Aplicaciones: Julián Sebastián león Christian Duque Catalina céspedes Aplicaciones del numero numero Euler
Este número tiene diversas aplicaciones en la ciencia, la tecnología, la economía etc. 1. Aplicación en la economía economía: Para calcular interés continuo por medio de la siguiente formula C = C 0 . e rt dónde C es el capital final de la inversión; C 0 es el capital inicial; r es el interés 0 .
anual compuesto en tanto por uno; t es el tiempo transcurrido desde el inicio de la inversión. . Aplicación en la química química: !esintegración radioactiva "as sustancias radiactivas, se desintegran transform#ndose en otras clases de #tomos; $ emitiendo energía $ radiaciones ioni%antes. "a le$ de desintegración radiactiva es de tipo e&ponencial decreciente, de forma 'ue si (0 es la cantidad inicial de sustancia; ) la constante de desintegración asociada al elemento 'uímico. Entonces la cantidad de sustancia remanente (, al ca*o de un tiempo t ser#: R=R 0 .e −kt . 0 .e 3. Aplica Aplicació ción n en la natura naturale lea: a:
Crecimiento demogr#fico de una po*lación "as curvas de crecimiento vegetativo de una po*lación, esta*lecido como la diferencia entre nacimientos $ muertes para un intervalo de tiempo dado; siguen una le$ de crecimient crecimiento o e&ponencial e&ponencial:: P=P 0 0 .e it ; donde P es la po*lación al ca*o de t a+os; t es el tiempo en a+os; p0 es la po*lación inicial po*lación para el instante de tiempo t-0; i es el índice o coeficiente de crecimiento anual en tanto por uno; se considera una tasa de crecimiento continuo. !. Aplica Aplicació ción n en in"eni in"enierí ería. a.
Cuando se cuelga un ca*le o una cadena por los e&tremos, tiende a adoptar una forma 'ue se relaciona con el número e.
"a fórmula es la siguiente: − x
y =
e
2
x
+
e
2
Con lo cual cada ve% 'ue se vea una cuerda colgada por los e&tremos; allí aparecer# el número e d#ndole su respectiva curvatura. /eniendo en cuenta 'ue "eonard Euler i%o un gran aporte a la ingeniería civil unto con 2ernoulli con la teoría de vigas *asados en varias ipótesis $ o*tener una ecuación 1. Hipótesis de comportamiento elástico. El material de la viga es el#stico lineal, con módulo de 3oung E $ coeficiente de Poisson desprecia*le. . Hipótesis de la flecha vertical. En cada punto el despla%amiento vertical sólo depende de x : uy x , y - w x . 4. Hipótesis de la fibra neutra. "os puntos de la fi*ra neutra sólo sufren despla%amiento vertical $ giro: u x x , 0 - 0. 5. "a tensión perpendicular a la fi*ra neutra se anula: 6yy - 0. 7. Hipótesis de Bernoulli . "as secciones planas inicialmente perpendiculares al ee de la viga, siguen siendo perpendiculares al ee de la viga una ve% curvado. crecimiento de una colonia de bacterias .
Para este tipo de crecimiento, se utili%a la siguiente fórmula: N=N 0 .e t ; donde t es el tiempo, 8 es la po*lación de *acterias en el instante t, $ 80 es la
po*lación inicial po*lación en el instante t-0. Absorción de los ra#os $ por la materia: %e# de &ra""'(ierce.
9e utili%a la fórmula: - 0 .e m& !onde es la intensidad final del ra$o después de atravesar el cuerpo; 0 es la intensidad inicial de los ra$os &; m es el coeficiente de a*sorción; & es el grueso del cuerpo.
Aplicación )umero de *eber
9e utili%a en mec#nica de fluidos para el an#lisis de fluos donde e&iste una superficie entre dos fluidos diferentes.
