K e l a s
Kurikulum 2013/2006
matematika APLIKASI TURUNAN ALJABAR ALJABAR
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Dapat menerapkan aturan turunan aljabar untuk menentukan gradien garis singgung kurva dan persamaanny persamaannya. a. 2. Dapat menerapkan aturan turunan aljabar untuk mengetahui fungsi naik, fungsi turun, dan kecekungan kurva. 3. Dapat menerapkan aturan turunan aljabar untuk menentukan jenis-jenis nilai ekstrem pada kurva. 4. Dapat menggunakan aturan turunan aljabar untuk menggambar grafik fungsi aljabar aljabar.. 5. Dapat membuat model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai ekstrem dan dapat menyelesaikann menyelesaikannya ya dengan menggunakan aturan turunan aljabar.
A. Persamaan Garis Singgung Kurva Berbagai kejadian di alam dapat dijelaskan kembali dalam bentuk grafik dan konsepkonsep Matematika. Sebagai contoh, perhatikan peristiwa berikut yang dapat digambarkan dalam bentuk grafik. Peristiwa ini akan mengantarkanmu pada konsep persamaan garis singgung kurva. Sebuah peluru ditembakkan ke arah dua bukit dan tepat menyentuh puncak kedua bukit tersebut pada dua buah titik. Misalkan peluru menyentuh bukit pertama pada titik x 1, y 1) kemudian menyentuh bukit kedua pada titik B( x 2, y 2). Sementara itu, perbukitan A( x tersebut dimisalkan sebagai kurva y = = f ( x ). Melalui titik A dan B dibuat garis k sebagai sebagai garis x ).
XI
x ), lintas peluru, sedangkan melalui titik A saja dibuat garis l . Titik A, B, kurva y = = f ( x ), garis k, dan garis l dapat dapat digambarkan dalam diagram Cartesius berikut.
Y garis sekan
garis normal y 2
B
y 1
k
(x 2 , y 2 )
A
(x 1 , y 1 )
l
h
0
x 1
y = f(x)
X
x 2
Garis k disebut disebut dengan garis sekan (garis tali busur), yaitu garis yang memotong kurva di dua titik. Sementara garis l disebut sebagai garis singgung (garis tangen), yaitu garis yang melalui satu titik pada kurva. kur va. Gradien garis singgung dapat diperoleh dari garis sekan dengan langkah-langkah berikut ini. Mula-mula, tentukan gradien garis sekan dengan rumus gradien garis yang melalui dua titik, yaitu sebagai berikut. mk =
− y 1 ... (i) x2 − x 1 y2
Berdasarkan gambar 1, diperoleh: x2 = x1 + h ... (ii) x ) dan persamaan (ii) ke persamaan (i). Substitusikan y = = f ( x mk =
− y 1 f ( x2 ) − f ( x1 ) f ( x1 + h ) − f ( x1 ) f ( x 1 + h ) − f ( x 1 ) = = = x2 − x 1 x 2 − x 1 h ( x1 + h ) − x 1 y2
Jika titik A mendekati B (A B), nilai h akan semakin kecil ( h 0). Jika nilai h mendekati nol, garis k akan menjadi garis singgung l yang yang bergradien m1 di titik A( x 1, y 1). Dengan demikian, diperoleh: →
ml = lim mk = lim h →0
h →0
→
f ( x1 + h ) − f ( x1 ) h
= y ’ = f ’ ( x 1 ) (jika limitnya ada)
Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
2
Gradien garis singgung (garis tangen) kurva y = f ( x ) di titik ( x 1, y 1) adalah sebagai berikut. dy dx x = x 1
m = y ’ = f ’( x1 ) =
Jika nilai m telah diketahui, persamaan garis singgungnya dapat ditentukan dengan rumus berikut. y − y1 = m ( x − x 1 )
Ada 3 kasus persamaan garis singgung kurva, yaitu persamaan garis singgung kurva di titik ( x 1, y 1), persamaan garis singgung kurva dengan gradien m, dan persamaan garis singgung melalui titik ( x 2, y 2) di luar kurva. Untuk memahami perbedaannya, perhatikan tabel berikut. Tabel Jenis Persamaan Garis Singgung dan Rumusnya No 1.
Jenis Persamaan Garis Singgung Rumus Persamaan garis singgung kurva di Titik singgung: titik ( x 1, y 1) ( x 1, y 1) Y Gradien garis singgung ( m): dy dx x = x 1
m = y ’ = f ’( x1 ) =
( x 1, y 1) 2.
