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REVISÃO GERAL
Múltiplos e submúltiplos
Conversão de Unidades
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Trigonometria Para o estudo da Mecânica necessitam-se dos conceitos fundamentais da trigonometria. A palavra trigonometria significa medida dos três ângulos de um triângulo e determina um ramo da matemática que estuda as relações entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo.
Círculo e Funções Trigonométricas
Triângulo retângulo No triângulo retângulo, os catetos são os lados que formam o ângulo de 90º. A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90º e é determinada pela relação: a2 = b2 + c 2 .
Relações trigonométricas
Relação fundamental da trigonometria: sen2 x + cos2 x =1
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Razões Trigonométricas Especiais
Triângulo qualquer
Introdução à Mecânica: Estática
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Alfabeto Grego Os prob proble lema mass usua usuais is em en enge genh nhar aria ia são são de defifini nido doss po porr fo form rmul ulaç açõe õess matem ma temáti ática cas, s, as qua quais is,, usual usualme mente nte,, util utiliz izam am letra letrass do alfa alfabet betoo grego grego.. É, po pois is,, necessário, seu conhecimento para as práticas comuns da Engenharia.
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1. Fundamento Fundamentoss da Resistênc Resistência ia dos dos Materi Materiais ais 1.1
Tensões e Deformações Esforços internos O objetivo principal deste módulo é estudar os esforços ou efeitos internos de fo forç rças as qu quee age agem m sobr sobree um corp corpo. o. Os corp corpos os cons consid ider erado adoss não são são supos suposto toss perfeitamente rígidos; são corpos deformáveis de diferentes formas e submetidos a diferentes carregamentos.
Barra carregada axialmente Consid Con sideran erando-s do-see uma barra barra prismá prismátic ticaa (de eix eixoo reto reto e seção seção transv transvers ersal al constante) sob ação de duas forças iguais e opostas, coincidentes com o seu eixo, a barra é tracionada quando as forças são direcionadas para fora da barra. Em caso contrário, a barra é comprimida.
Figura 1.1 – Carregamento axial Sob a ação dessas forças externas surgem esforços internos na barra; para o seu estudo, imagina-se a barra cortada ao longo de uma seção transversal qualquer. Removendo-se a parte do corpo situada à direita do corte, tem-se a situação onde está apresentada a ação que a parte suprimida exercia sobre o restante.
Figura 1.2 – Esforço Interno
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Atra Atravé véss de dest stee arti artifí fíci cio, o, os esfo esforç rços os exte extern rnos os na seçã seçãoo cons consid ider erad adaa transformam-se em internos. Para que não se altere o equilíbrio, estes estorços devem ser ser eq equi uiva vale lent ntes es à resu resultltan ante te,, tamb também ém axia axiall de inte intens nsid idad adee P, e de deve vem m ser ser perpendiculares à seção transversal considerada. Distribuição dos esforços internos A distribuição dos esforços resistentes ao longo de todos os pontos da seção transversal transversal é considerada considerada uniforme embora talvez nunca se verifique na realidade. realidade. O valor exato do esforço que atua em cada ponto é função da natureza cristalina do material e da orientação dos cristais no ponto. Tensão normal Quand Qu andoo o esfor esforço ço inter interno no resis resisten tente te atu atuan ando do em cada cada po ponto nto da seçã seçãoo transversal for perpendicular à esta seção, recebe o nome de tensão normal. A tensão normal tem a mesma unidade de pressão, ou seja, força por unidade de área. No exemplo em questão, a intensidade da tensão normal em qualquer ponto da seção transversal é obtida dividindo-se a força P pela área A da seção transversal. σ
= P/A
Onde:
σ é a tensão normal (N/m2, ton/m2, kg/m2; g/cm2); P é a força aplicada na seção transversal (N); A é a área da seção transversal (m2). Se a força P é de tração, a tensão normal é de tração. Se a força P é de compressão, a tensão normal é de compressão. Corpos de prova Para a análise de tensões e deformações, corpos de prova são ensaiados em laboratório. Os ensaios são padronizados: a forma e as dimensões dos corpos de prova variam conforme o material a ser ensaiado ou o tipo de ensaio a se realizar.
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Deformação linear Ensaiando-se um corpo de prova à tração, com forças axiais gradualmente crescentes e medindo-se os acréscimos sofridos pelo comprimento inicial, pode-se obter a deformação linear.
Figura 1.3 – Deformação Linear ε = ΔL/L
Onde: ε
é a deformação linear (adimensional);
ΔL
é o acréscimo do comprimento do corpo de prova devido à aplicação da carga (m);
L é o comprimento inicial do corpo de prova (m).
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Diagrama tensão x deformação Pode-se então medir os diversos ΔLs correspondentes aos acréscimos da carga axial aplicada à barra e realizar o ensaio até a ruptura do corpo de prova. Chamando de A a área da seção transversal inicial do corpo de prova, a tensão normal σ pode ser determinada para qualquer valor de P, com a fórmula σ = P/A. Obtêm-se, assim, diversos pares de valores σ e ε. A representação gráfica da função que os relaciona recebe o nome de diagrama tensão x deformação. Exemplos de diagrama tensão x deformação:
Figura 1.4 – Diagramas tensão x Deformação
O diagrama tensão x deformação varia muito de material para material e, dependendo da temperatura do corpo de prova ou da velocidade de crescimento da carga carga pod podem em ocor ocorre rerr resu resultltad ados os difer diferen entes tes para para um me mesm smoo ma mater teria ial.l. Entre Entre os diagramas tensão x deformação de vários grupos de materiais é possível, no entanto, distinguir algumas características comuns que nos levam a dividir os materiais em duas importantes categorias: materiais dúcteis e materiais frágeis. Materiais dúcteis e frágeis Material dúctil é aquele que apresenta grandes deformações antes de se romper (aço e alumínio, por exemplo), enquanto que o frágil é aquele que se deforma relativamente pouco antes de se romper (ferro fundido e concreto, por exemplo).
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1. 3
Lei de Hooke Para os materiais dúcteis, observa-se que a função tensão x deformação, no trecho OP, é linear. Esta relação linear entre os deslocamentos e as cargas axiais foi apresentada por Robert Hooke em 1678 e é conhecida como Lei de Hooke. Logo, o trecho OP do diagrama é representado por: σ = E . ε
Onde: σ
é a tensão normal (N/m2);
E
é o módulo de elasticidade do material (N/m2) e representa a tangente do ângulo
que a reta OP forma com o eixo ε; ε
é a deformação linear (adimensional).
Figura 1.5 – Diagrama tensão x Deformação
Módulo de elasticidade A constante E representa o módulo de elasticidade do material sob tração e também pode ser chamada de Módulo de Young. Tabelas com os módulos de elasticidade de diferentes materiais podem ser obtidas em manuais ou livros de engenharia.
Propriedades mecânicas A análise dos diagramas tensão x deformação permite caracterizar diversas propriedades do material:
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Limite de proporcionalidade: A tensão correspondente ao ponto P recebe o nome de limite de proporcionalidade e representa o valor máximo da tensão abaixo da qual o material obedece a Lei de Hooke. Para um material frágil, não existe limite de proporcionalidade (o diagrama não apresenta parte reta).
Limite de elasticidade: Muito próximo a P, existe um ponto na curva tensão x deformação ao qual corresponde o limite de elasticidade; representa a tensão máxima que pod podee ser ser ap aplilica cada da à barra barra sem sem qu quee ap apar areç eçam am def deform ormaç ações ões resid residua uais is ou permanentes após a retirada integral da carga externa. Para muitos materiais, os valores dos limites de elasticidade e proporcionalidade são praticamente iguais, sendo usados como sinônimos.
Região elástica: O trecho da curva compreendid compreendido o entre a origem e o limite de proporcionalidade recebe o nome de região elástica.
Região plástica: O trecho da curva entre o limite de proporcionalidade e o ponto de ruptura do material; é chamado de região plástica.
P
Figura 1.6 – Regiões Plásticas e Elásticas
Limite de escoamento escoamento: A tensão correspondente ao ponto Y tem o nome de limite de escoamento. A partir deste ponto, aumentam as deformações sem que se altere praticamente o valor da tensão. Quando se atinge o limite de escoamento, dizse que o material passa a escoar-se.
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Limite de resistência: (ou resistência à tração): A tensão correspondente ao ponto U recebe o nome de limite de resistência. Limite de ruptura: A tensão correspondente ao ponto R recebe o nome de limite de ruptura (ocorre a ruptura do corpo de prova).
Figura 1.7 – Limites de Escoamento, Resistência e Ruptura
Tensão admissível admissível: Obt Obtémém-se se a tens tensão ão adm admiss issíve ívell div dividi idindondo-se se a ten tensão são correspondente ao limite de resistência ou a tensão correspondente ao limite de escoamento por um número, maior do que a unidade (1), denominado coeficiente de segurança. A fixação do coeficiente de segurança é feita nas normas de cálculo ou, às vezes, pelo próprio calculista, baseado em experiência própria. σadm = σres/S
ou σadm = σesc/S
Limite de escoamento de materiais frágeis: Denomina-se agora o limite de escoamento como a tensão que corresponde a uma deformação permanente, préfixada, depois do descarregamento do corpo de prova. Fixa-se ε1, traça-se a reta tangente à curva partindo da origem, origem, traça-se uma reta paralela paralela à tangente passando passando por O’; sua interseção com a curva determina o ponto Y que corresponde ao limite de escoamento procurado.
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Figura 1.8 – Tensão Deformação de Materiais Frágeis Coefic Coeficient ientee de Poisso Poisson n: a rela relaçã çãoo en entr tree a de defo form rmaç ação ão tran transv sver ersa sall e a longitudinal verificada em barras tracionadas recebe o nome de coeficiente de Poisson ( ν ). Para diversos metais, o coeficiente de Poisson varia entre 0,25 e 0,35. = |deformação específica transversal / deformação específica longitudinal|
= |εy / εx| ou
= |εz / εx|
Exercícios 1) Uma barra de 3 metros de comprimento tem seção transversal retangular de 3 cm x 1 cm. Determinar o alongamento produzido pela carga axial de 60N. O módulo de elasticidade do material é de 200 KN/mm2.
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2) Uma barra de 30 cm de comprimento e diâmetro de 1 cm sofre um alongamento produzido por uma carga de 5 toneladas. O módulo de elasticidade do material é de 150 KN/mm2. Determinar o alongamento da barra.
3) Uma barra de 500 mm de comprimento e 16 mm de diâmetro é tracionada por uma carga axial de 12 kN. O seu comprimento aumenta em 0,3 mm e o seu diâmetro se reduz em 0,0024 mm. Determinar o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do material.
