Apuntes física I

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL CONCORDIA

APUNTES FÍSICA I PROFESORES: ING. FABIAN AVID ING. CARLOS BLANC ING. LUIS GIL

ALUMNO: NÚÑEZ DANIEL ANTONIO

AÑO 2009

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Facultad Regional Concordia

FÍSICA I ING. CIVIL/ELÉCTRICA

FÍSICA I Conceptos generales Mecánica Se puede definir como aquella ciencia que describe y predice las condiciones de reposo o movimiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas. Se divide en tres partes: mecánica de los cuerpos rígidos, mecánica de los cuerpos deformables y mecánica de los fluidos. La mecánica del los cuerpos rígidos se subdivide en estática y dinámica. Una estudia el reposo y la otra el movimiento, suponiendo que los cuerpos son rígidos. En la naturaleza no existen los cuerpos rígidos y se deforman bajo la acción de las cargas a las cuales son sometidos, esto es o que estudia la mecánica de los cuerpos deformables. La mecánica De fluidos se subdivide en fluidos compresibles e incompresibles. Conceptos fundamentales Longitud. La longitud es necesaria para localizar la posición de un punto en el espacio y así describir el tamaño de un sistema físico. Tiempo. El tiempo es concebido como una sucesión de eventos. Aunque los principios de la estática son independientes del tiempo, esta cantidad juega un papel importante en el estudio de la dinámica. Masa. La masa es una propiedad de la materia por medio de la cual es posible comparar la acción de un cuerpo con la de otro. Esta propiedad se manifiesta como una atracción gravitatoria entre dos cuerpos y proporciona una medida cuantitativa de la resistencia de la materia a cambios de velocidad. Fuerza. es considerada como la acción de un cuerpo sobre otro. Esta interacción puede ocurrir cuando existe contacto directo entre los cuerpos, como cuando una persona empuja una pared, o a través de una distancia cuando los cuerpos están físicamente separados. En todo caso, una fuerza se caracteriza completamente por medio de su magnitud, su dirección y su punto de aplicación. Partícula. Por partícula se entiende un punto individual de masa, pero también designamos un objeto cuyas partes se mueven exactamente de la misma manera. Incluso los objetos complejos pueden ser considerados como partículas, si no existen movimientos internos como la rotación o la vibración de sus partes Cuerpo rígido. Cuerpo rígido: es un cuerpo que se supone indeformable bajo la acción de las cargas a las cual es sometido. Hipótesis de rigidez dice que tomando dos puntos de un cuerpo rígido separados por una distancia, ésta se mantiene constante antes, durante y después de

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ESTÁTICA. La estática estudia el equilibrio de los cuerpos (el equilibrio de las cargas). Las cargas se deben a la acción de la gravedad sobre el cuerpo. En la estática vamos a estudiar cuerpos rígidos e indeformables. Los seis principios fundamentales de la ESTÁTICA 1º ley del paralelogramo para la suma de fuerzas. Esto establece que dos fuerzas que actúan sobre una partícula puede ser reemplazada por una sola fuerza resultante, que se obtiene dibujando la diagonal del paralelogramo cuyos lados son iguales a las fuerzas dadas.

2º Principio de transmisibilidad. Una fuerza producirá el mismo efecto que otra de igual magnitud y dirección, aplicada en otro punto. Ambas fuerzas aplicadas en la misma línea de acción, a un cuerpo rígido. Leyes de Newton 3ºPrimera ley (Principio de Inercia). Una partícula originalmente en reposo, o que se mueve en línea recta con velocidad constante, permanecerá en este estado siempre que no esté sometida a una fuerza que no está balanceada. 4ºSegunda ley (Ley de acción de masas). Una partícula sobre la que actúa una fuerza desbalanceada F experimenta una aceleración a que tiene el mismo sentido que la fuerza y una magnitud que es directamente proporcional a la fuerza.* Si F es aplicada a una partícula de masa m, esta ley puede expresarse matemáticamente como F = ma (1-1) 5ºTercera ley (Acción y reacción). Las fuerzas mutuas de acción y reacción entre dos partículas son iguales, opuestas y colineales. 6º Ley de la Gravitación de Newton. Esta ley establece que dos partículas de masa M y m se atraen mutuamente con fuerzas iguales y de sentidos opuestos F y –F cuya magnitud está dada por la formula: r= distancia entre partículas UTN Apuntes de Física I

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G constante universal o gravitatoria Campo gravitatorio terrestre. En todos los puntos, que se encuentran dentro del campo gravitatorio terrestre, actúa una fuerza que lo atrae hacia el interior de la Tierra. Dicha fuerza está dada por mg y se denomina “peso”. Estática de partículas Estudia el efecto de fuerzas sobre partículas, es decir, sobre cuerpos de forma y tamaño tales que todas las fuerzas que actúan sobre ellos se pueden suponer que lo hacen sobre el mismo punto. Vectores. Expresión matemática que posee dirección, magnitud y sentido, los cuales se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo. Equilibrio de una partícula. Se dice que una partícula esta en equilibrio cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre ella es nula. Entonces la partícula permanecerá en el estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme. Momento de una fuerza con respecto a un punto. El momento con respecto a un punto se define como el producto vectorial del vector posición de la fuerza perpendicular al punto de aplicación y la fuerza:

Teorema de Varignon. La sumatoria de momentos con respecto a un punto es igual a la suma de todos los momentos respecto a dicho punto o a la sumatoria de fuerzas concurrentes multiplicada por la distancia al punto. Es decir:

M

o

 F1  r  F2  r  ... Fn  r  (F1  F2  ... Fn )  r

Fuerzas internas y externas: Externas son las que ejercen otros cuerpos sobre el cuerpo rígido en consideración. Internas son las que mantienen unidas las partículas que forman el cuerpo rígido. Cupla o par de fuerzas. Son dos fuerzas con la misma magnitud, direcciones paralelas y sentidos opuestos separadas por una distancia.


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Chapa. Es la sección de un material rígido (posee dos dimensiones).

CINEMÁTICA. El estudio de los objetos en movimiento, lo hace una rama de la física denominada cinemática. Al especificar la posición, velocidad y aceleración de un objeto, podemos describir como se desplaza: la dirección de su movimiento, como cambia ésta con el tiempo, si el objeto aumenta o disminuye su rapidez, etcétera. En cinemática describimos el movimiento de una partícula por medio de vectores que especifican su posición, velocidad y aceleración. Los cuatro parámetros fundamentales de la cinemática son: POSICIÓN (⃗ ), VELOCIDAD (⃗ ), ACELERACIÓN (⃗ ) Y TIEMPO (t).

Desplazamiento. Cambio de posición que se realiza en un intervalo. Trayectoria. Lugar geométrico por donde pasa el cuerpo a través del tiempo. Movimiento en una dimensión. La velocidad promedio en un intervalo, es el desplazamiento (cambio de posición) dividido entre el intervalo temporal durante el cual ocurre el desplazamiento. Al igual que el desplazamiento, la velocidad promedio en un intervalo cualquiera, depende sólo de la ubicación de las partículas al inicio y al final del intervalo; no depende de si aumenta o disminuye, ni siquiera de si cambia de dirección en ese intervalo. Nótese especialmente que si una partícula retorna a su punto de partida, la velocidad promedio será cero según la definición. La velocidad instantánea. La velocidad promedio es útil cuando se estudia la conducta global de una partícula durante algún intervalo, pero al describir los detalles de su movimiento sería más útil tener una función matemática que nos dé la velocidad en todos los puntos de él. Ésta es la velocidad instantánea. Cuando usamos el término “velocidad”, nos referimos a ella. La dirección de la velocidad es tangente a la trayectoria de la partícula, lo cual indica la dirección en que se desplaza en ese momento. Unidad en el SI es [m/s].


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Rapidez. El término “rapidez” (que indica rapidez instantánea), suele referirse a la magnitud de la velocidad instantánea, sin que se indique la dirección. El velocímetro de un automóvil indica su rapidez, no su velocidad puesto que no especifica una dirección. La rapidez es un escalar pues no contiene información direccional. También podemos definir la rapidez promedio (distancia total recorrida/tiempo transcurrido). Conviene precisar que la rapidez promedio generalmente no se relaciona con la magnitud de la velocidad promedio. Aceleración. La magnitud o la dirección de la velocidad de una partícula pueden cambiar conforme ésta se desplaza. El cambio de velocidad con el tiempo se llama aceleración. Podemos definir la aceleración promedio en este intervalo, como el cambio de velocidad por unidad de tiempo. La aceleración promedio nada nos dice acerca de la variación de la velocidad durante el intervalo. En general, la dirección de la aceleración no se relaciona con la de la velocidad. Es posible que el vector velocidad y el vector aceleración sean paralelos, antiparalelos, perpendiculares entre sí o en cualquier otro ángulo relativo. Como la velocidad es una magnitud vectorial, un cambio de dirección produce aceleración aunque su magnitud permanezca inalterada. Por tanto, el movimiento con rapidez constante puede ser un movimiento acelerado. Esta situación se da sobre todo en el movimiento circular uniforme. Unidad en el SI es [m/s2].

Movimiento en dos y tres dimensiones. La figura muestra una partícula en el tiempo t que se mueve en una trayectoria curva en tres dimensiones. Su posición, o desplazamiento desde el origen, está medida por el vector r. La velocidad está indicada por el vector v el cual, como demostraremos enseguida, debe ser tangente a la trayectoria de la partícula. La aceleración está indicada por el vector a, cuya dirección, como veremos explícitamente más adelante, no guarda en lo general ninguna relación única con la posición de la partícula o la dirección de v. En coordenadas cartesianas, la partícula se localiza por x, y, y Z, las cuales son las componentes del vector r que da la posición de la partícula:


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Movimiento de proyectiles. En el movimiento de proyectiles o tiro oblicuo es una composición de dos movimientos, uno horizontal sin aceleración, o sea es MRU, y otro vertical que es variable por la acción de la fuerza gravitatoria. Movimiento circular uniforme. En el movimiento de proyectiles la aceleración es constante tanto en magnitud como en dirección, pero la velocidad cambia tanto en magnitud como en dirección. Examinaremos ahora el caso especial en que una partícula se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular. Como veremos, tanto la velocidad como la aceleración son de magnitud constante, pero ambas cambian de dirección continuamente. Esta situación se llama

movimiento circular uniforme.

