Apuntes de Dinamica Primer Parcial ESIMEZ ISISA PROFA MARTHA

Dinámica

Ingeniería en Sistemas Automotrices

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1 Principios generales 1.1 Introducción a la dinámica La dinámica es la rama de la física que describe la evolución en el tiempo de un sistema físico en relación con los motivos o causas que provocan los cambios de estado físico y/o estado de movimiento. El objetivo de la dinámica es describir los factores capaces de producir alteraciones de un sistema físico, cuantificarlos y plantear ecuaciones de movimiento o ecuaciones de evolución para dicho sistema de operación. El estudio de la dinámica es prominente en los sistemas mecánicos (clásicos, relativistas o cuánticos), pero también en la termodinámica y electrodinámica.

La realización acto, de una capacidad o posibilidad de ser potencia, en tanto que “ La se está actualizando. ” Aristóteles

En mecánica clásica y mecánica relativista, mediante los conceptos de desplazamiento, velocidad y aceleración es posible describir los movimientos de un cuerpo u objeto sin considerar cómo han sido producidos, disciplina que se conoce con el nombre de cinemática. Por el contrario, la dinámica es la parte de la mecánica que se ocupa del estudio del movimiento de los cuerpos sometidos a la acción de las fuerzas. En sistemas cuánticos la dinámica requiere un planteamiento diferente debido a las implicaciones del principio de incertidumbre. El cálculo dinámico se basa en el planteamiento de ecuaciones del movimiento y su integración. Para problemas extremadamente sencillos se usan las ecuaciones de la mecánica newtoniana directamente auxiliados de las leyes de conservación. En mecánica clásica y relativista, la ecuación esencial de la dinámica es la segunda ley de Newton (o ley de Newton-Euler) en la forma:

    Donde F es la sumatoria de las fuerzas y p la cantidad de movimiento. La ecuación anterior es válida para una partícula o un sólido rígido, para un medio continuo puede escribirse una ecuación basada en esta que debe cumplirse localmente. En teoría de la relatividad general no es trivial definir el concepto de fuerza resultante debido a la curvatura del espacio tiempo. En mecánica cuántica no relativista, si el sistema es conservativo la ecuación fundamental es la ecuación de Schrödinger:

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Aldo Javier Castro Delgado

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1.2 Leyes de Newton Las leyes de Newton, también conocidas como leyes del movimiento de Newton,1 son tres principios a partir de los cuales se explican una gran parte de los problemas planteados en mecánica clásica, en particular aquellos relativos al movimiento de los cuerpos, que revolucionaron los conceptos básicos de la física y el movimiento de los cuerpos en el universo.

Primera Ley de Newton La primera ley del movimiento rebate la idea aristotélica de que un cuerpo solo puede mantenerse en movimiento si se le aplica una fuerza.

<> Newton

<>

Esta ley postula, por tanto, que un cuerpo no puede cambiar por sí solo su estado inicial, ya sea en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, a menos que se aplique una fuerza o una serie de fuerzas cuya resultante no sea nula. Newton toma en consideración, así, el que los cuerpos en movimiento están sometidos constantemente a fuerzas de roce o fricción, que los frena de forma progresiva, algo novedoso respecto de concepciones anteriores que entendían que el movimiento o la detención de un cuerpo se debía exclusivamente a si se ejercía sobre ellos una fuerza, pero nunca entendiendo como tal a la fricción.

⃗   ∙ ⃗

El enunciado fundamental que podemos extraer de la ley de Newton es que la . Esta expresión es una ecuación vectorial, ya que tanto la fuerza como la aceleración llevan dirección y sentido. Por otra parte, cabe destacar que la aceleración no es la variación de la posición, sino que es la variación con la que varía la velocidad.

⃗   ∙ ⃗

De la ecuación podemos deducir que, si actúan fuerzas sobre los cuerpos, el cambio que se provoca en su aceleración es proporcional a la fuerza aplicada y dicho cambio se produce en la dirección sobre la que se apliquen dichas fuerzas.



