AREAS DE REGIONES PLANAS Definición.- Sea f una función continua y no negativa en el intervalo [ a; b]. El área de la región limitada por la gráfica de f , el eje OX y las rectas verticales x verticales x = a y x = b es Una región por arriba del eje x Supóngase que y = f(x) determina una curva en el plano x y y supóngase que f es continua y no negativa en el intervalo a :S x :S x :S b (como en la figura 1). Considérese la región R acotada por las gráficas de y = f(x), x = a, x = b YY = O. Nos referiremos a R como la región bajo y = f(x) entre x entre x = a y x = b. Su área A(R) área A(R) está dada por
EJEMPLO Encuentre el área de la región R bajo y = x4 - 2x3 + 2 entre x entre x = -1 y x=2.
SOLUCIÓN La gráfica de R se muestra en la figura 2. Una estimación razonable razonable para el área de R es su base por una altura promedio, digamos (3)(2) = 6. El valor exacto es
El valor calculado de 5.1 es suficientemente cercano a nuestra estimación, 6, para darnos confianza confianza de su validez. validez. Una región debajo del eje x eje x El área es un un número número no negati negativ vo. Si la gráfica de de y = f(x) está por debajo del eje x, entonces
un número número nega negativo tivo ∫ ()dx es un
y, por lo tanto, no puede ser un área. Sin embargo, sólo es el negativo del área de la región acotada por y = f(x), x = a,x = b y Y = O.
EJEMPLO Encuentre el área de la región R acotada por y = x 2 /3 - 4, el eje x, x=-2yx=3.
SOLUCIÓN La estimación preliminar para su área es (5)(3) = 15. El valor exacto es
EJEMPLO Encuentre el área de la región R acotada por y = x3 - 3xz - x + 3, el segmento del eje x entre x = -1 y x = 2, y la recta x = 2.
SOLUCIÓN. Las áreas de estas dos partes, R1 y Rz, deben calcularse por separado. Puede verificar que la curva cruza el eje x en -1, 1 Y3. Así que
Note que podríamos haber escrito esta área como una integral utilizando el símbolo de valor absoluto.
Pero ésta no es una simplificación real, ya que para evaluar esta integral tendríamos que separarla en dos partes, justo como lo hicimos antes.
ÁREA BAJO UNA CURVA Para calcular el valor del área bajo una curva, se particiona la región plana y luego se hace una suma infinita de las áreas de las particiones, lo cual equivale a una integral definida. Considerando sólo una partición representativa, un rectángulo diferencial que represente a cualquier partición de la región plana
El área del elemento diferencial será dA = hdx=f(x)dx
Por tanto, el área de la región plana es: A= ∫ ()
ÁREA ENTRE CURVAS Si la región plana tuviera la siguiente forma:
El área del elemento diferencial será: dA= hdx= [ f(x)-g(x) ] dx b
Entonces el área de la región plana está dada por: A= ∫a [ f(x)-g(x)]dx Para hallar el área de una región plana, siga los siguientes pasos: 1. Dibuje las curvas dadas. 2. Identifique la región plana. Aquí se definen los límites de integración. 3. Defina el rectángulo diferencial, el elemento representativo. 4. Defina la integral o las integrales para él área. 5. Evalúe la integral definida.
Ejemplo Calcular el valor del área de la región limitada por y=x+4 y=x2 -2
SOLUCIÓN: PASO 1: Graficamos en un mismo plano y=x+4 y=x2 -2 PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de las curvas. PASO 3: Definimos el elemento diferencial.
PASO 4: La integral definida para el área sería: 3
A=∫-2 [ (x+4)-(x2 -2)]dx PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos:
ÁREA DE REGIONES SIMPLE - y Si la región plana tuviese la siguiente forma:
Es más conveniente tomar el elemento diferencial representativo en disposición horizontal El área del elemento diferencial será: dA=hdy=xdy=f(y)dy
Entonces el área de la región plana es: A= ∫ () Y para el caso de regiones simple -y más general, tenemos:
El área del elemento di ferencial será: dA= hdy= [ f(y)-g(y)]dy Entonces el área de la región plana está dada por:
A= ∫ [() − ()]
AREAS EN COORDENADAS POLARES. Ahora trataremos regiones simple - , regiones que están limitadas por curvas cuyas ecuaciones están dadas en forma polar.
En este caso, el elemento diferencial tiene la forma de un sector circular, entonces su área está dada por:
Por tanto el área de la región está dada por: 1
A = ∫ [ ()]
Ejemplo Hallar el área de la región encerrada por r = a Graficando la circunferencia r = a e identificando la región, tenemos:
El área estaría dada por:
Ejemplo Hallar el área de la región encerrada por r=1+cos Graficando el cardiode r=1+cos e identificando la región, tenemos:
El área estaría dada por:
