[Apostila] Estatística Aplicada a Engenharia I

UNIVERSIDAD FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO E CI CI NCIA NCIAS S EXA EXATA TAS S E DA TER TER A DEP RTAMEN RTAMENTO TO DE ESTAT ESTAT STICA STICA

Est tística Aplicada a Engenharia I

Prof. Msc. André uiz Sena da Rocha andreroc [email protected]

Natal / RN

ÍNDICE UNIDADE I - ESTATÍSTICA DESCRITIVA ..................... ............................... .................... ................... ................ ....... 1 .............................................................................................................. ........................................................... ... 1 1.1 - NATUREZA E CAMPO DA ESTATÍSTICA................................................... 1.2 - O MÉTODO ESTATÍSTICO ..................................................................................................................................... 1

1.3 - POPULAÇÃO, AMOSTRA E TIPOS DE VARIÁVEIS .................................................................................................. 2 1.4 - REPRESENTAÇÃO TABULAR.......................................................... ........................................................... ............. 7 1.4.1 - Distribuição de Frequências ........................................................................................................................... 8 1.5 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA........................................................... ........................................................... . 16 1.5.1 - Gráfico de Setores ........................................................................................................................................ 16 1.5.2 - Gráfico de Colunas e Barras ........................................................................................................................ 17 1.5.3 - Histograma e Polígono de Frequências ........................................................................................................ 18

1.6 – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL................................................................................................................... 20 1.6.1 - Média Aritmética ......................................................................................................................................... 21 1.6.2 – Mediana Media na ................................................... ............................................................................................................... ............................................................ ........................................ 23 1.6.3 - Moda ............................................................................................................................................................ 27 1.6.4 – Separatrizes ................................................................................................................................................. 30

1.7 - MEDIDAS DE DISPERSÃO .................................................................................................................................... 32 1.7.1 – Variância ..................................................................................................................................................... 34 1.7.2 - Desvio Padrão .............................................................................................................................................. 36 1.7.3 - Coeficiente de Variação ............................................................................................................................... 38

1.8 - ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS ...................................................... ........................................................... . 39 1.8.1 - Esquema dos 5-Números ............................................................................................................................. 39 1.8.2 - Box-Plot ....................................................................................................................................................... 40

UNIDADE II - PROBABILIDADE ......................................................................... 43 2.1 - EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS ....................................................... ........................................................... ........... 43 2.2 - ESPAÇO AMOSTRAL ............................................................................................................................................ 44 2.3 - EVENTOS.......................................................... ............................................................ ........................................ 44 2.4 - RESULTADOS EQUIPROVÁVEIS ........................................................................................................................... 47 2.5 – DEFINIÇÕES DE PROBABILIDADE ........................................................... ........................................................... . 48 2.6 - PROBABILIDADE CONDICIONAL ......................................................................................................................... 50 2.7 - EVENTOS INDEPENDENTES.................................................. ............................................................................................................. ........................................................... ..................... 53 2.8 – VARIÁVEL ALEATÓRIA UNIDIMENSIONAL ........................................................................................................ 54 2.9 - MODELOS DE PROBABILIDADE DISCRETOS ....................................................................................................... 55 2.9.1 - Distribuição de Bernoulli ............................................................................................................................. 55 2.9.2 - Distribuição Binomial .................................................................................................................................. 57 2.9.3 - Distribuição Distribuiçã o de Poisson Poisso n.......................................................... ........................................................... ........... 61

ÍNDICE UNIDADE I - ESTATÍSTICA DESCRITIVA ..................... ............................... .................... ................... ................ ....... 1 .............................................................................................................. ........................................................... ... 1 1.1 - NATUREZA E CAMPO DA ESTATÍSTICA................................................... 1.2 - O MÉTODO ESTATÍSTICO ..................................................................................................................................... 1

1.3 - POPULAÇÃO, AMOSTRA E TIPOS DE VARIÁVEIS .................................................................................................. 2 1.4 - REPRESENTAÇÃO TABULAR.......................................................... ........................................................... ............. 7 1.4.1 - Distribuição de Frequências ........................................................................................................................... 8 1.5 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA........................................................... ........................................................... . 16 1.5.1 - Gráfico de Setores ........................................................................................................................................ 16 1.5.2 - Gráfico de Colunas e Barras ........................................................................................................................ 17 1.5.3 - Histograma e Polígono de Frequências ........................................................................................................ 18

1.6 – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL................................................................................................................... 20 1.6.1 - Média Aritmética ......................................................................................................................................... 21 1.6.2 – Mediana Media na ................................................... ............................................................................................................... ............................................................ ........................................ 23 1.6.3 - Moda ............................................................................................................................................................ 27 1.6.4 – Separatrizes ................................................................................................................................................. 30

1.7 - MEDIDAS DE DISPERSÃO .................................................................................................................................... 32 1.7.1 – Variância ..................................................................................................................................................... 34 1.7.2 - Desvio Padrão .............................................................................................................................................. 36 1.7.3 - Coeficiente de Variação ............................................................................................................................... 38

1.8 - ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS ...................................................... ........................................................... . 39 1.8.1 - Esquema dos 5-Números ............................................................................................................................. 39 1.8.2 - Box-Plot ....................................................................................................................................................... 40

UNIDADE II - PROBABILIDADE ......................................................................... 43 2.1 - EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS ....................................................... ........................................................... ........... 43 2.2 - ESPAÇO AMOSTRAL ............................................................................................................................................ 44 2.3 - EVENTOS.......................................................... ............................................................ ........................................ 44 2.4 - RESULTADOS EQUIPROVÁVEIS ........................................................................................................................... 47 2.5 – DEFINIÇÕES DE PROBABILIDADE ........................................................... ........................................................... . 48 2.6 - PROBABILIDADE CONDICIONAL ......................................................................................................................... 50 2.7 - EVENTOS INDEPENDENTES.................................................. ............................................................................................................. ........................................................... ..................... 53 2.8 – VARIÁVEL ALEATÓRIA UNIDIMENSIONAL ........................................................................................................ 54 2.9 - MODELOS DE PROBABILIDADE DISCRETOS ....................................................................................................... 55 2.9.1 - Distribuição de Bernoulli ............................................................................................................................. 55 2.9.2 - Distribuição Binomial .................................................................................................................................. 57 2.9.3 - Distribuição Distribuiçã o de Poisson Poisso n.......................................................... ........................................................... ........... 61

2.10 - PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS ......................................................................................................... 63 2.10.1 - Distribuição Uniforme ............................................................................................................................... 63 2.10.2 - Distribuição Exponencial Exponen cial ..................................................... ........................................................... ........... 64 2.10.3 – Distribuição Normal .................................................................................................................................. 64 2.10.4 - Distribuição t de de Student ...................................................... ........................................................... ........... 73

UNIDADE III - INFERÊNCIA ESTATÍSTICA .................. ............................ .................... ................... .............. ..... 76 .................................................................................. ............................... 78 4.1 - DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E DA PROPORÇÃO ................................................... 4.1.1 – Distribuição Amostral da Média ................................................................................................................. 78 4.1.2 – Distribuição Amostral da Proporção ........................................................................................................... 79 .............................................................................................................. ........................................................... . 80 4.2 - ESTIMAÇÃO POR PONTO E INTERVALO ................................................... 4.2.1 - Estimação Esti mação Pontual ........................................................ ........................................................... ..................... 80 4.2.2 - Estimação Intervalar .................................................................................................................................... 80 4.2.2.1- Intervalo de confiança para a média ........................................................................................................................ 82 4.2.2.2 - Intervalo de confiança para a proporção ................................................................................................................ 86

4.3 - TESTES DE HIPÓTESES ........................................................................................................................................ 87 4.3.1 - Teste para a Média quando σ2 é conhecido .......................................................... ........................................ 90 4.3.2 - Teste para a Média quando σ2 é desconhecido............................................................................................. 95 4.3.3 - Teste para Proporções .................................................................................................................................. 99 4.3.4 - Valor-P ...................................................................................................................................................... 101

REFERÊNCIAS ANEXOS ANEXO A - DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO TABELA B - DISTRIBUIÇÃO T DE STUDENT

EST0323– Estatística Aplicada a Engenharia I – Prof. Msc. André Luiz Sena da Rocha

UNIDADE I ESTATÍSTICA DESCRITIVA 1.11.1- Natureza e Campo da Estatística Estatística é a ciência que diz respeito à coleta, apresentação e análise de dados quantitativos, de tal forma que seja possível efetuar julgamentos sobre os mesmos. Ramos da Estatística: a) Estatística descritiva → trata da observação de fenômenos de mesma natureza, da coleta de dados numéricos referentes a esses fenômenos, da sua organização e classificação através de

tabelas e gráficos, bem como da análise e interpretação. i nterpretação. b) Probabilidade estatística → utilizada para analisar situações que envolvem o acaso (aleatoriedade).

c) Inferência estatística → estuda as características de uma população com base em dados obtidos de amostras. OBS: Estatística Indutiva pode ser denominada como inferência. Portanto, a estatística indutiva estuda as características de uma população, com base em dados obtidos de amostras.

Inferência = Indução + Margem de Erro

1.21.2- O Método Estatístico A realização de uma pesquisa deve passar, necessariamente pelas fases apresentadas abaixo:

Definição do

Coletas

→

Planejamento

→

→

dos

Dados

problema Apresentação dos dados

dos

Crítica

→

Tabelas e Gráficos [email protected]

Análise e interpretação

→

dos dados

1


1)

Definição do problema → Saber exatamente o que se pretende pesquisar, ou seja, definir

corretamente o problema. 2)

Planejamento → determinar o procedimento necessário para resolver o problema, como

levantar informações informações sobre o assunto objeto objeto do estudo. É importante a escolha das perguntas em um questionário, que na medida do possível, devem ser fechadas.  O levantamento de dados pode ser de dois tipos:

Censitário e Amostragem.

 Outros elementos do planejamento de uma pesquisa são:

• Cronograma das atividades; • Custos envolvidos; • Exame das informações disponíveis; • Delineamento da amostra. 3)

Coleta de Dados → consiste na busca ou compilação dos dados. Pode ser classificado,

quanto ao tempo em:

• Contínua (inflação, desemprego, etc); • Periódica (Censo); • Ocasional (pesquisa de mercado, eleitoral) 4)

Crítica dos dados → objetiva a eliminação eliminação de erros erros capazes capazes de provocar provocar futuros futuros enganos.

Faz-se uma revisão crítica dos dados suprimindo os valores estranhos ao levantamento. 5)

Apresentação dos dados → a organização dos dados denomina-se “Série Estatística”. Sua

apresentação apresentação pode ocorrer por meio de tabelas e gráficos. 6)

Análise e Interpretação dos Dados → consiste em tirar conclusões que auxiliem o

pesquisador a resolver seu problema, descrevendo o fenômeno através do cálculo de medidas estatísticas, especialmente especialmente as de posição e as de dispersão.

1.3 - População, Amostra e Tipos de Variáveis Inferência

Obtenção de resultados para uma população com base em observações observações

Estatística

extraídas a partir de uma amostra retirada desta população.

[email protected]

2


POPULAÇÃO: É o conjunto de elementos (na totalidade) que têm, em comum, uma determinada característica. Pode ser finita, como o conjunto de alunos de uma determinada escola, ou infinita, como o número de vezes que se pode jogar um dado.

AMOSTRA: É qualquer subconjunto da população. A técnica de seleção desse subconjunto de elementos é chamada de Amostragem. Como já vimos, a inferência estatística tem como objetivo a estimação de parâmetros para uma população tendo como base às informações extraídas através de uma amostra. Neste contexto, o estudo dos mais diversos tipos de procedimentos de amostragem se faz necessário.

Exercício 1.1: Dentre os 3000 alunos de uma escola, selecionaram-se 30 e inquiriram-se sobre o programa de televisão preferido. Sendo respondidos como programas preferidos “Telejornal”, “Novelas” e “Cinema”, com 10, 12 e 8 alunos, respectivamente. Responda: a) a população; b) a amostra.

Exercício 1.2: Para saber a aceitação de uma nova ração canina para filhotes de médio porte, uma empresa selecionou 200 filhotes com até 6 meses de idade de diversas raças de médio portem, e contabilizou a engorda deles. Indique: a) a população; b) a amostra;

Exercício 1.3: Para realizar um estudo sobre o tempo gasto, em segundos, por 100 atletas na corrida dos 100 metros com obstáculos, registrou-se o tempo gasto por 16 desses atletas e obtiveram-se os seguintes resultados: Indique: a) a população; b) a amostra;

[email protected]

3


Exercício 1.4: Um aluno da UFMG do curso de “Cinema de Animação e Artes Digitais ” realizou um sorteio dentre todas as fitas de VHS da biblioteca de sua Universidade, de 8 fitas para seu Trabalho de Conclusão de Curso. a) a população; b) a amostra;

Exercício 1.5: Um aluno de Biblioteconomia da UFRN está fazendo um levantamento de todas as Dissertações do curso de História, Geografia e Pedagogia, defendidas a partir do ano de 2000 e que estão cadastradas no banco de dados da Biblioteca Zila Mamede. Dentre elas eles selecionou 10 de cada curso e contabilizou as datas de defesa.. a) a população; b) a amostra; As técnicas de amostragem podem ser classificadas em dois grandes grupos: a amostragem probabilística e a amostragem não probabilística. 1. Amostragem Probabilística: neste grupo encontram-se os planos amostrais que utilizam mecanismos aleatórios de seleção dos elementos da amostra, atribuindo a cada um deles uma probabilidade, conhecida à priori, de pertencer à amostra. 2. Amostragem Não Probabilística: neste grupo encontram-se os planos amostrais que não utilizam mecanismos aleatórios de seleção dos elementos da amostra, e dessa forma, não existe nenhuma probabilidade associada à seleção desses elementos. Ambos os procedimentos têm vantagens e desvantagens. A grande vantagem das amostras probabilísticas é medir a precisão da amostra obtida. Tais medidas já são bem mais difíceis para os procedimentos do outro grupo. Diante disso, amostras probabilísticas são comumente utilizadas na prática. Os tipos de planos de amostragem probabilísticos são os seguintes:

• Amostragem Aleatória Simples: cada elemento da população tem a mesma chance (ou probabilidade) de ser selecionado. Os elementos são escolhidos através de sorteio. Para isso, tabelas de números aleatórios são frequentemente utilizadas. Por exemplo, selecionar 5 alunos de uma turma usando a lista de chamada.

[email protected]

4


• Amostragem Estratificada: a população é dividida em estratos (ou grupos) homogêneos, sendo selecionada uma amostra aleatória simples de cada estrato. Por exemplo, selecionar alunos de 5ª a 8ª série de uma determinada escola. Neste caso, cada série corresponde a um estrato, e de cada estrato uma amostra aleatória simples dos alunos é extraída, lembrando que pra tanto seria necessário sorteio a partir da lista de chamada também.

• Amostragem Sistemática: os elementos são selecionados segundo uma regra pré-definida. É bastante utilizada quando os elementos da população estão arranjados em uma ordem. Por exemplo, se em uma concessionária deseja-se estimar o preço total dos seus carros a partir de uma amostra de 10 carros selecionar possuindo para tanto uma lista dos carros em ordem de preço do maior para o menor, ou do menor para o maior. Uma observação importante é que, por exemplo, se os elementos escolhidos estiverem em ordem não se deve pegar os primeiros elementos, ou os últimos, ou os do meios, deve-se percorrer elementos de cada parte.

Exercício 1.6: Para cada uma das seguintes situações diga qual o tipo de amostragem foi utilizada. − O conselho universitário de uma universidade deseja conhecer a opinião dos alunos e professores sobre uma resolução a ser votada, que estabelece horários fixos para o atendimento de alunos pelos professores. Para compor a amostra foram sorteados aleatoriamente 10% dos alunos matriculados e 10% dos professores.

− Um treinador de uma confederação esportiva deseja dividir 20 times em dois grupos. Para o primeiro grupo seleciona aleatoriamente 10 times, e considera os 10 restantes para o segundo grupo.

− Uma lista de corredores de uma maratona contém 1000 nomes, numerados consecutivamente de 1 a 1000. Iniciando-se do 5º nome, uma amostra foi composta considerando sorteados os nomes referentes aos números 15º, 25º, 35º, 45º, 55º e assim sucessivamente até que fossem escolhidos 100 nomes.

− Um sociólogo na Universidade de Charleston seleciona 12 homens e 12 mulheres de cada uma de quatro turmas de educação física.

[email protected]

5


− Um treinador sorteia 6 jogadores de seu time de futebol sem mais critério s de seleção e tira uma amostra de urina de cada um.

− O programa Planned Parenthood (Planejamento Familiar) pesquisa 500 homens e 5000 mulheres sobre seus pontos de vista sobre o uso de anticoncepcionais.

TIPOS DE VARIÁVEIS: É condição inerente a uma população natural existir variação quanto aos atributos que lhe podem ser estudados. Portanto, a variabilidade é uma característica comum aos dados de observação e experimentos. Um atributo sujeito à variação é descrito em Estatística por uma variável. Nominal Qualitativa Ordinal Variável Discreta Quantitativa Contínua

Variável Qualitativa: os dados podem ser distribuídos em categorias mutuamente exclusivas. Por exemplo, sexo (masculino, feminino), cor, causa de morte, grupo sanguíneo, etc. -

Nominal: as categorias podem ser permutáveis (não existe ordem natural dos seus níveis); Exemplo: [masculino, feminino], [sim, não], [fuma, não fuma];

-

Ordinal: as categorias descrevem uma ordenação natural dos seus níveis. Exemplo: [péssimo, ruim, regular, bom, ótimo].

Variável Quantitativa: os dados são expressos através de números. Por exemplo, idade, estatura, peso, etc. -

Discreta: Assumem valores que podem ser associados aos números naturais (  = 1,2,3,... ). Dá uma ideia de contagem. Exemplo: Número de irmãos dos 30 alunos da turma de Engenharia

[0, 1, 2, 5, 3, 4, 1, 0, 2, 3, 5, 4, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 3, 2 , 3, 4, 2, 1, 2]. [email protected]

6

EST0323– Estatística Aplicada a Engenharia I – Prof. Msc. André Luiz Sena da Rocha -

Contínua: Assume infinitos valores em um dado intervalo. Dá uma ideia de medição. Exemplo: altura e/ou peso de animais ou de pessoas. [1.70, 1.57, 1.80, 1.94, 1.68, 1.71]

Exercício 1. 7: Classifique com relação ao tipo de variável as seguintes informações: • Sexo (“Masculino” ou “Feminino”); • Tempo de uso de um HD de 1 TB (em meses completos); • Tempo em horas para término de uma simulação num software; • Altura de jogadores de vôlei de certo time (em metros); • Fuma (“Sim” ou “Não”); • Peso de vigas de concreto (em quilogramas); • Número de filhotes de uma ninhada; • Tolerância ao cigarro (indiferente, incomoda pouco, incomoda muito); • Horas que gasta estudando. • Resultado final de uma disciplina da UFRN (“Aprovado” ou “Reprovado”)

1.4 - Representação Tabular Consiste em dispor os dados em linhas e colunas, distribuídas de modo ordenado, segundo algumas regras práticas e obedecendo (ainda) à Resolução nº 886/66, de 26 de outubro de 1966, do Conselho Nacional de Estatística. As tabelas devem conter:

a) Título - O quê? (fenômeno). Onde? (época). Quando? (local). b) Cabeçalho - indica o conteúdo das colunas c) Coluna Indicadora - especifica o conteúdo das linhas d) Cabeçalho da coluna indicadora - indica o conteúdo da coluna indicadora e) Corpo - caselas ou células, onde são registrados os dados. f) Rodapé - notas e identificação da fonte de onde foram coletados os dados.

[email protected]

7


1.4.1 - Distribuição de Frequências Tabelas com grandes números de dados são cansativas e não dão uma visão rápida e geral do fenômeno. Dessa forma, é necessário que os dados sejam organizados em uma tabela de distribuição de frequências. Estas podem ser simples (dados não-agrupados) ou por classes (dados agrupados).

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS SIMPLES: Série estatística para dados nominais, ordinais e discretos, organizados em uma tabela. Construção de uma Distribuição de Frequências: Para a construção de uma distribuição de frequências os seguintes componentes são necessários: 

Dados Brutos: são os dados apresentados desordenadamente, da forma como foram coletados. Exemplo 1.1: Peso (kg) de 14 blocos de concreto (dados brutos): 74



58

69

80

74

95

56

74

76

81

60

57

64

62

76

80

81

95

Rol: são os dados apresentados em ordem crescente. Exemplo 1.1: Peso (kg) de 14 blocos de concreto (em forma de rol): 56

57

58

60

62

64

69

74

74

[email protected]

74

8


Construção de uma Distribuição de frequências simples 1. Ordenar os dados brutos em forma de rol (ordem crescente) 2. Listar todos os elementos diferentes, numa coluna de nome “X”. 3. Listar a frequência de todos os elementos diferentes numa coluna de nome "fi" ou "frequência". 4. Somar todos os elementos da coluna "fi" (total).