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Segunda ley de Newton o ley fundamental de la dinámica

<> Newton

<> Newton

Esta ley se encarga de cuantificar el concepto de fuerza. La aceleración que adquiere un cuerpo es proporcional a la fuerza neta aplicada sobre el mismo. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo (que puede ser o no ser constante). Entender la fuerza como la causa del cambio de movimiento y la proporcionalidad entre la fuerza impresa y el cambio de la velocidad de un cuerpo es la esencia de esta segunda ley. Si la masa es constante

Si la masa del cuerpo es constante se puede establecer la siguiente relación, que constituye la ecuación fundamental de la dinámica:

⃗   ∙ ⃗ Donde m es la masa del cuerpo la cual debe ser constante para ser expresada de tal forma. La fuerza neta que actúa sobre un cuerpo, también llamada fuerza resultante, es el vector suma de todas las fuerzas que sobre él actúan. Así pues:



∑⃗    ∙ ⃗ =





 





La aceleración que adquiere un cuerpo es proporcional a la fuerza aplicada, y la constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo. Si actúan varias fuerzas, esta ecuación se refiere a la fuerza resultante, suma vectorial de todas ellas. Esta es una ecuación vectorial, luego se debe cumplir componente a componente. En ocasiones será útil recordar el concepto de componentes intrínsecas: si la trayectoria no es rectilínea es porque hay una aceleración normal, luego habrá también una fuerza normal (en dirección perpendicular a la trayectoria); si el módulo de la velocidad varía es porque hay una aceleración en la dirección de la velocidad (en la m isma dirección de la trayectoria). La fuerza y la aceleración son vectores paralelos, pero esto no significa que el vector velocidad sea paralelo a la fuerza. Es decir, la trayectoria no tiene por qué ser tangente a la fuerza aplicada (sólo ocurre si al menos, la dirección de la velocidad es constante). Esta ecuación debe cumplirse para todos los cuerpos. Cuando analicemos un problema con varios cuerpos y diferentes fuerzas aplicadas sobre ellos, deberemos entonces tener en cuenta las fuerzas que actúan sobre cada uno de ellos y el principio de superposición de



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fuerzas. Aplicaremos la segunda ley de Newton para cada uno de ellos, teniendo en cuenta las interacciones mutuas y obteniendo la fuerza resultante sobre cada uno de ellos. El principio de superposición establece que, si varias fuerzas actúan igual o simultáneamente sobre un cuerpo, la fuerza resultante es igual a la suma vectorial de las fuerzas que actúan independientemente sobre el cuerpo (regla del paralelogramo). Este principio aparece incluido en los Principia de Newton como Corolario, después de la tercera ley, pero es requisito indispensable para la comprensión y aplicación de las leyes, así como para la caracterización vectorial de las fuerzas. La fuerza modificará el estado de movimiento, cambiando la velocidad en módulo o dirección. Las fuerzas son causas que producen aceleraciones en los cuerpos. Por lo tanto, existe una relación causaefecto entre la fuerza aplicada y la aceleración que este cuerpo experimenta.

De esta ecuación se obtiene la unidad de medida de la fuerza en el Sistema Internacional de Unidades, el Newton:

11 ∙  Por otra parte, si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es cero, esta partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de la resultante y en dirección de esta (debido a que la masa siempre es un escalar positivo). La expresión anterior así establecida es válida tanto para la mecánica clásica como para la mecánica relativista. Si la masa no es constante

Si la masa de los cuerpos varia, como por ejemplo un cohete que va quemando combustible, no es

⃗   ∙ ⃗

válida la relación y hay que hacer genérica la ley para que incluya el caso de sistemas en los que pueda variar la masa. Para ello primero hay que definir una magnitud física nueva, la cantidad de movimiento, que se representa por la letra p y que se define como el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad, es decir:

⃗   ∙ ⃗ Newton enuncio su ley más general:

⃗) ⃗   (  De esta forma se puede relacionar la fuerza con la aceleración y con la masa, sin importar que esta sea o no sea constante. Cuando la masa es constante sale de la derivada con lo que queda la expresión:



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⃗) ⃗   (  Y se obtiene la expresión clásica de la Segunda Ley de Newton:

⃗   ∙ ⃗ Tercera ley de Newton o principio de acción y reacción La tercera ley de Newton establece que siempre que un objeto ejerce una fuerza sobre un segundo objeto, este ejerce una fuerza de igual magnitud y dirección pero en sentido opuesto sobre el primero.

