Aritmética Ing. Carlos Canjura 19 de enero de 2015
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Índice general Prólogo
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1. Los Números Naturales 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. 1.1.1. 1. Conc Concep epto toss básic ásicos os de lógi lógicca mate atemáti mática ca . . . . . . . . . 1.1. 1.1.2. 2. Cons Consid ider erac acio ione ness didá didáct ctic icas as sobr sobree la im impl plic icac ació iónn lógi lógica ca 1.2. Los Axiomas de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Los Sistemas de Numeración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. El Sistema Decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. El Sistem tema Bina inario de Numeración ión . . . . . . . . . . . . 1.3.3. El Sistem tema Maya aya de Numeración . . . . . . . . . . . . . 1.4. Operacion iones aritm itmética icas bási ásicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. 1.5. Suma Suma en N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. 1.6. Produ Producto cto en N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. 1.7. El Orden Orden en N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Ejercicios del Capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1. Ejercicios de Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2. Sistemas de Numeración . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3. Ejercicios Ejercicios sobre sobre Operacion Operaciones es y Orden Orden en N . . . . . . . 1.8. 1.8.4. 4. Eje Ejercicio icioss sob sobre Indu Inducc cció iónn Mate Matemá máti tica ca . . . . . . . . . . 2. Los Números Enteros 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Operaciones Operaciones y Orden Orden en el Conjunto Conjunto Z . . . . . . . . 2.2. 2.2.1. 1. Las Las Oper Operac acio ione ness con con los los Núme Númerros Ente Enterros . . 2.2.2. El Orden en los Números Enteros . . . . . . . 2.3. Divisibilidad Divisibilidad en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. 2.4. Ejer Ejerci cici cios os sobr sobree Divi Divisi sibi bili lida dad d y la Divi Divisi sión ón Eucl Euclid idia iana na 2.5. El Máximo Común Divisor . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Ejercicios sobre el MCD. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. El Mínimo Común Múltiplo . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Ejercicios sobre el MCM . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Los Números Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III II I
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23 23 24 26 26 27 28 30 32 34 35 36
ÍNDICE GENERAL
IV
2.10 .10. Ejercicios sobre los los Números Prim imoos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.11. Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.12 .12. Ejercicios sobre Congruencias ias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3. Los Números Racionales Q 3.1. Las Operaciones Operaciones en Q. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. La Suma de Racionales . . . . . . . . . . . . 3.1.2. El Producto de Racionales . . . . . . . . . . 3.1. 3.1.3. 3. Prop Propie ieda dade dess Adic Adicio ionnale ales de los los Racio acionnales ales 3.2. 3.2. Ejer Ejerci cici cios os sobr sobree Núme Númerros Racio acionnale ales y Deci Decima male less
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4. Los Números Reales y sus Operaciones 4.1. El Álgebra de los Números Reales . . . . . . . . . . . 4.1. 4.1.1. 1. Prop Propie ieda dade dess de la Suma Suma de Núme úmeros Reale ealess . 4.1. 4.1.2. 2. Prop Propie ieda dade dess del del Produc oducto to de Núme úmeros Reale ealess 4.1.3. La Distributividad . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. 4.1.4. 4. La Rest Restaa y la Divi Divisi sión ón de Núme úmeros Reale ealess . . . 4.2. Las Reglas Reglas Básicas de Cálculo Cálculo en R . . . . . . . . . . . 4.3. El Orden en los Números Reales . . . . . . . . . . . . 4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. 4.5. Prob Proble lema mass de Or Orde denn en los los Núm Números eros Real Reales es . . . . . .
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Prólogo El presente manual presenta los contenidos de la asignatura Aritmética que forma parte del plan de estudios del Profesorado en Matemática. Comienza con una introducción a la lógica matemática y prosigue con el estudio de los números naturales, haciendo una valoración de los axiomas de Peano, sus propiedades y las consideraciones didácticas de su estudio. Posteriormente se hace un análisis de los números enteros haciendo énfasis en la congruencia y los criterios de divisibilidad con una importante dosis de consideraciones didácticas. En los últimos capítulos (unidades), se trabajan en la misma ruta los números racionales y reales. Es muy importante considerar que se hace énfasis en la resolución de problemas y la construcción de materiales didácticos para la fundamentación matemática de los futuros docentes.
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PRÓLOGO
Capítulo 1
Los Números Naturales En este capítulo se estudiará el conjunto de los números naturales y sus propiedades. No obstante, iniciaremos con una breve introducción a la lógica matemática.
1.1. 1.1. Intro Introdu ducc cció ión n Un sistema deductivo matemático consiste en una serie de proposiciones matemáticas estructuradas sistemáticamente. Una discipli disciplina na matemá matemátic ticaa que se estudi estudiaa median mediante te un sistema sistema deduct deductivo, ivo, con consta sta de axioma axiomas, s, con concep ceptos tos primitivos, definiciones y teoremas. Los axiomas son proposiciones primitivas que se aceptan sin demostración (por ejemplo, en Geometría: “el camino más corto entre dos puntos es el segmento de recta que une a dichos puntos”). Los conceptos primitivos pueden ser objetos o relaciones que no suelen definirse (por ejemplo: “punto”, “recta”, “pertenencia”, etc.). Los teoremas son proposiciones importantes que se demuestran (o deducen) de los axiomas, definiciones y de otros teoremas. Un lema es un teorema auxiliar que se utiliza para demostrar otro teorema más importante. Un corolario es un teorema secundario que se deduce de otro teorema más importante. La figura 1.1 muestra un esquema de un sistema deductivo matemático.
Figura 1.1: Teoría matemática. 1
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CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS NA NATURALES TURALES
1.1.1. Conceptos Conceptos básicos básicos de lógica lógica matemá matemática tica A continuación se presentan algunos conceptos básicos sobre lógica matemática, que necesitaremos en el desarrollo del presente curso. oración no ambigua ambigua de la cual tiene sentido sentido afirmar que es falsa o Definición 1.1. Una proposición es una oración verdadera. Una proposición puede ser simple o compuesta. Los valores de verdad de una proposición p pueden ser falso (F) o verdadero (V). val or de verdad F, F, mientras que q: “2 + Ejemplo 1.1. p: “París es la capital de Italia” es una proposición con valor 2 = 4” es una proposición con valor va lor de verdad V. V. Por otra parte, r : “¿Qué hora es?”, no es una proposición. Definición 1.2. Los conectivos lógicos son operadores lógicos que se aplican a una proposición simple, o a dos o más proposiciones, para formar una proposición compuesta. Los conectivos lógicos más utilizados son los siguientes: repres esen enta ta con con el símb símbol oloo ∼ e invie inviert rtee el valo valorr de verd verdad ad de la propo proposic sició iónn La negac negación ión (no lógico lógico). ). Se repr a la que se aplica. La conjunción (y lógico). Se representa con el símbolo ∧ y conecta dos proposiciones formando una proposición compuesta que solo es verdadera cuando las proposiciones componentes son verdaderas. La disyunción (o lógico). Se lógico). Se representa con el símbolo ∨ y enlaza dos proposiciones formando una proposición compuesta que solo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas. A continuación se muestran las tablas las tablas de verdad de verdad de los conectivos hasta ahora descritos: p
V F
∼p F V
p
q
V V F F
V F V F
p
∧q
V F F F
p
q
V V F F
V F V F
p
∨q
V V V F
Definición 1.3. La implicación es una proposición compuesta que se indica con el símbolo ⇒ y conecta dos proposiciones p, q formando una proposición condicional p ⇒ q que se lee “ p implica q ” o bien “si p entonces q”. A la proposición p se le llama hipótesis llama hipótesis o o antecedente, antecedente, mientras que a la proposición q se le llama conclusión o conclusión o consecuente consecuente.. Una condicional es falsa únicamente cuando la hipótesis es verdadera y la conclusión es falsa. Definición 1.4. La doble implicación es un operador lógico binario que se representa con el símbolo ⇔. Al enlazar enlazar dos propo proposici sicione oness for forma ma una propos proposició iciónn com compue puesta sta bicond bicondici iciona onall p ⇔ q que es verdad verdadera era cuando cuando ambos operandos tienen el mismo valor de verdad. La expresión p ⇔ q se lee “ p si y sólo si q ”.
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1.1. INTRODUCCIÓN
En seguida se muestran las tablas de verdad de la condicional y la bicondicional: p
q
V V F F
V F V F
p
⇒q V F V V
p
q
V V F F
V F V F
p
⇔q V F F V
Definición 1.5. Se dice que una proposición compuesta P es lógicamente equivalente a otra proposición compuesta Q si para los mismos valores de verdad de sus proposiciones componentes, dichas proposiciones compuestas tienen también los mismos valores de verdad. El que dos proposiciones compuestas P y Q sean lógicamente equivalentes se expresa como P ≡ Q y se lee “ P es lógicamente equivalente a Q ”. Ejemplo 1.2. p ⇔ q ≡ ( p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) Una prop propos osic ició iónn compu compues esta ta que que siempr siempree es verd verdad ader eraa se le llama llama tautología y se repre represen senta ta Definición Definición1.6. 1.6. Una por t. Una proposición compuesta que siempre es falsa se le llama contradicción llama contradicción y y se representa por c. Ejemplo 1.3. La proposición p ∨ ∼ p es una tautología, mientras que p ∧ ∼ p es una contradicción.
1.1.2. Consideraciones didácticas sobre la implicación lógica Es muy probable que usted estimado lector, sea muy hábil en la resolución de problemas matemáticos, pero quizás encuentre complicado, confuso y frustrante, el desarrollo de demostraciones de resultados matemáticos. Esto se debe en gran parte, a que muy a menudo, no se comprende la estructura lógica de los teoremas matemáticos. En esta sección y en la siguiente, aprenderemos a identificar precisamente, dicha estructura. Normalmente un teorema tiene la forma “si P entonces Q”, donde P y Q pueden ser proposiciones simples o compuestas. Por consiguiente, un teorema tiene la forma condicional P ⇒ Q, razón por la que el proc proces esoo de demo demost stra raci ción ón cons consist istee en que que si supo supone nemo moss que que la hipó hipóte tesi siss P es verdad verdadera era,, debemo debemoss demostr demostrar ar que también la conclusión Q es verdadera, puesto que si Q fuera falsa, la implicación asociada al teorema sería también falsa. 1 y la conclusión C : Ejemplo 1.4. En los teoremas siguientes, identifique la hipótesis H y a) Si n es un entero par entonces n 2 es un entero par. b) Si ABC AB C es un triángulo rectángulo con catetos a y b e hipotenusa c , entonces c 2 = a 2 + b2 . c) Si f : R −→ R es una función par y g : f · · g : R −→ R es una función impar.
R
−→ R es una función impar entonces la función producto
d) Si a y b son números reales y ab = 0 entonces a = 0 o b = 0. 1 Si suponemos que P es falsa, la implicación P
⇒ Q es trivialmente verdadera y por lo tanto, el teorema es válido.
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CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS NA NATURALES TURALES
Solución.
a) H : “n es un entero par” y C : ”n2 es un entero par”. b) H : “ ABC AB C es un triángulo rectángulo con catetos a y b e hipotenusa c ” y C : “ c2 = a 2 + b2 ”. c) H : “ f : R −→ R es una función par y g : · g : R −→ R es una función impar”. f ·
R
función impar” y C : “la función producto −→ R es una función
d) H : “ a y b son números reales y ab = 0” y C : “ a = 0 o b = 0”.
En resumidas cuentas, se puede decir que en un teorema, todo lo que está entre las palabras “si” y “entonces” es la hipótesis y lo que está después de la palabra “entonces” es la conclusión. Es importa importante nte destaca destacarr que tanto tanto la hipóte hipótesis sis com comoo la con conclu clusió siónn pueden pueden ser propos proposici icione oness com compue puestas stas.. Veáse por ejemplo, el literal d) del ejemplo anterior, donde H : “( a, b ∈ R) ∧ ( ab = 0) , mientras que C : “(a = 0 ) ∨ (b = 0 ) . En otras ocasiones, ocasiones, un teorema teorema está constituido constituido por una bicondicional bicondicional P ⇔ Q donde P y Q pueden ser proposiciones simples o compuestas. Para demostrar un teorema de esta forma hay que recordar la equivalencia lógica P ⇔ Q ≡ ( P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P), por lo que la prueba del teorema consiste en demostrar la veracidad de las implicaciones P ⇒ Q y Q ⇒ P. 2 Ejemplo 1.5. Para el teorema “ n es par si y sólo si n 2 es par”, la prueba consistirá en demostrar la validez de las condicionales “si n es par entonces n2 es par” y “si n 2 es par entonces n es par”. Hay ocasiones en las que nos resulta difícil determinar cuál es la hipótesis y cuál es la conclusión de un teorema, debido a que éste no se encuentra expresado en la típica forma “si ... entonces...”. La siguiente lista nos muestra proposiciones equivalentes a la proposición condicional y nos ayudará a comprender la estructura lógica de diversos teoremas: Si p entonces q p
⇒q
Si p , q q si p p sólo si q p es suficiente para q q es necesario para p q con la condición de que p 2 En algunas definiciones, encontramos también la expresión “si y sólo si”. Por ejemplo, “un triángulo es isósceles si y sólo si
dos de sus lados tienen la misma longitud”. En tales casos nada hay que demostrar.
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1.2. LOS AXIOMAS DE PEANO q cuando p q siempre que p
Ejercicio 1.1. Escriba la condicional “si f es una función derivable entonces f es una función continua”, en ocho formas equivalentes. La expresiones “para todo”, “para todos”, “para cada”, “para cualquier”, etc., aparecen en diversas áreas de la matemática, particularmente en la teoría de conjuntos. Con cierta frecuencia, nos encontramos con proposiciones como la siguiente: π
P: “Para todo ángulo θ con 0 < θ < , cos θ > sin θ ” 4 La proposición anterior, es equivalente a la siguiente condicional: π
Q: “Si θ es un ángulo con 0 < θ < entonces cos θ > sin θ ” 4 De modo que nuevamente podemos identificar claramente la hipótesis y la conclusión en estos casos. En general, cuando encontramos una expresión en la forma estándar “para todo objeto x con una propiedad dada , algo ocurre”, ésta será equivalente a una condicional de la forma “si x es un objeto con una propiedad dada, entonces algo ocurre”. Ejemplo 1.6. Escriba en la forma condicional la proposición “para cualquier ángulo α , sin2 (α) + cos2 (α) = 1”. Solución. En este caso, no se especifica una propiedad, por lo que la proposición es equivalente a “si α es un ángulo entonces sin 2 (α) + cos2 (α) = 1”.
Por otra parte, la proposición bicondicional también puede expresarse en formas alternativas. Esto también nos ayudará a identificar la estructura de un teorema. Son válidas las siguientes expresiones para describir la condicional: p
⇔q
“ p si y sólo si q ”. “ p es condición necesaria y suficiente para q ”. “ p es equivalente a q ”. Escriba la siguiente siguiente expresión expresión bicondiciona bicondicionall en tres formas alternativas alternativas equivalente equivalentes: s: “Un Ejercicio 1.2. Escriba cuadrilátero es un paralelogramo si y sólo si tiene iguales sus lados opuestos”.
1.2. 1.2. Los Axiomas Axiomas de Peano Peano Los númer números os natural naturales es 0, 1, 2, 3, . . . son una sucesi sucesión ón infinita infinita de número númeross “ordenad “ordenados” os”,, en la que se tienen la características siguientes: 1. El primer elemento de la sucesión se denomina cero.
