2k + 13k = 120 15k = 120 k=8
I. RAZONES 1. RAZÓN
A = 2(8) = 16 B = 13(8) = 104
3.- Si:
Es la comparación de dos cantidades.
a b
4 5
=
; además 2b + 3a = 44
Es la que se obtiene mediante la sustracción y consiste consiste en Determina Determina en cuanto cuanto excede excede una de las cantidades a la otra.
k=2
Es la que se obtiene mediante la división y consiste consiste en Determina Determina cuantas veces cada una de las cantidades contiene la unidad de referencia. A B
=
Solución:
4k 5k 4k = 5k = 90 9k = 90
=
2 13
A = 2k
B = 13k Luego: A + B = 120
3.- Si:
2k
7k – 2k = 30 5k = 30
B
k=6
5k
A + B = 72
3k + 5k = 72 8k = 72 k = 9
a
4 =
b
y 4a - 3b = 7.
5
b
4k =
; además 2b + 3a = 44
5k
b) 63 d) 42
b) 80 d) 42
4.- La R. A de dos números es 30 y su RG es 7/2 . Halla los números. a) 18 y 44 c) 16 y 40 e) N.A.
b) 42 y 12 d) 16 y 42
a) 28 y 44 c) 36 y 40 e) N.A. 6.- Si:
a b
b) 27 y 45 d) 16 y 42
4 =
5
Halla: a + b
a b
5 =
y 4a - 3b = 7.
y a +b
=
48
7
Halla: b – a a) 6 d) 8
b)10 e) N.A.
c) 4
8).- La razón geométrica de dos números es siete cuartos. Si la razón aritmética es 18. 18. Calcula su suma. a) 42 d) 17 9)..- Si :
b) 24 e) 66 m n
=
6 y 11
c) 16
n −m
=
155
Halla: m + n a) 186 d) 201
Halla: axb
Halla: a + b Solución:
a
4 5
=
5.- La RG de dos números es 3/5 y su suma es 72. Halla los números.
A = 3(9) = 27 27 B = 5(9) = 45 6.- Si:
a b
b) 16 y 104 d) 16 y 42
a) 18 c) 60 e) N.A.
3k =
b) 40 y 50 d) 16 y 42
a) 18 y 44 c) 16 y 40 e) N.A.
7k
A = 7(6) = 42 42 B = 2(6) = 12
A
k = 10
2.- Dos números suman 120 y ellos son como 2 es a 13. Halla cada uno de dichos números.
A B
=
Solución:
A = 4(10) = 40 B = 5(10) = 50
Solución:
A
5.- La RG de dos números es 3/5 y su suma es 72. Halla los números.
=
Solución:
A – B = 30 30
PROBLEMAS RESUELTOS
A + B = 90
4.- La R. A de dos números es 30 y su RG es 7/2 . Halla los números.
B
1.- Dos números están en la relación de 4 a 5, si la suma es 90. Halla los números.
A B
axb = 8x10 = 80
R.G
a) 18 y 44 c) 16 y 40 e) N.A.
2.- Dos números suman 120 y ellos son como 2 es a 13. Halla cada uno de dichos Números.
A - B = R.A
b). RAZÓN GEOMÉTRICA (R. G.)
7).- Si:
NIVEL I 1.- Dos números están en la relación de 4 a 5, si la suma es 90. Halla los números.
A = 4k B = 5k Luego: 2(5k) + 3(4k) = 44 10k + 12k = 44 22k = 44 a = 4(2) = 8 b = 5(2) = 10
a) 44 c) 40 e) N.A.
a + b = 28 + 35 = 63
Solución:
a). RAZÓN ARIMÉTICA (R. A.)
k=7 b = 5(7) = 35
PROBLEMAS PROPUESTOS
Halla : axb
1.1.CLASES DE RAZÓN :
4(4k) – 3(5k) = 7 16k – 15k = 7 a = 4(7) = 28
b) 341 e) 44
c) 527
10).- En una fiesta asistieron asistieron 84 personas personas entre varones y mujeres. Si el número número de mujeres es al número de varones como 5 es a 7. Halla Halla el númer número o de varone varones s y mujeres que asistieron a la fiesta. a) 36 y 40 c) 35 y 49 e) N.A.
b) 30 y 42 d) 30 y 50
11).11).- En una canast canasta a hay 45 frutas frutas entre manza manzanas nas y peras. peras. Si la relaci relación ón entre entre manz manzan anas as y pera peras s es como como 7 es a 2. ¿Cuántas manzanas hay? a) 10 d) 35
b) 9 e) 20
c) 25
12).- En un corral se pueden contar 63 aves entre pollos y gallinas. gallinas. Si los pollos son a las gallinas como dos es a cinco. Calcula el número de pollos y de gallinas.
a) 18 y 44 c) 16 y 40 e) N.A.