<> Newton

<> Newton

Este principio presupone que la interacción entre dos partículas se propaga instantáneamente en el espacio (lo cual requeriría velocidad infinita), y en su formulación original no es válido para fuerzas electromagnéticas puesto que estas no se propagan por el espacio de modo instantáneo, sino que lo hacen a velocidad finita "c". Este principio relaciona dos fuerzas que no están aplicadas al mismo cuerpo, produciendo en ellos aceleraciones diferentes, según sean sus masas. Por lo demás, cada una de esas fuerzas obedece por separado a la segunda ley. Junto con las anteriores leyes, esta permite enunciar los principios de conservación del momento lineal y del momento angular.



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1.3 Cantidades o magnitudes fundamentales en la mecánica. Longitud 1- El concepto de longitud tiene su origen en la palabra latina longitud y se destina para nombrar a la magnitud física que permite marcar la distancia que separa a dos puntos en el espacio. 2- La longitud es una medida de una dimensión (lineal; por ejemplo, m), mientras que el área es una medida de dos dimensiones (al cuadrado; por ejemplo, m²), y el volumen es una medida de tres dimensiones (cúbica; por ejemplo, m³). 3- Longitud proviene del vocablo latino <> y significa en física la distancia que une dos puntos, y permite su medición para conocer su altura cuando se trata de una longitud vertical; o su ancho, si tomamos en cuenta una longitud horizontal.

Masa 1- La masa es la magnitud física que permite expresar la cantidad de materia que contiene un cuerpo. 2- Es todo aquello que ocupa un lugar en el espacio. 3- En el campo de la física, es una medida cuantitativa de inercia, es la oposición o resistencia. de un cuerpo a un cambio de velocidad o la oposición sobre la aplicación de una fuerza. Tiempo 1- El tiempo es la magnitud física con la que medimos la duración o separación de acontecimientos, sujetos a cambio, de los sistemas sujetos a o bservación; esto es, el período que transcurre entre el estado del sistema cuando éste presentaba un estado X y el instante en el que X registra una variación perceptible para un observador (o aparato de medida). El tiempo ha sido frecuentemente concebido como un flujo sucesivo de micro sucesos. 2- Del latín tempus, la palabra tiempo se utiliza para nombrar a una magnitud de carácter físico que se emplea para realizar la medición de lo que dura algo que es susceptible decambio3Tiempo es la secuencia actual de eventos que están ocurriendo. El pasado, presente y futuro. Trabajo En mecánica, el trabajo efectuado por una fuerza aplicada sobre una partícula durante un cierto desplazamiento se define como el producto, dependiente de la trayectoria y, por lo tanto, no constituye una variable de estado. La unidad básica de trabajo en el Sistema Internacional es y se denomina Julio.



  ⃗ ∙ ⃗

Donde 

⃗ es el vector resultante de todas las fuerzas aplicadas, que para el caso deben tener la misma dirección que el vector desplazamiento, pero no necesariamente el mismo sentido. Si los vectores tienen dirección opuesta, es decir quedan como rectas secantes formando un ángulo recto el trabajo efectuado es 0.



⃗ es el vector desplazamiento.


⃗ ∙ ⃗  


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Donde


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 indica la componente tangencial de la fuerza a la trayectoria.

