APUNTES DE ESTADÍSTICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Tercera Edición Porras & Sánchez
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APUNTES DE ESTADÍSTICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL Texto guía exclusivo para el estudiante de la asignatura de Estadística Aplicada A la Ingeniería - 24095 – Grupos: O1, H1, K1
Docentes: Ing. Hernán Porras Díaz, M.Sc, Ph.D. Ing. Omar Giovanny Sánchez Rivera
Universidad Industrial de Santander Escuela de Ingeniería Civil Grupo de Investigación de Geomática, Gestión y optimización de sistemas Asignatura de Estadística Aplicada a La Ingeniería Bucaramanga, enero de 2014
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Importancia de la Estadística en la Ingeniería Un ingeniero es alguien que cumple una importante función en la sociedad que consiste en la aplicación de los principios de la ciencia para la formulación de problemas y/o soluciones enfocados a la satisfacción de las necesidades del entorno al cual pertenece. Este proceso de formular y dar solución a un problema se encuentra ligado a un conjunto de pasos en los cuales se encuentra fundamentado el método científico o método de la ingeniería que puede resumirse como:
1. Observación: Mirar con atención y recato el comportamiento del fenómeno a estudiar. 2. Inducción: Obtener conclusiones generales, identificar las variables que pueden jugar un papel en la solución. 3. Hipótesis: Proponer un modelo apoyado en postulados científicos que apliquen a la situación de interés. 4. Prueba de la hipótesis: Con la utilización del modelo propuesto realizar un proceso de experimentación realizando los ajustes necesarios para mejorar su semejanza con la realidad. 5. Demostración o refutación de la hipótesis: Verificar que los resultados obtenidos son coherentes con la realidad estudiada. 6. Teoría científica científica o tesis: Generar conclusiones basadas en los resultados obtenidos de la simulación procurando la solución del problema. En el proceso de la aplicación del método científico el ingeniero deberá entonces realizar una toma de datos que luego deberá analizar para encontrar una relación con una teoría científica o tendencia y así poder formular un modelo el cual puede consistir en un conjunto de expresiones matemáticas que permiten describir la situación analizada finalmente realizar una simulación y obtener las respectivas conclusiones. Puede inferirse entonces que al momento de realizar las acciones descritas se deberá hacer uso de la matemática en sus diferentes áreas. La ciencia de las matemáticas puede considerarse como una caja herramientas en la cual se encuentran disponibles gran variedad de herramientas con diferentes aplicaciones y complejidades, una de estas herramientas es la Estadística. La Estadística aparece de la necesidad de entender y describir la variabilidad que se presenta en la naturaleza de un parámetro de interés un claro ejemplo puede citarse en el estudio del caudal de un rio donde su variabilidad con respecto tiempo resulta de gran importancia al momento del diseño de una estructura para captación de agua La variables de interés para el ingeniero varían de acuerdo a su campo de acción un ejemplo de esta afirmación puede observarse en el campo de la Ingeniería Civil que tiene diferentes escenarios de actuación el Ingeniero Hidráulico estará interesado en el estudio del caudal de un rio con el objetivo del suministro del líquido a una red de acueducto, el Ingeniero Estructural se
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interesara por la resistencia a la compresión del concreto utilizado en la construcción de una columna, el Ingeniero de Transportes por la cantidad de vehículos en las horas pico en una zona alta congestión vehicular, El Ingeniero De Pavimentos por la cantidad de vehículos que transitan y carga que estos ejercen sobre la estructura de pavimento a analizar. Las necesidades del entorno pueden llegar a ser tan simples como estudiar la estatura de los estudiantes presentes en un aula de clase, pero no todas las situaciones analizadas son simples esto puede observarse en el estudio de los fenómenos climáticos donde a la actualidad existe serias complicaciones para lograr una predicción exacta de los potenciales desastres.
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1. Estadística descriptiva Una parte importante de la estadística es la Estadística Descriptiva esta se ocupa de la recolectar, analizar y representar un conjunto de datos con la finalidad de realizar una descripción de las características de este. La estadística descriptiva consta de dos partes como se observa en el siguiente diagrama.
Estadística Descri tiva
Numérica
Grafica
Por lo general las observaciones son una parte de un conjunto de datos correspondiente a la variable de interés, lo que se conoce como muestra que se considera como un subconjunto que se encuentra contenido en el conjunto correspondiente a la población en la siguiente imagen puede observarse tal situación.
Un ejemplo de un conjunto correspondiente a una población podría verse en los alumnos de un curso de estadística donde una muestra de tal conjunto será un grupo de estudiantes de tal curso.
Estadística descriptiva numérica 1. Media o promedio aritmético También conocida como promedio aritmético es una medida de tendencia central que puede obtenerse mediante el cálculo de un promedio ponderado este valor no necesariamente coincide con el de la moda y mediana. La media de un conjunto de datos representa el valor esperado es decir el valor más probable a obtener en uno de los elementos del conjunto analizado.
Definición La media muestral para un conjunto “n” observaciones denotadas como como:
, …….
se define
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∑ = ⋯…….
Donde “n” representa el tamaño del conjunto correspondiente a la muestra.
2. Moda. Valor que más se repite en la muestra analizada, la moda podría interpretarse como el dato con mayor frecuencia relativa absoluta presente en un conjunto de datos analizados, el conjunto de datos puede contar con una o más modas pero también puede suceder el caso en que ningún dato se repita entonces se dice que dicho conjunto no tiene moda.
3. Mediana. Es el valor que se encuentra en posición central de los datos ordenados de menor a mayor el cual su a su vez corresponde con el percentil 50 (P50) es decir el 50% de los datos tienen un valor inferior a la mediana y el 50% un valor superior. La mediana coincide con el valor del segundo cuartil (Q2)
4. Rango
∑ 1 ∑ 1
5. Varianza
6. Desviación Estándar
7. Coeficiente de variación
8. Coeficiente de asimetría
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= ∑ Caracteriza el grado de asimetría con respecto a su media Valor positivo: Distribución unilateral que se extiende hacia valores más positivos Valor negativo: Distribución unilateral que se extiende hacia valores más negativos
9. Coeficiente de curtosis Es un coeficiente que permite caracterizar el grado de elevación o el achatamiento relativo de una distribución, comparada con la distribución normal
Valor positivo: Es indicador de una distribución relativamente elevada Valor negativo: Es indicador de una distribución relativamente plana
= ∑
Ejemplo 1.1
Una clase de estadística consta de 56 alumnos, para explicar el tema de estadística descriptiva el docente elige a un grupo de 16 estudiantes los cuales pueden asumirse como una muestra representativa en el estudio de la estatura de los estudiantes del grupo, los valores obtenidos para la estatura en metros de estos 16 estudiantes son los siguientes: 1.79 1.60 1.82 1.61 1.72 1.76 1.74 1.65 1.61 1.68 1.66 1.74 1.81 1.74 1.76 1.83 Realizar un análisis de estadística descriptiva para la estatura de los estudiantes de estadística.
1. Media o promedio aritmético Aplicando la fórmula 1.1. se obtiene:
1. 7 41. 7 61. 8 3 ̅ 1.791.601.821.611.72⋯……………. 16 Apuntes de Estadística Aplicada A La Ingeniería Civil - Porras & Sánchez
8
̅ 1.72
Como puede observarse el valor promedio es un valor al que todos los valores se encuentran relativamente cerca, en el caso de preguntar el valor de la estatura a un estudiante de este grupo el valor esperado será de 1.72 [m]. El concepto de valor esperado se desarrollara en la sección de probabilidad.
2. Moda Es el dato que más se repite dentro del conjunto de datos de la muestra
1.74
3. Mediana
Ordenando los datos del menor valor al mayor valor se tiene: 1.59 1.60 1.61 1.65 1.66 1.68 1.72 1.74 1.74 1.74 1.76 1.76 1.79 1.81 1.82 1.83 Se tiene el caso de un tamaño de la muestra par n=16, el promedio aritmético de los datos de la mitad es:
1.741.2 74 1.74 1,83 1.59 1.831.590.24 1. 7 91. 7 2 1. 6 01. 7 2 ⋯………1. 7 61. 7 2 1. 8 31. 7 2 161 0.0059
4. Rango
5. Varianza
6. Desviación Estándar
7. Coeficiente de variación
√ 0.00590.0767
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0.1.076772 0.0446 1.601.72 …….16 1.761.72 1.831.72 1. 7 91. 7 2 0. 0 767 0. 0 01322 0.016767 0.1831 1.601.72 …….16 1.761.72 1.831.72 1. 7 91. 7 2 0. 0 767 0. 0 00501 0.016767 0.9048
8. Coeficiente de asimetría
9. Coeficiente de curtosis
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2. Análisis de frecuencias Un análisis de frecuencias resulta importante en el momento de realizar una descripción de la distribución de los valores numéricos de los datos de una muestra en intervalos de clase definidos según la necesidad del estudio realizado Para el cálculo del número de intervalos de clase se tienen en cuenta las siguientes expresiones. -
Para muestras de gran cantidad de datos
-
Para muestras de cantidad de datos moderada (Formula de Sturges)
√ ; : 13.3∗; :
Se debe recordar que el número de intervalos será una valor entero por tanto este deberá aproximarse según reglas de aproximación. Este número de intervalos puede ser asumido aleatoriamente según la necesidad del análisis
Ejemplo: Se estudia la respuesta dinámica en la dirección paralela al viento de construcciones con formas angulosas durante el paso del Huracán Sandy edificaciones ubicadas en regiones costeras de Carolina Del Norte en las que pueden suponerse el primer modo o modo fundamental de vibración como dominante, para esto se realizan mediciones del factor de ráfaga del viento el cual es función de varios parámetros de entre los cuales el más significativo es la velocidad del viento. Una muestra representativa de los datos obtenidos es la siguiente: 2.08 1.73 1.26 1.1 2.28
1.81 2.35 2.17 1.65 2.04
2.14 2.28 1.58 2.33 2.45
2.09 1.26 2.45 1.56 2.17
2.14 1.42 2.29 1.24 1.87
1.67 2.39 1.45 1.68 2.46
2 1.16 2.08 2.38 2.27
Realizar un análisis de Frecuencias para los datos del factor de ráfaga del viento durante el paso del huracán Sandy
Solución: Para comenzar se calcula el número de intervalos de clase para el respectivo análisis en este caso se utiliza el radical del número de datos en la muestra.
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√ √ 3 55. 9 2≈6 2.1.3604601.1001.360 ℎ 6 0.226667
Se calcula el ancho del intervalo para lo cual se tiene en cuenta el rango:
El inicio el primer intervalo deber ser el valor mínimo en la muestra y el final del ultimo intervalo será el valor máximo de los datos presente en la muestra, esto puede observarse en la tabla de análisis de frecuencia que se muestra
Intervalo de clase 1 2 3 4 5 6
Intervalo Inicio Fin 1.100 1.327 1.553 1.780 2.007 2.233
Frecuencia Frecuencia Frecuencia Absoluta Frecuencia Relativa Absoluta Acumulada Relativa Acumulada
1.327 1.553 1.780 2.007 2.233 2.460
5 2 6 3 8 11
Suma
35
5 7 13 16 24 35
0.143 0.057 0.171 0.086 0.229 0.314
0.143 0.200 0.371 0.457 0.686 1.000
1.000
La frecuencia absoluta se interpreta como el número de datos que se encuentran en el intervalo de clase al que corresponda. Debe observarse que la suma de estas frecuencias deberá ser el mismo valor que el tamaño de la muestra de lo contrario se habrá cometido un error. La frecuencia relativa se interpreta como la proporción de datos que se encuentran en el intervalo de clase esta puede obtenerse de la división de la frecuencia absoluta sobre el número de datos en la muestra, la suma de las frecuencias relativas deberá ser de uno. Los histogramas del análisis se observan a continuación,
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Histograma de Frecuencia Absoluta 12 a t 10 u l o b 8 A a i 6 c n e u 4 c e r 2 F
0 1
2
3
4
5
6
Intervalo De Clase
Histograma Frecuencia Relativa Acumulada 1.000 a t u 0.800 l o b A0.600 a i c n 0.400 e u c e 0.200 r F
0.000 1
2
3
4
5
6
Intervalo De Clase
Histograma Frecuencia Absoluta Acumulada 35 a 30 t u l o 25 b A20 a i c n 15 e u c 10 e r F 5
0 1
2
3
4
5
6
Intervalo De Clase
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Histograma Frecuencia Relativa 0.350 a 0.300 t u l o 0.250 b A0.200 a i c n 0.150 e u c 0.100 e r F 0.050
0.000 1
2
3
4
5
6
Intervalo De Clase
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3. Diagrama de tallos y hojas. Un diagrama de tallos y hojas permite obtener una distribución de frecuencias y una representación gráfica de la dispersión de una variable analizada. Se utiliza cuando se cuenta con una muestra de tamaño moderado, los pasos para la elaboración de un diagrama de tallos y hojas son: 1. Seleccionar los dígitos que son convenientes para el tallo, se recomienda que el diagrama cuente con al menos 5 tallos para facilitar la visualización del comportamiento de los datos. 2. Elaborar una lista de los valores del tallo en una columna vertical. 3. Clasificar las hojas de acuerdo al tallo que correspondan. Para los conjuntos de datos con una alta dispersión se recomienda el uso de un software.
Ejemplo: En la construcción de una edificación de vivienda se estudia la estatura de un conjunto de 30 trabajadores con el objetivo de analizar las tallas de la ropa de trabajo. Los datos obtenidos para la estatura en metros luego de una medición cuidadosa son los siguientes.
Estatura [m] 1.85 1.49 1.70 1.79 1.69 1.79 1.63 1.73 1.61 1.68 1.68 1.65 1.60 1.65 1.72 1.72 1.60 1.91 1.78 1.58 1.68 1.60 1.78 1.83 1.74 1.73 1.69 1.75 1.67 1.55 Elaborar un diagrama de un diagrama de tallos y hojas para la estatura de los trabajadores
Solución: Son tres cifras significativas con las que se realizó la medición, para el tallo se define las dos primeras cifras significativas y se clasifican la hojas según corresponda. Se calculan los valores máximo y mínimo para elaborar la lista de los tallos.
Tallo 14 15 16 17 18 19
1.1.4991 Hojas
Frecuencia 9 1 8 5 2 9 3 1 8 8 5 0 5 0 8 0 9 7 13 0 9 9 3 2 2 8 8 4 3 5 11 5 3 2 1 1 30 Total
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4. Probabilidad El estudio de la probabilidad comienza en la antigüedad con los juegos de azar algunos historiadores coinciden que los asirios y sumerios utilizaban un hueso del talón de las ovejas el cual tallaban de tal manera que este tuviera la posibilidad de caer en cuatro posiciones diferentes para realizar apuestas basadas en la posición final del hueso luego de un lanzamiento. Comienza el estudio por parte de los apostadores sobre la posibilidad de obtener las diferentes posiciones luego del lanzamiento y con esto tener una ventaja al momento de realizar la apuesta. Por estas razones los asirios y sumerios son considerados como los precursores del dado. En los tiempos del imperio romano los juegos relacionados con dados se practicaban con gran fervor uno de estos juegos conocido como “hazard” lo que traduce en inglés y f rancés riesgo o peligro entonces el termino se convierte en azar que fue introducido en Europa con la tercera cruzada. En la actualidad los juegos de azar aparecen en distintas formas juegos de cartas, juegos de dados, ruletas, maquinas traga monedas, loterías, dominos etc. El estudio de la probabilidad deja de ser único para los juegos de azar y pasa a tener gran variedad de aplicaciones en las distintas ramas del conocimiento. De los más notables estudiosos que emprendieron el estudio de la teoría de la probabilidad se encuentran importantes matemáticos como Pierre Fermat y Blaise Pascal que comenzaron a trabajar sobre algunos problemas relacionados con los juegos de azar, para luego llegar a formular una discusión sobre la creencia en Dios basada en probabilidades. El término de la probabilidad en ocasiones suele presentarse en palabras no tan formales un ejemplo para este tipo de frase podría ser “Es muy posible que todos los estudiantes del curso aprueben la asignatura” , entonces alguien curioso puede preguntar ¿Qué tan posible puede ser este fenómeno? Para responder este tipo de pregunta se hace necesario dar un valor numérico para determinar el grado de posibilidad es por ello que en esta sección y en las siguientes se estudiaran diferentes métodos y procedimientos para calcular dichos valores. Es posible que el estudiante de ingeniería en este momento piense que el presente capitulo está orientado a formar apostadores en potencia, lo cual sería erróneo dado que la teoría de la probabilidad tiene una gran aplicación en las distintas ramas de la ingeniería un ejemplo de esto es el ingeniero encargado del diseño de obras civiles que deberá tener presente la probabilidad de que se presente un evento climático extremo tal como una ráfaga de viento con altas velocidades que puede resultar fatal para una estructura.
4.1 Espacio Muestral Para el estudio de un parámetro de interés generalmente se hace necesaria la realización de un experimento con la finalidad de obtener un patrón o tendencia del fenómeno a partir de los resultados obtenidos,
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Cuando se enuncia la palabra experimento puede pensarse en un laboratorio con los equipos necesarios para las pruebas y personas calificadas encargadas de la interpretación y toma de los resultados, pero no siempre se da tal situación se define entonces un experimento cualquier acción o proceso cuyo resultado se encuentra sujeto a la incertidumbre.
1,2,3,4,5,6
Un experimento puede ser tan simple como lanzar un dado y estar interesado en la numeración obtenida, los posibles resultados para este experimento serán , puede deducirse que la variabilidad del parámetro de interés se encontrara sujeta a los posibles resultados que puedan presentarse en este caso seis.
__________________________________________________________________________ Definición: El espacio muestral de un experimento se define como el conjunto de todas las posibles respuestas que puedan obtenerse en dicho experimento.
""
La notación del conjunto se realiza con la letra , que se adopta de la traducción en idioma ingles “Space” __________________________________________________________________________
Ejercicio 4.1: Obtener el espacio muestral de un experimento que consiste en lanzar un dado
Solución: El conjunto de los posibles resultados que pueden obtenerse son:
Gráficamente,
1,2,3,4,5,6
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Ejercicio 4.2: Considere un experimento que consiste en lanzar una moneda y luego un dado obtener todos los elementos del espacio muestral que corresponde a este experimento
Solución: El diagrama que se muestra a continuación se conoce como diagrama de árbol, este tipo de diagrama resulta de gran utilidad en el análisis de problemas complejos de probabilidad
Se puede observar que en el primer nodo se representa el lanzamiento de la moneda por lo tanto el número de ramas de salen son dos que corresponden al número de posibles resultados, para el caso del lanzamiento del dado el número de ramas son seis, por tanto el número de ramas que salen de un nodo es el mismo que posibilidades haya.
1,4,2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 5,6
2.2. Evento. En el estudio de la probabilidad de cierto parámetro de interés generalmente se está interesado en un conjunto de resultados que se encuentran contenidos en el espacio muestral, los cuales cumplen ciertas características.
__________________________________________________________________________ Definición
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Un evento es un subconjunto de resultados contenido en el espacio muestral clases de eventos:
""
, existen dos
Evento simple: Consiste en un subconjunto contenido en el espacio muestral con un único elemento es decir un evento de un único resultado.
Evento compuesto: Consiste en un subconjunto contenido en el espacio muestral con más de un elemento es decir un evento con varios resultados posibles.
__________________________________________________________________________ Ejemplo: Considere el evento de obtener un múltiplo de dos al lanzar un dado. Bosquejar el subconjunto correspondiente.