DINÁMICA

Fuerza y las leyes de Newton. La dinámica es una rama de la física que explica las causas del movimiento. El enfoque de la dinámica que consideraremos, llamado comúnmente mecánica clásica, fue formulado y probado con éxito en los siglos XVII y XVIII. Mecánica clásica. En la mecánica clásica nos concentramos en el movimiento de un objeto en particular que interactúa con otros circundantes (su ambiente), de modo que su velocidad cambia, es decir, se produce aceleración. Primera ley de Newton. Hace falta una fuerza externa que ponga en movimiento al cuerpo, pero no hace falta ninguna para mantenerlo en movimiento con velocidad constante. “No existe distinción entre aquel sobre el que no actúa ninguna fuerza externa, y éste otro en el que la suma o resultante de todas las fuerzas externas es cero”. “Consideremos un cuerpo sobre el cual no opera ninguna fuerza neta. Si se encuentra en reposo, permanecerá en ese estado. Si se mueve con velocidad constante, seguirá desplazándose”. “Si la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es cero, será posible obtener un conjunto de marcos de referencia en que el cuerpo no tenga aceleración alguna”.


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Se da el nombre de inercia a la tendencia de un cuerpo a permanecer en reposo o en movimiento lineal uniforme, y a la primera ley de Newton se le llama ley de la inercia. Los marcos de referencia a los que se aplica, reciben el nombre de marcos inerciales. Para probar si un marco en especial es inercial o no, ponemos en reposo un cuerpo en su interior y nos cercioramos de que ninguna fuerza neta opera sobre él. Si el cuerpo no permanece en reposo, el marco no será inercial. Asimismo, podemos poner en movimiento el cuerpo (no sujeto a una fuerza neta) con una velocidad constante, si cambia la magnitud o la dirección de su velocidad, el marco no será inercial. Lo será aquel que pase todas estas pruebas. Fuerza. Definimos el concepto de fuerza definiéndola en términos operacionales a partir de la aceleración que produce al ser aplicada a un “cuerpo estándar”, determinado. Un cuerpo acelera cuando se le aplica una fuerza. Unidad en el SI es [kg.(m/s2)] o [N]. Masa. La masa es la propiedad de un cuerpo que determina su resistencia a un cambio de su movimiento. La aceleración producida por una fuerza es inversamente proporcional a la masa que será acelerada. Consideramos a la masa de un cuerpo como una medida cuantitativa de la resistencia de un cuerpo a la aceleración por una fuerza determinada. Unidad en el SI es [kg]. Segunda ley de Newton. La segunda ley explica qué ocurre si sobre un cuerpo en movimiento actúa una fuerza. En ese caso, la fuerza modificará el estado de movimiento, cambiando la velocidad en módulo o dirección. Para que haya cambio de movimiento en un cuerpo, debe existir una fuerza externa para que varíe dicho movimiento. El cambio de movimiento está dado por:   Cambio de movimiento = P  mX ⃗ Donde

t = tiempo; P = cambio de movimiento; V =velocidad

Formulación de la segunda ley de Newton.    F  m.a


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La suma (vectorial) de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual al producto entre la masa y la aceleración (vectorial). Tercera ley de Newton. Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, también éste ejerce una fuerza sobre aquél. Estas dos fuerzas siempre tienen la misma magnitud y dirección contraria. A toda acción corresponde una reacción igual en magnitud y de sentido contrario. Las fuerzas de acción y reacción siempre actúan en cuerpos diferentes. Pasos básicos para aplicar la segunda ley de Newton. Al analizar los problemas usando la segunda ley, hay varios pasos que deberán seguirse: 1) Escoger un marco de referencia inercial adecuado. Se selecciona la orientación y la dirección positiva de los ejes coordenados del marco. Se supone que los componentes de la fuerza en la dirección positiva son también positivos, y que los de la dirección contraria son negativos. 2) Para cada objeto del problema trace un diagrama del cuerpo libre que muestre todas las fuerzas que operan sobre él. En el diagrama, al cuerpo se le considera una partícula. 3) Indique cada fuerza con dos subíndices: el primero denota el cuerpo sobre el que actúa la fuerza, y el segundo el cuerpo en el ambiente causante de la fuerza. Este método de designar las fuerzas es muy importante, porque ayudará a no cometer el error de incluir una fuerza ficticia no asociada a un cuerpo en el ambiente. 4) Para cada cuerpo encuentre la suma vectorial de todas las fuerzas. En la práctica esto suele significar sumar por separado (con la debida atención a los signos) los componentes x, y, z de las fuerzas. Dinámica de partículas Los físicos han identificado tradicionalmente cuatro fuerzas básicas: (1) la fuerza de gravitación, que se origina con la presencia de la materia (o, más en línea con la teoría general de la relatividad, la materia y la energía); (2) la fuerza electromagnética, que incluye las interacciones eléctricas y magnéticas básicas, y es responsable del enlace de los átomos y de la estructura de los sólidos; (3) la fuerza nuclear débil, que genera determinados procesos de desintegración radiactiva y ciertas reacciones entre las partículas más fundamentales, y (4) la fuerza fuerte, que opera entre las partículas fundamentales y es responsable de la estabilidad del núcleo. Roce, Rozamiento, Fricción Entre Sólidos. Es una fuerza que se opone al movimiento (fuerza de fricción dinámica) o a la fuerza que se opone al inicio del movimiento (fuerza de fricción estática). Se genera debido a imperfecciones; especialmente microscópicas, entre las superficies de contacto.

Origen. 1) 2)

gravitatorias. electromagnéticas.


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Leyes de Leonardo Da Vinci (1452-1519). Las fuerzas máximas de fricción estática o dinámica entre cualquier par de superficies no lubricadas responden a estas leyes: 1era.) El roce entre dos sólidos no depende del área macroscópica, sino del área microscópica (suma de las protuberancias de contacto). 2da.) La fuerza de fricción estática es proporcional a la fuerza normal y a un coeficiente de fricción estático que depende de la limpieza, temperatura, humedad, etcétera. La razón entre el módulo de la fuerza máxima de roce estático y el módulo de la fuerza normal se denomina coeficiente de fricción estático. La razón entre el módulo de la fuerza máxima de roce cinético y el módulo de la fuerza normal se denomina coeficiente de fricción cinético. La fuerza de fricción cinética es proporcional a la fuerza normal y a un coeficiente de fricción cinético que depende de la limpieza, temperatura, humedad, etcétera. La temperatura y la humedad alteran las condiciones electromagnéticas del material.

TRABAJO Y ENERGÍA Trabajo: se define como el producto escalar entre la fuerza y la distancia sobre la cual actúa, o sea la componente de la fuerza paralela al movimiento. | || | Ó el trabajo es la transferencia de energía de una entidad hacia otra a través de la acción de una fuerza aplicada sobre una distancia. Si va a realizarse trabajo el punto de aplicación de la fuerza debe moverse.[N/m=J]. Energía: de un cuerpo es su capacidad de efectuar un trabajo. Trabajo Y Energía Cinética. Dos de los principales tipos de energía son la energía potencial y energía cinética. Energía cinética: es la capacidad de realizar un trabajo que tiene un cuerpo cuando esta en movimiento. Cuando se realiza un trabajo sobre un cuerpo y lo único q cambia es su velocidad Hay un cambio de su energía cinética. Supongamos un objeto de masa m que se mueve a la derecha, bajo la acción de una fuerza neta constante Fnet, también dirigida a la derecha. Como la fuerza es constante, sabemos por la segunda ley de Newton que el objeto se mueve con aceleración constante a. Si el objeto se desplaza una distancia de Δx, el trabajo realizado por Fnet sobre el objeto es: Wnet = Fnet Δx = m a Δx. (1) Anteriormente en cinemática, encontramos que la siguiente relación se cumple cuando un objeto experimenta aceleración constante: Vf2 = Vo2 + 2 a Δx. ó Δx = Vf2 - Vo2 UTN Apuntes de Física I

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2a Podemos sustituir esta expresión en la ecuación (1) para obtener: Wnet = m (Vf2 - Vo2 ) 2 Wnet = ½ mvf2 – ½ mvo2. (2) La cantidad ½ mv2 tiene un nombre especial en física: energía cinética. La energía cinética Ec de un objeto de masa m que se mueve con una velocidad v, se define como: Ec = 1/2mv2. Podemos considerar la energía cinética como la energía asociada con el movimiento de un objeto. La energía cinética es una cantidad escalar y tiene las mismas unidades que el trabajo, esto es el Joule. A veces es conveniente escribir la ecuación (2) en la forma siguiente: Wnet = Ecf – Eci = ΔEc. (3). La ecuación (3) es un resultado importante conocido como el Teorema del trabajo y la energía cinética. Según este resultado, el trabajo realizado por la fuerza neta que actúa sobre un objeto es igual al cambio en la energía cinética del mismo. Así concluimos que: “Cuando una fuerza neta realiza trabajo sobre un objeto y el único cambio en el objeto es su rapidez, el trabajo realizado es igual al cambio en la energía cinética del objeto”. Encontrar una definición precisa para la energía no es algo sencillo, sin embargo podemos decir: La energía es una propiedad que caracteriza la interacción de los componentes de un sistema físico que tiene la capacidad de realizar un trabajo. Es importante señalar que la energía de diferentes formas, sin embargo, no se crea de la nada, ya que cuando hablamos de producir energía, en realidad nos referimos a sus transformación de una energía a otra, ya que la energía no se crea ni se destruye sólo se transforma. En conclusión: un cuerpo tiene energía si es capaz de interaccionar con el sistema del cual forma parte, para realizar un trabajo. La unidad de energía en el Sistema internacional es el Joule (J). Teorema del trabajo: El trabajo de una fuerza externa resultante sobre un cuerpo es igual al cambio de la energía cinética del cuerpo. W=k Energía potencial. La energía potencial se define sólo para cierta clase de fuerzas denominadas conservativas. La energía potencial de un cuerpo se define como la energía que es capaz de generar un trabajo como consecuencia de la posición del mismo. Este concepto indica que cuando un cuerpo se mueve con relación a cierto nivel de referencia puede acumular energía. Un caso típico es la energía potencial gravitacional la cual se evidencia al levantar un cuerpo a cierta altura, si lo soltamos, la energía potencial gravitacional se liberará convirtiéndose en energía cinética al caer. UTN Apuntes de Física I

