BENEMERITA UNIVERSIDAD AUTONOMA AUTONOMA DE PUEBLA FACULTAD DE INGENIERIA
COLEGIO DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA
A P U N T E S D E MECANICA DE FLUIDOS
PLAN
MINERVA
RECOPILADO POR ING. PABLO OTHON ROSAS RAMOS DICIEMBRE 2011
UNIDAD UNO 1.1 INTRODUCCION A MECANICA DE FLUIDOS OBJETIVO: Al finalizar el curso de mecánica de fluidos los estudiantes serán capaces de conocer, conocer, identificar identificar tipos, tipos, comportami comportamiento ento,, característic características as y propiedade propiedadess de los fluidos fluidos así como la relación y aplicación de las distintas ecuaciones que permitirán resolver problemas de reposo ó movimiento de los mismos. m ismos. El prop!"#o desarrollar capacidades y habilidades de reproducir contenidos aprendidos, dura durant nte e el curs curso, o, iden identif tific icar ar tipo tiposs de fluid fluidos os cono conoci cien endo do sus sus prop propie ieda dade des, s, aplic aplicar ar ecuaciones en la resolución de problemas problemas en sistemas hidrostáticos hidrostáticos é hidrodinámicos. Fl$"%o.& Sustancia capaz de fluir y de cambiar su forma cuando es sometido a fuerzas externas, externas, adopta adopta la forma de la eometría eometría del recipien recipiente te en el cual esta almacen almacenado ado estáticamente ó para su transportación transportación a centros centros de distribución.
DIVISION DE MECANICA DE FLUIDOS FLUIDOS
!a '!#(#")* %' +l$"%o! se le conoce también como ,"%ro!#(#")*- se encara de estudiar las características, propiedades y comportamiento de los luidos en reposo. !a )"'/(#")* %' +l$"%o! estudia el movimiento de los fluidos sin tomar en cuenta las causas que oriinan el movimiento. !a %"(/")* %' +l$"%o! se le cono conoce ce tambi también én como como ,"%ro%"(/")*- se encara de estudiar las características, propiedades y comportamiento de los fluidos que se mueven de un luar luar a otro, tomando en cuenta las causas que que oriinan el movimiento. movimiento.
CLASIFICACION CLASIFICACION DE LOS FLUIDOS !os fluidos se clasifican de acuerdo al siuiente mapa conceptual.
ALMACENAMIENTO ALMACENAMIENTO DE LOS FLUIDOS !os fluidos pueden almacenarse almacenarse y transportarse en recipientes ó depósitos depósitos portátiles ó a través de redes de tuberías.
1.2 DEFINICION Y CLASIFICACION CLASIFICACION DE SISTEMAS DE UNIDADES S"!#'/* %' $"%*%'!" #s el con$unto de manitudes, unidades, símbolos y dimensiones.
M*"#$%: todo aquello que se puede medir D"/'!": representación simbólica de la manitud
U"%*%: es la manitud específica, tales como" metro, %iloramo, seundo, pie, libra, seundo, metro cuadrado, pie cuadrado, litros, alones, metro sobre seundo, pie sobre seundo, metro sobre seundo cuadrado , pie sobre cuadrado, etc.
1. APLICA APLICACIN CIN DEL ANALISIS ANALISIS DIMENSIONA DIMENSIONAL L A LA SOLUCION SOLUCION DE HOMOGENEIDAD HOMOGENEIDAD DE MAGNITUDES EN ECUACIONES A(l"!"! D"/'!"o*l: &écnica &écnica que permite permite verifica verificarr ó comprobar comprobar la homoen homoeneida eidad d dimensional de una ecuación alebraica sustituyendo las dimensiones en las manitudes. 'ara identifica identificarr una ecuación ecuación alebraica alebraica de una dimensiona dimensional,l, se usa la notación notación entre corchetes,
[ ] ⋅
⋅
⋅
E)$*)" *l'3r*")*
E)$*)" %"/'!"o*l
Area = long ⋅ long
[ Area] = [ long ⋅ long ]
[ A ] =[ L⋅L ] [ A] = [ L2
Volumen
= log ⋅ long ⋅ long
[
Volumen
]
] = [ long ⋅ long ⋅ long ] [ V ] = [ L⋅ L⋅L ]
[
V
] = [ L3
]
velocidad =
distancia tiempo
[
distancia tiempo
velocidad ] =
[ v ] =
d t
[ v ] = T L
[ v ] = [L ⋅ T
aceleración
= velocidad tiempo
−1
]
velocidad [ acelacion ] = tiempo d d v [ a ] = = t = 2 t t t L [ a] = 2 T
[ a ] = [L ⋅ T
veloc. angular =
desplaz. angular tiempo
−2
]
desplaz. angualr tiempo
[ veloc. angular ] =
radianes tiempo
[ veloc. angular ] =
1 [ ω] =
T
1. PRESION ATMOSF4RICA #sta manitud se considera como la capa que envuelve a la tierra, tiene un espesor de aproximadamente ()* %m + ) millas. #n ocasiones se le conoce como presión normal, presión estándar, presión barométrica, se mide con un barómetro.
PAtm
=1 atm = !" mm Hg
= !" Torr =1."13 #ar
=1."33 %g $ ⋅ cm − 2 = 1" 33" %g $ ⋅ m − 2
= 1".33 m ⋅ c ⋅ a = 1"1.32' &Pa
=1"1 32' ( ⋅ m − 2
= 2).)2 in Hg = 33.)1 $ ⋅ c ⋅ a
= 1*. l#$ ⋅ in − 2 = 1*. psi = 211!.+ l# $ ⋅ $t − 2 = 211!.+ ps$
1 atm !" mm Hg
=1
%g $ ⋅ cm − 2
%g $
=
1."13 #ar 1"33" %g $ ⋅ m − 2
=1
−2
1."33 %g$ ⋅ cm 1*. l#$ ⋅ in
−2
=1
cm 2
1.5 PRESION ABSOLUTA !a pr'!" *3!ol$#* tambié también n se le conoce conoce pr'!" #o#*l, se obtiene de dos maneras distintas, tal como se observa en la ráfica siuiente.
-ectores "1 , "3 definen presión absoluta -ector "2 define presión atmosférica + presión barométrica -ector 23 define presión manométrica + sobrepresión → -ector 21 define presión de vacio + subpresión →
→
→
Pa#s
=
Patm
+
Pman
.
Pa#s
=
Patm
−
Pvacio
./
1.6 IDENTIDADES DE TRANSFORMACION 1 ( =1 %g ⋅ m ⋅ seg − 2
1 %g $
= ).+1 (
2 1 ( = .23! l# ⋅ $t ⋅ seg −
= *.*' ( 1 l# $ = 32.2 l# ⋅ $t ⋅ seg − 2
1 l# $
= 32.1!'
1 utm = ).+1 %g
1 slug
1 utm = 1 %g $ ⋅ seg 2 ⋅ m −1
1 slug = 1 l# $ ⋅ seg 2 ⋅ $t −1
l#
1 slug =1*.') %g
1 %g
= 2.2"*!
1 $t
= 12 in
1 galon = 231 in 3
l#
= +.3* l# = 3.+' litros
1 %g = 3'.2 oz
1 m = 3.2+"+ $t 1 m = 3).3 in 1 litro =1 dm
3
1 #arril
=1 %g
1 $t
3
= .*+ galones
1 #arril #arril = 1') litros
= !2.* 1 in 3
1 %s$ = 1""" l# ⋅ $t −
&
1 & = 1"2 %g $ ⋅ m
%g $ ⋅ seg
= "."3! l#
1 &ip
1 Pa = 1 ( ⋅ m 1 &cal = *2 %g $ ⋅ m
1 slug = 1.*++
l#
=1""" li#ras 1 &si = 1""" l# ⋅ in − 2
−2
= *.1+*
= *2 galones
2
1 #tu = + l#$ ⋅ $t
= ".2'2
&cal
2
m
1.7 COMPORTAMIENTO DE LA CURVA DEL AGUA A MEDIDA 8UE SE AGREGA CALOR #n la ráfica siuiente se observa sobre el e$e horizontal de entalpía 0calor1 como va variando variando la curva curva a medida que se area enería dando orien orien a distintas distintas reiones reiones así como sobre el e$e vertical de temperatura.
C*lorr l* C*lo l*#' #'# #'' %' +$!" +$!" -- hf : #nerí #nería a requer requerida ida para para fundir fundir una masa unitar unitaria ia de sustancia sólida a líquida, esto es provocar un cambio de fase. h f =
2 m
h f = 8
2 = mh f
de donde
7cal %
= 66
4&5
2 = entalpía total
.3
hf = entalía específica
lb
#sto indica que que % de hielo desde desde 9 / :; 0 9 6 :< 1 absorbe 8 8 %cal 0 66 4&5 1 para formar % 0 lb 1 de aua líquida a :; 0 3/ :< 1.
C*lor l*#'# C*lor l*#'#'' %' 9* 9*por por"* "*)" )"- h v : #nerí #nería a requerid requerida a para para transfo transforma rmarr una masa unitaria de sustancia líquida a vapor, esto es provocar un cambio de fase. 2
hv
=
hv
= *6
de donde
m 7cal %
= (=
2 = mhv
.6
4&5 lb
#sto indica que % de aua líquida a :; 0 // :< 1 absorbe *6 %cal 0 (= 4&5 1 para formar % 0 lb 1 de vapor vapor de aua a la misma temperatura. temperatura.
1.; CAMBIOS DE FASE DEL AGUA
F*!': ;antidad de sustancia con composición química y estructura física homoénea. C*/3"o %' +*!': &ransformación de una sustancia sin alterar su composición química.
1.; USO DE LA L A ECUACION DEL PESO U"%*%: es la manitud específica" metro, píe, %iloramo, libra, seundo, metro cuadrado, pie cuadrado, litros, alones,
m se
,
m ft , se se/
, etc.
'ara deducir deducir alunas alunas equivalencia equivalenciass de interés, interés, se hace uso de la iualdad que define el peso de un cuerpo. > = m⋅
.*
% f = % ⋅ (.8
%f = (.8 %
? = %
m se
lb f = lb ⋅ 3/./
/
m
lbf = 3/./ lb
/
se
m se
se / ft
se/
6.6* ? = 3/./ lb
/
%f = (.8%
ft
m
? se % m se/ /
%f = (.8 ?
/./6) lb f = (.8 ?
= (.8?
? =
ft se/
3/./ ft lb 6.6* se/
= =./3) lb
ft se /
lbf =
(.8 /./6)
? = 6.6* ?
!a presión atmosférica local para 'uebla oscila entre los valores =8 a =( mbar. @ se localiza /* m.s.n.m
UNIDADES DE MASA 7 + /./6) lb + ./ 5& + 3*./= oz.
Slu
+ 6.*( % + 3*.)/ lb
UNIDADES DE LONGITUD m
+ 3. 3./88 ftft + 3(.3= in
ft
+ / / in
UNIDADES DE CAPACIDAD litro alon
barril
+ + + +
dm3 + % 3.=8* lts. /3 in3 8.36 lb
ft 3 in3
+ =.68 al + )/.6 lb + .3) lb
+ * *( lts + 6/ al
% f − se / 5& = m Slu = .688
%f − se/
%ip = lb f
m
Slu =
'a =
lbf − se/ ft
? m/
. %si = .
%ip in/
%ip %sf = / ft
=.
%lb f
=
in/ %lbf ft /
1.< ECUACIONES DIMENSIONALES DIMENSIONALES Son identidades que se verifican con con analisis dimensional. dimensional.
= .,,,
lb f in/
=
lbf ft /
A*l"!"! A*l"!"! %"/'!"o %"/'!"o*l *l" &écnic &écnica a que permite permite verifi verificar car ó compr comproba obarr la homoe homoenei neidad dad dimensional de una expresión alebraica. #l procedim procedimien iento to cosist cosiste e en ir sustit sustituy uyend endo o las dimensi dimensione oness en las manit manitude udess que intervienen en cualquier ecuación alebraica. '.e.
[area] = [lonitud ⋅ lonitud]
[ A ] = [! ⋅! ]
[ A ] = !/
/
[ volumen ] = [lonitud ⋅ lonitud ⋅ lonitud ] [ - ] = [! ⋅! ⋅! ]
[ - ] = [!3 ]
3
distancia lonitud [ velocidad] = = tiempo tiempo ! [ v ] = &
6
distancia velocidad tiempo distancia [ aceleracio n] = = = tiempo tiempo tiempo/ . ! [ a] = / &
*
[ velocidad
ciclos radianes vueltas = = tiempo tiempo tiempo
anular ] =
[ > ] = &
1.= RESOLUCION DE EJERCICIOS E>'r)")"o 1.=.1 &ransformar
1 * * ? a lbf , %f .
=1 8 )6/ %'a
a
ba bar, ? m 9 /
/1 6* %f a ?, lbf .
81 / 68) 'si
a
'sf
a ?
(1
a %f cm cm 9 /
a (
1"1
31 =6//
%
61 8)3/
lb
'- 63*
m se / ft /
se
lbf
a bar
/
in
)1 / lts a barriles
6 'si * m3
a lts, al
1 ft3
a al, lb
/1 / lb
a
% %, utm
E>'r)")"o 1.=.2 Bbtener la homoeneidad dimensional de 31
d = v t +
61
h=
*1
& = < ⋅b
)1
'
=1
< ' = A
81
ρ =
/
/ at /
t/
(1
= ρ ⋅ g
/1
= 0
/ v
= & ⋅? = < ⋅ v
P ⋅ T
UNIDAD
DOS
2.1 CARACTERISTICAS Y PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS CARACTERISTICAS CARACTERISTICAS DE FLUIDOS LI8UIDOS .C /.C 3.C 6.C
&ienen superficies libres horizontales horizontales 'rácticamente son incompresibles 'resentan volumen definido definido adoptando la forma del del recipiente que los contiene contiene #$ercen presión uniforme en en todas direcciones sobre sobre las superficies de las paredes paredes Del recipiente que los contiene. *,C Soportan presiones presiones randes de compresión. compresión.
CARACTERISTICAS DE FLUIDOS GASEOSOS .C /.C 3.C 6.C *.C
?o tienen forma definida ?o tienen volumen definido Son miscibles miscibles 0 capacidad capacidad de mezclarse1 Son capaces de dilatarse y de contraerse 0expansionarse 0expansionarse y comprimirse1 comprimirse1 Bcupan todo el volumen volumen del recipiente en el cual cual estan confinados 0encerrados1 0encerrados1
2.2 PROPIEDADES PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS ;on$ ;on$un unto to de cual cualid idad ades es que que hace hacen n dist distin inu uir ir un fluid fluido o dent dentro ro,, entr entre e las las de may mayor importancia práctica práctica se citan las siuientes. siuientes. 1 /1 31 61 *1 )1 =1 81
Densidad ab absoluta 'eso específico -olumen específico Dens Densid ida ad rel relat ativ iva a + rav ravedad edad espec specíf ífic ica a ;ompresibilidad -isc -iscos osid ida ad abs absol olut uta a + vis visco cosi sida dad d din dinám ámic ica a -iscosidad ;i ;inemática &ensión superficial
D'!"%*% *3!ol$#* 'ropiedad de un fluido definida como el cociente de la cantidad de masa con el volumen unitario. masa
Densidad =
ρ =
volumen unitario m
/.