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CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS NA NATURALES TURALES
2. La sucesión nunca termina. 3. La sucesión no tiene punto alguno de bifurcación. 4. No se cierra sobre sí misma (lo que por ejemplo ocurre cuando hablamos de los números del reloj o de las horas del día) 5. No tiene puntos de confluencia, es decir ningún elemento sigue a dos distintos. 6. Entre dos elementos de la sucesión no hay números intercalados. Las anteriores características nos conducen al siguiente conjunto de axiomas denominados Axiomas de Peano. Peano. Los números naturales naturales son los números números que sirven para contar; contar; surge surge de inmediato preguntarse preguntarse por lo que se cuenta y de pronto debemos remontarnos hasta nuestros primeros días de aprendizaje de los números. Para nosotros igual se contaba uno, dos, tres, cuatro,... los elementos de un conjunto de personas como un conjunto de objetos cualesquiera. Así el número natural no es tan natural como parece, es una abstracción de una innumerable cantidad de situaciones. Contar es para el hombre una tarea que sólo puede ser finita; sin embargo el conjunto de números naturales es un conjunto infinito. Pero, ¿qué significa tal frase? requerimos requerimos para ello precisar el concepto de biyección. biyección. Dados dos conjuntos, conjuntos, decimos que existe una biyección biyección entre ellos si es posible establecer una correspondenci correspondenciaa entre entre los elementos de dichos conjuntos de forma tal que a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B y viceversa, a cada elemento del conjunto B se le puede hacer corresponder uno y un sólo elemento del conjunto A. Una diferencia fundamental entre los conjuntos finitos e infinitos es que en los infinitos es posible poner en correspondencia un conjunto dado con uno de sus subconjuntos propios. p1) El cero 0, es un número natural. p2) A cada número natural corresponde corresponde un número natural, siguiente de él, unívocamente determinado. p3) El cero no es siguiente de número alguno. p4) Un número natural no puede ser siguiente de dos naturales diferentes. p5) Si un conjunto conjunto C de números naturales satisface las dos siguientes propiedades: 0 pertenece al conjunto C Si un número natural pertenece a C también su siguiente pertenece a C, entonces: Todos los naturales pertenecen a C . El con conjun junto to de númer números os natura naturales les será será simbol simbolizad izadoo por N; al sigu siguie ient ntee de un núme número ro x se se le simbol simbolizar izaráá por sg s g( x ). Una consecuencia importante del quinto axioma de Peano, es el Principio de Inducción Matemática: Matemática). Sea p(n) una proposición que depende de un número natural Teorema 1.1 (Principio 1.1 (Principio de Inducción Matemática). n. Si i) p(0) es verdadera. ii) Si n
∈ N y p(n) es verdadera entonces entonces p(n + 1) es verdadera.
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1.3. LOS SISTEMAS SISTEMAS DE NUMERACIÓN NUMERACIÓN Entonces la proposición p(n) es válida para todo número natural n.
Cabe mencionar que el principio anterior es válido si, en lugar de 0 en el paso i), se tiene un número natural n0 > 0. En tal caso, p (n) será válido para todo n ≥ n0 . Ejemplo 1.7. Demuestre por medio del principio de inducción matemática que 1 + 2 + 3 + · · · + n =
n(n + 1)
2
.
Solución. Por el método de inducción matemática:
i) p(1): 1 =
1(1+1) 2
es verdadera.
ii) Sea n ∈ N tal que p(n) es verdadera, es decir, que 1 + 2 + 3 + · · · + n = p(n + 1) también es verdadera. En efecto, 1 + 2 + 3 + · · · + n + ( n + 1) = = = =
n(n + 1)
2
n(n+1)
2
. Demostremos que
+ ( n + 1) por que p(n) es verdadera
n(n + 1) + 2(n + 1)
2
(n + 1)( n + 2)
2
(n + 1)[( n + 1) + 1]
2
Luego, p (n + 1) también es verdadera. Por el principio de inducción matemática, p (n) es válida para todo natural n ≥ 1.
1.3. 1.3. Los Sistem Sistemas as de Numera Numeració ción n Definición 1.7. Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos. Un sistema de numeración puede representarse como N = (S, R), donde: a)
es el sistema de numeración considerado (p.ej. decimal, binario, etc.). N es
b) S es el conjunt conjuntoo de símbolos símbolos permitido permitidoss en el sistema. sistema. En el caso caso del sistema decimal decimal son 0, 1, . . . , 9; en el bin binar ario io son son 0, 0, 1; en en el oct octal al son son 0, 0, 1, . . . , 7; y en en el sis siste tema ma hex hexade adeci cima mall son son 0, 1, . . . , 9, A, B, C, D, E, F. c)
R son las reglas que nos indican qué números son válidos en el sistema, y cuáles no. En un sistema de
numeración posicional las reglas son bastante simples, mientras que la numeración romana requiere reglas algo más elaboradas.
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CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS NA NATURALES TURALES
Estas Estas regl reglas as son son dife difere rent ntes es para para cada cada siste sistema ma de nume numera raci ción ón cons consid ider erado ado,, pero pero una una regl reglaa comú comúnn a todo todoss es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema. Para indicar en qué sistema de numeración numeración se representa representa una cantidad cantidad se añade como subíndice subíndice a la derecha el número de símbolos que se pueden representar en dicho sistema. Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas utilizaban un sistema de numeración de raíz mixta de base 20 (vigesimal). También los mayas preclásicos desarrollaron independientemente el concepto de cero alrededor del año 36 a. de C. Este es el primer pri mer uso documentado del cero en América, aunque con algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria. Las inscripciones, los muestran en ocasiones trabajando con sumas de hasta cientos de millones y fechas tan extensas que tomaba varias líneas el poder representarlas. Los sistemas de numeración pueden clasificarse en dos grandes grupos: posicionales y no-posicionales: * En los sistemas no-posicionales los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no depende de la posición (columna) que ocupan en el número. * En los sistemas de numeración ponderados o posicionales el valor de un dígito depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que ése símbolo ocupa en el número. Por ejemplo, el sistema de numeración egipcio es no posicional, en cambio el babilónico es posicional. Las lenguas naturales poseen sistemas de numeración posicionales basados en base 10 ó 20, a veces con subs subsis iste tema mass de cinc cincoo elem elemen ento tos. s. Adem Además, ás, en algu alguna nass poca pocass leng lengua uass los los nume numera rale less básic básicos os a partir partir de cuatr cuatroo tienen nombres basados en numerales más pequeños. El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce como base del sistema de numeración. Si un sistema de numeración posicional tiene base b significa que disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y que b unidades forman una unidad de orden superior.
1.3.1. El Sistema Sistema Decimal Decimal En el sistema decimal los símbolos válidos para construir números números son 0, 1, ..,9 (0 hasta 9, ambos incluidos), por tanto la base (el número de símbolos válidos en el sistema) es diez. Si contamos desde 0, incrementan incrementando do una unidad cada vez, al llegar a 9 unidades, unidades, hemos agotado los símb símbolo oloss dispo disponi nibl bles es,, y si quer querem emos os segu seguir ir cont contan ando do no dispo dispone nemo moss de un nuev nuevoo símb símbol oloo para para repr repres esen enta tarr la cantidad que hemos contado. Por tanto añadimos una nueva columna a la izquierda del número, reutilizamos los símbolos de que disponemos, decimos que tenemos una unidad de segundo orden (decena), ponemos a cero las unidades, y seguimos contando. De igua iguall form forma, a, cuan cuando do cont contam amos os hasta hasta 99, 99, hemo hemoss agot agotad adoo los los símb símbol olos os dispo disponi nibl bles es para para las las dos dos colu colummnas; por tanto si contamos (sumamos) una unidad más, debemos poner a cero la columna de la derecha y sumar 1 a la de la izquierda (decenas). Pero la columna de la izquierda ya ha agotado los símbolos disponibles, así que la ponemos a cero, y sumamos 1 a la siguiente columna (centena). Como resultado nos queda que 99+1=100. El cuenta kilómetros mecánico, al utilizar el sistema de numeración posicional decimal, nos muestra lo anterior: va sumando 1 a la columna de la derecha y cuando la rueda de esa columna ha completado una vuelta (se agotan los símbolos), se pone a cero y se añade una unidad a la siguiente columna de la izquierda.
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1.3. LOS SISTEMAS SISTEMAS DE NUMERACIÓN NUMERACIÓN
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema decimal. = d n . . . d1 d0 , d−1 . . . d−k N =
= d n 10n + . . . + d1 101 + d0 100 + d−1 10−1 + . . . + d−k 10−k n
=
·
·
∑ di · 10
·
·
·
i
−
i= k
Los dígitos a la izquierda de la coma fraccionaria representados por d n ...d2 d1 d0 , toman el valor correspondiente a las potencias positivas de la base (10 en el sistema decimal), en función de la posición que ocupan en el número, y representan respectivamente al dígito de las n-unidades 10 n , centenas 102 = 100, decenas 101 = 10 y unidades 100 = 1, ya que como se ve en el gráfico están colocados en las posiciones n..., tercera, segunda y primera a la izquierda de la coma fraccionaria. Los dígito dígitoss a la derech derechaa de la com comaa fraccio fraccionar naria ia d−1 , d−2 , d−3 ...d−n representan representan respectiva respectivamente mente al dígito 1 2 3 − − − de las décimas (10 = 0, 1), centésima centésimass (10 = 0,01), milésimas (10 = 0, 001) y n-ésimas n-ésimas (10 (10−n ). Por ejemplo, el número 1492,36 en decimal, puede expresarse expresarse como: 1492, 36 = 1 · 103 + 4 · 102 + 9 · 101 + 2 · 100 , +3 · 10−1 + 6 · 10−2
1.3.2. El Sistema Sistema Binario Binario de Numeración Numeración Véase ahora ahora el sistema sistema binario o de base 2. En este sistema los dígitos válidos son 0, 1, y dos unidades unidades forman una unidad de orden superior. superior. En la figura inferior puede verse el teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema binario. = d n . . . d1 d0 , d−1 . . . d−k N =
= d n 2n + . . . + d1 21 + d0 20 + d−1 2−1 + . . . + d−k 2−k n
=
·
∑ di · 2
·
·
·
·
i
−
i = k
Sigui Siguien endo do con con el ejem ejemplo plo del del cuen cuentak takiló ilóme metr tros os visto visto arri arriba ba,, en este este caso caso las rued ruedas as no tien tienen en 10 símbo símbolo loss (0 al 9) como en el caso del sistema decimal. En el sistema binario la base es 2, lo que quiere decir que sólo existen 2 símbolos 0, 1 para construir todos los números números binarios. En el sistema sistema binario, para representar representar cifras cifras mayores que 1 se combinan combinan los 2 símbolos símbolos 0, 1 y agrega agrega una segunda columna de un orden superior. Aquí las ruedas del cuentakilómetros dan una vuelta cada dos unidades. Por tanto, una vez que se cuenta (suma) dos se han agotado los símbolos disponibles para esa columna, y se deben poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda. Así, contando en binario, tras el número 0 2 viene el 12 , pero si se cuenta una unidad más se debe usar otra columna, resultando 102. Se sigue contando 0 2 , 12 , 102 , 112. Al añadir una unidad a la columna de las unidades, esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los símbolos disponibles), y se debe formar una unidad de segundo orden, pero como ya hay una, también se agotan los símbolos disponibles para esa columna, y se deben formar una unidad de tercer orden o 100 2 . Así, en el sistema binario 112 + 12 = 1002 Ejemplo 1.8. El número 1112 está formado por un solo símbolo repetido tres veces. No obstante, cada uno de esos símbolos tiene un valor diferente, que depende de la posición que ocupa en el número. Así, el
10
CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS NA NATURALES TURALES
Figura 1.2: Numeración Maya.
Figura 1.3: Número maya mayor que 20. primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor de 1 2 (22 ), el segundo de 12 (21 ) y el tercero de 12 (20 ) , dando como resultado el valor del número: 111 2 = 1 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 = 4 + 2 + 1 = 710 .
1.3.3. El Sistema Sistema Maya de Numeración Numeración Los antiguos mayas idearon un sistema de numeración como un instrumento para medir el tiempo y no para hacer cálculos matemáticos. Por eso, los números mayas tienen que ver con los días, meses y años, y con la manera en que organizaban el calendario. Los tres símbolos símbolos básicos son: el punto, punto, cuyo valor es 1, la raya, cuyo valor es 5, y el caracol (algunos (algunos autores lo describen como concha o semilla), cuyo valor es 0. El sistema de numeración maya es también posicional, es decir, que el valor de los símbolos depende del lugar donde se coloquen. Tiene Tiene base 20 (sin embargo, embargo, tiene al cinco como base auxiliar), es decir, decir, las cantidades son agrupadas de 20 en 20; por esa razón en el primer nivel puede ponerse cualquier número del 0 al 19 (ver Figura 1.2). En la Figura 1.3, se observa un ejemplo de número maya mayor que 20, donde 175 = 8 × 201 + 15 × 200
11
1.4. OPERACIONES OPERACIONES ARITMÉTICAS ARITMÉTICAS BÁSICAS BÁSICAS
1.4. Operacione Operacioness aritméticas aritméticas básicas básicas En esta sección aprenderemos a sumar, restar, multiplicar y dividir en sistemas de numeración diferentes al decimal. Suma Tal como en el sistema decimal, si la suma parcial supera el valor v alor de la base, se escribe el valor v alor numérico de lo que excede a la base y se lleva como unidades tantas veces como excede al valor de la base. Ejemplo 1.9. Operar 423(7) + 5 6 6(7) + 2 5 2 1(7) Solucion. Colocamos los números en la forma habitual:
423+ 566 2521 4 1 4 3 ( 7) lo cual se desarrolló de la siguiente manera: 3 + 6 + 1 = 10
como 10 = 7 + 3; se pone 3 y se lleva 1 .
1 + 2 + 6 + 2 = 11
como 11 = 7 + 4; se pone 4, se lleva 1 .
1 + 4 + 5 + 5 = 15
como 15 = 14 + 1 ; 15 = 2 · 7 + 1; se pone 1, y se lleva 2 .
2 + 2 = 4
Resta El método es similar a la resta en la base 10. Cuando la base es otra, se añade como unidad el valor de la base. Operar rar 4 7 3 5(8) − 2 3 6 7(8) Ejemplo 1.10. Ope Solución.
12
CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS NA NATURALES TURALES
4735− 2367 2 3 4 6(8) 5 − 7 no se puede restar, entonces, en la segunda columna tomamos prestada 1 unidad a 3, lo que nos permite añadir a 5 el valor de la base: (5 + 8) − 7 = 6 Como a 3 se quitó 1 unidad, ahora es 2, pero 2 − 6 no se puede restar, restar, entonces: (2 + 8)
− 6 = 4
Como a 7 se le había quitado 1 unidad, ahora es 6: 6 − 3 = 3 Ahora no se ha quitado nada. Finalmente: 4 − 2 = 2
Multiplicación El procedimiento es similar a la multiplicación en base 10; sólo que lo que se lleva es la unidad de la base de los factores. Operar ar 3 2 6(7) · 4 6 5(7) Ejemplo 1.11. Oper Solución.
326× 465 2302 2631 1643 2 2 6 2 1 2(7)
13
1.5. SUMA EN N
5 · 6 = 30 = 4 · 7 + 2 5 · 2 + 4 = 14 = 2 · 7 + 0 5 · 3 + 2 = 17 = 2 · 7 + 3 Finalmente:
pongo 2 van 4 pong pongoo 0 van van 2 pong pongoo 3 van van 2 pongo 2.
6 · 6 = 36 = 5 · 7 + 1 6 · 2 + 5 = 17 = 2 · 7 + 3 6 · 3 + 2 = 20 = 2 · 7 + 6 Finalmente:
pongo 1 van 5 pong pongoo 3 van van 2 pong pongoo 6 van van 2 pongo 2.