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2. Intr Introd oduç ução ão a Est Estáti ática ca 2. 1
Forças no no plano A Força representa a ação de um corpo sobre o outro e é caracterizada pelo seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido. A intensidade de uma força é expressa em Newton (N) no Sistema Internacional de Unidades (SI). A direção de uma força é definida definida por sua linha de ação, ou seja, é a reta ao longo da qual a força atua, sendo caracterizada pelo ângulo que forma com algum eixo fixo, como indicado na Figura 4 abaixo.
Figura 2.1 – Vetor Força O sentido da força é indicado por uma seta (vetor). Denomina-se Grupo de
forças, o conjunto de forças aplicadas em um único ponto de um corpo. Sistema de forças é o conjunto de forças aplicadas simultaneamente em pontos diversos de um mesmo corpo.
2.2 Equilíbrio Equilíbrio de um ponto material material Ponto material é uma pequena porção de matéria que pode ser considerada como se ocupasse um ponto no espaço. Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre um ponto material é nula, este ponto está em equilíbrio. Este princípio é conseqüência da primeira lei de Newton: “se a força resultante que atua sobre um ponto material é zero, este ponto permanece em repouso (se estava originalmente em repo repous uso) o) ou mo move ve-s -see ao long longoo de um umaa reta reta com com velo veloci cida dade de cons consta tant ntee (se (se originalmente estava em movimento)”. Para exprimir algebricamente as condições de equilíbrio de um ponto material, escreve-se:
ΣF = R = 0 Professor: Marcio Varela
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onde: F = força R = resultante das forças A representação gráfica de todas as forças que atuam em um ponto material pode ser representada por um diagrama de corpo livre, livre, como indica indica a figura ao lado.
Figura 2.2 – Forças Atuantes em um Ponto Material
Exercício: Verificação do equilíbrio do ponto A Para que o ponto A esteja em equilíbrio é necessário que a somatória de todas as forças que agem no ponto A sejam nulas, ou seja:
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Exercícios:
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2.3
Momento de uma força
Define-se Momento como a tendência de uma força F fazer girar um corpo rígido em torno de um eixo fixo. O Momento depende do módulo de F e da distância “d” de F em relação ao eixo fixo. Considere-se uma força F que atua em um corpo rígido fixo no ponto 0, como indicado na figura. A força F é representada por um vetor que define seu módulo, direção e sentido. O vetor d é a distância perpendicular de 0 à linha de ação de F.
Figura 2.3 – Momento de uma Força Define-se o momento escalar do vetor F em relação a 0, como sendo, M = F × d 0 onde: M0= momento escalar do vetor F em relação ao ponto 0 0 = pólo ou centro de momento d= distância perpendicular de 0 à linha de ação de F, também chamada de braço de alavanca O momento M0 é sempre sempre perpendicular perpendicular ao plano que contém o ponto 0. O sentido de M0 é definido pelo sentido de rotação imposto pelo vetor F. Convenciona-s Convenciona-se e momento positivo positivo se a força F tender a girar o corpo no sentido antihorário e negativo, se tender a girar o corpo no sentido horário.
Figura 2.4 – Convenção dos Sentidos do Momentos
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No SI, onde a força é expressa em newtons (N) e a distância em metros (m). Portanto, o momento é expresso em newtons × metros (N × m).
2.4 Momento Momento de um binário binário Duas forças F e –F que tenham o mesmo módulo, linhas de ação paralelas e sentidos opostos formam um binário. A soma das componentes das duas forças em qualquer direção é zero. Entretanto, a soma dos momentos das duas forças em relação a um dado ponto não é zero. Apesar de as duas forças não transladarem o corpo no qual atuam, tendem a fazê-lo girar.
Figura 2.5 – Momento Binário Exercícios: 1) Determinar: a) O momento em A devido ao binário de forças ilustrado na figura abaixo: b) Substituir o binário da figura por uma força F vertical aplicada no ponto B.
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2) Substituir o binário e a força F ilustrados na figura por uma única força P = 400 N, aplic apl icad adaa no po ponto nto C da alav alavan anca ca.. De Deter termi mina narr a dist distân ânci ciaa do eixo eixo ao po ponto nto de aplicação desta força.
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3. Estrut Estrutura urass Isost Isostáti ática ca Plan Planas as 3.1
Estrutura estrutura é a parte da construção responsável responsável pela resistência resistência às Conceito: A estrutura ações externas e é o objeto de estudo da resistência dos materiais.
3.2
Tipos de estrutura As estruturas podem ser classificadas de duas formas: - quanto às dimensões - quanto à vinculação
Quanto às dimensões:
- Reticulares: uma dimensão predomina sobre as outras duas (ex.: vigas, treliças, pórticos planos, pilares, etc.)
1. Cargas Atuantes nas Estruturas
Figura 3.1 – Exemplos de estruturas reticuladas
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- Laminares: duas dimensões predominam sobre a terceira (ex.: cortinas, lajes, etc.)
Figura 3.2 – Exemplos de estruturas laminares - Tridimensiona Tridimensionais is: as três três dime dimens nsõe õess têm têm a me mesm smaa orde ordem m de gran grande deza za (ex. (ex.:: barragens)
Figura 3.3 – Exemplo de estrutura tridimensional
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4. Cargas Cargas Atua Atuante ntess nas Estr Estrutu uturas ras 4.1 Cargas Externas Uma estrutura pode estar sujeita à ação de diferentes tipos de carga, tais como pressão do vento, reação de um pilar ou viga, as rodas de um veículo, o peso de mercadorias, etc. Estas cargas podem ser classificadas quanto à ocorrência em relação ao tempo e quanto às leis de distribuição. Quanto à ocorrência em relação ao tempo:
Cargas Permanentes: Atuam constantemente na estrutura ao longo do tempo e são devidas ao seu peso próprio e dos revestimentos e materiais que a estrutura suporta. Tratam-se de cargas com posição e valor conhecidos e invariáveis.
