SÉRIES FINITAS DE PAGAMENTOS POSTECIPADAS: INTRODUÇÃO. MONTANTE (FV)
CONCEITO Essas séries de capitais podem representar na prática uma seqüência de pagamentos para a constituição de um certo fundo de poupança, pagamento de dívidas, contribuições previdenciárias, remunerações remunerações ao trabalho ou ao capital etc. Exemplo Um financiamento de casa própria é um caso de renda certa temporária, de termo variável (sujeito à variação da TR) e periódica. Um financiamento de eletrodoméstico é um caso de renda certa temporária, de termo constante (você sabe quanto pagará de juros) e periódica. Já a caderneta de poupança pode se considerar como um caso de renda certa perpétua (pelo menos enquanto o dinheiro estiver à disposição para aplicação ), de termo variável e periódica.
RENDAS CERTAS DE TERMOS CONSTANTES As rendas certas de termos constantes ou também chamadas séries periódicas uniformes podem ser divididas em séries postecipadas, séries antecipadas e séries diferidas. As séries postecipadas são aquelas em que os pagamentos ocorrem no fim de cada período e não na origem, por exemplo, pagamentos de fatura de cartão de crédito. Nas séries antecipadas , os pagamentos são feitos no início de cada período respectivo, por exemplo, financiamentos com pagamento à vista. Nas séries diferidas , o período de carência constitui-se em um prazo que separa o início da operação do período de pagamento da primeira parcela, por exemplo, promoções do tipo “compre hoje e comece a pagar daqui a x dias”. Nas séries diferidas, quando o primeiro pagamento ocorre no início do primeiro período após o término da carência, chama-se série diferida antecipada; se for no final do primeiro período após o término da carência, chama-se série diferida postecipada.
Séries Uniformes Postecipadas Na série postecipada, os pagamentos ocorrem no fim de cada período: PMT (Valor dos termos da da série)
0
1
3
4.........................n (número de termos da série)
Séries Uniformes Antecipadas Na série antecipada, os pagamentos ocorrem no início de cada período: PMT
0
1
2
2
3
4.............................n-1
Séries Uniformes Diferidas Série diferida antecipada PMT
carência 0
k
k+1
k+2
k+3..........................k+n
Série diferida postecipada PMT carência 0
k
k+1
k+2
k+3..................... k+n+1
MONTANTE DAS RENDAS CERTAS, TEMPORÁRIAS DE TERMOS CONSTANTES
Como você deve se lembrar , Montante nada mais é do que a somatória dos juros com o capital principal. Definimos montante de uma renda certa como a soma dos montantes de seus respectivos termos. Para saber se estamos diante de uma série do modelo básico, postecipada, ou diante de uma série antecipada, devemos observar o último intervalo da série. Lembrando, a série é postecipada quando a parcela ocorre no final do intervalo. Em série postecipada o valor futuro ocorre na data do último depósito.
FV
Valor Futuro ou Montante
PV
Valor Presente
PMT
Prestações ou Valor dos depósitos
n
Números de Prestações ou Depósitos
i
Taxa de Juros
POSTECIPADAS Cálculo do valor futuro (FV) Podemos determinar o montante de séries, basicamente de três maneiras distintas: pelo somatório dos montantes de cada depósito, pela fórmula ou pela calculadora financeira. fi nanceira.
Exemplo 1 Uma pessoa deposita mensalmente numa caderneta de poupança programada o valor de $ 5.000,00. Sabendo que o Banco paga juros de 5,5%a.m., quanto possuirá no momento do 5º depósito? Solução: PMT = $5.000,00 i = 5,5% a.m. n = 5 depósitos mensais FV = $ ?
0
PMT
PMT
1
2
PMT 3
PMT
PMT
4
5
a) Pelo somatório do montante de cada depósito Podemos determinar o montante de uma sucessão de pagamentos, recebimentos ou depósitos através do somatório dos montantes de cada anuidade. A fórmula para o valor futuro de cada depósito é: FV PV (1 i) n
ou M C1 i n
O somatório dos valores futuros é:
FV FV1 FV2 FV3 FV4 FV5
FV 5000(1 0,055) 4 5000(1 0,055)3 5000(1 0,055) 2 5000(1 0,055)1 5000 FV 27.905,46
b) Pela fórmula Os fatores que determinam o montante de cada prestação “PMT” mantêm entre si uma progressão geométrica e, por isso, será usada a fórmula do somatório da progressão geométrica. Denominar-se-á o resultado do somatório da progressão geométrica de FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL de “n” períodos na taxa “i”: FAC(n, i) Sn i
(1 i) n 1 i
Este fator pode ser encontrado na tabela financeira. Podemos calcular o montante, multiplicando o depósito pelo valor do fator acima encontrado. Desta maneira a fórmula ficará: FV PMT Sn i
FV 5000
(1 0,055)5 1 0,055
FV 5000 5,581091026 FV 27.905,46
c) Utilizando a calculadora financeira HP 12C: f
FIN
5000
CHS
5,5
PMT
i
5
n FV
27.905,46
Obs. Se estiver visível na parte inferior do visor a expressão expressão BEGIN na HP 12C, pressione pressione g
antes de solicitar o resultado
end
FV
, quando for postecipado.
Como demonstrado nas três maneiras, o montante é de $27.905,46. Exemplo 2 Determinar o montante ou capital acumulado pelo depósito periódico postecipado (periodicidade dada abaixo juntamente com a taxa de juros compostos) de R$ 1.000,00 em um Fundo de Renda Fixa, durante 3 anos: Depósito Taxa (a) Mensal 3,5% a. m. (b) Trimestral 28% a. a. capitalizada trimestralmente (c) Semestral 21% a.a. (d) Bimestral 3% a.m. Solução: PMT = $1.000,00 Duração = 3 anos (a) n = 3 12 = 36 depósitos mensais i = 3,5%a.m FV PMT FV 1000
(1 i) n 1 i
PMT Sn i
(1 0,035)36 1 0,035
1000 70,00760318 70.007,60
Utilizando a calculadora financeira HP 12C: f
FIN
1000 3,5 36
CHS
PMT
i n FV
70.007,60
(b) n = 3 4 = 12 depósitos trimestrais 28 i= = 7% a.t. 4
FV 1000
(1 0,07)12 1 0,07
1000 17,8884512 17.888,45
Utilizando a calculadora financeira HP 12C: f
FIN
1000
CHS
7
i
12
n FV
PMT
17.888,45
(c) n = 3 2 = 6 depósitos semestrais 1 i = 21% a.a. = (1 0,21) 2 -1= 10% a.s. FV 1000
(1 0,1)6 1 0,1
1000 7,7156 7.715,61
Utilizando a calculadora financeira HP 12C: f
FIN
1000
CHS
10
i
6
n FV
PMT
7.715,61
(d) n = 3 6 = 18 depósitos bimestrais i = 3% a.m. = (1 0,03) 2 -1= 6,09% a.b. FV 1000
(1 0,0609)18 1 0,0609
1000 31,17041589
FV 31.170,42
Utilizando a calculadora financeira HP 12C: f 1000 6,09 18
FIN CHS
PMT
i n FV
31.170,42
Cálculo do valor do depósito (PMT)
O valor das prestações também pode ser calculado a partir do montante de anuidades, apenas posicionando antes da igualdade o
PMT
que é a representação do valor do depósito.
