Traducción del artículo de ABRAHAM ARCAVI, "Symbol sense: Informal sense-making in Formal Mathematics" aparecido en la revista For the Learning of Mathematics,1994. SENTIDO DEL SÍMBOLO: CREAR SENTIDO INFORMAL EN LAS MATEMÁTICAS FORMALES PRÓLOGO Ireneo Funes, el memorioso, fue un personaje creado por la fantástica paleta de Borges. Tenía una memoria retentiva extraordinaria, era capaz de recordar todo, ya sea las formas que tenían las nubes en la puesta del sol del 30 de abril de 1882, o todas las palabras del Inglés, Francés, Portugués, Latín. Cada una de sus experiencias estaban registradas completa y precisamente en su memoria infinita. En cierta ocasión él pensó en reducir cada día pasado de su vida a 70.000 recuerdos a los que se referiría por números. Dos cosas lo hicieron disuadir: la tarea era interminable y vana. Hacia el final de la historia, la verdadera tragedia de Funes es revelada. Él era incapaz para las ideas platónicas generales. Por ejemplo, le costaba mucho entender que el nombre genérico de perro incluía a muchos individuos de diferentes formas y tamaños. Más aún, también lo perturbaba el hecho de que el perro que había visto y memorizado a las tres catorce de la tarde, desde un punto de vista lateral era el mismo perro que veía a las tres quince desde el frente. Precisamente porque Funes tenía esa memoria monumental es que era incapaz de pensar, decía Borges. “Pensar es olvidar diferencias, es generalizar, abstraer” (1989). MOTIVACIÓN Se acepta ampliamente que el correcto desempeño de las operaciones aritméticas no debería ser el único foco de la enseñanza y aprendizaje de la aritmética Están recibiendo mucha atención temas como: el conocimiento de cuándo utilizar una operación y temas como el “sentido de los números”. En términos generales el sentido de un número [NCTM, 1989, Sowder and Schappelle, 1989,; Sowder, 1992] se puede describir como un sentir no-algorítmico por los números, un entendimiento sonoro de su naturaleza y de la naturaleza de las operaciones, una necesidad de examinar la razón de los resultados, un sentido de los efectos relativos de operar con números, un sentir por órdenes de magnitud, y la libertad para reinventar maneras de operar con los números en forma diferente a la repetición mecánica de lo que fue enseñado y memorizado. ¿Existe una situación paralela con el álgebra? ¿la comunidad de educación matemática ya no considera las manipulaciones simbólicas como el tema central en la instrucción del álgebra? La respuesta parecen ser afirmativa a la luz de la emergencia de los manipuladores simbólicos y, en parte, porque muchos estudiantes de la secundaria le dan poco sentido a los símbolos literales, aun aunque hayan tenido años de instrucción de álgebra. Aún aquellos estudiantes que logran manejar con éxito las técnicas algebraicas, a menudo fracasan en ver al álgebra como una herramienta para entender, expresar y comunicar las generalizaciones, para revelar estructuras, y para establecer conexiones y formular argumentos matemáticos (pruebas). La instrucción no siempre provee las oportunidades tanto de no memorizar como tampoco de olvidarse de las reglas y los detalles y ser capaces de ver a través de ellas a fin de pensar, abstraer, generalizar y planificar estrategias para la solución. Por consiguiente sería razonable intentar una descripción de la noción paralela a la de sentido del número en aritmética: la idea de sentido del símbolo1.
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Por símbolo entendemos los símbolos sí mbolos literales, como se utilizan en el álgebra de la escuela secundaria. 1
¿QUÉ ES EL SENTIDO DE SÍMBOLO? UNA PRIMERA APROXIMACIÓN, UN PRIMER ROUND Si se compara con la atención at ención que se le ha dado al sentido del número, hay muy poca literatura sobre sentido del símbolo. A excepción de Fey (1990) si bien él no define el sentido del símbolo directamente, él lista ¨ un grupo razonable de objetivos o metas para enseñarlo, el cual incluye los siguientes temas básicos: - la capacidad de explorar (Scan) una expresión algebraica para hacer estimaciones de los patrones que emergerían en representaciones numéricas y/o gráficas. - la capacidad de hacer comparaciones ilustradas de los órdenes de magnitud para las funciones con fórmula de la forma n, n 2, n3,........y nk.... - la capacidad para explorar una tabla de valores de función o un gráfico o de interpretar verbalmente las condiciones establecidas, de identificar la forma probable para una regla algebraica que exprese el patrón apropiado. - la capacidad de inspeccionar las operaciones algebraicas y de predecir la forma del resultado, o, como en la estimación aritmética, inspeccionar el resultado y juzgar la verosimilitud de que se haya realizado correctamente. - la capacidad de determinar cuál de varias formas equivalentes podría ser la más apropiada para responder a una pregunta particular. En este trabajo intentaremos extendernos sobre las situaciones antes mencionadas tanto en número como en contenido. Al igual que Fey, no intentamos definir el sentido del símbolo, la tarea es muy complicada. Creemos que se ha hablado y discutido mucho y ampliamente sobre el sentido del número (Sowder y Schappelle,1989), y la definición se ha visto que es extremadamente difusa. Por consiguiente nos concentraremos en describir y discutir las conductas que consideramos como ejemplos de sentido del símbolo. Un aparte metodológico: ya que no intentamos describir ni aquí ni en el resto del artículo una investigación sobre el conocimiento que tenían los estudiantes y las maneras de aprender, podemos ser indulgentes con las interpretaciones de los datos anecdóticos que proveemos. De esta manera nos proponemos quitar los riesgos que existen de que no interpretemos bien los comentarios de los estudiantes (ya sea sobreevaluándolos o subestimándolos) . Traemos los ejemplos como meras ilustraciones de instancias en las cuales aparece el sentido del símbolo, de acuerdo con nuestro punto de vista. CONDUCTA Nº 1 HACERSE AMIGOS DE LOS SÍMBOLOS. Nosotros creemos que tener sentido del símbolo debería incluir el sentimiento intuitivo de cuándo convocar a los símbolos en el proceso de resolver un problema, y recíprocamente, cuándo abandonar un tratamiento simbólico sustituyéndolo por herramientas mejores. ¿PARA QUÉ SON LOS BUENOS AMIGOS? El siguiente es el desarrollo de una lección que repetimos varias veces. Comenzamos presentando cuadrados mágicos de tres por tres, y luego les presentamos el primer ejercicio; "Complete los casilleros o celdas vacías a fin de obtener un cuadrado mágico con la suma de 9¨:
2
3 2
1
continuamos con este:
2 1
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en el cual la suma debe ser 6. Esto introduce a los números negativos como lícitos o legítimos. Luego, dependiendo del curso, les damos uno o dos cuadrados mágicos más simples antes del siguiente, para el cual la suma exigida sea 8.
