APLICACIÓN DE LA DINÁMICA DE FLUIDOS COMPUTACIONAL EMPLEANDO EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Y VOLUMENES FINITOS EN EL MODELAMIENTO DE FLUJOS AUTORES Ccaso Anahua, Nicanor
[email protected] Mallea Chino, Ariel Efraín
[email protected] Solórzano Quispe Edsson
[email protected] ASESORES Yancachajlla Tito, Ubaldo
[email protected] Ingeniero Mecánico, Universidad Nacional de Kiev Cotacallapa Vera, Romel Benjamín
[email protected] Ingeniero Mecánico, Universidad Nacional de Ingeniería UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO Facultad de Ingeniería Mecánica – Eléctrica, Electrónica y Sistemas Ciudad Universitaria Av. Floral Nº 1153, Fax: 368099 36 8099 RESUMEN El presente trabajo pretende aplicar la Dinámica Computacional de Fluidos empleando el Método de los Elementos Finitos y Volúmenes Finitos para modelar flujos bidimensionales y tr idimensionales, conocidos y por lo tanto desarrollar una metodología para el análisis análi sis y uso de diferentes softwares para fluidos como: FLUENT y COSMOS/FLOW, COSMOS/FLOW, bajo diferentes di ferentes regimenes, consecuentemente consecuentemente analizar la versatilidad de cada de estos, usados en la ingeniería En la actualidad cuando se afronta fenómenos con flujos se presentan cuatro alternativas; el método analítico que intenta solucionar previo estudio de las ecuaciones gobernantes del fenómeno, fenómeno, pero p ero dada su naturaleza compleja las soluciones analíticas solo son factibles en cuestiones sencillas o en casos supuestos. Dada la imposibilidad práctica de encontrar encontrar la solución solución analítica para casos complejos complejos de estos problemas, con frecuencia en la práctica ingenieril los métodos numéricos, y en particular los elementos finitos se convierten en la única alternativa práctica de cálculo. El segundo segundo método es el experimental, experimental, que creando un prototipo (un objeto objeto de escala real) en donde se reproduce el fenómeno en análisis y puede ser tomado como una alternativa viable para análisis de flujos pero presenta restricciones técnicas, financieras e inherentes al fenómeno, este en foque es lo mas próximo pr óximo a la ocurrencia al fenómeno. El tercer método es la Dinámica de Fluidos Computacional (DFC), el proceso considera la discretización de las ecuaciones gobernantes, conformando sistemas de ecuaciones lineales, los que al ser resueltos por lo general con la ayuda de un computador, proporcionan aproximaciones numéricas de las soluciones, a partir de las cuales se evalúan los parámetros relevantes del fenómeno. Por ultimo el método combinado experimental – DFC, este método tiene tien e ventajas comparativas, que permite una solución mas cercana al comportamiento de un fenómeno, siendo en la actualidad un método alternativo para resolver problemas en ingeniería. ABSTRACT The present work tries to apply the Dynamics Computational of Fluids using the Method of the Finite Elements and Finite Volumes to shape two-dimensional and three-dimensional, known flows and therefore to develop a methodology for the analysis and use of different softwares for fluids as: FLUENT, COSMOS/FLOW AND ANSYS, under different rate, consistently to analyze the versatility of every of these, used in th e engineering At present when phenomena are confronted by flows they present four alternatives , the analytical method that tries to solve previous study of the governing equations of the phenomenon, but given his complex nature the analytical solutions only are feasible in questions simple or in supposed cases. Given the practical inability to find the analytical solution for complex cases of these problems, often in the practice of engineering the numerical methods, and especially the finite elements turn into the only(unique) practical alternative of calculation The second method is the experimental one, which creating a prototype (an object on a large scale real) where the phenomenon is reproduced in analysis and can be taken as a viable alternative for analysis of flows but presents technical, restrictions financial and inherent in the phenomenon, ph enomenon, this approach is near the occurrence to the phenomenon. The second method is the experimental one, that creating a prototype (an object on a large scale real) where the phenomenon is reproduced in analysis and can be taken as a viable alternative for analysis of flows but presents technical, restrictions restrictions financial and inherent in the phenomenon, phenomenon, this approach is near the occurrence to the phenomenon. 1
