Lajes maciças de concreto armado
Prof. João Dirceu N. Carvalho Maringá, 2007
Sumário
1 LAJES.................................... LAJES.................................................. ............................ ............................ ........................... ........................... ............................ ..................1 ....1 1.1 Introdução .......................... ........................................ ............................ ............................ ........................... ........................... ............................1 ..............1 1.2 Vão teórico de lajes ou placas - (NBR-6118 - item 14.7.2.2.) ............................ .............................1 .1 1.3 Ações usuais em lajes de edifícios.............. edifícios. ........................... ............................ ............................ ............................ ................2 ..2 1.4 Classificação .......................... ........................................ ............................ ........................... ........................... ............................ ........................3 ..........3 1.5 Lajes Armadas em Duas Direções ........................... .......................................... ............................. ............................ ................4 ..4 1.5.1 Distribuição das Cargas - Teoria das Grelhas...............................................4 1.5.2 Determinação dos Momentos Fletores............. Fletores ........................... ............................. ............................. ................6 ..6 1.5.3 Determinação das Reações de Apoio - Lajes armadas em Cruz.................10 1.6 Lajes Armadas em Uma Direção ............................. ........................................... ............................. .............................16 ..............16 1.6.1 Determinação dos esforços............................ esforços.......................................... ............................ ............................. ..................16 ...16 1.7 A altura útil út il e a altura mínima ............................ ........................................... ............................. ............................. ...................18 ....18 1.7.1 Altura útil mínima ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ..................21 ....21 1.8 Determinação das flechas em lajes e seus valores limites..................................24 1.8.1 Flecha imediata (elástica)......................................... (elástica)....................................................... ............................. .....................26 ......26 1.8.2 Flecha diferida no tempo............. tempo ............................ ............................. ............................ ............................ .....................29 .......29 1.8.3 Exemplo de aplicação: determinar as alturas para as lajes abaixo..............30 1.9 Extensão e qualidade dos do s apoios. ........................... ......................................... ........................... ........................... .................31 ...31 1.10 Furos e abertura em lajes - NBR 6118 61 18 - item 13.2.5.2 ............................ .....................................32 .........32 2 Organização dos cálculos e detalhamento da armadura. ............................ .......................................... ................34 ..34 2.1 Dispositivos auxiliares de cálculo............. cálculo ............................ ............................. ............................. .............................34 ..............34 2.2 Determinação dos esforços. ............................ .......................................... ............................. ............................. .......................35 .........35 2.2.1 Momentos fletores das lajes isoladas (não compensados)..........................39 2.2.2 Compensação dos momentos fletores ........................... ......................................... ............................ ................39 ..39 2.3 Dimensionamento e detalhamento da armadura.............. armadura ............................ ............................ .....................41 .......41 2.3.1 Armaduras mínimas .......................... ......................................... ............................. ............................ ............................ ...............42 .42 2.4 Detalhes de Formas e armação de lajes ............................ .......................................... ............................. ....................47 .....47 2.5 Cisalhamento em lajes ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ...................50 .....50 3 Anexo 1 - Momentos de Engastamento Eng astamento Perfeito ............................ ........................................... ............................51 .............51
Sumário
1 LAJES.................................... LAJES.................................................. ............................ ............................ ........................... ........................... ............................ ..................1 ....1 1.1 Introdução .......................... ........................................ ............................ ............................ ........................... ........................... ............................1 ..............1 1.2 Vão teórico de lajes ou placas - (NBR-6118 - item 14.7.2.2.) ............................ .............................1 .1 1.3 Ações usuais em lajes de edifícios.............. edifícios. ........................... ............................ ............................ ............................ ................2 ..2 1.4 Classificação .......................... ........................................ ............................ ........................... ........................... ............................ ........................3 ..........3 1.5 Lajes Armadas em Duas Direções ........................... .......................................... ............................. ............................ ................4 ..4 1.5.1 Distribuição das Cargas - Teoria das Grelhas...............................................4 1.5.2 Determinação dos Momentos Fletores............. Fletores ........................... ............................. ............................. ................6 ..6 1.5.3 Determinação das Reações de Apoio - Lajes armadas em Cruz.................10 1.6 Lajes Armadas em Uma Direção ............................. ........................................... ............................. .............................16 ..............16 1.6.1 Determinação dos esforços............................ esforços.......................................... ............................ ............................. ..................16 ...16 1.7 A altura útil út il e a altura mínima ............................ ........................................... ............................. ............................. ...................18 ....18 1.7.1 Altura útil mínima ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ..................21 ....21 1.8 Determinação das flechas em lajes e seus valores limites..................................24 1.8.1 Flecha imediata (elástica)......................................... (elástica)....................................................... ............................. .....................26 ......26 1.8.2 Flecha diferida no tempo............. tempo ............................ ............................. ............................ ............................ .....................29 .......29 1.8.3 Exemplo de aplicação: determinar as alturas para as lajes abaixo..............30 1.9 Extensão e qualidade dos do s apoios. ........................... ......................................... ........................... ........................... .................31 ...31 1.10 Furos e abertura em lajes - NBR 6118 61 18 - item 13.2.5.2 ............................ .....................................32 .........32 2 Organização dos cálculos e detalhamento da armadura. ............................ .......................................... ................34 ..34 2.1 Dispositivos auxiliares de cálculo............. cálculo ............................ ............................. ............................. .............................34 ..............34 2.2 Determinação dos esforços. ............................ .......................................... ............................. ............................. .......................35 .........35 2.2.1 Momentos fletores das lajes isoladas (não compensados)..........................39 2.2.2 Compensação dos momentos fletores ........................... ......................................... ............................ ................39 ..39 2.3 Dimensionamento e detalhamento da armadura.............. armadura ............................ ............................ .....................41 .......41 2.3.1 Armaduras mínimas .......................... ......................................... ............................. ............................ ............................ ...............42 .42 2.4 Detalhes de Formas e armação de lajes ............................ .......................................... ............................. ....................47 .....47 2.5 Cisalhamento em lajes ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ...................50 .....50 3 Anexo 1 - Momentos de Engastamento Eng astamento Perfeito ............................ ........................................... ............................51 .............51
Estruturas em Concreto I – Lajes maciças de concreto armado Prof. João Dirceu
1
1 LAJES 1.1 Introdução As placas de concreto, usualmente denominadas lajes, são elementos de superfície plana (uma das dimensões muito menor que as outras duas) sujeitos principalmente a ações normais ao seu plano. Neste curso serão consideradas as lajes retangulares, submetidas a cargas uniformemente distribuídas e/ou cargas de paredes, suportadas por vigas em todo o seu contorno. Posteriormente, em “Estruturas em Concreto 2”, serão estudadas lajes com outras formas (circular, triangular, em “L”, etc.), com uma ou duas bordas não vinculadas (caso das lajes de cobertura de garagens, das lajes de muros de arrimo etc.). As lajes poderão ter suas bordas simplesmente apoiadas, engastadas, ou livres, e será adotada a convenção abaixo, para representar cada uma destas vinculações. lado simplesmente apoiado lado perfeitamente engastado lado perfeitamente engastado borda livre, ou sem apoio
1.2 Vão teórico de lajes ou placas - (NBR-6118 - item 14.7.2.2.) Quando os apoios puderem ser considerados suficientemente rígidos quanto à translação vertical, o vão efetivo deve ser calculado pela seguinte expressão: ℓef = = ℓ0 + a1 + a2
h t1
ℓ0
t2
⎧0, 5.t1 ⎩0, 3.h
a1 ≤ ⎨
a2
⎧0, 5.t 2 ≤⎨ ⎩0, 3.h
sendo ℓ0 o vão livre (distância entre as faces internas dos apoios). Obs:. Para as lajes é usual se tomar a distância de centro a centro dos apoios (vigas) uma vez que a diferença, normalmente é pequena (a exceção seria o caso das vigas de maior largura, as vigas de transição por exemplo).
DEC - CTC - UEM
2
1.3 Ações usuais em lajes de edifícios. As cargas atuantes nas lajes são as previstas na NBR 6120 (1980). Essas cargas são aplicadas por metro quadrado de laje e podem ser permanentes ou acidentais conforme classificação dada por essa norma. Cargas acidentais ou de utilização Revest. superior
1,0 m
Concreto
1,0 m 1,0 m
Revest. inferior
1,0m
As cargas acidentais ou de utilização são obtidas através da Tabela 2 da NBR 6120 - Valores mínimos das cargas verticais. As cargas permanentes em lajes de edifícios normalmente são constituídas pelo peso próprio da laje de concreto e pelo revestimento, além do peso de paredes e outros elementos quando quando apoiados diretamente diretamente na laje.
•
Peso próprio da laje (por m 2): 1,0 x 1,0 x h laje x γc
•
Revestimeto (por m2): 0,6 a 1,0 kN/m2 (normalmente usa-se 0,75 – 0,80 kN/m 2)
•
Paredes: Lajes armadas em cruz – peso total da parede dividido pela área da laje
Exemplo: Sala de uma residência com laje de 9,0 cm. pp
= 0,09 x 25 = 2,25 kN/m2
revest. = 0,8 kN/m 2 ac.
= 1,5 kN/m2
Total = 4,55 kN/m2
Exemplo: Parede de tijolo furado com 15 cm de espessura e 2,6 m de altura. P par .
= 0,15 x 2,6 x 1,0 x 13 = 5,07 kN/m
se tivermos 2,5 m de parede sobre uma laje maciça armada em cruz com 3,5 x 4,0 m: p par = = 5,07 x 2,5 / (3,5 x 4,0) = 12,675 / 14,0 = 0,9 kN/m 2.
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3
1.4 Classificação De acordo com a relação entre os vãos, uma laje pode ser classificada como: Laje Armada em Uma Direção, quando a relação entre os lados for maior que 2, ou Laje Armada em Duas Direções (Armada em Cruz), quando a relação relação entre os lados for menor ou igual a 2. Vamos entender melhor esta classificação e porque o 2 como divisor, analisemos como se realiza a transferência de cargas para os apoios, em uma grelha. A figura abaixo apresenta duas grelhas, simplesmente apoiadas, sendo uma de vãos ℓ1=ℓ2 e a outra com ℓ3=2ℓ2, ambas submetidas a uma carga concentrada “P” aplicada no cruzamento das vigas (“nó”, cruzamento da “longarina” com a “transversina”). P
P ℓ2 ℓ1 = ℓ2
ℓ1
ℓ3 = 2 ℓ2 ℓ3
Figura 1.1 – Grelhas submetidas à ação de uma carga concentrada. Na grelha da esquerda todas as reações são iguais a 1/4 da carga “P” enquanto na grelha da direita o cálculo nos fornece 1/18 P para as reações do lado maior e 8/18 P para as reações do lado menor, ou seja, para os vão iguais há uma transferência da carga na razão de 50% em cada direção e, para ℓ3 = 2 ℓ2 aproximadamente 11% da carga é transferida na direção direção do vão maior e 89% na direção do vão menor. À medida que a relação entre os vãos aumenta ( ℓ3 >> ℓ2) maior será a transferência de carga para os apoios do vão menor, ou seja, para uma relação de vãos entre 1 e 2 tem-se uma transferência bidirecional de cargas e para relação de vãos maior do que 2 tende-se para uma transferência unidirecional das cargas A transferência bidirecional de cargas é típica dos elementos bidimensionais (as lajes) enquanto a transferência unidirecional das cargas é típica dos elementos unidimensionais (as vigas). Sendo "r", a relação entre os vãos, vamos convencionar:
•
r > 2 → Laje armada em uma direção
•
r ≤ 2 → Lajes armada em duas duas direções direções (em Cruz)
DEC - CTC - UEM
4
1.5 Lajes Armadas em Duas Direções 1.5.1 Distribuição das Cargas - Teoria das Grelhas O cálculo aproximado e feito supondo-se a laje composta por uma série de faixas de 1,0 m de largura, independentes entre si, submetidas a uma carga suposta uniformemente distribuída.Sendo "p" a carga por metro quadrado que atua na laje, temos inicialmente que parte desta carga "p" atua em uma direção e, a outra parte, na outra direção. p = p x
+ py
1.1
A determinação dos quinhões (p x e py ) é feita admitindo-se a Teoria das Grelhas, a partir da hipótese de que a laje é composta por vigas fictícias, independentes entre si, de 1,0 m de largura. Para a laje Armada em Cruz, suposta isolada e apoiada em seus quatro lados, conforme a figura abaixo, tem-se os seguintes valores para as flechas, em cada direção: Na figura abaixo foram adotados os eixos horizontal e vertical (x, y) posteriormente será adotada uma convenção própria para adotá-los.
5 p xlx4 . f x = 384 EI py
4
ℓy
y x
1.2
px
f y
5 p y l y . f y = 384 EI como se trata de uma grelha f x
ℓx
=
p x .lx4
f x
f y
=
p y .l y4
1.3
1.4 1.5
Figura 1.2 – Vigas fictícias em uma laje armada em cruz. e dessa forma obtém-se os quinhões de carga para as direções x e y: p x
=
l y4 l x4 + l y4
p
p y
=
l x4 l x4 + l y4
p
1.6
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5
No caso de Lajes Continuas Armadas em Cruz, o cálculo dos quinhões de carga recai no caso das Lages isoladas, supondo que cada viga ou apoio interno funcione como engastamento perfeito, e cada viga ou apoio externo funcione como apoio simples. Mas é preciso ter cuidado com esta explicação acima. Ela é muito boa para em uma planta de forma determinar de imediato o tipo de laje, mas, é preciso entender que a laje não está engastada na viga. Um painel de laje normalmente é engastado em outro painel de laje, ou seja, a continuidade, o engastamento, se dá entre lajes. Nada impede o engastamento de uma laje em uma viga, alias, esta é uma situação característica das lajes de marquize, mas nesse caso, cuidado!!!, a viga passa a sofrer a ação de momento torçor e precisa ser dimensionada e armada para esta solicitação. O exposto acima pode ser extrapolado para as vigas. Em uma viga contínua, a continuidade, o engastamento, ocorre entre os tramos da viga, sem a participação dos apoios que nesse caso seriam os pilares. Também para as vigas, nada impede que sejam engastadas nos pilares, mas se assim o fizéssemos, teríamos um pórtico. Alterando-se a vinculação de cada um dos apoios, por engastamento perfeito, tem-se um total de 6 (seis) tipos de lajes armadas em cruz: Laje "Tipo 1"
com todas as bordas simplesmente apoiadas,
1
Laje "Tipo 2"
com uma borda engastada,
2
Laje "Tipo 3"
com duas bordas, adjacentes, engastadas,
3
Laje "Tipo 4"
com duas bordas, opostas, engastadas,
4
Laje "Tipo 5"
com três bordas engastadas,
5
Laje "Tipo 6"
com todas as bordas engastadas.
6
Observe que os quinhões de carga determinados anteriormente correspondem à laje “Tipo 1”. Para a determinação dos quinhões de carga para os demais tipos, em cada caso deve-se usar as flechas correspondentes à vinculação das vigas fictícias. A seguir são apresentadas as equações das flechas para vigas submetidas a cargas uniformemente distribuídas, considerando os três tipos de vinculações: simplesmente apoiadas, apoiadas em uma borda e engastadas na outra e bi-engastadas.
DEC - CTC - UEM
6
5 p 4 f = 384 EI
1.7
2 p 4 f = 384 EI
1.8
1 p 4 f = 384 EI
1.9
1.5.2 Determinação dos Momentos Fletores O cálculo das placas por processos exatos é extremamente complexo, uma vez que envolve a solução de uma equação diferencial de quarta ordem. A expressão abaixo mostra a equação geral de placas. p ∂4w ∂4 w ∂4 w 2. + + = − D ∂ x 4 ∂x 2 .∂y 2 ∂y4 D =
E.h3
12. (1 −ν 2 )
sendo:
1.10
1.11 w
o deslocamento vertical
x e y coordenadas de um ponto qualquer p
carga uniformemente distribuída
D
Rigidez à flexão
E
módulo de deformação longitudinal do concreto
ν
coeficiente de Poisson
Calculadas segundo a teoria das placas, os métodos de cálculo são divididos em dois grupos: o Método Clássico - Teoria da Elasticidade - supondo os materiais trabalhando em regime elástico linear e, o Método da Ruptura - Teoria da Plasticidade - supondo os materiais trabalhando em regime rígido-plástico (Teoria das charneiras plásticas). Pelo método clássico, o cálculo das lajes pelos métodos das Diferenças Finitas ou dos Elementos Finitos, levam a resultados quase que exatos, porém, estes métodos, pela sua complexidade, demandam conhecimentos não dominados pela grande maioria dos profissionais da área de engenharia. A necessidade de se ter um cálculo rápido, com um nível de precisão coerente com a atividade da engenharia, e acessível aos profissionais, leva-nos aos processos de cálculo simplificados.
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1.5.2.1 Processo de Marcus O processo de Marcus é um processo de cálculo simplificado, oriundo do Método Clássico, que assimila a laje uma grelha formada por faixas independentes entre si. Marcus introduziu coeficientes de correção αx e αy nas expressões dos momentos fletores positivos, de tal forma que seus resultados se aproximassem aos obtidos através da Teoria da Elasticidade. Pelo Processo de Marcus convenciona-se que os lados da laje serão denominados " ℓx" e "ℓy": ℓx
está na direção mais vinculada e, caso ambas as direções sejam igualmente vinculadas ℓx estará na direção com o menor vão.
e a relação entre os lados será definida como: λ =
y x
1.12
Os momentos fletores positivos em uma laje são determinados supondo-se uma faixa da laje, de 1,0 m de largura carregada pelo quinhão de carga atuante na direção da mesma. O efeito da grelha é introduzido no cálculo destas vigas fictícias através dos coeficientes αx e αy, propostos por Marcus. M x
=
p x . 2x i x
.α x
M y
=
p y . 2y
.α y
iy
1.13
ix e iy podem assumir os valores 8, 14,22 ou 24, conforme o tipo de vinculação, apoio-apoio, engaste-apoio ou engaste-engaste. da equação 13, fazendo-se: p x
=
4 y 4
x
4
+y
. p e p y =
tem-se: M x
=
p x
p.k x . 2x i x
.α x
4 x 4
x
4
+y
= kx . p
.p py
M y
=
= ky . p
p.k y . 2y iy
com
.α y
ky
= 1 − k x
∴ 1.14
rearranjando-se estas formulas, de forma que o numerador tenha sempre a expressão p. x2 , independente da direção ser a “x” ou a “y”, obtém-se:
DEC - CTC - UEM
M x
X x
M y
=
p. x2
⎛ i x ⎞ ⎜ k .α ⎟ ⎝ x x ⎠
=−
=
p.k x . 2x j x
p. y2
⎛ i y ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ α k . ⎝ y y ⎠
=−
=
p. 2x
X x
⎛ j x ⎞ ⎜ k ⎟ ⎝ x ⎠
p. 2y
⎛ iy ⎞ ⎛ x2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ .⎜ 2 ⎟ α k . ⎝ y y ⎠ ⎝ x ⎠ 2
x
=
M x
=
=−
m x
p. 2x nx
1.16
p. x2
⎛ iy ⎞ ⎜⎜ 2 ⎟ ⎟ α λ k . . ⎝ y y ⎠
M y
=
p. 2x m y
1.17
2
j y
.
2
x
=−
1.15
2
p. x
p. x
1.18 X y = − ny ⎛ j y ⎞ ⎜⎜ 2 ⎟ ⎟ λ . k ⎝ y ⎠ onde: jx e jy assumem os valores 8 ou 12, de acordo com a vinculação, engaste-apoio ou X y
=−
p.k y . 2y
⇒
p. x2
8
engaste-engaste. Os coeficientes de Marcus ( αx e αy) são dados pelas expressões abaixo: 20.k y .λ 2 α y = 1 − 3.i y
20.k x α x = 1 − 3.i x .λ 2
Obs.:
1.19
Apenas os momentos fletores positivos são corrigidos pelos coeficientes αx e
αy. Os momentos fletores negativos NÃO!!!
Em resumo:
M x
=
p. x2 m x
My
=
p. 2x my
Xx
=−
sendo, os coeficientes m x, my, nx, e ny, tabelados em função de λ.
