Apostila Matemática Financeira com HP12C

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Apostila Ma te má tic a Fina nc e ira c om HP12C - slide pdf.c om

maTemáTica financeira com

HP-12c

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AdministrAção regionAl do senAc no estAdo de são PAulo

Gerência de Desenvolvimento Sidney Zaganin Latorre

Coordenação Técnica Andrea Cury Borges de Gouvea Tonanni

Apoio Técnico Patrícia Vivaldo dos Santos

© S-SP 2006

Elaboração

Anísio Costa Castelo Branco

Atualização Alexandre Francisco Zanata Arnaldo Célio Freire Silva

Revisão Gramatical Edições Jogo de Amarelinha

Edição e Produção Edições Jogo de Amarelinha


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maTemáTica financeira com HP-12c

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Matemática Financeira com HP-12C

Sumário 1. OPeraçõeS matemáticaS báSicaS / 6 Potência RegRa de tRês PoRcentagem 2. FunçõeS báSicaS da HP-12c / 9 tecla [on] tecla [ . ] testes de funcionamento ts º 1 (so s l [On]  [X]) ts º 2 (so s l [On]  [+]) ts º 3 (so s ls [On]  [:]) teclado a l [] tl [] tlo o limPeza de RegistRo Lp ol (so s ls [On]  [-]) Lp o vso Lp os sos sísos (“0”  “6”) Lp  po Lp os sos fos Lp  oos os sos tecla [cHs] ou cHange signal tecla [sto] ou (stoRe) tecla [Rcl] ou (Recoll) tecla [Yx] Potenciação Radiciação tecla [1/ x] tecla [%t] e [x>
3. FundamentOS da matemática Financeira / 19 conceitos básicos definições e teRminologias básicas diagRama de fluxo de caixa aPResentação das taxas Regimes de caPitalização 4. JurOS SimPLeS / 23 oPeRações de juRos simPles juRos exato e juRo comeRcial exeRcícios sobRe juRos simPles exeRcícios de RefoRço

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5. JurOS cOmPOStOS /34 conceitos de juRos comPostos ValoR futuRo (fV) ou montante (m) difeRença entRe os juRos simPles e juRos comPostos unção

c

na

teclas

e

fValoR PResente “ ” HP [sto] [eex] ou caPital (c) (PV)12c, PRazo (n) função [fRac] e [intg] taxas equiValentes a juRos comPostos exeRcícios sobRe juRos comPostos exeRcícios de RefoRços

6.OPeraçõeS cOm taXaS de JurOS / 43 taxas equiValentes Po p x qvl o HP 12c taxa oVeR equiValente taxa acumulada de juRos (com taxas VaRiáVeis) taxa média de juRos taxa Real de juRos exeRcícios sobRe taxas juRos

7. deScOntOS / 51 desconto Racional simPles ou “PoR dentRo” desconto bancáRio, ou comeRcial ou “PoR foRa” oPeRações com um conjunto de títulos Po o   ojo  ílos desconto comPosto rlo  xs  soo spls  oposo xeRcícios e sobRe desconto 8. SérieS uniFOrmeS de PagamentOS / 57 ValoR PResente de uma séRie de Pagamento “PosteciPada” ValoR de PRestação de uma séRie “PosteciPada” númeRo de PRestações de uma séRie unifoRme de Pagamento “PosteciPada” cálculo da taxa de uma séRie de Pagamento unifoRme “PosteciPada” séRie unifoRme de Pagamentos “anteciPados” Fóls p s  pos pos Fól o vlo ps Fól  pso aloR futuRo de uma séRie unifoRme V exeRcício sobRe séRies unifoRmes de Pagamentos

9. SiStemaS de amOrtizaçãO de emPréStimOS e FinanciamentOS / 63 sistema de amoRtização constante (sac) sistema PRice (ou fRancês) de amoRtização 10. aPLicabiLidade da matemática Financeira / 65 ceRtificado de dePósito bancáRio (cdb) Recibo de dePósito bancáRio (Rdb) taxa inteRna de RetoRno (iRR) e ValoR PResente líquido (nPV) ValoR da PRestação de leasing foRmação do PReço de Venda Pelo conceito do ValoR atual reFerênciaS bibLiOgráFicaS / 72 Senac São Paulo


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CAPÍTULO 1 OPERAÇÕES

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Potência a)(-12)2=144 b)(2)5=32 c)(-2)4=16 d)(+5)+(-4)5–(-100-35)=-884 e)(150)/(-2)+[2*(40-20)2]=725

Regra de três Regradetrêséaoperaçãoquenospermite,dadasduasgrandezas,diretaouinversamente proporcionaisevariando-seovalordelas,determinaravariaçãodaoutragrandeza.Pode sersimplesoucomposta.

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1) Com100kgdetrigopode-sefazer85kgdefarinha.Quequantidadedefarinhapodeseobtercom480kgdetrigo? 

R.:408kg

2) Oitoeletricistaspodemfazerainstalaçãodeumacasaemtrêsdias.Dequantosdias seiseletricistasprecisamparafazeromesmoserviço? 

R.:Quatrodias

3) Se15mdecertotecidocustamR$90,00quantocustarão32mdessetecido? 

R.:R$192,00

4) Naextremidadedeumamolaécolocadoumcorpodemassade10kgeverifica-se queocomprimentodamolaéde42cm.Secolocarmosumpesode15kgnaextremidadedessamola,qualseráseucomprimento? 

R.:63cm

5) AoparticipardeumtreinodeFórmula1paradisputada pole position ,umcompetidor, imprimindovelocidadede200km/hfazopercursoem18segundos.Sesuavelocidade fossede240km/h,quetempoeleteriagastadonopercurso? 

R.:15segundos

Porcentagem 1) UmamultadeR$800,00sobreumvalordeR$8.000,00correspondeaquantos% sobreovalor? 

R.:10%

2) Osr.ManoeltemaplicadonapoupançaR$4.500.00,enomêsdejaneirovaiterum rendimentode1,2%.Qualseráonovosaldodapoupançadosr.Manoel? 

R.:R$4.554,00

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3) Dos350candidatosqueprestaramumconcurso,28 foramaprovados.Quala taxa percentualdeaprovados? 

R.:8%

4) Umapesquisafoirealizadaparaverificaraaudiênciadetelevisãodohorárionobre(20às 22h).Foramentrevistadas1.640residênciaseverificou-seque45%tinhamatelevisão ligadanocanalA.Quantasresidênciasestavamcomatelevisãoligadanessecanal? 

R.:738

5) Umprejuízode40milreaissobre200milreaisrepresentaque%deprejuízo? 

R.:20%

6) OpreçodeumaparelhodesoméR$150,00.Parapagamentosàvistaédadoumdescontode30%.Nessascondições: a) Qualaquantiaquecorrespondeaodesconto? R.:R$45,00 b) Qualopreçoàvistadesseaparelhodesom? R.:R$105,00 7) Transformeestasporcentagensemdecimais: 

a)25,2% b)100,25% c)101,26% d)85,25% e)75,29% f)555,33%

8) Transformeosnúmerosdecimaisemporcentagem: 

a)0,01 b)0,055 c)0,065 d)0,125 e)0,1565 f)0,1765

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CAPÍTULO 2

FUNÇÕES BÁSICAS DA HP-12C

NestecapítuloserãoabordadasasprincipaisfunçõesdacalculadoraHP-12C,ouseja,os conceitosbásicosrelevantesaodesenvolvimentodamatemáticafinanceiracomautilização desseequipamento.

Tecla [ON] Temafunçãodeligaredesligaracalculadora;porém,seacalculadorapermanecerligada semuso,serádesligadaautomaticamenteentreseteeoitominutosaproximadamente.

Tecla [ . ] Permitequeacalculadoraopereemdoispadrõesdemoeda,o brasileiroeo dólar . Vamosconsideraroseguinteexemplo: R$ 1.425,56(padrãobrasileiro) US$ 1,425,56(padrãodólar) Estaconversãopodeserefetuadadaseguinteforma: • Mantenhaacalculadoradesligada; • Pressioneatecla[.]esegure; • Pressioneatecla[ON]esolte. Seacalculadoraestivernopadrãobrasileiro,passaráparaopadrãododólarevice-versa.

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Testes de uncionamento AcalculadoraHP-12Cpossuitrêstestesdeverificaçãoquantoaoseufuncionamento,uma espéciedecontroledequalidade,quepermiteaousuárioumamaiorconfiabilidadedo produto. Teste nº 1 (usando as tecla [ON] e [x])

Procedimentos: • Mantenhacalculadoradesligada; • Pressioneatecla[ON]esegure; • Pressioneatecla[x]esegure; • Solteatecla[ON]; • Solteatecla[x]. Aofinaldoprocedimento,apareceránovisorapalavrarunningpiscando;issosignificaque acalculadoraestáexecutandooTESTENº1.Emalgunssegundosapareceránovisoro seguinte:

- 8,

8, 8, 8, 8, 8, 8,

8,

8,

USER f g BEGIN GRAND D.MY C PRGM

8,

Seapareceramensagem“ERRO9”,acalculadoraprecisadereparos,masseoresultado forexatamenteaqueleobtidonoTESTENº1,acalculadoraestaráprontaparaouso. Teste nº 2 (usando as tecla [ON] e [+])

Procedimento: • Mantenhaacalculadoradesligada; • Pressioneatecla[ON]esegure; • Pressioneatecla[+]esegure; • Solteatecla[ON]; • Solteatecla[+]; • Pressioneesoltequalquertecla,excetoatecla[ON].