The third method is i s the Dynamics of Fluids Computational (DFC); the process considers the discretizatión of the governing equations, shaping systems of linear equations, which on having been solved in general by the help of a computer, provide numerical approximations of the solutions, from which the relevant parameters of the phenomenon are evaluated. Finally the combined experimental method - DFC, this method has comparative advantages, which a solution allows nearby the behaviour of a phenomenon, being at present an alternative method to solve problems in engineering dos a nivel de estudiantes de pre-grado, la producción intelectual es nula en el último caso; para ser INTRODUCCIÓN específicos, en la Universidad Nacional del El estudio de la dinámica de fluidos es una actividad que data de hace muchos siglos, los Altiplano, a la fecha, no existe ningún trabajo que egipcios tenían reservorios de agua, Aristóteles fue involucre CFD, a pesar que muchos de los trabajos de titulación es fundamental el enfoque de CFD el primero el primero en describir el principio de la continuidad, Arquímedes a través de su principio para el estudio mas concreto y preciso del definió las condiciones para que un cuerpo flote en problema; de la misma manera, tampoco se tiene constituida una línea de investigación en éste un fluido, los romanos construyeron acueductos para transportar agua a sus ciudades, Leonardo Da tópico, es por motivación de estudiantes, algunos Vinci en el siglo XV sugirió formas para reducir en docentes y ex docentes que se llevan a cabo arra arrast stre re del del agua agua en los los barco arcos, s, en 15 1586 86 Simon imon investigaciones con el tema de CFD. Por lo planteado, se deja en claro que existe poco Stevin publicó “Estática de Hidrostática” un tratado matemático de cómo la mecánica de los fluidos era interés a nivel nacional y sobre todo regional por conocida entonces. [2] establecer CFD como línea de desarrollo para la ejecución de trabajos de investigación, a pesar de la la Con el desarrollo del computador digital a partir de los años 1950, se desarrolla una alternativa para enorme factibilidad para su desarrollo y sobre todo resolver problemas que involucren movimiento de por la gran aplicación que posee la técnica a nivel industrial; motivados en ésta afirmación, afirmación, el presente presente fluidos, en adición a las perspectivas analítica y experimental; la dinámica de fluidos computacional trabajo pretende constituir un pequeño pilar en éste (DFC) o Computational Fluid Dynamics (CFD), muy bonito mundo del estudio de lo ínfimo a lo mas grande, del estudio de lo micro a la consiste en obtener la solución numérica extrapolación en lo macro, entre algunas razones aproximada de las ecuaciones de Navier – Stokes utilizando técnicas computacionales. [3] para nuestro medio regional y quien sabe tal t al vez a La Dinámica de Flujos Computacional estudia ménivel nacional. todos computacionales para la simulación de fenómenos que involucran fluidos en movimiento con DELINEACIÓN DE OBJETIVOS transferencia de calor, análisis de flujos internos y Objetivo General Desarrollar y aplicar una metodología debidamente externos alrededor de obstáculos, entre otros; su desarrollo esta íntimamente ligado a la rápida validada considerando la Dinámica de Fluidos evolución de los computadores digitales; a Computacional para el modelamiento de flujos empleando el método de los elementos finitos. diferencia del enfoque experimental se puede obtener la distribución de velocidades, presiones y Objetivos Específicos temperaturas en todo el dominio del flujo, lo cual se · Evaluar el comportamiento de flujos en traduce en el íntegro análisis del fenómeno, una tubería en régimen laminar, expresado en el cálculo de los parámetros incompresible, se evaluara el campo de requeridos para el estudio del mismo. [7] velocidades · Evaluar el coeficiente de arrastre de un flujo externo bidimensional sobre un PLANTEAMIENTO DE ESTUDIO cilindro de ancho infinito bajo el enfoque Si bien es cierto en el país la ingeniería considera el de la dinámica computacional de fluidos estudio de fenómenos que involucran procesos con empleando el método de los elementos flujos, CFD no se encuentra desarrollado como una finitos y validar los resultados numéricos técnica asequible para su práctica y aplicación para obtenidos con los resultados afrontar problemas en la industria; solo existen alguexperimentales del fenómeno. nos grupos de investigación de diferentes universi· Evaluar un flujo compresible en una tobera dades reducidos en número, que trabajan en tópicos considerando las altas velocidades. relacionados al tema cuyos tratados son principalCalcularemos el número mach, la presión, mente de índole académico, esto se puede verificar la distribución de la temperatura. y validar en las revistas de publicación de artículos los resultados numéricos obtenidos con los científicos de las diferentes universidades del país. resultados experimentales del fenómeno Asimismo, la mayoría de trabajos relacionados al tema es producido a nivel de egresados, que en DESARROLLO DEL TRABAJO comparación con el número de trabajos desarrolla2
Software empleado FLUENT Version: axi, dp, segregated, lam (axi, double precision, segregated, laminar) laminar) Release: 6.2.16 Fluent Build Time: Thu 01/20/2005 12:19:52.17 1 2:19:52.17 Cortex Version: 3.6.6 Graphics Version: 9.20-1, msw/win OS Version: Windows NT 5.1.2600 Copyright (c) 2004 Fluent Inc.