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Si desplazamos un cuerpo en contra de la dirección del campo gravitacional estaremos efectuando trabajo. Es decir, T=F·d. En esa ecuación "F" es la fuerza necesaria para subir el cuerpo y "d" es la distancia a la que se subió el objeto. Para hacerlo más sencillo debemos recordar que F=m·a, donde a es la aceleración de gravedad "g". Es decir F=m·g. Sustituyendo esa expresión en la ecuación de trabajo tendremos T=F·d, T= (m·g)d, T=m·g·d. Pero la distancia "d" vendrá a ser la altura "h", luego T=m·g·h. Fuerzas conservativas. Considere el trabajo total efectuado por una fuerza que opera sobre una partícula a medida que ésta se mueve alrededor de una trayectoria cerrada y retorna a su punto de partida. Si es cero, la llamaremos fuerza conservativa. Si la fuerza total del viaje circular no es cero, la llamaremos fuerza no conservativa. Considere el trabajo efectuado por una fuerza que actúa sobre un objeto cuando éste pasa de una posición inicial a una posición final en una trayectoria arbitrariamente elegida. Si el trabajo es el mismo en todas las trayectorias, la fuerza será conservativa. En caso contrario, se tratará de una fuerza no conservativa. En situaciones donde una fuerza conservativa opera entre los objetos del sistema, es útil y conveniente definir otra clase de energía: la energía potencial. La energía potencial se relaciona a la configuración de un sistema. Aquí “configuración” significa cómo las partes de un sistema están situadas o dispuestas entre sí.

Ley de conservación de la energía mecánica. La energía mecánica total permanece constante en un sistema aislado donde sólo intervienen fuerzas conservativas. Fuerza del resorte. Ley de Hooke para los resortes. La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del resorte, donde se relaciona la fuerza F ejercida por el resorte con la distancia adicional δ producida por alargamiento del siguiente modo:

, siendo Donde k se llama constante del resorte (también constante de rigidez) y Δx es la separación de su extremo respecto a su longitud natural, “A” la sección del cilindro imaginario que envuelve al muelle y “E” el módulo de elasticidad del muelle (no confundir con el módulo de elasticidad del material). La energía de deformación o energía potencial elástica Uk asociada al estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación:


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Potencia: es la rapidez con que se realza un trabajo.

SISTEMAS DE DOS PARTÍCULAS Consideremos un sistema compuesto por dos bloques y unidos por un resorte. Cuando el resorte se estira o se comprime desde su longitud de relajamiento, ejerce una fuerza sobre ambos cuerpos, los cuales podemos tratar individualmente como partículas. Las fuerzas sobre las dos partículas tienen magnitudes iguales. (Podemos pensar en el resorte como una representación física de las fuerzas que los dos cuerpos pudieran ejercer directamente uno sobre el otro como. En ese caso, la tercera ley de Newton requiere que las fuerzas sobre las dos partículas sean iguales y opuestas. La presencia del resorte, que se supone carente de masa, no cambia este requisito.) No podemos analizar independientemente los movimientos de los dos cuerpos usando las leyes de Newton, porque el movimiento de uno depende del movimiento del otro. Por ejemplo, si un cuerpo tiene mucha más cantidad de masa que el otro, su desplazamiento es relativamente pequeño, y el desplazamiento del cuerpo con menor masa es aproximadamente igual al cambio de longitud del resorte. La figura ilustra del tipo de movimiento que deseamos analizar. En este caso especial, se le da al resorte un alargamiento inicial, y los dos cuerpos se sueltan desde el reposo. Sea d¡ la extensión inicial del resorte, de modo que su energía inicial es :

En cualquier instante de tiempo en particular, cuando la extensión del resorte sea d, la energía es

que representa la energía potencial del resorte y la energía cinética de los dos cuerpos. La conservación de la energía requiere que la energía E, en cualquier momento sea igual a la energía inicial Ei, lo cual nos da UTN Apuntes de Física I

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Como lo muestra la figura 1, las posiciones de los dos cuerpos están relacionadas por

Donde L es la longitud de relajamiento del resorte. Las ecuaciones 2 y 3 no son suficientes para resolver x1 y x2 en función del tiempo y, por lo tanto, no nos es posible completar la solución de este problema sin información adicional. La información adicional que necesitamos proviene del análisis de un punto particular del sistema. Este punto, llamado CENTRO DE MASA (cm) del sistema es donde se supone está concentrada toda la masa del sistema, está señalado por una bandera en la figura. En este caso especial, el centro de masa no se mueve en absoluto. Veamos cómo el uso del centro de masa nos ayuda a completar la solución de este problema. La posición del centro de masa se define, para el caso especial de dos partículas en una dimensión, como

Donde x1 y x2 son las coordenadas x respectivas de las dos partículas. Aquí M es la masa total del sistema:

.

El centro de masa de un sistema de dos cuerpos es un punto en el espacio definido por la ecuación 4 en una dimensión. No se requiere que sea necesariamente una parte de cualquiera de los cuerpos. La velocidad del centro de masa, Vcm, se encuentra tomando la derivada respecto al tiempo de la ecuación 4: UTN Apuntes de Física I

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que es la velocidad del centro de masa. La aceleración del centro de masa se halla diferenciando nuevamente. El resultado es

Donde a1 y a2 son las aceleraciones respectivas de m1 y de m2. Continuamos aplicando las leyes de Newton por separado a m1 y m2. Sea F12 la fuerza ejercida sobre m, por m2, y F21 la fuerza ejercida sobre m2 por m1. La segunda ley de Newton aplicada por separado a m1 y m2 nos da F12 = m1 a1 y F21 = m2a2. (En nuestro ejemplo, es el resorte el que ejerce las fuerzas sobre m1 y m2. Sin embargo, no perdemos generalidad al suponer que los cuerpos ejercen fuerzas directas entre sí, en tanto consideremos que el resorte carece de masa.) La tercera ley de Newton requiere que F12 = -F21. Sustituyendo en la ecuación 6 nos da

En este caso especial, en el cual ninguna fuerza neta actúa sobre el sistema, el centro de masa no tiene aceleración y, por lo tanto, se mueve a velocidad constante. Podríamos entonces completar la solución al combinar las ecuaciones 2 y 3, y usando las ecuaciones 4 y 5 para eliminar, ya sea a X1 y a v1 o a x2 y a v2 La figura 2 ilustra el caso ligeramente más general en el que se le da al resorte una extensión inicial y se les dan a los dos cuerpos velocidades iniciales v1i y v2i. Aquí podemos ver que el centro de masa se mueve a velocidad constante, aun cuando el movimiento del sistema como un todo es bastante complejo.


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Para n partículas las formulas serian: Masa total: ∑ Para el centro de masas:

∑

∑

∑ Para la velocidad:

∑ UTN Apuntes de Física I

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Para la aceleración:

∑ Y para la fuerza externa: ∑ Conclusión:

“el movimiento de traslación total de un sistema de partículas puede ser analizado usando las leyes de Newton como si toda la masa estuviera concentrada en el centro de masa y la fuerza externa total estuviera aplicada en ese punto”.

IMPETU LINEAL DE UNA PARTÍCULA

El ímpetu lineal de una partícula aislada es igual al vector P, definido como el producto de su masa m por la velocidad v: ⃗ El ímpetu de una partícula depende del marco de referencia del observador. Newton expreso su segunda ley en términos de la cantidad de movimiento: “la razón de cambio del ímpetu de una partícula de un cuerpo es igual a la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo y está en la dirección de la fuerza” ∑

IMPETU LINEAL DE UN SISTEMA PARTÍCULAS El ímpetu lineal total de un sistema de partículas es igual al producto de la masa total del sistema por la velocidad de su centro de masa. CONSERVACIÓN DEL ÍMPETU LINEAL La ley de conservación del ímpetu dice que cuando la fuerza externa neta que actúa sobre un sistema es cero, el vector del ímpetu total del sistema permanece constante.


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COLISIONES En una colisión una fuerza relativamente grande actúa sobre un cuerpo en un tiempo relativamente corto, del orden de los milisegundos (s ·10-3). La idea básica de colisión consiste en que el movimiento de las partículas que colisionan cambia de manera brusca, y que podemos hacer una separación entre los tiempos antes de la colisión y después de la misma. Las fuerzas que actúan durante un tiempo corto en comparación con el tiempo de observación del sistema se denominan fuerzas impulsivas. TEOREMA IMPULSO E IMPETU El impulso de la fuerza que actúa sobre una partícula durante un intervalo de tiempo determinado es igual al cambio en el ímpetu de la partícula durante ese intervalo. J= Pf-Pi COLISIONES ELÁSTICAS Si las tuerzas entre los cuerpos son mucho mayores que las externas, como suele suceder en los choques, podemos hacer caso omiso de las segundas y tratar los cuerpos como un sistema aislado. Entonces, la cantidad de movimiento se conserva y la cantidad de movimiento total del sistema será igual antes y después de la colisión. Si además las fuerzas entre los cuerpos son conservativas, de modo que no se pierde ni gana energía mecánica en el choque, la energía cinética total del sistema es la misma antes y después. Esto se denomina choque elástico. Casos de interés: 1. Masas iguales. Cuando las partículas en colisión tienen masas iguales (m1 = m2), las ecuaciones se transforman simplemente en:

Esto es, las partículas intercambian velocidades: la velocidad final de una partícula es igual a la velocidad inicial de la otra.