Potencia Es la cantidad de trabajo efectuado por unidad de tiempo. Esto es equivalente a la velocidad de cambio de energía en un sistema o al tiempo empleado en realizar un trabajo, según queda definido por:

    Donde   

P es la potencia E es la energía t es el tiempo

La potencia se puede considerar en función de la intensidad y la superficie:

∙   

P es la potencia I es la intensidad S es la superficie

La unidad de potencia en el sistema internacional (SI) es el vatio (W), el cual es equivalente a un julio por segundo. Fuera del SI también se utiliza el caballo de vapor (CV), equivalente a la potencia necesaria para elevar verticalmente un peso de 75 a una velocidad constante de (movimiento uniforme). Teniendo en cuenta que un kilopondio o kilogramo-fuerza es la fuerza ejercida sobre una



1 / (−)  masa de 1  por la gravedad estándar en la superficie terrestre, esto es, 9,80665  , entonces:  1   75  ∙ 9,80665  ∙ 1  735,498750.986 ESIME Unidad Zacatenco


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1.4 Unidades de medición Una unidad de medida es una cantidad estandarizada de una determinada magnitud física, definida y adoptada por convención o por ley. Cualquier valor de una cantidad física puede expresarse como un múltiplo de la unidad de medida. Una unidad de medida toma su valor a partir de un patrón o de una composición de otras unidades definidas previamente. Las primeras unidades se conocen como unidades básicas o de base (fundamentales), mientras que las segundas se llaman unidades derivadas.

1.5 Consideraciones Dimensionales Consideraciones dimensionales o análisis dimensional es una herramienta que permite simplificar el estudio de cualquier fenómeno en el que estén involucradas muchas magnitudes físicas en forma de variables independientes. Su resultado fundamental, el teorema π de Vaschy-Buckingham (más conocido por teorema π ) permite cambiar el conjunto original de parámetros de entrada dimensionales de un problema físico por otro conjunto de parámetros de entrada adimensionales más reducido. Estos parámetros adimensionales se obtienen mediante combinaciones adecuadas de los parámetros dimensionales y no son únicos, aunque sí lo es el número mínimo necesario para estudiar cada sistema. De este modo, al obtener uno de estos conjuntos de tamaño mínimo se consigue:  

Analizar con mayor facilidad el sistema objeto de estudio Reducir drásticamente el número de ensayos que debe realizarse para averiguar el comportamiento o respuesta del sistema.



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Finalmente, el análisis dimensional también es una herramienta útil para detectar errores en los cálculos científicos e ingenieriles. Con este fin se comprueba la congruencia de las unidades empleadas en los cálculos, prestando especial atención a las unidades de los resultados.



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2 Cinemática de partículas 2.1 Posición, velocidad y aceleración Posición Una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta se dice que se encuentra en movimiento rectilíneo. En cualquier instante dado t, la partícula ocupará cierta posición sobre la línea recta. Para definir la posición P de la partícula se elige un origen fijo O sobre la dirección positiva a lo largo de la línea. Se mide la distancia x desde O hasta P, y se marca con un signo más o menos, dependiendo de si P se alcanza desde O al moverse a lo largo de la línea en la dirección positiva o en la negativa, respectivamente. La distancia x, con el signo apropiado, define por completo la posición de la partícula, y se denomina como la coordenada de la posición de la partícula.

Velocidad Cuando se conoce la coordenada de la posición x de una partícula para cualquier valor de tiempo t, se afirma que se conoce el movimiento de la partícula. El “itinerario” del movimiento puede expresarse en forma de una ecuación en x y t.

La velocidad promedio de la partícula sobre el intervalo de tiempo el desplazamiento y el intervalo de tiempo :

∆

∆

Velocidad promedio

∆ se define como el cociente entre

 ∆∆ []

La velocidad instantánea v de la partícula en el instante t se obtiene de la velocidad promedio al elegir intervalos y desplazamientos cada vez más cortos:

∆

∆

Velocidad instantánea

   ESIME Unidad Zacatenco

∆  lim ∆→ ∆


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

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La velocidad se representa mediante un número algebraico que puede ser positivo o negativo. Un valor positivo de indica que aumenta, esto es, que la partícula se mueve en la dirección positiva; un valor negativo de indica que disminuye, es decir, que la partícula se mueve en dirección negativa. La magnitud de se conoce como la rapidez de la partícula.