V
5nidades de medida" ρ m4.agua
= 1"""
%g m
3
%g m
3
= !2.*
,
slug m
3
,
utm m
3
l#
,
$t
3
,
slug $t 3
l# $t
3
!a densidad para fluidos compresibles compresibles se obtiene a partir partir de la ecuación de estado aseoso. P ⋅ v = ⋅ T P
V m
= ⋅ T
P ⋅ V = m ⋅ ⋅ T
P=
m V
⋅ ⋅ T
P = ρ ⋅ ⋅ T
ρ =
P ⋅ T
=
" 5
=
u 5
/./
' + presion absoluta & + temperatura absoluta E + constante particular de as E + Eu + constante universal de los ases + peso molecular del as v + volumen especifico de as - + volumen total
P'!o '!p')?+")o 'ropiedad de un fluido definida definida como el cociente del peso peso con el volumen unitario. 'eso especifico =
=
6 V
=
'eso unidad de volumen
m⋅g V
= ρ ⋅ g
5nidades de medida"
m4.agua
= 1"""
%g$ m
3
%f m3
= !2.*
/.3 ,
%
? lb f lb , , , m/se/ m3 ft 3 ft /se/
l#$ $t
3
Vol$/' '!p')?+")o 'ropiedad 'ropiedad de un fluido fluido definida definida como el cociente cociente del volumen volumen total que ocupa ocupa la masa unitaria, es el inverso de la densidad volumen especifico =
ν =
V m
=
volumen total masa unitaria
=
densidad
1
/.6
ρ
5nidades de medida"
m3 ft 3 , % lb
D'!"%*% r'l*#"9* @ r*9'%*% '!p')"+")*
'ropiedad adimensional de un fluido definida como el cociente de la densidad de la sustancia con la densidad densidad máxima del aua ó como la relación del del peso específico específico de la sustancia con el peso específico máximo del aua.
8 r = 7 = ρ r =
ρ sust. ρ m4.agua
=
sust. m4.agua
/.*
'ara fluidos /(! l"'ro! que el aua como los aceites, la densidad relativa se calcula aplicando la iualdad empírica.
ρ r =
1*1.' 131.' + ; AP<
=
1*"
/.)
13" + ; 9aum:
'ara fluidos /(! p'!*%o! que el aua como la licerina, la densidad relativa se calcula aplicando la iualdad empírica.
ρ r =
1*' 1*'
−
/.=
; 9aum:
Co/pr'!"3"l"%*% 'ropiedad de un fluido referida al cambio de volumen que experimenta un líquido cuando sobre él se e$erce un cambio de presión. !a compresibilidad se representa por el m ódulo 9ol$/#r")o de 'l*!#")"%*%- E. Se calcula dividiendo el cambio de presión con el cambio de volumen por volumen unitario.
>=−
=P =V
V =P =− ⋅ =V
/.8
V
V"!)o!"%*% %"(/")* @ 9"!)o!"%*% *3!ol$#* 'ropiedad de un fluido que ofrece resistencia para fluir, disminuye cuando la temperatura se incrementa. Se obtiene aplicando la ley de viscosidad de ?e>ton cuando se coloca una película de fluido de espesor, entre dos placas paralelas con áreas, A de las cuales una es fi$a y la otra movible con una rapidez - 9. &al como se muestra en la fiura.
!a fuerza aplicada a la placa móvil es directamente proporcional al producto del área con la rapidez que lleva é inversamente proporcional al espesor del fluido, esto se expresa.
?∝
A⋅v
? =
> A
A ⋅v
= 0
/
=
0 =
0⋅/=⋅v
/
/ v
Define viscosidad dinámica
v /
v /
Se denomina ley de viscosidad de ?e>ton
/.(
;uando se conoce el tiempo de fluidez, # de las sustancias en viscosímetros, se utilizan las iualdades empíricas siuientes De 26 !' hasta 100 !' Saybolt
= ".""22! t −
1.)' ρ r t
/.
De 101 !' hasta 1000 !' Saybolt
= ".""22 t
−
1.3' ρ r t
/.
#n ambos casos las unidades de medida resultantes son po"!'!
V"!)o!"%*% )"'/(#")* @ 9"!)o!"%*% 9"!)o!"%*% r'l*#"9* 'ropiedad de un fluido que se se obtiene dividiendo la viscosidad dinámica dinámica con la densidad, densidad, esto es.
ν =
ρ
=
1
=⋅v
v ν =
ρ
= = ⋅g
/./
g
5nidades de medidaF
m/ ft / , . se se
T'!" !$p'r+")"*l 'ropiedad de un fluido que produce efectos de tensión ó estiramiento en la superficie libre de líquidos ó en la interfase de dos líquidos inmiscibles ó de as con líquido. &ensión superficial" membrana fina que se forma en la superficie libre de los líquidos capaz de resistir fuerzas de tensión pequeGas, tal como se muestra en la fiura.
Se ha encontrado que la fuerza elástica es proporcional a la lonitud total de la película, esto se expresa. ? ∝ LT
@=
? LT
=
? 2L
? = @ ⋅ LT
Huala Hualando ndo expres expresion iones es de presió presión n y tensió tensión n super superfic ficial ial soportaría la lámina.
P =
? A
@ =
/.3
se obtiene obtiene la presió presión n que
? LT
P ⋅ A = @ ⋅ LT
P=
@ ⋅ LT
A
/.6
'ara el caso particular de cuerpos en forma de anillos que se colocan sobre la membrana de la tensión superficial, la lonitud es iual al perímetro del anillo, por lo tanto LT
= P = d = 2 r
#l área de la lámina líquida es" Sustituyendo" P=
@ ⋅ LT
@=
A
=@
A=
d *
2
= r 2
! & , A en ' se tiene
2 ⋅ ⋅ r 2 ⋅ @ ⋅ r
2
=
r
P ⋅ r
2
/.*
2. RESOLUCION DE EJERCICIOS E>'r)")"o 2..1 #n un recipie recipiente nte cilínd cilíndric rico o se almacena almacena etano etano a 38 :; y presión presión −/ absoluta de 8.* %f ⋅ cm . Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular la densidad c1 ;alcular volumen especifico d1 ;alcular el peso peso específico específico recipiente te esféric esférico o se almacen almacena a un as con peso peso espec específi ífico co E>'r)")"o 2..2 #n un recipien −/ .6/ ? ⋅ m −3 a una presión absoluta de / %f ⋅ cm y 3 :;. Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular la densidad c1 ;alcular la constante constante particular
E>'r)")"o 2.. #n un recip recipien iente te abier abierto to se tiene tienen n uarda uardados dos cuales pesan 6= %?. Se pide
) m3 de
un aceite los
a1 b1 c1 d1
#laborar esquema de sistema sistema ;alcular peso específico ;alcular la densidad ;alcular la densidad densidad relativa relativa
E>'r)")"o 2..5 5n depós depósito ito cerra cerrado do con con capac capacida idad d de / in3 se desea llenar con ?itr ?itró óen eno o a / / 'si 'si en form forma a lent lenta a de tal tal mane manera ra que que el depo deposi sito to adqu adquie iera ra la temperatura ambiente de =3 :<. Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular la densidad c1 ;alcular volumen específico d1 ;alcular peso específico E>'r)")"o 2..6 #n un recipiente recipiente se desea desea almacenar almacenar un fluido fluido con densidad densidad relativa relativa .=( a 6 I;. Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular la densidad c1 ;alcular volumen específico d1 ;alcular peso específico E>'r)")"o 2..7 #n un recipiente cilíndrico se almacena almacena aua a 6 :; el se desea reducir su volumen en un / J. Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;ual sería el cambio de presión requerido E>'r)")"o 2..; #n condiciones condiciones atmosfér atmosféricas icas locales locales un recipiente recipiente cilíndrico cilíndrico abierto en parte superior contiene m3 de aua a /= :;. Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;uál sería la variación de volumen cuando sobre la superficie libre se aplican / %f ⋅ cm−/ E>'r)")"o 2..< ;on datos experimentales sobre aua a 3* %f ⋅ cm−/ el volumen era −/ 3 3 dm3 y con /* %f ⋅ cm el volumen es /(.= dm . Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular el módulo volumétrico volumétrico de elasticidad del aua aua ba$o estas condiciones condiciones E>'r)")"o 2..= #n un recipiente se uarda anhídrido carbónico, ;B / a =.=* %f ⋅ cm −/ abs. ?o utilizar valores tabulados. Se pide a1 ;alcular densidad absoluta b1 ;alcular volumen específico c1 ;alcular peso específico
/ : ;
y
E>'r)")"o 2..10 #n el interior de un recipiente abierto en parte superior, se almacena un fluido a /* :; con una densidad relativa de .=6. #xpide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular la viscosidad viscosidad absoluta del fluido expresada expresada en Po"!'! E>'r E>'r)" )")" )"o o 2.. 2..11 11 5n cilin ilindr dro o con con rad radio de base ase ./ .// / m, altu altura ra .3 .3* m ira ira concéntricamente en el interior de otro cilindro fi$o con radio de base ./8 m y altura .3* m. Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular el esfuerzo cortante cortante entre paredes paredes
c1 ;alcular velocidad velocidad lineal del cilindro interior d1 ;alcular el el radiente de velocidad velocidad e1 ;alcular la viscosidad absoluta del líquido que llena el espacio entre cilindros si para antener una velocidad anular de ) rpm del cilindro interior se requiere un par torsional de .88 ?Cm.
E>'r)")"o 2..12 5n fluido líquido tiene una viscosidad dinámica de *.6 poises y una densidad relativa de .()6. Se pide a1 ;alcular la viscosidad cinemática expresada expresada en m/ ⋅ se− , ft / ⋅ se− E>'r)")"o 2..1 Dos superficies planas separadas /* mm por un líquido con viscosidad absoluta de .( %f ⋅ se) ⋅ m−/ . Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular esfuerzo cortante cortante sobre la superficie de la placa placa de la placa movible con con área − / De 6 dm y via$a a 3/ cm ⋅ se c1 ;alcular la fuerza que debe aplicarse a la placa para mantener mantener la velocidad. E>'r)")"o 2..15 #n un viscosímetro, el tiempo promedio de descara de un aceite es ** se. @ su densidad relativa es .(3/. Se pide a1 ;alcular viscosidad viscosidad absoluta absoluta expresada en %f ⋅ se ⋅ m−/ b1 ;alcular viscosidad viscosidad cinemática medida medida en m/ ⋅ se− E>'r)")"o 2..16 5n aceite con / :A'H y un tiempo de descara de 8 se. Se pide a1 ;alcular viscosidad viscosidad dinámica dinámica expresada en %( m ⋅ se) − , ( %f ⋅ se) m−/ b1 ;alcular viscosidad viscosidad cinemática medida medida en m/ ⋅ se− c1 ;alcular densidad ;alcular densidad absoluta dada en slu ⋅ m−3 d1 calcular volumen volumen específico expresado en m3 ⋅ % − E>'r)")"o 2..17 #n un viscosímetro el tiempo promedio de descara del aua fue de * se. A * :;. Se pide ;alcular a1 ;alcular viscosidad viscosidad absoluta absoluta dada en poises b1 ;alcular viscosidad viscosidad cinemática medida medida en m/ ⋅ se− E>'r)")"o 2..1; 5n aceite tiene una ravedad específica de .(/* y el tiempo de descara en un viscosímetro fue de 6 se. Se pide a1 ;alcular viscosidad viscosidad absoluta absoluta medida en poises b1 calcular viscosidad viscosidad cinemática dada en m/ ⋅ se− E>'r)")"o 2..1< 5na au$a con 3* mm de lonitud descansa sobre la superficie libre del aua a / :; almacenado en un recipiente abierto. Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular la fuerza hacia arriba para para separar la au$a au$a del aua. E>'r)")"o 2..1= 5n recipiente abierto contiene aua a / :; y en la superficie libre se encuentra un aro de .* mm de espesor formando un diámetro de 6* mm. Se pide a1 #laborar dibu$o del sistema sistema b1 ;alcular la fuerza requerida para separar separar el aro del del aua. c1 ;alcular la presion presion de la lámina líquida. líquida.
UNIDAD TRES .1 ESTATICA DE LOS FLUIDOS #n ésta unidad la manitud más importante i mportante es la presion y sus propiedades. !a presion puede manifestarse de tres maneras distintas dependiendo dependiendo la manera de cómo actKa.
.2 PROPIEDADES DE LA PRESION I !a presion e$ercida en un punto cualquiera de un un líquido en reposo es iual iual en todas Direcciones /I !a presion e$ercida en todos los puntos situados situados en un mismo plano horizontal horizontal en el Hnterior de un líquido en reposo es la misma. 3I !a fuerza de contacto contacto que e$erce un líquido en su interior, una parte del líquido sobre !a otra parte del mismo tiene la dirección normal a la superficie de contacto. 6I !a fuerza de presion e$ercida e$ercida de un líquido en reposo reposo se dirie siempre hacia el interior interior Del mismo, esto es es una una fuerza de compresión, nunca una de tensión. !a fuerza de ;ompresión se tomará positiva hacia el interior del líquido.
*I !a superficie libre de un líquido en reposo es siempre horizontal.
. CALCULO DE LA PRESION HIDROSTATICA 'ara calcular la presión hidrostática e$ercida por un líquido almacenado en un depósito, considérese un recipiente cilíndrico de base, A y altura , cuyo volumen es, V @ A ,. Si ahora ahora se iualan iualan +$'r* manitude udess pr'!" y p'!o '!p')?+")o, se +$'r* y p'!o de las manit tiene. P =
? A
=
?= P⋅A
6
6 V
3.
=⋅V
P⋅A = ⋅V P⋅A = ⋅A⋅B
P=
⋅A⋅B A
= ⋅B
PB
= ⋅B
PB
= ρ ⋅ g ⋅ B Define presión manométrica
3./
.5 CALCULO DE LA PRESION TOTAL EN UN PUNTO CUAL8UIERA EN EL INTERIOR DE UN LI8UIDO ;onsidérese un sistema hidrostático tal como como muestra la fiura en la que se escoen dos puntos de referencia para obtener la presion total e$ercida en un punto cualquiera en el fondo de un líquido.
Diferenciando é Hnterando la presion hidrostática entre los puntos escoidos del sistema hidrostático, se tiene P2 =Patm P = ⋅B
;omo" B 2 ="
dP = ⋅ dB
P1
1
1
2
2
= Patm + ⋅ B1
∫ dP = ∫ dB P1 − P2 = ( B1 − B 2 )
3.3
P1 = P2 + ( B1 − B 2 )
.6 FUERAS EJERCIDAS SOBRE SUPERFICIES VERTICALES ;ons ;onsid idér éres ese e un corte corte del del sist sistem ema a hidr hidros ostá tátic tico o most mostra rado do en la fiu fiura ra,, en él pued puede e observarse el perfil de presión actuante, tiene un valor cero en la superficie libre y un valor máximo en el fondo del recipiente.
Del trianulo de presión y sobre la pared vertical puede localizarse el punto de presión promedio, 0 p.p1 y el punto del centro de presión, 0c.p1. ;álculos experimentales han demostrado que" la presión, P es directamente proporcional a la profundidad, , del fluido, esto es. P = ⋅B
!a presión promedio se expresa P pp
=
1 2
⋅B
3.6
!a fuerza que actKa en el punto de presión promedio es. ? pp
= P pp ⋅ A
? pp
= 1⋅B⋅A
3.*
2
!a presión e$ercida en el centro de presión desde la superficie libre del fluido es. 2 Pcp = ⋅ B 3
3.)
!a presión e$ercida en el centro de presión desde el fondo del recipiente es Pcp
=1⋅B
3.=
3
!a fuerza que actKa en el centro de presiones se expresa como. ?cp
= Pcp ⋅ A
?cp
=
2 3
⋅B⋅A
ó
?cp
=
1 3
⋅B ⋅A
3.8
.7 FUERAS EJERCIDAS EJERCIDAS SOBRE SUPERFICIES INCLINADAS 'ara deducir las fuerzas que actKan sobre superficies inclinadas un ánulo, la superficie libre del fluido, tal como se muestra en la fiura.
respecto a
#s importante analizar el comportamiento de las / 3 6 *
;oordenadas verticales ;oordenadas paralelas a la pared
Del triánulo ABCA
h h sen L = / = ypp / ypp .
ypp =
h / sen L
h = / ypp sen L
Del triánulo A4;A
3.(
/
h /h 3 sen L = = ycp 3 ycp .
ycp
=
/h =y− y 3 sen L 3
/ h = y cp 3 sen L
h=
3 /
ycp ⋅ sen L
3.