Exemplo 1.2: Numa pesquisa feita para detectar o número de filhos de empregados de uma multinacional, foram encontrados os seguintes valores:

1 3

4 2

2 4

5 2

3 3

2 2

0 3

3 2

2 1

1 4

5 2

4 1

2 3

5 4

0 2

Solução: 

Rol (dados em ordem crescente):

0

0

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

4

4

4

4

4

5

5

5



Tabela de Distribuição de Frequências: Número de filhos por empregado de uma multinacional Número de filhos (X)

fi

f i%

0

2

6,7

1

4

13,3

2

10

33,3

3

6

20

4

5

16,7

5

3

10

Total

30

100

Fonte: Dados Fictícios

Algumas considerações ou conclusões: Qual o número de funcionários que não tem filhos? Qual o seu percentual? Quantos funcionários têm cinco filhos e qual o seu percentual? A maioria dos funcionários tem quantos filhos? E a minoria? Informe o percentual de ambos. [email protected]

9


INFORMAÇÕES ADICIONAIS NUMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS Além das informações contidas na tabela, destaca-se outros parâmetros relevantes: -

LI = limite inferior de cada classe;

-

LS = limite superior de cada classe;

-

Pm = ponto médio de cada classe  x = (Li + Ls) / 2;

-

fi = frequência absoluta = número de ocorrências de cada classe;

-

fi % = frequência percentual  fi % = (fi / n) 100;

-

F ↓ = frequência absoluta acumulada "abaixo de";

-

F ↑ = frequência absoluta acumulada "acima de";

-

F% ↓ = frequência percentual acumulada "abaixo de";

-

F% ↑ = frequência percentual acumulada "acima de";

Exemplo 1.3: Veremos como fica a distribuição de frequências simples com essas informações adicionais: Número de filhos de empregados de uma multinacional Nº de filhos fi

f % F ↓ F ↑ F ↓% F ↑%

0

2

6,7

2 30 6,7

1

4

13,3 6 28

2

10 33,3 16 24 53,3

3

6

4

5

16,7 27 8

90

26,7

5

3

10 30 3

100

10

Total

30

100

-

-

20

100 93,3 80

20 22 14 73,3 46,7

-

-

Fonte: Dados fictícios

Responda: a) Quantos empregados têm até 2 filhos? Resp: Se dá por F ↓ , sendo igual a 16 filhos.

b) Quantos empregados têm ao menos 4 filhos? Resp: Se dá por F ↑ , sendo igual a 8 filhos.

c) Qual o percentual de empregados com no máximo 1 filho? Resp: Se dá por F%↓ , sendo igual a 93,3%.

d) Qual o percentual de empregados com no mínimo 2 filhos? Resp: Se dá por F ↑%, sendo igual a 80%. [email protected]

10


DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS POR CLASSES: Série estatística para dados contínuos. Os números são agrupados em classes, com suas respectivas frequências absolutas, relativas e percentuais, com o objetivo de facilitar ao analista o seu estudo. Os seguintes componentes são utilizados apenas em distribuição de frequências em classes: 

Amplitude Total (A): é a diferença entre o maior valor do rol (LS) e o menor valor (LI). A = LS - LI



Número de Classes (c): corresponde à quantidade de classes, nas quais serão agrupados os elementos do rol. Para determinar c, utiliza-se a fórmula de Sturges:

C = 1 + (3,33333.....) · log(n) em que n = número de elementos do rol. 

Amplitude ou Intervalo de Classe (i): geralmente utilizam-se intervalos iguais, obtidos através da fórmula:

i = A/C Construção de uma Distribuição de frequências por classes a) Ordenar os dados brutos em forma de rol (ordem crescente) b) Calcular a amplitude total: A = LS - LI c) Calcular o número de classes e arredondar o valor final para um número inteiro utilizando a regra e arredondamento: C = 1 + (3,33333.....) • log(n)

d) Calcular o intervalo entre classes: i = A / C. e) A 1º coluna será a das classes. O menor número dos dados em rol será o limite inferior da primeira classe (“LI” da fórmula utilizada na amplitude total “A” ), a partir do qual todas as outras classes serão definidas a partir deste número, somando ele ao intervalo entre classes.

Exemplo: Para C = 5, i = 1,5 e LI = 7,4 (menor número dos dados em forma de rol). O limite inferior da 1º classe será 7,4 e o limite superior da mesma classe será LI + i = 7,4 + 1,5 = 8,9. Por sua vez, o limite inferior da 2º classe será 8,9 e o superior: 8,9 + i = 8,9 + 1,5 = 10,4. Este procedimento será realizado até termos o número “C” de classes (este previamente calculado). [email protected]

11


f) Para indicar o intervalo, utilizaremos o símbolo |- . Por exemplo, no caso de haver o limite inferior 7,4 e o limite superior 8,9. Indicaremos este intervalo como : 7,4 |- 8,9. Isso significa todos os números que estão entre 7,4 e o mais próximo possível de 8,9, porém, caso haja um número igual ao limite superior dessa classe, este deverá ser computado apenas na próxima classe (para o Exemplo do número 5, na 2º classe, sendo esta: 8,9 |- 10,4).

g) Uma vez definidas as classes, a tabela de frequências pode ser construída, a partir da 2º coluna de nome “frequência” ou simplesmente “f i”, fazendo-se o processo de contagem, que consiste em verificar a qual classe cada dado pertence.

OBS: Em algumas situações, pode-se utilizar uma distribuição de frequências por classes para dados discretos quando todos os números ou a maioria são diferentes.

Exemplo 1.4: Construir uma distribuição de frequências para o número diário de experimentos realizados em um laboratório durante duas semanas. [0, 2, 3 ,4 , 5, 10, 12, 7, 9, 0, 5, 13, 17, 10, 6]. Para essa situação, a mais viável será uma distribuição por classes, que deverá seguir o mesmo procedimento, apenas com o cuidado ao calcular o intervalo entre classes ( i), o mesmo deverá ser arredondado para um número inteiro.

Exemplo 1.5: Construa de uma Distribuição de Frequências com CLASSES para os dados referentes ao Peso (kg) de 14 blocos de concreto:

56

57

58

60

62

64

69

74

74

74

76

80

81

95

Solução:

Amplitude Total (A):

A = LS – LI = 95 – 56 = 39.

Número de Classes (C):

C = 1 + (3,33333.....) · log(n) = 1 + 3,333 · log (14) = 4,82 ≈ 5.

Intervalo de Classe (i):

A=39 e C=5  i = A/C = 39/5 = 7,8.

[email protected]

12


Peso de blocos de concreto

Peso (kg)

fi

fi%

56,0 |- 63,8

5

35,71%

63,8 |- 71,6

2

14,28%

71,6 |- 79,4

4

28,58%

79,4 |- 87,2

2

14,28%

87,2 |-| 95

1

7,14%

Total

14

100%

Fonte: Dados Fictícios

Exemplo 1.6: Um determinado hospital está interessado em analisar a quantidade de creatinina (em miligramas por 100 mililitros) encontrada na urina (de 24 horas) de seus pacientes internados com problemas renais. Os dados são os seguintes: 1,51

1,65

1,58

1,54

1,65

1,40

1,61

1,08

1,81

1,38

1,56

1,83

1,69

1,22

1,22

1,68

1,47

1,68

1,49

1,80

1,33

1,83

1,50

1,46

1,67

1,60

1,23

1,54

1,73

1,43

2,18

1,46

1,53

1,60

1,59

1,49

1,46

1,72

1,56

1,43

1,69

1,15

1,89

1,47

2,00

1,58

1,37

1,40

1,76

1,62

1,96

1,66

1,51

1,31

2,29

1,58

2,34

1,66

1,71

1,44

1,66

1,36

1,43

1,26

1,47

1,52

1,57

1,33

1,86

1,75

1,57

1,83

1,52

1,66

1,90

1,59

1,47

1,86

1,73

1,55

1,52

1,40

1,86

2,02

[email protected]

13


Solução: 



Rol (dados em ordem crescente): 1,08

1,15

1,22

1,22

1,23

1,26

1,31

1,33

1,33

1,36

1,37

1,38

1,40

1,40

1,40

1,43

1,43

1,43

1,44

1,46

1,46

1,46

1,47

1,47

1,47

1,47

1,49

1,49

1,50

1,51

1,51

1,52

1,52

1,52

1,53

1,54

1,54

1,55

1,56

1,56

1,57

1,57

1,58

1,58

1,58

1,59

1,59

1,60

1,60

1,61

1,62

1,65

1,65

1,66

1,66

1,66

1,66

1,67

1,68

1,68

1,69

1,69

1,71

1,72

1,73

1,73

1,75

1,76

1,80

1,81

1,86

1,86

1,86

1,86

1,86

1,86

1,89

1,90

1,96

2,00

2,02

2,18

2,29

2,34

Amplitude Total (dá uma ideia do campo de variação dos dados):

A = LS - LI = (2,34) - (1,08) = 1,26 Analisando-se a quantidade de creatinina encontrada na urina dos 84 pacientes verificou-se que, ocorreu a variação de 1,26 no seu campo (de 1,08 a 2,34). 

Estabelecer o Número de Classes (c):

c = 1 + (3,3333.....) · log(n) = 1 + (3,3333....) · log(84) = 7,414 

 

c=7

Estabelecer o Intervalo de Classe (i):

i = A / c = (1,26) / 7 = 0,18 Quantidade de creatinina (ml) encontrada na urina de 84 pacientes com problemas renais. Classes

f i

f%

Pm (X)

f % ↓

f % ↑

F↓

F↑

1,08  1,26

5

5,9

1,17

5,9

100

5

84

1,26  1,44

13

15,5

1,35

21,4

94,1

18

79

1,44  1,62

32

38,1

1,53

59,5

78,6

50

66

1,62  1,80

18

21,4

1,71

80,9

40,5

68

34

1,80  1,98

11

13,1

1,89

94,0

19,1

79

16

1,98  2,16

2

2,4

2,07

96,4

6,0

81

5

2,16

3

3,6

2,25

100

3,6

84

3

84

100

-

-

-

-

-

Total

2,34


[email protected]

14


Observação 1: O melhor valor para representar cada classe é o ponto médio (P m), o qual se obtém pela fórmula:

Pm = Li + (i / 2), ou ainda, Pm = (Li + Ls) / 2 Observação 2: 1,08 |- 1,26, intervalo fechado à esquerda (pertencem a classe valores iguais ao extremo inferior) e aberto à direita (não pertencem a classe valores iguais ao extremo superior). De forma análoga, 2,16 |-| 2,34, intervalo fechado à esquerda e à direita. Responda: a)

Quantos pacientes têm até 1,79 ml de creatinina? Resp: Se dá por F ↓ , sendo igual a 68 pacientes.

b) Quantos pacientes têm ao menos 1,98 ml de creatinina? Resp: Se dá por F ↑ , sendo igual a 5 pacientes.

c) Qual o percentual de pacientes com no máximo 1,61 ml de creatinina? Resp: Se dá por F%↓ , sendo igual a 59,5%. (mais da metade).

d) Qual o percentual de pacientes com no mínimo 1,98 ml de creatinina? Resp: Se dá por F ↑%, sendo igual a 6%.

Exercício 1.8: Na fabricação de semicondutores, o ataque químico por via úmida é frequentemente usado para remover silicone da parte posterior das pastilhas antes da metalização. A taxa de ataque é uma característica importante no processo. Um tipo de solução pra ataque químico foi estudada, usando uma amostra de 50 pastilhas. As taxas observadas de ataque (10 -3 mils/min) são dadas a seguir: 2,1

4,2 2,7

28,2 9,9

4,3

3,3 1,2

4,1

16,2 8,7 24,1 1,4

9

2

6,6

3,9

18,4 0,2 6,1 13,5 7,4 8,2

5,8 1,6 3,5

1,6 14,7 9,6 16,1 8,1 0,2 8,3

12,2 18

0,3 1,3

8,2 20,2 6,9

14,1 1,0 2,4

2,4

26,7 3,7 12,3 23,1 5,6 0,4

[email protected]

15


1.5 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Todo o gráfico deve apresenta título (pode ser colocado tanto acima c mo abaixo) e escala (crescem da esquerda para a di eita e de baixo para cima). As legendas d evem ser colocadas à direita ou abaixo do gráfico. A seguir vemos os principais tipos de gráficos:

1.5.1 - Gráfico de Setores Também conhecido como Gráfico de Pizza, este gráfico é usado quando cad valor representa uma parte de um todo. É, então, usa o um círculo de raio qualquer, com a área ou ângulo total sendo proporcional ao total (100%) d série de dados a representar e a área ou ângulo de cada setor circular sendo proporcional a cada dado da série.

Exemplo 1.7: Exemplo de um gráfico de setores Tabela 1.1: Principais rações caninas vendidas numa certa cidade em 2010 Marca da Ração Percentual (%) Caninu’s 18 Campeão 15 Foster 24 Pedigree 43 Fonte: Dados Fictícios

Figura 1.1: Principais rações caninas vendidas numa certa cidade em 2010 [email protected]

16


1.5.2 - Gráfico de Colunas e Barras As variações quantitativas da tabela são representadas por colunas dispo stas verticalmente ou horizontalmente. É usado para representar qualquer tipo de série.

Exemplo 1.8: Exemplo de um G áfico de Barras Tabela 1.2: Principais causas de orte nos EUA em 2004

Tipo de morte Acidentes de arro Álcool Armas de fog Cigarro Doenças Infe ciosas Doenças Ven reas Drogas Obesidade Outras Total Fonte: Ie Estatísticas, 2004.

Frequência 856 457 985 247 112 98 631 124 102 3612

Percentual (%) 23,70 12,65 27,27 6,84 3,10 2,71 17,47 3,43 2,82 100

Figura 1.2: Principais causas de morte nos EUA em 2004

[email protected]

17


Exemplo 1.9: Exemplo de um G áfico de Colunas

Figura 1.3: Prin ipais rações caninas vendidas numa certa cidade em 010

1.5.3 - Histograma e Políg no de Frequências A apresentação tabular d os dados é feita através de uma distribuiçã de frequências. Fica complementada com uma representação gráfica desses mesmos dados. O hi tograma e o polígono de frequências são tipos de gráficos usados para representar uma distribuição e frequências simples de uma variável quantitativa con ínua.

Exemplo 1.10: Exemplo de um histograma e de um polígono de frequências Tabela 1.3: Distribuição de frequências dos preços de ovos - EUA - 1990

Preço dos ovos

f

f r

F↓

%↓

47  68 68  89 89  110 110  131 131  152 Total

19 19 9 2 1 50

38 38 18 4 2 100

19 38 47 49 50 -

38 76 94 98 100 -

Fonte: GUJARATI. Basic Econometrics. McGraw-Hill, 3a ed. 1995.

[email protected]

18


Um histograma é um conjunto de retângulos com bases sobre um eixo horizontal dividido de acordo com os comprimentos de classes, centros nos pontos médios das classes e áreas proporcionais ou iguais às frequências. Um polígono de frequências é um gráfico de linha que se obtém unindo por uma poligonal os pontos correspondentes às frequências das diversas classes, centradas nos respectivos pontos médios. Para obter as interseções da poligonal com o eixo, cria-se em cada extremo uma classe com frequência nula. Note que esses gráficos podem ser construídos com base nas frequências absolutas ou relativas. O importante é que a escala nos eixos horizontal e vertical, bem como os retângulos, sejam construídos de forma a que suas áreas espelhem a proporcionalidade dessas frequências. Na Figura 1.10 apresentamos o histograma para a distribuição de frequências dada na Tabela 1.17, referente ao preço da dúzia de ovos nos estados americanos em 1990. Aqui cabe uma observação sobre o histograma, que foi construído com o software free R; cada retângulo foi construído de modo que sua área fosse exatamente igual à frequência relativa. Por exemplo, todos os retângulos têm base 21, que é a amplitude de classe. A altura dos dois primeiros retângulos é [área/base = 0,38 / 21 = 0,0180952 ], de modo que a área resultante é 0,38. Para a terceira classe, temos que [altura = área/base = 0,18 / 21 = 0,0085714 ]. O ponto fundamental na interpretação de um histograma é compreender que as áreas dos retângulos representam as frequências de cada classe. Como a variável é contínua e a frequência dada se refere a uma classe de valores, a suposição que se faz é que essa frequência se distribui uniformemente pela classe. Na Figura 1.10, a frequência relativa da classe 47  68 é 0,38 (ou 38%) e ela está uniformemente distribuída pela classe, o que significa que subclasses de mesmo comprimento teriam a mesma frequência. Por exemplo, as frequências das classes 47 5 7,5 e 57,5 68 seriam ambas iguais 0,19. Já a subclasse 89 95 teria uma frequência de 0,0085714 ×

(95−89) = 0,0514286. Mais uma vez, o princípio é que área = frequência . Com relação ao polígono de frequências, a ideia é representar o comportamento “típico” de cada classe através do seu ponto médio. Assim, o polígono de frequência está representado na Figura 1.11

[email protected]

19


HISTOGRAMA

Figura 1.4: Histograma da distribuição de frequência dos preços dos ovos nos estados

POLÍGONO DE FREQUÊNCIAS

Figura 1.5: Polígono de frequência dos preços dos ovos nos estados americanos

1.6 – Medidas de Tendência Central Os dados quantitativos, apresentados em tabelas e gráficos, constituem a informação básica do problema. Mas é conveniente apresentar medidas que mostrem a informação de maneira resumida.

[email protected]

20


Medidas de Tendência Central São medidas que tendem para o centro da distribuição e têm a capacidade de representá-la como um todo. Dão o valor do ponto em torno do qual os dados se distribuem. As principais são: Média Aritmética, Mediana e Moda e algumas.

1.6.1 - Média Aritmética A média aritmética pode ser definida em dois tipos: populacional ( µ) e amostral ( X ). Nos dois casos existem três situações quanto aos cálculos.

1. Dados apresentados em forma de rol: n

A média será: X =

∑= x i i 1

n

=

soma de todos os elementos do rol número de elementos do rol

Exemplo 1.11: Número de tonadas a serem trocadas em 12 hotéis de Natal (50, 62, 70, 86, 60, 64, 66, 77, 58, 55, 82, 74)



X =67

Análise: O número médio de tomadas para serem trocadas é de 67 por hotel. Exercício 1.9: Um gerente de supermercado quer estudar a movimentação de pessoas em seu estabelecimento, constata que 195, 1.002, 941, 768 e 1.283 pessoas entraram no seu estabelecimento nos últimos cinco dias. Descubra o número médio de pessoas que entraram diariamente neste estabelecimento nos últimos cinco dias.

2. Dados apresentados em forma de distribuição de frequência simples: n

A média será: X =

∑= x i f i i 1

n

f i ∑ i =1

Exemplo 1.12: Número de peças com defeitos produzidas em 27 dias em certa fábrica X

0

1

2

3

4

Total

f

2

4

10

6

5

27

[email protected]

21

EST0323– Estatística Aplicada a Engenharia I – Prof. Msc. André Luiz Sena da Rocha n

X=

∑= x i f i i 1

n

f i ∑ i =1

=

(0).(2) + (1).(4) + (2).(10) + (3).(6) + (4).(5) = 2,3 27

Análise: Verifica-se que o número médio de peças com defeitos é de 2,3 por dia.

Exercício 1.10 : As informações abaixo apresentam a idade dos usuários de drogas internos numa clínica para tratamento. Determine a idade média dos internos. Idade

f i

17

2

18

4

19

5

20

6

21

3

22

4

23

2

Total

26

3. Dados apresentados em forma de distribuição de frequência em classes: n

A média será: X =

Pm f i ∑ i =1 n

f i ∑ i =1

[email protected]

22


Exemplo 1.13: Nascidos vivos segundo o peso ao nascer, em kg. Classes

f i

Pm

1,5 |- 2,0

3

1,75

2,0 |- 2,5

16

2,25

2,5 |- 3,0

31

2,75

3,0 |- 3,5

34

3,25

3,5 |- 4,0

11

3,75

4,0 |- 4,5

4

4,25

4,5 |-| 5,0

1

4,75

100

-

Total n

X=

∑= Pm f i i 1

n

f i ∑ i =1

=

(1,75).(3) + (2,25).(16) + … + (4,75).(1) =3 100

Análise: Verifica-se que o peso médio dos 100 nascidos vivos observados é 3 kg.