4 · 6 = 24 = 3 · 7 + 3 pongo 3 van 3 4 · 2 + 3 = 11 = 1 · 7 + 4 pong pongoo 4 van van 1 4 · 3 + 1 = 13 = 1 · 7 + 6 pong pongoo 6 van van 1 Finalmente: pongo 1. Luego, se suman los productos parciales, recordando cómo se suma cuando los sumandos no son de base 10. División Para Para hace hacerr la divis división ión es acon aconse seja jabl blee form formar ar una una tabla tabla con con la base base dada dada,, con con todo todoss los los prod produc ucto toss posib posible less del divisor por el cociente. Operar rar 4 3 5 0(6) ÷ 2 4(6) Ejemplo 1.12. Ope
Solución. Las cifras del cociente, por ser de base 6, oscilan entre 0 y 5, lo cual se toma en cuenta para formar
la tabla: 4350 24 155 144 110 52 14
Tabla de base 6 0·24 = 0 1·24 = 24 2·24 = 52 3·24 = 120 4·24 = 144 5·24 = 212
24 1 4 2(6)
1.5. 1.5. Suma Suma en N La suma de números naturales es asociativa, por ejemplo (7 + 3) + 10 = 7 + (3 + 10)
En general, si x , y, z son tres números naturales cualesquiera, es válida la siguiente identidad ( x + y) + z = x + ( y + z )
14
CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS NA NATURALES TURALES
También es sabido que el orden de los sumandos no altera el total: 5 + 8 = 8 + 5 En general, para cualesquiera x , y ∈ N, se cumple la ley conmutativa de la suma: x + y = y + x
Si se suma 0 a cualquier número natural, el total es igual a dicho número 27 + 0 = 27 El 0 es el elemento neutro de la suma, así, para cualquier x ∈ N: x + 0 = x
Finalmente, si tenemos una identidad tal como a + 5 = b + 5
podemos “cancelar” el sumando común, lo cual resulta en a = b . Generalizando, tenemos la propiedad cancelativa de la suma: x + z = y + z
siendo x , y, z números naturales cualesquiera.
⇒ x = y
1.6. 1.6. Prod Produc ucto to en N Las siguientes propiedades del producto de números naturales 7 · 5 = 5 · 7 6 (5 · 3 ) = ( 6 · 5 )3 8 · 1 = 1 · 8 = 8 5 · 0 = 0 · 5 = 0 4(7 + 3) = 4 · 7 + 4 · 3 (9 + 8)7 = 9 7 + 8 7
·
·
Se generalizan con las siguientes leyes: a b = b a (ley conmutativa)
·
·
a(b c) = ( a b)c (ley asociativa)
·
·
a 1 = 1 a = a (elemento neutro o identidad del producto)
·
·
15
1.7. EL ORDEN EN N a 0 = 0 a = 0 (cero como elemento absorbente del producto)
·
·
a( b + c ) = a b + a c (ley distributiva izquierda)
· · ( a + b)c = a · c + b · c (ley distributiva derecha) 1.7. 1.7. El Or Orde den n en N
En esta sección, los símbolos x , y , z , u y v , representarán números naturales. = y ( u = 0), Definición 1.8. Si x + u = y, diremos que x ≤ y, (“ x es menor o igual que y ”). Si además, x diremos que x < y, (“ x es menor que y ”).
Definición Definición 1.9. Las negaciones de las relaciones ≤ y <, son respectivamente > (“mayor que”) y ≥ (“mayor o igual que”). Teorema 1.2. Dados, x e y, se verifica una y sólo una de las relaciones siguientes: x = y, y , x < y y x > y. Teorema 1.3. La relación ≤ tiene las propiedades:
≤ x, para todo x en N 2. Antisimétri Antisimétrica: ca: Si x ≤ y y y ≤ x entonces x = y 3. Transitiva: Si x ≤ y y y ≤ z entonces x ≤ z 1. Reflexiva: Reflexiva: x
Definición 1.10. Una relación que tenga las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva, se llama relación de orden. Por lo tanto, la relación ≤ es una relación de orden en N. suma). Si x Teorema 1.4 (Monotonía 1.4 (Monotonía de la suma). x + z = y + z o x + z
>
<
y, x = y o x
>
y, entonces respectivamente x + z
<
y + z,
y + z.
ordenación) . Todo conjunto A de números naturales que tenga por lo menos un Teorema 1.5 (Teorema 1.5 (Teorema de buena ordenación). elemento, tiene uno menor que todos los demás.
Teorema 1.6. Inexistencia de divisores de cero. Si x = 0 e y = 0 entonces x · y = 0 . Teorema 1.7. Propiedad cancelativa del producto. Si z · x = z · y y z = 0 entonces x = y. = y ∧ z = 0 ) ⇒ z · x = z · y Teorema 1.8. ( x
Teorema 1.9. Propiedad cancelativa de la multiplicación: ( z · x = z · y ∧ z = 0 ) ⇒ x = y
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CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS NA NATURALES TURALES
1.8. 1.8. Ejerci Ejercicio cioss del Capítu Capítulo lo 1 1.8.1. Ejercicio Ejercicioss de Lógica 1. Diga cuáles de las siguientes, son proposiciones matemáticas: a) 6 x2 − 3x + 9 = 0 √ 2 b) − b± 2ba −4ac c) sin π 2 < sin π 3 d) x 3 − 3x2 + 3x − 1 e) Para todo ángulo θ , sin2 (θ ) + cos2 (θ ) = 1
2. Diga cuáles de las siguientes proposiciones matemáticas son verdaderas: a) La raíz cúbica de todo número entero es un número real. b) Para todo ángulo α , sec2 (α) − tan2 (α) = 1 c) x 2 + y2 > 1, para todo x , y ∈ R. d) Si x ∈ R y x > 0, entonces log5 ( x) > 0. e) 76489201744 es un número primo. 3. Demuestre mediante tablas de verdad que: a) p ⇒ q ≡∼ q ⇒∼ p (la contrarrecíproca) b) p ⇒ q ≡ p∧ ∼ q ⇒ c (reducción al absurdo) 4. demuestre mediante una tabla de verdad que p
⇔ q ≡ ( p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p).
5. En cada uno de los siguientes problemas identifique la hipótesis y la conclusión: a) Si por un punto exterior de una circunferencia se trazan dos secantes, entonces el producto de una secante por su segmento exterior, es igual al producto de la otra secante por su segmento exterior. exterior. b) Si n es un entero impar entonces n 2 es impar. c) Si r ∈ R y r 2 = 2, entonces r es un número irracional. d) Si n − 1, n y n + 1 son tres enteros consecutivos, entonces 9 divide a la suma de sus cubos. 6. Si se quiere demostrar que P ⇒ Q es verdadero y se sabe que Q es falso, ¿querría probarse que P es verdadero o falso? Explique la respuesta. 7. Construya una tabla de verdad para P ⇒ (Q ⇒ R). 8. En cada una de las siguientes proposiciones matemáticas, identifique la hipótesis y la conclusión: a) f es es una función continua cuando f es es derivable. b) Dos triángulos son semejantes cuando tienen proporcionales sus tres lados. c) Para todos los números reales y , b , m con m = 0, existe un único número real x tal que y = mx m x + b. d) f + g es una función acotada a condición de que f y g sean funciones de R en R acotadas.
17
1.8. EJERCICIOS EJERCICIOS DEL CAPÍTULO CAPÍTULO 1
1.8.2. Sistemas Sistemas de Numeració Numeración n 1. Cambiar los números binarios siguientes a su representación en el sistema decimal: 0, 1, 10, 1110, 10001, 100110, 10110110, 10011110. 2. Cambiar la representación de los números decimales siguientes al sistema binario: 19, 32, 43, 80, 145, 147, 1000, 7512. 3. Realizar las siguientes operaciones en el sistema binario: a) 11 + 11 b) 1010 + 1011 c) 1011 × 11 d) 101010 × 1001 4. Realice la resta de las siguientes cantidades en representación binaria: a) b) c) d)
111 − 11 10101 − 1111 110100101 − 11101000 11011001 − 10101011
5. ¿Cómo realizaría la siguiente división de números en representación binaria? 1100101 ÷ 101 6. El sistema hexadecimal tiene base 16 y sus dígitos se representan con los siguientes símbolos
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F} a) Represente los números hexadecimales 149, 3AE y 6AF en el sistema decimal. b) Represente los números decimales 219, 3167 y 6560 en el sistema hexadecimal. 7. ¿Cuáles de los siguientes números están bien escritos? Justifica tu respuesta. a ) 1 2 2 1(3) b) 1 2 4 2 1(3) c) 1 0 0 0 0 0 0 0(2) d) A B C C B A(15) e) 9 9 9 9 9 9 9 9 9(9) f) 0(1) 8. Calcula el resultado de: a) 12(3) + 1 1(3)
18
CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS NA NATURALES TURALES
Figura 1.4: Conversión de números mayas. b) 2 3 4(5) + 1 1 1(5) + 1 2 3(5) c) 1 0 0 0 (2) + 1 0 0 0(2) d) 12(3) − 1 1(3) e) 1 0 0 0 (2) − 1 0 0(2) f) 1 0 0 (2) − 1 0 0 0(2) g) 2 0 1 1 (4) · 2 0 1 2(4) h) 2 0 1 2 (4) · 2 0 1 1(4) i ) 1 9 8 9(7) · 2 0 1 1(7) j) 1 2 3 2 1(5) ÷ 2 1(5) k) 4 4 4 4 (5) ÷ 3 1(5) l) 7 5 3(9) ÷ 1 6(9) m) 7 5 3 (9) ÷ 4 5(9) n) 3 7 5 (6) ÷ 5 1(6) o) (2 1(3) + 2 2(3) ) · 1 2 1(3) 9. Encuentra Encuentra el menor menor valor valor de α tal que el número M A R I O(α) esté bien escrito.
10. Calcula 2 6 4
(7) Sugerencia: Recuerda que b =
√ a si b2 = a
11. Encontrar Encontrar la representació representaciónn en sistema sistema decimal de los números números maya que se muestran en la Figura Figura 1.4. 12. Convertir los siguientes números decimales a su representación en sistema maya: 60, 87, 112, 380, 700, 1104, 10000.
19
1.8. EJERCICIOS EJERCICIOS DEL CAPÍTULO CAPÍTULO 1
1.8.3. Ejercicio Ejercicioss sobre sobre Operacione Operacioness y Orden en N Los ejercicios que se proponen a continuación tienen por propósito confirmar conocimientos previos sobre las operaciones y orden en el conjunto de números naturales. Se deben utilizar los axiomas de Peano, las definiciones de la suma producto de números naturales y las propiedades que éstas poseen; las definiciones de los diferentes órdenes que se definen en N y las correspondientes propiedades. Mediante el sím bolo S (n) representaremos el sucesor del número natural n ; es decir, S (n) = n + 1; de manera equivalente diremos que n es el antecesor de n + 1. Si n 1, su antecesor se escribirá como A (n) = ( n − 1). Sabemos que cuando a ≤ b existe p ∈ N tal que a + p = b. En este caso decimos que p es la diferencia de b y a y lo denotamos por b − a. 1. Para todo número natural n se tiene: S (1).n = n + n. Este es el conocido resultado que 2 n = n + n. 2. S(2).n = n + n + n. 3. S(3).n = n + n + n + n. 4. S(k ).n = n + n + n + . . . + n.
k +1
5. S(1).(n + 1) = 2 n + 2
6. S(2).(n + 1) = 3 n + 3 7. S(k ).(n + 1) = kn k n + k 8. Se define define el cuadrado cuadrado de n y se denota por n 2 al producto n · n. Demuestre que si m < n, entonces se tiene: m2
<
mn
<
n2
9. S(n).S(n) = n 2 + 2n + 1 10. S(n + 1).S(n + 1) = n 2 + 4n + 4 11. S(n + k ).S(n + k ) = n 2 + 2n(k + + 1) + ( k + + 1)2 12. S(n + 1).(n + 1) = n 2 + 3n + 2 13. S(n)S(m) = S (nm ) + n + m 14. Para todo k ∈ N, n < S(k )n 15. Pruebe que para todo n ∈ N, se tiene n < S(n) 16. Se define, define, para todo todo n ∈ N y k ∈ N, la potencia k-ésima de n por: n 0 = 1 y n k = n k −1 · n. Pruebe que si a y b son números naturales y a < b, entonces a 2 < b2 . 17. Pruebe Pruebe que para todo natural natural k > 0 si a y b son números naturales y a todo natural k .
<
b, entonces a k < bk , para
20
CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS NA NATURALES TURALES
18. Muestre que en el conjunto de números naturales la siguiente implicación es válida: ( a2
<
b2 )
⇒a
<
b
19. generalice el resultado anterior, anterior, válido en el conjunto de números naturales: ( ak < bk )
⇒a
<
b
20. El siguiente ejercicio está motivado por un error error frecuente de escritura escritura que consiste en escribir 1 + na por la expresión (1 + n)( a). Verifique que
·
S(na ) = S (n) a
Los Números Figurados Un número triangular es aquel que puede recomponerse en la forma de un triángulo equilátero. Se conviene en que, el primer número triangular es el 1, es decir T (1) = 1 y los siguientes se definen mediante la rec recurre urrencia: ncia: T (n + 1) = T (n) + (n + 1). De igua iguall mane manera ra se pued puedee habl hablar ar de los los núme número ross cuad cuadra rado doss como como aquellos con los que es posible recomponerlos de forma tal de construir un cuadrado. En general podemos hablar de números poligonales, como aquellos que se puede recomponer para lograr un polígono dado. 1. Muestre que el número triangular T (n) viene dado por T (n) =
n(n + 1)
2 2. Verifique que la suma T (n − 1) + T (n) es siempre un número cuadrado.
.
3. La suma de los n primeros números triangulares es también conocida como número tetraédrico, así el n-ésimo número tetraédrico es la suma de los primeros n números triangulares. Demuestre que su expresión viene dada por : n(n + 1)( n + 2) S = 6 4. Muestre que la sucesión C (n) definida por C (1) = 1 y para todo n > 1 por : C (n + 1) = C (n) + (2n + 1), define los números cuadrados. 5. Verifique que los números pentagonales (ver Figura 1.5) son los de la sucesión definida por: P (1) = 1 y para n > 1: n( 3n − 1) . P( n ) = 2 6. Los números pentagonales pueden ser escritos como suma de números triangulares. Verifique que en efecto P(n) = T (n) + 2T (n − 1) 7. Demuestre que un número natural P es pentagonal si y sólo si el número = X =
es un número entero.
√ 24P + 1 + 1 6
21
1.8. EJERCICIOS EJERCICIOS DEL CAPÍTULO CAPÍTULO 1
Figura 1.5: Números pentagonales.
1.8.4. Ejercicio Ejercicioss ssobre obre Inducción Inducción Matemáti Matemática ca Utilice inducción matemática para demostrar que las afirmaciones o las fórmulas dadas son válidas. n
1. ∑ 2k = = n (n + 1) k =1
2. 2 + 5 + 8 + 11 + ... + (3n − 1) =
n(3n + 1)
2
3. a + ( a + d ) + ( a + 2d) + ( a + 3d) + ... + ( a + ( n − 1)d) = 4.
1
n
2
<
n(2a + ( n
2
1 n
5. Para n ≥ 4, se cumple: 2 n < n! 6. 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + .... + n(n + 1) = n
7. ∑ k 2 = 8. ∑ k =1
k 3
=
3
n(n + 1)( 2n + 1)
6
k =1 n
n(n + 1)( n + 2)
n(n + 1)
2
2
n
9. ∑ 2k = 2(n+1) − 1 k =0
3(n+1) − 1 10. Para todo n ≥ = 2 1 1 1 1 1 1 11. Para todo n ≥ 0, se tiene: 1 + + 2 + 3 + 4 + ... + n = 2 − n 2 2 2 2 2 2 0 : 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + .... + 3n
12. n3 − n es divisible por 6.