3.
Del triánulo A /4/;A /
sen L =
h y
y =
h sen L
!a presión promedio es P pp
=
1 2
⋅B =
1 2
/ pp 2 sen C = / pp sen C
!a fuerza de presión promedio promedio es ? pp
= P pp ⋅ A =
1 2
⋅ B ⋅ A = ⋅ / pp sen C ⋅ A
3./
!a presión en el centro de presiones es Pcp
3 = 2 ⋅ B = 2 / cp ⋅ sen C = ⋅ / cp sen C 3 3 2
!a fuerza en el centro de presiones es ?cp
= Pcp ⋅ A =
2 3
⋅ B ⋅ A = ⋅ / cp sen C ⋅ A
3.3
.; MANOMETROS DE COLUMNA @ PIEOMETROS Hnstrumentos que emplean columna de líquido homoéneo para medir presiones en un punto, tal como se muestra en la fiura. Si se emplean dos líquidos no homoéneos con pesos distintos, el instrumento es capaz de medir diferencia de presiones.
1
2
Presion en recipiente = Presion en piezómetro
PA
= Pamt + sust. ⋅ B = " + sust ⋅ B = ρ r ⋅ m4.agua ⋅ B
3.6
Presion en 1
PA
=
− ( − sust ⋅ B ) = PA
'resion en
+ PB,agua = P3 + PB,Hg
Patm
+ sust ⋅ B = " PA
PA
Presion en 2
=
= − ,sust. ⋅ B
'resion en /
PA
= ρ r2 ⋅ B 2 − ρ r1 ⋅ B1
PA + 1 ⋅ B1 = " + 2 ⋅ B 2
PA
= 2 ⋅ B 2 − 1 ⋅ B1
.< RECIPIENTE CON PIEOMETROS LATERALES LATERALES
3.*
PA
= A ⋅ / A = ρ r,sust. ⋅ m4. ⋅ / A
;ara adicional en el piezómetro, B BA
=
PA 9
=
PA
ρ r9 ⋅ m4.agua
Altura en el piezómetro, B B9
= B A + /9
'resión total en el fondo del recipiente PT PT
= PA + P9 = ρ rA ⋅ B A + ρ r9 ⋅ B 9
3.)
'resión en 4 + presión en ; PA
+ ( ⋅ B ) agua = P8 + ( ⋅ B ) Hg
PA + A ⋅ B A = P8 + D ⋅ B D PA + A ⋅ B A = " + D ⋅ B D
PA
PA
.= MANOMETRO DIFERENCIAL DIFERENCIAL
= D ⋅ BD − A ⋅ B A
= ρ r2 ⋅ B D − ρ E r1 ⋅ B A
Hnstrumento capaz de medir diferencia de presión entre dos recipientes ó dos conductos que pueden estar a la misma ó a distinta elevación respecto a un plano de referencia, tal como se muestra en las fiuras. fi uras.
ALTURA DE PRESION EN C @ ALTURA DE PRESION EN D PA + / A PA
+ B = P9 + ρ r2 ⋅ B − / 9
+ / A = P9 + ρ r2 ⋅ B − B − / 9
PA + / A + / 9 = P9 + ( ρ r2 − 1) B
( PA − P9 ) + ( / A − / 9 ) = ( ρ r2 − 1) B B=
( PA − P9 ) + ( / A + / 9 ) ρ r2 − 1
B=
( PA − P9 ) + ( B A − B 9 ) ρ r2 − 1
ALTURA DE PRESION EN M @ ALTURA DE PRESION EN N P5
− 1 ⋅ / D − 2 ⋅ z = P ( − 1 ⋅ / ( P5
− P ( = 1 ⋅ / D − 1 ⋅ / ( + 2 ⋅ z
P5 − P ( = ( /D − / ( ) 1 + 2 ⋅ z
De la fiura se tiene / D + z = / ( /D
−B
− / ( = −B − z
Sustituyendo este valor en diferencia de presiones se tiene
P5 − P ( = ( / D − / ( ) 1 + 2 ⋅ z
− P ( = ( − B − z ) 1 + 2 ⋅ z ;onsiderando que 2 = ρ r2 ⋅ 1 P5
P5 P5 P5
− P ( = ( − B − z ) 1 + ρ r2 ⋅ 1 ⋅ z − P ( = − 1 ⋅ B − 1 ⋅ + ρ r2 ⋅ 1 ⋅ z z
− P ( = E r2 ⋅ 1 ⋅ z − 1 ⋅ B − 1 ⋅ z
P5 − P ( = 1 ( ρ r2 ⋅ z − z ) − B
P M − P N = γ1 [ z ( ρr 2 − 1) − h]
;uando los recipientes están en el mismo plano, h + , la ecuación se reduce a P5
− P ( = 1 ⋅ z ( ρ r2 − 1)
#l factor
(
z ρ
r
2
− 1) se denomina cara dinámica
#n la fiura se muestra un depósito presurizado presurizado que contiene contiene además dos fluidos líquidos líquidos inmiscibles con sus respectivas caras hidrostáticas
'resión en A + 'resión en B Paire + ρ r1 ( / 2 − /1 ) + ( /1 + / " ) = ρ r2 ⋅ /
.10 APLICACIN DEL MANOMETRO DIFERENCIAL AL MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS
;onsideremos un tramo de tubería y sobre ésta se encuentra instalado un manómetro diferencial, tal como se muestra en la fiura.
ALTURA DE PRESION PRESION EN C @ ALTURA ALTURA DE PRESION EN D PA PA PA
PA PA PA
− / = P9 − ( / + B ) + E r2 ⋅ B
−
P9
−
P9
−
P9
−
P9
= / − ( / + B ) + E r2 ⋅ B = / − / − B + E r2 ⋅ B
= E r2 ⋅ B − B = ( E r2 −1)B
− P9 = ( E r2 −1) ⋅ B
#sta expresión define el cambio ó la caída de presión entre dos puntos.
.11 ECUACION FUNDAMENTAL FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTATICA DE UN FLUIDO 'ara deducir la ecuación que rie a los fluidos que no tienen movimiento sino que están almacenados en depósitos, depósitos, se elie elie un volumen volumen infinitesimal de fluido representado representado por un prisma rectanular de base A y y altura dy tal como se muestra en la fiura.
Aislando la partícula diferencial de fluido entre los límites , / tal como se muestra en diarama de cuerpo libre.
'lanteando la condición de equilibrio para las fuerzas verticales, se tiene ∑?/ = " + ↑−↓ ?1
− ?2 − 6 = "
PA / PA /
− ( P + dP) A / − ρ g A / d/ = "
− PA / − dPA / − ρ g A / d/ = "
− dPA / − ρ gA / d/ = "
− dPA / = ρ gA / d/
3.=
dPA /
−
ρ A /
−
dP
−
1
ρ
= g d/
= g d/ P2
∫ ρ
P1
/2
dP = g ∫ /
1
d/
− 1 ( P2 − P1 ) = g( / 2 − /1 ) ρ
− P2
P1
ρ
= g ( / 2 − /1 )
Desarrollando y separando términos, se tiene P1
+ g ⋅ /1 =
ρ
P2
ρ
+ g ⋅ /2
3.8
#s la ecuación fundamental de la estática de fluidos para una entrada y una salida. Meneralizando para un estado, se tiene P
+g / =D
ρ
#sta expresión define la ecuación fundamental de la hidrostática primera forma. Si ésta ecuación la dividimos por la ravedad miembro a miembro, se transforma resultando P ρ g
Eeescribiendo la expresión con P ρ g
+/ = D g
D g
=B
+ / =B
Siendo, B la altura piezométrica piezométrica y el producto, producto, ρ g = P
+ / =B
3.(
#sta expresión define la ecuación hidrostática en función de alturas, seunda forma, también puede escribirse en sus formas equivalentes. P + / = B P + ρ g / = ρ g B
#stas #stas expre expresio sione ness repres represent entan an la ecuac ecuación ión hidros hidrostát tática ica en funció función n de enerí enerías as de presione, tercera forma. P1
De la ecuación
ρ
+ g /1 =
P2 ρ
+ g /2
Si /1 = / 2 , entonces P1 = P2 esto comprueba que en un fluido en reposo todos los puntos ubicados a la misma altura con respecto al plano de referencia tiene la misma presión.
.12 .12 PRI RINC NCIP IPIO IO DE AR8UI R8UIME MEDE DES S Y FLOT FLOTA ACI CIO ON DE CUERP UERPOS OS SLIDOS #s importante conocer como actKa un fluido sobre las paredes de un sólido prismático de forma hexaédrica. 'ara ello se elie un sistema hidrostático en el cual se sumere un cuerpo sólido tal como muestra la fiura. !ueo se elie el centro de ravedad del sólido y se traza el diarama de cuerpo en libertad y observar las fuerzas actuantes en las superficies de las caras del hexaedro, ver fiura de cuerpo libre. 'lanteando las condiciones condiciones de equilibrio equilibrio en dirección dirección vertical se tiene.
∑?/ = " + ↑ − ↓
> = P1A − P2 A
?1 − ?2
> = ( P1 − P2 ) A
>
−> = "
3./
3./
3.//
> = ( B1 − B 2 ) A
= ?1 − ?2
> = ( B1 − B 2 ) A > = lFGuido ( B1
Vsólido
− B 2 ) Asólido
= VlFGuido desplazado
6 = mg = ( V) sólido
> = VlFGuido desplazado
#l peso neto del sólido, se obtiene restando el peso real con el empu$e. 6 neto
= 6 real − >
;uando se alcanza alcanza el equilibrio equilibrio sinifica que" # + > por lo tanto lFG. ⋅ VlFG.desplazado
VlFG.desplazado
= sólido ⋅ Vsólido
= Vsólido
sólido lFGuido
3./3
Aplicando las condiciones condiciones de equilibrio en las caras caras del cubo para las direcciones, direcciones, - - Se tiene.
∑?4 = "
∑?/ = "
∑?z = "
3./6
?o hay
>9#+
?o hay
N+# Diferenciando peso. =
6 V
6
= ⋅V
d6 = dV d6 = ⋅ d4 ⋅ d/ ⋅ dz d6
= E ⋅ g ⋅ d4 ⋅ d/ ⋅ dz
;omo d6 = d> , entonces d> = ⋅ d4 ⋅ d/ ⋅ dz
d> = E ⋅ g ⋅ d4 ⋅ d/ ⋅ dz
3./*
PRINCIPIO DE AR8UIMEDES 'ostula que" &odo cuerpo sólido sumerido en el interior de un fluido líquido, experimenta una una fuer fuerzza de empu empu$e $e vert vertic ical al haci hacia a arri arriba ba iua iuall al peso peso del del volu volume men n de líqu líquid ido o desplazado por el sólido, esto es. d> = d6
.1 PRESION HIDROSTATICA SOBRE UNA SUPERFICIE PLANA SUMERGIDA ?os interesa conocer las coordenadas vertical y paralela a la placa sumerida un ánulo α respecto a la superficie libre del fluido. 'ara determinar las fuerzas que actKan en el centroide y en el centro de presión de la placa obsérvese la fiura siuiente.
Del triánulo ABCA se tiene sen
B
= , /
por lo tanto
B
= / ⋅ sen
Diferenciando la fuerza d? = PB ⋅ dA d? = ⋅ B ⋅ dA d? = ρ ⋅ g ⋅ B ⋅ dA
3./)
Sustituyendo , en %F, se tiene d? = ( / ⋅ sen ) dA
Hnterando la iualdad se obtiene la fuerza resultante resultante ? = ⋅ sen / ⋅ dA
∫
'or la estática se sabe que expresión se transforma en.
∫ / ⋅ dA = /
ce
⋅ A y sustituy sustituyendo endo en en la fuerza fuerza resulta resultante, nte, la
? = ⋅ sen ( / ce ⋅ A )
Del triánulo AEDA sen =
B ce / ce
de dónde
B ce
= / ce ⋅ sen , sustituyendo éste valor en fuerza
3./=
Eesultante y acomodando factores, se tiene. ? = ( / ce ⋅ sen ) A ? = ⋅ B ce ⋅ A
3./8
5tilizando el concepto de /o/'#o ó p*r que que se expresa como el producto de una fuerza con su brazo de palanca, esto es. T = ? ⋅ #
3./(
Aplicando al elemento diferencial diferencial de área dT = d? ⋅ /
dT = [ ( / ⋅ sen ) dA] ⋅ / dT = ⋅ sen ⋅ / 2 ⋅ dA
Hnterando la expresión se obtiene el par e$ercido por el fluido sobre la placa.
∫
T = ⋅ sen / 2 ⋅ dA ,
en don donde de la int inte era rall inercia del área plana de la placa, entonces
∫ /
2
dA =<
, representa el momento de
T = ⋅ sen ⋅ <
3.3
;onsiderando que la fuerza resultante actKa en el centro de presión con un brazo de palanca ycp , entonces el momento en el centro de presión se expresa. Tcp
= ? ⋅ / cp
Hualando momentos
Tcp ? ⋅ / cp
/ cp
=
⋅ < ⋅ sen ?
=
⋅ < ⋅ sen ⋅ sen( / ce ⋅ A )
=
=T
= ⋅ < ⋅ sen
<
/ ce ⋅ A
3.3
'or el teorema de e$es paralelos 0 teorema de Steiner 1 el momento de inercia se puede expresar como < = < ce
+ A ⋅ / ce2
3.3/
Bbteniéndose así un valor equivalente para < ce + A ⋅ / ce 2
/ cp =
/ce ⋅ A
=
< ce /ce ⋅ A
+
A ⋅ /ce ⋅ /ce /ce ⋅ A
ycp
.
/ cp =
< ce / ce ⋅ A
+ /ce
3.33
#sta #sta ecuación ecuación repres represent enta a la línea línea de acción acción de la fuerza fuerza que pasa por el centro centro de presión.
.15 FUERAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS #n éste tema se requiere conocer el comportamiento de cómo actKan y como se calculan. .C
<2
3.C 'rofundidad del centro de presión, presión,
y cp
6.C Distancia horizontal al centro de ravedad,
x
*.C
#sta fiura representa el área proyectada del recipiente
.16 CALCULO DE LA FUERA HORIONTAL
Analizando el centro de ravedad ravedad de la sección sección curvada, las fuerzas
=
<2
= 'ce ⋅ A
?H
= ⋅ / ce ⋅ A
?H
s = / + A 2
?H
s = / + s ⋅ 6 2
3.36
De la ecuación que representa la línea de acción de la fuerza que pasa por el centro de ravedad expresada por la iualdad. / cp
− /ce =
< ce / ce ⋅ A
3.3*
'ara el área rectanular proyectada de la sección curva, el momento de inercia se expresa como. < ce
=
6 ⋅s
3
12
3.3)
3.3=
#ntonces 6 ⋅ s3 / cp − / ce =
12
/ ce ⋅ A
=
6 ⋅ s3 12/ce ⋅ A
=
6 ⋅ s3 12/ce ⋅ s ⋅ 6
=
s2 12/ce
1 / cp
=
s2 12/ce
+ / ce
#cuación que relaciona las coordenadas verticales al centroide y al centro de presiones de la sección curvada.
.17 CALCULO DE LA FUERA VERTICAL
5tilizando la misma analoía de la fuerza horizontal, se establece la iualdad
=<2/ +
? =
?H2
+
?v2
tanC =
?v ?H
C = Tan −
1
?v ?H
3.3(
.1; PRESION INTERNA EN RECIPIENTES CILINDRICOS Y ESFERICOS RECIPIENTE ESFERICO Analicemos media esfera y observemos las presiones actuantes sobre el espesor de pare pared, d, # y sobre sobre la superfic superficie ie interna interna así como la fuerza fuerza resulta resultante nte definid definida a como como el producto de la presión con el área proyectada, tal como se muestra en la fiura siuiente.
