Apuntes Mecanica de Rocas

Departamen Departamento to de Metalurgia Metalurgia y Materiales Materiales Universi Unive rsidad dad Técnica ecni ca Federico Federic o Santa Mar´ıa ıa Santiago de Chile

Notas de Mec´ anica anica de Rocas Ro cas

Por Rodolfo S. Morales G´ alvez ´ Indice 1

Tensor de Esfuerzos

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 2

2

Fuerza y esfuerzo . . . . . . . . . . . . . Matriz de cambio de coordenadas . . . . Transform ormacioń del tensor de esfuerzos . Contraccioń del tensor de esfuerzos . . . Diagonal onaliizacioń del tensor de esfuerzos . Esfuerzo hidrosta´tico y desviador . . . . Circulo de Mohr . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones de equilibrio . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

Criterios de Falla en Mec´ anica de Ro cas

2.1 2.2 2.3 2.4

Resistencia a la Fractura . . Criterio General de Fractura Criterio de Mohr Coulomb . Criterio de Hoek & Brown . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

1

2 4 5 6 6 7 7 10 13

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

13 14 14 16

1. 1.1.

Tensor de Esfuerzos Fuerza y esfuerzo

La fuerza es una magnitud dotada de modulo, sentido y dirección que sirve como modelo matem´ atico para representar la intensidad de interacci´ on entre dos cuerpos. As´ı, por ejemplo, lo son la fuerza gravitacional que provoca la atracci´ on de dos cuerpos con masa, o la fuerza de Coulomb que puede originar la atracci´ on o repulsión entre dos part´ıculas con carga eléctrica. El efecto de aplicaci´ on de una fuerza es modificar el estado de movimiento o de reposo de un cuerpo. En el caso de s´ olidos r´ıgidos una fuerza modifica su velocidad o vence su inercia para ponerlo en movimiento, en tanto que en sólidos el´ asticos es capaz de provocar su deformación.  es expresada a través de sus componentes referidas a un sistema de Generalmente una fuerza F coordenadas. As´ı, en un sistema de coordenadas cartesianas las componentes F x , F y y F z de una  fuerza F corresponden a sus componentes paralelas a los respectivos ejes coordenados con la convención de que su sentido es positivo en la dirección en que las coordenadas aumentan. No obstante, dichas componentes no son iguales en todos los sistemas coordenadas, pues si se considera un segundo sistema rotado respecto al anterior, las nuevas componentes F i se obtendrán como cierta  = F x x combinaci´ on lineal de las F i . A modo de ejemplo, si para un sistema F ˆ se puede demostrar que para un segundo sistema cuyos ejes x ˆ y yˆ se encuentran rotados un ángulo θ la misma fuerza ˆ ˆ  vendrá representada por F = F x x + F y y con F x = F x cos θ y F y = − F y sin θ. 













Para describir el efecto de la aplicación de una fuerza es necesario introducir el concepto de esfuerzo, ya que en las situaciones de interés las fuerzas no son aplicadas en regiones puntuales, sino m´ as bien a regiones extendidas o superficies. Una manera familiar de ilustrar este concepto es considerando un cubo con aristas de largo infinitesimal en reposo, cuyas caras poseen normales en la misma direcci´ on que los ejes coordenados y sobre las que actúa una fuerza normal F i . Si el cubo es de espesor infinitesimal y se encuentra en reposo las fuerzas en caras opuestas deben ser iguales. Ahora bien, si el cubo es rotado manteniendo las fuerzas constantes, las fuerzas que actúan sobre cada una de las caras ya no serán necesariamente normales a las mismas. As´ı, la fuerza que act´ ua sobre la cara-x tendrá componentes F xx , F xy y F xz . Si se divide cada componente de fuerza por el área de la respectiva cara sobre la que act´ ua se obtienen los esfuerzos. Luego, para la cara-x los esfuerzos son σxx , σxy y σ xz .

Mec´ anica de Rocas R.M.G

2

Figura 1: Componentes de una fuerza actuando sobre la cara de un cubo. Nedderman (1992).

Usualmente las componentes de esfuerzos σij con i  = j se denotan por τ ij , por lo que los esfuerzos sobre la cara-x se escriben como σxx , τ xy y τ xz . Este cambio en la notaci´ o n se debe a que σxx corresponde al esfuerzo normal sobre la cara-x en tanto que τ xy y τ xz corresponden a esfuerzos paralelos o de corte en las direcciones yˆ y zˆ respectivamente. El resultado anterior se sigue de manera similar para cada una de las caras del cubo, lo que permite concluir que en general su estado tensional viene representado por un total de 9 cantidades que en forma matricial se escriben por: [σ] =

  

σxx

τ xy

τ xz

τ yx

σyy

τ yz

τ zx

τ zy

σzz

  

.