Exemplo Quanto um poupador deverá depositar ao fim de cada trimestre durante 3 (três) anos para formar um capital acumulado de R$ 100.000,00 ao término desse prazo, recebendo uma taxa de 18% a.a. capitalizada trimestralmente? tri mestralmente? a) R$ 8.333,33 b) R$ 6.466,62 c) R$ 2.862,78 d) R$27.992,39 e) R$ 6.569,91 Solução: FV = $100.000,00 18 i= = 4,5% a.t. 4 n = 3 4 = 12 depósitos trimestrais PMT = $ ? PMT
PMT
100000 0,045
(1 0,045)12 1 PMT 6.466,62
FV Sn i
FV i (1 i) n 1
4500 0,695881432
Utilizando a calculadora financeira HP 12C: f
FIN
100000
CHS
4,5
FV
i
12
n PMT
6.466,62
Resposta: Letra (b) 6.466,62 Obs. Se estiver visível na parte inferior do visor a expressão expressão BEGIN na HP 12C, pressione pressione g
end
antes de solicitar o resultado
PMT
, quando for postecipado.
Cálculo da taxa (i)
Como se tem dificuldade em determinar a taxa, pode-se encontrá-la pela interpolação, pela tentativa e erro e / ou pela calculadora financeira. Exemplo Uma pessoa deposita mensalmente $5.000,00 numa caderneta de poupança e, no momento do 5º depósito, seu saldo era de $28.753,70. Determinar a taxa de juros paga pelo banco. Solução: FV = $28.753,70 PMT = $5.000,00 n = 5 depósitos mensais i = ? %a.m. Sn i
Sn i
FV PMT
28.753,7 5.000
FV PMT
5,750740
Neste caso, procurando na tabela financeira, temos S5 7 = 5,750739, ou seja i = 7% a.m., que é uma diferença com a qual não nos preocuparemos. preocuparemos. Se quisermos saber com exatidão a taxa deveremos utilizar a Tentativa e Erro. Utilizando a calculadora financeira HP 12C: f
FIN
28753,7
CHS
5000
PMT
5
n i
FV
7% a.m.
Obs. Se estiver visível na parte inferior do visor a expressão expressão BEGIN na HP 12C, pressione pressione g
end
antes de solicitar o resultado
i
, quando for postecipado.
Cálculo da quantidade de depósito (n) Podemos determinar a quantidade de depósitos pela fórmula: Sn i
FV PMT
Exemplo Quantos depósitos mensais de $5.000,00 deverão realizar uma pessoa para que tenha no ato do último depósito o saldo de $27.905,46, recebendo recebendo uma taxa de 5,5% a.m.? Solução: FV = $27.905,46 PMT = $5.000,00 I = 5,5% a.m. n = ? depósitos mensais 27905,46
Sn 5,5
5,581092
5000
Usando a tabela financeira, encontramos que n é, aproximadamente 5 depósitos, utilizando o fator como S5 5,5 = 5,581091026. Se não encontrar um valor aproximado na tabela financeira pode ser utilizado o logaritmo: Sn i 5,581092 (1 0,055) n 1 0,055
5,581092
(1,055) n 1,30696
Vamos agora utilizar o logaritmo: ln(1,055) n ln(1,030696)
Utilizando uma das propriedades do logaritmo, teremos: n ln(1,055) ln(1,030696) n
ln(1,030696) ln(1,055)
0,267704 0,053541
5
n = 5 depósitos mensais Utilizando a calculadora financeira HP 12C: f
FIN
27905,46
CHS
5000
PMT
5,5
i n
FV
5 depósitos mensais
ANTECIPADAS É uma série antecipada relativa ao montante quando o último depósito da série ocorrer um intervalo antes do momento em que queremos saber ou sabemos, o montante. Diagrama: PMT PMT PMT ... PMT 0
1
2
...
n-1
n
Cálculo do valor futuro (FV) Para calcular o montante utilizaremos a seguinte fórmula:
FV PMT Sn 1 i 1
(1 i) n 1 (1 i) FV PMT
Exemplo Determinar o montante ou capital acumulado pelo depósito periódico antecipado (periodicidade dada abaixo juntamente com a taxa de juros compostos) de R$ 1.000,00 em um Fundo de Renda Fixa, durante 3 anos, com depósitos antecipados: Depósito Taxa (a) Mensal 3,5% a. m. (b) Trimestral 28% a. a. capitalizada trimestralmente (c) Semestral 21% a.a. (d) Bimestral 3% a.m. Solução: PMT = $1.000,00 Duração = 3 anos (a) n = 3 12 = 36 depósitos mensais i = 3,5%a.m (1 i) n 1 (1 i) FV PMT PMT Sn 1 i 1 i (1 0,035)36 1 (1 0,035) FV 1000 1000 72,45787 72.457,87 0 , 035
Utilizando a calculadora financeira HP 12C: f
FIN
1000 3,5
CHS
PMT
i
36
n g
BEG FV
(b) n = 3 4 = 12 depósitos trimestrais
72.457,87 i=
28 4
= 7% a.t.
(1 0,07)121 (1 0,07) FV 1000 1000 19,14064 19.140,64 0 , 07
Utilizando a calculadora financeira HP 12C: f
FIN
1000
CHS
7
i
12
n g
PMT
BEG 19.140,64
FV
(c) n = 3 2 = 6 depósitos semestrais 1 i = 21% a.a. = (1 0,21) 2 -1= 10% a.s. (1 0,1)6 1 (1 0,1) FV 1000 1000 8,48717 8.487,17 0,1
Utilizando a calculadora financeira HP 12C: f
FIN
1000
CHS
10
i
6
n g
PMT
BEG 8.487,17
FV
(d) n = 3 6 = 18 depósitos bimestrais i = 3% a.m. = (1 0,03) 2 -1= 6,09% a.s. (1 0,0609)181 (1 0,0609) FV 1000 1000 33,06869 33.068,69 0,0609
Utilizando a calculadora financeira HP 12C: f
FIN
1000
CHS
6,09
PMT
i
18
n g
BEG FV
33.068,69
DIFERIDAS Para o montante, carência não existe antes dos depósitos; se considerarmos alguma carência, esta deverá ser após o último depósito. Sabemos que, quando não temos valor depositado, não recebemos juros, por este motivo a afirmação acima. Assim, quando queremos saber um montante mais de um intervalo após o último depósito, calculamos o montante da série e depois o montante por capitalização composta. Fórmula para o montante da renda diferida de termos postecipados: PMT
PMT
...