Aceleración Considere la velocidad de la particula en el tiempo y también su velocidad en un tiempo posterior . La aceleración promedio de la partícula sobre el intervalo de tiempo se refiere como el cociente de y :

  +∆ ∆ ∆



+∆

∆

 ∆∆  [] Si se utilizan las unidades de SI, ∆ se expresa en / y ∆ en segundos; la acelaracion promedio se expresará entonce en /  . La aceleración instantánea a de la partícula en el instante  se obtiene de la aceleración promedio al escoger valores ∆ y ∆ cada vez más pequeños: ∆ Aceleración instantánea  lim ∆→ ∆ Aceleración promedio





El límite del cociente, el cual es por definición la derivada de con respecto a , mide la razón de cambio de la velocidad.



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  



Con sustitución de en la formula anterior

     

Es posible obtener otra expresión para la aceleración eliminando el diferencial anteriores

 en las ecuaciones

     2.2 Movimiento rectilíneo En el movimiento rectilíneo, la trayectoria que describe el móvil es una línea recta. Eso permite un tratamiento más simple del problema, ya que al ser constante la dirección puede plantearse el problema del movimiento mediante funciones escalares de una sola variable. Se afirma que el movimiento de una partícula es conocido si se sabe la posición de la partícula para todo valor del tiempo t. En la práctica, sin embargo, un movimiento rara vez se define por medio de una relación entre x y t. Con mayor frecuencia, las condiciones del movimiento se especificarán por el tipo de aceleración que posee la partícula. En general, la aceleración de la partícula puede expresarse como una función de una o más de las variables , y .

Aceleración en función de



 

 () ∫∫()

Para definir de manera única el movimiento de una partícula, es necesario especificar las condiciones iniciales del movimiento, esto es, el valor de posición.

 de la velocidad y el valor  de la coordenada de

  ∫   ∫ ()    −  ∫ ()



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

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Aceleración en función de De igual forma, pero sustituyendo respecto a

Aceleración en función de



  ()   ∫   ∫ ()   1  − 1   ∫() 2 2 

()   ()        ()   ()

2.3 Movimiento rectilíneo a lo largo de una lín ea MRU El movimiento rectilíneo uniforme es un tipo de movimiento en línea recta que a menudo se encuentra en las aplicaciones prácticas. En este movimiento, la aceleración a de una partícula es cero para todo valor de . En consecuencia, la velocidad es constante.



   Constante    ∫  ∫    −      + 

MRUA El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es otro tipo común de movimiento. En éste, la aceleración a de la partícula es constante

     ∫  ∫      +      +  ESIME Unidad Zacatenco


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  ∫  ∫(  +)      +  − 1  

2

También se puede recurrir a la ecuación:

   constante    ∫    ∫     1 (  −)  ( − ) 2    +(−) 2.4 Movimiento curvilíneo plano El movimiento curvilíneo puede ocurrir de forma parabólica, oscilatoria o circular. Cuando se conoce la trayectoria a lo largo de la cual viaja una partícula, es conveniente describir el movimiento por medio de los ejes de coordenadas y , los cuales actúan de manera normal y tangente a la trayectoria, respectivamente, y en el instante considerado tienen su origen localizado en la partícula.

 

Movimiento plano

2.5 Movimiento Relativo en un plano Movimiento de una partícula en dos referenciales El movimiento relativo hace referencia al que presenta una partícula con respecto a un sistema de referencia , llamado referencial relativo o móvil por estar en movimiento con respecto a otro sistema de referencia considerado como referencial absoluto o fijo.

()

()

El movimiento de un referencial respecto al otro puede ser una traslación, una rotación o una combinación de ambas (movimiento rototraslatorio). Velocidad



La velocidad de una partícula en un referencial fijo o absoluto y su velocidad referencial móvil o relativo están relacionados mediante esta expresión:

 en un

   +  +  ×   Velocidad de la partícula en el referencial fijo (velocidad absoluta)  Velocidad de la partícula en el r eferencial móvil (velocidad relativa)  Velocidad del origen del referencial móvil en el referencial fijo (arrastre de traslación)  Velocidad angular del referencial móvil respecto del referencial fijo (velocidad angular de arrastre) ESIME Unidad Zacatenco


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 ×  La velocidad de arrastre de rotación Los dos últimos términos representan la velocidad de arrastre total, de modo que podemos escribir

   +  ×  De esta forma la ecuación se puede escribir de la siguiente manera:

   + Aceleración



La aceleración de una partícula en un referencial fijo o absoluto y su aceleración referencial móvil o relativo están relacionadas mediante la expresión:

 en un

   +  +  ̇ × +  × ( × ) + ×   La aceleración de la partícula en el referencial fijo (aceleración absoluta)  Aceleración de la partícula en el referencial móvil (aceleración relativa)  Velocidad de la partícula en el referencial móvil (velocidad relativa)  Aceleración del origen del referencial móvil en el referencial fijo (arrastre de traslación)  ̇ ×  Aceleracion tangencial (arrastre de rotación)  × ( × ) Aceleración normal o centrípeta (arrastre de rotación)  ×  Aceleración complementaria o aceleración de Coriolis Si la partícula se encuentra en reposo en el referencial móvil, esto es, si    y   , su aceleración en el referencial fijo es la aceleración de arrastre que viene dada por:

   +  ̇ × +  × ( × ) Que coincide con la aceleración correspondiente un punto de un sólido rígido en movimiento. La aceleración de la partícula en el referencial puede expresarse de la siguiente manera:

   + +  Traslación sin rotación



La aceleración de una partícula en un referencial fijo o absoluto y en un referencial móvil o relativo, , están relacionadas mediante la siguiente expresión:



   +

Solo rotación

 y en un referencial móvil o

La aceleración de una partícula en un referencial fijo o absoluto relativo, , están relacionadas mediante la siguiente ecuación:



   +  ̇ × +  × ( × ) + × 



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Movimiento relativo entre dos partículas en un mismo referencial En el caso de tener dos o más partículas moviéndose respecto a un mismo referencial es posible generar expresiones para relacionar los movimientos de una partícula respecto de las otras.

 

Considere dos partículas y que se mueven a lo largo de la misma línea recta, si las coordenadas de posición y se miden desde el mismo origen, la diferencia define la coordenada de posición relativa de con respecto a y se denota por medio de

 



 /   −

 − 

o

/    +/

2.6 Movimiento Curvilíneo en el espacio

3 Cinemática del cuerpo rígido 3.1 Traslación 3.2 Movimiento plano 3.3 Rotación alrededor de un eje fijo 3.4 Movimiento plano general 3.5 Movimiento relativo a ejes de rotación 3.6 Movimiento tridimensional de un cuerpo rígido

4 Cinética de Partículas: Leyes de Newton 4.1 Ecuaciones del movimiento



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4.2 Movimiento rectilíneo 4.3 Movimiento curvilíneo

5 Cinética de Cuerpos Rígidos: Leyes de Newton 5.1 Ecuaciones para movimiento plano 5.2 Momentos y productos de inercia 5.3 Translación, rotación y movimiento plano general



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Problemario Primer Parcial Primera Parte PROBLEMA 1. La aceleración de una partícula se define mediante la relación

 −0.8 (in/s ). Si se 2

sabe que cuando t=0s la velocidad es de 40 in/s, determine: a) la distancia que recorrerá la partícula antes de quedar en reposo, b) el tiempo requerido para que la partícula quede en reposo, c) el tiempo requerido para que la velocidad de la partícula se reduzca al 50% de su valor inicial (50in, ∞, 0.866s) problema 11.3 pago 615 PROBLEMA 2. Una partícula que inicia desde el reposo en x=1ft se acelera de forma que la magnitud

de su velocidad se duplica entre x=2ft y x=8ft. Si se sabe que la aceleración de la partícula está definida por la relación

 [ − ] .Determine los valores de las constantes A y k si la partícula tiene una

velocidad de 29 ft/s cuando x=16ft (-36.8ft 2 , 1.832s-2 ) Problema 11.16 pág. 614 PROBLEMA 3. La aceleración de una partícula está definida por la relación

−√ , donde k es

una constante. Si se sabe que en t=0s, x=0 y v= 81m/s y que v=36m/s cuando x=18m, determine: a) La velocidad de la partícula cuando x=20m, b) el tiempo requerido para que quede en reposo (29.3 m/s, 0.947s) Problema 11.22 pág. 615 PROBLEMA 4. La posición de un camión durante el intervalo de tiempo t=2s a t=4s, está dada por la

ecuación 6m/s2 )