(1)

Luego, queda claro que el estado tensional no puede ser representado por un vector, si no más bien por una cantidad que en cada punto puede tomar tres direcciones. Se habla entonces del tensor de esfuerzos quedando denotado por σ ij . Los tensores son entidades algebraicas que generalizan los conceptos de escalar, vector y matriz de manera que sus cantidades sean independientes del sistema de coordenadas escogido para su descripción. Usualmente se caracterizan por su orden, cantidad que indica sin ambig¨ uedad el numero de componentes necesarias para especificar una de sus componentes. As´ı, los escalares y vectores son tensores de orden cero y uno respectivamente. Por otro lado, un tensor de segundo orden es tal que definido un sistema de coordenadas se puede representar como una matriz cuadrada 3 × 3. Los tensores son de forma alguna similares a las matrices, sin embargo, una matriz no guarda informaci´ on respecto al sistema de coordenadas sobre el cual es especificada, de modo que un tensor de orden m se construye como los elementos de una matriz, pero que en una transformació n de coordenadas transforman como m vectores de su espacio vectorial. En lo que sigue el análisis se limitar´ a a tensores de segundo orden y sólo en coordenadas cartesianas, ya que para otros sistemas Mec´ anica de Rocas R.M.G

3

es necesario introducir conceptos que escapan de los alcances del presente texto. Por el momento no se indagar´ an mayores detalles sobre las condiciones que deben cumplir las componentes del tensor de esfuerzos en un estado de equilibrio, cuestión que será retomada al final de esta secci´ on. Sin embargo, se puede adelantar que el tensor de esfuerzos debe ser simétrico en condiciones de equilibrio. Esta condici´ on se sigue de que las componentes en la diagonal representan esfuerzos normales al cubo y no originan momentos de torsión, al contrario de las componentes fuera de la diagonal, o de corte, que s´ı pueden. Luego, para que el cubo no rote se debe cumplir: τ xy = τ yx 1.2.

,

τ xz = τ zx

y τ yz = τ zy .

(2)

Matriz de cambio de coordenadas

Los objetos con significado f´ısico deben ser independientes de la elecci´ on del sistema de coordenadas, a causa de esto resulta fundamental conocer como transforman las componentes de un tensor entre distintos sistemas. Es claro que las componentes de un tensor en dos sistemas coordenados deben transformar mediante una aplicaci´ on lineal, por lo que en una transformaci´ on de coordenadas, las componentes Ai y Ai  de un vector A arbitrario entre un sistema primado y otro sin primar se deben relacionar de acuerdo a: 

3

Ai = 



Ri j A j = Ri j A j . 

(3)



j =1

En la ultima igualdad se ha adoptado el convenio de Einstein de suma sobre ´ındices repetidos respecto a todos los valores que pueda tomar el ´ındice (en este caso Ri j A j = Ri 1 A1 + Ri 2 A2 + Ri 3 A3 ). Las cantidades R i j pueden ser representadas mediante una matriz, en cuyo caso se conoce como matriz de transformaci´ on y la relación anterior se escribe a trav´ es de vectores columna como (A ) = (R)(A). Para obtener un método general que permita derivar dichas cantidades considere las componentes dxi del vector desplazamiento d r en dos sistemas que se encuentran rotados un ángulo θ respecto a un eje com´ un, por ejemplo, el eje zˆ. Mediante argumentos geométricos es sencillo comprobar que sus componentes se relacionan mediante: 













dx = cos θdx + sin θdy dy = − sin θdx + cos θdy 

(4)



dz = dz. Luego, no es dif´ıcil convencerse de que las componentes R ij de tal transformación se obtienen como: Ri j = 

∂x i . ∂x j 

(5)

Veamos ahora algunas propiedades de los elementos Ri j de la matriz de transformaci´ on. Con este  fin considere el cuadrado del modulo de un vector A arbitrario, 

A21 + A22 + A23 = Ai Ai = Ri j Ri k A j Ak . 








4







(6)

Teniendo en cuenta que el modulo de un vector (su “longitud”) es independiente del sistema de coordenadas, se sigue que Ai Ai = A j A j por lo que a partir de (3) se sigue que necesariamente se debe cumplir, Ri j Ri k = δ jk , (7) 







con δ jk corresponde a la delta de Kronecker y se define como +1 si i = k y 0 en otro caso. Si se desarrolla esta expresión para escribirla en forma matricial se encuentra que es equivalente a (R)(R)T = I 3x3 lo que permite concluir que la matriz de transformaci´ on es ortogonal, o de manera equivalente, que su inversa es igual a su traspuesta y que su determinante es igual a +1. Para rotaciones de ańgulo θ en torno a los ejes x ˆ, yˆ y zˆ se puede demostrar que las matrices de rotaci´ on vienen dadas respectivamente por:

(Rx ) =

  

1

0

0

0

cos θ

sin θ

0 − sin θ cos θ

  

  

cos θ 0 − sin θ

,

(Ry ) =

0

1

0

sin θ 0

cos θ

  

y (Rz ) =

  

cos θ

sin θ 0

− sin θ cos θ 0 0

0

  

.

1

(8) Finalmente, cabe destacar que cualquier rotación puede escribirse con la aplicación sucesiva de rotaciones respecto a los tres ejes con diferentes ángulos. 1.3.