Solución:
2,4,6
4.3. Relaciones de la teoría de conjuntos 4.3.1. Intersección:
"∩"
Sean dos eventos “A” y “B”, La intersección de “A” y “B” se lee “A intersección B” y se denota como da como resultado un evento que consiste en los resultados que están contenidos tanto en “A” como en “B” en la gráfica se observa la región sombreada que pertenece tanto a “A” como a “B”
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4.3.2. Unión:
"∪"
Sean dos eventos “A” y “B”, La unión de “A” y “B” se lee ”A unión B” que se denota como da como resultado un evento que consiste en los resultados que están contenidos ya sea en “A” o en “B” por tanto la unión incluye resultados para los que ocurren tanto “A” como “B” así como los resultados para los cuales ocurren exactamente uno, esto puede observarse gráficamente como sigue:
4.3.3. Complemento:
"′"
Sea “A” un evento El complemento de “A” se lee “A complemento” y se denota como da como resultado un evento que contiene todos los resultados del espacio muestral a excepción de los que se encuentran contenidos en el evento “A”
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Ejercicio 4.3
: :"∩" "∪" "′"
Considere el experimento que consiste en lanzar un dado con los siguientes eventos
Calcular
,
,
Solución Los elementos de los eventos son:
23,4,6,6
El diagrama de Venn que representa la situación planteada es como se muestra:
Del diagrama se puede observar que:
4.4 Definición de probabilidad
∪ ∩2,36,4,6 ′ 1,3,5
__________________________________________________________________________ Definición de probabilidad
" " " " "" " "
" " " "
Como se vio anteriormente en un experimento se puede llegar a uno de los resultados contenidos en el espacio muestral , sea un evento con resultados posibles la probabilidad de ocurrencia de se define como:
La probabilidad de A un número decimal.
, puede ser expresada como una fracción, como un porcentaje o como
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__________________________________________________________________________
Ejercicio 4.4
" " ""
Considere el experimento de lanzar un dado y el evento dos, calcular la probabilidad de ocurrencia del evento .
Solución:
:
de obtener un número múltiplo de
2,4,63 1 6 2 12 0.550%
Ejercicio 4.5
0. 0. 0. 1, 2 , 3 1 65, 2 00, 3 15, ∩ 0.030, ∩ 0.035, ∩ 0.040, ∩ ∩ 0.01, Una consultoría de proyectos de ingeniería civil ha licitado en tres proyectos Sea , para y suponga que Calcular:
a) La probabilidad de que a la consultoría le sean otorgados los proyectos 1 o 2. b) La probabilidad de que a la consultoría le sean otorgados los proyectos 1 y 2. c) La probabilidad de que le sea otorgado a lo más el proyecto 3. Sugerencia: Recordar que la probabilidad del espacio muestral es uno.
Solución:
1
Para la resolución del problema planteado es necesario hacer uso del conocido Diagrama de Venn que para el caso analizado se observa en la siguiente figura.
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Las letras corresponden a variables con las cuales se plantearan las ecuaciones que permitan dar solución al problema propuesto, las ecuaciones son formuladas de acuerdo a las condiciones suministradas por el enunciado.
. → 0.165 . → 0.200 . → 0.315 ∩ . → 0.030 ∩.. → 0.035 ∩ . → 0.040 ∩ ∩ → 0.01 → 1
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:
Solución a)
Solución b)
. ∩ . Apuntes de Estadística Aplicada A La Ingeniería Civil - Porras & Sánchez
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Solución c)
.
Ejercicios conjuntos y probabilidad 1. Encuentre la probabilidad de que en el lanzamiento sencillo de un dado resulte un número menor que 5.
Respuesta: 2/3 = 0.666667 = 66.6667% 2. En una urna se tienen 8 bolas de las cuales 4 son rojas, 2 son verdes y 2 son azules. Se saca a) b) c) d) e)
1 bola al azar, determine: La probabilidad de sacar una bola roja. Respuesta: 4/8 La probabilidad de sacar una bola azul. Respuesta: 2/8 La probabilidad de sacar una bola verde. Respuesta: 2/8 La probabilidad de sacar una bola azul o una bola verde. Respuesta: 0.5 = 50%. Se sacan 2 bolas simultáneamente, determine la probabilidad de sacar una bola azul y una bola roja. Respuesta: 2/7
3. Un dado se lanza dos veces. Encuentre la probabilidad de sacar un 2 y un 5, sin importar el orden de obtención.
Respuesta: 1/18 = 0.05556 = 5.556% 4. El acueducto de cierta ciudad ofrece una tasa subsidiada a cualquier familia cuyo consumo de agua sea menor que cierta cantidad durante un determinado mes. Sea A el evento en el que una familia elegida al azar, en cierta comunidad no rebasa el consumo subsidiado durante Agosto, y sea B el evento análogo para el mes de Octubre (A y B se refieren a la misma familia). Supóngase que P(A)=0.6, P(B)=0.8 y P(AUB)=0.9. Calcule P(A∩B) .
Respuesta: 0.5 = 50%. 5. Se elige al azar un alumno de cierto curso de estadística sea A el evento en el que el
∩
estudiante utiliza una tarjeta de crédito VISA y B el evento análogo para una MasterCard. Suponga que P(A)=0.5, P(B)=0.4, P(A B)=0.25 a) Calcule la probabilidad de que el individuo seleccionado tenga al menos una de las dos tarjetas
Respuesta: 0.65 b) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo seleccionado no tenga ninguna de estas tarjetas? Respuesta: 0.35
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c) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado tenga una tarjeta visa pero no una Mastercad?
Respuesta: 0.25 6. En una determinada localidad residencial, el 40% de los hogares tienen televisor pero no radio, el 10% de los hogares tienen radio pero no televisor y el 35% tiene televisor y radio. Determine la probabilidad de que tenga al menos uno de los Aparatos electrónicos.
Respuesta: 0.85 = 85%. 7. Según el ejercicio anterior, determine la probabilidad de que no tenga televisor ni radio. Respuesta: 0.15 = 15%.
0. 0. 0. 1, 2 , 3 2 2, 2 5, 2 8, ∩ 0.11, ∩ 0.05, ∩ 0.07, ∩ ∩ 0.01,
8. Una consultoría de proyectos de ingeniería civil ha licitado en tres proyectos Sea , para
y suponga que
Calcular:
a) La probabilidad de que a la consultoría le sean otorgados los proyectos 1 o 2. Respuesta: 0.360 b) La probabilidad de que a la consultoría le sean otorgados los proyectos 1 y 2. Respuesta: 0.110 c) La probabilidad de que le sea otorgado a lo más el proyecto 3. Respuesta: 0.640 d) La probabilidad de que no se le otorgue ningún proyecto a la consultoría. Respuesta: 0.470
9. Se realiza una encuesta entre 250 estudiantes de una reconocida universidad para analizar el medio de transporte que estos utilizan para llegar al claustro universitario los resultados fueron los siguientes:
Medio
No. Estudiantes
Automóvil Motocicleta Bus Automóvil y Motocicleta Motocicleta y Bus Automóvil y Bus Automóvil, Bus y Motocicleta
58 68 83 27 16 23 12
Calcular:
a) El número de estudiantes que utilizan únicamente Bus.
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b) c) d) e)
El número de estudiantes que no utilizan ninguno de los medios de transporte descritos. El porcentaje de estudiantes que utilizan únicamente Motocicleta. El porcentaje de estudiantes que utilizan Automóvil y Motocicleta pero no Bus. El número de estudiantes que utilizan Automóvil o Motocicleta pero no Bus.
56 95 14.8% 6.0% 72 0.21,0.65,0.3 8,∩∩ ∩0. 1 , ∩0. 0 3, ∩0. 1 7, 0.02,
Respuesta: a)
b)
c)
d)
e)
10. Suponga que cierto ingeniero civil residente de obra en el proyecto de la construcción de un colegio estudia los eventos A, B, C acerca del daño en una de las grúas empleadas en el proyecto, suponga los siguientes eventos.
Con probabilidades de ocurrencia.
a) Calcular la probabilidad de que el equipo haya fallado por mal manejo por parte del operario y b) c) d) e)
mala calidad del equipo. Calcular la probabilidad de que el equipo haya fallado por mal manejo por parte del operario o mala calidad del equipo. Calcular la probabilidad de que el equipo haya fallado por mal manejo por parte del operario o mala calidad del equipo pero no porque el equipo excede el tiempo de vida útil. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo haya fallado por una causa diferente a A, B y c? ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo haya fallado únicamente por mala calidad del equipo?
Respuesta: a) b) c) d) e) 11. En un estudio sobre la falla de estructuras de pavimento se tienen los siguientes eventos con
ABFalFallalena unala carcapapetgra asanulfálatirca C Falla en la su′brasante | | | pAp0.C|A2′65000; p B A 0. 0 943396; p B A 0. 4 08163; p C A ∩B 0. 4 00000 ∩B0.533333; pC|A ∩B′ 0.916667; pC|A′ ∩B′ 0.804598
probabilidades de ocurrencia:
a) Calcule la probabilidad de que falle la carpeta asfáltica dado que hubo fallas en la subrasante y en la capa granular. b) Calcule la probabilidad de que se presente falla únicamente en la carpeta asfáltica. c) Calcule la probabilidad de que fallen la subrasante y la carpeta asfáltica pero no la capa granular.
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Sugerencia: Recuerde que:
Respuesta: a)
p |B ∩ 0.058824 0.020000 0.220000 b)
c)
12. En cierto experimento estadístico se lanza un par de dados. a) Calcule la probabilidad de obtener un puntaje de siete. b) Un valor múltiplo de seis. Respuesta: a) b) c) 13. Se lanza tres veces una moneda. a) Calcule la probabilidad de obtener dos caras y un sello. b) Calcule la probabilidad de obtener solo caras o solo sellos. Respuesta: a) b) c) 14. Se lanza un dado y dos veces una moneda. a) Calcule la probabilidad de obtener dos caras y un número par. b) Calcule la probabilidad de obtener una cara y un sello y un número múltiplo tres en el dado. c) Si no se lanza el dado y se lanza 4 veces la moneda cual es la probabilidad de obtener a lo más dos caras.
Respuesta: a) b) c) 15. Con el objetivo de analizar la salud de los ingenieros civiles de una reconocida firma constructora, se realiza un estudio donde se evalúan distintos factores que contribuyen a la buena salud de los ingenieros. Uno de los factores que se analiza está relacionado con la cantidad de ejercicio físico que el ingeniero realiza, suponga los siguientes eventos con probabilidades de ocurrencia.
0.16,6, 0.17,7, 0.13,3, ∩∩ 0.0.0013,3, ∩ 0.02,2, ∩ 0.04,4, ∩
Si se selecciona al azar un ingeniero de la firma constructora, calcular: a) La probabilidad de que practique algún deporte pero no realice actividad cardiovascular al aire libre. b) La probabilidad de que únicamente realice actividad cardiovascular en gimnasio. c) La probabilidad de que a lo más practique algún deporte. , explicar la interpretación del resultado. d)
′ ∩∪ ∩∪
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Sugerencia: Recordar que la probabilidad del espacio muestral es uno.
1
0.090000 0.120000 0.700000 0.25 ℎ ℎ úú ℎ ú 0.287, 87, 0.410, 10, 0.252, 52, ∩ ∩∩0.0.011520, 20, ∩ 0.067, 67, ∩ 0.082,
Respuesta: a)
b)
c)
d)
16. Se realiza un estudio entre la comunidad estudiantil del pregrado de ingeniería civil en una reconocida universidad sobre la marca de aparatos celulares que alguna vez han tenido los estudiantes, suponga los siguientes eventos con probabilidades de ocurrencia.
Si se selecciona al azar un estudiante de ingeniería civil, calcular:
a) La probabilidad de que el estudiante haya tenido un celular marca Apple o marca Samsung pero no uno marca Blackberry. b) La probabilidad de que el estudiante haya tenido a lo más una de las marcas de celular mencionadas en los eventos A, B, y C. c) La probabilidad de que el estudiante haya tenido a lo menos dos de las marcas de celular mencionadas en los eventos A, B, y C. , explicar la interpretación del resultado. d)
′ ∩ ′ ∪
Sugerencia: Recordar que la probabilidad del espacio muestral es uno.
Respuesta: a) b) c) d)
1
17. Cierto estudiante de ingeniería es conocido entre sus compañeros por sus eficientes técnicas de conquista aplicadas a las chicas de su facultad, suponga los siguientes eventos y probabilidades de ocurrencia:
ℎ ℎ ℎ |53 3333 33; 0.0.; 0943 0.0.| 2650 2′6∩500000; ; 0.0.5333 094339| 396;∩6;′0.| 9′16667; 0.0.4081 40816363;| ;′ ∩| ′∩0.80.04598400000
a) Calcule la probabilidad de que el estudiante conquiste a una chica de la facultad. b) Una chica de intercambio académico afirma que el estudiante le regalo chocolates, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante la conquiste? c) Una estudiante de Ingeniería Industrial afirma que el estudiante le regalo chocolates pero no la invito a salir, ¿cuál es la probabilidad de que conquiste a la estudiante de ingeniería industrial? d) Calcule la probabilidad de que el estudiante conquiste a una chica a la cual invito a salir.
Respuesta: a)
0.740000 0.867925 0.916667 0.229729 b)
c)
d)
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18. Los ingenieros residentes de obra, pertenecientes a una constructora de edificaciones de vivienda, resultan ampliamente beneficiados con la tecnología, uno de los problemas en la construcción de una edificación es la visualización de los planos en la obra. En la actualidad con equipos informáticos es posible la modelación y visualización de modelos tridimensionales detallados elaborados con tecnologías BIM (building information modeling). Se sabe que el 38% de los ingenieros utiliza computador, si un ingeniero utiliza computador la posibilidad de que utilice tableta es de 13.16%, si un ingeniero no utiliza computador la posibilidad de que utilice tableta es de 25.81%, la probabilidad de que un ingeniero utilice el celular dado que utiliza computador y tableta es de 60%, la probabilidad de que un ingeniero utilice el celular dado que no utiliza computador y utiliza tableta es de 75%, si un ingeniero utiliza computador y no utiliza tableta la posibilidad de que utilice celular es de 48.48%, si un ingeniero no utiliza computador y no utiliza tableta la posibilidad de que utilice celular es de 47.83%. Suponga que en la constructora laboran 47 ingenieros como residentes de obra, calcule: a) El número de ingenieros que utilizan a los más uno de los equipos descritos. b) El número de ingenieros que utilizan a lo menos dos de los equipos descritos. c) El número de ingenieros que utilizan computador o tableta si se sabe que no utilizan celular. Respuesta: a) b) c)
31.31.49 ≡ 31 15.51≡51 ≡ 16 23 5. Técnicas de conteo
5.1. Regla del producto
ℎ
La regla del producto se aplica cuando se analiza un proceso que puede realizarse de formas y para cada una de tales formas existe otro proceso que puede realizarse de formas, de la misma forma existe otro proceso que puede realizarse de formas, entonces la serie de operaciones es posible realizarla de formas diferentes.
Ejemplo 5.1.
…. .
Se lanza tres veces un dado, ¿Cuántos resultados pueden obtenerse?
Solución: En cada lanzamiento del dado existen seis posibilidades de respuesta aplicando la regla del producto se obtiene:
5.2. Permutación
6; 6; 6 6∗6∗6216
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! !
Una secuencia ordenada de elementos tomados de un conjunto de elementos se conoce como permutación. El número de permutaciones de elementos tomados de un conjunto de elementos es:
Ejemplo 5.2.
Se desea definir un equipo de microfútbol para ello se cuenta con 7 jugadores potenciales, si el equipo consta de 5 jugadores e importa la posición de cada jugador ¿Cuántos equipos diferentes de microfútbol es posible definir?
Solución: Según las indicaciones del enunciado la posición del jugador importa, por tanto se debe utilizar la permutación.
5.3. Combinación
7;5 7! 75 7 5! ! !!!
Una secuencia elementos tomados de un conjunto de elementos donde el orden de obtención no tiene incidencia se conoce como combinación. El número de combinaciones de elementos tomados de un conjunto de elementos es:
Ejemplo 5.3.
Se desea definir un equipo de microfútbol para ello se cuenta con 7 jugadores potenciales, si el equipo consta de 5 jugadores y no importa la posición de cada jugador ¿Cuántos equipos diferentes de microfútbol es posible definir?
Solución: Según las indicaciones del enunciado la posición del jugador no importa, por tanto se debe utilizar la combinación.
7;5
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Ejemplo 5.4.
75 7 57! !
En una reconocida empresa constructora colombiana se desea elegir un comité de 5 integrantes pertenecientes a la junta directiva de la empresa, se sabe que la junta directiva cuenta con 21 integrantes, de los cuales 5 son de Cundinamarca, 4 de Santander, 3 de Boyacá, 4 de Antioquia y 5 del Tolima. La selección del comité obedece a un evento internacional para el cual hay recursos limitados, con la finalidad de no despertar malestar entre los involucrados la elección se realizara al azar, calcule:
a) b) c) d)
La probabilidad de que todos los departamentos estén representados. La probabilidad de que a lo más dos departamentos estén representados. La probabilidad de que a lo menos asistan 2 integrantes del departamento de Cundinamarca. La probabilidad de que esté representado un único departamento.
Solución: Para la solución del presente enunciado se elabora la tabla que se muestra a continuación, donde se observa la composición de la junta directiva.
Departamento
# de integrantes
Cundinamarca 5 Santander 4 Boyacá 3 Antioquia 4 Tolima 5 Total 21 Tabla 2: Composición de la junta directiva según departamento.
Solución a. Según las condiciones expuestas por el enunciado, la solución es posible plantearla de la siguiente forma:
4 3 4 5 5 1 1 1 1 1 215 6783400 0.058971 Apuntes de Estadística Aplicada A La Ingeniería Civil - Porras & Sánchez
31
Solución b.
..%
Según las condiciones expuestas por el enunciado, la solución es posible plantearla de la siguiente forma:
4 3 4 4 3 4 4 3 4 4 3 4 5 5 5 5 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 5 0 0 5 0 3 0 4 215 215 215 215 524321304050 514421304050 544021314050 534021324050 5 5 5 5 524021334050 544021304150 534021304250 524021304350 5 5 5 5 514021304450 544021304051 534021304052 524021304053 5 5 5 5 514021304054 504421314050 504321324050 504221334050 5 5 5 5 504421304150 504321304250 504221304350 504121304450 5 5 5 5 504421304051 504321304052 504221304053 504121304054 5 5 5 5 504021334250 504021324350 504021314450 504021334052 5 5 5 5 504021324053 504021314054 504021304451 504021304352 5 5 5 5 Apuntes de Estadística Aplicada A La Ingeniería Civil - Porras & Sánchez
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504021304253 504021304154 5 5 203491 203491 2034920 678320 2034940 203495 67835 678310 2034910 100 20349 100 2034925 67831 2034920 678320 2034940 203495 2034925 20349 67834 67832 203494 67838 67838 203494 203495 2034940 678320 2034920 67832 67834 67831 2034910 678310 67835 203495 2034940 678320 2034920 302 20349 337 6783107 6783320 20349 ..% 16 5 16 16 5 16 5 5 3 2 0 3 1 5 2 4 215 215 215 215 2907800 6783400 2034980 203491 2907983 ..%
Solución c. Según las condiciones expuestas por el enunciado, la solución es posible plantearla de la siguiente forma:
Solución d. Según las condiciones expuestas por el enunciado, la solución es posible plantearla de la siguiente forma:
4 3 4 4 3 4 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 5 0 0 5 215 215 203491 203491 203492 ..% Apuntes de Estadística Aplicada A La Ingeniería Civil - Porras & Sánchez
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Ejercicios Técnicas De Conteo 1. De cuantas maneras se pueden ordenar 7 balotas de colores en línea. Respuesta: 5040 2. Cuantos resultados posibles pueden obtenerse al lanzar tres dados (uno después del otro). Respuesta: 216 3. Cierto Ingeniero Civil encargado de la venta de apartamentos ofrece siete tipos de apartamentos, el cliente podrá elegir dos tipos de adicciones en acabados entre los que se encuentran: puertas de cedro, guardarropas de cedro, cielo raso drywall, piso en porcelanato para las habitaciones, bañera, estuco veneciano en la cocina y mesón en mármol de alta calidad. El ingeniero desea crear un aviso bastante llamativo el cual lleva como frase principal “Venga y escoja entre “n” apartamentos diferentes”. ¿Cuál es el valor “n”?