− 1) d )
22
CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS NA NATURALES TURALES
13. n(n2 + 5) es divisible por 6. 14. (x − y) es un factor de x n − yn 15. La suma de los ángulos internos de un polígono regular de n lados es ( n − 2)π 16. El teselado de un polígono polígono de n lados por medio de triángulos triángulos cuyos lados son lados o diagonales diagonales del polígono siempre incluye ( n − 2) triángulos. 17. El número de diagonales de un polígono convexo de n lados es igual a D n =
n(n
− 3)
2
Capítulo 2
Los Números Enteros 2.1. 2.1. Intro Introdu ducc cció ión n Cons Constr trui uire remo moss en este este Capít Capítul ulo, o, el conj conjun unto to de los los núme número ross ente entero ross a parti partirr del del conj conjun unto to de los los núme número ross naturales. Sin embargo, necesitaremos antes algunos conceptos previos. La relación de igualdad en cualquier conjunto numérico C , posee las siguientes propiedades: i) a = a ii) a = b ⇒ b = a iii) ( a = b ∧ b = c ) ⇒ a = c cualesquiera que sean a , b, c ∈ C. Estas propiedades de la relación de igualdad se generalizan con la siguiente definición: Definición 2.1. Una relación R sobre un conjunto S se llama relación de equivalencia sobre S si, para cualesquiera a , b , c ∈ S, son válidas las siguientes propiedades: i) a R a (propiedad reflexiva) ii) Si a R b entonces b R a (propiedad simétrica) iii) Si a R b y b R c entonces a R c (propiedad transitiva) Ejemplo 2.1. a) La relación de paralelismo || en el conjunto de rectas del plano es una relación de equivalencia, ya que si l 1 , l 2 y l 3 son rectas en el plano euclidiano, entonces: i) l1 || l1 ii) l1 || l2 ⇒ l2 || l1 iii) l1 || l2 ∧ l2 || l3 ⇒ l1 || l3 23
24
CAPÍTULO 2. LOS NÚMEROS NÚMEROS ENTEROS
b) La relación “tiene el mismo nombre que” en el conjunto de estudiantes de una universidad es una relación de equivalencia. c) La relación “es hermano de” en el conjunto anterior, anterior, no es una relación de equivalencia. Una Una rela relaci ción ón de equi equiva vale lenc ncia ia,, prod produc ucee una una part partic ición ión del del conj conjun unto to en que que se defin define, e, es deci decirr, una una divisi división ón del conjunto original en subconjuntos disjuntos no vacíos, tales que q ue al unirlos, forman el conjunto original. Dichos subconjuntos se conocen como clases de equivalencia. equivalencia sobre sobre un conjunto conjunto S. Si a ∈ S, al conjunto conjunto de elementos elementos x Definici Definición ón 2.2. Sea R una relación de equivalencia relacionados con a se le llama clase de equivalencia de a y se denota [ a]. Al elemento a se le llama representante de la clase. [ a ] = { x ∈ S/ x R a} Ejemplo 2.2. Dos números enteros tienen la misma paridad, si ambos son pares o si ambos son impares. La relación “tiene la misma paridad” definida sobre el conjunto N es una relación de equivalencia (demostrarlo), que produce las siguientes clases de equivalencia: [0] = x
{ ∈ N/x tiene la misma paridad que 0} = {0,2,4,6,...} [1] = { x ∈ N / x tiene la misma paridad que 1} = {1,3,5,7,...} Observación: Es importante resaltar que cualquier elemento de una clase de equivalencia puede ser su representante, así, en el ejemplo anterior, [ 0] = [2] = [4] = [6] = . . ., etc. etc.
2.2. Operaciones Operaciones y Orden en el Conjunto Conjunto Z Si a y b son dos números naturales tales que a ≤ b, sabemos que existe otro número natural d tal que d iferencia de b con a y la denotamos por d = b − a. Así, a + d = b . A este número d lo denominamos resta o diferencia podemos, en este caso, definir una operación entre números naturales tal que dados a y b , con a ≤ b, se le asigna el número d . La resta, está sólo parcialmente definida en el conjunto de números naturales. Nos proponemos extender el conjunto de números de forma tal que podamos realizar la anterior operación con cualquier par de números naturales. Para descifrar el conjunto conjunto por construir construir,, observemos observemos primero que los números números naturales naturales pueden ser expresados como diferencias de infinitas formas; en efecto 1. El número cero tenemos: 0 − 0 = 1 − 1 = 2 − 2 = 3 − 3 = 4 − 4 . . . = n − n = . . . 2. En el caso del número uno tenemos: 1 − 0 = 2 − 1 = 3 − 2 = 4 − 3 = 5 − 4 . . . = (n + 1) − n = . . . 3. Para el número dos tenemos: 2 − 0 = 3 − 1 = 4 − 2 = 5 − 3 = 6 − 4 . . . = (n + 2) − n = . . . 4. Cuando el número natural es k , tenemos: k − 0 = (k + + 1) − 1 = ( k + + 2) − 2 = (k + + 3) − 3 = (k + + 4) − 4 . . . = (k + + n ) − n = . . .
2.2. OPERACIONES OPERACIONES Y ORDEN EN EL CONJUNTO CONJUNTO Z
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Así, el número cero está representado por una cualquiera de las diferencias de la primera línea; el número uno por cualquier diferencia de la segunda línea, y así sucesivamente. Una propiedad que aparece casi de inmediato para identificar las diferencias que corresponden a un mismo número natural, es la siguiente: dadas dos diferencias ( a − b) y ( c − d) ellas representan al mismo número natural si y sólo si a + d = b + c. Es decir: (a − b = c − d) ⇐⇒ a + d = b + c.
La idea central es aceptar esta observación para cualquier tipo de diferencias entre números naturales; es decir aceptaremos que la condición (a − b = c − d) ⇐⇒ ⇐⇒ a + d = b + c, es válida para cualquier par ( a, b) de números naturales, sin que necesariamente se cumpla que a ≤ b. Así, aceptando esta condición podemos escribir: 1. 0 − 1 = 1 − 2 = 2 − 3 = 3 − 4 = 4 − 5 . . . = n − (n + 1) = . . . 2. 0 − 2 = 1 − 3 = 2 − 4 = 3 − 5 = 4 − 6 . . . = n − (n + 2)− = . . . 3. 0 − k = = 1 − (k + + 1) = 2 − (k + + 2) = 3 − (k + + 3) = 4 − (k + + 4) . . . = n − (k + + n) = . . .
En base a lo anterior diremos que dos pares ordenados de números naturales ( a, b) y ( c, d), son equivalentes si y solamente si a + d = b + c. Por ejemplo ( 2, 0) R ( 3, 1), ya que 2 + 1 = 0 + 3. Esta relación así definida satisface en efecto las condiciones de una relación de equivalencia: reflexiva, simétrica y transitiva (ejercicio). Representaremos la clase de equivalencia de un par ordenado de números naturales ( a, b) como [ a, b]. Así, la clase de equivalencia del par asociado al número 0 la podemos representar como [0, 0], la del 1 como [ 1, 0], la del 2 como [ 2, 0], etc. Puesto que existe una relación biunívoca entre los números naturales 0, 1, 2, 3, . . . y las las clase clasess [ 0, 0], [ 1, 0], [ 2, 0], [ 3, 0], . . ., podemos podemos identificar identificar a cada una una de estas estas clases con con los números naturales: 3, . . . [0, 0] = 0, [ 1, 0] = 1, [ 2, 0] = 2, [3, 0] = 3, A la clase de equivalencia del par ordenado [0, 1] lo denominamos el número menos uno y lo sim bolizamos por −1; de manera similar el número menos dos −2 es el que corresponde a la clase de equivalencia de [ 0, 2], el número menos n representado por −n es el correspondiente a la clase de equivalencia de [0, n]. Denotaremos al conjunto de las anteriores clases como Z y le llamaremos el conjunto de números enteros, de modo que Z =
es decir,
{. . . , [ 0, 3], [0, 2], [ 0, 1], [ 0, 0], [ 1, 0], [2, 0], [ 3, 0] . . .} Z =
{. . . , −4, −3, −2, −1, 0,0, 1, 2,2, 3, 4,4, . . .}
Definiendo en Z, las operaciones: i) [ a, 0] + [ b, 0] = [ a + b, 0] ii) [ a, 0] · [b, 0] = [ a · b, 0]
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CAPÍTULO 2. LOS NÚMEROS NÚMEROS ENTEROS
O en la nueva notación: a + b y a · b, conseguimos definir la operación resta en todo el conjunto ampliado: b
− a = b + (−a)
2.2.1. Las Operacione Operacioness con con los los Númer Números os Entero Enteross Todas las propiedades del conjunto Z de los números enteros con respecto a las operaciones de suma, resta y multiplicación se pueden demostrar a partir de un pequeño grupo de propiedades sencillas, que se enuncian a continuación. a) La operación + llamada suma, definida en el conjunto de los números enteros Z, tiene las siguientes propiedades: a1) ( x + y) + z = x + ( y + z) (asociativa) a2) x + y = y + x (conmutativa) a3) Existe un número entero 0, tal que x + 0 = 0 + x = x (elemento neutro de la suma) a4) Para cada cada entero entero x , hay un entero opuesto − x, tal que x + ( − x) = 0 (elemento opuesto) p) La operación · llamada multiplicación, definida en el conjunto Z, posee las siguientes propiedades: p1) ( x · y) · z = x · ( y · z) (asociativa) p2) x · y = y · x (conmutativa) p3) Hay un número entero 1, tal que 1 · x = x · 1 = x (elemento neutro de la multiplicación) d) x · ( y + z) = x · y + x · z (propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma) A continuación se muestran algunas consecuencias importantes derivadas de las propiedades anteriores. Los símbolos x , y y z , representan números enteros cualesquiera. Teorema 2.1. Propiedad cancelativa de la suma: x + y = x + z ⇒ y = z Teorema 2.2. Ley de absorción del cero: x · 0 = 0 Teorema 2.3. − (− x) = x Teorema 2.4. Regla de los signos: x · (− y) = (− x) · y = −( x · y); (− x) · (− y) = x · y
2.2.2. El Orden en los Números Números Enteros Enteros La relación ≤ (menor o igual) definida en el conjunto de los números enteros tiene las siguientes propiedades: a)
decir, cumple con ≤ es una relación de orden, es decir, i) x ≤ x (propiedad reflexiva)
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2.3. DIVISIBILIDAD EN Z
ii) ( x ≤ y) ∧ ( y ≤ x) ⇒ x = y (propiedad antisimétrica) iii) ( x ≤ y) ∧ ( y ≤ z) ⇒ x ≤ z (propiedad transitiva) b) El orden ≤ es total, es decir, dados dos enteros cualesquiera x e y , entonces x ≤ y o y ≤ x. Tomando como base las propiedades anteriores del orden ≤ definido en el conjunto Z, se muestran a continuación algunas consecuencias importantes: Teorema 2.5. x ≤ y es equivalente a x + z ≤ y + z Teorema 2.6. x ≤ y, 0 ≤ y − x, x − y ≤ 0, − y ≤ − x son equivalentes Teorema 2.7. Si 0 ≤ z y x ≤ y entonces z · x ≤ z · y Teorema 2.8. ( x ≤ 0 ∧ 0 ≤ y) ⇒ x · y ≤ 0, también ( x ≤ 0 ∧ y ≤ 0) ⇒ 0 ≤ x · y
Corolario 2.1. 0 ≤ x2
2.3. 2.3. Divisi Divisibil bilida idad d en Z Un entero b divide a otro entero a , si existe un entero c tal que a = bc b c. Por ejemplo, 3 divide a 15 ya que 15 = (3)(5), en tanto que −5 divide a 45 por que 45 = (−5)( −9). Se usará a menudo la notación b | a lo cual se lee “ b divide a a ”. Si b | a, se dirá también que a es un múltiplo de b , que b es un divisor de a o que a es divisible por b . Teorema 2.9.
| | 2. Si a | b y b | c entonces a | c. 3. Si a | b y a | c entonces a | (bx + cy ) para todo par de enteros x, y. 4. Si a | b y b | a entonces a = ±b 5. Si a | b, a 0, b 0, entonces a ≤ b 1. Si a b entonces a bc para todo entero c.
>
>
Observación: De la propiedad 3 del teorema anterior, es claro que si a decir, a divide a la suma y a la resta de los números b y c.
| b y a | c, entonces a | ( b ± c), es
Si dividimos sucesivamente cada número entero entre 5, veremos que se repite la misma secuencia de residuos 0, 1, 2, 3 y 4. En particular, si dividimos 17 entre 5, obtenemos un residuo igual a 2 y el número 17 se puede expresar como: 17 = 3 × 5 + 2
Este hecho, se generaliza con el siguiente teorema.
Euclides). Dados dos enteros a y b, con b Teorema 2.10 (Lema 2.10 (Lema de la división de Euclides). que a = bq b q + r, con 0 ≤ r < b.
>
0, existen enteros q, r tales
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CAPÍTULO 2. LOS NÚMEROS NÚMEROS ENTEROS
Observación: Al número q del lema anterior se le llama cociente, mientras que a r se le llama resto o residuo de la división entera de a entre b .
Ejemplo 2.3. Al dividir 89 entre 15 se tiene que 89 = 15 × 5 + 14; al dividir -11 entre 3 se obtiene −11 = 3 × (−4) + 1; si se divide -13 entre -3 resulta −13 = (−3) × (5) + 2.
2.4. Ejercicios Ejercicios sobre Divisibilida Divisibilidad d y la Divisió División n Euclid Euclidiana iana 1. Determine en Z todos los divisores de 20, 28 y 75. 2. Encuentre todos los números naturales divisores divisores de 21 y en seguida seguida determine todas las parejas ( a, b) 2 2 de números naturales tales que a − b = 21. 3. Determine todos los pares ( x, y) de números naturales tales que x 2 − 2x · y = 15 4. El número natural n satisface la condición n ≥ 2 y A = n4 − 1. Demuestre que n − 1, n + 1 y n 2 + 1 son divisores de A . 5. El número k es es natural y a = 13k + + 1, b = comunes de a y b son 1, 2, 3 y 6.
−26k + + 4. Pruebe que los únicos divisores positivos,
6. Pruebe Pruebe que para para todo n ∈ N, n es par si y sólo si n2 es par. 7. Pruebe Pruebe que para para todo n ∈ N, n es impar si y sólo si n2 es impar. 8. Argumente por qué todo número primo impar es de la forma 4 m + 1 o bien de la forma 4 m + 3. 9. Sea P un número primo distinto de 2 y distinto de d e 3. Pruebe que P es de la forma 6 m − 1 o de la forma 6m + 1. 10. ¿Puede la suma de dos cuadrados impares ser un cuadrado? 11. Pruebe que los únicos divisores positivos de los números a = 6 k + + 5 y b = 8 k + + 3 son 1 y 11. 12. ¿Por qué es imposible encontrar números enteros u y v tales que 6u − 9v = 22? 13. ¿Cuáles son los números naturales n tales que al dividirlos por 4 dan como resultado un cociente que es igual al resto? 14. Determine el cociente y el residuo que se obtienen de la división euclideana de -118 por 23. 15. Encuentre Encuentre un natural natural que al dividirlo por 23 se obtiene como residúo residúo 1 y que al dividirlo por 17 se obtiene el mismo cociente, pero el residúo es 13. 16. 16. Al reali realizar zar la divisi división ón eucl euclid idea eana na de 990 990 por por b, el coci cocien ente te es 39. 39. Dedu Deduzc zcaa b y el resi residú dúoo r de la divisi división ón.. 17. El cociente de un entero X por por 3, es 7. ¿Cuáles son los posibles residúos de la división? ¿y los posibles valores de X ?