Figura 4.1 – Exemplo de carga permanente Cargas Acidentais: São aquelas que podem ou não ocorrer na estrutura e são provocadas por ventos, empuxo de terra ou água, impactos laterais, frenagem ou aceleração de veículos, veículos, sobrecargas em edifícios, peso de materiais materiais que preencherão preencherão a estrutura estrutura no caso de reservatóri reservatórios os de água e silos, silos, efeitos de terremotos, terremotos, peso de neve acumulada (regiões frias), etc.
Figura 4.2 – Exemplo de carga acidental
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Quanto às leis de distribuição:
Cargas concentradas: São São carg cargas as distr distrib ibuíd uídas as apl aplic icad adas as a um umaa parce parcela la reduz reduzid idaa da estru estrutur tura, a, podendo-se afirmar que são áreas tão pequenas em presença da dimensão da estrutura que podem ser consideradas pontualmente (ex.: a carga em cima de uma viga, a roda de um automóvel, etc.).
Cargas distribuídas: Podem Podem ser cla classi ssific ficadas adas em uni uniform formeme emente nte dis distri tribuíd buídas as e uni uniform formeme emente nte variáveis. Uniformemente distribuídas: São cargas constantes ao longo ou em trechos da estrutura (ex.: peso próprio, peso de uma parede sobre uma viga, pressão do vento em uma mesma altura da edificação, etc.).
Figura 4.3 – Exemplo de carga uniformemente distribuída Uniformemente variáveis : São cargas triangulares (ex.: carga em paredes de reservatório de líquido, carga de grãos a granel, empuxo de terra ou água, vento ao longo da altura da edificação, etc.).
Figura 4.4 – Exemplo de uniformemente variável
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5. Apar Aparel elho hoss de de Apo Apoio ioss A função básica dos vínculos ou apoios é de restringir o grau de liberdade das estruturas por meio de reações nas direções dos movimentos impedidos, ou seja, restringir as tendências de movimento de uma estrutura. Os vínculos têm a função física de ligar elementos que compõem a estrutura, além da função estática de transmitir as cargas ou forças. Os vínculos ou apoios são classificados em função de número de movimentos impedidos. Para estruturas planas existem três tipos de vínculos: 5.1
Vínculos de Primeira Ordem (apoio simples):
São São aq aque uele less qu quee impe impede dem m de desl sloc ocam amen ento to some soment ntee em um umaa dire direçã ção, o, produzindo reações equivalentes a uma força com linha de ação conhecida. Apenas uma reação será a incógnita.
Figura 5.1 – Aparelho de Apoio do 1º Gênero O deslocamento na posição y é impedido, logo, nesta direção, tem-se uma reação de apoio V. 5.2
Vínculos de Segunda Ordem (articulação plana):
São aqueles que restringem a translação de um corpo livre em todas as direções, mas não podem restringir a rotação em torno da conexão. Portanto, a reação produzida produzida equivale equivale a uma força com direção conhecida, envolvendo envolvendo duas incógnitas, incógnitas, geralmente representadas pelas componentes x e y da reação.
Figura 5.2 – Aparelho de Apoio do 2º Gênero
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Vínculo de Terceira Ordem (engaste ou apoio fixo):
São aqueles que imped impedem em qualque qualquerr movi movimento mento de corpo livre, imobilizando-o imobilizando-o completamente.
Figura 5.3 – Aparelho de Apoio do 3º Gênero Observação: Os vínculos podem ser chamados de 1ª, 2ª e 3ª ordem ou classe ou gênero ou tipo. 5.4
Classificação da estrutura quanto à vinculação:
Isostática: tem o número necessário de vínculos para impedir o deslocamento. Bastam as equações fundamentais da estática para determinar as suas reações de apoio.
Hipostática: tem menos vínculos do que o necessário. Hiperstática: tem número de vínculos maior que o necessário. O número de reações de apoio excede o das equações fundamentais da estática. 5.5
Equações de equilíbrio estático
Condições de equilíbrio Para um corpo, submetido a diferentes forças, estar em equilíbrio, é necessário que as forças não provoquem tendência à rotação e translação. Translação depende das forças resultantes: ∑ F = 0 Rotação depende dos momentos resultantes: ∑ M = 0 Logo, tem-se as seis equações fundamentais da estática: ∑ Fx = 0; ∑ Fy = 0; ∑ Fz = 0 ∑ Mx = 0; ∑ My = 0; ∑ Mz = 0
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Exercícios - Reações de apoio Determinar Determinar as reações de apoio para as estruturas estruturas dadas abaixo. Exercícios Exercícios a serem resolvidos em sala de aula. 1. Viga biapoiada com carga concentrada:
2. Viga biapoiada com carga concentrada:
3. Viga biapoiada com carga concentrada:
4. Viga engastada com carga concentrada:
5. Viga biapoiada com momento aplicado: Professor: Marcio Varela
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6. Viga biapoiada biapoiada com cargas concentradas concentradas na direção direção horizon horizontal: tal:
7. Viga biapoiada com carga uniformemente distribuída:
8. Viga engastada com carga uniformemente variável e uniformemente distribuída:
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6. Esfo Esforç rços os inte intern rnos os Viu-se, anteriormente, os esforços que atuam numa estrutura em equilíbrio. Veremos agora os esforços que atuam numa seção qualquer da estrutura, provocados por forças ativas e reativas. Numa seção qualquer, para manter o equilíbrio, as forças da esquerda devem ser iguais às da direita.
