Aplicaciones de Filtros Digitales Tema11

5º Curso-Tratamiento Digital de Señal

Aplicaciones de Filtros Digitales • Diferenciadores FIR. • Transformación de Hilbert. • Interpolación y Decimación. • Filtros Peine. • Filtros Pasatodo. • Filtros Notch.

17/11/99

Capítulo 11 : Aplicaciones de Filtros Digitales

1


Aplicaciones de Filtros Digitales • Di Disseñ eño o de di dife ferren enccia iado dorres FI FIR R – La resp respue uesta sta fre frecu cuenc encial ial de de un dife diferen rencia ciador dor es es H(F)=j2πF, para |F|≤F C . F C es la frecuencia hasta la que queremos diferenciar. Ya que H(F) es imaginario necesitamos necesitamos secuencias de los tipos 3 y 4 (simetría impar). Si N es además impar h[0]=0. – Pa Para ra de dete term rmin inar ar la se secu cuen enci ciaa h[n] hacemos la transformada inversa de H(F), h[n] = j

F C

∫

2π F exp( j 2π nF )dF =

2nπ F C cos( 2nπ F C ) − sin (2nπ F C )

π n 2 Una vez obtenida la secuencia podemos aplicarle una ventana para reducir sobreimpulsos. Nótese que para secuencias con N impar, H(0.5)=0. − F C

– En la figur figuraa se muestr muestran an algunos algunos difer diferenci enciador adores es FIR FIR de distinto distintoss y tamaños tamaños para F C =0.4 usando una ventana de Hamming.

17/11/99


2


Aplicaciones de Filtros Digitales • Di Disseñ eño o de di dife ferren enccia iado dorres FI FIR R – La resp respue uesta sta fre frecu cuenc encial ial de de un dife diferen rencia ciador dor es es H(F)=j2πF, para |F|≤F C . F C es la frecuencia hasta la que queremos diferenciar. Ya que H(F) es imaginario necesitamos necesitamos secuencias de los tipos 3 y 4 (simetría impar). Si N es además impar h[0]=0. – Pa Para ra de dete term rmin inar ar la se secu cuen enci ciaa h[n] hacemos la transformada inversa de H(F), h[n] = j

F C

∫

2π F exp( j 2π nF )dF =

2nπ F C cos( 2nπ F C ) − sin (2nπ F C )

π n 2 Una vez obtenida la secuencia podemos aplicarle una ventana para reducir sobreimpulsos. Nótese que para secuencias con N impar, H(0.5)=0. − F C

– En la figur figuraa se muestr muestran an algunos algunos difer diferenci enciador adores es FIR FIR de distinto distintoss y tamaños tamaños para F C =0.4 usando una ventana de Hamming.

17/11/99


2


Aplicaciones de Filtros Digitales Diferenciadores FIR, Ventana Hamming, N=2 N=2, 10 10,, 15 15,, 20 20,, 25 3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Frecuencia Digital

17/11/99


3


Aplicaciones de Filtros Digitales Ë

Diseño de diferenciadores en MATLAB con las funciones firls y remez. Por ejemplo para diseñar un diferenciador con una frecuencia de corte normalizada F C =0.3, haremos >> Fc=0.3;N=25; >> B=firls(N,[0 0.3 0.4 0.5]*2,[0 0.3 0 0]*2*pi,’differentiator’); >> [H,W]=freqz(B,1,500);plot(W/(2*pi),abs(H)); D i f e r e n c i a d o re s F I R 2 1.8 N = 25

1.6

N = 20 N = 15

l 1 . 4 a i c n e 1 . 2 u c e r F 1 a t s e u 0 . 8 p s e R0 . 6

N = 10

0.4 0.2 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Frecuencia Normalizada

17/11/99


4


Aplicaciones de Filtros Digitales Utilizando ahora la función remez. >> B=remez(25,[0 0.4 0.4 0.5]*2,[0 0.3 0 0]*2*pi,’differentiator’); >> [H,W]=freqz(B,1,500);plot(W/(2*pi),abs(H)); Diferenciadores FIR con remez 2 1 .8 1 .6

N = 25 N = 20

1 .4

N = 15 N = 10

1 .2 1 0 .8 0 .6 0 .4 0 .2 0

17/11/99

0

0 .1

0.2 0.3 Respuesta Frecuencial

0 .4

0 .5


5


Aplicaciones de Filtros Digitales • Diseño de Transformaciones de Hilbert – La transformación de Hilbert ideal viene dado por h[n]=[1-cos(nπ )]/nπ

H(F)=-j·signo(F)

h[0]=0

La transformación de Hilbert desplaza la fase de una señal -90º (-π /2).

