Aplicaciones de vectores en R2 y R3
RECTAS EN R2 Dos puntos distintos cualesquiera, P1(x1, P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en R2 (fgura 5.6) determinan determinan una lnea l nea recta cuya ecuaci!n es ax " #y " c $ %, (1) Donde a, # y c son n&meros reales, y a y # no son simult'neamente cero. omo P1 y P2 pertenecen a la recta, sus coordenadas satisacen la ecuaci!n (1)* ax1 " #y1 " c $ % (2) ax2 " #y2 " c $ % (+) -ora escri#imos (1), (2) y (+) como un sistema lineal en las inc!gnitas a, # y c, con lo que o#tenemos xa " y# " c $ % x1a " y1# " c $ % () x2a " y2# " c $ %. /uscamos una condici!n so#re los 0alores de x y y para que () tenga una soluci!n no tri0ial a, # y c. omo () es un sistema -omogneo, tiene una soluci!n no tri0ial tri0ial si y s!lo si el el determinante determinante de la matri matri de coefcientes coefcientes es cero, esto es, si y s!lo si
3 4 31 41 1
1
%$32 42 1 Ejemplo: Determinar ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por los puntos P%(2, +, ) y P1(+, 2, 5). Solución a Solución a recta que se #usca es paralela al 0ector -ora u $ (+ 2, 2 +, 5 ()) $ (1, 5, 7). omo P% est' en la recta, podemos escri#ir ecuaciones paramtricas de , como x $ 2 " t y $ + 5t 8 9 t 9 8
$ " 7t. Ejemplo * as ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por el punto P%(+, 2, 1) y es paralela al 0ector u $ (2, +, ), son x $ + " 2t y $ 2 +t 8 9 t 9 8 $ 1 " t
PLANOS EN R3 :n plano en R+ puede determinarse mediante un punto en el plano y un 0ector perpendicular al plano. ;ste 0ector se denomina normal al plano. Para o#tener una ecuaci!n del plano que pasa por el punto P%(x%, y%, %) y que contiene el 0ector no nulo n $ (a, #, c) como normal, procedemos de la manera siguiente. :n punto P(x, y, ) est' en el plano si y s!lo o si el 0ector es perpendicular a n Por lo tanto, P(x, y, ) est' en el plano si y s!lo si n
Ejemplo: Determinar una ecuación del plano que pasa por los puntos P1(2, −2, 1), P2(−1, 0, 3) y P3(, −3, !)" 2a − 2# $ 3c $ d % 0
−a − 3# $ 3c $ d % 0 a − 3# $ !c $ d % 0 &l resol'er este sistema, tenemos a % 1*r, # % 1 1*r, c % − 31*r, d % r, donde r es cualquier n+mero real" aciendo r % 1*, o#tenemos a % , # % 1, c % −3, d % 1*" Por lo tanto, una ecuación para el plano descrito es - $ 1y − 3. $ 1* % 0" (11)
Ejemplo: a siguiente es una segunda soluci!n para el e>emplo anterior. Procediendo como en el caso de una recta en R2 determinada por dos puntos distintos P1 y P2, es 'cil demostrar que una ecuaci!n del plano que pasa por los puntos no colineales P1(x1, y1, 1), P2(x2, y2, 2) y P+(x+, y+, +) es 3
y
1
x1 y1 1 1 x2 y2 2 1
%$x+ y+ + 1
;n este e>emplo, la ecuaci!n del plano descrito es 3
y
1
2
1
1
1
%
+
1
5
+
2
%$1
Ejemplo: Determinar ecuaciones paramtricas de la recta de intersecci!n de los planos ?1 * 2x " +y 2 " $ % y ?2 * x y " 2 " + $ % l resol0er el sistema lineal ormado por las ecuaciones ?1 y ?2, o#tenemos x $ 1+@5 A @5t y $ 2@5 " 6@5t
8 9 t 9 8
$%"t Bres planos en R+ pueden intersecarse en un plano, en una recta, en un solo punto, o #ien no tener puntos en com&n. ;s posi#le detectar estas posi#ilidades al resol0er el sistema lineal ormado por sus ecuaciones. Ejemplo: Determinar dos planos cuya intersecci!n es la recta x $ 2 " +t y $ + 2t 8 9 t 9 8 $ 5 " t Primero determinamos las ecuaciones de la recta en orma simtrica, como x "2@+ $ y +@2 $ 5@ . ;ntonces, la recta dada es la intersecci!n de los planos x "2@+ $ y +@2 y x "2@+ $ 5@ . ;n consecuencia, la recta dada es la intersecci!n de los planos 2x " +y 5 $ %yx + " 2+ $ %. Dos planos son paralelos o se intersecan en una lnea recta. =on paralelos si sus 0ectores son normales.
