Apostila Concreto - Prof. Ronilson (1)

DIMENSIONAMENTO DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO WWW.CLUBEDAESTRUTURA.COM.BR

COM A NOVA NBR 6118/2014 NOTAS DE AULA - REVISADA 2018 PROF. RONILSON FLÁVIO DE SOUZA E ngenh ngenhe eir o Civ Ci vil E spe specialista ciali sta em E struturas MB A em em Const Construçã rução o Ci vil

Disciplina Estruturas de Concreto 1 e 2

Fevereiro de 2018

Introdução O concreto armado como conhecemos, se comparado com o aço, que há milênios vem sendo utilizado pelo homem, é de certa forma um material recente. Como elemento estrutural o conceito de concreto armado é antigo, porém as pesquisas que realmente desenvolveram o material e consolidaram sua utilização datam de menos de 200 anos. Por volta de 1850 elementos cimentícios com utilização de aço para resistir a tração foram construídos, construídos, estes elementos eram chamados de ―cimento armado‖ , somente por volta de 1920 a denominação passou a ser ―concreto armado‖ . A primeira teoria sólida sobre o dimensionamento das peças de concreto foi realizada pelo Alemão E. Mörsch, professor da Universidade de Stuttgart, em 1902, a sua analogia de treliça para o dimensionamento a flexão de vigas é até hoje utilizada no mundo. Não demorou para que as normas de concreto armado fossem redigidas e implantadas em todo mundo. No Brasil o concreto armado vem sendo utilizado desde 1904 e, em pouco tempo, devido a sua versatilidade, foi incorporado de de vez na engenharia engenharia de construção brasileira. brasileira. Sendo considerado hoje o material mais utilizado como elemento estrutural no mundo. As normas mais importantes utilizadas utilizadas no mundo são o C.E.B - Comitê Europeu de ―Béton‖ (concreto), (concreto), o A.C.I - Instituto Americano do Concreto, e aqui no Brasil a ABNT – Associação Associação Brasileira de Normas Técnicas, Técnicas, em particular a NBR 6118/2014- Projeto de estruturas de concreto — Procedimento, Procedimento, que foi revisada em 2013 e aprovada e 2014. Esta norma que utilizaremos neste trabalho, juntamente, é claro, com as outras normas da ABNT que complementam o estudo do concreto armado.

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Capítulo 1 - Tecnologia do Concreto Estrutural Estrutural e Patologias O concreto estrutural pode ser dividido em três categorias, a saber: Concreto simples ou ciclópico: é aquele que não possui armadura (barras de aço para combater a tração). Segundo a NBR 6118 é classificado da seguinte forma: Elementos de concreto simples estrutural Elementos estruturais elaborados com concreto que não possuem qualquer tipo de armadura, ou que a possuem em quantidade inferior inferior ao mínimo exigido para o concreto armado armado (item 3.1.2 NBR 6118/2014).

Concreto Armado com armadura passiva: é aquele que possui armaduras para resistir as solicitações de tração, no entanto estas armaduras são tracionadas somente após a retirada do cimbramento (escoramento), e a peça passa a trabalhar fissurada, situação em que as tensões são transmitidas transmitidas do concreto concreto para a armadura e vice versa. versa. Segundo a NBR 6118 é classificado da seguinte forma: Elementos de concreto armado Aqueles cujo comportamento estrutural depende da aderência entre concreto e armadura, e nos quais não se aplicam alongamentos iniciais das armaduras antes da materialização dessa aderência (item 3.1.3 NBR 6118/2014).

Concreto protendido ou com armadura ativa: é aquele cujas armaduras são prétracionadas antes mesmo da retirada do cimbramento. Este procedimento imprime a seção fletida uma compressão uniforme reduzindo a tração no concreto e consequentemente diminuindo a fissuração das peças. Segundo a NBR 6118 é classificado da seguinte forma: Elementos de concreto protendido Aqueles nos quais parte das armaduras é previamente alongada por equipamentos especiais de protensão, com a finalidade de, em condições de serviço, impedir ou limitar a fissuração e os deslocamentos da estrutura, bem como propiciar o melhor aproveitamento de aços de alta resistência no estado-limite último (item 3.1.4 NBR 6118/2014).

Como pôde ser observado nas descrições acima, existem dois tipos de armaduras, as armaduras passivas, utilizadas no concreto armado convencional, aqui chamado

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simplesmente de C.A. e as armaduras ativas que trabalham no concreto protendido ou C.P.

Propriedades do concreto O concreto armado para fins estruturais pode ser considerado um material homogêneo e isotrópico. A NBR 8953/2015 ( revisada) Classifica os concretos em normais, leves ou pesado/denso, em função de sua massa específica, neste curso trabalharemos apenas com o concreto normal cuja massa específica para efeito de cálculo ( c) = 2500kg/m3 (25kN/m3); O coeficiente de Poisson pode ser tomado com o valor médio de ( ) = 0,2 e o coeficiente de dilatação térmica  = 10-5°C-1. Estes valores devem ser validados, sempre que possível, em ensaios de laboratório. No entanto podem ser utilizados nos projetos estruturais, desde que os materiais utilizados na preparação do concreto (agregados e aglomerantes - cimentos), estejam dentro das especificações normativas existentes para o concreto armado. Na NBR 12655/06 pode ser encontrado a descrição de todas as normas que regulamentam estes materiais. O módulo de elasticidade (E) do concreto depende do fck - resistência característica a

compressão.

Resistência à compressão do concreto - fck A resistência característica a compressão do concreto, fck, deve ser especificada em todos os projetos e seu valor deve ser avaliado em ensaio de compressão definidos na NBR ABNT NBR 5739:2007 – Concreto - Ensaios de compressão de corpos-de-prova cilíndricos. A NBR 8953/2015 – Concretos para fins estruturais – Classifica os concretos em 3 grupos, sendo os grupos I e II concretos estruturais e um grupo de concretos não estruturais que seriam os (C10 e C15) fck 10 MPa e o 15 MPa. Os concretos do grupo I começam com o fck 20 MPa e vão até o fck 50 MPa (C20 a C50). Os concretos do Grupo II são considerados de alto desempenho e começam com fck 55 MPa e atingem até fck 100 MPa (C55 a C100). A nova versão da NBR 8953/2015 classifica também os concretos pela sua trabalhabilidade, sendo criadas 5 classes:

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- S10: concretos com consistência seca, que vão desde o abatimento 10 mm até 45 mm - S50: concretos pouco trabalháveis, que vão desde o abatimento 50 mm até 95 mm - S100: concretos de aplicação normal, que vão desde o abatimento 100 mm até 155 mm - S160: concretos plásticos aplicados por bombeamento, que vão desde o abatimento 160 mm até 215 mm - S220: os concretos fluídos. Para fins estruturais a NBR 12655/2015 – Controle de Cimento Portland – especifica que a dosagem do concreto deve atender a requisitos de produção que variam com os níveis de controle no momento da dosagem. Para isso a norma estabelece três tipos de controle, a saber: A) Condição A (C10 até C100) O cimento e os agregados são medidos em massa, a água de amassamento é medida em massa ou volume com dispositivo dosador e corrigida em função da umidade dos agregados; B) Condição B (C10 até C25) O cimento é medido em massa, a água de amassamento é medida em volume mediante dispositivo dosador e os agregados medidos em massa. A umidade do agregado miúdo é determinada pelo menos três vezes durante o serviço do mesmo turno de concretagem. O volume de agregado miúdo é corrigido através da curva de inchamento estabelecida especificamente para o material utilizado; C) Condição C (C10 e C15) O cimento é medido em massa, os agregados são medidos em volume, a água de amassamento é medida em volume e a sua quantidade é corrigida em função da estimativa da umidade dos agregados e da determinação da consistência do concreto.

Cálculo da resistência de dosagem A resistência de dosagem deve atender às condições de variação existentes durante a construção. Esta variabilidade medida pelo desvio-padrão Sd é levada em conta no cálculo da resistência de dosagem, segundo a equação: fcj = fck + 1,65 Sd fcj é

onde:

a resistência média do concreto à compressão, prevista para a idade de j dias, em

megapascals; fck é a

resistência característica do concreto à compressão, em megapascals; 5

Segundo a NBR 12655, o desvio padrão para cada condição de preparo é: Condição A (C10 até C80)

 Sd

= 4MPa

Condição B (C10 até C25)

 Sd

= 5,5MPa

Condição C(1) (C10 até C15)  Sd = 7,0MPa 1) Para as condições de preparo C nos concretos de 15MPa o consumo mínimo de cimento é de 350kg/m 3 de concreto ( tabela 6 - NBR 12655/2006).

É importante frisar que, em situações rotineiras de obras, estes controles não são atendidos quando o concreto é realizado na obra , com betoneiras. Se formos seguir ao ―pé da letra‖ a normatização, somente poderíamos ―rolar‖ na obra concretos com fck até 25MPa. Além deste limite seria necessária a utilização de uma pequena estação de concretagem, fato que oneraria muito obras de pequeno porte. A recomendação é que para concretos com fck acima de 25MPa, sejam sempre utilizados concretos usinados.

Resistência a Tração do concreto - fct A resistência a tração do concreto é muito pequena em relação a sua resistência característica de compressão, da ordem de 10 vezes menor, o valor deve sempre ser verificado por intermédio de ensaios de laboratório, ensaios de tração direta ou ensaios de compressão diametral, que estima a resistência do concreto através do fendilhamento do corpo de prova. Outro ensaio é a resistência a tração na flexão.

Tração direta - f ct,m

Compressão Diametral – f ct,sp

Flexão- f ct,f

A NBR 6118/2014, estabeleça que a resistência à tração direta f ct vale aproximadamente 0,9 f ct,sp ou 0,7f ct,f , contudo na falta destes ensaios a resistência a tração média pode ser calculada em função do fck , sendo o valor dado pelas expressões:

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Para concretos de classes até C50: f ct ,m = 0,3 fck 2/3 Para concreto de classes C50 até C90: f ct,m = 2,12 ln (1 + 0,11 fck) Os valores mínimos e máximos (inferior e superior) de f ct são iguais a: f ctk,inf = 0,7 f ct,m f ctk,sup = 1,3 f ct,m

Módulo de Elasticidade - E Segundo a NBR 6118/2014, o módulo de elasticidade do concreto deve ser obtido através de ensaios. O comportamento do concreto na compressão não apresenta, como no aço, uma curva composta de uma fase elástica seguida de um patamar de escoamento, estricção e ruptura, no concreto a curva é parabólica, porém foi simplificada pela NBR em dois trechos, um parabólico seguido de um trecho reto, após a plastificação do material, e foi idealizado na nova NBR com a seguinte expressão:

σ c

fck  50MPa : n  2   ε  n   4  0,85fcd 1   1  c     90  fck     εc2    fck  50MPa : n  1,4  23,4  100    

Onde f cd = f ck /1,4 e as deformações c2 (deformação específica de encurtamento do concreto no início do patamar plástico) e cu (deformação específica de encurtamento do concreto na ruptura) são calculadas pelas expressões: Para concretos até 50MPa c2 = 0,002 e cu = 0,0035 ( igual a NBR 6118/2003)

Para concretos acima de 50MPa até o limite de 90MPa 7

85  10 

6

εc2

 0 ,002 

ε cu

fck  50 0 ,53

 0,0026 

35  10 3

 90  fck     100 

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Como o trecho elástico se apresenta na forma de uma parábola, o módulo de elasticidade do concreto para fins de cálculo pode ser estimado de duas formas. 1º Módulo de elasticidade tangente na origem

Neste caso o E é dado pela tangente de 0 e é calculado pela expressão: Para concretos com fck menor que 50MPa Eci  α E  5600 fck

Para concretos com fck entre 50 e 90 MPa Eci  21,5  10

3

 fck

 αE    10

 1,25  

1

3

O valor de E é dado em função do tipo do agregado utilizado na preparação do concreto: E = 1,2 para basalto e diabásio E =

1,0 para granito e gnaisse (mais comum)

E = 0,9 para calcário E = 0,7 para arenito

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2º Módulo de elasticidade secante Este valor é estimado, a favor da segurança, traçando-se uma reta secante ao ponto em que a tensão representa uma deformação da ordem de m = 0,002 . O cálculo do Ecs é dado pela tangente do ângulo c.

O valor de Ecs é 0,85Eci que é aproximadamente a diferença entre as inclinações das duas retas. No dimensionamento à flexão este é o valor do módulo de elasticidade que será utilizado.

Propriedades do aço para concreto armado Os aços para concreto são ligas ferro-carbono com teor de carbono de até 2%, contendo apenas os elementos residuais resultantes do processo de fabricação (Mn, Si, P e S). Os aços podem ser do tipo doce, meio duros e duros, sendo que os aços do tipo doce possuem cerca de 0,25% de carbono e são utilizados na fabricação do aço CA 25. Os aços meio duros possuem teor de carbono entre 0,25% e 0,50%, e são utilizados na fabricação do aço CA 50. Por fim, os aços chamados duros com teor de carbono acima de 0,50% são utilizados na fabricação de cordoalhas para protensão. Em relação ao processo de fabricação dos aços são laminados a quente, onde sua forma final é obtida por laminação a alta temperatura (> 800 °C). Possui alta resistência mecânica, grande ductilidade e podem ser facilmente soldados. Podem também, serem trefilados a frio ou encruados, sua forma é obtida por trabalho mecânico (trefilação) em aços de menor resistência, sua resistência mecânica é obtida das tensões introduzidas no trabalho a frio. Estes aços possuem baixa dutilidade e não devem ser soldados. Nos projetos de estruturas de concreto armado deve ser utilizado aço classificado pela NBR 9

7480(1996) nas categorias CA-25, CA-50 e CA-60, em que CA significa concreto armado e o número representa o valor característico da resistência de escoamento do aço em kN/cm2. Os diâmetros e seções transversais nominais devem ser os estabelecidos na NBR 7480(1996). A superfície das barras de aço pode ser lisa ou com mossas para conferir a barra alta aderência ao concreto. Para cada categoria de aço, o coeficiente de conformação superficial mínimo,  b, deve atender ao indicado na NBR 7480(1996). Para a NBR 6118 (2014), a conformação superficial é medida pelo coeficiente 1, cujo valor está relacionado ao coeficiente de conformação superficial  b , como estabelecido na tabela abaixo:

( tabela 8.3 - NBR 6118/2014)

A massa específica do aço de armaduras passivas pode ser adotada com o valor de 7.850kg/m3. O Coeficiente de dilatação térmica, no intervalo de 20 °C e 150 °C pode ser tomado com o valor de 10-5/°C e o módulo de elasticidade (E cs), na falta de ensaios, é igual a 210 GPa (21000kN/cm2). O diagrama de tensão e deformação do aço, pode ser simplificado pelo diagrama abaixo, cuja fase elástica se dá até o momento de deformação máxima s = 0,02

Onde : fyk é a resistência característica ao escoamento 10

fyd é a resistência de cálculo ao escoamento, dada por fyk/ s ( s é igual a 1,15) Como em todo aço carbono a resistência ao escoamento na tração é igual à resistência ao escoamento na compressão, bem como a resistência última na ruptura. Segue abaixo uma tabela de características de barras de aço para C.A.

TABELA COM CARACTERÍSTICAS DE BARRAS DE AÇO PARA ARMADURAS DE CONCRETO ARMADO Polegada

3/16"

1/4"

5/16"

3/8"

1/2"

5/8"

3/4"

7/8"

1"

mm

5.0

6.3

8.0

10.0

12.5

16.0

20.0

22.0

25.0

0,154

0,245

0,395

0,616

0,963

1,579

2,466

2,984

3,854

3,142

3,801 4,909

kg/m

P/ Barra

ÁREAS DAS SEÇÕES EM cm

0,196

0,312

0,503 0,785

1,227

2

2,011

Classe de agressividade e patologias As patologias no concreto podem ser de origens físicas ou químicas:

Físicas Erosão por abrasão: Desgaste da superfície do concreto em contato com o meio ambiente, muito comum em pisos e revestimentos de concreto. Erosão por cavitação: Desgaste ocorrido em canais de água ou outro tipo de líquido em alta velocidade, as bolhas de ar produzidas pela turbulência do escoamento, liberam bastante energia e afetam as camadas superficiais do concreto destes elementos estruturais. Deformações excessivas: Podem ser produzidas por recalques diferenciais de fundações ou mesmo por excesso de carga nas estruturas. A deformação lenta do concreto ao longo do tempo, provocada pela retração e fluência (será visto mais a diante), produzem patologias nas peças estruturais e principalmente nas alvenarias.

Químicas Solubilização dos elementos de concreto por águas ácidas: Ocorre pela transformação do composto de cálcio existente no concreto por sais solúveis em água. A agressão só é possível se houver percolação de água pelos poros do concreto; 11

Ação de águas Sulfatadas: Caracteriza-se pelo ataque ao componente Aluminato tricálcico (C3A), existente na pasta do cimento. Uma solução é a diminuição do C3A com a adição de óxido férrico, são os chamados cimentos resistentes a sulfatos - Cimento Portland CP (RS) Reação álcali-agregado: Ocorre devido a reação dos componentes alcalinos do cimento com componentes de certos agregados, produzindo uma reação expansiva. A reação expansiva mais importante é a álcali-sílica, que somente ocorrerá quando houver sílica reativa, álcalis e água suficiente para que possa ocorrer a expansão. A pozolana (microsílica) é um componente capaz de acelerar a reação dos álcalis com sílica ainda na fase de concreto fresco, consumindo os álcalis do cimento, evitando-se assim que a reação ocorra após o endurecimento do concreto. Esta é a base do chamado Cimento Pozolâmico CPIV.

Corrosão da armadura A corrosão de amaduras de concreto se dá por um processo eletroquímico, em que a diferença de potencial elétrico entre as barras ou em pontos diferentes da mesma barra contribui para a movimentação de íons de um ponto para o outro, causando oxidação do metal ferroso (aço das barras). O fenômeno transforma o aço em óxido de ferro e é um fenômeno expansivo, daí o fato das camadas de cobrimento da armadura se romperem quando há oxidação avançada da armadura.

As armaduras de aço dentro da massa de

concreto são protegidas contra corrosão pelo fenômeno da passivação do aço. Devido a grande alcalinidade do meio em que está a armadura ( pH >12) a camada microscópica de óxido de ferro, chamada película passivadora, impede a dissolução dos íons de ferro tornando impossível a corrosão, iônica, que é a causa da ferrugem no aço.

Os processos que abaixam o pH da estrutura, consumindo o hidróxido de cálcio da pasta de cimento e permitindo a destruição da película passivadora são: a) Carbonatação da camada de cobrimento; 12

b) Presença de íons cloreto ( Cl-) ou de poluição atmosférica muito alta; c) Lixiviação do concreto na presença de fluxos de água que percolem através de sua massa.

Figura apostila do Prof. J.M Calixto - UFMG

Com a perda da camada pasivadora a armadura fica exposta a corrosão, lembrando que: ―Para que ocorra a corrosão é necessário que existam oxigênio e água, na ausência de um destes dois componentes, mesmo se a camada passivadora estiver destruída não acontecerá a corrosão.‖

Carbonatação

Corrosão generalizada

Ataque por cloretos

Corrosão Localizada

Figura apostila do Prof. J.M Calixto - UFMG

A carbonatação é a percolação do gás carbônico através dos vazios da camada de cobrimento da armadura ao longo dos anos. O tempo que o gás carbônico demora para chegar até a armadura, e proporcionar a despassivação, depende diretamente da espessura da camada de cobrimento. O mesmo acontece com o ataque por cloretos, a despassivação por cloretos é sempre localizada e de grande intensidade, portanto mais agressiva que a carbonatação que ocorre ao longo de toda a armadura e com menor agressividade. Contudo as duas situações levam a degeneração da armadura por ferrugem. Vale 13

ressaltar que após a despassivação da armadura a corrosão é muito rápida, então deve-se projetar as cobrimentos de forma que a camada passivadora se mantenha intacta durante toda a vida útil da estrutura. Segue abaixo uma tabela com a relação entre o tempo de penetração do CO2 ou CL- e a espessura de camada de cobrimento. Profundidade de carbonatação ou penetração de íons cloreto 10 mm 15 mm 20 mm 25 mm

Tempo em anos 5 20 50 100

A NBR 6118/2014 e a NBR 12655/2015 prescrevem uma série de medidas para a proteção da estrutura contra o ataque de agentes nocivos, dentre elas os limites de cobrimentos, o fck mínimo e a relação água cimento máxima para cada classe de agressividade ambiental. Segue abaixo as tabelas retiradas da norma.

( tabela 6.1 - NBR 6118/2014)

( tabela 7.1 - NBR 6118/2014)

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( tabela 2- NBR 12655/2015)

(tabela 7.2 - NBR 6118/2014)

Para condições especiais de exposição, os concretos devem atender aos requisitos da tabela 2 da NBR 12655: 15

( tabela 2- NBR 12655/2015)

Em casos especiais, que possam ser feitos ensaios, ou mesmo que se tenha os dados técnicos suficientes para a análise do ambiente aquoso agressivo que será submetido o concreto, a NBR 12655/2015 fornece tabelas que facilitam a análise da classe de agressividade que deverá ser utilizada no projeto.

( tabela A.1- NBR 12655/2015)

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( tabela 4- NBR 12655/2015)

A NBR 12655/2015 estabelece que concretos estruturais não podem ser aditivados com materiais que possuem cloretos em sua composição, considerando a contribuição de todos os componentes no concreto deve-se atentar para os limites ( teor máximo de ions cloreto) constantes na tabela 5.

( tabela 4- NBR 12655/2015)

Outras medidas devem ser tomadas para garantir a longevidade da estrutura, detalhes arquitetônicos, como pingadeiras, execução de mísulas nos encontro de paredes estruturais de concreto, juntas de dilatação protegidas com elementos impermeabilizantes, entre outros. Contudo a NBR 14931:2003 - Execução de estruturas de concreto – Procedimento, define critérios para a execução das estruturas que visam garantir a

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longevidade e a segurança das peças de concreto armado. Segue abaixo alguns dos principais itens que devem se atendidos em relação a estes requisitos de qualidade:

Concretagem em temperatura muito fria A temperatura da massa de concreto, no momento do lançamento, não deve ser inferior a 5°C. A concretagem deve ser suspensa sempre que estiver prevista queda na temperatura ambiente para abaixo de 0°C nas 48 h seguintes.

Concretagem em temperatura muito quente Quando a concretagem for efetuada em temperatura ambiente muito quente (≥ 35°C) e, em especial, quando a umidade relativa do ar for baixa (≤ 50%) e a velocidade do vento alta (≥ 30 m/s), devem ser adotadas as medidas necessárias para evitar a perda de consistência e reduzir a temperatura da massa de concreto. Imediatamente após as operações de lançamento e adensamento, devem ser tomadas providências para reduzir a perda de água do concreto. A concretagem deve ser suspensa se as condições ambientais forem adversas, com temperatura ambiente superior a 40°C ou vento acima de 60 m/s.

Juntas de concretagem O concreto deve ser perfeitamente adensado até a superfície da junta, usando-se fôrmas temporárias, quando necessário, para garantir apropriadas condições de adensamento. Antes da aplicação do concreto, deve ser feita a remoção cuidadosa de detritos. Antes de reiniciar o lançamento do concreto deve ser removida a nata da pasta de cimento e feita a limpeza da superfície da junta, com a retirada do material solto. Pode ser necessário para se obter a aderência desejada o jateamento de abrasivos ou o apicoamento da superfície da junta, com posterior lavagem, de modo a deixar aparente o agregado graúdo. Nesses casos, o concreto já endurecido deve ter resistência suficiente para não sofrer perda indesejável de material, gerando a formação de vazios na região da junta de concretagem. Podem ser utilizados produtos para melhorar a aderência entre as camadas de concreto em uma junta de concretagem, desde que não causem danos ao concreto e seja possível comprovar desempenho ao menos igual ao dos métodos tradicionalmente utilizados. As juntas de concretagem, sempre que possível, devem ser previstas no projeto estrutural e estar localizadas onde forem menores os esforços de cisalhamento, preferencialmente em posição normal aos esforços de compressão. No caso de vigas ou lajes apoiadas em pilares, ou paredes, o lançamento do concreto deve ser interrompido no plano horizontal.

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Tempo de permanência de escoramentos e fôrmas Escoramentos e fôrmas não devem ser removidos, em nenhum caso, até que o concreto tenha adquirido resistência suficiente para: a) Suportar a carga imposta ao elemento estrutural nesse estágio; b) Evitar deformações que excedam as tolerâncias especificadas; c) Resistir a danos para a superfície durante a remoção. d) ―Se a fôrma for parte integrante do sistema de cura, como no caso de pilares e

laterais de vigas , o tempo de remoção deve considerar os requisitos de cura‖ Cura do Concreto “Cura é o conjunto de operações ou procedimentos adotados para proteger a superfície dos elementos estruturais (contra temperaturas muito altas ou muito baixas, impactos, desgastes prematuros, dessecação prematura) e, principalmente, evit ar que a água usada no amassamento e destinada à hidratação do cimento evapore precocemente ao ambiente pelas regiões superficiais do concreto.” (Figueiredo- 2008) “ A cura é sempre necessária para evitar que a água usada no amassamento e destinada à hidratação do cimento evapore precocemente ao ambiente pelas regiões superficiais do concreto. A água é parte integrante do processo de pega e endurecimento, consequentemente não poderá ser perdida sob pena de deixar vazios e criar esforços de retração hidráulica. Desta forma, quando uma mistura corretamente dosada é seguida de cura úmida, durante os primeiros estágios de endurecimento será conferido ao concreto as melhores condições para se tornar um material de baixa permeabilidade, de baixa absorção de água, de alta resistência à carbonatação e à difusão de íons, e com resistência mecânica e durabilidade adequada.” (Fernandes – 2008)

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O CEB – comitê europeu de concreto - recomenda para ao tempo de cura dos elementos estruturais uma relação entre a classe de agressividade, o clima na região da concretagem a sensibilidade do concreto ( relação água cimento). O gráfico abaixo pode ser utilizado com segurança para as estruturas usuais.