p. 2x nx
X y
=−
p. 2x ny
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9
TABELA DE MARCUS Tipo 1 λ 0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60 0,62 0,64 0,66 0,68 0,70 0,72 0,74 0,76 0,78 0,80 0,82 0,84 0,86 0,88 0,90 0,92 0,94 0,96 0,98 1,00 1,02 1,04 1,06 1,08 1,10 1,12 1,14 1,16 1,18 1,20 1,22 1,24 1,26 1,28 1,30 1,32 1,34 1,36 1,38 1,40
Tipo 2
mx my mx my
27 26 25 24 24 23 22 21 21 20 19 19 18 18 17 17 17 16 16 16 15
27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 29 29 29 29 29 30 30
141 126 113 102 93 85 79 73 68 63 59 56 52 50 47 45 43 41 39 37 36 34 33 32 31 30 29 28 27 27 26 25 25 24 24 23 23 22 22 22 21 21 21 21 20 20
45 43 42 40 39 38 37 37 36 35 35 35 35 34 34 34 34 34 35 35 35 35 36 36 36 37 37 38 38 39 39 40 41 41 42 43 43 44 45 46 47 47 48 49 50 51
Tipo 3 nx
59 52 46 41 36 33 30 27 25 23 21 20 19 18 17 16 15 14 14 13 13 12 12 12 11 11 11 11 11 10 10 10 10 10 10 10 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
mx my
37 36 34 33 32 31 30 29 28 28 27 26 26 25 25 24 24 23 23 22 22
37 37 37 37 37 38 38 38 38 39 39 39 40 40 40 41 41 42 42 43 43
nx
16 15 15 14 14 13 13 13 12 12 12 12 11 11 11 11 11 10 10 10 10
Tipo 4 ny
16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17 18 18 18 18 19 19 19 19 20
mx my 137 124 112 103 96 88 82 76 71 67 64 60 58 55 53 50 49 47 45 44 42 41 40 39 38 37 37 36 35 35 34 34 33 33 32 32 32 31 31 31 30 30 30 30 29 29
50 48 47 46 45 45 44 44 44 44 44 44 45 45 46 46 47 48 48 49 50 51 52 53 55 56 57 58 60 61 63 64 66 67 69 71 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90
Tipo 5 nx
mx my
50 45 40 36 33 31 28 26 25 23 22 21 20 19 18 18 17 17 16 16 16 15 15 15 15 14 14 14 14 14 14 14 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13
146 216 192 171 153 139 126 115 106 98 91 84 79 74 70 66 63 60 57 55 53 51 49 47 46 44 43 42 41 40 39 38 37 37 36 35 35 34 34 33 33 32 32 32 31 31
71 68 65 62 59 57 56 54 53 52 51 50 49 49 49 48 48 48 48 48 49 49 49 50 50 51 51 52 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 67 68 69 70
Tipo 6
nx
ny
mx my
nx
ny
108 94 83 73 65 58 53 48 44 40 37 34 32 30 28 27 25 24 23 22 21 20 20 19 19 18 18 17 17 16 16 16 16 15 15 15 15 15 14 14 14 14 14 14 14 14
36 34 32 31 29 28 27 26 25 25 24 24 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 24 24 24 25 25 26 26 26 27 27 28 29 29 30 30 31 32 32 33 34 35 35
56 54 52 50 48 47 45 44 43 42 41 40 39 38 38 37 36 36 35 35 34
24 23 22 22 21 20 20 19 19 18 18 17 17 17 16 16 16 16 16 15 15
24 24 24 24 24 24 25 25 25 25 26 26 26 27 27 27 28 28 29 29 30
56 56 56 56 56 57 57 57 58 58 59 59 60 61 62 62 63 64 65 66 67
DEC - CTC - UEM
10
TABELA DE MARCUS - continuação Tipo 1 λ 1,40 1,42 1,44 1,46 1,48 1,50 1,52 1,54 1,56 1,58 1,60 1,62 1,64 1,66 1,68 1,70 1,72 1,74 1,76 1,78 1,80 1,82 1,84 1,86 1,88 1,90 1,92 1,94 1,96 1,98 2,0
Tipo 2
Tipo 3
Tipo 4
Tipo 5
Tipo 6
mx my mx my
nx
mx my
nx
ny
mx my
nx
mx my
nx
ny
mx my
nx
ny
15 15 15 14 14 14 14 13 13 13 13 13 13 12 12 12 12 12 12 12 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
22 22 21 21 21 21 20 20 20 20 19 19 19 19 19 19 18 18 18 18 18 18 18 18 18 17 17 17 17 17 17
10 10 10 10 10 10 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
20 20 20 21 21 22 22 22 23 23 24 24 24 25 25 26 26 27 27 28 28 29 29 30 31 31 32 32 33 33 34
29 29 29 29 28 28 28 28 28 28 28 28 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 26 26 26 26 26 26 26 26
13 13 13 13 13 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12
31 31 30 30 30 30 29 29 29 29 29 29 28 28 28 28 28 28 28 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27
14 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 12 12 12 12 12 12 12
35 36 37 38 39 40 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 57 58 59 60 61 62 64 65 66
34 34 33 33 32 32 32 31 31 31 31 30 30 30 30 29 29 29 29 29 29 28 28 28 28 28 28 28 27 27 27
15 15 15 15 15 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13
30 30 31 31 32 32 33 34 34 35 35 36 37 37 38 39 40 40 41 42 43 43 44 45 46 47 47 48 49 50 51
30 30 30 31 31 31 32 32 32 33 33 33 34 34 34 35 35 36 36 37 37 38 38 39 39 40 40 41 41 42 42
20 20 20 19 19 19 19 19 19 18 18 18 18 18 18 18 18 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 16
51 52 53 54 55 56 57 58 60 61 62 63 64 66 67 68 69 71 72 73 75 76 77 79 80 82 83 85 86 88 89
43 44 45 45 46 46 47 48 48 49 50 51 51 52 53 54 55 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68
90 92 94 96 98 101 103 105 108 110 113 115 118 120 123 125 128 131 134 136 139 142 145 148 151 154 157 160 163 166 168
70 72 73 75 76 78 79 81 82 84 86 87 89 91 93 94 96 98 100 102 104 106 108 110 112 114 116 118 120 122 124
67 68 69 70 71 72 73 74 76 77 78 79 81 82 84 85 86 88 89 91 92 94 96 97 99 100 102 104 106 107 109
1.5.3 Determinação das Reações de Apoio - Lajes armadas em Cruz A NBR 6118, item 14.7.6, permite o cálculo das reações de apoio de lajes maciças retangulares com cargas uniformemente distribuídas, considerando-se para cada apoio carga correspondente aos triângulos e trapézios obtidos, traçando-se a partir dos vértices, na planta da laje, retas inclinadas de:
•
45º
entre dois apoios do mesmo tipo
•
60º
a partir do apoio engastado quando o outro for livremente apoiado
•
90º
a partir do apoio quando a borda vizinha for livre.
Estruturas em Concreto I – Lajes maciças de concreto armado Prof. João Dirceu
45º
60º
11
90º
Uma laje “Tipo 2” tem as áreas de influência dos apoios conforme apresentado na figura abaixo, onde S 1 é a área de influência da Viga V 101, S 2 é a área de influência da Viga V 102, e S3 e S4 das vigas V 103 e V104 respectivamente. V101
60º
45º
S1 V103 S3
S4
S2
60º
V101
V104
y
45º
x
a expressão de cada uma das áreas e determinada a seguir:
Área S1 = S2
x
S 1
0,5 ℓy 0,866 ℓ
a
=
x
+ ( x − 1,366 x ) y . 2 2
( 2 S = x
0,5 ℓ
y
1
− 1,366 2y ) 1 . 2 4
como a carga por metro quadrado de laje é “p”, a carga por metro linear a ser
descarregada na V 101 será a carga total aplicada na área “S 1” distribuída no vão da Viga 101. p1
= V y =
p.S 1 x
60º
=
p. y
2
(1 − 0,683λ )
p1
= V y =
p y
2
K y
sendo K y = (1 − 0, 683.λ )
Área S3 y .h
S 3
=
p3
= V x' =
y
2
60º
onde
=
y .0,866. y
2
p.S3 y
K x'
=
p. x
2
1 = .0,866. y2 2
( 0,866.λ )
= ( 0,866.λ )
p3
= Vx' =
p. x
2
.K x'
DEC - CTC - UEM
12
Área S4
y
y .
h
S 4
=
p4
= V x =
45º
2
45º
p4
=
p. x
2
.K x sendo:
K x
= ( 0,5.λ )
y
p.S 4
p. x
1 1 . = 2y . 2 2 4
= y .
y
=
2
( 0,5.λ )
onde: p
é a carga (por metro quadrado) que solicita a laje,
p1
é a carga (por metro linear) que solicita a viga V 101, devido à laje
p3
é a carga (por metro linear) que solicita a viga V 103, devido à laje
p4
é a carga (por metro linear) que solicita a viga V 104, devido à laje
K y
é o coeficiente de carga na direção “y”
K x
é o coeficiente de carga na direção “x”, para o lado apoiado.
K ’x
é o coeficiente de carga na direção “x”, para o lado engastado.
A seguir são tabelados os coeficientes k x , k y , k x' e k y' em função de λ, para os diferentes tipos de lajes.
V x
= k x .
V y
= k y .
V x'
= k x' .
V y'
= k y' .
p. x
1.20
1.21
1.22
1.23
2
p. y
2
p. x
2 p. y
2
Estruturas em Concreto I – Lajes maciças de concreto armado Prof. João Dirceu
13
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO NBR 6118 - item 14.7.6
Tipo de Laje Kx Ky Ky Kx
x
2A
Ky Kx K’x Ky
λ≤0,73
2B
Ky Kx K’x Ky
λ≥0,73
K’x Ky K’y Kx
x
Ky K’x K’x Ky
λ≤0,58
Ky K’x K’x Ky
λ≥0,58
K’x Ky K’y K’x
x
5B
K’x Ky K’y K’x
x
6
K’x K’y K’y K’x
x
1
3
4A
4B
5A
kx
λ
V x
= kx .
λ≥1,00
λ≥1,00
1,000 −
k’x
0,500
0,500
λ
λ
0,500λ
0,730 − 0,730 −
0,267 λ
0,365 λ
1270 , −
1000 , − 1000 , −
0,463
0,365
λ
λ
0,635
0,365
0,635
λ
λ
λ
1,000 − 0865λ
0,290
0,290
λ
λ
0,395
0,290
0,500
λ
λ
λ
0,635λ
λ≤0,79 λ≥1,00
2
− 1270 ,
− 1000 ,
Vy
= ky .
p. y
2
Vx'
k’y
1,000 − 0682λ
0,865λ
0,865λ
λ≥0,79
p. x
ky
0,730 − 0463λ 1,270 − 0807λ
0,500
0,500
λ
λ
= kx' .
p. x
2
Vy'
= k y' .
p. y
2
DEC - CTC - UEM
14
REAÇÕES DE APOIO
λ 0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60 0,62 0,64 0,66 0,68 0,70 0,72 0,74 0,76 0,78 0,80 0,82 0,84 0,86 0,88 0,90 0,92 0,94 0,96 0,98 1,00 1,02 1,04 1,06 1,08 1,10 1,12 1,14 1,16 1,18 1,20 1,22 1,24 1,26 1,28 1,30 1,32 1,34 1,36 1,38 1,40
Tipo 1 k x k y
0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,55 0,56 0,57 0,58 0,58 0,59 0,60 0,60 0,61 0.62 0,62 0,63 0,63 0,64 0,64
0,50 0,49 0,48 0,47 0,46 0,45 0,45 0,44 0,43 0,42 0,42 0,41 0,40 0,40 0,39 0,38 0,38 0,37 0,37 0,36 0,36
Tipo 2 k x k’x k y 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,40 0,41 0,42 0,43 0,43 0,44 0,45 0,45 0,46 0,46 0,47 0,47 0,48 0,48 0,49 0,49 0,50 0,50 0,50 0,51 0,51 0,51 0,52 0,52 0,52 0,53 0,53 0,53 0,54 0,54
0,43 0,45 0,47 0,48 0,50 0,52 0,54 0,55 0,57 0,59 0,61 0,62 0,64 0,66 0,68 0,69 0,71 0,72 0,73 0,74 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,86 0,87 0,88 0,88 0,89 0,90 0,90 0,91 0,91 0,92 0,92 0,93 0,93 0,94
0,66 0,65 0,63 0,62 0,60 0,59 0,58 0,56 0,55 0,54 0,52 0,51 0,49 0,48 0,47 0,46 0,45 0,43 0,42 0,41 0,41 0,40 0,39 0,38 0,37 0,37 0,36 0,35 0,34 0,34 0,33 0,33 0,32 0,31 0,31 0,30 0,30 0,29 0,29 0,29 0,28 0,28 0,27 0,27 0,26 0,26
k x
0,36 0,37 0,38 0,39 0,39 0,40 0,40 0,41 0,42 0,42 0,43 0,43 0,44 0,44 0,44 0,45 0,45 0,46 0,46 0,47 0,47
Tipo 3 k’x k y
0,63 0,65, 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,77 0,78 0,79 0,80 0,80 0,81 0,82
0,37 0,36 0,35 0,34 0,34 0,33 0,33 0,32 0,31 0,31 0,30 0,30 0,29 0,29 0,29 0,28 0,28 0,27 0,27 0,26 0,26
k’y
Tipo 4 k’x k y
Tipo 5 k’x k y k’y
0,64 0,63 0,62 0,61 0,59 0,58 0,57 0,56 0,55 0,54 0,53 0,52 0,51 0,50 0,50 0,49 0,48 0,47 0,47 0,46 0,45
0,43 0,45 0,47 0,48 0,50 0,52 0,53 0,55 0,56 0,57 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,65 0,66 0,67 0,68 0,68 0,69 0,70 0,70 0,71 0,72 0,72 0,73 0,73 0,74 0,74 0,75 0,75 0,75 0,76 0,76 0,77 0,77 0,77 0,78 0,78 0,78 0,79 0,79 0,79
0,32 0,33 0,34 0,36 0,37 0,38 0,39 0,41 0,42 0,43 0,44 0,46 0,47 0,48 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,60 0,61 0,62 0,63 0,63 0,64 0,65 0,65 0,66 0,67 0,67 0,68 0,68 0,69 0,69 0,70 0,70 0,71 0,71 0,71 0,72
0,57 0,55 0,53 0,52 0,50 0,48 0,47 0,45 0,44 0,43 0,41 0,40 0,39 0,68 0,37 0,36 0,35 0,35 0,34 0,33 0,32 0,32 0,31 0,30 0,30 0,29 0,28 0,28 0,27 0,27 0,26 0,26 0,25 0,25 0,25 0,24 0,24 0,23 0,23 0,23 0,22 0,22 0,22 0,21 0,21 0,21
0,50 0,49 0,48 0,47 0,46 0,45 0,44 0,43 0,42 0,42 0,41 0,40 0,39 0,38 0,37 0,36 0,35 0,35 0,34 0,33 0,32 0,32 0,31 0,30 0,30 0,29 0,28 0,28 0,27 0,27 0,26 0,26 0,25 0,25 0,25 0,24 0,24 0,23 0,23 0,23 0,22 0,22 0,22 0,21 0,21 0,21
0,87 0,85 0,83 0,82 0,80 0,79 0,77 0,75 0,74 0,72 0,71 0,69 0,67 0,66 0,64 0,63 0,61 0,60 0,58 0,57 0,60 0,54 0,53 0,52 0,51 0,50 0,49 0,48 0,47 0,46 0,45 0,45 0,44 0,43 0,42 0,42 0,41 0,40 0,40 0,39 0,38 0,38 0,37 0,37 0,36 0,36
Tipo 6 k’x k’y
0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,55 0,56 0,57 0,58 0,58 0,59 0,60 0,60 0,61 0,62 0,62 0,63 0,63 0,64 0,64
0,50 0,49 0,48 0,47 0,46 0,45 0,45 0,44 0,43 0,42 0,42 0,41 0,40 0,40 0,39 0,38 0,38 0,37 0,37 0,36 0,36
Estruturas em Concreto I – Lajes maciças de concreto armado Prof. João Dirceu
15
REAÇÕES DE APOIO - CONTINUAÇÃO Tipo 1 k x k y 1,42 1,44 1,46 1,48 1,50 1,52 1,54 1,56 1,58 1,60 1,62 1,64 1,66 1,68 1,70 1,72 1,74 1,76 1,78 1,80 1,82 1,84 1,86 1,88 1,90 1,92 1,94 1,96 1,98 2,00
0,65 0,65 0,66 0,66 0,67 0,67 0,68 0,68 0,68 0,69 0,69 0,70 0,70 0,70 0,71 0,71 0,71 0,72 0,72 0,72 0,73 0,73 0,73 0,73 0,74 0,74 0,74 0,74 0,75 0,75
Tipo 2 k x k’x k y
0,35 0,35 0,34 0,34 0,33 0,33 0,32 0,32 0,32 0,31 0,31 0,30 0,30 0,30 0,29 0,29 0,29 0,28 0,28 0,28 0,27 0,27 0,27 0,27 0,26 0,26 0,26 0,26 0,25 0,25
0,54 0,54 0,55 0,55 0,55 0,55 0,56 0,56 0,56 0,56 0,57 0,57 0,57 0,57 0,57 0,57 0,58 0,58 0,58 0,58 0,58 0,58 0,59 0,59 0,59 0,59 0,59 0,59 0,60 0,60
V x
= kx .