Respuesta: 147 4. En una obra un ingeniero residente dispone de 11 ayudantes, si este ingeniero desea formar una cuadrilla la cual conste de 4 ayudantes ¿Cuántas cuadrillas diferentes podrá formar?
Respuesta: 330 5. Un reconocido restaurante encargado de la venta de almuerzos estudiantiles ofrece a sus clientes tres sopas, dos platos principales y tres bebidas, si un almuerzo consiste en una sopa, un plato principal y una bebida ¿Cuántos almuerzos diferentes puede el restaurante ofrecer a su clientela?
Respuesta: 18 6. Dos reconocidas firmas consultoras “A” y “B” encargadas del diseño de viviendas unifamiliares ofrecen a sus clientes la opción de elegir el conjunto de profesionales que actuaran en el diseño de la vivienda deseada, la consultoría A cuenta con 7 arquitectos, 5 ingenieros estructurales y 2 ingenieros de suelos, la consultoría “B” cuenta con 8 arquitectos, 4 ingenieros estructurales y 3 ingenieros de suelos, si el grupo de los encargados del diseño de una vivienda se componen de un arquitecto, un ingeniero estructural y un ingeniero de suelos ¿Cuántos grupos diferentes de profesionales una familia podrá elegir teniendo en cuenta que todos los profesionales deben pertenecer a la misma firma consultora?
Respuesta: 166
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7. Cierto comité de ingenieros civiles consta de siete integrantes, en este comité se premia la puntualidad de sus asistentes dado que se hace uso de una mesa con 5 sillas quedando dos de los integrantes de pie los cuales son los últimos en llegar a) ¿De cuántas formas posibles pueden ubicarse los ingenieros en la mesa del comité? b) De los 7 integrantes 4 son hombres y 3 son mujeres ¿De cuantas formas posibles pueden ubicarse los ingenieros si se debe alternar hombre – mujer y las mujeres deben ir en los lugares pares?
Respuesta: a) 2520 b) 144 8. Una mano de póker consiste en 13 cartas seleccionadas al azar de una baraja de 52 cartas. a) Calcular la probabilidad de obtener las 13 cartas de corazones b) Cierto juego consiste en extraer 4 cartas de la baraja sin remplazo, calcular la probabilidad de sacar los 4 aces
Respuestas: 1/6350135559600. 9. En una urna se dispone de 6 balotas rojas 4 azules y 3 negras si se extraen dos balotas sucesivamente calcular la probabilidad de obtener: a) Dos balotas negras. b) Una balota roja y una azul. c) Sacar balotas sin obtener alguna de color negro. d) Si se sacan tres balotas de la urna calcular la probabilidad de obtener una de cada color.
Respuesta: a) 1/26 b) 4/13 c) 15/26 d) 36/143 10. A un ingeniero encargado del diseño de los parqueaderos de un edificio de oficinas el cliente le indica que requiere de 8 parqueaderos para los automóviles de la empresa. Los automóviles dos son Mercedez Benz, tres BMW y 3 son Chevrolet. a) Suponga que por cuestiones de estética los autos de la misma marca deberán quedar juntos ¿Cuántas formas posibles existen para parquear estos automóviles? b) Los autos Mercedes Benz pertenecen a los cargos más altos de la empresa los cuales deben quedar uno al lado del otro mientras que los de las otras marcas pueden quedar en cualquier orden ¿Cuántas formas posibles existen para parquear estos automóviles en tales condiciones? las posiciones c) Por capricho del cliente la posición de los Mercedes Benz deberán ser de los BMW serán y los Chevrolet ¿Cuántas formas posibles existen para parquear estos automóviles en tales condiciones?
2,5,7
3,6,8
1,4
Respuesta: a) 432 b) 10080 c) 72 11. Una mano de póker consiste en 5 cartas seleccionadas sin remplazo de una barajas de 52 cartas. Determine la probabilidad de obtener. a) Full: Tres cartas con la misma numeración y otros dos con misma numeración.
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b) c) d) e)
Escalera: Cinco cartas con numeración consecutiva (El as puede ir al comienzo o al final). Póker. Cuatro cartas con la misma numeración. Obtener los cuatro ases presentes en la baraja. Obtener cinco cartas de corazones.
Respuesta: a)
6/4165 128/32487 1/4165 1/54145 33/66640 b)
c)
d)
e)
12. Un club de ingenieros extranjeros tiene como miembros a dos canadienses tres japoneses cinco italianos y dos alemanes si se selecciona al azar un comité de cuatro calcule la probabilidad de que: a) Todas las nacionalidades estén representadas. b) Todas las nacionalidades estén representadas excepto los italianos. c) Todos los miembros del comité son italianos. d) A lo más dos miembros del comité son italianos. e) A lo sumo dos miembros sean japoneses. f) A lo menos un miembro del comité sea alemán.
Respuesta: a) 4/33 b) 8/165 c) 1/99 d) 28/33 e) 54/55 f) 19/33 13. Un estudiante de ingeniería desea ubicar en una biblioteca 11 libros de los cuales 4 son de matemáticas 5 de física y 2 de química calcular a) El número de ubicaciones posibles si no se tiene en cuenta el orden de los libros. b) El número de ubicaciones posibles si los libros de cada una de las asignaturas deben quedar seguidos. c) El número de ubicaciones posibles si únicamente los libros de matemáticas deben quedar seguidos. d) El número de ubicaciones posibles si los 4 libros de matemáticas jamás deben quedar seguidos (tres pueden quedar seguidos al igual que dos).
Respuesta: a)
39916800 34560 967680 38949120 b)
c)
d)
14. Un ingeniero residente en la construcción de un reconocido intercambiador cuenta con 11 ayudantes la tarea del día consiste en formar una cuadrilla de 6 ayudantes para las excavaciones y otra de 5 ayudantes para la fundición de un muro de contención ¿De cuantas formas diferentes el ingeniero puede formar las cuadrillas descritas?
Respuesta: 462 15. En una urna se dispone de 8 balotas blancas, 5 negras, 6 azules y 7 Rojas. Si se extraen cuatro balotas de la urna sucesivamente y sin remplazo calcular a) La probabilidad de obtener 2 blancas y 2 Negras. b) La probabilidad de obtener cuatro balotas del mismo color.
Respuesta: a)
0.018729 0.008361 b)
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16. Un experimento de estadística consiste en lanzar un dado dos veces y finalmente una moneda, calcular: a) La probabilidad de obtener un puntaje superior a siete en la suma de los puntajes obtenidos en los lanzamientos del dado. b) La probabilidad de obtener números pares en los lanzamientos del dado y una cara en la moneda.
Respuesta: a)
0.416667 0.125000 b)
17. En una urna se dispone de 9 balotas blancas, 6 negras, 8 azules y 7 Rojas. Si se extraen a) b) c) d)
cuatro balotas de la urna sucesivamente y sin remplazo calcular: La probabilidad de obtener balotas de colores diferentes. La probabilidad de obtener balotas azules o rojas. La probabilidad de obtener a lo más dos balotas rojas. La probabilidad de obtener a lo menos dos balotas negras o azules.
Respuesta: a)
0.110345 0.049808 0.969349 0.647510 b)
c)
d)
13. Un experimento estadístico consiste en lanzar veces una moneda con dos posibilidades de respuesta de igual probabilidad, calcule: a) La probabilidad de obtener a lo menos un sello. b) La probabilidad de obtener solo sellos o solo caras. c) La probabilidad de obtener a lo más una cara.
Respuesta: a)
1
b)
c) +
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6. Diagramas de árbol y probabilidad condicional ______________________________________________________________________________ Definición probabilidad condicional Sean “A” y “B” eventos contenidos en un espacio muestral con condicional se define como:
p |B ∩
>0
, la probabilidad de
Se lee “La probabilidad de que ocurra el evento “A” dado que ocurrió el evento “B”.
______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ Axiomas de la probabilidad Axioma 1.
Axioma 2. Sean
, ……
Axioma 3.
0≤≤1 eventos mutuamente excluyentes.
∪ ∪……∪=
La probabilidad del todos los elementos del espacio muestral es uno.
1
_____________________________________________________________________________
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Ejercicio 6.1. La urna A contiene 8 bolas rojas 5 azules en tanto que la urna B contiene 7 bolas rojas y 6 azules.
a) Se lanza un dado si se obtiene un número mayor o igual que 2 se saca una bola de la urna A, de lo contrario se saca una bola de la urna B. Determine la probabilidad de sacar una bola roja. b) Si la bola extraída, según el literal anterior, se deposita en la urna diferente a la que se sacó y se lanza de nuevo el dado, manteniendo las mismas condiciones de extracción del literal a., cuál es la probabilidad de extraer dos bolas del mismo color. c) Teniendo en cuenta el numeral a y b, ¿Cuál es la probabilidad de extraer en el orden una bola roja y luego una bola azul?
Solución: Para la solución se emplea el diagrama de árbol que se observa en la figura, en donde debe tenerse en cuenta que la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un nodo dede ser uno. Efectuando las opresiones necesarias se tiene que:
a)
b)
c)
4778 1234 2457 1223 4914
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Ejemplo 6.2. El gerente de una reconocida firma de consultoría se encuentra interesado en estudiar el motivo del retraso en cronograma de algunos proyectos, la firma de consultoría se encarga de la elaboración de los estudios técnicos para la construcción de obras de infraestructura del estado. De la experiencia se sabe que el 25% de las veces el retraso se genera por concepto del equipo técnico de la arquitectura, mientras que el 45% de las veces el retraso se genera por concepto del equipo técnico de estructuras, se sabe que el equipo de diseño de redes tiene la responsabilidad en retrasos el doble de las veces del equipo de geotecnia y el equipo de presupuesto 1.5 veces las del equipo de redes. Si se presenta retraso por concepto del equipo de estructuras el 30% de las veces se debe al personal no profesional, para el caso del equipo de presupuesto este porcentaje corresponde al 55% y para el equipo de Geotecnia 50%. El gerente afirma que si hay retraso en cronograma por concepto del personal no profesional la posibilidad que pertenezca al equipo de estructuras es de 27.07%, la posibilidad que pertenezca al equipo de redes es de 18.05%. a) Si hay un retraso en cronograma por concepto del personal profesional, calcule la probabilidad de que pertenezca al equipo de arquitectura. b) Calcule el porcentaje de veces en que un atraso se debe al personal profesional, si se sabe que pertenece al equipo de redes. c) ¿Cuál es la probabilidad se presente un atraso por concepto del equipo de presupuesto?
Solución: Teniendo en cuenta la complejidad del enunciado para el desarrollo se utiliza el diagrama de árbol. En las primeras ramas del diagrama de árbol se deberá modelar los diferentes equipos técnicos la segunda rama representara si el personal es profesional o no profesional.
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La asignación de probabilidades se realiza con los datos suministrados por el enunciado, las letras son variables que se pretenden despejar con los datos restantes.
| ∩ 0.270700 | 0.450.30 0.270700 0.251 0.450.30∩ 21 0 . 5 0 3 0 . 5 5 | 0.180500 2 1 | 0 . 2 5 1 0 . 4 5 0 . 3 0 2 1 0 . 5 0 3 0 . 5 5 0.180500 0. 2 50. 4 5231 0 . 4 5 0 . 3 0 0.251 0.450.30 2211 0.50 30.55 0.270700 0.251 0.450.30.0250.245231 1 0.5030.55 0.180500 . ; . ; .
Se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Solución a. Según la estructura de la pregunta, se requiere calcular una probabilidad condicional.
∩ | . | 0 . 2 5 0 . 3 35238 0.250.335238 0..45|0 .70 20.0.50.. 099834 0.0% 50.50 30.050.45 ∩ |
Solución b. Según la estructura de la pregunta, se requiere calcular una probabilidad condicional.
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| 20.02500.0.0599834 |..% 3 0 . 0 5 0. 1 5 ..%
Solución c. Según la estructura de la pregunta, se requiere calcular una probabilidad.
Ejemplo 6.3.
Una estudiante de ingeniería civil con gran sentido del deber a su labor como estudiante sale tarde del claustro universitario, esto con motivo de la realización del trabajo final de resistencia de materiales. A dos manzanas de la entrada principal la estudiante es abordada por un ladrón que aprovecha la oscuridad de la noche y la soledad del sitio para hurtarle el celular. Un policía que patrulla cerca del lugar en que suceden los hechos acude al auxilio de la estudiante, el ladrón huye hasta una casa abandona en donde encuentra posibles escapatorias. El ladrón es más veloz que el policía, en el caso en que el ladrón encuentre una salida diferente a la de la entrada escapara del policía.
El ladrón ingresa por la salida 1 y su única escapatoria es llegar a la salida 2, por tanto el ladrón deberá pasar por alguna ruta en donde encontrara algunas puertas internas en la casa, para su escapatoria las puertas de alguna de las rutas deberán estar abiertas. Se sabe que:
1,4, 2,5,0. 3,25 0.35
Calcule la probabilidad de que el ladrón logre escapar del policía, suponga que los eventos en que las puertas estén abiertas o cerradas son independientes.
Solución: Se analiza la probabilidad de que el ladrón logre superar la primera serie de puertas, para logre superarla la Puerta 1 debe estar abierta o la Puerta 2 o la Puerta 3, la probabilidad se calcula de la siguiente forma.
1, ∪ 2, ∪ 3, 1 1, ∩ 2, ∩ 3,
Aplicando la propiedad de la independencia de eventos se tiene:
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1, 1 ∪ 2, 1,∪3, 2, 3, 1,, ∪2,∪,∪3, ∪,10. 6 50. 6 50. 6 5 . 4, ∪ 5, 1 4, ∩ 5, 4, ∪4, 5,∪ 5,1 4, 4, 1 0 . 7 5 0 . 7 5 , ∪ , .
Se analiza la probabilidad de que el ladrón logre superar la segunda serie de puertas, para logre superarla la Puerta 4 debe estar abierta o la Puerta 5, la probabilidad se calcula de la siguiente forma.
Aplicando la propiedad de la independencia de eventos se tiene:
Para que el ladrón pueda escapar deberá encontrar abierta una puerta de la primera serie de puertas (Puerta 1, Puerta 2 y Puerta 3) y una puerta de la segunda serie de puertas (Puerta 4 y Puerta 5). Las probabilidades de los eventos descritos se calcularon en los pasos anteriores. Aplicando la independencia de evento se tiene:
. 0.7253750.437500 0. 3 17352
Ejercicios de probabilidad condicional y diagramas de árbol 1. En una encuesta que tiene por objeto estudiar el número de estudiantes de cierta universidad que ejercitan su cuerpo teniendo en cuenta si es hombre o mujer, se entrevistan a 145 mujeres y a 163 hombres donde se obtienen los siguientes resultados.
Ejercitan su cuerpo Si No Hombres Mujeres
11 25
152 120
Si se elige a un estudiante al azar calcule:
a) b) c) d)
La probabilidad de que sea mujer. La probabilidad de que no ejercite su cuerpo. Si el estudiante resulta ser hombre calcule la probabilidad de que ejercite su cuerpo. Si se sabe que el estudiante ejercita su cuerpo calcule la probabilidad de que sea mujer.
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e) Se entrevista nuevamente al estudiante elegido resultando que no ejercita su cuerpo ¿cuál es la probabilidad de que sea un hombre?
Respuesta: a)
0.470779 0.883117 0.067485 0.694444 0.558824 b)
c)
d)
e)
.
2. Para cierta obra de ingeniería civil se hace un pedido de ropa de trabajo teniendo en cuenta la talla requerida y el color del uniforme de trabajo para esto se realizó un sondeo del número de trabajadores según el uniforme requerido, el sondeo arrojo los siguientes resultados.
Talla Pequeña Mediana Grande
Azul
Color Negro
Rojo
15 18 26
5 8 18
9 6 21
Suponga que los trabajadores hacen una fila para reclamar el uniforme de trabajo.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente trabajador requiera un uniforme de talla mediana? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente trabajador requiera un uniforme de talla grande y de color negro? c) El próximo trabajador en la fila es de talla pequeña ¿Cuál es la probabilidad de que el uniforme requerido sea del color negro? d) El próximo trabajador en la fila requiere uniforme Rojo ¿Cuál es la probabilidad de que el uniforme requerido sea de talla pequeña o mediana?
Respuesta: a)
0.253967 0.142857 0.172414 0.416667 :: ′ 0.5,′ 0.4, ∩0.2 b)
c)
d)
3. Cierto estudiante de ingeniería realiza un trayecto todos los días desde su casa hasta la universidad donde recibe clases. Suponga los eventos Con probabilidades de ocurrencia
a) b) c) d)
Calcule la probabilidad de que el estudiante salga a tiempo. Calcule la probabilidad de que el estudiante salga a tiempo y llegue a tiempo. Calcule la probabilidad de que el estudiante no salga a tiempo ni tampoco llegue a tiempo. Cierto día el estudiante llega a tiempo. Calcule la probabilidad de que el estudiante haya salido a tiempo. e) Cierto día el estudiante sale de su casa tarde. Calcule la probabilidad de que llegue a tiempo. f) Cierto día el estudiante sale a tiempo. Calcule la probabilidad de que llegue tarde.
Respuesta: a)
0.500000 0.200000 0.100000 0.333333 0.800000 0.600000 b)
c)
d)
e)
f)
4. Se lanza tres veces una moneda con dos resultados posibles de igual probabilidad de obtención. Calcular la probabilidad de:
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a) b) c) d)
Obtener tres caras. Obtener una cara y dos sellos. Obtener tres caras o tres sellos. Obtener una cara y dos sellos o dos caras y un sello
Respuesta: a) 1/8 b) 3/8 c) 1/4 d) 3/4. 5. Una urna U1 contiene 8 balotas blancas, 5 negras y 4 azules, la urna U 2 contiene 7 blancas, 6
a) b) c) d)
negras y 8 azules. Se extraen dos balotas sucesivamente sin remplazo de una urna, la probabilidad de elegir la urna U1 es de 3/4 mientras que la probabilidad de elegir la urna U2 es del 1/4. Calcular la probabilidad de. Obtener dos balotas blancas. Una balota blanca y una balota azul. Obtener dos balotas del mismo color. Obtener una balota de un color y otra de otro color.
Respuesta: a) 61/340 b) 62/255 c) d) . 6. En un experimento estadístico se cuenta con un dado y una moneda. El experimento consiste a) b) c) d)
en lanzar el dado si el número obtenido es par se lanza dos veces la moneda, si el número es impar la moneda se lanza tres veces. Calcular la probabilidad de: Obtener únicamente caras como resultado en la moneda. Obtener a lo menos dos caras. Obtener únicamente caras o sellos como resultado en la moneda. Obtener un número impar en el dado y dos sellos en la moneda.