Transformaci´ on del tensor de esfuerzos

Con el resultado anterior ya estamos en condiciones de obtener la ley de transformación de un tensor de segundo orden. Con este fin considere dos vectores de componentes Ai y Bi respecto a alg´ un sistema de coordenadas, luego, si se construye el tensor C ij = Ai B j es claro que en un cambio de coordenadas C ij transforma como C i j = A i B j . De aqu´ı se sigue que un tensor de segundo orden transforma como dos vectores de acuerdo a: 







σi j = Ri k R j l σkl . 





(9)



Resulta conveniente escribir esta expresión en forma matricial. Con este fin se desarrollar´ an expl´ıcitamente las sumas sobre los ´ındices repetidos, considerando por simplicidad una rotaci´ on bidimensional. As´ı: σi j = Ri 1 R j l σ1l + Ri 2 R j l σ2l 

















= Ri 1 R j 1σ11 + R j 2 σ12 + Ri 2 R j 1 σ21 + R j 2 σ22 

 





= Ri 1 Ri 2 



= Ri 1 Ri 2 



   





     

R j 1 σ11 + R j 2 σ12 





 (10)

R j 1 σ21 + R j 2 σ22 



σ11 σ12 σ21 σ22

R j 1 

.

R j 2 

A partir de este resultado es sencillo observar que en forma matricial las componentes del tensor en el sistema primado se relacionan con las sin primar de acuerdo a: (σ ) = (R)(σ)(R)T . 


5

(11)

1.4.

Contracci´ on del tensor de esfuerzos

La operaci´ on que nos permite obtener el cuadrado del modulo de un vector es el producto punto consigo mismo, de manera similar se puede considerar el producto punto entre dos vectores, o de manera más general entre dos tensores. En el ultimo caso se refiere a esta operaci´ on como contracci´ on, pues da como resultado un tensor de menor orden. As´ı, la contracci´ on de dos tensores de primer orden da un tensor de orden cero, la contracción de un tensor de segundo orden con uno de primero da un tensor de primer orden y la doble contracci´ on de un tensor de segundo orden vuelve a dar un tensor de orden cero. Gráficamente se puede pensar en la operación de contracci´ on entre dos tensores como la proyección de un tensor sobre el otro. La operaci´ on de contracci´ on resulta de especial utilidad cuando se busca encontrar el esfuerzo normal o tangencial a un plano conociendo su normal, es decir, sin la necesidad de realizar rotaciones al tensor de esfuerzos. Para encontrar estas cantidades lo primero es ver la proyección del vector normal de plano sobre el tensor de esfuerzos, lo que nos proporciona el vector tracci´ on: T i = σ ij n j = σ i1 n1 + σi2n2 + σi3 n3 .

(12)

Para encontrar el significado de este vector recuerde el cubo de aristas infinitesimales. Si lo que se busca es el esfuerzo en una cara del cubo, por ejemplo en la cara-x , se sabe que este tendrá las componentes σxx , σxy y σxz . Por otro lado, si se atiende a que la normal tiene todas sus componentes nulas a excepci´ on de n 1 = 1, se obtiene a partir de (12) que el vector tracción tiene las componentes T 1 = σ xx , T 2 = σ xy y T 3 = σ xx , es decir, comparte las mismas componentes que el esfuerzo en dicha cara. Este resultado es general, por lo que las componentes del vector tracción que act´ ua sobre un plano son iguales a los esfuerzos sobre dicho plano. Teniendo esto en cuenta, si lo que se busca es el esfuerzo normal a un plano,σn , basta con tomar la proyección del vector tracción sobre su normal de acuerdo a: σn = T i ni = σ ij ni n j = n 21σ11 + n22 σ22 + n23 σ33 + 2(n1 n2 σ12 + n1 n3 σ13 + n2 n3 σ23). (13) Por otro lado, si lo que se busca es el esfuerzo de corte,τ , se puede atender a la relación, τ 2 + σn2 = T i T i , de donde se sigue que se encuentra dado por: τ 2 = T i T i − σn2 = T 1T 1 + T 2T 2 + T 3T 3 − σn2 . 1.5.

(14)

Diagonalizaci´ on del tensor de esfuerzos

Es claro con lo visto en las secciones anteriores que las componentes del tensor de esfuerzos y de un tensor en general dependen del sistema de coordenadas escogido para su representaci´ on. Existe, sin embargo, un sistema privilegiado respecto al cual el tensor de esfuerzos solo tiene elementos en su diagonal. A estos esfuerzos se les llama esfuerzos principales y a los ejes correspondientes vectores principales. Los esfuerzos principales se denotan por σ1 , σ2 y σ3 y se les conoce como esfuerzo principal mayor, intermedio y menor respectivamente. El problema de buscar los esfuerzos principales equivale a encontrar el sistema para el cual las tracciones son paralelas a las normales. Esta condici´ on se puede expresar como T i = σ ij n j = σni o de manera equivalente: (σij − σδ ij ) n j = 0. (15) Mec´ anica de Rocas R.M.G

6

La soluci´ on no trivial a esta ecuaci´ on se obtiene cuando det (σij − σδ ij ) = 0 lo que nos proporciona la ecuaci´ on de autovalores para los esfuerzos principales, σ3 − I 1 σ 2 + II 2 σ − II 3 = 0,

(16)

donde se definen I I 2 = (I 2 − I 12 )/2 y I I 3 = (I 13 − 3I 1 I 2 + 2I 3)/3 con: I 1 = σ ii = tr (σ) ,

I 2 = σ ij σ ji = tr (σ 2 ) y I 3 = σ ij σ jk σki = tr (σ 3 ).

