APLICACIONES DE LAS INECUACIONES. OBJETIVO: Resolver situaciones que poseen una desigualdad como modelo matemático. Contenido:
Aplicaciones de Inecuaciones Lineales, Cuadráticas, Polinomiales, Racionales y con Valor Absoluto.
I NECUACIONES NECUACIONES LINE ALES 1. Escalas de temperatura. Las lecturas de temperatura en las escalas Fahrenheit y Celsius se relacionan mediante la fórmula
C
5 9
F 32 .
a) ¿Qué valores de F corresponden a los valores de C tales tales que 30 C 40? b) Cuando la temperatura del agua es mayor o igual a 100º C, el agua hierve. Determine la temperatura Fahrenheit a la cual hierve el agua. c) Para que valores de temperatura en grados Fahrenheit, el agua no alcanza a su punto de ebullición. 2. Ley de Hooke. Según esta ley, la fuerza F , en libras, necesaria para estirar x pulgadas determinado resorte respecto a su
longitud natural, es F 4.5x . Si 10 F 18, ¿cuáles son los valores correspondientes a x?
3. Nota final. En la clase de cálculo usted obtuvo calificaciones de 92, 88, 80 y 90 en sus primeros cuatro de cinco exámenes. Para determinar la nota final que obtendrá después de haber realizado todos sus exámenes se sugiere hallar el promedio de las calificaciones obtenidas y luego se compara el resultado con la escala de calificaciones se muestra en la siguiente tabla: Calificación E S A I D
Rango de calificación (en puntos) Mayor o igual que 90 hasta 100 inclusive Mayor o igual que 80 y menor que 90 Mayor o igual que 60 y menor que 80 Mayor o igual que 30 y menor que 60 Mayor o igual que 0 y menor que 30
a) Resuelva una desigualdad para encontrar el rango de la calificación que necesita en el último examen para obtener una S. b) ¿Qué ocurre si el quinto examen cuenta el doble que cualquiera de los otros y Ud. desea obtener una calificación Excelente? 4. Inversión. Un inversionista tiene invertido 800.000 al 9% y piensa invertir dinero adicional al 1 6% con objeto de lograr un rendimiento de al menos 12% de la inversión total. ¿Qué cantidad de dinero deberá ser invertida? 5. + Inversión. Parte de $20.000 son invertidos al 9% y el resto se invierten al 12%. ¿Cuál es la menor cantidad de dinero que puede ser invertida al 12% para tener un rédito anual de al menos $2250 de las dos inversiones? 6. Monitor. El ancho de la pantalla de un computador es 70 cm menos que el doble de su longitud. Si el perímetro de la pantalla es al menos 196 cm, ¿cuáles son las medidas de la pantalla?
7. Uno de “cercas”. Se quiere cercar un terreno rectangular cuyo ancho tiene 3 m menos que el largo. Si el dueño del terreno no quiere gastar más de 700 m de alambre en la totalidad del cercado, ¿cuáles son las posibles dimensiones del terreno? 8. Fábrica de gabinetes. Una compañía que fabrica y vende gabinetes tiene gastos generales semanales de US $3400, incluyendo salarios y costos de planta. El costo de os materiales por cada gabinete es de US $40 y se vende en US $200. ¿Cuántos gabinetes deberán construirse y venderse cada semana para que la compañía garantice utilidades?
9. ¡Ahora, con lámparas! Un fabricante de lámparas vende únicamente a mayoristas en su sala de exposición. El gasto semanal total, incluyendo salarios, costos de planta y renta de la sala de exhibición, es de US$6000. Si cada lámpara se vende por US$168 y el material usado en su construcción cuesta US$48, ¿cuántas lámparas lámparas deberá hacer y vender cada semana para que el fabricante logre logre una ganancia? 10. Laboratorio Químico. ¿Qué cantidad de alcohol puro debe ser agregado a 24 litros de una solución de alcohol al 20% para obtener una mezcla que al menos tenga 30% de alcohol? 11. Platería. Un platero piensa obtener una aleación que contenga al menos 72% y cuando más 75% de plata. Determine las cantidades máxima y mínima de una aleación a 80% que debe se combinada con una aleación de plata de 65% para obtener 30 g de la aleación requerida. 12. Alquiler. María es una chica que le gustan mucho los automóviles. Para sus vacaciones ella decide rentar uno en un concesionario conocido por su padre. La renta del auto es de $200.000 por semana, más $2000 por Km que recorra. Si María desea gastar como máximo $400.000 en la renta del auto, ¿cuántos kilómetros deberá recorrer? 13.