13).- Si
p q
b) 18 y 45 d) 16 y 42
5 2
=
además 2p + q = 108
Halla: p – q a) 27 d) 45
b) 18 e) 18
c) 15
14).- Se sabe que por cada 5 problemas que resuelve Ricardo, Melissa resuelve 7. Si juntos llevan 132 problemas resueltos. ¿Cuántos problemas resuelve Ricardo y Melissa ? a) 18 y 44 c) 16 y 40 e) N.A. 15).- Si: c
d Halla:
b) 55 y 77 d) 16 y 42
=
7 , además 3c – 2d = 52 4
4
b) 28 e) 10
17).-Si: a b
b) 72 e) N.A. =
c) 96
4 , además 4a + 3b = 186 5
Halla: a . b a) 680 d) 720
x y
=
Halla : x + y a) 187 d) 147
13 8
e) N.A.
, además 2x + 5y = 462
b) 287 e) 107
c) 167
20).- Si por cada 2 esferas rojas hay 9 de color amarillo. Si en total hay 132 esferas. ¿Cuántas de cada color amarillo hay? . a) 108 b) 208 c) 160 d) 110 e) 100 21).- En una reunión, por cada 11 varones hay 14 mujeres si en total asistieron 125 personas. ¿Cuántos varones asistieron a la reunión?. a) 12 b) 8 c) 5 d) 60 e) 55
c) 16
16).- En un garaje existen 36 motos más que autos. Si los autos son a las motos como 5 es a 8. ¿ Cuántas motos hay?. a) 60 d) 104
19).- Sí :
b) 60 y 96 d) 60 y 42
22).- Por cada 4 puntos que David acumula en un cierto juego, Gabriela acumula 7. Si Gabriela tiene 18 puntos más que David. ¿Cuántos puntos acumuló cada uno?
c+d
a) 18 d) 11
a) 18 y 96 c) 16 y 40
b) 280 e) 10
c) 860
18).- Si se sabe que por cada S/5 que tiene Emily, Jomeini tiene S/.8. Si el doble de lo que tiene Jomeini más lo que tiene Emily es S/ 252. ¿Cuánto tiene cada uno?
a) 42 y 44 c) 24 y 40 e) N.A.
b) 24 y 42 d) 16 y 42
23).- Sí “M” es a “N” como 3 es 8. Si el triple de “M” más el doble de “N” es 75. Halla “N”. a) 18 b) 15 c) 14 d) 24 e) 20 24).- Tres números son como: 3; 4 y 9. Si dichos números suman 256. Halla la suma del primero con el tercero. a) 128 b) 104 c) 215 d) 108 e) N.A.
NIVEL II 1) En un garaje se pueden contar 18 autos más que motos. Si el número de autos es
al de motos como 11 es a 5. Calcula cuántas motos y cuántos autos hay. a) 18 y 44 b) 15 y 33 c) 16 y 44 d) 16 y 44 e) N.A. 2) Dos números son entre sí como 11 es a 8. Si la diferencia es 18. Halla el producto de dichos números. a)3168 b) 2208 c) 1160 d) 1110 e) 2100 3) Dos trabajadores han producido 96 artículos. Si los rendimientos son como 7 es a 9. ¿Cuántos artículos hizo cada uno? a) 42 y 46 b) 42 y 54 c) 16 y 54 d) 60 y 42 e) N.A. 4) Por cada 3 niños hay 8 adultos. Si entre niños y adultos se pueden contar 99 personas. ¿Cuántos niños y cuántos adultos asistieron? a) 28 y 71 b) 60 y 96 c) 27 y 72 d) 60 y 42 e) N.A. 5) Dos números están en la relación de 8 y 3 y su diferencia es 100. Calcula el número menor. a) 65 b) 58 c) 5 d) 55 e) 60 6) La razón geométrica de dos números es tres medios. Si la razón aritmética es 7. Calcula el número mayor. a) 14 b) 16 c) 18 d) 21 e) N.A. 7).- En un estante pueden entrar 56 libros, algunos de aritmética y otros de álgebra. Si los libros de álgebra son a los de aritmética como 3 es a 5. Calcula cuántos libros de cada curso hay. a) 21 y 35 b) 20 y 36 c) 18 y 20 d) 14 y 30 8).- En un salón de clase hay 12 mujeres más que varones. Si el número de varones es al