(17)

Las cantidades I 1 , I 2 y I 3 se conocen como invariantes del tensor de esfuerzos, llamados as´ı porque su valor es independiente del sistema de referencia (esto se sigue de que son escalares formados a partir de la contracci´ on del tensor consigo mismo). 1.6.

Esfuerzo hidrost´ atico y desviador

El tensor de esfuerzos puede ser descompuesto convenientemente en términos de una compresión y un cortante puros de acuerdo a: σkk σij = δ ij + 3



σkk σij − δ ij 3



= P ij + M ij .

(18)

La ventaja de esta descomposición es que deja en evidencia que si el esfuerzo desviador M ij es nulo respecto a alg´ un sistema, lo será para cualquier otro1 , de modo que el estado tensional es el mismo en todas las direcciones al igual que en un fluido. Por este motivo a P ij también se le conoce como esfuerzo hidrostático. 1.7.

Circulo de Mohr

La contracci´ on de un tensor con el vector normal a un plano no es el único método para obtener los esfuerzos normal y cortante. Adicionalmente existe un método gr´ afico de gran utilidad desarrollado por el Ing. Aleman Christian Otto Mohr conocido como el circulo de Mohr. Este método permite obtener ambas componentes de esfuerzo para una rotación cualquiera del sistema de coordenadas atendiendo a la ley de transformaci´ on de un tensor de segundo orden encontrada en (11). Antes de proceder con su deducción es necesario cambiar la convención usual de signos. Generalmente las situaciones de inter´ es en mec´ anica de rocas se caracterizan por un estado de esfuerzos compresivo. Esto se debe a que las rocas se caracterizan por un comportamiento frágil con muy baja resistencia a la tracción. Por esta raz´ on es conveniente redefinir como positivos a los esfuerzos normales compresivos. Para continuar, considere por simplicidad un estado de esfuerzos bidimensional que para un sistema sin primar viene descrito por el tensor en forma matricial: (σ) = 1

 

σxx τ xy τ yx

σyy

 

(19)

En efecto, si todas las componentes de un tensor son nulas en un sistema de coordenadas lo son tambi´ en en cualquier otro sistema en virtud de la linealidad de la ley de transformación.


7

Suponga adem´ as que σ xx > σyy y que se propone encontrar las componentes del tensor de esfuerzos en un sistema rotado un ángulo θ respecto al eje de σxx . A partir de (11) se sigue que las componentes del tensor en el segundo sistema vienen dadas en forma matricial por:

 

σx x 

τ y x 





τ x y 



σy y 



      =

cos θ

sin θ

− sin θ cos θ

=

cos θ

sin θ

− sin θ cos θ

   

σxx τ xy τ xy

σyy

 

cos θ − sin θ sin θ

cos θ

 

σxx cos θ + τ xy sin θ −σxx sin θ + τ xy cos θ τ xy cos θ + σyy sin θ −τ xy sin θ + σyy cos θ

Resultado que permite escribir para cada componente:

 

(20) .

1 1 σx x = (σxx + σyy ) + (σxx − σyy )cos2θ + τ xy sin 2θ 2 2 1 τ x y = − (σxx − σyy )sin2θ + τ xy cos 2θ 2 1 1 σy y = (σxx + σyy ) − (σxx − σyy )cos2θ + τ xy sin 2θ. 2 2 











(21)

Para simplificar la notaci´ on es conveniente definir las cantidades P , R y λ de acuerdo a: 1 P = (σxx + σyy ) 2

,

R2 =



σxx − σyy 2

2



2 + τ xy y

tan 2λ = −

2τ xy σxx − σyy

(22)

Con estas definiciones las componentes σi j encontradas en (21) se pueden reescribir como: 



σx x = P + R cos(2θ + 2λ) 



τ x y = R sin(2θ + 2λ) σy y = P − R cos(2θ + 2λ). 







(23)

Luego, se desprende que al realizar una rotació n de ángulo θ = − λ el tensor de esfuerzos adquiere forma diagonal, con los esfuerzos principales dados por: σ3 = P − R y σ1 = P + R.