0,94 0,95 0,95 0,96 0,96 0,97 0,97 0,97 0,98 0,98 0,98 0,99 0,99 0,99 1,00 1,00 1,00 1,01 1,01 1,01 1,02 1,02 1,02 1,02 1,03 1,03 1,,03 1,03 1,04 1,04
p. x
2
0,26 0,25 0,25 0,25 0,24 0,24 0,24 0,23 0,23 0,23 0,23 0,22 0,22 0,22 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,20 0,20 0,20 0,20 0,19 0,19 0,19 0,19 0,19 0,18 0,18
Vy
k x 0,47 0,48 0,48 0,48 0,49 0,49 0,49 0,50 0,50 0,50 0,50 0,51 0,51 0,51 0,52 0,52 0,52 0,52 0,52 0,53 0,53 0,53 0,53 0,54 0,54 0,54 0,54 0,54 0,55 0,55
= ky .
Tipo 3 k’x k y 0,82 0,83 0,84 0,84 0,85 0,85 0,86 0,86 0,87 0,87 0,88 0,88 0,89 0,89 0,90 0,90 0,91 0,91 0,91 0,92 0,92 0,92 0,93 0,93 0,94 0,94 0,94 0,95 0,95 0,95
p. y
2
0,26 0,25 0,25 0,25 0,24 0,24 0,24 0,23 0,23 0,23 0,23 0,22 0,22 0,22 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,20 0,20 0,20 0,20 0,19 0,19 0,19 0,19 0,19 0,18 0,18
k’y
Tipo 4 k’x k y
Tipo 5 Tipo 6 k’x k y k’y k’x k’y
0,45 0,44 0,43 0,43 0,42 0,42 0,.41 0,41 0,40 0,40 0,39 0,39 0,38 0,38 0,37 0,37 0,36 0,36 0,36 0,35 0,35 0,35 0,34 0,34 0,33 0,33 0,33 0,32 0,32 0,32
0,80 0,80 0,80 0,80 0,81 0,81 0,81 0,81 0,82 0,82 0,82 0,82 0,83 0,83 0,83 0,83 0,83 0,84 0,84 0,84 0,84 0,84 0,84 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85
0,72 0,73 0,73 0,73 0,74 0,74 0,74 0,75 0,75 0,75 0,76 0,76 0,76 0,76 0,77 0,77 0,77 0,78 0,78 0,78 0,78 0,79 0,79 0,79 0,79 0,79 0,80 0,80 0,80 0,80
Vx'
= kx' .
p. x
2
0,20 0,20 0,20 0,20 0,19 0,19 0,19 0,19 0,18 0,18 0,18 0,18 0,17 0,17 0,17 0,17 0,17 0,16 0,16 0,16 0,16 0,16 0,16 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15
Vy'
0,20 0,20 0,20 0,20 0,19 0,19 0,19 0,19 0,18 0,18 0,18 0,18 0,17 0,17 0,17 0,17 0,17 0,16 0,16 0,16 0,16 0,16 0,16 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15
= k y' .
0,35 0,35 0,34 0,34 0,33 0,33 0,32 0,32 0,32 0,31 0,31 0,30 0,30 0,30 0,29 0,29 0,29 0,28 0,28 0,28 0,27 0,27 0,27 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,25 0,25
p. y
2
0,65 0,65 0,66 0,66 0,67 0,67 0,68 0,68 0,68 0,69 0,69 0,70 0,70 0,70 0,71 0,71 0,71 0,72 0,72 0,72 0,73 0,73 0,73 0,73 0,74 0,74 0,74 0,74 0,75 0,75
0,35 0,35 0,34 0,34 0,33 0,33 0,32 0,32 0,32 0,31 0,31 0,30 0,30 0,30 0,29 0,29 0,29 0,28 0,28 0,28 0,27 0,27 0,27 0,27 0,26 0,26 0,26 0,26 0,25 0,25
DEC - CTC - UEM
16
1.6 Lajes Armadas em Uma Direção Conforme visto anteriormente, para uma relação entre os lados maior ou igual a 2 a transferência de cargas na direção do lado maior torna-se desprezível. Estas lajes serão calculadas apenas na direção do menor lado, ou seja, em apenas uma direção É importante observar que na realidade estas lajes também são armadas nas duas direções. Como na direção de maior vão as solicitações são muito pequenas despreza-se o cálculo nessa direção, adotando-se uma armadura mínima conforme recomendações da NBR 6118 – item 19.3.3.2: “uma armadura de distribuição com seção transversal de área igual ou superior a 1/5 da área da armadura principal, com um mínimo de 0,9 cm 2, composta de pelo menos três barras”. Armadura principal (a ser calculada) Armadura de distribuição (estipulada por Norma)
Figura 1.3 – Disposição das armaduras nas lajes armadas em uma direção
1.6.1 Determinação dos esforços Os esforços nas lajes armadas em uma direção serão determinados através do cálculo de uma viga fictícia de 1,0 m de largura. Esta viga fictícia, de acordo com as vinculações da laje, poderá ser bi-apoiada, apoiada-engastada, ou bi-engastada. A determinação dos esforços nessas vigas é bastante simples. A primeira delas, a bi-apoiada, é uma estrutura isostática e como já foi visto em “Mecânica dos Sólidos”, não há necessidade de maiores comentários. As outras duas, a engastada-apoiada e a bi-engastada, são hiperestáticas, e como o assunto ainda não foi abordado em “Mecânica das Estruturas”, vamos rapidamente abordar a determinação dos seus esforços, com a ajuda da “Tabela dos Momentos de Engastamento Perfeito”. Estas vigas de apenas um tramo, é o se chama de “estrutura elementar” e já foram calculadas, submetidas aos mais diversos carregamentos, sempre aplicados individualmente. Por exemplo: carga concentrada, carga uniformemente distribuída, carga uniformemente
Estruturas em Concreto I – Lajes maciças de concreto armado Prof. João Dirceu
17
distribuída parcialmente, carga momento, carga triangular, trapezoidal etc. Estes cálculos foram feitos literalmente, ou seja, como resultado tem-se uma equação. Estas equações estão dispostas em forma de tabelas, denominadas Tabelas de Momentos de Engastamento Perfeito. Dependendo do momento ser no apoio esquerdo ou direito da viga, as equações poderão vir com o sinal positivo ou negativo. Isto se deve ao fato de estas tabelas serem utilizadas para estruturas de barras em geral, vigas contínuas, pórticos etc., e seguirem uma convenção denominada “Convenção de Grinter”. Este assunto será visto em detalhes em “Mecânica das Estruturas”. Por enquanto, como estamos trabalhando com vigas, os momentos fletores nos apoios serão sempre negativos. A tabela dos Momentos de Engastamento Perfeito nos fornece a incógnita hiperestática “Mf”, ou seja a viga à direita pode ser facilmente calculada como uma viga isostática (o fato de não haver cargas horizontais torna nula a incógnita horizontal do apoio do segundo gênero à esquerda). p A
Mf HA
B
p
R A
Nesse exemplo: da tabela de Momentos de Engastamento Perfeito: M f = m ' = A p
2
2
p
p
8
8
P 2
8
Reações nos apoios A e B:
B p
R B
Σ Fy = 0
R A = 5/8.p.ℓ
Σ Mf (A) = 0 e Σ MF(B) = 0
R B = 3/8.p.ℓ
O momento fletor máximo positivo acorrerá no ponto onde o esforço cortante será nulo. p.x =
p
3 . p. 8
→
x=
3 . 8 2
x
3 p 8
Mf max +
3 3 p. ( 3 8. ) 9 9 = . p. . . − = . p. 2 − . p. 2 8 8 2 64 128
9 p.2 2 . p. = Mf max + = 128 14, 22
DEC - CTC - UEM
18
Para cargas uniformemente distribuídas:
A M max
B
ℓ
=
p.
A
2
M A
8
1 do apoio A 2 1 R A = RB = p. 2 x =
ℓ
=−
p.
M max + =
B
A
2
M A
8 p 2
= M B = −
M max +
14,22
B
ℓ
=
p.
2
12
p. 2
24
1 do apoio A 2 1 R A = RB = . p. 2
5 . do apoio A 8 5 3 R A = p. RB = p. 8 8
x =
x =
Se esta viga estivesse submetida a uma cominação de cargas, como o exemplo abaixo, o n
Princípio da Superposição do Efeitos nos permite fazer: Mf = ∑ MEPi . i =1
p2
P p1
A
ℓ
B
p2
Mf HA
P p1
R A
ℓ
R B
Ou seja, a somatória dos momentos de engastamento perfeito de cada uma das cargas que carregam a viga e o momento fletor máximo positivo acorrerá no ponto onde o esforço cortante será nulo.
1.7 A altura útil e a altura mínima É importante que se diferencie o conceito de “altura” e “altura útil”. A altura é a espessura total da laje, da viga ou de um elemento estrutural qualquer, enquanto a altura útil e a distância do centro de gravidade da armadura até a borda comprida do elemento. A figura abaixo exemplifica para o caso das lajes e das vigas (neste caso, uma viga com armadura disposta em duas camadas) a diferença entre estas duas “alturas”, ou seja: h = d + y cg
Equação 24
onde ycg é a distância do centro de gravidade da armadura até a borda tracionada.