Método numérico El programa FLUENT emplea el método de los elementos finitos para hallar la solución de EDPs , La generación de la geometría y discretizacion del dominio del problema se genera en el programa Gambit
Procedimiento Los pasos generales a seguir en la resolución numérica de un problema termo fluido dinámico se enumeran a continuación y subsecuentemente se procede a discutir cada uno uno de los pasos. 1. Planteamiento del problema sobre el papel. Este paso incluye in cluye la definición del dominio de cálculo y la elección del modelo matemático adecuado (ecuaciones y condiciones de contorno). 2. Discretizacion del dominio de cálculo. En este paso se genera la malla malla computacional. 3. Discretizacion de las ecuaciones. Las ecuaciones diferenciales se transforman en ecuaciones algebraicas para las variables fluidas en los nodos computacionales. 4. Implementación de las condiciones de contorno. 5. Resolución de las ecuaciones algebraicas resultantes. Se requiere un seguimiento de la convergencia del método. 6. Visualización y análisis de los resultados. 7. Obtención de resultados secundarios de interés.
Elección del modelo matemático Incluso en el caso de la resolución aproximada de las ecuaciones no es necesario ni conveniente resolver las ecuaciones mías generales para todos los casos. Las ecuaciones deben simplificarse (o complicarse) para adaptarlas a las características características del flujo que se desea simular. Las principales simplificaciones o particularizaciones que se hacen a las ecuaciones de conservación vienen comentadas a continuación. Bidimensional, axisimetrico, tridimensional tridimensional Si el flujo es bidimensional plano bastara con considerar dos coordenadas espaciales (normalmente , y ) y dos componentes del vector velocidad ( u, v ). Así las ecuaciones del Apéndice A pueden simplificarse eliminando todos los términos que tengan ten gan derivadas respecto de z y todos los términos que tengan la
velocidad w (lo cual elimina una ecuación completa). Si el flujo es axisimetrico, entonces convendrá utilizar coordenadas cilíndricas y eso nos permitirá simplificar las ecuaciones eliminando los términos que incluyen derivadas respecto del ángulo azimutal q Estacionario, no estacionario Si el flujo es estacionario las ecuaciones se simplifican eliminando los términos que contienen derivadas temporales. Ideal, laminar, turbulento Un flujo ideal es aquel en que los efect os de la viscosidad y la conductividad térmica de calor (efectos ambos asociados al transporte por difusión molecular) son despreciables. Las ecuaciones se simplifican eliminando los términos que incluyen el tensor de esfuerzos de viscosidad t ' y el vector flujo de calor por conducción q. La aproximación es aceptable para flujos laminares si el numero de Reynolds es muy elevado. Sin embargo, esta es una simplificación muy grande y se debe ser consciente de las limitaciones que conlleva en los resultados producidos. Por ejemplo, ejemplo, el modelo de flujo ideal es incapaz de calcular la fuerza de resistencia de un cuerpo en una corriente, dando siempre, sin excepción, resultado nulo para este parámetro. Cuando los efectos de la difusión son importantes, se puede hablar de dos regimenes de flujo totalmente distintos: laminar y