!e la ecuación o*tenida 'ue descri*e el fenómeno físico donde predominan las fuer%a de*ido a la tensión superficial el nuero de ?e*er se puede escri*ir asi:
Aplicación )umero de +ach
9e utili%a en la aeron#utica para comparar el comportamiento de los fluidos alrededor de una aeronave en distintas condiciones. Esto es posi*le gracias a 'ue el comportamiento de un fluido en el entorno de un o*eto es igual siempre 'ue su número de @ac sea el mismo. Permite e&presar la velocidad de un o*eto no de forma a*soluta en AmB o mBs, sino tomando como referencia la velocidad del sonido, teniendo en cuenta 'ue la velocidad del sonido cam*ia con las condiciones en la 'ue se encuentre la atmosfera.
En la mec#nica de fluidos su relación con la compresi*ilidad de un gas; cuando este número es menor de 0,4 se considera fluido incompresi*le en el estudio de aerodin#mica $ modelos con aire o gases.
Es'uema utili%ado para determinar el coeficiente de sustentación m#&imo $ características de resistencia de un perfil 'ue depende de la velocidad del aire $ del tama+o de la sección aerodin#mica. Por otra parte para los pilotos, adem#s de conocer su velocidad real es importante su velocidad respecto al sonido, dado 'ue el comportamiento del aire, al moverse a una velocidad pró&ima a la del sonido, varía. Ello puede tener importantes repercusiones en el vuelo del avión. Es por ello 'ue por encima de 0, @ac la velocidad de vuelo de crucero se suele indicar en porcentaes de la velocidad del sonido en ese momento, 'ue es lo 'ue indica el número de @ac:
El porcentaje de la velocidad del sonido a la que se mueve una aeronave en un momento dado.
Aplicación del n,mero de -roude
9e utili%a en canales a*iertos, este número nos permite sa*er el estado del fluo idr#ulico el cual define el fluo entres casos •
9ea
el régimen del fluo ser# supercrítico
•
9ea
el régimen del fluo ser# crítico
•
9ea
el régimen del fluo ser# subcrítico
(esistencia de 2arcos "a resistencia 'ue un *arco encuentra a su movimiento cuando se despla%a so*re la superficie del agua esta formada por la superficie de arrastre de presión, la fricción so*re su superficie del agua esta formada por el arrastre de presión, la fricción so*re su
superficie $ la resistencia de*ida a las olas. "os estudios en modelos se complican por la e&istencia de tres tipos de fuer%as importantes: de inercia, viscosas $ de gravedad. El número de froude permite reali%ar e&perimentos con modelos a escala en canales de ensa$os idrodin#micos $ e&tender los resultados a *arcos de tama+o real. /an'ue Dmortiguadores n tan'ue amortiguador es una estructura 'ue sirve para disipar la energía disponi*le en el fluo al salir de un vertedor de e&cedencias, de una o*ra de descarga o de un canal. En la ma$oría de "as estructuras e&istentes, se encaona un salto idr#ulico dentro de un tan'ue amortiguador de tal manera 'ue sirva como disipador de energía
1. FL!" E# $%#%LE& %B'E()"& El fluo de canales a*iertos tiene lugar cuando los lí'uidos flu$en por la acción de la gravedad $ solo est#n parcialmente envueltos por un contorno sólido. En el fluo de canales a*iertos, el lí'uido 'ue flu$e tiene superficie li*re $ so*re él no actúa otra presión 'ue la de*ida a su propio peso $ a la presión atmosférica. El fluo en canales a*iertos tam*ién tiene lugar en la naturale%a, como en ríos, arro$os, etc., si *ien en general, con secciones rectas del cauce irregulares. !e forma artificial, creadas por el om*re, tiene lugar en los canales, ace'uias, $ canales de desagFe. E n la ma$oría de los casos. "os canales tienen secciones rectas regulares $ suelen ser rectangulares, triangulares o trape%oidales. /am*ién tienen lugar el fluo de canales a*iertos en el caso de conductos cerrados, como tu*erías de sección recta circular cuando el fluo no es a conducto lleno. En los sistemas de alcantarillado no tiene lugar, por lo general, el fluo a conducto lleno, $ su dise+o se reali%a como canal a*ierto.