#fectuando suma de fuerzas en, x.
∑
,
P
,
= ? = P$luido ⋅ A pro/ctada
= ? = P
⋅8
2
*
3.6
3.6
#l esfuerzo en las paredes del recipiente r ecipiente puede calcularse por @=
P
,
A
P
,
= @ ⋅ A pared
P
,
=@⋅ ⋅8⋅ t
;omo
P @⋅ ⋅8⋅t
,
=? ,
=P
⋅8
2
*
* @ ⋅ ⋅ 8 ⋅ t = P ⋅ ⋅ 82
@=
@=
P ⋅ ⋅ 82 * ⋅8⋅ t P ⋅8 * t
=
=
P⋅8 * t
P ⋅ 2 r
RECIPIENTE CILINDRICO
* t
=
P ⋅ r 2 t
Analicemos un cilindro cerrado en el cual actKa una presión manométrica interna, Pi y observemos el comportamiento de los esfuerzos que actKan sobre el espesor, t de las paredes del recipiente, tal como se muestra m uestra en la fiura siuiente. !as manitudes de mayor interés son" .C @1 =esfuerzo circunferencial ó anular /.C @ 2 = esfuerzo axial ó lonitudinal l onitudinal 3.C @ 3 =esfuerzo radial + presión interna 6.C Pi = presión interna manométrica *.C r i = radio interior ).C t = espesor de pared =.C A1 = área del espesor 8.C A 2 = área proyectada
Analicemos a detalle un tramo de anillo como una parte del del cilindro, tal como se observa en la fiura siuiente.
#fectuando suma de fuerzas en dirección,
x
se tiene
∑ F = "
2 @1 ⋅ A1 = p ⋅ A 2
?@ −? p = "
2 @1 ⋅ d/ ⋅ t = p ⋅ 2 r i ⋅ d/
x
@ ⋅ A1 − p ⋅ A 2
="
@ ⋅ A1 = p ⋅ A 2
@1
@1
=
p ⋅ 2 r i ⋅ d/ 2 d/ ⋅ t
p ⋅ r i
=
t
@ T ⋅ A1 = p ⋅ A 2
( @1 + @1 ) A1 = p ⋅ A 2 Analicemos el cinturón en la dirección, y tal como se muestra en la fiura y efectuand efectuando o suma de fuerzas en ésa dirección, se tiene. @2
= ActKa a través de la pared, pared, es el esfuerzo axial
p i
= ActKa sobre las tapas del del cilindro
AL
= 2 ⋅ r i ⋅ t = Orea lateral
AT
= ⋅ r i2 = Irea transversal
∑?/ = " ?@2
@ 2 ⋅ 2 ⋅ r i ⋅ t = p ⋅ ⋅ r i2 2
− ? pi = "
@ 2 ⋅ A L − p ⋅ A T
p ⋅ ⋅ r i
@2
=
2 i ⋅ t
=
p ⋅ r i 2 t
3.6/
="
@ 2 ⋅ 2 ⋅ r i ⋅ t − p ⋅ ⋅ r i2
="
.1< RESOLUCION DE EJERCICIOS E>'r)")"o .1<.1 5n recipiente cilíndrico abierto en parte superior con diámetro de 6 ft almacena aua incondiciones normales de presion y temperatura. !a cara hidráulica es / m desde la superficie superficie libre al fondo del recipiente. Se pide a1 #laborar esquema esquema del del sistema hidrostático b1 ;alcular presión hidrostática c1 ;alcular presion absoluta absoluta en el fondo fondo del recipiente d1 ;alcular la fuerza e$ercida en el fondo del recipiente recipiente e1 Si se desea construir construir el recipiente de latón con un factor factor de seuridad de /. ;uál ;uál sería el espesor del material expresado en mm. E>'r)")"o .1<.2 5n recipiente cilíndrico abierto en parte superior con diámetro de ) in, almacena disolvente comercial a / :; y una cara hidráulica de / ft. Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular la presión hidrostática hidrostática medida en 'si c1 ;alcula la presion absoluta absoluta en el fondo de recipiente expresada expresada en 'si. d1 ;alcular la fuerza actuante en el el fondo del cilindro cilindro dado en ?. ?. E>'r)")"o .1<. 5n depósito cilíndrico abierto en parte superior con diámetro de 3 m y una cara hidráulica de 6 m almacena una sustancia con densidad relativa ./)/ a / :;. Se pide. a1 #laborar esquema del sistema sistema hidrostático b1 ;alcular la presion total en un punto ubicado a tres cuartos cuartos de la cara hidráulica a partir de la superficie libre medida en 7pa. c1 ;alcular la fuerza e$ercida en el fondo fondo del depósito depósito medida en ?.
E>'r)")"o .1<.5 5n recipiente cilíndrico cerrado con diámetro de interior de /./* m y espesor de pared ./* in se encuentra horizontalmente y almacena licerina a / :; ba$o una presión aseosa de * 7pa.y una cara hidráulica de / m. Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular la presion presion hidrostática en la pared medida en bar. c1 ;alcular la presion absoluta interna medida medida en bar. d1 ;alcular el esfuerzo esfuerzo circunferencial del recipiente expresado expresado en ? ⋅ m−/ e1 ;alcular el esfuerzo esfuerzo axial del recipiente recipiente medido en ? ⋅ m−/
E>'r)")"o .1<.6 5n deposito deposito cilíndrico vertical con radio .* m y altura * m abierto a la atmósfera atmósfera contiene contiene dos sustancias sustancias a / :; de los cuales .* m son de aua y /.6 m son de aceite a prueba de polvo. Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular la presion presion hidrostática del del aceite expresada expresada en" bar, 7pa. c1 ;alcular la presion hidrostática del aua aua medida en" bar, 7pa. d1 ;alcular la fuerza actuante en el el fondo del recipiente recipiente E>'r)")"o .1<.7 #l muro de contención de una presa mide / m de alto y (* m de lonitud, retiene aua a una cara hidráulica de 8 m . Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular presión promedio e$ercida sobre sobre el muro dado dado en ? ⋅ m−/ c1 A qué profundidad profundidad se localiza el cp. d1 ;alcular la fuerza resultante que actKa en el cp. cp. E>'r)")"o .1<.; !a barda de de contención de una presa presa está inclinada inclinada ) : respecto a la superficie libre del aua. Eetiene 8 m de aua de manera vertical con 3 m de laro y m de altura. Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular la fuerza de presion promedio promedio dada en en 7?. c1 ;alcular las coordenadas coordenadas vertical e inclinada para el el centro de presion d1 ;alcular la fuerza que actKa en centro de presion presion medida en 7?. 7?. E>'r)")"o .1<.< 5n manómetro de columna contiene aua a / :;, reistra una altura piezométrica de 3.) m. Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular la presion manométrica manométrica en A expresada en
%f cm/
E>'r)")"o .1<.= 5n manómetro en U contiene dos sustancias aua y mercurio en condiciones normales de presion y temperatura con h = .) m , h/ = / m , '3 = . Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular presion manométrica en A expresada en 'si E>'r)")"o .1<.10 5n recipiente abierto con dos piezómetros laterales contiene aua y licerina a / :;. #l espesor de la licerina es / ft desde el fondo del recipiente y la superficie libre del aua es = ft desde el fondo del recipiente. Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular altura de de presion de la superficie líquida en piezómetro, A
c1 ;alcular altura de presion presion de la superficie superficie líquida en piezómetro, 4 d1 ;alcular 'resion hidrostática total en el fondo del recipiente recipiente medida en en 'si. Dos reci recipi pien ente tess A- B conti ontien ene en aua a /=) /=) 7pa y 38 7pa E>'r E>'r)" )")" )"o o .1< .1<.1 .111 Dos respectiv respectivament amente. e. !a elevación elevación del recipiente recipiente A es 6.8== m y la de B 3.68 m. Ambos recipientes estan conectados por un manómetro diferencial de mercurio. Se pide a1 #laborar esquema del sistema. sistema. b1 ;alcular lectura lectura del fluido manométrico. manométrico.
E>'r)")"o .1<.12 5n depósito presurizado con aire a 3 7pa. Sobre la superficie libre de aceite con densidad relativa .8/, y , + . m, y + / m de mercurio, y / + * m. de aceite Se pide a1 #laborar esquema del sistema. sistema. b1 ;alcular la altura del fluido manométrico. manométrico. E>'r)")"o .1<.1 A través de un ducto horizontal con boquilla fluye un aceite de izquierda a derecha con densidad relativa .=*. #n la sección recta se tiene conectado un manómetro en U que utiliza mercurio como fluido manométrico si la presión en el centro del ducto es .6 %f ⋅ cm−/ . !a altura desde el centro del ducto al nivel más alto de la columna de mercurio es .8/* m. Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular la altura del fluido manométrico. manométrico.
E>'r)")"o .1<.15 Se requiere medir la pérdida de cara a través de un dispositivo P, utilizando un manómetro diferencial cuyo fluido manométrico tiene una densidad relativa De .=* y el fluido que fluye a través de la tubería tiene una densidad relativa de .*. Se pide. a1 ;alcular la caída en alturas de presion entre los puntos A, 4 de la fiura b1 ;alcular la caída depresión entre los puntos A, 4 medida en 7'a. 7'a.
E>'r)")"o .1<.16 5n cubo de bronce con arista .* m y peso específico se sumere en aua a 3 :;. Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular fuerza de empu$e
8).( 7? ⋅ m−3 ,
c1 ;alcular peso peso aparente 0 peso neto1
E>'r)")"o .1<.17 5n hexaedro de acero pesa ) ? , γ = 68= lbf ⋅ ft −3 , se sumere en un recipiente abierto que contiene aua a ) :<. Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular la fuerza de empu$e empu$e c1 ;alcular peso aparente d1 ;alcular arista del hexaedro hexaedro E>'r)")"o .1<.1; 5n cuerpo sólido con peso específico * lb f ⋅ ft −3 y un volumen de / ft 3 se sumere en aua a = :<. Se pide. a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular fuerza de empu$e que recibe el sólido c1 ;alcular peso peso aparente del sólido d1 ;alcular volumen volumen de líquido desplazado. desplazado. aire y * ? en aua a 6 :;. Se pide pide E>'r)")"o .1<.1< 5na piedra pesa ( ? en aire a1 #laborar esquema del sistema b1 ;alcular el volumen de la piedra c1 ;alcular la densidad densidad relativa relativa de la piedra.
E>'r)")"o .1<.1= 5n lobo meteorolóico opera a una altitud donde la densidad del aire es .( % m 9 3 a ésta altitud el lobo tiene un volumen de / m 3 y está lleno de hidróeno con densidad absoluta de .( % m 9 3. !a bolsa del lobo pesa 8 ?. Se pide a1 #laborar esquema del sistema b1 ;alcular la fuerza de empu$e c1 ;alcular los ?s. De hidróeno contenidos en el lobo d1 ;alcular la cara que puede soportar el lobo a ésta altura. E>'r)")"o .1<.20 5na placa placa plana plana de 3 m x ) m se encuentra encuentra sumerid sumerida a en aua a / :; a 6 m de profundidad en forma vertical desde la superficie libre, sobre una de las paredes de un recipiente prismático cuadranular. Se pide a1 #laborar esquema del sistema b1 ;alcular la fuerza que actKa en cp de la placa c1 ;alcular la profundidad de la línea de acción de la fuerza que actKa en en centro de 'resion. E>'r)")"o .1<.21 5na placa placa trianular trianular plana plana de 6 m x ) m se encuentra encuentra sumerid sumerida a en aua a / :; y el vértice que intercepta con la altura se localiza a 3 m de profundidad vertical formando un ánulo de 6*: con respecto a la superficie libre del fluido. Se pide a1 #laborar esquema del sistema b1 ;alcular la fuerza e$ercida en el cp de la placa. c1 ;alcular profundidad de la línea línea de acción de la fuerza que actKa en cp . d1 calcular el par enerado por el fluido sobre la placa en c p . E>'r)")"o E>'r)")"o .1<. .1<.22 22 5n recipiente prismático con una superficie curva en parte inferior y abierto en parte superior tiene las medidas siuientes. y = 3 m y / = 6.* m s = .* m > = /.* m
= .* m r =
;ontiene aua en condiciones normales de presion presion y temperatura. Se Se pide a1 #laborar esquema del sistema b1 ;alcular, x $1 ;alcular, y cp c1 ;alcular, x / %1 ;alcular,
f1 ;alcular, x 1 ;alcular, yce h1 ;alcular, <2 i1 ;alcular,
E>'r)")"o .1<.2 5n recipie recipiente nte esféri esférico co con diámet diámetro ro de 3 ft almace almacena na un fluido fluido aseoso a una presion manométrica de 68 'si, el espesor de pared en tres octavos de pulada. Se pide. a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular la fuerza e$ercida en la pared debida a la presion interna interna c1 ;alcular el esfuerzo esfuerzo en la pared del recipiente E>'r)")"o .1<.25 Se desea fabricar un recipiente esférico de bronce con diámetro de ( m para que soporte una una presión manométrica de /6 7pa. ;on un esfuerzo admisible de 8/ pa. Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular espesor espesor de la placa en en mm. c1 ;alcular el factor de seuridad. d1 ;alcular la fuerza que e$erce el fluido. E>'r)")"o .1<.26 5n tubo de acero laminado en caliente y ba$o contenido de carbono con cuatro puladas de diámetro interior y un cuarto de espesor, traba$a con un factor de seuridad de 3.). Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular la presión presión máxima que puede soportar el el material medida en 'si. E>'r)")"o .1<.27 5n recipiente cilíndrico con diámetro interior 6 ft y espesor de pared de un medio de pulada. !os esfuerzos lonitudinal y circunferencial no deben exceder / 7si. Se pide. a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular la presión interna máxima que debe soportar la pared del recipiente medida en 'si. c1 ;alcular la fuerza actuante sobre las l as tapas del cilindro, medida en ?. E>'r)")"o .1<.2; Se desea construir un recipiente esférico de cobre extruido con un factor de seuridad de /.6 , espesor media pulada y diámetro interior 3 m. Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular la presión presión interna máxima que soportaría el recipiente. c1 ;alcular la fuerza máxima e$ercida sobre sobre la pared interna interna del recipiente.
UNIDAD
CUATRO
5.1 CINEMATICA DE LOS FLUIDOS C"'/( C"'/(#") #")*: *: #studia la cantidad de fluido que fluye a través de conductos abiertos ó cerrados sin tomar en cuenta las causas que oriinan el movimiento Vol$/' %' )o#rol: #spacio escoido de manera arbitraria ó convencional para un estudio en particular S$p'r+")"' %' )o#rol: !ímite que rodea ó envuelve totalmente al volumen de control M*!* %' )o#rol: ;antidad de sustancia contenida dentro del volumen de control
;ontorno , /, 3, 6, es la superficie de control ;ontorno , / es superficie de control de de entrada ;ontorno 3, 6 es superficie de control de salida Orea , /, 3, 6, es el volumen de controlQ controlQ #n sistemas hidrodinámicos las manitudes más importantes son.