1.6.2 – Mediana Valor que divide a distribuição em duas partes iguais, em relação à quantidade de elementos. Isto é, é o valor que ocupa o centro da distribuição, de onde se conclui que 50% dos elementos ficam abaixo dela e 50% ficam acima. Colocados em ordem crescente, a mediana (Med ou Md) é ou valor que divide a amostra, ou população, em duas partes iguais.

0

Med

100%

a) Variável Discreta: os dados estão dispostos em forma de rol ou em uma distribuição de frequência simples.

[email protected]

23

EST0323– Estatística Aplicada a Engenharia I – Prof. Msc. André Luiz Sena da Rocha 

Se “n” for ímpar:  n +1  Med = elemento central (de ordem  ) 2  

-

Exemplo 1.14: Dados em forma de rol: 5 +1    = 3 elemento do rol = 12 2  

Seja a amostra: 8, 10, 12, 14, 16  Med = 

Interpretação: o 3º elemento do rol (12) divide 50% da distribuição dos dados à direita e à esquerda. -

Exemplo 1.15: Dados em uma distribuição de frequência simples:

Suponha a seguinte distribuição de frequência simples. X

f i

F↓

1

1

1

2

3

4

3 4

5 2

9 11

Total

11

-

n = 11 (ímpar) Elemento mediano: [(n+1)/2]º = 6º elemento 3ª classe contém o 6º elemento  Med = 3. 

Se “n” for par: n n Med = média aritmética dos dois elementos centrais (de ordem   e  + 1 ) 2 2  -

Exemplo 1.16: Dados em forma de rol: Seja a amostra: 8, 10, 12, 14, 16, 19

n 6   2  =  2  = 3 elemento do rol     n  6    2 + 1 =  2 + 1  = 4 elemento do rol    

3 elemento + 4 elemento 12 + 14 Med = Mediana = = = 13 2 2

Interpretação: a média do 3º e 4º elemento do rol (13) divide 50% da distribuição dos dados à direita e à esquerda. [email protected]

24

EST0323– Estatística Aplicada a Engenharia I – Prof. Msc. André Luiz Sena da Rocha -

Exemplo 1.17: Dados em uma distribuição de frequência simples: Suponha a seguinte distribuição de frequência simples. X

f i

F↓

82

5

5

85

10

15

87

15

30

89

8

38

90

4

42

Total

42

-

Fonte: Dados fictícios n = 42 (par) Elemento mediano: (n/2)º = 21º elemento (n/2)º + 1 = 22º elemento 3ª classe contém o 21º e o 22º elemento Med = (87 + 87)/2 = 87 b) Variável Contínua: os dados estão agrupados em uma distribuição de frequências em classes, então:

• 1º Passo: Organizar os dados em forma de rol (ordem crescente); • 2º Passo: Calcular a ordem (n/2)º. Como a variável é contínua não importa se é par ou ímpar. • 3º Passo: Através da F ↓ identificar a classe que contém a mediana, isto é, a posição da mediana.

• 4º Passo: Utilizar a fórmula:  PMed − F ↓ −  .i Med Med = LI Med +   f Med   -

LIMed = limite inferior da classe que contém a mediana;

-

PMed = posição da mediana =

-

∑ f i / 2 = xº elemento;

F ↓ - = frequência absoluta acumulada "abaixo de" da classe anterior à classe que contém a

mediana; -

f Me = frequência absoluta da classe que contém a mediana;

-

iMe = intervalo da classe que contém a mediana; [email protected]

25


Exemplo 1.18: Temperatura (Cº) para o derretimento de certo material eletrônico.

Temperatura

f i

Pm

F↓

150 |- 200

35

175

35

200 |- 250

164

225

199

250 |- 300

31

275

230

300 |- 350

344

325

574

350 |- 400

112

375

686

400|- 450

32

425

718

455 |-| 500

10

475

728

Total

728

-

-


PMe = (n/2) (728/2) 364º elemento  4ª classe: [300; 350)  PMed − F ↓−   364-230  Med = LI Med +  .(50) = 319,75 C 0  .i Med = 300 +   f Med   344  

Exercício 1.11: Um determinado hospital está interessado em analisar a quantidade de creatinina (em miligramas por 100 mililitros) encontrada na urina (de 24 horas) de seus pacientes internados com problemas renais. Calcule a Mediana. Quantidade de creatinina (ml) encontrada na urina de 84 pacientes com problemas renais. Classes

f i

F ↓

1,08 |- 1,26

5

5

1,26 |- 1,44

13

18

1,44 |- 1,62

32

50

1,62 |- 1,80

18

68

1,80 |- 1,98

11

79

1,98 |- 2,16

2

81

2,16 |-| 2,34

3

84

Total

84

-


[email protected]

26


1.6.3 - Moda É o valor que ocorre com maior frequência na série, ou seja, aquele que mais se repete.

Exemplo: Na série 3, 4, 5, 7, 7, 7, 9, 9



Mo = 7



SÉRIE UNIMODAL (TEM UMA ÚNICA MODA) Exemplo: Na série 3, 5, 6, 6, 6, 7, 8  Mo = 6



SÉRIE BIMODAL (OCORREM DUAS MODAS) Exemplo: Na série 2, 5, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 9, 10, 10 



SÉRIE TRIMODAL (OCORREM TRÊS MODAS) Exemplo: Na série 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 9



Mo1 = 5 e M o2 = 9



Mo1 = 4, Mo2 = 7 e M o3 = 9

SÉRIE POLIMODAL (OCORREM QUATRO OU MAIS MODAS) Exemplo: Na série 0, 0, 1, 3, 3, 4, 7, 8, 8, 11, 12, 12, 13, 13  Mo1 = 0, Mo2 = 3, Mo3 = 8, Mo4 = 12 e Mo5 = 13



SÉRIE AMODAL (NÃO EXISTE MODA) Exemplo: Na série 0, 1, 3, 4, 7, 8  não existe moda

a) DADOS APRESENTADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA SIMPLES. Mo = elemento que tenha maior frequência

Exemplo 1.19: X

fi

1

13

3

15

6

25

10

8

Total

61

Mo = 6

[email protected]

27


Exemplo 1.20: Tipo de Sangue

fi

O

547

A

441

B

123

AB

25

Total

1136

Mo = sangue do tipo "O"

b) DADOS APRESENTADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA CLASSES. Nesse caso, a moda pode ser determinada através de quatro processos.

1. Moda Bruta (MoB) Corresponde ao ponto médio da classe modal, ou seja,

M oB = (li + ls)/2

Exemplo 1.21: Quantidade de Creatinina Classes

f i

1,08  1,26

5

1,26  1,44

13

1,44  1,62

32

1,62  1,80

18

1,80  1,98

11

1,98  2,16

2

2,16

3

2,34


2. Moda de Pearson (MoP) Utilizada mais especificamente, juntamente com X e Med, para mostrar o comportamento da distribuição, em relação a concentração ou não de seus elementos.

Mo = 3 ⋅ Med - 2 ⋅ X [email protected]

28


Utiliza-se a MoP para a análise da assimetria.

a) Assimetria à esquerda: X < Med < M oP (concentração à direita ou nos valores maiores ); b) Simétrica: M oP = Med = X (concentração no centro ); c) Assimetria à direita: M oP < Med < X (concentração à esquerda ou nos valores menores ).

Exemplo 1.22: Calcule a moda de Pearson para os seguintes dados X = 1,61 e Med = 1,57.

Mo = 3 ⋅ Med- 2 ⋅ X = 3(1,57)- 2(1,61) =1,49 Análise: M oP < Med < X , o que indica uma assimetria à direita, isto é, uma maior concentração à esquerda (ou em direção aos valores menores).

Exercício 1.12: Calcule a moda de pearson para a distribuição de frequências abaixo: Quantidade (ml) encontrada numa amostra de 320 soluções utilizadas num processo químico. Quantidade (ml)

f i

F ↓

4,08 |- 5,44

49

49

5,44 |- 6,80

70

119

6,80 |- 8,16

142

261

8,16 |- 9,52

29

290

9,52 |-| 10,88

30

320

Total

320

-

Fonte: Dados fictícios [email protected]

29


1.6.4 – Separatrizes Além das medidas de posição que estudamos, há outras que, consideradas individualmente, não são medidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana, já que se baseiam em sua posição na série. Essas medidas - os quartis, os percentis e os decis - são, juntamente com as medianas, conhecidas pelo nome genérico de separatrizes. Os quartis, decis e percentis são muito similares à mediana, uma vez que também subdividem a distribuição de medidas de acordo com a proporção das frequências observadas. Enquanto a mediana divide a distribuição em duas metades, os quartis dividem-se em quatro quartos, os decis em 10 partes e os pontos percentis dividem a distribuição em 100 partes.

Mediana Quartis

(Me) (Q1, Q2 e Q3)

Decis (D1, D2, ..., D9) Percentis (P1, P2, ..., P99 )

divide em duas partes iguais dividem em quatro partes iguais dividem em dez partes iguais dividem em cem partes iguais

São utilizadas para se conhecer, com precisão, as distribuições dos dados como um todo. As separatrizes podem ser utilizadas tanto em dados não-agrupados (em forma de rol ou em distribuição de frequência simples ) tanto quanto em dados agrupados ( distribuição de frequências em classes).

Relação visual das separatrizes

!-------------------!-------------------! Md !---------!---------!---------!---------! Q2 Q1 Q3 !-----!-----!-----!-----!-----!-----!-----!-----!-----!-----! D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 !----------!----------!----------!----------!----------!----------!----------!----------!----------!----------! P10 P20 P30 P40 P50 P60 P70 P80 P90 [email protected]

30


SEPARATRIZES PARA DADOS NÃO-AGRUPADOS Primeiro encontra-se a posição e em seguida identifica a classe para cada separatriz. As posições são calculadas da seguinte maneira: 1 – Posição da Mediana:

PMe =

n 2

2 – Posição dos Quartis:

PQx =

x . n , x = 1, 2, 3 4

3 – Posição dos Decis:

PDx =

x . n , x = 1, 2, ..., 9 10

4 – Posição dos Percentis:

PPx =

x . n , x = 1, 2, ..., 99 100

em que: x

refere-se à determinação da separatriz (exemplo para quartil, x=1,2,3);

n

refere-se ao número de elementos dos dados ou distribuição.

Exemplo 1.23: Considere o tempo (anos) de 24 máquinas utilizadas numa indústria. Calcule os Quartis. 17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

33

35

38

39

42

44

46

48

50

54

57

29

32

Calculando os quartis, temos: x ⋅ n 1 ⋅ 24 o = = 6 elemento=22 4 4 2 ⋅ 24 = 12o elemento=29 Eq2 = Mediana = 4 3 ⋅ 24 = 18o elemento=42 Eq3 = 4 Eq1 =

Em relação aos quartis, encontramos os 6º, 12º e o 18º elemento da distribuição dos dados, que correspondem aos números 22, 29 e 42. Assim, podemos concluir que 25% das máquinas têm idade de até 22 anos de uso, como também metade delas têm até 29 anos e 25% têm ao menos 42 anos. 25% das máquinas têm mais de 42 anos de uso na indústria.

[email protected]

31


Calculando os Decis 3, 7 e 9, temos: x ⋅ n 3 ⋅ 24 7 o elemento + 8o elemento 23 + 24 = = 7, 2 ≈ = = 23,5 Ed 3 = 10 10 2 2 5 ⋅ 24 = 12o elemento=29 Ed5 = Mediana = 10 9 ⋅ 24 21o elemento + 22o elemento 48 + 50 = 21,6 ≈ = = 49 Ed 9 = 10 2 2

Em relação aos decis calculados, encontramos os 7º, 12º e o 22º elemento da distribuição dos dados, que correspondem aos números 23,5, 29 e 49. Assim, podemos concluir que 30% das máquinas têm até 23,5 anos de uso, como também metade delas têm até 29 anos e 90% têm ao menos 49 anos. 10% das máquinas têm mais de 49 anos de uso na indústria.

Calculando os Percentis 30, 70 e 90, temos: x ⋅ n 17 ⋅ 24 4o + 5o 20 + 21 o = = 4, 08 elemento ≈ = = 20,5 Ep17 = 100 100 2 2 35 ⋅ 24 8o + 9o 24 + 25 o = 8, 4 elemento ≈ = = 24,5 Ep35 = 100 2 2 83 ⋅ 24 19o + 20o 44 + 46 o = 19,92 elemento ≈ = = 45 Ep83 = 100 2 2

Em relação aos percentis calculados, encontramos os 4º, 8º e o 20º elemento da distribuição dos dados, que correspondem aos números 20,5; 24,5 e 45. Assim, podemos concluir que 17% das máquinas têm até 20,5 anos de uso, como também 35% deles têm até 24,5 anos e 65% têm ao menos 24,5 anos. Conclui-se também que 83% têm até 45 anos de utilização na indústria e 17% têm no mínimo 45 anos.

1.7 - Medidas De Dispersão Utilizaremos o termo dispersão para indicar o grau de afastamento de um conjunto de números em relação a sua média, pois ainda que consideremos a média como um número que tem a faculdade de representar uma série de valores ela não pode por si mesma, destacar o grau de homogeneidade ou heterogeneidade que existe entre os valores que compõem o conjunto. O nosso [email protected]

32


objetivo é construir medidas que avaliem a representatividade da média, para isto usaremos as medidas de dispersão. Uma breve reflexão sobre as medidas de tendência central permite-nos concluir que elas não são suficientes para caracterizar totalmente uma sequência numérica. Se observarmos as seguintes sequências:

X: 70, 70, 70, 70, 70 Y: 68, 69, 70, 71, 72 Z: 1, 38, 70, 76, 165 Calculando a média aritmética de cada um desses conjuntos, obtemos: x 350 X = ∑ i ⇒ X = = 70 n 5

y 350 = 70 Y= ∑ i = n 5

z 350 = 70 Z= ∑ i = n 5

Observamos, então, que os três conjuntos apresentam a mesma média aritmética igual a 70. Calculando a mediana para os três, dará também o mesmo resultado, ou seja, 70. Assim, pensaríamos que essas três variáveis são iguais, no entanto, são sequências completamente distintas do ponto de vista da variabilidade de dados. Na sequência X, não há variabilidade dos dados. A média 70 representa bem qualquer valor da série. Na sequência Y, a média 70 representa bem a série, mas existem elementos da série levemente diferenciados da média 70. Na sequência Z, existem muitos elementos bastante diferenciados da média 70. Concluímos que a média 70 representa otimamente a sequência X, representa razoavelmente bem a sequência Y, mas não representa bem a sequência Z.

Nosso objetivo é construir medidas que avaliem a representatividade da média. Para isto, usaremos as medidas de dispersão. Observe que na sequência X os dados estão totalmente concentrados sobre a média 70, não há dispersão de dados. Na sequência Y, há forte concentração dos dados sobre a média 70, mas há fraca dispersão de dados. Já na série Z há fraca concentração de dados em torno da média 70 e forte dispersão de dados em relação à média 70. As principais medidas de dispersão absolutas são: amplitude total, variância, desvio padrão e coeficiente de variação. [email protected]

33


1.7.1 – Variância È a medida de dispersão mais utilizada. É definida como sendo o quociente entre a soma dos quadrados dos desvios e o número de elementos. É classificada em dois tipos:

2

Variância Amostral (s )

σ 2 =

⇒

Variância Populacional ( σ ) 2

⇒

S2 =

∑ ( X i − X ) N

∑ ( X i − X ) n −1

2

2

2   X 1 2 (∑ i )  = ∑ X i −  N N   

2  ( ∑ X i )  1  2 = ∑ X i −  n −1  n  

Exemplo 1.24: Calcule a variância da estatura do tempo em anos do funcionamento de 5 geradores de certa indústria automobilística:

1,92

1,72

1,82

1,80

1,84

Antes de calcular a variância, é necessário calcular a média ( X ). Logo:

X = 2

S =

1,92 + 1,72 + 1,82 + 1,80 +1,84 9,1 = = 1,82 5 5

∑ ( X i − X ) n −1

2

2

2

2

2

2

(1,92 − 1,82) + (1,72 − 1,82) + (1,82 − 1,82) + ( 1,80 − 1,82) + ( 1,84 − 1,82) = 5 −1 2 2 2 2 2 ( 0,1) + ( −0,1) + ( 0) + ( −0,02) + ( 0,02) 0, 01 + 0, 01 + 0 + 0,0004 + 0,0004 = = = 4 4 0,0208 = = 0,0052. 4

[email protected]

34


Exercício 1.13: Calcule a variância do número de incisões feitas em três crianças numa cirurgia dos membros superiores e inferiores. Comenta sobre a variabilidade.

Corpo de prova

Laboratório I

II

III

IV

A

2,59

1,45

1,09

4,79

B

1,99

1,99

1,99

1,99

C

0,80

0,01

3,98

7,59

IMPORTANTE: Quando os dados estão dispostos em uma tabela de distribuição de frequência (simples ou em classes), utilizam-se as seguintes fórmulas:

1º Caso – Frequência Simples 

1  s = n −1  2



∑

xi2

⋅ f −

(∑ xi ⋅ f )2 



1 σ =  N  2

 

n

∑

xi2

⋅ f −

(∑ xi ⋅ f )2 



 

N

2º Caso – Frequência em Classes 

1  s2 = n −1  

∑ Pm 2 ⋅ f −

(∑ Pm ⋅ f )2  n

 



1 σ 2 = N  

∑ Pm 2 ⋅ f −

(∑ Pm ⋅ f )2  N

 

ATENÇÃO: “Desvantagem” do uso da variância No cálculo da variância, quando elevamos ao quadrado a diferença (x i −− x) , a unidade de medida da série fica também elevada ao quadrado. Portanto, a variância é dada sempre no quadrado da unidade de medida da série. Se os dados são expressos em metros, a variância é expressa em metros quadrados. Em algumas situações, a unidade de medida da variância nem faz sentido. É o caso, por exemplo, em que os dados são expressos em litros. A variância será expressa em litros quadrados. Logo, o valor da variância não pode ser comparado diretamente com os dados da série, ou seja: variância não tem interpretação.

Solução: Utilizar o DESVIO PADRÃO como medida. [email protected]

35


1.7.2 - Desvio Padrão Medida de dispersão que apresenta as propriedades da variância e tem a mesma unidade de medida dos dados. É a raiz quadrada da variância.

Notações: 2 1) Quando a sequência de dados representa uma população a variância será denotada por σ e o

desvio padrão correspondente por

σ .

2) Quando a sequência de dados representa uma amostra a variância será denotada por S 2 e o desvio padrão correspondente por S . Desvio Padrão Populacional ( σ) ⇒ σ =

Desvio Padrão Amostral (s) ⇒ S =

∑ ( X i − X )

2

N

∑ ( X i − X )

2

n −1

OBS: Quanto maior o valor do desvio padrão significa que mais dispersos estão os elementos em torno da média. Exercício 1.14: Calcule o desvio-padrão do Exercício 1.13.

Interpretação do Desvio Padrão O desvio padrão é, sem dúvida, a mais importante das medidas de dispersão. É fundamental que o interessado consiga relacionar o valor obtido do desvio padrão com os dados da série. Quando uma curva de frequência representativa da série é perfeitamente simétrica ( X = Md = Mo ), podemos afirmar que os intervalos: [ x − σ σ , x + σ σ ] contém aproximadamente 68% dos valores da série. [ x − 2σ σ , x + 2σ σ ] contém aproximadamente 95% dos valores da série. [ x − 3σ σ , x + 3σ σ ] contém aproximadamente 99% dos valores da série.

[email protected]

36


OBS: Quando a distribuição nã é perfeitamente simétrica, estes percentuais apresentam pequenas variações para mais ou para menos, segundo o caso. Ou seja, na presença de assimetria ou outliers, as três propriedades definidas aci ma não ocorrem com exatidão.

Exemplo 1.25: Suponha uma série com média x = 100 e desvio padrão

σ σ =

, podemos interpretar

estes valores da seguinte forma:

1. Os valores da série estão con entrados em torno de 100. 2. O intervalo [95, 105] contém aproximadamente 68% dos valores da série. O intervalo [90, 110] contém aproximadamente 95% dos valores da série. O intervalo [85, 115] contém aproximadamente 99% dos valores da série.

