reno'able reno'able cada 4= d/as y una tasa de interés mensual mensual del =.@ *F.G anual+. uponiendo #ue se mantu'iera constante la tasa de interésinterés- 7#ué cantidad cantidad deber/a retirar todos los meses para #ue al inal de los tres a>os la cantidad depositada inicialmente se ,ubiese a&otado por completo8
)atos! Valor presente 9 2- 3B=-===- n:mero de meses 9 4GE tasa de interés mensual 9 =.@. Aplicando *2.?+!
i retira < ?=-=FF.G? cada in de mes la cuenta bancaria se a&ota en 4 a>os. 6l n:mero de periodos en un problema de anualidades Responde a la pre&unta si&uiente! 7Cuánto tiempo se tiempo se necesita para alcanzar cierto 'alor uturo o para a&otar cierto 'alor presente mediante pa&os re&ulares conocidos- dada la tasa de interés8 i tenemos el 'alor uturo la órmula es! 6%emplo!
;n traba%ador sabe #ue en su cuenta de AHOR6 se le deposita < 2-=== cada dos meses. 6ste trab traba% a%ado adorr se pre& pre&unt untaa cuant cuantos os a>os a>os tendr tendrán án #ue #ue pasa pasarr para para #ue #ue en su cuent cuentaa se ,aya ,aya acumulado la cantidad de < @==-=== considerando una tasa de interés anual del 2@ *4 e interés bimestral+. a AHOR6 capitaliza intereses cada dos meses. )atos! R 9 2-===E i 9 =.=4E 9 @==-=== Aplicando!
e necesitan apro$imadamente 2=F bimestres- al&o más de 2@ a>os. Cuando conocemos el 'alor presente de la operación- entonces el n:mero de pa&os se calcula de esta manera! 6%emplo!
;na persona deposita
,oy en una cuenta
bancaria la suma de < 23B-=== con una tasa de interés mensual de =.B y piensa retirar de la cuenta < ?-=== al inal de cada mes ,asta #ue la cuenta #uede en cero. 7)urante cuántos meses podrá ,acer esos retiros8 )atos! R 9 ?-===E i 9 =.==B=.= =B- A 9 23B-===E n 98 Aplicando!
6l in'ersionista podrá ,acer 4B retiros completos y tendrá un e$cedente inerior a < ?-===. 6l cálculo de la tasa de interés. Jo e$iste una órmula #ue nos permita conocer la tasa de interés en un problema de anualidadesanualidades- debido a #ue no es posible su despe%e a partir de al&una de las órmulas &enerales de anualidades. ara n 9 3- la tasa de interés es!
ara n 9 4- tenemos dos soluciones! soluciones!
También se encuentra una solución real bastante e$tensa para n 9 ?- pero %unto con dos soluciones no reales. ara 'alores &randes 'alores &randes de n- la tasa de interés debe encontrarse por prueba y error. 6n la actualidad e$isten calculadoras *y por supuesto pro&ramas supuesto pro&ramas de de computadoras+ computadoras+ #ue lo ,acen rápidamente. 6%emplos! 2. ;na Administradora de Hondos para el Retiro le dice a un ailiado #ue si en los pró$imos cuatro a>os *?@ meses+ deposita mensualmente *al inal del mes+ la cantidad de <@==- al término de este plazo tendrá acumulada un monto de < BB-GB3.2@. 7Dué tasa de interés mensual está impl/cita en este cálculo8 )atos! R 9 @==- ?@ 9 BB.GB3.2@- n 9 ?@E i 98 Resolución Resolución mediante calculadora calculadora inanciera! inanciera! e introducen introducen los datos *lo datos *lo cual depende de la calculadora+ y lue&o se pide a la calculadora #ue encuentre por prueba y error la tasa de interés.
a calculadora inanciera TI KAII ;- utiliza los s/mbolos si&uientes! s/mbolos si&uientes! ( MT- para R á @== ( V- para A *'alor presente+ presen te+ ( J- para el n:mero de periodos. á ?@ ( HVHV- para *'alor uturo+ á BBGB3.2@ ( ILIL- para para la tasa de interés por periodo periodo *la calculadora calculadora encuentra #ue es 9 =.=2B= 9 2.B mensual+ Valuación Valuación de anualidades adelantadas
Cuando Cuando el pa&o re&ular re&ular se ,ace ,ace al princi principio pio del inter' inter'alo alo-- las órmul órmulas as son li&era li&eramen mente te dierentes! 6l 'alor uturo de la anualidad adelantada es!