Respuesta: a) 3/16 b) 3/8 c) 3/8 d) 3/16. 7. La urna A contiene 3 bolas rojas 2 azules en tanto que la urna B contiene 2 bolas rojas y ocho azules.
a) Se lanza un dado si se obtiene un número mayor que 2 se saca una bola de la urna A, de lo contrario se saca una bola de la urna B. Determine la probabilidad de sacar una bola roja. b) Si la bola extraída, según el literal anterior, se deposita en la urna diferente a la que se sacó y se lanza de nuevo el dado, manteniendo las mismas condiciones de extracción del literal a., cuál es la probabilidad de extraer en esta ocasión una bola azul
Respuesta: a) 7/15 b) 802/1485. 8. A un examen de estadística se presentan alumnos de cuatro grupos diferentes. Grupo A: 80 alumnos, de los cuales el 35% son mujeres. Grupo B: 70 alumnos, de los cuales el 25% son mujeres. Grupo C: k alumnos, de los cuales el 80% son varones. Grupo D: 60 alumnos, de los cuales el 85% son varones. Se les reúne a todos en el aula magna y se elige uno de ellos al azar para repartir el examen, resultando ser mujer. Si la probabilidad de que pertenezca al grupo D es 0.13. a) ¿Cuántos alumnos hay en el grupo C? b) Si se selecciona un alumno al azar ¿Cuál es la probabilidad de que este sea un varón? c) Se selecciona un alumno al azar, el cual resulta ser un varón ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca al grupo C?
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Respuesta: a)
73.65≡74 3/4 16/75 b)
c)
.
9. Una red de energía eléctrica tiene subestaciones A,B,C la sobrecarga en cualquiera de ellas puede originar que se interrumpa el abastecimiento de electricidad en toda la red la historia muestra que la probabilidad de apagón es de 1% si ocurre la sobrecarga en A y de 2% y 3% si sobreviene en las subestaciones B y C respectivamente. La sobrecarga en dos o más subestaciones de manera simultánea origina apagones en 5% de los casos, durante una onda cálida hay 60% de posibilidades que solo la subestación A experimente una sobrecarga. Para B y C estos porcentajes son de 20% y 15%, respectivamente. Si en una onda cálida especifica tuvo lugar un apagón debido a sobrecarga. a) Calcule la probabilidad de que haya habido sobrecarga en A o en C b) Encuentre la probabilidad de que haya habido sobrecarga en dos o más subestaciones al mismo tiempo. c) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra apagón?
Respuesta: a) 0.617647 b) 0.147059 c) 0.017. 10. En una estación de servicio, el 40% de los clientes utilizan gasolina corriente, el 35% usan gasolina extra y el 25% utilizan diesel. De los clientes que utilizan diesel el 50% llenan sus tanques. De los clientes que utilizan gasolina corriente, solo el 25% llenan sus tanques. El 53.1% de los clientes que no llenan el tanque utilizan gasolina corriente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente pida gasolina extra y llene el tanque? b) Si el siguiente cliente no llena el tanque, ¿cuál es la probabilidad de que pida gasolina? c) Se sabe que un cliente pide gasolina extra ¿cuál es la probabilidad llene el tanque?
Respuesta: a) 0.2100 b) 0.778761 c) 0.6000. 11. Para evitar que individuos potencialmente peligrosos sean celadores de obra, se ha establecido un examen psicológico que los aspirantes deben aprobar como requisito sine qua non para ser contratados. El defecto de esta prueba sin embargo, es que el 8% de los individuos aptos quedan erróneamente descalificados por haber reprobado, mientras que el 12% de los que no son aptos aprueban y son contratados por equivocación. Suponga que todos los que pasan son contratados. a) Si la experiencia muestra que solo el 85% de los celadores son aptos para su trabajo, determine el porcentaje de aspirantes que lo son. b) Teniendo en cuenta el numeral a. ¿Cuál es el porcentaje de aspirantes aptos que no aprueban el examen? c) Teniendo en cuenta el numeral a. ¿Cuál es la probabilidad de que el examen psicológico arroje un resultado erróneo?
Respuesta: a) 0.425 b) 6.2963% c) 0.1030. 12. En un sistema de alarma, la probabilidad de esta funcione habiendo peligro es de 0.95, y la probabilidad de que funcione por error sin haber peligro es 0.03. Si la probabilidad de haber peligro es 0.1. a) Calcular el porcentaje de veces que habiendo funcionado la alarma no haya peligro. b) Calcular la probabilidad de que no habiendo funcionado la alarma haya peligro. c) ¿Cuál es la probabilidad de que la alarma funcione?
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Respuesta: a) 22.131%0 b) 5/878 c) 0.1220. 13. La contaminación de las fuentes de agua en Colombia es un problema de grandes magnitudes que compromete la calidad del agua que es destinada para el consumo humano:
ó ó ó ′ ℎ 0.0.| 5650 5′ 6∩500000; ; 0.0.0638 06| 3830 30;;0.0.0619 061947| 47;∩ ;′0.| 056604; 0.0.5402 54023030;;| ′∩| ′∩0.70.50000428571
Donde,
a) Calcule la probabilidad de que el rio este expuesto a contaminación, un análisis en la muestra b) c) d) e)
de agua detecta contaminación y se permite el suministro de agua potable para el consumo humano. Calcule la probabilidad de que un análisis de una muestra de agua detecta contaminación y se permite el suministro de agua para el consumo humano Calcule la probabilidad de que el rio este expuesto a contaminación, pero no se permite el suministro de agua potable para la población. Calcule la probabilidad que el rio este expuesto a contaminación, dado que un análisis de agua detecta contaminación y se permite el suministro de agua potable para el consumo humano. Cuál es la probabilidad de que el rio este expuesto a contaminación.
Respuesta: a) 0.015 b) 0.030 c) 0.520 d) 0.500 e) 0.565. 14. Una urna U1 contiene 3 bolas azules y 4 rojas, una urna U2 6 bolas azules y 8 rojas. Se lanza un par de dados si el número obtenido de la suma de los dos puntajes es múltiplo de tres se extraen dos bolas de la urna U1, si es múltiplo de cinco se extraen dos bolas de la urna U 2 y en cualquier otro caso se extrae una bola de la urna U 1 y luego una bola de la urna U 2, las dos bolas extraídas según las condiciones anteriores son depositadas en la urna U1. Finalmente se extrae una bola de la urna U1 (cuando ya han sido depositadas las dos bolas provenientes de las extracciones anteriores según las condiciones indicadas). a) Calcular la probabilidad de obtener bolas producto de las tres extracciones en el orden: roja, azul, roja. b) Calcular la probabilidad de obtener una bola roja en la extracción de la urna U 1 (cuando ya han sido depositadas las dos bolas provenientes de las extracciones anteriores según las condiciones indicadas).
Respuesta: a)
4841/34398 4/7 b)
15. En la urna U1 hay 9 bolas blancas y 7 negras, en la urna U2 hay 7 bolas blancas 5 negras y 8 rojas, en la urna U 3 hay 4 bolas blancas y 12 negras. Se extrae una bola de la urna U 1 luego una bola de la urna U2 y finalmente una bola de la urna U 3 obteniendo así 3 bolas que se depositan en una urna U4 y se extrae una bola de la urna U4. a) Calcule la probabilidad de obtener una bola blanca cuando se extrae la bola de la urna U 4. b) Calcule la probabilidad de obtener una bola blanca en la urna U 1, una bola roja en la urna U 2, una bola negra en la urna U3 y una bola blanca en la urna U 4
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c) Calcule la probabilidad de que las bolas extraídas de las urnas U 1, U2 y U3 sean del mismo color.
Respuesta: a)
31/80 9/160 21/160 b)
c)
16. Cierto organismo gubernamental emplea a tres empresas consultoras (A,B y C) con probabilidades de 0.110, 0.350 y 0.250, respectivamente. De la experiencia pasada se sabe que las probabilidades de excesos en costos de las empresas son 0.05, 0.03 y 0.15, respectivamente y de otras empresas es de 0.12. En cierto ajuste de cuentas el organismo gubernamental experimenta un exceso en los costos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa consultora implicada sea la compañía C? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa consultora implicada no sea la empresa B? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el organismo gubernamental no experimente sobrecostos?
Respuesta: a)
0.424689 0.881087 0.911700 b)
c)
17. Un reconocido ingeniero debe realizar todos los días un trayecto desde su casa hasta el lugar de trabajo, la probabilidad de que no logre salir a tiempo de su casa es de 50%, la probabilidad de que el ingeniero no llegue a tiempo a su trabajo es de 40% y la probabilidad de que el ingeniero salga a tiempo de su casa y llegue a tiempo al trabajo es del 20%. a) Calcule la probabilidad de que el ingeniero llegue a tiempo. b) Cierto día el ingeniero sale de su casa tarde, calcule la probabilidad de que llegue a su trabajo a tiempo. c) Cierto día el ingeniero llega a tiempo, calcule la probabilidad de que haya salido de su casa tarde.
18. Cierto profesor acostumbrado a llegar tarde a clase recibe una llamada de atención del jefe de escuela. El profesor con el fin de acostumbrar a sus estudiantes a llegar temprano, impone a sus estudiantes que ningún estudiante podrá entrar al aula de clase después del profesor, Un estudiante acostumbrado a llegar tarde siempre tiene una disculpa, 10% de las veces que llega tarde se debe al transporte, 25% se debe a que se queda dormido, 40% se debe a su falta de voluntad, 10% a que desayuna tarde. De las veces que llega tarde por motivo del transporte el 35% alcanza a entrar a clase, de las veces que el estudiante se queda dormido el 15% alcanza a entrar a clase, de las veces que el estudiante llega tarde por desayunar tarde 60% no alcanza a entrar a clase, de las veces que llega tarde por otros motivos el 70% entra a clase. La hermana del estudiante afirma, si mi hermano no alcanza a entrar a clase la posibilidad que se haya quedado dormido es de 33.1%. a) Calcule el porcentaje de veces en que el estudiante llega tarde y por tanto no alcanza a entrar a clase. b) Si el estudiante desayuna tarde, ¿Cuál es la probabilidad de que no alcance a entrar a clase? c) Si el estudiante no alcanza a entrar a clase, ¿Cuál es la probabilidad de que haya tenido problemas con el transporte?
Respuesta: a)
0.641994 0.6000000 0.101247 b)
c)
19. Para un experimento estadístico se cuenta con una moneda y las tres urnas A, B y C, La urna A contiene 8 bolas rojas y 10 bolas negras, la urna B contiene 7 bolas rojas y 6 bolas negras, la
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urna C contiene 12 bolas rojas y 5 bolas negras. Se lanza la moneda, en el caso de obtener una cara se extrae una bola de la urna A y en seguida una bola de la urna B, las dos bolas extraídas son depositadas en la urna C. En el caso de obtener un sello en la moneda se extrae una bola de la urna B y en seguida una bola de la urna C, las dos bolas extraídas son depositadas en la urna A. Para finalizar el experimento se lanza nuevamente la moneda, en el caso de obtener una cara se extrae una bola de la urna C y en el caso de obtener un sello se extrae una bola de la urna B. a) Calcular la probabilidad de que en las extracciones realizadas las bolas sean del mismo color. b) Calcular la probabilidad de obtener la serie: una cara en el primer lanzamiento de la moneda, extraer una bola negra en la urna A, extraer una bola roja en la urna B, obtener una cara en el segundo lanzamiento de la moneda y extraer una bola negra en la urna C. c) Calcular la probabilidad de que las tres bolas sean extraídas en el orden roja - negra - roja.
Respuesta: a)
0.259789 0.023617 0.114493 b)
c)
20. Un ingeniero residente de obra afirma, con base en su experiencia y trayectoria, que de los accidentes que se producen en obra por falta del uso de elementos de protección personal, el 40% se dan por la falta de guantes, el 20% se dan por falta de botas, el 10% por falta de casco, el 10% por falta de gafas. De los accidentes causados por falta de guantes el 15% terminan en hospitalización, por falta de botas el 95% de los casos no terminan en hospitalización, para los accidentes por falta de cascos el porcentaje de individuos no hospitalizados corresponde al 75%, el ingeniero recalca que en los casos de otros tipos de accidentes el 95% no terminan en hospitalización. El médico del centro de salud más cercano a la obra, afirma que si un paciente es hospitalizado la probabilidad de que el accidente haya ocurrido por falta de gafas es de 12.3%. a) Calcule el porcentaje de trabajadores que son hospitalizados a casusa de un accidente por falta de elementos de protección. b) Calcule la probabilidad de que si un individuo es hospitalizado sea a causa de la falta de botas. c) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo sea hospitalizado dado que el accidente se produjo por la falta de guantes?
Respuesta: a)
0.1097263 0.083524 0.150000 b)
c)
21. En un depósito de materiales de construcción, se lleva un riguroso balance de los productos cotizados, el propietario afirma que el 45% de los materiales cotizados son concretos, el 25% aceros, el 15% tuberías y accesorios, 5% ladrillos. De las cotizaciones de concreto el 20% se convierten en ventas, de las cotizaciones de acero el 75% nunca llegan a convertirse en ventas, las cotizaciones que de tuberías y accesorios que se convierten en ventas son el 60%. Se sabe que si se realiza una venta la probabilidad de que sea acero es de 21.4%, si una cotización no se convierte en venta la probabilidad de que el material involucrado sea diferente de concreto, acero, tuberías, accesorios y ladrillos es de 9.18%. a) Calcule el porcentaje de veces que el depósito de materiales de construcción logra convertir una cotización en una venta. b) Si se realiza una cotización de concretos, calcule la probabilidad de que se logre una venta. c) Si se logra una venta, calcule la probabilidad de que sean ladrillos.
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Respuesta: a)
0.292056 0.200000 0.049803 b)
c)
22. Un sistema de canalización de agua tiene 4 compuertas, dispuestas como se presentan en la figura.
Cada compuerta se abre al azar dejando pasar agua (si está abierta) o impidiéndolo. Suponga las probabilidades siguientes:
PPI cerIrabiada,erItaabi PertaI abiPerItaabi PertaI,IVVabicererratada 0.P55;I cerPIraIda,abiIeIrtabiae0.rta360.2 PI abierta, IV abiePrtIaabi0.ert3a5;, I PI abiI Ieabirtaer0ta, IV cerrada 0.26 PI o I o IV abierta 0.85; PI o I I o IV abierta 0.87 0.157905 n m
Calcular la probabilidad de que un torrente de agua lanzado en el punto A llegue a B.
Respuesta:
23. Una moneda presenta en el anverso una cara y en el reverso un sello. Si se lanza la moneda hasta que aparezca la primera cara y, a continuación, se realizan tantos lanzamientos adicionales como sellos han precedido la primera cara. Determinar: a) La probabilidad de que aparezca sellos en la primera fase y en la segunda. b) La probabilidad de que el número total de caras supere al número total de sellos. c) La probabilidad de obtener en todos los lanzamientos solo caras o solo sellos.
24. Una reconocida universidad tiene como criterio de admisión a los programas de posgrado en modalidad investigación la aprobación de un examen de competencia en lengua inglesa. El reglamento de la universidad establece que los aspirantes a título de posgrado deberán tener un nivel mínimo de lengua inglesa. Un examen se efectúa a los estudiantes que ingresan y a los que egresan, aspirantes y egresados. Se sabe que el 22% son estudiantes relacionados con la maestría en gerencia de negocios, los estudiantes de maestría en historia son la mitad de los de maestría en gerencia de negocios, el 18% son de la maestría en ingeniería civil. De los estudiantes de la maestría en ingeniería civil 45% son aspirantes, de la maestría en telecomunicaciones 85% son egresados, en la maestría en bilogía este porcentaje es de 82%. El organizador del examen afirma, basado en las listas de presentación, si se sabe que un estudiante es de la maestría en historia la posibilidad de que sea aspirante es del 20%, si un estudiante es egresado la posibilidad de que sea de la maestría en gerencia de negocios es de 3.56% y el porcentaje de aspirantes que presenta la prueba es de 38.11%.
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a) Si 85 estudiantes presentan la prueba, calcule el número de aspirantes de la maestría en telecomunicaciones. b) Si se elige un estudiante al azar y resulta ser de la maestría en gerencia de negocios, calcule la probabilidad de que sea egresado. c) Si se elige un estudiante al azar y resulta ser aspirante, calcule la probabilidad de que el programa al que aspira sea la maestría en biología.
Respuesta: a)
22.86≡23 0.100149 0.104427 b)
c)
25. La construcción de una reconocida edificación de vivienda en la ciudad de Bucaramanga consta de varias fases, una de las fases corresponde a la construcción de la estructura de concreto reforzado que contrarrestará la solicitud de cargas vivas y muertas. Se sabe que el concreto empleado en la construcción del proyecto proviene de una reconocida planta ubicada en las cercanías de la obra. El ingeniero director de obra se encuentra preocupado por el retraso frecuente en la hora de entrega de los concretos en la obra, el fenómeno puede llegar a producir un retraso en la fecha de entrega del proyecto, situación que dejaría como consecuencia el pago de una cuantiosa multa que es directamente proporcional al tiempo de retraso. Para el análisis del fenómeno el ingeniero solicita un informe detallado del número de camiones que registran retraso y el motivo por el cual se produce. Los resultados del informe se resumen en la tabla siguiente:
Número de retrasos
Número de retrasos que produjeron atraso general del proyecto
Número de retrasos que no produjeron atraso general del proyecto
Alto tráfico en el trayecto comprendido 1 entre la planta y la obra
35
15
20
Gran volumen de 2 pedidos de concreto en la planta
15
s
t
Generación del pedido 3 con poco margen de tiempo
u
v
6
Incompetencia de los 4 funcionarios de la planta de concreto
42
w
x
4
y
z
Id
5
Motivo del retraso
Demora para recibir el concreto en la obra
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6 Otros
11
4
7
Con el fin de seleccionar un ingeniero, residente de obra, el director de obra diseña la siguiente prueba: Se sabe que: Si hay atraso general en el proyecto, la posibilidad de que se haya producido por gran volumen de pedidos de concreto en la planta es de 1/9. Si hay demora para recibir el concreto en la obra, la posibilidad para que se retrase la entrega del proyecto es de 1 entre 4. Si hay atraso general en el proyecto, la posibilidad de que se haya producido por incompetencia de los funcionarios de la planta de concreto es de 25/116. Si el retraso es por otros motivos, la posibilidad para que se retrase la entrega del proyecto es de 4 entre 11. La posibilidad de que no se atrase el proyecto por concepto de retraso en la entrega de concretos es de 31 entre 58.
a) Calcule los valores para las cantidades s, t, u, v, w, x, y, z. b) Si se presenta un retraso, por alto tráfico en el trayecto comprendido entre la planta y la obra, c) d) e) f)
calcule la probabilidad de que se presente un retraso en la fecha de entrega del proyecto. Si hay un retraso general en la fecha de entrega del proyecto, calculen la probabilidad de que el motivo haya sido por generación del pedido de concreto con poco margen de tiempo. Calcule la probabilidad de que no se presente atraso general en la obra por concepto de atraso en la entrega de concretos. Calcule la probabilidad de que haya demora para recibir el concreto en la obra y que no se presente atraso en la fecha de entrega del proyecto. Calcule la probabilidad de que haya un gran volumen de pedidos en la planta o se genere el pedido con poco margen de tiempo y se presente atraso en la fecha de entrega del proyecto.
26. La urna U1 contiene 13 bolas rojas y 8 blancas, en tanto que la urna U2 contiene 8 bolas rojas
a) b) c) d) e)
y 8 bolas blancas, se lanza un dado y a continuación se extraen tantas bolas de la urna U1 como puntaje se haya obtenido en el dado, las bolas extraídas de la urna U1 son depositadas en la urna U2. Finalmente se extrae una bola de la urna U2. Calcule: La probabilidad de que en las extracciones sean obtenidas bolas del mismo color. La probabilidad de obtener a lo menos dos bolas blancas en la totalidad de las extracciones. La probabilidad de obtener a lo más dos bolas rojas en la totalidad de las extracciones. La probabilidad de obtener una bola blanca en la extracción de la urna U2. La probabilidad de obtener a sumo una bola roja.
27. Para la selección de personal una reconocida firma constructora realiza a los aspirantes exámenes de expresión: oral, escrita y corporal. Si se conoce que: i. El 10% de los aspirantes aprueba el examen de expresión oral. ii. La posibilidad de que un aspirante apruebe el examen de expresión corporal dado que aprobó el examen de expresión oral es del 40%.
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iii. iv. v. vi. vii.