El número de (e$nolds $ los términos laminar $ tur*ulentos no *astan para caracteri%ar todas las clases de fluo en los canales a*iertos. El mecanismo principal 'ue sostiene fluo en un canal a*ierto es la fuer%a de gravitación. El estado o comportamiento del fluo en un canal a*ierto es go*ernado *#sicamente por los efectos de viscosidad $ gravedad relativa a las fuer%as de inercia del fluo.
El efecto de viscosidad relativo al de inercia puede representarse por el número de (e$nolds. En la ma$or parte de los canales a*iertos el fluo laminar ocurre mu$ raramente. En efecto, el eco de 'ue la superficie de una corriente apare%ca lisa $ tersa para un o*servador no es en ningún modo una indicación de 'ue el fluo sea laminar; m#s pro*a*lemente, ello indica 'ue la velocidad de la superficie es m#s *aa 'ue la re'uerida para 'ue se formen ondas capilares. El fluo laminar en canales a*iertos e&iste, por eemplo donde delgadas l#minas de agua flu$es so*re el suelo o en canales de la*oratorio.
*. &%L)" H'+(,L'$" El salto idr#ulico es un fenómeno de la ciencia en el #rea de la idr#ulica 'ue es frecuentemente o*servado en canales a*iertos como ríos $ r#pidos. Cuando un fluido a altas velocidades descarga a %onas de menores velocidades, se presenta una ascensión a*rupta en la superficie del fluido. Gste fluido es frenado *ruscamente e incrementa la altura de su nivel, convirtiendo parte de la energía cinética inicial del fluo en energía potencial, sufriendo una inevita*le pérdida de energía en forma de calor. En un canal a*ierto, este fenómeno se manifiesta como el fluido con altas velocidades r#pidamente frenando $ elev#ndose so*re él mismo, de manera similar a cómo se forma una ondaHco'ue. "as aplicaciones pr#cticas del salto idr#ulico son mucas, entre las cuales se pueden mencionar:
•
Para la disipación de la energía del agua escurriendo por los vertederos de las presas $ otras o*ras idr#ulicas, $ evitar así la socavación aguas a*ao de la o*ra;
•
Para recuperar altura o levantar el nivel del agua so*re el lado aguas a*ao de un canal de medida $ así mantener alto el nivel del agua en un canal para riego u otros propósitos de distri*ución de agua;
•
Para incrementar peso en la cuenca de disipación $ contrarrestar así el empue acia arri*a so*re la estructura;
•
Para incrementar la descarga de una esclusa manteniendo atr#s el nivel aguas a*ao, $a 'ue la altura ser# reducida si se permite 'ue el nivel aguas a*ao aogue el salto.
"os saltos idr#ulicos se pueden clasificar, de acuerdo con el .9. 2ureau of (eclamation, de la siguiente forma, en función del n-mero de Froude del fluo aguas arri*a del salto: Para F1 1./ : el fluo es crítico, $
•
de a'uí no se forma ningún salto. Para F1 0 1./ 2 1.3: la superficie
•
del agua muestra ondulaciones, $ el salto es llamado salto ondular . Para F1 0 1.3 2 *.4: tenemos
•
un salto d5bil. Este se caracteri%a por la formación de pe'ue+os rollos a lo largo del salto, la superficie aguas a*ao del salto es lisa. "a pérdida de energía es *aa. •
Para F1 0 *.4 2 6.4 : se produce un salto oscilante. 9e produce un corro oscilante entrando al salto del fondo a la superficie una $ otra ve% sin periodicidad. Cada oscilación produce una gran onda de período irregular, la cual comúnmente puede viaar por varios Ailómetros causando da+os aguas a*ao en *ancos de tierra $ m#rgenes.