Persamaan garis singgung:
X
y − y1 = m ( x − x 1 )
Persamaan garis singgung kurva Titik singgung: dengan gradien m. Terdapat dua ( x 1, y 1) kondisi, yaitu sebagai berikut. Persamaan garis singgung ( m): y − y1 = m ( x − x 1 )
a. Suatu garis dengan gradien m1, Gradien garis singgung ( m): 1 tegak lurus garis singgung kurva. m ⋅ m1 = −1 ⇔ m = − m1
Garis yang tegak lurus garis singgung kurva dan melalui titik singgung disebut juga dengan garis normal. b. Suatu garis dengan gradien m1, Gradien garis singgung ( m): sejajar dengan garis singgung m = m1 kurva.
3
No 3.
Jenis Persamaan Garis Singgung Rumus Persamaan garis singgung melalui titik Tentukan ( x 2, y 2) di luar kurva. singgung rumus: Y m=
koordinat
titik (x 1 , f(x 1 )) dengan
− f ( x 1 ) = f ’( x 1 ) x 2 − x 1
y 2
Persamaan garis singgung ( m): y − y1 = m ( x − x 1 ) (x 2 , y 2 )
(x 1 , f(x 1 ))
X
O
Contoh Soal 1
Persamaan garis yang menyinggung kurva y = x 3 − 4 x 2 − 3 x − 5 pada titik dengan absis −1 adalah .... (UN 2016) A.
y = −8 x + 15
B.
y = −8 x + 1
C.
y = −8 x − 1
D.
y = 8 x + 1
E.
y = 8 x + 15
Jawaban: D
Pembahasan:
Diketahui: y = x 3 − 4 x 2
− 3 x − 5
absis titik singgung = x = −1 Mula-mula, tentukan ordinat ( y ) titik singgung kurva dengan mensubstitusikan absis x = −1 ke y = f (x). 3
y1 = f ( −1) = ( −1)
− 4 ( −1)2 − 3 ( −1) − 5 = −7
Ini berarti, ( x 1, y 1) = (−1, −7).
4
Selanjutnya, tentukan gradien garis singgung kurva ( m). m = f ’( x ) = 3 x 2 − 8 x − 3
⇔ f ’( −1) = 3 ( −1)2 − 8 ( −1) − 3 = 8 Ini berarti, gradien m = 8. Persamaan garis singgung kurva yang melalui titik ( x 1, y 1) = (−1, −7) dengan m = 8 adalah sebagai berikut. y − y1 = m ( x − x 1 )
⇔ y − ( −7 ) = 8 ( x − ( −1) ) ⇔ y + 7 = 8 x + 8 ⇔ y = 8 x + 1 Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = 8 x + 1.
Contoh Soal 2
Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = −2 x 2 + 4 x − 5 dan tegak lurus dengan garis x – 2 y – 11 = 0!
Pembahasan:
Misalkan garis k = x – 2 y – 11 = 0. Tentukan dahulu gradien garis k . x − 2 y − 11 = 0 ⇔ 2 y = x − 11 1 11 ⇔ y = x − 2 2 1 Ini berarti, mk = . 2 Oleh karena garis singgung kurva tegak lurus garis k , maka gradiennya ( m) adalah sebagai berikut. m ⋅ mk = −1 ⇔ m = −
1 mk
=−
1 = −2 1 2
Tentukan absis titik singgung kurva ( x ) dengan menggunakan m = f' ( x ).
5
m = f ’( x 1 )
⇔ −2 = −4 x 1 + 4 ⇔ 4 x 1 = 6 ⇔ x 1 =
3 2
3 Oleh karena x 1 = , maka ordinat titik singgung kurva ( y ) adalah sebagai berikut. 2 2
7 3 3 3 y1 = f = −2 + 4 − 5 = − 2 2 2 2
3 7 Ini berarti, ( x1 , y 1 ) = , − . 2 2 3 7 Persamaan garis singgung kurva yang melalui titik ( x1 , y 1 ) = , − dengan m = −2 2 2 adalah sebagai berikut. y − y1 = m ( x − x 1 )
7 3 ⇔ y + = −2 x − 2 2 7 2
⇔ y + = −2 x + 3 ⇔ y = −2 x −
1 2
1 Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = −2 x − . 2 Contoh Soal 3
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, 1) dan menyinggung kurva y = −2 x 2 − 7!
Pembahasan:
Diketahui kurva y = −2 x 2 − 7 dan titik (x 2 , y 2) = (2, 1). Mula-mula, tentukan kedudukan titik (2, 1) terhadap kurva y = −2 x 2 − 7. Dengan mensubstitusikan x = 2 ke y = −2 x 2 − 7, diperoleh: y = −2(2)2 − 7 = −15 ≠ 1
Ini berarti, titik (2, 1) berada di luar kurva. Oleh karena y = −2 x 2 − 7, maka y' = f' (x) = −4 x . Dengan demikian, diperoleh: f' (x 1 ) = −4 x 1
6
Selanjutnya, tentukan koordinat titik singgung kurva ( x 1 , f(x 1 )).