– En aplicaciones prácticas se requerirá este desplazamiento de fase hasta una frecuencia F C , de forma que para calcular la secuencia h[n] hacemos la transformada inversa, F 1 − cos (2 n π F )

[ ] = ∫ − − j ⋅ signo (F )⋅ exp ( j 2 n π F )dF =

h n

C

F C

C

n π

– Ya que H(F) es imaginaria, las secuencias deben ser del tipo 3 ó 4. – De igual forma que en el diseño de los diferenciadores, la h[n] obteni-da debe ser truncada por una de la ventanas habituales. – En la figura se muestran las respuestas frecuenciales de varias Transformaciones de Hilbert para distintas longitudes de secuencia, y para F C =0.4. – Para secuencias de longitud impar, H(0.5) es siempre 0.

17/11/99


6


Aplicaciones de Filtros Digitales Transformación de Hilbert: Ventana Hamming, N=10, 15, 20, 25 1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Frecuencia Digital

17/11/99


7


Aplicaciones de Filtros Digitales Ì

Diseño de Transformadores de Hilbert con MATLAB Usaremos las funciones firls y remez con una frecuencia de corte F C =0.05. >> B=firls(25,[0.05 0.5]*2,[1 1],’hilbert’); >> [H,W]=freqz(B,1,500); plot(W/(2*pi),abs(H),’r’);hold; >> B=firls(25,[0.05 0.45 0.47 0.5]*2,[1 1 0 0],’hilbert’); >> [H,W]=freqz(B,1,500);plot(W/(2*pi),abs(H),’r’); Transformadores de Hilbert FIR con firls 1.2

1

l a i 0 . 8 c n e u c e r F0 . 6 a t s e u p s e 0 . 4 R

N = 25 N = 20 N = 15 N = 10

0.2

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


17/11/99


8


Aplicaciones de Filtros Digitales Con la función remez, >> B=remez(20,[0.05 0.45 0.47 0.5]*2,[1 1 0 0],[100 1],'hilbert'); >> [H,W]=freqz(B,1,500); >> B=remez(25,[0.05 0.5]*2,[1 1],'hilbert'); >> [H,W]=freqz(B,1,500); Transformadores de Hilbert FIR con remez 1.2

1

l a i 0 . 8 c n e u c e r F0 . 6 a t s e u p s e 0 . 4 R

N = 25 N = 20 N = 15 N = 10

0.2

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


17/11/99


9


Aplicaciones de Filtros Digitales •

Aplicaciones de Alteración de la Frecuencia de muestreo.

•

Interpolación Consiste en aumentar la frecuencia de muestreo, obteniendo muestreos de mayor frecuencia a partir de datos muestreados a menor frecuencia. Up-Sampler Aumentar la frecuencia de una señal por un factor entero L > 1, se insertan L-1 ceros entre dos muestreos consecutivos de la señal de entrada x[n], lo que produce una salida xu[n]. Matemáticamente,

 x[n / L], n = 0,± L,±2 L,..., xu [n] =  resto  0

La operación de up-sampling es lineal, pero no es invariante en el tiempo. Para realizar una verdadera interpolación deberemos sustituir los ceros insertados por valores apropiados de la señal. Eso se hará introduciendo un filtro pasobajo, tal y como veremos ahora. Función de Transferencia del Up-Sampler

X u ( z ) =

∞

∑ x [n]⋅ z u

n = −∞

17/11/99

−n

=

∞

∑ x[n / L]⋅ z

n = −∞

−n

=

∞

∑ x[m]⋅ z

− mL

= X ( z L )

m = −∞


10


Aplicaciones de Filtros Digitales En el círculo unidad, la relación anterior se convierte en,