[email protected]

37


1.7.3 - Coeficiente de Variação Dissemos antes que, por serem as unidades do desvio-padrão as mesmas que as unidades dos dados originais, é mais fácil entender o desvio-padrão do que a variância. No entanto, aquela mesma propriedade torna difícil comparar a variação para valores originados de diferentes populações, ou seja, quando as medidas de duas ou mais variáveis são expressas em unidades diferentes como peso/altura, capacidade/comprimento, etc. Usa-se então o Coeficiente de Variação (CV), que é uma medida relativa, que expressa o desvio padrão como uma porcentagem da média aritmética e ele não tem unidade específica. Quanto mais próximo de zero, mais homogênea é a distribuição. Quanto mais distante, mais dispersas. O CV mede a dispersão em relação à média. É a razão entre o desvio padrão e a média. O resultado obtido dessa operação é multiplicado por 100, para que o coeficiente de variação seja dado em porcentagem.

CV =

s ⋅100 X

ANÁLISE 1. DISPERSÃO BAIXA: CV ≤ 15% 2. DISPERSÃO MÉDIA: 15% ≤ CV ≤ 30% 3. DISPERSÃO ALTA: CV ≥ 30% OBS.: Um CV alto indica que a dispersão dos dados em torno da média é muito grande.

Exemplo 1.26: Alturas e Pesos de Homens. Usando os dados amostrais de alturas e pesos de 40

homens de uma turma de estatística, encontramos as estatísticas dadas na tabela a seguir. Média - X

Desvio padrão - S

Altura (cm)

168

7,56

Peso (kg)

72

10,98

Calcule o coeficiente de variação para altura e peso, e a seguir, compare os dois resultados. [email protected]

38


Solução: CV para Altura: CV Altura = CV para Peso: CV Peso =

S 7,56 ⋅100 = ⋅100 = 0, 045 ⋅100 = 4,5%. 168 X

S 10,98 ⋅100 = ⋅100 = 0,1525 ⋅100 = 15, 25%. 72 X

Reparem que se fôssemos comparar apenas o desvio padrão (fazendo isso já estaríamos errando, pois não se podem comparar desvios-padrão de populações com unidades de medição diferentes, neste caso cm e kg), iríamos erroneamente deduzir que as duas populações tinham variabilidade muito próximas. No entanto, ao calcular os coeficientes de variação para as duas populações, analisa-se que a variabilidade das alturas dos homens é quase quatro vezes menos que a variabilidade dos pesos. Isso faz sentido intuitivamente, porque vemos rotineiramente que os pesos entre homens variam muito mais do que as alturas. Por exemplo, é muito raro ver dois homens adultos com um deles tendo duas vezes a altura do outro, mas é muito comum ver dois homens com um deles pesando duas vezes o peso do outro.

Exercício 1.14: Em um grupo de pacientes, foram tomadas as pulsações (batidas por minuto) e dosadas as taxas de ácido úrico (mg/100ml). Mas médias e os desvios-padrão foram:

Variável

Média -

Desvio padrão - S

Pulsação

68,7

8,7

Ácido úrico

5,46

1,03

Compare a dispersão da Pulsação com as taxas de ácido úrico.

1.8 - Análise Exploratória de Dados 1.8.1 - Esquema dos 5-Números

No caso de uma distribuição com outliers, não é ideal representar um conjunto de valores com o uso da média e do desvio-padrão, pois devido a presença de valores extremos, elas foram afetados. Tukey (1970, 1977) sugeriu o uso de cinco medidas para analisar casos como esse, sendo elas: [email protected]

39


a) Limite Inferior (Li) e Limite Superior ( Ls) b) Q1, Q2 e Q3

Forma de representação:

Li

Q1

Q2 = Med

Q3

Ls

Notações: a) Q3 - Q1

= Intervalo interquartil (dj)

b) Me - Li

= Dispersão inferior

c) Ls - Me

= Dispersão superior.

Estas cinco medidas são chamadas de estatística de ordem e são medidas resistentes de posição de uma distribuição. Dizemos que uma medida de posição é resistente quando for pouco afetada por mudanças de uma pequena porção dos dados. A mediana é uma medida resistente, ao passo que a média não o é.

1.8.2 – BOX-PLOT É a representação gráfica dos 5-números, em que são destacados o intervalo interquartil ( dj) 3 3 e as observações discrepantes, ou seja: valores menores que Q1 − dj ou maiores que Q3 + dj . (Os 2 2 pontos discrepantes são representados por um asterisco ou travessão). O desenho esquemático (Figura abaixo) dá uma ideia da posição, dispersão, assimetria, caudas e dados discrepantes. A posição central dos valores é dada pela mediana e a dispersão por dj. As posições relativas de Q 1, Q2 e Q3, dão uma noção da assimetria. As caudas são as linhas acima e abaixo do retângulo (ou caixa).

[email protected]

40

EST0323– Estatística Aplicada a Engenharia I – Prof. Msc. André Luiz Sena da Rocha (Q3 + 3/2d j) LS

Q3

Q2 = Med

Q1

LI

(Q1 - 3/2d j)

Desenho esquemático do Box-plot

Exemplo 1.27: Os dados abaixo são referentes ao tempo em segundos até uma reação química realizada em 40 tubos de ensaio. Construa um Boxplot e faça uma breve descrição sobre os dados.

47,5

50

50

57,5

60

62,3

63,2

63,56 64,5 65,1

72,2

72,3

74,1

74,8

75,7

76,2

79

79,2

79,3

81,5

82,1

84

88,5

90

92,6

94,7

95,5

96

98,3

98,7

99,2

100

101,2 110

85,3

88,1

122,7 125,9 134,6 136,2

O que vamos precisar: LI = 47,5 LS = 136,2 x ⋅ n 1⋅ 40 = = 10o elemento = 65,1 4 4 2 ⋅ 40 = 20o elemento = 81,5 Q2 = Mediana = 4 3 ⋅ 40 = 30o elemento = 96 Q3 = 4 Q1 =

dj = Q3 - Q1 = 96 – 65,1 = 30,9. Me - Li = 81,5 – 47,5 = 34 [email protected]

41


Ls - Me

= 136,2 – 81,5 = 54,7

Assim, podemos calcular os limi es que informarão se há pontos discrepantes (outliers). 3 3 Q3 +   dj = 96 +   30, 9 = 14 ,35 2 2 3 3 Q1 −   dj = 65,1 −   30,9 = 1 ,75 2 2

Logo, não há nenhum outlier , u a vez que não existe nenhuma reação com te mpo superior a 142 segundos ou com tempo inferior a 18 segundos. O gráfico é representado abai xo:

1. Podemos analisar que 25% os experimentos tiveram uma reação química em até 65 segundos, e que metade deles houve reação em até 81 segundos. Assim como a outra metade, teve reação química acima de 81 segundos. 2. Analisa-se também que 75

dos reações ocorreram no máximo em 96 s egundos, assim como,

25% delas no mínimo 96 s. 3. Chama-se atenção que a re ção mais rápida foi em 47 segundos e a m ais demorada, de 136 segundos. 4. Não há outliers na distribuição dos dados. [email protected]

42


UNIDADE II PROBABILIDADE A Teoria da probabilidade é útil para analisar situações que envolvem o acaso. Jogos de dados e de cartas, ou o lançamento de uma moeda para o ar. As distribuições de probabilidade incorporam a estatística descritiva e a teoria da probabilidade. Ambas formam a base da inferência estatística. Algumas aplicações: -

Na maioria dos jogos esportivos (futebol, basquete, surfe...), até certo ponto;

-

Na decisão de parar de imunizar pessoas com menos de 20 anos contra determinada doença;

-

Na decisão de arriscar-se a atravessar uma rua no meio do quarteirão;

-

Na engenharia, com uso na tomada de decisões, sendo aplicado principalmente conceitos de planejamento de experimentos e amostragem;

-

Todas utilizam a probabilidade consciente ou inconscientemente.

2.1 - Experimentos Aleatórios São experimentos que ao serem repetidos nas mesmas condições não produzem sempre o mesmo resultado, ou seja, exibem variação nos seus resultados.

Exemplo 2.1: Considere alguns exemplos de experimentos aleatórios, denotados aqui por ε. • ε1: Tempo, em horas, até a falha de um equipamento; • ε2: Número de itens defeituosos em uma linha de produção em um período de 24 horas; • ε3: Ocorrência ou não da ruptura de uma viga a um peso x em toneladas; • ε4: A sequência de caras e coroas verificada no lançamento de uma moeda 4 vezes; • ε5: Lançamento de uma moeda até que apareça cara pela primeira vez. Embora não sejamos capazes de afirmar qual o particular resultado deste experimento, poderemos descrever o conjunto de todo os seus possíveis resultados. [email protected]

43


2.2 - Espaço Amostral Denotado por S ou , é definido como o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório.

Exemplo 2.2: Consideramos a seguir o espaço amostral associado a cada um dos experimentos citados no Exemplo 2.1. • Tempo, em horas, até a falha de um equipamento;

1 = { t ; t ≥ 0 } • Número de itens defeituosos em uma linha de produção em um período de 24 horas;

2 = {0, 1, ..., n}; sendo n o número máximo de itens produzidos em 1 dia. • Ocorrência ou não da ruptura de uma viga a um peso x em toneladas;

3 = { sim , não } • A sequência de caras e coroas verificada no lançamento de uma moeda 4 vezes;

4 = {cccc, ccck, cckc, ckcc, kccc, kkkk, kkkc, kkck, kckk, ckkk, cckk, ckck, kckc, kkcc, ckkc, kcck} • Lançamento de uma moeda até que apareça cara pela primeira vez.

5 = {c, kc, kkc, kkkc, kkkkc, ...}

2.3 - Eventos É um subconjunto de um espaço amostral.

Exemplo 2.3: Os eventos Ai a seguir referem-se aos espaços amostrais dados no Exemplo 2.2. • Tempo, em horas, até a falha de um equipamento; A1 = {“ ocorre falha em menos de 3 horas ”}

 A1

= { t, t > 3};

• Número de itens defeituosos em uma linha de produção em um período de 24 horas; A2 = {“ menos de 5 itens defeituosos ”}  A2 = { 0, 1, 2, 3, 4 }; • Ocorrência ou não da ruptura de uma viga a um peso x em toneladas; A3 = {“ viga com ruptura”}  A3 = { sim }; • A sequência de caras e coroas verificada no lançamento de uma moeda 4 vezes; A4 = {“ somente caras ”}  A4 = { cccc }; • Lançamento de uma moeda até que apareça cara pela primeira vez. A5 = {“ apareça cara em até 3 lançamentos ”}

 A5

= { c, kc, kkc }.

[email protected]

44


Obs: Também são eventos o p óprio  (chamado de evento certo, ou se a, sempre ocorre), o conjunto vazio Ø (chamado de vento impossível, ou seja, nunca ocorre), u qualquer resultado individual de .

Dado que os eventos ass ciados a um espaço amostral são por sua v z conjuntos, podemos efetuar as operações do tipo: uni o, intercessão, complementação e diferença , de forma semelhante às respectivas operações que se realizam com os subconjuntos de qualquer conjunto abstrato, e formar a partir destas operações, novos eventos tais como:

•

A ∪ B = {x : x ∈ A o

x ∈ B} , isto é: A ∪ B é o evento que oc rre sempre que ocorre

A ou sempre que ocorre B, e somente neste caso.

A ∪ B

•

A ∩ B = {x : x ∈ A e x ∈ B} isto é: A ∩ B é o evento que o orre somente quando ocorrem A e B simult neamente.

A ∩ B

• Ac = {x : x ∈ Ω, x ∉ A}, isto é Ac é o evento contrário de A, so ente ocorre se A não ocorre, (e não ocorre, se A ocorre). Claramente nota-se que A c ∪

= Ω.

A Ac • A – B = {x : x ∈ A e x ∉ B}, isto é: (A – B) é o evento que ocorre unicamente quando ocorre A e não ocorre B.

A

B A-B

[email protected]

45


Quando dois eventos são tais que, eles nunca podem ocorrer simultaneamente, neste caso se tem que A ∩ B = ∅, eles são chamados eventos mutuamente exclusivos ou mutuamente

excludentes, (em termos de conjunto, diríamos que são conjuntos disjuntos). Seguem-se exemplos, para melhor esclarecer do acima exposto.

Ex. 1. Uma fábrica produz processadores para computador. Da linha de produção são retirados 03 processadores e cada um testado. Classificando como B (bom) ou D (defeituoso). Um espaço amostral associado ao experimento é: Ω Ω = {BBB, DDD, BBD, DBB, DDB, DBD, BDD, BDB}

Ex. 2. Considere o experimento que consiste em selecionar uma família aleatoriamente, em certo distrito do Seridó, e verificar o nº de filhos que esta família já registrou. Um espaço amostral associado a este experimento é: Ω Ω = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

Ex. 3. Seja agora o experimento que consiste em retirar uma lâmpada de um lote e medir seu tempo de vida antes de se queimar. Um espaço amostral pode ser: + Ω Ω = R , isto é,

Ω Ω = {t : t ≥ 0}

Ex. 4. Um dado é lançado e o nº que aparece na face superior é observado. Um espaço amostral é: Ω Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Com exceção do exemplo 3, que é contínuo, todos os demais são espaços amostrais do tipo chamado discreto. Um espaço amostral é discreto quando é formado por um conjunto contável (finito ou infinito). Caso contrário, ele é dito contínuo. Consideremos novamente o Ex. 1. Sejam os eventos associados a este espaço, tais como:

•

A = “obter dois processadores defeituosos ”. Logo, A = {DDB, DBD, BDD}

•

B =“obter no mínimo 1 processador bom ”. Logo, B={DDB, DBD, BDD, BBD, BDB, DBB, BBB}

•

C = “obter no máximo 1 processador defeituoso ”. Logo, C = {BBB, BBD, BDB, DBB}

Então poderemos ter, por exemplo, os novos eventos (resultantes das operações).

•

A ∩ B = {DDB, DBD, BDD} = A

•

A ∩ C = ∅, (portanto A e C são incompatíveis ou mutuamente exclusivos ou excludentes).

•

A ∪ C = {BBB, BBD, DBB, DDB, DBD, BDD, BDB}

•

Bc = {DDD}, (portanto Bc é um evento elementar). [email protected]

46


Consideremos agora o exemplo 3 (espaço amostral contínuo), e seja A o evento dado por: A = “o tempo de vida da lâmpada é inferior a 20 horas” . Então, A = {t : 0 ≤ t < 20} e Ac = (t ≥ 20}. Naturalmente que A ∪ Ac = (t : t ≥ 0) = Ω é o evento certo. E observe que, sempre, A∩ Ac=∅ , para qualquer evento A.

Obs: Vale a pena lembrar as leis de MORGAN, referente a álgebra de conjuntos: •

(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

(o complementar da união é igual à interseção dos complementares)

•

(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

(o complementar da interseção é igual à união dos complementares)

2.4 - Resultados Equiprováveis Muitos experimentos aleatórios sugerem que os distintos resultados de um espaço amostral finito estejam associados, cada um deles, a um mesmo valor p, que representa a probabilidade de sua ocorrência. Por exemplo, em um lançamento de um dado honesto se tem que o espaço amostral finito é formado por: Ω Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

e cada ponto amostral tem a mesma probabilidade de ocorrência que será neste caso, p = 1/6 . Suponha, por exemplo, que sorteamos numa urna com n bolas numeradas, 1, 2, 3, ..., n, uma bola ao acaso. A probabilidade de cada bola (cada ponto amostral) será 1/n. Se um evento A, associado a este espaço é formado por K pontos, digamos A = 1, 2, ..., 10, (n>10), então se tem :  1  10 P( A) = 10   = n n

P( A) =

nº de elementos do evento A casos favoráveis = nº de elementos do espaço Ω casos possíveis

[email protected]

47


2.5 – Definições de Probabilidade ABORDAGEM CLÁSSICA Seja  um espaço amostral finito, formado por n eventos equiprováveis. Seja A um evento de  com m destes elementos. Então a probabilidade de A é a fração

P(A) = m / n Exemplo 2.4. Considere o lançamento de um dado “honesto”. Queremos obter a probabilidade da ocorrência de um número par. O espaço amostral associado é  = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Resultados de 

 disjuntos

e equiprováveis. Se definimos A = {“número par”} = {2, 4, 6}, a

probabilidade deste evento é dada por P(A) = 3/6 = 1/2.

Exemplo 2.5. Considere o lançamento de duas moedas. Queremos saber a probabilidade do evento A={“duas caras”}. Considere o espaço amostral 1 = {“duas caras”, “duas coroas”, “uma cara e uma coroa”}. Se usamos a definição acima com este espaço amostral, diríamos que P(A) = 1/3. Esta resposta é falsa, pois os elementos de 1 não são equiprováveis. O espaço amostral equiprovável seria

={cc, ck, kc, kk} e como A = {cc} temos que P(A) = 1/4.

ABORDAGEM FREQUENTISTA Suponha que lançamos um dado conhecido por favorecer a ocorrência do número 3. -

Os 6 eventos elementares do espaço amostral são igualmente prováveis? o

-

NÃO!

Qual a probabilidade da ocorrência do número 1? o

A definição clássica não nos ajuda neste caso. Pois os eventos não são equiprováveis.

Limitações da definição clássica: Só se aplica a espaços amostrais finitos e equiprováveis. Assim, levaram a considerar outra forma de calcular probabilidade de um evento partindo da frequência relativa do evento ao se repetir o experimento, n vezes, sob as mesmas condições. [email protected]

48


Definição: Podemos definir P( ) como o limite da frequência relativa da corrência de A em n repetições independentes de um experimento, com n tendendo ao infinito, ou seja, se #(A) é o número de vezes em que o evento A ocorreu nas n repetições independentes de um experimento, dizemos então que #( A) n→∞ n

P( A) = lim

Na prática a probabilidade de

é aproximada pela frequência relativa d evento em um certo

número de repetições.

Exemplo 2.6. Considere uma certa moeda cuja probabilidade de oc rrência de “cara” é desconhecida. Para se obter

ssa probabilidade, esta moeda é subm tida a n repetições

independentes de cada lançamen o. A Tabela 1 e a Figura 1 a seguir mostram os resultados obtidos.

Fi ura 1: Frequência relativa de “cara” Tabela 1: Frequência relativa de cara” n

10

100

200

300

...

1600

1800

2000

2300

F(A)

0,800

0,520

0,595

0,5000

...

0,506 0,509

0,501

0,4 6 0,499

[email protected]

2600

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ABORDAGEM AXIOMÁTICA A abordagem axiomática é motivada pelas definições clássica e frequentista. Ela representa uma proposta para dar à teoria da probabilidade uma base matemática sólida. Assim, é nesta abordagem que se baseiam as propriedades estabelecidas daqui em diante. Este conceito de probabilidade se estabelece a partir de uma função real P(A), definida sobre os eventos associados a um espaço amostral, a qual faz corresponder a cada subconjunto A, de Ω (sendo este subconjunto um evento), um nº real, tal que cumpra os seguintes axiomas: a) 0 ≤ P(A) ≤ 1 b) P(Ω ) = 1

c) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, isto é A ∩ B = ∅ , então se tem que P(A∪ B) = P(A) + P(B).

Obs: Esta definição axiomática é mais abrangente que a regra de Laplace, dado que a definição clássica se limita aos espaços amostrais finitos equiprováveis.

Teoremas Fundamentais do Cálculo das Probabilidades a) Se ∅ é um conjunto vazio, então  P( ∅ ∅ ) = 0; b) Sejam A e B eventos quaisquer, então  P(A ∪ ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ ∩ B);

c) Se Ac é o complementar de A, então  P(A c ) = 1 – P(A); d) Se A ⊂ B então  P(A) ≤ ≤ P(B);

2.6 - Probabilidade Condicional Sejam A e D, eventos quaisquer, associados a um espaço amostral sendo P(D) > 0. Muitos problemas envolvem o cálculo da probabilidade da ocorrência de A, quando já se tem a informação de que houve a ocorrência de D. Isto é, a probabilidade de A será calculada considerando-se a condição de que já houve a ocorrência de D. Esta nova informação (de que D ocorreu) equivale a restringir o espaço amostral, que agora será considerado como o conjunto dos pontos amostrais que formam o evento D. A probabilidade de A, dentro desta condição, chama-se “probabilidade condicional de A, dado que D ocorreu”. Na qual será escrita sob a forma: P(A / D), sendo definida como: [email protected]

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P(A / D) =

P(A ∩ D) , com P(D) > 0 P(D)

Desta relação acima, obtemos a chamada REGRA DO PRODUTO DE PROBABILIDADE, dada por:

P(A ∩ ∩ D) = P(D) · P(A / D) ou

P(A ∩ ∩ D) = P(A) · P(D / A)

Esta regra pode ser estendida para mais de dois eventos: Sejam A1 , A2 , … , An eventos quaisquer associados a Ω, então:

P(A1 ∩ ∩ A 2 ∩ ∩ ... ∩ ∩ A n ) = P(A1 )· P(A 2 /A1 )· P(A 3 /A1 ∩ ∩ A 2 )· ...· P(A n /A1 ∩ ∩ A 2 ∩ ∩ … ∩ ∩ A n-1 ) Exemplo 2.7: Um par de dados “honestos” é lançado. Qual a probabilidade de ocorrer o nº 2 em pelo menos um dos dados, se já tem a informação de que ocorreu que a soma dos nº é igual a seis?