5.2 DEFINICIONES DE FLUJO Fl$>o: sini sinific fica a *3$%*)"*, con base a ésta sinificación se suieren las siuientes ideas del concepto. Fl$>o @ C*$%*l @ G*!#o" ;on$unto ;on$unto de moléculas moléculas de fluido fluido que fluyen fluyen por un conducto conducto cerrado 0 tubería 1 ó a través de uno abierto 0 canal, canal, vertedero 1. Fl$>o: ;on$unto de líneas de corriente que atraviesan una superficie de control. Fl$>o: ;on$unto de líneas de fuerza que atraviesan una superficie de control. !os estudios estudios en sistemas sistemas abiertos abiertos ó volKmenes volKmenes de control control se hacen en condiciones condiciones de flu$o estacionario, éstas son .C #l asto másico de fluido que atraviesa una superficie de control permanece ;onstante, esto es •
•
m1
= m2 = D
/.C !a masa total de fluido adentro adentro del volumen de control permanece permanece constante con con Eespecto al tiempo. d mT d t
=D
3.C #l asto másico total que entra a un volumen de control %'3' !'r "$*l al asto ásico total que sale del volumen de control. •
m1
=
•
m2
!os flu$os pueden ser" .C Hdeales
(.C Eotacionales
/.C Eeales
.C Hrrotacionales
3.C Eeversibles
.C !aminares
6.C Hrreversibles
/.C &urbulentos
*.C ;onstantes ).C Hnconstantes =.C 5niformes 8.C ?o uniformes
Ol'o!"%*% %' $ +l$"%o" propiedad de un fluido que le permite adherirse a las superficies de otros cuerpos. '.e. aua en la piel, aua en vidrio, aua en plástico, aceite en metal, etc.
5. REPRESENTACION ES8UEMATICA DE LOS FLUJOS FLUJO LAMINAR @ FLUJO ORDENADO #n la fiura siuiente se observa el patrón de flu$o laminar que se esquematiza por un campo de flu$o mediante un con$unto de líneas de corriente que siuen las partículas de fluido a través de caminos bien definidos.
!a naturaleza de un flu$o de fluido incompresible se determina por el nKmero de Eeynolds de acuerdo al esquema siuiente, en la que se observan las distintas zonas ó reiones más sobresalientes.
2000 00 y 5000 se les conoce como nKmeros críticos de De la ráfica, los nKmeros 20 Eey Eeynold noldss los los cuale ualess perm permititen en iden identitififica carr flu$ flu$os os tran tranqu quililos os + lami lamina nare ress de flu$ flu$os os desordenados + turbulentos
5.5 OBTENCION DEL NMERO DE REYNOLDS #n movimiento movimiento de flu$os flu$os de fluidos, éste rupo rupo adimensiona adimensionall define la separación separación entre entre flu$os laminar y flu$o turbulento, se obtiene a partir de la relación de fuerzas de inercia con fuerzas viscosas.
e
=
?za. inercia ?za. viscosa
=
m⋅a 0⋅A
=
ρ
⋅ L3
L T
2
v L2 L
=
ρ
⋅ L2
L2
T2 ⋅v⋅L
2
L ρ ⋅ L 2 T ρ ⋅ L ⋅ v = = = ρ ⋅ v ⋅ L ⋅v ⋅v 6.
;onsiderando que la viscosidad cinemática se define por la relación de dos propiedades. J =
ρ
#ntonces
1 J
=
ρ
#l nKmero de Eeynolds se transforma a
e
= ρ
⋅V⋅L
=
V⋅L J
6./
'ara que ésta expresión sea Ktil se cambia la lonitud por el diámetro interior de tubería, resultando.
e
= ρ ⋅ V ⋅ φ = V ⋅ φ
J
6.3
VENA DE CORRIENTE Se expresa como el con$unto de filamentos de corriente con una sección transversal constante, %A que fluyen por una tubería, tal como se ilustra en la fiura siuiente.
FLUJO TURBULENTO #s un patrón de flu$o desordenado, se enera cuando se incrementa la velocidad del fluido en el interior de una tubería provocando que los caminos que siuen las partículas se vuel vuelva van n muy muy irre irreu ula lare ress cruz cruzán ándo dose se unos unos con con otro otross dand dando o ori orien en a vórt vórtic ices es ó remolinos randes y pequeGos, éstos eneran vibraciones en las tuberías que traerán como consecuencia desperfectos en las redes de sistemas hidráulicos. #l movimiento de una partícula de fluido está controlado por dos fuerzas, éstas son la 9"!)o!* y la de "'r)"* dadas por las expresiones. ?v
= 0⋅A
?<
= m⋅A
'ara el caso de +l$>o l*/"*r !a +$'r* 9"!)o!* domina a la +$'r* %' "'r)"*, esto es ?v > ?<
'ara el caso de +l$>o #$r3$l'#o !a +$'r* %' "'r)"* domina a la +$'r* 9"!)o!*, esto es > ?v
?<
5.6 VELOCIDAD CRTICA DE UN FLUIDO #sta manitud se obtiene por despe$e del del nKmero de Eeynolds. Eeynolds. e
=
ρ ⋅ V ⋅ φ
e
=
V ⋅ φ J
e ⋅ = ρ ⋅ V ⋅ φ V=
e ⋅ J = V ⋅ φ
e ⋅
V=
ρ ⋅ φ
e ⋅ J
6.6
φ
5.7 ECUACION DE CONTINUIDAD #sta iualdad es aplicable a sistemas abiertos denominados volKmenes de control tal como se muestra en la fiura siuiente aplicando las condiciones de flu$o estacionario.
'ara obtener la ecuación de continuidad se sustituyen las manitudes de desplazamiento volumen y densidad en asto másico. másico. m
s = v⋅t
V = A⋅s
ρ =
ds = v ⋅ dt
dV = A ⋅ ds
m = ρ ⋅ V
dV = A ⋅ v ⋅ dt
V
dm = ρ ⋅ dV dm = ρ ⋅ A ⋅ v ⋅ dt
•
m=
dm dt
= ρ
⋅ A ⋅ v ⋅ dt dt
= ρ ⋅ A ⋅ v
6.*
Aplicando la tercera condición condición para un volumen de control Masto másico que entra + Masto másico que sale •
=
m1
⋅
⋅
ρ 1 A1 v1
A1 ⋅ v1
ν 1
=
•
m2
⋅
⋅
ρ 2 A 2 v 2
=
A2 ⋅ v2
6.)
ν 2
. 'ara el caso de de flu$o volumétrico, se sustituye la diferencial de volumen, dV K=
dV d t
=
A ⋅ v ⋅ d t d t
= A⋅ v
6.=
5.; RESOLUCION DE EJERCICIOS E>'r)")"o 5.;.1 #xpresar #xpresar si el flu$o es laminar laminar ó turbulento turbulento cuando cuando por una tubería de / 'uladas de diámetro interior fluye aua a 6 :; con una rapidez de * m ⋅ se − E>'r)")"o 5.;.2 'or una tubería de /.* puladas de diámetro interior fluye aua a :;. ;uáles serían las velocidades velocidades críticas inferior, superior. superior. E>'r)")"o 5.;. 'or una tubería de diámetro constante se desea transportar aceite lubricante medio a 6 :; de tal manera que la velocidad del aceite se mantena entre .* y 3. m ⋅ se− . ;alcular el diámetro apropiado del ducto expresado en mm, in. E>'r)")"o 5.;.5 A través de una tubería horizontal de * cm de diámetro interior fluye aire aire a una presión presión manomét manométric rica a de /. %f ⋅ cm−/ a 38 :;. la presión barométrica es .3 %f ⋅ cm −/ y la la rapidez del aire es 3./ m ⋅ se− . Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema − b1 ;alcular % ⋅ se de aire que fluye c1 ;alcular la fuerza con la que el el aire se mueve. mueve. E>'r)")"o 5.;.6 'or una tubería horizontal de tres cuartos de pulada de diámetro interior fluyen lits ⋅ min− de aua a / :; . se pide a1 ;alcular la velocidad velocidad del fluido b1 ;alcular el flu$o flu$o másico másico c1 ;alcular la fuerza fuerza con la que fluye fluye el fluido.
E>'r)")"o 5.;.7 'or el interior de una tubería horizontal fluyen :< . Se pide. a1 ;alcular la velocidad del fluido b1 ;alcular el flu$o flu$o másico másico c1 ;alcular la fuerza fuerza con la fluye el el fluido
* al ⋅ min−
de aua a *
E>'r)")"o 5.;.; 'or una tubería horizontal con 3 cm de diámetro interior fluyen 8 lits ⋅ min − de aua a / :; reduciéndose radualmente el diámetro a * cm. Se pide. a1 #laborar esquema del sistema b1 ;alcular las velocidades velocidades del fluido fluido en ambas secciones c1 ;alcular la caída de presión de ambas secciones. secciones. E>'r)")"o E>'r)")"o 5.;.< 'or una tubería horizontal de .* puladas de diámetro interior fluyen * % ⋅min− de vapor de aua saturado a 6 :;. Se pide a1 ;alcular la presión del vapor b1 ;alcular la velocidad del vapor c1 ;alcular los ?e>tons ?e>tons con los que se desplaza desplaza el vapor vapor en la tubería. E>'r)")"o 5.;.= #l manómetro de una caldera reistra (.) bar y el diámetro interior de la tubería de descara es / puladas. Se pide a1 ;alcular la temperatura temperatura del vapor en en rados absolutos. absolutos. − b1 ;alcular los % ⋅min de vapor si la velocidad de descara es (* m ⋅ se− E>'r)")"o 5.;.10 'or una tubería horizontal horizontal de 3 cm cm de diámetro interior interior fluye aua con con − una rapidez de ,.* m ⋅ se y se descara en una boquilla de =.* cm de diámetro interior que está unida a la tubería. Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcula la velocidad velocidad del chorro chorro a través de la boquilla − c1 ;alcular los % ⋅ se de aua que fluyen por la tubería d1 ;alcular los ?e>tons de de descara. descara.
UNIDAD
CINCO
6.1 DINAMICA DE FLUIDOS causas que oriinan oriinan movimiento de fluidos fluidos a través través de D"(/")*: #studia y analiza las causas conductos conductos abiertos abiertos ó cerrados cerrados tomando tomando en cuenta sus propiedad propiedades es y comportam comportamiento iento durante su transportación de un punto a otro. !os fluidos pueden ser.
'ara que los +l$"%o! l?$"%o! tenan movimiento, se requiere el suministro suministro de una fuerza externa capaz de mover. .C #n fluido fluidoss de 3*>* 9"!)o!"%*% como el aua el movimiento se puede enerar por caída desde un tanque elevado, la fuerza actuante la ravedad ó utilizando una bomba en cara, tal como se muestra el siuiente fiura.
/.C #n fluidos de 3*>* 9"!)o!"%*% como el aua aua el movimient movimiento o se enera enera por succión succión y elevación elevación,, se requiere requiere bomba bomba con impulso impulsorr de álabes álabes que aplica aplica la fuerza fuerza al al fluido, fluido, tal como se muestra en la siuiente fiura.
3.C #n fluidos de alta viscosidad como los aceites el movimiento se enera por succión y elevación, se requiere bomba de enranes que aplica la fuerza al fluido, tal como se muestra en la siuiente fiura.
6.C #n fluidos aseosos como como el aire el el movimiento se enera por succión succión y compresión compresión se requiere requiere un compresor compresor con depósito depósito de almacenamien almacenamiento to y un sistema sistema de tubería de transportación ó de ventiladores ventiladores con canales canales de transportación transportación
V'#"l*%or: &urbo máquina que absorbe enería mecánica y la transforma a enería de flu$o a un fluido compresible creando una diferencia de presiones. 'ara producir la corriente de un as, un ventilador está constituido de una cubierta que envuelve a una rueda con aspas ó paletas montada sobre un e$e ó flecha.
6.2 ECUACIONES DE EULER #stas analizan analizan el comportamie comportamiento nto de una partícula partícula diferenci diferencial al de fluido. fluido. 'ara obtenerlas obtenerlas se hacen las siuientes consideraciones. consideraciones. .C
P ( 4, /, z ) en
el centro de ravedad de la
6.C ;onsiderar partícula de fluido diferencial de forma hexaédrica, tal como se muestra en !a fiura.
Diferenciando la seunda seunda ley de de ?e>ton y escoiendo escoiendo la dirección, de la partícula diferencial de fluido, se tiene.
d? = dm ⋅ da
a =
dv dt
ρ =
dm
*.
dV dm = ρ ⋅ dV
dV
= d4 ⋅ d/ ⋅ dz
dm = ρ ⋅ d4 ⋅ d/ ⋅ dz
d?4 = ρ ⋅ d4 ⋅ d/ ⋅ dz
dv 4 dt
*./
#fectuando suma de fuerzas en dirección, para la partícula de de fluido, ver fiura inmediata anterior.
∑?4 = ?4i − ?4d ρ ⋅ d4 ⋅ d/ ⋅ dz
dv 4
⋅ d4 ⋅ d/ ⋅ dz
dv 4
ρ ⋅ d4 ⋅ d/ ⋅ dz
dv 4
⋅ d4 ⋅ d/ ⋅ dz
dv 4
ρ
ρ
dt
dt dt
dt
→+ ←−
*.3
∂P d4 ∂P d4 d/ ⋅ dz = P − d/ ⋅ dz − P + ∂4 2 ∂4 2
= P ⋅ d/ ⋅ dz − ∂P d4 d/ ⋅ dz − P ⋅ d/ ⋅ dz − ∂P d4 d/ ⋅ dz ∂4 2 ∂4 2 ∂P d4 d/ ⋅ dz = −2 ∂4 2 =−
∂P d4 ⋅ d/ ⋅ dz ∂4
*.6 #sta expresión define la aceleración de la partícula diferencial de fluido en dirección, en función de diferencial parcial de presión con respecto al producto de la densidad con el desplazamiento de la partícula. #s ecuación de E$l'r en su forma simple en la dirección, . Si la partícula diferencial de fluido está en movimiento, ésta se va moviendo en por lo meno menoss tres tres dire direcc ccio ione ness en el inte interi rior or de un cond conduc ucto to,, ento entonc nces es la velo veloci cida dad d en la dirección, esta en en función función de tres variab variables les v 4 = v 4 ( 4, /, z ) y calculando la diferencial de velocidad total se tiene. dv 4
= ∂v 4 d4 + ∂v 4 d/ + ∂v 4 dz ∂4 ∂/ ∂z
ultiplicando toda la expresión por dv 4 dt dv4 dt
= ∂v 4 ∂4 =
d4 dt
+ ∂v 4 ∂/
d/ dt
+ ∂v 4 ∂z
1 dt
*.* la expresión anterior se transforma a.
dz dt
∂v 4 ∂v ∂v v4 + 4 v / + 4 vz ∂4 ∂/ ∂z
Brdenando é iualando términos de la ecuación de #uler en la forma simple v4
∂v 4 ∂v ∂v + v / 4 + v z 4 = − 1 ∂P ρ ∂4 ∂4 ∂/ ∂z
#sta expresión define la ecuación de E$l'r desarrollada en dirección, .
*.)
5tilizando la misma analoía de, para el análisis análisis en la dirección dirección,, se hace hace uso de la partícula diferencial de fluido
#fectuando suma de fuerzas en dirección, para la la partícula partícula de de fluido fluido diferenci diferencial, al, ver ver fiura inmediata anterior. ∑?/ = ?/i − ?/s − ?6 ↑+ ↓ *.= dv /
ρ ⋅ d4 ⋅ d/ ⋅ dz
dt dv /
ρ ⋅ d4 ⋅ d/ ⋅ dz
dt
ρ ⋅ d4 ⋅ d/ ⋅ dz
dv / dt
ρ
∂P d/ ∂P d/ P + d4 dz = P − ⋅ − d4 ⋅ dz − ρ ⋅ g ⋅ d4 ⋅ d/ ⋅ dz ∂/ 2 ∂/ 2 = P ⋅ d4 ⋅ dz −
∂P d/ ∂P d/ d4 ⋅ dz − P ⋅ d4 ⋅ dz − d4 ⋅ dz − ρ ⋅ g ⋅ d4 ⋅ d/ ⋅ dz ∂/ 2 ∂/ 2
∂P d/ = −2 d4 ⋅ dz − ρ ⋅ g ⋅ d4 ⋅ d/ ⋅ dz ∂ / 2
dv / dt
=−
∂P − ρ ⋅ g ∂/
*.8 #sta iualdad define la aceleración de la partícula de fluido diferencial en dirección, es ecuación de E$l'r en su forma simple en la dirección, . ;ons ;onsid ider eran ando do que que la velo veloci cida dad d en dire direcc cció ión, n, es una una funci función ón de de tres tres varia variabl bles es v / = v / ( 4, /, z ) y calculando la diferencial de velocidad total se tiene.
dv / dv / dt dv / dt
=
∂v / ∂v / ∂v / d4 + d/ + dz ∂4 ∂/ ∂z
=
∂v / ∂4
=
∂v / ∂v / ∂v / v4 + v/ + v ∂4 ∂/ ∂z z
d4 dt
+
∂v / ∂/
d/ dt
+
∂v / ∂z
ultiplicando toda la expresión por
1 dt
dz dt
Brdenando é iualando términos se tiene v4
∂v / ∂v ∂v + v / / + v z / = −g − 1 ∂P ∂4 ∂/ ∂z ρ ∂/
*.(
#sta expresión expresión define ecuación de E$l'r desarrollada desarrollada en dirección, .