= X e jω t L X u (e jΩ ) = X (e jΩ L ) X u e

j ω t s

s

Es decir, un aumento por un factor L de la frecuencia de muestreo conlleva una repetición × L del espectro de la señal x[n]. La figura muestra los efectos de doblar la frecuen-cia de muestreo. En general, aumentar la frecuencia de muestreo por un factor L introduce L-1 imágenes del espectro original. j W

X(e

−2π

)

−π

0

π

2π

Ω

2π

Ω

Imagen j W X

(e

)

u

−2π 17/11/99

−π

0

π


11


Aplicaciones de Filtros Digitales Filtro de Interpolación Para interpolar la señal de entrada no tenemos más que aplicar un filtro pasobajo a la salida del up-sampler . De esta forma los ceros que habíamos insertado en el up-sampler se convierten ahora en valores interpolados. x u [ n ]

L

x [ n ]

H ( z )

y[n]

Podemos obtener las especificaciones del filtro pasobajo necesario.Supongamos que x[n] ha sido obtenido muestreando una señal continua xa(t) cuyo espectro viene dado por X a(jω ). El espectro de x[n] es X(e jΩ ). Estas dos transformadas están relacionadas por la siguiente expresión:

X ( f ) =

1

∞

∑

X a ( f − k T 0 ) T 0 k = −∞

donde T 0 es el periodo de muestreo. Si muestreamos xa(t) a una frecuencia mayor de forma que T=T 0 /L, obtenemos y[n], cuya transformada de Fourier es Y(e jΩ ), de forma que,

Y ( f ) =

1

∞

k  X ( f − k T ) = X  f − ∑ ∑  T T T L  a

k =−∞

17/11/99

L ∞

a

0 k =−∞

0


12


Aplicaciones de Filtros Digitales De las ecuaciones anteriores se deduce que si pasamos xu[n] a través de un filtro pasobajo ideal de frecuencia de corte Ω c =π /L y ganancia L, la salida del filtro es precisamente y[n]. |X(f)|

- 2 / T0

- 1 / T0

f

1 / T0

2 / T0

2p

4p

Ω

1/T

f

4p

Ω

|X(f)|

- 4p

- 2p

-p

π

|Y(f)|

T = T 0 / L L = 2

-1/T

|Y(f)|

- 4p

17/11/99

- 2p

-p

π

2p


13


Aplicaciones de Filtros Digitales Filtros de Nyquist Son una generalización de los filtros de media banda que vimos en el capítulo dedicado a filtros FIR. Allí se vió que este tipo de filtros contiene coeficientes de valor cero, que hace que su computación sea más sencilla. Además, cuando se utilizan como filtros de interpolación, preservan el valor original del muestreo a la salida del filtro. Estos filtros también se denominan filtros de L bandas. Los filtros de media banda son aquellos en los que L=2. /L lo haremos por el El diseño un filtro FIR de L bandas con una frecuencia de corte ω c=π método de las series de Fourier. En este método los coeficientes del filtros vienen dados por,

h[ n ] = h LP [ n ] ⋅ w [ n ] donde h LP[n] es la respuesta a impulso de un filtro pasobajo ideal con una frecuencia de corte π /L y w[n] es una ventana espectral. Aplicando el método de las series de Fourier para una frecuancia de corte π /L,

h LP [n] =

sin (π n L )

π n

,

−∞ ≤ n ≤ ∞

Esto nos garantiza que los valores de muestreo son preservados después de hacer el upsampling.

17/11/99


14



Decimación: disminución de la frecuencia de muestreo en un factor entero. Down-Sampler Hacer un down-sampling de un factor entero M>1 consiste en guardar uno de cada M valores muestreados y eliminando los M-1 muestreos intermedios, generando una señal de salida xd [n] de acuerdo con la siguiente relación: xd [n]=x[nM]. Al igual que la operación de up-sampling, el downsampling es lineal pero es variante en el tiempo. Disminuir la frecuencia puede tener implicaciones a la hora de cumplir el teorema del muestreo, por lo que tendremos que introducir un filtro pasobajo antes de hacer el down-sampling. Función de Transferencia del Down-Sampler