Solução: Sejam os eventos:

A: “a soma dos dois dados é 6” B: “ocorre o nº 2 em pelo menos um dos dados”

P(B / A) =

P(A ∩ B) P( A)

# Ω = 6 x 6 = 36 A = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} ⇒ # A = 5  P(A)=5/36 B = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (1,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2)} ⇒ # B = 11  P(B)=11/36 A ∩ B = {(2,4), (4,2)} ⇒ # (A ∩ B) = 2  P(A ∩ B) = 2/36 P( A ∩ B) 2 36 2 Portanto, P( B / A) = = = . 5 P( A) 5 36

Exemplo 2.8: Consideremos novamente o lançamento de dois dados “honestos”. Qual a probabilidade de ocorrer a soma igual a 6, sabendo-se que em um dos dados apareceu o nº 2”?

Solução: Agora pede-se P(A/B). Portanto

P( A ∩ B) 2 36 2 = = . P( A / B) = 11 P( B) 11 36 [email protected]

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Exemplo 2.9: Para a 3ª avaliação de estatística, um professor indica os 10 primeiros capítulos do livro adotado e diz que elaborará 10 problemas, numerados de 1 a 10, onde cada um deles será baseado no respectivo capítulo a ser estudado (ex: problema 1 – capítulo 1, etc.) O professor avisa que a prova constará de apenas 3 destes 10 problemas, os quais serão sorteados no início da avaliação aleatoriamente, um após outro, entre 10 papeizinhos numerados de 1 a 10, que corresponderão aos respectivos problemas. Um estudante, por causa da festa da padroeira, somente estudou os 4 primeiros capítulos. a) Qual a probabilidade de que “caia” na avaliação somente capítulos que ele tenha estudado? b) Qual a probabilidade de que somente no 3º sorteio (a 3ª questão) “caia” exatamente um ponto que ele não estudou?

Solução: Sejam os eventos: A1 = “No 1º sorteio “cai” um ponto que ele estudou” A2 = “No 2º sorteio “cai” um ponto que ele estudou” A3 = “No 3º sorteio “cai” um ponto que ele estudou” B = “No 3º sorteio “cai” um ponto que ele não estudou” a) (A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1)·P(A2 /A1)·P(A3 /A1∩ A2) = 4/10 · 3/9 · 2/8 = 1/30 b) (A1 ∩ A2 ∩ B) = P(A1)·P(A2 /A1)·P(B/A1∩ A2) = 4/10 · 3/9 · 6/8 = 1/10

Exercício 2.1: Discos de plástico de policarbonato, provenientes de um fornecedor, são analisados com relação à resistência a arranhões e a choque. Os resultados de 130 discos estão resumidos a seguir: RESISTÊNCIA AO CHOQUE Alta

Baixa

RESISTÊNCIA A

Alta

90

9

ARRANHÕES

Baixa

16

15

Determine as seguintes probabilidades: 1) Probabilidade de o disco ter alta resistência a choque. 2) Probabilidade de o disco ter alta resistência a choque sabendo que o disco tem alta resistência a arranhões. 3) Probabilidade de o disco ter alta resistência a arranhões. 4) Probabilidade de o disco ter alta resistência a arranhões sabendo que ele tem alta resistência a choque. [email protected]

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2.7 - Eventos Independentes Definição: Um evento A é considerado independente de um outro evento B se a probabilidade de A é igual a probabilidade condicional de A dado B, isto é:

P(A) = P(A/B) Naturalmente, que, se A é independente de B, B é também independente de A, desta forma:

P(B) = P(B/A) A partir do teorema do produto podemos afirmar que se os eventos A e B são independentes então

P(A ∩ ∩ B) = P(A) · P(B)

se tem:

Têm-se n eventos: A1, A 2, … , An, diremos que eles são independentes se e somente se, eles forem independentes dois a dois; três a três; quatro a quatro; n a n.

P(A1 ∩ ∩ A 2 ) = P(A1 ) · P(A 2 ) P(A1 ∩ ∩ A 2 ∩ ∩ A 3 ) = P(A1 ) · P(A 2 ) · P(A 3 ) P(A1 ∩ ∩ A 2 ∩ ∩ A 3∩ ∩ A 4 ) = P(A1 ) · P(A 2 ) · P(A 3 ) · P(A 4 ) .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. .

.

P(A1 ∩ ∩ A 2 ∩ ∩ ... ∩ ∩ A n ) = P(A1 ) · P(A 2 ) · ... · P(A n-1 ) · P(A n ) Exemplo 2.10: Um lote de 165 chips semicondutores contém 40 itens defeituosos. Dois deles são selecionados, ao acaso, sem reposição. a) Qual a probabilidade de que o primeiro chip selecionado seja defeituoso? b) Qual a probabilidade de que o segundo chip selecionado seja defeituoso, sabendo que o primeiro deles foi defeituoso? c) Qual a probabilidade de que ambos sejam defeituosos? d) Como a resposta do item (b) mudaria se os chips selecionados fossem repostos antes da primeira seleção? e) Caso realizássemos um sorteio com reposição de 5 chips semicondutores, qual a probabilidade do 1º, 2º e o 5º serem defeituosos e os demais não serem defeituosos? [email protected]

53


Solução: Sejam os eventos:

N D: {O chip selecionado NÃO é defeituoso}

D: {O chip selecionado É defeituoso}

a) P(D1) = 40/165 = 24,24% b) P(D2|D1) = 39/164 = 23,78% c) P(D1∩ D2) = P(D1) P(D2|D1) = 0,2424 · 0,2378 = 5,76% d) n = 2 COM Reposição  Eventos independentes   P(D2|D1)

= P(D2) = P(D1) = 24,24%

a) n = 5 COM Reposição  P(D1∩ D2 ∩ ND3 ∩ ND4 ∩ D5)   P(D1)·P(D2|D1)·P(ND3|D1

 Sob

∩ D2 )·P(ND4|D1∩ D2 ∩ ND3)·P(D5|D1∩ D2 ∩ ND3 ∩ ND4)

independência  P(D1)·P(D2)·P(ND3)·P(ND4)·P(D5) 

 (0,2424)

3

· (125/165)2 = (0,0142)·(0,5739) = 0,0081 = 0,81%

2.8 – Variável Aleatória Unidimensional Ao descrever um espaço amostral de um experimento, não especificamos que um resultado individual necessariamente seja um número. Por exemplo, ao descrever uma peça manufaturada, podemos empregar apenas as categorias “defeituosa” e “não defeituosa”. Também, ao observar a temperatura durante o período de 24 horas, podemos simplesmente registrar a curva traçada pelo termógrafo. Contudo, em muitas situações experimentais, estaremos interessados na mensuração de alguma coisa e no seu registro como um número. Mesmo nos casos mencionados acima, poderemos atribuir um número a cada resultado (não numérico) do experimento. Por exemplo, poderemos atribuir o valor 1 (um) às peças perfeitas e o valor 0 (zero) às defeituosas. Poderemos registrar a temperatura máxima do dia, ou a temperatura mínima, ou a média das temperaturas máxima e mínima. Consideremos um experimento aleatório ε, e seja Ω o espaço amostral associado a este experimento.

Definição: Variável aleatória (que escrevemos de modo abreviado: v.a.) num espaço amostral Ω, é uma função x, que associa Ω, (isto é, a cada

ω ∈ Ω), um nº real, X(ω). Ver Figura abaixo.

[email protected]

54


X

Ω

R

ω

X(ω)

Como foi visto anteriormente em classificação de tipo de variáveis numéricas, as variáveis aleatórias podem ser de dois tipos: discretas ou contínuas.

Exercício 2.2: Classifique com relação ao tipo de variável aleatória: a) Tempo, em horas, até a falha de um equipamento; b) Ocorrência ou não de hipertensão em um paciente; c) Idade de pacientes de uma clínica de Pediatria; d) Contágio ou não de uma doença; e) Número de pessoas contagiadas com um vírus; f)

Nível de colesterol no sangue de um paciente;

A partir do estudo das variáveis aleatórias, foram definidos modelos probabilísticos (discretos e contínuos) para as principais situações do cotidiano. Destes, estudaremos a seguir três modelos:

2.9 - Modelos de Probabilidade Discretos Em muitos problemas teóricos e aplicados, e a primeira vista, sob diversas condições, várias funções de probabilidade aparecem com tanta frequência que merecem ser estudadas. Nesta Unidade, estudaremos o Modelo de Probabilidade Discreto de Bernoulli e Binomial.

2.9.1 - Distribuição de Bernoulli Um experimento ou ensaio de Bernoulli é um experimento aleatório cujo resultado pode ser classificado em duas categorias, chamadas de “sucesso” e “fracasso”. Uma v.a. que associa o valor 1 (com probabilidade p) à ocorrência de sucesso e o valor 0 (com probabilidade 1-p) à ocorrência de fracasso em uma realização de um ensaio de Bernoulli é dita ter distribuição de Bernoulli.

[email protected]

55


Exemplo 2.11: Suspeita-se que uma moléstia contagiosa possa ter atingido os moradores de uma região. Cada morador da região é classificado conforme tenha sido contagiado ou não. Evento de interesse (Sucesso): A pessoa examinada foi contagiada. Fracasso: A pessoa examinada NÃO foi contagiada.

Exemplo 2.11: Uma operação de enchimento tente encher embalagens de detergentes até o peso especificado. Evento de interesse (Sucesso): A embalagem do detergente está com o peso especificado. Fracasso: A embalagem do detergente NÃO está com o peso especificado.

Exemplo 2.12: Dentre os portadores de um determinado vírus, foram avaliados, após a aplicação de uma nova vacina teste, se cada um obteve cura ou não no determinado vírus. Evento de interesse (Sucesso): O portador obteve a cura após a aplicação da nova vacina. Fracasso: O portador do vírus NÃO obteve a cura após a aplicação da nova vacina.

A função de probabilidade da distribuição de Bernoulli é dada por: 1− x

P ( X = x ) = p x (1 − p ) , x = 0,1.

em que p ∈ [0, 1].

Usaremos a notação X ~ Bernoulli (p). Observe que poderíamos também representar a distribuição de X coma tabela abaixo: X

0

1

P(X)

1-p

p

• Esperança (média) e Variância − x

1 Se X ~ Bernoulli (p)  P ( X = x ) = p x (1 − p ) , x = 0,1 , logo ;

E ( X ) = p Var ( X ) = pq

Exemplo 2.13: Uma empresa de cimento têm no estoque 10 sacos que foram produzidos a 3 semanas, 20 sacos que foram produzidos a 2 semanas e 20 sacos produzidos a 3 dias. Retira-se um saco de cimento do estoque. Seja X o evento em que o saco de cimento foi fabricado a 3 dias. Determine a probabilidade de sucesso e fracasso. [email protected]

56


Solução:  1, se o saco de ciemnto foi fabricado a 3 dias;

X = 

0, se o saco de ciemento NÃO foi fabricado a 3 dias.

Podemos calcular a distribuição de X pela sua fórmula de distribuição de probabilidade, sendo esta calculada abaixo: 1− x

P ( X = x ) = p x (1 − p ) , x = 0,1

20 P ( X = 0 ) =    50 

0

1

 20  P ( X = 1) =    50 

1− 0

 20   1 − 50   

= 1 ⋅ 0, 6 = 0, 6

1−1

 20  1 − 50   

= 0, 4 ⋅1 = 0, 4

Logo, a distribuição de X pode ser representada por: X

0

1

P(X)

0,6

0,4

Podemos calcula também a esperança e variância da v.a. X: E(X)=p=0,4; Var(X)=p(1-p)=0,4(1-0,4)=0,24.

2.9.2 - Distribuição Binomial Consideremos n tentativas de um mesmo experimento aleatório. Cada tentativa admite apenas dois resultados: fracasso com probabilidade q e sucesso com probabilidade p, p + q = 1 . As probabilidades de sucesso e fracasso são as mesmas para cada tentativa. Seja X: nº de sucessos de n tentativas independentes. Vamos determinar a função de probabilidades da variável X, isto é, P( X = k ). Um resultado particular (RP) seria:

SSS SFFF F ...  ...  n −k

k

Logo, a probabilidade de ocorrer esse resultado particular é dada por: P(RP) = P(SSS ... SFFF ... F) = p . p... pqq...q   k

n −k

Considerando todas as n-úplas com k sucessos, temos: n P ( X = k ) =   p k .q n−k  k  [email protected]

57


em que

X = Número de sucessos variando de 1 até n; p = Probabilidade de sucesso em cada repetição; 1-p = Probabilidade de fracasso em cada repetição; n = Número de repetições A variável X tem distribuição Binomial, com parâmetros n e p, e indicaremos pela notação X~Binomial (n, p).

• Esperança (média) e Variância Se X ~ Binomial ( n, p )

⇒

n P ( X = k ) =   p k .q n −k , logo ;  k 

E( X ) = n· p Var( X ) = n · p·q= n ·p·(1-p)

O número esperado ou esperança de sucessos na distribuição Binomial é facilmente encontrado. Intuitivamente, analise as duas perguntas a seguir: -

Se lançarmos uma moeda 100 vezes, qual o número esperado de caras (p=1/2)?

-

Se lançarmos um dado 600 vezes, qual o número esperado de faces “5” (p=1/6)?

Solução: 1) X~Binomail (100; 0,5)  E(X)=np=100·0,5=50. Assim, se lançarmos uma moeda 100 vezes, esperamos que ocorram 50 caras. (Obs: Isso quando estamos supondo que a moeda é honesta, ou seja, a probabilidade de cara e coroa é a mesma, que nessa situação é igual a 1/2). 2) X~Binomail (600; 1/6)  E(X)=np=600·(1/6)=100. Assim, se lançarmos um dado 600 vezes, esperamos que o número de faces “5” ocorra 100 vezes.

Exemplo 2.14: Uma prova tem 10 questões independentes de igual pontuação. Cada questão tem 5 alternativas. Apenas uma das alternativas é a correta. Se um aluno resolve a prova respondendo a esmo as questões, qual a probabilidade de tirar nota 6?

[email protected]

58


Solução: X = nº de acertos.

X = 0, 1, .........., 10

p = Probabilidade (acerto) = 1/5

⇒ X~Binomial(

6

n 10   1  P ( X = 6 ) =   p k ⋅ q n −k =   ⋅    k  6   5 

10, 1/5 )

10−6

4 ⋅   5

= 0,0055=0,55%

Podemos calcula também a esperança e variância da v.a. X: E(X)=n· p=10·(1/5)=2; Var(X)=n· p·(1-p)=10·(1/5)·(1-1/5)=10·0,2·0,8=1,6.

Exemplo 2.15: Um engenheiro químico resolveu testar oito bicos de bunsen que acabaram de chegar de uma compra realizada para seu laboratório. Ele selecionou aleatoriamente 5 itens, sendo desses, 4 estavam funcionando perfeitamente. Caso ele deseje analisar outros 10 bicos de bunsen que foram comprados para outro laboratório, calcule:

• A probabilidade de exatamente sete estarem funcionando corretamente?

• Qual é a probabilidade de que até dois estejam funcionando corretamente?

• Qual é a probabilidade de que nenhum esteja funcionando corretamente? • Qual é a probabilidade de que metade dos bicos de bunsen estejam funcionando corretamente?

• Qual é a probabilidade de que ao menos nove bicos de bunsen estejam funcionando corretamente?

Soluão: a) Seja X = {nº de bicos de bunsen que estão funcionando corretamente dentre os 10 testados no laboratório}. X = 0, 1, ..., 10. p = P( sucesso ) = P (o bico de bunsen está funcionando corretamente) = 4/5 = 0,8. Assim, podemos definir X como:

X ~ Binomial (n = 10; p = 0,8) .

[email protected]

59

EST0323– Estatística Aplicada a Engenharia I – Prof. Msc. André Luiz Sena da Rocha 7

10 −7

10   4   1  P ( X = 7 ) =   .   .   = 7   5  5  7 3  10!   4   1  =   ⋅   .   = 10 − 7 !7! ( )   5 5

= (120 ) ⋅ ( 0,2097152 ) ⋅ ( 0,008 ) = 0,201326592=20,13%

4 E ( X ) = n ⋅ p = 10 ⋅ = 8 5

4 1 Var ( X ) = n ⋅ p ⋅ q = 10 ⋅ ⋅ = 1,6 5 5

b) Nesse, a probabilidade procurada se dará por: P(até 2 dois bicos de bunsen estão funcionando corretamente) = P(X≤2) = = [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)] Assim, temos: 10  0 10 −0 10 ⋅ ( 0,8) ⋅ (1 − 0,8) = (1) ⋅ (1) ⋅ ( 0, 2) = 0,0000001024=0,00001%  0

P ( X = 0 ) = 

 10  1 10 −1 9 ⋅ ( 0,8 ) ⋅ (1 − 0,8 ) = (10 ) ⋅ ( 0,8) ⋅ ( 0,2) = 0,000004096=0,0004%  1

P ( X = 1) = 

 10  2 10 −2 8 0,8 1 0,8 45 0,64 0, 2 ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ = 0,000073728=0,007% ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  2  

P ( X = 2 ) = 

P ( X ≤ 2 ) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1) + P ( X = 2 ) = = 0,00001% + 0,0004% + 0,007% = 0,00741%

c)  10  0 10 −0 ⋅ ( 0,8) ⋅ (1 − 0,8) =  0

P ( X = 0 ) = 

10

= (1) ⋅ (1) ⋅ ( 0, 2)

= 0,0000001024=0,00001%

d) P(metade dos itens estão funcionando corretamente) = P(X=5) 10  5 10 −5 ⋅ ( 0,8 ) ⋅ (1 − 0,8) =  5

P ( X = 5 ) = 

= ( 252 ) ⋅ ( 0,32768) ⋅ ( 0,00032) = 0,025690112 = 2,56% [email protected]

60


e) P(ao menos 9 bicos de bunsen estão funcionando corretamente) = P(X≥9) = [P(X=9) + P(X=10)]

10  ⋅ 9  

P ( X = 9 ) = 

( 0,8)

10 −9

9

⋅ (1 − 0,8) 1

= (10 ) ⋅ ( 0,134217728 ) ⋅ ( 0, 2 ) 10  ⋅ 10  

P ( X = 10 ) = 

10

( 0,8)

= 0,2684=26,84% 10 −10

⋅ (1 − 0,8 )

= (1) ⋅ ( 0,1073741824) ⋅

=

(1)

= = 0,1073741824=10,74%

P ( X ≥ 9) = P ( X = 9 ) + P ( X = 10 ) = = 26,84% + 10,74% = 37,58%

Exercício 2.3: Um produto eletrônico contém 40 circuitos integrados. O fabricante declarou que 1 a cada 50 é defeituoso. Os circuitos integrados são independentes. O produto opera somente se houver até dois circuitos integrados defeituosos. a) Qual a probabilidade de que o produto opere?

b) Qual a probabilidade de que o produto não opere?

2.9.3 - Distribuição de Poisson Consideremos a probabilidade de ocorrência de sucessos em um determinado intervalo. A probabilidade da ocorrência de um sucesso no intervalo é proporcional ao intervalo. A probabilidade de mais de um sucesso nesse intervalo é bastante pequena com relação à probabilidade de um sucesso. Por exemplo: automóveis que passam numa esquina. Poderemos num determinado intervalo de tempo anotar o nº de carros que passaram, porém, o nº de carros que deixaram de passar pela esquina não poderá ser determinado. Seja X o nº de sucessos no intervalo então: e −λ .λk P (X = k ) = k!

• Esperança (média) e Variância E( X ) = λ Var( X ) = λ [email protected]

61


Exemplo 2.16: Uma central telefônica recebe em média 5 chamadas por minuto. Suponha que as chamadas seguem uma distribuição de Poisson. Calcule a probabilidade de: a) Não receber chamadas em um minuto; b) Receber no máximo duas chamadas em quatro minutos; c) Receber duas chamadas em trinta segundos; d) Receber cinco chamadas em trinta segundos; e) Receber três chamadas em dois minutos.

Solução:

Letra (a): Seja X = o número de chamadas que chegam em t minutos, com distribuição de Poisson com parâmetro λ =5t. λ = 5 ⋅1 = 5 0

e −5 ( 5) = e −5 = 0,00673 P ( X = 0) = 0!