turbulento. El flujo laminar el ordenado, fácilmente predecible a través de la simulación numérica realizada en base a las ecuaciones presentadas en este documento. Pero el flujo turbulento es muy caótico, intensamente fluctuante, fluctuan te, sensible sensible a ínfimas perturbaciones perturbaci ones y, y, por todo ello, impredecible mediante la simulación numérica directa de las ecuaciones a no ser que se utilicen mallas computacionales (espaciales y temporales) extremadamente refinadas. En el caso de flujos turbulentos se recurre a la utilización de modelos fenomenológicos que permiten la simulación estadística del flujo, es decir, permiten calcular valores medios de las variables fluidas en lugar de los valores instantáneos. Incompresible, compresible Flujo incompresible es aquel en que la densidad del fluido no depende de la presión, entonces la densidad puede considerarse constante o dependiente únicamente de la temperatur t emperatura. a. Si la densidad y la viscosidad del fluido pueden considerarse constantes (independientes de la temperatura), entonces las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento pueden resolverse para determinar la velocidad y presión en el fluido sin necesidad de resolver la ecuación de la energía para calcular la temperatura. Se dice que el campo fluidodinamico queda desacoplado del campo térmico. En el caso de flujos compresibles es necesario incluir en el modelo una ecuación de 3
estado que relacione la densidad con la presión y temperatura locales. El carácter matemático de las ecuaciones res result ultante ntes en cada ada uno de los los mode modelo loss es muy muy distinto y ello condiciona las técnicas de resolución numérica adecuadas a cada caso.
En la figura 2 podemos apreciar como el flujo se va desarrollando, aumentando la velocidad en la parte central para tomar la forma de una parábola
RESULTADOS Y DISCUSIONES
FLUJO LAMINAR Y TURBULENTO ALREDEDOR DE UN CILINDRO
FLUJO INCOMPRESIBLE, PERMANENTE, LAMINAR EN UNA TUBERÍA Consideraremos el fluido en una tubería circular de sección sección constante. constante. La tubería tubería de diámetro diámetro D = 0.2 m y longitud L =8 m : La velocidad velocidad de entrada V = 1 m/s . Considerar la velocidad constante en la sección de entrada. El fluido sale a la atmósfera a la presión de 1 atm. Asumir la densidad r = 1 kg / m 3 y el coeficiente de viscosidad kg/ms . El numero de Reynolds Re Re
m = 2x10-3
rVD = 100 ………..(1) Re = m
Figura 2. Campo de velocidades en la tubería
El problema que nos planteamos es el estudio del flujo bidimensional incompresible e isotermo alrededor de un cilindro. El flujo lejos del cilindro tiene una velocidad uniforme U1. El fluido es de propiedades físicas constantes: densidad y viscosidad. El diámetro del cilindro es D = 2R. Se trata de determinar los campos de velocidad y presión alrededor del cilindro. Conocidos estos podremos evaluar la fuerza sobre el cilindro cilin dro y otros parámetros secundarios de interés. Para calcular la velocidad y la presión se resuelven las ecuaciones de Navier-Stokes, Navier-Stokes, En régimen laminar Primeramente como siempre generamos la malla
Resolveremos este problema usando FLUENT. Graficaremos la velocidad en la línea central, y el perfil de velocidades a la la salida.