La posibilidad de que un aspirante apruebe el examen de expresión corporal dado que no aprobó el examen de expresión oral es de 1/6. La posibilidad de que un aspirante apruebe el examen de expresión escrita dado que aprueba el examen de expresión oral y el de expresión corporal es del 25%. La posibilidad de que un aspirante apruebe el examen de expresión escrita dado que no aprueba el examen de expresión oral y aprueba el examen de expresión corporal es de 1/3. La posibilidad de que un aspirante apruebe el examen de expresión escrita dado que aprueba el examen de expresión oral y no aprueba el examen de expresión corporal es de 2/3. La posibilidad de que un aspirante apruebe el examen de expresión escrita dado que no aprueba el examen de expresión oral y no aprueba el examen de expresión corporal es del 16%.
a) Si a un proceso de selección se presentan 50 aspirantes. Calculen el número esperado de b) c) d) e) f) g)
aspirantes que aprobara el examen de expresión corporal. Si se obtiene un puesto en la compañía aprobando a los menos dos de los tres exámenes. Calcular la probabilidad de obtener un puesto en la compañía. Si a un proceso de selección se presentan 25 aspirantes. Calculen el número esperado de aspirantes que no aprobaran ninguno de los exámenes. Calculen la probabilidad de que un aspirante apruebe el examen de expresión oral y el examen de expresión corporal dado que aprobó el examen de expresión escrita. Calculen la probabilidad de que un aspirante apruebe el examen de expresión corporal o el examen de expresión escrita. Calculen el porcentaje de aspirantes que aprueban el examen de producción escrita. Calculen la probabilidad de aprobar a lo más uno de los exámenes.
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Funciones de densidad de probabilidad y de masa de probabilidad Formulas:
0≤≤1 1 ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∑ ∑ ≥0 − 1 <<
Variable aleatoria discreta:
Función de distribución de probabilidad acumulada
Valor esperado
Varianza
Coeficiente de variación
Coeficiente de asimetría
Coeficiente de curtosis
Variable aleatoria continúa:
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− − − − ∫ − ∫ −
Función de distribución de probabilidad acumulada
Valor esperado
Varianza
Coeficiente de variación
Coeficiente de asimetría
Coeficiente de curtosis
Ejemplo función de densidad de probabilidad:
Para la construcción de un puente vehicular en el municipio de Barrancabermeja, el gerente de la obra ha definido un descanso que comienza a las 10:00:00 a.m. y máximo puede durar 20 minutos, los trabajadores tienen la opción de elegir tomar el descanso o acumular el tiempo para ser redimido en un día cualquiera. Suponga que la variable aleatoria representa el tiempo en minutos que un empleado gasta en el descanso. La función de densidad de probabilidad es la que se muestra a continuación.
0<≤5 5<≤11 √ −− 11<≤16 16<≤20
El gerente afirma, basado en su amplia experiencia en obra, la posibilidad de que un empleado demore un tiempo inferior de 10 minutos en su descanso es de 40%, la posibilidad de que demore un tiempo entre 6 y 14 minutos es de 43% y el tiempo esperado que un empleado gasta en el descanso en de 10.2 minutos.
a) Calcular el valor de las constantes a, b, c y d. b) Obtener la función de distribución acumulada. c) Calcular el valor del coeficiente de asimetría.
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Solución: De acuerdo a las condiciones del enunciado es posible plantear las siguientes ecuaciones:
0.40 √ 0.43 √ − − 10. 2 √ − − 1 √ −
Solución a.
Resolviendo las integrales definidas se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
Solución b.
0.0.44012. 5 0000013. 6 28291 314. 5 239560. 2 41162 10.112. 241.560000016. 66667138.8683550. 1639605.3746931. 0000001.104740×10 869814×10−− . ; . ; . ; .
Para la función de probabilidad acumulada se debe realizar una integral:
− − 0. 021861 0.010931 5 0. 009300√ 0.2732630.006200 0.203944 11 1. 222959− 0.4301381.222959ln 2.502389 − − 16 1010501. 3 5 0. 8 883731010501. 3 1.002090 Apuntes de Estadística Aplicada A La Ingeniería Civil - Porras & Sánchez
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≤ . <≤ . . −.. <≤ .. <≤ . <≤ > ∫ − − 0.021861 10.2 0.009300√ 10.2 − 1.222959 10.2 1010501.35−10.2 . 24. 9697 0.021861 10.2 ∫(0.009300√ )10.2 ∫ − − 1 . 2 22959 10. 2 1 010501. 3 5 10. 2 ∫ ∫ 4. 9 96972 .
Solución c.
Para el cálculo del coeficiente de asimetría se utiliza la siguiente expresión:
Se debe realizar el cálculo de la desviación estándar.
Aplicando la expresión para el cálculo del coeficiente de asimetría se tiene:
Ejemplo función de masa de probabilidad: Un experimento estadístico consiste en lanzar un dado y luego lanzar una moneda, en el caso de obtener un número impar la moneda es lanzada cuatro veces, si se obtiene un número par en el dado la moneda es lanzada tres veces. Suponga que la variable aleatoria discreta representa el número total de caras que se obtienen al finalizar los lanzamientos de la moneda. a) Obtener las funciones de masa de probabilidad y masa de probabilidad acumulada. b) Calcular el coeficiente de curtosis del número de caras que se obtienen del lanzamiento de la moneda. c) Calcular la probabilidad de obtener a lo menos dos caras.
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Solución:
Para la solución del enunciado es necesario realizar un diagrama de árbol para calcular las probabilidades de los posibles valores que puede tomar la variable , que representa el número total de caras obtenidas en los lanzamientos de la moneda.
Imagen: Diagrama de árbol propuesto para la solución del enunciado.
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Realizando la multiplicación de las probabilidades de las ramas del árbol mostrado en la figura, es posible obtener la siguiente tabla.
0 1 2 3 4
12 12 323 3121 4121 1653 31 2 61 2 3 8 2 4 2 16 1 1 2 32
Tabla 3: Cálculo de probabilidades para la obtención de la función de masa de probabilidad. Solución a. Con la tabla que se ilustra anteriormente es posible obtener la función de masa de probabilidad.
03 15 23 33 41 32 16 8 16 32
Tabla 4: Función de masa de probabilidad. Con la función de masa de probabilidad es posible obtener la función de masa de probabilidad acumulada.
03 0≤<1 <0 3213 1≤<2 322532 2≤<3 3132 3≤<4 1 ≥4
Tabla 5: Función de masa de probabilidad acumulada. Solución b. Para el cálculo del coeficiente de curtosis se utiliza la expresión que se muestra a continuación.
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∑ Es necesario realizar el cálculo de la media y la desviación estándar del número total de caras obtenidas en los lanzamientos de la moneda.
0 323 1 165 2 38 3 163 4 321 . 0 747 32311 74 165 2 74 383 74 163 4 4 32 1516 √ ∑ 7 3 7 5 7 3 7 3 7 1 0 1 2 3 4 4 32 4 16 4 8 4 16 4 32 √ 415 . ≥2 2 3 38 163 169 ≥ ..%
Remplazando los valores correspondientes en la expresión del cálculo del coeficiente de curtosis.
Solución c.
Se requiere calcular la siguiente probabilidad.
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Ejercicios funciones de masa de probabilidad y densidad de probabilidad 1. Un negocio de suministro de materiales de construcción que atiende pedidos por correo, tiene seis líneas telefónicas. Sea X el número de líneas en uso en un momento específico. Suponga que la función de masa de probabilidad está dada en la siguiente tabla
x p(x) a) b) c) d) e) f) g) h) i)
0 0.10
1 0.15
2 a
3 0.25
4 0.20
5 0.06
6 0.04
Calcular el valor de a. Calcular la función de probabilidad acumulada Graficar la función de probabilidad acumulada Calcular la probabilidad de que a lo sumo tres líneas están en uso Calcular la probabilidad de que menos de tres líneas están en uso Calcular la probabilidad de que por lo menos tres líneas están en uso Calcular la probabilidad entre dos y cinco líneas. Inclusive están en uso Calcular la probabilidad entre dos y cuatro líneas. Inclusive no están en uso Calcular la probabilidad de que por lo menos cuatro líneas no están en uso
Respuesta: a) 0.2 b)
c) d) 0.7 e) 0.45 f) 0.55 g) 0.71 h) 0.35 i) 0.7
0.0.0100 0≤<1 <0 0. 2 5 1≤<2 0.0.0. 479 500 2≤<3 3≤<4 4≤<5 0.1.9006 5≤<6≥6 ∗01 3 2≤≤4
2. El peso de arrastre real de un diamante en una máquina que se utiliza para cortar ciertos metales se fija en 3 [gr] que se puede considerar como una variable aleatoria continúa “ x” con función de densidad de probabilidad:
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
Calcular el valor de “k”. Calcular la probabilidad de que el peso del diamante sea a lo sumo 4 gr Calcular la probabilidad de que el peso del diamante se encuentre entre 2.5 gr y 3.5gr Calcular la probabilidad de que el peso del diamante sea a lo menos de 2.5 gr Obtener la función de densidad de acumulada Calcular el valor esperado para el peso de arrastre real. Calcular el coeficiente de variación. Calcular el coeficiente de curtosis. Calcular el coeficiente de asimetría. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso de arrastre sea mayor que el establecido?
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k) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso real difiera del peso descrito en 0.5 [gr]? Respuestas: a) 0.5 k) 0.6875
3 √ 0 0 <2 4 914 65 2≤≤4 >4
b) 1 c) 0.6875 d) 0.84375 e) f)
g)
h)
i)
j)
3. Un gremio de inversionistas que evalúa apartamentos nuevos, suele informar la cantidad de defectos importantes en cada apartamento de una determinada edificación. Sea x el número de defectos importantes en un apartamento de cierta edificación, la función de distribución acumulada es:
a) b) c) d)
0.0.0006 0≤<1 <0 0. 1 9 1≤<2 0.0.0. 369 972 2≤<3 3≤<4 4≤<5 0.1.0907 5≤<6 ≥6
p(3), es decir, p(x=3) p(x>3) p(2 x 5) p(2
≤≤
4. Un maestro de universidad nunca termina sus clases antes de que termine la hora y siempre termina su clase dentro de los dos minutos después de la hora. Sea “x” el tiempo que trascurre entre el final de la hora y el fin de la clase. Suponga que la función de la densidad de probabilidad es:
a) b) c) d) e) f) g) h)
0 ∗ 0≤≤2
Encontrar el valor de “k”. Obtener la función de distribución acumulada de probabilidad. Calcular la mediana del tiempo que transcurre entre el final de la hora y el fin de la clase. ¿Cuál es la probabilidad de que la clase termine dentro de un minuto después de que termina la hora? ¿Cuál es la probabilidad de que la clase continúe más allá de la hora entre 60 y 90 segundos? Calcular el tiempo esperado que trascurre entre el final de la hora y el final de la clase. Calcular el coeficiente de asimetría. Calcular el coeficiente de curtosis.
Respuesta: a)
b) c)
d) e) f)
−√ g)
h)
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0 <0 81 0≤≤2>2 1− ≥0<0
RECOMENDADO
5. Sea una variable aleatoria continua Z con fdp:
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
Determine la constantes a y b si 0 es la mediana de z Determine la función de distribución acumulada Calcule la probabilidad, p(z<-2) Calcule la probabilidad, p(z<4) Calcule la probabilidad, p(z>4) Calcule la probabilidad, p(-2
Respuesta: a) 10.4666 h)
;
b) c) 0.147584 d) 0.990842 e) 0.009158 f) 0.849047 g)
2arct a n <0 2 1 21 ≥0
-
6. Según informes de la Secretaria de Ecología y Protección al Medio Ambiente de la Ciudad de México, la variable aleatoria x que denota el número aproximado de decenas de toneladas de materias fecales en polvo (principalmente humanas y de perro) que flotan en el aire en la ciudad de México en un día cualquiera, puede estimarse mediante la función de densidad de probabilidad siguiente
− >0
a) Calcular el valor de K b) Determinar la función de distribución acumulada c) Calcular la probabilidad de que la cantidad de toneladas de materias fecales en polvo sea a lo menos 4 d) Calcular la probabilidad de que la cantidad de toneladas de materias fecales en polvo sea a lo más 5 e) Calcular la probabilidad de que la cantidad de toneladas de materias fecales en polvo se encuentre entre 3 y 4 toneladas
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f) Calcular la probabilidad de que la cantidad de toneladas de materias fecales en polvo se encuentre a no más de 2 toneladas con respecto al valor esperado g) Calcular el coeficiente de asimetría h) Calcular el coeficiente de curtosis i) Calcular el coeficiente de variación
Respuesta: a)
b) c) 0.406006 d) 0.712703 e) 0.15182 f) 0.536611 g)
0 − − 1 2
≤0 >0
√ 2 6 h)
7. El número de imperfecciones por 10 metros de un Geotextil utilizado en la estabilización de un talud de una vía en construcción cuenta con una función de masa de probabilidad:
x f(x)
0 0.41
1 k
2 0.16
3 0.05
4 0.01
a) b) c) d) e) f) g)
Calcular el valor de “k”. Obtener la función de probabilidad acumulada. Graficar la función de probabilidad acumulada. Calcular la probabilidad de tener menos de tres imperfecciones en 10 metros de Geotextil. Calcular la probabilidad de encontrar a lo más 3 imperfecciones en 10 metros de Geotextil. Calcular la probabilidad de encontrar a lo menos 3 imperfecciones en un rollo de 10 metros. Calcular la probabilidad de encontrar entre una y tres imperfecciones, inclusive, en un rollo de 10 metros. h) Calcular el coeficiente de variación del número de defectos del geotextil i) Calcular el coeficiente de asimetría j) Calcular el coeficiente de curtosis
Respuesta: a) 3.4337717
0.37
b) c) d) 0.94 e) 0.99 f) 0.06 g) 0.58 h) 1.04496 i) 0.933846 j)
0.0.0401 0≤<1<0 0.0.0.979984 1≤<2 2≤<3 3≤<4 1.00 ≥4
8. Sea X una variable aleatoria discreta con la siguiente distribución de probabilidad x p(x)
1 P1
3 P2
5 P3
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Si se sabe que la media de X es 0.30 y la varianza de X es 2.51, determine los valores de las probabilidades P1, P2 y P3.
9. Una variable aleatoria X tiene la siguiente fmp: x p(x)
2 0.15
3 P2
x3 0.30
8 P4
4.25 3.7875 0 0≤<1<0 484 1≤<2 1 ≥2 0.5<≤1.5
Si se sabe que
y la
, calcule el coeficiente de asimetría de X
10. Dada la variable aleatoria con la siguiente FDA
Determine
Respuesta: 0.65625
11. El número total de horas, en unidades de 100 horas que una luminaria de sodio permanece
prendía en un parqueadero sin averiarse es una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad , para prevenir posibles incidentes tales como incendios por la falla de las luminarias el fabricante estipula que el tiempo máximo de servicio de una luminaria deberá ser de 7500 [horas].
− 15<≤30 0<≤15 30<≤75
a) Si la mediana del tiempo que la luminaria permanece prendida sin averiarse es de 3200 [horas] b) c) d) e) f) g) h)
y según especificaciones del fabricante la luminaria tiene un 85% de posibilidad de funcionar entre 1000 y 6000 [horas] sin averiarse. Calcular los valores de a,b y c. Calcular el tiempo esperado de funcionamiento de la luminaria. Calcular el coeficiente de variación de . Calcular el coeficiente de asimetría. Calcular el coeficiente de curtosis. Obtener la función de probabilidad acumulada Calcular la probabilidad de que el tiempo que la luminaria permanece prendida sin averiarse sea inferior de 2500 [horas]. Calcular la probabilidad de que el tiempo que la luminaria permanece prendida sin averiarse se encuentre entre 2500 y 5000 [horas]
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3395. 0. 0 56979; 0. 5 55266; 27. 9 06977 6 9 ℎ 0.501726 0.319427 2.68723 0 ≤0 − 0. 0 569790. 0 56979 0<≤15 1. 4 4671 15<≤30 0.51.55266 372091 27.9070 30<≤75 >75 Respuesta: a) d)
b)
e)
c)
f)
12. La medida del tiempo en minutos que un ingeniero director de obra gasta en reprender a sus empleados en el día es una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad , según un reconocido psicólogo el tiempo para reprender no debe ser superior a 30 minutos para evitar el riego de trauma psicológico.
− 0<≤12 5 12<≤21 21<≤30
a) Si la mediana del tiempo en que el director de obra reprende a sus súbditos es de 17 minutos, b) c) d) e) f) g) h) i)
por experiencia se sabe de qué la posibilidad de que este director reprenda a un súbdito durante un tiempo de entre 5 y 25 minutos es de 87%. Calcular los valores de a,b y c. Suponga que usted es un empleado del director de obra ¿Cuál es el tiempo esperado para que se le reprenda? Calcular el coeficiente de variación de . Calcular el coeficiente de asimetría. Calcular el coeficiente de curtosis. Obtener la función de probabilidad acumulada Calcular la probabilidad de que el tiempo de un regaño dure más de 5 minutos. Calcular la probabilidad de que un regaño dure entre 10 y 20 minutos. Calcular la probabilidad de que el tiempo para un regaño sea a lo más de 7 minutos.
0. 0 04512; 20. 1 77864; 479. 1 94984 17. 9 7459 0.285166 0.239410 3.09553 1 21 − 4− 4∗0.004512 0<≤12 620093∗20. 1 778640. 0 17735 12<≤21 √ 5 arctan√ 5 0. 1.266221239.597 21<≤30 >30 Respuesta: a) d)
b)
e)
c)
f)
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13. Una reconocida constructora de edificaciones de vivienda, se encuentra interesada en estudiar la estatura de sus empleados que laboran en obra, el objetivo es realizar algunas modificaciones en la ropa de trabajo y los elementos de protección personal. La compañía para estudiar la estatura de sus empleados realiza una toma de datos, entre una muestra representativa de los trabajadores, y contrata a un estudiante de Ingeniería Civil apasionado por el estudio de la estadística para que modele una función de densidad de probabilidad con la estatura como variable aleatoria. Suponga que el estudiante determina la siguiente función de densidad de probabilidad.
1. 5 7<≤1. 6 4 √ − 7 5 1.1.674<≤1. 5<≤1.86
a) Si el 56% de los trabajadores tienen una estatura inferior a 1.72 m, y el 72% de los trabajadores una estatura superior a 1.64 m, calcular los valores de las constantes a, b, c y obtener la función de distribución acumulada. b) Calcule el valor de estatura esperado en los empleados de la constructora. c) Calcule la probabilidad de que la estatura de un empleado elegido al azar se encuentre entre 1.61 y 1.78 m.
0.585252
Respuesta: a)
3.157410;18.774400;5.58789 1.70673 0 ≤1. 5 7 0494∗ 4. 1 4085 1. 5 7<≤1. 6 4 − 2.5.18.158789∗ 7744∗||2.3.496771 2186 1.1.674<≤1. 7 5 5≤≤1. 8 6 1 >1.86 b)
c)
14. Un estudiante de ingeniería civil debe recorrer todos los días un trayecto considerable desde su casa hasta el lugar en el que se encuentra la universidad, el estudiante dispone de dos horas para almorzar, tiempo que es insuficiente para ir hasta su casa, por esta razón el estudiante compra el almuerzo en la cafetería de la universidad. El tiempo que el estudiante ha utilizado para esperar su almuerzo lo ha dedicado a modelar la siguiente función de distribución acumulada, donde la variable aleatoria es el tiempo de espera en la cafetería en minutos, el estudiante afirma que no espera un tiempo superior a 30 minutos pues de darse el caso prefiere quedarse sin almorzar
0 x≤0 − a 1 e 030 } Apuntes de Estadística Aplicada A La Ingeniería Civil - Porras & Sánchez
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<15 0.45
a) Obtener la función de densidad de probabilidad y el valor de las constantes a, b y c. b) Calcular el tiempo más probable que el estudiante tendrá que esperar para que le sirvan su almuerzo. c) Calcular la probabilidad de que el estudiante tenga que esperar en la fila a lo más un tiempo de 19 minutos.