4 2
2
Como todos los ejemplos previos funcionaron tan fácilmente, en este, que no resultaba tan fácil, sobrevino la sorpresa. Luego de controlar su aritmética más de una vez, o comenzar en una celda diferente, algunos estudiantes comenzaron a sugerir que era una “misión imposible”, otros continuaron haciendo aritmética guiados por una certeza implícita de que ellos debían haber cometido un error. Una vez que todos los alumnos están convencidos de que no existe solución, la pregunta que surge naturalmente es: ¿cómo puede ser que con los otros haya funcionado y con este no? Ciertamente parece depender de los datos, y los estudiantes sugieren muchas conjeturas. Por ejemplo, el último cuadrado mágico no funciona porque la suma requerida es exactamente la suma de los tres números dados. Hubo discusiones, conjeturas, ejemplos y contraejemplos que dejaron a unos pocos estudiantes sin postura comprometida. En la mayoría de los casos pasa bastante tiempo antes de que alguno de ellos muy tímidamente sugiera usar álgebra, o directamente somos nosotros los que debemos promover su uso, por ejemplo preguntando ¿Cuáles herramientas tenemos a nuestra disposición en esta situación para verificar o refutar las conjeturas?. En una oportunidad después de que se mencionara al álgebra, un alumno escéptico preguntó ¿cómo es que las letras pueden ayudarnos acá? Podríamos decir que los individuos que saben como realizar manipulaciones algebraicas, pero no las tienen en cuenta ni consideran la posible relevancia de los símbolos para revelar o descubrir la estructura de un problema que les ha causado curiosidad, son individuos que no desarrollaron en forma completa o completamente su sentido de símbolo. El tener sentido de símbolo implica e incluye la invocación relevante del álgebra, es decir en otras palabras, tener a los símbolos a mano, rápidamente disponibles, como posibles herramientas. 3
Más evidencia de la ausencia de sentido de símbolo se evidenció o notó cuando los alumnos estaban resolviendo un problema algebraicamente y algunos alumnos, en principio, eran incapaces de reconocer la solución aún si la tenían delante de ellos. Por ejemplo, en una ocasión, en el proceso de completar el cuadrado mágico llegamos al siguiente estadio, donde a, b y c son los números dados, y S es la suma dada. 5-b-c b+c+a
5-a-b b
a
c
El completar la primera celda involucra darse cuenta o la realización de que su contenido se debería expresar en términos de S, a y b. algunos estudiantes principiantes de álgebra se pueden tentar de introducir una nueva variable, ya sea porque no saben qué es exactamente lo que están buscando o porque no tienen suficiente experiencia en como los símbolos muestran las relaciones. En este caso, las celdas indicadas como 1, 2 y 3, se completaron sin dificultad, y la celda 4 se completó por la suma de columna para obtener a+b-c. En este punto, alguien se dio cuenta de que la expresión para la suma de la fila del medio era 3b y de que no tenía S. Les llevó un rato a los estudiantes de ese curso darse cuenta de que si ellos querían que la suma fuera S, entonces S= 3b expresa en forma precisa la condición buscada. Así, a nosotros nos gustaría que el sentido de símbolo incluyera la invocación de los símbolos donde fuera adecuado y apropiado, y el reconocimiento del significado de la solución simbólica. Tal vez quisiéramos incluir un poco más. Aún si se usan los símbolos, y se reconoce la solución que ellos proveen, sería deseable que los estudiantes aprecien el poder de los símbolos: solamente con el uso de símbolos una conjetura o un argumento puede ser rechazado o aceptado en forma concluyente. Otro ejemplo simple y claro de esto es el siguiente: Consideremos un rectángulo. ¿Qué le sucedería a su área si una de sus dimensiones se aumenta en un 10% y la otra es reducida en un 10%? La reacción inicial de los estudiantes es que ¨no se produce cambio probablemente por compensación. ¨ el cambio que se produce depende de qué dimensión se aumenta y de cual se disminuye ¨. Los cálculos numéricos simples muestran que existe una disminución aparente en todos los casos, pero solamente cuando convocamos a los símbolos es que el resultado se torna obvio y contundente. Si a o b son las dimensiones originales, entonces el área del nuevo rectángulo va a ser o 1.1a .0.9b ó 0.9a.1.1b, a saber 0.99ab, en ambos casos. De una manera muy hermosamente concisa, los símbolos expresan el escenario completo del problema, primero el área siempre disminuye, segundo, siempre lo hace en un 1% , tercero, el resultado es independiente de que dimensión sea incrementada y de cuál sea reducida o disminuida. A nosotros nos gustaría que los estudiantes ¨vieran¨ la solución simbólica y que estuvieran convencidos de que es así. Aun cuando contradiga a nuestras intuiciones iniciales sobre este problema. Los expertos con quienes hablamos consideraron 0.99ab no solo como la solución sino también como un vehículo o transporte a su explicación ¨. Así, creemos que el sentido de símbolo debería incluir, mas allá de la invocación relevante de los símbolos y de su uso correcto, la apreciación de la elegancia, de la brevedad, de la comunicabilidad y el poder de los símbolos para mostrar y probar relaciones en un sentido en que con la aritmética no puede hacerse.
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CUANDO LOS AMIGOS SON MENOS AMIGABLES Si el sentido de símbolo nos exige que invoquemos a los símbolos cuando ellos son apropiados o indispensables, entonces el sentido de símbolo nos pide que los abandonemos cuando estemos por ahogarnos en las manipulaciones técnicas. Consideramos dos ejemplos: ¿Para qué valores de a el par de ecuaciones x2- y2= 0 (x-a)2 + y2 =1 tienen ó 0,1,2,3,4,5,6,7, u 8 soluciones ? Como ya mencionáramos anteriormente, estos problemas que se inician en términos algebraicos, nos invitan o inducen, en manera fuerte, a una solución algebraica, por consiguiente, no sorprende que muchos estudiantes se lancen a la pelea con los símbolos sin darse cuenta o percatándose de que las manipulaciones algebraicas pueden ser bastantes trabajosas y propensas de error. La decisión de descartar la tentación inicial casi inevitable a proceder principalmente simbólicamente, requiere de una armonía saludable de ´control´ con el sentido del símbolo. Briefly afirma que control es: “una categoría de conducta que trata con las maneras en que los individuos usan la información que está potencialmente a su disposición. Se enfoca sobre las decisiones mayores acerca de qué hacer en un problema, decisiones que dentro y fuera de ellas mismas pueden lograr o romper el intento de solucionar un problema. Las conductas de interés incluyen el elaborar planes, elegir los objetivos, y las submetas, monitorear y valorar las soluciones a medida de que estas evolucionan, y revisar o abandonar los planes cuando las valoraciones indican que es necesario o que tal medida debe ser tomada¨ (Schoenfeld, 1985). En nuestro ejemplo, la decisión directiva de cambiar el curso de la acción involucra mucho más que eso, también está motivada y conducida por un sentido de la estética de la elegancia, de la eficiencia, y de la apreciación (o tal vez la creencia) de que el trabajo matemático incluye mucho más que el estoicismo de embarcarse en escabrosas manipulaciones simbólicas. La idea es desarrollar reacciones del tipo : ¨ esto incluye un trabajo mucho más difícil, técnico y poco interesante, tiene que existir otra aproximación, debe existir otra manera ¨ La otra aproximación podría surgir a través de considerar el problema en una forma diferente, o cambiando su representación, en este caso, un gráfico cartesiano y las consiguientes consideraciones geométricas subsecuentes sugieren otra manera de visualizar y de ver este problema : el número de intersecciones entre las dos diagonales del plano cartesiano (x 2-y2=0, a saber y= ± x) y una familia de círculos de radio 1 cuyos centros descansen o caigan en el eje de las x. De ahí en mas la solución es bastante fácil. Se pueden hacer consideraciones similares para abandonar las manipulaciones algebraicas en favor de otras representaciones cuando, por ejemplo se resuelve x − 2 f x − 6 , el tratamiento algebraico de este problema involucra inevitablemente el pesado uso de conectivos lógicos, mucho trabajo técnico y una alta probabilidad de cometer errores. En lugar de los eficaces símbolos, actuar con sentido de símbolo implicaría recobrar los significados: x − 2 es la distancia de cualquier número desde 2, así lo que el problema requiere es encontrar los números cuyas distancias desde 2 es mayor que sus distancias desde 6. Un simple diagrama numérico lineal, una mera aproximación verbal puede solucionar este problema. Otra aproximación posible es considerar x − 2 y x − 6 como