Letra (b): λ = 5 ⋅ 4 = 20 P ( X ≤ 2 ) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1) + P ( X = 2 ) = 0,000000455 0

e −20 ( 20 ) = P ( X = 0 ) = 0! 1 e −20 ( 20 ) = P ( X = 1) = 1! 2 e−20 ( 20 ) = P ( X = 2 ) = 2!

Letra (c): λ = 5 ⋅ ( 0,5 ) = 2,5 2

e −2,5 ( 2,5) P ( X = 2 ) = = 0, 256 2!

[email protected]

62


Letra (d): λ = 5 ⋅ ( 0,5) = 2,5 5

e −2,5 ( 2,5 ) P ( X = 5 ) = = 0,067 5!

Letra (e): λ = 5 ⋅ 2 = 10 3

e −10 (10 ) = 0,0075 P ( X = 3) = 3!

Exercício 2.4: O número de falhas na superfície de painéis de plástico usados no interior de automóveis tem uma distribuição de Poisson, com uma média de 0,05 falha por pé quadrado de painel de plástico. Considere que o interior de uma automóvel contém 10 pés quadrados de painel plástico. Calcule: e) Probabilidade de não haver falha na superfície do interior do automóvel. f) Se 10 carros forem vendidos para uma companhia de aluguel de carros, qual será a probabilidade de nenhum dos 10 carros ter qualquer falha na superfície? g) Se 10 carros forem vendidos para uma companhia de aluguel de carros, qual será a probabilidade de no máximo dois carros terem qualquer falha na superfície?

2.10 - Principais Distribuições Contínuas 2.10.1 - Distribuição Uniforme Se X é uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade:  1 , se X ∈ ( a, b)  f ( X ) =  b − a 0, caso contrário

Então dizemos que X tem distribuição uniforme no intervalo (a, b).

Exemplo 2.17: A dureza de uma peça de aço pode ser pensada como sendo uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo (50; 70) da escala de Rockwell. Calcular a probabilidade de que uma peça tenha dureza entre 55 e 60. [email protected]

63


Solução: Definindo X = “ Dureza de uma peça de aço”, temos:  1 , se X ∈ (50,70)  f ( X ) =  70 − 50  0, caso contrário

Logo: P ( 55 ≤ X ≤ 60 ) = ∫

60

55

x 60 5 1 1 dx = = = 20 20 55 20 4

• Esperança (média) e Variância E ( X ) =

a+b 2

(b − a) Var ( X ) = 12

2

Exercício 2.5: O peso líquido, em libras, de um pacote com herbicida químico é uniforme no intervalo de 49,75 a 50,25 libras. Determine: a) Média e variância do peso dos pacotes; b) Probabilidade de um pacote de herbicida ter peso inferior a 50,1 libras.

2.10.2 - Distribuição Exponencial A distribuição exponencial envolve probabilidades ao longo do tempo ou da distância entre ocorrências num intervalo contínuo. Por exemplo, a exponencial é usada como modelo do tempo entre falhas de equipamento elétrico, tempo entre a chegada de clientes a um supermercado, tempo entre chamadas telefônicas, etc. Há estreita relação entre a distribuição exponencial e a de Poisson. Na verdade, se um processo de Poisson tem média de λ ocorrências durante um intervalo, o espaço (ou tempo, etc) entre ocorrências naquele intervalo é de 1/ λ. Por exemplo, se as chamadas telefônicas ocorrem em média à razão de 6 por hora, então o tempo médio entre as chamadas será de 1/6 de hora, ou 10 minutos. Uma variável aleatória X tem distribuição Exponencial de probabilidade se a sua f.d.p. é dada por:

[email protected]

64


λe − λx se x ≥ 0 o gráfico da f.d.p. de X é: f ( x ) =  0 se x < 0 

∞

∫0

λ e− λ x dx = (−e− λ X ) |

∞ =1 0

Esperança (média) e Variância E ( X ) =

1 λ

Var ( X ) =

1 λ 2

Exemplo 2.18: Uma fábrica de tubos de TV determinou que a vida média dos tubos de sua fabricação é de 800 horas de uso contínuo e segue uma distribuição exponencial. Qual a probabilidade de que a fábrica não tenha que substituir um tubo gratuitamente, se oferece uma garantia de 300 horas de uso?

Solução: X: vida útil dos tubos de TV e E(X) = 800 Como E ( X ) =

1 λ

⇒

1 λ

= 800 ⇒ λ =

1 800

1 1 − 800 x  800 , se x ≥ 0 e f ( x) =  0 , se x < 0

Logo 300

P(0 < X < 300) = ∫0

− 300 1 X 300 1 − 8001 x 800 − 800 e dx = ( −e ) = −e + 1 = 1 − e −3/8 = 0,3127 0 800

[email protected]

65


Exercício 2.6: Certo tipo de fusível tem duração de vida que segue uma distribuição exponencial com vida média de 100 horas. Qual a probabilidade de um fusível durar mais de 150 horas?

2.10.3 – Distribuição Normal Definição: Dizemos que a v. a. X tem distribuição normal com parâmetros µ e σ2, − ∞ < µ < +∞ e 0 < σ 2 < +∞ ,

se sua f.d.p. é dada por

f ( x ) =

1 .e σ 2π

(x −µ) 2 − 2σ 2

,

− ∞ < x < +∞

Gráfico: A figura abaixo ilustra uma particular curva normal, determinada por valores particulares de µ e σ2.

Pode-se demonstrar que: a) E(X) = µ b) Var(X) = σ2 c) f(x) → 0 quando x → ± ∞ d) µ - σ e µ + σ são pontos de inflexão de f(x); e) x = µ é ponto de máximo de f(x), e o valor máximo é

1

σ 2π

;

f) f(x) é simétrica ao redor de x = µ, isto é, f(µ + x) = f(µ - x), para todo − ∞ < x < +∞ A distribuição normal, independente dos valores dos parâmetros, apresenta sempre a seguinte relação: [email protected]

66


Se X tem distribuição normal, com média µ e variância σ2, escreveremos: X~ ( µ , σ 2).

Entendendo os parâmetros da istribuição Normal: 1) A média µ informa o cen ro da distribuição. É um parâmetro de locaç o. 2) O desvio-padrão σ infor a o formato da curva.

• A Normal-Padrão Para o cálculo das proba ilidades, surgem dois grandes problemas: 1) Para integração de f(x), p is para o cálculo é necessário o desenvolvi ento em séries; 2) Seria a elaboração de u a tabela de probabilidades, pois f(x) depen e de dois parâmetros, fato este que acarretaria m grande trabalho para tabelar essas probabilidades considerandose as várias combinações de µ e σ2. [email protected]

67


Os problemas foram solucionados por meio de uma mudança de variável obtendo-se, assim, a distribuição normal padronizada ou reduzida: Quando µ = 0 e σ2 = 1, temos uma normal padrão ou reduzida, e escrevemos: N(0,1). Se X~N(µ, σ2), então a v.a. Z definida por

Z=

X−µ σ

terá uma distribuição N(0,1).

É fácil demonstrar que Z tem média 0 e variância 1. A normalidade de Z já não é imediata e não será provada aqui. A figura abaixo ilustra a N(0,1).

Uma das propriedades associadas à distribuição normal é a sua capacidade para predizer as probabilidades de encontrar um valor entre dois números quaisquer. As probabilidades associadas à distribuição normal são facilmente obtidas em tabelas. Vejamos alguns exemplos: Com vemos na figura a seguir a área total sob a curva vale 1. Isto significa que a probabilidade de ocorrer qualquer valor real é 1. A curva é simétrica em torno da média zero. A probabilidade de ocorrer valer maior que zero é 0,5, mas qual seria a probabilidade de ocorrer valor entre zero e z = 1,25 ?

[email protected]

68


Probabilidade de ocorrer valor entre zero e z=1,25

A probabilidade da ocorrência do valor entre zero e z = 1,25, corresponde à área pontilhada na figura acima. Podemos encontrar esta probabilidade na tabela de distribuição normal (Tabela do

ANEXO A). Como usar esta tabela? -

Localizar na 1a coluna o valor 1,2

-

Na 1a linha, está o valor 5.

-

n0 1,2 compõe com o algarismo 5, o n 0 z = 1,25.

-

No cruzamento da linha 1,2 com a coluna 5 está o número 0,3944. Está é a probabilidade (39,44%) do ocorrer valor entre zero e z= 1,25.

[email protected]

69


0

1

2

3

4

5

6

0,0

0,0000

0,0040

0,0080

0,0120

0,0160

0,0199

0,0239

0,1

0,0398

0,0438

0,0478

0,0517

0,0557

0,0596

0,0636

0,2

0,0793

0,0832

0,0871

0,0910

0,0948

0,0987

0,1026

0,3

0,1179

0,1217

0,1255

0,1293

0,1331

0,1368

0,1406

0,4

0,1554

0,1591

0,1628

0,1664

0,1700

0,1736

0,1772

0,5

0,1915

0,1950

0,1985

0,2019

0,2054

0,2088

0,2123

0,6

0,2257

0,2291

0,2324

0,2357

0,2389

0,2422

0,2454

0,7

0,2580

0,2611

0,2642

0,2673

0,2703

0,2734

0,2764

0,8

0,2881

0,2910

0,2939

0,2967

0,2995

0,3023

0,3051

0,9

0,3159

0,3186

0,3212

0,3238

0,3264

0,3289

0,3315

1,0

0,3413

0,3438

0,3461

0,3485

0,3508

0,3531

0,3554

1,1

0,3643

0,3665

0,3686

0,3708

0,3729

0,3749

0,3770

1,2 1,3

0,3849

0,3869

0,3888

0,3907

0,3925

0,3962

0,4032

0,4049

0,4066

0,4082

0,4099

0,3944 0,4115

1,4

0,4192

0,4207

0,4222

0,4236

0,4251

0,4265

0,4279

0,4131

Tabela da Distribuição Normal Padrão Versão Reduzida (Versão completa no ANEXO A)

Exemplo 2.19: Suponhamos que o comprimento de um tubo de PVC tem distribuição normal com média de 200cm e desvio padrão de 20 cm. Veja o gráfico desta distribuição.

Distribuição normal do comprimento de um tubo de PVC

[email protected]

70


Qual a probabilidade de um tubo apresentar comprimento entre 200 e 225 cm. Está probabilidade corresponde a figura a seguir.

Probabilidade de taxa de colesterol entre 200 e 225

Para calcular a probabilidade associada à distribuição normal, usa - se a fórmula:

Z =

X − - µ = média; σ = desvio padrão

σ

- X = valor pesquisado A estatística Z (Standard score) baseia-se na curva normal. Ela mede quanto um determinado resultado (valor) afasta-se da média em unidades de desvio-padrão. Um resultado cujo valor coincide com a média tem escore z=0. Como a quantidade de colesterol tem distribuição normal com média µ = 200 e desvio padrão (σ) de 20, a variável Z = X - 200 tem distribuição normal reduzida. 20 Nesta distribuição, a média é zero e, ao valor X = 225, corresponde: Z = X - 200 = 1,25 20

[email protected]

71


Consultando a Tabela do ANEXO A da distribuição normal padrão, vemos que a probabilidade de Z assumir valor entre zero e z = 1,25 é de 0,3944 ou 39,44%.

Exemplo 2.20: Referente ao Exemplo .19, qual é a probabilidade do tubo de PVC apresentar menos do que 190 cm de comprimento. Para resolver este problema, é preciso "reduzir" o valor X = 190 para uma normal padrão. Assim, temos: Z = 190 - 200 = - 0,50 . 20 A probabilidade de z assumir o valor menor que z = - 0,50 é igual a probabilidade de ocorrer valor maior do que z = 0,50 (fato este pela normal ser simétrica em torno do zero). Consultando o

ANEXO A da distribuição normal reduzida, vemos que no cruzamento entre a linha e a coluna, na primeira coluna, temos o valor 0,5 e na primeira linha o valor zero para compor o número z = 0,50, em que está o valor 0,1915; que é a probabilidade de ocorrer valor zero e z = 0,50. Como a probabilidade de ocorrer valor maior do que a média zero é 0,5, a probabilidade pedida é dada por: 0,5 - 0,1915 = 0,3085 ou 30,85%.

Exercício 2.7: Sabendo a quantidade de calcário por 100kg de cimento CP II – F do tipo Composto é uma variável aleatória com distribuição normal de média µ=16 kg e desvio padrão σ=1,75 kg. Calcule a probabilidade de numa amostra de 1000kg desse cimento apresentar de 13 a 18kg de calcário.

Exercício 2.8: Seja Z uma variável aleatória Normal Padrão, determine:

a) P(Z = 0)

f) P(Z > -2,33)

b) P(Z ≤ 0)

g) P( Z ≥ 2,8)

c) P(Z < 1,96)

h) P(0,16 < Z < 2,08)

d) P( Z ≤ -1,89)

i) P( -1,15 ≤ Z ≤ 2,37)

e) P(Z > -1,89)

j) P( Z > 4,88)

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2.10.4 - Distribuição t de Student A Distribuição t de Student trata-se de um modelo de distribuição contínua que se assemelha à distribuição normal padrão, N(0,1). Ela é utilizada particularmente, quando se tem amostras com tamanhos inferiores a 30 elementos ou quando não conhecemos o desvio-padrão populacional. Diferente da Normal que necessita apenas do nível de significância α, além do valor de α, a distribuição t possui um parâmetro adicional chamado "grau de liberdade". Se a distribuição de uma população é essencialmente normal (com a forma aproximadamente de um sino), então a distribuição de

t=

X −µ , com (n-1) graus de liberdade, s / n

é essencialmente uma distribuição t de Student para todas as amostras de tamanho n. A distribuição t de Student, geralmente conhecida como distribuição t , é utilizada na determinação de valores críticos denotados por t α / 2 . A tabela da t (Tabela do ANEXO B) relaciona valores da distribuição t juntamente com áreas denotadas por α . Os valores de t α / 2 são obtidos localizando o número adequado de graus de liberdade ((n-1) gruas de liberdade).

OBS: O número de graus de liberdade para um conjunto de dados corresponde ao número de valores que podem variar após terem sido impostas certas restrições a todos os valores.

PROPRIEDADES IMPORTANTES DA DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT: 1. A distribuição t de Student tem a mesma forma geral simétrica (curva em forma de sino) que a distribuição normal, mas reflete maior variabilidade que é esperada em pequenas amostras. Ver Figura abaixo.

[email protected]

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2. A distribuição t de Student tem média t = 0 (tal como a normal padronizada, com média Z = 0). 3. O desvio-padrão da distribuição t de Student varia com o tamanho da amostra, mas é superior a 1 (ao contrário da distribuição normal padronizada). 4. Na medida em que aumenta o tamanho da amostra, a distribuição t de Student se aproxima mais e mais da distribuição normal padronizada. Para valores n > 30, as diferenças são tão pequenas que podemos utilizar os valores críticos Z.

CONDIÇÕES PARA A UTILIZAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT 1. O tamanho da amostra é pequeno n ≤ 30 ; 2. σ é desconhecido; 3. A população original tem distribuição essencialmente normal (como a distribuição da população original normalmente é desconhecida, estimamos construindo um histograma dos dados amostrais ou realizando algum teste de normalidade como o teste de Shapiro-Wilk ).

GRAUS DE LIBERDADE DE UMA ESTATÍSTICA: n

2 Sabe-se que, a variância de uma amostra deve ser calculada por S =

∑ ( xi − x )

2

i =1

n −1

.

A necessidade dessa correção esta relacionada com o número de g.l., por exemplo:

[email protected]

74

EST0323– Estatística Aplicada a Engenharia I – Prof. Msc. André Luiz Sena da Rocha n

µ = X =

n

x

i ∑ i =1 n

e

σ 2 =

∑ ( xi − µ )

2

i =1

n

são estatísticas com "n" graus de liberdade, pois existem n valores xi livres que devem ser considerados para podermos calcular o valor da estatística. A estatística s2, por usar X ao invés de µ , tem um grau de liberdade a menos. Isso ocorre porque para o cálculo de s2 é necessário que se tenha calculado X , ou seja, já utilizamos uma vez todo os valores da amostra; estes estiram sendo usados pela segunda vez para o cálculo de s2.

Exercício 2.9: Com base na tabela t de Student determine o valor da distribuição nos seguinte casos: a) t (5; 1%) b) t (6; 2%) c) t (19; 5%) d) t (21; 10%) e) t (28; 5%) f) t (12; 1%)

[email protected]

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UNIDADE III INFERÊNCIA ESTATÍSTICA

Introdução Nas últimas unidades vimos como construir modelos probabilísticos para descrever alguns fenômenos. Nessa parte, iremos estudar um ramo muito importante da Estatística conhecido como Inferência Estatística, ou seja, como fazer afirmações sobre características de uma população, baseando-se em resultados de uma mostra. Inferência Estatística é o ramo da Estatística que refere-se ao processo de obter informações sobre uma população a partir de resultados observados na amostra. POPULAÇÃO (N)

AMOSTRA (n)

θ ˆ

θ Inferência Estatística

POPULAÇÃO: Conjunto de indivíduos (ou objetos), tendo pelo menos uma variável comum observável. Pode ser finita, como o conjunto de alunos de uma escola em um determinado ano, ou infinita, como o número de vezes que se pode jogar um dado.

AMOSTRA: Qualquer subconjunto da população A maioria das pesquisas realizadas nas mais variadas áreas do conhecimento humano são feitas com amostras. O pesquisador, no entanto, almeja generalizar seus resultados, ou seja, saber se o que obteve com amostras é válido para toda a população. Essa é, sem dúvida, a essência da [email protected]

76


inferência estatística. Formalmente, a Inferência ou Estatística Indutiva é a parte da Estatística que estuda a estimação e os testes sobre os parâmetros populacionais.

ALGUNS CONCEITOS IMPORTANTES AMOSTRA ALEATÓRIA: Seja X uma variável populacional. Uma amostra aleatória é o conjunto de n variáveis aleatórias independentes,

( x1 , x2 ,…, xn ) , extraídas de uma população,

tal que cada xi tem a mesma característica, ou distribuição da variável X.

PARÂMETRO: Medida usada para descrever uma característica da população [ µ ,σ 2 ( x ),σ (x ),...]. ESTIMADOR (ESTATÍSTICA): Medida usada para descrever uma característica da amostra. [ X ,S 2 ( x ), S ( x ),... ]

ESTIMATIVA: É o valor numérico do estimador. Por exemplo, X = 17,8 é uma estimativa da média populacional µ .

ESTIMAÇÃO (Pontual e Intervalar) INFERÊNCIA ESTATÍSTICA

TESTES DE HIPÓTESES (Paramétricos e Não-Paramétricos)

[email protected]

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4.1 - Distribuição Amostral da Média e da Proporção 4.1.1 – Distribuição Amostral da Média Sejam X uma v.a. com valor esperado µ e variância σ2 e X a média de uma amostra aleatória de tamanho n de X. Então: -

E( X )=µ

-

Var( X )=σ 2 /n

-

A distribuição de X aproxima-se de uma distribuição normal com valor esperado µ e variância σ 2 /n, quando n tende ao infinito. (Teorema Central do Limite).

Observações: i. Como regra prática, aceita-se que para amostras com mais de 30 elementos, a aproximação citada em (iii) já pode ser considerada boa. ii.

Se a distribuição é normal com valor esperado µ e a variância σ 2, então a média amostral baseada em uma amostra aleatória de tamanho n tem distribuição normal com valor esperado µ e variância σ 2 /n, independente do tamanho da amostra.

Exemplo 3.1: A elasticidade de um polímero é afetada pela concentração de um reagente. Numa baixa concentração, a elasticidade média verdadeira é igual a 55 e o desvio-padrão da elasticidade igual a 16. Se retirada uma amostra de tamanho 40, qual será a probabilidade da elasticidade média estar acima de 60?

Solução: Temos nesse exemplo que a distribuição da média amostral X é aproximadamente N(55; 6,4).  σ 2   256  Ou seja, X ~ N  µ ,  ⇒ X ~ N  55,  ⇒ X ~ N ( 55; 6, 4 ) . Assim, teremos: n 40    

 X − 55

P ( X > 60 ) = P  

6, 4

>

60 − 55   = P(Z > 1,98) = 0,5 + 0,4761 = 0,9761 6, 4 

Logo, probabilidade da média amostral estar acima de 60 é de 97,61%.

[email protected]

78


4.1.2 – Distribuição Amostral da Proporção Consideremos uma população que tem uma proporção p de portadores de certa característica e seja X 1 , X 2 , ..., X n uma amostra aleatória onde X i, 1 ≤ i ≤ n, é definida por: 1, se o i-ésimo elemento é portador da característica; X i =   0, em caso contrário.