Tempo de cura Aresta 1 = 1 a 3 dias Aresta 2 = 5 a 7 dias Aresta 3 = 10 a 14 dias

Capítulo 2 - Análise estrutural – Segurança e Desempenho As ações em edifícios de concreto armado podem ser de origem permanente ( g ) ou variável (q). As cargas permanentes são advindas do peso próprio das estruturas e dos objetos e/ou equipamentos que compõem a estrutura, estas cargas não variam ao longo da vida útil do edifício, ou pelo menos, não poderiam variar. Já as cargas de origem variáveis, como próprio nome diz, são acidentais e ocorrem em ciclos alternados durante a vida da estrutura. As cargas acidentais são as sobrecargas de móveis, pessoas, ações de vento, sismos e outras que por ventura possam ocorrer na estrutura. O gráfico abaixo mostra o comportamento das ações, variáveis (sobrecarga e vento) e permanentes em uma estrutura.

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De açor com a regra de Turkstra “O máximo efeito de uma combinação de ações se dará no instante em que uma das ações variáveis atingir seu valor máximo. O colapso se dá neste instante.”

Método dos estados limites Estados limites últimos - E.L.U Estados limites últimos são aqueles relacionados com a segurança da estrutura. A ocorrência deste estado-limite significa sempre o colapso estrutural. Em uma estrutura de concreto armado deve-se verificar o E.L.U de esmagamento da seção de concreto, do escoamento por tração ou compressão do aço da Armadura e do cisalhamento da seção de concreto por solicitações tangenciais ( esforços cortantes). Nos elementos submetidos a Flexão Simples a ruína e caracterizada no concreto quando atinge uma deformação específica c = 0,0035, e no aço das armaduras quando atinge uma deformação específica s = 0,010. Este limite de escoamento do aço se dá em função do esmagamento do

concreto, pois sabemos que o aço possui ductilidade para se alongar com deformações muito superiores a esta. Contudo, para que estes estados limites não ocorram nas estruturas faz-se necessário um dimensionamento que leva em consideração a relação entre o carregamento e a resistência. No E.L.U os carregamentos ou ações são majorados e as resistências minoradas por um coeficiente de ponderação. A estrutura estará verificada se a solicitação de cálculo for menor que a resistência de cálculo, ou seja:

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Sd

≤

R d. Onde S d é a somatória das ações com seus respectivos coeficientes de

ponderação e R d é a resistência da peça minorada com seus respectivos coeficientes de minoração. Os coeficientes de minoração e majoração das ações são dados pela tabela abaixo:

(tabela 11.1 - NBR 6118/2014)

(tabela 11.2 - NBR 6118/2014)

O coeficiente f é utilizado para majorar a ação principal e o coeficiente f2 para minorar a ação secundária, quando se tem nas combinações de cálculo mais de uma ação variável. 22

No cálculo das combinações de e ações deve ser utilizado a NBR 6120/80 – carga para cálculo de estruturas de edificações – esta norma possui uma relação de valores característicos de ações permanentes e variáveis. Estes valores devem ser majorados ou minorados nas combinações de cálculo no E.L.U.

A equação para o cálculo da

combinação de ações em ELU é dada pela NBR 8681. m

n

  F    F     F  gi gi ,k

Onde:

qi

q1,k

i 1

qj

oj

qj ,k

j 2

Fgi,k são valores característicos de ações permanentes Fqi,k são valores característicos de ações variáveis principais Fqj,k são valores de característicos de outras ações variáveis  é o coeficiente de ponderação (tabelados)  é o fator de combinação (tabelados)

Ação da água O nível d’água adotado para cálculo de reservatórios, tanques, decantadores e outros deve ser igual ao máximo possível compatível com o sistema de extravasão, considerando apenas o coeficiente f = 1,2, conforme NBR 8681. Nas estruturas em que a água de chuva possa ficar retida deve ser considerada a presença de uma lâmina de água correspondente ao nível da drenagem efetivamente garantida pela construção. (item 11.4.1.3 NBR 6118/2014).

23

Estados limites limites de serviço - E.L.S O estado limite último, como visto anteriormente, será sempre utilizado para o cálculo da resistência da estrutura na situação mais extrema que a peça poderá ser solicitada em toda sua vida útil. Será visto mais tarde que para dimensionar a armadura da seção utilizaremos sempre o ELU. No entanto, as estruturas em geral, e em particular as de concreto, também devem ser verificadas em situação de serviço chamado aqui de Estado Limite de Serviço ou simplesmente ELS. As combinações de cálculo no ELS serão compostas sempre dos valores característicos das ações e da sobrecarga minorada em um determinado fator, denominado 1 ou 2, que são dados dados pela tabela tabela 11.2 da NBR 6118. 6118. Já as combinações de cálculo variam conforme a característica das cargas e são dadas pela tabela 11.4 11.4 da NBR 6118.

As peças de concreto armado devem ser verificadas em situação de serviço para as três situações abaixo:

Estado limite de deformações excessivas; excessivas; Estado limite de abertura de fissuras; fi ssuras; Estado limite de vibrações excessivas; excessivas; Todos estes estados tem a ver com o conforto e a durabilidade da estrutura e serão vistos mais adiante no curso. 24

Utilizaremos neste curso a combinação quase permanente de serviço, cuja expressão é: PELS

  g  

 2 q



Nota: Para efeitos práticos considerar sempre o coeficiente 2 igual a 0,3 para edifícios residenciais, 0,4 para edifícios comerciais e 0,6 para edifícios industriais e bibliotecas.

***

25

Capítulo 3 – Deformações Deformações e esforços em vigas e lajes Como foi visto no capítulo anterior um dos estados limites de serviço mais importantes é o estado limite de deformação excessiva, excessiva, portanto as estruturas de concreto, em particular as vigas e lajes devem ser dimensionadas para atender aos limites máximos de deformação ao longo de toda sua vida útil. A NBR 6118 fixa limites de deformação que devem ser observados, a tabela 13.3 trás os valores limites de deslocamentos verticais:

Na prática, para edifícios usuais, o valor mais utilizado é l/250, portanto este limite será utilizado neste curso para todos os elementos a serem dimensionados nos exercícios, deixando claro que em situações de projeto a tabela acima deve ser utilizada para cada caso em particular, em função dos carregamentos e da característica da edificação. 26

Contra-flecha A norma possibilita a adoção de contra-flechas nas estruturas. A contra-flecha é uma curvatura imposta a estrutura no sentido contrário a deformação do peso próprio, de tal forma que, ao se retirar o cimbramento a deformação imediata será a deformação elástica menos a contra-flecha. Esta deformação imposta é feita por intermédio do posicionamento e nivelamento da fôrma, produzindo-se um arco contrário à deformação produzida pelas cargas gravitacionais na estrutura. O limite para contra-flecha em estruturas de concreto é l /350, sendo l o valor do vão livre entre apoios.

Deformações em Vigas de C.A. O cálculo exato da deformação em elementos de concreto armado sempre foi um grade desafio para os engenheiros, a grande disparidade entre os valores encontrados na prática e os valores calculados demonstra as incertezas sempre constantes no dimensionamento de elementos fletidos de concreto armado. Não é incomum encontrar em obras contraflechas ―permanentes‖, ou seja, c alcula-se uma contra flecha e após a desforma tem se uma surpresa, a deformação imediata prevista não ocorre da forma que foi calculada. Por outro lado a situação também recorrente é a obtenção de flechas muito maiores que a as previstas, principalmente a deformação ao longo dos anos. O uso indiscriminado de softwares de computador por profissionais com pouca experiência em dimensionamento, ou mesmo com certo grau de relaxamento nas análises, vem contribuindo para o aumento das patologias provocadas por deformações excessivas em estruturas de concreto armado, fato preocupante nos dias atuais. O cálculo de deformações em elementos fletidos de concreto armado deve levar em consideração a rigidez equivalente da seção fissurada e ao longo dos anos os efeitos reológicos do concreto, fluência e retração, que contribuem para aumentar consideravelmente a deformação. Porém, não é incomum encontrar dimensionamentos que desconsideram estes efeitos, por desconhecimento ou mesmo negligência.

27

Rigidez equivalente Aprendemos no curso de resistência dos materiais que a flecha em uma viga é função da sua rigidez (produto do módulo de elasticidade do material pelo momento de inércia a flexão da seção) da carga, do vão livre e das condições de contorno da peça (engastada ou apoiada). Para o concreto armado todas estas variáveis são válidas e a equação da flecha é calculada da mesma forma que na resistência clássica. Porém, o concreto possui uma característica que o difere dos demais materiais, como por exemplo, do aço. A rigidez ao longo da viga não é constante. O módulo de elasticidade pode ser considerado constate e é sempre igual a E cs (módulo secante), porém o momento de inércia varia com carga e a taxa de armadura que há na seção, e, portanto, não pode ser considerada bruta como no caso das estruturas de aço. Como já foi visto no capítulo 1 o concreto não possui resistência a tração, portanto sempre que uma seção submetida a flexão é carregada com um momento tal que a resistência a tração do concreto e atingida aparece na seção a primeira fissura. Esta fissura ocorre porque há a transferência de carga do concreto para a armadura, neste momento então não se pode mais dizer que a seção está trabalhando de forma ―bruta‖. Há uma parte da seção que está fissurada e não é capaz de atribuir rigidez a peça. Dizemos que a estrutura passou de ―estádio‖, ou seja, do estádio I, onde ainda as tensões são proporcionais às deformações e a estrutura não está fissurada, para o estádio II onde a estrutura fissurou e não se comporta segundo a lei de Hook, ou seja, não há um comportamento linear entre a tensão e a deformação. Com a diminuição da rigidez, a estrutura no estádio II , obviamente, irá se deformar mais, o segredo é saber o quanto mais e o quanto da inércia é perdida com a fissuração. Um pesquisador chamado Branson estudou o caso e formulou uma equação que nos permite estimar de forma aproximada uma rigidez equivalente ao longo de toda viga que se aproxima da situação real e é bastante segura para ser utilizada em dimensionamentos estruturais. A NBR 6118 recomenda a equação de Branson para a verificação do estado limite de deformação excessiva:

( EI ) EQ

3 3         M r  M r       1 I I  E cs      E cs I c c II  M   M    a        a  

28

Onde : E cs é o

módulo de elasticidade secante do concreto

I c é o momento de inércia da seção bruta dado por bwh3 /12, sendo bw a base da viga e h a

altura total; I II

é o momento de inércia da seção fissurada, que deve ser calculado levando em conta a

taxa de armadura e a altura real da linha neutra após a fissuração. Este cálculo será visto mais adiante, neste momento tomaremos de forma aproximada o valor de I II igual a 40% de I c; Ma é o momento de serviço da estrutura calculado com a carga em ELS Mr é o momento que causa a primeira fissura na estrutura, chamado aqui de momento de

fissuração. Cálculo do momento de fissuração Mr 

1 ,5f ct ,m I c yt

como estádio I :

Ic yt



bw  h 2 6

 Mr 

1 ,5  f ct ,m  b w h 2 6

2

e f ct ,m  0 ,3fck 3 Onde: yt é a distância de fibra mais tracionada ao CG da seção e f ct,m é a tensão média resistente a tração do concreto. A constante 1,5 é utilizada para seções retangulares, no caso de seções T (lajes nervuradas ou mesmo vigas calculadas como tal) esta constante é igual a 1,2

Efeitos reológicos (retração e fluência) - deformação diferida no tempo Além do problema da fissuração, uma seção de concreto também sofre com o tempo a perda constante de água. A saída de água da seção produz retração hidráulica no concreto e esta retração aumenta o estado de fissuração, conseqüentemente diminuindo a rigidez ainda mais. Há também o efeito de fluência, que também está relacionado com a saída de água da estrutura, só que desta vez por causa da compressão constante provocada por cargas de longa duração. Estes dois fenômenos, principalmente a fluência aumentam em muito a deformação do concreto ao longo dos anos, este valor pode chegar a 3 vezes o valor da flecha imediata (elástica), portanto, devem ser considerados no cálculo da flecha, 29

que passará a se chamar flecha diferida no tempo ou tempo infinito - f ∞. De acordo com o item 17.3.2.1.2 da NBR6118, a determinação da flecha diferida no tempo para vigas de concreto armado, em função da fluência, pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da flecha imediata - f e - pelo fator  f : f   1   f  f e

, sendo

 f



 1  50  '

, e  ' 

As bd

 é um coeficiente função do tempo, calculado pela expressão:    (t )   (t 0 )

Sendo assim, com auxílio da tabela 17.1 da NBR 6118, tomamos o valor de t (tempo que se quer saber a flecha) e t 0 (tempo que foi retirado o cimbramento) , que podem variar de 0,54 para 15 dias até 2 para o tempo infinito.

No momento em que estamos pré-dimensionado a estrutura ainda não sabemos a taxa de armadura, sendo assim a favor da segurança podemos, no pré-dimensionamento, definir a parcela 50  ’ = 0. Neste curso trabalharemos com a retirada do cimbramento acontecendo sempre aos 15 dias e o cálculo da flecha no tempo infinito, com isso a flecha final (diferida no tempo) será igual a: f 

2  0 ,54   1   f  f e   1   f e  f   2 ,46  f e  1 0  

Ou seja, a flecha final que deve ser comparada a flecha limite deve ser 2,46 vezes maior que a flecha elástica inicial - f e.

Deformações em lajes retangulares de C.A. As lajes de concreto retangulares podem ser divididas em dois tipos, lajes armadas em uma direção e lajes armadas em duas direções.

30

Lajes armadas em uma direção As lajes armadas em uma direção são aquelas cuja carga da laje é distribuída, predominantemente, em apenas duas vigas, ou seja, não se comportam como placas, se comportam como vigas. Um exemplo clássico de lajes armadas em uma direção é a laje conhecida como pré-fabricada. Neste tipo de laje há apoio apenas em uma direção, na direção das vigotas, esta laje é uma laje tipo nervurada (será estudada em concreto II), cujo peso (g + q) é descarregado nas vigotas que por sua vez descarrega nas vigas de apoio. Porém, existem também as lajes maciças armadas em uma direção, este fato ocorre sempre que a relação entre um dos lados da laje e o outro é maior que 2. Este fato pode ser observado pela teoria das grelhas, desenvolvida por Marcus: Dado três tipos de lajes com o mesmo carregamento P e apoiadas nas quatro bordas, se igualarmos as fechas elásticas no ponto central de cada laje, considerando uma faixa de 1m para cada lado (vigas biapoiadas) teremos as flechas na direção 1 ( maior lado) e na direção 2 (menor lado), dadas pela equação clássica da resistência dos materiais: f 1 

5q1L4

f 2

384 EI



5q 2 L4 384 EI

Sendo q1 o quinhão de carga na direção do maior lado e q2 o quinhão na direção de menor lado

Para laje 3 temos: f 1

 f 2 

5q110

4

384EI



5q 210

4

384EI

 q110 4  q 210 4  q1  q 2


 f 2 

5q110

4

384 EI



5q 2 8

4

384 EI

 q110  q2 8  q1  4

4

8

4

10

4

q2

 0,4q2 31


 f 2 

5q110

4

384 EI



5q2 5

4

384 EI

 q110  q2 5  q1  4

4

5

4

10

4

q2

 0,06q2

Observe que quanto maior a relação entre o lado de f 1 e o lado de f 2 menor a parcela de carga que sobra para q1, ou seja, quando a relação se distancia de 2, o quinhão de carga que descarrega na viga menor se aproxima de zero, por isso, a favor da segurança, sempre que esta relação for maior que 2 trataremos a laje armada em uma direção, jogando todo carregamento nas vigas maiores. Também para efeito de segurança não descarregaremos totalmente a viga menor, de forma prática atribuiremos a elas um carregamento de 25% da carga total. O cálculo da deformação neste tipo de laje é feito da mesma forma que nas vigas, utilizando as equações clássicas da resistência dos materiais para os três tipos possíveis de condições de contorno, e sempre na faixa de maior quinhão de carga, denominada aqui como sendo simplesmente lado a e o outro lado será o lado b. Assim, a relação b/a será sempre utilizada como parâmetro para o dimensionamento das lajes em uma e duas direções.

Tipos de condições de contorno possíveis

1º Caso: laje biapoiada Equação da flecha elástica inicial: f e 

4 5 P ELS L

384  E cs I c

2º Caso: laje Apoiada e engastada Equação da flecha elástica inicial: f e 

4 P ELS L

185  E cs I c

3º Caso: laje biengastada Equação da flecha elástica inicial: f e 

4 P ELS L

384  E cs I c

32

Onde: Ecs é o módulo de elasticidade secante do concreto Ic é o momento de inércia da seção bruta dado por bh3 /12, sendo b um valor constante igual a 1m ou 100cm e h a altura da laje. Para considerarmos o fato de parte da laje estar trabalhando no estádio II, devemos dividir a flecha elástica inicial por 0,7 (70% de EI). Isso não impossibilita o cálculo exato, pela equação de Branson, como visto na seção anterior. Sendo que para isto a laje deverá ser calculada por um processo exato (elemento finitos, por exemplo) para se determinar as regiões em que o concreto está no estádio I e as regiões em que está no estádio II. O processo é muito laborioso e na maioria dos casos leva a resultados próximos de 70% da rigidez, o que justifica a simplificação. A flecha final que deve ser comparada a flecha limite deve ser 2,46 vezes maior que a flecha imediata ou flecha elástica para levar em consideração os efeitos da fluência e retração, similar ao que foi feito nas vigas.

Lajes armadas em duas direções ou em cruz São aquelas cuja relação b/a é menor que 2. Neste tipo de laje o comportamento da estrutura é de placa, diferente da viga. A rigidez a flexão e acompanhada pela rigidez a torção e o sistema trabalha em conjunto conferindo a estrutura uma rigidez muito maior que no caso das faixas em uma direção. As flechas são menores e podem ser calculadas pela equação diferencial de placa:

q Eh 3  4w  4w  4w 2 2 2  4   D D 121  2  x 4 x y y

Onde: w é o

deslocamento vertical (transversal à placa)

x e y são a direções principais

33

q é a carga por unidade de área D é a rigidez da placa

Não é difícil perceber que o cálculo de deformação em placas deste tipo é muito complicado e envolve uma matemática pouco prática. Sendo assim, foram desenvolvidas diversas tabelas de lajes para facilitar o cálculo. Dentre elas a clássica tabela de Marcus que utiliza-se da teoria das grelhas, conforme já visto anteriormente. E a Tabela de Bares, que utilizaremos neste curso. Bares deduziu os valores da equação da placa para diversas condições de contorno e relações de b/a, condensou seu trabalho em tabelas, tanto para o cálculo dos esforços quanto para calcular as flechas. Observe que Bares dividiu as lajes em função das condições de contorno ( engastada e apoiada) em 6 grupos A até F.

A

b

B

a≤ b

D

a

b

a

b

C

a≤ b

b

F

E

a

a≤ b

Para utilizar a tabela de Bares é importante mostrar que o lado a nem sempre é o lado menor. Para os casos B e E o lado a pode ser o maior vão, porém, com maior número de engastes. Por isso a tabela possui valores de b/a menores que 1, limitado é claro a 0.55, pois abaixo deste valor a laje deve ser considerada armada em uma direção. 34

Tabela - Flecha Elástica em Lajes Retangulares (Bares) Tipo de Laje

b/a

f i

f i

f i

f i

f i

f i

0,50 0,53 0,55 0,58 0,60 0,63 0,65 0,68 0,70 0,73 0,75 0,78 0,80 0,83 0,85 0,88 0,90 0,93 0,95 0,98 1,00 1,03 1,05 1,08 1,10 1,13 1,15 1,18 1,20

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,024 0,048 0,051 0,053 0,055 0,057 0,060 0,062 0,064 0,066

0,007 0,008 0,009 0,010 0,011 0,013 0,014 0,016 0,017 0,019 0,020 0,021 0,022 0,024 0,025 0,028 0,031 0,031 0,030 0,032 0,033 0,034 0,035 0,036 0,037 0,038 0,039 0,040 0,041

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,013 0,025 0,026 0,027 0,028 0,029 0,031 0,032 0,033 0,034

0,006 0,007 0,008 0,009 0,010 0,011 0,012 0,013 0,014 0,015 0,015 0,016 0,017 0,018 0,019 0,020 0,020 0,021 0,021 0,022 0,023 0,024 0,024 0,024 0,024 0,025 0,025 0,026 0,026

0,004 0,004 0,005 0,005 0,006 0,007 0,007 0,008 0,009 0,010 0,011 0,012 0,012 0,013 0,014 0,015 0,015 0,016 0,017 0,018 0,018 0,019 0,020 0,021 0,021 0,022 0,022 0,023 0,023

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,008 0,015 0,016 0,016 0,017 0,018 0,019 0,019 0,020 0,020

35

1,23 1,25 1,28 1,30 1,33 1,35 1,38 1,40 1,43 1,45 1,48 1,50 1,53 1,55 1,58 1,60 1,63 1,65 1,68 1,70 1,73 1,75 1,78 1,80 1,83 1,85 1,88 1,90 1,93 1,95 1,98 2,00

0,069 0,071 0,073 0,075 0,077 0,079 0,081 0,083 0,085 0,087 0,089 0,090 0,092 0,094 0,096 0,097 0,099 0,100 0,102 0,103 0,105 0,106 0,108 0,109 0,111 0,112 0,113 0,114 0,115 0,116 0,118 0,119

0,042 0,043 0,044 0,044 0,045 0,046 0,047 0,047 0,048 0,049 0,050 0,050 0,051 0,051 0,052 0,052 0,053 0,053 0,053 0,053 0,054 0,054 0,055 0,055 0,056 0,056 0,056 0,056 0,057 0,057 0,058 0,058

0,035 0,036 0,037 0,038 0,039 0,040 0,041 0,041 0,042 0,043 0,044 0,045 0,046 0,046 0,047 0,047 0,048 0,048 0,049 0,049 0,050 0,050 0,050 0,050 0,051 0,051 0,052 0,052 0,053 0,054 0,055 0,055

0,027 0,027 0,027 0,027 0,028 0,028 0,028 0,028 0,029 0,029 0,029 0,029 0,029 0,029 0,029 0,029 0,030 0,030 0,030 0,030 0,030 0,030 0,030 0,030 0,030 0,030 0,030 0,030 0,030 0,030 0,030 0,030

0,024 0,024 0,025 0,025 0,026 0,026 0,026 0,026 0,027 0,027 0,027 0,027 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,029 0,029 0,029 0,029 0,029 0,029 0,029 0,029

0,021 0,021 0,022 0,022 0,023 0,023 0,024 0,024 0,025 0,025 0,026 0,026 0,027 0,027 0,027 0,027 0,027 0,027 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,029 0,029 0,029 0,029 0,029 0,029 0,029 0,029

 pa 4  O valor da flecha é dada por: f  f i    E  h 3   cs  a é o vão com o maior número de engastes. Caso o número de engastes seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão

O valor da flecha imediata é calculada pela expressão: f e

 PELSa 4   , observe que a tabela não foi feita com o valor do Momento de inércia  f i  3  E h   cs 

I c do concreto, sendo assim para considerarmos o efeito da possível fissuração da laje, da

mesma forma que nas lajes em uma direção, utilizaremos o fator de minoração no cálculo 36

do E cs, multiplicando o valor do módulo de elasticidade por 0,7 ou seja, utilizando 70% da rigidez bruta. A equação será então:

 PELS a 4   f E  f i  3  E h   cs 

f E II



f E

f   2,46  f EII

0,7

Nota: para lajes nervuradas utilizaremos um fator de 30% da rigidez bruta, ou seja, para lajes nervuradas : f E II 

f E 0,3

A flecha final que deve ser comparada a flecha limite deve ser 2,46 vezes maior que a flecha imediata acima ou flecha elástica para levar em consideração os efeitos da fluência e retração, similar ao que foi feito nas vigas. Nota: as lajes podem ter sua altura pré-dimensionada em função da flecha máxima deferida no tempo f∞, através de uma equação do 3 grau:

  h 3  0 ,25h  ( g'  2 q )  0 Onde: h é a altura desejada; g’ é a carga permanente menos o peso próprio da laje e

é

dado pela expressão:

 f E  E cs   4 4  f a 10    i 

  

Para lajes maciças utilizar 70% da rigidez e para lajes nervuradas 30%.

Lembrando que a flecha elástica que se deseja (f E) deve ser a flecha elástica no estádio II (f EII) dividida pelo coeficiente de fluência   246.

Condições de Contorno A utilização da tabela de Bares torna imprescindível o conhecimento das condições de contorno da estrutura. A simples colocação de uma armadura negativa sobre a união de duas lajes pode torná-la engastada, como também a falta destes torna a ligação rotulada, por conseqüência a laje fica apoiada. Porém, deve-se também levar em consideração a capacidade física de uma laje engastar a outra, lajes muito pequenas sempre estarão engastadas nas lajes maiores, no entanto o inverso não é verdadeiro as lajes maiores somente poderão ser consideradas engastadas se a dimensão da menor for suficiente para suportar os esforços deste engastamento.

Segue abaixo uma regra prática de

dimensionamento de lajes largamente utilizada:

37

D1 

1

D1 

1

D2

3

3

D2

A regra mostra que a laje maior somente poderá ser considerada engastada na menor se a distância D1 for maior que 1/3 da distância D2, caso contrário somente a laje menor poderá ser considerada engastada na maior. Outro fator importante é a existência de furos (aberturas) nas lajes. Estas aberturas também podem interferir no engastamento da laje.

D1 

2 3

D1 

D2

2 3

D2

Observe que a laje maior somente poderá ser considerada engastada na menor se a distância D1 for maior que 2/3 da distância D2, caso contrário somente a laje menor poderá ser considerada engastada na maior.