− f ( x 1 ) x 2 − x 1 1− ( −2 x 12 − 7 ) ⇔ f ’( x 1 ) = 2 − x 1 8 + 2 x 12 ⇔ −4 x 1 = 2 − x 1 ⇔ −8 x 1 + 4 x12 = 8 + 2 x 12 ⇔ 2 x12 − 8 x 1 − 8 = 0 ⇔ x12 − 4 x 1 − 4 = 0 m=
y2
⇔ x 1 =
−b ±
b2
− 4ac
2a 2
4 ± ( −4 ) − 4 (1) ( −4 ) ⇔ x 1 = 2 (1) 4 ± 32 2 4±4 2 ⇔ x 1 = 2 ⇔ x 1 = 2 ± 2 2
⇔ x 1 =
Misal x 1 = 2 + 2 2 . Ini berarti, ordinat titik singgungnya adalah sebagai berikut.
(
y1 = f 2 + 2 2
) 2
= −2 ( 2 + 2 2 ) − 7 = −2 ( 4 + 8 2 + 8 ) − 7 = −24 − 16 2 − 7 = −31− 16 2 Ini berarti, ( x1 , y 1 ) = ( 2 + 2 2 , −31 −16 2 ) . Dengan demikian, gradien garis singgungnya ( m) adalah sebagai berikut.
(
m = f ’( x1 ) = −4 x1 = − 4 2 + 2 2
) = −8 − 8
2
Persamaan garis singgung kurva yang melalui titik ( x1 , y 1 ) = ( 2 + 2 2 , −31 −16 2 ) dengan m = −8 − 8 2 adalah sebagai berikut.
7
y − y1 = m ( x − x 1 )
⇔ y − ( −31− 16 2 ) = ( −8 − 8 2 ) ( x − (2 + 2 2 ) ) ⇔ y + 31+ 16 2 = ( −8 − 8 2 ) ( x − 2 − 2 2 ) ⇔ y + 31+ 16 2 = −8 x +16 +16 2 − 8 2 x + 16 2 +32 ⇔ y = −8 x − 8 2x + 17 + 16 2 ⇔ y = ( −8 − 8 2 ) x + 17 + 16 2 Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = ( −8 − 8 2 ) x + 17 + 16 2 .
B.
Fungsi Naik dan Fungsi Turun Pernahkah kamu bepergian ke pedesaaan? Jalan yang dilalui menuju pedesaan biasanya bervariasi. Kadang jalannya menanjak (naik), menurun, berbelok, dan lurus. Kondisi jalan tersebut mirip dengan kurva fungsi. Hal ini karena kurva fungsi juga naik, turun, lurus, dan berbelok. Aplikasi turunan pertama, yaitu gradien garis singgung dapat digunakan untuk mengetahui sifat-sifat kurva/grafik fungsi, di antaranya adalah fungsi naik dan fungsi turun. Interval saat fungsi naik dan fungsi turun berperan dalam menentukan posisi nilai ekstrem (maksimum dan minimum) fungsi. Perhatikan gambar berikut. Y
g3 g2
g4
g1
y = f(x)
g5
g7 g6
O
a
X
b
Misalkan g1 , g2 , g3 , g4 , g5 , g6 , dan g7 adalah garis singgung kurva y = f ( x ). Turunan pertama y = f ( x ) yaitu y' = f' ( x ) menunjukkan gradien atau kemiringan garis singgung kurva di titik ( x , f ( x )). Perhatikan emoticon berikut
8
SUPER, Solusi Quipper Nilai gradien garis singgung secara umum dapat dikenali dengan menggunakan emoticon berikut. −
Emoticon tersebut berarti:
• garis / memiliki gradien positif atau m > 0;
+ −
• garis \ memiliki gradien negatif atau m < 0; • garis | (tegak lurus sumbu-X) memiliki gradien tak terdenisi; dan
+
• garis – (sejajar atau berimpit dengan sumbu-X) memiliki gradien
nol atau m = 0.