Estruturas em Concreto I – Lajes maciças de concreto armado Prof. João Dirceu Laje
19
h = d + ycg d
h
ycg = φ/2 + c
ycg
Figura 1.4 – Altura e altura útil de lajes.
A armadura usada em lajes de edifícios normalmente tem diâmetros de 5,0 ou 6,3 mm. Excepcionalmente (lajes de grandes vãos e carregamentos) usa-se em edificações o φ 8,0 mm. Para melhor entendimento desta variável “y cg”, a figura abaixo detalha a seção da viga acima. O item 6.4 da NBR 6118 (Tabela 6.1 da norma) classifica o risco de deterioração da estrutura em função da agressividade do ambiente. Observa-se que as lajes de edifícios normalmente são protegidas, ou seja, são elementos internos da edificação e revestidas, sendo permitida por norma a adoção de uma classe de agressividade mais branda (um nível acima), possibilitando, dessa forma seu enquadramento na Classe de Agressividade Ambiental I e, portanto, agressividade fraca (ficam excluídas dessa consideração as edificações industriais e as situadas em regiões litorâneas). O cobrimento nominal da armadura (c nom) e tratado pela NBR 6118 nos itens 7.4.7.1 a 7.4.7.7. O cobrimento nominal é definido como o cobrimento mínimo (c min) acrescido da tolerância de execução ( ∆c maior ou igual a 10 mm). A proteção da armadura visa principalmente evitar o processo de corrosão dos aços, que ocorre com a simples umidade do ar, comprometendo a vida útil da estrutura. Esta proteção normalmente é feita através de uma camada de concreto com uma espessura mínima em função do revestimento (ou não) do elemento e das condições ambientais (agressividade do meio ambiente). Para lajes de concreto armado, a Tabela 7.2 da NBR 6118 estabelece para a classe de agressividade ambiental I um cobrimento nominal de 20 mm ( ∆c = 10 mm) admitindo-se sua
redução para 15 mm ( ∆c = 5 mm) quando houver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medidas durante a execução. Observa-se que o cobrimento da armadura é fundamental para a qualidade e durabilidade do concreto armado e, dessa forma, considera-se de extrema importância que se conste no projeto o controle de qualidade e tolerância do cobrimento.
DEC - CTC - UEM
20
Como a armação das lajes é disposta em duas malhas ortogonais superpostas, deve-se atentar para o centro de massa das armaduras, conforme mostrado na figura abaixo, onde se mostra que uma das malhas tem um y cg = cnom + 0,5 φ e a outra malha um y cg = cnom + 1,5 φ. Como não se sabe qual das amaduras estará na malha inferior ou na superior considera-se y cg referente à malha superior e, dessa forma, para o caso de classe de agressividade ambiental I e ∆c = 5 mm, pode-se adotar para y cg os valores dados abaixo: φ
½ .φ .φ cnom
½ .φ cnom
φ5,0 ou 6,3 mm
ycg = 2,5 cm
φ8,0 ou 10 mm
ycg = 3,0 cm
O posicionamento da armadura dentro da forma para que, mesmo durante a concretagem e vibração do concreto, as barras permaneçam em suas posições, conservando o cobrimento de concreto especificado em projeto, é feito através do uso de distanciadores, que podem ser feitos na obra ou industrializados Os distanciadores (bolachas, pastilhas, cocadas etc.) feitos na obra, consistem de uma pequena placa de pasta de concreto, com a espessura que se pretende dar ao cobrimento de concreto, com traço superior ao do elemento a ser concretado, com um pedaço de arame recozido, trançado, chumbado na mesma, conforme mostra a figura abaixo.
Figura 1.5 – Distanciadores de armadura executados na obra
Os distanciadores industrializados, normalmente são de plástico, de alta resistência, apresentando forma e dimensões variadas. Como exemplo, na figura a seguir são apresentados alguns dos distanciadores. No Brasil existem vários fabricantes destes distanciadores, podendo ser citados a COPLAS©, JERUELPLAST© e a HOMERPLAST©.
Estruturas em Concreto I – Lajes maciças de concreto armado Prof. João Dirceu
21
Figura 1.6 – Distanciadores de armadura industrializados
Um distanciador muito comum para armaduras de laje negativas é o “caranguejo”, feito na obra com sobras de ferros 5,0 mm. Veja o detalhe da fixação na figura abaixo, o distanciador é amarrado na malha da armadura positiva, não encostando nas formas.
Figura 1.7 – Distanciadores de armadura industrializados
1.7.1 Altura útil mínima No dimensionamento das lajes deve-se ter um cuidado especial com a determinação de suas alturas. O seu dimensionamento à ruptura (ELU) como vigas fictícias de 100 cm de largura e, sujeitas a carregamentos relativamente pequenos, possibilita a obtenção de pequenas espessuras para as lajes, mas, uma característica das placas e sua grande deformabilidade, ou seja flechas excessivas. Dessa forma, para o dimensionamento das lajes, suas alturas devem ser obtidas em função do estado limite de utilização e não o de serviço, ou seja, as alturas devem ser determinadas de forma a limitar flechas excessivas e, uma vez determinadas, calcula-se a armadura necessária.
DEC - CTC - UEM
22
A NBR 6118 (2003) em seu item 13.3 prescreve os deslocamentos limites e em sua Tabela 13.2 apresenta os limites para os deslocamentos, porém, omite os critérios para a determinação da altura útil mínima e, portanto recomenda-se a utilização do disposto na NBR 6118 (1980), item 4.2.3.1.C. “Em vigas de seção retangular ou T e lajes maciças retangulares de edifícios serão consideradas atendidas as condições a e b e dispensar-se-á o cálculo das flechas quando a altura útil d não for inferior ao valor
(ψ 2 .ψ 3 ) . Essa expressão era
conservadora, pois não “considerava” a carga aplicada e, normalmente fornecia alturas de lajes muito superiores às determinadas em função das flechas máximas e, dessa forma, recomenda-se como estimativa para a altura das lajes o uso da expressão dada pela equação 1.24, usando-se “h” e arredondando-se para baixo o valor obtido para lajes de edifícios. h≥
ψ 2 .ψ 3
Sendo:
1.24 ℓ
o menor lado
ψ2
coeficiente dependente das vinculações e dimensões da laje
ψ3
coeficiente dependente do tipo do aço
VALORES DE 3 Aço CA 25 CA 50 CA 60
ψ3 Vigas e lajes nervuradas 25 17 15
Valores de
2 –
.ψ2 = 1,0
Lajes maciças 35 25 20
Vigas e lajes armadas em uma direção
ψ2 = 1,2
ψ2 = 1,7
ψ2 = 0,5
A seguir apresenta-se a tabela dos coeficientes ψ2 para lajes armadas em duas direções. Nessa tabela adaptou-se as recomendação da Norma para a convenção de Marcus, ou seja, o mesmo
λ usado para as tabelas de Marcus, é utilizado para a determinação do coeficiente ψ2.
Estruturas em Concreto I – Lajes maciças de concreto armado Prof. João Dirceu VALORES DE
2 -
23
LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES (Convenção de Marcus)
λ 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99
T1
T2 1,10 1,12 1,15 1,17 1,19 1,21 1,23 1,25 1,27 1,28 1,30 1,32 1,33 1,35 1,36 1,38 1,39 1,40 1,42 1,43 1,44 1,45 1,47 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,63 1,64 1,65 1,65 1,66 1,67 1,68 1,68 1,69 1,69
T3
T4
T5
1,20 1,23 1,25 1,28 1,30 1,33 1,35 1,37 1,39 1,41 1,43 1,45 1,47 1,49 1,51 1,52 1,54 1,56 1,57 1,58 1,60 1,61 1,63 1,64 1,65 1,67 1,68 1,69 1,70 1,71 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79 1,80 1,80 1,81 1,82 1,83 1,84 1,85 1,86 1,86 1,87 1,88 1,89 1,89
1,40 1,42 1,45 1,47 1,49 1,51 1,53 1,55 1,57 1,58 1,60 1,62 1,63 1,65 1,66 1,68 1,69 1,70 1,72 1,73 1,74 1,75 1,77 1,78 1,79 1,80 1,81 1,82 1,83 1,84 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,93 1,94 1,95 1,95 1,96 1,97 1,98 1,98 1,99 1,99
T6
λ
T1
T2
T3
T4
T5
T6
1,00 1,02 1,04 1,06 1,08 1,10 1,12 1,14 1,16 1,18 1,20 1,22 1,24 1,26 1,28 1,30 1,32 1,34 1,36 1,38 1,40 1,42 1,44 1,46 1,48 1,50 1,52 1,54 1,56 1,58 1,60 1,62 1,64 1,66 1,68 1,70 1,72 1,74 1,76 1,78 1,80 1,82 1,84 1,86 1,88 1,90 1,92 1,94 1,96 1,98 2,00
1,50 1,49 1,48 1,48 1,47 1,46 1,45 1,44 1,44 1,43 1,42 1,41 1,40 1,40 1,39 1,38 1,37 1,36 1,36 1,35 1,34 1,33 1,32 1,32 1,31 1,30 1,29 1,28 1,28 1,27 1,26 1,25 1,24 1,24 1,23 1,22 1,21 1,20 1,20 1,19 1,18 1,17 1,16 1,16 1,15 1,14 1,13 1,12 1,12 1,11 1,10
1,70 1,69 1,69 1,68 1,68 1,67 1,66 1,66 1,65 1,65 1,64 1,63 1,63 1,62 1,62 1,61 1,60 1,60 1,59 1,59 1,58 1,57 1,57 1,56 1,56 1,55 1,54 1,54 1,53 1,53 1,52 1,51 1,51 1,50 1,50 1,49 1,48 1,48 1,47 1,47 1,46 1,45 1,45 1,44 1,44 1,43 1,42 1,42 1,41 1,41 1,40
1,80 1,79 1,78 1,78 1,77 1,76 1,75 1,74 1,74 1,73 1,72 1,71 1,70 1,70 1,69 1,68 1,67 1,66 1,66 1,65 1,64 1,63 1,62 1,62 1,61 1,60 1,59 1,58 1,58 1,57 1,56 1,55 1,54 1,54 1,53 1,52 1,51 1,50 1,50 1,49 1,48 1,47 1,46 1,46 1,45 1,44 1,43 1,42 1,42 1,41 1,40
1,90 1,90 1,89 1,89 1,88 1,88 1,88 1,87 1,87 1,86 1,86 1,86 1,85 1,85 1,84 1,84 1,84 1,83 1,83 1,82 1,82 1,82 1,81 1,81 1,80 1,80 1,80 1,79 1,79 1,78 1,78 1,78 1,77 1,77 1,76 1,76 1,76 1,75 1,75 1,74 1,74 1,74 1,73 1,73 1,72 1,72 1,72 1,71 1,71 1,70 1,70
2,00 1,99 1,99 1,98 1,98 1,97 1,96 1,96 1,95 1,95 1,94 1,93 1,93 1,92 1,92 1,91 1,90 1,90 1,89 1,89 1,88 1,87 1,87 1,86 1,86 1,85 1,84 1,84 1,83 1,83 1,82 1,81 1,81 1,80 1,80 1,79 1,78 1,78 1,77 1,77 1,76 1,75 1,75 1,74 1,74 1,73 1,72 1,72 1,71 1,71 1,70
2,20 2,19 2,18 2,17 2,16 2,15 2,14 2,13 2,12 2,11 2,10 2,09 2,08 2,07 2,06 2,05 2,04 2,03 2,02 2,01 2,00 1,99 1,98 1,97 1,96 1,95 1,94 1,93 1,92 1,91 1,90 1,89 1,88 1,87 1,86 1,85 1,84 1,83 1,82 1,81 1,80 1,79 1,78 1,77 1,76 1,75 1,74 1,73 1,72 1,71 1,70
DEC - CTC - UEM
24
A NBR 6118 (2003), no item 13.2 estabelece as dimensões limites para lajes maciças de concreto armado, ou seja, determinada a altura em função da deformabilidade da laje essa altura deverá respeitar os limites mínimos para a espessura da laje:
a) 5 cm para lajes de cobertura não em balanço; b) 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço; c) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN; d) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN; f) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo.