0.633138
Respuesta: a)
0.13588;0.774731;0.973332 15.9712 − 0.0.173588 0<≤10 74731 10<≤21 0.973332 21<≤30 5 b)
c)
15. En un grupo de investigación laboran, Estudiantes de Ingeniería Civil, con una gran de dedicación y sentido del deber, situación que tiene como consecuencia la alta ocupación de los seis equipos informáticos disponibles para trabajar, uno de los estudiantes interesado en el arduo trabajo estudia el número de equipos disponibles a determinada hora del día, para el estudio realiza una toma de datos en la sala de informática durante varios días y finalmente obtiene la siguiente función de masa de probabilidad acumulada.
Se sabe que:
0 a 0≤x<1 x<0 0. 7 0 1≤x<2 Fx 0. 8bc8 2≤x<3 3≤x<4 4≤x<5 0.1.0907 5≤x<6x≥6 Exμ1.26; px ≤20.80; p2 ≤x≤40.24
a) Obtener los valores de las constantes a, b y c además de la función de masa de probabilidad. b) Calcular la probabilidad de que se encuentren disponibles entre dos y cinco computadores, inclusive. c) Calcular el coeficiente de asimetría para el número de computadores disponibles.
Respuesta: a)
0.45;0.80;0.94 0.270000 1.346638 b)
c)
16. En la construcción de la Fase II de un reconocido Megacolegio se debe realizar una excavación de gran volumen, el ingeniero residente de la obra en construcción pidió a un estudiante de Ingeniería Civil de la Universidad Industrial de Santander, modelar una función de densidad de probabilidad para el tiempo que una volqueta dobletroque permanece en la obra, desde el momento de la entrada hasta el momento de la salida de la obra, tiempo que
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según especificaciones de la interventoría no deberá ser superior a 15 minutos, el estudiante llego a la función de distribución acumulada:
Fx
0 x≤0 − − − atblneta2ate226e2ae− 2a 0
x>15
a) Si el ingeniero residente sabe por experiencia que la probabilidad de que el tiempo que una
b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)
volqueta demore en la obra sea inferior a 10 minutos es de 35,56%, la probabilidad de que se demore entre 3 y 7 minutos inclusive es de 13,33% y según el estudiante de ingeniería la mediana del tiempo que demora una volqueta es de 12,5064 minutos. Calcule los valores de a,b,c y d. Obtener la función de densidad de probabilidad . Graficar la función de densidad de probabilidad . Graficar la función de densidad acumulada de probabilidad . Calcular el tiempo más probable que una volqueta demora en la obra. Calcular la probabilidad de que el tiempo que una volqueta demore en la obra sea a lo más de 9 minutos. Calcular la probabilidad de que el tiempo que una volqueta demore en la obra sea a lo menos 10 minutos. Calcular la probabilidad de que el tiempo que una volqueta demore en la obra sea a lo sumo 6 minutos. Calcular la probabilidad de que el tiempo que una volqueta demore en la obra se encuentre entre 9 y 12 minutos, inclusive. Calcular el coeficiente de curtosis del tiempo que demora una volqueta en la obra. Calcular el coeficiente de asimetría del tiempo que demora una volqueta en la obra.
ffxx Fx
17. Cierto estudiante de ingeniería auxiliar de la asignatura de Estadística, es un fiel fanático del modelado matemático a partir de datos estadísticos y su área de mayor fascinación de la Estadística es la Teoría de la Probabilidad, en la asignatura todos los semestres se aplica una prueba de conocimientos previos que consta de 10 preguntas, el estudiante con el objetivo de analizar el comportamiento probabilístico de la variable aleatoria del número de respuestas correctas modela una función de masa de probabilidad a partir del historial de notas obtenidas por los estudiantes de los semestres anteriores. x
0
1
2
3
4
5
6
7
p(x)
0.15
a
0.13
b
0.09
c
0.07
d
8
9
0.03 0.03
10 e
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a) Se sabe que el valor más probable de respuestas correctas es de 3.06, la varianza del número
b) c) d) e) f) g) h)
de respuestas correctas es de 6.6364, la probabilidad de que un estudiante conteste entre 2 y 6 preguntas, inclusive, de forma correcta es de 0.5 y la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen es de 0.19 (el examen se aprueba con 6 o más respuestas de forma correcta), calcule los valores de a,b,c,d y e. Calcule el coeficiente de curtosis. Calcule el coeficiente de asimetría. Obtenga la función de distribución acumulada de probabilidad. Grafique las funciones de masa de probabilidad y densidad de probabilidad acumulada. Calcule la probabilidad de que un estudiante conteste de forma correcta a los sumo tres de las preguntas. Calcule la probabilidad de que un estudiante conteste de forma correcta a lo menos 2 preguntas de forma correcta Calcule la probabilidad de que un estudiante conteste de forma correcta entre 4 y 7 preguntas, inclusive, de forma correcta.
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Distribuciones de probabilidad Proceso de Bernoulli Un experimento estadístico con las siguientes propiedades se conoce como experimento de Bernoulli.
1. Cada prueba que se realiza tiene dos resultados posibles que son: éxito o fracaso. 2. El experimento consta de pruebas que se repiten en condiciones iguales. 3. La probabilidad de éxito, denotada como , se mantiene constante en todas las pruebas del
experimento. 4. Las pruebas del experimentos son independientes.
Distribución Binomial
La distribución binomial es aplicable en un experimento donde se estudia una variable aleatoria discreta, que corresponde al número de éxitos , que se presentan en ensayos, donde:
1. Los ensayos son independientes. 2. Cada uno de los ensayos tiene dos resultados posibles Éxito o Fallo. 3. La probabilidad de éxito permanece constante, al igual que la probabilidad de fallo
"" "" ; , ;,1−, 0,1,2……; 1,2,3………. ; 1
.
La variable aleatoria discreta , que representa el número de éxitos que suceden en ensayos tiene la función de masa de probabilidad , denotada como .
:: :
Donde, Número de ensayos. Número de éxitos. Probabilidad de éxito.
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Distribución Geométrica
La distribución geométrica es aplicable en un experimento donde se estudia una variable aleatoria discreta, que corresponde al número ensayos , que deben realizarse para obtener el primer éxito, donde.
1. Los ensayos son independientes. 2. Cada uno de los ensayos tiene dos resultados posibles Éxito o Fallo. 3. La probabilidad de éxito permanece constante, al igual que la probabilidad de fallo
"" − ;1 , 1,2,3…………… 1 ; 1
""
.
La función de masa de probabilidad de la distribución geométrica , que da como resultado la probabilidad de obtener el primer éxito en el ensayo , está definida como:
::
Donde, Número del ensayo en el que ocurre el primer éxito. Probabilidad de éxito.
Distribución Binomial Negativa
La distribución Binomial Negativa es aplicable en un experimento donde se estudia una variable aleatoria discreta, que corresponde al número ensayos , que deben realizarse para obtener el éxito, donde:
é
1. Los ensayos son independientes. 2. Cada uno de los ensayos tiene dos resultados posibles Éxito o Fallo. 3. La probabilidad de éxito permanece constante, al igual que la probabilidad de fallo
"" "" é 11−, 1,2,3…………… ∗;,1 ; 1 é
.
La función de masa de probabilidad de la distribución Binomial negativa , que da como resultado la probabilidad de obtener éxito en el ensayo , está definida como:
:: :
Donde, Número del ensayo en el que ocurre el Numero de éxitos. Probabilidad de éxito.
éxito.
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73
Distribución Poisson
− ; ! , ; 0,1,2,3…………… ;
La distribución Poisson es aplicable en un experimento donde se estudia una variable aleatoria discreta, que corresponde al número de éxitos , que ocurren en un tiempo determinado , teniendo en cuenta una frecuencia de éxitos . La función de masa de probabilidad de la distribución Poisson , que da como resultado la probabilidad de obtener éxitos, en un tiempo , está definida como:
::
Donde, Número de éxitos. Intervalo de tiempo, área, volumen, etc, analizado
Ejercicios distribuciones de probabilidad (binomial, binomial negativa, geométrica y poisson) 1. Un examen de resistencia de materiales consta 10 preguntas con cuatro opciones de respuesta. Suponga que cierto estudiante no prepara el examen, por lo cual se ve obligado a adivinar cada una de las respuestas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante conteste de forma correcta exactamente 3 preguntas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante conteste a lo más 5 preguntas de forma correcta? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante conteste entre 5 y 7 preguntas inclusive de forma correcta? d) Si el examen se aprueba con 6 o más respuestas correctas ¿cuál es la probabilidad de que este estudiante poco responsable apruebe el examen? e) ¿Cuál es el número esperado de respuestas correctas en el examen del estudiante descrito? f) Calcular el coeficiente de variación del número de respuestas correctas en el examen del estudiante g) Encontrar las funciones de masa de probabilidad y masa de probabilidad acumulada h) Graficar las funciones de masa de probabilidad y masa de probabilidad acumulada
0. 2 5028229 0. 9 8027229 0. 0 7771111 0. 0 1972771 2. 5 ≡3 0.54772256 Respuesta: a)
b)
c)
d)
e)
f)
2. Cierto ingeniero civil dedicado a la docencia debe recorrer todos los días un trayecto desde su vivienda hasta el lugar de trabajo, en el trayecto debe pasar por un cruce congestionado que
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cuenta con un semáforo el cual está en verde el 35% de las veces. Suponga que comienza una semana laboral con el lunes como primer día laboral de la semana. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera mañana en que se pasa el semáforo en verde sin tener que esperar sea el día jueves? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera mañana en que se pasa el semáforo en verde sin tener que esperar se encuentre entre los días martes y jueves, inclusive? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera mañana en que se pasa el semáforo en verde sin tener que esperar sea a lo menos el día jueves? d) ¿Cuál es el día esperado en el que el semáforo se encontrara en verde por primera vez en la semana laboral?
Respuesta: a)
0.09611875 0.47149375 0.27462500 2.86≡ b)
c)
d)
3. Una prueba consiste en someter probetas cilíndricas de concreto de 10 [cm] de diámetro y 20 [cm] de altura a un esfuerzo normal de 3000 [psi] con el objetivo de determinar si cumple el esfuerzo de diseño, se sabe por experiencia que el 15% de las probetas de este tipo de concreto no cumplen con la resistencia de diseño. Suponga que se analiza un lote de 8 probetas: a) ¿Cuál es la probabilidad de que fallen exactamente 4 probetas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que fallen a lo más 3 probetas? c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna probeta falle? d) ¿Cuál es la probabilidad de que no fallen más de 7 probetas? e) ¿Cuál es el número más probable de probetas que fallan? f) Calcule el coeficiente de variación del número de probetas que fallan g) Encontrar las funciones de masa de probabilidad y masa de probabilidad acumulada h) Graficar las funciones de masa de probabilidad y masa de probabilidad acumulada
0. 0 184986 0. 9 7864753 0. 2 7249053 . 1. 2 0≡1 0.84162541 Respuesta: a)
b)
c)
d)
e)
f)
4. Cierto individuo estudiante de ingeniería es famoso entre sus compañeros de estudio por
transmitir información errónea basada en algún acontecimiento, sus compañeros más allegados saben que a este individuo hay que creerle una cuarta parte de lo que dice (basados en la experiencia). Suponga que hay un nuevo rumor que este individuo comenta a 10 personas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que a exactamente 6 personas se les diga la verdad? b) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo menos a 5 personas se les suministre información errónea? c) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 4 y 8 personas inclusive se les diga la verdad? d) ¿Cuál es la probabilidad de que a ninguna persona se le dé la información correcta? e) ¿Cuál es el número esperado de personas al cual este individuo le suministra información correcta? f) Encontrar las funciones de masa de probabilidad y masa de probabilidad acumulada. g) Graficar las funciones de masa de probabilidad y masa de probabilidad acumulada. h) Calcular el coeficiente de curtosis para el número de personas que el individuo mencionado le suministra información incorrecta
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0. 0 16222 . 0. 2 2409534 0. 0 5631351 . ≡ 2.9333333 692.801≡693 Respuesta: a)
b)
c)
d)
e)
h)
5. Una maquina produce piezas metálicas, de las cuales el 0.1% son de pésima calidad ¿Cuántas piezas deberán producirse para que la probabilidad de que haya por lo menos una pieza de pésima calidad sea mayor a 0.5?
Respuesta:
6. Los grandes maestros Vishy Anand, de la India, y Garry Kasparov, de Rusia juegan una serie
de partidas de ajedrez (match). Los expertos estiman que la probabilidad de que una partida entre ellos termine en tablas (empate) es de 0.8. Si en total disputaran 24 partidas, para definir el campeonato del mundo, halle el número más probable de partidas que terminarán en tablas.
Respuesta:
19. 2 ≡19
7. Dos tiradores disparan al blanco. La probabilidad de fallar un solo disparo para el primer tirador es igual a 0.2, y para el segundo, 0.4. Halle el número más probable de disparos para los cuales no se hará ni un solo blanco, si los tiradores efectúan 25 disparos cada uno y lo hacen simultáneamente.
Respuesta:
15 0.00856
8. Un ingeniero de tráfico afirma que uno de cada 10 accidentes automovilísticos son causador por fatiga del conductor. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos tres de cinco accidentes automovilísticos sean causados por fatiga del conductor?
Respuesta:
**Recomendado 9. La biblioteca de cierta universidad genera multas a sus usuarios por concepto de atraso en la entrega de los libros, multas que deben pagarse en un cubículo que es atendido por un individuo que generalmente atiende de mal humor por lo que sus servicios han generado el repudio en los estudiantes. La comunidad estudiantil decide redactar una carta para generar una petición de remoción del cargo de tal individuo para ello se recolectan firmas entre los estudiantes. Si la aceptación de tal individuo entre la comunidad estudiantil es del 8% calcular: a) La probabilidad de que en un grupo de 10 estudiantes 8 firmen para apoyar la iniciativa de la remoción del cargo de tal individuo. b) La probabilidad de que se tenga que abordar a 7 estudiantes para encontrar la primera persona que no firme la propuesta de la remoción al cargo. c) La probabilidad de que en un grupo de 8 estudiantes a lo menos 7 firmen para apoyar la iniciativa de la remoción del cargo de tal individuo. d) La probabilidad de que se tenga que abordar a 15 estudiantes para encontrar 13 personas que firmen la revocatoria del funcionario. e) La probabilidad de que en un grupo de 10 todos firmen para la revocatoria del funcionario. f) El número más probable de firmas que se recolectaran en un grupo de 30 personas. g) El número más probable de estudiantes que se tendrán que abordar para encontrar dos personas que no firmen la propuesta de revocatoria. h) El número de estudiantes que se deberán abordar para que la probabilidad de que dos de ellos no firmen la propuesta sea de 0.05.
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i) El número de estudiantes que se deben abordar para que la probabilidad de encontrar el primero que no firme la propuesta sea de 0.025. j) El estudiante encargado de recoger las firmas afirma que en su planilla registra en promedio 2 firmas cada 10 minutos ¿Cuál es la probabilidad que en 20 minutos este estudiante logre registrar exactamente 5 firmas? k) El estudiante encargado de recoger las firmas afirma que en su planilla registra en promedio 2 firmas cada 10 minutos ¿Cuál es la probabilidad que en 30 minutos este estudiante logre registrar entre 3 y 5 firmas inclusive? l) El estudiante encargado de recoger las firmas afirma que en su planilla registra en promedio 2 firmas cada 10 minutos ¿Cuál es la probabilidad que en 15 minutos este estudiante logre registrar a lo más 3 firmas? m) A un grupo de 20 estudiantes se les reúne en un aula, 17 de tales estudiantes firmaron la propuesta y los restantes no firmaron. Se seleccionan 5 estudiantes al azar ¿Cuál es la probabilidad de que 4 estudiantes hayan firmado y 1 no haya firmado?
0. 1 4780704 0. 0 48508 0. 8 702407 0. 1 96999 0. 4 3438845 27. 6 ≡ 300.64723189 25 5. 0 1≡5 71. 1 6≡71 14. 9 4≡15 0. 1 5629345 0. 3 8371084 0.460526 Respuesta: a) g) h) l) m)
b)
c)
d)
e) j)
i)
f) k)
10. El número de defectos en rollos de geotextil (utilizado para hacer filtros para taludes) de cierta industria tiene una media de 0.1 defectos por metro cuadrado. a) ¿Cuál es la probabilidad de tener dos defectos en un metro cuadrado de geotextil? b) ¿Cuál es la probabilidad de tener un defecto en 10 metros cuadrados de geotextil? c) ¿Cuál es la probabilidad de no hallar defectos en 20 metros cuadrados de geotextil? d) ¿Cuál es la probabilidad de que existan al menos dos defectos en 10 metros cuadrados de geotextil?
Respuesta: a)
0.00452439 0.36787944 0.13533528 0.26424112 b)
c)
d)
11. Una gran encuesta en una reconocida ciudad arroja como resultado que el 63% de las personas encuestadas no se encuentran a gusto con la pareja sentimental con la que comparten en la actualidad. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se tenga que entrevistar a 8 personas para encontrar alguien que no esté a gusto con su pareja sentimental actual? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se tenga que entrevistar a 4 personas para encontrar a dos personas que no estén a gusto con su pareja sentimental actual? c) ¿Cuál es la probabilidad de tener que entrevistar entre 3 y 5 personas inclusive para encontrar una persona que se encuentre a gusto con su pareja? d) ¿Cuál es el número más probable de personas que se deben encuestar para encontrar a alguien que se encuentre a gusto con su pareja? e) ¿Cuál es el número más probable de personas que se deben encuestar para encontrar a alguien que no se encuentre a gusto con su pareja? f) Calcular el coeficiente de variación para el número de personas que se deben encuestar para encontrar a alguien que se encuentre a gusto con su pareja.
0. 0 00598 0. 0 64697 0. 2 97656 2. 7 0≡3 1. 5 9≡2 0.793725 Respuesta: a)
b)
c)
d)
e)
f)
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12. Un laboratorio de una reconocida planta encargada del suministro de concreto a diferentes obras recolecta muestras de sus concretos que son utilizados en columnas con el objetivo de verificar la calidad del producto ofrecido al público. La prueba consiste en verificar con un ensayo de compresión la resistencia al esfuerzo normal para el cual fue diseñado el concreto. Según la experiencia se sabe que aproximadamente el 7% de los concretos suministrados no cumplen con la resistencia de diseño, suponga que se analiza cierto lote de probetas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que analizar 25 probetas para encontrar una que no cumple con la resistencia de diseño? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la probeta analizada en la posición 17 sea la primera que falle? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera probeta que falle se encuentre entre la analizada en la posición 17 y la posición 20, inclusive? d) Si 20 probetas se seleccionan del lote al azar y se analizan ¿Cuál es el número esperado de probetas que no cumplen con la resistencia? e) Si 25 probetas se seleccionan del lote al azar y se analizan ¿Cuál es el número esperado de probetas que cumplen con la resistencia? f) ¿Cuál es el número esperado de probetas que se tendrá que analizar para encontrar la primera que no cumple con la resistencia de diseño? g) Suponga que se analizan 35 probetas ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más dos no cumplan con la resistencia de diseño?