(24)

Gráficamente este resultado sugiere que el estado tensional de cualquier sistema se obtiene como una rotaci´ on de ańgulo φ dentro de un circulo de radio R y centro (P, 0) en el plano (σ, τ ). Este es el conocido circulo de Mohr y sus intersecciones con el eje ˆσ corresponden a los esfuerzos principales. En el circulo de Mohr los esfuerzos del sistema sin primar se representan por los puntos X (σxx , τ xy ) e Y (σyy , τ yx ) en que el punto X se obtiene como una rotaci´ on de ańgulo φ x = 2λ sobre el circulo y el punto Y se obtiene como una rotació n de ángulo φ y = π + φx .


8

Figura 2: Circulo de Mohr para estado bidimensional de esfuerzos. Nedderman (1992).

El empleo del circulo de Mohr tiene el problema de no resultar consistente con el hecho de que los esfuerzos cortantes τ xy y τ yx son iguales en signo y magnitud, lo que gr´ aficamente se debe a que se encuentran en cuadrantes opuestos. Por es motivo es usual que algunos textos empleen la convención: τ yx = − τ xy , τ xz = − τ zx y τ yz = − τ zy . Esto equivale a decir que sólo se consideran positivas aquellas componentes de corte que van en sentido antihorario (se puede verificar a partir de la regla de la mano derecha que τ yx , τ xz y τ yz se recorren en sentido horario, de ah´ı la definici´ on anterior). Matem´ aticamente los esfuerzos principales corresponden a los autovalores del tensor de esfuerzo y λ al ańgulo en que deben ser rotados los ejes coordenados para obtener la base (de autovectores) en que el tensor solo posee elementos en su diagonal. Este es el clásico problema de diagonalizaci´ on de una matriz. El método de representaci´ on gr´ afica de Mohr puede ser extendido con facilidad a tres dimensiones. Para ilustrar esto considere el tensor de esfuerzos tridimensional que respecto a alg´ un sistema coordenado adquiere la representación diagonal (σ) = Diag {σ1, σ2 , σ3}. Si se realiza una rotaci´ on mantenido fijo alguno de los ejes principales, por ejemplo el de σ 1 , entonces los esfuerzos obtenidos como una rotaci´ on de los ejes de σ3 y σ2 se encontraran dentro de su respectivo circulo de Mohr bidimensional. Si se repite este proceso manteniendo alg´ un otro eje fijo, se encuetra que es posible formar un total de 3 c´ırculos de Mohr, dos de los cuales se encuentran dentro del circulo mayor formado por el esfuerzo principal mayor y menor (σ1 y σ 3 ).


9

Figura 3: Circulo de Mohr para estado tridimensional de esfuerzos. Nedderman (1992).

En la mayor´ıa de las situaciones que resultan de inter´ es se busca determinar el estado de tensi´ on m´ axima del macizo, por lo que el esfuerzo principal intermedio resulta irrelevante y solo es de inter´ es el de los esfuerzos principales mayor y menor. A causa de esto los problemas tridimensionales son evaluados normalmente en dos dimensiones ignorando el esfuerzo principal intermedio y sus c´ırculos de Mohr. 1.8.

Ecuaciones de equilibrio

Recuerde el cubo a trav´ es del cual se introdujo el tensor de esfuerzo. Conforme se expuso con anterioridad, si respecto a alg´ un sistema de referencia las fuerzas sobre cada cara son normales, en condiciones de equilibrio las fuerzas sobre caras opuestas deben ser iguales, pues de lo contrario el cubo se mover´ıa en la direcci´ on del gradiente de dicha fuerza. Pero ¿qué ocurre en un sistema en que las fuerzas tengan componentes de corte?. Para determinar las condiciones generales que deben satisfacer las 9 componentes del tensor de esfuerzos cuando el cubo se encuentra en equilibrio, definamos por F x , F y y F z a las fuerzas netas que act´ u an sobre el cubo a lo largo de cada eje coordenado y gx , gy y gz como las fuerzas de volumen en los respectivos ejes. Consigo es claro que el equilibrio exige que: F x = F y = F z = 0. (25)

  

Para escribir expl´ıcitamente las fuerzas a lo largo de cada eje se debe tener en cuenta que si las aristas del cubo tienen un largo diferencial, es de esperar que los esfuerzos sean funciones continuas y diferenciables de las coordenadas x, y,z. Luego, si la fuerza normal sobre la cara-x es σ xx dydz se puede aproximar la fuerza normal sobre la cara opuesta por (σxx + (∂σ xx /∂x)dx)dydz. Siguiendo el mismo argumento para las componentes de corte, se demuestra que la condici´ on de equilibrio para F x equivale a:


10

Figura 4: Esfuerzos en cubo de aristas diferenciales.

