Estadística Modelos probabilísticos
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
Variable aleatoria
El resultado de un experimento aleatorio puede ser descrito en ocasiones como una cantidad numérica. numérica. En estos casos aparece la noción de variable aleatoria Función que asigna a cada suceso un número. Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas (como en el primer tema del curso). En las siguientes transparencias vamos a recordar conceptos de temas anteriores, junto con su nueva designación. Los nombres son nuevos. Los conceptos no. Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
1
Función de probabilidad (V. Discretas)
Asigna a cada posible valor de una variable discreta su probabilidad.
Recuerda los conceptos de frecuencia relativa y diagrama de barras.
40% 35% 30% 25% 20% 15% 10%
Ejemplo : Resultado del lanzamiento de dos dados iguales.
5% 0% 0
1
2
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
3
Valores que Toma la Variable Aleatoria X 10 25 100
Eventos Asociados
Función de Función de Número de Número Probabilidad Distribución Eventos
{US$10} {US$25} {US$100}
f(x ) 0,550 0,300 0,150 1
275 150 75 500
F(x ) 0,550 0,850 1,000
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
2
Función de Probabilidad (Masa) 0,600 0,500 d a 0,400 d i l i b 0,300 a b o 0,200 r P 0,100 0,000 10
25
100
Valores de la Variable Aleatoria
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
Función de Distribución 1,2 d a d i l i b a b o r P
1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90 100 110
Valores de la Variable Aleatoria
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
3
X: Variable Aleatoria, La suma del resultado al lanzar dos dados iguales Valores que Toma la Variable Aleatoria X
Eventos Asociados
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
{1,1} {1,2} {1,3}, {2,2} {1,4},{2,3} {1,5},{2,4},{3,3} {1,6},{2,5},{3,4} {2,6},{3,5},{4,4} {3,6},{5,4} {4,6},{5,5} {5,6} {6,6}
Función de Función de Número de Probabilidad Distribución Eventos
1 1 2 2 3 3 3 2 2 1 1 21
f(x)
F(x)
1/21 1/21 2/21 2/21 3/21 3/21 3/21 2/21 2/21 1/21 1/21 1
1/21 2/21 4/21 6/21 9/21 12/21 15/21 17/21 19/21 20/21 1
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
X: Variable Aleatoria, La suma del resultado al lanzar dos dados iguales Función de Probabilidad 0,16 0,14 0,12 0,1 ) X ( 0,08 P 0,06 0,04 0,02 0 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Valores de X Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
4
X: Variable Aleatoria, La suma del resultado al lanzar dos dados iguales Función de Distribución 1,2 1
d a d 0,8 i l i b 0,6 a b o 0,4 r P
0,2 0 0
2
4
6
8
10
12
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Valores que toma la Variable Aleatoria
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
Valor esperado y varianza de una v.a. X
Valor esperado Se representa mediante E[X] ó x Es el equivalente a la media, medida de centralidad. Función de
Probabilidad o masa
Variable Aleatoria Discreta
= µ =
= Valores que toma la Variable Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos Aleatoria
5
Valores que Toma la Variable Aleatoria X 10 25 100
Eventos Asociados
{US$10} {US$25} {US$100}
Función de E(X) = Número de Probabilidad Eventos Σ
275 150 75 500
f(X) 0,550 0,300 0,150 1
5,5 7,5 15,0 28,0
µ = Si juego muchas veces en promedio me gano US$3 Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
X: Variable Aleatoria, La suma del resultado al lanzar dos dados iguales Valores que Toma Función de E(X) = µ µ Eventos Número de la Variable Probabilidad Asociados Eventos Σ Aleatoria X f(x) 2 {1,1} 1 1/21 2 * 1/21 3 {1,2} 1 1/21 3 * 1/21 4 {1,3}, {2,2} 2 2/21 4 * 2/21 5 {1,4},{2,3} 2 2/21 5 * 2/21 6 {1,5},{2,4},{3,3} 3 3/21 6 * 3/21 7 {1,6},{2,5},{3,4} 3 3/21 7 * 3/21 8 {2,6},{3,5},{4,4} 3 3/21 8 * 3/21 9 {3,6},{5,4} 2 2/21 9 * 2/21 10 {4,6},{5,5} 2 2/21 10 * 2/21 11 {5,6} 1 1/21 11 * 1/21 12 {6,6} 1 1/21 12 * 1/21 21 1 7
Si juego muchas veces el promedio de mis lanzamientos es 7
µ =
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
6
Valor esperado de una función de la v.a. X
Valor esperado de g(x)
Se representa mediante E[g(X)] ó g(x) Función de Probabilidad o masa
Variable Aleatoria Discreta
= µ =
= Valores que toma la Variable Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos Aleatoria
Valor esperado y varianza de una v.a. X Varianza Se representa mediante VAR[X] o x2 Se llama desviación típica a x
Variable Aleatoria Discreta
= σ =
− µ
=
