MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS A LA MINERÍA
CÁLCULO DEL TIEMPO UTILIZADO POR LOS CAMIONES PARA EL TRANSPORTE DE MINERAL ATRAVES DE UNA RAMPA EN ESPIRAL DESDE EL NIVEL MAS BAJO DE UNA MINA SUBTERRANEA HACIA LA PLANTA DE TRITURACIÓN TRITUR ACIÓN HACIENDO USO DE LAS FORMULAS DE NEWTON - COTES López
Herrera, Persi
O
Mayhua
Flores, Henrry
O
Medina
O
O
Ulloa,
Fidel
Villanueva Pino, Jheferson
Escuela Profesional de Ingeniería de Minas, Universidad Nacional de Trujillo Av. Juan Pablo II s/n, La Libertad, Trujillo, Perú
RESUMEN El presente trabajo de investigación tiene por objeto determinar el tiempo empleado por los camiones para trasladar el mineral a través de una rampa que tiene la forma de espiral del nivel más bajo de una mina subterránea hacia la planta de trituración (ubicada en la superficie); teniendo como dato la velocidad promedio de cada camión . Para ello conociendo la función empleada en el diseño de la rampa y valiéndonos de las reglas del cálculo diferencial e integral; así como también utilizando el método de cuadratura numérica (fórmulas de Newton – Cotes), encontramos la longitud de toda la trayectoria de la rampa, siendo antes esta seccionada en partes y empleando la fórmula que más nos convenga para minimizar errores. Una vez obtenido la longitud total de la rampa y conociendo la velocidad promedio de cada camión de carga, hacemos uso de las leyes de las leyes de la dinámica de la física clásica para calcular el tiempo empleado por cada camión en su recorrido en la trayectoria de salida. Nos fue posible conocer el tiempo siendo este de gran importancia para minimizar costos y mejorar la productividad de la empresa minera.
5Km/h
1
MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS A LA MINERÍA
PARÁMETROS Y CONDICIONES QUE DEBE CUMPLIR UNA RAMPA EN ESPIRAL PARA MINIMIZAR EL TIEMPO DE TRASLADO DE MINERAL DE UNA SECCIÓN DE LA MINA HACIA LA PLANTA DE TRITURACIÓN Al diseñar la construcción de una rampa en espiral para el acceso a una mina subterránea se debe considerar diversos parámetros tales como: la sección, radio de curvatura, longitud total, peralte y declive. Lo más recomendable en su diseño es que las curvas de las rampas deban tener un radio de curvatura grande; estor radios se eligen en razón a los equipos a emplearse. La longitud total de la rampa es otra de las características primordiales en el desarrollo de esta; teniendo en cuenta que atreves de ella circula todo el equipo motorizado y nos sirve como medio de transporte de todo el mineral hacia la planta de trituración. De la longitud de la rampa así como su gradiente depende el menor o mayor tiempo en que los camiones empleen en transportar el material producto del minado; puesto que si se disminuye el tiempo de transporte, entonces aumenta la productividad de la empresa minera. Para ello con el fin de obtener una rampa en espiral que cumpla con todas las condiciones antes mencionadas se emplea en su diseño la siguiente función parametrizada:
f̅ a =100cost ;100sent;10√ t
; Donde
t∈ 1,22
Basándose en estos datos necesitamos conocer el tiempo empleado por l os camiones en recorrer todo el trayecto de la rampa, puesto que como se mencionó anteriormente conocer tal dato es de gran importancia. Se debe de tener en cuenta que durante el recorrido los camiones se trasladan a una velocidad demasiado lenta que en promedio alcanza
5Km/h
SOLUCIÓN:
PA SO Nº1
Teniendo como datos la curva parametrizada
=100 =100 =10√ Aplicamos la integral de línea para encontrar la longitud de la curva, así tenemos:
= ∫ = [ + + ] 2
…………………………(1)
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Donde:
=−100sin ⃗´ = 100cos10 { = 2√
=100cos ⃗ =100sen = 10√ Luego:
⃗ =(100,100,1010√ ) ⃗ ´ =−100,100, 2√ 10 ‖⃗´‖= −100 +100 + 2√
Como sabemos;
10 = ‖⃗´ ‖= −100 + 100 + 2√
Utilizando la ecuación (1) nos queda:
10 == −100 + 100 + 2√ == 100+ + 25 == 100 + 25 == 400+ 1
== 400+1
………………. … …………………2 3
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PA SO Nº2
Para desarrollar la integral (2) hacemos uso de la integración numérica y en este caso daremos solución a la integral mediante la regla de los de Simpson.