  F x =



∂σ xx σxx + dx dydz − σxx dydz + ∂x +

 

 

∂τ yx τ yx + dy dzdx − τ yx dzdx ∂y ∂τ zx τ zx + dy dxdy − τ zx dxdy = 0. ∂z

(26)

De manera similar se obtienen las condiciones de equilibrio para las fuerzas en los ejes restantes. Desarrollando las expresiones y dividiéndolas entre el volumen dxdydz del cubo, se tiene: ∂σ xx ∂τ yx ∂τ zx + + + gx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xy ∂σ yy ∂τ zy + + + gy = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xz ∂τ yz ∂σ zz + + + gz = 0. ∂x ∂y ∂z

(27)

O bien, en notaci´ on por componentes: ∂σ ij + g j = 0. ∂x i

(28)

La ecuaci´ on anterior es condici´ on necesaria más no suficiente para el equilibrio, pues adem´ a s se debe asegurar que el cubo no rote. Es decir, se requiere que el momento de torsión resultante de la aplicaci´ on de los esfuerzos sea nulo. Por argumentos similares a los ya entregados se puede demostrar que esta condici´ on equivale a exigir que el tensor de esfuerzos debe ser simétrico. As´ı: τ xy = τ yx Mec´ anica de Rocas R.M.G

,

τ xz = τ zx 11

y τ yz = τ zy

(29)

No se entrará en mayores detalles, sin embargo es importante destacar que las fuerzas externas que causan la deformación de un sólido surgen en las condiciones de contorno de las ecuaciones de equilibrio. Dicho esto la soluci´ on al c´ omo se transmiten los esfuerzos al interior de un sólido a´ un no se encuentra proporcionada, encontr´ andose determinada por las caracter´ısticas el´ asticas del s´ olido.


12

2. 2.1.

Criterios de Falla en Mec´ anica de Rocas Resistencia a la Fractura

En ciencia de materiales se habla de falla de un material cuando se encuentra en una condición bajo la cual no puede cumplir con la función para la cual fue dise˜ nado. Los mecanismos de falla son diversos, sin embargo el presente texto se limitará a hablar de la falla por fractura frágil. Este tipo de falla es experimentada por materiales que admiten casi nula deformación pl´ astica o irreversible, caracterizados por que su l´ımite el´ astico es muy cercano al l´ımite de fluencia, punto que de ser alcanzando provoca r´ apida e inadvertidamente la fractura. Generalmente los materiales convencionales empleados en ingenier´ıa experimentan fractura al encontrarse en un campo de esfuerzos tensional. Esta situación no ocurre con estructuras rocosas, ya que suelen ofrecer una casi nula resistencia a la tensi´ on debido a que cuentan con una gran cantidad de microfracturas y uniones. Por este motivo en las situaciones de mayor inter´ es la fractura de la roca se origina en un campo de esfuerzos compresivos. Esto conlleva a una complicación adicional al establecer modelos de falla por fractura, ya que el estado de compresión origina una mayor fricci´ on entre las superficies de las microfracturas, causando que la resistencia de la roca sea sensible a esfuerzos de confinamiento. Esto genera desacuerdos con las teor´ıas pl´ asticas empleadas para describir materiales convencionales. Se define la resistencia de un material como el esfuerzo que soporta para un determinado umbral de deformaciones, usualmente escogido como el l´ımite tras el cual se origina su fractura. Cuando este umbral se alcanza en ensayos de compresi´ on sobre probetas sin confinar (condición de esfuerzos uniformes en una dirección) tambi´ en denominado ensayo de resistencia uniaxial o de compresi´ on simple, recibe el nombre de resistencia a la compresión uniaxial o a la compresi´ on simple, par´ ametro que puede ser utilizado para la clasificación de diferentes tipos de roca. Cuando la probeta se encuentra confinada (se imprime un esfuerzo compresor en su superficie) se habla de un ensayo triaxial. En general los ensayos de laboratorio sobre rocas frágiles proporcionan valores de resistencia superiores a los reales, por este motivo es importante destacar que los resultados obtenidos en los experimentos de resistencia a la compresión para un mismo material dependen de la forma y tama˜ no de la probeta. La experiencia muestra que formas prism´ aticas y cil´ındricas largas presentan menores resistencias a la compresi´ on que formas cubicas con la misma a´rea de sección, las que a su vez son menos resistentes que prismas y cilindros cortos (con alturas menores que sus lados o radios respectivamente). Igualmente se aprecia que la resistencia a la compresi´ on depende de la tasa de aplicaci´ on de la carga, de manera tal que a mayores velocidades de compresi´ on mayor es el valor de la resistencia. La metodolog´ıa experimental se encuentra regida por diversas normas que establecen, entre otros parámetros, la geometr´ıa y proporciones adecuadas de las probetas (usualmente cil´ındricas entregando relaci´ on altura di´ ametro) y la tasa de aplicaci´ on de la carga. Por ejemplo, la norma ASTM D3148-86 establece que las probetas deben ser cil´ındricas con una relaci´ on altura/di´ ametro entre 2.5 y 3, y una tasa de aplicaci´ on de carga constante de entre 0.5 y 1[Mpa/s]. También es importante evitar una mala colocaci´ on de la probeta en la prensa para asegurar una distribución homogénea del esfuerzo compresor.