Figura 6.1 – Esforços Internos Uma seção S de uma estrutura em equilíbrio está submetida a um par de forças R e –R e um par de momentos M e –M aplicados no seu centro de gravidade, resultantes das forças atuantes à direita e à esquerda da seção.
Figura 6.2 – Esforços Internos - Forças e Momentos Decompondo a força resultante e o momento em duas componentes, uma perpendicular e a outra paralela à seção, teremos:
Figura 6.3 – Esforços Internos – Deomposição dos Esforços Professor: Marcio Varela
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Assim, têm-se os seguintes esforços solicitantes:
N = força normal (força perpendicular à seção S); Q = esforço cortante (força pertencente à seção S); T = momento torçor (momento perpendicular à seção S); M = momento fletor (momento pertencente à seção S). 6.1
Esforço Normal (N)
É a soma algébrica de todas as componentes, na direção normal à seção, de todas as forças atuantes de um dos lados da seção. Por convenção, o esforço normal é positivo quando determina tração e negativo quando determina compressão.
Figura 6.4 – Esforço Normal 6.2 Esforço Esforço Cortante Cortante (Q) (Q) É a soma vetorial das componentes sobre o plano da seção das forças situadas de um mesmo lado da seção. Por convenção, as projeções que se orientarem no sentido dos eixos serão positivas e nos sentidos opostos, negativas.
Figura 6.5 – Esforço Cortante
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6.3
Momento Fletor (M)
É a soma vetorial das componentes dos momentos atuantes sobre a seção, situados de um mesmo lado da seção em relação ao seu centro de gravidade.
Figura 6.6 – Momento Fletor – seções No caso caso de mo mome mento nto flet fletor or,, o sina sinall pos posititiv ivoo ou neg negati ativo vo é irre irrele leva vante nte,, importante é determinar o seu módulo e verificar onde ocorre compressão e tração.
Figura 6.7 – Momento Fletor – tração e compressão
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Método das seções
Imagine-se uma estrutura qualquer com forças aplicadas; considerando que as partes do corpo têm de estar em equilíbrio quando o corpo o está, e fazendo-se um corte imaginário perpendicular ao eixo da viga, qualquer parte da viga poderá ser considerada como um corpo livre. Cada um dos segmentos da viga está em equilíbrio, cujas condições exigem a existência de um sistema de forças na seção de corte da viga. Em geral, na seção de uma viga, são necessários uma força vertical, uma horizontal e um momento para manter a parte da viga em equilíbrio. A representação gráfica dos esforços internos em qualquer ponto da viga, representados em função de uma distância x a partir de uma das extremidades da mesma, se dá através dos chamados diagramas de estado ou diagramas de esforços internos. Por meio desses diagramas é possível a determinação dos valores máximos absolutos do esforço cortante, do momento fletor e do esforço normal. 6.5
Vigas Biapoiadas e Diagramas de Esforços Internos
a. Viga Biapoiada com Carga Concentrada:
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Exercícios: A - Determine as reações de apoios e os diagramas de esforços das estruturas abaixo.
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B - Determine as reações de apoios, os diagramas de esforços das estruturas abaixo e os esforços nas seções indicadas.
1)
2)
b. Viga Biapoiada com Carga Uniformemente Distribuida:
c. Viga Viga Biapoiad Biapoiadaa com Carga Carga Uniform Uniformemen emente te Variáv Variável: el:
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d. Viga Engastada Engastada com Carga Uniformemente Uniformemente Distribuida: Distribuida:
Exercícios: 1) Co Cons nsid ider ere e a viga viga sendo sendo 20x 20x30 30,, e lemb lembre re que que o
(peso (peso esp espec ecífi ífico co)) do
concreto é 2500 kg/m3. Faça o modelo de cálculo da viga abaixo, calcule os diagramas de esforços solicitantes na seção S. S
1.25
2) Calcule os diagramas de esforços solicitantes na seção S das vigas abaixo.
a)
b)
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c)
d)
e)
f)
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g)
i)
j)
k)
l)
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m)
7.
Pórticos Planos Isostáticos: Pórtico é o conjunto de elementos estruturais formado por vigas e pilares, as
vigas vigas do doss pó pórti rtico coss estão estão suje sujeititos os aos me mesm smos os esfor esforço çoss soli solici citan tantes tes da dass viga vigass contínuas, ou seja, momentos fletores e esforços cortantes e em alguns casos aos esforços axiais e momentos torçores. Os pilares podem estar sujeitos aos mesmos esforços, sendo que o mais solicitante, geralmente, é o esforço axial, Pois é através de dele le qu quee as carg cargas as ap aplilica cada dass na estr estrut utur uraa cheg chegam am ao aoss ap apar arel elho hoss de ap apoi oioo (fundações).