Que corbatita... La fábrica “ARTURO CALLE” confecciona toda clase de corbatas para vestidos enteros. El costo total de fabricación de x corbatas está dado por la función C ( x) 1000 x 2000 (en pesos)
y los ingresos por las ventas correspondientes están dadas por: I ( x ) 4000 x . a) Si el administrador desea tener ganancias superiores a $1’000.000, ¿cuántas corbatas aproximadamente tendrán que fabricar y vender para lograr su objetivo? b) Si la fábrica no desea que los costos de fabricación superen un valor de $200000, ¿cuántas corbatas tendrían que fabricar? 14. Tasas de electricidad. El cargo en verano por consumo de electricidad de la compañía Commonwealth Edison es de 10,819 centavos por kilowatt-hora. Además, mensualmente la factura de electricidad lleva un cargo fijo de US$ 9,06. Si la factura del último verano varió desde US$ 82,14 hasta US$ 279.63, ¿en qué rango varió el cons umo (en kilowatts-hora)?
I NECUACIONES CUADRÁTICAS CUADRÁTICAS 15. Física. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 80 pies por segundo. La distancia d (en pies) de la pelota al suelo después de t segundos es
d 80t 16t 2 . a) Calcule el intervalo de tiempo en que la pelota está a más de 96 pies del suelo b) Determine cuando la pelota está a 64 p ies o menos del s uelo. 16. Altura de un objeto disparado. Si un objeto se lanza verticalmente hacia arriba, desde el nivel del piso, con una velocidad inicial de 320 pies/s, entonces su distancia, d , al piso, a los t segundos es
d 16t 2 320t . ¿Para qué valores de t estará estará el objeto a más de 1536 pies sobre el piso? 17. MUA. Una pelota es lanzada desde el suelo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 72 pies/seg. La
ecuación del movimiento es s 16t 72t donde s pies es la distancia que hay entre la pelota y el suelo después de t segundos de que es lanzada. Encuentre en qué tiempo la pelota se halla más arriba de 256 pies del suelo. 2
EJAC Licmat 20.12 20.12
18. Movimiento Parabólico. Si se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo, con una velocidad de 528ft/sg, entonces su distancia d arriba del suelo está dada por:
d 16t 2 528t , donde t es el tiempo en segundos. ¿Para qué valores de t el objeto estará a más de 3200ft sobre el suelo? 19. Marca del salto de altura. Guinness Book of World Records informa que los perros pastores alemanes pueden efectuar saltos verticales de más de 10 pies al escalar muros. Si la t segundos, distancia, d, en pies, a los es
d 16t 2 24t 1 , ¿durante cuántos segundos está el perro a más de 9 pies del piso? 20. Venta de escritorios. Una empresa que produce escritorios puede vender todos los que produce a US $400 c/u. Si x escritorios se venden cada semana, entonces el número de dólares en el costo total de la producción semanal es
2 x2 80 x 3000 .
¿Cuántos escritorios deberán construirse semanalmente para que el fabricante garantice una ganancia? 21. Producción de una empresa. Una empresa puede vender a $100 por unidad todos los artículos de primera de necesidad que produce. Si se fabrican x unidades por día, y el número de dólares en el costo total diario de producción es
x 2 20 x 700 . ¿Cuántas unidades deberán producirse diariamente de tal manera que la compañía garantice una ganancia? 22. Un cuerpo que cae libremente lo hace de acuerdo con la función
y 9t 2 18t , donde “y” representa la posición y “t” el tiempo desde que inicio su movimiento. ¿Entre qué intervalo de tiempo el cuerpo recorre el intervalo de distancia desde 135m a 216m? 23. Doblando, doblando. Un pedazo de alambre de 60cm se dobla en dos partes con el objeto de formar un triángulo rectángulo. Si la hipotenusa mide 26cm, ¿cuál son las posibles medidas de 2 los catetos si se desea que el triángulo posea más de 132cm de área? 24. Distancia de frenado. La distancia d de frenado, en pies, de determinado automóvil que viaja a v mi/h, es
2 d v v
20
.