•
Jika garis singgung naik dari kiri ke kanan, gradiennya positif atau m = f' (x) > 0. Contohnya g1 , g2, dan g7
•
Jika garis singgung sejajar sumbu-X, gradiennya 0 atau m = f' (x) > 0. Ini berarti, garis singgung tidak naik dan tidak turun. Contohnya g3 dan g6
•
Jika garis singgung turun dari kiri ke kanan, gradiennya negatif atau m = f' (x) < 0. Contohnya g4 dan g5
Dengan demikian, diperoleh kesimpulan sebagai berikut. Misalkan fungsi y = f ( x ) kontinu dan memiliki turunan (diferensiabel) di setiap titik pada interval (a, b). 1. Fungsi f ( x ) naik pada interval (a, b) jika f' (x) > 0 untuk setiap x (a, b). Fungsi naik berarti, untuk x 1 < x 2 nilai f ( x 1) < f ( x 2). 2. Fungsi f ( x ) tidak turun pada interval (a, b) jika f' (x) ≥ 0 untuk setiap x (a, b). 3. Fungsi f ( x ) turun pada interval (a, b) jika f' (x) < 0 untuk setiap x (a, b). Fungsi turun berarti, untuk x 1 < x 2 nilai f ( x 1) > f ( x 2). 4. Fungsi f ( x ) tidak naik pada interval (a, b) jika f' (x) ≤ 0 untuk setiap x (a, b). Fungsi yang selalu naik atau fungsi yang selalu turun disebut dengan fungsi monoton. Catatan: Pemahaman tentang pertidaksamaan akan sangat membantu dalam menyelesaikan persoalan fungsi naik, fungsi turun, dan kecekungan kurva.
9
Contoh Soal 4 tidak naik! Tentukan interval saat fungsi f ( x ) = x 4 − 6 x 3 + 7 x 2 + 21
Pembahasan:
Syarat fungsi tidak naik adalah f '( x ) ≤ 0, sehingga: f ’ ( x ) ≤ 0
⇔ 4 x 3 − 18 x 2 + 14 x ≤ 0 ⇔ 2 x 3 − 9 x 2 + 7 x ≤ 0 ⇔ x ( 2 x − 7 ) ( x − 1) ≤ 0 7 Pembuat nolnya adalah x = 0, x = 1, x = . 2 Dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh: (−)
(+) 0
(−) 1
(+) X 7 2
Penyelesaiannya adalah interval yang bertanda negatif dan pembuat nol. 7 Jadi, fungsi f ( x ) tidak naik pada interval x ≤ 0 atau 1≤ x ≤ . 2
Contoh Soal 5
Tentukan interval saat fungsi f ( x ) = ( x + 1) ( x 2 + 8 x + 16 ) naik!
Pembahasan:
Tentukan dahulu turunan pertama fungsi tersebut. Fungsi f ( x ) memuat perkalian fungsi, sehingga sifat yang digunakan adalah sebagai berikut. f ( x ) = u ( x ) ⋅ v ( x ) → f ’ ( x ) = u ’( x ) ⋅ v ( x ) + u ( x ) ⋅ v ’( x )
Misalkan: u ( x ) = x + 1 → u ’( x ) = 1 v ( x ) = x2
+ 8 x + 16 → v ’( x ) = 2 x + 8
10
Dengan demikian, diperoleh: f ’ ( x ) = u ’( x ) ⋅ v ( x ) + u ( x ) ⋅ v ’ ( x )
= 1( x 2 + 8 x + 16 ) + ( x + 1) (2 x + 8 ) = x 2 + 8 x + 16 + 2 x 2 + 8 x + 2 x + 8 = 3 x 2 + 18 x + 24 Syarat fungsi naik adalah f '( x ) > 0, sehingga: f ’ ( x ) > 0
⇔ 3 x 2 + 18 x + 24 > 0 ⇔ x 2 + 6 x + 8 > 0 ⇔ ( x + 2 ) ( x + 4 ) > 0 Pembuat nolnya adalah x = −2 dan x = −4. Dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh: (+) −4
(+)
(−)
X
−2
Penyelesaiannya adalah interval yang bertanda positif saja, tanpa pembuat nol. Jadi, fungsi f ( x ) naik pada interval x < −4 atau x > −2.
C.
Kecekungan Kurva Kecekungan kurva dapat ditentukan dengan menggunakan uji turunan kedua. Kecekungan kurva dapat digunakan untuk mengetahui posisi kurva terhadap garis singgung yang melalui titik pada kurva tersebut. Misalkan fungsi y = f ( x ) kontinu dan memiliki turunan pertama ( y' = f' ( x )) dan turunan kedua ( y" = f" ( x )) di setiap titik pada interval ( a, b). 1.
Fungsi f ( x ) cekung ke atas pada interval (a, b) jika f" ( x ) > 0 untuk setiap x (a, b).
2.
Fungsi f ( x ) cekung ke bawah pada interval (a, b) jika f" ( x ) < 0 untuk setiap x (a, b).
Contoh Soal 6
Diketahui fungsi f (x) = x 4 − 4 x 3 – 18 x 2 + 24 x + 1. Tentukan interval saat grafik fungsi f ( x ) cekung ke atas dan cekung ke bawah!