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Naverdade,oTESTENº2émuitosemelhanteaoTESTENº1,divergindoapenasnaduraçãodeexecução,queéindeterminada;portanto,paracompletaroteste,énecessário cumpriroprocedimentonº6.Emseguidaapareceráoseguinte: - 8,

8, 8, 8, 8, 8, 8,

8,

8,

8,

USER f g BEGIN GRAND D.MY C PRGM

Sevocêpressionaratecla[ON]otesteseráinterrompido. Teste nº 3 (usando as teclas [ON] e [:])

Procedimento: • Mantenhaacalculadoradesligada; • Pressioneatecla[ON]esegure; • Pressioneatecla[:]esegure; • Solteatecla[ON]; • Solteatecla[:]. Pressionetodasasteclasdaesquerdaparaadireita,decimaparabaixo,ouseja,a1ªtecla aserpressionadaseráatecla[n]eaúltimaseráatecla[+].Lembre-se:énecessáriopressionartodasasteclas,inclusiveatecla[ON].Atecla[enter]serápressionadaduasvezes, tantonalinhatrêsquantonalinhaquatro. Apósoprocedimentoconcluído,apareceránovisoronº12.Assimcomonostestes anteriores,acalculadoraestaráprontaparaouso.Masseprocedimentonãoforrealizadocorretamente,apareceaexpressãoERRO9.Nestecaso,acalculadoranecessita deconserto.

Teclado OtecladodacalculadoraHP-12Cémultiuso,poisumamesmateclapodeserutilizadade trêsmaneiras.

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A tecla [f]

Atecla[f](amarelo)possuiduasfunçõesbásicas: • 1ªfunção:pressionadoateclaouprefixo[f],poderemosacessartodasasfunções emamarelodacalculadora; • 2ªfunção:pressionadoateclaouprefixo[f]seguidadeumnúmero,seráapresen tadaaquantidadedecasasdecimaisasermostradanovisor.

Vejaoexemplo: Digiteonúmero2,428571435esigaosprocedimentos: Procedimento (teclas)

Visor

[f]e[9]

2,428571435

[f]e[8]

2,42857144

[f]e[7]

2,4285714

[f]e[6] [f]e[5]

2,428571 2,42857

[f]e[4]

2,4286

[f]e[3]

2,429

[f]e[2]

2,43

[f]e[1]

2,4

[f]e[0]

2,

[f]e[9]

2,428571435

Tecla [g]

Atravésdateclaouprefixo[g],épossívelacessartodasasfunçõesemazul. Teclado branco

Todasasteclaspossuememsuasuperfícieinformaçõesembranco,naverdadetudooque émostradoembranconasteclasnãonecessitadefunçãoauxiliar,comovimosparafunçõesemamareloeazul.

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Limpeza de registro Apresentaremosasprincipaisformasdeexecutaralimpezadosregistrosouinformações, quesãoarmazenadasnotecladooumemóriasdacalculadora. Limpeza total (usando as teclas [ON] e [-])

Procedimento: • Mantenhaacalculadoradesligada; • Pressioneatecla[ON]esegure; • Pressioneatecla[-]esegure; • Solteatecla[ON]; • Solteatecla[-]. Apósaexecuçãodestaseqüênciadeprocedimentos,deveapareceraexpressão“PR ERROR”,indicandoquetodososdadosarmazenadosnosregistros,inclusiveospro gramas, foramapagados. Portanto,é preciso tomarmuito cuidado aoexecutareste procedimento. Limpeza do visor

Autilizaçãodessafunçãoémuitosimples:bastapressionaratecla[CLx]eovisorserá limpo. Limpeza dos registros estatísticos (0 a 6) Com a seqüência de teclas [f] [ ∑ ] estaremos processando a limpeza dos registros esta -

tísticos,ouseja,estaremoslimpandoosregistrosarmazenadosnasteclas[1],[2],[3],[4], [5]e[6]. Limpeza de programa

Procedimento: • Pressionar[f][P/R]paraentrarnomododeprogramação; • Pressionar[f][PRGM]paralimparoprograma; • Pressionar[f][P/R]ou[ON]parasairdomododeprogramação.

Esteprocedimentosefaznecessáriodevidoàgrandedificuldadedeelaboraçãodeumpro grama,ouseja,umprogramanãopodeserdestruídofacilmentesemamenorproteção. Senac São Paulo


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Limpeza dos registros financeiros

Registrosfinanceiros: • [n]prazo; • [i]taxa; • [PV]PresentValueouValorPresente; • [PMT]PeriodicPaymentouPrestação; • [FV]FutureValueouValorFuturo. Alimpezadosregistroséfeitaatravésdaseqüênciadeteclas[f][FIN]. Limpeza de todos os registros

Comaseqüênciadeteclas[f][REG],épossívelapagartodososregistros,ouseja,de0a 9,de.0a.9eosregistrosfinanceiros,ficandoapenasosprogramassemseremapagados.

Tecla [CHS] ou CHANGE SIGNAL Estateclaservebasicamenteparatrocarosinaldeumnúmero,ouseja,trocarosinalne gativoparaopositivoevice-versa.

Tecla [STO] ou (STORE) Serveparaguardamosvaloresnasmemórias.AHPpossui20memóriasdiretas:de0a9e de.0a.9. Consideremosqueonúmero145preciseserguardadonamemória,equedecidimosguardarnamemória“5”.Comofazer? Procedimento: • Digiteonúmero145; • Digite[STO]; • Digite[5].

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Tecla [RCL] ou (RECOLL) Estateclaservepararecuperarosnúmerosguardadosnasmemórias.Vamosverificarsua aplicaçãocombasenosdadosdoitemanterior. Procedimento: • Digitar[RCL]; • Digitar[5].

Tecla [YX] Estateclapodeserutilizadatantopraefetuarmosoperaçõesdepotenciaçãoederadiciação. Potenciação

Radiciação

Tecla [1/x] Estateclaénormalmenteutilizadaparademonstraroinversodeumnúmero.

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Tecla [%T] e [x>
• • • • •

Moradia Educação Combustível Alimentação Lazer 

    

Total

R$450,00 R$500,00 R$150,00 R$200,00 R$250,00 R$ 1.550,00

Determinarquantorepresentapercentualmentecadavaloremrelaçãoaototaldosgastos. Solução: 1.550 [ENTER]  450 [%T] 29,03% [x>




[x>
150 200 250 

[%T] [%T] [%T] 

9,68% 12,90% 16,13% 100,00%

Tecla [∆%] Estateclanosajudaacalcularadiferençapercentualentredoisnúmeros. a) ConsiderequeumprodutopossuiumpreçodeR$132,75emjan/2006;emfev/2006o preçodesseprodutopassouparaR$155,71.Qualfoiopercentualdeaumentodesse produto?

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Dados: Preçoemjan/2006:R$132,75 Preçoemfev/2006:R$155,71 Solução: 132,75

[ENTER]

155,71

[∆%]

17,30%

b) Nomêsdemarço/2006opreçodoprodutopassouparaR$141,00.Qualfoiopercen tualdedesconto? Dados: Preçofev/2006:R$155,71 Preçomar/2006:R$141,00

Solução 155,71

[ENTER]

141,00

[∆%]

-9,45%

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Tecla [%] Estateclaserveexclusivamenteparaocalculodepercentagem. a) Calcular5%deR$10.450,00 

Solução:



450.450

[ENTER]



5

[%]



R$ 522,50



Cálculo em cadeia a) soma 25,82+1.852,25+156,68=2.034,75 25,82[ENTER]1852,25[+]156,68[+]

2.034,75 [STO] 1

b) subtração 250–91,82–5,81=152,37 250[ENTER]91,82[-]5,81[-]

152,37 [STO] 2

c) multiplicação 21x18,41x1,0562=408,34 21[ENTER]18,41[x]1,0562[x]

408,34 [STO] 3

d) divisão 1.750,25:1,08=1.620,60 1.750,25[ENTER]1,08[:]

1.620,60 [STO] 5

e) adição,subtração,multiplicaçãoedivisão (memória1)–(memória2)x(memória3):(memória5) [RCL] 1 [RCL] 2 [-] [RCL] 3 [x] [RCL] 5 [:] 474,30

Observação:asdemaisfunçõeseteclasdacalculadoraHP-12Cserãodemonstradascom

aplicaçõespráticasdosconceitosdematemáticafinanceira.

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CAPÍTULO 3

FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

Conceitos básicos Amatemáticafinanceiratemcomoobjetivobásicoestudaraevoluçãodovalordodinheiro notempo(prof.CarlosShinoda). Amatemáticafinanceiravisaestudarasformasdeevoluçãododinheirocomotemponas aplicaçõesepagamentosdeempréstimo(profs.SamuelHazzaneJoséNicolauPompeu). Amatemáticafinanceiratemcomoobjetivoprincipalatransformaçãoemanuseiodefluxos decaixa,comaaplicaçãodastaxasdejurosdecadaperíodo,paraselevaremcontaovalor dodinheironotempo(prof.AbelardodeLimaPuccini). Amatemáticafinanceiratemcomoobjetivoprincipalestudarovalordodinheiroemfunçãodotempo(prof.AnísioCostaCasteloBranco).