Calcule las velocidades que hagan que las distancias de frenado sean menores que 25 pies. 25. Rendimiento de gasolina. El número de millas, M , que puede viajar determinado auto compacto con 1 galón de gasolina, se relaciona con su velocidad, v, en millas/h, mediante
M
1 30
v v cuando 0 < v < 70. 2
5 2
¿Para qué velocidades M será cuando menos 45? 26. Construyendo una caja. Se quiere hacer un paralelepípedo cuya base tenga de ancho 3cm menos que el largo de la misma, para empacar una botella. Si la caja debe tener una altura de 3 30cm y su volumen no puede ser mayor que 300cm , ¿cuál puede ser el largo de la base de la caja? 27. Cercando la „ginca‟. Un campo rectangular cercado está ubicado en la orilla de un río, el lado largo del río no requiere de cerca. El costo de material para la cerca es de US $8 por pie lineal para los dos lados opuestos con cerca y US $16 por pie lineal para el lado paralelo al río. Si el área del campo es de 2 12.000 pies y el costo de la cerca no debe exceder de US $3.520, ¿cuáles son las restricciones en las dimensiones del campo?
28. Cercando la parcelita. Una parcela rectangular de terreno será encerrada por una cerca, luego, dividida a la mitad por otro tipo de cerca. La cerca que divide a la mitad la parcela cuesta US $3 por pie lineal y la otra cerca tiene un costo de US $6 por pie 2 lineal. Si el área del terreno es 1.800 pies y el costo total de la cerca debe ser mayor que $2.310, ¿cuáles son las restricciones en las dimensiones del terreno? 29. + corrales. Se tienen 100 metros de alambre para cercar un terreno rectangular ¿Cuáles serán el largo y el ancho de un 2 terreno cercado de al menos 600 m ? 30. Vaciando un estanque. El número de litros de agua que hay en un estanque, t minutos después de haber empezado a vaciarlo, esta dado por:
Q(t ) 200(30 t )2 Si el estanque tenía inicialmente 2000 litros de agua, ¿al cabo de cuánto tiempo quedará al menos la décima parte de su contenido? 31. Parejas numéricas. Halla todas las posibles parejas de enteros positivos consecutivos cuyo producto sea mayor o igual a 156.
I NECUACIONES DE GRADO SUPERI OR 32. Movimiento de una partícula. Al moverse una partícula en trayectoria recta, su velocidad, v, en cm/s, cuando el tiempo es t segundos, está expresado por la ecuación. ¿Para qué subintervalos del intervalo dado a , b será esta velocidad cuando menos de k cm/s? a)
v t 3 3t 2 4t 20; 0,5; k 8
b)
v t 4 4t 2 10; 1,6; k 10
INECUACIONES RACIONALES 33. Concentración de medicamento. Para el tratamiento la arritmia (latidos irregulares), se inyecta, intravenosamente, un medicamento. Supóngase que la concentración c del fármaco, después de t horas, está dado por
c
3,5 t mg . L t 1
Si la concentración terapéutica mínima es 1,5 mg/L, determine cuándo se rebasa esa concentración. 34. + de medicina. Para que un medicamento tenga efecto benéfico, su concentración sanguínea debe ser mayor que cierto valor llamado nivel terapéutico mínimo. Supón que la concentración c (mg/l) de un fármaco, t horas después de su ingestión, está dada por:
C
20t t 4 2
Si el nivel terapéutico mínimo es de 4mg/l, ¿Cuándo se rebasa el nivel? 35. Resistencia eléctrica. Si dos resistores con resistencia R1 y R2, se conectan en paralelo en un circuito eléctrico la resistencia
neta R está dada por
1 R
1 R1
1 R2
.
a) Si R1 = 10 , ¿qué valores de R2 harán que la resistencia sea menor que 5 ? b) Si R2 = 100 , ¿qué valores de R1 harán que la resistencia sea a lo sumo 60 ? 36. Densidad de población. La densidad de población, D, (en personas por milla cuadrada) en una gran ciudad, se relaciona con la distancia, x, en millas, al centro de la ciudad, mediante
D 5000 x
x
2
36
.