11
Pembahasan:
Tentukan dahulu turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut. f ( x) = x4
− 4 x 3 − 18 x 2 + 24 x +1 f ’ ( x ) = 4 x 3 − 12 x 2 − 36 x + 24 f " ( x ) = 12 x 2 − 24 x − 36
Grafik fungsi f ( x ) cekung ke atas saat f " ( x ) > 0. Ini berarti: f " ( x ) > 0
⇔ 12 x 2 − 24 x − 36 > 0 ⇔ x 2 − 2 x − 3 > 0 ⇔ ( x − 3 ) ( x + 1) > 0 Pembuat nolnya adalah x = 3 dan x = −1. Dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh:
−1
3
Jadi, grafik fungsi f ( x ) cekung ke atas saat x < −1 atau x > 3, dan cekung ke bawah saat −1 < x < 3.
D. Titik-Titik Kritis dan Jenisnya Perhatikan titik-titik kritis pada kurva berikut ini! Titik Balik Maksimum
Y
Cekung Ke Bawah Titik Belok Cekung Ke Atas
X
Titik Belok Cekung Ke Bawah Titik Belok
Cekung Ke Atas Titik Balik Minimum
Fungsi Naik
Fungsi Turun
Fungsi Naik
12
Jenis titik-titik kritis pada kurva tersebut adalah sebagai berikut. 1.
Titik stasioner ( x 1, y 1) adalah titik yang memiliki garis singgung dengan kemiringan
nol atau mgs = f ’( x 1 ) = 0 . Jenis titik stasioner adalah titik balik maksimum lokal, titik balik minimum lokal, dan titik belok stasioner. a.
Titik balik maksimum lokal ( x 1, y 1) terjadi jika sebelum x 1 fungsi naik dan setelah x 1 fungsi turun. Diagram tanda f' (x) untuk titik ini adalah sebagai berikut. +
− t u r u n
x 1
k i a n
x
Titik balik maksimum lokal juga dapat ditentukan dengan uji turunan kedua. Titik ( x 1, y 1) merupakan titik balik maksimum lokal jika f '' (x) < 0. b.
Titik balik minimum lokal ( x 1, y 1) terjadi jika sebelum x 1 fungsi turun dan setelah x 1 fungsi naik. Diagram tanda f ' (x) untuk titik ini adalah sebagai berikut. −
+
x 1
t u r u n
x k i a n
Titik balik minimum lokal juga dapat ditentukan dengan uji turunan kedua. Titik ( x 1, y 1) merupakan titik balik minimum lokal jika f " ( x ) > 0. c.
Titik belok stasioner ( x 1, y 1) terjadi jika sebelum x fungsi turun dan setelahnya juga turun, atau sebelum x fungsi naik dan setelahnya juga naik. Diagram tanda f' (x) untuk titik ini adalah sebagai berikut. t u r u n
− x 1
t u r u n
−
X
atau k i a n +
x 1
k i a n
13
+
X
2.
Titik belok nonstasioner adalah titik belok yang kemiringan garis singgung di
titik tersebut tidak nol. Titik ini memenuhi sifat naik-naik atau turun-turun seperti titik belok stasioner. Titik belok selalu terjadi jika di titik tersebut terjadi perbedaan kecekungan pada fungsi, bisa dari cekung ke cembung atau cembung ke cekung. Dengan menggunakan uji turunan kedua untuk mengetahui kecekungan fungsi, langkah-langkah menentukan titik belok nonstasioner adalah sebagai berikut. a.
Cari nilai x sehingga f" ( x ) atau f" ( x ) = tidak bernilai.
b.
Uji diagram tanda untuk f" ( x ). Nilai x akan menjadi absis titik belok nonstasioner jika memenuhi diagram tanda berikut.
+
−
x 1
atau
−
x 1
+
Jika tidak memenuhi diagram tanda tersebut, nilai x 1 bukanlah absis titik belok. Secara matematis, nilai balik (maksimum dan minimum) sangat berperan penting dalam menggambar grafik fungsi aljabar. Selain itu, nilai balik tersebut juga berperan dalam kehidupan sehari-hari, baik dalam bidang Ekonomi, Teknik, Fisika, dan sebagainya.
Contoh Soal 7
Tentukan koordinat titik kritis dari fungsi f ( x ) = x 4 − 18 x 2 + 5 dan tentukan jenisnya!