Definições e terminologias básicas Ovalorinicialdeumaoperaçãofinanceiraoucapitalinicialpodeserexpressopor: (C )CAPITAL; (PV )VALORPRESENTEouPRESENTVALUE; ( P )PRINCIPAL. Define-secomovalorpresenteo volumederecursofinanceiroaplicadoouemprestado emumadeterminadaoperação. Algumaspalavrasouexpressõestambémpodemserassociadasaesteconjuntodedefiniçõesapresentadas,porexemplo:investimentoinicial,valoraplicadoetc. Senac São Paulo


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JURO( J):éaremuneraçãoobtidaapartirdocapitaldeterceiros.Estaremuneraçãopode ocorrerapartirdedoispontosdevista:

• dequempaga:nessecaso,ojuropodeserchamadodedespesafinanceira,custo, prejuízoetc. • dequemrecebe:podemosentendercomosendorendimento,receitafinanceira, ganhoetc. TAX A(i ):éocoeficienteobtidodarelaçãodosjuros( J )comocapital( C ),quepodeser

representadoemformapercentualouunitária.Aterminologia“i“vemdoinglêsinterest, quesignificajuro. PRAZOouTEMPOouPERÍODOS( n ):éotemponecessárioqueumcertocapital( C ) aplicadoaumataxa( i)necessitaparaproduzirummontante( M).Nessecaso,operíodo podeserinteirooufracionário.Vejamosumexemplo: • períodointeiro:1dia;1mêscomercial(30dias),1anocomercial(360dias)etc. • períodofracionário:3,5meses,15,8dias,5anosedoismesesetc. Podemostambémconsiderarumperíodointeiroquandousamosaexpressãodotipo:um períodode15dias,umperíodode30diasetc. Ovalorfuturooumontanteserefereaovalorpresenteacrescidodovalorreferenteao jurooriundodaoperação,epodeserexpressopor: (M)MONTANTE (FV )VALORFUTUROouFUTUREVALUE

Diagrama de fuxo de caixa Definimosfluxodecaixacomoamovimentaçãoderecursosmonetários(entradasesaídas decaixa)deumaempresaoudeumatransaçãofinanceiraemespecial,dentrodeum períododetempo.

(+)entradas

 

(-)saídas

tempo(n)

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Apresentação das taxas Astaxaspodemserapresentadasdeduasformas:aformapercentualeaformadecimalou unitária.Vejaumexemplo. EXEMPLONº1:Façaatransformaçãodasseguintestaxas: Taxa percentual 25% 5%

Taxasdecimal ouUnitária

1,5% 0,5%

-NaHP-12C,poderemosusarastaxasna formapercentual.

-Nasfórmulas,somentepoderemosusaras taxasnaformadecimalouunitária. 0,025 0,02 0,0018 15

Regimes de capitalização Pode-sedefinircomoregimedecapitalizaçãooconjuntodemétodospelosquaisoscapi taissãoremunerados.Osregimesdecapitalizaçãopodemsersimplesoucompostos,ou métodosdecapitalizaçãolineareexponencial,respectivamente.Conformeoexemplo: EXEMPLONº2:SejaumcapitaldeR$1.000,00aplicadoaumataxade10%a.m.durante trêsmeses.Qualovaloracumuladonofinaldecadaperíodopelosregimesdecapitalização simplesecomposto? RegimedeCapitalizaçãoSimples n

1 2 3

Capital Aplicado R$ 1.000,00

R$1.000,00 R$1.000,00

Juros de cada período

Valor Acumulado

R$1.000,00x10%=R$100,00 R$1.000,00x10%=R$100,00 R$1.000,00x10%=R$100,00

R$1.000,00+R$100,00=R$1.100,00 R$1.100,00+R$100,00=R$1.200,00 R$1.200,00+R$100,00=R$ 1.300,00

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DIAGRAMADEFLUXODECAIXAPARAOREGIMEDECAPITALIZAÇÃOSIMPLES M=R$1.300,00





C.i=R$100,00

C.i=R$100,00

C.i=R$100,00

C=R$1.000,00

RegimedeCapitalizaçãoComposta n

1 2 3

Capital Aplicado R$ 1.000,00

R$1.100,00 R$1.210,00


Valor Acumulado

R$1.000,00x10%=R$100,00 R$1.100,00x10%=R$110,00 R$1.210,00x10%=R$121,00

R$1.000,00+R$100,00=R$1.100,00 R$1.100,00+R$110,00=R$1.210,00 R$1.210,00+R$121,00= R$ 1.331,00

DIAGRAMADEFLUXODECAIXAPARAOREGIMEDECAPITALIZAÇÃOCOMPOSTA M=R$1.331,00





C.i=R$100,00

M1.i=R$110,00

M2.i=R$121,00

C=R$1.000,00

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CAPÍTULO 4

JUROS SIMPLES

Pode-seentendercomojurossimplesosistemadecapitalizaçãolinear,conformefoidemonstradonoitemsobreregimesdecapitalização. NoBrasil,aaplicabilidadedossistemasdecapitalizaçãosimplesocorrebasicamentenas situaçõesemqueosperíodosnãosãointeiros.

Operações de juros simples Serãoapresentadasváriasoperaçõesenvolvendojurossimples,ouseja,cálculodejuros, capital,taxaemontante.Paramelhorfacilitaracompreensão,asfórmulasserãodivididas emtrêsgrupos. Nº

1º Grupo de Fórmulas

1 2 3

J = FV – PV FV = PV + J PV = FV – J

Significado

Fórmuladejuros Fórmuladomontanteouvalorfuturo Fórmuladocapitalouvalorpresente

EXEMPLONº3:Qualovalordosjurosresultantedeumaoperaçãonaqualfoiinvestido umcapitaldeR$1.250,18equegerouummontantedeR$1.380,75?

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Dados: PV=R$1.250,18 FV=R$1.380,75 J=? Solução 1:

J=1.380,75–1.250,18 J = R$ 130,57

EXEMPLONº4:UmaaplicaçãoobteveumrendimentolíquidodeR$78,25duranteum determinadotempo.Qualfoiovalorresgatado,sabendo-sequeaimportânciaaplicadafoi deR$1.568,78? Dados: J=R$78,25 PV=R$1.568,78 FV=? Solução 1:

FV=1.568,78+78,25 FV = R$ 1.647,03

EXEMPLONº5:QualovalordoinvestimentodegerouumresgatedeR$1.500,00,sabendo-sequeorendimentodesteinvestimentofoideR$378,25? Dados: FV=R$1.500,00 J=R$378,25? PV=? Solução 1:

PV=1.500,00–378,25 PV = R$ 1.121,75

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Nº


Significado

4

J = PV x i x n

5

PV = J / i x n

Fórmuladocapitalouvalorpresente

6

i = J / PV x n

Fórmuladataxa

7

n = J / PV x i

Fórmuladoprazo

Fórmuladejurossimples

EXEMPLONº6:DetermineojuroobtidocomumcapitaldeR$1.250,23durantecinco meses,comataxade5,5%aomês. Dados: PV=R$1.250,23 n=5mesesou150dias i=5,5%a.m. Solução1: J=1.250,23x,055x5 J = R$ 343,81

EXEMPLONº7:QualfoiocapitalquegerourendimentosdeR$342,96durante11meses,aumataxade2,5%a.m.? Dados: PV=? i=2,5%aomês n=11meses J=R$342,96 Solução 1:

PV=342,96/0,025x11 PV=342,96/0,275 PV=R$1.247,13 Senac São Paulo


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EXEMPLONº8:PedropagouaoBancoExemploS.A.aimportânciadeR$2,14dejuros porumdiadeatrasosobreumaprestaçãodeR$537,17.Qualfoiataxamensaldejuros aplicadopelobanco? Dados: J=R$2,14 n=1dia PV=R$537,17 i=? Solução1: i=2,14/537,17x1 i=2,14/537,17 i=0,003984x100 i=0,3984%aodia imensal=0,3984x30 imensal = 11,95% ao mês

EXEMPLONº9:DurantequantotempofoiaplicadoumcapitaldeR$1.500,00quegerou rendimentosdeR$351,00,comumataxade1,8%aomês? Dados: n=? PV=R$1.500,00 i=1,8%aomês J=R$351,00 Solução 1:

n=351/1.500x0,018 n=351/27 n=13meses Nº


8

FV = PV (1 + i x n)

Fórmuladomontanteouvalorfuturo

9

PV = FV / (1 + i x n)

Fórmuladocapitalouvalorpresente

= { ( FV / PV ) –1} x 100

Fórmuladataxaacumulada

10

i

Significado

(ac)

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EXEMPLONº10:QualovalorderesgatedeumaaplicaçãodeR$105.000,00aplicados emumCDBde90dias,aumataxade1,92%aomês.

Dados: FV=? PV=R$105.000,00 i=1,92%aomês n=90diasou(3meses) Solução1: FV=105.000(1+0,0192x3) FV=105.000(1+0,0576) FV=105.000(1,0576) FV=R$111.048,00

EXEMPLONº11:DetermineovalordaaplicaçãoemumTítulodeRendaFixa,cujovalor deresgatebrutofoideR$84.248,00porumperíododetrêsmeses,sabendo-sequeataxa daaplicaçãofoide1,77%aomês. Dados: PV=? FV=R$84.248,00 i=1,77%aomês. n=3meses Solução 1:

PV=84.248/(1+0,0177x3) PV=84.248/(1+0,0531) PV=84.248/(1,0531) PV = R$ 80.000,00

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EXEMPLONº12:JoaquimemprestouR$15,00deSalim.Apósseismeses,Salimresolveu cobrarsuadívida.JoaquimefetuouumpagamentodeR$23,75aSalim.Qualfoiataxade jurosacumuladosnessaoperação?Qualfoiataxamensaldejuros? Dados: PV=R$15,00 FV=R$23,75 n=6meses i(ac)=? imensal=? Solução 1:

i(ac)={(23,75/15)–1}x100 i(ac)={1,5833–1}x100 i(ac)=0,5833x100 i(ac) = 58,33% a.p. ou (ao semestre)

imensal=58,33:6 imensal = 9,72% a.m.

Juros exatos e juros comerciais Quandofalamosemjurosexatos,estamosnaverdadenosreferindoaosdiasdocalendário, ouseja,devemosconsideraraquantidadedediasexistenteemcadamês:janeiro(31dias), fevereiro(28ou29dias)etc.Dessaforma,umanopodeter365ou366dias. Nocasodojurocomercial,devemosconsiderarsempreummêsde30diase,sendoassim, umanocomercialvaitersempre360dias.