0 1 2 ... Onde: n = número de termos k = diferimento ou prazo de carência
PMT n
FV=? n+k
FV PMT Sn k i Sk i 1 (1
FV PMT (1 i) n k
Exemplo Uma pessoa efetua 8 depósitos mensais de $ 20.000,00, recebendo uma taxa de 10%a.m. de juros. Quanto terá esta pessoa 4 meses após o último depósito? Solução: PMT = $ 20.000,00 i = 10% a.m. n = 8 depósitos mensais k = 4 meses de carência FV = ? FV 20000(1 0,1)
8 4
1 (1 0,1) 8 20000 3,138428377 5,334925198 334.865,68 0 , 1
Utilizando a calculadora financeira HP 12C: f
FIN
20000
CHS
8
n
10
i
PMT
FV
4
CHS
PV
CLx
PMT n FV
334.865,68
Fórmula para o montante da renda certa diferida de termos antecipados: PMT 0
PMT
...
PMT
1
...
n-1
FV=? n
Onde: n = número de termos k = diferimento ou prazo de carência Sk 1 i FV PMT S n k 1 i 1 FV PMT (1 i) n k 1
Obs. Usar o exemplo anterior sendo antecipado.
n+k
SÉRIES FINITAS DE PAGAMENTOS POSTECIPADAS, ANTECIPADAS E DIFERIDAS: VALOR ATUAL. SÉRIES INFINITAS (OU POSTECIPADAS) VALOR ATUAL Valor Atual ou Valor Presente das Rendas Certas pode ser definido como a soma dos valores atuais dos seus respectivos termos. POSTECIPADAS Cálculo do valor presente (PV) Para determinarmos o valor atual de uma sucessão de pagamentos ou recebimentos, somamos o valor atual do desconto racional composto de cada parcela da série
Podemos determinar o valor atual de séries, também de três maneiras distintas: pelo somatório dos valores atuais de cada depósito, pela fórmula ou pela calculadora financeira. Exemplo Determinar o valor, a vista, de uma série de 6 prestações (títulos) de $20.000,00, vencíveis mensalmente, a partir do 1º mês, sabendo que a taxa é de 5% a.m. Solução: PMT = $ 20.000,00 i = 5% a.m. n = 6 depósitos mensais PV= ? PV=?
PMT
PMT
PMT
0
1
2
3
PMT
PMT
4
5
PMT 6
a) Pelo somatório dos valores atuais de cada depósito Partindo da fórmula do desconto racional composto, temos: PV
FV (1 i)n
Onde o “n” será substituído pelo número correspondente à prestação, da seguinte maneira: na primeira prestação “n” será 1, na segunda “n” será 2 e assim por diante. O FV, quando queremos calcular o valor atual de uma série de pagamentos, será o valor de cada prestação. O somatório dos valores atuais é: PV PV1 PV2 PV3 PV4 PV5 PV6 PV
20000 (1 0,05)1
20000 (1 0,05) 2
20000 (1 0,05)3
20000 (1 0,05) 4
20000 (1 0,05)5
PV 19047,62 18140,59 17276,75 16454,05 15670,52 14924,31 PV 101513,84
20000 (1 0,05)6
b) Pela fórmula O resultado do somatório da progressão geométrica passaremos a denominar de FATOR DE VALOR ATUAL de “n” períodos na taxa “i”: FVA(n , i) a n i
(1 i) n 1 i (1 i) n
Esse fator pode ser encontrado na tabela financeira. Podemos calcular o valor atual, multiplicando o depósito pelo valor do fator acima encontrado. Desta maneira a fórmula ficará PV PMT a n i
(1 i) n 1 PV PMT i 1 i n
(1 0 , 05 ) 6 1 PV 20000 6 0 , 05 (1 0 , 05 ) PV 101 . 513 , 84
20000 5 , 0756920673
c) Utilizando a calculadora financeira HP 12C: f
FIN
20000
CHS
5
PMT
i
6
n PV
101.513,84
Obs. Se estiver visível na parte inferior do visor a expressão expressão BEGIN na HP 12C, pressione pressione g
end
antes de solicitar o resultado
PV
, quando for postecipado.
Como demonstrado nas três maneiras, o valor atual é de 101.513,84
ANTECIPADAS A série é antecipada em relação ao valor atual quando a primeira parcela ocorrer na data zero, de entrada, sendo esta entrada de mesmo valor das demais parcelas. Diagrama: PMT
PMT
0
1
PMT
PMT
...
PMT
2
3
...
n-1
n
Cálculo do valor presente (PV) Para calcular o valor atual utilizaremos utili zaremos a seguinte fórmula:
PV PMT 1 a n 1 i
1 (1 i) n PV PMT (1 i) i Exemplo Determinar o valor, a vista, de uma série de 6 prestações (títulos) de $20.000,00, vencíveis mensalmente, sendo a primeira no ato da compra, sabendo que a taxa é de 5% a.m. Solução: PMT = $ 20.000,00 i = 5% a.m. n = 6 depósitos mensais PV= ? 1 (1 0 , 05 ) 6 PV 20000 (1 0 , 05 ) 0 , 05 PV 106 . 589 , 53
Utilizando a calculadora financeira HP 12C: f
FIN
20000 5 6
CHS
PMT
i n g BEG PV
106.589,53
20000 1 , 05 5 , 0756920673
DIFERIDAS Séries diferidas antecipadas em relação a um valor atual são aquelas em que a primeira parcela vence juntamente com a carência, enquanto séries postecipadas são aquelas em que a primeira parcela vence um período após a carência. Fórmula para o valor atual da renda diferida de termos postecipados: PV=?
...
0 1 2 ... Onde: n = número de termos k = diferimento ou prazo de carência
PMT
PMT
...