Figura 4.7 – Pórtico isostático
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Exercícios: 4 KN/m
3.00 m
4.00 m
10.0 KN
4.0 m
3.0 m
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10.0 KN
10.0 KN
4.00 m
3.00 m
2 KN
4 KN/m
3.00 m
2.00 m 4.00 m
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8. Properida Properidades des Geométrica Geométricass das das Figuras Figuras Planas Planas O dimensionamento e a verificação da capacidade resistente de barras, como de qualquer elemento estrutural dependem de grandezas chamadas tensões, as quais se distribuem ao longo das seções transversais de um corpo. Daí vem a necessidade de se conhecer claramente as características ou propriedades das figuras geométricas que formam essas seções transversais. A Figu Figura ra 8.1 8.1 aba abaix ixoo ilus ilustr traa um umaa ba barr rraa reta reta de seçã seçãoo trans transve vers rsal al cons consta tante nte,, chamada barra prismática. O lado da barra que contém o comprimento (L) e a altura (h) é chamado de seção longitudinal e o que contém a largura (b) e a altura (h) é chamado de seção transversal.
Figura 8.1 – Momento Fletor As principais propriedades geométricas de figuras planas são: Área (A)
Momento de Inércia (I)
Momento estático (M)
Módulo de resistência (W)
Centro de gravidade (CG)
Raio de giração (i)
8.1 Área (A)
A área de uma figura plana é a superfície limitada pelo seu contorno. Para contornos complexos, a área pode ser obtida aproximando-se a forma real pela justaposição de formas geométricas de área conhecida (retângulos, triângulos, etc). A unidade de área é [L]2 (unidade de comprimento ao quadrado). A área área é utili utiliza zada da para para a de deter termi minaç nação ão das ten tensõ sões es no norm rmai aiss (tra (traçã çãoo e compressão) e das tensões de transversais ou de corte.
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Momento Estático (M)
Momento estático de um elemento de uma superfície plana em relação a um eixo é o produto da área do elemento pela sua distância ao eixo considerado. Logo: O momento estático do elemento em relação ao eixo x será:
M’x = y dA O momento estático do elemento em relação ao eixo y será:
M’y = x dA
Figura 8.2 – Momento Estático (M) Momento estático de uma superfície superfície plana em relação a um eixo é a soma dos momentos estáticos, em relação ao mesmo eixo, dos elementos que formam a superfície total. Logo: O momento estático da superfície em relação ao eixo x será:
Mx =
y dA
O momento estático da superfície em relação ao eixo y será:
My =
x dA
Momento estático é uma grandeza escalar com dimensão M = [L]3, podendo ser ser po posi sititivo vo,, ne nega gatitivo vo ou nu nulo lo.. É util utiliz izad adoo pa para ra a de dete term rmin inaç ação ão da dass te tens nsõe õess transversais que ocorrem em uma peça submetida à flexão. O Momento Estático de uma superfície composta por várias figuras conhecidas é a somatória dos Momentos Estáticos de cada figura.
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Exemplo: determinar o Momento Estático das figuras abaixo
M1,x = ycg1 . A1 M2,x = ycg2 . A2 M3,x = ycg3 . A3 ........... Mx = M1,x + M2,x+ M3,x
Elemento Vazado
Mx = M1,x - M2,x
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Centro de Gravidade ou Baricentro (CG)
Se um corpo for dividido em partículas mínimas, estas ficam sujeitas à ação da gravidade, isto é, em todas estas partículas está aplicada uma força vertical atuando de cima para baixo. A resultante de todas estas forças verticais e paralelas entre si, constitui o peso do corpo. Mesm Me smoo mu muda dand ndoo a po posi siçã çãoo do corp corpoo ap aplilica cand ndoo-lh lhee um umaa rota rotaçã ção, o, ele ele permanecerá sempre sujeito à ação da gravidade. Isto significa que as forças verticais girarão em relação ao corpo, mas continuaram sempre paralelas e verticais. O ponto onde se cruzam as resultantes dessas forças paralelas, qualquer que seja a posição do corpo, chama-se Centro de Gravidade (CG).
Figura 8.3 – Centro de Gravidade ou Baricentro (CG) Porta Portant nto, o, atraç atração ão exerc exercid idaa pe pela la Terra Terra sobr sobree um corp corpoo rígi rígido do po pode de ser ser representada por uma única força P . Esta força, chamada peso do corpo, é aplicada no seu baricentro, baricentro, ou cento de gravidade (CG). O centro de gravidade gravidade pode localizarse dentro ou fora da superfície. Sendo CG o centro de gravidade gravidade de uma superfície superfície plana de área A definido pelo par ordenado (x,y) tem-se as seguintes expressões:
Mx = ycg . A
e
My = xcg . A
que exprimem o chamado teorema dos momentos estáticos e possibilitam determinar o centro de gravidade da superfície plana, ou seja:
ycg = Mx/A Professor: Marcio Varela
e
xcg = My . A 43
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onde: x cg cg = distância do CG da figura até o eixo y escolhido arbitrariamente; y cg cg = distância do CG da figura até o eixo x escolhido arbitrariamente; M x = momento estático da figura em relação ao eixo x ; M y y = momento estático da figura em relação ao eixo y; A = área da Figura.
Propriedades do centro de gravidade 1 • O momento estáti táticco de uma superf erfíci ície em relação a qu quaalqu queer eixo baricêntrico (que passe pelo CG) é nulo. 2 • Se existe existe um eixo de de simetria simetria na peça, peça, então o CG está contido contido neste eixo. 8.4
Centro de gravidade de área composta
Qualquer polígono pode ser decomposto em retângulos ou triângulos, cujos CGs podem ser facilmente determinados.