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EXEMPLONº13:UmaprestaçãonovalordeR$1.500,00venceuem01/02/01,sendo quitadaem15/03/01,comataxade60%aoano.Determineosjurosexatosecomerciais pagosnestaoperação. Dados:

PV=R$1.500,00 i=60%aoano VencimentodaPrestação:01/02/01 DatadoPagamento:15/03/01

Solução: [f] 6 01.022001 [ENTER] 15.032001 [g] [∆DYS] 42 dias

a) J.E.=(1.500x0,6x42)/365=R$103,56 b) J.C.=(1.500x0,6x42)/360=R$105,00

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Exercícios sobre juros simples Consideraroanocomercial(360dias) 1) QualovalordosjuroscorrespondentesaumempréstimodeR$5.000,00,peloprazo decincomeses,sabendo-sequeataxacobradaéde3,5%aomês? Resposta: R$ 875,00

2) UmcapitaldeR$12.250,25,aplicadodurantenovemeses,rendejurosdeR$2.756,31. Determineataxacorrespondente. Resposta: 0,025 ou 2,5% ao mês

3) UmaaplicaçãodeR$13.000,00peloprazode180diasobteveumrendimentodeR$ 1.147,25.Qualataxaanualcorrespondenteaessaaplicação? Resposta: 0,049028% ao dia ou 17,65% ao ano

4) Sabendo-sequeosjurosdeR$7.800,00foramobtidoscomumaaplicaçãodeR$9.750, àtaxade8%aotrimestre,pede-sequecalculeoprazo. Resposta: 10 trimestres ou 2,5 anos

5) Qualocapitalque,àtaxade2,8%aomês,rendejurosdeR$950,00emumano? Resposta: R$ 2.827,38

6) UmempréstimodeR$21.749,41éliquidadoporR$27.612,29nofinalde152dias. Calcularataxamensaldejuros. Resposta: 5,32% ao mês

7) CalcularovalordosjurosedomontantedeumaaplicaçãodeR$21.150,00,feitade 3,64%aomês,peloprazode72dias. Resposta: J = R$ 1.847,66 e FV = R$ 22.997,66

8) CalcularovalorfuturodaaplicaçãodeumcapitaldeR$7.565,01,peloprazode12 meses,àtaxade2,5%aomês. Resposta: R$ 9.834,51

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9) Determinaro valorpresentedeumtítulocujovalorderesgateédeR$56.737,59, sabendo-sequeataxadejurosé2,8%aomêsequefaltamtrêsmesesparao seu vencimento. Resposta: R$ 52.340,95

10)Emquantotempoumcapitalaplicadoa2,95%aomêsdobraoseuvalor? Resposta: 33 meses e 27 dias

Exercícios de reorço Osexercíciosdereforçotêmcomoobjetivoprincipalcomplementarosexemplos apresentadosemsaladeaulaeosexercíciospraticadospelosalunos. 1. DeterminarquantorenderáumcapitaldeR$60.000,00aplicadoàtaxade24%aoano, durantesetemeses. Resposta: R$ 8.400,00

2. UmcapitaldeR$28.000,00,aplicadoduranteoitomeses,rendeujurosdeR$11.200,00. Determinarataxaanual. Resposta: 60% ao ano.

3. Durante155dias,certocapitalgerouummontantedeR$64.200,00.Sabendo-seque ataxadejuroséde4%aomês,determinarovalordocapitalaplicado. Resposta: R$ 53.204,42

4. QualovalordosjuroscontidosnomontantedeR$100.000,00,resultantesdaaplicação decertocapitalàtaxade42%aoano,durante13meses? Resposta: R$ 31.271,48

5. Qual o valor aser pago, no final de cinco meses e 18 dias, correspondente a um empréstimo de R$ 125.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 27% ao semestre? Resposta: R$ 156.500,00

6. EmquantotempoumcapitaldeR$800,00,aplicadoàtaxade0,1%aodia,geraum montantedeR$1.000,00? Resposta: R$ 250 dias ou 8,333 meses

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7. UmcapitaldeR$50.000,00foiaplicadododia19/06/X1eresgatadoem20/01/X2. Sabendo-sequeataxadejurosdaaplicaçãofoide56%aoano,calcularovalordos juros,considerando-seonúmerodediasefetivosentreasduasdatas. Resposta: R$ 16.722,22

8. UmaempresaaplicouR$2.000,00nodia15/07/XXeresgatouessaaplicaçãonodia 21/07/XXporR$2.018,00.Qualfoiataxamensalderendimentoproporcionadapor essaoperação? Resposta: 4,5% ao mês.

9. Calcularovalordocapitalque,aplicadoàtaxade50,4%aoano,durantedoisanose trêsmesesproduzummontantedeR$600.000,00. Resposta: R$ 281.162,14

10.AofimdequantotempoocapitaldeR$40.000,00,aplicadoàtaxade5%aomês, produzR$18.600,00dejuros? Resposta: 9,3 meses, ou 279 dias.

11.Obteve-seumempréstimodeR$10.000,00paraserliquidadoporR$14.675,00no finaldeoitomesesemeio.Qualataxadejurosanualcobradanessaoperação? Resposta: 66% ao ano.

12.Emquantotempoumcapitalaplicadoa48%aoanodobraoseuvalor? Resposta: 2,0833 anos ou 25 meses.

13.Aquetaxadejurosumcapitalaplicadodurantedezmesesrendejurosiguala¼doseu valor? Resposta: 2,5% ao mês.

14.Um capital emprestado gerou R$ 96.720,00 de juros. Sabendo-se que o prazo da aplicaçãofoide 13 mesesea taxa de jurosde 6% ao mês, calcular ovalordo montante. Resposta: R$ 220.720,00

15.EmquantosdiasumcapitaldeR$270.420,00produzirájurosdeR$62.304,77auma taxade5,4%aomês? Resposta: 128 dias.

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16.DeterminarocapitalnecessárioparaproduzirummontantedeR$798.000,00nofinal deumanoemeio,aplicadoaumataxade15%aotrimestre. Resposta: R$ 420.000,00

17.AaplicaçãodeR$35.600,00gerouummontantedeR$58.028,00nofinaldenove meses.Calcularataxaanual. Resposta: 84% ao ano.

18.CertocapitalaplicadogerouummontantedeR$1.000,00.Sabendo-sequeataxade juroséde5%aomêseoprazodeoitomeses,calcularovalordosjuros. Resposta: R$ 285,71

19.DeterminaromontantecorrespondenteaumaaplicaçãodeR$450.000,00,por225 dias,àtaxade5,6%aomês. Resposta: R$ 639.000,00

20.Calcularovalordocapitalque,aplicadoaumataxade6,2%aomês,por174dias, produziuummontantedeR$543.840,00. Resposta: R$ 400.000,00

21.Um título de renda prefixada foi adquirido por R$ 80.000,00 e resgatado por R$ 117.760,00nofinaldeoitomeses.Calcularataxamensaldejuros. Resposta: 5,9% ao mês.

22.EmqueprazoumaaplicaçãodeR$500.000,00possibilitaoresgatedeR$614.000,00 àtaxade7,2%aomês? Resposta: 3,167 meses ou 95 dias.

23.AquetaxaanualdevoaplicarumcapitaldeR$275.000,00paraobterjurosde177.320,00 nofinalde186dias? Resposta: R$ 124,8% ao ano.

A lista de exercícios de reforço foi extraída de SOBRINHO, José Dutra Vieira, Matemática Financeira (ver referências ao final do livro).

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CAPÍTULO 5

JUROS COMPOSTOS

Conceitos de juros compostos Podemosentenderosjuroscompostoscomosendooquepopularmentechamamosde jurossobrejuros.Naverdade,osjurossãocalculadostomandocomobaseomontante, conformeodiagramadefluxodecaixaabaixo.

Observenovamenteademonstraçãodoregimedecapitalizaçãocomposta.Matematicamente,ocálculoajuroscompostoséconhecidoporcálculoexponencialdejuros. RegimedeCapitalizaçãoComposta No

Capital Aplicado

1

R$1.000,00

R$1.000,00x10%=R$100,00

R$1.000,00+R$100,00=R$1.100,00

2

R$1.100,00

R$1.100,00x10%=R$110,00

R$1.100,00+R$110,00=R$1.210,00

3

R$1.210,00

R$1.210,00x10%=R$121,00

R$1.210,00+R$121,00=R$1.331,00


Valor Acumulado ou Montante

DIAGRAMADEFLUXODECAIXAPARAOREGIMEDECAPITALIZAÇÃOCOMPOSTA M=R$1.331,00

C.i=R$100,00M1.i=R$110,00M2.i=R$121,00

C=R$1.000,00

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Valor uturo (FV) ou montante (M) FV = PV ( 1 + i ) n EXEMPLONº14:CalcularomontantedeumcapitaldeR$5.000,00aplicadoàtaxade 4%aomês,durantecincomeses. Dados: FV=? PV=R$5.000,00 i=4%aomês n=5meses

Dierença entre os juros simples e juros compostos EXEMPLONº15:CalcularomontantedeumcapitaldeR$50.000,00,aplicadoàtaxade 15%aomês,para29dias,30diase31dias,pelosregimesdejurossimplesejuroscompostos. Juros Simples a. n=29dias;FV=50.000(1+0,15x29)=R$57.250,00(J.Simples>J.Compostos)

30 b. n=30dias;FV=50.000(1+0,15x30)=R$57.500,00(J.Simples=J.Compostos)

30 c. n=31dias;FV=50.000(1+0,15x31)=R$57.750,00(J.Simples<J.Compostos)

 

30

Juros Compostos a) n=29dias; FV=50.000(1,15)29/30=R$57.232,75 b) n=30dias; FV=50.000(1,15)30/30=R$57.500,00 c) n=31dias; FV=50.000(1,15)31/30=R$57.768,50

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Função C na HP-12C, teclas [STO] e [EEX] Comaseqüênciadeteclas[STO][EEX],apareceránovisordacalculadoraHP-12Caletra C.SealetraCnãoestiveraparecendonovisor,aHP-12Cfazessecálculocombasena chamada“convençãolinear”,emqueosjurossãocalculadosdeacordocomoregimede capitalizaçãocompostoparaperíodosinteirosedeacordocomoregimedecapitalização simplesparaperíodosfracionários.Vamoscomprovar: EXEMPLONº16:CalcularovalorfuturodeumaaplicaçãodeR$1.450.300,00,àtaxade 15%aoano,durante3,5anos. Dados: PV=R$1.450.300,00 i=15%aoano n=3,5anos.