  6 +  (m), determine su posición, velocidad y aceleración en t=3s (15m, 9 m/s,

PROBLEMA 5. Datos experimentales indican que en una región de la corriente de aire que sale por

una región, la velocidad del aire emitido está definida por

0.18  (m/s), y v es la descarga inicial 0

del aire. Para v0=3.6 (m/s), determine: a) la aceleración del aire cuando x=2m, b) el tiempo requerido para que el aire fluya de x=1m a x=3m (-0.0525 m/s2 , 6.17s) 11.28 pág. 615



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Segunda Parte 1. Cuando un corredor de relevos A ingresa a la zona de intercambio de 20m de largo, con una rapidez de 12.9m/s empieza a desacelerar. Entrega la estafeta al corredor B 1.82s después, y su compañero deja la zona de intercambio con la misma velocidad. Determine: a) la aceleración uniforme de cada uno de los corredores, b) El momento en que el corredor B debe empezar a correr.

2. En una carrera de lanchas la lancha A se adelanta a la lancha B por 120 ft y ambos botes viajan a una rapidez constante de 105 mi/h. en t=0, las lanchas aceleran a tasas constantes. Si se sabe que cuando B rebasa a A, t=8 s y VA= 135 mi-7h, determine: a) la aceleración de A, b) la aceleración de B 3. Los automóviles A y B viajan en carriles adyacentes de una cerrera y en t=0 el auto B está a 75 ft adelante del auto A. las velocidades son VA = 24 mi/h y VB = 36 mi/h. Si se sabe que el automóvil A tiene una aceleración constante de 1.8 ft/s2 y que B tiene una desaceleración constante de 1.2 ft/s2, determine: a) cuando y donde A alcanzara a B, b) la rapidez de cada automóvil en ese momento 4. En una rampa se colocan cajas a intervalos uniformes de tiempo tR y se deslizan hacia debajo de la rampa con aceleración uniforme. Si se sabe que cuando se suelta la caja B, la caja A ya se ha deslizado 6m y que, un segundo después están separadas por una distancia de 10m, determine: a) el valor de tR, b) la aceleración de las cajas 5. Los collarines A y B inician su movimiento desde el reposo, el collarín A se mueve hacia arriba con una aceleración de 3t2 (in/s2). Si se sabe que el collarín B se mueve hacia abajo con una aceleración constante y que su velocidad es de 8in/s después de desplazarse 32in. Determine: a) la aceleración del bloque C, b) la distancia que se habrá movido el bloque C luego de 3s.



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6. Determine la rapidez y el desplazamiento del bloque B de la figura en el instante que se muestra, si el sistema parte del reposo y se jala hacia abajo 60cm el extremo de la cuerda A con una rapidez de 2m/s y la aceleración del bloque C es de 1.66m/s2, hacia abajo.

7. El elevador mostrado en la figura se mueve hacia abajo con una velocidad constante de 15 ft/s. Determine: a) la velocidad del cable C, b) la velocidad del contrapeso W, c) la velocidad relativa del cable C con respecto al elevador.

8. Mientras entrega periódicos, una joven lanza uno de ellos con velocidad horizontal V0. Determine el intervalo de valores de V0 si el periódico debe caer entre los puntos B y C.



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9. Se descarga carbón desde la puerta trasera de un camión de volteo con una velocidad inicial vA= 6ft/s como se muestra en la figura. Determine el radio de curvatura de la trayectoria descrita por el carbón: a) en el punto A, b) en el `punto de la trayectoria 3ft por debajo del punto A.

10. Un niño lanza una pelota desde el punto A con una velocidad inicial VA de 30m/s a un ángulo de 25° con la horizontal. Determine la velocidad de la pelota en los puntos de su trayectoria donde el radio de curvatura es igual a tres cuartos de su valor en A.