¿En qué regiones de la ciudad la densidad de población es 2 mayor que 400 personas/milla . EJAC Licmat 20.12
37. Propagación de salmones. Para determinada población de salmones, la relación entre el número, S, de padres, y el número, R, de descendientes que sobreviven hasta la madurez es
R 4500S
S 500
.
¿Bajo qué condiciones R > S ? 38. Peso en el espacio. Cuando un astronauta va hacia el espacio, su peso disminuye hasta alcanzar un estado de ingravedad. El peso de un astronauta de 125 lb, a una altitud de x km sobre el nivel del mar, es
6400 W 125 6400 x
2
.
¿A qué altitudes el peso del astronauta es menor que 5 lb? I NE CUACI ONES CON VALOR ABSOLUTO 39. Temperatura corporal. La temperatura “normal” del cuerpo humano es de 98.6 ºF. Si una temperatura t difiere de la normal por al menos 1,5 ºF es considerada no sana, escriba la condición para una temperatura no sana t como una desigualdad que involucre valor absoluto, y resuelva para t. 40. Voltaje doméstico. En Sincelejo el voltaje casero normal es de 110 voltios. Sin embargo, no es raro que el voltaje real difiera del normal en 5 voltios, cuando mucho. Exprese esta situación como una desigualdad que involucre valor absoluto. Utilice V como el voltaje real y resuelva para V.
b) Si la empresa decide no cobrar la tarifa de aseo y alcantarillado a todos los usuarios por un mes, pero estandariza 3 el precio a $640 por m , ¿Cuántos metros cúbicos de agua (aproximadamente) se deberán consumir en un hogar para que su factura oscile entre los $12560 y los $25360? c) Establece la función costo para la factura adjunta en particular y con su ayuda realiza una gráfica de costo Vs consumo de los períodos 2003/05, 2003/06 y 2003/07. 44. La empresa SURTIGAS S.A. E. S. P “La llamita de la comodidad “ de Sincelejo, con el propósito de incentivar el ahorro de gas natural entre los usuarios de su servicio, cobra 3 tarifas preferenciales de acuerdo con la cantidad de m consumidos al mes. Para lo que establece una tabla como la que aparece en la parte superior izquierda de la factura adjunta. A todos los usuarios se les cobra un cargo fijo de $2.674 y el gobierno otorga un subsidio de $2.248. a) Determinar el intervalo de gasto por concepto de gas para 3 familias que tienen un consumo en m de gas: Entre 0 y 20 Entre 21 y 50 Mayor de 51 b) Si el gobierno decide retirar el subsidio a todos los usuarios, 3 pero a la vez estandariza el precio a $345 por m , ¿cuántos metros cúbicos (aproximadamente) se deberán consumir en un hogar para que el costo generado en su factura de cobro no exceda los $10250? c) Realiza una gráfica de costo Vs consumo de los meses de junio, julio y agosto para la factura adjunta estableciendo de antemano la función costo para esta en particular.
MISCELANEA 41. Rectángulo áureo. Se quiere construir un rectángulo áureo 2 cuya área no sea mayor a 100 cm , ¿cuál debe ser la medida del ancho del rectángulo? NOTA: Un rectángulo áureo es aquel cuyo lado depende directamente del ancho mediante la siguiente relación:
L A A
5 1 2
,
donde L = lado y A = ancho. 42. Manualidades. María es una chica que le gusta realizar manualidades con toda clase de papel. Un día se le dio por construir un cilindro sellado por ambos extremos, pero sólo 2 contaba con 3.14m de cartulina. ¿Cuál podría ser el radio del cilindro de María para que le alcance la cartulina? 43. La empresa AGUAS DE LA SABANA S.A E.S.P “ Agua, en serio” de Sincelejo, con el propósito de incentivar el ahorro del agua entre todos los usuarios de su servicio, cobra tarifas 3 preferenciales de acuerdo con la cantidad de m consumidos al mes. Para lo que establece una tabla como la que aparece en la parte superior derecha de la factura adjunta (además de ello cobra una tarifa fija por el servicio de alcantarillado y aseo). A todos los usuarios se les cobra un cargo fijo de $2.384 y el gobierno otorga un subsidio o descuento por continuidad de $1.920. a) Determinar el intervalo de gasto por concepto de aseo, acueducto y alcantarillado para familias que tienen un 3 consumo en m de agua: Entre 0 y 20 Entre 21 y 40 EJAC Licmat 20.12