ObservequeexisteumadiferençadeR$5.777,83,vejamosoporquê. 1ºPASSO:determinarovalorfuturoparaoperíododetrêsanos(períodointeiro)pelo regimedejuroscompostos. FV(3anos)=1.450.300(1,15)3=R$2.205.725,01 2ºPASSO:determinarovalordosjuroscorrespondentesameioano(períodofracionário) peloregimedejurossimples. J(meioano)=(2.205.725,01x0,15x180)/360=R$165.429,38 3ºPASSO:determinarovalorfuturototal(3,5anos) FV(3,5anos)=R$2.205.725,01+R$165.429,38=R$2.371.154,39

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Valor presente (PV) ou capital (C) PV = FV / ( 1 + i ) n

EXEMPLONº17:Nofinaldedoisanos,oSr.CarlosdeveráefetuarumpagamentodeR$ 2.000,00referenteaovalordeumempréstimocontratadonadatadehoje,maisosjuros devidos,correspondentesaumataxade4%aomês.Pergunta-se:Qualovalorempres tado? Dados: FV=R$2.000,00 i=4%aomês n=24meses PV=?

Prazo (n) ou

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n=

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EXEMPLONº18:EmqueprazoumempréstimodeR$24.278,43podeserliquidado emumúnicopagamentodeR$41.524,33,sabendo-sequeataxacontratadaéde3% aomês? Dados: n=? PV=R$24.278,43 FV=R$41.524,33 i=3%aomês

Funções [FRAC] e [INTG] Atravésdafunção[FRAC],épossíveleliminaraparteinteiradeumnúmeroemantera partefracionária. Atravésdafunção[INTG]épossíveleliminarapartefracionáriadeumnúmeroemanter aparteinteira. Vamoscomprovar: TomandocomobaseoEXEMPLONº18,temosqueoprazofoide18,156731...meses; observequeexisteumapartefracionária,quenestecasorepresentaaquantidadededias. Paracalcularmosaquantidadededias,bastamultiplicarapartefracionáriapor30(mês comercial).

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SoluçãoÚnica. Estandocomonúmero18,156731...novisordacalculadoraHP-12C,observaroprocedimentoaseguir: [g]FRAC30[x] 4,701928dias nocasodedias,poderemosarredondaronúmeroparamaior,entãopoderemosdizerque arespostadoEXEMPLONº18seja:18mesese5dias.

ParaomesmoEXEMPLONº18,poderemoseliminarapartefracionáriaeficarcoma parteinteira,fazendoaseqüênciadeteclas:[g]INTG.

Taxas equivalentes a juros compostos

EXEMPLONº19:Aloja“ArriscaTudo”financiaavendadeumamercadorianovalordeR$ 10.210,72,sementrada,parapagamentoemumaúnicaprestaçãodeR$14.520,68nofinal de210dias.Qualataxamensalcobradapelaloja? Dados: i=? PV=R$10.210,72 FV=R$14.520,68 n=210dias

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Exercícios sobre juros compostos 1. Determinaromontante,aofinaldedezmeses,resultantedaaplicaçãodeumcapitalde R$100.000,00àtaxade3,75%aomês. Resposta: R$ 144.504,39

2. UmapessoaemprestaR$80.000,00hojeparareceberR$507.294,46nofinaldedois anos.Calcularastaxasmensaleanualdesseempréstimo. Resposta: 8% ao mês, ou 151,817% ao ano.

3. Sabendo-se que ataxatrimestral dejuroscobradapor uma instituiçãofinanceiraé de12,486%,determinarqualoprazoemqueumempréstimodeR$20.000,00será resgatadoporR$36.018,23. Resposta: cinco trimestres (ou 15 meses).

4. Quantodevoaplicarhoje,àtaxade18,00%aoano,paraterR$1.000.000,00aofinal de19meses? Resposta: R$ 769.461,37

Exercícios de reorço 1. UmaempresaobtémumempréstimodeR$700.000,00queseráliquidado,deuma sóvez,aofinaldedoisanos.Sabendo-sequeataxadejuroséde25%aosemestre, calcularovalorpeloqualesseempréstimodeveráserquitado. Resposta: R$ 1.708.984,38

2. Emqueprazoumaaplicaçãode374.938,00,àtaxade3,25%aomês,geraumresgate deR$500.000,00? Resposta: nove meses

3. UmterrenoestásendooferecidoporR$4.500,00àvistaouR$1.500,00deentradae maisumaparceladeR$3.500,00,nofinaldeseismeses.Sabendo-sequenomercado ataxamédiaparaaplicaçãoemtítulosderendaprefixadagiraemtornode3,5%ao mês(taxalíquida,istoé,comoImpostodeRendajácomputado),determinaramelhor opçãoparauminteressadoquepossuarecursosdisponíveisparacompraroterreno. Resposta: A melhor opção é comprá-lo a prazo.

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4. Aquetaxadejurosumcapitalaplicadopodeserresgatado,nofinalde17meses,pelo dobrodoseuvalor? Resposta: 4,162% ao mês.

5. Emquantotempoumcapitalpodeproduzirjurosiguaisa50%doseuvalor,seaplicado a3,755%aomês. Resposta: 11 meses.

6. Aaplicaçãodecertocapital,àtaxade69,588%aoano,gerouummontantedeR$ 820.000,00nofinaldeumanoetrêsmeses.Calcularovalordosjuros. Resposta: R$ 396.288,79

7. Oqueémaisvantajoso:aplicarR$10.000,00portrêsanos,ajuroscompostosde3%ao mês,ouaplicaressemesmovalor,pelomesmoprazo,ajurossimplesde5%aomês? Resposta: Aplicar a juros compostos de 3% ao mês.

8. Nofimdequantotempoumcapital,aplicadoàtaxade4%aomês,quadruplicaoseu valor… • Noregimedecapitalizaçãocomposta?(Resposta: 35,35 meses) • Noregimedecapitalizaçãosimples?(Resposta: 75 meses) 9. QualomontanteproduzidopelaaplicaçãodeR$580,00,àtaxade17,5%aoano,pelo prazode213dias? Resposta: 638,07

10.Qualovalordocapitalque,aplicadoàtaxade18%aotrimestredurante181dias, produziuummontantedeR$5.000,00? Resposta: R$ 3.584,32

11.AaplicaçãodeR$211.009,90proporcionouumresgatedeR$322.033,58nofinalde seismeses.Determinarastaxasmensaleanualdessaoperação. Resposta: 7,3% ao mês e 132,91% ao ano.

12.Certaaplicaçãorende0,225%aodia.Emqueprazouminvestidorpoderárecebero dobrodasuaaplicação? Resposta: 308,41 dias ou 309 dias.

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13.AaplicaçãodeR$280,00proporcionouumrendimentodeR$240,00nofinalde208 dias.Determinarataxadiária,mensal,trimestraleanualdejuros. Resposta: 0,2981% a.d; 9,3392% a.m; 30,7156% a.t. e 191,9505% a.a.

14.Em 154 dias uma aplicação rendeu 21,43%. Calcular as taxas mensal e anual equivalentes. Resposta: 3,85% a.m. e 57,44% a.a.

15.Umbancocobra20%a.a.dejuros(alémdacorreçãomonetária),numaoperaçãode capitaldegiro.Quantocobraráparaumaoperaçãoem182dias?(Consideraroano comosendo360dias.) Resposta: 9,66% a.p.

16.Quantoumapessoaresgataránofinalde93diasseaplicarR$2.000,00àtaxade15% aoano?Equalataxamensalequivalente? Resposta: R$ 2.073,53 e 1,17% a.m.

17.UmcertificadodeDepósitoBancário(CDB)equivalenteaUS$500,00rendejurosde 15%aoano.Sendooseuprazode243dias,calcularovalorderesgate(emdólar), antesdoImpostodeRenda. Resposta: US$ 549,47

18.Qualfoiataxamensaldejurosapuradaporuminvestidor,paraumaaplicaçãodeR$ 10.000,00efetuadanodia13demarçode2001,cujovalorderesgateem08dejunho de2001foideR$10.968,42? Resposta: 3,24% a.m.

19.QualéonúmerodediasnecessárioparaqueumaaplicaçãodeR$1.000,00produzaum valorderesgatedeR$3.000,00,seataxadejuroscontratualforde4,8%aomês? Resposta: 703 dias

20.Umtítuloderendafixaéemitidocomumprazodedoismesesevalorderesgatede R$10.000,00.Determinarseuvalordeemissãoparaquesejagarantidaaoinvestidor umarentabilidadede10%aoano,noregimedejuroscompostos. Resposta: R$ 9.842,40 Os exercícios dos últimos itens foram parcialmente extraídos e adaptados dos seguintes livros (ver referências ao final): SOBRINHO,José Dutra Vieira, Matemática Financeira. HAZZAN, Samuel & POMPEU, José Nicolau, Matemática Financeira – métodos quantitativos.