2. Partícula blanco en reposo. Otro caso de interés es cuando la partícula m2 está inicialmente en reposo. Entonces v2i= 0 y

(

)

(

)

Combinando este caso especial con el anterior (esto es, una colisión entre partículas de igual masa, donde una está inicialmente en reposo), vemos que la primera partícula es "detenida en seco" y la segunda "sale" con la velocidad que tenía la primera originalmente. A menudo es posible observar este efecto en las colisiones de las bolas de billar que no giran. 3. Blanco masivo. Si m2 >>m1, entonces las ecuaciones se reducen a UTN Apuntes de Física I

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Cuando la partícula de gran masa se mueve lentamente o está en reposo, entonces

4. Proyectil masivo. Cuando m1>>m2 las ecuaciones se convierten en

Si la partícula blanco de menor peso está inicialmente en reposo (o se mueve mucho más lentamente que m1), entonces, después de la colisión la partícula blanco se mueve al doble de la velocidad de m1. El movimiento de mi no se ve casi afectado por la colisión con el blanco más ligero. COLISIONES INELÁSTICAS En éstas la conservación de energía total se cumple, al igual que la conservación del ímpetu. Pero no la conservación de la energía cinética, ésta se transforma en calor, vibraciones, ruido etc. COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN El coeficiente de restitución es una medida del grado de conservación de la energía cinética en un choque entre partículas clásicas. En una colisión frontal alineada de dos esferas sólidas (como las que experimentan las bolas de billar) las velocidades después del choque están relacionadas con las velocidades antes del choque, por la expresión:

Donde "e" es precisamente el coeficiente de restitución, que toma valores entre 0 y 1. El valor 1 se da en un choque perfectamente elástico, donde se conserva tanto el momento lineal como la energía cinética del sistema. El valor 0 se da en un choque perfectamente inelástico, donde sólo se conserva el momento lineal, una porción de la energía cinética inicial de las partículas se "consume" durante el choque, convirtiéndose en energía de deformación plástica y en sonido. El coeficiente de restitución es la velocidad relativa de alejamiento, dividido entre la velocidad relativa de acercamiento de las partículas.


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CINEMÁTICA DE ROTACIÓN Un cuerpo rígido se mueve en rotación pura si cada punto del mismo se mueve trayectoria circular. Los centros de estos círculos deben estar sobre una línea recta común llamada eje de rotación.

á Las cantidades angulares pueden expresarse como vectores cuando son infinitésimos.

DINÁMICA DE ROTACIÓN En la dinámica de rotación podemos buscar como en la dinámica lineal la respuesta a : cuando se aplican fuerzas externas a un cuerpo de masa m ¿ cuál es el movimiento resultante?. En la dinámica de rotación sería: cuando una fuerza se aplica en cierto punto de un cuerpo rígido que puede girar libremente alrededor de un eje determinado Según la segunda ley de Newton: ∑

Podemos encontrar una analogía de estas cantidades con las cantidades de rotación: UTN Apuntes de Física I

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m=I I es El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. Al igual que la segunda ley de Newton podemos expresar la ecuación en términos del ímpetu angular o cantidad de movimiento:

⃗

∑

Donde L es el ímpetu angular, el cual es explicado más adelante. ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN La energía cinética total de un cuerpo que gira alrededor de un eje es la suma de las energías cinéticas de todas las partículas de que se compone el cuerpo, que puede expresarse así:

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(∑

⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ es la suma de los productos de la masa de cada partícula por el La cantidad ∑ cuadrado de la distancia perpendicular al eje de rotación. Se la llama inercia de rotación o momento de inercia y se representa con la letra I. ∑

⃗⃗⃗⃗

Reemplazando nos queda que la energía cinética de rotación es igual a:

⃗⃗⃗⃗⃗ Nota: en todas las ecuaciones en que se mezclen cantidades lineales con angulares se debe expresar estas últimas en radianes

TEOREMA DE STEINER La inercia de rotación de cualquier eje alrededor de un eje arbitrario es igual a la inercia de rotación alrededor de un eje paralelo que pase por el centro de gravedad más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes.


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MOVIMIENTO DE ROTACIÓN Y TRASLACIÓN COMBINADOS El movimiento general de un sistema comprende tanto traslación como rotación. En estos casos la energía total cinética es igual a la suma de la energía de traslación y la de rotación:

⃗⃗⃗⃗⃗


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⃗⃗⃗⃗

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IMPETU ANGULAR Hemos visto que el ímpetu lineal es útil en los casos en que interviene el movimiento de traslación de partículas aislados o de sistema de partículas, incluyendo a los cuerpos rígidos. En el movimiento de rotación, el análogo al ímpetu lineal es el ÍMPETU ANGULAR.

⃗ es el ímpetu lineal de la partícula y

el vector posición de la misma

SISTEMAS DE PARTÍCULAS ⃗

⃗ Para una partícula. Para el caso de un sistema de partículas:

⃗

∑⃗

El ímpetu es igual a la suma de los ímpetus de todas partículas del sistema. La torca externa total que actúa sobre un sistema es igual a la razón de cambio del ímpetu angular total del sistema.

∑⃗


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⃗

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CONSEVACIÓN DEL IMPETU ANGULAR Principio de conservación del ímpetu angular: Dice que si la torca externa que actúa sobre un sistema es cero, el vector del ímpetu angular permanece constante.

∑⃗

⃗


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OSCILACIONES. Los movimientos oscilatorios son movimientos periódicos que se efectúan alrededor de una posición de equilibrio. Todos los días nos encontramos con movimientos oscilatorios en muchas clases de movimientos. Ejemplos comunes son el péndulo de un reloj, una persona que se balancea en un trampolín, una cuerda vibrante de guitarra, etcétera. En un nivel microscópico, son ejemplos los átomos vibrantes en un cristal de cuarzo de un reloj de pulsera, las moléculas vibrantes del aire (que transmiten ondas sonoras). Todos estos ejemplos pertenecen a las oscilaciones mecánicas. Por otro lado se encuentran las oscilaciones electromagnéticas, por ejemplo, los electrones que van y vienen en circuitos encargados de transmitir y recibir señales de radio o de televisión. Los sistemas oscilatorios se expresan matemáticamente a partir de las funciones seno y coseno.

SISTEMAS OSCILATORIOS.

Si desplazamos un péndulo en alguna dirección a partir de su posición de relajación, la fuerza debida a la gravedad lo empujará de nuevo a su posición de relajación. Si lo desplazamos en dirección contraria, la fuerza seguirá impulsándolo hacia el equilibrio. Esto es porque la fuerza que actúa en estos casos son fuerzas del tipo restauradoras, es decir, que siempre actúan tratando de volver al cuerpo a la posición de equilibrio (sin importar la dirección del desplazamiento). Si se saca del equilibrio al objeto (por ejemplo el péndulo), éste comenzará a oscilar pasando por la posición de equilibrio con una aceleración nula y velocidad máxima aumentando su aceleración hasta la posición máxima donde su velocidad se reduce a cero ya que la fuerza en este instante es máxima. Si no existieran fuerzas de fricción o disipativas el ciclo se repetiría hasta el infinito. La partícula o el objeto que describa este tipo de movimiento oscila entre

y

.

Definiremos los siguientes conceptos al que nos referiremos en el estudio del movimiento oscilatorio: Amplitud del movimiento: magnitud del desplazamiento máximo respecto al equilibrio. Periodo: tiempo llevado a cabo al recorrer un ciclo completo. Frecuencia: cantidad de ciclos por unidad de tiempo. El periodo es el inverso de la frecuencia y viceversa.


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La energía mecánica E=K+U permanece constante en un sistema aislado. En todos los puntos la diferencia E-U da la energía cinética K en ese instante. Hay instantes donde la energía total es igual a la energía potencial, y por tanto, la energía cinética es igual a cero. En esos puntos, la velocidad es cero y la posición es . A estos puntos se les llama puntos de retorno del movimiento. Las siguientes figuras presentan gráficamente dos formas equivalentes de describir las condiciones de la oscilación: la fuerza siempre debe intervenir para restablecer el equilibrio de la partícula, y la energía potencial debe tener un mínimo en dicha posición.

EL OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE.

El oscilador armónico simple es un sistema que oscila porque una fuerza restauradora actúa sobre él y el movimiento que describe se denomina movimiento armónico simple. Un ejemplo de oscilador armónico simple es un bloque unido por un resorte que se supone sin masa que se desliza por una superficie sin roce. Este oscila entre las posiciones +xm y –xm (donde la fuerza restauradora y la aceleración son máximas y la velocidad es nula), pasando por la posición de relajación x=0(donde la fuerza restauradora son nulas y la velocidad máxima). En las posiciones intermedias tiene siempre una fuerza que arrastra el bloque hacia la posición x=0.


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La fuerza que actúa sobre el bloque es proporcional a una constante que depende de la elasticidad del resorte y de la longitud comprimida o estirada del resorte: (1)

Donde k es la constante elástica de resorte y x es el desplazamiento. La energía potencial que corresponde es: (2)

La fuerza y la energía potencial están relacionadas mediante La ecuación (2) indica que la energía potencial varía como el cuadrado del desplazamiento. El oscilador armónico simple se utiliza para estudiar inclusive movimientos de partículas en sistemas complejos, tratándolos como una superposición de oscilaciones armónicas, las cuales se estudian a partir de las funciones seno y coseno. Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos: ∑

(3)

Reemplazamos (1)

Como sabemos que la aceleración es la derivada segunda de la posición en función del tiempo escribimos:

Entonces (4) UTN Apuntes de Física I

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A la ecuación (4) se la llama ecuación del movimiento del oscilador armónico simple. La solución de esta ecuación es una función x(t) que describe la posición del oscilador en función del tiempo. La ecuación del movimiento armónico simple se utiliza en muchos problemas en que intervienen vibraciones mecánicas en pequeñas amplitudes los cuales se reducen a este oscilador o a una combinación de ellos, también para resolver problemas físicos en acústica, óptica, mecánica, circuitos eléctricos y en física atómica. El oscilador armónico simple presenta características comunes a muchos sistemas físicos.

EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE.

Para estudiar el movimiento armónico simple debemos hallar una función x(t) solución de la ecuación del oscilador armónico simple:

Esta ecuación la obtuvimos para una fuerza de resorte que actúa sobre una partícula de masa m, pero más adelante veremos que otros sistemas oscilatorios se rigen por ecuaciones similares del movimiento. Utilizaremos como ejemplo el sistema masa-resorte. Necesitamos encontrar una función x(t) que satisfaga esta ecuación, en primer lugar reescribimos así: ( )

(3)

Sabemos por el cálculo que las funciones seno y coseno tienen la propiedad de que la derivada segunda es negativa, entonces escribimos la ecuación de la siguiente forma:

Y

La segunda derivada de una función seno o coseno nos devuelve la función original multiplicada por un factor negativo . Si multiplicamos la función coseno por una constante la propiedad no se ve afectada. La constante que elijo para multiplicar es que es la amplitud máxima del movimiento. Así podemos escribir la solución de la ecuación (3) de forma provisional: (1)

pero


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Donde Hemos escrito una solución lo más general posible, pero aún nos falta calcular algunas constantes. Para hallarlas diferenciamos con respecto a t la ecuación (1)

Y (2)

Reemplazando (1) y (2) en (3) obtenemos:

Por tanto, si elegimos la constante

tal que:

Así la ecuación (1) es una solución de la (3). Todavía las constantes y son arbitrarias y para cualquier valor de ellas la ecuación tiene solución, pero ya veremos que estas constantes se determinan para un movimiento armónico dependiendo del comienzo del movimiento. Determinación de la importancia física de la constante

:

Si aumentamos el tiempo en la ecuación (1) en 2π/ , la función nos queda:

Es decir, la función se repite a sí misma tras un tiempo 2π/ . En consecuencia, 2π/ periodo del movimiento T. Dado que

es el

, escribimos:

√

Así, todos los movimientos representados por la ecuación (3) tienen el mismo periodo de oscilación, el cual se determina sólo por la masa m de la partícula oscilatoria y por la constante de fuerza k del resorte. La frecuencia del oscilador es el número de vibraciones completas por unidad de tiempo y está dada por:


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√ Por lo que:

La magnitud es la frecuencia angular y difiere de la frecuencia f por un factor de 2 . Tiene la unidad recíproca del tiempo (la misma que la rapidez angular) o sea radián/segundo. La constante xm tiene un significado físico simple. La función coseno adopta valores de -1 a +1. Así pues, el desplazamiento x respecto a la posición central de equilibrio x=0 tiene un valor máximo de xm. A xm la llamamos amplitud del movimiento. Puesto que xm no se fija por medio de la ecuación (4), son posibles movimientos de diversa amplitud, pero todos tienen la misma frecuencia y periodo. Por esto es que la frecuencia del movimiento armónico simple no depende de su amplitud. Si depende de la masa y de una constante. La magnitud ( ) se denomina fase del movimiento. La constante se denomina constante de fase. Dos movimientos pueden tener la misma amplitud y frecuencia y una fase distinta. Por ejemplo, si = =90°

Así se puede encontrar movimientos con diferente constante de fase que tendrán la misma frecuencia y amplitud, lo que hará que tengan diferente posición inicial. La amplitud y la constante de fase de la oscilación dependen de la posición y de la velocidad inicial de la partícula. Estas dos magnitudes nos ayudarán a calcular la amplitud y la constante de fase exactamente (salvo que la constante de fase sí puede aumentar o disminuir con cualquier múltiplo de 2 , sin cambiar el movimiento). No obstante, una vez iniciado el movimiento, la partícula continuará oscilando con una amplitud y fase constantes a una frecuencia fija, a menos que otras fuerzas perturben el sistema. Las siguientes imágenes grafican el desplazamiento en función del tiempo describiendo diferentes movimientos armónicos simples: En la primera gráfica, las dos curvas tienen la misma frecuencia y amplitud pero difieren en la constante de fase ( ). En la segunda, ambas tienen igual frecuencia y constante de fase pero difieren en la amplitud por un factor de dos. En la tercera, tienen igual amplitud y constante de fase pero difieren en la frecuencia por un factor de 1/2.


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En las gráficas siguientes podemos relacionar la posición, velocidad y aceleración partícula en movimiento oscilatorio en función del tiempo.

de una

La ecuación de la velocidad en función del tiempo resulta de diferenciar con respecto a t la posición en función del tiempo y la aceleración en función del tiempo de diferenciar con respecto a t la velocidad en función del tiempo. Y son las siguientes:

En las gráficas la constante de fase es igual a cero es por eso que en el tiempo t=0 la amplitud es máxima. Puede observarse que las tres magnitudes oscilan de modo armónico.


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ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE. En el movimiento donde no intervienen fuerzas disipadoras, la energía mecánica total E=K+U permanece constante. Ahora estudiaremos este principio en el caso especial del movimiento armónico simple. La energía potencial U en cualquier instante es la siguiente:

Así, la energía potencial oscila con el tiempo y presenta un valor máximo de

. Durante el

movimiento oscilatorio, varía entre cero y este valor. La energía cinética K en cualquier momento es

, usando la ecuación para

y para

, obtendremos:

La energía cinética, como la potencial, oscila con el tiempo y alcanza un valor máximo de . Durante el movimiento varía entre este valor y cero. La energía mecánica total es la suma de la energía cinética y de la energía potencial. Utilizando las ecuaciones anteriores nos queda:

Comprobamos así que la energía mecánica total permanece constante y es

. En el

desplazamiento máximo la energía cinética es cero, pero la potencial tienen el valor igual a . En todos los puntos, las energías cinética y potencial aportan términos cuya suma siempre es

.

De esta relación obtenemos


( )

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Entonces


√( )

En esta ecuación queda evidente que la velocidad es un máximo en la posición de equilibrio (x=0) y es cero en el extremo (x=± ).

APLICACIONES DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE. Ahora pasaré a explicar tres sistemas físicos que se desplazan en movimiento armónico simple. Ellos son el oscilador torsional, el péndulo simple y el péndulo físico.

a. El oscilador torsional. Este sistema consta de un disco que cuelga conectado en su centro de masa con un alambre el cual está sujeto a un soporte fijo. Si se hace girar al disco sobre un plano horizontal xy el alambre se tuerce, entonces ejercerá una torca restauradora sobre el disco volviéndolo a su posición de equilibrio. Para pequeñas torsiones se observa que la torca restauradora es proporcional a la torca angular y por ley de Hooke sabemos: (1)

Donde es la letra griega kappa, que es una constante que depende de las propiedades de del alambre y se denomina constante torsional. El signo menos es porque es una torca restauradora que tiende a volver al disco a la posición de equilibrio. La ecuación (1) es la condición del movimiento armónico angular simple. Basándonos en la forma angular de la segunda ley de Newton escribimos: ∑

Donde I es el momento de inercia del disco alrededor del eje z. Haciendo uso de la ecuación (1) obtenemos:


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O de otra forma:

Observe la semejanza entre la ecuación que describe el movimiento armónico angular simple y la ecuación que describe el movimiento armónico lineal simple. Por analogía a las demostraciones que hice para hallar la solución de la ecuación del movimiento armónico lineal simple, la solución a la ecuación armónica angular simple será:

Donde Cuidado!

es el desplazamiento angular máximo, o sea, la amplitud de la oscilación angular. representa frecuencia angular, no velocidad angular.

Por analogía también será el periodo de la oscilación: √

El oscilador torsional como el de la figura siguiente se denomina péndulo torsional. La balanza de Cavendish, utilizada en la medición de la constante de fuerza gravitacional G, es un péndulo torsional. El péndulo torsional también es utilizado para medir el tiempo. El volante de un reloj mecánico en el que la torca restauradora lo aporta un resorte en espiral, es otro ejemplo.

b. El péndulo simple. Este sistema consta de una masa puntual suspendida de una cuerda sin masa e inextensible. Si la masa se mueve a un lado de su posición de equilibrio (vertical) oscilará alrededor de dicha posición. UTN Apuntes de Física I

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Este modelo es utilizado en situaciones como, una bola de demolición en el cable de una grúa, la plomada de un teodolito o un niño en un columpio. El trayecto que recorre la masa es un arco de un círculo de radio L igual a la longitud de la cuerda. Usamos como coordenada la distancia x medida sobre el arco. Si el movimiento que describe es armónico simple, la fuerza restauradora debe ser directamente proporcional a x )oa . En la figura puede verse un diagrama donde se muestran las fuerzas que intervienen en el movimiento (componentes tangencial y radial). La fuerza restitutiva es la componente tangencial de la fuerza neta, o sea:

La fuerza restauradora se debe a la acción gravitatoria; la tensión T actúa sobre la masa para que esta describa un arco. La fuerza restauradora no es proporcional a sino a , así que el movimiento no es armónico simple, pero si el ángulo es pequeño es casi igual a en radianes. Por ejemplo, si , entonces , que difiere de apenas en un 0.1% aproximadamente. Así el desplazamiento x es casi igual a la longitud del arco y en ángulos pequeños es un movimiento casi de línea recta. En consecuencia, suponiendo que obtenemos:

Así, para pequeños desplazamientos, desplazamiento y sigue dirección opuesta.

la

fuerza

restauradora

es

proporcional

al

La constante (mg/L) representa la constante k de la ley de Hooke. De esta manera para calcular el periodo de un péndulo simple cuando su amplitud es pequeña se hace uso de esta ecuación para k=(mg/L)


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√

√


√

Fíjese que el periodo no depende de la masa de la partícula suspendida. Puede demostrarse la ecuación general del periodo cuando la amplitud de la oscilación no es pequeña. √