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Dinámica


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Tercera Parte 1. Una máquina lanzadora dispara pelotas de béisbol con una velocidad horizontal v0. Si se sabe que la altura h varía entre 31in y 42 in, determine a) el rango de valores de v0, b) los valores de α correspondientes a la h=31in y h=42in

2. La velocidad inicial v0 de un disco es de 105 mi/h. Determine a) el valor máximo (menor que 45°) del ángulo α para el cuál el disco entra a la portería, b) el tiempo correspondiente que se requiere para que el disco llegue a la portería.

3. Las velocidades de los esquiadores A y B, son las que se muestran en la figura. Determina la velocidad de A con respecto a B

4. Un radar con base en tierra indica que un transbordador sale de su muelle a una velocidad v=9.8 nudos a -70°, en tanto que los instrumentos a bordo del transbordador indican una velocidad de 10 nudos y una dirección de 30° hacia el suroeste con relación al río. Determine la velocidad de este último.



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5. Si se sabe que la velocidad del bloque B con respecto al bloque A es vA/B= 5.6 m/s a 70°. Determine las velocidades de A y B.

6. Si se sabe que en el instante mostrado el ensamble A tiene una velocidad de 9in/s y una aceleración de 15in/s2, ambas dirigidas hacia abajo, determine a) la velocidad del bloque B, b) La aceleración del bloque B

7. El pasador A, que se encuentra unido al eslabón AB, está restringido a moverse en la ranura circular CD. Si en t=0 el pasador empieza a moverse del reposo de manera que su rapidez aumenta a razón constante de 20mm/s2, determine la magnitud de su aceleración total, cuando a) t= 0s y t= 2s



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8. Un automovilista que viaja a lo largo de la parte recta de una carretera, está disminuyendo la rapidez de su automóvil a razón constante antes de salir de la carretera por una rampa circular de radio de 560ft. Continúa desacelerando a la misma tasa constante de manera que 10s después de entrar a la rampa, su rapidez ha bajado a 20mi/h. a partir de entonces mantiene dicha rapidez. Si se sabe que a esta rapidez constante la aceleración total del automóvil es igual a un cuarto de su valor antes de entrar a la rampa, determine el valor máximo de la aceleración del automóvil.

9. Un tubo horizontal descarga desde el punto A un chorro de agua en un estanque. Exprese el radio de curvatura del chorro en el punto B en términos de las velocidades VA y VB

10. La trayectoria de una partícula P es un caracol. El movimiento de la partícula está definido por las relaciones r=b(2+cos πt) y θ=πt, donde t y θ se e xpresan en segundos y radianes respectivamente. Determine: a) la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t=2s, b) los valores de θ para los cuales la ve locidad es máxima 11. El movimiento en dos dimensiones de una partícula se define por medio de la relaciones r=2b cos ωt y θ= ωt, donde t y ω son constantes. Determine a) la velocidad y la aceleración de la partícula en cualquier instante, b) el radio de curvatura de su trayectoria ¿a qué conclusión puede llegarse respecto a la trayectoria de la partícula? 12. La oscilación de la varilla OA alrededor de O se define por medio de la relación θ=(2/π) sen πt, donde θ y t se expresa en radianes y segundos, respectivamente. El colaron B se desliza a lo largo de la varilla de manera que su distancia desde O es r=25/(t+4), donde r y t se expresan en pulgadas y segundos respectivamente. Cuando t=1s, determine a) la velocidad del collarín, b) la aceleración total del collarín, b) la aceleración del collarín relativa a la varilla 13. El movimiento de la partícula P es la elipse definida pos las relaciones r=2/(2 – cos πt) y θ= πt, donde r se expresa en metros, θ en radianes y t en segundos. Determine la velocidad y la aceleración de la partícula cuando a) t=0s, b) t=0.5s 14. El movimiento bidimensional de una partícula se def ine por las relaciones r=2a cos θ y θ=bt2/2, donde a y b son constantes. Determine a) las magnitudes de la velocidad y la aceleración en cualquier instante, b) el radio de curvatura de la trayectoria, ¿a qué conclusión puede llegarse en cuanto a la trayectoria de la partícula?



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Apuntes de Dinamica Primer Parcial ESIMEZ ISISA PROFA MARTHA

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