Figura 3. Malla para el análisis del cilindro
Figura 1 Malla rectangular para el análisis de la tubería
Figura 4. Campo de la velocidad absoluta
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Figura 5. Campo de la componente Y de la velocidad Figura 9. Campo de campo la componente X de la velocidad en régimen turbulento
Considerando las ecuaciones F D F L
Figura 6. Campo de la componente X de la velocidad en régimen laminar
q ) dA ……….(2) = ò ( - p cos q + t w sen
= ò ( - psenq + t w cosq ) dA …………(3) C D
=
C L
=
F D
1 2 r V S 2 ¥ F L
1 2 r V S 2 ¥
…………(4)
…………(5)
Donde F D es la fuerza de arrastre (drag) y F L es la fuerza fuerza de sustentación (lif) y q es el ángulo formado por el vector normal a la superficie y el eje x, en la figura 10, en donde se presenta el coeficiente de arrastre empleando el método numérico, y el coeficiente de arrastre experimental para el flujo bidimensional, bidi mensional, con una aproximación aceptable considerando que experimentalmente se presenta una dispersión similar similar de los datos considerados al momento de trazar el grafico. Figura 7. Campo de la velocidad en régimen turbulento
Figura 8. Campo de la componente Y de la velocidad en régimen turbulento
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Figura 10. Apreciación del los regimenes de flujo en cilindro
Figura 11. Mallado para el análisis de la tobera
FLUJO COMPRESIBLE EN UNA TOBERA Analizaremos el flujo de una tobera convergente divergente de altas velocidades, de sección circular, área A, que varia axialmente desde la garganta, de acuerdo a la siguiente formula A = 0.1 + x 2 ;-0.5 < x < 0.5 ………( 6 ) Donde A esta dado en metros cuadrados y x en metros. La presión de estancamiento Po en la entrada es de 101325 Pa. La temperatura de estancamiento To en la entra entrada da es de 300 K. La presión estática P en en la salida es de 3738.9 Pa. Calcularemos el número mach, presión y temperatura en la tobera usando FLUENT y comprando la solución con un flujo de una tobera .unidimensional El número de reynold para este problema de altas velocidades es grande. Por lo tanto se espera que los efectos viscosos estén en una región pequeña cerca a la pared. Por lo tanto escogeremos un flujo invicido. La ecuación para un flujo unidimensional es el siguiente.
A A*
=
1 é 2 + ( k - 1) M ù ê ú M ë k + 2 û 2
( k +1) 2 ( k -1)
Figura 12. Comparación del número de mach para el flujo unidimensional y los resultados hallados por el método de los volúmenes finitos
……….( 7 ) Figura 13. Campo de temperaturas
Donde M es es el numero Mach, k coeficiente adiabático, A* área critica
6
Fig 17 Dimensionamiento del problema en cuestión
Figura 14. Campo de la presión estática
Fig. 18 Grafica teorico y por Cosmos Flor
Fig 18 Resultados Teorico y por Cosmos flor
Figura 15. Campo de la velocidad absoluta
FLUJO SUPERSONICO EN DOS DIMENSIONES DE UN CANAL CONVERGENTE - DIVERGENTE Un flujo uniforme supersónico de aire que tiene una velocidad de numero de mach M=3, temperatura estática de 293.2 º K y una presión estática de 1 Atm, ingresa en un canal entre dos paredes paralelas. En la siguiente siguiente sección convergente el flujo se desacelera a través de dos ondas de choque oblicuas como se muestra en la figura 16 como líneas que separan las regiones: 1, 2 y 3. En la siguiente sigui ente sección sección divergente el flujo supersónico supersón ico se acelera formando una onda de expansión 4.finalmente el flujo se desacelera en la sección de salida del canal entre dos paredes paralelas cuando pasa a través de otra otra onda de choque oblicua.
Fig 16 Secciones de la tobera tobera convergente divergente
Fig 19 Campo de velociodades del canal
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Mediante el modelamiento numérico empleando el método de los volúmenes finitos (FVM), se llega a obtener soluciones razonables que permiten la optimización de parámetros que se busca en el análisis de ingeniería. En el prese resente nte trab trabaj ajoo se pudo pudo anali analiza zarr el flujo lujo incompresible en una tubería, hallar el coeficiente de arrastre de un cilindro, y el flujo compresible en una tobera convergente divergente, llegando a concluir que los resultados coinciden con los datos analíticos Sin lugar a dudas la dinámica de fluidos computacional tiene tiene una gran versatilidad versatilidad para el manejo de flujos de todo tipo la cual puede ser aplicada para el desarrollo del país
BIBLIOGRAFÍA 7
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ANEXO
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APENDICE
10