de mujeres como dos es a cinco. Calcula cuántos varones y cuántas mujeres hay. a) 8 y 20 b) 8 y 16 c) 12 y 8 d) 10 y 21 e) N.A. 9).- Dos números son como 2 y 7. Si el doble del primero más el triple del segundo es igual a 100. Calcula el producto de dichos números. a) 224 b) 280 c) 154 d) 120 e) 28 10).-Dos números son como 4 es a 3, si el doble del primero más el segundo es 132. Halla la suma de dichos números. a) 60 b) 84 c) 56 d) 124 e) 40 11).- Dos números son como 5 es a 9, si el triple del primero más el segundo es 72. Halla la diferencia de dichos números. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 12).- Dos números son como 3 es a 8. Si el primero más el dobles del segundo es 95. Halla el producto de dichos números. a) 100 b) 400 c) 600 d) 120 e) N.A. 13).- Dos números son como 9 es a 2. Si el primero más el triple del segundo es 105. Halla la diferencia de dichos números. a) 35 b) 16 c) 40 d) 29 e) 49 14).- Dos números son como 6 es a 11. Si el doble del primero más el cuádruple del segundo es 168. Halla dichos números. a) 18 y 33 b) 24 y 16 c) 15 y 18 d) 21 y 20 e) N.A. 15).- En una caja existen 56 pelotillas entre negras y blancas. Si las negras son a las blancas como 2 es a 5. ¿Cuántas negras y blancas hay?
a) 12 y 36 c) 8 y 16 e) N.A.
b) 10 y 20 d) 16 y 40
13)e
14)a
16)c
17)a
15)d b: Media proporcional de a y c. c: Tercera proporcional de a y b
4 .
x- 4 = x–4=
16).- En una reunión asistieron 84 personas. Si el número de mujeres es al de varones como 4 es a 3. ¿Cuántos varones asistieron? a) 12 d) 16
b) 48 e) N.A.
c) 36
Es la igualdad en valor numérico de dos razones de la misma clase.
1. CLASES DE PROPORCIÓN 1.1. PROPORCION ARITMÉTICA
17.- La edad de un padre es a la de su hijo como siete es a tres. Si la suma de sus edades es 50 años. Calcula la edad del padre y la edad del hijo. a) 35 y 15 c) 40 y 20 e) N.A.
II. PROPORCIÓN
b) 36 y 14 d) 52 y 14
CLAVES DE RESPUESTAS
2) b
3) b
4) b
5) b
6) b
7) d
8) e
9) c
10) c
11) d
12) b
13) a
14) b
15) d
1.2. PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
16)c
17)d
18)b
19)d
20)a
21)e
Es aquella que se forma al igualar los valores numéricos de dos razones geométricas.
24)a
DISCRETA
1) b
2) a
3) b
4) c
5) e
6) d
7) a
8) a
9) a
10)b
11)c
12)c
=
c d
a.d = bc
⇒
2x – 6 =
2).- Resuelve : =
m 21
Solución:
=
b c
⇒
a.c = b 2
4
7 x 16 4
x = 17
8 . 21 m= 56n
PROBLEMAS PROPUESTOS
21 7
m=
NIVEL I 1).-Halla “x”:
3x − 3 6
m= 3 3).- Halla la media proporcional de: 27 y 12.
27 b
=
b 12
a) 6
b) 3
c) 4
8
Solución : 2
= 18
b = 18
2
a) 16 d) 30
=
4 6
9
a) 16 d) 30
d) 5
e) 8
12 =
x
b) 32 e) 18
3).- Halla “x” : 6
x−4 9
8 4
=
2).- Halla “x” : 3
d : Cuarta proporcional de a , b y c
a b
7
2x – 6 = 7 x 4 2x – 6 = 28 2x = 28 + 6 2x = 34 x = 34 ÷ 2
4).-Calcula el valor de “x” en :
CONTINUA
=
Solución :
x=5.7
8 56
6
−
16
b.b = 27.12 ⇒ b
Cuando Los términos son diferentes
a b
NIVEL II
2x
Solución :
x = 35
Cuando los valores de los términos medios son diferentes. a–b=c–d a ; d = Extremos b ; c = Medios d : Cuarta diferencial de a , b y c
x–4=6
5).-Resuelve :
DISCRETA:
1) b
23)d
45 x
=
45 . 7 x= 9
Cuando los valores de los términos medios son Iguales a–b=b–c a ; c = Extremos b ; b = Medios b: Media diferencial de a y c c: Tercera diferenciadle a y b
22)b
9 7
4 . 3 2
x = 10
1).-Halla el valor de “x” :
Es aquella que se forma al igualar a los v al or es n umér ic os de d os r az on es aritméticas.