PMT
k+1
k+2
...
k+n
k
PV PMT a n k i a k i 1 (1 PV PMT (1 i) k
Exemplo Aproveitando a promoção comercial: “Compre hoje e somente comece a pagar depois de 4 meses”, uma pessoa adquire uma mercadoria mediante 6 prestações mensais e iguais a R$ 1.200,00, vencendo a primeira prestação 30 dias após o vencimento da carência. Considerando que há no mercado de capitais uma taxa de juros compostos de 4,5%a.m., qual o valor máximo que estaríamos dispostos a pagar à vista pela referida mercadoria? Solução: PMT = R$ 1.200,00 i = 4,5% a.m. n = 6 depósitos mensais k = 4 meses de carência PV = ? PV 1200 (1 0,045 )
4 1 (1 0,045 )
0,045
6
1200 0,838561343 5,157872483 5.190 ,23
Utilizando a calculadora financeira HP 12C: f
FIN
1200
CHS
6
n
4,5
i
PMT
PV
4
CHS
FV
CLx
PMT n PV
5.190,23
Fórmula para o valor atual da renda certa diferida de termos antecipados:
PV=?
...
PMT
0 1 2 ... k Onde: n = número de termos k = diferimento ou prazo de carência
PMT
PMT ...
k+1
k+2
1 (1
PV PMT (1 i)1 k
PMT
... (k+n-1)
k+n
VALOR ATUAL DAS RENDAS CERTAS PERPETUA
As séries perpétuas são aquelas cujo prazo é ilimitado, não tem previsão de terminar. Não podemos calcular o montante da série perpétua por não termos a quantidade de prestações definidas. Para uma renda certa perpétua, imediata e postecipada, seu valor presente será:
0
PMT
PMT
PMT
...
1
2
3
...
PV
PMT i
Exemplo Uma residência foi alugada por $350,00 mensais. Se a taxa de melhor aplicação no mercado financeiro paga juros de 2,3% a.m., qual seria o provável preço do imóvel? Solução: PMT = $ 350,00 i = 2,3% a.m. PV = ? PV
350 0,023
PV = 15.217,39
Para uma renda certa perpétua, imediata e antecipada, seu valor presente será: PMT
PMT
PMT
PMT
...
0
1
2
3
...
1 PV PMT 1 i
Para uma renda certa perpétua, diferida e postecipada, seu valor presente será: PV=? 0
k
PMT
PMT
PMT
...
k+1
k+2
k+3
...
1 PV PMT a k |i i 1 PV PMT 1 i k
Exemplo Uma jazida de ouro, com reservas para exploração por mais de cem anos, produz lucros médios de $4.000.000/ano. Calcular o valor da mina, considerando que nos próximos dois anos a mina não operará por motivos de renovação de equipamentos. O custo de oportunidade do capital é de 15%a.a. Solução: PMT = $ 4.000.000 i = 15 % a.a. k = 2 anos de carência PV = ? PV 4000000
1 0,15
(1 0,15 ) 2
PV = 20.163.831,13 20.163.831,13
Para uma renda certa perpétua, diferida e antecipada, seu valor presente será: PV=? 0
PMT
PMT
PMT
PMT
...
k
k+1
k+2
k+3
...
1 PV PMT a k 1|i i 1 PV PMT 1 i 1 k
Exemplo Uma sociedade de beneficência pública ganhou de um mecenas uma doação de $25.000/ano em forma indefinida, recebidos no início de cada ano depois de transcorridos dois anos contados a partir da data da doação. A juros de 15% a.a., calcular o valor presente dessa doação. Solução: PMT = $ 25.000 i = 15 % a.a. k = 2 anos de carência PV = ? PV 25000
1 0,15
PV = 144.927,54
(1 0,15 )1 2
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO Exemplo 01 Calcular o valor atual ou presente de uma seqüência de depósitos periódicos (periodicidade fornecida abaixo juntamente com a taxa de juros), postecipados, de R$ 10.000,00, durante 2 (dois) anos: Depósito Taxa (a) Mensal 4% a. m. (b) Bimestral 30% a. a. capitalizada bimestralmente (c) Trimestral 3% a.m. (d) Quadrimestral 33,1% a.a. Solução: PMT = $10.000,00 Duração = 2 anos (a) n = 2 12 = 24 depósitos mensais i = 4 %a.m (1 i) n 1 PMT a n i PV PMT n i ( 1 i ) (1 0,04) 24 1 PV 10000 10000 15,24696314 152.469,63 24 0,04 (1 0,04)
Utilizando a calculadora financeira HP 12C: f
FIN
10000
CHS
4
PMT
i
24
n PV
152.469,63
(b) n = 2 6 = 12 depósitos bimestrais i=
30 6
= 5% a.b.
(1 0,05)12 1 PV 10000 10000 8,863251636 88.632,52 12 0,05 (1 0,05) Utilizando a calculadora financeira HP 12C:
f
FIN
10000
CHS
5
i
12
n PV
PMT
88.632,52
(c) n = 2 4 = 8 depósitos trimestrais im = 3% a.m it. = (1 0,03)3 -1= 9,2727% a.t. (1 0,092727 )8 1 PV 10000 10000 5,479162096 54.791,62 8 0 , 092727 ( 1 0 , 092727 ) Utilizando a calculadora financeira HP 12C:
f 10000
FIN CHS
9,2727
PMT
i
8
n PV
54.791,62
(d) n = 2 3 = 6 depósitos quadrimestrais 1 ia = 33,1% a.a. iq = (1 0,331) 3 -1= 10% a.q. (1 0,1)6 1 PV 10000 10000 4,355260699 43.552,61 6 0 , 1 ( 1 0 , 1 ) Utilizando a calculadora financeira HP 12C:
f
FIN
10000
CHS
10
i
6
n PV
PMT
43.552,61