2.4. EJERCICIOS EJERCICIOS SOBRE DIVISIBILIDAD DIVISIBILIDAD Y LA DIVISIÓN EUCLIDIANA EUCLIDIANA
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18. La suma de dos números naturales a y b , es 444. El cociente de la división euclideana de a por b es 4 y el residúo es 24. Determine los valores de a y b . 19. La diferencia de dos números naturales es 538. Si se divide el mayor entre el menor el cociente es 13 y el residúo 34. ¿Cuáles son los números? 20. El dividendo de una división división es inferior inferior a 300. El cociente cociente es 72 y el residúo residúo es 12. Se busca el dividendo y el divisor. Explique por qué no existe solución. 21. Sean a y b números naturales. Se efectúa la división euclideana de a por b; en seguida se aumenta el dividendo en 52 y el divisor en 4, observando que el cociente y el residúo es el mismo. Calcule el cociente. 22. El número a es un entero. Demuestre que A = a ( a2 − 1) es múltiplo de 2 y múltiplo de 3. 23. Sea n un número natural. Argumente por qué el número 3 n4 + 5n + 1 no puede ser divisible por el número n (n + 1) 24. Tomando en cuenta los posibles posibles residúos residúos de dividir un número número entero a por 7, calcule los posibles 2 residúos de a cuando se divide por 7. Demuestre, a partir de este resultado, que si a2 + b 2 es un número divisible por 7, entonces, ambos números, a y b son divisibles por 7. 25. Tomando en cuenta cuenta que la suma de n números es menor que n veces la suma del número mayor y superior a n veces la suma del sumando menor, resuelva la siguiente ecuación en N3 : ab + bc + ca = abc a bc,
con la condición 0 < a < b < c. 26. Sea a un número impar. Probar que: a) a2 − 1 es divisible por 8. b) a4 − 1 es divisible por 16. n c) Para todo n ∈ N, a 2 − 1 es divisible por 2n+2 27. Demuestre Demuestre que si n es un número natural, con n > 6, el número 6 n tiene por lo menos 6 divisores. 28. Sea n un número natural estrictamente positivo. ¿Cuántos números naturales están estrictamente comprendidos entre dos múltiplos consecutivos de n ? Deduzca de lo anterior que entre p números consecutivos cualesquiera, hay al menos uno que es múltiplo de p . 29. Si n es un número natural, n ≥ 1, se denota por A n = (n + 1)( n + 2)( n + 3) . . . (2n − 1)2n. Demuestre por inducción que A n es divisible por 2 n . 30. Considere los números a = n 3 − n2 − 12n y b = 2n2 − 7n − 4, con n > 4. Pruebe que ambos números son divisibles por ( n − 4) 31. Determine todas las parejas de enteros ( x, y) tales que x 2 − y2 = 13.
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CAPÍTULO 2. LOS NÚMEROS NÚMEROS ENTEROS
32. Encuentre todas las parejas de enteros ( x, y) tales que la suma x + y sea un múltiplo del producto x · y. 33. ¿Cuáles son todos los números naturales x , y , z z tales que 0 < x y z y además xyz x yz = 4 ( x + y + z). 34. Demuestre por recurrencia que para todo número natural n, el número 23n − 1 es divisible por 7. Deduzca de lo anterior que 2 3n+1 − 2 es divisible por 7 y que 2 3n+2 − 4 es múltiplo de 7. Determine los residúos de la división de las potencias de 2 por 7. 35. Para todo n ∈ N se define la sucesión U n por: U n = 3 2n − 2n . Demuestre por recurrencia que, para todo n , U n es divisible por 7. 36. Se define define la sucesión sucesión U n por U n = 5n3 + n. a) Verifique que U n+1
− U n = 3(5n(n + 1) + 2).
b) Demuestre que para todo natural n , 5n(n + 1) + 2 es un número par. c) Demuestre por inducción que U n es divisible por 6, para todo entero natural n .
37. Los lados de un triángulo rectángulo son números naturales a , b y c . Demuestre que: es par. a) Al menos uno de los tres números es b) Al menos uno de los tres números es divisible por 3. c) Uno de los tres números al menos es divisible por 4. d) Al menos uno de los tres números es divisible por 5.
2.5. 2.5. El Máximo Máximo Común Común Diviso Divisorr Si a es un número natural, por D ( a) simbolizaremos al conjunto de divisores de a . Observe que D ( a) es siempre distinto de vacío, puesto que 1 es divisor de a para todo natural a. De igual forma representaremos por D ( a, b) al conjunto de divisores comunes de a y b . Tomando en cuenta la observación anterior el con junto D ( a, b) es siempre distinto de vacío. Al mayor de los divisores comunes de a y b lo representaremos representaremos por MCD(a,b) y lo l o denominaremos Máximo Común Divisor Divi sor.. Los siguientes son algunos resultados básicos referidos al tema del MCD. 1. Como todo número natural divide a 0, se tiene que D ( a, 0) = D ( a), para todo natural a . 2. Cualesquiera sean los números naturales a y b , D ( a, b) = D (b, a) 3. Para todo a , D (a, a) = D (a) 4. Claramente D ( a, 1) = 1 5. Si b divide a a entonces D (a, b) = D(b) 6. Si a y b son dos naturales, con a ≥ b, entonces D( a, b) = D( a − b, b). Para números pequeños este resultado permite determinar el MCD MC D de dos números dados. Por ejemplo, MCD MC D(18,12) = MCD MC D(6,12) = MCD MC D(6, 6) = MCD MC D(6, 0) = 6.
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2.5. EL MÁXIMO MÁXIMO COMÚN DIVISOR DIVISOR
7. Sean a y b dos números naturales con a ≥ b, tales que la división euclideana de a por b es a = bq + r, entonces D ( a, b) = D ( b, r ). Este resultado permite acelerar el algoritmo sugerido en el párrafo anterior. 8. El Algoritmo de Euclides. Del resultado anterior: D( a, b) = D(b, r), podemos obtener un método Euclides. Del sistemático para lograr determinar el máximo común divisor MCD M CD ( a, b ) de dos números naturales a y b. En efecto, si r > 0 podemos de nuevo hacer uso de la división di visión euclideana de b por r , b = rq 1 + r1 . Repitiendo este proceso tenemos una sucesión estrictamente decreciente de residuos que, después de un número finito de pasos,llegará a ser cero. Tendremos entonces: D( a, b) = D(b, r), D(b, r) = D(r, r1 ), D(r, r1 ) = D(r1 , r2 ) = . . . = D(rn , 0). Finalmente tendremos D( a, b) = D(rn , 0) y como el máximo comun divisor de r n y 0, es r n , obtenemos r n = MCD Así,el máximo MC D(rn , 0) = MCD MC D(a, b). Así,el común divisor de a y b es justamente r n , el último residuo no nulo en la secuencia anterior. anterior. 9. Para calcular el MCD de dos enteros a y b (ambos mayores o iguales que 0, suponemos a mayor o igual que b) se definen q i y r i recursivamente mediante las ecuaciones: (0 (0 (0
· q1 + r1 · q2 + r2 · q3 + r3
≤ r1 ≤ r2 ≤ r3
a = b b = r 1 r1 = r 2
.. .
· ·
rk −3 = r k −2 qk −1 + rk −1 rk −2 = r k −1 qk + rk
(0
≤ rk −1
b) < r1 ) < r2 ) <
rk −2 ) (rk = 0 ) <
Y de la proposición anterior, se sigue que: MCD( a, b) = MCD(b, r1 ) = MCD(r1 , r2 ) = ... = MCD (rk −2 , rk −1 ) = r k −1 Por lo tanto el MCD M CD es el último residuo anterior a cero. Ejemplo. Cálculo Ejemplo. Cálculo del MCD(721,448). 721 = 448 · 1 + 273 448 = 273 · 1 + 175 273 = 175 · 1 + 98 175 = 98 · 1 + 77 98 = 77 · 1 + 21 77 = 21 · 3 + 14 21 = 14 · 1 + 7 ←− último resto distinto de 0 14 = 7 · 2 + 0 Tenemos que MCD (721,448 ) = 7, que es el último residuo que no es nulo.
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CAPÍTULO 2. LOS NÚMEROS NÚMEROS ENTEROS
10. Una alternativa para encontrar el MCD MC D(a, b) de dos números dados a y b, es lograr la descomposición de ellos en sus factores primos. Por ejemplo,para calcular MC D(144,180), descomponemos 144 y 180 en sus factores primos, lo que da como resultado MCD MC D(24 · 32 , 22 · 32 · 5). Así, MCD MC D(144,180) = β β β α α α α 2 1 22 · 32 = 36. En el caso general, si a = p11 · p22 · p 33 . . . p k k y b = p1 · p 2 · p3 3 . . . p βk ,k entonces γ γ γ γk en donde los γi = m´ın(αi , βi ). Observe que siempre es posible MCD MC D(a, b) = p1 1 · p2 2 · p3 3 . . . p k , expresar dos números a y b utilizando los mismos números primos, basta para ello con adoptar la convención que si uno de tales factores primos no aparece en uno de los números, dicho factor primo se coloca con exponente cero. Este recurso de descomponer en sus factores primos los números a y b, es también utilizado para determinar el Mínimo Común Múltiplo, el MCM MC M;en efecto, lograda la γ1 γ2 γ3 γk descomposición se tiene que MC max a´ x(αi , β i ). M C M(a, b) = p1 · p2 · p3 . . . p k , en donde los γ i = m´ 11. El conjunto de divisores comunes de dos números naturales es igual al conjunto de divisores de su máximo común divisor div isor.. 12. Dos números naturales a y b se dice que son primos relativos si su máximo común divisor es igual a 1; es decir MCD M CD ( a, b) = 1. 13. Teorema de Bezout. Sean Bezout. Sean a y b dos números naturales. La condición a y b son primos relativos entre sí, es equivalente a decir que existen números enteros u y v tales que ua + vb = 1. 14. Las tres proposiciones siguientes son equivalentes: a) MCD MC D( a, b) = M a b y son primos relativos. M M c) M es un divisor divisor común común de a y b y existen dos números enteros u y v tales que ua u a + vb = M.
b) M es un divisor de a y de b y los números naturales
15. Si a y b son dos naturales y M = MCD MC D(a, b) entonces, para todo c > 0, Mc M c = MCD MC D(ca , cb ) 16. Teore Teorema ma de Gauss Gauss Sean a, b y c tres números naturales tales que a divide al producto bc . Si a es primo relativo con b , entonces a divide a b . Este resultado se conoce como el teorema de Gauss.
2.6. 2.6. Ejerci Ejercicio cioss sobre sobre el MCD. 1. Argumente la validez de la siguiente secuencia: D (168,264) = D(96,168) = D (72,96) = D (24,72) = D (24,48) = D (24,24) = D (24) 2. En cada cada uno uno de los sigui siguien ente tess caso casoss dete determ rmin inee los conj conjun unto toss D (a) y D (b) en cada cada uno uno de los los sigu siguie ient ntes es casos y deduzca el MCD M CD ( a, b) a) b) c) d)
a = 24 y b = 18. a = 150 y b = 240. a = 60 y b = 84. a = 150 y b = 77.
2.6. EJERCICIOS EJERCICIOS SOBRE SOBRE EL MCD.
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3. Utili Utilice ce el algor algoritm itmoo de Eucl Euclide idess para para dete determ rmin inar ar el máxi máximo mo comú comúnn divis divisor or MC D( a, b) de los núme número ross a y b y deduzca el conjunto de divisores comunes a ambos números. a) b) c) d) e)
a = 144 y b = 840. a = 202 y b = 138. a = 147 y b = 490. a = 168 y b = 2160. a = 308 y b = 364.
4. Cuando se dividen los números 4294 y 3521 por cierto número natural, se obtiene como residuo residuo 10 y 11 como respectivamente. ¿Cuál este número natural? 5. El máximo común divisor de 600 y el número b, b, es 12. Se sabe además que 260 < b < 300. Determine el valor de b. 6. Demuestre que dos números naturales consecutivos son primos relativos. 7. Utilice el teorema de Bezout para demostrar que a es primo relativo con b y primo relativo con c, entonces es primo relativo con el producto b · c. 8. Haga b = c en el resultado anterior para concluir que si a es primo con b, entonces a es primo relativo con las potencias sucesivas de b; es decir a es primo relativo con b n con n número natural. 9. Sean a y b dos primos relativos. a) Pruebe que ( a + b) es primo relativo con a y con b b) De lo anterior deduzca que a + b es primo relativo con a · b y que a 2 + b2 es primo relativo con a · b. c) Pruebe que a 2 + b2 es primo relativo con a · b 10. Sean a = 2 n + 1 y b = 3 n + 2. Encuentre una relación entre a y b independiente de n . Deduzca que a y b son primos relativos. 11. Pruebe que los números a = 3 n + 4 y b = 2n + 3 son primos relativos. 12. Utilice el algoritmo de Euclides para encontrar los enteros x , y tales que 89 x + 41 y = 1 13. Encuentre dos números naturales a y b tales que MCD M CD (a, b) = 8 y que a + b = 144. 14. Determine los valores de los números naturales a y b si se sabe que MCD M CD (a, b) = 17 y a · b = 1734. 15. Encuentre todas las parejas de números naturales ( x, y) que satisfacen las siguientes condiciones: a) 11 x = 6 y y 0 ≤ x < 25 b) 4( x + 3) = 3 y
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CAPÍTULO 2. LOS NÚMEROS NÚMEROS ENTEROS
16. El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5000 cm de largo y 3000cm de ancho. Calcula el lado y el número de las baldosas, tal que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar ninguna de ellas. 17. Se desea cubrir con azulejos cuadrados una pared de una cocina cocina que mide 210cm de ancho por 300cm de alto. Si queremos que los azulejos sean lo más grande posible y que no haya que romper ninguno, ¿Cuál debe ser la anchura del azulejo? 18. El MCD de dos números es 11. Al calcularlo mediante el algoritmo de Euclides, los cocientes que se obtienen son 1, 1 y 3 (en ese orden). Calcular dichos números. 19. Dos grupos del Ejército tienen 12028 y 12772 soldados, respectivamente. ¿Cuál es el mayor número de soldados de cada batallón, si cada grupo ha de ser dividido en batallones de igual magnitud? 20. Una empresa empresa vinícola de Montilla tiene que envasar 1650 litros litros de vino dulce y 3600 litros de vino fino, en toneles iguales de la mayor capacidad posible. ¿De qué capacidad serán los toneles? 21. 21. Marí Maríaa y Jorg Jorgee tien tienen en 25 bola bolass blan blanca cas, s, 15 bolas bolas azule azuless y 90 bolas bolas roja rojass y quie quiere renn hace hacerr el mayo mayorr núme número ro de collares iguales sin que sobre ninguna bola. ¿Cuántos collares iguales pueden hacer? ¿Qué número de bolas de cada color tendrá cada collar? 22. Se tienen tres tubos de 84, 270 y 330 cm3 . ¿Cuál es el mayor volumen en cm3 que cabe un número exacto de veces en cada uno de ellos? 23. Se desean repartir repartir 180 libros, libros, 240 juguetes juguetes y 360 chocolates chocolates entre un cierto número de niños, de tal modo que cada uno reciba un número exacto de cada uno de esos elementos. ¿Cuál es el mayor número de niños que puede beneficiarse así y qué cantidad recibe cada uno? 24. Se quiere alambrar un terreno terreno de forma trapezoidal tal que sus lados miden 320, 104, 396 y 84 metros, deseando que los postes resulten equidistantes y que en cada esquina haya uno. ¿Cuál es la máxima distancia a que pueden colocarse y cuántos postes se necesitan? 25. Un jardinero desea colocar 720 plantas de violetas, 240 de pensamientos, 360 de jacintos y 480 de claveles en el menor número posible de canteros que contengan el mismo número de plantas, sin mezclar las mismas. ¿Qué cantidad de plantas debe contener cada cantero y cuántos hay?
2.7. 2.7. El Mínimo Mínimo Común Común Múltip Múltiplo lo Dos enteros estrictamente positivos a, b, tienen al menos un múltiplo común, estrictamente positivo, que es el producto de ellos a · b. Se deduce entonces que el conjunto de múltiplos positivos comunes a dos números dados, es siempre distinto de vacío y siendo un conjunto de números enteros positivos existe un elemento menor; éste se denomina Mínimo Común Múltiplo y se denota por MCM. El siguiente resultado relaciona el máximo común divisor con el mínimo común múltiplo. 1. Si M es el máximo común divisor de los números a y b y m su mínimo común múltiplo, entonces se tiene que:
·
·
m M = a b
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2.8. EJERCICIOS EJERCICIOS SOBRE SOBRE EL MCM
Por otra parte se tiene que: 2. Todo múltiplo común de a y b es múltiplo de m, su mínimo común múltiplo. Se tiene además el siguiente resultado: 3. m es el mínimo común múltiplo de a y b si y sólo si los números
m m y , son primos relativos. a b
4. Para encontr encontrar ar el MC M C M( a, b) de dos números dados a y b, podemos utilizar el mismo recurso utilizado para encontrar el Máximo Común Divisor, a través de la descomposición de ellos en sus factores primos. Por ejemplo,para ejemplo,para calcular MCM MC M(144,180), descomponemos 144 y 180 en sus factores primos, lo que da como resultado 144 = 24 · 32 , 180 = 22 · 32 · 5. Así, MC M C M(144,180 ) = 2 4 · 32 · 5 = 720. En el caso general, si a = p1α1 · p2α2 · p3α3 . . . p k αk y b = p β1 1 · p β2 2 · p β3 3 . . . p βk ,k entonces MCM MC M(a, b) = γ1 γ2 γ3 γk max a´ x(αi , β i ). p1 · p2 · p3 . . . p k , en donde los γ i = m´
2.8. 2.8. Ejercic Ejercicios ios sobre sobre el MCM 1. Determine en cada uno de los siguientes casos el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números a , b . a) b) c) d)
a = 72 y b = 108 a = 180 y b = 450 a = 120 y b = 300 a = 175 y b = 490
2. Deduzca en cada uno de los casos del ejercicio anterior, el máximo común divisor de los números dados. 3. El MCM de dos números dados es 216 y uno de ellos es 72. ¿Cuál es el otro? 4. Determine los pares de números naturales ( x, y) tales que: a) x · y = 1512 b) MCM MC M( x, y) = 252. 5. Determine todos los divisores positivos de 108 y enseguida encuentre todas parejas de números naturales ( a, b) cuyo máximo común divisor es M y su mínimo común múltiplo m satisfacen las condiciones a) m − 3 M = 108 b) 10 < M < 15. 6. Sean a y b números naturales. Si M es el máximo común divisor de a y b y m es su mínimo común múltiplo, determine las parejas ( a, b) tales que m
− 9 M = 13
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CAPÍTULO 2. LOS NÚMEROS NÚMEROS ENTEROS
2.9. 2.9. Los Número Númeross Primos Primos Un número primo p, es un entero mayor o igual a 2 y cuyos únicos divisores son 1 y p. Todo entero n ≥ 2 que no es primo se dice que es compuesto; así un número compuesto n admite al menos un divisor d distinto de 1 y de n ; es decir con 1 < d < n. Descomponer un entero natural n en producto de números primos es escribirlo en la forma n = p1α1 · p2α2 · p3α3 . . . p k αk , con los α i ≥ 0 Los siguientes son resultados importantes sobre números primos. 1. Todo entero a , con a ≥ 2 admite un número primo como divisor. 2. Para saber si un número n es primo o no, basta saber si tiene divisores primos p , con p
≤ √ n
3. El conjunto de números primos es infinito. 4. Todo número entero n ≥ 2, es primo o producto de números primos. 5. Si n es un ente enterro natu natura rall y n = p1α1 · p2α2 · p3α3 . . . p k αk , ento entonc nces es los divis divisor ores es de n son todo todoss los los núme número ross d β 1 β 2 β 3 β k que se escriben en la forma d = p1 · p2 · p3 . . . p k , con los β i satisfaciendo la condición: 0 ≤ β i ≤ αi 6. Si la descomposición de n en sus factores primos es n = p1α1 · p2α2 · p3α3 . . . p k αk , entonces el total de divisores de n es ( α1 + 1)( α2 + 1)( α3 + 1) . . . (αk + 1). 7. Si p es un número primo y a es un natural no divisible por p , entonces a y p son primos relativos. 8. Si p es un número primo que divide al producto a · b, entonces p divide a a o p divide a b . 9. Si p divide a a · b siendo a y b primos, entonces p = a o p = b .
10. El pequeño teorema de Fermat. Fermat . Si p es un número primo y a no es divisible por p , entonces a p−1 − 1 es divisible por p . 11. Si p es un número primo y a es un natural cualquiera, entonces a p − a es divisible por p .
2.10. Ejercicios Ejercicios sobre los Números Números Primos 1. Determine si los números siguientes son o no primos: 2003, 1037, 1001, 2501. 2. El número 1022 − 1, ¿es producto de números primos? 3. El número 5 n2 + 7n, ¿puede ser primo para algún natural n? 4. Argumente por qué el número n 2 − 5n + 6 no es primo, salvo cuando n = 1 o n = 4. 5. Argumente por qué si un número p ≥ 5 es primo, entonces p es de una de las formas: p = 6 k + + 1 o bien p = 6k + + 5. 6. Sea p un número primo, p ≥ 5. Demuestre que a) p2 − 1 es divisible por 3.
2.10. EJERCICIOS EJERCICIOS SOBRE LOS NÚMEROS NÚMEROS PRIMOS
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b) p2 − 1 es divisible por 8. c) p2 − 1 es divisible por 24. d) p2 + 11 es divisible por 12. 7. Encuentre todos los divisores de los siguientes números: 72, 220, 450, 1352. 8. ¿Cuáles son los naturales que admiten exactamente tres divisores? 9. Encuentre un número natural n que posee 12 divisores y cuya factorización en factores primos es de la forma: 2 j · 3k · 52 . 10. Sea m un natural que se escribe en la forma m = 9 × 10k . Determine k de de forma que m posea 27 divisores. 11. Suponga el número n expresado en su descomposición en factores primos. ¿Qué condición deben cumplir los exponentes en dicha descomposición para que n sea cuadrado perfecto? ¿Y para que sea cubo perfecto? 12. ¿Cuál es el menor cuadrado perfecto divisible por 616? 13. Determine un número de tres tres cifras que sea divisible or 56 y que sea además cuadrado perfecto. 14. Descomponga 504 en sus factores primos y en seguida seguida encuentre dos primos relativos a y b tales que a · b = 504. 15. Encuentre todos los divisores de 84 y resuelva en el conjunto de números enteros la ecuación: x ( x + 1)(2x + 1) = 84. 16. Si p es un número primo y n un número natural. ¿Cúantos son los divisores positivos de pn ? ¿Cuál es la suma de dichos divisores? 17. Determine el conjunto de divisores divisores de 196 y resuelva la ecuación en números naturales x 2 − y2 = 196. 18. Sea p un entero diferente de 3. Demuestre que para todo n, a n = 3n+ p − 3n+1 es divisible por p . 19. Pruebe que para todo natural a no nulo a 13 − a es divisible por 26. 20. Sea n un número natural no nulo. Sea a = n 5 − n. Pruebe que a es divisible por 30. 21. Sea a = n 13 − n. Pruebe que a es divisible por 2, por 7 y por 13 y que en consecuencia es divisible por 182. 22. Verifique que 2003 es un número primo y deduzca que para todo natural n no múltiplo de 2003, el residuo de la división de n 2002 por 2003 es igual a 1. 23. Resuelva la ecuación en números naturales x 2 − y2 = 401 24. Un número número natural natural n se dice que es perfecto si la suma de todos sus divisores es 2 n. De los números 28, 128 y 8128, ¿cuáles son perfectos?
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CAPÍTULO 2. LOS NÚMEROS NÚMEROS ENTEROS
25. Sea a = 2n (2n+1 − 1) y suponga que el factor 2 n+1 − 1 es primo. a) ¿Cuál es la la descomposició descomposiciónn de a en sus factores primos? b) Haga la lista de los divisores de a . c) Demuestre que la suma de los divisores es igual a 2 a. 26. Se llama númer númeroo de Ferma Fermatt a todo número de la forma 2 2 + 1 con n un número natural. Denote estos números por Fn : n
a) Calcule F0 , F1 , F2 , F3 b) Demuestre que para todo n ≥ 0, Fn+1 = ( Fn − 1)2 + 1. c) Demuestre que para todo n > 1, Fn en su escritura decimal termina en 7.
2.11. 2.11. Congru Congruenc encias ias Sea m un entero positivo. Consideremos los posibles residuos cuando un entero a se divide por m . De acue acuerrdo al algo algori ritm tmoo de la divi divisi sión ón,, los los únic únicos os resid esiduo uoss posi posibl bles es son: son: 0, 1,2, 3, . . . (m − 1). Podemo Podemoss entonc entonces es clasificar los enteros en clases de acuerdo al residuo que se obtiene cuando se dividen por el entero positivo denominaremos enteros congruentes m. Si dos enteros a y b son enteros en la misma clase los denominaremos enteros congruentes módulo m . Este relación la escribiremos en la forma: o´ d m a ≡ b mod
Así, Así, dos númer números os enter enteros os a y b son congruente congruentess módulo módulo m, si tiene tienenn el mismo mismo resid residuo uo cuan cuando do se divid dividen en por m; la condición a ≡ b mod o´ d m es equivalente a decir que la diferencia a − b es divisible por m; en particular, particular, se tiene que a ≡ 0 mod o´ d m, es equivalente a la relación a es divisible por m .
Reglas de cálculo de congruencias. Las siguientes propiedades permiten operar con las congruencias de números enteros. 1. Cualquiera Cualquiera sea el el módulo m, se tiene que a ≡ a. 2. Si a ≡ b mod o´ d m y b ≡ c mod o´ d m, entonces a ≡ c mod o´ d m 3. Si a ≡ b mod o´ d m y c ≡ d mod o´ d m, entonces: a) b) c) d) e) f)
o´ d m. ≡ b + d mod o´ d m. a − c ≡ b − d mod o´ d m. a · c ≡ b · d mod o´ d m. a + x ≡ b + x mod o´ d m. a − x ≡ b − x mod o´ d m. a · x ≡ b · x mod a + c
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2.11. CONGRUENCIAS
4. Si a ≡ b mod o´ d m y k es es un número entero, entonces a ≡ (b + km ) mod o´ d m 5. Si a ≡ b mod o´ d m, entonces para todo entero positivo n, a n ≡ bn mod o´ d m. 6. La simplificación en las congruencias congruencias no es válida. Sin embargo, embargo, cuando MCD M CD (m, x ) = 1, sí es válida la regla de simplificación: si a · x ≡ b · x mod o´ d m, entonces a ≡ b mod o´ d m
Criterios de divisibilidad Haciendo uso de las congruencias podemos establecer los criterios de divisibilidad más usuales. 1. Criterio de divisibilidad por 2. Verifique que para todo número natural n Deduzca de lo anterior, el criterio de divisibilidad por 2.
≥ 1, 10n ≡ 0
mod ´ 2.
2. Criterio Criterio de divisibilidad divisibilidad por 9 y por 3. a) Verifique que para todo número natural, 10 n ≡ 1 mod o´ d 9. b) Utilice el resultado anterior para pa ra mostrar que a = an · 10n + a n−1 · 10n−1 + a n−2 · 10n−2 + . . . + o´ d 9 a0 ≡ an + a n−1 + a n−2 + . . . a0 mod c) Deduzca que a es divisible por 9 si y sólo si la suma de sus cifras an + a n−1 + a n−2 + . . . a0 es divisible por 9. d) Realice los cálculos anteriores en módulo 3, para deducir un criterio de divisibilidad por 3. 3. Criterio Criterio de divisibilidad divisibilidad por 11. a) Demuestre que cuando n es par, 10n ≡ 1 mod o´ d 11 y que cuando n es impar 10n ≡ (−1) mod o´ d 11. b) Considere ahora el número a = an · 10n + a n−1 · 10n−1 + a n−2 · 10n−2 + . . . + a 0 y aplique el resultado anterior para concluir un criterio de divisibilidad por 11. 4. Criterio Criterio de divisibilidad divisibilidad por 4 y por 25. a) Verifique que para n ≥ 2, se tiene 10n ≡ 0 mod o´ d 4 b) Deduzca que a = a n · 10n + an−1 · 10n−1 + an−2 · 10n−2 + . . . + a0 ≡ a1 · 10 + a0 mod o´ d 4. c) Concluya un criterio para saber si un número es divisible por 4. d) En forma similar obtenga el criterio de divisibilidad por 25. 5. Criterio Criterio de divisibilidad divisibilidad por 8. a) Verifique que 10 ≡ 2 mod o´ d 8 y deduzca que 102 ≡ 4 mod o´ d 8. b) Demuestre que 10n ≡ 0 mod o´ d 8, para todo n 3, c) Utilice los resultados anteriores para demostrar que n = an an−1 an−2 · · · a2 a1 a0 es divisible por 8 si y sólo si 4a2 + 2a1 + a0 es divisible por 8.
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CAPÍTULO 2. LOS NÚMEROS NÚMEROS ENTEROS
6. Sea n un número natural de cuatro cifras. Sea u el número de dos cifras formado por los l os dos cifras de la izquierda del número n y v el número formado por las dos cifras de la derecha del número n . Así, n = u · 102 + v. Pruebe que n es divisible por 7 si y sólo si 2u + v es divisible or 7. 7. Determine el residuo de dividir 103 por 37. ¿Qué puede afirmarse del residuo de las potencias 10 n para n ≥ 3? Deduzca un criterio de divisibilidad por 37.
2.12. Ejercicios Ejercicios sobre Congruencia Congruenciass 1. Demuestre que el número n = ab (a2 − b2 ) es siempre divisible por 3. Realice para ello un análisis de los posibles casos de a y b según sean congruentes con 0, 1 o 2. 2. Utilice la congruencia congruencia módulo 7 para demostrar que 32n − 2n es siempre divisible por 7. Recuerde que 32n = (32 )n . 3. Demuestre que para todo natural n, los números de la forma n (n2 + 5) son divisibles por 6. Recuerde que n es divisible por 6 si es divisible simultáneamente por 2 y por 3. 4. Considerando los diferentes casos, demuestre que n 7 + 6n ≡ 0 mod mo d7. 5. Utilizando propiedades de congruencias, demuestre que: a) 155 − 35 ≡ 0 mod o´ d 12 b) 910 − 510 ≡ 0 mod o´ d 7 6. ¿Cuáles son los residuos de la división euclideana por 11 de los números 1215 , 107 , 7815 , (−36)30 , 835 + 640 y 12517 · 3012 ? 7. Nos proponemos determinar el residuo que se obtiene cuando el número 10 100 + 10010 se divide por 27. a) Verifique que 999 es divisible por 27. b) Demuestre que 103n ≡ 1 mod o´ d 27. c) Calcule el residuo que se obtiene cuando se divide 10 100 + 10010 por 27. 8. Determine todos los enteros n para los cuales n 2 − 3n + 6 es divisible por 5. 9. ¿Para qué valores valores de n , A = 2 n − 1 es divisible por 9? 10. Considere las potencias sucesivas de 3 en módulo 11. a) Verifique que 3 5 ≡ 1 mod o´ d 11. b) Deduzca que 3 5k +r ≡ 3r mod o´ d 11 c) Si n es un número natural, ¿cuáles son los posibles residuos de la división de 3 n por 11? d) Encuentre los valores enteros n para los cuales 3n + 7 es divisible por 11.