•
Para F1 0 6.4 2 7./ : se produce un salto llamado salto permanente: la e&tremidad aguas a*ao del rollo de la superficie $ el punto en el cual el corro de alta
velocidad tiende a dear el fluo ocurre pr#cticamente en la misma sección vertical. "a acción $ posición de este salto son menos sensi*les a la variación en la profundidad aguas a*ao.
A(%CAC/)ES DE% )0+E1/ DE 1E2)/%DS
8.
+'&E9" +E +E&%(E#%+"(E& El desarenador es una estructura
dise+ada para retener la arena 'ue traen las aguas servidas o las aguas superficiales a fin de evitar 'ue ingresen, al canal de aducción, a la central idroeléctrica o al
proceso de tratamiento $ lo o*staculicen creando serios pro*lemas. 9u funcionamiento se *asa en la reducción de la velocidad del agua $ de las tur*ulencias, permitiendo así 'ue el material sólido transportado en suspensión se deposite en el fondo, de donde es retirado periódicamente.
En su dise+o se determina la velocidad de sedimentación de acuerdo a la le$ de 9toAes.
Dl disminuir la temperatura aumenta la viscosidad afectando la velocidad de sedimentación de las partículas. Dguas frías retienen sedimentos por periodos m#s largos 'ue cursos de agua m#s calientes H 9e comprue*a el n-mero de (enolds : H En caso 'ue el número de (e$nolds no cumpla para la aplicación de la le$ de 9toAes (eI0.7, se reali%ar# un reauste al valor de Js considerando la sedimentación de la partícula en régimen de transición, mediante el término del di#metro $ el término de velocidad de sedimentación.
6. +E)E(:'#%$'"# +EL F%$)"( +E F('$$'"# E# "B(%& +E )":%
9e denomina o*ra de toma al conunto de estructuras 'ue se constru$en con el o*eto de e&traer el agua de forma controlada $ poder utili%arla con el fin para el cual fue pro$ectado su aprovecamiento. 3a 'ue en el c#lculo idr#ulico de o*ras de toma en presas de almacenamiento intervienen principalmente las pérdidas de carga 'ue ocurren en la toma se de*en calcular las pérdidas por ficción.
El coeficiente de fricción se puede deducir matem#ticamente en el caso de régimen laminar, pero en el caso de fluo tur*ulento no se disponen
de
relaciones
matem#ticas
sencillas.
na
e&presión e&plícita $ ampliamente utili%ada, por su pe'ue+o margen de error, es la ecuación de 9?amee $ Kain:
ε
: (ugosidad D*soluta 'ue depende del material de la tu*ería, mm.
(e : 8úmero de (e$nolds, adimensional.
&iblio"ra-ía
Dpóstol, @. 1LM. Dn#lisis @atem#tico. 2arcelona: Ed. (everté. (e$ Pastor, K. 1LN7. Dn#lisis @atem#tico: /eoría de funciones $ c#lculo infinitesimal. @adrid: Ed .)apelus%. 2urgos, K. 1LL7.C#lculo infinitesimal de una varia*le. @adrid: @Cgra?HOill. ttp:BB???.taringa.netBpostBinfoB...BElHnumeroE.tml . ttp:BB???.astroseti.orgBnoticias1istorialasmatematicasnumero e.tm. ttp:BB???.?iAipedia.orgB?iAi.nemeroe .
ttp:BB???.disfrutalasmatematicas.comBnumerosBeHeulerHnumero.tm =east, (. "ide, !. Dstle, @. 2e$er, =. 1LNLH1LL0. C(C Oand*ooA of Cemistr$ and P$sics. M0t ed. 2oca (aton, Qlorida: C(C Press, nc.. QH4M4,4M. Oidr#ulica de los canales a*iertos. Jen /e Co?. 1LN Ruía para el dise+o de desarenadores $ sedimentadores. SP9B CEP9. "ima 007 C8D. 00. <@anual de dise+o de agua pota*le, alcantarillado $ saneamiento: S*ras de toma>. @é&ico, !.Q.