6%ercicios! 2.@ Nacer el cálculo del e%emplo ?.2- pero suponiendo #ue los pa&os se ,acen al principio. )atos! R 9 43=- i 9 2@ *2.B mensual+- n 9 3? *meses+- a L n 9 78
6l 'alor presente de una anualidad adelantada se calcula como!
6%ercicios! 2.F. Nacer el cálculo del e%emplo ?.3- pero suponiendo #ue los pa&os se ,acen al principio. )atos! R 9 3==- i 9 =.=3- n 9 2=
6l cálculo del pa&o de la anualidad se resuel'e como! *a+
Cuando conocemos el 'alor uturo-
6%ercicios!
2.2= Nacer el cálculo del e%emplo ?.4- pero suponiendo #ue los pa&os se ,acen al principio. )atos! Valor Valor uturo 9 2-===-===E i 9 =.=2- n 9 2=
*b+
Cuando conocemos el 'alor presente!
6%ercicios! 2.22 Nacer el cálculo del e%emplo ?.?- pero suponiendo #ue los pa&os se ,acen al principio. )atos! Valor presente 9 2- 3B=-===- n:mero de meses 9 4GE tasa de interés mensual 9 =.@.
Cuando lo desconocido es el tiempo en un problema de anualidades- también tenemos dos órmulas!
*a+
Cuando conocemos el 'alor uturo!
6%ercicios! 2.23 Nacer el cálculo del e%emplo ?.B- pero suponiendo #ue los pa&os se ,acen al principio.
)atos! R 9 2-===E i 9 =.=4E 9 @==-=== *b+
Cuando conocemos el 'alor presente!
6%ercicios! ?.24 Nacer el cálculo del e%emplo ?.G- pero suponiendo #ue los pa&os se ,acen al principio. )atos! R 9 ?-===E i 9 =.==B=.= =B- A 9 23B-===E n 98
6l cálculo de la tasa de interés es un problema de anualidades adelantadas. I&ual #ue en el caso anterior- la tasa de interés no puede ser despe%ada matemáticamente y se debe encontrar por prueba y error. ara resol'er con una calculadora inanciera- se re#uiere indicarle a ésta #ue # ue se trata de anualidades #ue se pa&an al comienzo del inter'alo. Construcción de Construcción de una tabla de amortización de amortización de deudas
;na tabla de amortización de deudas es una descripción detallada descripción detallada de la e'olución de e'olución de la deuda desde el momento inicial del crédito ,asta crédito ,asta #ue es pa&ado por completo. a descripción incluye descripción incluye el pa&o re&ular y su descomposición d escomposición en intereses y amortización del principal. 6%ercicios! 2.2? e 'ende una casa en < 3- ===-=== a pa&ar la mitad al contado y el resto en cinco abonos anuales 'encidos de i&ual 'alor. a tasa de interés aplicable es del @ anual. ;samos la órmula de anualidades 'encidas para obtener el 'alor de los cinco pa&os #ue se deben realizar para amortizar el préstamo. a órmula es!
Aplicando los 'alores del 'alores del problema!