Pembahasan:
Mula-mula, tentukan titik stasioner fungsi tersebut. Syarat: f ’( x ) = 0
⇔ 4 x 3 − 36 x = 0 ⇔ x 3 − 9 x = 0 ⇔ x ( x + 3 ) ( x − 3 ) = 0
14
Pembuat nolnya adalah x = 0, x = −3, dan x = 3. Dengan menggunakan diagram tanda, diperoleh: −
+ −3
− 0
+ X
3
Perhatikan tabel berikut! Absis
Ordinat (nilai) f ( x ) = x 4 − 18 x 2 + 5
Keterangan
−3
−76
(−3, −76) titik balik minimum
3
−76
(3, −76) titik balik minimum
0
5
(0, 5) titik balik maksimum
Selanjutnya tentukan titik belok nonstasioner. Syarat: f "( x ) = 0
⇔ 3 x 2 − 9 = 0 ⇔ x 2 − 3 = 0 ⇔ ( x + 3 ) ( x − 3 ) = 0 Pembuat nolnya adalah x1 = − 3 dan x 2 = 3 . Dengan menggunakan diagram tanda, diperoleh: +
− − 3
+
X
3
Perhatikan tabel berikut! Absis
Ordinat (nilai) f ( x ) = x 4 − 18 x 2 + 5
Keterangan
− 3
−40
(− 3 , −40 )titik belok nonstasioner
3
−40
( 3 , −40 )titik belok nonstasioner
15
Dengan menggunakan software grafik, akan didapatkan bentuk gambar sebagai berikut. 20 15 10 5 −5
−4
−3
−2
−1
Y
X 1
−5 −10 −15 −20 −25 −30 −35 −40 −45 −50 −55 −60 −65 −70 −75 −80
2
3
4
5
Contoh Soal 8
Tentukan koordinat titik stasioner dan jenisnya dari fungsi f ( x ) = −4 x 5 + 25 x 4 − 40 x 3 + 1 !
Pembahasan
Mula-mula, tentukan titik stasioner fungsi tersebut. Syarat: f ’( x ) = 0
⇔ −20 x 4 + 100 x 3 −120 x 2 = 0 ⇔ − x 4 + 5 x 3 − 6 x 2 = 0 ⇔ − x 2 ( x − 3 ) ( x − 2 ) = 0 Pembuat nolnya adalah x = 0, x = 2, dan x = 3. Dengan menggunakan diagram tanda, diperoleh: −
−
+
− X
0
2
3
Perhatikan tabel berikut! Absis
Ordinat (nilai) f ( x ) = −4 x 5 + 25 x 4 − 40 x 3 + 1
Keterangan
0
1
(0, 1) titik belok stasioner
2
−47
(2, −47) titik balik minimum
3
−26
(3, −26) titik balik maksimum
16
Menentukan nilai ekstrem kurva y = f (x) pada Interval x ≤ x ≤ x.
Langkah-langkah menentukan nilai ekstrem (maksimum/minimum) kurva y = f ( x ) pada interval x ≤ x ≤ x adalah sebagai berikut. 1. Tentukan titik stasioner fungsi y = f (x) dan jenisnya pada interval x ≤ x ≤ x (jika ada). 2. Tentukan nilai y = f ( x ) dan y = f ( x ). 3. Bandingkan nilai-nilai tersebut, sehingga diperoleh nilai yang terbesar (maksimum) dan terkecil (minimum).
E.
Menggambar Grafik Fungsi Aljabar Langkah-langkah menggambar grafik fungsi y = f ( x ) menggunakan turunan adalah sebagai berikut. 1.
Menentukan titik potong fungsi terhadap sumbu-X dan sumbu-Y (jika ada). a.
Syarat titik potong sumbu-X, y = 0.
b.
Syarat titik potong sumbu-Y, x = 0.
2.
Menentukan nilai ekstrem y = f ( x ) beserta jenisnya.
3.
Menentukan interval fungsi naik dan fungsi turun.
4.
Menentukan interval fungsi cekung ke atas dan fungsi cekung ke bawah.
5.
Menentukan koordinat titik belok.
6.
Menentukan beberapa titik bantu.
7.
Menggambar semua titik yang diperoleh pada koordinat Cartesius, kemudian menghubungkannya dengan kurva mulus.
Contoh Soal 9
Gambarlah kurva y = x 3 − 3 x 2 + 4 !
Pembahasan:
Langkah 1: Menentukan titik potong y = f ( x ) terhadap sumbu-X dan sumbu-Y. Untuk titik potong sumbu-X, y = 0. y = 0
⇔ x 3 − 3 x 2 + 4 = 0 ⇔ ( x + 1) ( x − 2 ) ( x − 2 ) = 0 ⇔ x = −1 atau x = 2 atau x = 2 Jadi, titik potong dengan sumbu-X adalah (−1, 0) dan (2, 0).