. . . + = = +. + +. + . . . +. +⋯+ +. + +. + +. Entonces:
. 5 4 00+1 + 5 4 00+1 + + = . . . 4 00+1 4 00+1 + 5 +⋯+ 5 +. 5 400+1 Ahora evaluamos para cada caso usando la regla de los
de Simpson
El valor de h es constante ya que los puntos se encuentran espaciados a 0.5 Por lo tanto h = 0.5
.
. + = 3ℎ 1 +31.5 +32 +2.5 8 ∗. 100.1249+300.2499+300.1874+100.0500
=
=150.1148
4
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.
5 4 00+1 = 3ℎ 2.5 +33 +33.5 +4 8 .
= 3∗0.8 5 100.0500+300.1250+300.1071+100.0312 =150.058 . 3ℎ . 5 400+1 = 8 4+34.5+35+5.5 = 3∗0.8 5 100.0312+300.0833+300.0750+100.0227 =150.0398
.
5 4 00+1 = 3ℎ 5.5 +36 +36.5 +7 8 .
= 3∗0.8 5 100.0227+300.0625+300.0577+100.0179 =150.0301 . 3ℎ . 5 400+1 = 8 7 +37.5 +38 +8.5 = 3∗0.8 5 100.0179+300.0500+300.0469+100.0147 =150.0243 3ℎ . . 5 400+1 = 8 8.5+39+39.5+10 = 3∗0.8 5 100.0147+300.0417+300.0395+100.0125 5
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=150.020
.
. 3ℎ 5 400+1 = 8 10 +310.5 +311 +11.5
.
3ℎ . 5 400+1 = 8 11.5+312+312.5+13
= 3∗0.8 5 100.0125+300.0.357+300.0341+100.0109 =150.0175
= 3∗0.8 5 100.0109+300.0312+300.0300+100.0096 =150.0153 . 3ℎ . 5 400+1 = 8 13 +313.5 +314 +14.5 = 3∗0.8 5 100.0096+300.0278+300.0268+100.0086 =150.0136 3ℎ . . 5 400+1 = 8 14.5 +315 +315.5 +16 = 3∗0.8 5 100.0086+300.0250+300.0242+100.0078 =150.0123 6
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.
. 3ℎ 5 400+1 = 8 16 +316.5 +317 +17.5
= 3∗0.8 5 100.0078+300.0227+300.0221+100.0071 =150.0112 3ℎ . . 5 400+1 = 8 17.5 +318 +318.5 +19 = 3∗0.8 5 100.0071+300.0208+300.0203+100.0066 =150.0103 . 3ℎ . 5 400+1 = 8 19 +319.5 +320 +20.5 = 3∗0.8 5 100.0066+300.0192+300.0187+100.0061 =150.0095 3ℎ . . 5 400+1 = 8 20.5 +321 +321.5 +22 = 3∗0.8 5 100.0061+300.0179+300.0174+100.0057 =150.008 7
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Por lo tanto reemplazando todos los todos los valores calculados:
. . . 4 00+1 5 = +. + +. + +. +⋯ . . . + +. + +. + +. + = 2100.3866 ………………………. 3 PA SO Nº3
Para determinar el tiempo empleado por un camión en transportar el mineral a través de la rampa, utilizamos la ecuación física (4).