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CAPÍTULO 6

OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS

Nomercadofinanceiroenasoperaçõesbancáriasecomerciais,apalavrataxaéempregada deváriasformas,ouseja,váriosconceitossãoabordadosemváriassituações.Mostraremosasaplicabilidadesdastaxasdejurosdopondovistadamatemáticafinanceira.

Taxas equivalentes: Astaxassãoequivalentesse,quandoaplicadasaummesmocapital,porummesmoperíodo,geramomesmorendimento.

Onde:i(EQ)=TaxaEquivalente;i c=TaxaConhecida;QQ=QuantoeuQuero; QT=QuantoeuTenho. EXEMPLONº20:Calcularaequivalênciaentreastaxas. Taxa Conhecida

Taxa Equivalente para:

a)79,5856%aoano

1mês

b)28,59%aotrimestre

1semestre

c)2,5%aomês

105dias

d)0,5%aodia

1ano

e)25%(anocomercial)

1anoexato(base365dias)

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Solução 1:

a)i(EQ)={(1+0,7958)30/360–1}x100=5% ao mês b)i(EQ)={(1+0,2859)180/90–1}x100=65,35% ao semestre c)i(EQ)={(1+0,025)105/30–1}x100=9,03% ao período d)i(EQ)={(1+0,005)360/1–1}x100=502,26% ao ano e)i(EQ)={(1+0,25)365/360–1}x100=25,39% ao ano (exato)

Solução 2 (HP-12C)

a)1,7958[ENTER]30[ENTER]360[:][YX]1[-]100[X] 5% ao mês b)1,2859[ENTER]180[ENTER]90[:][YX]1[-]100[X] 65,35% ao trimestre c)1,025[ENTER]105[ENTER]30[:][YX]1[-]100[X] 9,03% ao período d)1,005[ENTER]360[ENTER]1[:][YX]1[-]100[X]

502,26% ao ano

e)1,25[ENTER]365[ENTER]360[:][YX]1[-]100[X] 25,39% ao ano (exato)

Programa para taxa equivalente com HP-12C

[f][P/R] [f][PRGM] [X<>Y] [:] [X<>Y] [1] [0] [0] [:] [1] [+] [x<>y] [y x] [1] [-] [1] [0] [0] [x] [f][P/R]

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UTILIZANDOOPROGRAMA 27

[ENTER]

360

[ENTER]

30

[R/S]

2,01%a.m. Este programa foi extraído do livro SHINODA, Carlos, Matemática financeira para usuários do Excel (ver referências no final).

Taxa over equivalente: Ataxaoverequivalenteéumataxausadapelomercadofinanceiro

paradeterminararentabilidadepordiaútil.Normalmenteémultiplicadapor30(conversão demercadofinanceiro).Nasempresasemgeral,éutilizadaparaescolheramelhortaxa parainvestimento.

Onde: TOE= taxaoverequivalente ic = taxadejurosconhecida QQ = nºdediasefetivosdaoperação QT =nºdediasreferenteàtaxaconhecida(ic) ndu =nºdediasúteisnoperíododaoperação.

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EXEMPLONº21:Calcularataxaoverequivalenteparaumataxade80%aoano,parauma aplicaçãode30dias,considerando19diasúteis. Dados: ic =

80%

QQ =

30dias

QT

=

360dias

ndu

=

19dias

Taxa acumulada de juros (com taxas variáveis) A taxa acumulada de juros com taxas variáveis e normalmente utilizada em situações de correções de contratos, como a atualização de aluguéis, saldo devedor da casa própriaetc.

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EXEMPLONº22:Combasenatabelaabaixo,calcularavariaçãodoIGPM-FGVacumulada duranteosmesesdejan/2001amaio/2001. Últimasvariaçõesdosíndicesdeinflação: Maio/2000 Junho/2000 Julho/2000 Agosto/2000 Setembro/2000 Outubro/2000 Novembro/2000 Dezembro/2000 Janeiro/2001 Fevereiro/2001 Março/2001 Abril/2001 Maio/2001 Acumuladonoano Acumulado12meses

IGPM+FGV -

INPC+IBGE -0,05 0,85 1,57 2,39 1,16 0,43 0,38 0,16 0,29 0,29 0,63 0,62 0,23 0,56 1,00 0,86 3,31 11,04

IGPDI+FGV IPC+FIPE 0,67 0,30 0,93 1,39 2,26 1,21 1,82 0,69 0,27 0,37 0,01 0,39 -0,05

0,55 0,77 0,49 0,46 0,84 2,60 7,07

0,76 0,49 0,34 0,80 1,13 2,79 11,16

IPCA+IBGE 0,01 0,18 0,23 1,40 1,61 1,55 1,31 0,23 0,14 0,32

0,25 0,36 0,11 0,51 0,61 0,17 1,79 5,52

0,59 0,57 0,46 0,38 0,58 2,00 6,61

Dados:IGMP(jan/2001)=0,62%IGMP(fev/2001)=0,23%   IGMP(mar/2001)=0,56%IGMP(abr/2001)=1,00%   IGMP(mai/2001)=0,86%

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Taxa média de juros Ataxamédiadejurostemcomobaseteóricaoconceitoestatísticodamédiageométrica. Éusadanormalmenteparacalcularamédiadeumconjuntodetaxas.

Onde,n=númerodetaxasanalisadas. EXEMPLO Nº 23:CombasenosdadosdoEXEMPLONº22,calcularataxamédia.

Dados: IGMP(jan/2001)=0,62% IGMP(fev/2001)=0,23% IGMP(mar/2001)=0,56% IGMP(abr/2001)=1,00% IGMP(mai/2001)=0,86%

Taxa real de juros Ataxarealdejurosnadamaisédoqueaapuraçãodeganhoouperdaemrelaçãoauma taxadeinflaçãoouaocustodeoportunidade.

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EXEMPLO Nº 24:Umaaplicaçãoduranteoano2000rendeu9,5%aoano,sabendo-se

queataxadeinflaçãodoperíodofoide5,8%aoano.Determineataxarealdejuro. Dados:

ir=? ijuros=9,5%aoano iinflação=5,8%aoano

Exercícios sobre taxas de juros 1. Determinarataxaanualequivalentea2%aomês. Reposta: 26,82% ao ano.

2. Determinarataxamensalequivalentea60,103%aoano. Resposta: 4% ao mês.

3. Determinarataxaanualequivalentea0,19442%aodia. Resposta: 101,22% ao ano.

4. Determinarataxatrimestralequivalentea47,746%emdoisanos. Resposta: 5% ao trimestre.

5. Umadeterminadarevistadeinformaçõesfinanceirasapresentouasseguintestaxasde CDI’s:Fev=2,11%;Mar=2,18%;Abr=1,69%;Mai=1,63%;Jun=1,60%e Jul=1,69%paraoanode1998.Pergunta-se: a) Qualataxamédianoperíodo?(Resposta:1,82%aomês.) b) Qualataxaacumuladanoperíodo?(Resposta:11,41%aoperíodo.) 6. Suponhamosqueumaempresacontrateumfinanciamentodecapitaldegironovalor deR$80.000,00por3meses,tendoquepagarnofinalR$94.340,57.Qualataxamédia destaaplicação? Resposta: 5,65% ao mês.

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7. OsenhorDúvida,pretendeinvestirR$6.500.000,00emumaaplicaçãonoBancodos PalmeirensesS/A,quepaga45,5%aoanopor30diascorridosecorrespondentesa 21diasúteis.SuponhaqueoBancodosCorinthianosS/Apague45%aoanopor33 diascorridosecorrespondentesa22diasúteis.Vocêfoicontratadocomogerente financeiro(a)eencontra-seemperíododeexperiência.Nasuaopinião,qualdosdois seriaomelhorparaoaplicador? Resposta: a melhor taxa é a do Banco dos Corinthianos.

8. Seopreçodeumprodutoemdezembrode1998eradeR$3.000,00eemjaneirode 1999passouaserdeR$3.300,00,dequantoéoíndicedepreçocorrespondenteao período? Resposta: 10% ao período.

9. SuponhaquenomêsbaseopreçomédiodeumacestabásicasejadeR$50,00enos trêsmesessubseqüentessejaR$60,00,R$75,00e88,50,respectivamente.Obtenhaa inflaçãoacumulada. Resposta: 77% ao período.

10.Umcapitalfoiaplicadoporumano,àtaxadejurosde21%aoano,enomesmo períodoainflaçãofoide19%aoano.Qualataxarealdejuros? Resposta: 1,68% ao ano.

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CAPÍTULO 7 DESCONTOS

Aoperaçãodescontopodeserdescritacomosendoocustofinanceirododinheiropago emfunçãodaantecipaçãoderecurso.

Desconto racional simples ou “por dentro”

Onde: DR=DescontoRacional;VN=ValorNominal;VA=ValorAtual. EXEMPLONº25:UmtítulodevalornominalR$25.000,00édescontadodoismesesantes doseuvencimento,àtaxadejurossimplesde2,5%aomês.Qualodescontoracional? Dados: VN=R$25.000,00 n=2meses i=2,5%aomês DR=?

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Desconto bancário, ou comercial ou “por ora” Onde: DB=DescontoBancário;VN=ValorNominal;VL=ValorLíquido. EXEMPLONº26:UmtítulodevalornominalR$25.000,00édescontadodoismesesantes doseuvencimento,àtaxadejurossimplesde2,5%aomês.Qualodescontobancário? Dados: VN=R$25.000,00 n=2meses i=2,5%aomês DR=?