38

Determinação de esforços em vigas As vigas são elementos prismáticos sujeitos a flexão e às vezes a flexo-compressão, podendo ser contínuas ou simplesmente biapoiadas. Nos cursos de resistência dos materiais ou mesmo estruturas (isostáticas e hiperestáticas), os modelos para cálculo já vem com a carga distribuída ou concentrada. O aluno não precisa se preocupar de onde vêm aqueles valores. Porém, a partir de agora toda aquela teoria estudada será preciso para resolver uma situação real de cálculo estrutural e a carga distribuída ou concentrada terá que ser determinada. Neste curso veremos como se procede o carregamento de vigas sob lajes armadas em uma direção e em cruz, sendo que para esta última utilizaremos a tabela de lajes de Bares.

Vigas que suportam lajes unidirecionais Imaginemos uma laje pré-moldada de um edifício residencial, conforme figura abaixo, cujas vigotas descarregam nas vigas V1 e V2:

Corte AA Em uma faixa de 1m, temos as seguintes áreas: Vigotas 2 seções de 129cm 2 39

Capa 400cm2 Reboco 250cm2 Piso e contrapiso 250cm 2 Valendo da tabela da NBR 6120 atribuímos a cada área seu peso característico e encontramos o peso total em 1m 2 de laje, exemplo: Vigotas 0,0129m2 x 1m x 25 kN/m3 = 0,3225kN Capa 0,04m2 x 1m x 25 kN/m 3 = 1kN Piso e contrapiso 0,03m 2 x 1m x 21 kN/m3 = 0,63kN Reboco teto 0,025m 2 x 1m x 21 kN/m3 = 0,525kN Enchimento de EPS possui peso desprezível Peso total 2,48kN/m 2 Como a laje descarrega em V1 e V2 basta calcular as reações de apoio de uma viga biapoiada na faixa de 1m, com o vão considerado, exemplo:

As reações de apoio em V1 e V2 2,48 x 3,5 /2 = 4,34 kN para cada viga. Como a carga foi calculada na faixa de 1m podemos afirmar que a laje descarrega na viga uma carga distribuída de 4,34kN/m. Além do peso das lajes devemos ainda considerar o peso próprio da viga (15 x 30), logo a carga total distribuída na viga será: 4,34 + (0,15 x 0,30 x 25) = 5,46kN/m. Lembrando que esta carga distribuída está em seus valores característicos, devendo para efeito de cálculo em ELU ser majoradas em 40%. Vamos continuar o exemplo adicionando à viga os esforços de sobrecarga de 1,5kN/m 2 e uma parede de alvenaria de 2,70m de altura.

40

Como a parede possiu 15cm de spessura e sua densidade é de 14kN/m 3, podemos calcular o seu peso/m de viga: 0,15m x 2,7m x 1m x 14kN/m3 = 5,67kN na faixa de 1m, ou simplesmente, 5,67kN/m Para adicionarmos a sobrecarga na estrutura temos que definir se a análise é em ELU ou ELS, então: Para ELS, como a edificação é residencial 2 = 0,3, logo : peso total é igual a 2,48 + 0,3 x 1,5 = 2,93kN. A viga em ELS fica assim carregada: (2,93 x 3,5/2) + (0,15 x 0,30 x 25 ) + 5,67 = 11,92kN/m Para o ELU o peso total é 2,48 + 1,5 = 3,98; como no ELU devemos majorar por 1,4, temos: 1,4 x [(3,98) x 3,5/2) + (0,15 x 0,30 x 25) + 5,67] = 19,26kN/m Abaixo segue o esquema da viga V1 = V2 em ELS e ELU

Uma observação importante é que por este método as vigas V3 e V4 não seriam submetidas a nenhum esforço das lajes, seriam carregadas apenas com seu peso próprio e uma eventual carga de alvenaria. Porém, estudos já mostraram que mesmo em lajes 41

unidirecionais, pré-moldadas ou maciças estas vigas acabam recebendo uma parcela da carga das lajes. Utilizaremos um método, a favor da segurança, que distribui para estas vigas 25% do carregamento das lajes. Portanto, considerando que sobre as vigas V3 e V4 também há uma parede de alvenaria, o carregamento em ELS e ELU ficaria assim definido: ELS = (0,25 x 2,93 x 3,5/2) + (0,15 x 0,30 x 25 ) + 5,67 = 8,08kN/m ELU = 1,4 x [0,25 x 3,98 x 3,5/2) + (0,15 x 0,30 x 25) + 5,67] = 11,95kN/m Abaixo segue o esquema da viga V3 = V4 em ELU e ELS

Vigas que suportam lajes bidirecionais ou armadas em cruz Para este caso, da mesma forma que no cálculo da deformação, o efeito de placa que ocorre na estrutura distribui as cargas sobre as vigas através de quinhões diferentes em função das condições de contorno e da relação b/a. vários processos e tabelas são utilizados para este cálculo, a tabela de Bares, que utilizaremos utiliza o processo das charneiras plásticas. Por esta teoria admite-se que a ruína ocorra com a formação de linhas de plastificação que transformam a laje em um sistema hipostático. No caso de uma laje simplesmente apoiada nos seus quatro lados

45º

As charneiras dividem a lajes em quatro figuras, dois triângulos e dois trapézios, e considera-se que cada ―figura‖ descarrega em uma viga, os trapézios descarregam nas vigas maiores (lado b) e os triângulos nas vigas menores (lado a). Em função das 42

diferentes condições de contorno (engastada e apoiada) teremos diversos tipos de charneiras com trapézios e triângulos maiores ou menores. Bares ensaiou diversas lajes e com diversas condições de contorno e formulou a tabela abaixo: Tabela - Reações de Apoio em Lajes Retangulares

Tipo de Laje

rà = 0,183 r a = 0,25

r a = 0,144

r`à = 0,317

b/a

r b

r a

r`b

r``b

r`b

r``b

r b

rà

r`à

r b

0,500 0,525 0,550 0,575 0,600 0,625 0,650 0,675 0,700 0,725 0,750 0,775 0,800 0,825 0,850 0,875 0,900 0,925 0,950 0,975 1,000 1,025 1,050 1,075 1,100 1,125 1,150 1,175 1,200

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,125 0,250 0,256 0,262 0,268 0,273 0,278 0,283 0,288 0,292

0,165 0,169 0,172 0,175 0,177 0,179 0,181 0,182 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183

0,125 0,132 0,138 0,144 0,150 0,157 0,163 0,169 0,175 0,181 0,187 0,193 0,199 0,204 0,208 0,213 0,217 0,221 0,225 0,229 0,232 0,235 0,238 0,241 0,244 0,247 0,250 0,252 0,254

0,217 0,228 0,238 0,249 0,260 0,271 0,281 0,292 0,302 0,314 0,325 0,335 0,344 0,353 0,361 0,369 0,376 0,383 0,390 0,396 0,402 0,408 0,413 0,418 0,423 0,428 0,432 0,437 0,441

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,092 0,183 0,188 0,192 0,196 0,200 0,204 0,207 0,211 0,214

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,159 0,317 0,325 0,332 0,289 0,246 0,302 0,358 0,364 0,370

0,217 0,228 0,238 0,249 0,259 0,269 0,278 0,286 0,294 0,301 0,308 0,314 0,320 0,325 0,330 0,335 0,340 0,344 0,348 0,352 0,356 0,360 0,363 0,366 0,369 0,372 0,374 0,377 0,380

0,125 0,128 0,131 0,134 0,136 0,138 0,140 0,142 0,143 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144

0,217 0,222 0,227 0,232 0,236 0,239 0,242 0,245 0,247 0,248 0,249 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250

0,158 0,166 0,174 0,182 0,190 0,198 0,206 0,214 0,222 0,230 0,238 0,246 0,254 0,261 0,268 0,275 0,281 0,287 0,292 0,298 0,303 0,308 0,312 0,317 0,321 0,325 0,329 0,333 0,336

43

1,225 0,296 0,183 0,257 1,250 0,300 0,183 0,259 1,275 0,304 0,183 0,261 1,300 0,308 0,183 0,263 1,325 0,312 0,183 0,265 1,350 0,315 0,183 0,267 1,375 0,318 0,183 0,269 1,400 0,321 0,183 0,270 1,425 0,325 0,183 0,272 1,450 0,328 0,183 0,274 1,475 0,331 0,183 0,276 1,500 0,333 0,183 0,277 1,525 0,336 0,183 0,279 1,550 0,339 0,183 0,280 1,575 0,342 0,183 0,281 1,600 0,344 0,183 0,282 1,625 0,346 0,183 0,284 1,650 0,348 0,183 0,285 1,675 0,351 0,183 0,286 1,700 0,353 0,183 0,287 1,725 0,355 0,183 0,288 1,750 0,357 0,183 0,289 1,775 0,359 0,183 0,291 1,800 0,361 0,183 0,292 1,825 0,363 0,183 0,293 1,850 0,365 0,183 0,294 1,875 0,367 0,183 0,295 1,900 0,368 0,183 0,296 1,925 0,370 0,183 0,297 1,950 0,372 0,183 0,297 1,975 0,374 0,183 0,298 2,000 0,375 0,183 0,299 O valor da reação é dado por: R = r.p.a

0,445 0,448 0,452 0,455 0,459 0,462 0,465 0,468 0,471 0,474 0,477 0,479 0,482 0,484 0,487 0,489 0,491 0,493 0,495 0,497 0,499 0,501 0,503 0,505 0,507 0,509 0,511 0,512 0,514 0,515 0,517 0,518

0,217 0,220 0,223 0,225 0,228 0,230 0,233 0,235 0,238 0,240 0,242 0,244 0,246 0,248 0,250 0,252 0,254 0,255 0,257 0,258 0,260 0,261 0,263 0,264 0,266 0,267 0,269 0,270 0,271 0,272 0,274 0,275

0,375 0,380 0,385 0,390 0,395 0,399 0,404 0,408 0,412 0,415 0,419 0,423 0,426 0,429 0,433 0,436 0,439 0,442 0,445 0,448 0,451 0,453 0,456 0,458 0,461 0,463 0,465 0,467 0,469 0,471 0,473 0,475

0,383 0,385 0,387 0,389 0,391 0,393 0,395 0,397 0,399 0,400 0,402 0,404 0,406 0,407 0,409 0,410 0,412 0,413 0,414 0,415 0,417 0,418 0,419 0,420 0,421 0,422 0,423 0,424 0,425 0,426 0,427 0,428

0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144

0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250

0,339 0,342 0,345 0,348 0,351 0,354 0,357 0,359 0,362 0,364 0,367 0,369 0,371 0,373 0,375 0,377 0,379 0,381 0,383 0,384 0,386 0,387 0,389 0,390 0,392 0,393 0,395 0,396 0,398 0,399 0,400 0,401

a é o vão com o maior número de engastes. Caso o número de engastes seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão

O conceito para identificação das lajes é o mesmo utilizado para a tabela de flechas, visto no capítulo anterior, e o cálculo da reação em cada viga é feito multiplicando o coeficiente “r” da tabela pela carga P, distribuída na laje, e pelo lado ― a‖. É importante frisar que sempre será o lado a, mesmo se estivermos verificando a carga das vigas no lado b, pois a tabela foi confeccionada tendo como base o comprimento do vão livre de a.

Coeficientes r, r’ e r’’

44

Na tabela há três coeficientes distintos seguidos do índice a ou b, os índices correspondem ao lado que se está querendo verificar a reação, já os apóstrofos definem se há engastamento, dois apóstrofos, ou se não há engastamento, um apóstrofo. Quando os dois lados são iguais (engastado- engastado ou apoiado – apoiado), o coeficiente não leva apóstrofo, ou simplesmente linha, pois na engenharia não se utiliza o termo apóstrofo, e sim, ―r linha‖ e ―r duas linhas‖.

r’’b

rb

ra

r’a

r’’a

r’b

Prescrições da NBR 6118/2014 Lajes maciças Nas lajes maciças devem ser respeitados os seguintes limites mínimos para a espessura: a) 7 cm para cobertura não em balanço; b) 8 cm para lajes de piso não em balanço; c) 10 cm para lajes em balanço; d) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN; e) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN; f) 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, com o mínimo de l/42 para lajes de piso biapoiadas e l/50 para lajes de piso contínuas; g) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo, fora do capitel. No dimensionamento das lajes em balanço, os esforços solicitantes de cálculo a serem considerados devem ser multiplicados por um coeficiente adicional γ n, de acordo com o indicado na Tabela 13.2.

45

Determinação de esforços em lajes Para determinar os esforços nas lajes (momentos fletores em particular) faremos o mesmo processo utilizado para deformação, dividiremos as lajes em dois grupos, armadas em uma e em duas direções. Nas lajes unidirecionais a determinação dos momentos é similar ao cálculo de vigas. Para análise dos esforços nas lajes utilizaremos o método linear e elástico, há a possibilidade de cálculo rígido plástico para lajes retangulares, nestes processos o dimensionamento é normalmente mais econômico, pois permite uma rotação maior dos esgastamentos diminuindo a armadura para momentos negativos. Nas lajes convencionais de pequenos vãos (até 6m) os momentos negativos sempre são muito mais significativos que os positivos. Normalmente os momentos positivos acabam requerendo armadura mínima (como veremos mais adiante). Este fato justifica a consideração de plastificação dos engastamentos, pois neste caso os momentos positivos aumentam e os negativos diminuem, trazendo a economia requerida para os projetos. Porém, com a alteração recente da NBR 6118/2014, há uma maior preocupação com a questão da ductilidade da seção, diminuindo em muito os valores de profundidade da linha neutra na seção, principalmente para concretos mais resistentes e consequentemente que apresentam fratura mais frágeis. Neste caso a consideração de economia de aço citada acima pode não se caracterizar de fato na prática, portanto utilizaremos o método elástico-linear neste curso.

46

Segue abaixo as três situações possíveis e o formulário em regime elástico para as lajes unidirecionais maciças.

No primeiro caso como não há momentos negativos o momento máximo é dado pela expressão: M a



wL2 8

No segundo caso a laje é engastada e apoiada, e os momentos são dados por: Ma 

wL2 14,22

M x 

wL2 8

O terceiro caso a laje e duplamente engastada, com isso os momentos são: 2

Ma 

wL 24

M x 

wL2 12

As reações de apoio para o 2ª caso são dadas pelas expressões: R L



3 8

wL

R E 

5 8

wL

Para o Caso 1 e Caso 3, como não poderia ser diferente as reações permanecem iguais wl/2 .

Nota: no caso de cálculo de lajes a carga w é a carga P calculada em ELS ou ELU. Nas lajes armadas em duas direções (bidirecionais) utilizaremos a tabela de Bares para lajes em regime elástico.

47

C a a é s o o v o ã n o ú c m o e m r o o d m e e a i n o r a n s ú t e m s e r s o e d a e o e m n e g s a m s t o e s n . a s d u a s d i r e õ e s , a é o m e n o r v ã o

O v a l o r d o m o m e n t o f l e t o r n e g a t i v o n a d i r e ç ã o d e a o u b , s e t i v e ,r s e r á d a d o p o r :

O v a l o r d o m o m e n t o f l e t o r p o s i t i v o é d a d o p o r :

2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , 0 9 , 9 , 8 , 8 ,7 ,7 , 6 , 6 , 5 , 5 ,4 ,4 , 3 , 3 ,2 ,2 ,1 ,1 , 0 , 0 , 9 , 9 , 8 , 8 ,7 ,7 , 6 , 6 , 5 , 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0

b / a

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 0 0 0 0 0 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 7 8 0 1 3 ,1 , 3 , 5 ,7 , 9 ,2 ,4 , 8 ,1 , 6 , 0 , 6 ,1 , 8 , 5 , 5 ,4 ,7 , 0 , 8 , 6

-

-

-

-

-

-

-

-

-

a

3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 0 9 8 8 7 7 6 6 5 5 5 4 4 4 3 3 3 3 3 , 6 , 0 ,4 , 6 , 8 ,4 , 9 ,4 , 8 , 3 ,7 ,4 , 0 , 6 ,2 , 0 ,7 ,7 , 6 , 6 , 6

-

-

-

-

-

-

-

-

-

b

T L a d i p e j e o

m m

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 6 7 9 1 1 m 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 9 9 0 0 1 2 2 4 5 6 8 0 2 6 0 5 2 1 4 1 9 , 8 , 0 ,1 , 3 ,4 , 6 , 8 ,1 ,4 , 8 ,1 , 6 , 0 , 6 ,2 , 0 , 8 , 0 ,1 ,7 ,2 , 3 , 9 ,1 ,2 ,2 ,1 ,7 ,1 ,7 , 0 a 6 6 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 m 7 5 3 1 9 7 5 3 1 9 7 5 4 2 1 0 8 7 6 5 4 3 3 3 3 3 4 5 7 0 4 , 6 , 3 , 0 ,2 ,4 , 6 , 8 , 6 ,4 ,4 , 3 , 9 ,4 , 9 ,4 , 0 , 6 ,4 ,2 , 3 ,4 , 9 , 5 ,2 ,1 ,4 ,1 , 3 ,2 , 0 ,1 b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 n 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 8 0 3 7 2 ,2 , 3 , 3 ,4 ,4 , 5 , 6 ,7 , 8 , 9 , 0 ,2 , 3 , 5 ,7 , 0 ,2 , 6 , 9 ,4 , 9 , 5 , 3 ,2 ,4 , 8 , 6 , 9 , 8 , 6 , 8 a

M 

m p a

2

m

1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 7 7 8 8 8 8 9 9 0 0 1 1 2 3 4 6 7 9 1 4 7 , 5 , 8 , 0 , 3 , 5 , 9 ,2 , 6 , 0 , 6 ,1 , 9 , 6 , 6 , 6 , 0 ,4 ,4 , 3 , 3 ,2

-

-

-

-

-

-

-

-

-

6 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 2 1 0 8 6 4 2 0 8 6 4 3 1 0 0 9 8 7 7 7 7 , 5 ,4 ,2 ,2 ,1 , 3 ,4 , 3 ,2 , 3 ,4 ,1 , 8 , 9 , 0 ,1 ,2 , 8 ,4 , 3 ,2

-

-

-

-

-

-

-

-

-

1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 0 0 0 1 1 2 2 3 4 ,4 , 5 , 6 ,7 ,7 , 9 , 0 ,1 ,2 ,4 , 6 , 9 ,1 ,4 ,7 ,1 , 5 ,1 ,7 , 5 , 3

-

-

-

-

-

-

-

-

- a

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 , 3 , 3 , 3 , 3 ,4 ,4 , 5 , 6 ,7 , 8 , 0 ,1 ,4 , 6 , 0 , 3

-

-

-

-

-

-

-

-

- b

a

T a b e l a M o m e n t o s F l e t o r e s , R e g i m e E L Á S T I C O

m

b

n n

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 5 6 7 8 1 1 m 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 7 8 9 9 1 2 4 6 9 2 7 3 0 3 8 3 , 0 , 0 , 0 ,1 ,2 , 3 ,4 , 6 , 8 ,1 , 3 , 6 , 8 , 3 ,7 ,4 , 0 , 0 , 9 ,2 ,4 ,2 , 5 ,4 , 9 ,2 , 5 ,2 , 0 , 5 , 6 a 1 1 1 1 1 1 1 9 8 8 7 7 7 6 6 6 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 m 3 2 2 1 1 0 0 9 8 3 9 5 1 7 4 1 8 4 2 9 7 5 4 3 2 1 2 2 4 7 1 6 0 5 0 6 1 ,7 3 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 6 , 0 ,4 , 3 ,2 , 0 , 8 4 0 5 9 5 0 1 2 4 5 1 7 3 8 8 7 2 0 0 7 0 9 8 9 b

X 

n p a

2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 5 6 7 8 0 2 5 8 3 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,1 ,1 ,2 , 3 , 3 , 3 , 5 , 6 , 8 , 0 , 3 , 5 , 9 , 3 , 8 , 5 , 3 , 3 , 5 ,1 ,2 , 0 , 6 ,7 a 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 5 5 6 8 9 1 2 6 2 m 4 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 7 7 8 9 0 1 3 4 7 9 3 7 2 9 9 2 9 3 1 2 , 3 ,4 , 5 ,7 , 9 ,1 , 3 , 6 , 9 , 3 ,7 , 3 , 9 ,7 ,4 , 5 , 6 ,2 , 8 , 3 ,7 ,1 ,4 ,4 ,2 , 0 , 0 , 0 , 5 , 3 ,2 a 1 1 1 1 9 9 8 8 8 7 7 7 6 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 5 5 5 6 7 1 1 0 0 4 8 5 1 7 4 1 8 4 1 9 6 4 2 0 9 8 8 7 8 9 1 4 8 4 2 m 3 0 6 3 9 , ,2 ,7 ,1 ,4 , , , , , 6 8 ,1 ,1 , 0 , 8 , 6 ,1 , 5 ,4 , 3 , 9 , 5 , 6 , 0 , 9 ,4 , 5 , 3 , 3 ,4 , 3 ,7 b 6 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4 n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 5 6 7 8 9 1 3 6 9 4 0 9 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,1 ,1 ,2 , 3 ,4 , 5 ,7 , 8 , 0 ,2 , 6 , 9 ,4 , 8 , 5 ,2 ,1 ,1 , 5 ,2 ,4 ,2 , 8 ,4 , 5 , 3 a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 8 8 8 8 8 8 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 9 7 1 2 4 7 0 5 n , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 9 , 8 ,7 , 6 , 5 , 5 ,4 ,4 ,4 ,4 ,4 , 6 ,7 , 0 , 3 ,4 ,7 ,2 ,7 , 0 , 5 , 6 ,2 ,7 ,2 b

m

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 7 7 8 9 0 1 2 3 4 8 1 5 9 ,7 , 9 ,1 , 3 , 5 , 8 ,1 , 6 ,1 ,7 , 3 ,2 ,1 ,4 ,7 , 8 , 8 ,1 , 3 ,4 , 5

-

-

-

-

-

-

-

-

-

a

1 1 9 8 8 8 7 7 7 6 6 6 5 5 5 5 5 5 5 4 0 0 9 3 8 5 2 8 3 0 7 4 0 8 6 4 3 1 0 0 9 4 1 8 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,2 , 6 9 6 2 3 4 1 7 5 3 0 7 6 4 7 0 7 4 0 5

-

-

-

-

-

-

-

-

-

b

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 5 5 6 7 8 9 , 0 ,1 ,1 ,2 , 3 ,4 , 5 ,7 , 8 , 0 ,2 , 5 ,7 ,1 , 5 ,1 , 6 ,4 ,1 , 3 ,4

-

-

-

-

-

-

-

-

- a

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 9 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 6 , 6 , 8 , 9 ,2 ,4 , 9 ,4

-

-

-

-

-

-

-

-

- b

m n n

48

Nesta tabela os coeficientes ma e mb são utilizados para calcular os momentos positivos nas direções a e b respectivamente. O momento de cálculo deverá ser a multiplicação do quadrado do vão a (sempre a, independente de o momento ser em a ou b) pela carga P dividida pelo coeficiente da tabela. Os momentos negativos são calculados pelos coeficientes na e nb. Haverá casos em que as lajes adjacentes possuem momentos negativos diferentes em função das dimensões ou mesmo das condições de contorno. Nestes casos poderá ser feita uma redistribuição de momentos. Nas lajes calculadas em regime elástico normalmente pode ser fazer esta redistribuição igualando os dois pela média ou com 80% do maior. Com isso haverá acréscimo de momento positivo no maior vão, em torno de 30% da diferença entre os momentos negativos. Apesar de ser uma possibilidade econômica, neste curso não abordaremos este assunto, será considerado para efeito de cálculo das armaduras o maior momento, exemplo:

No caso acima há um conflito de momentos sobre a viga V2, sendo assim para efeito de cálculo da armadura será utilizado o momento da laje 1 que é de 10kN.m, maior que o momento da laje 2. ***

49

Capítulo 4 – Flexão Normal Simples em Vigas de C.A. A flexão é dita normal quando o plano de ação do momento fletor (M) contém um eixo principal da seção transversal e é simples quando desacompanhada da força normal (N). Para o modelo de cálculo proposto neste curso cinco premissas devem ser consideradas: 1) A verificação da resistência para uma dada seção deve ser feita em E.L.U – Estado Limite Último; 2) As seções transversais permanecem planas após a flexão; 3) A deformação das barras passivas aderentes em tração ou compressão deve ser a mesma do concreto em seu entorno; 4) A resistência à tração do concreto deve ser desprezada; 5) A deformação será considerada linear até a ruptura do material.

Seja então uma barra prismática de concreto simples (sem aço), de comprimento L e carga w, cuja seção retangular é dada por bw x h, teremos: w

L

Após a deformação aparecerá na seção uma região tracionada e uma região comprimida

Compressão

Tração

50

Enquanto a viga não atingir o momento de fissuração a distribuição de tensões na seção é proporcional às deformações c  c e s  s. Dizemos então, que a viga está em regime elástico linear, a linha neutra corta o centro da seção e a peça está no estádio I;

Compressão MR

Md

x

LN

Tração

Quando o momento fletor atuante atinge o valor do momento de fissuração a seção passa a trabalhar no estádio 2, e as tensões não são mais proporcionais as deformações, a linha neutra não passa mais pelo centro da seção. O valor de x ( profundidade da linha neutra passa a ser menor que h/2.

MR

Md

x < h/2 LN

Como o concreto não oferece resistência à tração a tendência da peça é atingir o colapso. Pois a medida que a linha neutra vai subindo a fissuração vai aumentando e com o aumento da fissuração a parte comprimida fica cada vez menor. Quando a seção comprimida atingir o limite de resistência a viga se romperá por flexão. Para resolver este problema coloca-se na região de tração máxima da seção uma barra de aço.