Exemplo 02 Um automóvel é vendido a prazo através do seguinte plano: R$ 12.000,00 de entrada e mais 6 prestações mensais de R$ 10.000,00 (cada prestação). Adotando uma taxa de juros compostos de 5% a.m. que preço máximo estaríamos dispostos a pagar à vista pelo automóvel: (a) R$ 72.000,00 (b) R$ 54.000,00 (c) R$ 62.756,92 (d) R$ 65.294,77 (e) R$ 61.432,87 Solução: Entrada = R$ 12.000,00 PMT = R$10.000,00 n = 6 depósitos mensais i = 5 %a.m 12.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 0
1
2
3
PV = ENTRADA + PV(Série imediata postecipada) postecipada) n (1 i) 1 PV ENTRADA PMT n i (1 i) (1 0,05)6 1 PV 12000 10000 6 0,05 (1 0,05)
PV = 12000 + 50756,92 PV = 62.756,92 Letra (c) R$ 6
Utilizando a calculadora financeira HP 12C: f
FIN
10000
CHS
5
i
6
n
PMT
PV ENTER 12000
+
62.756,92
4
5
6
Exemplo 03 Um financiamento de R$ 2.400,00 é solicitado para ser amortizado mediante um pagamento de R$ 1.000,00 ao fim de 5 meses, seguido de 6 (seis) pagamentos mensais postecipados e iguais. Adotando-se uma taxa de juros compostos de 12% a.a., capitalizada mensalmente, pode-se afirmar que cada pagamento mensal é de: (a) R$ 226,27 (b) R$ 253,73 (c) R$ 262,69 (d) R$ 435,24 (e) R$ 131,62 Solução: PV = R$ 2.400,00 k = 5 meses, com um pagamento de R$ 1.000,00 n = 6 depósitos mensais i=
12 = 1 %a.m 12
1000 0
1
2
3
4
PMT PMT PMT PMT PMT PMT
5
6
PV = PV(Entrada) + PV(Série diferida postecipada) n k 1 (1 i) PV PV(Entrada) PMT (1 i) i 2400
1000 (1 0,01)5
PMT (1 0,01)
5
1 (1 0,01) 6 0,01
2400 = 951,4656876 + 5,514197009 PMT PMT
1448,534312 5,514197009
PMT = 262,69 Letra (c) R$ 2
7
8
9
10
11
Exemplo 04 Uma mercadoria é vendida à vista por R$ 200.000,00 ou a prazo na condição seguinte: entrada de R$ 40.000,00 e mais 5(cinco) parcelas mensais. Determinar o valor máximo de cada parcela mensal se o mercado financeiro oferece juros compostos de 6% a.m. Solução: Entrada = R$ 40.000,00 PV = R$ 200.000,00 n = 5 depósitos mensais i = 6 %a.m PMT = ? 40.000 PMT PMT PMT PMT PMT 0
1
2
3
PV = ENTRADA + PV(Série imediata postecipada) postecipada) n (1 i) 1 PV ENTRADA PMT n i (1 i) (1 0,06)5 1 200000 40000 PMT 5 0,06 (1 0,06)
160000 = 4,212363785 PMT PMT
160000 4,212363785
PMT = 37.983,42 Utilizando a calculadora financeira HP 12C: f 160000
FIN CHS
6
i
5
n PMT
PV
37.983,42
4
5
Exemplo 05 Uma empresa solicita a um banco comercial um empréstimo de R$ 5 milhões, a ser amortizado mediante 6 prestações semestrais diferidas antecipadas, com 12 meses de carência. Sabendo-se que a taxa de financiamento fi nanciamento é de 32,25% a.a. (efetiva), determinar: (a) O valor das prestações semestrais; (b) O pagamento único que a empresa deverá fazer no final do financiamento, caso deixe de amortizar as 3(três) últimas parcelas semestrais. Solução: PV = 5.000.000,00 n = 6 prestações semestrais diferidas antecipadas k = 2 semestres i = 32,25% a.a. is (1 0,3225) 1 = 15% a.s. (a) PMT = ?
0
1 1 k
PV PMT (1 i)
PMT
PMT
2
3
4
PMT
PMT
PMT
5
6
7
PMT
PMT
PMT
5
6
7
1 (1 i) n i 1 2
5000000 PMT (1 0,15) PMT
PMT
1 (1 0,15) 6 0 , 15
5000000 3,290854516
PMT = R$ 1.519.362,21 (b)
0
1
2
3
4
FV* Montante das 3 últimas parcelas
Considerando como sendo uma série imediata antecipada, tem-se: (1 i) n 1 (1 i) FV* PMT i (1 0,15)31 (1 0,15) FV* 1519362,21 0,15 FV* 1519362,21 3,993375 FV* R$ 6.067.383,07
Exemplo 06 Se se faz atualmente um depósito de R$ 100.000,00 em uma Caderneta de Poupança, que fornece uma taxa de juros compostos de 4% a.m., pergunta-se: durante quanto tempo se pode fazer retiradas mensais de R$ 8.994,11 a fim de que, com a última retirada, nada reste como saldo na conta? Solução: PV = R$ 100.000,00 PMT = R$ 8.994,11 FV = 0 i = 4% a.m. n = ? depósitos mensais 1 i n 1 PV PMT n i 1 i 1 0,04n 1 100000 8994,11 n 0,04 1 0,04 100000 0,04 8994,11 1,04n
1,04 n 1,04n 1
1 0,5552645
1,8
Vamos agora utilizar o logaritmo: ln(1,04) n ln(1,8) Utilizando uma das propriedades do logaritmo, teremos: n ln(1,04) ln(1,8) n
ln(1,8) 0,587786664 15 ln(1,04) 0,039220713
n = 15 depósitos mensais Utilizando a calculadora financeira HP 12C: f
FIN
100000
CHS
8994,11
PMT
4
PV
i n
15 depósitos mensais
Exemplo 07 Um financiamento de R$ 100.000,00 foi solicitado para ser resgatado à taxa de juros compostos de 4,5% a.m., durante 13 meses, mediante prestações mensais antecipadas, com uma carência de 3 (três) meses antes da primeira prestação. Pedem-se: (a) Valor da Prestação mensal; (b) Saldo devedor remanescente no exato momento após o 6º pagamento. Solução: PV = R$ 100.000,00 i = 4,5%a.m. n = 10 prestações mensais antecipadas k = 3 meses
0
1
2
PMT
PMT
...
PMT
3
4
...
12
13
(a) PMT = ? 1 k
PV PMT (1 i)
1 (1 i) n i 13
100000 PMT (1 0,045) PMT
1 (1 0,045)10 0 , 045
100000 7,24591303
PMT = R$ 13.800,88 (b) ... 0
...