Donde es el desplazamiento angular máximo. Fíjese que T aumenta al aumentar la amplitud. Puede calcularse con la exactitud deseada el valor de T tomando suficiente términos. El péndulo ha sido en los últimos tres siglos el cronómetro más confiable; en el último siglo se reemplazaron por los relojes basados en las oscilaciones atómicas o electrónicas. Para que el cronómetro tenga precisión se debe mantener constante la amplitud de la oscilación compensando la fricción con mecanismos de escape que otorgan energía en forma automática. Christiaan Huygens inventó el reloj de péndulo de escape. También es utilizado para medir el valor de g (la aceleración debida a la gravedad)

c. El péndulo físico. Este sistema consiste en un cuerpo montado que oscila en un plano vertical alrededor de un eje que lo atraviesa, es una generalización del péndulo simple (en realidad el péndulo simple pertenece a esta categoría). Al igual que en el péndulo simple hay una torca de restauración del desplazamiento angular que se expresa así: (se debe al componente tangencial del peso) Donde M es la masa del cuerpo, d la distancia del pivote al centro de masa. Como es proporcional a movimiento armónico simple.

y no a

, en general aquí no se cumple la condición del

Pero en amplitudes pequeñas, la siguiente ecuación constituye una excelente aproximación:

Esta es la forma de la ecuación (1), y el periodo se calcula directamente con la sustitución , la cual da: √


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Despejando podemos calcular la inercia rotacional:

Colocando el pivote lejos del objeto, usando una cuerda sin peso de longitud L tendríamos y si d=L el periodo de oscilación es: √

√

√

Que es igual al periodo del péndulo simple.

Movimiento armónico simple y movimiento circular uniforme. Galileo observó las lunas de Júpiter, midió su posición en relación con el planeta. Observó el movimiento hacia atrás y adelante que calificaríamos como armónico simple. En realidad Calixto no oscila sino que describe una órbita casi circular alrededor del planeta. Lo que Galileo vio en realidad fue un movimiento circular uniforme en un borde plano. Y es en definitiva la relación existente entre el movimiento armónico simple y el movimiento circular uniforme. Y podemos llegar a la siguiente conclusión: El movimiento armónico simple puede describirse como la proyección de un movimiento circular uniforme sobre el diámetro del círculo. Las proyecciones del movimiento circular uniforme a lo largo de cualquier dirección nos dan un movimiento armónico simple. El movimiento circular puede considerarse como una combinación de dos movimientos armónicos simples en ángulo recto, con igual amplitud y frecuencia pero con una constante de fase que difiere en 90°.

Movimiento armónico amortiguado. Se da cuando sobre el oscilador actúan fuerzas de disipativas, así la oscilación va perdiendo amplitud paulatinamente (oscilaciones reales), el periodo es casi independiente de la UTN Apuntes de Física I

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amplitud en oscilaciones de poca amplitud, entonces la disminución de la amplitud produce un cambio insignificante en el periodo de la oscilación. La pérdida de amplitud durante la oscilación se denomina amortiguamiento y el movimiento se denomina movimiento armónico amortiguado. Este amortiguamiento se debe a fuerzas de fricción, resistencia al aire y fuerzas internas. Cuando se agrega una pequeña fuerza de amortiguamiento la frecuencia cambia de un modo insignificante, mientras que la amplitud se reduce a cero. La ecuación se obtiene multiplicando la ecuación del oscilador no amortiguado por una función exponencial. Ecuación de la posición en función del tiempo para un movimiento armónico amortiguado:

Ecuación de la energía en función del tiempo:

Como se hace notar en las ecuaciones, la amplitud del movimiento así como la energía mecánica del oscilador disminuye exponencialmente con el tiempo.

Ahora incluimos una fuerza amortiguadora, producida por el fluido viscoso: ∑ Donde

es la constante de amortiguamiento.

Escribimos así:

Solución de la ecuación diferencial: UTN Apuntes de Física I

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(


)

Entonces, cuando la constante de amortiguación es pequeña: √

Si b=0 entonces no hay amortiguamiento. Si b= √

entonces hay amortiguamiento crítico.

Oscilaciones forzadas y resonancia. Las oscilaciones forzadas surgen cuando aplicamos una fuerza senoidal externa al oscilador y tienen aplicaciones en mecánica, en acústica, en circuitos eléctricos y en física atómica. Las frecuencias forzadas se dan en la frecuencia de la fuerza externa, no en la frecuencia natural del sistema. La amplitud de la oscilación depende de la relación entre la frecuencia natural y la frecuencia de la fuerza impulsora. A medida que la frecuencia de la fuerza externa se aproxima a la frecuencia natural (con la fuerza constante) la amplitud de la oscilación crece. Cuando el amortiguamiento es pequeño, las oscilaciones forzadas alcanzarán su máxima amplitud de desplazamiento, si la frecuencia de la fuerza es igual a la frecuencia natural. Cuando la frecuencia de la fuerza externa es igual a la frecuencia natural se produce el efecto conocido con el nombre de resonancia. En resonancia el sistema oscila a la frecuencia de la fuerza externa impulsora con amplitud constante (si la fuerza tiene amplitud constante). ⇒ La frecuencia angular de la fuerza externa resonante.

, en este caso, se llama frecuencia angular

amplitud constante. La fuerza impulsora externa provee la energía adicional necesaria para mantener constante la amplitud de la oscilación compensando la reducción de la amplitud por el amortiguamiento. La rapidez con que la fuerza externa provee energía al oscilador es igual a la rapidez con que la fuerza amortiguadora disipa energía. El oscilador no recibe energía neta, por lo que la amplitud es constante. UTN Apuntes de Física I

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FLUÍDOS Los estados de la materia son: sólido, líquido y gaseoso Desde otra perspectiva los podemos clasificar a los líquidos y gaseosos como fluidos. DENSIDAD.

Densidad 

masa ; v olumen

ρ



m V

PRESIÓN La presión es la razón de una fuerza F al área A sobre la que se aplica:

Presión 

Fuerza ; Área

P

F A

No es un vector.

ESTÁTICA DE FLUÍDOS. LEY DE VARIACIÓN DE LA PRESIÓN EN UN LÍQUIDO EN REPOSO. La presión en cualquier punto de un líquido en reposo es igual a la presión atmosférica más la presión hidrostática. •

Presión atmosférica: es el peso de la columna de gases de la atmósfera ( ).

•

Presión hidrostática: es la presión que ejerce la columna de líquido.

•

Presión absoluta: La suma de la presión debida a un fluido (independientemente de la forma del recipiente) y la presión de la atmósfera.

•

Presión manométrica: La diferencia entre la presión absoluta y la presión de la atmósfera.

PRINCIPIO DE PASCAL.


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El incremento de presión aplicado a una superficie de un fluido incompresible (líquido), contenido en un recipiente indeformable, se transmite con el mismo valor a cada una de las partes del mismo. •

Las fuerzas ejercidas por un fluido sobre las paredes de su contenedor siempre son perpendiculares.

•

La presión del fluido es directamente proporcional a la profundidad del fluido y a su densidad.

•

A cualquier profundidad particular, la presión del fluido es la misma en todas direcciones.

•

La presión del fluido es independiente de la forma o área de su contenedor.

PALANCA HIDRÁULICA Una prensa hidráulica es un mecanismo conformado por vasos comunicantes impulsados por pistones de diferente área que, mediante pequeñas fuerzas, permite obtener otras mayores.


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PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES. Todo cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido sufre un empuje de abajo arriba por una fuerza de magnitud igual al peso del fluido desalojado.

DINÁMICA DE FLUIDOS. TEORÍA DE LAGRANGE Y TEORÍA DE EULER. Una manera de describir el movimiento de un fluido consiste en dividirlo en elementos de volumen infinitesimal, a los cuales podemos llamar partículas fluidas, y seguir el movimiento de cada partícula. Si conocemos a las fuerzas que actúan sobre cada partícula del fluido, podemos entonces resolver para las coordenadas y velocidades de cada partícula en función del tiempo. Este procedimiento, que es una generalización directa de la mecánica de la partícula, fue desarrollado por primera vez por Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Puesto que el número de partículas de fluido es generalmente muy grande, el uso de este método es una tarea formidable. Existe otro tratamiento distinto, desarrollado por Leon-hard Euler (1707-1783), que es más conveniente en la mayoría de los casos. En él abandonamos el intento de especificar la historia de cada partícula del fluido y, en cambio, especificamos la densidad y la velocidad del fluido en cada punto en el espacio y en cada instante de tiempo. Este es el método que usaremos. Describiremos al movimiento del fluido especificando la densidad y la velocidad en un punto cualquiera del líquido en el tiempo. Para ello debemos considerar a los fluidos con las siguientes características: El movimiento de un fluido real es muy complejo. Para simplificar su descripción consideraremos el comportamiento de un fluido ideal cuyas características son las siguientes: 1.-Fluido no viscoso. Se desprecia la fricción interna entre las distintas partes del fluido 2.-Flujo estacionario. La velocidad del fluido en un punto es constante con el tiempo 3.-Fluido incompresible. La densidad del fluido permanece constante con el tiempo 4.-Flujo irrotacional. No presenta torbellinos, es decir, no hay momento angular del fluido respecto de cualquier punto. UTN Apuntes de Física I

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LINEAS DE CORRIENTE Es el eje o trayectoria que recorre una partícula de fluido.

Un conjunto de líneas de corriente forman lo que se llama un tubo de corriente.

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

La ecuación de continuidad o conservación de masa es una herramienta muy útil para el análisis de fluidos que fluyen a través de tubos o ductos con diámetro variable. En estos casos, la velocidad del flujo cambia debido a que el área transversal varía de una sección del ducto a otra, manteniéndose así contante el caudal.


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ECUACION DE BERNOULLI La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una línea de corriente. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes: Cinético: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido. Potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido posea. Energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido a la presión que posee.

Donde: v= velocidad del fluido en la sección considerada. g = aceleración gravitatoria y= altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia. P = presión a lo largo de la línea de corriente. ρ = densidad del fluido.