1.8 Determinação das flechas em lajes e seus valores limites O item 13.3 da NBR 6118 define e estabelece os limites para os deslocamentos. Deslocamentos limites são valores práticos utilizados para verificação em serviço do estado limite de deformações excessivas da estrutura, , e são classificados em quatro grupos básicos: a) aceitabilidade sensorial : o limite é caracterizado por vibrações indesejáveis ou efeito visual desagradável. A limitação da flecha para prevenir essas vibrações, em situações especiais de utilização, deve ser realizada como estabelecido na seção 23 da NBR 6118 e, apresentadas na Tabela 2.3; b) efeitos específicos: os deslocamentos podem impedir a utilização adequada da construção (Tabela 2.4); c) efeitos em elementos não estruturais : deslocamentos estruturais podem ocasionar o mau funcionamento de elementos que, apesar que não fazerem parte da estrutura, estão a ela ligados; d) efeitos em elementos estruturais : os deslocamentos podem afetar o comportamento do elemento estrutural, provocando afastamento em relação às hipóteses de cálculo adotadas. Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado, seus efeitos sobre as tensões ou sobre a estabilidade da estrutura devem ser considerados, incorporando-as ao modelo estrutural adotado.
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Os limites para deslocamentos dados pela Tabela 13.2 da NBR 6118. Os valores dessa tabela são apresentados, parcialmente, nas Tabelas 2.3 e 2.4.
Tabela 1.1 Limites para deslocamentos - Aceitabilidade sensorial (NBR 6118-2003 - Tabela 13.2) Razão da limitação Visual Outro
Exemplo
Deslocamento considerar
Deslocamentos visíveis Total em elementos estruturais Vibrações sentidas no Devido a piso acidentais
a
Deslocamento limite ℓ/250
cargas
ℓ /350
Tabela 1.2 Limites para deslocamentos - Efeitos estruturais em serviço (NBR 6118-2003 - Tabela 13.2) Superfícies que devem Coberturas e varandas drenar água
Total Total
ℓ /2501) ℓ/350+
Pavimentos que devem Ginásios e pistas de contraflecha2) permanecer planos boliche Ocorrido após a ℓ /600 construção do piso De acordo com Ocorrido após Elementos que suportam recomendação do Laboratórios nivelamento do equipamentos sensíveis fabricante do equipamento equipamento
1) As superfícies devem ser suficientemente inclinadas ou o deslocamento previsto compensado por contraflechas, de modo a não se ter acúmulo de água. 2) Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela especificação de contraflechas. Entretanto, a atuação isolada da contraflecha não pode ocasionar um desvio do plano maior que ℓ/350. 3) O vão l deve ser tomado na direção na qual a parede ou a divisória se desenvolve.
NOTAS 1. Todos os valores limites de deslocamentos supõem elementos de vão ℓ suportados em ambas as extremidades por apoios que não se movem. Quando se tratar de balanços, o vão equivalente a ser considerado deve ser o dobro do comprimento do balanço. 2. Para o caso de elementos de superfície, os limites prescritos consideram que o valor ℓ é o menor vão, exceto em casos de verificação de paredes e divisórias, onde interessa a direção na qual a parede ou divisória se desenvolve, limitando-se esse valor a duas vezes o vão menor. 3. O deslocamento total deve ser obtido a partir da combinação das ações características ponderadas pelos coeficientes definidos na seção 11. 4. Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contraflechas.
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26
1.8.1 Flecha imediata (elástica) As flechas elásticas em lajes são determinadas através da expressão: f =
p. x4
α
E.h
100
. 3
1.25
O coeficiente α é dado em função da vinculação das lajes, conforme esquemas fornecidos na Figura 1.8 e do coeficiente k. Observa-se que ℓx é sempre é o menor lado e disposto na horizontal e k é igual a ℓy/ℓx (sempre maior ou igual a um). y A
B
C
D
F
G
H
I
E
x
x
Figura 1.8 Esquema de vinculação das lajes para determinação das flechas imediatas.
Para cada caso de vinculação o coeficiente α pode ser obtidos pelas equações abaixo ou pelos ábacos apresentados a seguir: α A
= −2,83k 2 + 15, 48k − 7,97
α B
= −1,97k 2 + 13, 48k − 8, 40
α D
= −1,94k 2 + 8,73k − 4,35
α E = −0,72k 2
α G
= −1,67k 2 + 8,39k − 4,93
α H = −1, 25k
2
α C = −1,84 k 2 + 7,86k − 2,78
+ 9,87 k − 7,07
α F = −1,08k 2
+ 3,86k − 0,54
+ 4,81k −1,73
α I = −1,34k
2
+ 5, 40k − 2,59
p = carga uniformemente distribuída ℓx.= “menor” lado
E = módulo de elasticidade (serviço) do concreto. E cs = 0,85 E ci = 0,85.5600 √f ck . (NBR 8.2.8) h = altura da placa; k = ℓy/ℓx. (k sempre ≥ 1)
Estruturas em Concreto I – Lajes maciças de concreto armado Prof. João Dirceu Coeficientes "alfa"
12 11 10 9 a f l a e d s e r o l a V
8 7 6 Alfa 1
5
Alfa 2
4
Alfa 5
3 2 1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
Valores de K
Coeficientes "alfa"
6 Alfa 3 Alfa 4
5
Alfa 7 a f l 4 a e d s e r o l a 3 V
2
1 1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5 Valores de K
Coeficientes "alfa"
3,0
2,5 a f l a e d s 2,0 e r o l a V
Alfa 6 Alfa 8
1,5 Alfa 9
1,0 1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5 Valores de K
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
27
DEC - CTC - UEM
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Coeficientes "alfa"
12
11
10
9 Alfa 1 8 a f l a e d s e r o l a V
Alfa 2 Alfa 3
7
Alfa 4 Alfa 5
6
Alfa 6 Alfa 7 Alfa 8
5
Alfa 9 4
3
2
1 1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
Valores de K
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1.8.2 Flecha diferida no tempo A flecha adicional diferida (NBR 6118, item 17.3.2.1.2) é decorrente das cargas de longa duração em função da fluência e pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da flecha imediata pelo fator αf dado pela expressão:
α f
=
∆ξ 1 + 50. ρ '
'
onde: ρ = ξ é
As' b.d
um coeficiente função do tempo, que pode ser obtido diretamente na tabela 1.3 ou ser
calculado pelas expressões seguintes:
∆ξ = ξ ( t ) − ξ ( t 0 )
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1.8.2 Flecha diferida no tempo A flecha adicional diferida (NBR 6118, item 17.3.2.1.2) é decorrente das cargas de longa duração em função da fluência e pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da flecha imediata pelo fator αf dado pela expressão:
α f
=
∆ξ 1 + 50. ρ '
'
onde: ρ = ξ é
As' b.d
um coeficiente função do tempo, que pode ser obtido diretamente na tabela 1.3 ou ser
calculado pelas expressões seguintes:
∆ξ = ξ ( t ) − ξ ( t 0 ) ξ ( t ) = 0, 68. ( 0, 996 t ) .t 0,32
ξ para t ≤ 70 meses
ξ ( t ) = 2
para t > 70 meses
Tabela 1.3 Valores do coeficiente ξ em função do tempo – NBR 6118 - Tabela 17.1. Tempo (t) meses
0
0,5
1
2
3
4
5
10
20
40
Coeficiente ξ(t)
0
0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89
sendo: t
é o tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida;
t0
é a idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração.
O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando a flecha imediata por (1 + αf ).
≥70
2
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30
1.8.3 Exemplo de aplicação: determinar as alturas para as lajes abaixo.
λ =
m 0 , 5 =
Laje Tipo 2 C20 e CA-50
y
x =
h≥
6,0 m
l y
=1
l x
ψ 2 .ψ 3
ψ2 = 1,58 = 12,6 cm
ψ3 = 25
Adotado h = 12,5 cm
Determinação das flechas elásticas (cuidado com as unidades) m 0 , 6
Laje Tipo B. k = 6/5=1,2
αB = 4,94
5,0 m
g1 = 0,125.25 = 3,125 kN/m 2.
g2 = 0,75 kN/m2.
g = g1 + g2 = 3,875 kN/m 2.
q (sala de aula) = 3 kN/m 2. P = g + q = 6,875 kN/m 2. Eci
= 5600
f ck
q. x
4
α
4
α
Ecs
= 0,85 E ci = 21287,4 MPa = 2128,74 kN/cm 2 = 2128,74. 10 4 kN/m2
3.54 4,94 f ac = . = . = 0,00223 m = 2, 23 mm 3 4 3 E.h 100 2128,74.10 .0,125 100 6,875.54 4,94 f p = . = . = 0,00511 m = 5,11 mm 3 4 3 E.h 100 2128,74.10 .0,125 100 p. x
Determinação das flechas diferidas α f
=
∆ξ 1 + 50. ρ '
ρ '
=0
α f
=
∆ξ = ∆ξ 1+ 0
Adotando-se t ≥ 70 meses e o carregamento aplicado aos 2 meses (t 0 = 2 meses): ξ ( t ≥ 70 ) = 2
ξ ( t ) = 0, 68. ( 0, 996 t ) .t
2 0,32 ξ ( t = 2 ) = 0, 68. ( 0,996 ) .2
∆ξ = ξ ( t ) − ξ ( t 0 )
∆ξ = 2 − 0,8421 = 1,158
0,32
= 0, 68.0,992.1, 24833 = 0,8421
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31
Determinação da flecha total Flecha total = flecha imediata + flecha diferida
f t otal
=
fimediata
+
fdiferida
=
f i (1 + α f
)
f total
= 5,11. (1 + 1,158 ) = 11, 03 mm
Flecha limite para apenas a carga acidental
≤
Flecha limite para a carga total aplicada
≤
350
250
=14,3 mm = 20 mm
As flechas máximas, por norma, seriam ℓ/350 para a carga acidental e ℓ/250 para a total.
Observe que a altura da laje pode ser reduzida f total
h
3
=
=
p. x4
α
. (1 + α f ) = 350 E.h 100 3
.
3,5.α . p. x3 E
h
3
=
p. x4 E .
.
α
100
. (1 + α f ) .
350
3,5.4,94.6,875.53 . (1 + α f ) = . (1 + 1,158 ) = 0,001506 21287400
h = 0,11463 m 11,5
cm
1.9 Extensão e qualidade dos apoios. Em projetos é comum a ocorrência de vinculações parciais de lajes, conforme mostrado na figura abaixo para as lajes L 01 e L02. Veja que a laje 02 tem um lado totalmente engastado e os outros três apoiados, ou seja, é uma laje do “Tipo 2”, mas, o mesmo não acontece com a laje 01, pois ela tem três lados apoiados e um lado com vinculação indefinida (apoio ou engaste?). L01
L02
c d
a
b
Figura 1.9 – Predominância de uma vinculação sobre a outra
DEC - CTC - UEM
32
Vamos adotar o seguinte critério da predominância de uma vinculação sobre a outra, ou seja, uma vinculação é predominante quando esta ocorre em mais de 2/3 do comprimento do lado.
•
se em um lado qualquer da laje houver predominância de uma vinculação sobre outra qualquer, esta vinculação prevalece e será a única considerada.
•
Não havendo a predominância de uma vinculação sobre outra, deve-se calcular a laje supondo cada uma das vinculações isoladamente e interpolar os resultados obtidos (ou tomar os mais críticos de cada caso).