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función de x, en tal caso la solución de este problema es también inmediata a partir de los correspondientes gráficos cartesianos. (Friedlander y Hadas, 1988). En los ejemplos anteriores el sentido de símbolo, implicaría el sentimiento premonitorio de que la persistencia con una solución simbólica nos causaría muchísimo trabajo, más aún, incluiría la tendencia a intentar otras maneras de representar el problema, bajo la creencia o convicción de que pueden existir aproximaciones más directas y más elegantes y que las deberíamos de considerar. En otras palabras, el sentido de símbolo incluye la sensación o sentimiento que nos permite decidir cuando invocar a los símbolos y también cuando es conveniente abandonarlos. CONDUCTA Nº 2 MANIPULACIONES Y MÁS: LECTURA A TRAVÉS DE LOS SÍMBOLOS El resolver las ecuaciones algebraicas simples no pide más que manipulaciones estándares a fin de lograr el resultado deseado, y la única “lectura" significativa requerida es darle sentido a la respuesta en la forma de x=............... En realidad, desde un punto de vista, esta es una de las fuerzas de los símbolos - ellos nos permiten separarnos de, e inclusive olvidarnos, de sus referentes a fin de producir resultados eficientemente. Alfred Whitehead (1911) señaló “la enorme importancia de una buena notación” y de la naturaleza de los símbolos en las matemáticas: “... con la ayuda de los símbolos, podemos hacer transiciones en el razonamiento en forma casi mecánica a través de los ojos, lo que de otra manera tendría que recurrir a jugar con facultades mucho más superiores en el cerebro. Es una verdad profundamente errónea, que se repite en todos los libros y que repite gente eminente cuando están dando sus discursos o conferencias, de que nosotros deberíamos cultivar el arte de pensar acerca de lo que estamos haciendo. El caso es exactamente lo opuesto. La civilización avanza extendiendo la cantidad de operaciones importantes que los humanos podemos realizar sin pensar en ellas. Las operaciones del pensamiento son como los cargos de caballería en una batalla: son estrictamente limitados en cuanto a cantidad, requieren de agua fresca, y solo aparecen en los momentos decisivos.” (Whitehead, 1911) Sin embargo, pensamos que es posible que Whitehead estuviera de acuerdo con Freudentahal (1983) “He observado, y no solo en otras personas sino también en mi mismo ... que las fuentes del discernimiento o el conocimiento profundo pueden llegar a estar muy obstaculizada por los automatismos. Una persona termina realizando una tarea u actividad tan perfectamente que ya no existe, uno no se plantea, la pregunta de cómo y por qué, ya no se formula ni puede ser formulada, y ya ni siquiera es entendida como una pregunta relevante y significativa, llena de sentido.” Interrumpir un procedimiento simbólico mecánico a fin de inspeccionar y re- conectarse uno mismo con los significados subyacentes podría ser, un ejercicio útil para quitar obstáculos o trabas, llamémosle desobstaculizador, para usar el lenguaje de Freudenthal. LEER EN LUGAR DE MANIPULAR Por ejemplo, mientras una alumna simplificaba una ecuación lineal para obtener un solución, la estudiante llegó a lo siguiente 3x+5=4x. En lugar de proceder en forma mecánica, es decir ¨sustraer 3x en ambos lados¨ se detuvo y cambió a un modo diferente: la lectura de los símbolos. Se percató de que si quería obtener 4x en la derecha desde 3x en la izquierda, uno tendría que sumar una x, por consiguiente el valor del sumando 5 debería ser el valor de x. A pesar de que no se puede distinguir entre el método matemático estándar y el método de esta estudiante, psicológicamente hay 6
una diferencia importante. Pensamos que interrumpir una rutina casi automática a fin de leer y darse cuanta de la relación simbólica, como pasó en este caso, es una pequeña instancia pero saludable del sentido de símbolo. LEER Y MANIPULAR La solución de las ecuaciones algebraicas simples, como las que generalmente se encuentran en los libros de texto estándares y como las que se enseñan normalmente en clase, automáticamente despiertan un instinto para la manipulación técnica., de forma tal que se requiere de cierta madurez para rechazar la invitación de comenzar un ejercicio, por ejemplo
2 x + 3 = 2 , y en cambio intentar 4 x + 6
leer el significado contenido dentro de los símbolos. En este caso, la persona podría darse cuenta, que cualquiera sea x, ya que el numerador es la mitad del denominador, esta ecuación no puede tener una solución. Y nosotros bregamos que esta inspección de los símbolos que se realiza a-priori con la expectativa de poder imaginar y lograr tener un sentido del problema y de su significado es otro ejemplo de sentido de símbolo. Uno de los estudiantes avanzó un poco más en este ejercicio. Luego de percatarse, como el anterior, de que no había solución, el dijo: "perfecto, entonces este problema no tiene solución, pero ¿qué pasaría si yo lo ¨resuelvo¨ de todas formas?". Probablemente este alumno, para el cual la idea de resolver significaba aplicar los procedimientos mecánicos que conducen a hallar un valor de x =................, parecía estar expresando su propia necesidad de sentir en qué manera el álgebra expresa la ausencia de solución. Desafortunadamente, el álgebra no está muy próxima: sin lugar a dudas, las manipulaciones técnicas nos llevarán a obtener x = -1 1/2. Nuestro alumno está confundido con esta contradicción, y le llevó cierto tiempo el poder resolverla. Cuando el sustituyó x = -1 1/2, ahí se dio cuenta de que ese es el valor que a uno no se le permite sustituir. De esta manera el alumno confirmó que su olfato o sentir eran correctos. Él no dijo mucho, sin embargo, le sugerimos de que él estaba aprendiendo algo acerca "del lenguaje de los símbolos" y de cuán engañosos pueden ser si uno trata de forzarlos o arremeterlos apresuradamente sin un criterio sensato para el razonamiento. LA LECTURA COMO OBJETIVO PARA LAS MANIPULACIONES Existen ciertas situaciones en las cuales es esencial el leer a través de los símbolos. Por ejemplo: "¿Qué se puede decir de los números que resultan de las diferencias entre la tercer potencia de un número entero y el número mismo ( n3 − n ) ? (este problema lo pedimos prestado a Fischbein y Kedem, 1982). Si utilizamos una Polya heuristic standard para considerar casos especiales, podremos anoticiarnos de que los números obtenidos son múltiplos de 6. Los símbolos son necesarios para probarnos de que esto siempre ocurre, es decir de que este es el caso. Sin embargo, una simple manipulación algebraica, por ejemplo, la factorización n3 − n = n ( n − 1)( n + 1) , por si sola no nos ayuda mucho. Solamente si leemos los significados de los símbolos, nos daremos cuenta de que el miembro de la derecha representa el producto de tres números enteros consecutivos, y que por lo menos uno de ellos es par y uno de ellos debe ser múltiplo de 3, y así se podrá completar nuestro argumento. En los ejemplos anteriores se ilustra un aspecto del sentido de símbolo que consiste en la búsqueda del significado del símbolo, ya sea por que es esencial para la solución del problema o por que agrega meramente conocimiento o discernimiento. LEER PARA LA RAZÓN Tomamos como ejemplo de este aspecto, algo que reexaminamos de uno de los clásicos de la literatura de educación de la matemática: el problema de los estudiantes y los profesores.
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"Escribir usando las variables S y P, la siguiente afirmación: hay 6 veces más alumnos que profesores en esta universidad." (Clement, 1982) Este hallazgo en Clement (1982) demuestra que más del 30% de 150 estudiantes de primer año de ingeniería que contestaron en el examen fallaron en resolver correctamente el problema. La típica respuesta incorrecta que se registró fue 6S=P. Estos hallazgos se condicen con otros obtenidos cuando se investigaba en qué manera los alumnos resolvían este problema. Nosotros creemos que, al menos para algunos de los estudiantes, este error no es una manifestación de un concepto erróneo profundo acerca de la noción de la variable, como tampoco es una equivocación o misconception grave el creer que los dos segmentos paralelos de la figura siguiente tienen largos diferentes o distintos.