CONTINUA:
NIVEL I
PROBLEMAS RESUELTOS
9
6
c) 15
x =
45
b) 32 e) 18
Solución : 45
93 =
c) 15
4).- Halla “x” : 9).- Halla la tercera proporcional de 8 y 12. a) 16 d) 18
b) 30 e) 48
c) 31
a) 10 d) 11
b) 9 e) 12
12).- Halla “x” : x
4 =
9
x =
a) 180 d) 160 6).- Halla “x” :
6
b) 36 e) 14
c) 12
a) 14 d) 11
b) 2 e) 7
7
x =
−6
c) 12
a) 12 d) 18
=
b)15 e) 42
c) 21
a) 14 d) 18
4
b) 15 e) 17
c) 16
x
12
25
a) 12 d) 18
=
2x
20
b) 15 e) 4
+1
=
a) 4 d) ½
3
b) 5/2 e) N.A.
c) 3/2
4 =
9
a) 2 d) 12
5x
6
b) 10 e) 16
−
5
x
+
3
a) 5 d) 4
b) 2 e) 1
4 =
a) 5 d) 11
10).- Halla “x” : x
−
c) 3
a) 23 d) 25 11).- Halla “x” :
x
+
16
=
6
27
b) 16 e) 14
b) 30 e) 29
10).- Determina la cuarta diferencial de 85; 18 y 93. a) 11 d) 37
b) 26 e) 41
c)31
11).- Determina la media proporcional de 7 y 28. a) 14 d) 18
b) 21 e) 7
c) 35
12).- Halla la media diferencial de: 47 y 13 a) 24 d) 25
b) 30 e) 27
c)28
c) 18 13).- Halla la cuarta proporcional de: 12; 21 y 28. a) 14 b) 49 c)63 d) 56 e) 84
c) 28 14).- Halla la tercera proporcional de: 2 y 8.
3
c) 12
a) 5 d) 2 18.- Halla “x” :
8
7x
b) 23 e) 53
4
−7
c) 3
c) 33
b) 8 e) 12
c) 9
8).- Halla la media proporcional de: 54 y 24.
3 =
a) 6 d) 10
a) 36 d) 15
b) 12 e) 24
b) 48 e) 36
c) 64
15).- Halla la media proporcional de 3 y 81.
10 =
b) 4 e) 1
7
a) 13 d) 43
a) 32 d) 16
c) 12
7).- Halla la cuarta proporcional de :9, 6 y 12.
+9
6
b) 10 e) 11
6).- Determina la cuarta diferencial de 72;28 y 57
9 =
b) 14 e) N.A.
2x
c) 19
3
a) 15 d) 10
2
b) 16 e) 30
c)
5).- Halla la tercera diferencial de: 25 y 17. a) 8 d) 9
17.- Halla “x” :
6 =
−
13
c) 9
8
5
3x
3
b) 7 e) 15
b) 18 e) 36
b) Entre 9 y 10 c) 18 e) Más de 18
=
5
c) 8
5
9
a) 12 d) 10
a) 27 d) 22
9
16).- Halla “x” : 9).- Halla “x” :
a) 12 d) 25
4).- Halla la cuarta diferencial de: 18; 15 y 31.
15).- Halla “x” : 8).- Halla “x” : x − 4
1).- Se sabe que “R” es la cuarta proporcional de 8, 5 y 56. Halla “R”.