 x[n] n = 0,± M ,±2 M ,..., xaux [n] =  otro 0

Creamos una función auxiliar xaux[n], que definimos,

X d ( z ) =

∞

∑ x[ Mn ]⋅ z

n = −∞

−n

=

∞

∑ x

n = −∞

−n

aux

[ Mn ]⋅ z =

∞

∑ x

aux

[k ]⋅ z − k M = X aux ( z 1 M )

k = −∞

Relacionamos xaux[n] con x[n] mediante la siguiente ecuación, 1 n = 0,± M ,±2 M ,..., xaux [n ] = c[n ]⋅ x[n ] donde c[n ] =  resto 0

Otra forma de expresar c[n ] es, c[n ] =

1

M −1

∑e M

− j 2π kn M

k = 0

17/11/99


15


Aplicaciones de Filtros Digitales X aux ( z ) =

∞

∑

c[n ]⋅ x[n ]⋅ z − n

n = −∞

X d ( z ) =

1

M −1

∑ X ( z M

1 M

=

1

∞

M −1

∑  ∑ e− j 2π kn M  ⋅ x[n]⋅ z −n =

M n = −∞

k = 0

⋅ e − j 2π k M ) → X d ( f ) =

k = 0

1

M −1

∑ X (e M

1

M −1

∞

∑  ∑ x[n]⋅e− j 2π kn M ⋅ z −n  =

M k = 0

j 2π ( f ⋅t s − k ) M

n = −∞

1

M −1

∑ X ( z ⋅ e M

− j 2π k M

)

k = 0

)

k = 0

Esto quiere decir que la función de transferencia del down-sampler es la suma de M versiones ensanchadas (multiplicación por t s) y desplazadas de la función de transferencia X(z), y multiplicadas por el factor 1/M . Debido a que se ha disminuido la frecuencia de muestreo en un factor M, no /M . En la figura se observa que a ocurrirá aliasing si la señal x[n] tiene un espectro limitado entre ±π no ser que se introduzca un filtro pasobajo apropiado, se va a producir aliasing a la salida del downsampler . Este filtro deberá colocarse antes del down-sampler para ser efectivo. Un filtro ideal deberá /M. En la práctica siempre tendremos una banda de transición tener una frecuencia de corte igual a π por lo que las especificaciones de filtro serán:

1, ω ≤ ω c M H (e jω ) =  0, π M ≤ ω ≤ π

x [ n ]

17/11/99

H ( z )

x d [ n ]

M

y[n]


16


Aplicaciones de Filtros Digitales |X(f)|

f

Decimación sin “aliasing”

| X d (f)|

f

|X(f)|

f

Decimación con “aliasing”

| X d (f)|

f

17/11/99


17



Alteración fraccional de la frecuencia de muestreo Se consigue utilizando en cascada un decimador por M y un interpolador por L, donde M y L son enteros. El sistema final es un decimador por M/L o bien un interpolador por L/M . La figura muestra dos posibles configuraciones en cascada. De las dos, la más eficiente es la segunda ya que sólo será necesario realizar un filtro que cumpla las dos condiciones del interpolador y del decimador. Esto se consigue con un filtro con la frecuencia de corte,

Ωs = min

π π

,  L M

Esta frecuencia suprime las imágenes causadas por el interpolador y al mismo tiempo garantiza la ausencia de aliasing que causaría el decimador.

M

H d (z)

L

17/11/99

H u (z)

H d (z)

M

L

H u (z)

L

H (z)

M


18



Propiedades de interpoladores y decimadores x[n]

x u [n]

L

X u ( z ) = X ( z

L

H ( z L)

y[n]

x[n]

)

Y ( z ) = X 1 ( z

H ( z M )

x 1 [n ]

M

L

y[n]

x[n]

M

X 1 ( z ) = H ( z M )⋅ X ( z ) Y ( z ) =

17/11/99

1

M −1

∑

M k =0

1

X 1 ( z

M −1

∑

L

y[n]

X 1 ( z ) = H ( z )⋅ X ( z )

Y ( z ) = H ( z L )⋅ X u ( z ) = H ( z L )⋅ X ( z L ) x[n]

x 1[n]