En la figura, los círculos actúan como un marco de distracción, algo que nos distrae de la referencia la cual inclina fuertemente, influye y predispone nuestra percepción del largo de los dos segmentos. Al igual que como el mismo Clement señala, en el problema de los estudiantes y los profesores, existe un distractor de lenguaje, por ejemplo el orden de las palabras claves (seis veces la misma cantidad de estudiantes) lo cual podría desviar (o influir sobre) nuestro entendimiento hacia la traducción literal, palabra por palabra como 6S=P. En este caso nosotros no podemos afirmar que el tener sentido de símbolo vaya necesariamente a impedir o evitar el cometer error. Muchos estudiantes y profesores pueden caer dentro de estos distractores lingüísticos mientras construyen un modelo simbólico para los problemas de este tipo y cometen el error. Lo que sí decimos, en este caso, es que el sentido de símbolo consistiría en desarrollar el saludable hábito o costumbre de releer y controlar (por simple sustitución, por ejemplo) la razón de la expresión simbólica que uno ha construido. El estar alerta y el saber de que uno puede ser víctima de "ilusiones simbólicas" puede que no impida ni evite un misconception, pero puede reforzar la necesidad de controlar y poder así superarlo. CONDUCTA Nº 3 EL MANEJO O INGENIERÍA DE LAS EXPRESIONES SIMBÓLICAS Existe un juego de computadora que consiste de una pantalla que muestra una cartilla cartesiana con globos ubicados aleatoriamente. El objeto del juego es ingresar una función en forma algebraica cuyo gráfico golpee a la mayor cantidad posible de globos contenidos en la cartilla. El jugador se debe imaginar el gráfico deseado, cuya fórmula algebraica correspondiente tiene que ser construida, ya que esa es la única manera por la cual la computadora dibujará el gráfico. Dugdale (1993) nos da un ejemplo sobre la interesante conducta de un alumno respecto a este juego. Con el propósito de aumentar la cantidad de globos golpeados, el estudiante modificó una simple función cuadrática de la siguiente manera:
y = 13 ( x + 2 )
2
−
7+
1 x − 3.5
8
El gráfico obtenido muestra una copia de la pantalla (Dugdale, 1993)
Agregando el término racional
+
1 x − 3.5
a la función y = 13 ( x + 2 )
2
−
7 cuyo gráfico se
visualiza como el de una parábola, el estudiante mostró tener un considerable sentido de símbolo. Él fue capaz de crear una expresión algebraica para el gráfico que él quería que fuera una parábola en casi todos los puntos, pero que se comporta como una línea vertical en una proximidad deseada. Así, él agregó un término racional que no afecta en forma significativa al gráfico excepto en el caso en que x se acerca a 3.5, pero en la proximidad de su discontinuidad el gráfico se quiebra o salta para alcanzar a tres globos extras. Consideramos que este razonamiento muestra un nivel cognitivo superior del sentido de símbolo que el que ilustráramos en la conducta 2. En ese ejemplo, sugeríamos que, dados los símbolos, el sentido del símbolo incluiría ¨leer¨ significados a través de ellos, o hacer una lectura a partir de los símbolos. Y ahora proponemos que el sentido de símbolo también involucra: primero, una apreciación de que se puede crear una expresión simbólica ad hoc para cumplimentar un propósito deseado, y que podemos elaborarla, segundo, y más específicamente, es el darse cuenta de que lo que se necesita es una expresión, con determinadas características (en este caso un término racional). Finalmente, el sentido del símbolo debería incluir la capacidad de elaborar esa expresión con éxito, es decir ser capaces de crear la expresión adecuada. CONDUCTA Nº 4 EXPRESIONES EQUIVALENTES PARA SIGNIFICADOS NO-EQUIVALENTES Comenzamos esta sección con dos ejemplos. Cuando se trabajaba con la fórmula para calcular la media aritmética entre dos números, un estudiante observó que una simple manipulación de símbolos transforma
a+b en 2
a b . + 2 2
Pero, esta estudiante no se detuvo ahí, sino que irrumpió con una nueva conceptualización de la media de dos números: ¨ es un número formado por la mitad de uno de los números y la mitad del otro ¨ esta reconceptualización surgió de considerar expresiones simbólicas equivalentes no como meros resultados formales sino como posibles fuentes de nuevos significados.
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El siguiente es otro ejemplo de una conducta similar. ¨ tomen un número impar, elévenlo al cuadrado y luego réstenle 1. ¿Qué podemos decir acerca del número resultante? ¨. Este problema se puede representar de la siguiente manera ( 2n − 1)
2
−
1.
Luego podemos proceder para obtener la forma equivalente 4n 2 − 4n a fin de lograr llegar a la conclusión general. A primera vista, la conclusión es que el número resultante es múltiplo de 4, sin embargo, si re-acomodamos los símbolos, lo primero que obtenemos es 4n 2 − 4n = 4n ( n − 1) , y si ahora leemos dentro de los símbolos, podemos llegar a darnos cuenta de que el resultado es siempre múltiplo de 8 (ya que n y n − 1 son números enteros consecutivos y uno tiene que ser par. Un reacomodamiento posterior o mayor de los símbolos nos revela mucho más aún. Si escribimos
4n ( n − 1) como 8
n ( n − 1) no sólo que es más evidente de que los números resultantes son 2
múltiplos de 8, sino que también se manifiesta de que son múltiplos de 8 muy especiales: aquellos en los que el otro factor es un número triangular. Estos dos ejemplos comparten una historia común. Ambos ganaron mayor significados cuando se lograron expresiones equivalentes derivadas de la manipulaciones de símbolos. Nosotros creemos que el sentir o el tener confianza en los símbolos que nos conducen o guían en la búsqueda de nuevos aspectos para los significados originales, constituyen otra faceta del sentido de símbolo. CONDUCTA Nº 5 LA ELECCIÓN DE LOS SÍMBOLOS Cuando convertimos o representamos una situación en/con símbolos, uno de los primeros pasos a elegir es qué se va a representar y cómo se va hacer esa elección, como veremos en los próximos ejemplos, puede tener efectos cruciales sobre el proceso de solución, y sobre los resultados. Primero hemos de considerar el último ejemplo de la sección anterior. Si al número impar dado lo representamos con n en lugar de 2n − 1 , la expresión que obtenemos es n 2 − 1 , a pesar de que la elección de la variable es legitima, los hallazgos resultantes son menos informativos, o tiene menor probabilidad de serlo. Así si nosotros factorizamos n 2 − 1 = ( n −1)( n + 1) podremos leer de esta expresión que el número resultante es siempre el producto de dos números pares consecutivos. Uno de esos números debe ser múltiplo de 4, de manera que podemos concluir en que el resultado es un múltiplo de 8. Sin embargo, no es claro cuáles son los múltiplos de 8 que se obtienen. Al elegir 2n − 1 para representar el número impar, como opuesto a n , nos muestra más acerca de la información dada que fue convertida en una elección de símbolos, y así el producto final nos muestra más aspectos de lo que es la ¨ estructura ¨ de la situación. Otros ejemplos simples de las elecciones alternativas de variables son: elegir para representar la suma de dos números negativos como a + b o como −a − b (dependiendo en si nosotros seleccionamos a y b para representar a los números negativos o a los números naturales). También el seleccionar representar un número racional como a o como
p (donde p y q son q
números naturales). El sentido de símbolo nos ayuda a realizar la elección más apropiada o más adecuada teniendo en cuenta el objetivo del problema. La elección de los símbolos no solo puede obscurecer parte de la situación, como en el primer ejemplo arriba dado, sino que también puede impedir llegar a la solución. Consideremos el siguiente problema:
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Juan fue al banco a cambiar un cheque (hacer efectivo un cheque) por una suma menor de $100. El cajero confundió los centavos con los dólares (es decir, si la suma del cheque era de $19.45, el cajero le pagó a Juan $ 45.19). Juan recogió el dinero y luego de haber gastado $3.5, se percató de que tenía exactamente el doble de la cantidad escrita en el cheque. ¿Por qué cantidad se había librado el cheque? ¿ qué importe tenía el cheque? (Snark, 1977) Si uno elige a x para representar el monto del cheque, cualquier progreso es extremadamente improbable. Por otro lado, si representamos cada uno de los cuatro dígitos por una variable, las cosa se nos complicaría mucho en corto tiempo. La elección optima parecería ser el representar a los centavos con una variable y a los dólares con otra, cada variable evocando un número de dos dígitos. No pretendemos ni deseamos implicar que una elección desafortunada de variables en el comienzo de un proceso de solución necesariamente indica que hay ausencia o que falta el sentido de símbolo, pero sí quisiéramos por lo menos un conocimiento de al menos tres hechos: Primero, la libertad para representar el problema como uno desee hacerlo. Aún cuando los símbolos representen el mismo “tipo” de número, deben existir diferentes formas o maneras de elegirlos. Por ejemplo, tres enteros consecutivos pueden representarse ya sea como n , n + 1 , n + 2 o como n − 1 , n , n + 2 o como n − 2 , n − 1 , n . La elección simplemente nos puede llevar a una simplificación del cálculo, o al cálculo final. Segundo, el darse cuenta de que una elección inicial de símbolos no es de manera alguna la única a seguir, y que si uno lo desea el problema puede ser vuelto a representar por propia decisión o porque la elección inicial parece ser improductiva. Tercero, en algunos casos, como en el del primer ejemplo, creemos que al sentido de símbolo es necesario adicionarle algo de sentido premonitorio (un sentir de lo que es óptimo), para obtener una mejor elección de símbolos. CONDUCTA Nº 6 HABILIDAD PARA HACER MANIPULACIONES FLEXIBLES Aún en aquellos contextos en los cuales coincidimos plenamente con Whithead de que uno debería olvidarse del sentido o el significado, y debería ser capaz de realizar manipulaciones mecánicamente, creemos que debería existir o debería haber un sentido de símbolo formal o técnico, controlando el trabajo, sentido de símbolo que nos guíe. Tener una correcta manipulación de los símbolos consiste en mucho más que una avidez por las reglas, hay muchos aspectos más en el sentir los símbolos. Aún cuando uno conscientemente olvide o ignore sus referentes. Por ejemplo, el darse cuenta de la existencia de una circularidad potencial en la manipulación de símbolos, el punto de vista gestalt de algunas expresiones simbólicas, y las manipulaciones nos llevaron hacia los “blancos” /objetivos formales. CIRCULARIDAD Por circularidad entendemos al proceso de manipulación simbólica que culmina en una identidad obvia o tautológica, que no es ni productiva ni informativa. La capacidad para anticiparse a tal circularidad es una manifestación del sentido de símbolo. Por otra parte, cuando no se anticipa esa circularidad, el tener sentido de símbolo prevendría la parálisis. Por ejemplo, el sentido de símbolo nos dispararía como flechas hacia otros enfoques, nos induciría a una respuesta natural de búsqueda de nuevos enfoques, nuevos acercamientos. (Ver las notas de Wenger 1987) . “GESTALT” El tener un punto de vista Gestalt es sentir a los símbolos no solo como una concatenación de letras, sino además ser capaces de discernir formas, como por ejemplo, en Wenger 1987: “si uno es capaz de ver (a pesar de lo escabroso que es el camino a través de los símbolos) y de observar que la ecuación Nº 1 ( v u = 1 + 2v 1 + u la cual requiere resuelta para v ), es lineal en v , el problema está esencialmente resuelto. 11
Una ecuación de la forma av = b + cv , tiene una solución de la forma v =
b
a −c si a ≠ c , sin importar cuán complicadas pueden llegar a ser las expresiones a , b y c Sin embargo la mayoría de los estudiantes todavía tiene muchísima dificultad para .