Siuiendo el mismo procedimiento de, para la dirección,
#fectuando suma de fuerzas en la dirección, se tiene.
*.
ρ ⋅ d4 ⋅ d/ ⋅ dz
dvz
⋅ d4 ⋅ d/ ⋅ dz
dv z
ρ ⋅ d4 ⋅ d/ ⋅ dz
dv z
ρ
dt
dt
dt
∂P dz ∂P dz d4 ⋅ d/ = P − d4 ⋅ d/ − P + ∂z 2 ∂z 2
= P ⋅ d4 ⋅ d/ − ∂P dz d4 ⋅ d/ − P ⋅ d4 ⋅ d/ − ∂P dz d4 ⋅ d/ ∂z 2 ∂z 2 ∂P dz = −2 d4 ⋅ d/ ∂z 2
ρ
⋅ d4 ⋅ d/ ⋅ dz
dv z dt
=−
∂P d4 ⋅ d/ ⋅ dz ∂z
*. #sta expresión define la aceleración aceleración de la partícula diferencial de fluido. #s ecuación de E$l'r en su forma simple en la dirección, ;onsiderando nuevamente que la velocidad es una función de tres variables y calculando la diferencial total y ordenando términos se obtiene la ecuación de E$l'r desarrollada desarrollada en la dirección, . v4
∂v z ∂v ∂v 1 ∂P + v/ z + vz z = − ∂4 ∂/ ∂z E ∂z
*./
6. FUERA DINAMICA #sta manitud se obtiene por sustitución sustitución de manitudes equivalentes de masa, volumen de tube tuberí ría, a, desp despla laza zami mien ento to y acel aceler erac ació ión n que que llev lleva a el fluid fluido o en la ecua ecuaci ción ón de movimiento. v m = ρ ⋅ V a = s = v⋅t V = A⋅s V = A⋅ v⋅ t
t
?= m⋅a ? = ρ ⋅ A ⋅ v ⋅ t
v t
? = ρ ⋅ A ⋅ v ⋅ v = ρ ⋅ A ⋅ v 2
*.3
6.5 PRESION DE MOVIMIENTO #sta manitud depende de la densidad y de la velocidad del fluido se obtiene de la presión dinámica.
*.6
!a presión estática equivalente de un fluido en movimiento, se obtiene por iualación de de fuerzas, estática y de movimiento P =
? A
? = P⋅A ρ ⋅ A ⋅ v 2
=P⋅A P=
⋅ ⋅
ρ A v
2
A
*.*
*.)
!a presión total es la suma de presión estática con presión dinámica PT PT
=
Ps
+
= v2 + g
Pd 2g
v2
1 3 3 v 2 = v 2 1 + = v 2 = g 2 g 2 2 g
6.6 POTENCIA DE FLUJO #sta manitud se obtiene por sustitución de la presión que lleva el fluido atravesando una sección determinada en la potencia definida como el producto de la fuerza con la velocidad, esto es. = ?⋅ v
? = p ⋅ A
p = ⋅ B
? = ⋅B ⋅A = ⋅B⋅A⋅v
K=A⋅v
*.=
p v2 + +z B= 2g
B
B
=
ρ ⋅ v 2
=
+
ρ ⋅ g v
2
g
v
+
v
2
2g
2
2g
+z
+z
1 v 2 B = 1 + + z 2 g
*.8
6.7 OBTENC OBTENCIO ION N DE LA ECUACI ECUACION ON DE BERNOU BERNOULL LLII A PARTIR DE LAS ECUACIONES DE EULER !a ecuación ecuación de 4ernoulli 4ernoulli se obtiene obtiene por suma y sustitució sustitución n de términos utilizan utilizando do las ecuaciones de #uler en su forma simple en donde la ecuación se multiplica con %, la / con %, la 3 con % tal como se muestra en las ecuaciones 6, *, ).
.C /.C 3.C
∂P ρ ∂4
dv 4
=−
dt dv / dt
dv z dt
1
= −g −
∂P ρ ∂/ 1
∂P ρ ∂/
=−
1
∂P d4 ρ ∂4
6.C
dv 4
d4 dt
=−
1
*.C
dv /
d/ dt
= −g ⋅ d/ −
).C
dv z
dz dt
=−
∂P d/ ρ ∂/ 1
∂P dz ρ ∂z 1
Sumando miembro a miembro las ecuaciones 6, *, ), arupando términos y sacando factor comKn, se tiene.
dv 4
d4 dt
v 4 ⋅ dv 4
+ dv /
d/ dt
+ dv z
dz dt
∂P ∂P 1 ∂P = − d4 + d/ + dz − g ⋅ d/ ρ ∂4 ∂/ ∂z
1 ∂P ∂P ∂P + v / ⋅ dv / + v z dv z = − d4 + d/ + dz − g ⋅ d/ ∂/ ∂z ρ ∂4
∫
Aplicando la interal
vdv =
∫ v 4 ⋅ dv 4 + ∫ v / ⋅ d/ + ∫ v z ⋅ dz = 1 2
2
v4 2
v2 2
2
+
v/ 2
+
2
vz 2
=
1 2
(v
2 4
+ v 2/ + v 2z )
( v + v + v ) = − 1 ∂P d4 + ∂P d/ + ∂P dz − g ⋅ d/ 2 4
2 /
2 z
ρ ∂4
∂/
∂z
!os términos que están dentro del paréntesis corresponden a las componentes de la velocidad y de la presión respectivamente. Eeescribiendo la iualdad en forma diferencial 1 2
1 2
= − 1 dP − g ⋅ d/
dv 2
ρ
dv 2
1
+ 1 dP + g ⋅ d/ = " ρ
v2 2 dv v2 1
∫ 2
1 2
+
1
p 2
dP + g
∫ ρ
p1
/2
∫
d/
/1
="
(v − v ) + 1 ( P − P ) + g ( / − / ) = " 2 2
2 1
ρ
2
1
2
1
#liminando los paréntesis y arupando términos, se tiene
*.(
#sta expresión define la ecuación de B'ro$ll" para un hilo y tubo de corriente Ahora si toda la iualdad se multiplica con
1 g
se obtiene la ecuación de B'ro$ll" con
alturas equivalentes para un fluido incompresible que se mueve en réimen permanente. P1 ρ
⋅g
+
v12 2g
Arupando términos
+ /1 =
P2 ρ
⋅g
+
v 22 2g
+ /2
*./
#l primer paréntesis define la cara ó altura de presión, el seundo la cara ó altura dinámica, el tercero la cara cara ó altura eodésica. 'ara una tubería horizontal de diámetro interior constante" /1 = / 2 , la ecuación se reduce
*./
6.; INTERPRETACION INTERPRETACION ENERGETICA DE LA ECUACION DE BERNOULLI !a mecánica mecánica de fluido incompresible incompresible se ocupa del del estudio del intercambio de de tres formas de enería relacionadas entre sí y con el traba$o mecánico, éstas son" .C #nería de presión /.C #nería cinética ó de movimiento 3.C #nería potencial Eetomando la ecuación de 4ernoulli en su forma simple y multiplicándola con la masa, / !a iualdad se transforma a. m
P2 E
2
+m
v2 2
> P2
+ m ⋅ g ⋅ /2 = m
P1 E
2
+m
v1 2
+ m ⋅ g ⋅ /1
+ > D2 + > /2 = > P1 + > D2 + > /1
*.// Aplicando el concepto de enería específica, e .como el cociente de la enería total por unidad de masa, se tiene.
e =
>
>P
'ara las tres enerías
m
m
=
P E
e p =
>D m
P
=
ec
E
=
2
>/
2
m
v
v2 2
e/
=g⋅/ =g ⋅/
Eeescribiendo la ecuación de 4ernoulli 4ernoulli en función de enería específica, específica, se tiene e p2
+ ec2 + e /2 = e p1 + ec1 + e /1
'ara un fluido ideal en réimen permanente no hay viscosidad ni fricción, entonces + ec + e / = c
e p P
v
+
ρ
2
2
+g ⋅ / =c
Dividiendo la iualdad de enería especifica por, , ésta se transforma a. e g
=
> m ⋅g
B
= =
e
>
g
m ⋅g
, representa la altura equivalente
Aplicando ésta idea a las tres tres enerías, éstas se transforman transforman a. B p
=
e p g
=
P E ⋅g
Bc
=
ec g
=
v
2
2g
B/
=
e/ g
=/
'ara la cara ó altura total, es la suma de las tres alturas BT
= B p + B c + B /
BT
= +
2
P
v
2g
+/
'ara el caso de un fluido en reposo el término, BT
v2 2g
= " , entonces
P
= +/
6.< ECUACION DE BERNOULLI CON P4RDIDAS
*./3
B $1−2 = $
Lv
*./6
2
Define pérdidas primarias en tramos rectos de tuberías. #s la
M 2g
#cuación de D*r) '"!3*),. 'ara +l$>o! l*/"*r'! con frecuencia se utiliza la ecuación de H*' Po"!'$"ll' B $
= 32
⋅L⋅v ⋅ φ 2
'ara pérdidas secundarias en codos, tés, válvulas, reducciones ó cualquier otro accesorio se utiliza la expresión.
B $s
= $ s
v2 2g
$ s + factor de fricción del accesorio
FACTORES DE FRICCION P*r* +l$>o l*/"*r $ =
P*r* +l$>o #$r3$l'#o
!* e
6.= ECUA 6.= ECUACI CION ON COMPRESIBLE
$ =
DE
".31!* ".2' e
* """ ≤ e
BERN BERNOU OULL LLII
≤ 1"" """
PARA PARA
FLUI FLUIDO DO ID IDEA EAL L
*./*
6.10 ECUACI 6.10 ECUACION ON DE BERNOU BERNOULL LLII PARA PARA FLUID FLUIDO O RAEAL RAEAL COMPRESIBLE
*./)
6.11 USO Y MANEJO DEL NOMOGRAMA DE CAUDALES #l nomo nomoram rama a de caudal caudales es es una una rafic rafica a que que relaci relaciona ona tres tres manit manitud udes, es, cauda caudal,l, 8. Diámet Diámetro ro interi interior or de la tuberí tubería, a, . @ pendie pendiente nte,, S por cada cada m ó ft de lonitud.
;on líneas rectas se unen el caudal, R, el diámetro interior de la tubería, S, de éstos siempre se conocerán / de ellos para calcular un tercero.
, la pendiente,
6.12 ESTUDIO COMPARA COMPARATIVO TIVO DE PROTOTIPO Y MODELO ;onceptos que permiten comparar un prototipo con un modelo con la finalidad de que exista seme$anza entre ambos en la construcción de series nuevas, modificaciones en las dimens dimension iones es lineal lineales, es, superfic superficial iales, es, volumétr volumétrica icass de mecani mecanismo smos, s, implem implement entos, os, estructuras, equipo auxiliar auxiliar de máquinas, etc. Rue son propuestos propuestos para su aceptación. aceptación.
Pro#o#"po: primer molde de un ob$eto hecho a escala " Mo%'lo: Eepresentación en pequeGo de un primer molde hecha a escala" ", "/*, "*. ", "*, ", etc. #l cual debe tener todas las características del pro#o#"po. !os modelos pueden ser.
S'/'>** G'o/#r")*: Eeproducción de un modelo a escala que satisface todas las características y restricciones de diseGo del prototipo. S'/'>** )"'/(#")* %"(/")*: reproducción de modelos verdaderos cuyos efectos producidos deben ser iuales a los efectos enerados por el prototipo. 'ara identifica identificarr y analizar analizar el estudio estudio comparativo comparativo de prototipo prototipo y modelo se hará uso del análisis dimensional para calcular las relaciones relativas de las manitudes tanto básicas como derivadas.
PARA SEMEJANA GOMETRICA .C
lonitud relativa
/.C area relativa =
lonitud modelo
area prototipo area modelo
A r =
3.C
= lonitud prototipo
A p Am
volumen relativo =
=
L p ⋅ L p Lm ⋅ Lm
2
=
L p L2m
2
L 2 = p = L r L m
volumen prototipo volumen modelo
Vr =
V p Vm
=
L p ⋅ L p ⋅ L p Lm ⋅ Lm ⋅ Lm
3
=
L p 3
Lm
3
L 3 = p = L r L m
PARA SEMEJANA CINEMATICA 6.C
velocidad relativa =
velocidad prototipo velocidad modelo
L p v r =
v p vm
=
T p Lm
L p L p Tm
=
T p L m
L p Tm
=
L m T p
=
Tm
*.C
aceleracio n relativa =
Tm
aceleracion modelo
a p am
=
T p2 Lm
L p
=
2
caudal relativo =
Lm T p
aceleracion prototipo
L p Tm2 L m T p2
Tm
).C
=
Tm
L p a r =
L p 1 L m T p
caudal prototipo caudal modelo
=
L p 1 L m T p2 Tm2
=
Lm 2
T p Tm
=
L r Tr 2
=
L r Tr
K r =
K p Km
=
A p v p
= A r v r =
Am vm
L L2r r Tr
=
L3r Tr
PARA SEMEJANA DINAMICA =.C
fuerza prototipo fuerza modelo
!p
=
mp ap mm am
mp &p/ = mm !m &m/
mp !p &m/ = mm !m &p/
=
mp mm
.
!r
&p/ &m/
;omo la masa de un fluido se expresa como"
?r =
m p L r m m Tr 2
=
ρ p V p L r 2
ρ m Vm Tr
= ρ r ⋅ Vr
L r 2
Tr
=
⋅
3 ρ r L r
L r 2
Tr
=
mp
!r
m
p !r = mm &p / mm &r / &m
m = ρ ⋅ V ,
entonces
2
=
L ⋅ r Tr
2 ρ r L r
#sta iualdad define define la seme$anza seme$anza dinámica entre prototipo prototipo y modelo.
6.1 GRUPOS ADIMENSIONALES ADIMENSIONALES @ PARAMETROS ADIMENSIONALES ADIMENSIONALES @ NUMEROS ADIMENSIONALES ADIMENSIONALES #stos se obtienen al dividir un par de fuerzas que actKan en un fluido que fluye. !as fuerzas de mayor interés para un fluido en movimiento son" .C
/.C ⋅ A !os rupos a dimensionales de mayor importancia se observan en el siuiente mapa conceptual.
NUMERO DE EULER #ste rupo adimensional establece la relación de fuerzas de inercia con fuerzas de presión. >u =
$uerza de inercia $uerza de presion
L >u =
m⋅a P⋅A
=
ρ
⋅L
3
P
T2 L2
=
ρ
L2
P T2
2
L ρ = = v 2 P T P ρ
*./=
Btra manera de obtener el nKmero de #uler es utilizando la ecuación de 4ernoulli para un fluido ideal. P2
− P1
&iene.
+
v 22
− v12 ( + z 2 − z1 ) = "
2g
ultiplicando termino a termino por la ravedad, se
− P1
P2
ρ
+
v 22
− v12 2
+ g( z 2 − z1 ) = "
'ara corrientes en planos horizontales, sinifica que z / = z , la ecuación ecuación se transforma.