H ( z)

1 M

⋅e

− j 2π k M

)

=

H ( z ⋅ e M k =0

=

H ( z ) M −1 X ( z1 M ⋅ e − j 2π k M ) M k =0

− j 2π k

X d ( z ) =

)⋅ X ( z ⋅ e 1 M

1

) = H ( z )⋅ X ( z ) L

x d [n]

M −1

∑ X ( z M

L

y[n]

H ( z)

1 M

⋅ e − j 2π k M )

k = 0

− j 2π k M

)

H ( z ) M −1 Y ( z ) = H ( z )⋅ X d ( z ) = X ( z1 M ⋅ e − j 2π k M ) M k =0

∑

∑


19



Para los filtros de decimación se utilizan filtros FIR, ya que sólo deberemos calcular uno de cada M puntos. Por el contrario, en los filtros IIR deberemos calcular todos y cada uno de los puntos debido a que es un filtro recursivo.

•

Para reducir las ncesidades computacionales en la realización de estos filtros se suele recurrir a la realización de interpoladores (o decimadores) en cascada. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo, en el que se han utilizado las propiedades de interpoladores y decimadores. G ( z1 5 )

F(z) 12 KHz

12 KHz

12 KHz

12 KHz

17/11/99

12 KHz

400 Hz

15 12 KHz

15

F(z) 12 KHz

12 KHz

G ( z1 5 )

F(z)

30

2 400 Hz

2

G ( z) 800 Hz

800 Hz

400 Hz


20



Para las operaciones en cascada es muy útil la descomposición en polifase de las funciones de transferencia.

•

Veamos con un ejemplo la descomposición en polifase de una función de transferencia, H ( z ) = h[0]+ h[1] z −1 + h[2] z −2 + h[3] z −3 + h[4 ] z −4

•

+ h[5] z −5 + h[6 ] z −6 + h[7 ] z −7 + h[8 ] z −8

Descomponemos en términos pares e impares,

+ h[4] z −4 + h[6] z −6 + h[8] z −8 + + z −1 (h[1]+ h[3] z −2 + h[5] z −4 + h[7] z −6 ) = E 0 ( z 2 )+ z −1 E 1 ( z 2 )

H ( z ) = h[0] + h[2] z

•

−2

También se podría haber descompuesto en tres o en más términos. En general, H ( z ) =

Sea

M −1

∑ h[k ]⋅ z

− k

k = 0

La descomposición en polifase con L términos es, H ( z ) =

L −1

∑ z

E k ( z L )

− k

k = 0

E k ( z ) =

 M L 

∑ h[nL + k ]⋅ z

−n

n =0

17/11/99


21


Aplicaciones de Filtros Digitales x [ n ]

E 0 (z L )

y [ n ]

x [ n ]

z -1

z -1

E 1(z L )

E 1 (z L )

z -1

z -1

E 2 (z L )

E 2 (z L )

z -1

z -1

E L-1(z L )

17/11/99

y[n]

E 0 (z L )

E L-1 (z L )


22



Si H(z) es un filtro de interpolación × L, y utilizo la descomposición en polifase de la página anterior, x [ n ]

E 0 (z)

y [ n ]

L -1 z

E 1(z)

L -1

z

E 2 (z)

L

-1

z

E L-1(z)

17/11/99

L


23


Aplicaciones de Filtros Digitales Ì

Interpolación y Decimación en MATLAB

>> N=50;n=0:N-1;L=6;M=L*N; >> x = sin(2*pi*0.14*n)+ sin(2*pi*0.21*n); % Generar la secuencia del up-sampler >> xu = zeros(1,M); >> n1 = 1:M; >> xu([1:L:M]) = x; >> figure;stem(n,x); >> figure;stem(n1,xu);hold; % Frecuencia de corte del filtro pasobajo = pi/6 --> 1/12 >> Nf=30;nf=Nf/2; >> B = fir1(Nf,1/6); >> y = filter(6*B,1,xu); % Desplazar a la izquierda el vector 'y' >> y(1:M-nf) = y(nf+1:M); y(M-nf+1:M) = zeros(1,nf); >> plot(n1,y,'r');zoom; >> [H,F] = freqz(B,1,250,6); >> figure;semilogy(F,abs(H));zoom;

17/11/99


24


Aplicaciones de Filtros Digitales 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2

17/11/99

0

50

100

150

200

250

300


25


Aplicaciones de Filtros Digitales 10

10

10

10

10

10

17/11/99

0

-1

-2

-3

-4

-5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3


26


Aplicaciones de Filtros Digitales Decimación >> N=50;n=0:N-1;M=6;Nf=30;nf=Nf/2; >> x = sin(2*pi*0.042*n) + sin(2*pi*0.033*n); % Filtro pasobajo frecuencia de corte pi/6 --> 1/12 >> B=fir1(Nf,1/6); >> [H,F]=freqz(B,1,250,1); >> xd = filter(B,1,x); % Eliminar el retraso >> xd(1:N-nf) = xd(nf+1:N);xd(N-nf+1:N)=zeros(1,nf); % Generar la secuencia de down-sampler >> y = xd(1:M:N-1);lxd=length(y); >> figure;plot(n,x,'r',n,xd,'g'); >> figure;stem([1:lxd],y); >> figure;semilogy(F,abs(H));

17/11/99


27


Aplicaciones de Filtros Digitales Señal original y filtrada

2 1.5

1.5

1

1

0.5

0.5

0

0

-0.5

-0.5

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

0

17/11/99

10

20

30

Señal decimada ×6

2

40

50

-2

1

2

3

4

5

6

7

8


9

28


Aplicaciones de Filtros Digitales 10

10

10

10

10

10

0

-1

-2

-3

-4

-5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Frecuencia (Hz)

17/11/99


29



Existen funciones en MATLAB que realizan estas operaciones automáticamente. Son interp, decimate y resample. Ver el Help de MATLAB para más detalles.

•

Comb Filters Tenemos una señal sonora a la que queremos añadirle ecos. La forma más simple de hacerlo es: y[n]=x[n]+α x[n-R], |α |<1 R es el retraso del eco. La función de transferencia es H(z)=1+α z-R F i l t r o P e i n e H ( z ) = 1 + 0 . 8 -z8 1.8 1.6 1.4

l a i c n e u c e r F a t s e u p s e R

1.2 1

0.8 0.6 0.4 0.2

17/11/99

0

0.2

0.4 0.6 Frecuencia Normalizada

0.8

1


30


Aplicaciones de Filtros Digitales Podemos generar N ecos espaciados R periodos de muestreo y con sus amplitudes decayendo exponencialmente, de forma que la función de transferencia es, H ( z ) = 1 + α ⋅ z

− R

+ α ⋅ z 2

− 2 R

Cuando N tiende a infinito,

( N −1)

+  + α

H ( z ) =

z − R

1 − α ⋅ z − R

l i F

5.

⋅ z

− R ( N −1)

1 8 ( /

=

1 − α N ⋅ z − NR 1 − α ⋅ z − R

,

,

α < 1

α < 1

8 )

5 5

l 4 . a i 5

c n 4 e u 3 . c e r 5 F a 3 t s 2 . e u 5 p s e 2 R 1. 5 1 0. 5 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


17/11/99


31



“All-pass Filters” Un caso sencillo de un filtro pasatodo es

l i F

α + z − R H ( z ) = , 1 + α ⋅ z − R ( 8 / )

α < 1

8 )

80

) s o e7 0 r t s e u6 0 m ( o5 0 p u r G4 0 e d o3 0 s a r t e2 0 R 10

0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


17/11/99


32



“Notch Filters” Es un filtro pasabanda cuya función de transferencia es del tipo, H ( z ) =

1+ α

z −1 + z −2 1 − 2 β

2

1 − β (1 + α ) z −1 + α z − 2

La frecuencia a la cual la respuesta es cero tiene la siguiente expresión,

ω 0 = cos − 1 ( β ) Y el ancho de frecuencias de corte a 3 dB,

 ∆ω 3dB = cos−1 

2α

1 + α

17/11/99

2

  


33

Aplicaciones de Filtros Digitales Tema11

Recommend Documents