resolver este tipo de problemas. Generalmente comienzan a realizar transformaciones permitidas de las ecuaciones, pero comienzan a tener ecuaciones que resultan ser cada vez más difíciles de manejar. Es posible que den vueltas en círculo y luego de tres o cuatro manipulaciones lleguen a una ecuación a la que ya habían derivado. También se debe notar que en estos ejemplos los estudiantes a veces realizan las manipulaciones correctamente...” La primera parte de la cita anterior es un ejemplo de lo que nosotros denominamos ¨ gestalt ¨. En la segunda mitad los comentarios se relacionan con la circularidad. En el mismo párrafo, Wenger también dice que los estudiantes ¨ a menudo parecen elegir su próximo movimiento casi aleatoriamente, en lugar de hacerlo con propósito específico en mente. Esta última acotación nos conduce a la próxima sub- sección.
BLANCOS FORMALES u objetivos formales. “Se dibuja un rectángulo (el término también incluye al cuadrado) sobre papel gráfico, y los bordes son celdas sombreadas.
En este caso el número de celdas sombreadas en los bordes no es igual al número de celdas sin sombrear que están en el interior. La pregunta (del problema 87 sacada de Longley-cook 1965 como aparece en Gardner, 1983) es: ¿Es posible dibujar un rectángulo tal que su borde (que debe ser del ancho de una celda) contenga la misma cantidad de celdas que el interior?” La siguiente es una solución que efectuó un matemático. Primero comenzó por colocar el número total de celdas en los bordes como la ecuación
2a + 2 ( b − 2 ) y la ecuación ab − 2a + 2 ( b − 2 ) para el total de celdas del interior. Luego de reducir términos, obtuvo la ecuación
ab − 4a − 4b − 8 = 0 (1) Esta expresión le sugirió buscar una posible factorización, a través de la cual podría ser fácil leer todos los posibles valores enteros de a y b . Su primer ensayo llegó a a ( b − 4 ) − 4 ( b − 2 ) = 0 , pero no se pudo completar más la factorización. Sin embargo el matemático se apercibió de que si transforma (b-2) en (b-4) sí se puede completar la factorización. Él hizo eso agregando 16 a ambos lados de (1), lo que lo condujo a obtener ( b − 4 )( a − 4 ) = 8 , ecuación que le permitió obtener los dos únicos rectángulos con los que se puede resolver este problema 6x8 y 5x12. Esta solución ilustra el sentido de símbolo en dos fases o estadíos: primero la persona que resuelve visualiza un objetivo simbólico y su forma, forma que le es fácil de manejar y de interpretar. Luego,
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elige deliberadamente las manipulaciones formales que se necesitan para lograr llegar al objetivo seleccionado. CONDUCTA Nº 7 LOS SÍMBOLOS EN RETROSPECCIÓN Observamos en una clase de un curso de nivel no-graduados, una manera muy diferente de solución para este problema anterior del rectángulo luego de que muchos de los alumnos perdieron mucho tiempo peleando con los símbolos sin lograr muchos progresos, a uno de los estudiantes se le ocurrió la solución que habíamos planteado antes, la solución mostrada anteriormente. Al llegar a este punto, una matemática que estaba auditando la clase, decidió presentar su propia solución, la cual de manera sorprendente no usaba los símbolos para nada. De acuerdo con su propio testimonio, a ella le surgió la inspiración de sus conocimientos de la técnica de plegado de papel japonesa, denominada Origami. La matemática ¨dobló¨ mentalmente una de las filas o hileras de los bordes dentro de la hilera o fila adyacente inmediata, y así el número de celdas en el interior y en el borde coinciden excepto por dos celdas extras en los bordes. Repitiendo la misma operación con la otra fila del borde, se agregan dos celdas más que no coinciden. Después ella dobló las dos columnas de los bordes (sin que las celdas de las esquinas estuvieran dobladas hacia adentro), logrando cuatro celdas adicionales que no coinciden hasta hacer un total de 8 (dos celdas extras de cada esquina). Ahora para lograr que el número de celdas del interior coincida completamente con el número de celdas de los bordes, todo lo que ella necesitaba hacer era hacer coincidir estas 8 celdas. A tal fin la matemática necesitaba 8 celdas interiores (no coincidentes) que formen un rectángulo, y existen solo dos posibilidades : 1X8 y 2X4. Desdoblando el Origami en cada caso, ella obtuvo los dos rectángulos originales que el problema pedía. La explicación verbal puede ser un poco complicada, pero ciertamente es muy clara si uno realiza el doblado del papel.. Esta es una solución muy ingeniosa y hermosa en si misma, completamente general, sin usar símbolos y muy agradable a la vista. Otro alumno de esa clase notó lo que para él fue un aspecto interesante y sorprendente de esta solución alternativa : aún cuando no presenta símbolos, ningún símbolo está presente, esta solución práctica está íntimamente relacionada con la solución algebraica presentada anteriormente (descripta en la conducta 6). Este alumno remarcó el hecho de que cuando se resuelve una ecuación algebraica que modela un problema, nosotros mismos nos separamos o alejamos del significado de los símbolos y de sus referentes. Generalmente no asociamos a los pasos intermedios como que tienen un significado con referencia al problema. Son pasos que efectuamos de manera primordialmente mecánica (y eficiente), con manipulaciones mecánicas que nos conducen a la solución. Sin embargo en este caso, la solución simbólica y la solución origami tienen un significativo punto de contacto. En la solución algebraica el 8 parecía surgir como un mero artefacto de la manipulación simbólica en el proceso de obtención de nuestro objetivo formal : la ecuación factorizada (b-4) (a-4)=8. Sin embargo, a posteriori, la solución Origami le dio significado al 8 y a toda la ecuación. Cuando uno resuelve un problema construyendo un modelo matemático de una situación, habitualmente los símbolos y los significados se conectan en el comienzo, al principio (cuando se establece el modelo) y al final (para interpretar el resultado en términos de la situación modelada). Pero en los pasos intermedios, uno generalmente va haciendo progresos con la simple ejecución de derivaciones formales cuyos significados, en términos de la situación, no son considerados, ni tenidos en cuenta. Nosotros creemos que los símbolos verdaderamente le ¨ hablaron en voz alta ¨ a este estudiante, ya que él fue capaz de reconocer el significado que había en ellos en los pasos intermedios, lo cual generalmente no es ni necesario ni común de hacer. Creemos que esta conducta es un lindo ejemplo de sentido de símbolo.