EXEMPLONº27:UmaduplicatanovalordeR$25.000,00édescontadaemumbanco doismesesantesdoseuvencimento,àtaxadedescontode2,5%aomês.Sabendo-seque obancocobra1%atítulodedespesasadministrativasequeoIOFéde0,0041%aodiasobreovalordotítulo,obterovalorrecebidopeloportadordotítulo.Umaoutraalternativa seriatomarumempréstimocomataxalíquidade2,8%aomês.Qualamelhoropção? Dados: VN=R$25.000,00 n=2meses i=2,5%aomês iADM=1% (IOF)=0,0041%aodia i=2,8%a.m(empréstimo) VL=? DB=? DIOF=? DADM=?

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SeconsiderarmosqueoPVsejaR$23.438,50eFV=R$25.000,00,entãoteremos: i=25.000–23.438,50=1.561,50=3,12%aomês 25.000x2 50.000 Ouseja,oempréstimoseriaamelhoropção.

Operações com um conjunto de títulos EXEMPLONº28:Umaempresaapresentaoborderôdeduplicatasabaixo,paraserem descontadasnumbancoàtaxadedescontobancáriode3%aomês.Qualovalorlíquido recebidopelaempresa? BorderôdeCobrança Duplicata

A

Valor (R$)

Prazo (vencimento)

2.000,00

30dias

B

4.000,00

65dias

C

8.000,00

82dias

Solução1 DPLnºA:DB=(2.000x0,03x30)/30=R$60,00 DPLnºB:DB=(4.000x0,03x65)/30=R$260,00 DPLnºC:DB=(8.000x0,03x82)/30=R$656,00 Total R$ 976,00 ValorLíquidoRecebido:R$14.000–R$976,00=R$13.024,00

Prazo médio de um conjunto de títulos

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EXEMPLONº29:CombasenosdadosdoEXEMPLONº28,eutilizando-sedoconceito doprazomédio,acharovalorlíquido.

Solução1: PM=(2.000x30)+(4.000x65)+(8.000x82)   2.000+4.000+8.000 PM=60.000+260.000+656.000  2000+4.000+8.000 PM=976.000 14.000 PM = 69,714286 dias.

Assim,temos: DB=(14.000x0,03x69,714286...)/30 DB = R$ 976,00

VL=14.000–976,00=R$ 13.024,00

Desconto composto Odescontocompostoéaqueleemqueataxadedescontoincidesobreomontanteou valorfuturo. e

Onde:DC=descontocomposto.

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EXEMPLONº30:UmaduplicatanovalordeR$18.000,00ecom120diasparaoseuvencimento,édescontadaaumataxade2,5%aomês,deacordocomoconceitodedesconto composto.Calcularovalorlíquidocreditadonacontaeovalordodescontoconcedido. Dados: FV=R$18.000,00 n=120dias(4meses) i=2,5%aomês PV=? DC=?

Relação em taxas de desconto simples e composto

EXEMPLONº31:EfetuarodescontodeumaduplicatadeR$100,00nataxadedesconto fixade5%aomêsecalcularataxarealsimplesecomposta. Prazo em dias

Prazo em meses

Desconto

30

60

90

120

180

10

12

15

19

20

Desconto

5

10

15

20

30

50

60

75

95

100

Líquido

95

90

85

80

70

50

40

25

5

0

Taxa mensal simples

5,26

5,56

5,88

6,25

7,14

10,0

12,5

20,0

100,0

0

Taxa mensal composta

5,26

5,41

5,57

5,74

6,12

7,18

7,93

9,68

17,1

0

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Exercícios sobre desconto 1. Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 2.000,00, com vencimentopara90dias,àtaxa2,5%aomês? Resposta: R$ 150,00

2. Qualataxamensaldedescontoutilizadanumaoperaçãoa120diascujovalorderesgate édeR$1.000,00ecujovaloratualédeR$880,00? Resposta: 3% ao mês.

3. Calcular o valor líquido de um conjunto de duplicatas descontadas a 5% ao mês conformeoborderôaseguir: A 5.000 15dias B 3.500 35dias C 1.500 65dias Resposta: R$ 9.508,33

4. Uma duplicatade R$70.000,00,com 90diasadecorreratéoseu vencimento, foi descontadaporumbancoàtaxade2,70%aomês.Calcularovalorlíquidoentregue oucreditadoaocliente. Resposta: R$ 64.330,00

5. Determinarquantosdiasfaltamparao vencimentodeumaduplicatanovalordeR$ 9.800,00quesofreuumdescontodeR$548,50,àtaxade32%aoano. Resposta: 63 dias.

6. Calcular o valor do desconto composto concedido num Certificado de Depósito Bancário,devalorderesgateigualaR$200.000,00,sabendo-sequefaltam90dias paraoseuvencimentoequeataxadedescontoéde3,8%aomês. Resposta: R$ 21.944,57

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CAPÍTULO 8

SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS

Atéagora,estudamossituaçõesenvolvendoapenasdoispagamentos,ouseja,valorfuturo (FV)evalorpresente(PV).Nestecapítulo,estudaremosoperaçõesenvolvendopagamen tosperiódicos.A sérieuniforme depagamentos podeser dedoistipos:postecipadae antecipada:

Valor presente de uma série de pagamento postecipada

Onde:PMT=prestaçãooupagamentos. EXEMPLONº32:Determinaremosovalordeumfinanciamentoaserquitadoatravés dequatropagamentosmensaisdeR$5.000,00,vencendoaprimeiraparcelaa30diasda liberaçãodosrecursos,sendode5,5%a.m.ataxacontratual.

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Dados: PV=? n=4meses i=5,5%aomês PMT=R$5.000,00

Valor de prestação de uma série postecipada

EXEMPLONº33:UmeletrodomésticoévendidoàvistaporR$1.200,00.Qualdeveser ovalordaprestaçãonavendaemtrêsprestaçõesmensaisiguaisesementrada,seocusto financeirodolojistaéde4%aomês? Dados: PV=R$1.200,00 i=4%aomês n=3meses PMT=?

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Número de prestações de uma série uniorme de pagamento postecipada

EXEMPLO Nº 34:CombasenosdadosdoEXEMPLO32,acharoprazodaoperação.

Dados: PV=R$17.525,75 PMT=R$5.000 i=5,5%aomês

Cálculo taxa de uma série de pagamento uniormedapostecipada Paraocálculodataxadejuros,aconselha-seusarsomenteaHP-12C,tendoemvistaque ocálculoalgébricoémuitocomplexo. EXEMPLONº35:CombasenosdadosdoEXEMPLONº33,acharataxadejuros. Dados: PV=R$1.200,00 n=3meses PMT=R$432,42 i=?

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Série uniorme de pagamentos antecipados Estaéumametodologiaaplicadaemsituaçõesdefinanciamentocomprestaçõesoupagamentosiguaisecomentrada. Fórmulas para série de pagamentos antecipados

NaHP-12C,oprocedimentoésemelhanteaoefetuadonassériesdepagamentospostecipados;porém,acalculadoradeveconteraexpressãoBEGINnoseuvisor.Paratanto,basta pressionaraseqüênciadeteclas[g][BEG] Fórmuladovalorpresente:

Fórmuladaprestação:

Valor uturo de uma série uniorme

EXEMPLONº36:Qualéomontantequeumpoupadoracumulaem12meses,seele aplicarR$1.500,00,àtaxade4,5%aomês,nofinaldecadamês? Dados: PMT=R$1.500,00 i=4,5%aomês n=12meses FV=?

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Exercício sobre séries uniormes de pagamentos 1. DeterminarovalorfuturodeuminvestimentomensaldeR$1.000,00,durantecinco meses,àtaxade5%aomês.(sériepostecipada) Resposta: R$ 5.525,63

2. Determine ovalor doinvestimento necessárioparagarantirumrecebimentoanual deR$10.000,00nofinaldecadaumdospróximosoitoanos,sabendo-sequeesse investimento é remunerado com uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros compostos. Resposta: R$ 53.349,26

3. Determinarovalordasprestaçõesmensaisdeumfinanciamentorealizadocomataxa efetivade2,5%aomês,sabendo-sequeovalorpresenteéR$1.000,00equeoprazo édequatromeses. Resposta: R$ 265,82

4. UmautomóvelcustaR$14.480,00àvistaepodeserfinanciadoem48parcelasmensais eiguais,comataxade1,8%aomês.Determinarovalordasprestações. Resposta: R$ 453,07

5. PaulodesejapresentearseufilhoMarcoscomumcarroque,hoje,custaaproximadamenteR$13.000,00,desdequeMarcosconsigaaprovaçãonovestibular.Sabemos queaidadedeMarcoshojeéde12anos,esetudocorrerbemcom18anoseleestará ingressandonafaculdade.QuantoPaulodeveráeconomizarpormês,considerando umaprevisãodeinflaçãode7%aoano? Resposta: R$ 220,30

6. Noexercícionº4,considereumaentradade20%eumataxade1,5%aomêspara recalcularovalordaprestação. Resposta: R$ 340,28

7. UmalojaAofereceumatelevisãoporR$630,00emtrêsvezesiguais(1+2)oucom 5%dedescontoparapagamentoàvista.NalojaB,considerandoomesmopreçoà vista,amesmatelevisãoécomercializadaem24pagamentosiguaisdeR$47,69sem entrada.DetermineataxadejurospraticadospelaslojasAeB. Resposta: Loja A = 5,36% ao mês, Loja B = 6% ao mês.

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8. MarcelopagaumaprestaçãodeR$375,25pormêsporcontadofinanciamentodeseu apartamento.Sabendo-sequeataxadofinanciamentoéde6,1678%aoanoequeo valordoimóvelfoiestimadopeloagentefinanceiroemR$50.000,00,pergunta-se:em quantosmesesfoifinanciadooapartamentodeMarcelo? Resposta: 220 meses.