6
2
c) 21
a) 10 d) 12
3).- Si “H” es la media proporcional de 8 y 18. Halla el valor de “H”
14).- Halla “x” : 7).- Halla “x” :
c) 3
a) 35 b) 14 c) 63 d) 18 e) 12 2).- Si “P” es la tercera proporcional de: 2 y 6. Halla el valor de “P”
16
3
12
b) 4 e) 2
NIVEL II
13).- Halla “x” : x
a) 5 d) 1
3
72
15
4
5
+
5).- Halla “x” :
c) 14
c) 18
a) 27 d) 24
b) 36 e) 9
c) 42 3
16).- Halla la tercera proporcional de 3 y 21. a) 144 d) 189
b) 63 e) 147
c) 126
17).- Halla la suma de la media diferencial y la media proporcional de : 25 y 49. a) 72 d) 25
b) 27 e) 37
c) 15
18).- En una proporción geométrica continua la suma de los extremos es 145 y la diferencia de los mismos es 105. Halla la media proporcional. a) 25 d) 75
b) 45 e) 100
1. DEFINICIÓN Se denomina promedio o cantidad media, a una cantidad representativa promedio es mayor que la menor cantidad y menor que la cantidad mayor. Donde :
a1
c) 15
20).- En una proporción geométrica los extremos suman 75 y su diferencia es 15. Halla el producto de los medios. a) 1300 d) 1420
b) 1200 e) 1500
≤
P
≤
P.H =
1 a1
+
1 a2
+
n 1 a3
Solución: +
.... +
1
P.H =
an
Al promedio armónico de dos cantidades (A y
m.h
c) 1350
=
4
+6
48 =
10
= 4,8
Solución: PG2 = PAxPH 122 = PAx4 144 = PAx4
2 AB A + B
“M” cantidades
2 × 4 ×6
4.- Si: PH = 4 ; PG = 12 Halla P.A.
Observación: B) se le denomina media armónica. ( m.h )
Dado : a1 ; a2 ; a2 ; . . a n
8 ×8 ×27
PG = 2x2x3 = 12
3.- Halla la P.H de 4 y 6
“m” cantidades
an
2. TIPOS 2.1.PROMEDIO ARITMÉTICO ( P.A )
3
Dado : a1, a2, a3, . . . ,an
a1 : Menor cantidad. an : Mayor cantidad P : Promedio ∴
b) 27 e) 37
2.3. PROMEDIO ARMÓNICO ( P.H )
c) 50
19).- Halla la suma de la media diferencial y la media proporcional de : 25 y 49. a) 72 d) 25
PG =
36 = PA P.A =
a1 + a2
CLAVES DE RESPUESTAS 2) b 5) a 8) b 11)d 14)c 17)c
3) d 6) c 9) b 12)e 15)d 18)b
m.h =
Al promedio aritmético de dos números (A y B) se denomina media aritmética ( m.a ).
m.a =
A + B
PROBLEMAS PROPUESTOS
3 ABC AB + AC + BC
NIVEL I 1).- Determina el promedio aritmético de:
Para 2 números (A y B) Se cumple : mg
=
4; 15 y 5. a) 3 d) 9
ma . mh
2
PROBLEMAS PROPUESTOS
NIVEL II 1) a 4) c 7) b 10)b 13)b 16)e 19)a
a2 + .... + an M
Observación :
NIVEL I 1) d 4) c 7) b 10)a 13)d 16)a
+
- Para 3 números A, B y C
2) b 5) d 8) a 11)a 14)a 17)a 20)c
3) a 6) a 9) c 12)b 15)e 18)c
2.2. PROMEDIO GEOMÉTRICO ( P.G )
Halla el P.A. de: 3; 4; 5; 6; 7; 8
Solución:
Dado : a1; a2; a3 ; . . ; a n P.G
=
n
a1 x a 2 x a 3 ... x a n
Observación : Al promedio geométrico de 2 números (A y B) se le denomina media geométrica (
III. PROMEDIOS
1.-
m.g )
m g = A x B
PA =
3+ 4+ 5+ 6+ 7 +8 6
b) 8 e) 7
c) 2
2).- Calcula la media geométrica de 45; 8 y 75. a) 15 d) 17
b) 14 e) 11
c) 13
3).- Calcula la media armónica de 6 y 12. = 5,5
2.- Halla el P.G. de: 8; 12; 18
Solución: PG =
3
8 ×12 ×18
PG =
3
8 ×4 ×3 ×2 ×9
a) 8 d) 5
b) 2 e) 7
c) 4
4).- Calcula la media aritmética de : 6; 10; 12 y 20 a) 15 d) 14
b) 12 e) 13
c) 17
5).- Halla el promedio geométrico de los números: 64; 8 y 27. a) 35
b) 34
d) 24
e)
3
c) 25
18
6).- Dados : 6 y 2 el promedio armónico será : a) 4 d) 6
b) 5 e) 7
14).- Calcula la media geométrica de dos números. Si: MA = 32 y MH = 2.