No esquema apresentado na figura acima, o lado da laje 02 vinculado à laje 01 não apresenta uma vinculação predominante (engaste ou apoio) e, dessa forma, a laje 02 deverá ser calculada como “Tipo 1” e como “Tipo 2” e adotados os resultados mais críticos de cada caso.
CUIDADO!!!. Veja que a L 02 como “Tipo 1” tem o ℓx adotado como o menor lado, portanto na direção vertical e, como “Tipo 2” tem o ℓx adotado como a direção mais vinculada, portanto na direção horizontal. Dessa forma deve-se comparar o M y,(Tipo 1) com o Mx,(Tipo 2) e o Mx,(Tipo 1) com o M y,(Tipo 2), ou seja comparar os momentos na horizontal e os momentos na vertical.
1.10 Furos e abertura em lajes - NBR 6118 - item 13.2.5.2 Os furos distinguem-se das aberturas por terem dimensões pequenas em relação ao elemento estrutural, observando-se que um conjunto de furos muito próximos deve ser tratado como uma abertura. Quando forem previstos furos e aberturas em elementos estruturais, seu efeito na resistência e na deformação deve ser verificado e as condições seguintes devem ser respeitadas em qualquer situação: a) a seção do concreto remanescente da parte central ou sobre o apoio da laje deve ser capaz de equilibrar os esforços no estado limite último, correspondentes a essa seção sem aberturas; b) as seções das armaduras interrompidas devem ser substituídas por seções equivalentes de reforço, devidamente ancoradas;
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c) no caso de aberturas em regiões próximas a pilares, nas lajes lisas ou cogumelo, o modelo de cálculo deve prever o equilíbrio das forças cortantes atuantes nessas regiões.
As aberturas que atravessam lajes maciças comuns, na direção de sua espessura devem ser armadas em duas direções e verificadas, simultaneamente, as seguintes condições: a) as dimensões da abertura devem corresponder no máximo a 1/10 do vão menor (l x). ℓx ≤ ℓy
ax < 0,1 ℓx ay < 0,1 ℓx ℓx
ay
≥ ¼ ℓy
ax
≥ ¼ ℓx ℓy
Figura 1.10 – Dimensões limites para aberturas de lajes com dispensa de verificação b) a distância entre a face de uma abertura e uma borda livre da laje deve ser igual ou maior que 1/4 do vão, na direção considerada; e c) a distância entre faces de aberturas adjacentes deve ser maior que a metade do menor vão.
Considerando o disposto no item 13.2.6 da NBR-6118 deve-se prever cuidados especiais no caso de canalizações atravessando a laje de fora a fora, na direção da espessura. As canalizações destinadas à passagem de fluidos com temperatura que se afaste de mais de 15ºC da temperatura ambiente deverão ser adequadamente isoladas e, as canalizações destinadas a suportar pressões internas maiores que 0,3 MPa deverão passar por furos (maiores que o diâmetro da tubulação) ou aberturas previamente feitos na laje.
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2 Organização dos cálculos e detalhamento da armadura. 2.1 Dispositivos auxiliares de cálculo O projeto de uma estrutura, compreendendo a memória de cálculo, os desenhos de forma, de armação, assim como todas as anotações sobre considerações feitas no projeto, devem ser guardadas para sempre. Vinte, trinta anos após a execução de uma obra, esta pode ser objeto de uma reforma que implique em alterações no projeto estrutural. Diante disto, tem-se a necessidade de se ter memórias de cálculo de fácil entendimento, com todas as informações envolvidas na elaboração do projeto e da forma mais concisa possível. A seguir propõe-se como exemplo, rotinas de cálculo através de tabelas, que permitem a sistematização do cálculo e uma melhor visualização das informações. Esta sistematização é importante para o uso de planilhas eletrônicas. O modelo abaixo pode ser extendido até a determinação dos momentos fletores e esforços cortantes
Laje 1 2 3-a 3-b
Tipo ℓy
ℓx
λ
ψ2 ψ3
d
h
pp
rev alv out. S.T. Acd TT
2 4,25 3,15 1,35 3 --3,0 --3,0
obs.: Laje pp rev alv out S.T. acd TT
3-a, 3-b indicam faixas de lajes armadas em uma direção peso próprio da laje pôr metro quadrado. peso próprio do revestimento peso próprio da alvenaria, quando houver carga de paredes outras cargas permanentes como carga de enchimento, carga proveniente de base de máquinas, etc. subtotal - ou soma das cargas permanentes sobrecarga ou carga acidental carga total por metro quadrado atuante na laje
Este tipo de tabela pode ser adaptado às conveniências do calculista e ampliado para a determinação dos esforços solicitantes (momentos fletores e reações de apoio). O uso de planilhas de cáculo facilita bastante este trabalho.
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2.2 Determinação dos esforços. A partir da planta de forma, as lajes são destacadas uma a uma, conservando as suas vinculações originais. O cálculo é então realizado como se as lajes fossem todas isoladas. A seguir é exemplificado o procedimento de cálculo, a partir do esboço de planta de forma apresentado. Os traços mais escuros representam o nível do pavimento. Neste esquema apresentado, as lajes L 1, L2 e L4 estão niveladas e a laje L 3 está rebaixada. Os pilares P5, P6, ..., P12 e as vigas V 102, V103, ..., V109 serão desenhados de forma análoga aos pilares P1 a P4 e à viga V101 respectivamente, observando que a numeração dos pilares é da esquerda para a direita, de cima para baixo e a das vigas é da esquerda para a direita, de cima para baixo (para as horizontais) e de baixo para cima, da esquerda para a direita (para as verticais). P1(12x30)
P2(12x30) a L1 H=8cm
L5 H=8cm
P3(12x40)
b L2 H=9,5cm
L6 H=8,0cm f
V101(12x35) P4(12x25)
c e L3 H=8cm
g
d L4 H=8,0cm
L7 H=9,5cm
Figura 2.1 – Esboço da planta de forma do pavimento de uma edificação.
Deve-se observar que:
• a laje L2 deve ser calculada como Tipo 3 e como tipo 5 (na figura os eixos lx e ly estão colocados como se a laje fosse do Tipo 5.). O mesmo ocorre com a laje 7 que deve ser calculada como Tipo 2 e como Tipo 3. • a laje 3 está rebaixada, conforme a representação na planta de forma, sendo portanto uma laje Tipo 1.
A partir da planta de forma é feita a discretização das lajes, destacando-se uma a uma, para a obtenção das lajes isoladas e suas vinculações. A figura a seguir ilustra este processo
DEC - CTC - UEM
x
y
y
L2 x
L1 x
L6 x
L5 x
x
L3
L4 y
y
x
y
y
36
L7 y
Figura 2.2 – Destaque das lajes constituintes da planta de forma.
Após a determinação dos esforços em cada uma das lajes (momentos fletores e reações de apoio), calculados como se fossem isoladas (a laje 02 deverá ser calculada como “tipo 3” e como “tipo 5”), torna-se necessário o reagrupamento destas lajes, conforme a situação original, pois, é necessário que se considere o efeito de cada uma das lajes sobre as que a cercam. É o que chamamos de compensação dos momentos fletores. Acabamos de ver uma situação de laje “rebaixada”. A laje 03 está abaixo do nível do pavimento. Em relação às lajes, as vigas podem ser “Normais, invertidas ou intermediárias. Veja os esquemas:
Laje normal
Viga normal
Laje rebaixada
Viga invertida
Laje rebaixada
Viga intermediária
Figura 2.3 – Posicionamentos entre lajes e vigas
Os desenhos e esquemas das formas a seguir ilustram o exposto acima e detalham melhor o processo de execução.
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Figura 2.4 – Formas para Viga “Normal”. A laje está sobre a viga.
Figura 2.5 – Formas para Viga “Invertida”. A laje está sob a viga.
A situação típica de lajes rebaixadas são as lajes de banheiro onde se tem a tubulação de esgoto da bacia sanitária de 10 cm fazendo uma curva de 90º, e ralos sifonados. Esta solução atualmente está em desuso, com a utilização dos forros falsos. Os rebaixos de banheiros devem ser de no mínimo 25 cm.
Figura 2.6 – Forma para Viga “Intermediária”. A laje está a meia altura da viga.
DEC - CTC - UEM
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A situação típica destas lajes com pequenos rebaixos, em torno de 1,5 a 4 cm, são as lajes de terraço. Este pequeno rebaixo tem por finalidade impedir a entrada de água no outro ambiente.
Figura 2.7 – Viga “Normal”. Forma para laje laje em balanço (beiral)
Figura 2.8 – “Estrado” de uma laje visto por baixo.
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2.2.1 Momentos fletores das lajes isoladas (não compensados) A representação esquemática dos momentos fletores nas lajes é feita conforme a figura abaixo – “Planta dos Momentos Fletores não Compensados”. A partir destes momentos fletores é feita a compensação. My Mx
Mx
My
Xy Xy
Xx Xy
Xy Xy
Mx My
My
Mx
Xx Xx
My Xx Xx
Mx Mx
Xx
Mx
Xx
My
My
Figura 2.9 – Momentos fletores não compensados.
2.2.2 Compensação dos momentos fletores A compensação dos momentos fletores em lajes, ao contrario das vigas, é um processo bastante simplificado, rápido e que fornece resultados razoavelmente próximos dos reais, desde que se observe algumas restrições:
• a carga permanente deve ser maior que a acidental, • carregamento das lajes deve ser simultâneo e com carga total, • as lajes devem ter rigidez e vãos que não difiram muito entre si, • os momentos devem ser de mesma ordem de grandeza (Mf maior ≤ 2 x Mf menor )
Ao contrario das vigas contínuas, onde ocorre a propagação dos momentos ao longo dos tramos, nas lajes esta propagação não será considerada. A compensação será feita uma a uma, independente das demais. Tomando-se como exemplo as lajes L 5, L6 e L 7, a compensação das lajes L5 e L6 poderá alterar o momento fletor M x (o momento na direção horizontal), mas ao se fazer a compensação das lajes L 6 e L 7, devem ser tomados todos os valores originais, como se a compensação L 5 e L6 não tivesse sido realizada.
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Através da figura a seguir, exemplifica-se o processo de compensação. Tomando como exemplo as lajes L 1 e L2, a figura representa o “nó” a ser compensado e os esforços envolvidos na compensação. Pela laje L 1 tem-se o momento positivo M x1 e o negativo X x1 e pela laje L 2 os momentos Mx1 e Xx1 positivo e negativo respectivamente. Em tracejado está o diagrama de momentos compensado com os esforços M x1*, X* e Mx2*
Xx1 X*
∆
Xx2
Mx2* Mx2
δ2 Mx1 Mx1*
δ1
∆ = Xx1 - X* δ1 = ∆ / 2
Figura 2.10 – Compensação dos momentos fletores
O processo de compensação, bastante simplificado, será:
*
X
⎧ X x1 + X x 2 ⎪ ≥ ⎨ 2 ⎪⎩0,8 X x1
∆ = X x1 − X *
δ = 0,5.∆
2.1
Com estas correções altera-se os valores dos momentos positivos, que também serão corrigidos, somando-se δ=∆/2 ao momento positivo correspondente ao lado de M x1, uma vez que o diagrama de momento fletor da laje L 1 “desceu”, reduzindo o momento negativo e aumentando o momento positivo. Ao contrario, o diagrama de momento fletor da laje L 2 “subiu”, aumentando o momento fletor negativo e reduzindo o momento fletor positivo, sendo neste caso, a redução desprezada, a favor a segurança, ou seja, sendo X x1 o maior momento fletor, somente a laje que o contém terá seu momento fletor positivo majorado. Se os momentos não forem da mesma ordem de grandeza (Mf maior > 2 x Mf menor ) o lado da laje do momento maior é considerado apoiado e o da laje de momento menor é considerado engastado.