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CAPÍTULO 9

SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS

Écomumverificarmos,nomercadofinanceiroenasoperaçõesbancárias,dúvidasquanto aotipodemetodologiaempregadanoprocessodeamortizaçãodosempréstimosefinanciamentos.Estudaremosossistemasmaisadotadospelomercado.

Sistema de amortização constante (SAC) Principalcaracterística:ovalordaamortizaçãoéconstante. EXEMPLONº37:UmprodutodepreçoigualaR$1.500,00foifinanciadoporcincomeses,aumataxade5%aomêspelosistemaSAC.Elaboreaplanilhadefinanciamento. no

Saldo Devedor

Amortização

Juros

Prestação

0

1.500,00

0,00

0,00

0,00

1

1.200,00

300,00

75,00

375,00

2

900,00

300,00

60,00

360,00

3

600,00

300,00

45,00

345,00

4

300,00

300,00

30,00

330,00

5

0,00

300,00

15,00

315,00

1.500,00

225,00

1.725,00

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Sistema price (ou rancês) de amortização Principalcaracterística:prestaçãoconstante. EXEMPLONº38:UmprodutodepreçoigualaR$1.500,00foifinanciadoporcincomeses,aumataxade5%aomêspeloSistemaPrice.Elaboreaplanilhadefinanciamento. no

Saldo Devedor

Amortização

Juros

Prestação

0

1.500,00

0,00

0,00

0,00

1

1.228,54

271,46

75,00

346,46

2

943,51

285,03

61,43

346,46

3

644,23

299,28

47,18

346,46

4

329,98

314,25

32,21

346,46

-0,02

329,96

16,50

346,46

1.499,98

232,32

1.732,30

SoluçãonaHP-12C: [f]FIN 1.500[CHS][PV]5[i]5[n][PMT]=R$ 346,46 1[f]AMORT75,00[x<>y]271,46[RCL][PV]–1.228,54 1[f]AMORT61,43[x<>y]285,03[RCL][PV]- 943,51 1[f]AMORT47,18[x<>y]299,28[RCL][PV]- 644,23 1[f]AMORT32,21[x<>y]314,25[RCL][PV] - 329,98 1[f]AMORT16,50[x<>y]329,96[RCL][PV] - 0,02

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CAPÍTULO 10

APLICABILIDADE DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

Certificado de depósito bancário (CDB) e recibo de deposito bancário (RDB) OCDBeRDBsãotítulosemitidosporbancosregistradosnaCETIP(CentraldeCustódiaedeLiquidaçãoFinanceiradeTítulos),utilizadosparacaptaçãoderecursosjuntoaos investidores.Taisrecursossão,posteriormente,repassadosaosclientesnasoperaçõesde financiamentotradicionaisdomercadodecrédito. Pelalegislaçãoemvigor: 1–CDB/RDBpodemserpréoupós-fixados; 2–CDB/RDBpré-fixadossãoemitidoscomprazomínimode30diascorridos;ospós-fi xadoscomprazomínimode120diascorridos; 3–OCDBétransferívelporendossonominativoeoRDBéintransferível; 4–CDB/RDBsãogravadosàalíquotade20%sobreorendimentobrutoparaefeitode impostoderendaretidonafonteporocasiãodoresgate.NãoincideIOFsobreosrendimentos.

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EXEMPLONº39:Sr.PedroaplicouR$25.000,00emCDBde33diascorridose22dias úteis,àtaxade27%a.a.(base360dias).AalíquotadoIRéde20%.Pergunta-se: a)montantebruto b)rendimentobruto c)impostoderenda d)montantelíquido e)taxaefetivalíquidadoperíodo f)ataxaoverlíquidanoperíodo

Dados: FV=? PV=R$25.000,00 I=27%aoano N=33diascorridos B)Rendimentobruto RB=FV–PV RB=R$25.553,79-R$25.000,00=R$553,79 C)ImpostodeRendanafonte IR=RBxAlíquota IR=R$553,79x20%=R$110,76 D)MontanteLíquido FVL=FV–IR FVL=R$25.553,79–R$110,76=R$25.443,03 E)Taxaefetivalíquidanoperíodo

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Ip=[(25.443,03/25.000,00)–1]x100 Ip=1,7721%a.p. F)Taxaoverlíquidanoperíodo Iover=[(1+ip)1/du-1]x3000 Iover=[1+0,017721)1/22-1]x3000 Iover=2,5105%a.m.o.

Exercícios 1. DonaJoanaaplicouR$20.000,00emumCDBde33diascorridose18diasúteis,àtaxa de32%a.a.Nodiaseguinte,elaverificouqueataxaanualdoCDBpara30diascorridos e19diasúteisofereciaumaremuneraçãode38,04%a.a.Muitabrava,foiaogerente reclamarquehaviaperdido6,04pontospercentuaisdetaxaanual.Suponhamosque vocêsejaogerentedestebanco,querespostavocêdariaàdonaJoana? R.:Ataxaseráigualparaosdoiscasos3,39%,jádescontadooI.R. 2. DonaSebastianaaplicouR$300.000,00numRDBpós-fixado,àtaxadeTR+13,20% a.a,paraumperíodode150dias.OIRnafonteéde20%sobreorendimentobruto. AvariaçãodaTRéde0,60%.Calcule: a)montantebruto=R.: R$ 317.800,99 b)rendimentobruto=R.: R$ 17.800,99 R.: R$ 3.560,20 c)impostoderenda= d)montantelíquido=R.: R$ 314.240,79 e)taxaefetivalíquidanoperíodo=R.: 4,75% a.p.

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3. UmaempresadoramometalúrgicopretendeaplicarsobradecaixadeR$5.000.000,00 emumCDBnoBancoZZZS.A.,quepaga17,5%aoano(base360dias),por30dias corridosecorrespondentesa21diasúteis.SuponhaqueoBancoXXXS.A.pague 17%aoano(360dias),33diascorridosecorrespondentesa22diasúteis.Aalíquota deImpostodeRendaparaosdoiscasoséde20%. a)Calculeovalorbrutodosdoiscasos R.: Banco ZZZ R$ 5.067.648,61 R.: Banco XXX R$ 5.072.480,37

b)CalculeoImpostodeRenda R.: Banco ZZZ R$ 13.529,72 R.: Banco XXX R$ 14.496,07

c)Taxaefetivanoperíodo R.: Banco ZZZ 1,0823% a.p. R.: Banco XXX 1,1597% a.p.

d)Taxaovermensal R.: Banco ZZZ 1,5383% a.m.o. R.: Banco XXX 1,5727% a.m.o.

Abordaremosaseguiramatemáticafinanceiracomoferramentadeanáliseetomadade decisão. Taxa interna de retorno (IRR) e valor presente líquido (NPV)

EsteéumcasotípicoemqueacalculadoraHP-12Cémuitoútil,tendoemvistaqueo cálculodataxainternaderetornoémuitocomplexo.

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EXEMPLONº40:DeterminaraIRReNPVdosseguintesfluxosdecaixa. nº

Projetonº1

0

R$(50.000,00)

1

R$5.000,00

R$14.000,00

2

R$6.000,00

R$13.000,00

3

R$7.000,00

R$12.000,00

4

R$8.000,00

R$11.000,00

5

R$9.000,00

R$10.000,00

6

R$10.000,00

R$9.000,00

7

R$11.000,00

R$8.000,00

8 9

R$12.000,00 R$13.000,00

R$7.000,00 R$6.000,00

10

R$14.000,00

R$5.000,00

TIR C.OP

Projetonº2

VPL

R$(50.000,00)

11,38%a.a.

17,04a.a.

15%a.a.

15%a.a.

(7.926,68)

3.283,28

Valor da prestação de leasing

EXEMPLONº41:Umaempresacontrataumaoperaçãodeleasingde24meses,àtaxade jurosde2,5%aomês.Calculeovalordacontraprestação,sabendoqueovalordoativo fixoédeR$50.000,00equeovalorresidualgarantidofinaléde1%.

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Obs.:SefinanciarmosovalordeR$276,44comamesmataxaeprazo,encontraremoso valordeR$15,46.Nessecaso,bastaadicioná-loaovalordacontraprestaçãosemvalorresidual(R$15,46+R$2.780,18=R$2.795,64)paraencontrarovalordacontraprestação comvalorresidualincluso.

Formação do preço de venda pelo conceito do valor atual

EXEMPLONº42:Calcularopreçodevendadeumproduto,considerandoosseguintes dados: CustoDireto

R$200,00

ICMS

18%

IPI

10%

PIS

0,65%

Cofins

3%

MargemdeContribuição

40%

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Observações finais

Algunsexercíciosforamextraídosouadaptadosdasseguintesobras(verreferênciasao finaldestelivro): SHINODA,Carlos. Matemática Financeira para usuários do Excel. SOBRINHO,JoséDutraVieira. Matemática Financeira .

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referênciaS bibliográficaS aSSaF netO, alx. Matemática Financeira e suas aplicações. So Plo: als, 1992. eWaLd, L clos. Apostila Matemática Financeira e Análise de Investimento . ro  Jo: Fo gúlo Vs, 1999. Hazzan, Sl  POmPeO, José Nicolau. Matemática fnanceira. 4ª o. So Plo: al, 1993. Puccini, alo  L. Matemática Financeira objetiva e aplicada. 6ª o. So Plo: Sv, 1999. SHinOda, clos. Matemática Financeira para usuário do Excel . So Plo: als, 1998. Vieira SObrinHO, Jos d. Matemática Financeira. 5ª o. So Plo: als, 1996. Vieira SObrinHO, Jos d. Manual de Aplicações Financeiras HP-12C. 1ª o. So Plo: als, 1985.

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Apostila Matemática Financeira com HP12C

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