MR

c

aço

Md

x < h/2 LN

s

51

Se continuarmos aumentando o momento na seção, haverá um istante em que o concreto na região mais comprimida atingirá o limite de deformação c = 0,35%, daí para frente considera-se que a a tensão não mais aumentará no concreto e o diagrama torna-se uma parábula-retângulo a seção está agora no estádio III, ou seja em um estado limite último. c máximo

x < h/2 MR

Md

aço

LN

s

Porque ―em um ELU‖, e não no ELU, o termo se justifica porque uma seção de concreto possui vários estados limites últimos, ou, vários domínios de deformação, como definido item 17.2.2 da NBR 6118:

A figura da norma mostra as cinco possibilidades de ruptura Ruptura convencional por deformação plástica excessiva Reta ―a‖ : tração uniforme; Domínio 1: tração não uniforme, sem compressão; Domínio 2: flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto εc < εcu e com o máximo alongamento permitido). 52

Ruptura convencional por encurtamento-limite do concreto: Domínio 3: flexão simples (seção subarmada) ou composta com ruptura à compressão do concreto e com escoamento do aço (ε s ≥ εsyd); Domínio 4: flexão simples (seção superarmada) ou composta com ruptura à compressão do concreto e aço tracionado sem escoamento (ε s ≥ εyd); Domínio 4a: flexão composta com armaduras comprimidas; Domínio 5: compressão não uniforme, sem tração; Reta ― b‖: compressão uniforme. Observe que para cada reta que divide os domínios há um limite alcançado para um dos materiais, ora do aço ora do concreto. E, também, um ponto entre os domínios 3 e 4 que o aço atinge seu limite de escoamento ( s = syd) no mesmo instante que o concreto atinge seu limite de ruptura (c = cu). Esta é considerada uma situação ideal para o dimensionamento de peças sobre flexão simples, pois aproveita o máximo de cada material e ainda mantém a seção dúctil, fato importantíssimo para garantir a segurança na ruptura. Quando as peças são dimensionadas neste ponto (entre os domínios 3 e 4) e dito que a peça é normalmente armada e serão peças normalmente armadas que estudaremos neste curso.

Ductilidade Antes de prosseguir na dedução das equações que possibilitam o equilíbrio da seção, abriremos um parêntese para entendermos o conceito de ductilidade. Segundo a Wikipédia ―a ductilidade é a propriedade que representa o grau de deformação que um material suporta até o momento de sua fratura. Materiais que suportam pouca ou nenhuma deformação no processo de ensaio de tração são considerados materiais frágeis.‖ Pois é isso mesmo um material frágil se rompe de forma abrupta, ―sem aviso‖, já um material dúctil se deforma muito antes de romper, ou seja, ―nos avisa antes de quebrar‖. Para atender a esta característica de ―informar que vai romper‖ é que as estruturas de concreto devem ser dimensionadas com alta ductilidade. Voltando a seção fletida, imaginemos que após a colocação do aço o momento fletor

continue

aumentando. Para que ocorra o equilíbrio da seção a força que traciona o aço (R st) multiplicada pela seção de aço e o braço de alavanca Z deve ser igual a força que comprime o concreto multiplicada pela áreas de concreto acima da linha neutra e o braço de alavanca Z, ou seja: 53

Rcc.bw.x.Z = R st .A s=Md

c máximo R cc

x < h/2 MR

Md

LN

Z R st

aço

Onde, bw é a largura da seção; Z a altura do braço de alavanca; Md o momento de cálculo solicitante; A s

a áreas de aço;

x é a profundidade da linha neutra; e,

R cc a força no concreto e R st a força no Aço. Matematicamente haverá sempre um par R st e R cc que equilibrarão a seção. Isso nos leva a falsa interpretação que podemos colocar aço nas vigas indefinidamente. No entanto, à medida que aumentamos a quantidade de aço tracionado na seção a linha neutra vai descendo e a ruptura vai ficado cada vez mais frágil, pois o concreto irá romper antes do escoamento do aço (ruptura sem aviso), daí a necessidade de estabelecer um limite para a profundidade da linha neutra. Há duas formas de limitar esta profundidade, uma é aumentando a seção de concreto, e a outra é colocando na parte comprimida da viga uma armadura de compressão

(*)

chamada de A’ s. Com o aumento da densidade na parte

comprimida da seção a linha neutra tende a se deslocar para cima estabelecendo a ductilidade desejada. x < h/2 MR

Md

aço

LN

R cc

R sc

Z R st

(*) pelas mesmas justificativas já apresentadas anteriormente, a área de armadura comprimida A’ s somada à área de armadura tracionada As (ambas efetivamente colocadas na peça) não podem superar a 4% da seção total da viga. Esta relação é denominada taxa de armadura da seção e é representada pela letra grega  . 54

 

A se  A' se Ac

 4%

Cálculo da armadura tracionada A s O cálculo da armadura é relativamente simples, pois bastaria utilizar as equações de equilíbrio de momento na seção, no entanto a grande incógnita é profundidade da linha neutra. Observe que para calcular está profundidade seria necessário integrar as tensões no diagrama parábola retângulo o que tornaria a o cálculo muito laborioso. Com isso a NBR simplifica o diagrama tornando-o retangular com a profundidade da linha neura igual a  x, sendo  = 0,8 para concretos até 50MPa, e para concretos de 50 até 90MPa,  = 0,8 – ( fck – 50)/400). A profundidade  x será simplesmente chamada daqui para

frente de y. Ainda, para que tal hipótese possa ser utilizada a tensão máxima aplicada no concreto não pode ultrapassar αc fdc, com αc = 0,85 para concretos até 50MPa e para concretos de 50 até 90MPa, αc = 0,85 . [1,0 – ( fck – 50) / 200]. Esta redução na tensão resistente do concreto se dá devido a combinação de três coeficientes de ponderação (FUSCO, 1994): 1º o fator 0,75 que leva em consideração a menor resistência que o concreto apresenta submetido a cargas de longa duração ( efeito Rüsche), já que o ensaio nos corpos de prova é realizado aplicando-se as cargas rapidamente até a ruptura; 2º o fator 0,95 que leva em consideração o formato do corpo de prova que não impede totalmente um estado transversal de coação de deformação, surgindo assim um estado triaxial de tensões, situação que aumenta a resistência a compressão do corpo de prova, fato que não ocorre na estrutura; 3º um fator de 1,2 que leva em consideração o aumento médio de resistência do concreto ao longo dos anos. O produto destes três fatores nos dá um valor próximo de 0,85 estipulado pela norma. Dito isso, o diagrama de tensões na seção passa a ter a seguinte configuração (trabalharemos neste curso com fck até 50MPa), primeiramente sem a consideração de armadura comprimida:

55

0,85f cd

y/2

Rcc =f c x bw x y

MR

d

y=0,8 x

d Z

d'

Rst= As x f yd

LN

d'

bw

Onde: bw é a largura da seção; Z a altura do braço de alavanca; M R o momento resistente de cálculo; A s

a áreas de aço;

x é a profundidade da linha neutra; e,

R cc a força no concreto e R st a força no Aço. d’ é a

distância da face mais tracionada da seção até o centro de gravidade da armadura

tracionada. d é

a altura útil da seção e vale h-d’ , e é uma das grandezas mais importantes no

dimensionamento. Se equilibrarmos a seção em função dos valores de R cc e R st teremos: M R = A s . f yd (d – y/2) e M R = bw . f c . y(d – y/2) , logo:

A s . f yd = bw . y . f c , então: A s



f c .bw .y f yd

Conforme foi dito anteriormente o problema se torna iterativo, pois a armadura As depende da profundidade y e a profundidade y depende da seção de aço As . Porém, graça aos matemáticos, podemos rearranjar a equação de equilíbrio da seção, dividindo ambos os termos por uma valor que torna o momento resistente M R adimensional ( f c.bw.d 2): M R f c .b w .d 2

=

b w . f c f c .b w .d 2

y(d - y/2)

56

Chamamos o 1º termo de K, corresponde a parcela adimensional do momento solicitante, e o 2º termo de Kc que é a parcela resistente do concreto, ou seja a parcela do momento fletor suportado pelo concreto, assim teremos: k 

M R

ou

f c .b.d 2

k c =

k 

M d f c .b.d 2

 Usado

para o dimensionamento

y  y  1   d  2d 

Fazendo y/d igual  temos que k c =

   2    1    2  2 

-   k c

0

Resolvendo a equação do 2º grau e tirando a raiz que valida valor de  = y/d menor que 1, temos :

α  1  1  2k c

Desta forma resolvemos o problema da profundidade da linha neutra. Como  = y/d e A s . f yd = bw . y . f c ,

basta dividirmos ambos os termos da equação por d e resolver em

função de A s: A s



f c  bw  d f yd

 1 



1  2k'

Observe que o valor de k c foi substituído na expressão final por um k’. Isto se dá pelo limite máximo de profundidade relativa da linha neutra ( x/d) que garante a ductilidade da seção. Este limite é dado pelo k LIM, e calculado com base nas deformações específicas dos materiais no limite dos domínios 3 e 4, como se segue: No limite entre dos domínios 3 e 4 a deformação específica do aço s = yd e a do concreto c = cu. Para concretos até 35MPa a NBR fixa o valor de cu em 0,0035, se considerarmos o aço CA50, o valor de  yd é de 0,00207, então por semelhança de triângulo temos:

εcu x



ε yd d  x



3,5 x



2,07 d  x



x d

 0 ,628

57

A expressão nos mostra que para o aço CA50, bastaria uma profundidade relativa x/d da linha neutra de 0,628 para que a seção seja considerada normalmente armada, ou seja, o aço escoaria no momento que o concreto se rompe por esmagamento. Porém, para garantir ainda mais a ductilidade e a favor da segurança a NBR fixa a partir da nova revisão de 2014, os seguintes limites: a) x/d ≤ 0,45 - para concretos com fck ≤ 50 MPa; b) x/d ≤ 0,35 - para concretos com 50 MPa < fck ≤ 90 MPa. Caso (a) Como y = 0,8x e x/d deve ser no máximo 0,45 basta substituir o valor de y/d por 0,36 na equação de k c , resolver e encontrar o valor de k limite para concretos até 50MPa;

 

k LIM = 0,36  1 

0,36  2

  0 ,295 

Observe que este valor é menor que o valor anterior da NBR 6118/2003, que fixava a profundidade da linha neutra em 0,5 para concretos até 35MPa. Esta profundidade relativa exigia um k LIM de 0,32. Aparentemente a norma ficou mais restritiva, porém, vale lembrar que na faixa entre 35 a 50MPa o limite de x/d era de 0,4 e o K LIM de 0,268. Podemos então dizer que a revisão de 2014 ―tirou com uma mão e deu com a outra‖. Caso (b) Como y = 0,8x e x/d deve ser no máximo 0,35, basta substituir o valor de y/d por 0,28 na equação de k c , resolver e encontrar o valor de k limite para concretos até 90MPa;

 

k LIM = 0,28 1 

0,28  2

  0 ,24 

Nota: A armadura tracionada calculada neste item é chamada de A s1, já que havendo a necessidade de uma armadura comprimida está será chamada de A s2 e a armadura total As a ser considerada é a soma As1+As2. A NBR 6118/2014 permite a redistribuição de momentos, reduzindo o momento negativo de um fator . Quando for efetuada esta redistribuição, reduzindo-se um momento fletor de M para δM, em uma determinada seção transversal, a profundidade da linha neutra nessa seção x/d, para o momento reduzido δM, deve ser limitada por: a) x/d ≤ (δ – 0,44)/1,25, para concretos com fck ≤ 50 MPa; b) x/d ≤ (δ – 0,56)/1,25, para concretos com 50 MPa < fck ≤ 90 MPa. 58

O coeficiente de redistribuição deve, ainda, obedecer aos seguintes limites: a) δ ≥ 0,90, para estruturas de nós móveis; b) δ ≥ 0,75, para qualquer outro caso.

Cálculo da armadura comprimida A s2 Ficou claro que sempre que o concreto não for capaz de suportar a compressão sozinho devemos colocar uma armadura complementar, denominada A’ s. Esta armadura é comprimida e é calculada pela diferença entre o limite de capacidade do concreto k LIM e o K real externo da seção. Voltando a equação de equilíbrio, desta vez considerando a componente Rsc = A’s x ’s temos:

M R = bw . f c . y(d – y/2)+A’ s .  ’ s . (d-d’)

Se considerarmos que a tensão na armadura comprimida chegará ao limite de escoamento (*)

do aço fyd e substituindo os valores já deduzidos anteriormente, basta resolver a

equação em função de A’ s, que neste caso ainda será chamada de A s2: k - k' 

A s2  f yd d - d'  f c  bw  d

2

 A s2 




k  k'  d' 

1



 d 

(*) geralmente para as seções normalmente armadas de vigas de concreto a tensão na armadura comprimida é igual a f yd . Porém, existem casos em que esta tensão pode ser menor que 1 o que levaria a um aumento do valor de A’s. Para os casos mais comuns com concretos até 50MPa e aço CA50, basta que a relação d’/d fique menor ou igual a 0,18. Caso contrário deve-se calcular a tensão na armadura comprimida pela equação abaixo:

 d'    x    1   ' s         d   d lim  0,0035  59

A tensão de compressão é dado pela lei de Hooke,

’s = ’s x E s e o valor da armadura

de compressão A’s será dado pela divisão da área A s2 pela relação  = ’s/ fyd . Finalmente obtemos o resumo das equações de cálculo das armaduras para vigas submetidas a flexão normal simples, e abaixo a tabela de mínimo para vigas ( NBR 6118).

Calculo de k k 

M d 2

f c .bw .d

com f c 

0,85fck 1,4

e d = h –d’

Cálculo de As e A’s Para k < k LIM  A s  Para k > k LIM  A s1 



 1 

 1 



1  2k

1  2k LIM 

A s2






k  k'  d' 

1

  d 

A s = As1+As2 e A’s = As2/

60

Furo em Vigas Um grande problema que encontramos na prática está relacionado com a necessidade de fazer furos em elementos fletidos como vigas.

A solução deste problema passa

simplesmente pela verificação da real posição da linha neutra, ou seja, se o furo estiver abaixo da linha neutra, está na região tracionada e a armadura de flexão não precisa ser alterada, no entanto, se o furo estiver acima da linha neutra, na região comprimida, passamos a ter um problema de redução da ductilidade da seção. Assim, basta calcular um novo k limite, e armar a seção com um A’ s necessário para atender a este novo limite de profundidade da linha neutra. Exemplo: Calcular a armadura da viga abaixo com os furos para passagem de rede de esgoto. Verificar se os furos passam na profundidade e dimensão que foram projetados.

Dados: fck =

25MPa

furo = 12cm

Md(ELU)= 28.000 kN/cm d’ = 3,5cm

61

Cálculo de armadura longitudinal em Viga T As seções T ou L são muito comuns em concreto armado, uma vez que as lajes compõem a altura da viga e são solidárias na resistência a compressão. É necessário salientar que uma viga de concreto armado com seção T ou L, isto é, composta de uma nervura e uma mesa, somente poderá ser considerada no cálculo se a mesa estiver sendo comprimida, ou seja, em casos de momentos negativos, obviamente não se pode considerar a seção como T, e a seção deverá ser calculada normalmente com a largura bw. Por outro lado, caso a profundidade da linha neutra, considerando-se o diagrama retangular simplificado, seja menor ou igual a altura da mesa (laje), ou seja y ≤ hf , a seção poderá ser tratada como retangular de largura bf .

Determinação da Largura colaborante b f

62

0,10a b1   0,5b2 b3

 bw  2b1

b f

Viga interna

ou

0,10 a  0,5b4

b f

 bw  b1  b3

Viga de borda

Segundo a NBR 6118 , no item 14.6.2.2, a largura colaborante b f deve ser dada pela largura bw acrescida de no máximo 10% da distancia ―a‖ entre os pontos de momento fletor nulo, para cada lado da viga que houver laje colaborante. Simplificadamente, a distância ―a‖ pode ser estimada, em função do comprimento L do tramo da viga, como se apresenta abaixo: viga simplesmente apoiada.............................................a = L viga com momento em uma só extremidade................ a = 0,75L viga com momento nas duas extremidades ...................a = 0,6L viga em balanço............................................................. a = 2L

Flexão Normal Simples seção T ou L Para tiramos partido da contribuição da mesa na flexão, temos que ter certeza da posição da linha neutra na seção, para isso deveríamos calcular a armadura e através do momento de inércia da seção fissurada encontrar a altura real da linha neutra no estádio II. Porém, como ainda não temos a armadura,

teremos que refazer as equações de flexão

considerando as mesmas premissas e simplificações das seções retangulares. Só que desta vez utilizando a seção T e fixando a profundidade y = hf , obtemos então, uma nova equação para o k: bf

hf

A’s

y/2

MR

d d'

Rcc =f c x b w x y

d

Z As

Rst= As x f yd

K 

y=0,8 x LN

d'

 b f  hf  hf    1 1    2 fc bw d b w  d  2d            Md a

b

63

A parcela a corresponde ao momento externo aplicado na seção e a parcela b ao momento interno resistido pelas abas comprimidas da laje. Quando o valor de k = 0 é porque que o momento externo Md é igual ao interno resistido apenas pelas laterais comprimidas da mesa, assim podemos deduzir que para valores de K igual ou menores que "zero" a linha neutra estará passando na mesa. Como o cálculo de flexão desconsidera a parte tracionada do concreto abaixo da linha neutra, podemos calcular a seção com o valor de bw igual a bf .

Para os casos em que o valor de k é positivo, linha neutra passando abaixo da mesa, podemos utilizar a equação abaixo para calcular a armadura:

 b f fc.bw .d  As1  1  1  2K'   f yd   bw

As

 hf   1   d 

As2 

 As1  As 2

A' s



fc.bw .d K  K' f yd



 1  d'     d 

As 2 

K  0  seção retangular b f x h K  K L  K '  K

K  K L  K '  K L

***

64

Capítulo 5 – Cisalhamento As peças fletidas, vigas, lajes ou mesmo pilares, podem estar sujeitas a esforços de força cortante, chamados solicitações tangenciais. ―As vigas submetidas a um carregamento vertical qualquer, com ou sem força normal, estão trabalhando em flexão simples ou composta não-pura, sendo variável, nesta situação, o momento fletor, e sendo a força cortante, portanto, diferente de zero, surgindo na seção transversal, além das tensões normais, tensões tangenciais que equilibram o esforço cortante ‖ ( CARVALHO -2008)

É possível se ter em seções fletidas momentos fletores sem esforço cortante, mas o contrário não, sempre que houver cortante haverá necessariamente momento fletor. Este esforço cortante, por se tratar de um estado limite último, deve ser equilibrado na seção por um mecanismo resistente que levará em considerado a resistência do concreto a compressão e a resistência do aço a tração.

Tensão de cisalhamento em uma secção de concreto Dada uma viga bi-apoiada, de comprimento L, submetida a uma carga distribuída w constante:

A força cortante V máxima é

wl 2

e a força cortante V em qualquer ponto é

dM dx

onde dM é o momento fletor em um elemento infinitesimal de comprimento dx.

65

Separando um elemento de altura h, largura b e comprimento dx em qualquer ponto, teremos:

Efetuando o equilíbrio de forças horizontais abaixo da linha neutra, temos:

τ 

T    dx  b  T  dT 

1 b



dT dx

Sabendo que a força T é a integral das tensões na área abaixo da linha neutra,



T  σdA , como σ  Ai

M M y , reescrevemos a equação: T  ydA I I



Ai

Como a integral de y neste intervalo de área é o momento estático da seção em relação a LN, logo temos que: T 

M I

 Ai  y

Substituindo o valor de T na equação de , temos: τ 

1 b



1 dM  Ai  y     Ai  y   τ     dx  I b dx I    d  M

Se supusermos que o momento estático e o momento de inércia sejam constantes ao longo da barra, e sabendo que

V 

dM

τ 

dx

, podemos deduzir que:

V  Ai  y b  I

66

As seções transversais usuais. Principalmente as retangulares e as seções T, possuem a máxima tensão de cisalhamento na fibra que contem o centro de gravidade da seção, local em que a relação entre o momento estático e a largura da seção transversal (b) é máxima. Fazendo Z * igual a I/Q, onde Q é o momento estático da seção, a tensão de cisalhamento na fibra mais solicitada (linha Neutra) é dada pela expressão:

τ 0



V b Z

(*)

Nota: Z é o braço de alavanca entre as forças de compressão e tração na seção.

As seções de concreto normalmente trabalham no estádio II, ou seja, com momentos solicitantes acima do momento de fissuração, porém, a NBR 6118/2014, utiliza esta equação para verificação da tensão solicitante máxima 0d e define a altura Z igual a 0,9 d (90% altura útil da seção). τ 0d  1 ,11

V d bw  d

A NBR ainda simplifica a equação para verificação das solicitações no ELU, definindo a tensão de cisalhamento convencional de cálculo wd, dada pela equação abaixo:

τ wd 

V d bw  d

67

Dimensionamento de vigas retangulares de C.A. submetidas ao cisalhamento Próximo da ruína de uma seção as fissuras provocadas pelas forças cortantes são inclinadas em direção ao ponto de carregamento, estas inclinações podem variar de 30° a 45°.

“Analogia da Treliça Clássica de Ritter -Mörsch, onde é suposto que uma carga aplicada num ponto qualquer de uma viga de concreto armado, chegue até os apoios percorrendo o caminho de uma treliça, formada por banzo superior comprimido constituído pelo concreto, o banzo tracionado pela armadura inferior. ‖

Esquematicamente a treliça pode ser representada da seguinte forma:

Onde o ângulo  é a inclinação da armadura tracionada transversal (estribos) e  é o ângulo de inclinação das bielas comprimidas

68

A distância entre diagonais comprimidas é, portanto igual a: Z (cotg+cotg), onde Z é 0,9d.

Se observarmos uma seção delimitada por duas fissuras, podemos encontrar os mecanismos complementares de treliça (Vc) que resistem ao esforço cortante. Estes mecanismos trabalham juntamente com o V sw ,esforço cortante resistido pela armadura transversal, e ambos conferem a estrutura a resistência última aos esforços de tração diagonal na seção.

Onde: V = esforço cortante que atua na seção transversal; Vr = esforço cortante absorvido pelo efeito de pino da armadura de flexão; 69

Ve = esforço cortante absorvido pelo engrenamento dos agregados do concreto ao longo das fissuras; Va = componente do cortante que se direciona para os apoios. Então: Vc ≅ Vr +Ve+Va A NBR 6118/2014 leva em consideração a resistência destes mecanismos de treliça em seus modelos de cálculo, porém, considera apenas a resistência de engrenamento dos agregados, que é estimada com base na resistência a tração inferior do concreto. A tensão chamada de c0 é dada pela expressão: τ c0



0 ,6 f ctk ,inf 1 ,4

A força cortante resistente de cálculo relativa a ruína por tração diagonal, é a soma das duas parcelas resistentes da seção, a parcela correspondente ao mecanismo complementar de treliça e a parcela da armadura transversal (estribos). A força cortante resistente de cálculo de uma seção é chamada de V Rd3 pela NBR6118, logo: Vsd ≤ VRd3 = Vc +Vsw Ainda deve-se verificar a capacidade resistente a compressão das bielas comprimidas sendo que a capacidade resistente - V Rd2, depende do modelo de cálculo utilizado , Modelo I ou Modelo II, preconizados pela NBR 6118/2014 Vsd ≤ VRd2 → verificação da biela comprimida de concreto.

Modelo de cálculo I - Segundo a NBR 6118/2014 Este modelo leva em consideração que as diagonais comprimidas estão a 45° de inclinação em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural e a parcela Vc é constante ao longo do elemento, independente da variação da força cortante.

70

a) Verificação da compressão diagonal do concreto A tensão na biela de concreto pode variar com a inclinação dos estribos: Estribos a 90°

Neste caso:

V sd  V Rd2

 0,27  αV2  fcd  bw  d

V sd  V Rd2

 0,54  αV2  fcd  bw  d

Estribos a 45°

Neste caso: Sendo: fcd a tensão resistente de bw

cálculo a compressão do concreto ( fck/1,4)

a largura da seção

d é a altura útil da

seção

v2 é um fator de fragilidade que depende do fck , e é dado pela expressão:

αV2

1

fck 250

com fck em MPa 71

Cálculo da armadura A sw Para estribos a 90° (  = 90°) Para o cálculo da armadura de cisalhamento A sw devemos levar em consideração a contribuição dos mecanismos resistentes de treliça Vc. Portanto a parcela da força cortante que deverá ser considerada para o cálculo das armaduras é dado por:

V sw

 VRd3  Vc

Como VRd3 é no mínimo igual a V sd podemos reescrever a equação: V sw como

então: V sw

τ c0



0,6f ctk,in f

 V Sd 

1,4

 VSd  Vc

 Vc 

0,6f ctk,in f  bw  d 1,4

0,6f ctk,inf  bw  d 1,4

Para um espaçamento S entre elementos de armadura transversal temos:

V sw

 A    sw  f ywd   0,9d  cot g  cot g sen   S 

A sw



S  V sw 0,9d  f ywd

Para S igual a 100 cm, ou seja, para possibilitar o cálculo dos estribos na faixa de 1m de viga, e f ywd igual à f yd , As é igual a: A sw



100  V sw 0,9d  fyd 72

Esta armadura calculada deve ser comparada com a armadura mínima de norma: A sw(m ín)  0,2

f ct,m fyk

 bw  S  senα

Nota: como em uma seção de concreto há sempre estribos de 2 pernas, o valor de A sw deve ser dividido por 2 para calcular o espaçamento dos estribos.