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
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Varianza de una variable Aleatoria X
= σ =
− µ
=
= σ =
− µ + µ
=
= σ =
− µ + µ
=
=
=
= σ = − µ + µ = σ = − µ
Más Fácil calcular con esta Expresión Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
Valores que Toma la Variable Aleatoria X 10 25 100
Eventos Asociados
Número de Eventos
{US$10} {US$25} {US$100}
275 150 75 500
Función de Probabilidad
E(X)
f(X) 0,550 0,300 0,150 1
5,5 7,5 15,0 28,0
55,0 187,5 1500,0 1742,5
σ = ( ) − ( ( )) = − =
Este juego tiene una variabilidad del 110,57% Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
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Ejemplo de Esperanza, Varianza y desviación Estándar para una Variable Discreta Valores que Toma la Variable Aleatoria X
Eventos Asociados
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
{1,1} {1,2} {1,3}, {2,2} {1,4},{2,3} {1,5},{2,4},{3,3} {1,6},{2,5},{3,4} {2,6},{3,5},{4,4} {3,6},{5,4} {4,6},{5,5} {5,6} {6,6}
Función de Número de Probabilidad Eventos
E(X) = µ µ
2 * 1/21 3 * 1/21 4 * 2/21 5 * 2/21 6 * 3/21 7 * 3/21 8 * 3/21 9 * 2/21 10 * 2/21 11 * 1/21 12 * 1/21 7
4 * 1/21 9 * 1/21 16 * 2/21 25 * 2/21 36 * 3/21 49 * 3/21 64 * 3/21 81 * 2/21 100 * 2/21 121 * 1/21 144 * 1/21 1169/21
f(X)
1 1 2 2 3 3 3 2 2 1 1 21
σ = ( ) − ( ( )) =
1/21 1/21 2/21 2/21 3/21 3/21 3/21 2/21 2/21 1/21 1/21 1
− = Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
Función de densidad (V. Continuas)
Definición
Es una función no negativa de integral 1 en su Dominio.
Piénsalo como la generalización del histograma con frecuencias relativas para variables continuas.
¿Para qué lo voy a usar?
Nunca lo vas a usar directamente. Sus valores no representan probabilidades.
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
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¿Para qué sirve la función de densidad? Muchos procesos aleatorios vienen descritos por variables de forma que son conocidas las probabilidades en intervalos.
La integral definida de la función de densidad en dichos intervalos coincide con la probabilidad de los mismos.
Es decir, identificamos la probabilidad de un intervalo con el área bajo la función de densidad.
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
X: Variable Aleatoria Continua, Ejemplo El tiempo de funcionamiento de un transistor hasta su primera falla (en cientos de horas) es una variable X con función de densidad
=
>
f(x) es una función de densidad porque: +∞
−∞
+∞
=
= −
f(x) > 0 para todo x>0
+ ∞ =
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
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X: Variable Aleatoria Continua, Ejemplo El tiempo de funcionamiento de un transistor hasta su primera falla (en cientos de horas) es una variable X con función de densidad
=
>
Encontrar la probabilidad que la vida útil del transistor este entre 400 y 500 horas
< < =
= − =
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
X: Variable Aleatoria Continua, Ejemplo Encontrar la probabilidad de: • La vida útil del transistor esta por debajo de las 500 horas
< =
= = −
• La vida útil del transistor este por encima de las 500 horas
> =− ≤ =−
= − =
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
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X: Variable Aleatoria Continua, Ejemplo • La vida útil del transistor sea exactamente igual a las 5,000 horas
= =
=
Esta probabilidad siempre es cero por ser X una Variable Aleatoria Continua y la probabilidad es el área bajo la función de densidad. Recuerda el Área bajo un punto es cero Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
Función de distribución
Es la función que asocia a cada valor de una variable, la probabilidad acumulada de los valores inferiores o iguales.
Piénsalo como la generalización de las frecuencias acumuladas. Ojiva.
A los valores extremadamente bajos les corresponden valores de la función de distribución cercanos a cero. A los valores extremadamente altos les corresponden valores de la función de distribución cercanos a uno. Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
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¿Para qué sirve la f. distribución?
Para calcular la probabilidad de los menores o iguales a un valor especifico, de un intervalo, o de los mayores a un valor especifico
≤ = < ≤ = − > = − ≤ = − Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
¿Para qué sirve la f. distribución?
Relaciónalo con la idea de percentil,cuartil, etc.
≤ = =
= −
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X: Variable Aleatoria Continua, Ejemplo El tiempo de funcionamiento de un transistor hasta su primera falla (en cientos de horas) es una variable X con función de densidad
=
>
Encontrar la función de Distribución para la Variable X:
≤ = =
−∞
≤ = =
= −
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
X: Variable Aleatoria Continua, Ejemplo = −
Cual es la probabilidad de que La vida útil del transistor este por debajo de las 500 horas
≤ = = −
=
Cual es la probabilidad de que La vida útil del transistor este entre 400 y 500 horas
< ≤ = − =
− =
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X: Variable Aleatoria Continua, Ejemplo = − Si la vida útil de los transistor es mayor de 500 horas, ¿Cuál es la probabilidad que un transistor dure menos de 700 horas
< > = < > =
< < >
−
−
< > =
=
− =
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
Valor esperado y varianza de una variable +∞ Aleatoria Continua X
= µ = −∞ +∞
= µ = −∞
+∞
= σ =
− µ
−∞
= σ = − ( )
Más Fácil calcular con yesta Expresión Variable Aleatoría Modelos probabilísticos
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Ejemplo de Esperanza para una Variable Continua
El tiempo de funcionamiento de un transistor hasta su primera falla (en cientos de horas) es una variable X con función de densidad
= λ −λ
Si x>0 ∞
Recuerde que :
− =
+∞
+∞
λ = = λ = = λ λ −∞
−λ
1/ λ ! " Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
Ejemplo de Varianza para una Variable Continua
= λ −λ
Si x>0 ∞
Recuerde que :
− =
+∞
+∞
= = λ −λ = −∞
λ
σ = − ( ) =
λ
−
λ
λ
=
=
λ
λ
1/ λ #$ % ! "
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
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Ejemplo de Esperanza para una Variable Continua
El tiempo en minutos que un bus del MIO se retrasa es una variable Aleatoria X con función de densidad
=
−
Un Valor negativo indica que el bus llega adelantado. 1. 2. 3. 4. 5.
Compruebe que f(x) es una función de densidad. Encuentre la función de Distribución. Calcule la probabilidad que el bus no se demore. Calcule la probabilidad que el bus se demore más de 3 minutos. Calcule la media y la varianza del tiempo en minutos que el bus se retrasa 6. Calcule la media y la varianza del tiempo en segundos que el bus se retrasa. Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
Ejemplo de Esperanza para una Variable Continua
El tiempo en minutos que un bus del MIO se retrasa es una variable Aleatoria X con función de densidad
=
−
Un Valor negativo indica que el bus llega adelantado. 1. Compruebe que f(x) es una función de densidad.
f(x) siempre es positiva en el intervalo (-5,5) +∞
=
−∞
−
− =
−
− =
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
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Ejemplo de Esperanza para una Variable Continua
El tiempo en minutos que un bus del MIO se retrasa es una variable Aleatoria X con función de densidad
=
−
Un Valor negativo indica que el bus llega adelantado. 2. Encuentre la función de Distribución.
=
= − =
−∞
−
−
− =
+ −
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
Ejemplo de Esperanza para una Variable Continua
El tiempo en minutos que un bus del MIO se retrasa es una variable Aleatoria X con función de Distribución
=
+ −
Un Valor negativo indica que el bus llega adelantado. 3. Calcule la probabilidad que el bus no se demore.
< = =
+ −
=
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
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Ejemplo de Esperanza para una Variable Continua
El tiempo en minutos que un bus del MIO se retrasa es una variable Aleatoria X con función de Distribución
=
+ −
Un Valor negativo indica que el bus llega adelantado. 4. Calcule la probabilidad que el bus se demore más de 3 minutos.
> = − < = − > = −
+ −
=
Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
Ejemplo de Esperanza para una Variable Continua
El tiempo en minutos que un bus del MIO se retrasa es una variable Aleatoria X con función de densidad
=
−
5. Calcule la media y la varianza del tiempo en minutos que el bus se retrasa +∞
µ = = −∞
−
−
− ( − ) µ = − =
En promedio el bus es puntual.
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Ejemplo de Esperanza para una Variable Continua El tiempo en minutos que un bus del MIO se retrasa es una variable Aleatoria X con función de densidad
=
−
Calcule la media y la varianza del tiempo en minutos que el bus se retrasa +∞
= = −∞
=
−
−
−
− =
) = − = σ = − ( Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
Ejemplo de Esperanza para una Variable Continua
El tiempo en minutos que un bus del MIO se retrasa es una variable Aleatoria X con función de densidad
=
−
6. Calcule la media y la varianza del tiempo en segundos que el bus se retrasa. X variable aleatoria en minutos
Y Variable aleatoria en segundos Y = 60X
= = = = = = = Variable Aleatoría y Modelos probabilísticos
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