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CONDUCTA Nº 8 LOS SÍMBOLOS EN CONTEXTO Consideremos, por ejemplo, el caso de la relación general lineal y = mx + b . Aún cuando x, y (las variables) y m, b (los parámetros) representan números, los tipos de objetos matemáticos que uno obtiene en ellos son muy diferentes. En términos del Plano Cartesiano, elegir valores numéricos para x e y, fija un punto de todo el conjunto de todos los puntos, y los valores numéricos de m y b fijan una línea de todo el conjunto de todas las líneas., Así, y=b se puede interpretar de dos maneras diferentes dependiendo del contexto. Si es el resultado de sustituir x=0 en y=mx+b, entonces lo que hemos encontrado es la correspondiente y-coordenada (o la familia de y-coordenadas), es decir el punto donde una línea de la forma y=mx+b intercepta el eje de las y. Pero, por otro lado, y=b se obtiene como resultado de sustituir m=0 en y=mx+b, y lo que hemos encontrado es la familia de líneas de pendiente cero. En esta sección les sugerimos que un componente deseable del sentido de símbolo consiste en un reconocimiento operativo y ¨ in situ ¨ de las diferentes funciones o roles que los símbolos pueden tener en el álgebra de la escuela secundaria. Ese reconocimiento implica ordenar o clasificar la multiplicidad de los significados que los símbolos pueden llegar a tener dependiendo del contexto, y la capacidad de manejar objetos matemáticos diferentes y los procesos involucrados (Sfard, 1992 ; Moschkovich, Schoenfeld y Arcavi, 1993). Les traemos dos ejemplos de estudiantes de segundo año que nos solicitaron ayuda para poder realizar sus deberes. En ambos casos los alumnos estaban confundidos por el significado contextual de los símbolos. En el primer caso, la estudiante podía resolver sus dificultades recurriendo a su propio sentido común aplicado a los símbolos. En el segundo caso la situación no fue tan afortunada. En el primer caso el problema era : encontrar las coordenadas del centro de un círculo a través de (a , b),
Uno puede pensar que en este problema el primer paso sensato sería ¨ver¨ los tres puntos detrás de los símbolos, su ubicación, su simetría, etcétera. Y así, uno abandonaría temporariamente los símbolos en favor de un enfoque gráfico el cual nos ayudaría a encontrar parte de la solución : el centro del círculo debería caer sobre el eje de las y. Nuestra alumna no procedió a trabajar con gráficos, se quedó con los símbolos. Al principio tuvo bastante dificultad para escribir las ecuaciones relevantes porque estaba acostumbrada al uso convencional de las letras a y b. En la ecuación general de un círculo en la forma de (x-a)2+(y-b)2=r2, con la que ella sí estaba familiarizada, a y b son las coordenadas del centro, mientras que en este problema están dadas como coordenadas de los puntos sobre el círculo. Sin embargo, ella se sobrepuso a esa dificultad y estableció las siguientes tres ecuaciones, con (m , n) como las coordenadas al centro que estaba buscando : (-a , b) y (0 , 0)¨.
(a-m)2+(b-n)2=r2 2
2
2
2
2
(-a-m) +(b-n) =r 2
m +n =r
Luego ella trabajó con la primera y la segunda ecuación, canceló términos y obtuvo m.a=0. Ella sabía que la ecuación implica que o m=0 o a=0, pero no sabía cual era el resultado que estaba buscando. El esfuerzo que le había puesto a la manipulación de los símbolos parecía haberla hecho olvidar el significado de los símbolos o quizás olvidar cual era el objetivo de resolver la ecuación. A fin de poder resolver este impasse, se decidió a controlar las implicancias de ambas posibilidades. Luego de un rato, se percató de que si a=0 no habría círculo (los tres puntos dados yacen en el eje y) y luego recordó de que a había sido dado en el problema como un punto general, y así ella no podía elegir su valor. De manera tal que concluyó en forma correcta a decir que m=0, es el resultado buscado. Y eso significa que el centro del círculo tiene que encontrarse en algún lugar sobre el eje y.
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Esta historia parece sugerir, que el sentido de símbolo no implica necesariamente un reconocimiento inmediato de los roles o funciones de los símbolos : en algunas situaciones este reconocimiento puede tornarse muy dificultoso para ciertos estudiantes. Pero el sentido del símbolo puede manifestarse por sí mismo como un recurso y como sentido común que puede ayudar a muchos estudiantes a reconocer sus errores y/o ayudarlos a comenzar a aclarar algunas de sus confusiones. Como en el caso de las ilusiones simbólicas (descriptas en conducta 2) el sentido de símbolo debería incluir el ingenio para librarnos a nosotros mismos de la confusión, recurriendo a cualquiera de las herramientas de las que uno dispone para encontrar el significado del símbolo. El siguiente es un ejemplo de menos suerte, instancia en la cual el estudiante no pudo tomar sentido de los diferentes roles que pueden tomar los símbolos. El problema está extraído del libro de texto de Resnick, 1991 y consistía en: "en las expresiones siguientes, encuentren, si es posible, un número tal que cuando se sustituya por d, se obtenga una función lineal".
x 2 − 4 A esta consigna la seguían doce expresiones, la última de las cuales era y = si se considera d − 2 que una persona puede hacer una distinción clara entre los diferentes roles de los símbolos, el problema parece directo : no importa qué número uno sustituya por d (y ciertamente no el 2) esta expresión jamas será una función lineal. Realmente nos sorprendió lo que hizo el estudiante. Mostrando un punto de vista Gestalt (que ya describimos en la conducta 6) el alumno descompuso 2 x -4 en ( x-2) (x+2), porque se había dado cuenta de que x-2 y d-2 se pueden cancelar (haciendo que d=x (d ≠2).) para obtener una función lineal, x+2. En este caso, su sentido del símbolo técnicamente sano, que le permitió visualizar la cancelación, interfirió en el proceso de distinguir entre los roles diferentes que los símbolos pueden tener. Él no estaba perturbado por la legitimidad de su movimiento, ni tampoco obtuvo una retroalimentación directa del mismo problema para alertarlo de que algo estaba funcionando mal, muy por el contrario, el alumno estaba feliz de lograr el objetivo que se había planteado. Por ende el estudiante no se cuestionó el significado (o la falta de significado) de su accionar. Nuestra reacción en el momento tampoco fue muy fortuita, y no tuvimos éxito en llamarle la atención por lo que había hecho. Puede ser que las perspicacias involucradas en el paso ¨ilegal¨ d=x estaban mas allá del alcance de lo que el alumno podía manejar en ese momento. ¿QUÉ ES EL SENTIDO DE SÍMBOLO? UN SEGUNDO ROUND O VUELTA Si inspeccionamos las características o aspectos comunes de las conductas anteriores, podemos encontrarnos en una mejor posición para caracterizar el sentido de símbolo. En general diríamos que el sentido de símbolo es un sentir complejo y multifacético por los símbolos. Parafraseando una de las aceptaciones provistas por el Diccionario Enciclopédico de Inglés de Oxford para la palabra sentido, el sentido de símbolo sería una apreciación rápida y segura, un entendimiento, o un instinto en relación o consideración a los símbolos. Siguiendo a las historias anteriores, el sentido de símbolo incluye : una comprensión de y un sentir estético del poder de los símbolos : cómo y cuándo los símbolos pueden y deben ser utilizados a fin de mostrar relaciones, generalizaciones y pruebas que de otra manera están ocultas, escondidas o son invisibles.
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un sentimiento de cuando conviene abandonar a los símbolos en favor de otro tipo de enfoques o acercamientos a fin de poder lograr progresos ante un problema, o con el objetivo de encontrar una solución o representación más fácil y más elegante. una capacidad de manipular y de ¨leer¨ las expresiones simbólicas como dos aspectos complementarios en la solución de los problemas algebraicos. Por un lado, el hecho de separarnos del significado necesario para las manipulaciones unidas a un punto de vista gestalt global de las expresiones simbólicas hace que el manejo de símbolos sea relativamente rápido y eficiente. Por otra parte, la lectura de las expresiones simbólicas en pos de su significado puede agregarnos más capas de conexiones y de razonamiento a los resultados. el saber que uno puede elaborar relaciones simbólicas con éxito, que expresen la información verbal o gráfica dada para poder hacer progresos en un problema, y la capacidad de elaborar tales expresiones. la capacidad de seleccionar una representación simbólica posible para un determinado problema, y de ser necesario, tener el coraje, primero, de reconocer y de prestarle atención a la propia insatisfacción que podamos tener sobre nuestra elección, y segundo, ser ingeniosos para buscar una expresión mejor o superior para reemplazar nuestra primera opción. el darse cuenta de la necesidad constante de controlar y chequear los significados de los símbolos mientras se resuelve un problema, y de comparar y contrastar aquellos significados con las propias intuiciones o con los resultados o las consecuencias que esperamos obtener en ese problema. tener conciencia y sentido de los roles diferentes que pueden jugar los símbolos en los diferentes contextos. Nos gustaría a esta altura, elaborar algo acerca de dos limitaciones importantes de la caracterización anterior del sentido de símbolo : primero, el ¨ catálogo ¨ anterior está lejos de ser exhaustivo, y segundo, hay mucho más para decir sobre el sentido de símbolo que lo que puede verse en ese catálogo, independientemente de cuan completo pueda estar hecho.