PMT
PMT
PMT
PMT
9
10
11
12
8
n = 4 prestações mensais postecipadas postecipadas (1 i)n 1 PV PMT n i ( 1 i ) (1 0,045) 4 1 13800,88 3,587525698 PV 13800,88 4 0,045 (1 0,045) PV R$ 49.511,02
13
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS SISTEMA FRANCÊS (SFA) – TABELA PRICE
CONCEITO A amortização é um processo financeiro pelo qual uma dívida ou obrigação é paga progressivamente por meio de parcelas de modo que ao término do prazo estipulado o débito seja liquidado. Essas parcelas ou prestações são a soma de duas partes: a amortização ou devolução do principal emprestado e os juros correspondentes aos saldos do empréstimo ainda não amortizados. PRESTAÇÃO = AMORTIZAÇÃO + JUROS
Essa separação permite discriminar o que representa devolução do principal (amortização) do que representa serviço da dívida (juros). Ela é importante para as necessidades jurídicocontábeis e na análise de investimentos, em que os juros, por serem dedutíveis para efeitos tributáveis têm um efeito fiscal. Entre os principais e mais utilizados sistemas de amortização de empréstimos temos: Sistema de Amortização Francês (conhecido também como Sistema Price), Sistema de Amortização Constante (SAC), Sistema de Amortização Americano e o Sistema Misto conhecido como Sistema de Amortização Crescente (Sacre). Muitas vezes os bancos e as instituições financeiras criam sistemas de amortização específicos, não-convencionais, adequados a determinadas situações ou características do mercado ou dos clientes. Para melhor compreensão dos termos utilizados em empréstimos e amortizações, apresentaremos apresentaremos a seguir as definições de alguns destes termos: a) Mutuante ou credor: aquele que dispõe do dinheiro e concede o empréstimo. b) Mutuário ou devedor: aquele que recebe o empréstimo. c) Taxa de juros: é a taxa contratada entre as partes. Pode referir-se ao custo efetivo do empréstimo ou não, dependendo das condições adotadas, e é sempre calculada sobre o saldo devedor. d) IOF: Imposto Imposto sobre Operações Financeiras. e) IOC: Imposto Imposto sobre sobre Operações Operações de Crédito. Crédito. f) Crédito: Transação Transação comercial em em que um comprador recebe imediatamente imediatamente um um bem ou serviço adquirido, mas só fará o pagamento depois de algum tempo determinado. Essa transação pode também envolver apenas dinheiro. O crédito inclui duas noções fundamentais: confiança, expressa na promessa de pagamento, e tempo entre a aquisição e a liquidação da dívida. g) Prazo de utilização: corresponde ao intervalo de tempo durante o qual o empréstimo é transferido do credor para o devedor. Caso seja em uma parcela, este prazo é dito unitário.
h) Prazo de carência: corresponde ao período compreendido entre o prazo de utilização e o pagamento da primeira amortização. Caso as amortizações forem antecipadas, a primeira amortização acontecerá exatamente na data final de carência; no entanto, se as amortizações forem postecipadas, temos sempre mais um intervalo, que ê característica das amortizações amortizações postecipadas. Durante o prazo prazo de carência, carência, portanto, o tomador do empréstimo pode pagar os juros, quando assim estiver combinado. Considera-se que existe carência quando este prazo é diferente ao período de amortização das parcelas. É possível também que as partes concordem em que os juros devidos no prazo de carência sejam capitalizados e pagos posteriormente, juntamente com o principal, ou numa só parcela na primeira amortização. i) Parcelas de amortização: amortização: correspondem correspondem às parcelas de devolução do do principal, ou seja, do capital emprestado. j) Prazo de amortização: amortização: é o intervalo de tempo tempo durante o qual qual são pagas as amortizações. amortizações. k) Prestação: é o soma da amortização, amortização, juros e outros encargos, pago em dado período. período. l) Planilha: é um quadro, quadro, padronizado ou ou não, onde são são colocados os valores referentes ao ao empréstimo, ou seja, o cronograma dos valores de recebimento ou de desembolso. m Prazo total do financiamento: é a soma do prazo de carência carência com o prazo de amortização. n) Saldo devedor: é o valor do empréstimo a pagar ou receber em determinado momento. momento. É o resultado do saldo anterior — (menos) o valor da amortização ou, durante a carência, o saldo anterior + (mais) os juros não pagos. o) Período de amortização: é o intervalo de tempo existente entre duas amortizações sucessivas.
SISTEMÁTICA GERAL DOS FINANCIAMENTOS A cada valor financiado (PV) corresponde uma contrapartida de “n” parcelas (ou pagamentos) ao longo do prazo de contratação do financiamento. Vejamos o diagrama abaixo:
PV
PMT1
PMT2
0
1
2
PMT3
3
...
PMTt
...
PMTn
...
t
...
n
Por sua vez, cada uma dessas parcelas PMT t (t = 1,2,3,...,n), que podem ser constantes ou variáveis em termos reais ou nominais, traz intrisecamente um “quantum” representativo do principal denominado quota de amortização, e de uma outra parte correspondente aos juros de amortização. De forma que, se representarmos, respectivamente, por “q t” e “jt”, essas partes representativas de cada prestação “P t”, teremos: PMTt q t jt
Além dessa relação, podemos adiantar que todos os sistemas de amortização abordados neste estudo levarão em conta relações básicas que norteiam os financiamentos no que diz respeito ao: (a) Somatório das quotas de amortização: amortização: n
qt
= valor financiado
t 1
(b) Somatório dos juros de de amortização: n
jt
= juro total do financiamento
t 1
(c) Juro de amortização amortização da prestação “PMT “PMT t”: jt i SD t 1
Onde: i = taxa de financiamento SDt-1 = saldo devedor do período “t-1” (d) Saldo devedor na na data “t”: SD t SD t 1 q t
ou SD t SD t 1 (1 i) PMTt
SISTEMA FRANCÊS (SF) - TABELA PRICE A denominação Sistema de Amortização Francês vem do fato de ter sido utilizado primeiramente na França, no século XIX. Esse sistema caracteriza-se por pagamentos do principal em prestações iguais, periódicas e sucessivas. É o mais utilizado pelas instituições financeiras e pelo comércio em geral. Como os juros incidem sobre o saldo devedor que, por sua vez, decresce à medida que as prestações são pagas, eles são decrescentes e, conseqüentemente, as amortizações do principal são crescentes. O Sistema ou Tabela Price tem esse nome em homenagem ao economista inglês Richard Price, o qual incorporou i ncorporou a teoria do juro composto às amortizações de empréstimos, no século XVIII. Basicamente a Tabela Price é um caso particular do Sistema de Amortização Francês, em que a taxa de juros é dada em termos nominais (na prática é dada em termos anuais) e as prestações têm período menor que aquele a que se refere a taxa de juros (em geral, as amortizações são pagas em base mensal). Nesse sistema, o cálculo das prestações é feito usando-se a taxa proporcional ao período a que se refere a prestação, calculada a partir da taxa nominal.
Representação gráfica: PMTt q1 qn
PMT J1 0
PMT
jn
1
n
t
No cálculo dos diversos parâmetros que compõe o sistema, iremos considerar a existência de um mercado de capitais perfeito, em que somente há uma taxa “i” para os financiamentos e para os excedentes de poupança postos à disposição dos ofertantes de recursos. Desse modo, admitindo o fluxo de caixa a seguir para um valor financiado (PV) e as correspondentes “n” parcelas de pagamento “PMT”, nesse sistema teremos:
Valor das prestações no período t i (1 i) n PMT PV n (1 i) 1
Saldo devedor SD t
Juros
Jt
1 i n t 1 PMT n t i 1 i
(1 i) n t 1 1 PMT n t 1 (1 i)
Amortização q t PMT jt
Exemplo Um financiamento de R$ 120.000,00 é solicitado pela Tabela Price para ser amortizado durante 18 meses, sendo os 13 primeiros meses de carência, à taxa de 168% a.a. (nominal). Sabendo-se que as prestações são mensais antecipadas e que são pagos juros no período de carência, elaborar a planilha de desembolso para o financiamento. Solução: PV = 120.000 n = 6 prestações mensais antecipadas k = 13 meses de carência j = 168% a.a. cap. mensalmente, então i =
168 = 14 % a.m. 12
São pagos juros no período de carência.
i (1 i) n 0,14 (1 0,14)6 PMT PV 120000 30.858,90 n 6 (1 i) 1 (1 0,14) 1 (1 i) n t 1 1 (1 0,14)6 11 1 PMT J1 30858,90 16.800,00 n t 1 6 11 ( 1 i ) ( 1 0 , 14 )
Jt
q t PMT jt
SD t
1 i n t 1 1 0,1461 1 PMT SD1 30858,90 105.941,00 n t 6 1 i 1 i 0,14 1 0,14
Mês (t)
Saldo devedor
Amortização q t PMT jt
Juros
Prestações
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
120.000,00 120.000,00 120.000,00 120.000,00 120.000,00 120.000,00 120.000,00 120.000,00 120.000,00 120.000,00 120.000,00 120.000,00 120.000,00 105.941,00 89.913,95 71.643,00 50.814,12 27.069,20 0,00
14.058,90 16.027,15 18.270,95 20.828,88 23.744,92 27.069,21
16.800,00 16.800,00 16.800,00 16.800,00 16.800,00 16.800,00 16.800,00 16.800,00 16.800,00 16.800,00 16.800,00 16.800,00 16.800,00 14.831,75 12.587,95 10.030,02 7.113,98 3.789,69
16.800,00 16.800,00 16.800,00 16.800,00 16.800,00 16.800,00 16.800,00 16.800,00 16.800,00 16.800,00 16.800,00 16.800,00 30.858,90 30.858,90 30.858,90 30.858,90 30.858,90 30.858,90
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) Pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), o principal é reembolsado em quotas de amortização iguais. Dessa maneira, nesse sistema as prestações são decrescentes, já que os juros diminuem a cada prestação. A amortização é calculada dividindo-se o valor do principal pelo número de períodos de pagamento. Esse tipo de sistema ‘as vezes é usado pelo Sistema Financeiro de Habitação (SFH), pelos bancos comerciais em seus financiamentos imobiliários e também, em certos casos, em empréstimos às empresas privadas através de entidades governamentais. Representação gráfica: PMTt
J1
jn
PMT1
PMTn q
0
q
1
n
t
Nesse sistema temos: q1 q 2 ... q n q Logo, PV
n
q n q t 1
Amortização
As quotas de amortização são constantes e calculadas dividindo-se o valor do principal inicial pelo número de períodos de pagamento: Se PV = n q
PV
Saldo devedor
O saldo devedor em um determinado período é igual ao principal inicial menos à soma das amortizações já pagas: SDt = PV - t q
-
t
Juros Os juros em t são calculados sobre o saldo devedor em t-1: J t i SD t 1
Substituindo expressões, simplificando e destacando J t:
-
Valor das prestações no período t Os juros em t são calculados sobre o saldo devedor em t-1: PMTt q t J t
Substituindo qt e Jt na expressão anterior e simplificando, tem-se: t em-se: PMT
PV
1
Exemplo 01 Elaborar a planilha de amortização para o seguinte financiamento: Valor do financiamento de R$ 200.000,00; Reembolso em quatro meses pelo Sistema SAC; e Taxa de juros efetivas de 10% a.m. Solução: Cálculo das amortizações: q
PV 200000 50000 n 4
Mês (t)
Saldo devedor SDt = PV - t q
Amortização q
Juros J t i SD t 1
Prestações PMTt q t J t
0 1 2 3 4
200.000 150.000 100.000 50.000 -
50.000 50.000 50.000 50.000
20.000 15.000 10.000 5.000
70.000 65.000 60.000 55.000
Exemplo 02 Um empréstimo de R$ 200.000,00, contratado a juros efetivos de 10%a.m., será pago em três prestações mensais com carência de três meses. Construir a planilha de amortização no sistema SAC. Solução: Durante a carência os juros são capitalizados e incorporados ao principal. Logo, a amortização deve ser calculada com base no financiamento capitalizado por dois meses (k-1 meses, onde k=3). Cálculo das amortizações: q
PV 200000 (1 i) k 1 (1 0,10)31 80.666,67 n 3
Mês (t)
Saldo devedor SDt = PV - t q
Amortização q
Juros J t i SD t 1
Prestações PMTt q t J t
0 1 2 3 4 5
200.000,00 220.000,00 242.000,00 161.333,33 80.666,67 -
80.666,67 80.666,67 80.666,67
20.000,00 22.000,00 24.200,00 16.133,33 8.066,67
104.866,67 96.800,00 88.733,33
Exemplo 03 Um financiamento de $50.000,00 foi contratado a juros efetivos de 12% a.a. e será pago em 48 prestações mensais pelo SAC. Calcular o juro a ser pago no 25º mês e o saldo devedor e a amortização do 30º mês. Solução: Taxa de juros efetiva mensal 1 ia 1 i m 12
1 0,12 1 i m 12 i m (1,12)
1 12
1 0,00948879 = 0,948879% a.m.
Juros do 25º mês ( t 1) (25 1) J 25 0,00948879 50000 1 237,22 J t i PV 1 n 48 Jt = $ 237,22
Saldo devedor no 30º mês t 30 SD t PV 1 - SD30 50000 1 18750 n 48 SDt = $ 18.750,00
q
Amortização do 30º mês PV 50000 1.041,67 n 48
q = $1.041,67
SISTEMA AMERICANO DE AMORTIZAÇÃO (SAA) Neste esquema de amortização o principal é restituído por meio de uma parcela única ao fim da operação. Os juros podem ser pagos periodicamente (mais comum) ou capitalizados e pagos juntamente com o principal no fim do prazo acertado. O devedor pode constituir um fundo de amortização do empréstimo (sinking fund), no qual deposita periodicamente as quotas de amortização. Essas quotas, por sua vez, devem render juros de tal modo que, na data de pagamento do principal, o saldo desse fundo de amortização seja igual ao capital a pagar, liquidando, dessa maneira, o empréstimo. Se a taxa de aplicação do sinking fund is for menor que a taxa à qual o financiamento foi contratado (i), o dispêndio total feito pelo devedor em cada período será maior que a prestação calculada no Sistema Price. Isto é, o custo financeiro do Sistema de Amortização Americano será maior que o custo financeiro do Sistema Price.
SAA SEM FORMAÇÃO DE FUNDO DE AMORTIZAÇÃO
Valor das prestações no período t PMT j q
Saldo devedor Não sofrerá alteração até o final do período de amortização, quando o mesmo é zerado.
Juros J i PV
Amortização
Ao final do prazo de empréstimo (data “n”), juntamente com a última parcela de juros (j), é devolvido o valor do financiamento (PV).
SAA COM FORMAÇÃO DE FUNDO DE AMORTIZAÇÃO
Valor das prestações no período t PMT q j
Saldo devedor
Onde: is é a taxa de aplicação do sinking si nking fund is
Juros J i PV
Amortização
i
Exemplo Um financiamento de R$ 500.000,00 é solicitado pelo Sistema Americano de Amortização à taxa de 18% a.m. para retorno em 4 meses. Admitindo a taxa de captação de poupança igual a 15% a.m. no período do financiamento, elaborar planilhas de desembolso nas condições de se considerar: a) Sistema Americano Americano sem formação de de Fundo de Amortização Amortização b) Sistema Americano Americano com formação de de Fundo de Amortização Amortização Solução: PV = 500.000,00 Prazo do empréstimo: 4 meses i = 18% a.m. is = 15% a.m. a) S.A.A. sem formação de “fundo de amortização”. PV
J
J
J
0 1 2 3 J = i PV = 0,18 500,000 = 90.000,00
J
FV
4
Ao final do prazo do empréstimo (data “4”), juntamente com a última parcela de juros
(J=90.000,00), é devolvido o valor do financiamento (PV=500.000,00). (PV=500.000,00).
Mês (t)
Saldo devedor
Amortização
Juros
Prestações PMT = q+J
0 1 2 3 4
500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 0,00
500.000,00
90.000,00 90.000,00 90.000,00 90.000,00
90.000,00 90.000,00 90.000,00 590.000,00
b) S.A.A. com formação de “fundo de amortização”. J = i PV = 0,18 500,000 = 90.000,00
0,15 500 . 000 100.132,68 n 4 1 0,15 1 1 is 1 is
q PV
1 is t 1 1 0,151 1 SD t PV q SD1 500.000 100.132,68 399.867,32 i 0 , 15 s
Mês (t)
Saldo devedor
Amortização
Juros
Prestações
0 1 2 3 4
500.000,00 399.867,32 284.714,74 152.289,28 0,00
100.132,68 100.132,68 100.132,68 100.132,68
90.000,00 90.000,00 90.000,00 90.000,00
190.132,68 190.132,68 190.132,68 190.132,68
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO Exemplo 01 Uma dívida de $1.500,00 contratadas a juros nominais de 36% a.a., capitalizados trimestralmente, será amortizada pela Tabela Price em oito anos por meio de pagamentos trimestrais. Pede-se determinar: a) o saldo devedor ao fim do 3º ano; b) o saldo devedor ao término do 14º trimestre; c) a distribuição do 20º pagamento em juros e amortização amortização da dívida; dívida; d) o total de juros juros pagos pagos no no período. período. Solução: PV = 1.500.000,00 n = 32 prestações trimestrais i = 36/4 = 9% a.t. i (1 i) n 0,09 (1 0,09)32 PMT PV 1500000 144.144,28 n 32 (1 i) 1 (1 0,09) 1
(1 i) n t 1 1 (1 0,09)3211 1 J t PMT J1 144.144,28 135.000,00 n t 1 32 11 (1 i) (1 0,09) q t PMT jt SD t
1 i n t 1 1 0,09321 1 PMT SD1 135000 1.490.855,72 n t 32 1 i 1 i 0 , 09 1 0 , 09
Mês (t)
Saldo devedor
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
1.500.000,00 1.490.855,72 1.480.888,46 1.470.024,14 1.458.182,03 1.445.274,14 1.431.204,53 1.415.868,66 1.399.152,56 1.380.932,01 1.361.071,61 1.339.423,77 1.315.827,64 1.290.107,84 1.262.073,27 1.231.515,59 1.198.207,71 1.161.902,12 1.122.329,04 1.079.194,37 1.032.177,58 980.929,29 925.068,64 864.180,54 797.812,51
Amortização q t PMT jt 9.144,28 9.967,26 10.864,32 11.842,11 12.907,90 14.069,61 15.335,87 16.716,10 18.220,55 19.860,40 21.647,83 23.596,14 25.719,79 28.034,57 30.557,68 33.307,88 36.305,59 39.573,09 43.134,67 47.016,79 51.248,30 55.860,64 60.888,10 66.368,03
Juros 135.000,00 134.177,01 133.279,96 132.302,17 131.236,38 130.074,67 128.808,41 127.428,18 125.923,73 124.283,88 122.496,44 120.548,14 118.424,49 116.109,71 113.586,59 110.836,40 107.838,69 104.571,19 101.009,61 97.127,49 92.895,98 88.283,64 83.256,18 77.776,25
Prestações 144.144,28 144.144,28 144.144,28 144.144,28 144.144,28 144.144,28 144.144,28 144.144,28 144.144,28 144.144,28 144.144,28 144.144,28 144.144,28 144.144,28 144.144,28 144.144,28 144.144,28 144.144,28 144.144,28 144.144,28 144.144,28 144.144,28 144.144,28 144.144,28 144.144,28
25 26 27 28 29 30 31 32 Total a) b) c) d)
725.471,36 646.619,50 560.670,98 466.987,09 364.871,65 253.565,81 132.242,46 0,00
72.341,15 78.851,86 85.948,52 93.683,89 102.115,44 111.305,83 121.323,36 132.242,46 1.500.000,00
71.803,13 65.292,42 58.195,76 50.460,39 42.028,84 32.838,45 22.820,92 11.901,82 3.112.616,93
144.144,28 144.144,28 144.144,28 144.144,28 144.144,28 144.144,28 144.144,28 144.144,28 4.756.761,21
Saldo devedor devedor ao fim do 3º 3º ano = 1.315.827,63 1.315.827,63 Saldo devedor devedor ao término do 14º trimestre = 1.267.073,27 1.267.073,27 Distribuição do 20º pagamento em: juros juros = 97.127,49 amortização da dívida = 47.016,79 47.016,79 Total de juros pagos pagos no período = 3.112.616,93 3.112.616,93