13

Cuando una roca se fractura lo hace a favor de superficies que se generan al superar su resistencia. Podr´ıa pensarse que tales superficies tienden a desarrollarse con dirección paralela a la de aplicaci´ on de la carga, sin embargo, estas superficies se originan con un determinado ańgulo con respecto a la direcci´ on de aplicaci´ on de la carga. Esto sugiere que de manera indirecta los ensayos de compresión miden la resistencia al cortante de las rocas, cuyo valor es menor a su resistencia a la compresión. De este modo, en caso de matriz rocosa is´ otropa, seg´ un el c´ırculo de Mohr, la fractura se producir´ a en una direcció n con ańgulo de rotaci´ on 2θ = π/2 + φ o´ θ = π/4 + φ/2. Es importante destacar que no siempre se cumple esta predicción en los ensayos de laboratorio. Teóricamente, para una roca isotropa, la resistencia a la compresi´ on debe ser igual para un mismo estado de esfuerzos y condiciones de presión de agua, temperatura, etc. 2.2.

Criterio General de Fractura

En un campo de esfuerzos compresivos la condición de fractura de la roca es usualmente definida a través de la superficie envolvente del dominio el´ astico en el espacio de los esfuerzos principales (σ1 , σ2 , σ3 ). Es decir, la condici´ on de fractura se expresa en la forma: f (σ1 , σ2 , σ3 ) = 0.

(30)

No obstante, conforme se vio en la primera secci´ on, los esfuerzos principales más relevantes son σ1 y σ 3 , por lo que la condici´ on anterior se reduce a: f (σ1 , σ3 ) = 0.

(31)

Matem´ aticamente f es la curva del espacio bidimensional (σ1 , σ3 ) cuyo interior corresponde al dominio el´ astico de tensiones principales admisibles, y la propia ecuació n de f es el criterio de rotura, ya que cualquier punto en su exterior representa un estado inaccesible. De este modo, la ecuaci´ on (31) establece una relaci´ on entre los esfuerzos principales en el momento de la fractura.

Figura 5: Representaci´ on del criterio de fractura. Melentijevic, 2005.

Dependiendo de la definición de f se obtienen distintos criterios de fractura. Las definiciones m´ as empleadas en mec´ anica de rocas corresponden al criterio lineal de Mohr-Coulomb (definida en el espacio (τ, σn )) y al criterio no lineal de Hoek & Brown. 2.3.

Criterio de Mohr Coulomb

El criterio de fractura de Mohr-Coulomb establece una relación lineal entre el esfuerzo cortante y el esfuerzo normal a un plano durante la fractura. Este modelo resulta adecuado para describir Mec´ anica de Rocas R.M.G

14

materiales fr´ agiles cuya resistencia a la compresi´ on es mucho mayor a su resistencia a la tracci´ on. Aunque el comportamiento de la roca en un ensayo triaxial (esfuerzos confinantes) no concuerda con un modelo lineal este criterio se sigue empleando por su simplicidad. De acuerdo a este criterio la resistencia a la fractura es igual a la suma de dos contribuciones; una proviene de la fuerza de cohesión que mantiene unidas a las part´ıculas, usualmente denotada por c, y la otra debido a la fuerza de fricción originada por el rozamiento interno entre planos de la misma matriz rocosa. Esta ultima contribuci´ on se puede obtener estableciendo una analog´ıa entre la fuerza de fricción y la fuerza normal experimentada por un cubo a punto de deslizar en un plano que se encuentra inclinado un ángulo φ con un coeficiente de fricción µ. Es sencillo demostrar que cuando el cubo se encuentra a punto de deslizar se tiene tan φ = µ y consigo la fuerza de fricci´ on es tan φN , con N la fuerza normal. De este modo, el criterio de Mohr-Coulomb presupone que la fuerza de fricción viene dada por σn tan φ con σn el esfuerzo normal al plano de fractura y φ el ángulo de fricción interna. Generalmente φ varia entre los 25o y 45o . En base a la discusi´ on anterior, el criterio de Mohr-Coulomb es expresado en el espacio (τ, σn ) como, τ = c + σn tan φ,

(32)

donde τ es el esfuerzo de corte que actúa sobre el plano de falla y σ n es el esfuerzo normal al plano. El empleo de este criterio es particularmente sencillo al ser combinado con el m´ etodo gr´ afico del circulo de Mohr, en cuyo caso la curva representada por la ecuación (32) corresponde a los envolventes de los c´ırculos de Mohr en el momento de la fractura. As´ı, la regi´ on por sobre la recta descrita por (32) corresponde a un estado de esfuerzos no accesible, en tanto que la zona inferior si lo es. Este criterio tambi´ en puede ser representado en el espacio de los esfuerzos principales (σ1 , σ3 ), demostr´ andose a través de argumentos geométricos que la resistencia de cualquier plano caracterizado por un ángulo de rotaci´ on θ respecto al esfuerzo principal satisface: σ1 =

2c + σ3 [sin 2θ + tan φ(1 − cos2θ)] sin2θ − tan φ(1 + cos 2θ)

(33)