Espacios Vectoriales :n espacio 0ectorial real es una terna ormada por un con>unto C y dos operaciones, y que satisacen las siguientes propiedades*
G) =i u es cualquier elemento de C y c es cualquier n&mero real, entonces c u est' en C (es decir, C es cerrado #a>o la operaci!n ). (e) c (u 0) $ c u c 0 , para todo n&mero real c y toda u y 0 en C. () (c " d) u $ c u d u , para todo n&mero real c y d y toda u en C. (g) c (d u) $ (cd) u , para todo n&mero real c y d y toda u en C. E) =i u y 0 son elementos cualesquiera de C, entonces u cerrado #a>o la operaci!n ). (a) u 0 $ 0 u, para u y 0 en C. (#) u (0 F) $ (u 0) F, para u, 0 y F en C. (c) ;xiste un elemento % en C, tal que u % $ % u $ u, para toda u en C d) Para cada u en C existe un elemento Au en C, tal que u u $ %.
Ejemplo onsidere el con>unto C de todas las ternas ordenadas de n&meros reales de la orma (x, y, %), y defna las operaciones ycomo
x, y, %) (x , y , %) $ (x " x , y " y , %) c (x, y, %) $ (cx, cy, %). =ea HIa, #J el con>unto de todas las unciones con 0alores reales, defnidas en el interK 0alo Ia, #J. =i y g est'n en C, defnimos g como ( g)(t) $ (t) " g(t). =i est' en HIa, #J y c es un escalar, defnimos c
;ntonces, HIa, #J es un espacio 0ectorial (e>ercicio 7). De manera similar, el con>unto de todas las unciones con 0alores reales defnidas para todos los n&meros reales, denotado mediante H(8, 8), es un espacio 0ectorial. ■ Ltra de las uentes de e>emplos de espacios 0ectoriales que analiaremos ser' los con>untos de polinomiosM por lo tanto, comenaremos por recordar algunos conceptos relati0os a ellos. :n polinomio (en t) es una unci!n que puede expresarse como p(t) $ antn " an1tn1 " N N N " a1t " a%, donde n es un entero O % y los coefcientes a%, a1, . . . , an son n&meros reales
Subespacios =ean C un espacio 0ectorial y un su#con>unto no 0aco de C. =i es un espacio 0ectorial con respecto a las operaciones en C, entonces es un su#espacio de C
Ejemplo ada espacio 0ectorial tiene por lo menos dos su#espacios* l mismo, y el su#espacio Q% que consta s!lo del 0ector cero Irecordemos que % % $ % y c % $ % en cual quier espacio 0ectorial (0ea el e>ercicio 17 de la secci!n 6.1)J. ;l su#espacio Q% es denominado el su#espacio cero. ■ Ejemplo: =ea el su#con>unto de R+ ormado por todos los 0ectores de la orma (a, #,1), donde a y # son n&meros reales cualesquiera. Para 0erifcar si se cumplen las propiedades (E) y (G) del teorema 6.2, sean u $ (a1, #1, 1) y 0 $ (a2, #2, 1) 0ectores en . ;ntonces u " 0 $ (a1, #1, 1) " (a2, #2, 1) $ (a1 " a2, #1 " #2, 2), que no est' en , ya que el tercer componente es 2 y no 1. omo (E) del teorema 6.2 no se cumple, no es un su#espacio de R+. ■ partir de lo anterior, resulta 'cil demostrar que C es un espacio 0ectoria, ya que satisace todas las propiedades de la defnici!n 1
De/nición =ean 01, 02, . . . , 0S 0ectores en un espacio 0ectorial C. :n 0ector 0 en C es una com #inaci!n lineal de 01, 02, . . . , 0S si 0 $ c101 " c202 " < < < " cS0 para ciertos n&meros reales c1, c2, . . . , cS. (Cea tam#in la secci!n 1.+.)