c) 3
a) 8 d) 10
b) 5 e) 6
c) 12
15).- Halla el promedio de los siguientes números: 1; 2; 3; 4; .......; 17; 18; 19; 20
7).- Calcula la media geométrica de 3; 8 y 9. a) 6 d) 7
b) 4 e) 2
c) 3
8).- Determina el promedio aritmético de: 10; 12; 18 y 20. a) 13 d) 19
b) 15 e) 17
c) 21
9).- Calcula la media geométrica de 16; 2 y 16. a) 8 d) 7
b) 3 e) 9
c) 5
a) 8,2 d) 7,5
b) 10,5 e) 11,5
c) 9,5
NIVEL II 1).- Halla el promedio geométrico de los números: 3; 4 y 18. a) 3,5
b) 4
d) 6
e)
3
c) 5
b) 8 e) 7
c) 5
10).- Calcula la media aritmética de : 3; 7 y 8 a) 5 d) 8
b) 6 e) 6,5
c) 7
11).- Calcula la media geométrica de 27; 9 y 3. a) 9 d) 27
b) 3 e) 81
c) 13
12).- Calcula la media armónica de 6; 3 y 2. a) 3 d) 5
b) 2 e) 12
c) 4
13).- Calcula la media aritmética de dos números. Si: MG = 6 y MH = 4. a) 8 d) 9
b) 5 e) 6
c) 12
3).- Determina el promedio aritmético de: 12; 24; 16 y 40. a) 22 d) 25
b) 23 e) 26
b) 10 e) 6
c) 12
5).- Halla la media armónica de los números: 1; 2; 3 y 6 a) 1,8 d) 3
b) 2 e) 4
6).- Halla el promedio de: 2; 4; 6; 8; ......; 38; 40;42
c) 26
a) 36 d) 96
b) 12 e) 19
c) 144
8).- La edad promedio de 7 personas es de 18 años, si ninguno de ellos tiene más de 20 años. ¿Cuál es la mínima edad que puede tener una de ellas?. a) 4 b) 5 c) 8 d) 7 e) 6 9).- ¿Qué nota se obtuvo en un cuarto examen, si en los tres anteriores se obtuvo: 12, 08 y 16 respectivamente; y su promedio final fue de 14? b) 19 e) 17
13).- Calcula la media geométrica de dos números. Si: MA = 25 y MH = 4. a) 8 d) 10
b) 5 e) 6
c) 12
14).- El promedio geométrico de dos números es 12 y su promedio armónico es 4 Halla su promedio aritmético. a) 38 d) 35
b) 30 e) 36
c) 32
15).- El promedio de cinco números pares consecutivos es 16. Halla el mayor . a) 14 d) 18
b) 16 e) 30
c) 20
c) 20
10).- La edad promedio de 4 personas es de 22 años, si ninguno de ellos tiene menos de 19 años. ¿Cuál es la máxima edad que puede tener una de ellas?. a) 31 años d) 26
b) 32 e) 33
c) 29
c) 24
4).- Calcula la media armónica de dos números. Si: MA = 45 y MG = 15. a) 8 d) 5
b) 18 e) 27
7).- ¿Cuál es el producto de dos números si su media aritmética es 16 y su media armónica es 12?
a) 18 d) 16
18
2).- Dados : 3, 6 y 10 el promedio armónico será : a) 4 d) 6
a) 21 d) 22
c) 2,1
11).- La media geométrica de números es 15. Calcular la media aritmética, si la media armónica de dichos números es 9. a) 25 d) 36
b) 12 e) 48
c) 75
12).- ¿Qué nota se obtuvo en un cuarto examen, si en los tres anteriores se obtuvo: 14, 16 y 18 respectivamente; y su promedio final fue de 17? a) 18 d) 16
b) 19 e) 17
c) 20
CLAVES DE RESPUESTAS NIVEL I 1) b
2) a
3) a
4) b
5) d
6) c
7) a
8) b
9) a
10)b
11)a
12)a
13)d
14)a
15)b
NIVEL I 1) d
2) c
3) b
4) d
5) b
6) d
7) e
8) e
9) c
10)a
11)a
12)c
13)d
14)e
15)c