As´ı, para el plano cr´ıtico de fractura en θ = π/2 + φ/2 la expresi´ on anterior equivale a: σ1 =

2c cos φ 1 + sin φ + σ3 1 − sin φ 1 − sin φ

(34)

Este resultado es de especial utilidad pues si se da la condición σ 3 = 0 (compresión simple) se sigue que la resistencia a la compresi´ on simple σ c se encuentra dada por: σc =

2c cos φ 1 − sin φ

(35)

De manera similar cuando σ1 = 0 y σ3 = σt (tracci´ on uniaxial) se sigue que la resistencia a la tracci´ on uniaxial σt es: 2c cos φ σt = − (36) 1 + sin φ Mec´ anica de Rocas R.M.G

15

La gran ventaja del criterio de Mohr-Coulomb es su sencillez. Sin embargo, mediante ensayos se ha demostrado experimentalmente que la resistencia de la roca aumenta mas lentamente con el incremento de la presión normal que lo presupuesto por una ley lineal, lo que origina desviaciones considerables al considerar bajos esfuerzos confinantes. Además se aprecia que la dirección del plano de fractura no siempre coincide con los resultados experimentales, y má s a´ un, el criterio tiene el inconveniente de sobrevalorar la resistencia a la tracción. 2.4.

Criterio de Hoek & Brown

El criterio de fractura de Hoek & Brown establece una relación no lineal entre los esfuerzos principales en el momento de la fractura, entregando un mejor ajuste experimental que el criterio de Mohr-Coulomb a la resistencia para bajos esfuerzos confinantes. Este m´ etodo fue introducido en 1980 para el c´ alculo de estabilidad de taludes y esfuerzos en torno a t´ uneles en macizos duros, con un origen puramente emp´ırico. La ventaja de este método es que permite valorar de manera sencilla el efecto de las caracter´ısticas geol´ ogicas y geotécnicas del macizo sobre su resistencia a la fractura. Usualmente el criterio de Hoek & Brown es expresado en el espacio de los esfuerzos principales como: 0.5 σ3 σ1 = σ 3 + σci m + s . (37) σci





Aqu´ı σci corresponde a la resistencia a la compresió n uniaxial de la roca intacta y m y s son constantes que dependen de las propiedades de la roca. En particular, m influye en la resistencia al corte y s representa una medida de la disminución de la resistencia a la compresi´ on simple de la roca debido a su grado de fragmentación. Ambos par´ ametros se pueden obtener a partir de la clasificaci´ on geotécnica Rock Mas Rating (RMR) introducida por Bienawski, 1976 que se expondr´ a con mayor detalle en la sección posterior. La extensión de este criterio a macizos de rocas débiles supone una modificaci´ on a (37) que incluye nuevos parámetros y la sustituci´ on del RMR por el GSI. La ultima versión se expresa en la forma: σ1 = σ 3 + σci



σ3 mb + s σci

a



.

(38)

Aqu´ı, los parámetros mb , s y a se obtiene de acuerdo a: mb = mexp





GSI − 100 28 − 14D

,

s = exp





GSI − 100 9 − 3D

1 1 y a = + e 2 6



GSI/15

−

−e

/3

−20



. (39)

El ´ındice GSI (Geological Strength Index) tambi´ en conocido como ´ındice de resistencia geol´ ogica (Hoek, 1994; Hoek, Kaiser y Bawden, 1995) da cuenta de la resistencia y capacidad de deformación del macizo rocoso tomando valores entre 0 y 100 para macizos de muy mala a muy buena calidad. El factor D depende del grado de alteraci´ on al que ha sido sometido el macizo por efecto de las excavaciones (con tronadura o mecanizadas) y por la relajaci´ on de esfuerzos, tomando valores entre 0 y 1 para macizos desde inalterados hasta muy alterados. En la secci´ on posterior se exponen los detalles de estos ´ındices.


16

A partir de (41) se pueden obtener expresiones para la resistencia a la compresi´ on uniaxial σc y la resistencia a la tracci´ on σt del macizo, teniendo en cuenta para ello dos ensayos de deformaci´ on homogénea. Si se comienza por suponer un ensayo de compresi´ on uniaxial, en el momento de la falla se tendrá σ3 = 0 y σ1 = σ c . Reemplazando estos valores en (41) se obtiene: σc = σ ci sa .

(40)

Por otro lado, considerando un ensayo de tracción biaxial se tendr´ a en el momento de la falla σ1 = σ 3 = σ t de modo que: sσci σt = − (41) mb Adicionalmente se puede demostrar que los esfuerzos normal y de corte vienen dados en función de los esfuerzos principales a trav´ es de las expresiones: dσ1 σ1 + σ3 σ1 − σ3 dσ3 − 1 σn = , − 2 2 dσ1 +1 dσ3


τ = (σ1 − σ3 )

17



dσ1 dσ3

dσ1 +1 dσ3

con



dσ1 σ3 = 1 +amb mb + s dσ3 σci

a−1



. (42)

Apuntes Mecanica de Rocas

Recommend Documents