0. 0 12266 0. 0 21919 0. 0 78893 1. 4 ≡1 23. 2 5≡23 14.29≡14 0.55249848 Respuesta: a) g)
b)
c)
d)
e)
f)
13. Un inspector de calidad, se desempeña en el área de muebles para oficinas, suponga que cierto día el inspector es contratado por una prestigiosa universidad para verificar el estado de un aula magistral adscrita a la escuela de Ingeniería Civil. De acuerdo a las observaciones, el inspector afirma que aproximadamente un 25% de las sillas requieren mantenimiento. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el inspector tenga que analizar 10 sillas para encontrar 3 que necesiten mantenimiento? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el inspector tenga que analizar 8 sillas para encontrar 6 que no requieran mantenimiento? c) Si se elige un lote de 15 sillas, ¿Cuál es la probabilidad a lo más 4 sillas requieran mantenimiento? d) ¿Cuál es la probabilidad de que el inspector tenga que analizar 5 sillas para encontrar la primera que requiera mantenimiento? e) Calcule el número más probable de sillas que el inspector tendrá que analizar para encontrar 5 sillas defectuosas. f) Si se tiene un aula con 40 sillas, ¿Cuál es el número más probable de sillas que no requieren reparación?
0. 0 7508469 0. 2 335968 0. 6 8648594 0. 0 79102 20. 0 0≡20 30.00≡30 Respuesta: a)
b)
c)
d)
e)
f)
14. Un estudiante de ingeniería debe trabajar para cubrir sus gastos de universidad, para tal fin trabaja los fines de semana como cajero en un reconocido supermercado, el estudiante afirma que su trabajo es muy eficiente al punto de atender en promedio tres clientes por minuto.
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a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un tiempo de 3 minutos el estudiante atienda a 10 clientes? b) ¿Cuál es la probabilidad de que en un tiempo de 2 minutos el estudiante atienda entre 4 y 7 clientes, inclusive? c) ¿Cuál es la probabilidad de que en un tiempo de 1.5 minutos el estudiante atienda a lo menos 4 clientes? d) ¿Cuál es el número más probable de clientes que el estudiante atiende en una hora
Respuesta: a)
0.1185801 0.0.5927759 0.5321036 180 b)
c)
d)
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Distribución Exponencial La distribución Exponencial es aplicable en un experimento donde se estudia una variable aleatoria continua, que puede corresponder a un tiempo, un volumen, un área, una distancia, etc variable que usualmente se representa como , el valor de la variable aleatoria continua corresponde al tiempo, intervalo que debe darse para que ocurra un éxito:
0− >0 1 ; 1
La función de masa de probabilidad de la distribución Exponencial
::
es de la forma:
Donde, Variable aleatoria continua que puede representar tiempo, área, volumen, etc. Numero promedio de éxitos por unidad de tiempo, área volumen, etc.
Distribución Gamma
La distribución Gamma es aplicable en un experimento donde se estudia una variable aleatoria continua, que puede corresponder a un tiempo, un volumen, un área, una distancia, etc variable que usualmente se representa como , este intervalo de la variable aleatoria continua corresponde al intervalo que debe darse para que ocurra un número de éxitos .
− − 1 ∗ 1 ∗ 0Г >0 Г 1!
Como es un valor entero que corresponde al número de éxitos, se tiene:
:: :
Donde, Variable aleatoria continua que puede representar tiempo, área, volumen, etc. Número promedio de éxitos por unidad de tiempo, área volumen, etc. Número de éxitos.
;
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Ejercicios distribuciones de probabilidad (Exponencial, Poisson, Normal) 1. Suponga que en un punto de venta de vivienda usada los clientes, independientemente de que pregunten sobre vivienda unifamiliar o apartamento, lo hacen con un promedio de 26 clientes por hora. a) Calcule la probabilidad de que en un tiempo de una hora lleguen exactamente 24 clientes b) Calcule la probabilidad de que en un tiempo de 15 minutos lleguen exactamente 6 clientes c) Calcule la probabilidad de que se espere un tiempo de menos de cinco minutos antes de que llegue el próximo cliente. d) Calcule la probabilidad de que en un tiempo de 3 minutos lleguen entre 1 y 3 clientes, inclusive e) Calcule la probabilidad de que se espere un tiempo entre 2 y 4 minutos antes de que llegue el próximo cliente f) Calcule la probabilidad de que en un tiempo de 2 minutos lleguen a lo menos dos clientes g) Calcule la probabilidad de que se espere un tiempo que diste de la media no más de una desviación estándar.
0. 0 74989102 0. 1 57482939 0. 8 85441156 0. 6 84372754 0. 2 43655939 0.215345949 0.8646647276 Respuesta: a) g)
b)
c)
d)
e)
f)
2. En la construcción del sistema de drenaje de una cancha se utiliza un geotextil no tejido que tiene una alta permeabilidad permitiendo el flujo de agua a través de este, según el fabricante el geotextil presenta un promedio de 0.1 imperfecciones por metro cuadrado. a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya dos imperfecciones en 1 metro cuadrado de geotextil? b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya una imperfección en 10 m 2 de geotextil? c) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya imperfecciones en 20 m 2 de geotextil? d) ¿Cuál es la probabilidad de que en 40 m 2 haya a lo más 3 imperfecciones en el geotextil? e) ¿Cuál es la probabilidad de que en 30 m 2 haya a lo menos 2 imperfecciones en el geotextil?
Respuesta: a)
0.004524187 0.367879441 0.135335283 0.43347012 0.800851727 b)
c)
d)
e)
3. La longitud media del tiempo para que un individuo sea atendido en una reconocida cafetería ubicada en la ciudad de Bucaramanga es de 3 minutos a) Calcule la probabilidad de que en un tiempo de 2 minutos no se despache ningún cliente en la cafetería. b) Calcule la probabilidad de que en un tiempo de 5 minutos sean atendidos exactamente dos clientes de la cafetería. c) Suponga que usted requiere comprar parte del desayuno en esta cafetería y al momento de llegar es atendido inmediatamente, calcule la probabilidad de que el tiempo en ser atendido sea a lo más 2.5 minutos. d) Calcule la probabilidad de que en un tiempo de 5 minutos sean atendidos a lo menos dos clientes de la cafetería. e) Calcule la probabilidad de que en un tiempo de 7 minutos sean atendidos a lo más 3 clientes en la cafetería.
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f) Keyla una reconocida clienta de la cafetería realiza una apuesta con su mejor amiga que consiste en que comprara productos de la cafetería en 5 días diferentes y que de estos días en por lo menos dos será atendida en un tiempo inferior a 2 minutos, calcule la probabilidad de que Keyla gane la apuesta a su mejor amiga.
0. 5 1341712 0. 2 6232723 0. 5 6540179 0. 4 9633173 0. 7 9253633 0.79527890
Respuesta: a)
b)
c)
d)
e)
f)
4. Para la Escuela de Ingeniería Civil de una reconocida universidad Colombiana trabaja una secretaria encargada de la atención a estudiantes quien es popular entre estos por su mal humor, y largas conversaciones de teléfono con sus amigas. El tiempo medio que demora en despachar a un estudiante es de 5 minutos de los cuales 2 son dedicados a la investigación de nuevos chismes con sus amigas al teléfono. a) Suponga que usted requiere ser atendido por esta secretaria ¿Cuál es la probabilidad de que esta diligencia le demore a usted entre 2 y 5 minutos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que esta secretaria atienda a 3 estudiantes en 9 minutos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que esta secretaria atienda a lo menos a dos estudiantes en 10 minutos? d) Cierta semana el Director de escuela decide supervisar la labor desempeñada por la secretaria y por lo tanto esta no habla con sus amigas dedicándose a su verdadera labor, en tal semana Camilo un estudiante debe ir todos los 6 días a la secretaria y ser atendido ¿Cuál es la probabilidad de que a lo menos en cuatro de estos seis días sea atendido en un tiempo inferior a 3 minutos?
Respuesta: a)
0.30244 0.160671 0.59399415 0.61068472 b)
c)
d)
5. Suponga que las estaturas de 800 estudiantes están distribuidas con media de 1.68 [m] y desviación estándar de 13 [cm]. a) Calcule la probabilidad de que la estatura de un estudiante elegido al azar sea superior a 1.65 [m]. b) Calcule la probabilidad de que la estatura de un estudiante elegido al azar sea inferior a 1.72 [m]. c) Si se elige un grupo de diez estudiantes, calcule la probabilidad de que a lo menos dos estudiantes tienen una estatura inferior a 1.58 [m]. d) Cuál es el número esperado de estudiantes que deberán medirse para encontrar dos con una estatura inferior a 1.60 [m]. e) Calcule el valor esperado del número de estudiantes con estaturas entre 1.65 [m] y 1.78 [m].
Respuesta: a)
0.59125296 0.620841763 0.68390695 7. 4 3≡7 296.3≡296 b)
c)
d)
e)
6. La dureza Rockwell de un metal se determina al golpear con un punzón acerado la superficie de un metal y después medir la profundidad del penetración del punto. Suponga que la dureza Rockwell de cierta aleación esta normalmente distribuida con media de 70 y desviación estándar de 3 (La dureza Rockwell se mide en escala continua). a) Si la escala aceptable de dureza es (70-c,70+c), ¿para qué valor de c tendrá una dureza aceptable el 95% de todas las probetas?
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b) c) d) e)
¿Cuál es la probabilidad de que la dureza sea superior 70.8? ¿Cuál es la probabilidad de que la dureza sea inferior de 69.2? ¿Cuál es la probabilidad de que la dureza se encuentre entre 68.5 y 72.5? ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo ocho de diez probetas seleccionadas independientemente tengan una dureza menor de 73.84?
Respuesta: a)
5.87430363 0.39486291 0.39486291 0.48913408 0264957221 b)
c)
d)
e)
7. En cierto estudio se concluye que la densidad de la tierra arcillosa sigue una distribución normal. Los estudios demuestran que el 4.01% de las zonas arcillosas tiene densidad inferior a 0.825 [g/cm3] y el 1.5% densidad superior a 1.217 [g/cm 3] a) Si son objeto de estudio las zonas con densidad inferior a 0.735 [g/cm 3], hallar la probabilidad de que, entre 1375 zonas haya 7 con esa densidad. b) Un ingeniero de suelos está interesado en aquellas zonas cuya densidad oscila entre 1.058 [g/cm3] y 1.117 [g/cm3]. Si se selecciona al azar, hallar la probabilidad de que tenga que rechazar 10 zonas antes de encontrar 4 de interés, así como el número esperado de zonas que tendrá que rechazar y la varianza de tal medida.
Respuesta: a)
0.124796704 0.0327637182; 25;131.33 b)
8. En un estudio sobre probetas del concreto que se utiliza en la construcción de cierta urbanización se encontró que el 30% tenían una resistencia menor a 23.5 [MPa], mientras que el 40% tenían una resistencia inferior a 24 [MPa]. Calcular el porcentaje de las probetas que tiene una resistencia mayor a 25.5 [MPa].
28.775% μ2. 3 0.09 Respuesta:
9. Los anchos de las ranuras (en centímetros) de una división de baño en duraluminio tiene como y . Los límites dados en las especificaciones tienen una tolerancia admisible de 1 milímetro. a) ¿Qué porcentaje de las divisiones saldrán defectuosas? b) ¿Cuál es el valor máximo aceptable de que no permitirá más de 1 defecto por cada 100 unidades producidas?
Respuesta: a)
26.652% . b)
10. Una compañía de comunicación por cable ha determinado que el número de interruptores terminales de botón solicitados diariamente tiene una media de 200 y una varianza de 2500. a) ¿En qué porcentaje de los días la demanda será de menos de 90 interruptores? b) ¿En qué porcentaje de los días la demanda estará entre 225 y 275 interruptores? c) Con base en consideraciones de costo, la compañía ha determinado que su mejor estrategia consiste en producir una cantidad de interruptores suficiente para atender plenamente la demanda 94% de todos los días. ¿Cuántos interruptores terminales deberá producir la compañía cada día?
Respuesta: a)
Escriba aquí la ecuación. Escriba aquí la ecuación. Escriba aquí la ecuación. b)
c)
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11. Los costos de fabricación de un producto siguen una distribución normal con media de 10 y desviación estándar de 3 mientras que los ingresos, independientes de los costos, se distribuyen normalmente con una media de 12 y una varianza de 16. Si el impuesto sobre utilidad es del 35% de la misma, determine la probabilidad de que el impuesto pagado está comprendido entre 0.4 y 0.9.
12. La resistencia a la flexión de la madera extraída de cierto bosque tiene una media de 240 [kp/cm2] y una varianza de 4.850 [kp/cm 2]. Una compañía de construcción compra un lote de 1.000 vigas de esta madera a un precio de $50.000 por unidad. a) Si se elige una viga al azar, calcular la probabilidad de que ests tenga una resistencia superior a 230 [kp/cm2] b) Si la viga de madera con resistencia menor a 185 [kp/cm 2] se vende a $60.000, la que tiene resistencia mayor a 325 [kp/cm2] se vende a $100.000 y las demás a $80.000, cuál será el porcentaje de utilidad esperado en la venta de las 1000 vigas.
13. Para el figurado de hierro de una obra de construcción se cortan varillas en longitudes nominales de 1.50 metros. Las longitudes reales se encuentran en torno a una media de 1.50 metros y una desviación estándar de 15 milímetros. a) Qué porcentaje de las varillas exceden los límites de tolerancia de 1.48 metros a 1.52 metros. b) A qué valor es necesario reducir la desviación estándar si el 99% de las varillas deben encontrarse dentro de la tolerancia.
14. En cierto laboratorio dedicado a la investigación de la dureza de un tipo de acero utilizado como refuerzo en vigas de concreto se define una escala de dureza que se distribuye normalmente, se sabe que el 95% de los especímenes se encuentran en un rango de dureza menor de 86.7 además que el 85% tiene una dureza superior a 78.2. a) Si se elige al azar un espécimen, calcule la probabilidad de que la dureza sea superior 80.6 b) Si se eligen muestras al azar, calcule la probabilidad de que tenga que analizar 12 para encontrar 8 con resistencia inferior a 85.0.
Respuesta: a)
0.610261 0.033311 b)
15. Suponga que hace fila en una sucursal bancaria para cancelar el valor de su matrícula. El tiempo medio que tarda el cajero en despachar a un usuario es de 2 minutos. a) Calcule la probabilidad de que en los siguientes 4 minutos el cajero atienda mínimo a dos personas. b) Suponga que acaba de pasar la persona que está adelante vuestro por tanto usted queda como la siguiente persona por ser atendida por el cajero y son las 9:10:00 a.m., calcule la probabilidad de que usted empiece a ser atendido entre las 9:10:30 a.m. y las 9:11:30 a.m. c) Si adelante vuestro se encuentran cinco personas, acaba de pasar una persona para ser despachada por el cajero y son las 9:10:00 a.m., calcule la probabilidad de que usted empiece a ser atendido antes de las 9:18:30 a.m.
Respuesta: a)
0.59399415 0.306434 0.255061 b)
c)
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16. En la construcción de las viguetas correspondientes a una placa aligerada de una edificación se debe doblar una barra de acero en uno de sus extremos para elaborar un gancho, la longitud a doblar está dada según el diseño estructural. En cierta construcción el encargado de doblar las barras de acero afirma basado en los reportes del control de calidad que la longitud de doblado de cierto gancho tiene una media de 17 centímetros y una desviación estándar de 0.8 centímetros. a) Si se eligen 10 ganchos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que a lo menos 2 tengan una longitud de gancho inferior a 15.8 centímetros? b) Si usted necesita un gancho con una longitud inferior a 16.5 centímetros ¿Cuál es el numero esperado de ganchos que deberá analizar para encontrar 3 con estas características?
Respuesta: a)
0.1405798 n11.36≡11 b)
17. Un oficial de tránsito afirma que el 16% de los conductores que retiene en una reconocida vía son merecedores de comparendos, a 12% impone comparendos mientras que el otro 4% le perdona el comparendo por “ayudarle con $50.000 para la gasolina”. a) Si el oficial de tránsito descrito en un día cualquiera retiene a 150 conductores ¿Cuál es el monto que se espera que acumule al final del día teniendo en cuenta que cada uno los conductores “que le ayudan para la gasolina” lo hacen con exactamente $50.000? b) Cierto día el oficial retiene un promedio de 2 vehículos cada 5 minutos, ¿cuál es la probabilidad de que en un tiempo de 10 minutos retenga a lo menos a 3 vehículos? c) Teniendo en cuenta las condiciones del numeral b, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo que tarde en retener a 3 vehículos sea a lo más de 6 minutos?
Respuesta: a)
$300.000 0.76189669 0.430291 b)
c)
18. Para la formaleta de cierta placa aérea maciza se cortan parales de madera en longitudes nominales de 2.8 metros. Las longitudes reales se encuentran en torno a una media de 2.8 metros y una desviación estándar de 20 milímetros. a) Qué porcentaje de parales se encuentran fuera de los límites de tolerancia de 2.75 metros a 2.84 metros. b) Si se eligen al azar 6 parales, ¿cuál es la probabilidad de que a lo más dos tengan un longitud menor de 2.76 metros? c) ¿Cuál es el numero esperado de parales con una longitud nominal menor de 2.85 metros en un grupo de 20 parales?
Respuesta: a)
2.895980% 0.999776 n19.87≡20 b)
c)
19. En una reconocida universidad se realiza un estudio de la estatura de los estudiantes con el objetivo de adecuar las aulas de clase de tal manera que la comodidad de los estudiantes en las sillas sea óptima. Los estudios demuestran que el 3.24% de los estudiantes tienen una estatura superior a 1.92 metros y que el 32.22% de los estudiantes tiene una estatura inferior a 1.62 metros. a) Si se escoge un estudiante al azar calcular la probabilidad de tenga una estatura inferior a 1.72 metros.
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b) Suponga que se escoge al azar un grupo de 10 estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más dos tengan una estatura superior a 1.75 metros? c) ¿Cuál es el numero esperado de estudiantes que deberán entrevistarse para encontrar 5 con estatura inferior de 1.65 metros?
0.6217195 0.39732337 n12.22≡12
Respuesta: a)
b)
c)
20. Un funcionario del sistema de transporte masivo Metrolinea afirma que los buses de cierta ruta en un determinado periodo del día en promedio llegan a la parada del Colegio Tecnológico cada tres minutos. a) Calcular la probabilidad de que en un tiempo de 10 minutos lleguen a lo menos 4 buses de la ruta de interés. b) Suponga que acaba de llegar un bus correspondiente a la ruta y el funcionario de Metrolinea realiza una apuesta con un pasajero que consiste en que el próximo bus llegara en un tiempo inferior a 2 minutos. Calcular la probabilidad de que el funcionario gane la apuesta al pasajero. c) Suponga que son las 11:50 ¿cuál es la probabilidad de que antes de 12:00 lleguen tres buses?
Respuesta: a)
0.427014 0.486583 0.647224 b)
c)
21. En un estudio de las fallas en la superficie de la carpeta asfáltica de una vía, se determina que en promedio se presenta la falla conocida como piel de cocodrilo cada 150 metros, el tratamiento de este tipo de fallas resulta de gran importancia ya que la no reparación a tiempo puede ocasionar daños de mayor gravedad y por tanto un mayor costo de reparación. a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 7 fallas en una distancia inferior de un kilómetro? b) Si se analizan cinco tramos de vía. ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más en dos tramos se encuentren tres fallas en una distancia inferior de 500 metros? c) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a lo menos una falla en un tramo de 250 metros?
Respuesta: a)
0.499539 0.239495 0.811124 b)
c)
22. En una universidad, miembros de la facultad de salud, estudian el peso de los estudiantes de la Escuela de Ingeniería Civil, el estudio se realiza con el objetivo de determinar la influencia del peso en el rendimiento académico de los estudiantes por las diferentes escuelas de la universidad. Un nutricionista, de la división de Bienestar Universitario, afirma que los estudiantes de las escuelas de ingeniería tienen hábitos alimenticios poco saludables, pues tienden a consumir gran cantidad de comida chatarra. El nutricionista afirma que el 76,25 % de los estudiantes de Ingeniería Civil tiene un peso superior a 69 Kg y que el 55,67% un peso inferior a 72 Kg. a) Un grupo de la asignatura de estadística consta de 42 estudiantes, ¿Cuál es el número más probable de estudiantes con un peso entre 70 Kg y 74 Kg? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se tengan que pesar entre 6 y 9 estudiantes, inclusive, para encontrar 5 con un peso inferior a 72 Kg? c) Suponga que se analiza un grupo de 6 estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más 4 tengan un peso superior a 70 Kg?