NOTAS SOBRE LO IMCOMPLETO DEL CATÁLOGO Hemos recogido ejemplos o instancias a partir de nuestra propia experiencia de la observación informal de los alumnos y de los profesores que estaban trabajando con álgebra, y creemos que esta compilación puede ser de utilidad como los primeros pasos en el tratar de describir el sentido de símbolo. Nosotros (los maestros, los educadores de matemáticas, los investigadores)lo podemos utilizar no solo como es, sino principalmente como un medio, manera o forma de elevar nuestro conocimiento de las conductas similares relacionadas a varios aspectos del sentido de símbolo. Así, nos puede servir como móvil para observaciones futuras. Mantenemos nuestra postura de que el trabajo hacia una definición satisfactoria de sentido de símbolo debería combinar ideas teóricas y filosóficas con observaciones empíricas detalladas de la conducta de tanto expertos como de novatos. No hay duda alguna de que la observación cuidadosa de las conductas de resolución de problemas aumentarán y extenderán nuestras descripciones. UN CATÁLOGO EN SÍ MISMO NO ES SUFICIENTE No es nuestro deseo transmitirles la impresión de que definir el sentido de símbolo es una cuestión meramente de expandir un catálogo. A pesar de que podría ser bastante tentador el tener una lista de chequeo completa para evaluar la ausencia o presencia del sentido de símbolo, también recurrir a eso sería demasiado simplista.
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El sentido de símbolo involucra complejidades y sutilezas de las cuales puede que no estemos noticiados. Les sugerimos, como principiantes, apuntar hacia esas complejidades. Por ejemplo: los diferentes aspectos del sentido de símbolo pueden interactuar entre sí en una u otra manera, y no necesariamente de manera positiva. Por ejemplo, una visión global (y por otra parte
x 2 − 4 saludable) de los símbolos en y = tienta a los estudiantes a simplificar y concluir que no d − 2
ocurre linealidad cuando x=d. existen instancias en las cuales los alumnos no parecen conformar las conductas esperadas o correctas, los estudiantes son capaces de sobreponerse a sus dificultades con los símbolos y puede que lo logren acudiendo a cualquiera de las herramientas que se encuentran a su disposición. Así, aquel estudiante a quien se lo había considerado como un estudiante que no muestra sentido de símbolo cuando se quedó pegado a los símbolos al intentar encontrar las coordenadas del centro de un círculo a través de (0,0), (a,b) y (-a,b) (en oposición a utilizar consideraciones gráficas) en realidad mostró tener un sentido de símbolo considerable cuando se las ingenió a su manera para resolver ma=0. un catálogo para el sentido de símbolo es inevitablemente incompleto porque los estudiantes van a tener poco sentido para una representación (en nuestro caso de símbolos) en aislamiento, si no son capaces de llevar flexiblemente los significados de aquellos símbolos por encima de las otras representaciones. Y viceversa, el ir y venir entre diferentes representaciones resultará en un aumento de nuestro entendimiento de cada representación en particular. El sentido del símbolo va a crecer y va a cambiar alimentándose y/o interactuando con los otros sentidos, como el sentido del número, el pensamiento visual, el sentido de las funciones y el sentido de gráfico.
Estas y otras facetas potenciales del sentido de símbolo necesitan ser tenidas en cuenta para aumentar la lista del catálogo. Considerando la naturaleza interna del sentido de símbolo como un sentir, puede ser ilustrativo hacer una analogía con el significado fisiológico de la palabra “sentido” según el Diccionario Enciclopédico en inglés de Oxford: “es cualquiera de las facultades corporales especiales a través e las cuales se despierta o estimula la sensación”. Podríamos adaptar esto al sentido de símbolo de la siguiente manera ¨es cualquiera de las facultades matemáticas especiales a través de las cuales se activa o estimula el significado¨. Un objetivo deseable para la educación matemática sería el promover y/o nutrir el sentido de símbolo para que se torne en una parte indivisible de nuestro kit de herramientas matemáticas, de forma similar a la que nuestros sentidos fisiológicos son una parte integral de nuestro ser biológico. La analogía sugiere que el sentido de símbolo debería ser una parte de nosotros mismos, listo para ser puesto en acción casi al nivel de un reflejo. Pero también, de la misma manera en que cuando nos fallan nuestros sentidos nosotros tendemos a desarrollar sustitutos, nuestro sentido de símbolo debería tender a desarrollar maneras para resolver y sobrellevar las fallas (por ejemplo, el conocimiento de sobreponerse por cualquier medio a las situaciones que involucran “ilusiones simbólicas”). Por último, les sugerimos, hacer esta pregunta "¿Qué es el sentido del símbolo?" en el amplio contexto del pensamiento y el aprendizaje matemático. El sentido del símbolo es el componente algebraico de un tema más amplio: el hacer sentido en las matemáticas. El crear sentido en y con las matemáticas parece ser el objetivo de la mayoría sino de toda la educación matemática, según lo refleja el espíritu de NCTM Standards. Implica el significado de todas las actividades en las que estamos comprometidos, el poder que nos da el entender y manipular situaciones, y la utilidad de las herramientas matemáticas para hacer progresos en y más allá de las matemáticas.
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IMPLICACIONES INSTRUCCIONALES Puede parecer presuntuoso describir y recetar implicaciones instructivas de algo de lo cual no hay una idea completamente desarrollada como es el caso de sentido de símbolo. Lo que es más aún, se puede discutir de que si se lograra una caracterización más satisfactoria del sentido de símbolo, todavía necesitamos responder muchas preguntas abiertas para discutir sobre implicancias instruccionales. ¿Qué se requiere del conocimiento subyacente? ¿cuál es el papel o función de las manipulaciones técnicas de los símbolos? La instrucción y la práctica ¿preceden al sentido del símbolo? La instrucción y la práctica ¿son concurrentes con el sentido del símbolo? ¿O impiden el desarrollo del sentido del símbolo? El sentido del símbolo ¿es algo que está relacionado con los expertos o también se puede esperar de los novatos? ¿en que extensión lo podemos esperar en los novatos? Sin embargo y a espera de todo lo que se desconoce, creemos que estamos en una postura o una posición en la cual se puede y se debe iniciar la discusión sobre las implicancias instruccionales. A continuación, les sugerimos implicaciones que se pueden derivar de nuestras descripciones. 1) Comenzamos proponiendo que el sentido de símbolo es el corazón de lo que significa ser competente en álgebra y que enseñar álgebra debería estar orientado hacia él. Mientras puede ser fácil entender y aceptar (aunque a menudo se olvide) que ser competente en aritmética incluye mucho más que realizar perfectamente, sin tachas, los algoritmos computacionales, cuando se trata del álgebra las personas están más propensas a aceptar la creencia que conocer las reglas de manipulación formales es el objetivo central de la instrucción del álgebra. Por consiguiente, les sugerimos que una de las primeras implicaciones para la enseñanza (probablemente sea obvia pero crucial) es que las manipulaciones simbólicas se deberían enseñar dentro de contextos ricos que provean a los estudiantes de muchas oportunidades de aprender cómo y cuándo usar estas manipulaciones. 2) Continuamos refiriéndonos a las maneras en que podemos equiparnos de la tecnología en el servicio del desarrollo de tareas y problemas las cuales en las manos de un profesor con experiencia, tienen el potencial para fomentar el sentido de símbolo. Estos trabajos o tareas deberían contar con el poder computacional el cual nos deja recursos mentales libres para desarrollar y enriquecer los significados y las conexiones. Consideremos, por ejemplo, el siguiente problema, que no se encuentra generalmente en los libros de texto tradicionales. “ayudados por un calculador gráfico o por una herramienta gráfica, encuentre una expresión algebraica para la función del gráfico siguiente.”