17
Untuk titik potong sumbu-Y, x = 0. 3
− 3 ( 0 )2 + 4 = 4
y = ( 0 )
Jadi, titik potong dengan sumbu-Y adalah (0, 4). Langkah 2: Menentukan nilai ekstrem y = f (x) beserta jenisnya. f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 4
⇔ f ’( x ) = 3 x 2 − 6 x
⇔ f " ( x ) = 6 x − 6
Syarat titik stasioner adalah f '( x ) = 0, sehingga: f ’ ( x ) = 0
⇔ 3 x 2 − 6 x = 0 (Kedua ruas dibagi 3 ) ⇔ x 2 − 2 x = 0 ⇔ x ( x − 2 ) = 0 ⇔ x = 0 atau x = 2 Ini berarti, y = f ( x ) stasioner di titik yang berabsis x = 0 dan x = 2. Tentukan jenis-jenis nilai ekstrem dengan mensubstitusikan x = 0 dan x = 2 ke f “(x). f" (0) = 6(0) − 6 = −6 < 0 (titiik balik maksimum) f" (2) = 6(2) − 6 = 6 > 0 (titiik balik minimum)
Tentukan nilai ekstrem dengan mensubstitusikan x = 0 dan x = 2 ke y = f ( x ). f" (0) = (0)3 − 3 (0)2 + 4 = 4 f" (2) = (2)3 − 3 (2)2 + 4 = 0
Ini berarti, (0, 4) adalah titik balik maksimum dan (2, 0) titik balik minimum. Langkah 3: Menentukan interval fungsi naik dan fungsi turun. Syarat fungsi naik adalah f ' ( x ) > 0, sehingga dapat ditentukan interval yang bernilai positif menggunakan garis bilangan dengan pembuat nol x = 0 dan x = 2. (+) 0
(+)
(−)
X
2
Ini berarti, fungsi f ( x ) naik pada interval x < 0 atau x > 2. Oleh karena syarat fungsi turun adalah f' ( x ) < 0, maka f ( x ) turun pada interval 0 < x < 2.
18
Langkah 4: Menentukan interval cekung ke atas dan cekung ke bawah. Syarat fungsi f ( x ) cekung ke bawah adalah f" ( x ) < 0, sehingga: f " ( x ) < 0 ⇔ 6 x − 6 < 0 ⇔ 6 x < 6 ⇔ x < 1 Ini berarti, f ( x ) cekung ke bawah pada x < 1. Syarat fungsi f ( x ) cekung ke atas adalah f" ( x ) > 0, sehingga f ( x ) cekung ke atas pada x > 1. Langkah 5: Menentukan titik belok. Berdasarkan uji kecekungan kurva yang menggunakan turunan kedua pada langkah 4, diperoleh:
(−)
(+)
X
1 Dari gambar tersebut, diketahui absis titik belok x = 1. 2 f (1) = 13 − 3 (1) + 4 = 2 Ini berarti, koordinat titik beloknya adalah (1, 2). Langkah 6: Menentukan beberapa titik bantu. x
−2
3
y = x 3 − 3 x 3 + 4
−16
4
( x, y )
(−2, −16)
(3, 4)
Langkah 7: Menggambarkan semua titik yang diperoleh pada koordinat Cartesius, kemudian menghubungkannya dengan kurva mulus. Jadi, kurva y = x 3 − 3 x 2 + 4 adalah sebagai berikut.
19
Y 4 2
X
−2−1 1 2 3
y = x 3 − 3 x 2 + 4
−16
F.
Masalah Nilai Ekstrem dalam Kehidupan Sehari-Hari Persoalan nilai ekstrem dalam kehidupan sehari-hari biasanya disajikan dalam bentuk soal cerita. Langkah-langkah menyelesaikannya adalah sebagai berikut. 1.
Memisalkan unsur-unsur yang terlibat ke dalam variabel-variabel tertentu.
2.
Menyusun pernyataan-pernyataan pada soal yang terkait dengan nilai ekstrem dalam bentuk model matematika.
3.
Menuliskan model matematika dalam bentuk fungsi polinomial dengan 1 macam variabel, misalnya y = f ( x ).
4.
Menentukan nilai stasioner dengan syarat f '( x ) = 0.
5.
Menggunakan uji turunan kedua untuk menentukan jenis nilai ekstremnya.
6.
Mensubstitusikan nilai stasioner ke y = f ( x ) untuk menentukan nilai ekstrem fungsi (maksimum atau minimum).
Contoh Soal 10
Sebidang tanah akan dibatasi oleh pagar dengan menggunakan kawat berduri seperti pada gambar. Batas tanah yang dibatasi pagar adalah yang tidak bertembok. Kawat yang tersedia 800 meter. Berapakah luas maksimum yang dapat dibatasi oleh pagar yang tersedia? (UN 2016)
20
Tembok Area Tanah
Bentuk pagar Pagar Kawat berduri
A.
80.000 m²
B.
40.000 m²
C.
20.000 m²
D.
5.000 m²
E.