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Respuesta: a)
17 Estudiantes 0.581784 0.656511 b)
c)
23. Una planta encargada de la producción de concreto cuenta con mezcladoras móviles. Las mezcladoras tienen la misma capacidad de carga que es de 6 m 3 de concreto, se sabe que el 36,94 % de las mezcladoras son cargadas con más de 6,1 m 3 y que el 74,75 % con menos de 6,2 m3. a) Para una obra en construcción es necesaria el desplazamiento de 10 mezcladoras, ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más dos sean cargadas con menos de 5,8 m3? b) El ingeniero residente de una obra rechaza las mezcladoras cargadas con menos de 5,8 m3, ¿Cuál es el número esperado de mezcladoras que se rechazaran de 40 que llegan a la obra en cierto día? c) En la puerta de la planta son inspeccionadas las mezcladoras que salen cargadas ¿Cuál es la probabilidad de tener que analizar entre 8 y 11 para encontrar la primera con más de 6,3 m3?
Respuesta: a)
0.540364 10 Volquetas 0.150142 b)
c)
24. En el control de seguridad de la sala de abordaje del aeropuerto de una reconocida ciudad, un funcionario reporta que en promedio atiende a 3 viajeros cada 5 minutos. a) Suponga que usted se dispone a viajar, acaba de pasar un viajero para ser atendido quedando usted como la próxima persona en ser atendida y son las 20:05:15, ¿Cuál es la probabilidad de que usted sea atendido entre 20:05:45 y las 20:06:40? b) Suponga que usted se dispone a viajar, acaba de pasar un viajero para ser atendido quedando usted en la posición 10 de la fila para ser atendido, son las 20:25:18 y el vuelo parte a las 20:30:00, ¿Cuál es la probabilidad de que usted pierda el vuelo? c) ¿Cuál es el número más probable de viajeros que el funcionario atiende en un tiempo de 30 minutos?
Respuesta: a)
0.314257 0.999826 18 b)
c)
25. Cierto estudiante de ingeniería disfruta de la lectura, según amigos del estudiante, puede leer en promedio dos páginas cada minuto de cierto libro de pensamiento estratégico. La velocidad con la que esta persona lee es producto de su constante práctica. a) Suponga que el estudiante mientras espera a su profesor de resistencia de materiales alcanza a leer 6 páginas, ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más en tres páginas demore un tiempo entre 25 y 35 segundos? b) Si son las 13:45:15, ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante lea un capitulo que consta de 10 páginas antes de las 13:50:10? c) ¿Cuál es el número de páginas más probable que deberá leer el estudiante para encontrar la primera que lo demore un tiempo inferior a 20 segundos?
Respuesta: a)
0.997597 0.521800 2 b)
c)
26. Un ingeniero civil es el dueño de una planta que se dedica a la producción de prefabricados tipo sardinel, por constantes reclamos de los clientes sobre la longitud de las unidades de sardinel se decide realizar un estudio. Se encuentra que el 95,22 % de las unidades de sardinel tiene una longitud superior a 97 cm y que el 84,13% una longitud inferior a 105 cm.
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a) Si los límites de tolerancia que establece cierto cliente son de 98 cm a 102 cm, ¿Cuál es el porcentaje de unidades de sardinel que están fuera de los límites de tolerancia? b) ¿Cuál es la probabilidad de tener que analizar 4 unidades de sardinel para encontrar la primera con longitud inferior a 100 cm? c) Cierto cliente está dispuesto a pagar por las piezas de longitud inferior a 101 cm $41.500 y por las demás $44.800, ¿Cuál es el monto esperado por concepto de la venta de 120 piezas al cliente descrito?
Respuesta: a)
0.551759 0.105467 $5.230.800 b)
c)
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Valores Extremos 1. Distribución Tipo I 1.1 Gumbel para valores máximos.
−∝∪ ∝ −∝−∪0.−5772∝∪ ∞≤≤∞ ∪ 6 1∝∪−∝∪ ∝∝−∪− ∞≤≤∞ ∪ 0.5772 6 ∪ − + ∪ ∪ − ∪ >0 2 1 1 2 1 ∪1 ; ∪ [ 1 1 ]; 1 1 1 − ∪ 1 − − ∪ ∪ ∪ >0 2 1 1 2 1 ∪1 ; ∪ [ 1 1 ]; 1 1 1 ∫ − − ; 1
1.2 Gumbel para valores mínimos:
2. Distribución Tipo II: Fréchet
3. Distribución Tipo III: Weibull
Nota:
4. Distribución Log Normal:
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− + √ >0 ; 1 ; 1 ln ;
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Ejercicios de valores extremos. 1. Un reconocido ingeniero civil dedicado al diseño de redes sanitarias, redes hidráulicas y redes pluviales es contratado para la elaboración de los diseños del drenaje que deberá tener una cancha de futbol con grama sintética, drenaje que deberá ser efectivo por motivo de que la presencia agua en la grama resulta bastante perjudicial generando altos costos de reparación y mantenimiento además de la incomodidad en el usuario, El sistema de drenaje propuesto consiste en tubería perforada enterrada en el área de la cancha a una distancia prudente para la efectiva recolección del agua pluvial, distancia que dependerá de la precipitación característica del lugar. En la siguiente tabla se muestra el registro histórico de precipitaciones máximas del lugar.
Año P [mm] 70 1982 62 1983 48 1984 54 1985 46 1986
Año P [mm] 62 1987 60 1988 58 1989 71 1990 51 1991
Año P [mm] 51 1992 38 1993 22 1994 17 1995 45 1996
Año P [mm] 36 1997 61 1998 58 1999 55 2000 79 2001
Año P [mm] 45 2002 38 2003 32 2004 22 2005 32 2006
Año P [mm] 67 2007 77 2008 46 2009 64 2010 69 2011
a) Graficar a escala la distribución la distribución de Log-normal ajustada a los datos. b) Suponga que usted es el reconocido ingeniero y le indican que el tiempo de vida útil de la cancha deberá ser de 30 años ¿cuál será el valor de precipitación máxima que usted utilizaría para diseñar? c) Calcular el tiempo de retorno para la precipitación máxima anual de 88 mm.
3.88709; 0.311925 86.3064 T 34.038 ñ
Respuesta: a)
b)
c)
.
2. En el municipio de Garagoa Boyacá se requiere diseñar un acueducto que tendrá como fuente la quebrada conocida como “quebrada de la miel” , aguas abajo del punto donde se planea la construcción de la bocatoma distintos ecosistemas dependen de la quebrada para su existencia. El ingeniero ambiental le indica al ingeniero hidráulico que deberá ser bastante cuidadoso con el caudal que se tomara de la quebrada ya que en tiempo de verano el agua en la quebrada disminuye notablemente. En la siguiente tabla se muestra el registro histórico para los caudales mínimos anuales en la quebrada, tomados de una estación ubicada cerca del punto donde se planea realizar la captación.
Año Q (m3 /s) 12.1 1975 13.3 1976 7.7 1977 13 1978 4.8 1979 4.1 1980
Año Q (m3 /s) 3.6 1981 9.8 1982 3.9 1983 4.6 1984 4.1 1985 6.4 1986
Año Q (m3 /s) 3.6 1987 10 1988 5.2 1989 13.7 1990 13.6 1991 7 1992
Año Q (m3 /s) 4.6 1993 13.2 1994 10.4 1995 -1996 8.2 1997 5.7 1998
Año Q (m3 /s) 13.7 1999 8.8 2000 14.4 2001 9.6 2002 13 2003 8.8 2004
Año Q (m3 /s) 12.4 2005 10.2 2006 8.7 2007 6.2 2008 9.3 2009 5.7 2010
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a) Graficar a escala la distribución la distribución de Weibull ajustada a estos datos. b) Calcular el valor del caudal mínimo para el año 50. c) Calcular el tiempo de retorno del caudal mínimo de 3.2 (m3/s). Respuesta: a)
9.756;2.62 2.2 T 19.06 ñ b)
c)
.
3. En el municipio de Barrancabermeja Santander, la radiación solar resulta perjudicial para la piel por motivo de su ubicación geográfica cerca de la línea del ecuador y su altura sobre el nivel del mar que es de 146 metros. El alcalde con motivo de promover la práctica del deporte por parte de la población decide realizar un proyecto que consiste en colocar una cubierta en las canchas deportivas para ello contrata el diseño de las cubiertas las cuales deberán soportar las corrientes de viento características del municipio. En la siguiente tabla se observa el registro histórico de las velocidades máximas del viento.
Año V (kph) 1978 51.5 1979 31.4 1980 19.9 1981 26.6 1982 25.2 1983 25.1 1984 30.4
Año V (kph) 20 1985 1986 23.2 1987 48.5 1988 34.9 1989 32.8 1990 35.7 1991 20.2
Año V (kph) 32 1992 1993 18.8 1994 26.2 1995 -----1996 21.8 1997 23.1 1998 21.8
Año V (kph) 1999 33.3 2000 22.3 2001 28.9 2002 15.4 2003 14.2 2004 -----2005 34.2
Año V (kph) 2006 23.1 2007 15.2 2008 16.7 2009 40.2 2010 37.5 2011 34.6 2012 30.2
a) Graficar a escala la distribución la distribución de Frechet ajustada a los datos. b) Suponga que usted es el ingeniero encargado del diseño de las cubiertas y le indican que el tiempo de vida útil de las cubiertas debe ser de 50 años ¿Cuál sería el valor de velocidad del viento que utilizaría para el diseño? c) Calcular el tiempo de retorno para velocidad máxima de 42.5 (khp).
Respuesta: a)
23.347;4.60 54.5285 ℎ T 16.23 ñ b)
c)
.
4. El Aeropuerto Santiago Vila (SKGI) de la ciudad región de Girardot, situado a 3.1 km el nivel del mar (m.s.n.m), registra las temperaturas mínimas anuales desde el año 1978 hasta el 2007. Datos Tomados de la Pagina Web del Centro Internacional para la Investigación del Fenómeno de El Niño (CIIFEN).
Año T [ºC] 1978 19.0 1979 20.0 1980 18.4 1981 19.2 1982 19.0 1983 18.6
Año T [ºC] 1984 19.0 1985 19.6 1986 19.0 1987 18.4 1988 19.0 1989 19.6
Año T [ºC] 1990 20.0 1991 18.6 1992 19.6 1993 20.0 1994 19.0 1995 19.9
Año T [ºC] 1996 20.0 1997 19.6 1998 19.6 1999 18.3 2000 17.8 2001 19.5
Año T [ºC] 2002 19.6 2003 20.0 2004 18.6 2005 19.6 2006 20.0 2007 20.0
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a) b) c) d) e)
Grafique a escala la distribución de Weibull ajustada a estos datos. Encuentre el tiempo de retorno de la temperatura mínima anual de 18.5 [ºC]. Calcule la temperatura mínima anual para el año 50. Calcule la probabilidad de que la temperatura mínima anual sea a lo mas de 20.2 [ºC] Calcule la probabilidad de que la temperatura mínima anual se encuentre entre 17.5 [ºC] y 20.5 [ºC].
38. 8 5; ∪ 19. 5 6 9. 2 5 ñ 17. 7 º C . 0. 9 6929018 0.98479228 Respuesta: a)
b)
c)
d)
e)
5. El Aeropuerto Internacional de El Alto está situado a 14 kilómetros (8,5 millas) de la ciudad de El Alto, ciudad vecina de La Paz que es la capital de Bolivia, a una altura de 4.061 msnm, es uno de los aeropuertos más altos del mundo. Sirve como principal terminal aérea de la ciudad de La Paz. Las precipitaciones mínimas en [mm] registradas en los últimos años son:
Año 1981 1982 1983 1984 1985 1986 a) b) c) d) e)
P [mm] 589.63 654.23 703.40 582.74 562.10 345.56
Año 1987 1988 1989 1990 1991 1992
P [mm] 699.05 267.17 530.59 559.80 431.04 364.97
Año 1993 1994 1995 1996 1997 1998
P [mm] 308.37 594.84 526.05 578.93 446.28 449.65
Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004
P [mm] 518.64 573.85 551.44 689.93 592.13 393.99
Año 2005 2006 2007 2008 2009 2010
P [mm] 456.15 326.56 569.56 695.23 680.69 561.33
Grafique a escala la distribución de Log-normal ajustada a estos datos. Encuentre el tiempo de retorno de la precipitación mínima anual de 450 [mm]. Calcule la precipitación mínima anual para el año 30. Calcule la probabilidad de que la precipitación mínima anual sea a lo mas de 475 [mm] Calcule la probabilidad de que la precipitación mínima anual se encuentre entre 320 [mm] y 535 [mm].
6. 2 4013; 0. 2 31021 3. 5 0 ñ 335. 7 m m . 0.3697547 0.55180106 Respuesta: a) e)
b)
c)
d)
6. La serie histórica de 30 años de los caudales mínimos anuales en metros cúbicos por segundo de la estación en Puerto Berrio - Antioquia que corresponden a la corriente del rio Magdalena, información proporcionada por el Instituto de Hidrología, Meteorología y Estudios Ambientales (IDEAM).
Año 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985
Q [m3/s] 1250 2339 2288 2288 1990 2128 1834
Año 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993
Q [m3/s] 2430 1810 2050 2300 1690 1930 2115
Año 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
Q [m3/s] 1750 2490 2050 2790 3300 2180 2050
Año Q [m3/s] 2855 2003 2300 2004 2365 2005 2490 2006 1657 2007 1690 2008 1420 2009
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1986 a) b) c) d) e)
2490
1994
2002
2610
2010
1370
2520
Grafique a escala la distribución de Gumbel ajustada a estos datos. Encuentre el tiempo de retorno para el caudal mínimo anual de 1750 [m 3/seg]. Calcule el caudal mínimo anual para el año 40. Calcule la probabilidad de que el caudal mínimo anual sea a lo menos de 1625 [m 3/seg]. Calcule la probabilidad de que el caudal mínimo anual se encuentre entre 1575 [m3/seg] y 2375 [m3/seg].
2352. 9 5; 0. 0 028524 6. 1 0 ñ 1064. 2 . 0. 8 821609 ∪ 0.5522281
Respuesta: a) e)
b)
c)
d)
7. El Aeropuerto Internacional El Dorado. Es el principal y más importante aeropuerto de Colombia. Se encuentra localizado a 15 kilómetros al occidente del centro de Bogotá. Es el aeropuerto con mayor volumen de carga de Latinoamérica y el tercero con mayor movimiento de pasajeros. Opera vuelos nacionales e internacionales a 2.548 msnm. La serie histórica para las temperaturas máximas medias anuales (°C), en este aeropuerto corresponde a los siguientes datos:
Año
T [ºC]
Año
T [ºC]
1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968
19.0 19.2 19.8 --19.5 -18.2 18.3
1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976
18.6 ---19.1 18.2 18.3 18.6
a) b) c) d) e)
Año
T [ºC]
Año
T [ºC]
Año
T [ºC]
Año
T [ºC]
Año
T [ºC]
1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983
19.4 19.3 19.5 19.9 19.5 19.1 --
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
18.7 19.1 18.9 19.5 19.1 19.0 --
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
--19.7 19.9 20.3 20.1 20.6
1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
-19.3 19.0 19.5 -19.6 18.7
2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011
-18.8 18.8 17.9 19.1 20.4 19.9
Grafique a escala la distribución de Frechet ajustada a estos datos. Encuentre el tiempo de retorno de la temperatura máxima anual de 21.5 [ºC]. Calcule la temperatura máxima anual para el año 30. Calcule la probabilidad de que la temperatura máxima anual sea a lo menos de 18.5 [ºC] Calcule la probabilidad de que la temperatura máxima anual se encuentre entre 17.5 [ºC] y 23.5 [ºC].
8. El municipio del Guamo Tolima ubicado en el departamento del Tolima a 321 msnm con una superficie de 561 [km2], limita al norte con los municipios de San Luis y El Espinal al Sur con Purificación y Saldaña al oriente con Suárez y al occidente con San Luis. El municipio se encuentra asentado en tierras donde la principal actividad que se ejerce es la agricultura, el ciclo anual de precipitaciones presenta dos épocas en el año lluviosas que se conoce como ciclo bimodal, en la tabla se observan las precipitaciones máximas en [mm] de los últimos años.
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Año 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 a) b) c) d) e)
P [mm] 106.3 70.2 90.0 98.5 50.8 85.0 80.5
Año 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983
P [mm] 25.7 60.0 87.5 75.3 120.0 89.7 76.2
Año P [mm] 1985 117.1 53.9 1987 1988 128.5 94.6 1989 1990 114.0 1991 117.3 72.0 1992
Año P [mm] 1993 100.5 81.5 1994 1995 133.5 96.2 1996 70.5 1997 97.3 1998 86.2 1999
Año P [mm] 2000 139.4 2001 102.4 2002 170.0 74.5 2003 2004 146.0 70.1 2005 65.0 2006
Grafique a escala la distribución de Log-normal ajustada a estos datos. Encuentre el tiempo de retorno de la precipitación máxima anual de 125 [mm]. Calcule la precipitación máxima anual para el año 50. Calcule la probabilidad de que la precipitación máxima anual sea a lo menos de 130 [mm]. Calcule la probabilidad de que la precipitación máxima anual se encuentre entre 115 [mm] y 130 [mm].
4. 4 81684; 0. 3 10509 7. 6 1 ñ 167.558 mm. 0.10700053 0.09127541 Respuesta (Log-Normal): a) d) e)
b)
c)
4. 9 5; ∪79. 5 1 9. 9 0 ñ 174. 8 9 m m . 0.08397702 0.06467016 ∪79. 4 7: ∝0. 0 4346511 7. 7 5 ñ 169. 2 5 m m . 0.10525343 0.08696044 Respuesta (Frechet): a) e)
b)
Respuesta (Gumbel): a) d) e)
c)
b)
d)
c)
9. La estación hidrológica 20120788 PTE ADOBES ubicada en la Cuenca Del Rio Teusacá en el municipio de Sopo Cundinamarca, ubicada a una latitud de 0.453 N y una longitud de 7358 W, registra el valor del caudal en metros cúbicos por segundo, El sistema de Información del Instituto de Hidrología y Meteorología y Estudios Ambientales IDEAM, suministra el registro de caudales máximos anuales que se muestran en la siguiente tabla.
Año 1970 1971 1972 1973 1974 1975 a) b) c) d)
Q [m3 /s] 3.14 3.38 3.14 2.73 2.98 3.10
Año 1976 1977 1978 1979 1991 1992
Q [m3 /s] 3.79 2.94 2.11 3.06 3.50 2.79
Año Q [m3 /s] 3.71 1993 4.41 1994 3.20 1995 3.21 1996 2.83 1997 3.74 1998
Año Q [m3 /s] 4.13 1999 5.38 2000 2.86 2001 5.27 2002 3.40 2003 3.55 2004
Año 2005 2006 2007 2008
Q [m3 /s] 3.28 2.95 2.43 2.18
Grafique a escala la distribución de Gumbel ajustada a estos datos. Encuentre el tiempo de retorno para el caudal máximo anual de 6.1 [m 3/s]. Calcule el caudal mínimo anual para el año 30. Calcule la probabilidad de que el caudal máximo anual sea a lo menos de 3.5 [m3/s].
Apuntes de Estadística Aplicada A La Ingeniería Civil - Porras & Sánchez