A sw/ESTRIBO 

A sw 2

Para estribos a 45° (  = 45°) V sw

A   A     sw  f ywd   0,9d  1  cot g sen   sw  fywd   0,9d  1  1  0 ,707  S   S 

A sw



S  V sw 1,27d  f ywd

Para S igual a 100 cm e f ywd igual a f yd , As é igual a: A sw



100  V sw 1,27d  fyd

Modelo de cálculo II - Segundo a NBR 6118/2014 Este modelo leva em consideração que as diagonais comprimidas podem variar de 30 a 45° de inclinação em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural e a parcela Vc não é mais constante ao longo do elemento, esta parcela sofre uma redução com o aumento de Vsd . 73

a) Verificação da compressão diagonal do concreto V sd  V Rd2- II  0,54  αV2  fcd  bw  d  sen2 cot g  cot g 

Para estribos a 90º Inclinação das Bielas = 30º

V Rd2- II  0,23  αV2  fcd  bw  d Inclinação das Bielas = 45º

V Rd2- II  0,27  αV2  fcd  bw  d Observe que para este modelo a resistência da biela a compressão é menor que a resistência no modelo I. Mesmo para uma inclinação de  = 45º o valor da resistência é metade do valor do modelo I (0,27 para 0,54). Por outro lado as taxas de armaduras são menores, como veremos adiante. Cálculo de Vc Vc 

0,6f ctk,in f  bw  d 1,4

, para Vsd = Vc

Quando o valor de V sd = VRd2,II , o valor de Vc deve ser tomado igual a 0 (zero), ou seja,

"não se deve considerar nos cálculos a contribuição dos mecanismos complementares de treliça em dimensionamento de peças com a tensão solicitante igual a tensão resistente ". Para valores intermediários o valor de Vc deve ser calculado por interpolação linear. O cálculo de Vsw para a depender de uma nova parcela Vc1:  V Rd 2, II   1  Vc  Vc Vc1   V  sd  O valor de V sw, necessário para o cálculo da armadura, é igual a:

Vsw

 VSd  Vc1

a) Cálculo da armadura A sw V sw

A sw      f ywd   0,9d  cot g  cot g sen  S  74

Para S igual a 100 cm e f ywd igual à f yd Biela a 30° e Estribos a 90° (  = 90° e  = 30°) 

A sw

Biela a 30° e Estribos a 45° (  = 45° e  = 30°)  A sw





100  V sw 1,56d  fyd 100  V sw

1,74d  fyd

Redução da Cortante nos Apoios A NBR 6118-2014 possibilita a redução da força cortante máxima próximo aos apoios. A força cortante oriunda da carga distribuída pode der considerada, no trecho entre o apoio e a seção situada à distância d/2 da face do apoio, exemplo:

 C  d  2  

Vsd , Re d  Vsd ,máx   w

Atenção:

Esta redução não se aplica a verificação da biela comprimida, somente pode ser utilizada para o cálculo da armadura (Asw).

Prescrições Complementares da NBR 6118/2014 Diâmetro da armadura transversal A sw t ≥ 5mm t ≤ bw/10

Espaçamento máximo dos estribos em função das tensões de cisalhamento solicitante wd e da tensão resistente da seção Rd : Vsd bw  d Vsd bw  d

 0 ,67  0 ,67

V Rd bw  d V Rd bw  d

 Smáx  0 ,6d  30cm  Smáx  0 ,3d  20cm 75

Verificação de Cisalhamento em Laje As lajes maciças ou nervuradas, não precisam ter armadura de cisalhamento se for atendida a verificação abaixo: V Sd ≤ V Rd1

Sendo: Vsd a força cortante solicitante máxima na laje e V Rd1 a força cortante resistente, dada pela equação: VRd1  bw  d τ Rd  k 1,2  40ρ1   0,15σ cp

Sendo: 2/3

Rd = 0,25 f ctd ( f ctd = 0,21 fck /c) que é a tensão resistente de cálculo do concreto ao

cisalhamento ρ1



As bw  d

 0,02

cp é a tensão produzida por carregamentos de protensão na laje, caso não haja protensão

o valor pode ser tomado igual a ―zero‖. k é um coeficiente que tem os seguintes valores:

a) Para elementos onde 50% da armadura inferior não chegam até o apoio: k = 1; b) Para os demais casos: k = 1,6 – d, não menor que 1, com d em metros; Lembrando que bw é sempre igual a 100 para lajes calculadas na faixa de 1m.

76

Capítulo 6 – Torção em vigas retangulares A torção em vigas de concreto podem ser puras, ou seja, os elementos são acometidos apenas por esforços de torção ( momento de torção), e no caso mais geral, acompanhada de esforços de cisalhamento e flexão. O dimensionamento deve ser realizado em ELU, e baseia-se na hipótese fundamental que o concreto não resiste a esforços de tração. Ficando a armadura de aço responsável para absorver tais esforços. A torção pode ser de equlíbrio ou de compatibilidade, sendo que no 1° caso a armadura de torção se torna obrigatória, podendo ser dispensada no 2º caso, exemplo:

Nos casos acima o equilíbrio da estrutura depende do equilíbrio dos esforços de torção, portanto as seções das vigas devem ser calculadas e dimensionadas para resistir os esforços.

Neste caso a estabilidade da estrutura não depende da resistência à torção, sendo, portanto, desnecessário o cálculo e dimensionamento da seção à torção. Basta que para isso a viga V2 seja dimensionada como bi-apoiada, desta forma não haverá armadura de engastamento no apoio com a viga V1, a seção irá girar (fissurar) neste ponto, e não haverá transmissão de momento fletor.

77

Dimensionamento da seção à torção Experimentos de laboratório mostraram que uma seção cheia retangular submetida a esforços de torção, na proximidade da ruptura (ELU), se comporta igualmente resistente a uma seção vazada com parede de espessura he . Sendo assim pode-se calcular a seção utilizando a teoria de cálculo e seção tubular de parede fina da resistência dos materiais.

No caso da seção de concreto, após a fissuração, o comportamento da peça se assemelha a uma treliça espacial, com diagonais comprimidas e tirantes tracionados.

Treliça Espacial em ELU

Armadura de Torção

78

Exemplo – Contribuição do Prof. Calixto UFMG Verificar para a viga abaixo os esforços de torção produzidos pela marquise e calcular a armadura de torção necessária para o equilíbrio da seção em ELU.

Dados: fck = 25MPa d’ = 3,5cm Momento no engastamento = 6,3kN/m Armadura longitudinal tracionada As = 5,72cm 2 Armadura de cisalhamento = A sw = 1,32cm 2/m , sendo wd = 0,0538 e wd2 = 0,355 Cálculo de Tsd ( momento máximo de torção) 6,3 kN.m/m

Tsd 

6,3  5,5 2

 17,32kN .m

5,5m 17,32 17,32

Cálculo da tensão de cisalhamento produzida pela torção t td

Transforman do kN.m para kN.cm

 td 

Tsd 100 2 Ae  he

79

Cálculo da área equivalente 30

2c1  2  3 ,5  7cm A  50  30  1500cm2 U  250  30   160cm

a i d é m a h n i l

a1

he

A

50

U



1500 160

 9 ,37

he = 7

a2

A seção vazada equivalente se define a partir da seção cheia com espessura da parede equivalente he dada por: he 

Onde:

A U

he  2c1

A é a área da seção cheia; u é o perímetro da seção cheia; c1

é a distância entre o eixo da barra longitudinal do canto e a face lateral do elemento

estrutural. he = 7. a1 = 50 – 7 = 43cm a2 = 30 – 7 = 23 cm Ae

 43  23  989cm2

Ue

 243  23  132cm

Voltando ao cálculo da tensão de cisalhamento produzida pela torção t td  td



 td 2

17 ,32 100 2  861 9

 0 ,112kN / cm2

fck   25    0 ,85  2 ,5   0 ,3415kN / cm2  0 ,25  1  fcd  0 ,251    1 ,4   250   250  

 td

  td 2 ok! 80

Deverá ser verificada também a solicitação máxima na seção, incluindo a tensão de cisalhamento, para isso a relação abaixo deverá ser atendida:  td  td 2



 wd  wRd

1

0 ,112 0 ,3415



0 ,0538 0 ,355

 0 ,48  1

Nota: Como a relação deu menor que 1, isso significa que a tensão de cisalhamento produzida pela força cortante na viga somada à tensão de cisalhamento produzida pela torção estão abaixo da tensão resistente da seção (OK). Caso isso não ocorresse a seção deveria ser redimensionada.

Cálculo da armadura adicional de cisalhamento e longitudinal Determinação do estribo A 90 A 90 s

A 90





Tsd 2Ae  fyd

 p / s  100

17 ,32  100  100 2  989  43 ,48

ou seja, 1m A 90



Tsd 2Ae  fyd

 100

 2 ,01cm2 / m

Esta armadura deverá ser adicionada a armadura transversal já calculada para força cortante Asw, que foi fornecida no problema A sw ( Total )

 Asw  A 90  1 ,32  2 ,01  3 ,33cm 2 / m

Determinação da armadura longitudinal A sL A sL

 Ue 

Tsd 2Ae  fyd

 A sL  132 

17 ,32  100 2  989  43 ,48

 2 ,66cm 2

Esta armadura deverá ser colocada em volta da seção, como se fosse uma armadura de pele (costela), porém, com a função de combater a torção na viga.

***

81

Capítulo 7 – Fissuração A fissuração é um fenômeno inevitável do concreto armado, devido a baixa resistência a tração do concreto. Toda peça tracionada de concreto armado, seja ela tirante ou viga fletida sofrerá o processo de fissuração. No entanto, a abertura de fissuras deve ser controlada para garantir a proteção das armaduras contra corrosão. Para garantir a preservação das armaduras, em estruturas bem projetadas, deve se atender a tabela 13.4 da NBR 6118/2014, que é função da classe de agressividade ambiental. Tipos de Fissuras Fissuras não produzidas por cargas a) Fissura devido ao abatimento do concreto ainda plástico; b) Fissura devido a alterações volumétricas (retração e efeitos térmicos); c) Fissura devido a corrosão das armaduras;

Fissuras produzidas por cargas Tração

Flexão

Cisalhamento

Verificação do estado limite de fissuração se baseia simplesmente no controle da abertura estimada da fissura, w k , e é calculada pelas duas equações empíricas abaixo, uma leva em consideração a resistência do concreto a tração e a outra a contribuição da armadura na

82

resistência à abertura. O valor de cálculo para a abertura w k prevista é o menor entre as duas. w k ( 1 )







 s

12 ,5 1 E s



3 s f ct ,m

w k ( 2 )





12 ,5 1



 4    45  E s   r 

 s

Onde:  é o diâmetro da barra em mm E s é o módulo de elasticidade do aço da barra kN/cm 2 f ct,m é a resistência média a tração do concreto, igual a 0,3fck 2/3 MPa  1

é o coeficiente de conformação superficial da barra tracionada, que para barras de CA

de alta aderência utilizadas no mercado é igual a 2,25 ( NBR 6118 - tabela 8.2 seção 8.3.2)  r é a taxa de armadura em relação a área envolvida A cr

 r 

Ase Acr

Ase é a área de aço efetivamente colocada na seção. Acr é a região de concreto que envolve a armadura tracionada.

(item 17.3.3.2 - NBR 6118/2014)

, s são definidos para cada área de envolvimento da barra tracionada. A área

considerada para efeito de envolvimento da barra é de 7,5  da barra analisada. A tensão de serviço s na armadura deve ser calculada considerando a altura da linha neutra na seção no estádio II, porém, na prática pode-se calcular a tensão de serviço de forma aproximada pela expressão: σs

 1,10 

f yd 1,4



Ascal As e 83

Onde: f yd

é a tensão de escoamento do aço em kN/cm 2 (para o aço CA-50 é igual a

43,48kN/cm2) Ascal é a área de aço em cm 2 calculada para seção (armadura tracionada) Ase é a área de aço em cm 2 efetivamente colocada na seção. A constante 1,10 é um fator de segurança que aproxima a tensão simplificada da tensão real calculada de forma exata no estádio II. Esta tensão efetivamente será muito importante para nosso curso, pois a norma permite o dimensionamento sem a verificação da abertura de fissuras para os casos de estruturas não expostas a ambientes muito agressivos (< CAA IV). Desde que limitemos a tensão de serviço na armadura aos valores constantes da tabela 17.2 da NBR 6118/2014. Quando não for possível limitar a tensão a estes valores, por motivos de excesso de armadura ou mesmo questões econômicas, devemos obrigatoriamente utilizar as equações de w k .

84

***

Capítulo 8 – Aderência e Ancoragem O modelo de cálculo de flexão de peças de concreto armado considera que uma seção de concreto somente poderá trabalhar de forma eficiente se as premissas de cálculo foram atendidas, dentre elas a que exige a perfeita aderência entre as barras tracionadas ou comprimidas e a pasta de cimento (concreto) que as envolve. ―A deformação das barras passivas aderentes em tração ou compressão deve ser a mesma do concreto em seu entorno‖(NBR 6118/2014) ,

Se a aderência entre o concreto e o aço não for suficientemente forte para suportar os esforços de tração, o deslizamento da barra dentro da pasta do concreto ocasionará sempre o colapso da estrutura. O fendilhamento das regiões próximo ao ponto de deslizamento ocasionará o aumento das aberturas de fissuras e consequente perda de engrenamento dos agregados. Daí a necessidade de se calcular o comprimento de ancoragem, chamado de l b , e dar muita atenção ao detalhamento final da peça para que não ocorram erros de montagem. A aderência é a ―alma‖ do concreto armado, sem aderência o ―conceito de concreto armado‖ não existe.

85

Determinação do comprimento de ancoragem lb

Concreto

f bd Fd(externa) Fd(interna)

Lb



Fd (ext)

Fd ( int )

f bd é a

π  υ 2  fyd 4

lb

 υ  f bd  lb  π

υ

fyd

4

fbd

 

tensão média de aderência constante, dada por: f bd



f ctk,inf  η1  η 2  η3 1,4

2



f ctk,inf

 0,7  0,3fck 3

1

1

1

2

2

3

3

1 barras lisas CA25

1,4 barras entalhadas CA 60

2,25 barras nervuradas CA 50

1 para situações de boa aderência

0,7 para situações de má aderência

1 para

 < 32mm

(132 -  )/100 para  > 32mm

Para fck em MPA, barras de alta aderência e sempre menores que 32mm ( caso mais comum), podemos simplificar a equação: 2

f bd



 2,25  η 2 1,4  10

0, 21fck 3

São consideradas situações de boa aderência as seguintes: Barras com inclinação superior a 45° em relação ao eixo longitudinal da peça; Para elementos estruturais com h < 60 com as barras localizadas no máximo 30cm acima da face inferior; Para elementos estruturais com h ≥ 60 com as barras localizadas no máximo 30cm abaixo da face superior;

86

Por simplificação, neste curso, usaremos o valor de  2=1 (região de boa aderência) para todas as barras que combatem os momentos positivos e  2=0,7 (região de má aderência) para todas as barras que combatem os momentos negativos.

Comprimento de Ancoragem necessário O comprimento de ancoragem l b é o comprimento básico de ancoragem, porém, este valor pode ser reduzido em função de alterações construtivas no tetalhamento, como exemplo: a colocação ou não de ganchos nas pontas das barras; a colocação de mais barras que as necessárias pelo cálculo ( A se > Ascalc). Com isso pode-se valer do chamado comprimento de ancoragem necessário l bnec , cuja equação é: L b (nec)

 α1  L b

Ascal Ase

 L b min

sendo:

0,3L b  L b min 10υ 10cm 

1 = 1 para barras sem gancho; 1 = 0,7 para barras com gancho;

Emendas de Barras As emendas podem ser: a) Por trespasse b) Por luvas (rosqueadas ou soldadas) c) Por soldas

Trespasse Este tipo de emenda não é permitido para barras com diâmetros maiores que 32mm e nem para tirantes e pendurais (elementos estruturais lineares de seção inteiramente tracionada).

87

Comprimento de Ancoragem do Trespasse Lot

 α ot  Lb nec  L ot min

sendo:

0,3  α ot  Lb  L ot min 15υ 20cm 

ot é o coeficiente em função da porcentagem de barras emendadas na mesma seção,

conforme tabela abaixo: % barras emendadas na mesma seção

≤ 20%

25 %

33%

5 0%

 50%

Valor de ot

1 2

1 4

16

1 8

2 0

Utilização de armadura transversal nas emendas por trespasse (amarração com estribos) Nos casos em que o  ≥ 16mm ou a quando a proporção de barras emendadas for maior ou igual a 25% do total de barras da seção, deverão ser colocadas barras transversais nas emendas, que atendam aos requisitos abaixo: a) Ser capaz de resistir a uma força igual à das barras emendada; b) Ser constituída por barras fechadas se a distância entre as duas barras mais próximas de duas duas emendas for menor que 10 10 ; c) Concentrar-se nos terços extremos das emendas; d) Nas emendas de barras comprimidas deverá haver uma barra posicionada a 4  da extremidade da emenda; S Ast/2

S Ast/2

Barras Tracionadas Tracionadas

88

S Ast/2

S Ast/2

Barras Comprimidas

Ast = área da seção das barras emendadas l oc oc,mín é o maior valor entre 0,6 l b, 15 e 200 mm.

Emendas por solda Não será tratado neste curso, o item 9.5.4 da NBR6118/2014 trata de forma simplificada este assunto.

Decalagem do diagrama de momento fletor Toda barra deve ser ancorada em região comprimida de uma seção, sendo assim, o início da ancoragem de uma barra deve ser sempre no limite do diagrama de momento fletor. Contudo, deve-se considerar além deste limite uma decalagem do diagrama, que é produzida em função da diferença diferença entre o ponto que se calculou o momento e o ponto em que este esforço está atuando na armadura tracionada. Se voltarmos ao capítulo 5, veremos que em uma seção delimitada por duas fissuras, fi ssuras, os mecanismos complementares de treliça levam os esforços do ponto calculado para uma distância ― al ‖ em direção ao apoio. Esta distância é chamada de decalagem e, somente após este ponto é que podemos iniciar a ancoragem. A NBR 6118/2014 traz em seu item 18.3.2.3.1 uma figura que exemplifica de ―forma simplificada‖ esta decalagem:

89

A linha cheia R sd , representa o diagrama de força de tração solicitante, que é proporcional ao diagrama de momento fletor, e a distancia al (decalagem) (decalagem) pode ser simplificadamente simplificadamente expressa por: al ≥ 0,5 d, no caso geral; al ≥ 0,2 d, para estribos inclinados a 45°.

Neste curso, como como trabalharemos trabalharemos sempre com estribos estribos a 90°, o valor valor de al será será igual a 5 d.

Comprimento de ancoragem nos apoios e das armaduras negativas Toda barra que chegar até o apoio deverá ser ancorada dentro do pilar com o comprimento mínimo dado por:

l b  (r  5,5υ) 60mm  nec

No caso de barras positivas, é obrigatória a chegada até os apoios de no mínimo 1/3 das barras, portanto, estas devem ser ancoradas dentro do pilar. As demais barras, que por questões práticas construtivas, também cegarem aos apoios não precisam ser ancoradas dentro do pilar. As armaduras negativas não necessariamente precisam ir até os apoios, basta que seja ―coberto‖ o diagrama com as devidas decalagens e o l b necessário para que o dimensionamento se torne seguro. Existem diversas maneiras de calcular o comprimento das armaduras, e todas eles dependem da forma geométrica do diagrama de momento. Um método clássico largamente utilizado é dividir o diagrama em seções na mesma 90

quantidade de barras calculadas e distribuir as barras em cada seção. A forma parabólica do diagrama pode ser aproximada a um triângulo conforme exemplo abaixo para um conjunto de 4 barras negativas.

Observe que cada barra possui um tamanho diferente. Este um método seguro e pode ser utilizado em projetos no intuito de economizar armaduras. Neste curso não utilizaremos este método, para efeito de simplificar as análises calcularemos todas as barras negativas com o mesmo tamanho. Dimensionado-as com o comprimento total entre pontos de momento nulo mais a decalagem (al) somada com o l bnec para

cada lado, veja no exemplo abaixo o mesmo caso anterior para 4 barras

negativas:

Neste caso as 4 barras terão o mesmo tamanho igual a:

L + 2 x al + 2 x l bnec ***

91

Capítulo 9 – Disposições Construtivas Gerais de Armaduras Passivas Lajes As lajes podem ser armadas por meio de telas soldadas ou barras isoladas, sendo, portanto em ambos os casos necessário o atendimento à armadura calculada em ELU por metro linear da seção. Prescrições de Norma NBR6118

20cm Espaçamento máximo entre barras: e   2  h 0 ,9cm 2 Armadura secundária ou de distribuição: Asdist  1  5  As( princip al ) Ancoragens em apoios de extremidade e intermediários

Apoio Internos Apoio externos

Apoio esternos ( tela soldada)

Apoio Internos ( tela soldada)

92

Em caso de aberturas em lajes, há uma concentração de tensões nas quinas das aberturas, sendo, portanto, necessário uma armadura de reforço nestes locais.

Amadura reforço de aberturas mínimo de 3 barras com  = As (principal)

2h + lb

Armaduras Negativas Os diagramas de momento negativos devem ser completamente cobertos pelas armaduras longitudinais tracionadas, estas armaduras deverão ser perfeitamente ancoradas com l b(nec) na regiões comprimidas da seção da laje. Como esta distância não é muito fácil de ser determinada a norma estabelece uma fórmula prática de dimensionar os comprimentos. O comprimento L o para cada lado da armadura negativa deverá ser de no mínimo ¼ do vão que produziu o momento fletor.

1

4

 L(laje)

Nota: Mesmo se os vãos das duas lajes forem diferentes, recomenda-se que seja feito a mesma dimensão paras os dois lados, afim de se evitar erros de montagem. 93

Exemplo típico de detalhamento de Laje 450

500 N 9 C / 2 0

N9 -

0 1 4 5 C/20 1 / c 3 . 6



5 N 0 3

N 9 C / 2 0

125 27N1- c/15

33N2- c/12

9

27N3-6.3 - c/15 - 530 5 1 / c 5 N 3 3

27N4-6.3 - c/15 - 470 N 9 C / 2 0

N9-5.0 – 60 (170 un )

s o v i t a g e N

125

N1-8.0 – 270 (27 un) N9 - C/20

0 7 3 5 1 / c 3 . 6

7

5 9 3 0 2 / c

0 0 4

–

0 . 5

3 3 9 N 7 1 c 0 / 0 1 5



6 N 8

150 23N3-c/15

N9 - C/20

0 5 3



8 N 3 3

N7-8.0 – 220 (33 un )

N 9 C / 2 0

N2-8.0 – 288 (33 un )

500

Detalhe da armadura neg ativa

4.2 - corridos – suporte dos

Armadura negativa da laje

negativos

Laje Armadura Positiva da laje Estribo da viga

Armadura longitudinal da viga

Viga Quadro Resumo de Aço das Lajes

94

Detalhamento de Vigas Modelo de viga com armadura tracionada em baixo

bw

Asw

A’s

’ d

h = d

h

s A a r u d a m r a a d G C = ' d

e l e p e d a r u d a m r A

e l e p e d a r u d a m r A

As av

c ah

Arranjo das armaduras O arranjo das armaduras deve atender não só à sua função estrutural como também às condições adequadas de execução, particularmente com relação ao lançamento e ao adensamento do concreto. Os espaçamentos devem ser projetados para a introdução do vibrador e de modo a impedir a segregação dos agregados e a ocorrência de vazios no interior do elemento estrutural.

Barras curvadas O diâmetro interno de curvatura de uma barra da armadura longitudinal dobrada, para resistir à força cortante ou em nó de pórtico, não deve ser menor que 10  para aço CA25, 15 para CA50 e 18  para CA60.

Distribuição da armadura O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores: a) Na direção horizontal (ah ):  t

20 mm;

⎯

diâmetro da barra do feixe ou da luva

⎯

1,2 vezes a dimensão máxima característica do agregado graúdo.

⎯

c

 L av

b) na direção vertical (av ):

ah

20 mm;

⎯

95

diâmetro da barra, do feixe ou da luva;

⎯

0,50 vezes a dimensão máxima característica do agregado graúdo.

⎯

Armadura de pele (costela) A mínima armadura lateral deve ser 0,10% Ac,alma em cada face da alma da viga e composta por barras de alta aderência (η1 ≥ 2,25) com espaçamento não maior que 20 cm ou d/3. Em vigas com altura igual ou inferior a 60 cm, pode ser dispensada a utilização da armadura de pele.

Armadura de suspensão Nas proximidades de cargas concentradas transmitidas à viga por outras vigas ou elementos discretos que nela se apoiem ao longo ou em parte de sua altura, ou fiquem nela pendurados, deve ser colocada armadura de suspensão. Esta armadura deverá ter uma área de aço suficiente para transferir para parte superior da viga de apoio a totalidade da força cortante produzida pela viga apoiada. Rtt  A sp  fyd

Sendo R tt igual a cortante máxima de cálculo no apoio em ELU. A armadura de suspensão poderá ser composta pela continuidade da armadura longitudinal da viga suportada

(Figura livro Técnica de armar as estruturas de concreto do Prof. Fusco)

A armadura de suspensão poderá ser reduzida quando a viga suporte e a viga suportada coincidirem em sua face superior, em um valor de h 1/h2 vezes R apoio, conforme desenho abaixo. E em caso de excesso de armadura na região, o aço da armadura de suspensão poderá ser distribuído nas laterais da viga suporte conforme limites abaixo:

96

(Figura livro Técnica de armar as estruturas de concreto do Prof. Fusco)

***

97

Capítulo 10 – Lajes Nervuradas. É chamada de laje nervurada a laje cuja zona de tração é constituída por nervuras entre as quais podem ser colocados materiais não estruturais, chamados de materiais inertes, de modo a tornar plana a superfície inferior da peça. Algumas fôrmas possibilitam a construção de tais lajes mantendo os espaços, entre as nervuras, vazios, com isso pode-se reduzir ainda mais o peso da estrutura.

O objetivo principal na construção de lajes nervuradas é a economia de concreto e a grande redução de peso próprio da laje com obtenção de grandes vãos, entre 7 e 15m.

Laje nervurada Unidirecional – Pré-fabricada Um tipo de laje nervurada muito comum é a chamada laje pré-fabricada ou treliçada. Estas estruturas são lajes unidirecionais (armadas em uma direção) realizadas com 98

vigotas pré-moldadas. O enchimento pode ser de ESP (Poliestireno Expandido ou simplesmente Isopor), outros materiais utilizados são o bloco cerâmico ou celular ou até mesmo fôrmas reutilizáveis. A mesa, ou capa, é de concreto maciço e possui somente uma armadura de distribuição (tela) para combater a fissuração hidráulica do concreto. Estes tipos de lajes não se comportam bem em estruturas contínuas, isso devido a pequena espessura das mesas dificultando a colocação de armadura negativa. Porém, não quer dizer que em casos especiais , quando há uma necessidade de evitar possíveis fissurações sobre os apoios, estas armaduras não possam ser colocadas, contudo não deve ser levadas em consideração nos cálculos para o dimensionamento dos vãos.

As lajes

pré-fabricadas são largamente utilizadas no mercado, principalmente de moradias de baixa renda, devido a sua facilidade construtiva e do preço atrativo. Dimensionamento de uma laje pré-fabricada Da mesma forma que nas lajes maciças uma laje pré-fabricada pode ser pré-dimensionada pela equação da fecha elástica, já que são elementos biapoiados sujeitos a carregamento distribuído. O dimensionamento das vigotas deve ser feito no ELU calculando as nervuras como vigas T.

Devido à complexidade da forma de uma nervura, o melhor caminho para prédimensionar a estrutura é definindo as dimensões de todos os elementos e verificando se as dimensões pré-definidas passam ou não na flecha admissível, se passarem com muita folga, as dimensões podem ser reduzidas, se não, devem ser aumentadas. É um processo iterativo, porém, não difícil de ser realizados em planilhas eletrônicas.

Armaduras de cisalhamento Ver capítulo 5 – cisalhamento em lajes 99

Calculo da carga P em ELS PELS= (g+2q) 1º definir a geometria dos elementos da nervura:

a) Largura entre eixos de vigotas (largura intereixo): esta largura é definida em função do material de enchimento que se quer colocar, no caso do EPS, permitese uma maior flexibilidade de dimensionamentos. Se o enchimento for de bloco cerâmico ou bloco celular as dimensões ficam fixadas pelos modelos disponíveis no mercado. No exemplo abaixo o EPS é quadrado com dimensões 12x25x25cm; b) bw das vigotas de 9cm (base 13 x 3 ) c) hf (altura da mesa ou capa) 4cm

Nervura pré-definida

Cálculo do peso Próprio Há várias maneiras de se calcular o peso/m 2 de uma laje nervurada, utilizaremos aqui um processo simples que consiste em calcular um volume de um elemento constituído pelo eixo de duas vigotas, deste volume subtraímos o volume do enchimento e multiplicamos o resultado pela densidade do concreto. O peso final é denominado PESO DA NERVURA que podemos convertê-lo por m 2 dividindo o valor pela área de influência que foi calculado. 100

A área de influência da nervura é composta por um recorte delimitado pelos valores de

env x enh em planta:

Verificação da flecha A flecha em uma laje nervurada é proporcional a flecha da laje se ela fosse maciça e a relação entre elas é dada pela razão entre o momento de inércia da laje maciça e o momento de inércia da nervura, assim a flecha elástica inicial é dado pela expressão: f e

 f (maciça) 

I (maciça) I (nervurada )

Momento inércia da nervura Para facilitar o cálculo, e a favor da segurança a nervura pode ser aproximada a uma seção T com as dimensões abaixo:

 b  h  h f   b  h   hw  h   f f  w w  f  2  2    y cg  b f  h f  bw  hw

I A I B

 

b f  h f

3

12 bw  hw 12

3

h    b f  h f    ycg  f  2  

2

 h   bw  hw    w  h f  ycg   2 

I T  I A  I B 2

Flecha Final diferida no tempo: f   2,46  f e

101

Lajes nervuradas armadas em duas direções Uma laje nervurada em cruz poderá ser calculada como sendo uma laje maciça comum, desde que atenda a certos requisitos da NBR6118/2014. Uma atenção especial deve ser dada às lajes contínuas, nos apoios intermediários, a seção resistente é formada apenas pelas nervuras da laje, as quais aí funcionam como vigas de seção retangular, pois a mesa neste caso está na zona tracionada. Neste caso, o apoio da laje deve ser feito ao longo de uma nervura transversal.

Como foi citado acima a NBR 6118/2014 prescreve uma regulamentação para dimensionamento de uma laje nervurada, seguem abaixo estas prescrições: a) A espessura da mesa, quando não houver tubulações horizontais embutidas, deverá ser sempre maior ou igual a 1/15 da distancia entre as nervuras e não menor que 4cm. O valor mínimo absoluto da espessura da mesa deve ser de 4 cm mais o diâmetro da tubulação embutidas, se houver cruzamento de tubulação o hf da nervura deverá ser de 4+2 , sendo  o diâmetro da tubulação em cm. b) A espessura das nervuras não devem ser inferiores a 5 cm. Nervuras com espessura menor que 8 cm não devem conter armadura de compressão. c) Para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 65 cm, pode ser dispensada a verificação da flexão da mesa. d) Para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre 65 cm e 110 cm, exigese a verificação da flexão da mesa a as nervuras devem ser verificadas ao cisalhamento como vigas; permite-se esta verificação como lajes (item 19.4.1 NBR 6118/2014), se o espaçamento entre eixos de nervuras for menor que 90 cm e a espessura média das nervuras for maior que 12 cm. e) Para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras maior que 110cm, a mesa deve ser projetada como laje maciça, apoiada na grelha de vigas. 102

f) As lajes nervuradas armadas em cruz podem ser calculadas, para efeito da determinação dos esforços como laje maciça.

Análise de Lajes Nervuradas em cruz Na determinação dos esforços solicitantes (momentos fletores e reações de apoio) de lajes nervuradas temos duas situações a considerar:

Caso 1 – Laje nervurada com inércias iguais Neste tipo de laje as espessuras das nervuras e o espaçamento entre elas são iguais nas duas direções (e nv(a)=env(b)). Este tipo de laje pode ser calculado como sendo uma laje maciça comum, utilizando para tal qualquer tabela de lajes em regime elástico. Não podemos utilizar tabela em regime rígido plástico para cálculo de lajes nervuradas.

Laje nervurada com inércias iguais e nv(b) = env(b), bw e he são iguais nas duas direções (bw é a espessura média da nervura e he sua altura)

Caso 2 – Laje nervurada com inércias desiguais Neste tipo de laje as espessuras das nervuras e/ou o espaçamento entre elas são diferentes nas duas direções. Neste tipo de laje os esforços solicitantes são determinados utilizandose a ―teoria das grelhas‖ que tem como princípio básico à compatibilidade das flechas das nervuras nas direções a e b. assim ―quinhões de carga‖ são calculados para cada direção. Este procedimento reduz o problema da bi-flexão das lajes em duas flexões ortogonais ―independentes‖. Desprezando-se, portanto o efeito benéfico dos momentos volventes que reduzem os momentos fletores positivos atuantes.

103

Laje nervurada com inércias iguais e nv(a) ≠ env(b), bw e he podem ou não iguais nas duas direções Neste curso trabalharemos somente com a as lajes nervuradas com inércias iguais e utilizaremos para cálculo dos esforços solicitantes a tabela de Bares de momentos fletores em regime elástico. Estudaremos o dimensionamento de lajes biapoiadas (tipo A da tabela) as demais lajes (contínuas) não serão tratadas neste curso. Utilizaremos também o catálogo de fôrmas da ASTRA para solucionar alguns exercícios propostos. Tabela - Momentos Fletores, Regime Elástico Tipo de Laje

b/a ma

mb

0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1, 00 1, 10 1, 20 1, 30 1, 40 1, 50 1, 60 1, 70 1, 80 1, 90 2, 00

119,0 91,7 74,1 61,7 52,1 45,2 40,2 36,1 32,9 30,3 23, 6 28, 2 23, 6 25, 1 23, 7 22, 8 24,2 21, 2 25,0 20, 0 25,7 19, 1 26,8 18, 4 27,9 17, 8 28,8 17, 4 30, 4 17, 1 3 1, 6 16, 8

mb

na

ma

mb

na

nb

ma

mb

na

44,1 40,0 37,2 35,3 34,1 33,4 33,1 33,2 33,5 33,9 34, 4 36, 2 38, 6 41, 4 44, 4 47, 3 51, 4 55, 8 59, 4 63, 0 67, 6

32,8 27,6 23,8 20,9 18,6 16,8 15,4 14,2 13,3 12,5 11, 9 10, 9 10, 2 9, 7 9, 3 9, 0 8, 8 8, 6 8, 4 8, 3 8, 2

37, 2 31, 3 27, 4 24, 6 22, 6 21, 1 20, 0 19, 2 18, 5 18, 0 17, 5

37, 2 37, 4 38, 2 40, 0 41, 8 44, 4 48, 2 52, 4 56, 1 60, 2 62, 5

14, 3 12, 7 11, 5 10, 7 10, 1 9, 6 9, 2 9, 0 8, 7 8, 6 8, 4

14, 3 13, 6 13, 1 12, 8 12, 6 12, 4 12, 3 12, 3 12, 2 12, 2 12, 2

113,6 88,5 73,0 60,2 53,5 47,2 42,9 39,4 36,5 34,2 32, 4 29, 9 28, 0 26, 7 25, 8 25, 3 24, 8 24, 4 24, 2 24, 0 24, 0

47,9 44,8 42,9 42,0 41,7 42,0 43,0 44,2 45,7 47,8 49, 8 54, 7 61, 5 67,2 75,0 83,9 93,0 101,8 110,2 120, 4 131, 6

33,7 28,6 25,0 22,2 20,1 18,5 17,3 16,3 15,5 14,8 14, 3 13, 5 13, 0 12, 6 12, 3 12, 3 12, 1 12, 0 12, 0 12, 0 12, 0

O valor do momento fletor negativo na direção de a ou b, se tiver, será dado por:

X 

23, 6 20, 0 17, 4 15,5 14,1 13,0 12,1 11,4 10,9 10, 5 10, 1

ma

O valor do momento fletor positivo é dado por: M



pa

ma

mb

222,2 72,7 161,3 64,3 123,5 58,4 99,0 54,3 82,0 51,3 69,0 49,5 59,2 48,4 52,4 47,9 47,4 48,0 43,1 48,6 39, 7 49, 5 34, 8 52, 3 31, 6 56, 5 29,4 61,6 27,9 68,0 26,7 74,1 25,9 81,4 25,3 88,7 24,9 99,6 24, 5 106, 5 24, 3 113, 6

na

nb

ma

mb

na

nb

49,3 40,5 34,4 29,8 26,2 23,4 21,2 19,5 18,1 17,1 16, 2 14, 8 13, 9 13,2 12,8 12,5 12,3 12,1 12,0 12, 0 12, 0

35,2 30,7 27,2 24,6 22,5 21,0 17,7 19,2 18,7 18,4 18, 3 17, 7 17, 4 17,4 17,4 17,5 17,7 17,9 18,0 18, 0 18, 0

49, 5 41, 3 34, 8 32, 7 30, 1 28, 3 27, 1 26, 1 25, 5 25, 1 24, 7

4 9, 5 5 0, 4 5 3, 0 56, 4 60, 7 67, 3 73, 7 82, 4 88, 2 9 8, 9 104, 2

1 9, 4 1 7, 1 1 5, 6 14, 5 13, 7 13, 2 12, 8 12, 5 12, 3 1 2, 1 12, 0

1 9, 4 1 8, 4 1 7, 9 17, 6 17, 5 17, 5 17, 5 17, 5 17, 5 1 7, 5 1 7, 5

2

m

pa2 n


104

(Tabela do catálogo da ASTRA)

105

Dimensionamento das lajes Nervuradas Como no caso de lajes unidirecionais o dimensionamento é feito considerando as nervuras como sendo vigas de seção ―T‖.

O cálculo pode ser feito de forma similar ao anterior (lajes unidirecionais), retirando-se em planta uma área de influência igual a distância entre eixos das nervuras:

A flecha é verificada com o auxílio da tabela de Bares para flecha elástica estudada no capítulo 3. ***

106

Capítulo 11 – Lajes Lisas e Cogumelos As lajes lisas ou cogumelos são lajes sem vigas, segundo a NBR 6118/2014 Lajescogumelo são lajes apoiadas diretamente em pilares com capitéis, enquanto lajes lisas são apoiadas nos pilares sem capitéis. A análise estrutural de lajes lisas e cogumelo deve ser realizada mediante emprego de procedimento numérico adequado, por exemplo, diferenças finitas, elementos finitos ou elementos de contorno. Nos casos das lajes em concreto armado, em que os pilares estiverem dispostos em filas ortogonais, de maneira regular e com vãos pouco diferentes, o cálculo dos esforços pode ser realizado pelo processo elástico aproximado, com redistribuição, que consiste em adotar, em cada direção, pórticos múltiplos, para obtenção dos esforços solicitantes.

Laje lisa

Laje Cogumelo

Não estudaremos neste curso o método dos pórticos equivalentes, nossas lajes serão calculadas por processo exato utilizando o método de elementos finitos ( apêndice 3)

Vantagens das lajes Lisas 1. Adaptabilidade a diversas formas ambientais; 2. Simplificação das fôrmas e do cimbramento; 3. Simplificação das armaduras; 4. Simplificação da concretagem; 5. Melhoria da qualidade final e diminuição de revestimentos; 6. Redução da altura total do edifício; 7. Simplificação das instalações prediais; 8. Redução do tempo de execução.

Desvantagens 1. Elevados esforços de punção; 2. Baixa rigidez do pórtico as ações horizontais; 3. Elevado Custo. 107

Prescrições normativas para armaduras de lajes lisas ou cogumelo a) Diâmetro máximo da armadura h/8; b) Espaçamento máximo da armadura 2h ou 20cm; c) Armaduras secundárias de flexão deve ter seção transversal de área igual ou superior a 20% da área da armadura principal, com espaçamento entre barras não maior que 33cm; d) As armaduras positivas e negativas nas direções menos solicitadas não podem ter seção inferior a 25% das armadura das direções mais solicitadas; e) Não utilizar diâmetro da armadura principal menor que 10mm; f) Deverá haver no mínimo 2 barras passando sobre os apoios, além das barras contra colapso progressivo; g) O comprimento das barras da armadura negativa deve ser no mínimo 0,35L para cada lado dos pilares; h) A armadura negativa de reforço das bordas deve ser no mínimo 0,25L além do eixo do pilar.

Armadura contra colapso progressivo Para garantir a segurança da estrutura contra colapso progressivo de lajes, é obrigatório uma armadura inferior que passa pelo pilar atravessando o contorno crítico, denominado contorno C ( linha que delimita as arestas do pilar em contato com a laje), que deve estar devidamente ancorada além do ponto C’ , ponto na qual as tensões tangenciais no concreto da laje já são devidamente suportadas pela resistência do concreto. A área da armadura de punção é dada pela expressão: AsCLP



1 ,5Fsd f yd

Sendo F sd o valor da força concentrada no ponto de apoio.

108

Detalhe da armadura contra colapso progressivo

(item 19.5.4 NBR 6118/2014)

Altura mínima da laje Para atender a NBR 6118, no item 14.6.4.3 (ductilidade da seção), a profundidade relativa da linha neutra x/d deve ser no máximo 0,45. Este requisito da norma é atendido quando utilizamos o k limite de 0,295 para concretos até 50MPa e 0,24 para concretos de 50 a 90MPa, sendo assim, para concretos dentro desta faixa, o valor de d min é igual:

 Md fck  50MPa  d ( min )  f cd  bw  0,295 Md  k   f cd  bw  d 2  Md 50  fck  90MPa  d ( min )   f cd  bw  0,24  Punção em lajes A punção é uma ruptura transversal, por cisalhamento, em torno de regiões relativamente pequenas submetidas a carregamentos localizados. A punção ocorre em maior frequência em lajes ou sapatas, devido à esbeltez das seções destas peças. No caso particular de lajes, principalmente lajes sem vigas, as chamadas lajes lisas ou cogumelos, o efeito de punções deve ser levado sempre em consideração nos cálculos. Na ruína por punção a força cortante é predominante, a laje se rompe por cisalhamento antes que a capacidade da laje a flexão seja atingida. É um tipo de colapso frágil, acontece abruptamente sem aviso e é extremamente perigoso.

109

Para se evitar a punção há 3 formas de resolver o problema a) Aumentar a espessura da laje (toda) ou na região dos apoios; b) Utilização de capitel, aumento da seção nas ligações laje-pilar; c) Colocar armaduras específicas (estribos) para combater o cisalhamento. Lembrando que a NBR 6118/2014 não permite que haja laje lisa sem armadura de punção quando o sistema de contraventamemto horizontal depender da rigidez das ligações entre laje e pilar Armadura de punção obrigatória No caso de a estabilidade global da estrutura depender da resistência da laje à punção, deve ser prevista armadura de punção, mesmo que Sd seja menor que τRd1. Essa armadura deve equilibrar um mínimo de 50 % de FSd. (item 19.5.3.5 NBR 6118/2014).

Método de verificação da punção de acordo com a NBR 6118/2014 Determinação dos contornos críticos

110

Dimensão dos contornos para pilares internos: Contorno C  u = perímetro do pilar Contorno C’ u’ = perímetro do pilar + 4 d Contorno C’’ u’’ = perímetro do pilar + 4 d+ 4 p ( p é a distância da face do pilar até a última linha de estribos e d é a atura útil da seção)

Tensão de verificação nos contornos críticos A tensão resistente da compressão na diagonal do concreto é verificada indiretamente sobre uma superfície de controle normal ao plano da laje, situada ao redor da área carregada. Esta área e delimitada por um perímetro traçado a uma certa distância do ponto de ligação entre a laje e o pilar. A tensão atuante sd deverá ser menor que as tensões limites para cada caso: Rd1 – Tensão de cisalhamento resistente de cálculo limite, para que uma laje possa

prescindir de armadura transversal para resistir a força cortante; Rd2 – Tensão de cisalhamento resistente de cálculo limite, para verificação da

compressão diagonal do concreto da laje; Rd3 – Tensão de cisalhamento resistente de cálculo;

Cálculo de rd1 é dado pela expressão:  Rd1

 20    100    fck 13  0 ,131  d  

Com fck em MPa  é a taxa de armadura de flexão nas duas direções ortogonais sobre o pilar

Sobre o pilar em lajes lisas haverá sempre uma armadura de flexão, nas duas direções, esta armadura é considerada no cálculo da punção através desta taxa de armadura. Que deve ser calculada a uma distancia 3d para cada lado a partir da face do pilar. Deve-se calcular as taxas  x e  y e definir a taxa  pela equação abaixo:    x   y

Cálculo de Rd2 é dado pela mesma expressão da tensão resistente ao cisalhamento para bielas inclinadas a 45° (Capítulo 5), a expressão:  Rd 2

 0 ,27 vfcd

 v

fck    1   250  

Com fck em MPa 111

Cálculo da armadura A sw

 Sd

 20  d A sw  f ywd  sen    100    fck  13  1 ,5    0 ,101  S    d u ' d  r   

Simplificando a equação para estribos a 90°, temos:

 Sd



 Rd1

1 ,3

 f   1 ,5A sw  ywd   Sr  u' 

Onde: Sr é o espaçamento radial entre linhas da

armadura de punção, e deve ser ≤ 0,75d;

A sw é a área da armadura de punção em um contorno paralelo a C’; u' é o perímetro critico (C’); f ywd

é a resistência de cálculo para a armadura de punção, variando de 260 a 435MPa em

função linear da altura da laje ( de 16 a 35cm) Com Sd, Rd1, fck e f ywd em MPa

Tensão Solicitante τ Sd1



F Sd u  d



k  M Sd W p

 d

Verificação da biela comprimida

τ Sd2



F Sd u' d



k  M Sd W p  d

Cálculo da armadura

Onde: Fsd é a carga que produz o puncionamento (reação concentrada do pilar) M sd é o momento solicitante de cálculo; W p é o módulo de resistência elástico no contorno crítico; K é um coeficiente que fornece a parcela do momento que produz cisalhamento na seção

crítica u é o perímetro de contorno do pilar(C); u' é o perímetro critico (C’);

Valores de k em função de C1/C2 C1/C2 0,5 1,0 2,0 3,0 k 0,45 0,6 0,7 0,8 112

Para Pilares Retangulares Wp é dado por: No contorno C W p



C12 C2

 C1  C 2 

No contorno C’ W p



C12 C2

 C1  C 2   C1  C 2   4C 2  d  16   2 d  C1 

Disposição da armadura de punção

(Figura retirada do item 19.5.3.4 da NBR 6118/2014)

113

Laje lisa Modelar a laje lisa abaixo em programa de elementos finitos, calcular a armadura longitudinal negativa e positiva somente para os momentos máximos. Calcular armadura de punção para o pilar mais solicitado e a armadura contra colapso progressivo. Dados: fck 30MPa d’ = 3cm Piso = 1,2 kN/m 2 Sc = 4kN/m2 Revest/forro = 0,5kN/m2 Drywall = 0,3kN/m2 Pé-direito 6m

Solução:

Verificação da flecha máxima Flecha admissível = L/250 = 450/250 = 1,8cm Flecha imediata medida no modelo 0,95cm.

114

f ∞ = 2,46 x 0,95 = 2,34cm NOK!

CF L/350 = 1,3cm  Aplicar contra-flecha de 1,5cm Armadura de flexão

Momentos fletores na direção x

Momentos Fletores na direção y

*** 115

Capítulo 12 – Ações de Vento em Edifícios

Fonte ABNT NBR 6123 Velocidade Básica (V o) É definida como a velocidade de uma rajada de três segundos excedida em média uma vez em 50 anos e medida a 10 metros acima do terreno em campo aberto. BH ± 35m/s

116

Velocidade Característica V k Velocidade característica e a velocidade Básica (V o) modificada pela topografia da região

Vk = S1S2S3Vo Fator Topográfico S 1 a) Terrenos Planos ou fracamente acidentados S 1 = 1 b) Em vales profundos, protegidos de ventos de quaisquer direções S 1 = 0,9 c) Em taludes e morros nos pontos A e C S 1 = 1.0 No ponto B depende da altura medida a partir da superfície do terreno, Z, da diferença de nível ―d‖ entre a base e o topo do talude ou morro e da inclinação média q do talude ou encosta do morro:  ≤ 3º  S1(Z) = 1

6º ≤  ≤ 17º  S1(Z) = 1 + ( 2,5 – z/d ) t g ( – 3º) ≥ 1  ≥ 45º  S1(Z) = 1 + 0,31( 2,5 – z/d ) ≥ 1

Para os pontos entre A e B e valores de inclinação entre 17° e 45° deve-se fazer interpolação linear

Fator S1 e taludes e morros 117

Pressão dinâmica do vento qv 2

q

0 ,613Vk 1000

_ kN / m

2

Fator de Rugosidade S 2 Este fator leva em consideração o efeito combinado da rugosidade do terreno, da variação da velocidade do vento com a altura do terreno e das dimensões da edificação.

118

Onde: Z é a altura da edificação a partir da superfície do terreno Categoria I: Superfícies lisas de grandes dimensões, com mais de 5 km de extensão, medida na direção e sentido do vento incidente. Exemplos: a) mar calmo; b) lagos e rios; c) pântanos sem vegetação.

Categoria II: Terrenos abertos em nível ou aproximadamente em nível, com poucos obstáculos isolados, tais como árvores e edificações baixas. Exemplos: a) zonas costeiras planas; b) pântanos com vegetação rala; c) campos de aviação; d) fazendas. A cota média do topo dos obstáculos é considerada inferior ou igual a 1,0 m.

Categoria III: Terrenos planos ou ondulados com obstáculos, tais como muros, poucos quebra-ventos de árvores, edificações baixas e esparsas. Exemplos: granjas e casas de campo; a) subúrbios a considerável distância do centro, com casas baixas e esparsas. b) A cota média do topo dos obstáculos é considerada igual a 3,0 m.

Categoria IV: Terrenos cobertos por obstáculos numerosos pouco espaçados, em zona florestal, industrial ou urbanizada. Exemplos: a) zonas de parques e bosques com muitas árvores; b) cidades pequenas e seus arredores; c) subúrbios densamente construídos de grandes cidades; d) áreas industriais plena ou parcialmente desenvolvidas. A cota média do topo dos obstáculos é considerada igual a 10 m. Esta categoria também inclui zonas com obstáculos maiores e que ainda não possam ser consideradas na categoria V.

119

Categoria V: Terrenos cobertos por obstáculos numerosos, grandes, altos e pouco espaçados. Exemplos: a) florestas com árvores altas; b) centros de grandes cidades; c) complexos industriais bem desenvolvidos. A cota média do topo dos obstáculos é considerada igual ou superior a 25 m.

Fator Estatístico S 3 Leva em consideração o tipo da edificação e o grau de segurança que requer.

Em edificações impermeáveis ( edifícios residenciais e comerciais comuns ) onde a influência das pressões internas são desprezíveis no cálculo da estrutura, o valor da pressão total de vendo é dada pela expressão:

q v  Ca q Onde C a é o coeficiente de arrasto 120

Coeficiente de arrasto C a Z

h

l2 l1 Coeficiente de arrasto C a vento de baixa turbulência

Z

h

l2 l1 Coeficiente de arrasto C a vento de alta turbulência

121

Análise Dinâmica Método Simplificado Se a edificação tiver seção transversal constante e distribuição de massa mais ou menos uniforme, aplica-se um método simplificado de cálculo, desde que a estrutura não ultrapasse150m ultrapasse150m de altura. Admite-se que, para a resposta dinâmica pelo método simplificado, basta a análise única do primeiro modo de vibração (modo fundamental). Para esse caso a expressão utilizada pela norma brasileira engloba tanto a resposta média quanto a amplitude máxima da vibração provocada pelo vento. Assim, a pressão pr essão exercida pelo vento é uma uma função contínua contínua em relação a altura da edificação edificação sobre o terreno.

Velocidade de projeto V p Vp = 0,69 VoS1S3

Onde:  é uma constante que leva em consideração a forma da estrutura e o atrito entre o vento e

a fachada da edificação  fator que leva em consideração a capacidade de amortecimento da estutura, também conhecida como damping .