2.12. EJERCICIOS EJERCICIOS SOBRE CONGRUENCIA CONGRUENCIAS S
11. 11.
41
a) Dem Demue uest stre re que que n (n4 − 1) es divisible por 5 y divisible por 2. b) Deduzca que para todo entero natural p , los números n p y n p+4 coinciden siempre en la cifra de las unidades.
12. Nos proponemos encontrar los números naturales n tales que 43 divide al número n 2 + n + 41. a) Pruebe que la congruencia n2 + n + 41 ≡ 0 mod o´ d 43 es equivalente a la congruencia n2 + n − 2 ≡ 0 mod o´ d 43. b) Factorice n2 + n − 2 y deduzca los números buscados. 13. Nos proponemos demostrar que que para todo número natural n, el número A = 4n + 6n − 1 es divisible por 9. a) Verifique que 4 3 ≡ 1 mod o´ d 9 b) Tomando en cuenta que todo natural n se escribe en la forma 3 p + r, con 0 ≤ r < 3, analice los residuos cuando 4 n se divide por 9. c) En base a los resultados anteriores calcule los residuos de A cuando se divide por 9. 14. División por 111. a) Demuestre Demuestre que que si se divide n por 111, se obtiene el mismo residuo que cuando se divide 1000 n por 111. b) Deduzca del resultado anterior anterior que los dos números números 108 + 104 + 1 y 1010 + 108 + 1 son divisibles por 111. 15. Estudie, de acuerdo a los valores de n: a) Los residuos que se obtienen cuando se divide 7 n por 10. b) La cifra de las unidades del número A = 1 + 71 + 72 + 73 + . . . + 7n . 16. Sean a y b dos números naturales. Calcule ( a + b)3 y deduzca que ( a + b)3 ≡ a3 + b3 mod o´ d 3. 17. Resuelva en Z las siguientes ecuaciones. a) x + 3 ≡ 4 mod o´ d 7. b) 3 x ≡ 4 mod o´ d 7. c) 9 x ≡ 3 mod o´ d 4.
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CAPÍTULO 2. LOS NÚMEROS NÚMEROS ENTEROS
Capítulo 3
Los Números Racionales Q La operación división es una operación sólo parcialmente definida en el conjunto de números enteros. En efecto, la división de números enteros sólo da como resultado un entero cuando el dividendo es un múltiplo del divisor. Vamos Vamos a construir un conjunto numérico en el que q ue esta operación sea siempre posible y que además contenga el conjunto de números enteros. Para construirlo observaremos el comportamiento de esta operación cuando es posible realizarla en el conjunto Z de números enteros. Consideremos los pares de números enteros, es decir ( a, b) con a y b en Z, con b = 0 en donde a se considera dividendo y b se considera divisor di visor.. A este conjunto lo denotaremos por Q. Observa las siguientes secuencias de pares; en cada una de las líneas se obtiene el mismo resultado de la división de a por b . (1, 1) (2, 2) (3, 3) . . . (n, n) (2, 1) (4, 2) (6, 3) . . . (2n, n) (3, 1) (6, 2) (9, 3) . . . (3n, n) .. ... ... ... . (k , 1) (2k , 2) (3k , 3) . . . (nk , n) Obsérvese que dos pares (a, b) y (c, d) pertenecen a la misma línea si y sólo si se cumple la condición ad = bc; se verifica fácilmente que esta condición define una relación de equivalencia en Z × Z; es decir que la relación es reflexiva, simétrica y transitiva; por tal razón diremos que tales pares son equivalentes. Como ocurre cuando se tiene una relación de equivalencia,es posible separar en clases el conjunto Z × Z de acuerdo a este criterio; cada una de estas clases de equivalencia será denominada un número racional. Así, las líneas líneas anterior anteriores es correspond corresponden en a los númer números os racionales racionales 1, 1, 2, 3, . . . k , respectivamente. Podemos de igual forma reencontrar los números enteros racionales negativos −1, −2, −3 , . . . − k ( 1, 1) ( 2, 1) ( 3, 1)
. . . ( − n, n ) . . . ( −2n, n ) . . . ( −3n, n ) .. ... ... ... . (−k , 1) (−2k , 2) ( −3k , 3) . . . (−nk , n)
− − −
( 2, 2) ( 4, 2) ( 6, 2)
− − −
( 3, 3) ( 6, 3) ( 9, 3)
− − −
La construcción de este nuevo conjunto está inspirada por el intento de asegurar que la operación división sea siempre posible. Comenzamos por observar que el cociente en las siguientes divisiones no es un entero; 43
44
CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS RACIONALES RACIONALES Q
sin embargo se satisface la condición exigida por la relación de equivalencia. (1, 2) (1, 3) (1, 4)
(2, 4) (2, 6) (2, 8)
(3, 6) . . . (n, 2n) (3, 9) . . . (n, 3n) (3,12) . . . (n, 4n)
.. ... ... ... . (1, k ) (2, 2k ) (3, 3k ) . . . (n, kn )
1 1 1 1 Estos números racionales son identificados con , , , . . ., , respectivamente.En general, la clase de 2 3 4 k a equivalencia del par ( a, b) será identificado con el número racional o cualquier par equivalente. Por b 4 2 8 ejemplo la clase de equivalencia de puede ser escrita como , o bien como . 6 3 12
3.1. 3.1. Las Operac Operacion iones es en Q. 3.1.1. La Suma de Racionales Racionales En el conjunto Q= {( a, b)/ a, b ∈ Z, b = 0 }, se define la operación suma de la siguiente manera: ( a, b) + ( c, d) = ( ad + bc , bd )
Esta operación así definida satisface las siguientes propiedades: 1. Es una operación cerrada en Q, es decir el resultado pertenece al conjunto Q. 2. Es una operación operación asociati asociativa: va: ( a, b) + ( + (((c, d) + ( e, f )) = ( = ((( a, b) + ( c, d)) + ( e, f ) 3. El número número raciona racionall (0, b) es tal que para todo número racional ( c, d) se tiene: (0, b) + ( c, d) = ( c, d) + ( 0, b) = (c, d).
Este número se denomina el cero racional. 4. Para todo racional racional ( a, b), existe el racional (− a, b) tal que ( a, b) + (− a, b) = (0, b). Este número (− a, b) se denomina el opuesto de ( a, b). 5. La operación suma es conmutativa; es decir ( a, b) + ( c, d) = ( c, d) + ( a, b). Las primeras cuatro propiedades caracterizan lo que se denomina estructura de grupo. La quinta propiedad, la conmutativa, lo convierte en un grupo conmutativo. Decimos entonces que la estructura aditiva de los números racionales (Q, +) es un grupo conmutativo.
3.2. EJERCICIOS SOBRE NÚMEROS RACIONALES Y DECIMALES
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3.1.2. El Producto Producto de Racionales Racionales En el conjunto Q= {(a, b)/ a, b ∈ Z, b = 0 } se define la operación producto de la siguiente manera: Dados los números racionales x = ( a, b) y y = (c, d) se define su producto por x · y = ( a · c, b · d) La operación producto así definida posee las propiedades siguientes: 1. Es una operación cerrada en Q, es decir el resultado pertenece al conjunto Q. 2. Es una operación operación asociativa: asociativa: ( a, b) · ((c, d) · (e, f )) = ( = ((( a, b) · (c, d)) · (e, f ) 3. El número número racional racional ( 1, 1) es tal que para todo número racional ( c, d) se tiene: (1, 1) (c, d) = ( c, d) (1, 1) = (c, d ).
·
·
Este número se denomina el uno racional. 4. Para todo racional x = ( a, b), con a = 0, existe el racional ( b, a) tal que ( a, b) · (b, a) = (1, 1). Este número ( b, a) se denomina el inverso de ( a, b) que se denota por x −1 . 5. La operación producto conmutativa; es decir x · y = y ˙x ( a, b) · (c, d) = (c, d) · ( a, b). El conjunto Q − {0} posee la estructura de grupo conmutativo.
3.1.3. Propiedades Propiedades Adicionale Adicionaless de los Racionales Racionales 1. Para todo número racional ( a, b) se tiene: ( a, b) · (0, n) = (0, n) · ( a, b) = ( a, b) 2. Es una operación operación asociativa: asociativa: ( a, b) + ( + (((c, d) + ( e, f )) = ( = ((( a, b) + ( c, d)) + ( e, f ) 3. El número número racional racional ( 0, b) es tal que para todo número racional ( c, d) se tiene: (0, b) + ( c, d) = ( c, d) + (0, b) = (c, d).
Este número se denomina el cero racional. 4. Para todo racional racional ( a, b), existe el racional (− a, b) tal que ( a, b) + (− a, b) = (0, b). Este número (− a, b) se denomina el opuesto de ( a, b). 5. La operación suma es conmutativa; es decir ( a, b) + ( c, d) = (c, d) + ( a, b).
3.2. Ejercicios Ejercicios sobre Números Números Racionales Racionales y Decimales Decimales I. En cada uno de los siguientes casos determine el valor de verdad. 1
1
1. Si a y b son dos números enteros, entonces a = a b b
46
CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS RACIONALES RACIONALES Q
2. El inverso de un número decimal es decimal. 3. Cualesquiera sean los números no nulos a y b se tiene que la fracción ( a + b)2
− ( a − b)2
ab
es un número entero. 4. 3−20 =
1
20
3
5. Para algunos valores naturales
a a a = + c + d c d
6. Toda fracción es un número racional y todo racional es una fracción. fracción. 7. Toda racional es un número decimal y todo decimal es un número número racional. 8. Se puede puede encontrar encontrar n entero de forma tal que π + + n sea un racional. 9. La suma de un número irracional con un número racional es irracional.
√
√
10. El inverso de 2 − 1 es 2 + 1.
11. − 3,14 · − 3,15 √ 0,25 − 0,5 √ 0,9 − 0,3 12. (π
)2 (π 2
+
)2 = ( π 2
− 3,14) · (π − 3,15) .
= 0
II. Resuelva los ejercicios siguientes:
1. El símbolo es ya sea una operación suma o una operación producto. Determine en cada caso cuál de dichas operaciones ha sido realizada, si: 16 3 2 16 = 5 7 7 7 1 2 1 b) 23 31 = 6 6 5 3 a)
2. Determine los valores de p y q para que se cumpla la igualdad: 2 p × 5q =
1 125000
1 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + + + ? 4 10 20 30 40 50 60 x 1 1 1 1 1 1 4. En la siguiente suma hay un sumando intruso, ¿cuál es? 1 = + + + + + 2 4 6 8 10 12
3. ¿Cuál es el valor valor de x , si
47
3.2. EJERCICIOS SOBRE NÚMEROS RACIONALES Y DECIMALES
1 1 1 0 y verifique que se tiene: − . Utilice el resultado obtenido para = x x + 1 x ( x + 1) 1 1 1 1 1 calcular la siguiente suma: . + + + + . . . + 1·2 2·3 3·4 4·5 2012 · 2013 4 4 4 4 6. Sea x = 1 − 2 · 1 − 2 · 1 − 2 · 1 − 2 1 3 5 7
5. Suponga x
>
1×5 3×7 5×9 × 52 × 72 32
a) Demuestre que x = −3 × b) Exprese x en la forma x =
− p , con p y q enteros y la fracción p , irreducible.
q
q
4
c) Sea y el número y = 1 − 2 1 fracción irreducible.
4
4
· 1 − 32 · 1 − 52
...·
4 1− . Exprese y en forma de 1992
7. Expresando en cada caso los denominadores en forma de producto, calcule: 1 1 − 2 3 1 1 b) − + 2 3 1 1 c) − + 2 3 a)
2
. 3·5 2 3 . + 3·5 3·5·7
1 2 3 4 1 d) Sea x el número real tal que: x = + . Calcule − x. ¿Cuál es la + + 3 3·5 3·5·7 3·5·7·9 2 1 5 diferencia − x + ? 2 3 · 5 · 7 · 9 · 11
1
8. Calcule A = 3 +
1
7 +
1
15 +
1 + 9. Resuelva las ecuaciones: 1
a) 1 +
= 3
1 x + 2
1
b) 3 +
= 5
1
1 + 1 +
1 1 +
1 x
1 192
48
CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS RACIONALES RACIONALES Q
10. Un automóvil efectúa la mitad de su trayecto a la velocidad constante de 25 Km por hora; la otra mitad a una velocidad constante de x Km por hora. Mostrar que la velocidad promedio sobre todo el trayecto es 2 V ( x ) = 1 1 + 25 x
Capítulo 4
Los Números Reales y sus Operaciones 4.1. El Álgebra Álgebra de los Números Números Reales En el conjunto de números reales se definen dos operaciones: la suma y el producto cuyas propiedades se resumen a continuación:
4.1.1. Propiedades Propiedades de la la Suma Suma de Número Númeross Reales Reales 1. Asociatividad: cualesquiera sean los reales x , y , z se tiene: x + ( y + z) = ( x + y) + z
2. Conmutatividad: cualesquiera sean los reales x y y , se tiene x + y = y + x
3. Elemento identidad para la suma: el número real 0 es tal que para todo número real real x se tiene: x + 0 = 0 + x = x
4. Todo número real x admite un elemento opuesto, − x tal que: x + ( x ) = ( x ) + x = 0
−
−
4.1.2. Propiedades Propiedades del Producto Producto de Números Números Reales Reales 1. Asociatividad: cualesquiera sean los reales x , y , z se tiene:
· ·
· ·
x ( y z) = ( x y) z
2. Conmutatividad: cualesquiera sean los reales x y y , se tiene
·
·
x y = y x
49
50
CAPÍTULO 4. LOS NÚMEROS NÚMEROS REALES Y SUS OPERACIONES OPERACIONES
3. Elemento identidad para el producto: el número real real 1 es tal que para todo número real x se tiene: x 1 = 1 x = x
·
·
4. Todo número real x , x = 0 admite un elemento inverso denotado por x −1 , tal que: x x −1 = x −1 x = 1
·
·
Además de las propiedades de cada una de las operaciones definidas en el conjunto propiedad distributiva que relaciona ambas operaciones.
R,
se tiene la
4.1.3. La Distribu Distributivi tividad dad Cualesquiera sean los números reales x , y , z , se tiene:
·
·
·
x ( y + z) = x y + x z
4.1.4. La Resta Resta y la División División de Número Númeross Reales Reales También se definen las operaciones de resta y división de la siguiente manera: Dados x y y se define la diferencia x − y como la suma x + ( − y); es decir la suma de x con el opuesto de y . De igual forma, la x división de x con y , con y = 0, denotada por , se define por el producto x · y−1 ; es decir el producto de x y con el inverso de y .