2.500 m²
Jawaban: D
Pembahasan:
Diketahui panjang kawat = 800 meter. Misalkan: lebar tanah = l panjang tanah = p luas tanah = L Oleh karena tanah yang dipagari adalah yang tidak bertembok dan setiap sisi pagar menggunakan 4 lapis kawat berduri, maka: Panjang kawat = 800
⇔ 4l + 4 p + 4 l = 800 ⇔ 8l + 4 p = 800 (Kedua ruas dibagi 4 ) ⇔ 2l + p = 200 ⇔ p = 200 − 2l ... (i) Oleh karena area tanah berbentuk persegi panjang, maka: L = p × l = ( 200 − 2l ) × l = 200 l − 2 l 2 ... (ii) Syarat luas tanah maksimum adalah L' = 0, sehingga: L’ = 0
⇔ 200 − 4 l = 0 ⇔ 4l = 200 ⇔ l = 50
21
Selanjutnya, gunakan uji turunan kedua untuk menentukan jenis ekstremnya. Dari L" , diperoleh: L " = −4 < 0 ( titik balik maksimum ) Ini berarti, nilai ekstrem yang dimiliki fungsi L hanya nilai maksimum, sehingga diperoleh luas tanah maksimum saat l = 50. Dengan mensubstitusikan l = 50 ke persamaan (ii), diperoleh: L = 200 ( 50 ) − 2 (50 )
2
= 5 .000
Jadi, luas maksimum yang dapat dibatasi oleh pagar yang tersedia adalah 5.000 m².
Contoh Soal 11
Icha akan meniup balon karet berbentuk bola. Ia menggunakan pompa untuk memasukkan udara dengan laju pertambahan volume udara 40 cm³/detik. Jika laju pertambahan jari jari bola 20 cm/detik, jari-jari bola setelah ditiup adalah .... (UN 2015) 1 A. cm
π
B.
1 cm 2π
C.
1 cm
D. E.
2 π
2 cm
3 π
π cm
Jawaban: B
Pembahasan:
Misalkan: jari-jari bola = r volume bola (balon) = V Diketahui: laju pertambahan volume udara = laju pertambahan jari-jari bola =
dV = 40 cm³/detik dt
dr dt
= 20 cm/detik
22
Oleh karena balon karet berbentuk bola, maka: 4 V = πr 3 3 dV 4 ⇔ = 3 ⋅ πr 2 = 4 πr 2 3 dr Tentukan jari-jari bola setelah ditiup dengan menggunakan aturan rantai. dV dV dr = ⋅ dt dr dt dV ⇔ 40 = ( 20 ) dr dV
⇔
=2
dr ⇔ 4 πr 2 = 2
1 2π 1 ⇔ r = 2π ⇔ r 2 =
Jadi, jari-jari bola setelah ditiup adalah
1 2 π
cm.
Contoh Soal 12
Suatu perusahaan memproduksi x barang dengan biaya (5 x 2 − 10 x + 30) dalam ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp50.000,00 tiap unit, keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah .... (UN 2012) A.
Rp10.000,00
B.
Rp20.000,00
C.
Rp30.000,00
D.
Rp40.000,00
E.
Rp50.000,00
Jawaban: D
Pembahasan:
Diketahui: banyak barang = x unit biaya produksi per unit = 5 x 2 − 10 x + 30 (dalam ribuan) harga jual per unit = 50 (dalam ribuan)
23
Misalkan keuntungan perusahaan = U ( x ). Oleh karena U ( x ) = untung = harga jual – biaya produksi, maka: U ( x ) = 50 x
− (5 x 2 − 10 x + 30 ) x
= 50 x − 5 x 3 + 10 x 2 − 30 x = −5 x 3 + 10 x 2 + 20 x Syarat keuntungan maksimum adalah U' ( x ) = 0, sehingga: U ’ ( x ) = 0
⇔ −15 x 2 + 20 x + 20 = 0 (Kedua ruas dibagi − 5 ) ⇔ 3 x 2 − 4 x − 4 = 0 ⇔ ( 3 x + 2 ) ( x − 2 ) = 0 2 3
⇔ x = − atau x = 2 Oleh karena x menunjukkan banyak barang dan tidak mungkin bernilai negatif, maka nilai yang memenuhinya adalah x = 2. Selanjutnya, gunakan uji turunan kedua untuk menentukan jenis ekstremnya. Dengan mensubstitusikan x = 2 ke U" ( x ), diperoleh: U " ( x ) = −30 x + 20
⇔ U "( 2 ) = −30 (2 ) + 20 = −40 < 0 (titik balik maksimum ) Ini berarti, keuntungan maksimum saat x = 2. Dengan mensubstitusikan x = 2 ke U ( x ), diperoleh: U ( 2 ) = −5 ( 2 )
3
+ 10 (2 )2 + 20 (2 ) = 40
Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah Rp40.000,00 per unit.
24