T1 é o período da oscilação e f 1 a frequência em Hz

Pressão do Vento Amplificada q0



0 ,613V p2 1000

Onde: q0 e a pressão básica do vento em em KN/m 2 e V p a velocidade em m/s

122

 z  2 p  h  p  z  1  2  2 q ( z )  q 0            b   10 10 h 1  p       

q vA

 q( z )  Ca  Ca  q

Onde: O expoente p e o coeficiente b dependem da categoria de rugosidade do terreno e são tabelados. O coeficiente de amplificação dinâmica

, é função das dimensões da

edificação, da razão de amortecimento crítico  e da frequência f em em Hz. qvA = pressão de vento amplificada na fachada da estrutura p = 0,23 para para Categoria IV b = 0,71 para para categoria IV z = altura do ponto que se deseja calcular a força h = altura total da estrutura

V p



f 1800

Gráfico para coeficiente de amplificação dinâmica  para terrenos da categoria IV

123

Capítulo 13 – Pilares Pilares Os pilares são elementos responsáveis por receber as cargas das vigas ou lajes lisas e descarregar nos elementos de fundação. Normalmente são elementos prismáticos posicionados na vertical. Podem ser retangulares, redondos ou possuir qualquer outra forma, podem também serem vazados ou não, no entanto neste curso, trabalharemos apenas com pilares retangulares e redondos maciços. Segundo a NBR 6118/2014 a seção transversal de um pilar maciço, qualquer que seja a sua forma, não pode apresentar dimensão menor que 19 cm. Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19cm e 14cm, desde que se multipliquem os esforços solicitantes de cálculo a serem considerados no dimensionamento por um coeficiente adicional γn, de acordo com o indicado na Tabela Tabela 13.1 da norma. norma. Em qualquer caso, caso, não se permite permite pilar com seção seção transversal de área inferior a 360 cm 2.

Armadura longitudinal O diâmetro das barras longitudinais não deve ser inferior a 10mm e nem superior a 1/8 da menor dimensão da seção A armadura longitudinal mínima deve ser: As min = (0,15 N d ) ≥ 0,004 Ac d /f yd Asmáx = 8,0% A c

A maior taxa de armadura possível em pilares deve ser 8% da seção real, considerando-se inclusive a sobreposição de armadura existente em regiões de emenda. Este requisito se dá em função do aumento considerável de carga que ocorre nas armaduras ao longo dos anos. O efeito de relaxamento do concreto em função da fluência e retração transfere ao aço uma grande parcela de tensão, inicialmente não considerada no cálculo. Este fato pode fazer a armadura do pilar, se for muito rígida (elevada taxa), escoar ainda em 124

serviço o que sempre se deve evitar, haja vistas que o escoamento do aço na seção é um estado limite último. As armaduras longitudinais devem ser dispostas na seção transversal de forma a garantir a adequada resistência do elemento estrutural. Em seções poligonais, deve existir pelo menos uma barra em cada vértice; em seções circulares, no mínimo seis barras distribuídas ao longo do perímetro. O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal, fora da região de emendas, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores: a) 20 mm; b) diâmetro da barra, do feixe ou da luva; c) 1,2 vez a dimensão máxima característica do agregado graúdo.

Esses valores se aplicam também às regiões de emendas por traspasse das barras. Quando estiver previsto no plano de concretagem o adensamento através de abertura lateral na face da forma, o espaçamento das armaduras deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador. O espaçamento máximo entre eixos das barras, ou de centros de feixes de barras, deve ser menor ou igual a duas vezes a menor dimensão da seção no trecho considerado, sem exceder 400 mm.

e eixo

400mm 2  menor dimensão da seção

e

Armadura transversal A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o caso, por grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes. O diâmetro dos estribos em pilares não deve ser inferior a 5mm nem a ¼ do diâmetro da barra isolada ou do diâmetro equivalente do feixe que constitui a armadura longitudinal.

5mm   t   1   4  L   =L diâmetro da barra longitudinal  O espaçamento longitudinal entre estribos, medido na direção do eixo do pilar, para garantir o posicionamento, impedir a flambagem das barras longitudinais e garantir a

125

costura das emendas de barras longitudinais nos pilares usuais, deve ser igual ou inferior ao menor dos seguintes valores: a) 200 mm; b) menor dimensão da seção; c) 24 para CA25, 12  para CA50.

Os estribos garantem contra a flambagem as barras longitudinais situadas em seus cantos e as por eles abrangidas, situadas no máximo à uma distância de 20 t do canto, se nesse trecho de comprimento 20 t, não houver mais de duas barras, não contando a do canto. Quando houver mais de duas barras nesse trecho ou fora dele, deve haver estribos suplementares (grampos)

Imperfeições geométricas Imperfeições Globais Na análise global das estruturas deve ser considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme a figura:

(item 11.3.3.4.1 NBR 6118/2014)

126

Imperfeições locais No caso da verificação de um lance de pilar, deve ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilinidade do eixo do pilar.

(item 11.3.3.4.2 NBR 6118/2014)

 1



1 100 H i



1 200

 Hi =

altura do pilar em metros

Momento Mínimo de 1ª ordem Os efeitos das imperfeições locais nos pilares podem ser substituídos em estruturas reticuladas pela consideração do momento mínimo de 1ª ordem dado a seguir: M1d ,min  Nd 0 ,015  0 ,03h 

Nd é a força normal solicitante de cálculo. h é a altura total da seção transversal na direção considerada, em metros.

Estruturas de nós fixos e estruturas de nós móveis São consideradas, para efeito de cálculo, como de nós fixos, as estruturas cujos deslocamentos horizontais são pequenos e, por decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são desprezíveis (inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas, basta considerar os efeitos locais e localizados de 2ª ordem.

127

As estruturas de nós móveis são aquelas onde os deslocamentos horizontais não são pequenos, e em decorrências dos efeitos globais de 2ª ordem são importantes (superiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas devem ser considerados tanto os esforços de 2ª ordem globais como os locais e localizados.

Análise de estruturas de nós móveis Na análise estrutural de estrutura de nós móveis, devem ser obrigatoriamente considerados os efeitos da não linearidade geométrica e da não linearidade física, e portanto, no dimensionamento devem ser obrigatoriamente considerados os efeitos globais e locais de 2ª ordem.

Consideração aproximada da não linearidade física Para análise dos esforços globais de 2ª ordem, em estruturas reticuladas com no mínimo quatro andares, pode ser considerada a não linearidade física de uma maneira aproximada, tomando-se como rigidez dos elementos estruturais os valores seguintes: a) Lajes: ( EI) sec= 0,3E c I i c b) Vigas: ( EI) sec= 0,4E c I i c para A’s ≠ As e

( EI) sec = 0,5 E c I i c para A’s = As c) Pilares: ( EI) sec =0,8E Ci.I C

Onde: Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto (estádio I), incluindo, quando for o caso, as mesas colaborantes; e E ci é o módulo de elasticidade tangente na origem do concreto igual a: E ci  5600 fck

Dispensa da consideração dos efeitos globais de 2ª ordem Coeficiente 

 para edificações

de até de 4 pavimentos

Para edificações de pequeno porte com até 4 pavimentos a NBR 6118 permite a solução aproximada através do parâmetro .   H TOTAL

N K E CS I C 128

Onde: H total é a altura total da edificação a partir

da cota de arrasamento da fundação;

N k

é somatória de todas as cargas verticais na edificação com seu valor característico;

E cs

é módulo de elasticidade secante do concreto

I c é a

somatória dos momentos de inércia dos pilares na direção considerada, podendo ser

utilizado a rigidez de um pilar equivalente. O parâmetro a deve ser comparado com o valor de 1, que varia em função do número de pavimentos:

1  0 ,3 2  0 ,4   1   3  0 ,5  4  0 ,6

Se o valor de  for menor que o valor de 1 a estrutura pode ser considerada de nós fixos. Caso contrário deve ser levado em consideração os esforços oriundos dos efeitos de 2ª ordem.

Exemplo Para a edificação abaixo com 4 pavimentos verificar se é uma estrutura de nós fixos ou móveis utilizando o parâmetro  da NBR 6118. Dados a. Peso da Alvenaria 18kN/m 3 b. Piso 1,2 kN/m2 c. Sobrecarga 1,5 kN/m 2 d. Sobrecarga Forro e revestimentos teto 0,5 kN/m 2 e. Peso próprio do concreto 25 kN/m 3 f. Pilares 20x40 g. Vigas 15x40 h. Laje maciça de h = 10cm i. Paredes de e = 15cm j. fck do concreto 25MPa k. Pé-direito estrutural (piso a piso) 3m Planta do apartamento Tipo

129

Nota: Distribuir em toda laje sobre a caixa de escada no último pavimento (região hachurada) um carregamento de 5kN/m 2 de água.

Solução O grande problema deste exercício está na dificuldade de se estabelecer o valor do momento de inércia Ic do prédio. É uma estrutura espacial com diversos pilares, vigas e lajes contribuindo para rigidez total. Neste caso utilizaremos um método chamado de ―Rigidez pelo Pilar Equivalente‖. Este método baseia -se na modelagem do pórtico em programa de elementos finitos e a verificação da deslocabilidade deste pórtico para uma carga horizontal qualquer, aplicada no topo do prédio. De posse do valor do deslocamento horizontal calcula-se uma rigidez equivalente conforme abaixo: Deslocamento verificado no pórtico foi de 9,9cm para uma carga horizontal de 500kN Altura do pórtico = 1200cm

130

Utilizando a equação de flecha elástica para vigas em balanço com uma carga na extremidade, temos: f 

PL3 3EI

 9 ,9 

500  1200 3 3  EI

 IE  29 ,1x10 9

No próprio modelo de elementos finitos pegamos a somatória de cargas verticais: Nk = 13.388,8kN Resolvendo a equação do parâmetro     1200

13.388 ,8 29 ,1  10

9

 0 ,81

Neste caso o prédio é de nós móveis, pois apresentou um coeficiente maior que 0,6, limite para 4 pavimentos. Deve-e então levar em consideração nos cálculos os efeitos de segunda ordem, ou, redimensionar o prédio enrijecendo a estrutura nesta direção. A simples concepção de engastamento dos pilares na fundação pode reduzir o deslocamento e proporcionar à estrutura a rigidez necessária para que seja de nós fixos, vejamos: Deslocamento verificado no pórtico com a fundação engastada foi de 6,08

131

IE  47 ,4 x109

Coeficiente

z

  1200

13.388 ,8 47 ,4  10

9

 0 ,64

para edificações acima de 4 pavimentos

O coeficiente γ z de avaliação da importância dos esforços de segunda ordem globais é válido para estruturas reticuladas de no mínimo quatro andares. Ele pode ser determinado a partir dos resultados de uma análise linear de primeira ordem, para cada caso de carregamento, adotando-se os valores de rigidez dados no item 15.7.3. da NBR 6118/2014. Cálculo do coeficiente z

132

Considerando uma condição de equilíbrio equilíbrio da estrutura na posição posição deformada, deduz-se para uma relação entre o momento de 2ª ordem e o momento de 1ª ordem a seguinte equação: M 2ª M1



1

 P 1  P 2  P 3  ....  P n  1   M 1   M 2ª M1



1

 M tot ,d  1   M 1 ,tot ,d  

  z

O coeficiente z de avaliação da importância dos esforços de 2ª ordem global é válido para estruturas reticuladas reticuladas de no mínimo mínimo 4 andares.

 z

    1     M tot ,d    1     M1 ,tot ,d  

Onde: M1,tot,d = momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças horizontais da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura. M,tot,d = soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura , na

combinação considerada, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos na análise de 1ª ordem. considera-se que que a estrutura é de nós fixos se for obedecida obedecida a condição condição z ≤ 1,1, e neste caso pode ser dispensada a consideração dos esforços globais de 2ª ordem. Para estruturas com z até 1,3 os esforços de 2ª ordem são muito significativos e por consequência devem ser levados em consideração nos cálculos. Neste caso o valor dos esforços em 1ª ordem devem ser majorados em 95% do valor de z(*). Para estruturas com z maiores que 1,3 esta solução aproximada não pode ser utilizada, devendo para tal ser feito uma análise rigorosa dos reais efeitos de 2ª ordem.

133

(*) Uma solução aproximada a determinação dos esforços globais de 2ª ordem consiste na avaliação dos esforços finais (1ª ordem + 2ª ordem) a partir da majoração dos esforços horizontais da combinação de carregamentos considerada, considerada, por 0,95 z. Esse processo só é válido para z ≤ 1,3. 1,3.

Análise dos efeitos locais de 2ª ordem A análise global de 2ª ordem fornece apenas os esforços nas extremidades das barras, devendo ser realizada uma análise dos efeitos locais de 2ª ordem, ao longo dos eixos das barras comprimidas. Os elementos isolados, para fim de verificação local, devem ser formados pelas barras comprimidas, retiradas da estrutura com comprimento l e, porém, aplicando-se às duas extremidades extremidades os esforços obtidos através através da análise análise global de 2ª ordem. Podemos ter, então, as três situações situações distintas que podem podem ocorrer nos pilares:

Para as três situações acima, acima, constata-se que o caso (a) (a) é a pior situação. Para este caso, caso, o maior deslocamento transversal do eixo ocorre na seção central. Para o pilar do caso (b), o deslocamento máximo ocorre em uma seção mais próxima do extremo a, No caso (c), o deslocamento da seção central é nulo e, provavelmente, a ruína ocorrerá na seção de extremidade, sendo desprezível o efeito de segunda ordem local. O comprimento equivalente l e, do elemento comprimido (pilar), suposto vinculado em ambas as extremidades, deve ser o menor dos seguintes valores:

 o  h e    134

Onde: l o =

distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que

vinculam o pilar; h = altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura em estudo; l

= distância entre eixos dos elementos estruturais, supostos horizontais, que vinculam o

pilar;

Viga

l o

h

l

Viga

Nota: no caso caso de pilar engastado engastado na base e livre no topo le = 2 l

Dispensa da análise dos efeitos locais de 2ª ordem Os esforços locais de 2ª ordem (flambagem) em elementos isolados podem ser desprezados desprezados quando o índice de esbeltez  for menor que o limite 1. Onde:  

e

I

, para uma seção usual retangular de concreto



 

e

bh 3  12

   3 ,46

bh

bh

O valor de 1 depende de: a) A excentricidade relativa de 1ª ordem; b) A vinculação vinculação dos extremos da da coluna isolada; isolada; c) A forma do diagrama de momento fletor de 1ª ordem; O valor de 1 é dado pela expressão: 35   1



e 25  12.5  1



 b



h 

 90

Onde: e1

é a excentricidade excentricidade inicial ( não inclui inclui a excentricidade excentricidade acidental);

h = dimensão da seção na direção considerada.

135

e

h

O valor de  b é dado pela expressão:  b

 0 ,6  0 ,4

MB MA

 0 ,40  1 ,0   b  0 ,40

Sendo: 1,0 ≥  b ≥ 0,4 MA e MB são momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar. Deve ser adotado para M A o maior valor absoluto ao longo do pilar e para M B o sinal positivo se tracionar a mesma face do pilar e negativo em caso contrário. Para pilares biapioados, com cargas transversais significativas ao longo da altura, ou submetidos a momentos menores ou iguais ao momento mínimo:  b = 1,0

Para pilares em balanço:  b

 0 ,80  0 ,2

MC MA

 0 ,85  1 ,0   b  0 ,85

MA é o momento no engaste e M C é o momento de 1ª ordem no meio do pilar. Observação: Os pilares devem ter índice de esbeltez menor ou igual a 200 (λ ≤ 200). Apenas no caso de elementos pouco comprimidos com força normal menor que 0,10 f cd x Ac, o índice de esbeltez pode ser maior que 200. Para pilares com índice de esbeltez superior a 140, na análise dos efeitos locais de 2ª ordem, devem-se multiplicar os esforços solicitantes finais de cálculo por um coeficiente adicional γn1 = 1 + [0,01.(λ – 140) / 1,4]. (Item 15.8.1 NBR6118/2014)

Neste curso trabalharemos com pilares com índice de esbeltez até 90, mediamente esbeltos, e seção constante ao longo do eixo longitudinal. Este limite engloba a grande maioria dos pilares calculados para edificações usuais.

136

Cálculo da Excentricidade de 2ª ordem – e 2 Sempre que o valor da esbeltez  for maior que o limite 1 devemos calcular a excentricidade de flambagem, excentricidade de 2ª ordem ( e2). A NBR oferece 4 modelos de cálculo, a saber: a) Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada ( mais conservador ) pode ser utilizado com  até 90

b) Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada (conservador, porém mais preciso que o anterior) pode ser utilizado com  até 90 c) Método do pilar padrão acoplado a diagramas M,N, 1/r ( mais preciso que os anteriores ) pode ser utilizado com  até 140 sendo que para  acima de 90 deve ser considerado o efeito da fluência no pilar. d) Método geral (mais preciso) – Pode ser utilizado para pilares com  até 140 Como vamos trabalhar neste curso com pilares mediamente esbeltos, ou seja com  menor ou igual a 90, somente estudaremos os dois primeiros caos.

1ª Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada A não linearidade física é considerada através de uma expressão simplificada de curvatura e a não linearidade geométrica da forma abaixo:

Dado pilar abaixo em balanço com uma carga P Após a carga atingir o valor crítico de flambagem o Pilar se deformará e atingirá o equilíbrio

na

posição

deformada.

A

excentricidade e2 pode ser deduzida a partir da suposição que a deformação da barra seja senoidal:

 π  x   2  e 

y(x)  e2  sen

é o comprimento equivalente de flambagem do pilar

l e

Como y(x) é muito pequeno o valor da curvatura pode ser dado por: 2

 1   d y (x)   2  r  dx 137

Derivando duas vezes a expressão y(x) dy (x) dx

d 2 y(x) dx 2



 π   e 2cos x  e   e  

2

    π      e 2sen x    e    e 

Para x = l o valor da curvatura é:

π   1   π 2  e  sen  x    2 2  r   e  2 e 

π   1    2  e  sen    2  2    r  4 2e  e 

 1    2  e  e   1    2e   1    2e   2 2   2   2  r   e  r    r  10

 Expressão

da NBR 6118/2014

Curvatura aproximada (1/r) Em uma barra de concreto prismática submetida a flexão teremos uma relação linear entre a deformação das fibra mais comprimida e mais tracionada com a curvatura da seção: 1

0 r r  

Como os ângulos são muito pequenos, por semelhança de triângulos temos:

r ds



d

1

 ε  ε ds c

s

  r

εc

 ε s d

Como a deformação máxima do concreto é c = 0,0035 e do aço s = f yd /E s , então: c + s ≈ 0,005 para aços CA50. Para levar em consideração a flexo -compressão o valor

de d pode ser substituído por (  +0,5)h, sendo  a força normal adimensional dado por: υ

Nota: ( + 0,5) ≥ 1

F d b  h  fcd

1 r



0,005

υ  0,5 h

 Expressão

da NBR 6118/2014, para curvatura aproximada.

138

Momento utilizado no dimensionamento No dimensionamento a flexo-compressão, o pilar deverá resistir a um momento máximo dado pela somatória das componentes de 1ª ordem e 2ª ordem nas seções mais solicitadas ao longo de seu eixo (extremidades e central). O momento de cálculo será:

M d,total  α b M1d,A  N d  e 2 Onde: Nd é a força normal solicitante de cálculo M 1d,A

é o momento de 1ª ordem de cálculo maior ou igual ao momento mínimo.

e2 é a excentricidade de 2ª ordem

(flambagem)

 b é o coeficiente função do momento fletor ao longo do pilar

2ª Método do pilar padrão com rigidez k aproximada Pode ser empregado apenas no cálculo de pilares com λ

≤

90, com seção retangular

constante e armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo. A não linearidade geométrica deve ser considerada de forma aproximada, supondo-se que a deformação da barra seja senoidal. A não linearidade física deve ser considerada através de uma expressão aproximada da rigidez. ( NBR 6118/2014) k aprox

M    321  5 Rd,tot  ν hN d  

O momento total máximo no pilar deve ser calculado a partir da majoração do momento de 1ª ordem pela expressão: M sd, tot



α b M1d,A 2

λ

1

 k   ν  

120

 é a esbeltez do pilar na direção considerada.

MRd,tot é o momento resistente considerando a armadura pré-dimensionada. Nota: O processo de dimensionamento pode ser feito de forma iterativa, escolhe-se uma armadura e calcula-se o momento solicitante máximo, ou:

139

Através de uma equação do 2ª grau, cuja raiz positiva é o momento máximo na seção intermediária ( Msd,tot) aM 2  bM  c  0 a  5h

b  h N d 2



N d L2e 320

 5hα b M1d,A

c  h 2 N d α b M1d,A

Todas as variáveis já foram definidas nos itens anteriores.

Verificação da Resistência na Flexão oblíqua Composta ―O dimensionamento de pilares submetidos à flexão oblíqua é um processo de verificações de envoltórias mínimas, que representam as imperfeições geométricas locais; pontos solicitantes, que representam as solicitações críticas a que o pilar esteja submetido (adicionadas ou não à excentricidade acidental); e envoltórias resistentes, obtidas por meio da contribuição da seção bruta de concreto e da armadura pré-definida .‖ Pinto, Vinicius Slompo - 2017

Figura retirara da NBR 6118/2014

140

Para que uma seção seja dada como estável para o dimensionamento no ELU, deve-se criar duas envoltórias, uma solicitante e uma resistente. Qualquer ponto da envoltória solicitante deve estar obrigatoriamente dentro da Resistente.

Situações Usuais de Projeto para Pilares Dependendo do seu posicionamento na estrutura, os pilares podem ser classificados como piares intermediários, pilares de extremidade ou pilares de canto. Pilar de extremidade Pilar de Canto

Pilar Intermediário

141

Pilar Intermediário: Os momentos que as vigas transmitem a esses pilares são pequenos e, em geral, podem ser desprezados. Quando os vãos da viga, adjacente ao pilar, forem muito diferentes entre si, ou quando houver significativa diferença no carregamento desses vãos, pode ser necessário considerar os momentos iniciais transmitidos pelas vigas.

Dessa forma, um pilar intermediário está em uma situação de projeto de

compressão centrada, a menos que por razoes construtivas, a força de compressão esteja atuando de forma excêntrica.

Pilar de extremidade: Neste caso, os momentos transmitidos pelas vigas devem ser considerados. Dessa maneira, a situação de projeto é de flexo-compressão normal.

Pilar de canto: Neste caso, os momentos são transmitidos pelas duas vigas que chegam ao pilar. Dessa maneira, a situação de projeto é de flexo-compressão oblíqua. Em teoria somente os dois últimos casos estariam sob ação de esforços combinados (momento fletor + força normal), porém, na prática todo e qualquer pilar que for dimensionado para concreto armado, exceto aqueles cuja esbeltez for menor que 35 (pilar curto) estarão sobre ações combinadas, haja vistas a aplicação de um momento mínimo de norma obrigatório nas duas direções. Então, se há momento mínimo haverá sempre a flexo-compressão. Segundo a NBR 6118/2014 um pilar com  ≤ 90 poderá ser calculado pelo método do pilar padrão com curvatura aproximada nas duas direções e verificado a resistência dentro de uma envoltória mínima, que engloba a resistência aos esforços de primeira e segunda ordem nas duas direções:

Pilar Intermediário DMF

Modelo em elementos finitos mostra que não há momento fletor no pilar

142

Pilar de extremidade DMF

Modelo em elementos finitos mostra que há momento fletor em uma das direções do pilar situaçãode flexo-compressão normal

Pilar de Canto

DMF

Modelo em elementos finitos mostra que há momento fletorem duas direções do pilar situação de flexo-compressãoobliqua

Flexão Normal Composta -FNC A NBR 6118 permite a verificação da envoltória resistente através de dois cálculos de flexão normal composta (em torno de x e em torno de y). Lembrando-se do capítulo 4, as seções eram dimensionadas a flexão normal simples, ou seja, não havia força normal. No caso de pilares a solicitação é composta e a força normal interfere diretamente no cálculo das armaduras. No caso mais comum de pilares a seção é dimensionada no domínio 5, onde as duas armaduras estão comprimidas (As e A ’s). Podem acontecer casos em que 143

uma das armaduras se encontra tracionada, pilares submetidos a elevados esforços de momento e força normal pequena, porém, não é comum, portanto estudaremos apenas os casos em que as duas armaduras estejam comprimidas:

Neste caso haverá sempre um indefinição em relação a posição da linha neutra, e , haverá também sempre um par de armaduras A s+A’s que satisfazem o equilíbrio da seção. Como a solução se torna iterativa utilizaremos um ábaco que relaciona a força normal dimensional  e o momento fletor, também adimensional,  ambos em função de uma taxa de armadura . Para tal utilizaremos o ábaco de FNC do Montoya (apêndice 2). Cálculo da armadura simétrica através do ábaco de FNC Calcula-se a força normal adimensional:  

N sd Ac .f cd

Calcula-se o momento fletor adimensional máximo na direção considerada: μ 

M d,tot Ac  h  f cd

No ábaco encontra se a curva cuja taxa de armadura  atende a solicitação composta, e a área de aço total será:

Atotal 

ω  Ac  fcd fyd

Como o ábaco foi constituído para uma armadura simétrica total igual a 2A, o valor da área de aço em cada face do pilar será A total/2. Observe que para o pré-dimensionamento da armadura podemos utilizar a equação do momento adimensional: M Rd,tot

 μAc  h  f cd

144

Capítulo 14 – Elementos especiais Em todo curso até agora, trabalhamos com a premissa que há uma linearidade na distribuição das deformações específicas na seção, que deve permanecer plana após a flexão, no entanto, há casos em alguns elementos de concreto, ou situações específicas de cargas pontuais em que a hipótese da seção plana não mais pode ser aplicada. A NBR 6118/2014 chamam estas regiões de região D, as demais regiões da peça são chamadas de região B. a norma estabelece que em geral o limite entre as regiões B e D pode ser considerado localizado a uma distância h (altura da seção transversal do elemento estrutural considerado) da seção efetiva. os elementos podem possuir três tipos de descontinuidade, a saber: a) descontinuidade geométrica; b) descontinuidade estática; c) descontinuidade geométrica e estática.