4.2. Las Reglas Básicas de Cálculo Cálculo en R Las siguie siguiente ntess propie propiedad dades es operat operatori orias as en el con conjun junto to de númer números os reale reales, s, se deduce deducenn de las propied propiedade adess ya definidas: 1. Para todo real x , se tiene que x · 0 = 0 2. Cualesquiera sean los números reales x y y, se tiene: a) x · (− y) = −(x · y) = ( − x) y b) (− x) · (− y) = x · y c) −(x + y) = ( − x) + ( − y) d) −(x − y) = − x + y 3. Sea n un número entero y x un número real no nulo, entonces: a) Si n = 0, x 0 = 1. b) Si n = 1, x 1 = x c) Si n > 1, x n = x · x · x · · · x ( n factores x )
51
4.3. EL ORDEN EN LOS LOS NÚMEROS NÚMEROS REALES
1 d) Si n < 0, x n = −n x 4. Cualesquiera sean los reales no nulos x y y y cualesquiera sean los enteros n ym, se tiene: a) xn · xm = x n+m b) ( x · y)n = x n · yn c) ( xn )m = x n·m xn d) m = x −m x x n xn e) = n y y
4.3. 4.3. El Orden Orden en los Número Númeross Real Reales es 1. Sean a , b y c tres números reales no nulos tales que ab + bc + ca = 0. Calcular la suma S =
b + c c + a a + b + + a b c
2. Considere los reales a , b , c . a) Desarrolle el producto ( a + b + c )( ab + bc + ca ) b) Desarrolle igualmente ( a + b + c )2 y ( a + b + c)3 c) Demostrar Demostrar que que si a + b + c = 0, entonces a 3 + b3 + c3 = 3 abc
3. Demostrar que cualesquiera sean los números reales a , b , c y d , se tiene la siguiente identidad ( ac + bd )2 + ( ac
− bd)2 = (a2 + b2 )(c2 + d2 )
Compare el cuadrado de la suma de los productos con el producto de la suma de cuadrados.
4.4. 4.4. Ejer Ejercic cicio ioss 1. Diez limones cuestan lo mismo que ocho naranjas, dieciseis naranjas lo mismo que doce toronjas, cuatro toronjas lo mismo que un melón y seis melones lo mismo que cuarenta y ocho guineos. Por el precio de cinco limones ¿cuántos guineos pueden adquirirse? 2. Determinar los números enteros p y q tales que : 2 p 5q =
√
1 125000
3. V que las potencias de (1 + 2) para los exponentes 1, 2, ..., y 8 pueden ser escritas en la forma √ erificar √ n + 1 + n
52
CAPÍTULO 4. LOS NÚMEROS NÚMEROS REALES Y SUS OPERACIONES OPERACIONES
4. El precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Un diamante de 0,45 gramos vale $10, 000. ¿Cuánto ¿Cuánto cuesta un diamante de 0,693 gramos? ¿Cuál ¿Cuál es el peso de un diamante diamante que vale $30,000? 5. ¿Cuál debe ser el diámetro de un hueco circular que debe hacerse en el centro de un disco de 10 centimetros de diámetro para que el área área disminuya un 36 %? 6. Un paquete de café en promoción promoción contiene 20 % de café adicional. ¿Cuál es el porcentaje porcentaje de rebaja en el precio? 7. En un país la inflación alcanza el 6 % mensual. ¿Cuál ¿Cuál es la tasa de inflación anual? 8. El impuesto impuesto al valor agregado agregado por la compra compra de un vehículo vehículo baja del 28 % al 25 %. ¿Cuál debe debe ser el porcentaje de baja en el precio de los vehículos? 9. Un comerciante de telas calcula el el precio de venta de forma tal que su ganancia ganancia sea del 25 % sobre el prec precio io de comp compra ra.. Al hace hacerr el bala balanc ncee se perc percat ataa que que el porce porcent ntaj ajee gana ganado do sólo sólo llega llega al 20 % y desc descub ubre re que el “metro” que utiliza no tiene la medida legal. Calcular le longitud del “metro” del comerciante. 10. ¿Cómo calcular x 15 efectuando sólo cinco multiplicaciones? 1 1 1 1 1 11. Exprese en forma de fracción la siguiente suma: . Es+ + + + . . . + 1·2 2·3 3·4 4·5 2012 · 2013 1 1 1 tablezca previamente la identidad − , es válida para todo real x > 0. = x x + 1 x ( x + 1) 12. Verifique las siguientes igualdades:
¿Puede generalizar lo observado?
652 − 562 = 332 65652 − 56562 = 33332 6565652 − 5656562 = 3333332
13. Analice, como en el ejercicio anterior, la siguiente secuencia: 6 2 − 52 = 11 ; 562 − 452 = 1111; 5562 − 4452 = 111111. Generalice el resultado. 14. Calcule para n = 0, n = 1, n = 2 y n = 3, el valor de la siguiente expresión: A =
(8n+1 + 8n )2 ( 4 n 4 n −1 ) 3
−
¿Puede dar una explicación del resultado obtenido?
15. Escriba los inversos de los siguientes números sin radical en el denominador:
√ √ 7 − √ 6 √ √ 2 2− 7 √ 2− 3
De una manera general pruebe que el inverso de
n + 1
− √ n es √ n + 1 + √ n
53
4.4. EJERCICIOS
√
16. ¿Cuál es es el valor valor de 111111555555 + 1? 17. Determinar el más pequeño entero natural de forma tal que 1
1 1 1 √ ≥ 100 + √ √ + √ √ + √ √ n + n + 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 √ 1 + 5
18. Se llama número aúreo al número φ = φ2 = φ + 1;
1 φ
= φ
2
. Verifique las siguientes igualdades:
− 1 ; φ3 = 2φ + 1.
19. El formato de un rectángulo es la relación entre el largo y su ancho. Muestre que si un rectángulo ABCD AB CD tiene formato φ, entonces al recortarle el cuadrado ADFE con F ∈ [C, D] y E ∈ [ A, B], el rectángulo restante también tiene el formato φ . 20. Utilizando Utilizando la igualdad igualdad x 4 + 4 = x 4 + 4x2 + 4 − 4x2 , factorice x 4 + 4.
21. Se propone encontrar encontrar las tripletas tripletas de números números enteros ( x, y, z) tales que satisfacen la relación x2 = y2 + z2 . A estas tripletas se les denomina “pitagóricas”. Muestre que si a y b son enteros, entonces las tripletas ( x, y, z) con x = a 2 + b2 , y = 2 ab y z = a 2 − b2 , son pitagóricas. 22. “La importancia de elegir la adecuada escritura literal”. Un cubo perfecto es un entero que es el cubo de un número entero. Demostrar que el producto de tres enteros consecutivos aumentado en el número central es siempre un cubo perfecto. 23. Encontrar dos números sabiendo que su suma es 50 y su producto producto es 589. 24. Diofanto, matemático griego del siglo tercero de la era cristiana, para resolver el problema anterior hace la siguiente suposición suposición “si la suma de los dos números números es 50, entonces uno de ellos puede ser escrito en la forma 25 + x y el otro en la forma 25 − x”. Con esta idea de Dofanto resuelva de nuevo el problema anterior. anterior. 25. Sean a y b dos números reales. Demuestre que a 2 + ab + b2 es siempre un número positivo. 26. 26. El El perí períme metr troo y el área área de un rect rectán ángu gulo lo está está repr repres esen enta tado do por el mismo mismo núme número ro.. Es posi posibl blee que que algu alguna na de las dimensiones del rectángulo sea 3. 27. considere considere las fracciones fracciones 172 y 172 . ¿Es posible agregar un mismo número entero a los denominadores de cada fracción de forma que las nuevas fracciones sean iguales? 28. ¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?
1 1− 2 2
1 1− 2 3
1 1 1− 2 ... 1− 2 4 14
1 1− 2 15
29. Escriba Escriba la ecuació ecuaciónn x 2 − x − 1 = 0 en la forma ( x − a)2 + b en donde a y b son números reales. Realice similar transformación para las ecuaciones x 2 − 4x + 1 y x 2 − 2x + 4.
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CAPÍTULO 4. LOS NÚMEROS NÚMEROS REALES Y SUS OPERACIONES OPERACIONES
30. Sean a y b los catetos de un triángulo rectángulo y sea h su hipotenusa. Si A es el área del triángulo y P es su perímetro, deducir la expresión de h en función de A y P . 12
+ 22
31. Verifique las siguientes igualdades: 92 + 1 . ¿Puede generalizar tal resultado? resultado? 2 32. Verifique las siguientes igualdades:
32 + 1 2 52 + 1 2 72 + 1 2 2 2 , 2 + 3 = , 3 + 4 = , 4 + 52 = = 2 2 2
a) 22
× 101 = 2222 b) 222 × 1001 = 222222 c) 2222 × 10001 = 22222222 Generalice el resultado observado. 33. Observe e intente generalizar a) 5656 = 56
× 101 b) 565656 = 56 × 10101 c) 56565656 = 56 × 1010101 34. Verifique las siguientes igualdades: a) b) c) d)
1 × 2 × 3 × 4 + 1 = (1 × 4 + 1)2 , 2 × 3 × 4 × 5 + 1 = (2 × 5 + 1)2 , 3 × 4 × 5 × 6 + 1 = (3 × 6 + 1)2 , 4 × 5 × 6 × 7 + 1 = (4 × 7 + 1)2
¿Puede generalizar el resultado observado? 35. ¿Con cuántas cifras se escribe el número 2012 2 012. Tome en cuenta que 103 < 2012 < 104 ? 36. Un barco hace viajes entre entre dos pueblos A y B situados en la orilla de un lago. En ausencia de corriente su veloc velocida idad d es cons consta tant ntee e igua iguall a V ; en pres presen enci ciaa de corr corrie ient ntee de velo veloci cida dad d v,con v < V , la velo veloci cidad dad del barco es: V + + v en el viaje de ida y V − v en el viaje de regreso. a) Sea d la distancia entre entre A y B . Expresar la duración t del trayecto ida y vuelta en función de d y V , en ausencia de corriente. d + b) En presencia de corriente de velocidad v mostrar que la duración en este caso es T = + v V + d V v c) Estudiar Estudiar el signo signo de T t km km cuando d = 25km , V = y v = 5 . d) Calcular t y T cuando = 25 hora hora
−
−
55
4.5. PROBLEMAS PROBLEMAS DE ORDEN EN LOS NÚMEROS NÚMEROS REALES
km 37. Un automóvil automóvil efectúa la mitad de un trayecto a velocidad constante constante de 25 hora y la otra mitad a vekm locidad constante e igual a x hora .
2
Mostrar que la velocidad velocidad media media V (X ) sobre el trayecto completo es V ( x) = 1 1 a) Mostrar 25 + x Resolver la inecuació inecuaciónn V ( x) > 37,5 b) Resolver c) Un ciclista asciende en una cuesta a razón de 10 km. por hora y desciende a 40km. por hora. ¿Cuál es la velocidad promedio en toda la trayectoria? 38. Verificar que los números 2 3 − 2, 53 − 5, 73 − 7 son múltiplos de 3
4.5. Problemas Problemas de Orden en los Números Números Reales La relación a ≤ b es equivalente a decir que la diferencia b − a es positiva. Haciendo uso de esta observación y de las conocidas reglas de los signos, demuestre los resultados siguientes: 1. Si a ≤ b, entonces
≤ (b + c) · ≤ (b · c) ÷ ≤ (b ÷ c)
( a + c ) ( a c) ( a c)
− ≤ (b − c ) · ≥ (b · c ) ÷ ≥ (b ÷ c )
( a c) ( a c) ( a c)
si c es positivo
si c es negativo
2. Dos desigualdades del mismo sentido a ≤ b y c ≤ d pueden: a) Sumarse miembro a miembro: a + c ≤ b + d. b) Multiplicarse miembro a miembro si a , b, c, d son todos números positivos: a · c ≤ b · d c) Ilustre con ejemplos que no es posible, en general, obtener conclusión conclusión alguna respecto a la diferencia y el cociente de desigualdades. 3. Demuestre Demuestre que si 0 < a < b, entonces: a) 0 < a2 < b2 b)
√ a √ b. Recuerde que √ b − √ a = √ b − √ a <
b +
a
1 1 c) > a b d) −b < − a < 0 4. Encuentre el error en la “demostración” siguiente: Para todo real x se tiene:
−12 − 1) 2 x − 2 x + 1 −2x + 1 x (x
1 2
≤ x2 ≤ x2 ≤x ≤0 ≤ x.
56
CAPÍTULO 4. LOS NÚMEROS NÚMEROS REALES Y SUS OPERACIONES OPERACIONES
1 Según esta demostración, para todo real x , ¡ x ≥ ! 2 5. Las potencias de un real positivo: a) Si 0 ≤ a ≤ 1, entonces a n ≤ an−1 ≤ an−2 ≤ . . . ≤ a2 ≤ a ≤ 1 b) Si a ≥ 1, entonces a ≤ a2 ≤ a3 ≤ . . . ≤ an Interprete geométricamente estos resultados en el caso n = 2. 6. Para hacer hacer un patrón de un cubo cubo se utiliza menos menos de 96cm2 de cartón. ¿Cuál es el volumen máximo de ese cubo? 7. ¿Es posible que el área de un un rectángulo cuyo lado mayor mida 13 metros metros tenga un área de 168 metros metros cuadrados? 8. El diámetro de la base de un recipiente recipiente cilíndrico cilíndrico es menor que 10.8 centímetr centímetros. os. Si se sabe que su volumen es mayor que un litro, argumente por qué debe ser más alto que ancho. 9. Considere tres paralelepídedos P1 , P2 y P3 con : P1 de un cubo de lado a ; P2 de base cuadrada de lado a y de altura 1, mientras que P3 tiene de base un cuadrado de lado 1 y de altura a . Compare las áreas exteriores y los volúmenes de estos paralelepípedos. 1 √ 1 1 1 10. Ordene en orden creciente los números a , , a, √ , a2 , 2 , a3 , 3 ., en los casos siguientes: a
a
a
a
a) Cuando a > 1. b) Cuando 0 < a < 1. 11. Ordene del más pequeño al más grande los siguientes números: 1,01
1 1 0,99 0,99 1,06
Con los números anteriores ordene sus cuadrados, sus inversos y sus raíces cuadradas. 12. Determine cuál de los números es mayor A =
√ 1 − 10−19 o B = 1 − 10−18
13. Considere el número A = 1 − 10−12 . Compare A con cada uno de los siguientes números B = 1; √ 1 2 C = 1 − 2 × 10−12 ; D = 1 − 10−12 ; E = 1 − 10−12 ; F = 1 + 10−12
14. Sean a y b dos números reales tales que 0 < a < b. Compare los números resultado para determinar cuál de los siguientes números es mayor. mayor. A =
987654321 987654322 B = 987654322 987654323
a
− 1 y b − 1 . Utilice este a
b
4.5. PROBLEMAS PROBLEMAS DE ORDEN EN LOS NÚMEROS NÚMEROS REALES
57
15. Considere un número real x > 2. ¿Determine en que intervalo se encuentra cada uno de los números siguientes? 1 1 , x2 , 3 − x, 3−x x 16. Exprese como fracción racional los siguientes números:
0,1111 . . . 0,125125 125125 . . . 0,9 0,9999 . . .
√
17. Demuestre Demuestre que 3 es un número irracional.
√
18. Demuestre Demuestre que si a y b son números racionales, con b = 0, entonces los números de la forma a + b 2, son irracionales. 19. ¿Es posible que la suma o el producto de números irracionales sea racional? 20. Demuestre que si x es un número irracional, entonces para todo número racional r el producto r · x es irracional. Justifique a partir de d e este resultado el hecho de que el conjunto de números irracionales es un conjunto infinito.
58
CAPÍTULO 4. LOS NÚMEROS NÚMEROS REALES Y SUS OPERACIONES OPERACIONES