Cinco pa&os anuales de < 3B=-?BG.?BB li#uidan por completo el crédito. Construimos la tabla de amortización.
aldo de la deuda inicial! es el 'alor de la deuda #ue alta por pa&ar al inicio del a>o indicado en la primera columna. a&o anual! es la cantidad de dinero #ue dinero #ue se abona al inal del a>o correspondiente para li#uidar el crédito. e calculó con la órmula indicada. Intereses! es i&ual al aldo de la deuda deu da inicial $ tasa de interés Amortización de Capital! Capital! es i&ual al pa&o anual menos intereses. aldo de la deuda inal! es i&ual al saldo de la deuda inicial 5 amortización de capital. 6l saldo de la deuda inal de un a>o es i&ual al saldo de la deuda inicial del a>o si&uiente. Reconstrucción de la tabla cuando cambia la tasa de interés
Cuando Cuando los créditos son créditos son a pa&ar en plazos muy lar&os- normalmente la tasa es lotante- es decir- se a%usta se&:n al&una tasa de reerencia del mercado. mercado. 7Cómo se reconstruye la tabla cuando cambia la tasa de interés8 e si&ue el si&uiente procedimiento si&uiente procedimiento!!
2+ e determina el saldo de la deuda a partir del cual se aplica la nue'a tasa de interés. 3+ e encuentra el 'alor del nue'o pa&o anual considerando el nue'o saldo de la deuda- la nue'a tasa de interés y los abonos #ue altan por pa&ar. pa&a r. 4+ Con el 'alor del nue'o pa&o anual se ,ace la tabla de amortización para los abonos #ue restan pa&ar. 6%ercicios! 2.2B upon&amos #ue en el e%ercicio anterior- después del se&undo pa&o se ele'a la tasa de interés del @ al 2= . Viendo la tabla de amortización sabemos #ue el saldo impa&o después del se&undo pa&o es de < G?B-?B=.B y altan tres abonos por pa&ar. ;tilizamos la órmula anterior y encontramos el 'alor del nue' o pa&o!
A,ora la tabla de amortización #ueda como si&ue!
Anualidad compuesta por un con%unto de rentas #ue se &eneran y distribuyen en un ,orizonte temporal #ue tiende al ininito- como sucede por e%emplo- con los di'idendos #ue otor&an a las sociedades anónimas cuyo anónimas cuyo plazo de operación se supone indeinidoE asimismo con los ondos #ue se acumulan para mantener inraestructuras de lar&a 'ida! puentes- carreteras- acueductosreser'orios- etc. as rentas perpetuas- al i&ual #ue las temporales pueden ser 'encidas- anticipadas y dieridas. A cont contin inua uaci ción ón se pres presen enta ta un es#u es#uem emaa de los los dia&ramas de lu%o de ca%a de las rentas perpetuas ciertas! 'encidas- anticipadas y dieridasE estos dia&ramas dia&ramas presentan presentan en el ,orizonte temporal su e$tremo derec,os derec,os abierto abierto- #ue indica su in no determinado.
Monto de una perpetuidad
6l HC #ue lle'a al uturo una serie de rentas uniormes- cuyo n:mero tiende a @ *más ininito+ es!
or esta razón- el monto de la misma serie de rentas también tenderá ,acia ininito. Valor Valor presente de una perpetuidad
Calcular el 'alor 'alor presen presente te de una perpetuidad perpetuidad simple simple si&niica descontar descontar ,acia el momento o ininitas rentas uniormes #ue se ubican en el uturo- con i como tasa de descuento. Valor Valor Presente de una Perpetuidad Simple Vencida: Vencida:
ara calcular el 'alor presente de una perpetuidad constituida por rentas uniormes 'encidasse aplica!
6%emplo! Con el ob%eto ob%eto de apoyar apoyar los traba%o traba%oss #ue realiza realiza el Instit Instituto uto Americ Americano ano de )irección de 6mpresas-- la Hundación PKM decidió donarle a perpetuidad un importe de 2==== un- al inal 6mpresas de cada a>o lecti'o. lecti'o. Calcule el 'alor presente presente de la donación a una tasa de interés interés e#ui'alente e#ui'alente a una T6A de G-3B. olución! Con los datos datos R92====E R92====E i 9 G-3B y aplicando la órmula anterior tenemos!
Valor Valor Presente de una Perpetuidad Simple Anticipada:
A partir de la órmula del 'alor presente de una perpetuidad simple 'encida se puede calcular el 'alor presente de una perpetuidad con rentas anticipadas al reemplazar en esa órmula R por su e#ui'alente Ra.
a órmula calcula el 'alor presente de una perpetuidad simple 'encida cuando n tiende ,acia el ininito y en la cual R es el mismo plazo #ue i. Con las si&las establecidas- la órmula se representar/a as/!