= ………………………4
10 Km/h
Teniendo como dato la velocidad promedio ( ecuación (3), reemplazamos en la expresión (4)
y la longitud de la rampa en la
1 =0.42ℎ=2512 = 2100.5/ℎ3866 1000 2512
Por lo tanto el tiempo el tiempo empleado por los camiones en recorrer la trayectoria de la rampa es de
8
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CONCLUSIONES Utilizando las fórmulas de Newton Cotes utilizadas en las diferentes secciones convenidas se logró determinar la longitud total de la rampa que conecta los diferentes subnivel de la mina con la planta de trituración ubicada en la superficie la cual nos dio un valor de . Una vez obtenida la longitud total de la rampa pasamos a obtener el tiempo que tardará un camión en trasladar de forma segura y eficaz su respectiva carga hacia la planta de trituración. La velocidad nos dio un resultado de . Es muy importante determinar la longitud de la rampa ya que a partir de ella se puede realizar el programa de desarrollo y determinar el costo de inversión y aumentar la productividad.
2100.3866 m
25min12s
ANEXOS TABLA Nº1: Valores de las variables (x, y, z) en función del parámetro t t
x
y
z
1
54.03023059
84.1470985
10
1.5
7.073720167
99.7494987
12.2474487
2
-41.6146837
90.9297427
14.1421356
2.5
-80.1143616
59.8472144
15.8113883
3
-98.9992497
14.1120008
17.3205081
3.5
-93.6456687
-35.0783228
18.7082869
4
-65.3643621
-75.6802495
20
4.5
-21.0795799
-97.7530118
21.2132034
5
28.36621855
-95.8924275
22.3606798
5.5
70.86697743
-70.5540326
23.4520788
6
96.01702867
-27.9415498
24.4948974
6.5
97.65876257
21.5119988
25.4950976
7
75.39022543
65.6986599
26.4575131
7.5
34.66353178
93.7999977
27.3861279
8
-14.5500034
98.9358247
28.2842712
8.5
-60.2011903
79.8487113
29.1547595
9
-91.1130262
41.2118485
30
9.5
-99.7172156
-7.51511205
30.82207
10
-83.9071529
-54.4021111
31.6227766
10.5
-47.5536928
-87.969576
32.4037035
11
0.442569799
-99.9990207
33.1662479
11.5
48.33047588
-87.5452175
33.9116499
12
84.38539587
-53.6572918
34.6410162
12.5
99.77982792
-6.63218974
35.3553391
13
90.74467815
42.0167037
36.0555128
13.5
59.49206633
80.3784427
36.7423461
14
13.67372182
99.0607356
37.4165739
9
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14.5
-35.4924267
93.4895056
38.0788655
15
-75.9687913
65.028784
38.7298335
15.5
-97.8453463
20.6467482
39.3700394
16
-95.765948
-28.7903317
40
16.5
-70.2397058
-71.1785342
40.620192
17
-27.5163338
-96.1397492
41.2310563
17.5
21.94399632
-97.5626005
41.8330013
18
66.03167082
-75.0987247
42.4264069
18.5
93.95248937
-34.2480618
43.0116263
19
98.87046182
14.987721
43.5889894
19.5
79.58149698
60.553987
44.1588043
20
40.80820618
91.2945251
44.7213595
20.5
-7.95635673
99.6829794
45.2769257
21
-54.772926
83.6655639
45.8257569
21.5
-88.1791728
47.1639003
46.3680925
22
-99.9960826
-0.88513093
46.9041576
IMAGEN Nº1: Modelado de los datos de la tabla Nº1 en AutoCAD.
BIBLIOGRAFÍA [Burd02] Burden - Faires. Análisis numérico. 7va.Ed., Thomson Editores. Capítulo 4. [Chap10] C. Chapra, P. Canale. Métodos numéricos para ingenieros. 6ta. Ed. McGraw- Hill Editores. Parte 6.
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