Esta no es una tarea fácil, y muchos estudiantes (y docentes) se revelan contra ella porque no hay rutinas fácilmente a nuestro alcance con las cuales empezar. al intentar crear una expresión simbólica para la función, surgen muchos interrogantes. La función ¿puede ser polinomio? ¿Por qué no? ¿Es una función racional? De ser así, ¿cuáles son los grados del numerador y del denominador? Dado que la función está definida por todo el dominio real, ¿qué significa eso en términos de su denominador? ¿Cómo afecta la simetría del gráfico la elección de las funciones?. Una vez que se visualiza la forma/ figura general de la curva, ¿cuáles son los parámetros que se deberían cambiar para hacerla más parecida a la del gráfico dado? Y así. En nuestra experiencia esta tarea mantiene 18
ocupados a los docentes expertos por aproximadamente una hora y media, durante ese tiempo se usan las tecnologías gráficas para controlar las expresiones conjeturadas y luego ajustarlas. Los diferentes tipos de conocimiento, incluyendo el conocimiento informal, se asocian de manera sorprendente. Los invitamos a los lectores a trabajar un rato con este problema y notar cuántas facetas de su propio sentido del símbolo este problema les estimula. Sugerimos que se deberían desarrollar y tratar muchas más tareas de esta naturaleza. 3) No queremos implicar con lo anterior de que lo que se necesita es destituir completamente la currícula tradicional y concentrarse en la creación de tareas novel o problemas que usen tecnologías. En cambio, decimos que, mientras se necesiten nuevos problemas y tareas, éstas en sí mismas no incorporarán sentido del símbolo. Sin importar cuán interesante o novedosa pueda parecer una tarea, será la actividad a la que se guíe o conduce a los estudiantes a engancharse la que determine si apoya la construcción de sentido de símbolo. Y recíprocamente, una tarea que parezca tonta o extremadamente tradicional, puede ser un fuente potencial de discusiones llenas de discernimientos. Por ejemplo, consideremos uno de los problemas anteriores que son ciertamente tradicionales. ¨Encuentre las coordenadas del centro de la circunferencia a través de (a, b), (-a, b) y (0, 0)¨. Sin embargo, en lugar de permitir que los alumnos salten inmediatamente para empezar a manipular ecuaciones, un maestro pude dirigir las actividades hacia lo colectivo haciendo alguna actividad que cree sentido, por ejemplo, dibujando un esquema cartesiano. Tal actividad debería promover la discusión durante la cual los estudiantes podrían revelar aspectos implícitos del problema que no serían aparentes si todo lo que hacen es manipular ecuaciones a fin de encontrar la solución. Por ejemplo durante la discusión podrían encontrar que: debido a la simetría parece que el centro debería caer en algún lugar a lo largo del eje y de manera que la coordenada del centro es 0 (esta hipótesis se puede confirmar sobre las bases de algún conocimiento geométrico relacionado a bisectores perpendiculares, si la clase ya posee ese tipo de conocimientos) las coordenadas del centro dependen de ambas a y b. Se puede invitar a los estudiantes a jugar con diferentes valores para ganar una intuición acerca de la naturaleza de esta dependencia. Se pude notar, por ejemplo, que mientras que el signo de a es irrelevante, el signo de b determinará el signo de la coordenada y del centro. Más aun, los intentos de dibujar el círculo indican que para valores absolutos pequeños de b, el valor absoluto de la coordenada y del centro (y el radio) serán grandes y viceversa.
Estos hallazgos de crear sentido informal son muy informativos respecto a la naturaleza de la respuesta a este problema. Teniendo el conocimiento informal como ancla, el resultado de la
a 2 + b2 manipulación algebraica, yc = se convierte en algo con más significado, y los estudiantes 2b tienen un sentido a priori de su razón, en contra la que se puede controlar. Así, una tarea, que podría haber sido mayormente técnica, se puede convertir en un ambiente en el que se proporciona y se nutre con los aspectos del sentido del símbolo, debido a la actividad en que se los compromete a los alumnos. 4) El simbolismo algebraico debería ser introducido desde el comienzo en las situaciones en las cuales los alumnos pueden apreciar cuán poderosos pueden ser los símbolos para expresar generalizaciones y justificaciones de los fenómenos aritméticos (Friedlander, 1989, Hershkowitz y Arcavi, 1990). Al mostrar estructuras los símbolos algebraicos no son introducidos como entidades formales y sin sentido con las cuales jugar, sino como maneras poderosas de solucionar y entender los problemas y de comunicarse a través de ellos. El siguiente problema (adaptado de Gamoran, 1990) es un ejemplo de una clase entera de tales situaciones, que puede presentarse bastante al principio en las aulas de álgebra.
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“En el arreglo siguiente de n mesas, x indica un asiento para una sola persona, y ¨...¨ indica un número variable de mesas. x
x
x
x
x
x
x
x
. . .
x x
x
x
x
x
x
x x
x
¿Cuántas personas se pueden sentar?” Una forma posible de resolver este problema es considerarlo como un problema de perímetro, así el número de asientos será 2(2n) +2x1, a saber 4n+2. Otra manera puede ser contar el número de asientos en las mesas en las que solo se pueden sentar 4, a saber n-2 y luego agregar 10 asientos más por los dos extremos, es decir 4(n-2) +10. Uno podría invertir la pregunta y decir cuál es la manera en que se contó si, por ejemplo, la expresión resultante fue 5n-(n-2)? Así, además de establecer un modelo simbólico para el problema también podemos capitalizar sobre las diferentes soluciones de los estudiantes e ir en la dirección opuesta, es decir desde la ecuación simbólica de vuelta a reconstruir el modo en que se realizó el conteo. Este tipo de actividad puede ser muy reveladora acerca del propósito de las manipulaciones y acerca de la invarianza de la expresión final, independientemente de la manera que uno realice el conteo. En resumen, en trabajos de esta naturaleza, las manipulaciones están al servicio de las estructuras y de los significados . 5) Un hábito que podrían establecer los maestros es el del análisis ¨ post morten ¨ que puede ser de gran utilidad en monitorear/ seguir el uso de automatismo. En tales discusiones es probable encontrar enfoques alternativos para resolver los problemas. Esta inspección de esas alternativas son generalmente útiles para establecer conexiones entre los acercamientos o enfoques simbólicos y los otros. Fue durante una de esas discusiones que un estudiante, que luego de haber visto la solución simbólica y la solución Origami de un problema de celdas del borde de un rectángulo, le reimpuso significado a cada paso formal en una manipulación algebraica a fin de establecer conexiones entre las dos diferentes soluciones. Sugerimos que una implicación instruccional para nutrir el desarrollo del sentido de símbolo sería el proveer de oportunidades para que se hagan conexiones o para que vean como otras personas las hacen. 6) Los diálogos y prácticas en el aula deberían legitimar y estimular las preguntas ¨y si...¨ en general, y especialmente en relación al papel o función de los símbolos y de sus reglas. Por ejemplo, ¨y=m.x+b es la expresión general de una función lineal, si se sustituyen los valores para m y b usted obtendrá una función lineal especifica. ¿Puede usted lograr cualquier sentido del resultado de la sustitución para x y y, para obtener digamos 2=m3+b?. Las preguntas de este tipo, si se permiten y se formulan, les ayudarían a los alumnos a considerar a los símbolos como entidades que pueden ser objeto de reinspección constante, y no estar solamente gobernados por reglas impuestas arbitrariamente desde entonces en adelante Por último, en lugar de extendernos con una colección pret a porter de implicaciones instruccionales, nos gustaría concluir con una invitación: si creamos y trabajamos sobre problemas del tipo descripto anteriormente (tanto sea en el aula como en los cursos de docentes) promoviendo prácticas apropiadas de pensamiento y de discusión, agudizaremos nuestro sentido de lo que el sentido de símbolo es y debería ser; es más, podríamos recoger más implicaciones para la instrucción que surgirían de las observaciones hechas en nuestros propios ambientes. Bibliografía en el original.
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