Aportes Foro Trabajo Colaborativo Calculo 2

APORTES FORO TRABAJO COLABORATIVO CALCULO 2 LORENA ITURRIAGO CARRASCAL POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO EJERCICIO 1 1. Una empresa de teléfonos presenta la siguiente situación: en la figura se muestra un

 =    =   =  +  ℎ ℎ  

alambre de teléfono que cuelga entre dos postes en la forma de una catenaria con ecuación describe longitud del alambre:

Tenga en cuenta: que

ℎ

. El alambre toma

. Halle la ecuación que

 es el coseno hiperbólico y tenga en cuenta la simetría.

Con el objetivo de calcular la ecuación que describe la longitud del alambre se inicia utilizando la fórmula para calcular la longitud de una curva o de un arco:

  =  √ 1+ 1 +,  Para este ejercicio se necesita la derivada de la función inicial de la catenaria formada

 =  +  ℎ ℎ    =  ℎ  =  , =   + acosh    − , =+acosh =+acosh      − = 0 − acosh   =ℎ   , =0+ℎ   , =ℎ  

por el alambre dada en el enunciado integración que en este caso son

 y tenemos los limites de

.

Como ya se tiene la derivada de la función inicial, se procede a reemplazar en la fórmula de la longitud del arco de la siguiente forma:

  = −  1+ℎ    Para resolver esta integral definida se inicia aplicando integración por sustitución con la siguiente relación:

 = 

  = − √ 1 +ℎ  Se procede a sacar la constante con la siguiente ecuación:

.

  =  .− √ 1 +ℎ  Se utiliza la siguiente identidad: ℎ  =1+ℎ   para resolver la parte interna de la raíz.

Simplificando se obtiene:

  =  .− √ 11+ℎ 

  =  .− √ ℎ  Teniendo en cuenta que ℎ  ≥ 0 entonces:   =  .−ℎ  Se aplica la siguiente regla de integración conocida:

∫ cosh=ℎℎ

 =  .ℎ Como se sabe que

 = 

 entonces reemplazamos la función

  = −  .ℎ   +

= ℎ = → − =asenh   →  =asenh   asenh(  )asenh(  ) L = 2 asenh  

Se calculan los límites de la derivada

: