2011
MATEM�TICA FINANCEIRA CURSO DE ENGENHARIA QU�MICA P�������� G���a�� B. Ca������
1
U��������a�� �� R�b����� P���� � UNAERP
�������� 1.
C�������� C�������� G��a�� G��a�� ............................................................................. ............................................................................................................... .................................. 4
1.1. J���...................................................................................................................................4 1.2. Ta�a� �� ���� ................................................................................................................... ..................................................................................................................... .. 4 1.3. D�a��a�a D�a��a�a �� ����� �� Ca��a Ca��a ............................................................................................... 5 1.4. R���a� R���a� B����a� B����a�...................................................................................................................6 1.5. C�������� C�������� �� �a���a���a �a���a���a��� ��� ��� �����..................................................... .................................................................................... ............................... 7 2.
J��� ������� ������� ......................................................................... ...................................................................................................................... ............................................. 8
2.1. F�����a� F�����a� �� J���� S������......... S������................................................................................................. ........................................................................................ 8 2.1.1.
E�������: E�������: ................................................................... ................................................................................................................ ............................................. 8
2.2. M���a��� M���a��� � Ca���a� Ca���a� ......................................................................... ........................................................................................................... .................................. 9 2.2.1.
E�������: E�������: ................................................................... .............................................................................................................. ........................................... 10
2.3. Ta�a P��������� P���������a� a� � Ta�a E����a�� E����a�����............................ ���.............................................................................. .................................................. 11 2.3.1.
E�������: E�������: ................................................................... .............................................................................................................. ........................................... 11
2.4. E����a�����a ���a�����a.................................................................................................... ���a�����a....................................................................................................12 2.4.1.
E�������: E�������: ................................................................... .............................................................................................................. ........................................... 12
2.5. E��������� E��������� � J���� S������ S������ ................................................................................................ ................................................................................................ 13 3.
J���� C������� C��������� ............................................................................. ............................................................................................................. ................................ 15
3.1. F�����a� F�����a� �� ����� ��������� ��������� .......................................................................................... .......................................................................................... 15 15 3.1.1.
E�������: E�������: ................................................................... .............................................................................................................. ........................................... 16
3.2. Ta�a� E����a����� E����a������� ............................................................................. .......................................................................................................... .............................17 3.2.1.
E������ E������ ...................................................................... ................................................................................................................. ...........................................18
3.3. Ta�a N��� N ����a� �a� � Ta�a E�����a E�����a ............................................................................................ ............................................................................................ 18 3.3.1.
E������ E������ ...................................................................... ................................................................................................................. ...........................................18
3.4. E��������� E��������� ............................................................................. ........................................................................................................................ ...........................................19 4.
F����� �� Ca��a................................................................................... ................................................................................................................ ............................. 21
4.1. M������Pa M������Pa���� ���� ............................................................................... ............................................................................................................... ................................ 21 4.1.1.
Va��� �������� � Fa��� �� Va��� P������� ............................................................... 22
4.1.1.1.
E�������.............................. E�������................................................................................................................ .................................................................................. 22
4.1.2.
Va��� F����� � Fa��� �� Va��� F����� ...................................................................... 23
4.1.2.1.
E�������.............................. E�������................................................................................................................ .................................................................................. 24
4.2. N�� ���������� ����������a� a�............................................................................................................25 4.2.1.1.
E�������.............................. E�������................................................................................................................ .................................................................................. 25
4.3. E��������� E��������� ............................................................................. ........................................................................................................................ ...........................................25
�������� 1.
C�������� C�������� G��a�� G��a�� ............................................................................. ............................................................................................................... .................................. 4
1.1. J���...................................................................................................................................4 1.2. Ta�a� �� ���� ................................................................................................................... ..................................................................................................................... .. 4 1.3. D�a��a�a D�a��a�a �� ����� �� Ca��a Ca��a ............................................................................................... 5 1.4. R���a� R���a� B����a� B����a�...................................................................................................................6 1.5. C�������� C�������� �� �a���a���a �a���a���a��� ��� ��� �����..................................................... .................................................................................... ............................... 7 2.
J��� ������� ������� ......................................................................... ...................................................................................................................... ............................................. 8
2.1. F�����a� F�����a� �� J���� S������......... S������................................................................................................. ........................................................................................ 8 2.1.1.
E�������: E�������: ................................................................... ................................................................................................................ ............................................. 8
2.2. M���a��� M���a��� � Ca���a� Ca���a� ......................................................................... ........................................................................................................... .................................. 9 2.2.1.
E�������: E�������: ................................................................... .............................................................................................................. ........................................... 10
2.3. Ta�a P��������� P���������a� a� � Ta�a E����a�� E����a�����............................ ���.............................................................................. .................................................. 11 2.3.1.
E�������: E�������: ................................................................... .............................................................................................................. ........................................... 11
2.4. E����a�����a ���a�����a.................................................................................................... ���a�����a....................................................................................................12 2.4.1.
E�������: E�������: ................................................................... .............................................................................................................. ........................................... 12
2.5. E��������� E��������� � J���� S������ S������ ................................................................................................ ................................................................................................ 13 3.
J���� C������� C��������� ............................................................................. ............................................................................................................. ................................ 15
3.1. F�����a� F�����a� �� ����� ��������� ��������� .......................................................................................... .......................................................................................... 15 15 3.1.1.
E�������: E�������: ................................................................... .............................................................................................................. ........................................... 16
3.2. Ta�a� E����a����� E����a������� ............................................................................. .......................................................................................................... .............................17 3.2.1.
E������ E������ ...................................................................... ................................................................................................................. ...........................................18
3.3. Ta�a N��� N ����a� �a� � Ta�a E�����a E�����a ............................................................................................ ............................................................................................ 18 3.3.1.
E������ E������ ...................................................................... ................................................................................................................. ...........................................18
3.4. E��������� E��������� ............................................................................. ........................................................................................................................ ...........................................19 4.
F����� �� Ca��a................................................................................... ................................................................................................................ ............................. 21
4.1. M������Pa M������Pa���� ���� ............................................................................... ............................................................................................................... ................................ 21 4.1.1.
Va��� �������� � Fa��� �� Va��� P������� ............................................................... 22
4.1.1.1.
E�������.............................. E�������................................................................................................................ .................................................................................. 22
4.1.2.
Va��� F����� � Fa��� �� Va��� F����� ...................................................................... 23
4.1.2.1.
E�������.............................. E�������................................................................................................................ .................................................................................. 24
4.2. N�� ���������� ����������a� a�............................................................................................................25 4.2.1.1.
E�������.............................. E�������................................................................................................................ .................................................................................. 25
4.3. E��������� E��������� ............................................................................. ........................................................................................................................ ...........................................25
5.
A������ A������ �� I�������� I������������...................................................... ����................................................................................................. ...........................................27
5.1. Ta�a I�����a I�����a �� R������ R������ .................................................................................................. .................................................................................................. 27 5.2. Va��� Va��� P������� P������� L������ L������ .................................................................................................... 28 5.3. Pa�ba�� Pa�ba�� S������ S������ � Pa�ba�� Pa�ba�� D������a�� D������a�� .......................................................................... 29 5.3.1.
Pa�ba�� Pa�ba�� ������� ������� ..................................................................... ..................................................................................................... ................................ 29
5.3.2.
Pa�ba�� Pa�ba�� D������a� D������a�� � .............................................................................................. 30
5.4. E��������� E��������� ............................................................................. ........................................................................................................................ ...........................................31 6.
B�b�����a B�b�����a��a ��a ........................................................................................................... ...................................................................................................................... ........... 33
1. ��������� ������ 1.1.
���� A �a�������a ��a�a, �� �������a, �� ������ �� �a��� �� �������� a� ����� �� �����. O
��� �b������ b����� � � �� �����a� a������� � ����a�a���� ��� ������ ������ �� ����a�a � �a��a �� �������� �� �a��a �������a�� �� ���������� ��������. R���b�� ��a ��a���a ���� �� �� ������ ��� � ������������� a ����a ����a. E� ���������, ��a ����a�� ��������a ���� � ���������� � ����a ����a�� ��������a ���������� a�a���. P������a� ��a ����a�a �� �a��a (����b������) ��� ����� ����� ������� �� �a��������, � ��a� ���� ��� �a�� ����a��� ��a ���������a, �������a ����� �����. D���a ����a, ��� �� ����� ��� ������a����� ������� � a��a��a����� �� �������, ���������� a ����a��� �� ����a��a� � �� ����� �������������. A� �a�a �� ����� ����� ��� ���������� �� �a����a a �������a�: I.
� ����� ��������� �a ����a��� (���������� �� a����a���), ���������a�� �������a����� ���a ��������a ��� ���a��� �� ������;
II.
a ����a �� ����� �� �����a �� �a���a� �����a�a ���a ����a���. A ����a��� � �� �������� ��� ������ � �a���a�, ��������a��� �� ������ �a�a ��� ����� �� �����a ��� � ����� ����a���;
III.
� �a���a� �������a��/a����a��. O� ����� ����� ���a� �� ����� (�� �a���) a� ������������ �� �a���a� ���� ����a �� �������a� a ��a ����a��� ��� ��������a�� ������� �� �����. E��� �a��� � ���ab������� ba���a����� � �������� ��� ����� �� ���������a��.
1.2.
����� �� ���� A �a�a �� ���� � � ����������� ��� ��������a � �a��� �� ����, ���� �, a �������a��� ��
�a��� �a���a� ������a�� ���a��� ����� ������� �� �����. A� �a�a� �� ����� �� ������� ������ a ��a ����a�� �� ����� (���, ��������, a��, ���.) � ����� ��� ���������a�a� �����a���������� �� ��a� �a����a�: �a�a ��������a� � �a�a �������a. A �a�a ��������a� ��������� a�� �������� �� �a���a�, �� ���a, � �a��� ��� ����� �a�a �a�a ��������a �a��� �� �a���a�.
E������: �� �a���a� �� $1.000,00 a����a�� a 20% a� a�� ����� �� ����, a� ���a� ����� �������:
000,00 � 20 = $ 1.100 = $10,0 0� 20 = $ 200,0 0 O �a���a� �� $ 1.000,00 ��� ��� ������. C��� �a�a �� ����� ����� 20, a �������a��� ���a� �a a����a��� �� ������� �, ����a���, �� $ 200,00. A �a�a �������a �����a��� �a ����a�� �� �a���a�. R������ � ���������� �� �a�a ����a�� �� �a���a� �� ����� ������� �� �����. E������ (a���a), a �a�a ��������a� �� 20% a� a�� �����a �� ���������� �� 0,20 (20%/100) ��� ����a�� �� �a���a� a����a�a, �� ���a:
= $ . , � = $ ., �, = $ , A ��a������a��� �a �a�a ��������a� �� �������a �� �������a ������������ ���a ������� �a ���a��� �� ��������a� ��� 100. Pa�a a ��a������a��� ������a, ba��a ���������a� a �a�a �������a ��� 100. Ta�a P�������a� 1,5% 8% 17% 86% 120% 1.500%
Ta�a �������a 0,015 0,08 0,17 0,86 1,20 15,0
Na� ������a� �� �a�������a ���a�����a ����� �� �������� ��� �����a��� ������a������ a �a�a �������a �� �����. O� ������a��� � a� �������a� ��� ���������� a ����� ���������� ����a ���������a ����� �����a��� ���a �a�a ��������a�.
1.3.
�������� �� ����� �� ����� A �a�������a ���a�����a �� �������a ��� � ������ �a� ����a� ���a���� ���
���������� ���������� ��� �� ���ab������ �� ��������� �������� �� �����.
E���� ���������� ���������� ��� ���������a��� ������a������ a��a��� �� �� �������� �� ����a�a� � �a��a� �� �a��a �������� ���� ����� �� �a��a. O ����� �� �a��a � �� ��a��� ������a�� �a�a a� ����a���� �a �a�������a ���a�����a, ���������� ��� �� ����a���� �� ����� � ��� ������ ��� � �a���a�. P��� ��� ���������a�� �a �������� ����a:
A ����a ��������a� �������a a ���a�a �� �����, �� ���a, � ��������� ���a������ �a ����a���. O ����� ���� �����a � ������� �����a�, � �� ���a�� ������ ���������a� �� �������� �� ����� (�a�a�). A� ���a� �a�a ���a �a ����a �� ����� �������� a� ����a�a� (�� ����b�������) �� ��������, � a� ���a� �a�a ba��� �a ����a �����a� �a��a� (�� a����a����) �� ��������.
1.4.
������ ������� Na� ������a� �� �a�������a ���a�����a, �a��� � ��a�� �a ����a��� ��� a �a�a �� �����
����� ������a��a����� ���a� ��������� �a ����a ����a�� �� �����. P�� �������, a����a ��� �� ����� �� ����a��a �����a ���������� ����� �� 2% a� ��� � �� ����������� ������a��� ����a������. N���� �a��, � ��a�� a ��� �� ������ � �a�a (���) � � ������� �� �a���a���a��� �� ����� (����a�) ��� ������������, a�������� � ����a b����a. S� ��a a����a��� ��� �����a�a ���� ��a�� �� �� ���, �a� �� ����� ��������� �� �a�a a��a�, ��� �� �����������a ��� ��a��� � ���� ������� ������a��a����� �� ��a�����. � ������������� �a�a � ��� �a� ������a� ���a�����a� ��a������a��� a �a�a �� ���� a��a� �a�a � ������a�� �� ����� �������� ���� ��a�� �a ����a���, �� ���������a, � ��� ��� ��������a�� �a�� a������a�� �a�a �� ��������. S������ A��� a ��������� �� ��a�� � �a �a�a �� ���� �a ����a ����a�� �� ����� � ��� a� ������a���� �a �a�������a ���a�����a ����� ��� ����a�a�.
1.5. ��������� �� ������������� ��� ����� E������ 1: a����a �� ���������� �� $ 1.000,00 ���� ��a�� �� 5 a���, �a�a������ ����� ������� � �a��� �� 10% a� a��.
���
����� �� ������ �� ���� ��� ($)
����� �������� ���� ���� ��� ($)
����� ������� �� ����� �� ���� ��� ($)
����������� ����� �� ����� ������� ($)
I����� �� 1� a�� F�� �� 1� a�� F�� �� 2� a�� F�� �� 3� a�� F�� �� 4� a�� F�� �� 5� a��
� 1.000,00 1.100,00 1.200,00 1.300,00 1.400,00
� 0,10 � 1.000,00 = 100,00 0,10 � 1.000,00 = 100,00 0,10 � 1.000,00 = 100,00 0,10 � 1.000,00 = 100,00 0,10 � 1.000,00 = 100,00
1.000,00 1.100,00 1.200,00 1.300,00 1.400,00 1.500,00
� 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
E������ 2: a����a �� ���������� �� $ 1.000,00 ���� ��a�� �� 5 a���, �a�a������ ����� ��������� � �a��� �� 10% a� a��. ���
����� �� ������ �� ���� ��� ($)
����� �������� ���� ���� ��� ($)
����� ������� �� ����� �� ���� ��� ($)
I����� �� 1� a�� F�� �� 1� a�� F�� �� 2� a�� F�� �� 3� a�� F�� �� 4� a�� F�� �� 5� a��
� 1.000,00 1.100,00 1.210,00 1.331,00 1.464,10
� 0,10 � 1.000,00 = 100,00 0,10 � 1.000,00 = 110,00 0,10 � 1.210,00 = 121,00 0,10 � 1.331,00 = 133,10 0,10 � 1.464,10 = 146,41
1.000,00 1.100,00 1.210,00 1.331,00 1.464,10 1.610,51
2. ���� �������
O� ����� �������, �������a������ ��a��� �� ��a� ���������� ������a�, ��� a����a���� ������a� ba��a��� �����a�a�. S�� �a�a� a� ����a���� ���a�����a� � �������a�� ��� ����a� ������a������ ���� ����a���� �� ����� ������� � ������ �� �a���a���a��� ����a�. O ��� ��� ����� ������� ������������ �������a������ �� ����a���� ��a���a�a� �� ��b��� �� ����� ��a��. N� ���a���, a� ����a���� ��� a���a� ����� �������, a��� �� a�������a��� ���a������ ��a��� ���������, ��� ������a� a���a� � ��� ��������a� �� ����� (�� ����ab����a��) ��� ���� ������. O� ����� ������� ��� ������a��� �a�a � ������� ��� �a����� ���������� �a ����a��� (���a���� a �a�a��� �a�a �����������, � ����������� ���a�������, �a�a a����a����), � ��� �a�a a a���a��� �� ������� ������a��.
2.1.
�������� �� ����� ������� O �a��� ��� ����� � �a����a�� a �a���� �a �������� ���������:
= � � ����: � = �a��� ��� ����� �������� �� ����a��� ��������a�;
C = �a���a�. � � �a��� (�� $) ���������a���� �� ��������a�� �������; � =
�a�a �� �����, �������a �� ��a ����a �������a;
� = ��a��.
E��a ������a � b����a �a��� �a�a � ������� ��� ����� ���� ��� ������ �a����� ���a������� ����a��� ������� ������� a���b���a:
= �
= �
= �
2.1.1. ��������: 1) U� �a���a� �� $ 80.000,00 a����a�� � �a�a �� 2,5% a� ��� ���a��� �� ���������. P������ ��������a� � �a��� ��� ����� a�����a��� ����� �������.
S������: C = $80.000,00 � =2,5% a� ��� (0,025) � =3 �����
= � �
= ., �, � = $.,
J =?
2) U� �a���a� �� $ 40.000,00 ��� a����a�� ��� ����� �� ����a��a ��� 11 �����, ���������� �� ���������� ���a������ �� $ 9.680,00. P������ a���a� a �a�a �� ����� ��������a ��� ���a ����a���. S������:
= �
C = $ 40.000,00 �=?
., = ., � ., = .,
� = 11 ����� J = $ 9.680,00
= , ,% � 2.2.
�������� � ������� U� ��������a�� �a���a�, ��a��� a����a�� a ��a �a�a ��������a �� ���� ���
��������a�� �����, ������ �� �a��� a�����a�� �������a�� �� ����a���, � ���������a�� �� ����� ������� ��� �.
= + N� ���a���, �ab���� ���:
= � � S�b��������� ���a ��������� b����a �a ������a �� ����a��� ����a, � �����a������ C �� ��������a:
= + � � = (+ � ) E������������, � �a��� �� C ����a ������a ���� ��� �b���� a��a��� �� ������� ��a������a��� a���b���a:
= (+ �)
���������� � ��������� (1 + � � �) � �������� ���� ����� �� ������������� (�� �� ����� ������ � ���) ��� ����� �������. �� ����������� �� ������� ��� ���� �����, ���������� � ��� ����� ���� ��� ���� ������, ������������ � ��������. � �������, �� ����, 1/(1 + � � �) � ���������� �� ����� �� ����������� ( �� �� ����� �������� � ���). �� �� ������� � ����� ����� �� ����� �������� �� ��� ���� ������, �������� � ��� ����������� ���� ���� �����.
2.2.1. ��������: 1) U�a �����a a����a $ 18.000,00 � �a�a �� 1,5% a� ��� ���a��� 8 �����. D�������a� � �a��� a�����a�� a� ���a� ����� ������� S������: C = 18.000,00 � =1,5% a� ��� (0,015) � =8 ����� M =?
= (+ �)
= ., (+, �) = ., �, =$ .,
2) U�a �����a �� $ 900.000,00 ��� ������ �� 4 �����. O ������ ���� ���������� �� �������� �� 7% a� ��� �a�� � ������� ������ a������a� � �a�a����� �a�a ����. Ca����a� � �a��� ��� � ������� �a�a��a �a�� a������a��� a ������a��� �a �����a. S������: M = 900.000,00 � = 7% a� ��� (0,07) � =4 ����� C =?
= (+ � )
., = ( +, �) = ., , = $.,
2.3.
���� ������������ � ���� �����������
Pa�a �� �������� �a�� ��a�a����� � ��������a�� ����a� �a�a� ������� ���������� ��� ���a ����a��� ������� ���� ��a���: � ��a�� a ��� �� ������ � �a�a �� �����; � � ��a�� �� �a���a���a��� ��� �����. P�� �������: �ab���� ��� a �a������a �� ����a��a �a�a a�� ���� �������a���� ��a �a�a �� ����� 6% a� a��; a ��a� � a����a�a (�a���a���a�a) a� �������a� ���� ��� a��a��� �� �� ��������a� ����������a� �� 0,5%. T����� a���, �����, ���� ��a��� � ��a�� �a �a�a: a�� � ��a�� �� �a���a���a���: ���.
2.3.1. ��������: 1) Ca����a� a �a�a a��a� ����������a� a: a) 6% a� ���; b) 10% a� b�������. S������: a) � = 6% � 12 = 72% a� a��. b) � = 10% � 6 = 60% a� a��. 2) Ca����a� � ����a��� �� �� �a���a� �� $ 600.000,00 a����a�� � �a�a �� 2,3% a� ��� ���� ��a�� �� �� a�� � 5 �����. S������: M=? � = 2,3% a� ��� (0,023) � =1 a�� � 5 ����� (17 �����) C = $ 600.000,00
= (+ �) = ., (+, �) = ., �, = $ .,
2.4.
������������ ����������
O ���b���a �a �����a�����a ���a�����a ������������ �� �a�������� b����� �a �a�������a ���a�����a. C�������a������, ���� �� �a�� �a���a�� ���������a����� �� ����a �a�a �������� �����a������ ��a���, a ��a �a�a �� �����, �������� ������a��� ���a�� ���a �a�a �����.
2.4.1.
��������:
1) D�������a� �� $ 438.080,00 ��������� �a��� a 8 ����� � �����a����� a �� ����b�� ���� $ 296.000,00, a�������� ��a �a�a �� ����� ������� �� 6% a� ���. S������:
= ., (+, �) $ .,
$ ., = .,/ (+ , � )
O� �a���a�� ��� �����a������ � �a�a �� 6% a� ���. P���a���, a ���a �a�a �� ����� � ����������� ����b�� $ 296.000,00 ���� �� 438.080,00 �a��� a 8 �����.
2.5.
���������� � ����� �������
1) Ca����a� a �a�a ����a� ����������a� �� ����� ��:� a) 14,4% a� a��; 1,2% a.�. b) 6,8% a� ��a���������; 1,7% a.�. �) 11,4% a� ��������; 1,9% a.�. �) 110,4% a� a��; 9,2% a.�. �) 54,72% a� b�����. 2,28% a.�.
2) Ca����a� a �a�a ��������a� ����������a� a ����� ��? a) 120% a� ���; 30% a.�. b) 3,2% a� ��a���������; 2,4% a.�. �) 1,5% a� ���. 4,5% a.�.
3) U�a �����a a������ �� ��a ����������� ���a�����a $ 18.000,00 ����a�a��� $ 21.456,00 ��a��� ����� ������. Ca����a� a �a�a ����a� �� ����� ������� a������a ����a a����a���. (R.: 4,8% .a.�.)
4) S� ��a �����a ��������a� �� $ 100.000,00 �a��� a 10 �����, ��a��� ������ ��a �������a� ���� ��� ����� �� ����a��a ��� �������a a �a�a ����a� �� 12% a� a��? (R.:$90.909,09) 5) D�������a� a �a�a b������a� �� ����� ������� ��� �a� ��� ��� �� �a���a� ��������� �� �a��� a��� 2 �����. (R.:16.6666...% a.b.) 6) U� ������ ��� �a��� �����a� �� $ 7.200,00 ����� �� 120 ��a�. Pa�a ��a �a�a �� ����� ������� �� 31,2% a� a��, ������� �a����a� � �a��� ����� ������: a) H���; (R.:$6.521,74) b) D��� ����� a���� �� ��� ����������; (R.:$6.844,11) �) U� ��� a��� � ��� ����������(R.:$7.387,20) 7) U�a ���a ����������a �� �a��� �����a� �� $ 140.000,00 � ����a�a�a ���� ����� a���� �� ��� ����������. Q�a� � �a��� �a�� �� ����a��, �ab������� ��� a �a�a �� ����� ������� � 1,9% a� ���? (R.:$134.874,76)
8) U� ���������� �� $ 3.480,00 ��� ����a�a�� 5 ����� ������ ���� �a��� �� 3.949,80. Ca����a� a �a�a �� ����� ������� �� ba��� ����a�� � a��a�� ����a ����a���. (R.:2,7% a.�. � 32.4% a.a.)
9) U�a �����a �� �a��� �� $ 48.000,00 ����� �a��� a 6 �����. O ������� �������� ����a�a� a �����a �a�a��� $ 4.800,00 ����, $ 14.00,00 �� ���� a ���� �����, � � ����a��� �� ��� a��� a �a�a �� ����������. S���� � ������� ����� ������ �a�a����� �������� ���� a �a�a ���a� �a ����a���, � �ab������� a���a ��� ���a 34,8% a� a�� a �a�a ����a� �� ����� a���a�a ����a ����a���, ��������a� � ����a��� �� �a�a�����. ������ �������� 0 �������� �� 4.800,00 ���������
48.000,00 2 14.000,00
6
7 �
10) U�a ������a �a����a���a ���� ����� ������a a ��a�� �a� ��������� ���������: •
$ 128,00 �� ����a�a;
•
$ 192,00 �� 30 ��a�;
•
$ 192,00 �� 60 ��a�;
S���� �� 1,1% a� ��� a �a�a ����a� �� �����, ������� �a����a� a�� ��� ����� � ��������a��� �����a� a ������a � ����a. (R.:$505,78)
���� �����
3. ����� ���������
O ������ �� ����� ��������� ��������a ��� �� ����� ����a��� �� �a�a ������� ��� a��������� a� �a���a� ����a��� � ����a��� (�a���a� �a�� �����) �� �������. E��� ����a���, ��� ��a ���, �a��a�� a ������ ����� �� ������� �������� ����a��� �� ���� ����a��� (����������� �� �a���a� �����a�, ��� ����� a�����a��� � ��� ����� ��b�� �� ����� ����a��� �� �������� a���������), � a���� ��� ��a���.
3.1.
�������� �� ����� ���������
N� ������ �� ����� ���������, �� ����� ��� �a���a���a���, ���������� ����� ��b�� ����� ��������a�����. A� ������a� ������a��� �� ������ �� ����� ��������� ���:
= (+ ) ����
�
= (+ )
(+ ) � � �a��� �� �a���a���a���, FCC (�,�) a ����� ���������, � 1/(+ ) � �a��� ��
a��a���a��� � FAC (�,�) a ����� ���������. A ��������a��� �� �� �a���a� a� ����� �� ��a ���a�a �� ����� �� ����� ��������� �� �������a ����a��� a a����a��� ������ �a�����, �������� ���� ��� ����a���a�� a ������: �� = �� � ��� (�, �)
��
�� ��
��
��= �� � ��� (�, �)
P�� ����� �a��, �ab���� ��� � �a��� ��������� ��� ����� (J) � a���a�� ���a ��������a ����� � ����a��� (FV) � � �a���a� (PV), ���������� �b��� � ��� ������a�� �a�b�� ���a �������� ���������:
= − C���:
= (+ ) C����a������ PV �� ��������a:
= . ( + ) − 3.1.1.
��������:
1) S� ��a �����a �����a �b��� $ 27.500,00 ������ �� �� a��, ��a��� ������ ��a �������a� ���� ���a a�����a���a �� ����a��a ��� ����� 1,7% �� ����� ��������� a� ���?
= ( +)
FV = $ 27.500,00 � = 1,7% a� ��� (0,017)
= (., +,)
� =1 a�� (12 �����) PV = ?
= ., , = $ .,
2) Q�a� � �a��� �� ����a�� �� ��a a����a��� �� $ 12.000,00 �� �� ������ ���� ��a�� �� 8 ����� � �a�a �� ����� �������a �� 3,5% a.�.? FV = ? � = 3,5% a� ��� (0,035) � = 8 ����� PV = $ 12.000,00
= ( +)
= ., ( +,) = ., �, = $ .,
3) D�������a� a �a�a ����a� �������a �� ����� �� ��a a����a��� �� $ 40.000,00 ��� ������ �� ����a��� �� $ 43.894,63 a� ���a� �� �� ��a���������. FV = $ 43.894,63 �=? � = 4 ����� PV = $ 40.000,00
= ( +) ., = ( +) ., , = ( +) , = ( +) , = ( +)
, = ( +) =,−
= , ,% .. 4) U�a a����a��� �� $ 22.000,00 �����a�a �� ����a �a�a ������, � �a�a �������a �� ����� �� 2,4% a� ���, �� ����a��� �� $ 2.596,4 �� ����a �a�a �����a. Ca����a� � ��a�� �a ����a���.
= ( +) 26.596,40 = ( +,) 22.000,00 , = (,) , = � , = , , = , , =
FV = $ 26.596,40 � = 2,4% a.�. �=? PV = $ 22.000,00
5) D�������a� � ���� �a�� �� �� ���������� �� $ 88.000,00 ���� ��a�� �� 5 ����� � �a�a �������a �� 4,5% a� ���.
= ( +) − = ., (,) −
J=? � = 4,5% a.�.
= .,�(0,246182) = $ .,
� = 5 ����� PV = $ 88.000,00
3.2.
����� ������������
O �������� ������a�� �� �a�a �����a����� ����a���� ������ �a�a � ������ �� ����� ��������� ���������a������, � ���a���, a ������a �� ������� �a �a�a �� �����. P�� �� ��a�a� �� �a���a���a��� ���������a�, a ��������� �a �a�a �����a����� �������a � a ����a ���������a �a �a�a �� ����� �� ������� �������, �� ���a:
= √ + − ����
� = ������ �� �������� �� �a���a���a���.
3.2.1.
�������
1) Q�a�� a� �a�a� �� ����� ��������� ����a� � ��������a� �����a������ a 25% a� a��? S������: a) Ta�a �� ����� �����a������ ����a� � = 25% a.a. � = 1 a�� (12 �����)
= √ + − = +, − = , − = ,% ..
b) Ta�a �� ����� �����a������ ��������a� � = 25% a.a. � = 1 a�� (4 ����������)
= √ + − = +, − = , − = ,% ..
3.3.
���� ������� � ���� �������
A �a�a ������a �� ����� � a �a�a ��� ����� a���a�a ���a��� ���� � ��a�� �, ����� ����a�a ���������a������ a��a��� ��� �������� �� �a���a���a���. O� ���a, �a�a ������a � � �������� �� ����a��� ��� ����� ���� ������ �� ����� ��������� a� ����� ��� �������� �� �a���a���a���. � �b���a ���a �������� ���������:
= ( +) − ���� � ���������a � ������ �� �������� �� �a���a���a��� ��� �����.
3.3.1.
�������
1) U� ���������� �� �a��� �� $ 11.000,00 � �����a�� ���� ��a�� �� �� a�� � �a�a �����a� (����a�) �� ����� �� 32% a� a��, �a���a���a��� ��������a������. P������ ��������a� � ����a��� � � ����� ������� �� ����������.
S������: Ta�a �����a� (����a�) D���a���a���a��� ����������a� M���a��� �� ���������� • • •
•
3.4.
� = 32% a.a. � =32%/4 =8% a.�.
( ) = + = ., (, ) = $ ., Ta�a ������a: = (+,) − = (,) − = ,% ..
����������
1) Ca����a� � ����a��� �� ��a a����a��� ���a�����a �� $ 80.000,00 a����������� �� ��������� ��a��� � �a�a�: a) � = 5,5% a.�.
� = 2 a��� (�������a:$ 289.167,20)
b) � = 9% a� b�������
� = 1 a�� � 8 ����� (�������a:$189.389,10 )
�) � = 12% a.a.
� = 108 ����� (�������a:$221.846.30 )
2) D�������a� � ���� �� ��a a����a��� �� $ 100.000,00 �a� ��������� ��������� �� �a�a � ��a��: a) � = 1,5% a.�.
� = 1 a�� (�������a: $19.561,80)
b) � = 3,5% a.�.
� = 2 a��� � ���� (�������a: $41.059.90)
�) � = 5% a.�.
� = 3 a��� (�������a:$34009,60)
�) � = 4,2% a.�.
� = 84 ����� (�������a:$137.258,70 )
3) U�a �����a I�� ��������a� �� $ 12.000,00 �a��� a 7 �����. Q�a��� ������ ��a �������a� ���� ���a ����a �� ����a��a, �a�a ����a�a� � �a��� �����a�� �� ��a��, a�������� ��a �a�a �� ����� �� 3,5% a� ���? (�������a:9.431,89 )
4) D�������a� � ����a��� �� ��a a����a��� �� $ 22.000,00 a�������� �� ��������� ��a��� � �a�a�: a) � = 2,2% a.�.
� = 7 a��� (�������a:$25.619,99 )
b) � = 5% a.�.
� = 2 a��� (�������a:$70.952,20 )
�) � = 12% a.�.
� = 1 a�� � ���� (�������a: $43.424,10 )
�) � = 20% a.�.
� = 4 a��� (�������a: $94.595,97 )
�) � = 0,15% a� ��a
� = 47 ��a� (�������a: $23.605,73)
�)
� = 216 ����� (�������a: $103.776,65 )
� = 9% a.�.
5) Ca����a� a �a�a ����a� �� ����� �� ��a a����a��� �� $ 6. 600,00 ��� ������ �� ����a��� �� $ 7.385,81 a� ���a� �� 7 �����. (�������a:1,62%a.�. )
6) E� ��a��� ����� ������a �� �a���a� ��� ������ a ��a �a�a �� ����� ��������� �� 2,2% a� ���? (�������a:31,85 ����� )
7) U�a �����a ���� a �� ba��� ���� ������� ��� �a����� �� ����a�� �� $ 4.000,00 � $ 9.000,00 ���������, ���������a�����, �� 5 � 7 �����. D����a��� a������a� a ������a��� �� ���a a �����a �a�a � ������� a��a� (�a�a ����), ������� ��������a� � �a��� a �a�a� ��������a��� ��a �a�a �� ����� �� 1,9% a� ���. (�������a:$11.529,76 )
8) V������a� �� a� �a�a� �� ����� �� 13,789318% a.�. � 35,177214% �a�a 7 ����� ��� �����a������. (�������a:A� �a�a� ��� �����a������ )
9) Ca����a� a �a�a ������a a��a� (�� �a���a���a� �a�a ��a a��) �� ��������� �a�a�: a) 2,5% a.�. (�������a:34,49% a.a. ) b) 4% a.b. (�������a:26,53% a.a. ) �) 6% a.�. (�������a:26,25% a.a. ) �) 10% a.�. (�������a:21,0% a.a. )
10) U�a a����a��� �� $ 78.000,00 ����� �� ����a��� �� $ 110.211,96 ���a ����a �a�a. S���� �� 2,5% a� ��� a �a�a �� ����� ��������a�a, �a����a� � ��a�� �a a����a���. (�������a: 14 ����� )
11) U�a ���a ���� ���������� ��a ����a����a �� �a��� �� $ 900,00 ��� �������� �� 12% �a�a �a�a����� a ����a. O���a ����� �� �����a � �a�a� �� $ 900,00 a��� 30 ��a� ��� ��������. Ca����a� � ����� ������� ����a� �a ����a a ��a��. (�������a:13,64% a.�. )
12) Pa�a ��a �a�a �� ����� �� 7% a� ���, ��a� �a� ��a� a�����a���a� �� �a�a����� a�������a ����� ����� �a�a � �������: a) Pa�a����� ������a� �� $ 140.000,00 a ����a (�a �a�a ����);
b) $ 30.000,00 �� ����a�a, $ 40.000,00 �� 60 ��a� � $ 104.368,82 �� 120 ��a�. (�������a:$144.559,82 )
4. ������ �� �����
U� ����� �� �a��a ���������a ��a ����� �� �a�a������ �� �� ����b������� ��� �� �����a ������� �� ��������a�� ������a�� �� �����. � ba��a��� �����, �a ������a, �������a���� ��� ����a���� ���a�����a� ��� �� ���������a� ��� �� ����� �� �a��a. P�� �������, ����������� � ���a���a������ �� ���������� ����� ������a� �������� ��a ��������a �� �����b����� ���������� �� �a��a. D� �a����a �������a, ������ �� ������ �� �a�a������/����b������� �� a�������, �� �����a���� ������a� �� �����a a ��a��, �� ������������� ������a��a��, �� ���������� ���. O� ������ �� �a��a� ����� ��� �������a��� �a� �a�� �a��a�a� ����a� � ����� �� ������ �� �������� �� ���������a (��������a���, a������a��� �� ���������), �� ����������a�� (�������� ���a�� ����� �� �� ����������), �� ���a��� (�����a��� �� �����������) � �� �a����� (�����a���� �� �a�������).
4.1.
�������������
O� ������ �� �a��a ����� ��� ���������a��� ��b ���������� ����a� � �����, �������� �a�a �� ����� �� ��a�a����� ���������� �� ������ �� ������a����. O� ������ �� �a��a� ��� ���������a��� ��� ba�� �a �������� ��a������a���: ������������ � �����a� ��� �� ������ ��
������� �� ����������
�������������
�a�a������ �� ����b������� �����a� a ������� a� ���a� �� �������� ������a�� �� �����. ����������� � �����a ��� a ����� �� �a����� �����a a ������� a���� �� ���a� �� �������� �������. ��������� (��������) � �����a ��� �� ������ �a ����� �����a� a ������� a��� � ���a� �� �������� �������. ���������� � � ��a��� �� ������a��� ����� �� ������ �� ����� ��� ��������� ����� �� (� ����� ����� �� ����� � ����� � �����a���). ��� ���������� � �� ������ �� �������a��� �� ������a��� �������a���.
��������� (�������) � � ��a�� ���a� �� ����� �� �������
�������
�a��a � ��������� a ������. �������������� (�����������) � ��a��� � ��a��
��� � �������� �����a�����. ���������� � �����a ��� �� �a����� ��� ������ ��� ������� � ����� �� �a��a ��� ���a�� ����� ��. ��������� � �� �� ������ ��� ����� ������ ���a�� ����� ��.
O ��������a���� �� �� ����� �� �a��a � �������a�� ��a��� �� ������ �� ��a �������� �� �a�a������ �� ����b������� a�������a�, a� ����� �����, a� ��������� ��a������a����: ������������ � ��������� � ���������� � ����������
A ������ a ���������a��� ������a �� ����� �� �a��a �������� (�a����):
0
4.1.1.
PMT
PMT
PMT
PMT
1
2
3
��1
PMT � (�����)
����� �������� � ����� �� ����� �������� O �a��� �������� �� �� ����� �� �a��a ��������, �a�a ��a �a�a ��������a �� �����, �
��������a�� ���� ���a����� ��� �a����� ��������� �� �a�a �� �� ���� �a�����. C�� ����, a� ������a���� �� �a��� �������� � �� �a��� �� �a��� �������� a������ a� ���������� a ������:
− (+ ) (,) =
= � (,) ��
− (+ ) = � 4.1.1.1.
��������
1. D�������a�� b�� � ������� �� 7 �a�a������ ����a��, ���a�� � ������������ �� $ 4.000,00. Pa�a �� �a�a �� ����� �� 2,6% a.�., a�� ��� ����� �������a a������� � a�a����� a ����a? S������: PMT = $ 4.000,00 � = 2,6% a.�. �=7
= � (,)
PV = ?
− − (+ ) = � − − (+,) = ., � , = ., � , = $ .,
2. U� ������� ���� ���� ����� ������� ��� $ 4.000,00 �� ����a�a �a�� 6 �a�a������ ����a��, ���a�� � ������������ �� $ 3.000,00. Sab������� ��� a �a�a �� ����� �� ����a�� � �� 5,5% a.�., ��������a� a�� ��� ����� ��������a �����a� � ������� a ����a. S������: PMT = $ 3.000,00 � = 5,5% a.�. �=6 PV = ? E���a�a = $ 4.000,00
= + � (,) )− = + � − (+
− − (+,) = .,+., � , = .,+.,� , = $ .,
3. U� ���������� �� $ 20.000,00 � ��������� �a�a �a�a����� �� 5 �����a���� ����a��, ���a�� � ��������a� �� $ 4.300,00. Ca����a� � ����� ����a� ����� ����������. S������: PMT = $ 4.300,00 �=? � = 5 �a�a������ ����a�� PV = $ 20.000,00
4.1.2.
= � (,) − − (+ ) = �
− − (+) .,= ., � = ,% ..
����� ������ � ����� �� ����� ������
O �a��� ������, �a�a ��������a�a �a�a �� ����� ��� �������, � a ���a � �� ����a���� �� �a�a �� ��� ������ �a ����� �� �a�a������/����b�������. C�� ����, a � ������a���� �� �a��� ������ � �� �a��� �� �a��� ������ a������ a� ���������� a ������:
(,) = ( +) −
= � (,) ��
− (+ ) = � 4.1.2.1.
��������
1) Ca����a� � ����a��� a�����a�� a� ���a� �� 7� ��� �� ��a ��������a �� 7 ��������� ����a�� � ����������, �� �a��� �� $ 800,00 �a�a, ���a ����a �� ����a��a ��� �������a a ��a �a�a �� ����� �� 2,1% a.�. S������: PMT = $ 800,00 � = 2,1%a.�. �=7 FV = ?
= � (,) − (+) = �
− (+,) = , � , = , � , = $ .,
2) U�a �����a ��� ��������a� �� $ 22.000,00 �a��� a �� a�� �a�a ��a���a� ��a ��a���. Pa�a �a���, ���� ����� ����a ��a �������a ����a� �� $ 1.250,00, a ��a� � �������a�a ���a ����a �� ����a��a ��� �������a �� ��������� a ��a �a�a �� ����� ��������� �� 4% a.�. ��������a� �� ���a �����a ���� a�����a�� � ����a��� ���������� a� ���a� �� �� a�� �a�a �a��� a ��a ��a���. PMT = $ 1.250,00 � = 4%a.�. � = 12 FV = ?
= � (,) − (+) = �
− (+,) = ., � , = ., � , = $ ..
P���a���, � ����a��� a�����a�� ��� 12 ����� a�������a��� ������������ �a�a a ��a���. Pa�a �b��� �� $ 22.000,00 �����������, �� ��������� ����a�� ����a ����a �� ����a��a ����� ��� �� $ 1.464,15. S���� aba��� �� ��������:
= � (,) − (+) = �
− (+,) ., = � , = ., , = $ ., 4.2.
��� ������������
4.2.1.1.
��������
������� � �������� (��������)
= � (,) � (,) ���� �
= ������ �� �������� �� ���������.
��� ���
����� �� ����������� �� ������� (����� ��������).
= /(+)
4.3. ���������� 1) U�a ����a����a � ������a a ��a�� �� 5 �a�a������ ����a�� �� $ 700,00. S ���� �� 3,5% a.�. a �a�a �� �����, ��������a� � ��� ����� a ����a a�������� ���: a) O �������� �a�a����� � �����a�� �� a�� �a �����a; b) O �������� �a�a����� � �����a�� a� ���a� �� �������� ���; �) O �������� �a�a����� � �����a�� a� ���a� �� ������� ���.
2) U�a �����a ��� ��������a� �� $ 7.000,00 �a��� a 10 �����. Q�a��� ������ ��a �������a� ����a������ ��� ����� �� ����a��a ��� ����� 1,7% a. �. �� �����?
3) U�a �����a ������ ���� $ 50.000,00 �� �������� � ��a �a�a���a�� �� ����a��a �� $ 3.000,00 ����a�� �� ������� �������� � $ 4.000,00 ����a�� ��� 4 ����� ��������� a� ��������. S� ���� ����� �� ����a��a ��� �������a�� ����a������ ��� ����� ��� ����� 2,5% a.�., ��������a� ��a��� ���a �����a ���� a�����a�� a� ���a� ��: a) 10 ����� b) 15 �����
4) U� �������, ���� ����� a ����a � �� $ 30.000,00, ���� ����� ������� �a� ��������� ���������: a) E���a�a
= 30%
b) Sa��� �� 6 �����a���� ����a��, ���a�� � ��������a�, �������� a �������a �a��� a ���� �����. D�������a� � �a��� �� �a�a �����a���, a�������� ��a �a�a �� ����� �� 2% a.�.
5) D�������a�� ������� ���� ����� ������� ��� $ 1.800,00 a ����a, �� �� 3 �a�a������ ����a�� � ���a�� �� $ 650,00. E��a��� a��a������ �� 3,3% a.�. a� �a�a� �� ����� �� ����a��, ������� a�a��a� a ������ a�����a���a �� �����a.
6) Ca����a� � �a��� �������� �� �a�a �� ��� ������ aba���: a) 48 �����a���� ����a��, ���a�� � ��������a� �� $ 4.000,00. Ta�a �� �����: 1,2% a.�. b) 14 �����a���� ��������a��, ���a�� � ��������a� �� $ 7.000,00. Ta�a �� �����: 5% a.�. �) 5 �����a���� ����a�� � ��������a� ���������� �� PA � �a��� �� 2.000,00. O �a��� �a �������a �����a��� � �� $ 10.000,00. Ta�a �� ����� : 2,6% a.�.
7) D�������a�a ����a����a � ������a ��� $ 2.500,00 a ����a �� ��� 20% �� ����a�a �a�� �����a���� ����a�� �� $309,00. S���� �� 2% a.�. a �a�a �������� �� �����, ��������a� � ������ �� �����a����.
8) U� ���������� �� �a��� �� $ 15.000,00 � ��������� � �a�a �� ����� �� 2,23% a.�. O� ������ �� �a��a �a ����a���� ��� a�������a��� aba���: 15.000,00 1
2
3
4
2.000,00
X
4.600,00
3.800,00
5 (�����)
2.900,00
Pa�a �� �a��� �� ����������, ������� �a����a� � �a��� �a �a����a ��������� a� ���.
5. ������� �� �������������
T��a ����a��� ���a�����a � ���������a�a �� ������ �� ������ �� �a��a, �� ���a, �� ������ ������� �����a��� �� ����b������� � �a�a������ �� �a��a. A a�a��a��� ������ ������ ��������, �� �������a, �a ����a�a��� ��� �a����� ���������, �a����a��� ������� �� ������ �� ����� ��������� a �a���� �� ��a �a�a �a�a �� �����, �a� �a��a� � ����a�a �� �a��a.
5.1.
���� ������� �� �������
� a �a�a �� ����� (��������) ��� ���a�a, �� ��������a�� ������� �� �����, � �a��� �������� �a� ����a�a� (����b�������) ��� �a� �a��a� (�a�a������) �������a� �� �a��a. G��a������, a���a��� a �a�a �� ������ �a ����a��� � ������� ���� � ���� a �a�a ���a� �� ����a�a��� ��� ������ �� �a��a.
= (+)
����
� �a��� �� ����� �� �a��a �� ������� ����; − ������ ��������� �� ����a�a� �� �a��a� �� �a�a ������� �� �����; � � �a�a �� ������� ��� ���a�a, �� ��������a�a �a�a, a� ����a�a� ��� a� �a��a� �������a� �� �a��a (���������a a Ta�a I�����a �� R������). P�� �������: a����a �� ���������� �� $ 30.000,00 a ��� ������a�� ��� ���� �� ���� �a�a������ ����a�� � ���������� �� $ 15.000,00 �a�a.
., ., = ., + (+) (+) = .% �.
5.2.
����� �������� ������� O ������ �� Va��� P������� L������ �a�a a������ ��� ������ �� �a��a � �b���� ���a
��������a ����� � �a��� �������� ��� b��������� (�a�a������) ��������� �� �a��a, � � �a��� �������� �� ����� �� �a��a �����a� (�a��� �� ������������).
− = (+ )
����
� ���������a � �a��� �� ����a�a �� �a��a �������� �a�a �a�a ������a�� �� �����. � ����� �� �a��a �������a�� �� ������� ����, ������� ��� �� ������������, ���������� �� ���a���a�����. C�������� �a�a ���a�a �� �������: �������������
��������
A ������a ���a��a �b����� �� ������� �a��� VPL > 0
��� � ������� ������ �������; a����a��a � P������; A ������a ���a��a �b����� �� �������
VPL = 0
��a�a����� ���a� a� ������� ������ �������; ����a ����������� �� ���a��� a� �������; A ������a ���a��a �b����� �� �������
VPL < 0
����� ��� � ������� ������ �������; ������a��a � �������.
P�� �������:a����a ��� ��a ������a �����a a�a��a��� �� ������������ �� �a��� �� $ 750.000,00 �� ��a� �� �����a� b��������� a��a�� �� �a��a �� $ 250.000,00 �� �������� a��, $ 320.000,00 �� ������� a��, $ 380.000,00 �� �������� a�� � $ 280.000,00 �� ��a��� a��.
A����������� ��� a ������a ����a �������� �� 20% a� a�� a �a�a �� �������� a ��� a����a�a a�� ������ �� �a��a �� ������������, ������ � �������� ������� �� VPL:
., + ., + ., − ., = ., + (,) (,) (,) (,) = (.,+.,+.,+.,) − ., = .,− ., = $ ., P���a���, � ������������ a�������a��� a��a���� ����� ��� a ���a ��� ������ �� �a��a �������a�a a ��a �a�a 20% a� a�� ����� � ������������ �����a� �� $ 750.000,00 � �a��� ��� ����.
5.3.
������� ������� � ������� ����������
5.3.1. ������� ������� Ca����a � ������ �� �������� ��� a ������a ���a �a�a �������a� � ��� I�����������.
•
� ����� � ������ � ��� �������, ��b��a ��� ��������� �� F����� �� Ca��a a��� � ������� �� Pa�ba�� � � �a��� �� �������� �� �����.
•
O ��� �������� �� a����a��� ���� ���a�� a� ������ ������ �� �������� �������� �� ������� ������� �� I�����������. Q�a��� �����, ������.
•
O� �a����� �� F����� �� Ca��a ������� ��� ���a�� �� ���������� �a �������� �� ��������.
E������ �� F����� �� Ca��a ���a��: I����������� = 150.000 F���� �� Ca��a = 57.900 A��a�� ���
����� �� �����
����� �� ����� ���������
0 1 2 3 4 5
�150.000,00 57.900,00 57.900,00 57.900,00 57.900,00 57.900,00
�150.000,00 � 92.100,00 � 34.200,00 +23.700,00 +81.600,00 +139.500,00
PAYBACK ���� ����� �� a��� 2 � 3 ���� ������� �b����a� ���� ����� �� �a��a a�����a��.
., = , = = ., 5.3.2. ������� ����������
O ������ �� PAYBACK �������a�� ����, �a�b��, ��� a������a�� ��a��� ��������� � �������� �� �a��� �� �������� �� �����. I��� � ����� �� ������ �� PAYBACK DESCONTADO ��� �a����a � ����� �� PAYBACK a����a��� �� ������ �� �a��a ��� ��a �a�a �� ��������. E������: I�����������
= 150.000
F����� �� Ca��a = 57.900 ���a�� �a�a 5 a��� Ta�a �� D������� = 18% a� a�� ���
����� �� ����� �����
0 1 2 3 4 5
�150.000,00 57.900,00 57.900,00 57.900,00 57.900,00 57.900,00
����� �� ����� ��������
����� �� ����� ���������
49.068,00 41.583,00 35.240,00 29.864,00 25.309,00
�150.000,00 �100.932,00 � 59.349,00 � 24.109,00 + 5.755,00 + 31.064,00
O PAYBACK ���� ����� a�� 3 � � a�� 4, ���� ������� �b����a� ���� ����� �� �a��a �����a�� a����a��. A����, �����: PAYBACK = 3 + 24.109 / 29.864 = 3,81 a���.
5.4.
����������
1) U�a ������a ��� a ���������a�� �� �������� $ 500.000,00 ��� ������� ���� � ����� �� �a��a ���� �������a�� �a �ab��a. C�������a��� a �a�a ��������a/�������� �� 14% a� a��, ��������� �� ���� ������� ���� ��� a����� ������a��� � VPL. A��� 0 1 2 3
FC � $ 500.000,00 $ 100.000,00 $ 120.000,00 $ 130.000,00
A��� 4 5 6 7
FC $ 150.00,00 $160.000,00 $ 170.000,00 $ 220.000,00
2) O ����� �� �a��a a��a� �� ������� �� ��b��������� ���� �������a�� �a �ab��a. V�������� �� ���� ������� ���� ��� a����� ��������a��� a �a�a ��������a �� 14% a�� (VPL). A��� 0 1 2 3
FC � $ 12.000,00 $ 2.500,00 $ 2.850,00 $ 3.150,00
A��� 4 5 6
FC $ 3.780,00 $4.250,00 $ 4.750,00
3) A �����a���a �������a� �� ����� �� �a��a �� ������� �� �a��a����� �� ��a ���a ����a �� �������� ���� �������a�a �a �ab��a. C�������a��� a �a�a ��������a �� 9,5% a� ��������, ��������� �� � ������� ���� ��� a����� (VPL).
A��� 0 1 2 3 4 5
FC � $ 550.000,00 $ 50.000,00 $ 80.000,00 $ 100.000,00 $ 120.000,00 $ 140.000,00
A��� 6 7 8 9 10
FC $ 150.00,00 $170.000,00 $ 190.000,00 $ 200.000,00
4) O ����� �� �a��a a��a� �� ������� �� ��b��������� ���� �������a�� �a �ab��a. V�������� �� ���� ������� ���� ��� a����� ��������a��� a �a�a ��������a �� 14% a� a ��. A��� 0 1 2 3
FC � $ 12.000,00 $ 2.500,00 $ 2.850,00 $ 3.150,00
A��� 4 5 6
FC $ 3.780,00 $4.250,00 $ 4.750,00
5) O ����� �� �a��a a��a� �� ������� �� ��b��������� �� �� ������a �� ���a��� ��� ����� �a�� ������� ���� �������a�� �a �ab��a. V�������� �� � ������� ���� ��� a����� ���� ������ �a TIR ��������a��� a �a�a �� �������� �� 12% a� a��. A��� 0 1 2 3
FC � $ 145.000,00 $ 18.500,00 $ 25.000,00 $ 32.000,00
A��� 4 5 6 7
FC $ 45.000,00 $ 58.000,00 $ 65.000,00 $ 110.000,00