Figura 8.4 – Centro de Gravidade de área composta (CG) O centro de gravidade de uma superfície composta por várias figuras, é expresso por:
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Exemplos: 1 - Determinar o centro de gravidade da figura abaixo:
2 - Determinar o centro de gravidade da figura hachurada:
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3 - Determinar o centro de gravidade da figura hachurada:
4 - Determinar as coordenadas do CG das figuras abaixo:
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Centro de gravidade de algumas figuras planas
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Momento de Inércia (I)
Momento de inércia de um elemento O momento de inércia de um elemento de uma superfície plana em relação a um eixo qualquer é o produto da área do elemento pelo quadrado quadrado de sua distância distância ao eixo considerado. O momento de inércia do elemento em relação ao eixo x será: I’x = y2 . dA
O momento de inércia do elemento em relação ao eixo y será: I’y = x2 . dA
Por analogia, o momento de inércia de um elemento em relação ao ponto “o” (origem do sistema de eixos) será: I’o =
r 2 dA
Como r 2 = x2 + y2, tem-se: I’o = (x2 + y2) dA = x2 dA + y2 dA = I’x + I’y
O produto de inércia de um elemento em relação a um par de eixos é o produto da área do elemento pelos eixos considerados. I’xy = x y dA
Momento de inércia de uma superfície O momento de inércia de uma superfície plana em relação a um eixo é a soma dos momentos de inércia dos elementos que a constituem, em relação ao mesmo eixo. O momento de inércia da superfície em relação ao eixo x será: Ix =
y2 . dA
O momento de inércia do elemento em relação ao eixo y será: Iy =
x2 . dA
A unidade do momento de inércia é [L]2×[L]2=[L]4. O momento de inércia é uma característica geométrica importantíssima no dimensionamento dos elementos estruturais, pois fornece, em valores numéricos, a resistência da peça. Quanto maior for o momento de inércia da seção transversal de uma peça, maior a sua resistência.
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Propriedade: O momento de inércia total de uma superfície é a somatória dos momentos de inércia das figuras que a compõe. Ix
= I1,x + I2,x + I3,x
Figura 8.5 – Centro de Gravidade de área composta (CG)
Exemplo: Determinar o momento de inércia da superfície hachurada em relação ao eixo x que passa pelo CG.
8.6
Translação de eixos ou Teorema de Steiner
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O momento de inércia de uma superfície em relação a um eixo qualquer é igual ao momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo seu centro de gravidade, (A) pelo quadrado da distância que separa os dois eixos. acrescido do produto da área A
Ix
= Ixcg + A . y2cg
Iy
= Iycg + A . x2cg
Figura 8.6 – Translação de Eixos (CG) Onde: Ix
= momento de inércia da figura em relação ao eixo x.
Iy=
momento de inércia da figura em relação ao eixo y.
Icgx
= mom momento ento de inércia inércia da figura figura em relação relação ao eix eixoo CG x que passa passa pel peloo CG da
figura. Icgy
= mom momento ento de inércia inércia da figura figura em relação relação ao eix eixoo CG y que passa passa pel peloo CG da
figura.
xcg = distância do eixo y até o eixo CG y . ycg = distância do eixo x até o eixo CG x . Exemplo: Determinar o momento de inércia do retângulo em relação aos seguintes eixos: a) x , passando pela base inferior. b) xcg, passando pelo CG. a) Utilizando a formulação de mudança de eixos:
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b) Momento de inércia do retângulo em relação ao seu CG:
8.7
Módulo de Resistência (W)
Define-se módulo resistente de uma superfície plana em relação aos eixos que contém o CG como sendo a razão entre o momento de inércia relativo ao eixo que passa pelo CG da figura e a distância máxima entre o eixo e a extremidade da seção estudada.
Figura 5.7 – Módulo Resistência (W) onde: I cg cg =
momento de inércia da peça em relação ao CG da figura
x, y = distância entre o eixo do CG da figura e a extremidade da peça.
A unidade do módulo resistente é: [L]3 O módulo resistente é util utilizado izado para o dimensionam dimensionamento ento de peças submetidas submetidas à flexão.
Exemplo: Para o retângulo, tem-se:
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Raio de Giração (r)
Define-se raio de giração como sendo a raiz quadrada da relação entre o momento de inércia e a área da superfície. A unidade do raio de giração é o comprimento. O raio de giração é utilizado para o estudo da flambagem. Para o raio de giração em relação ao eixo x temos: Ix
= r 2x . A, logo: r 2x = √Ix / / A
Para o raio de giração em relação ao eixo y temos: Ix
= r 2x . A, logo: r 2y = √Iy / / A
Exemplo: A figura representa a seção transversal de uma viga “T”. Para a figura, determinar: a) o centro de gravidade; b) o momento de inércia em relação ao eixo x; c) os módulos Resistentes superior e inferior; d) o raio de giração.
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Características Geométricas de algumas figuras conhecidas
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Exercícios: Determinar as características geométricas das figuras abaixo: a) área; x cg b) centro de gravidade ( x ); cg , y cg cg );
c) momento de inércia em relação ao eixo x; c) momento de inércia em relação ao eixo y; d) módulo resistente superior e inferior; e) raio de giração.