− v12
v 22
2
P1
=
− P2 ρ
#scoiendo un estado de referencia, sinifica que v 2 = v v1
P2
=P
= v" P1
− P"
!a iualdad anterior se transforma v2
− v "2 2
v2
v v
P"
=
−P
ρ 2
− v "2 = ( P" − P )
2
ρ
− 2
2
v" v
2
2
=
ρ ⋅ v 2
ultiplicando la iualdad por
1 v2
, se tiene.
( P" − P)
2 v " 2 ⋅ =P 1− = v ρ ⋅ v 2
2
v 'ara prototipo y modelo la expresión 1 − es el mismo lo lo cual " v
Se convierte en una constante, C. resultando así. D=
1 D
1
2 ⋅ =P
Eeescribiendo
ρ ⋅ v 2
=
v
D
=
ρ ⋅ v 2 2 ⋅ =P
=
v2 2 ⋅ =P ρ
2
2 ⋅ =P
ρ
NUMERO DE FROUDE
*./8
#ste rupo a dimensional relaciona fuerzas de inercia con fuerzas ravitatorias L m⋅a
ρ ⋅ L3 T 2 = = ?uerza gravitator ia m ⋅ g ρ ⋅ L3 g ?uerza de inercia
2
L L v2 T = 3 = L⋅g L ⋅g 2
ó su equivalente
*./(
NUMERO DE CAUCHY #ste rupo a dimensional relaciona fuerzas de inercia con fuerzas elásticas. L Da
=
$uerza de inercia $uerza elstica
=
m⋅a >⋅A
=
ρ
⋅ L3 >
T2 L2
2
L ρ ⋅ v 2 2 ρ ⋅ L T = = 2 >
>
L
*.3
NUMERO DE MACH #ste #ste rupo rupo a dimens dimension ional al se obtien obtiene e a partir partir del nKmero nKmero de C*$), multiplicando la iualdad por
1 ρ
ρ ⋅ v 2 Da
ρ
=
Da
ρ
=
E >
v2 = >
ρ
ρ
v
2
>
ρ
=
#xtrayendo raíz cuadrada a ambos miembros se tiene
v >
ρ
;omo
Da ρ
= 5a
y
> ρ
=c
*.3
c + velocidad del sonido
#sta expresión define cuatro corrientes de flu$o de fluidos. a <
Define una corriente subsónica
a =
Define una corriente transónica
a >
8efine una corriente supersónica
a >>>
Define una corriente hipersónica
NUMERO DE EBER #ste rupo a dimensional relaciona fuerzas de inercia con fuerzas de tensión superficial. $uerza de inercia $uerza de tension super$icial
=
m⋅a @⋅L
2
=
ρ ⋅ L
⋅ v2
@⋅L
=
ρ ⋅ L ⋅ v
2
@
&raba$ando solo el seundo miembro y dividiendo por ρ ⋅ L ⋅ v m⋅a ρ ⋅ L
=
ρ ⋅ L @
2
=
ρ ⋅ L
e =
m ⋅a ρ ⋅ L
=
2
v @
ρ ⋅ L
v2 @ ρ ⋅ L
ρ ⋅ L
6.15 6.15 TEO TEOREMA REMA MOVIMIENTO
*.3/
DEL
IMPUL MPULS SO
Y
DE
LA
CANT CANTID IDA AD
DE
'ara deducir éste teorema se aplican los conceptos de. .C -elocidad de una partícula de fluido. fl uido. /.C Aceleración de una partícula de fluido 3.C Aplicación de la seunda ley de ?e>ton 6.C Densidad del fluido *.C -olumen que ocupa la unidad de masa ).C
#n la entrada del volumen de control existe una cantidad de movimiento dada por dPsist.t
= dPvc,t + dPA
#n la salida salida del volumen volumen de control control ha transcu transcurrid rrido o un tiempo tiempo pequeG pequeGo, o, dt. #xist #xiste e entonces una cantidad de movimiento expresada por. dPsist, t +dt
= dPvc,t +dt + dP9
Analizando el camino que recorre la partícula de fluido que lleva una cantidad de movimiento, d' conforme ésta atraviesa el volumen de control durante un intervalo diferencial de tiempo, dt. Eestando entrada de la salida y arupando términos, se tiene. dPsist,t +dt
dPsist
dPsist. dt
dPsist. dt
− dPsist,t = dPvc,t +dt − dPvc,t + dP9 − dPA
= dPvc + dP9 − dPA
=
dPvc
=
dPvc
dt
dt
+
dP9 dt
−
dPA dt
+ P9 − PA
ultiplicando la iualdad por
1 dt
De la seunda ley de ?e>ton ? = m ⋅a
?sist. =
=m
dv dt
=
m ⋅ dv dt
=
dP dt
dPsist. dt
Hualando expresiones para ?sist.
=
dPsist. dt
dPsist. dt
+ P9 − PA
'ara condiciones de flu$o estacionario, el término ?sist.
dPsist. dt
= " , la ecuación se reduce a
= P9 − PA
Meneralizando la expresión
∑ ?sist. = dP9 − dPA
*.33
#sto se expresa diciendo que la cantidad de movimiento inicial más menos el impulso es iual a la cantidad de movimiento final. #s el teorema del impulso y de la cantidad de movimiento.
6.16 FORMULA DE HAEN ILLIAMS 'ermite calcular la velocidad de un fluido a partir del radio hidráulico, R. !a pendiente, S. @ el coeficiente de 2azen Nilliams, N illiams, C1. 5tilizando la expresión. v = ".+' D1 ".!3 7".'*
'ara el sistema internacional de unidades.
v = 1.32 D1 ".!3 7".'*
'ara el sistema inles D1 7e obtiene de la tabla ) , se llama ruosidad relativa del
Del material.
Pendiente =
P:rdida de carga longitud de la tu#eria
7=
B $ L
=
adio BidaOlico =
B L
Area PerFmetro moNado
H
=
A Pm
'ara tuberías circulares completamente llenas, el radio hidráulico se expresa. H
= φ *
6.17 RESOLUCION DE EJERCICIOS E>'r)")"o 6.17.1 'r)")"o 6.17.2 'or una tubería − aua a razón de lts ⋅ se a ) :< con una presión promedio promedio de / 'si. 'si. Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular altura dinámica c1 ;alcular altura de presión presión d1 ;alcular la altura altura total total − e1 ;alcular lb ⋅ se de aua que fluyen por la tubería. f1 ;alcular la enería ⋅ se− requerida para mantener el movimiento. 1 ;alcular la fuerza de escurrimiento.
E>'r)")"o 6.17. Se tienen horizontalmente ft de tubería de .* in que conduce aua a ) :< con una rapidez de ,.* ft ⋅ se− . Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular las perdidas de de cara c1 ;alcular la caída de presión presión E>'r)")"o 6.17.5 'or una tubería horizontal de .=* in de diámetro interior y /* ft de lonitud conduce aua a razón de / ft ⋅ se− a 8 :<. Se pide a1 ;alcular las pérdidas de de cara b1 ;alcular la caída de de presión E>'r)")"o 6.17.6 5n aceite de / :A'H con tiempo de escurrimiento e 8 se. 'r)")"o 6.17.7 'or una tubería horizontal nueva de fundición con diámetro interior de 6 in tiene una lonitud de /==/ /==/ ft y una pérdida de cara cara de ) ft por el cual fluye aua a ( :<. Se pide a1 ;alcula pendiente pendiente de la línea de altura piezométrica. piezométrica. b1 ;alcular radio hidráulico c1 ;alcular velocidad velocidad del fluido. fluido. − d1 ;alcular lts ⋅ se de aua que fluyen por la tubería e1 ;alcular lb ⋅ se− de fluido que pasan por la tubería. f1 ;alcular la fuerza fuerza que lleva el fluido. fluido. E>'r)")"o 6.17.; 'or una tubería horizontal horizontal de acero con diámetro diámetro interior de ) in tiene una lonitud de de 86* m y una pérdida pérdida de cara de / m por el cual fluye aua a ) :<. Se pide a1 ;alcula pendiente pendiente de la línea de altura piezométrica. piezométrica. b1 ;alcular radio hidráulico c1 ;alcular velocidad velocidad del fluido. fluido. − d1 ;alcular lts ⋅ se de aua que fluyen por la tubería e1 ;alcular lb ⋅ se− de fluido que pasa e1 ;alcular lb ⋅ se− de fluido que pasan por la tubería. f1 ;alcular la fuerza fuerza que lleva el fluido. fluido. E>'r)")"o 6.17.< 5tilizando el nomorama de caudales determine el caudal que fluye por una tubería nueva con diámetro interior de 3 cm y lonitud de * m con una pérdida de altura piezométrica 6.3 m E>'r)")"o 6.17.= 5tilizando el nomorama de caudales calcule la altura piezométrica para una tubería tubería de fundición fundición vie$a vie$a con diámetro diámetro interior interior de ) cm y lonitud lonitud de 8 m si el − caudal es /* lts ⋅ se . E>'r)")"o 6.17.10 'or una tubería de / cm de diámetro interior fluye aua a * :; con una rapidez de 6 m ⋅ se− . A qué velocid velocidad ad debe debe fluir el fuel oil oil medio a 3/ :; por el interior de una tubería de cm de diámetro para que los dos fluidos sean dinámicamente seme$antes.
E>'r)")"o 6.17.11 5n modelo de submarino con escala "* será ensayado en un canal hidrodinámico de aua salada. Si el prototipo se mueve a una velocidad de / mph 0m illas por hora1. ;on qué velocidad será arrastrado el modelo para que exista seme$anza dinámica entre ambos. E>'r)")"o 6.17.12 #l casco de un barco tiene una lonitud de 6 m y a de moverse con una rapidez de =.) m ⋅ se −. ;alcular a1 ?umero de 'r)")"o 6.17.1 5n modelo de avión hecho a escala "8 es probado en una corriente de aire a / :; y a una velocidad de 6* m ⋅ se− . A que velocidad habrá de arrastrarse el modelo si está totalmente sumerido en aua a /* :;. E>'r)")"o 6.17.15 5n chorro de aua a * :; con =) mm de diámetro se se mueve con con una − rapidez de /6 m ⋅ se de izquierda a derecha chocando sobre una placa plana situada normal al e$e del chorro. Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular la fuerza requerida para mantener la placa en equilibrio equilibrio con el chorro E>'r)")"o 6.17.16 5n chorro de aua aua con =) mm de diámetro a / :; es desviado sobre una placa curvada con ánulo de 6*: . #l chorro es diriido de izquierda a derecha con una velocidad de 6, m ⋅ se− . Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular componentes componentes de la fuerza eneradas eneradas sobre la placa desviadora. desviadora. c1 ;alcular la fuerza resultante que la placa e$erce sobre sobre el fluido. E>'r)")"o 6.17.17 5n chorro de aua con / in de diámetro a 6 :< es desviado desviado por una superficie deflectora vertical vertical a 8 : . #l chorro chorro es diriido de izquierda izquierda a derecha con una − velocidad de * ft ⋅ se . Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular la fuerza requerida para mantener el equilibrio de la placa placa con el chorro. E>'r)")"o 6.17.1; 'or una tubería horizontal con diámetro interior 6 in y factor de fricción ./ transporta aua caliente a ( :; con una rapidez de + m ⋅seg −1 . Sobre la tubería está están n ins instala talad dos dos man manóme ómetro tros a una una separ epara ació ción, !. #l prim prime ero reis eistr tra a −2 −2 1" %g $ ⋅ cm a#s. y el seundo reistra * %g $ ⋅ cm a#s. . Se pide a1.C #laborar esquema de la tubería b1.C ;alcular caudal másico c1.C ;alcular caudal volumétrico d1.C ;alcular pérdidas primarias e1.C ;alcular fuerza de escurrimiento f1.C ;alcular la potencia de flu$o 1.C ;alcular separación entre manómetros E>'r)")"o 6.17.1< 'or una tubería horizontal con diámetro interior / in transporta aua a −1 seg . #l diám 8 :< con una rapidez de ' $t ⋅seg diámet etro ro inte interi rior or de la tube tuberí ría a camb cambia ia bruscamente a ) in. Se pide a1.C #laborar esquema de la tubería b1.C ;alcular velocidad del aua en la sección menor c1.C ;alcular las l# ⋅sg −1 de aua que pasan por la tubería
d1.C ;alcular gal ⋅sg −1 de aua que pasan por la tubería e1.C ;uales serán los ?s. Eequeridos para mantener el movimiento f1.C ;ual será la potencia de flu$o.
UNIDAD SEIS 7.1 FLUJO DE FLUIDOS A TRAVES DE ORIFICIOS Y VERTEDEROS Fl$>o @ C*$%*l @ D'!)*r* @ E!)$rr"/"'#o. C ;antidad de fluido que pasa por un conducto conducto cerrad cerrado o 0tubería1 0tubería1 ó abierto abierto 0 canal canal 1 expresa expresado do como como masa masa ó volumen volumen en en la unidad de tiempo. •
m=
dm dt
= ρ ⋅ A ⋅ v
K=
dV dt
= A⋅v
).
Or"+")"o.& #s sinónimo de *$>'ro- ,oo- 3*rr'o- *3'r#$r* hecha sobre la superficie de una pared de un depósito con perímetro cerrado a través del del cual se descara descara un flu$o de fluido. !os orificios se clasifican clasifican seKn el siuiente mapa conceptual. conceptual.
!os orificios se utilizan para. .C edir caudales /.C DiseGar estructuras hidráulicas
#n la siuiente fiura se e$emplifica una ráfica comparativa de un orificio circular con uno rectanular con la misma capacidad de descara así como de las partes mas importantes.
A = Orea del orificio Ac
= Orea contraída del chorro
h = Altura de cara hidráulica al centro del orificio
#n esta fiura se ilustran las distintas distintas eometrías de los orificios y ráficamente se se observa cual de los cuatro resulta ser mas eficiente aplicado a la descara de flu$os. !os orificios también se pueden pueden clasificar de acuerdo al espesor espesor de pared, tal como se se muestra en el siuiente mapa conceptual.
7.2 ORIFICIOS CON DESCARGA LIBRE #n el siuiente sistema hidrostático se observa el suministro de fluido al depósito para mantener constante la cara hidráulica y como consecuencia la descara a través del orificio así como de las manitudes mas mas importantes que se consideran en la resolución de problemas con fluidos que se descaran a través de orificios.
7. CALCULO DE LA VELOCIDAD TERICA DE DESCARGA A TRAVES DE UN ORIFICIO ;onsiderando que el diámetro del recipiente es tan rande comparado con el diámetro de orificio de descara, entonces las partículas que estan muy ale$adas del orificio de descara descara tendrán tendrán una velocidad velocidad muy pequeGa pequeGa que se considera consideraran ran desprecia despreciables, bles, si además la fricción de las partículas se desprecia , entonces la velocidad teórica de descara de un fluido se calcula aplicando la ecuación de 4ernoulli entre la superficie libre del fluido y el centro del orificio. #scoiendo 1 como la entrada ó suministro, 2 como la salida ó descara P1 ρ
⋅g
+
v12 2g
+ z1 =
P2 ρ
⋅g
+
v 22 2g
+ z2
&omando como referencia la superficie libre del fluido, esto sinifica que v1 = "
P1
= P2 = Patm.