6%emplo! 6l &obierno &obierno se se comprometió #ue a partir de la ec,a desembolsará anualmente y de orma indeinida un importe de 3==== un para mantener la carretera ima Q Karranca. Calcule el 'alor presente de esa perpetuidad con una T6A de B . Solución: Con los datos Ra 9 3====E i 9 B y con la órmula anterior se calcula !
Valor de una Perpetuidad Simple Anticipada Cuya Renta Inicial es Distinta de las Demás:
6n el caso de #ue el importe de la renta anticipada Ra ubicada en el momento o sea dierente al importe de las demás rentas 'encidas R de la perpetuidad- el 'alor presente será i&ual a la renta anticipada más el 'alor presente de la perpetuidad 'encida.
6%emplo! ;na undación orece una donación a perpetuidad a una uni'ersidad uni'ersidad-- aun#ue estipula #ue el primer importe de 2==== un #ue se eectuará a inicios del primer a>o se destine a la ad#uisi ad#uisició ción n de libros libros y los si&uientes importes de B=== un- #ue se 'an a ser entre&ados anualmente de orma indeinida- sean para el mantenimiento mantenimiento de de la institución. Calcule el 'alor presente de esa donación con un costo costo de de oportunidad e#ui'alente a una T6A de 2=. olución! Con los datos! Ra 9 2====E 2= ===E R 9 B===E i 9 2=- y aplicando la órmula tenemos! tene mos!
Valor Valor Presente de una Perpetuidad Simple Dierida Vencida:
ara calcular el 'alor presente de una perpetuidad simple 'encidas se aplica la si&uiente ormula- reemplazando el HA de una anualidad simple dierida 'encida temporal por el de una renta perpet:a 'encida!
a órmula calcula el 'alor presente de una perpetuidad simple 'encida dierida periodos de renta- en la cual i es la tasa eecti'a de cada periodo. Con las si&las establecidas- la órmula se representar/a as/!
Conclusión as perpetuidades perpetuidades son anualidades anualidades #ue #ue tienen ininito n:mero de pa&os- en la realidad- las anualidades ininitas no e$isten- todo tiene un inalE sin embar&o- cuando el n:mero de pa&os es muy &rande asumimos #ue es ininito. 6ste tipo de anualidades son t/picas cuando colocamos un capital y solo retiramos intereses. ara el cálculo de la anualidad en pro&resión &eométrica perpetua operamos- a tra'és del l/mite cuando el n:mero de términos de la renta *n+ tiende a ininito. as perpetuidades permiten calcular rápidamente el 'alor de instrumentos de renta i%a por muc,os periodos. periodos. 6%emplos de perpetuidades perpetuidades-- son las in'ersiones in'ersiones inmobiliarias inmobiliarias en #ue e$iste un pa&o de al#uiler por arrendamiento arrendamiento-- las pensiones o rentas 'italicias- los proyectos los proyectos de de obras p:blicas- carreteras- presas- 'aluación de acciones acciones-- etc. ara el mantenimiento a perpetuidad- el capital debe permanecer intacto después de eectuar el pa&o anual.
Reerencias
,ttp!LLSSS.mono&raias.comLtraba%osG?LanualidadesLanualidades.s,tmli$zz?N?y ,ttp!LLSSS.mono&raias.comLtraba%osG?LanualidadesLanualidades.s,tmli$zz?N?yUcT UcT ,ttp!LLSSS.mono&raias.comLtraba%
[email protected],tmli$zz?N?R6uiaz Carlos alia&a ValdezE manual manual de de matemática matemática inanciera. inanciera. Apuntes de estudio. ,ttp!LLSSS. ,ttp !LLSSS.mono&raias mono&raias.comLtraba%os3FLG5lla'es5maestras5matematicas5inancierasLG5lla'es5 .comLtraba%os3FLG5lla'es5maestras5matematicas5inancierasLG5lla'es5 maestras5matematicas5inancieras.s,tml.