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Solução do exemplo da “Viga T” Para facilitar a determinação das propriedades geométricas de figuras compostas, convém montar a seguinte tabela:
Centro de gravidade (CG)
Como o eixo de referência passa pela base da figura, então yinf = 4,65cm e ysup = 2,35cm. Na coluna Icgi (cm4) foi determinado o momento de inércia de cada figura, passando passando pelo respectivo respectivo centro de gravidade. gravidade. Por se tratar de retângulos, utilizou-se utilizou-se a expressão Ix = bh3/12. Em seguida, deve-se proceder à translação destes momentos de inércia para eixo x de referência para determinar a sua somatória. 2 A translação de eixos é feita por meio da expressão: Ix = I cg cg + y . A
Obtido o momento de inércia total em relação ao eixo x, deve-se agora proceder à translação para o eixo x que passa pelo centro de gravidade da figura, por meio da seguinte expressão:
O momento de inércia da figura em relação ao seu centro de gravidade é I cg cg = 101,55cm4. Em seguida, calculam-se os momentos resistentes:
Finalmente, determina-se o raio de giração.
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9. Flam Flamba bage gem m de col colun unas as Neste último módulo da disciplina (aleluia!) estuda-se a estabilidade da estrutura, ou seja, sua capacidade para suportar uma dada carga sem sofrer uma mudança brusca em sua configuração. O estudo será voltado para colunas suportando cargas axiais. Vejamos as seguintes imagens:
Figura 9.1 – Flambagem de Coluna Uma coluna qualquer de comprimento L que vai suportar uma carga qualquer P estará bem dimensionada se a área A da seção transversal for escolhida de modo que a tensã ten sãoo no norm rmal al em qua qualq lquer uer po ponto nto da seçã seçãoo trans transve vers rsal al fiqu fiquee ab abai aixo xo da ten tensã sãoo admissível à tração ou compressão do material usado; e se a deformação se mantiver dentro de especificações recomendadas. No entanto, pode ocorrer o fenômeno da
flambagem quando a carga P é aplicada; em vez de permanecer com seu eixo retilíneo, a coluna se torna encurvada. A coluna que flamba sob o carregamento especificado no cálculo não está dimensionada corretamente. Se a condição de equilíbrio é perturbada, o sistema retornará à sua posição original de equilíbrio desde que a carga P não exceda a um certo valor P cr , denomi denominado nado carga
crítica. Se P < Pcr então o sistema é estável. 9.1
Carga Crítica
A carga carga crít crític icaa é de deter termi minad nadaa atra atravé véss da Fórm Fórmul ulaa de Eule Eulerr (Leo (Leonha nhard rd Eule Euler, r, matemático suíço, 1707-1783), dada abaixo: Pcr = carga crítica; E = módulo de elasticidade; I = momento de inércia; Lf = comprimento de flambagem.
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No caso de colunas com seção transversal quadrada ou circular, o momento de inércia da seção transversal em relação a qualquer eixo baricêntrico é o mesmo, de modo que a coluna pode flambar em qualquer plano. Para seções transversais de outras formas, a carga crítica deve ser calculada para I = Imin. Se a flambagem ocorrer, ela acontecerá em um plano perpendicular ao eixo principal de inércia correspondente. 9.2
Tensão Crítica
A tensão crítica é dada por:
Do estudo de propriedades geométricas de superfícies planas, temos que I = r 2 . A, onde r é o raio de giração e A, a área da seção transversal. Logo:
Esta equação pode ser reescrita na forma:
A parcela Lf /r /r é chamada de índice de esbeltez representada pela letra esbeltez e representada teremos:
. Assim,
Observações: 1. o raio de giração deve ser aquele correspondente ao momento de inércia
mínimo. 2. O indice de esbeltes (
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) deve ser inferior a 200.
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Comprimento de Flambagem
9.3
O comprimento de flambagem é dado pela seguinte fórmula: Lf = k . L Onde: Lf = comprimento de flambagem; k = coeficiente que depende dos tipos de vínculo da coluna; L = comprimento real da coluna. O coeficiente k é dado abaixo para quatro diferentes situações:
Figura 6.2 – Coeficientes de Flambagem de Coluna
9.4
Carga Admissível
Para garantir que não ocorra flambagem, adota-se um coeficiente de segurança e calcula-se a carga admissível, da seguinte forma:
onde: Padm = carga admissível; Pcr = carga crítica; s = coeficiente de segurança. Este depende do tipo de material que está sendo utilizado.
Exercícios: Professor: Marcio Varela
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1. Determinar a carga crítica de flambagem de um pilar de 2 m com extremidades articu articulad ladas as sabe sabendondo-se se que o mód módulo ulo de ela elasti sticid cidade ade do mat materi erial al é de 200. 200.000 000 kgf/cm². A seção transversal mede 10 x 15 cm.
2. Supondo-se que a tensão crítica para o pilar da questão anterior é de 500 kgf/cm², verifique se a peça está sujeita à flambagem.
3. Determine a carga crítica de flambagem para um pilar engastado com 2 m de altura. O módulo de elasticidade é de 200.000 kgf/cm².
4. Supondo-se que a tensão crítica para o pilar da questão anterior é de 500 kgf/cm², verifique se a peça está sujeita à flambagem.
5. Determine a carga crítica de flambagem para o pilar de seção transversal tipo T dado abaixo. O módulo de elasticidade é de 250.000 kgf/cm². Professor: Marcio Varela
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6. Determine a carga admissível para o pilar da questão anterior adotando coeficiente de segurança igual a 2.
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