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TEOREMA DE TORRICELLI El teorema de Torricelli es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad. A partir del teorema de Torricelli se puede calcular el caudal de salida de un líquido por un orificio. "La velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio":

ONDAS Una onda es la propagación de una perturbación sin transporte neto de materia, pero con transporte de energía.

CLASIFICACIÓN DE LAS ONDAS Las ondas se clasifican atendiendo a diferentes aspectos:


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En función del medio en el que se propagan Ondas mecánicas: las ondas mecánicas necesitan un medio elástico (sólido, líquido o gaseoso) para propagarse. Las partículas del medio oscilan alrededor de un punto fijo, por lo que no existe transporte neto de materia a través del medio. Como en el caso de una alfombra o un látigo cuyo extremo se sacude, la alfombra no se desplaza, sin embargo una onda se propaga a través de ella. Dentro de las ondas mecánicas tenemos las ondas elásticas, las ondas sonoras y las ondas de gravedad.

Ondas electromagnéticas: las ondas electromagnéticas se propagan por el espacio sin necesidad de un medio pudiendo, por tanto, propagarse en el vacío. Esto es debido a que las ondas electromagnéticas son producidas por las oscilaciones de un campo eléctrico en relación con un campo magnético asociado.

Ondas gravitacionales: las ondas gravitacionales son perturbaciones que alteran la geometría misma del espacio-tiempo y aunque es común representarlas viajando en el vacío, técnicamente no podemos afirmar que se desplacen por ningún espacio sino que en sí mismas son alteraciones del espacio-tiempo.

En función de su propagación o frente de onda Ondas unidimensionales: las ondas unidimensionales son aquellas que se propagan a lo largo de una sola dirección del espacio, como las ondas en los muelles o en las cuerdas. Ondas bidimensionales o superficiales: son ondas que se propagan en dos direcciones. Pueden propagarse, en cualquiera de las direcciones de una superficie, por ello, se denominan también ondas superficiales. Ondas tridimensionales o esféricas: son ondas que se propagan en tres direcciones. Las ondas tridimensionales se conocen también como ondas esféricas, porque sus frentes de ondas son esferas concéntricas que salen de la fuente de perturbación expandiéndose en todas direcciones. El sonido es una onda tridimensional. Son ondas tridimensionales las ondas sonoras (mecánicas) y las ondas electromagnéticas.

En función de la dirección de la perturbación Ondas longitudinales: el movimiento de las partículas que transportan la onda es paralelo a la dirección de propagación de la onda. Por ejemplo, un muelle que se comprime da lugar a una onda longitudinal. Ondas transversales: las partículas se mueven perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda.


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PARÁMETROS QUE DESCRIBEN LAS ONDAS Los elementos de una onda son los siguientes: la cresta, el valle, el nodo, la longitud de onda y la amplitud. En las ondas transversales se presentan la cresta y el valle. La cresta es el punto que ocupa la posición más alta en una onda. El valle es el punto más bajo de la onda.

El nodo es el punto del medio material que no tiene desplazamiento vertical, es decir, no tiene amplitud.

La longitud de onda λ es la distancia entre dos crestas consecutivas de una misma onda o entre dos valles consecutivos; generalmente, la longitud de onda se considera como la distancia entre dos puntos que están en el mismo estado de vibración.

Amplitud A: es el desplazamiento máximo con respecto a la posición de equilibrio. La cantidad de energía en una onda depende la amplitud. Periodo, T: tiempo que tarda la onda en propagarse una distancia igual a su longitud de onda

Velocidad de propagación, v: en medios homogéneos e isótropos las ondas se propagan con M.R.U., por lo que se puede definir

v

x   t T 1

Frecuencia, f: número de oscilaciones por segundo

2 Número de ondas, k: es el número de ondas que caben en la longitud 2λk  metros  Frecuencia angular, ω: magnitud equivalente a la velocidad angular del movimiento circular




 2  t T

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EXPRESION MATEMATICA DE LA ONDA. En este trabajo en particular se centrará en el estudio de las ondas mecánicas y periódicas, cuyas características pueden describirse usando parámetros como la rapidez de onda, la amplitud, período, frecuencia y longitud de onda. Pero para obtener una descripción más detallada de las posiciones y movimiento de las partículas individuales es necesario obtener una ecuación que llamamos función de onda, la cual describe la posición de cualquier partícula en cualquier instante, es decir la función dependerá de dos variables: . Podemos representar a la forma de la onda de la figura como:

Donde f es la función que describe la forma de la onda. En el tiempo t, la forma de la onda será igual a la del origen suponiendo que la forma de la onda no varía con el tiempo. Si tomamos como origen otro punto O’ la función seria f(x’). La relación con las coordenada del otro marco de referencia será x’=x-v.t, de esta manera la función para cualquier tiempo sería: caracteriza el movimiento de la fase de la forma de onda, al derivar con respecto al tiempo obtenemos la velocidad

de fase v. Esta ecuación se cumple para ondas tanto transversales como para longitudinales. Estudiaremos en particular de ondas armónicas, como el seno o el coseno, donde cada partícula realiza un M.A.S. (Movimiento Armónico Simple) alrededor de su posición de equilibrio. Para poder determinar la forma de la función de una onda, tomaremos como ejemplo las ondas de una cuerda estirada. Se supone una onda transversal sinusoidal que se desplaza por una cuerda. Observaremos que cada una de las partícula de la cuerda oscila con un M.A.S. con la misma frecuencia y amplitud, pero desfasadas unas con las otras. En el tiempo t=0 tendremos un tren de ondas lo largo de la cuerda dado por: (

)

En la figura se muestra la forma de la onda. El desplazamiento máximo ym se llama amplitud. El desplazamiento transversal de y es el mismo en cualquier x, como para x+λ , x+2λ, etc..Si la onda viaja de izquierda a derecha con una velocidad de fase v la ecuación será: 47 UTN Apuntes de Física I AÑO 2009



El periodo T de la onda es el tiempo necesario para que un punto en cualquier coordenada x efectúe un movimiento transversal completo. Durante ese tiempo T la onda viaja una distancia v.T que debe corresponder a una longitud de onda de modo que:

El inverso del periodo se denomina frecuencia f, de modo que f =1/T. Reemplazando en la ecuación nos queda: Para reducir la ecuación introducimos dos cantidades, el número de ondas k, y la frecuencia angular ω.

En conclusión llegamos a la ecuación de una onda sinusoidal que viaja en dirección del eje x positivo:

FASE Y CONSTANTE DE FASE En las andas sinusoidales que estamos estudiando la cantidad que aparece en el argumento del seno es lo que se llama fase de la onda. Las ondas que tienen igual fase o con múltiplos enteros de 2 están en “fase”, y ejecutan el mismo movimiento en el mismo tiempo.

El ángulo  se llama constante de fase. La constante de fase no afecta a la forma de la onda, lo que hace es moverla hacia atrás o hacia a delante en el espacio o en el tiempo. Si tomamos un punto x1 de la cuerda la ecuación quedaría:

que es la ecuación de una partícula con M.A.S.

Dos ondas iguales desfasadas 90°


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PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN Cuando dos o más ondas se combinan en un punto del medio en el que se propagan, el desplazamiento de una partícula en un tiempo dado es la suma vectorial de los desplazamientos que le producirían cada onda a la partícula. Para las ondas mecánicas el principio de superposición es válido cuando la fuerza de restitución varía linealmente con el desplazamiento. Sin embargo hay casos en los que no se cumple esto, por ejemplo cuando una de las ondas tiene una amplitud tan grande que supera el límite elástico del medio. En este caso la fuerza de restitución ya no es directamente proporcional al desplazamiento de la partícula en el medio.

INTERFERENCIAS EN LAS ONDAS Se produce interferencia cuando varias ondas coinciden en un mismo punto del medio por el que se propagan. Las vibraciones se superponen y el estado de vibración resultante del punto es la suma de los producidos por cada onda Existen dos tipos de interferencia: Interferencia constructiva e Interferencia destructiva.

La interferencia constructiva. Ocurre cuando en un punto de un medio interfieren ondas que tienen un desplazamiento en la misma dirección. Las ondas se refuerzan mutuamente cuando se superpone una cresta a otra cresta (o un valle a otro valle). Como en la primera figura de abajo, ambas ondas (la roja y la azul) tienen la forma de una cresta, el medio tiene un desplazamiento hacia arriba que es mayor que el desplazamiento de las dos ondas que interfieren. El desplazamiento del medio es mostrado en color verde.


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La interferencia destructiva. Ocurre cuando en un punto de un medio interfieren ondas que tienen desplazamientos en direcciones opuestas. Las ondas se anulan cuando se superpone una cresta a un valle. Como en la segunda figura de arriba, la onda que tiene la forma de cresta (la roja) tiene un desplazamiento hacia arriba mientras que la onda que tiene la forma de valle (la azul) tiene un desplazamiento hacia abajo, el medio tiene un desplazamiento que es igual a la diferencia de los módulos de los desplazamientos de las dos ondas que interfieren. El desplazamiento del medio es mostrado en color verde.

VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN EN UNA CUERDA TENSA. Determinemos la velocidad del movimiento ondulatorio generado en una cuerda tensa delgada cuando en uno de sus extremos se produce una perturbación transversal para ello se supone que la cuerda es uniforme y homogénea. Consideramos una onda transversal viaja hacia la derecha por la cuerda con una velocidad V y consideraremos un sistema de referencia que se mueve en la misma dirección de la perturbación y con la misma velocidad respecto de la tierra. Para un observador ubicado en este sistema la cuerda se moverá hacia la izquierda con una rapidez V pasando a través de una superficie que tiene la forma de un montículo.