Temos que X i, 1 ≤ i ≤ n , tem distribuição de Bernoulli, com E(Xi)=p e Var(X)=p(1-p). Portanto, a distribuição da média amostral X se aproxima de uma distribuição normal, com valor esperado p e variância p(1-p)/n, quando n tende ao infinito. (Teorema Central do Limite).

Observação: Dado que X é a proporção de elementos da amostra que são portadores da citada característica, então costumamos fazer X = pˆ .

Exemplo 3.2: Em certa cidade, 30% dos motoristas envolvidos em acidentes fatais mostram evidência do uso de drogas. Numa amostra de 200 acidentes fatais, qual será a probabilidade de que mais de 25% desses motoristas tenham usado drogas?

Solução: Definindo a variável aleatória pˆ =proporção de motoristas que usam drogas numa amostra de 200 acidentes fatais, temos que a distribuição de pˆ é aproximadamente N(0,30; 0,00105). Assim,  pˆ − 0,30

P ( pˆ > 0, 25) = P 

 0, 00105

>

0,25 − 0,30   = P ( Z > −1,54 ) = 0,9382 . 0,00105 

Logo, a probabilidade de que mais de 25% desses motoristas tenham usado drogas é de 93,82%.

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79


4.2 - Estimação por ponto e intervalo 4.2.1 - Estimação Pontual A partir da amostra procura-se obter um único valor aproximado de um determinado parâmetro populacional.

Exemplo 3.3: A média amostral ( X ) é um estimador pontual da média populacional ( µ ). Desvantagens: Por obter um único valor aproximado de um determinado parâmetro populacional, em geral é INSUFICIENTE! Pois a estimação pontual não fornece meios diretos para aferir a qualidade da estimativa. Alternativamente, podem-se determinar intervalos que contenham o parâmetro populacional com uma confiança elevada. Estes são chamados de Intervalos de Confiança, em que nesse caso, se faz necessário realizar uma Estimação Intervalar .

4.2.2 - Estimação Intervalar A partir da amostra procura-se construir um intervalo de variação, θ ˆ1 ≤ θ ≤ θ ˆ2 , com uma certa probabilidade de conter o verdadeiro parâmetro populacional. 1) TESTES PARAMÉTRICOS

• A hipótese é formulada com respeito ao valor de um parâmetro populacional. 2) TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS

• A hipótese é formulada com respeito à natureza da distribuição da população.

INTERVALOS DE CONFIANÇA É um intervalo real, centrado na estimativa pontual que deverá conter o parâmetro com determinada probabilidade. A probabilidade de o intervalo conter o parâmetro estimado é denominada de nível de confiança associado ao intervalo. A notação mais usual para o nível de confiança associado ao intervalo é 1 - α ou (1 - α )%.

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80


Assim como as estimações pontuais, os intervalos de confiança podem ser vistos como uma técnica para se fazer inferência estatística. Ou seja, a partir de um intervalo de confiança, construído com os elementos amostrais, pode-se inferir sobre um parâmetro populacional. Fundamenta-se nas distribuições amostrais 

θ : Parâmetro populacional



θ ˆ : Estimador de θ



A partir da distribuição de probabilidade de θ ˆ é possível construir um intervalo

θ ˆ1 ≤ θ ≤ θ ˆ2 , que contém θ , e exigir que a probabilidade do intervalo seja de (1 − α ) . O valor da probabilidade

(1 − α ) que usualmente assume os valores 90%, 95%, 98%, etc.,

é denominado NÍVEL DE CONFIANÇA (quanto maior melhor ), e o valor α é chamado NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA (quanto menor melhor ), isto é, representa o erro que se está cometendo quando se afirma que a probabilidade do intervalo, θ ˆ1 parâmetro populacional é

≤ θ ≤ θ ˆ2 , conter o verdadeiro valor do

(1 − α ) .

VANTAGEM DO USO DE ESTIMAÇÃO INTERVALAR: Permite uma idéia da precisão com que foi calculada a estimativa do parâmetro, pois expressa o erro aceito ao calculá-la. -

Intervalo muito pequeno  ALTA PRECISÃO DA ESTIMATIVA DO PARÂMETRO;

-

Quanto maior o grau de confiança



MENOR PRECISÃO DA ESTIMATIVA DO

PARÂMETRO.

Exemplo 3.4: Suponha, n = 25, X = 12 e S =1,2 . IC (95 % ) IC (99 % )

= (11 .51 < µ < 12 .49 ) : amplitude = 0,98 = (11 . 31 <

< 12 . 67 ) : amplitude = 1,36

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81


4.2.2.1- Intervalo de confiança para a média Neste caso, existem 2 métodos para estimativa de

µ através

do intervalo de confiança; as

utilizações desses métodos dependem do tamanho da amostra ou do fato de ter ou não conhecimento do valor do desvio-padrão populacional.

1° Caso: Se n ≥ 30 e a variância populacional é conhecida 1) Utiliza-se o método da distribuição normal (a variável utilizada será a Z).

2° Caso: Para amostras pequenas (n < 30) e variância populacional desconhecida 2) Utiliza-se o método da distribuição t-Student (a variável utilizada será a t).

Métodos

Fatores

Distribuição Normal

Distribuição t-Student

n ≥ 30

n < 30

σ 2 (conhecida)

S 2 (desconhecida)

Z

T

Tamanho da amostra Variância Variável utilizada

CASO 1: INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA POPULACIONAL COM A VARIÂNCIA POPULACIONAL CONHECIDA Seja X ~ N ( µ , σ ) . Sabe-se que o estimador de 2

, X (média amostral), tem distribuição de

probabilidade dada por:

X ~ N ( µ , σ 2 / n ) , para populações infinitas Então,

Z =

X − µ ~ N (0,1) σ / n

Fixando-se um nível de confiança

(1 − ) tem-se:

P (− Z α / 2 ≤ Z ≤ Z α / 2 ) = 1 − α

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82


  X − µ P  − Z α / 2 ≤ ≤ Z α / 2  = 1 − α σ / n   

σ



n

P  − Z α / 2 .



σ

− X ≤ − µ ≤ Z α / 2 .

− X  = 1 − α

n



σ σ   P  X − Z α / 2 . ≤ µ ≤ X + Z α / 2 .  = 1 − α n n  

Exemplo 3.5: O departamento de Recursos Humanos de uma grande empresa informa que o tempo de execução de tarefas que envolvem participação manual varia de tarefa para tarefa, mas que o desvio padrão permanece aproximadamente constante em 3 min. Uma nova tarefa está sendo implantada na empresa. Uma amostra aleatória do tempo de execução de 50 dessas novas tarefas forneceu o valor médio de 15 min. Determine o intervalo de confiança de 95% para o tempo médio de execução dessa nova tarefa.

(

2

3 Sabe-se que, X ~ N µ , σ / n , então X ~ N 15, 50 2

);

Como o exemplo pede um intervalo de confiança de 95%, então α=100%-95%=5%. Pela Tabela do ANEXO A (Tabela da Normal Padrão), o valor de α /2=1,96. Então, temos :

 

P  X − Z α / 2 .



P  15 − 1, 96. 

σ

n

≤ µ ≤ X + Z α / 2 .

σ 

 = 1 − α n 

3 3  ≤ µ ≤ 15 + 1, 96.  = 95% 50 50 

P (15 − 0, 8316 ≤ µ ≤ 15 + 0, 8316 ) = 95% [email protected]

83


P (14,1684 ≤ µ ≤ 15, 8316 ) = 95% IC α = 5% = [1 4,1 68 4; 1 5, 8 31 6 ] Interpretação: Podemos afirmar, a um nível de 95% de confiança, que o intervalo [14,16; 15,83] contém a verdadeira média. Logo, se realizássemos esse procedimento 100 vezes, por exemplo, espera-se que 95 dos intervalos calculados contenham o verdadeiro valor do parâmetro estimado.

CASO 2: INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA POPULACIONAL COM A VARIÂNCIA POPULACIONAL DESCONHECIDA

σ com base na amostra, S.



Estimar



Como S é uma variável aleatória, a substituição só é verificada para amostras grandes (n ≥ 30)  S ≅ σ



S é um estimador viesado para

σ , mas aumentando o tamanho da amostra o viés tende a

desaparecer; portanto o IC para 

pode ser construído.

Quanto menor a amostra mais necessária se torna a introdução de uma correção: t(n-1) ao invés de Z.

(

Sabe-se que, X ~ N µ , σ

Então,

t n −1 =

2

/ n )

e

Z =

X − µ ~ N (0,1) σ / n

X − µ S / n

P (− t α / 2 ≤ t ≤ t α / 2 ) = 1 − α 

P  − t α / 2 ≤ 

 X − µ ≤ t α / 2  = 1 − α S / n 

S S   P  − t α / 2 . − X ≤ − µ ≤ t α / 2 . − X  = 1 − α n n   [email protected]

84


 

P  X − t α / 2 .

S S  ≤ µ ≤ X + t α / 2 .  = 1 − α n n 

OBS: Quanto menor o tamanho da amostra, mais necessário se torna a introdução de uma correção, a qual consiste em usar a variável t-Student (t(n-1) ) ao invés de usar a variável Z.

Exemplo 3.6: Uma amostra de 25 peças de laminado usado na fabricação de placas de circuito foi selecionada, e a quantidade de deformação (in.) sob condições específicas foi determinada para cada peça, resultando em uma deformação média amostral de 0,0635 in. E um desvio-padrão amostral de 0,0065 in. Construa um intervalo de confiança para a média ao nível de 99%.

Solução: Média amostral: X = 0, 0635 in. Desvio padrão amostral: S = 0, 0065 in. Variável : t (n-1) = t (24; 1%/2) = 2,7969

 

P  X − t α / 2 .

S S  ≤ µ ≤ X + t α / 2 .  = 1 − α n n 



P  0, 0635 − ( 2, 7969 ) . 

0, 0065 0, 0065  ≤ µ ≤ 0, 0635 + ( 2, 7969) . = 99% 25 25 

P ( 0, 0598 ≤ µ ≤ 0, 0671) = 99%

IC α =1% = [ 0, 0598; 0, 0671 ] Interpretação: Podemos afirmar, a um nível de 99% de confiança, que o intervalo [0,0598; 0,0671] contém a verdadeira média; A precisão dessa estimativa nos permite afirmar, com 99% de certeza, de que não estamos errando por mais de 0,00365 ([0,0671 - 0,0598] / 2) nessa estimação. Logo, se realizássemos esse procedimento 100 vezes, por exemplo, espera-se que 99 dos intervalos calculados contenham o verdadeiro valor do parâmetro estimado. Ou seja, espera-se a um nível de 99% de confiança, que a deformação média, medida em “in.”, nas placas de circuito seja entre 0,0671 in. a 0,0598 in.

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85


Exercício 3.1: Após analisar o teor alcoólico de 52 amostras de sangue de pessoas que estavam numa festa, um químico obteve através do software R uma média de 3,9% de C 2H5OH e um desviopadrão de 5,78% de C 2H5OH. a) Calcule um intervalo de 95% de confiança para o percentual médio de C 2 H 5OH para as pessoas que beberam nessa festa. Interprete os resultados. b) Com 99% de confiança, o intervalo para o percentual médio de C 2 H 5OH é de [1,76% ; 6,04%]. Por que é diferente do intervalo da letra (a)?

4.2.2.2 - Intervalo de confiança para a proporção

pq Sabendo que a distribuição amostral da proporção é: pˆ ~ N p, n

(

)

k pˆ ≈ . n e

Quando n for grande, n ≥ 30 a distribuição binomial se aproxima da Normal, então:

pˆ − p Z = ~ N ( 0,1) pq / n Fixando-se um nível de confiança

(1 − ) tem-se:

 pˆ ( qˆ ) pˆ ( qˆ )   = 1 − α ≤ p ≤ pˆ + Z α / 2 . P  pˆ − Z α / 2 .  n n   Exemplo 3.7: Uma pesquisa recente efetuada com 300 habitantes de uma grande cidade revelou que 128 pessoas apresentavam insuficiência respiratória. Determine um intervalo de confiança de 90% para a proporção de habitantes dessa cidade que apresentaram insuficiência respiratória.

Solução: n=300

&

k=128;

Logo, temos que a proporção das pessoas que apresentavam insuficiência respiratória é de pˆ =

128 = 0,4267 ou 42,67%. Assim, teremos para o cálculo do intervalo de confiança: 300 [email protected]

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

I .C . =  pˆ − Z α / 2 .

pˆ ( qˆ ) pˆ ( qˆ )   = 1 − α ≤ p ≤ pˆ + Z α / 2 . n n 

   ( 0, 4267 ) ⋅ ( 0, 5733 ) (0, 4267 ) ⋅ (0, 5733 )   = 90% ≤ p ≤ 0, 4267 + 1, 645. I .C . =  0, 4267 − 1, 645.   300 300  

I .C . = ( 0, 4267 − 0, 0285 ≤ p ≤ 0, 4267 + 0, 0285 ) = 90% I .C . = ( 0, 3982 ≤ p ≤ 0, 4552 ) = 90% IC α =10 % = [ 0,3982 ; 0, 4552 ]

Interpretação: Podemos afirmar, a um nível de 90% de confiança, que o intervalo [0,3982; 0,4552] contém o valor verdadeira da proporção populacional. Logo, se realizássemos esse procedimento 100 vezes, por exemplo, espera-se que 90 dos intervalos calculados contenham o verdadeiro valor do parâmetro estimado. Ou seja, com 10% de significância, o percentual de habitantes com insuficiência respiratória será entre 39,82% a 45,52%.

Exercício 3.2: Um artigo em Fortune (21/09/1992) afirma que aproximadamente metade de todos os engenheiros químicos continua seus estudos acadêmicos além do grau de bacharelado, recebendo no final o grau de mestre ou doutor. Dados de um artigo em Engineering Hozizons indicaram que 117 de 484 novos engenheiros químicos graduados estavam planejando fazer uma pós-graduação. Calcule um intervalo com 99% de confiança a cerca da proporção de engenheiros químicos que continuam seus estudos além da graduação. Interprete os resultados.

4.3 - Testes de Hipóteses Suponha que numa determinada região, o peso de crianças aos 12 anos, seja modulado pela distribuição normal, tal que X ~N (48, 16). Um pesquisador da área médica desconfia que devido a mudanças nos hábitos alimentares, o peso médio seja maior. Para tentar comprovar sua suposição o pesquisador seleciona, por processo aleatório, uma amostra de 100 crianças dessa população, obtendo como peso amostral x = 51,3 kg. Será que ele tem razão? A resposta deve ser analisada cuidadosamente e uma decisão mais segura só é possível depois de submeter seus dados a um teste estatístico, também conhecido como teste de hipóteses que estará sujeito a uma regra de decisão. Regra de decisão que permite aceitar ou rejeitar uma hipótese, decisão esta que é tomada em função dos valores amostrais. Em outras palavras, formula-se uma hipótese quanto ao valor do

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87


parâmetro populacional, e pelos lementos amostrais faz-se um teste que indi ará a rejeição, ou não, da hipótese nula (H 0).

HIPÓTESE ESTATÍSTICA Suposição quanto ao valor de um parâmetro ou quanto à natureza da distribuição de uma probabilidade de uma variável p pulacional.

TIPOS DE HIPÓTESES H 0 : é aquela que será testada, sendo sempre contrária ao resultado do xperimento amostral; hipótese nula. É formulad com base nos dados populacionais. H 1 : é qualquer hipótese difer nte da hipótese nula, sendo sempre a f vor do resultado do experimento amostral; hip tese alternativa.

OBS: a aceitação de H 0 implica a rejeição de H 1 , e a rejeição de H 0 implica a aceitação de H 1. REGIÃO DE REJEIÇÃO E T POS DE TESTES É uma região da Distribuição A ostral, definida de modo que seja igual a , a probabilidade sob H0. O tamanho da região de r jeição é expresso por α, e está localizada nas extremidades da distribuição amostral. A localiza ão da R.C. (região crítica) está afetada pela natureza de H 1. Se H1 indica o sentido da diferença, us -se um teste unilateral, caso contrário, usa-se bilateral.

Exemplo:

H0: µ = µ 0 H1: µ > µ 0 Região de Rej ição (RR) e de Aceitação (RA) da Hipótese ula

Observe que essas duas regiões d iferem entre si em localização, mas não em t amanho.

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88


Regra de Decisão Se o teste estatístico acusar um valor na região de rejeição de H 0. Quando a probabilidade associada a um valor observado de um teste estatístico é menor ou igual do que o valor previamente determinado de α, concluímos que H 0 é falsa, tal valor observado é chamado "significativo". H 0 é rejeitada sempre que ocorre um valor "significativo".

TIPOS DE ERROS: 1 Erro Tipo I (α): P(rejeitar H 0 | H 0 é verdadeira)  Probabilidade de rejeitar H 0 dado que H 0 é verdadeira. 2 Erro Tipo II (β): P(aceitar H 0 | H 0 é falsa)  Probabilidade de aceitar H 0 dado que H 0 é falsa.

Decisão Realidade

H 0 é verdadeira

H 0 é falsa

Aceitar H 0 Decisão Correta

Erro Tipo II

Rejeitar H 0

(1 − α )

( β )

Erro Tipo I Decisão Correta

(α )

(1 − β )

ERRO TIPO I ⇒ cometido quando rejeitamos H 0 , quando na verdade, ela é verdadeira. Esse tipo de erro é o mais importante a ser evitado. A probabilidade de se cometer um erro tipo I é o que se chama de nível de significância de um teste. α =P(erro tipo I).

ERRO TIPO II ⇒ cometido quando não rejeitamos H 0, quando na verdade ela é falsa. Deseja-se: reduzir ao mínimo as probabilidades dos erros.

TAREFA DIFÍCIL: para uma amostra de tamanho n a probabilidade de se incorrer em um erro tipo II aumenta à medida que diminui a probabilidade do erro tipo I (vice-versa). REDUÇÃO SIMULTÂNEA DOS ERROS

AUMENTO DO TAMANHO DE n

PROCEDIMENTO PARA CONSTRUÇÃO DO TESTE DE HIPÓTESE: 1. Estabelecer as hipóteses de nulidade H 0 e alternativa H 1 ; [email protected]

89


2. Escolhe um nível de significância

, em geral, usa-se: 0,05; 0,01 ou 0,001;

3. Selecionar uma estatística apropriada e determinar as RA e RC para H 0 , com o auxílio das tabelas estatísticas, considerando

α e a variável do teste.

4. Com os elementos amostrais, calcular o valor da variável do teste. 5. Concluir pela aceitação ou rejeição de H 0 pela comparação do valor obtido no 4º passo com RA e RC, ou seja, rejeitar H o sempre que a estatística calculada pertencer à região crítica, caso contrário, não rejeitar.

TESTES PARAMÉTRICOS

4.3.1 - Teste para a Média quando σ2 é conhecido Quando queremos realizar um teste de hipótese para a média populacional, se conhecemos o valor do desvio-padrão da população, teremos como base para a estatística do teste a distribuição normal. É muito comum situações em que necessitamos estudar um determinado parâmetro ou característica de certa população. No entanto, esse procedimento pode levar muito tempo e/ou necessitar de recursos financeiros muito altos. Assim, uma possível solução, seria estimar o resultado da característica de interesse da população (com um nível (1-α) de certeza), extraindo uma amostra de tamanho n, e, utilizando o desvio-padrão da população na estimação. A figura abaixo ilustra o procedimento proposto.

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90


REQUISITOS PARA O TESTE: • A amostra é uma amostra aleatória simples; • O valor do desvio-padrão populacional σ é CONhecido; • Pelo menos uma das condições seguintes é verdadeira: o

A população é normalmente distribuída;

o

O tamanho da amostra é superior a 30, ou seja, n>30. (TCL)

O procedimento para a realização desse teste de hipóteses pode ser resumido nos seguintes passos:

1. Enunciar as hipóteses:

H 0 : µ = µ 0  µ ≠ µ ( a ) Teste Bilateral α 0 2   H 1 :  µ > µ 0 ( b ) T este Unilateral (α )  µ < µ ( c ) T este U nilateral (α ) 0 

(

)

Em que o verdadeiro valor de µ é µ 0.

2. Determinar a distribuição de X , e, a estatística de teste.  σ2  X − µ ~ N (0,1) X ~ N  µ ,  ⇒ Z = 2 n σ  

n

A estatística de teste é uma estatística amostral, usada para tomar uma decisão em relação à hipótese nula. [email protected]

91


3. Fixar o nível de significância α . (normalmente é utilizado α = 5%). 4. Determinar a Região de Aceitação e a Região de Rejeição através da tabela Z – Normal-Padrão. (É necessário ter fixado o valor de α).