Estruturas em Concreto I – Lajes maciças de concreto armado Prof. João Dirceu My Mx
My
My
Mx
X12
Mx
Mx
My
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X47 X27 X26
X15 Mx
Mx
X56 My
My*
Mx
X67 My
Figura 2.11 – Momentos fletores compensados
Como já foi dito anteriormente, estas compensações serão feitas caso a caso, (nó a nó), como se cada uma delas estivesse sendo feita pela primeira vez. Desta forma quando for feita a compensação das lajes L 2 e L7, serão utilizados os momentos M x2, Xx2, Xx7 e Mx7, independente de o momento M x2 ter sido alterado ou não na compensação das lajes L 1 e L2. Dessa forma pode acontecer de a laje L 2 apresentar dois momentos M x2*, tomando-se neste caso o maior dos dois.
2.3 Dimensionamento e detalhamento da armadura A partir dos momentos fletores compensados, as lajes serão dimensionadas à flexão, como vigas fictícias de 1,0 metro de largura e altura h. Alguns cuidados a serem tomados na escolha das bitolas, além daqueles prescritos em norma, são utilizar apenas uma bitola para a armação dos momentos fletores positivos e apenas uma bitola para a armação dos momentos fletores negativos, que pode ser a mesma utilizada para os positivos ou não. Desta forma, esforços diferentes implicarão na utilização da mesma bitola com espaçamentos diferentes. Isto é importante para a fiscalização, antes da concretagem, pois bitolas de 5,0 mm podem induzir a erros quando utilizadas juntamente com a de 6,3 mm.
Para a armadura das lajes usa-se uma tabela de ferros feita especificamente para esse tipo de armação, onde adotado o diâmetro da armadura, na coluna correspondente a esse diâmetro busca-se o momento fletor maior ou igual ao calculado, obtendo-se o espaçamento correspondente da armadura.
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Tabela 2.1 - Tabela de ferros para lajes espaçamento cm φ 5,0 mm 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5 14,0 14,5 15,0 15,5 16,0 16,5 17,0 17,5 18,0 18,5 19,0 19,5 20,0
3,64 3,33 3,08 2,86 2,67 2,50 2,35 2,22 2,11 2,00 1,90 1,82 1,74 1,67 1,60 1,54 1,48 1,43 1,38 1,33 1,29 1,25 1,21 1,18 1,14 1,11 1,08 1,05 1,03 1,00 0,98
As (cm 2) φ 6,3 mm φ 8,0 mm φ 10,0 mm 5,60 5,14 4,75 4,42 4,13 3,87 3,65 3,45 3,27 3,11 2,96 2,83 2,71 2,60 2,49 2,40 2,31 2,23 2,15 2,08 2,02 1,95 1,89 1,84 1,79 1,74 1,69 1,65 1,60 1,56 1,53
8,62 7,94 7,35 6,85 6,41 6,02 5,68 5,38 5,10 4,85 4,63 4,42 4,24 4,07 3,91 3,76 3,62 3,50 3,38 3,27 3,16 3,07 2,98 2,89 2,81 2,73 2,66 2,59 2,53 2,46 2,40
13,33 12,31 11,43 10,67 10,00 9,41 8,89 8,42 8,00 7,62 7,27 6,96 6,67 6,40 6,15 5,93 5,71 5,52 5,33 5,16 5,00 4,85 4,71 4,57 4,44 4,32 4,21 4,10 4,00 3,90 3,81
2.3.1 Armaduras mínimas Para melhorar o desempenho e a dutilidade à flexão e à punção (assim como controle da fissuração) são estabelecidos valores mínimos para a armadura passiva. Essa armadura deve ser constituída preferencialmente por barras com alta aderência ou por telas soldadas.
Estruturas em Concreto I – Lajes maciças de concreto armado Prof. João Dirceu Tabela 2.2 – Valores mínimos para armaduras passivas aderentes NBR 6118 – item 19.3.3.2 – Tabela 19.1 Armadura de lajes
Concreto armado
Armaduras negativas
ρs ≥ ρmin
Armaduras positivas (lajes armadas em cruz)
ρs ≥ 0,67.ρmin
Armadura positiva (principal, lajes em uma direção) ρs ≥ ρmin Armadura positiva (secundária, lajes armadas em As/s ≥ 20 % da armadura principal uma direção (armadura de distribuição).
As/s ≥ 0,9 cm2/m ρs ≥ 0,5 ρmin
Onde:
ρ s
=
As bw.h
ρmin é dado na Tabela 2.2, e s é o espaçamento das barras
Os valores de ρmin são apresentados na Tabela 2.2 (Tabela 17.3 da NBR 6118).
Tabela 2.3 – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas de seção retangular. NBR 6118 – item 17.3.5 – Tabela 17.3 Valores de ρmin = As,min/Ac (%) f ck ωmín
0,035
20
25
30
35
40
45
50
0,150
0,150
0,173
0,201
0,230
0,259
0,288
Valores de ρmin estabelecidos para aço CA-50, γc = 1,4 e γs = 1,15. ωmin = taxa mecânica mínima de armadura longitudinal
para valores diferentes de f ck , f yk , γc , e γs
ρ min
= ω min .
f cd f yd
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2.3.1.1 Disposições gerais de detalhamento (NBR 6118 – item 20). O diâmetro no máximo das barras da armadura de flexão deve ser ≤ h/8. O espaçamento máximo (s) das barras da armadura principal de flexão na região dos maiores momentos fletores deve ser ≤ a 2h ou 20 cm. Nas lajes armadas em uma direção a armadura secundária de flexão deve ser ≥ 20% da armadura principal, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre barras de, no máximo, 33 cm (mínimo de três barras por metro). Em bordas livres e junto às aberturas devem ser respeitadas as prescrições mínimas conforme disposto na Figura 2.12.
Figura 2.12 - Bordas livres e abertura (Figura 20.1 da NBR 6118) As armaduras positivas devem ser distribuídas de modo a cobrir a superfície de momentos fletores, o que é impraticável pois as tabelas geralmente só fornecem valores correspondentes ás faixas centrais. Em virtude deste problema existem processos simplificados que, para os casos correntes, resultam bastantes eficientes para efetuar esta distribuição. A prática tem consagrado uma simplificação, onde os comprimentos das barras (que já inclui os comprimentos de ancoragem) são dados em função do vão em será disposta a armadura.
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É importante observar que, com tais esquemas de distribuição das armaduras, a zona central fica armada com A s, enquanto as zonas laterais com ½ As, indicando que o critério é satisfatório. c = 0,85 ℓ
ℓ
5 8 , 0 = c
ℓy
c = 0,80 ℓ ℓx
c = 0,80 ℓ c = 0,75 ℓ
Figura 2.13 - Disposição da armadura positiva e comprimento das barras em lajes.
Para as armaduras negativas em lajes retangulares de edifícios submetidas a cargas uniformemente distribuídas e cargas acidentais (q) inferiores às permanentes (g), as barras da armadura principal sobre os apoios deverão estender-se de acordo com o diagrama triangular de momentos (considerado já deslocado) de base igual ao valor adiante indicado:
a) Em Lajes atuando em duas direções ortogonais:
• Em uma borda engastada, sendo cada uma das outras três bordas livremente apoiada ou engastada, 0,25 do menor vão. • Nos dois lados de um apoio da laje continua, 0,25 do maior dos vãos menores das lajes contínuas.
b) Em lajes atuando em uma só direção.
• Em uma borda engastada, 0,25 do vão.
A prática tem consagrado como simplificação, o detalhamento da armadura apresentado na Figura 2.14, onde o comprimento reto da barra é 3/4 do intervalo (0,5 ℓ2), intercalando-se as armaduras, à esquerda e à direita. Observe-se que, assim como na armadura positiva, a zona central fica armada com A s, enquanto as zonas laterais com A s/2, indicando que o critério é satisfatório.
DEC - CTC - UEM 0,25 ℓ2 0,25 ℓ2
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ℓ1 > ℓ2 > ℓ3
1/8 ℓ2
ℓ3
ℓ3
0,5 ℓ2 ℓ1
ℓ2
ℓ1
ℓ2
Figura 2.14 - Disposição da armadura negativa e comprimento das barras em lajes.
Mesmo no caso de bordas admitidas simplesmente apoiadas devem-se dispor armaduras negativas com a finalidade de limitar a fissuração. Recomenda-se o detalhamento da armadura positiva, conforme proposto na Figura 2.15, observando-se que o esquema proposto no detalhe A, deve ser usado nas bordas das lajes simplesmente apoiadas N1
Barras N1 Barras N2 Barras N5
N1
N2
N4 N3
N5
Barras N3 Barras N4
Detalhe A 20 % do vão
Gancho h – 3 cm
Figura 2.15 - Detalhamento da armadura de lajes - bordas apoiadas e engastadas. Observações:
• Em uma planta de armação, sempre que um ferro for idêntico a outro (mesma geometria, comprimentos etc.) terão o mesmo número. É por este motivo que os ferros verticais de ambas as lajes recebem a denominação “N1”. • Cada um dos ferros horizontais está recebendo um número diferente, uma vez que, ou diferem quanto a geometria ou quanto aos seus comprimentos. • Os ferros são sempre apresentados esquematicamente aos pares, para indicar como se procede o intercalamento. • Observe que se todas as barras fossem espaçadas a 15 cm, para N1 no desenho seria colocado Q1N1c/15, Q2N2c/30, Q3N3c/30, etc., ou seja, está sendo indicado que o par de barras N1 forma um conjunto, enquanto os outros conjuntos são formados pela barras N2/N3 e N4/N5 intercaladas.
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Importante: Quando se tratar de lajes contínuas com diferentes condições de apoio no lado comum, (lajes com rigidezez muito diferentes) a armadura negativa que vem da laje considerada deve prolongar-se na laje vizinha, pelo menos até o ponto onde se possa prever que o momento fletor negativo, na direção considerada, mude o sinal.
2.4 Detalhes de Formas e armação de lajes
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certo
errado
certo
errado
h
≥ 2h Desta forma econômico
é
mais
≥ 2h Mas também pode ser feito assim
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2.5 Cisalhamento em lajes As placas (lajes) têm uma boa resistência ao esforço cortante e, as lajes comuns de edifícios, salvo situações extraordinárias de carregamento, não são armadas ao cisalhamento. A NBR 6118 – item 9.4 estabelece que quando a força cortante de cálculo for menor ou igual à força resistente ao cisalhamento de projeto, as lajes maciças ou nervuradas podem prescindir dessa armadura transversal. VSd
≤ V Rd1
A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por: V Rd 1 = ⎡⎣τ Rd .k .(1, 2 + 40.ρ1 ) + 0,15.σ cp ⎤⎦ .bw.d
Obs.: V Rd1
σ cp
= N Sd A , NSd é a força longitudinal na seção (protensão ou carregamento). c
= τ Rd .k. (1, 2 + 40.ρ 1 ) .bw.d
onde:
concreto armado (sem forças longitudinais)
τRd = 0,25 f ctd f ctd
=
f ctk ,inf γc
=
0,7. fctm γc
=
0,7.0,3. f ck2 3 γc
∴
f ctd
=
0,21 γc
. f ck2 3
k = |1|
quando 50 % da armadura inferior não chega até o apoio:
k = |1,6 – d| ≥ |1|
com d em metros; para os demais casos.
ρ 1
=
As1 bw .d
≤ 0,02
f ctd é a resistência de cálculo do concreto ao cisalhamento; As1 é a área da armadura de tração bw é a largura mínima da seção ao longo da altura útil d;
Quando da verificação de elementos sem armadura de cisalhamento a resistência de cálculo VRd2 é dada por: V Rd 2
= 0,5.α v1.f cd .bw .0,9.d
onde:
αv1 = (0,7 – f ck /200) ≤ 0,5.