Analicemos una porción de cuerda de longitud L que pasa a través del montículo. Un arco de longitud L suficientemente pequeño es el arco de una circunferencia de radio R. Las fuerzas externas que actúan sobre el elemento de cuerda son las fuerzas de tensión T tangentes a la cuerda como se muestran en la figura mostrada arriba (supondremos que la fuerza gravitacional es pequeña en comparación con la tensión de la cuerda). Los componentes horizontales de T se equilibran ya que la velocidad horizontal es constante. Las componentes verticales se suman y su suma es la fuerza resultante sobre ese elemento de cuerda.

∑

( )

donde m es la masa del elemento de cuerda y θ es el ángulo central subtendido por esta. Como para ángulos lo suficientemente pequeños el seno de un ángulo (en radianes) es aproximadamente igual al valor de este ángulo, se cumplirá en este caso que

:

( ) UTN Apuntes de Física I

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Pero


( )

de donde simplificando y haciendo que la masa por unidad de longitud (m/L), es decir la densidad lineal de masa, sea igual a μ tenemos que:

√ Como podemos apreciar, la velocidad de propagación de una onda transversal en una cuerda tensa no depende ni de su frecuencia, ni de su longitud de onda ni de su amplitud. En general, las expresiones para determinar la velocidad de propagación de una perturbación mecánica, depende si el medio es sólido, líquido o gas, pero todas tienen la siguiente forma:

Como veremos a continuación.

Velocidad de propagación en sólidos La velocidad de propagación de una onda longitudinal en una varilla rígida delgada viene dada por la siguiente expresión:

√ Siendo E el módulo de rigidez o de elasticidad de la varilla (N/m2) y D es su densidad (kg/m3). Los resultados de esta fórmula coinciden bastante bien con los resultados experimentales solo para el caso de las varillas delgadas.

Velocidad de propagación en gases Como el proceso de propagación de una condensación, en un gas, es muy rápido, la compresión y el enrarecimiento de éste pueden considerarse adiabáticos, es decir, que se producen sin intercambio de calor. Todo proceso adiabático está caracterizado por un número denominado coeficiente adiabático γ que para el caso de gases monoatómicos es γ = 1,67 y para el caso de gases diatómicos es γ =1,40. En los gases ideales la velocidad de propagación de una perturbación en un gas, y en particular, la velocidad del sonido en un gas, viene dada por la siguiente expresión:

√ siendo T la temperatura absoluta del gas, M es la masa molecular del gas y R es la constante universal de los gases. De esta relación se aprecia que la velocidad de propagación de una deformación en un gas es proporcional a la raíz cuadrada de la temperatura y no depende de la presión del gas. Para un determinado gas se cumple que:


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√

Conocida la velocidad a una temperatura absoluta (kelvin) se deduce, de la relación anterior, la velocidad a cualquier otra temperatura.

Velocidad de propagación en líquidos La velocidad de propagación de una deformación elástica depende de las propiedades mecánicas del cuerpo. La velocidad de propagación de las ondas longitudinales en un líquido viene dado por la siguiente expresión:

V

1 .X

donde ρ (kg/m3) es la densidad del líquido y X(Pa-1) es su compresibilidad. La compresibilidad X se define como la disminución relativa del volumen al aumentar la presión en una unidad. Matemáticamente:

Así por ejemplo, para el caso del agua (ρ = 1000 kg/m3), cuando la presión del agua varía en una atmósfera (ΔP = 105 Pa) este se comprime en un 5.10-5 de su volumen. De esto se deduce que X = 5.10-10 Pa-1 y por tanto la velocidad de propagación de una deformación en el agua es aproximadamente de 1400 m/s.

ENERGÍA OSCILATORIA DE UNA ONDA El movimiento ondulatorio transporta energía de un lugar a otro en el espacio, pero conviene recordar que cada una de las partículas del medio, a través del cual se propaga la onda, se encuentra oscilando en torno a su posición de equilibrio. Analicemos el caso de una onda transversal que se propaga a través de una cuerda de masa m y longitud L. Los puntos P, Q y R representan tres partículas de masa m cada uno.

Cada punto de la cuerda se mueve verticalmente describiendo un MAS. En el instante mostrado la energía de la partícula P es puramente potencial, ya que en ese instante se encuentra en reposo. La energía de la partícula Q es íntegramente cinética, ya que en ese instante no posee energía potencial, y la de R es en parte cinética y en parte potencial. Pero cada uno de estas partículas posee la misma UTN Apuntes de Física I

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energía total. Si asumimos que la velocidad que posee la partícula Q en ese instante es Vmax, la

Sumando las energías de todas los segmentos pequeños, y teniendo presente que tenemos que la energía de oscilación es:

,

Esto es válido para todo tipo de onda armónica. Según esto la energía de cualquier onda armónica es proporcional al cuadrado de la frecuencia angular y al cuadrado de la amplitud.

POTENCIA DE UNA ONDA La potencia P de una onda es la rapidez con que la energía es transportada.

INTENSIDAD DE UNA ONDA Se denomina Intensidad I de una onda a la energía que pasa en la unidad de tiempo (potencia) a través de una unidad de superficie colocada en dirección perpendicular a la dirección en que se propaga la onda, es decir:

Si la onda es emitida por un foco puntual en más de una dirección, la intensidad es menor conforme aumenta la distancia al foco emisor, pues cada vez se reparte la misma energía entre un número mayor de puntos. Cuando la onda disminuye de intensidad por este motivo se produce: atenuación. En el caso particular de atenuación de una onda esférica (emitida por un foco puntual, en tres dimensiones, sin que exista dirección privilegiada), la misma energía se reparte por superficies esféricas

ONDAS ESTACIONARIAS Una onda estacionaria se forma por la interferencia de dos ondas de la misma naturaleza con igual amplitud, longitud de onda y frecuencia que avanzan en sentidos opuestos a través de un medio. Las ondas estacionarias permanecen confinadas en un espacio (cuerda, tubo con aire, membrana, etc.). La amplitud de la oscilación para cada punto depende de su posición, la frecuencia es la misma para todos y coincide con la de las ondas que interfieren. Los puntos que no vibran se denominan UTN Apuntes de Física I

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nodos, que permanecen inmóviles, estacionarios, y los puntos que oscilan entre con la amplitud de vibración máxima, igual al doble de la de las ondas que interfieren, y con una energía máxima se denominan antinodos. El nombre de onda estacionaria proviene de la aparente inmovilidad de los nodos. La distancia que separa dos nodos o dos antinodos consecutivos es media longitud de onda. Un ejemplo seria en el cual la onda incidente se encuentra con su onda reflejada:

Si la onda incidente es y = A sen (wt-kx) la reflejada será y = A sen (wt + kx), de la superposición de ambas se obtiene una onda del tipo y = 2 A sen kx cos wt es decir se obtiene una “onda” que no viaja, no es una onda de propagación, hay puntos en la cuerda que vibran, los nodos, y otros que no los antinodos. Las ondas estacionarias no son ondas de propagación sino los distintos modos de vibración de una cuerda, una membrana, etc. Consideramos ahora una cuerda de longitud L fija en los extremos. La cuerda tiene un conjunto de modos normales de vibración, cada uno con una frecuencia característica. Cuando se hace vibrar una cuerda tensa con sus extremos fijos, dichos extremos son nodos. Para que se forme una onda estacionaria deberá verificarse que en los extremos de la cuerda debe haber un nodo, es decir, que

, con n = 1, 2, 3 … Por tanto, para una cuerda de longitud L no es posible obtener una onda estacionaria para cualquier valor de la longitud de onda; sólo son válidos los obtenidos anteriormente. Además, como Las frecuencias que pueden dar lugar a ondas estacionarias en una cuerda de longitud L con sus extremos fijos serán y así sucesivamente. La frecuencia f0 es la frecuencia fundamental o primer armónico y las siguientes son el segundo armónico, el tercero,...


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RESONANCIA La resonancia es un fenómeno que se produce cuando un cuerpo capaz de vibrar es sometido a la acción de una fuerza periódica, cuyo periodo de vibración coincide con el periodo de vibración característico de dicho cuerpo. En estas circunstancias el cuerpo vibra, aumentando de forma progresiva la amplitud del movimiento tras cada una de las actuaciones sucesivas de la fuerza. Este efecto puede ser destructivo en algunos materiales rígidos como el vaso que se rompe cuando una soprano canta y alcanza y sostiene la frecuencia de resonancia del mismo. Por la misma razón, no se permite el paso por puentes de tropas marcando el paso, ya que pueden entrar en resonancia y derrumbarse.

REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE ONDAS. En los medios elásticos y homogéneos, las ondas se propagan en línea recta. Ahora bien, la dirección de desplazamiento de los movimientos ondulatorios se modifica cuando la onda llega a la frontera de separación entre dos medios diferentes. En estos casos se producen los conocidos efectos de reflexión, refracción y dispersión de ondas. Cuando una onda incide sobre la superficie de separación entre dos medios diferentes, una parte de su energía se transmite al segundo medio en forma de una onda transmitida de características similares a la incidente, mientras que otra parte de la energía incidente rebota en dicha superficie y se propaga hacia atrás, al primer medio, para constituir una onda reflejada. En este fenómeno se mantiene constante la frecuencia de la onda incidente y la transmitida, pero si varía la velocidad debido al cambio de medio y por ende la longitud de onda.

DIFRACCIÓN Al interponer en el camino de una onda plana una barrera con una abertura, las vibraciones procedentes de los puntos que están a ambos lados de la abertura no pueden avanzar y detrás de la barrera sólo se observa el envolvente de las ondas que proceden de los focos secundarios que caben por la abertura. En consecuencia, los frentes de onda dejan de ser planos y adquieren una forma curvada o semicircular. Este fenómeno se llama difracción.


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Para que se observe bien la difracción es necesario que la rendija sea del mismo tamaño o menor que la longitud de onda. Si es mayor la curvatura de los frentes de onda se produce únicamente en los bordes y puede llegar a no apreciarse, tal como se indica en los dibujos adjuntos.


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BIBLIOGRAFIA  RESNICK  SEARS  SERWAYS AUTORES:  BENITEZ MATIAS  BORDON FRANCISCO  NUÑEZ DANIEL  PESSOLANI FRANCISCO

FIN


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