Z cal =

5. Calcular a variável do teste

X − σ

n 6. Conclusões 1. Se –Zα /2 < ZCalc < Zα /2, não rejeita H0

 Teste

Bilateral

2. Se ZCalc > Zα, rejeita-se H0

 Teste

Unilateral

3. Se ZCalc < Zα, rejeita-se H0

 Teste

Unilateral

Exemplo 3.8: Em indivíduos sadios, a taxa de fósforo no sangue tem distribuição aproximadamente normal com média µ = 3 mg/100cc e desvio-padrão σ = 0,6mg/100cc. Com o objetivo de saber se no artritismo essa taxa média aumentou, um pesquisador tomou uma amostra de 36 doentes e testou sua hipótese ao nível de 5% de significância. Observou-se na amostra a média X = 3,12mg/100cc.

Solução: As hipóteses serão as seguintes H0: µ = 3,0 H1: µ > 3,0 (teste unilateral)

OU H0: A taxa de fósforo no sangue de pessoas com artritismo é igual a 3,0mg/100cc. H1: A taxa de fósforo no sangue de pessoas com artritismo é maior que 3,0mg/100cc. Usaremos α = 0, 05. A estatística a ser utilizada será:

Z Calc =

X − µ 3,12 − 3,0 0,12 = = = 1,2 2 0,6 0,1 σ 36 n

[email protected]

92


Após termos calculado a estatística do teste, vamos agora encontrar a probabilidade na tabela de distribuição Normal-Padrão (Tabela do ANEXO A). Lembre-se que como o teste é unilateral, o valor de α será igual a 5%, e não a 2,5%. Logo, como a tabela da distribuição normal nos dá de 0 até +∞ (50% da área total, ou probabilidade igual a 0,5), temos que: 50% - α = 50% - 5% = 45% = 0,45  Z = 1,645. Como na tabela não encontramos um valor exato de 0,45. O mais próximo dessa probabilidade são dois valores de P(Z < 1,64) = 0,4495 e P(Z < 1,65) = 0,4505. Repare que para Z=1,64 e Z=1,65, um é menor e outro é maior, respectivamente, que 0,45 na mesma proporção. Assim, faz-se necessário realizar uma interpolação apenas realizando uma média aritmética de ambos os valores de Z, tendo assim: P(Z < 1,645) ≈ 0,445.

P ( Z < x ) = 0, 45 ⇒ x =

1, 64 + 1, 65 = 1,645 ⇒ P ( Z < 1,645) ≈ 0, 45. 2

[email protected]

93


Conclusão: Como ZCalc ≤ Z α , o seja, 1,2 ≤ 1,645. Então, a um nível de si nificância de 5%, não rejeitaremos a hipótese nula de que a taxa de fósforo no sangue de pessoas com artritismo seja igual a 3,0mg/100cc.

Exercício 3.3: Em indivíduos n rmais, o consumo renal médio de oxigênio é de 12 cm3 /min com desvio-padrão de 2,3 cm3 /min. Um pesquisador interessado em saber se isso realmente ocorre, selecionou uma amostra de 28 essoas sadias e obteve um consumo renal médio de oxigênio de 13,45 cm3 /min. Teste a um nível de 5% se realmente ocorre o que o pesquis dor averiguou. Defina as hipóteses e interprete.

[email protected]

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4.3.2 - Teste para a Média quando σ2 é desconhecido Quando queremos realizar um teste de hipótese para a média populacional, se conhecemos o valor do desvio-padrão da população, eremos como base para a estatística do teste a distribuição normal. No entanto, quando desconhece os o desvio-padrão populacional, que é o que ocorre na prática, tomamos como base a distribuiç o t de Student .

REQUISITOS PARA O TEST : a) A amostra é uma amostra aleatória simples; b) O valor do desvio-padrão populacional σ é DESconhecido; c) Pelo menos uma das con ições seguintes é verdadeira: a. A população é normalmente distribuída; b. O tamanho da am stra é superior a 30, ou seja, n>30. (TCL) 2

2

Neste caso, como não conhecemos σ , precisamos calcular a estimativa S a artir de uma amostra. Para a construção das hipóteses a serem analisadas, a região de rejeição será baseada numa estatística de teste com base na distribuição t de Student :

T~

X − µ ~ t n −1 S 2 n

Assim, para realizar o teste, devemos seguir os seguintes procedimentos:

[email protected]

95


a) Enunciar as hipóteses:

H 0 : µ = µ 0  µ ≠ µ ( a ) Teste Bilateral α 0 2   H 1 :  µ > µ 0 ( b ) T este Unilateral (α )  µ < µ ( c ) T este U nilateral (α ) 0 

(

b) Fixar o nível de significância

)

2

. Admitindo σ desconhecida, a variável do teste será

t (n−1) . c) Determinar RA e RC através da tabela t.

X − S / n

d) Calcular a variável do teste

T cal =

e) Conclusões 4. Se –tα /2 < TCalc < tα /2, não rejeita H0

 Teste Bilateral

5. Se TCalc > tα, rejeita-se H0

 Teste Unilateral

6. Se TCalc < tα, rejeita-se H0

 Teste Unilateral

Exemplo 3.9: A tolerância de dieta diária de zinco recomendada entre homens com mais de 50 anos é 15mg/dia. O artigo “ Nutrient Intakes and Dietary Patterns of Older Americans: A National Study” (J. Gerontology, 1992, pg. 145-150) relata sobre ingestão uma média de 17,3 mg/dia e

desvio-padrão de 6,43 mg/dia para uma amostra de 88 homens com mais de 50 anos. Esses dados, a um nível de 5% de significância, indicam que a ingestão de zinco diária média na população dos homens com mais de 50 anos está na tolerância permitida? Defina as hipóteses e interprete.

Solução: As hipóteses serão as seguintes H0: µ = 15 mg/dia H1: µ ≠ 15 mg/dia (teste bilateral) [email protected]

96


OU H0: Os homens com + de 50 anos estão com a tolerância de dieta diária de zinco recomendada. H1: Os homens com + de 50 anos NÃO estão com a tolerância de dieta diária de zinco recomendada.

Usaremos α = 0, 05. A estatística a ser utilizada será:

T Calc =

X − µ 15 − 17,3 −2,3 = = = −3,3557 6,43 0,6854 S 2 88 n

Os graus de liberdade (g.l.) para o teste “t” de Student serão obtidos da seguinte forma:

g.l. = n – 1 = 88 – 1 = 87 Após termos calculado a estatística do teste e o número de g.l., vamos agora encontrar a probabilidade na tabela de distribuição t-Studentl (Tabela do ANEXO B ). Como usar esta tabela? -

Localizar o valor correspondente de α (lembrando que se for um teste bilateral, então será α /2); Logo, para α=5%, devemos procurar nesse exemplo, o valor 2,5% na tabela;

-

Localizar o valor correspondente de φ (g.l. = n - 1); Nesse caso temos que g.l.=88-1=87;

-

No cruzamento da linha com (φ = 87) com a coluna (α = 2,5%), por ser um teste bilateral, então α /2, está o número 1,9876.

[email protected]

97


α φ

25%

10%

5%

2,5%

81

0,6775

1,2921 1,6639

1,9897

82

0,6775

1,2920 1,6636

1,9893

83

0,6775

1,2918 1,6634

1,9890

84

0,6774

1,2917 1,6632

1,9886

85

0,6774

1,2916 1,6630

1,9883

86

0,6774

1,2915 1,6628

1,9879

87

0,6773

1,2914 1,6626

1,9876

88

0,6773

1,2912 1,6624

1,9873

89

0,6773

1,2911 1,6622

1,9870

90

0,6772

1,2910 1,6620

1,9867

Conclusão: Como T Calc ≤ -t α /2 , ou seja, -3,3557 < -1,9876 . Então, a um nível de significância de 5%, rejeitaremos a hipótese ula, assim, os homens com + de 50 an s NÃO estão com a

tolerância de dieta diária de zinc recomendada. [email protected]

98


Exercício 3.4: Uma companhia de produtos para o consumidor está formulando um xampu novo e está interessado na altura (em milímetros) da espuma. A altura da espuma tem distribuição aproximadamente normal com S = 20 mm. A companhia analisou 10 frascos de xampu e obteve uma altura média de 175 mm, diferente da esperada pelos engenheiros, de 179 mm. Usando esses resultados, a companhia pode assumir que seu xampu alcança a altura média menor que a estimada pelos engenheiros? Faça um teste de hipóteses para comprovar sua teoria.

4.3.3 - Teste para Proporções 1. Enunciar as hipóteses:

H 0 : p = p0  p ≠ p0  H 1 :  p > p0  p < p 0 

(a) (b) (c)

2. Fixar o nível de significância α . A variável escolhida é Z, normal padrão. 3. Determinar RA e RC através da tabela da distribuição normal padrão.

Z ca l

Calcular a variável do teste

pˆ − p 0 = p 0 q 0 / n

4. Conclusões a) Se –Z α /2 < Z Calc < Z α /2, não rejeita H 0 b) Se Z Calc > Z α /2, rejeita-se H 0 c) Se Z Calc < -Z α /2, rejeita-se H 0

Exemplo 3.10: Um pesquisador afirma que a fração de circuitos integrados defeituosos produzidos em um processo de fotolitografia ( técnica utilizada na confecção de circuitos integrados ) é igual a 5%. Uma amostra de 300 circuitos é testada, encontrando 13 defeituosos. Teste ao nível de significância de 1%, se o pesquisador está correto. Defina as hipóteses e Interprete.

Solução:

p0 = 0,05 , n = 300 , k = 13, α = 0,05 e pˆ = 13/300 = 0,04 [email protected]

99

EST0 EST03323– 23– Est Estat atís ísti tica ca Aplic plicad adaa a En Engenharia I – Prof. Msc. André Luiz Sena da Rocha

1. Enunciar as hipóteses  H 0 : p = 0 , 0 5   H 1 : p ≠ 0 , 0 5

2. α = 0.05 Variável: Zα = Z 5% = Z ( 2, 2

2

%)

= 1,96 .

4. Calcular a estatística do tes e:

Z cal =

pˆ − p 0 = p0 q 0 /

− 0, 0 1 0, 0 4 − 0, 0 5 = = − 0, 8 3 0 0 0,0125 ( 0, 0 5 ) ( 0, 9 5 ) / 30

4. Determinar RA e RC:

5. Conclusão: ZTab < ZCal < < +ZTab  1, 6 < -0,8 < 1,96 ; NÃO rejeita H 0, ou seja, com 5% de Como - Z  1, signi ignifi ficcância ncia,, conc oncluíluí-sse que a fr ção de de ci circu rcuit itoos in integrad rados de defei feituo tuosos pr prod zidos em um processo de fotolitografia é igual a 5%. [email protected]

100


Exercício 3.5: Uma máquina foi regulada para fabricar placas de 5 mm de espessura. No entanto, após uma inspeção de rotina, o técnico informou ao seu dono que ela está produzindo 4% das placas com defeitos. Assim, foi retirada uma amostra de 40 placas, identificando apenas 2 com defeito. Teste a um nível de 99% de confiança se a máquina está produzindo um percentual de peças com defeito acima do que o técnico informou. Defina as hipóteses e interprete.

4.3.4 - Valor- P P A seção anterior sobre teste de hipóteses mostrou que se pode rejeitar ou não uma hipótese usando um nível de significância α, um valor crítico e uma correspondente região de rejeição, que é a abordagem clássica. A seguir, será apresentada uma outra maneira equivalente, bastante comum e abordada na maioria dos softwares estatísticos e na literatura científica, de se obter o mesmo resultado final.

Definição: O valor-p é a chance de encontrar o valor observado na amostra ou valores mais extremos, assumindo que a hipótese nula, H 0, é verdadeira.

Observação 1: No caso do uso do valor-p, não precisamos mais calcular uma estatística do teste e compará-la com um valor tabela da distribuição de referência (normal, t-student, F, qui-quadrado, etc). Basta compararmos o resultado do valor-p diretamente com o nível de significância α.

Observação 2: Quanto menor for o valor-p, mais forte será a evidência fornecida pela amostra contra H0. Por outro lado, quanto maior for o valor-p, menor será a evidência contra H 0. Relação entre valor-p e α a) Se valor-p ≤ α  rejeita-se H0 e os dados SÃO estatisticamente significantes. b) Se valor-p > α  não se rejeita H0 e os dados NÃO SÃO estatisticamente significantes.

[email protected]

101


Exemplo 3.11: Um pesquisador deseja determinar o efeito da taxa de escoamento de C 2F6 sobre a uniformidade do ataque químico em uma pastilha de silicone usada na fabricação de um circuito integrado. Três taxas de escoamento são usadas no experimento e a uniformidade (em porcentagem) resultante, para seis pastilhas de silicone para cada taxa de escoamento. O experimento foi completamente aleatorizado. HIPÓTESES TESTADAS: H 0: Não há diferença na resposta entre as taxas de escoamento de C 2F6; H 1: Há diferença na resposta r esposta entre pelo menos duas das taxas de escoamento de C 2F6. 

Para uma valor-P = 0,0533, rejeita-se H 0 (α=5%)?

Solução: Não rejeita H0, pois Valor-p > α.

Exemplo 3.12: Um pesquisador deseja testar a resistência do concreto à compressão. Ele deseja investigar quatro técnicas diferentes de mistura. O experimento foi completamente aleatorizado.

HIPÓTESES TESTADAS: H 0: Não há diferença na resposta entre as diferentes técnicas de mistura;

r esposta entre pelo menos duas das diferentes técnicas de mistura. H 1: Há diferença na resposta a) Para uma valor-P = 0,000488, rejeita-se H 0 (α=5%)?

Solução: Rejeita H0, pois Valor-p < α. b) E se fosse testar com α=1%? Rejeita H0 ?

Solução: Rejeita H0, pois Valor-p < α  0,0488% < 1%. c) Nesse caso, os dados são ESTATISTICAMENTE SIGNIFICANTES? Justifique.

Solução: São! Porque rejeitou H 0.(Hipótese Nula)

[email protected]

102


Exemplo 3.13: Um experimento foi feito para determinar se quatro temperaturas específicas de queima afetam a densidade de um certo tipo de tijolo. Utilizando 4 tijolos para cada temperatura específica, foi determinada a densidade para o tipo de tijolo de acordo com a variação das temperaturas. O experimento foi completamente aleatorizado.

HIPÓTESES TESTADAS: H 0: Não há diferença na densidade do tipo de tijolo variando as temperaturas; H 1:Há diferença na densidade do tipo de tijolo em pelo menos duas das temperaturas. a) Para um valor-P = 0,0000125, rejeita-se H 0 (α=1%)?

Solução: Rejeita H0, pois Valor-p < α. b) E se fosse testar com α=5%? Rejeita H0 ?

Solução: Rejeita H 0 , pois Valor-p < α  0,0488% < 1%.

c) Nesse caso, os dados são ESTATISTICAMENTE SIGNIFICANTES? Justifique.

Solução: São! Porque rejeitou H 0.(Hipótese Nula)

[email protected]

103


REFERÊNCIAS

1. AZEVEDO, P. R. M. Introdução à Estatística. Rio Grande do Norte: EDUFRN, 2005. 2. BUSSAB, W. O. e MORETIN, P. A. Estatística Básica. 5. ed. São Paulo: Atual, 2006. 3. VIEIRA, S. Introdução à Bioestatística. 3. Ed. Rio de Janeiro: Campus, 1980. 4. DANTAS, C. A. B. Probabilidade: um curso introdutório. 2. ed. 1. reimpressão - São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2004. 5. MEYER, P. L. Probabilidade: aplicações à estatística. 2. ed. - Rio de Janeiro: Livros técnicos e científicos editora S. A., 1983. 6. MONTGOMERY, D.C. e RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para

Engenheiros. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 7. MORETTIN, P. A. & BUSSAB, W. de O. Estatística Básica. 5. Ed. São Paulo: SARAIVA, 2002. 8. PINHO, A. L. S. & SPYRIDES, M. H. C. Métodos Estatísticos I. Natal: UFRN, 2011. (Notas de Aula). 9. SILVA, Francisco de Assis Medeiros da. Estatística Aplicada à Administração. Natal: UFRN, 2004.

(Notas de Aula).

10. TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. 10.ed. LTC, 2008. 11. WERKEMA, M. C. C. Como estabelecer conclusões com confiança: entendendo inferência

estatística. Série Ferramentas de Qualidade. [email protected]

104


ANEXOS TABELA A - DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO TABELA B – DISTRIBUIÇÃO T DE STUDENT

[email protected]

105


ANEXO A - Distribuição Nor al Padrão Z~N(0,1)

P(0 ≤ Z ≤ zc) zc

0,00

0,01

,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

0,0000 0,0398 0,0793 0,1179 0,1554

0,0040 0,0438 0,0832 0,1217 0,1591

0, 080 0, 478 0, 871 0, 1255 0, 1628

0,0120 0,0517 0,0910 0,1293 0,1664

0,0160 0,0557 0,0948 0,1331 0,1700

0,0199 0,0596 0,0987 0,1368 0,1736

0,0239 0,0636 0,1026 0,1406 0,1772

0,0279 0,0675 0,1064 0,1443 0,1808

0,0319 0,0714 0,1103 0,1480 0,1844

0,0359 0,0753 0,1141 0,1517 0,1879

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,1915 0,2257 0,2580 0,2881 0,3159

0,1950 0,2291 0,2611 0,2910 0,3186

0, 1985 0, 2324 0, 2642 0, 2939 0, 3212

0,2019 0,2357 0,2673 0,2967 0,3238

0,2054 0,2389 0,2704 0,2995 0,3264

0,2088 0,2422 0,2734 0,3023 0,3289

0,2123 0,2454 0,2764 0,3051 0,3315

0,2157 0,2486 0,2794 0,3078 0,3340

0,2190 0,2517 0,2823 0,3106 0,3365

0,2224 0,2549 0,2852 0,3133 0,3389

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4

0,3413 0,3643 0,3849 0,4032 0,4192

0,3438 0,3665 0,3869 0,4049 0,4207

0, 3461 0, 3686 0, 3888 0, 066 0, 222

0,3485 0,3708 0,3907 0,4082 0,4236

0,3508 0,3729 0,3925 0,4099 0,4251

0,3531 0,3749 0,3944 0,4115 0,4265

0,3554 0,3770 0,3962 0,4131 0,4279

0,3577 0,3790 0,3980 0,4147 0,4292

0,3599 0,3810 0,3997 0,4162 0,4306

0,3621 0,3830 0,4015 0,4177 0,4319

1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

0,4332 0,4452 0,4554 0,4641 0,4713

0,4345 0,4463 0,4564 0,4649 0,4719

0, 0, 0, 0, 0,

357 474 573 656 726

0,4370 0,4484 0,4582 0,4664 0,4732

0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4495 *0,4505 0,4515 0,4525 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756

0,4429 0,4535 0,4625 0,4699 0,4761

0,4441 0,4545 0,4633 0,4706 0,4767

2,0 2,1 2,2 2,3 2,4

0,4772 0,4821 0,4861 0,4893 0,4918

0,4778 0,4826 0,4864 0,4896 0,4920

0, 0, 0, 0, 0,

783 830 868 898 922

0,4788 0,4834 0,4871 0,4901 0,4925

0,4793 0,4838 0,4875 0,4904 0,4927

0,4798 0,4842 0,4878 0,4906 0,4929

0,4803 0,4846 0,4881 0,4909 0,4931

0,4808 0,4850 0,4884 0,4911 0,4932

0,4812 0,4854 0,4887 0,4913 0,4934

0,4817 0,4857 0,4890 0,4916 0,4936

2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

0,4938 0,4953 0,4965 0,4974 0,4981

0,4940 0,4955 0,4966 0,4975 0,4982

0, 0, 0, 0, 0,

941 956 967 976 982

0,4943 0,4957 0,4968 0,4977 0,4983

0,4945 0,4959 0,4969 0,4977 0,4984

0,4946 0,4960 0,4970 0,4978 0,4984

0,4948 0,4961 0,4971 0,4979 0,4985

0,4949 0,4962 0,4972 0,4979 0,4985

*0,4951 0,4963 0,4973 0,4980 0,4986

0,4952 0,4964 0,4974 0,4981 0,4986

3,0

0,4987 0,4987 0, 987 0,4988 0,4988

0,4989

0,4989 0,4989

0,4990

0,4990

3,10 ou + 0,4999

NOTA: Para valores de Z acima de 3,09, use 0,4999 como área. * Use esses valores comuns resu ltantes de interpolação: Escore z Área 1,645 0,4500 2,575 0,4950 [email protected]

106

[Apostila] Estatística Aplicada a Engenharia I

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