(figura 22.1 NBR 6118/2014)

145

a solução destes elementos pode ser feita por intermédio de programas de elementos finitos, por no estado-limite último de um elemento estrutural, ou de uma região D contida neste elemento, através de uma treliça idealizada, composta por bielas, tirantes e nós. Os tirantes são dimensionados com armaduras, ou arranjos de armaduras tracionadas e as bielas verificadas a compressão. Neste curso estudaremos o caso de cargas localizadas em vigas ( detalhe b2 da figura 22.1), sendo assim a NBR estabelece que seja verificado a "Tensão resistente máxima no concreto, em verificações pelos método de bielas e tirantes, em nós onde conflui duas bielas comprimidas e um tirante tracionado"; chamada de f cd3

A armadura dos tirantes é dada pela equação:

As 

Fsd fyd

FSd é o valor de cálculo da força de tração determinada no tirante. Para a verificação de tensões de compressão máximas nas bielas e regiões nodais, será utilizado a equação abaixo: f cd3 = 0,72 αv2 fcd

onde: αv2 = (1 − fck / 250) e fck , expresso em megapascals (MPa); Atenção: toda armadura deverá ser ancorada no elemento B

nota: caso haja necessidade de aumentar a capacidade resistente da biela comprimida a NBR 6118/2014 estabelece outras equações, porém, a análise do elemento deve ser mais rigorosa e não abordaremos neste curso. Para o caso de vigas com cargas pontuais, caso b2, a área de verificação da biela comprimida podes ser dada por: Ac 

ao 2

 bw

onde ao é a dimensão do pilar na direção longitudinal da viga.

146

Capítulo 15 – Vigas Parede Critério de Dimensionamento Prof. Ney Amorim e Ronaldo Azevedo. – DEES UFMG Os critérios de dimensionamento previsto neste trabalho conduzem a um resultado que possibilita armar a viga parede dando a estrutura uma resistência suficiente, sem que seja necessário a verificação das tensões solicitantes (análise feita em programa de elementos finitos). Segundo a NBR 6118/2014 São consideradas vigas-parede as vigas altas em que a relação entre o vão e a altura l / h é inferior a 2 em vigas biapoiadas e inferior a 3 em vigas contínuas. Elas podem receber carregamentos superior ou inferior

(Item 22.4.1 NBR 6118/2014)

O comportamento estrutural das vigas-parede possui características específicas, destacando-se entre elas a ineficiência, seja à flexão, seja ao cisalhamento, quando comparadas com as vigas usuais.

Viga parede biapoiada Determinação dos esforços no Banzo tracionado

147



h

2

O momento fletor máximo de cálculo ( Mu) é o mesmo de uma viga convencional, neste caso wl 2 /8. A única diferença é que o comprimento

l deve

ser o maior dos valores

abaixo:

 o  C  1 ,15 o Onde: l 0 é a distancia entre faces internas dos pilares e C a espessura do pilar na direção da viga.

Deve-se calcular o braço de alavanca z , que é dado pela expressão:

 

z  0,15h 3 

 



h 

Se a relação /h for menor ou igual a 1 o valor de z = 0,6 A força ZU máxima no banzo tracionado será igual a:

Z u 

Mu z

148

E a seção de aço no banzo, As, é dada pela expressão Z u / f yd . Nas vigas biapoiadas, como mostra a Figura 22.3 da NBR 6118/2014, essa armadura deve ser distribuída em altura da ordem de 0,15 h.

A armadura horizontal e vertical mínima é de 0,075% x b por face, por metro. Verificação do concreto O concreto na região dos apoios não pode ser solicitado com tensão acima de 0,8 fcd , e a carga de compressão (reação de apoio no pilar) deve ser multiplicada por um coeficiente de majoração de 2,1, sendo assim:

 P u



2,1R Ac(pilar)

Onde: R é a reação de apoio Pl/2 , e Ac é a área da seção do pilar.

σ PU  0,8

fck 1,4

*** 149

Capítulo 16 – Elementos de Fundação Dimensionamento estrutural de tubulões Tubulão submetido a Compressão Simples Estes tubulões prescindem de armadura caso seja atendida a inequação abaixo γ P f

0,85fck γ

 Ac

c

Onde: P é a carga de compressão aplicada ( Ns) f = 1,4 e c = 1,6  este valor se justifica em função das condições de concretagem

o fck é dado em kN/cm 2 e Ac é a áreas do fuste em cm 2

Caso a inequação acima não seja atendida devemos armar o fuste como um pilar curto ≤35 , sendo assim o cálculo da armadura é: γ f P 

0,85fck γc

 Ac  fyd  As

 0,85fck

As



γ f P-



γc

  Ac  

fyd

―A armadura mínima e a transversal segue o mesmo critério de pilares‖

Fendilhamento no topo O fendilhamento ocorre no ponto de aplicação da carga no fuste. As tensões se regularizam a uma altura h do ponto de aplicação, que é igual a 1,2  (diâmetro do fuste) ou l b (comprimento de ancoragem dos arranques dos pilares). O dimensionamento desta região é feito como um bloco sobre uma estaca (será visto posteriormente)

Tubulão submetido a flexo-compressão 150

O cálculo do tubulão é feito como um viga em base elástica Método prof. José Miranda Tepedino O processo considera que a tensão no solo é pr oporcional ao deslocamento da peça naquele ponto.

σ  Cr  y

Cr é o coeficiente de recalque vertical no solo y é a deformação apresentada pela peça s é a tensão que a peça provoca no solo

Cr = 5N para areias ou siltes arenosos e 3N para argilas ou siltes argilosos N = SPT na seção considerada e o resultado é dado em N/cm 3 Para obter-se o coeficiente de recalque horizontal (base elástica), deve-se desprezar as reações grandes que acontecem no nível do terreno e distribuir o coeficiente de recalque linearmente até uma profundidade l 1 dada pela equação abaixo, a partir daí o coeficiente de recalque vertical se iguala ao coeficiente horizontal.

l1

4

4EI bCr

Onde:

E é o módulo de elasticidade do concreto; I é o momento de inércia da seção do fuste do tubulão; b é a largura do tubulão na direção do carregamento; Cr é o coeficiente de recalque vertical no solo. 151

O princípio da viga em base elástica pressupõe que o fuste está apoiado no solo por meio de molas com rigidez k igual ao coeficiente de recalque Cr. O cálculo do momento máximo é feito pelo método dos deslocamentos com auxilio de programas de elementos finitos.

k  C r

A solução é laboriosa e deve ser feita com aux ílio de computador

―Simplificadamente, quando não há força horizontal significativa na cabeça do tubulão, pode-se calcular tubulão como um pilar circular de concreto armado‖

Dimensionamento Estrutural de Sapatas Dimensionamento Estrutural de Sapatas consiste na altura da seção da sapata e da armadura de tração necessária. Observe as duas situações abaixo, de elementos estruturais em balanço:

152

Caso A

Caso B

Os dois elementos estão sujeitos a flexão e ao cisalhamento, porém o elemento de maior dimensão, ou seja a viga, necessita de estribos, porque possui uma quantidade maior de bielas comprimidas, que se formam em função das fissurações obliquas que ocorrem próximo a ruptura do elemento. e o outro elemento, o consolo curto, possui apenas uma biela comprimida, não sendo portanto, necessário a existência de estribos para combater os esforços de cisalhamento. O caso B, tem sua solução segundo o método das bielas comprimidas, semelhante ao cálculo de uma ―mão-francesa‖: L ≤ d ≤ 2L As sapatas cujas dimensões satisfaçam a equação L ≤ d ≤ 2L podem ser, por analogia, calculadas pelo método das bielas . Assim a sapata deve atender as seguintes relações geométricas:

d  d 

a  ao 4

a  ao 2

d  d 

b  bo

a  ao

4

4

b  bo

b  bo

2

4

 d   d 

a  ao 2 b  bo 2

O rodapé ho e a inclinação q devem atender as seguintes relações:

153

ho 

h 3

 20

  30 

Devido a características semelhantes às de lajes, a sapatas deverão ter altura útil d que atendam a solicitações de punção: d  1,44

1,4  P 0,85  fcd

Cálculo da armadura pelo método das bielas

triângulo de forças

triângulo geométrico

a 4

a a0  T a 4 4 tg    P d 2

T a 



ao 4

P a  a0  8d

P = carga no pilar Ta = força total de tração na direção do lado ―a‖ da sapata Asa 

1,4  Ta f yd

 Asamin  0,001 b  h

Para a armadura do lado ―b‖, (A sb) basta alterar nas equações os valores de ―a‖ para ―b‖ e de ―ao‖ para ―bo‖ Cargas excêntricas (pilares transmitem momento a fundação)

154

 1   2     2  2  2  3 Tensões de contato de fundações rígidas pela teoria da elasticidade

 ( x ,y )

Iy





P A



Mx

y

Ix

b  a 3

e

12

Ix

My



Iy

x

a  b 3 12

A equação anterior somente pode ser utilizada se a inequação abaixo for atendida, caso contrário haverá tração na sapata, fato que não pode ocorrer.

ex a

ey





Mx P

ey



b

e

1 6

ex



My P

155

Blocos de Coroamento Blocos sobre uma estaca ou um tubulão O cálculo é efetuado pelo método das bielas

a>b

A altura “h” do bloco deve ser ≥ 1,2 x a ou L b (arranque do pilar) Este tipo de bloco é calculado em função dos esforços de fendilhamento, provocado pelo caminhamento das tensões em direção à estaca.

 

Z 1  0,3 P 1 

 t máx  0,4 1

a0 

 a 

 

Z 2  0,3 P 1 

P  a0  1   a  b  a 

máx

 t 2

 0,4

b0 



b 

P  b0  1   a  b  b 

Se t1 e t2 < fck /25 (Resistência ao fendilhmanto do concreto), não seria necessário armar o bloco, porém o bloco será sempre armado com uma armadura dado pelas equações abaixo:

As1 

 f  Z 1 fyd

As2 

 f  Z 2 fyd

Detalhamento da Armadura 156

As1 ou As2 ( o que for maior)

Blocos sobre duas estacas Cálculo da distância entre estacas Efeito de grupo – Método da A.A.S.H.T.O - a capacidade de carga de um grupo de estacas é menor que a somatória das capacidades de cargas de estacas isoladas. Esta capacidade diminui a medida que as estacas se aproximam uma das outras. O método abaixo preconizado pela norma americana pode ser utilizado com segurança.

 ( n  1 )m  ( m  1 )n   90mn 

  1   

Onde: h é a eficiência do grupo de estacas 

é o ângulo em graus cuja tangente é



n é o nº de

estacas em fila

d e

m é o número de filas de estacas

tan  

tan  

e 2

T N

a0 4 d



157

e T N



2

 d

a0 4

 e a 0     N 2e  a 0   T   2 4  N  T   d  4d     As 

 f  T

fyd

A altura útil ―d‖ deve atender a equação: e 2



a0 4

 d e

a0 2

Normalmente adota-se 0,5 e A biela de compressão deve ser verificada com a carga N b N b



T2  N2

bb máx  2  d Para blocos sobre duas estacas bb pode ser tomado igual a largura do bloco.

hb máx 

 cd  biela



2 2

 f  Nb b b  h b

d



2 3

fcd

Detalhamento

 d  2  R   inf t 2  e'    d  15cm  2

158

Armadura transversal

 t



1 8

As / face

Blocos sobre 3 estacas

L

A altura útil d deve atender a equação:

e 3 3



a0 2 6

L  d  2L

Normalmente adota-se 0,5 e

Cálculo da armadura (na direção da força T)

tan  

e 3 T N



3

 d

N

a0 2 6

e 3

T tan  

3



a0 2 6

d

 e 3 a 0 2     3 6   N  T  N2e T    d    

3  a0 2



6d

159

N é a carga na estaca mais carregada

As

As

As

As

As

As 

As

 f  T

T ' 

fyd

T 3

As 

3

 f  T ' fyd

Blocos sobre 4 estacas A altura útil ―d‖ deve atender a equação:

d 

e 2 2

1º caso

T 

N 2 2e  a0 

As

4d



 f  T

fyd

2º caso

T '  As 

T 2 2  f  T ' fyd

160

3º caso

T' '  T 2

***

Apêndice 1 Utilizando o AUTOCAD da AUTODESK para encontrar as propriedades físicas de uma seção O cálculo das propriedades geométricas de uma seção pode ser feito com auxílio de programa de desenho, como o AutoCAD. A utilização destes programas facilita muito o cálculo dos momentos de inércia nas duas direções e do centro de gravidade da seção

161

bruta. Segue abaixo um exemplo de cálculo de uma seção de uma forma da para lajes nervuradas.

Calcular o momento de inércia da seção e o centro de gravidade em relação a face superior da mesa colaborante. 1) Desenhar a seção com uma P_line a. DRAWPolyline 2) Encontrar a origem do sistema cartesiano do AutoCAD a. Digitar ―l‖ Enter b. Digitar ―0‖ Tab ―0‖ Enter c. O cursor vai se posicionar na origem do sistema, basta desenhar uma linha reta para marcar o local. d. Selecionar o desenho da seção no meio da face superior da mesa e mover até a origem (0,0)

3) DRAW Region a. Selecionar o desenho da seção b. O AutoCAD vai criar uma superfície dentro do desenho delimitado pela ―polyline‖. 4) Finalmente basta solicitar as propriedades geométricas da seção pelo comando a. Tools  Inquiry  Region/Mass properties

162

b. O AutoCAD apresentará, entre outros resultados, aqueles que realmente nos importa: Area: 450.8cm2 Centroid: X: 0.0 Y: -6.0cm Radii of gyration: X: 8.6 Y: 14.5cm Ix: 16.685.6cm4

163

Apêndice 2

164

165

166

Apêndice 3 - TABELA AUXILIAR DE FLECHAS E AÇÕES EM VIGAS – REGIME ELÁSTICO

CASO A: VIGA BI-APOIADA

CASO B: VIGA EM BALANÇO 167

CASO C: VIGA COM 3 APOIOS, CARREGAMENTO E VÃOS SIMÉTRICOS

M B 

3PL 16

R B

P

MB

2

L

 

R A



P 2



MB L

168

Para o pré-dimensionamento a flecha máxima no balanço pode ser calculada como no caso B e a flecha máxima no vão entre os pilares pode ser calculada como no caso A para balanços (L2) menores que 1/3 de L 1. Balanços maiores que 1/3 de L 1, ou com cargas concentradas na ponta muito elevadas, devem ser verificados por métodos mais exatos como em programas de elementos finitos. CASO D: VIGA COM DOIS APOIOS E BALANÇO

169

Apêndice 4 - PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO

Para pré-dimensionar uma seção retangular de concreto armado devemos levar em consideração os efeitos reológicos do concreto (retração e fluência) e a perda de rigidez ao longo da seção em função da fissuração. Para considerar a fissuração, iniciamos com um (EI)eq igual a 40%EcsIc. E para levar em consideração os efeitos reológicos, a flecha elástica no estádio II ( f EII) deve ser igual ou menor que a flecha admissível dividida pelo fator de fluência  que pode ser tomado igual a 2,46 para estruturas carregadas aos 15 dias. Então, Para pré-dimensionar uma seção retangular basta substituir na equação de flecha da viga o valor de f EII pelo valor de f ADM/2,46. Encontrar um momento de inércia necessário e calcular o valor de h que satisfaça a inércia requerida. Exemplo: Pré-dimensionar a seção da viga abaixo: Dados: fck 25MPa  Ecs = 2380kN/cm2

f ADM

f EII





L 250



500 250

2

5  0 ,17  500 4 384  0 ,4EcsIc 

f ADM 2 ,46

 0 ,813 



2 2 ,46

 0 ,813cm

5  0 ,17  500 4 384  0 ,4  2380  Ic

 Ic 

Ic  178445 ,81cm

Ic 

bh 3 12

h3

384  0 ,4  2380  0 ,813

4

178445 ,81 12 17

5  0 ,17  500 4

 50 ,15cm

A favor da segurança a dimensão da seção pode ser igual a 17 x 51cm VERIFICAÇÃO DA SEÇÃO COM A EQUAÇÃO DE BRANSON COM I II IGUAL A 0,4I C

Carga considerando o peso da Viga wELS = 17 + ( 0,17 x 0,51 x 25) = 19,17kN/m

170

Ma = 19,17 x 5 2 ÷ 8 = 59,90kN.m

 x

100 = 5990kN.cm

2    0 ,3  25 3  1 ,5   17  512   10    Mr   2835 ,37kN.cm  Ma  Estádio II

6

 2835 ,37  3  17  513    2835 ,37  3   17  513    1     207.363.310 ,22cm 4 EIEQ  2380         0 ,4  5990 ,00   12    5990 ,00    12  f EII



5  0 ,1917  500

4

384  207.363.310 ,22

 0 ,7523cm

f   2 ,46  0 ,7523  1 ,85cm  f ADM

 ok!

VERIFICAÇÃO DA SEÇÃO COM A EQUAÇÃO DE BRANSON E COM I II REAL Neste caso devemos levar em consideração a posição da linha neutra no estádio II puro. Para isso precisamos da armadura na seção. A posição da linha neutra é dada igualando-se os momentos estáticos abaixo e acima da linha neutra kd. Para esta seção e este carregamento a armadura As = 4,908cm 2

A posição da linha neutra k d é: b w kd 2 n



2

 nAs d  k d   onde n 

21000 2380

 8 ,824 

17 kd 2

2

Es Ec

e d  51  4

 8 ,824  4 ,90847  k d 

171

17k d 2

2

 43 ,31k d  2035 ,48  0

Resolvendo a equação do 2º grau temos uma única raiz positiva k d = 13,14cm

O III real, pela teoria dos eixos paralelos, será então: 3



I II 1713 ,14

b w k d  3

 nAs d  k d 2

3

I II



3

 8 ,824  4 ,90847  13 ,142  62509cm4

Resolvendo a equação de Branson com III igual a 62509cm 4

 2835 ,37  3  17  513    2835 ,37  3     1   EIEQ  2380         62509  180428374 ,5cm 4  5990 ,00   12    5990 ,00    f EII



5  0 ,1917  500

4

384  180428374 ,5

 0 ,8646cm

f   2 ,46  0 ,8646  2 ,13cm

Observe que o resultado real ficou 1,3mm acima do valor admissível e a diferença em relação ao cálculo aproximado com III = 0,4Ic foi de 2,8mm, insignificante em se tratando de estruturas de concreto. É claro que se formos trabalhar com vigas de grandes vãos e sujeitas a grandes carregamentos o cálculo exato em programa de elementos finitos é mais recomendado.

172

Apêndice 5 – TABELA DE BARES MOMENTO FLETOR EM LAJES RETANGULARES REGIME RÍGIDO PLÁSTICO Tabela - Momentos Fletores, Regime Rígido Plástico Tipo de Laje

b/a

ma

mb

ma

mb

ma

mb

ma

mb

ma

mb

ma

mb

0,500 0,525 0,550 0,575 0,600 0,625 0,650 0,675 0,700 0,725 0,750 0,775 0,800 0,825 0,850 0,875 0,900 0,925 0,950 0,975 1,000 1,025 1,050 1,075 1,100 1,125 1,150 1,175 1,200

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 12,0 24,0 22,9 21,8 21,0 20,1 19,4 18,6 18,0 17,4

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 12,0 24,0 24,1 24,1 24,2 24,3 24,5 24,6 24,9 25,1

122,1 107,2 92,2 82,4 72,6 65,9 59,2 54,5 49,7 46,2 42,7 40,2 37,6 35,6 33,6 32,1 30,5 29,3 28,1 27,1 26,1 25,3 24,5 23,9 23,2 22,7 22,1 21,7 21,2

50,9 48,7 46,5 45,1 43,6 42,7 41,7 41,2 40,6 40,4 40,1 40,1 40,1 40,3 40,5 40,9 41,2 41,8 42,3 43,0 43,6 44,4 45,1 46,0 46,8 47,8 48,8 49,9 50,9

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 20,0 40,0 38,2 36,4 35,0 33,5 32,3 31,0 30,0 29,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 20,0 40,0 40,1 40,1 40,3 40,5 40,8 41,0 41,4 41,8

103,2 92,3 81,4 74,2 66,9 61,9 56,9 53,3 49,7 47,0 44,3 42,3 40,3 38,8 37,2 36,0 34,8 33,8 32,8 32,0 31,2 30,6 29,9 29,4 28,8 28,4 27,9 27,5 27,1

64,5 63,1 61,6 60,9 60,2 60,2 60,1 60,5 60,8 61,6 62,3 63,4 64,5 65,9 67,2 68,8 70,4 72,2 74,0 76,0 78,0 80,2 82,4 84,8 87,1 89,7 92,2 94,9 97,6

215,6 188,4 161,2 143,4 125,6 113,5 101,4 92,8 84,2 78,0 71,8 67,2 62,5 59,0 55,5 52,8 50,0 47,9 45,7 44,0 42,2 40,8 39,4 38,3 37,1 36,2 35,2 34,4 33,5

80,8 77,0 73,2 70,5 67,8 66,0 64,2 63,1 61,9 61,3 60,6 60,3 60,0 60,1 60,1 60,5 60,8 61,3 61,8 62,6 63,3 64,3 65,2 66,3 67,3 68,6 69,8 71,2 72,5

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 30,0 60,0 57,3 54,6 52,4 50,2 48,4 46,6 45,1 43,5

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 30,0 60,0 60,1 60,2 60,5 60,7 61,2 61,6 62,2 62,7

173

1,225 1,250 1,275 1,300 1,325 1,350 1,375 1,400 1,425 1,450 1,475 1,500 1,525 1,550 1,575 1,600 1,625 1,650 1,675 1,700 1,725 1,750 1,775 1,800 1,825 1,850 1,875 1,900 1,925 1,950 1,975 2,000

16,9 16,4 16,0 15,5 15,2 14,8 14,5 14,2 13,9 13,6 13,4 13,1 12,9 12,7 12,6 12,4 12,2 12,0 11,9 11,7 11,6 11,5 11,4 11,2 11,1 11,0 10,9 10,8 10,8 10,7 10,6 10,5

25,4 25,6 26,0 26,3 26,7 27,0 27,4 27,8 28,2 28,6 29,1 29,6 30,1 30,6 31,1 31,6 32,2 32,7 33,3 33,9 34,5 35,1 35,8 36,4 37,1 37,7 38,4 39,1 39,8 40,5 41,3 42,0

20,8 20,4 20,1 19,8 19,5 19,2 19,0 18,7 18,5 18,2 18,0 17,8 17,7 17,5 17,4 17,2 17,1 16,9 16,8 16,7 16,6 16,5 16,4 16,3 16,2 16,1 16,0 15,9 15,9 15,8 15,7 15,6

52,1 53,2 54,4 55,6 56,9 58,2 59,6 61,0 62,5 63,9 65,4 66,9 68,5 70,1 71,8 73,4 75,1 76,8 78,6 80,3 82,2 84,0 85,9 87,8 89,8 91,7 93,8 95,8 97,9 99,9 102,1 104,2

28,2 27,3 26,6 25,9 25,3 24,7 24,2 23,6 23,2 22,7 22,3 21,9 21,6 21,2 20,9 20,6 20,3 20,0 19,8 19,5 19,3 19,1 18,9 18,7 18,6 18,4 18,2 18,0 17,9 17,8 17,7 17,5

42,3 42,7 43,3 43,8 44,4 44,9 45,6 46,3 47,0 47,7 48,5 49,3 50,1 50,9 51,8 52,7 53,6 54,5 55,5 56,5 57,5 58,5 59,6 60,6 61,8 62,9 64,1 65,2 66,4 67,5 68,8 70,0

O valor do momento fletor positivo é dado por: M 

26,8 26,4 26,2 25,9 25,7 25,4 25,2 24,9 24,7 24,5 24,4 24,2 24,1 23,9 23,8 23,6 23,5 23,4 23,3 23,2 23,1 23,0 22,9 22,8 22,7 22,6 22,6 22,5 22,4 22,3 22,3 22,2

100,4 103,2 106,2 109,2 112,4 115,5 118,8 122,1 125,5 128,9 132,5 136,1 139,8 143,5 147,3 151,1 155,1 159,1 163,2 167,3 171,5 175,7 180,1 184,5 189,0 193,5 198,1 202,7 207,5 212,2 217,1 222,0

32,9 32,2 31,6 31,0 30,5 30,0 29,6 29,1 28,8 28,4 28,1 27,7 27,4 27,1 26,9 26,6 26,4 26,1 25,9 25,7 25,5 25,3 25,2 25,0 24,9 24,7 24,6 24,4 24,3 24,1 24,0 23,9

74,0 75,4 77,0 78,6 80,3 82,0 83,8 85,6 87,5 89,4 91,4 93,4 95,5 97,6 99,8 102,0 104,3 106,6 109,0 111,3 113,8 116,2 118,8 121,3 124,0 126,6 129,3 132,0 134,8 137,6 140,5 143,3

42,3 41,0 39,9 38,8 37,9 37,0 36,2 35,4 34,7 34,0 33,4 32,8 32,3 31,8 31,4 30,9 30,5 30,0 29,7 29,3 29,0 28,7 28,4 28,1 27,9 27,6 27,4 27,1 26,9 26,6 26,5 26,3

63,6 64,4 65,0 65,6 66,5 67,4 68,4 69,4 70,5 71,6 72,8 73,9 75,2 76,4 77,7 79,0 80,4 81,8 83,3 84,7 86,3 87,8 89,4 91,0 92,7 94,3 96,0 97,7 99,5 101,3 103,2 105,0

1  pa 2 m

O valor do momento fletor negativo na direção de a ou b, se tiver, será dado por:

X i 1,5 M . i


174

Apostila Concreto - Prof. Ronilson (1)

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