!a ecuación de 4ernoulli se reduce a. " + " + z1 = " +
z1 − z 2
v2
=
= vt =
Si z + h
v 22 2g
+ z2
v 22
2g( z1
2g
2g( z1 − z 2 )
entonces
− z 2 ) = v 22
)./
VELOCIDAD VELOCIDAD REAL DE DESCARGA #sta #sta manit manitud ud se calcu calcula la a partir partir del coeficie coeficiente nte de veloci velocidad dad,, relación de la velocidad velocidad real con la velocidad teórica, esto es. cv
=
v vt
cv expresado
como la
de dónde
).3
COEFICIENTE DE CONTRACCION #sta manitud se obtiene dividiendo área contraída del chorro con área del orificio. cc
=
A
c
A
o
'or lo tanto
Ac
= cc ⋅ A o
COEFICIENTE DE CAUDAL #ste coeficiente se define como el producto de dos coeficientes, de contracción y de velocidad, esto es. c G = cc ⋅ c v =
K Kt
Aplicando el concepto concepto eneral de caudal a la descara, descara, se tiene Kd
= A c ⋅ v = A c ⋅ c v
2g( z1 − z 2 )
).6
7.5 PERDIDAS DE CARGA EN ORIFICIOS Y TOBERAS Se obtienen por sustitución al combinar las expresiones que definen velocidades teórica y real. #levando al cuadrado las velocidades v = c v 2
2
(
2g ⋅ =B
)
2
2
vt
v = c v ( 2g ⋅ =B) 2
=(
2g ⋅ =B
2
2
vt
)
2
= 2g ⋅ =B
Areando las pérdidas 2 v
2g
=
c 2v =B
;omo
B $
+ B $
2 v
2g
= (1 − c 2v
v 2t
= =B
=B
2g
entonces
B $
= =B
= =B − c 2v ⋅ =B
).*
v 2 = c 2v ⋅ 2g ⋅ =B
De la ecuación 2
=B =
B $
v
Sustituyendo éste valor en pérdidas, se tiene
2g ⋅ v 2
= =B − c 2v ⋅ =B 2
B $ =
2
v 2 2g ⋅ c v
−
2 cv
⋅
v 2g ⋅ c v 2
).)
7.6 ORIFICIOS CON DESCARGA AHOGADA
B2
= /2 +
P2 E⋅g
= /2 +
P2
B1
= B 2 + =B = / 2 +
P2 E⋅g
+ =B
ESCURRIMIENTO A LA PRESION ATMOSFERICA
B1
= B 2 + =B = B 2 +
B1 − B 2
=
v 22 2g
v 22 2g
2g( B1 − B 2 )
= v 22
v2
= vt =
2g( B1 − B 2 )
).=
De ecuación que define caudal de descara cG
=
K Kt
#ntonces
).8
ESCURRIMIENTO BAJO PRESION
#n el centro centro del del orific orificio io existe existe una una presio presion n menor menor que la atmosf atmosféri érica. ca. Aplicand Aplicando o la ecuación de 4ernoulli entre los puntos , /.
P1
+
v12 2g
+ z1 = −
P2
+
v 22 2g
+ z2
;on las condiciones de la fiura en la superficie libre z2 P1
v 22 2g
= /2 = " + " + z1 = − =
P1
+ P2
P2
+
v 22 2g
v1 = " ,
en el el centro centro del orificio orificio
+"
+ z1
).(
7.7 VERTEDEROS @ VERTEDORES V'r#'%'ro.& Abertura hecha en la orilla superior de una pared vertical construido en el interior de un canal la cual por encima de ella se de$a fluir aua con propósitos de medir el nivel ó el caudal del fluido.
+ 'ared vertical de concreto / + 'laca de bronce ó acero inoxidable atornillable sobre la pared 3 + 'ernos ó tornillos de fi$ación 6 + ;resta viva del vertedero
CLASIFICACION DE LOS VERTEDEROS
!os vertederos de p*r'% %'l*%* sirven para medir caudales con ran precisión. !os vertede vertederos ros de p*r'% r$'!* sirven para medir el control de nivel en presas ó en estructuras hidráulicas.
-ertedero de pared delada
-ertedero de pared ruesa
7.; RE8UISITOS PARA CONSTRUIR UN VERTEDOR .C 'ared porta placa del vertedor debe ser vertical y perpendicular 0 normal 1 a la Dirección del flu$o. /.C 'laca de bronce ó acero inoxidable de * mm de espesor , recta horizontal a lo ancho Del canal y perpendicular perpendicular a la dirección del flu$o con con arista arista viva. viva. 3.C Debe tener ventilación por deba$o de la lámina de flu$o con la finalidad de evitar una Depresión 0 vacío vacío 1 el cual cual puede puede provocar un aumento aumento en el el flu$o de descara. 6.C 'or encima del vertedor el canal debe ser recto y laro para aseurar una distribución 5niforme del fluido lorando con ello una velocidad y un escurrimiento tranquilo y Suave. *.C Si el aua que entra al canal canal provoca turbulencia entonces entonces deben colocarse colocarse pantallas Amortiuadoras en el interior del canal con la finalidad de tranquilizar el flu$o auas Arriba del vertedor.
;ondiciones en
'or tratarse de un escurrimiento tranquilo y suave P1 = "
v1 = "
z1
= /1 = B
;ondiciones en / 'or tener las líneas de corriente una ran curvatura
="
P2
z2
= /2 = B − /
v 2 =
Aplicando la ecuación ecuación de bernoulli entre los puntos puntos , /. P1
+
v12 2g
+ z1 =
" + " + z1 = " + z1
=
B=
"=
v 22 2g
v 22 2g
v 22 2g
P2
+
v 22
v 22 2g
+ z2
+ z2
2g
+ z2
+ ( B − /) −/
#ntonces
v2
= vd =
2g ⋅ /
ésta expresión define la velocidad de
Descara en 2.
7.< OBTE 7.< OBTENC NCIO ION N DEL DEL CAUD CAUDAL AL ENCIMA DE UN VERTEDOR
DE
DESC DESCAR ARG GA
POR POR
Adaptando el concepto eneral de caudal por encima del vertedor en / y el área de flu$o considerado como el producto del ancho del vertedor con la altura de la lámina de flu$o por encima del vertedor, se tiene. Kd
= A $ ⋅ v d 1
K d = # ⋅ / ⋅ 2g ⋅ / = # ⋅ / 2g ⋅ /
2
1
= #
2g ⋅ / 2 /
1
dKd
= #
2g / 2 d/ 1 2
+
1
3
2 /2 2 K d = # 2g / d/ = # 2g = # 2g / 1 2 3
∫
2
2aciendo @ ,
2
+
2
3
=
2 # 2g / 2 3
2
3
Kd
=
2 # 2g ⋅ B 2 3
).
#sta expresión define el caudal teórico que fluye por encima de un vertedor.
OBTENCION DEL CAUDAL CAUDAL REAL DESCARGA POR ENCIMA DE UN VERTEDOR Se obtiene despe$ando del coeficiente de caudal considerado ahora como constante del vertedor. 3
2 K = c G ⋅ K t = c G # 2g ⋅ B 2 3
cG
Bscila entre .)6 y .=(
COEFICIENTE DE CAUDAL PROPUESTO POR SIA !a Sociedad Suiza de inenieros y Arquitectos 0 SHA1 ha propuesto fórmulas empíricas para calcular el coeficiente de caudal de vertederos, p.e. 'ara vertederos rectanulares !" )o#r*))" l*#'r*l con del vertedor B = Altura de cara por encima del
"."2' m < B < ".+ m / c > ".3 m B /c
cG
/c
= Altura del vertedor
≤1
2 1 1 = ".!1'1 + 1 + ".' B + 1.! B + / c
).
#ste tipo de vertedor proporciona resultados precisos para medir caudales desde hasta
1""""
lts seg
ó sus valores equivalentes desde
".""!
m3 seg
hasta
!
lts seg
m3 1" seg
'ara vertederos rectanulares con )o#r*))" l*#'r*l la SHA propone
cG
2 # 2 3.!1' − 3 2 # # B 9 1 + ".' = ".'+ + "."3 + B +1.! 9 9 B + / c
)./
# = Ancho de la contracción lateral
9 = Ancho del vertedor
7.= OBTE 7.= OBTENC NCIO ION N TRIANGULAR
DEL DEL CAUD CAUDAL AL
PARA PARA
UN
VERT VERTED EDOR OR
#ste #ste verted vertedor or se utiliz utiliza a para para medir medir cauda caudales les inferior inferiores es a
!
lts seg
.
!as variab variables les que
intervienen se muestran en las siuientes fiuras.
De la ráf ráfic ica a se eli elie e un área área dife difere renc ncia ial,l, obtiene el área de flu$o en el vertedor.
dA = 24 ⋅ d/
interando ésta expresión se
∫dA = 24 ∫ d/ A $
= 24 ⋅ /
;onsiderando que, Kt
v2
=
2g ⋅ /
Sustituyendo éstos dos valores en la ecuación del caudal.
= A $ ⋅ v 2 1
Kt
= 24 ⋅ /
2g ⋅ / = 24 ⋅ / 2g ⋅
'or triánulos seme$antes
/2
1
= 24
2g ⋅
/2
3
⋅ / = 24
2g ⋅ / 2
tan
2
=
4
de dónde
B −/
= ( B − / ) tan
4
2
Sustituyendo, 4 en K t Kt
= 2( B − /) tan
3
2g ⋅ / 2
2
= 2( B − /) tan
1
2g ⋅ / 2 ⋅ /
2
Diferenciando é interando la ecuación dK t
= 2( B − / ) tan
∫ dK
t
=2
1
∫ ( B − / ) / "
2
2g ⋅ / 2 ⋅ d/
2
2g tan
B
1
d/ =
1
B
∫ ( B − / ) / 2
2
"
1
B
∫ B ⋅ / "
2
d/ −
B
d/
1
B
∫ / ⋅ /
2
"
d/ = B
B
∫ / "
1 2
B
3
d/ − " / 2 d/
∫
B
3 ' B B 1 3 ' 3 ' 2 2 / / 2 2 2 2 2 2 B 2 2 2 ∫ " ( B − /) / d/ = B 3 − ' = 3 B / − ' / = 3 B B − ' B " " 2 " 2 "
1 B
∫ ( B − /) / "
2
d/ =
2 3
3
B⋅B
2
−
2 '
'
B
2
=
2 3
'
B
2
−
2 '
'
B
2
'
'
'
2 2 1" − ! B 2 = * B 2 = − B 2 = 1' 3 ' 1'
Sustituyendo el valor equivalente a la interal en el caudal teórico. Kt
=2
2g tan
*
2 1'
'
B2
+ = 1'
2g tan
2
'
B2
).3
#sta expresión define el caudal teórico para un vertedor trianular.
7.10 CAUDAL REAL DE UN VERTEDOR TRIANGULAR Se obtiene por despe$e y sustitución de valores, tal como se muestra en el desarrollo siuiente.
cG
=
K Kt
de dónde
K = c G ⋅ K t
= cG
+
'
2g ⋅ tan B 2 1' 2
= cG
+ 1'
tan
2
2g ⋅ B '
;uando, h se encuentra entre los valores "."' m < B < ".2' m h
cG
= ".')3
> ".3 m
cG
= ".!
Meneralizando fórmulas para caudales 3
-ertedor rectanular con con T sin contracción contracción
K =D⋅B2 '
-ertedor trianular
K =D⋅B2
D = ;onstante del vertedor
7.11 VERTEDERO TRAPEOIDAL TRAPECIAL !as variables de interés se ilustran en el siuiente esquema.
!as manitudes para este tipo de vertedero son. .C Orea de la corriente,
A c = # ⋅ B +
24 2
B = # ⋅ B + 4 ⋅ B = ( # + 4 ) B
/.C 'erímetro mo$ado, Pm = # + a + a = 2a + # 3.C Eadio hidráulico,
B
=
area de la corriente perimetro moNado
6.C Eeynolds para flu$o en canal abierto,
=
e =
( # + 4 ) B 2a + #
v ⋅ B J
,
'"" ≤ e ≥ 2"""
).6
v = -elocidad del fluido J = -iscosidad cinemática del fluido *.C ;audal de descara, Kd = Ac ⋅ v d = B( # + 4 ) vd
7.12 RESOLUCION DE EJERCICIOS E>'r)")"o 7.12.1 !a velocidad real en la sección contraída contraída de un chorro chorro de aua aua por un − orif orific icio io de * cm cm de diá diáme metro tro es es de 8.6 m ⋅ seg ba$o una cara de 6.* m desde la superficie libre al centro del orificio y .* m de éste al fondo del recipiente. Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular área del orificio c1 ;alcular área contraída considerando considerando que el diámetro diámetro del chorro es la mitad del Diámetro del orificio. d1 ;alcular coeficiente de contracción contracción e1 ;alcular coeficiente de velocidad velocidad f1 ;alcular caudal caudal de de descara descara 1 ;alcular pérdidas en el el orificio. E>'r)")"o 7.12.2 5n recipiente con orificio de 3 in de diámetro se localiza a / ft desde el fondo del recipiente al centro del orificio y de éste a la superficie libre del fluido ) ft. #l caudal que se descara por el orificio es ( litros por seundo. Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular área del orificio c1 ;alcular área contraída del chorro chorro si el diámetro del chorro es la mitad del del diámetro del Brificio. d1 ;alcular coeficiente de contracción. contracción. e1 ;alcular velocidad velocidad real real de descara f1 ;alcular caudal caudal real de descara descara 1 ;alcular pérdidas pérdidas a través del del orificio E>'r)")"o 7.12. 5n depósito cilíndrico abierto en parte superior reistra una cara de ( ft de aua desde la superficie libre al centro del orificio y de éste / ft al fondo del depósito. #l diámetro del orificio es / in. Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular la velocidad real de descara utilizando un coeficiente de velocidad velocidad de .(8 c1 ;alcular el coeficiente de descara descara para h + ( ft y φ o = / in d1 ;alcular el caudal real de descara. descara. E>'r)")"o 7.12.5 Dos recipientes a la presion atmosférica se caran por un orificio de descara ahoada de tal manera que en el recipiente, la cara es ( ft desde la superficie libre al centro del del orificio y de éste a la superficie superficie libre del reciente, / es = ft. #l diámetro del orificio es 6 in. Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular la altura altura dinámica dinámica c1 ;alcular velocidad velocidad real de descara descara
d1 ;alcular el el caudal real de descara e1 ;alcular pérdidas pérdidas a través del del orificio.
E>'r)")"o 7.12.6 5n sistema de escurrimiento ba$o presion con vapor de aua a / 'si actKa sobre sobre la superf superficie icie libre libre del aua líquida líquida,, la cara desde desde éste éste punto al al centro centro del orificio orificio es ) ft. #l aua se suministra suministra a un seundo seundo recipiente recipiente por un orificio orificio de / in de diámetro a una presion de 9 6 'si. Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular la altura altura dinámica dinámica c1 ;alcular velocidad velocidad real de descara descara d1 ;alcular caudal caudal real de descara descara e1 ;alcular las pérdidas a través del orificio E>'r)")"o 7.12.7 Durante el ensayo sobre un vertedor sin contracción lateral de /.6 m de ancho y .( m de alto. !a cara auas arriba se mantuvo constante a .3 m y en 3) se se recoieron /= litros de aua. Se pide a1 #laborar esquema del sistema b1 ;alcular el caudal caudal de descara descara por encima del del vertedor c1 ;alcular velocidad real descara por por encima del vertedor d1 ;alcular la constante del vertedor. vertedor. E>'r)")"o 7.12.; Se tiene un vertedor rectanular rectanular sin contracció contracción n lateral lateral con los datos datos siuientes. h + .* m, h + 6.* m, yc + 6 m, b + .* m, 4 + .* m. Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular el caudal caudal teórico por encima encima del vertedor vertedor c1 ;alcular la constante del vertedor vertedor d1 ;alcular el el caudal real descara descara e1 ;alcular la velocidad real de descara. descara. E>'r)")"o 7.12.< 'or un vertedor trianular a 6* : con una altura de cara de ./) m escurren ./ m 3 T se. Se pide a1 #laborar esquema del sistema sistema b1 ;alcular el el coeficiente de caudal caudal c1 ;alcular la velocidad velocidad real de descara. descara.
