Aritmetica 1BIM 1ro Sec

I.E Fernando Belaunde Terry

ARITMÉTICA 1er año

Colegio de Formación Humanista

TEORÍA DE CONJUNTOS Si observamos alrededor nuestro, veremos que estamos rodeados de muchos objetos. Estos objetos nos dan la idea de PLURALIDAD. Cuando elegimos uno de ellos, tenemos la idea de UNIDAD; además observamos que entre dos objetos no existe un tercer objeto y esto nos da la idea de la NADA. Estas tres ideas nos dan la idea de CONJUNTO y se denominan “ conjunto plural” o simplemente “conjunto unitario” y “conjunto vacío “ o “nulo” respectivamente. CONJUNTO Un conjunto es una colección o agrupación bien definida de objetos o entes. Todo conjunto se denota por letras mayúsculas A, B, C ,,,, etc. Y sus elementos por letras minúsculas separadas por puntos y comas y entre llaves. Ejemplo: 1) El conjunto formado por las letras de la palabra ángel . Este conjunto se puede representar “entre llaves” o utilizando un diagrama de Venn . Representación entre llaves A = { a; n ;g; e ;l } Representación en un diagrama de Venn A El símbolo empleado para expresar que un elemento .a pertenece a un conjunto: .n .g El símbolo utilizado para expresar que un elemento no .e .l pertenece a un conjunto es:

Ejemplo: 2) P = { 1; 2; 3; 5; 7 }

Ejemplo: 3) R = { 2; 4; 6; 8 }

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO Determinar un conjunto significa indicar cuáles son sus elementos. Existen dos formas de hacerlo: Por extensión y comprensión. I.- Por extensión.- Cuando se indica uno a uno sus elementos separándolos por puntos y comas. Ejemplo: M = { lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} N = { -2; -1; 0;1; 2; 3; 4 } P = { 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100 }




II.- Por comprensión.- Cuando se indica una característica o propiedad común a todos los elementos. Ejemplo: M = { x/x es un día de la semana} N = { -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 } P = { x2/x

|N

3

x

¡Pongámonos a trabajar!

10

Práctica para la clase 1.- Determina por extensión cada conjunto: a) K = { x /x |N, x es múltiplo de 3 y x < 20 } b) R = { x /x |N, x es divisor de 27 } c) F = { 2x / x |N y 2 x < 5 }

2.- Determina por comprensión cada uno de los conjuntos A

B .49 .64 .16 .25

3.- Dados

C .11 .22 .0 .33 .44 .88 .77 .55 .66 .99

.36

.0 .2 .4 .6 .16 .10 .14 .18 .12 .8

M = { X |N / X < 5 } P = { X |N / X > 5 } R = { 5; 6 ;7; 8 } Q = { 3 ; 4; 5; 6 }

¿Cuántas de las proposiciones son verdaderas? 5

R; 5

M; 5

P; 6

4.- Defina por Extensión B = { x/3 - 1 / x |N; 2

x

M; T

Qy7

P

5}

5.- Determina por comprensión M = { 0 ; 2; 4; 6; 8;10 }

6.- La suma de los elementos del conjunto : B: { 2x2 - 1 ) / x |N 1 < x 5 } es:




7.- Observa el diagrama y responde:

R

.e .f

.g .d .b

.a

S

a) ¿Cuáles son los elementos del conjunto R ? b) ¿Cuáles son los elementos del conjunto S ? c) ¿Cuáles son los elementos del conjunto T ? d) ¿Cuáles son los elementos que perteneces al conjunto R y T ?

.h .c

.i T

8.- Determina por comprensión el conjunto B = {Luna}

Actividades para la casa 1) Define por extensión Q = { 4x / x

|N, 3

2) Determina por extensión L = { a + 1 / a

3) Determina por extensión B = { x 4) Si A = { x/x

x<6}

|N y 3

a5}

|N / x es múltiplo de 13

15 < x 95 }

|N y 5 < x < 10 }

a) Dibuja el diagrama de Ven correspondiente al conjunto A. b) Escribe o según corresponda 6 .......... A 5 ........... A 8 ........... A

3 ............ A 4 ............ A 10 .......... A

5) Determina por extensión K = { x/x

7 ............ A 9 ............ A 11............ A

|N, x es múltiplo de 3 y x < 20 }

6) De acuerdo al diagrama, diga cuáles son los elementos de los conjuntos A; B y C;

B

C .6

.2

A={

A .1 .3 .4

.5 .8

.9

B=

.7 C=




7.- Determina por extensión Q = { 3x2 + 5 / x

8.- Determina por extensión A = { x + 3 / x

-2

x<4}

|N, x es impar y x

7}

Acepta el desafío Determina por extensión R =

5x/x-4 / x

|N 4 < x < 10 }

CLASES DE CONJUNTO POR EL NÚMERO DE ELEMENTOS -

Conjunto Vacío o Nulo Conjunto Unitario Conjunto Finito Conjunto Infinito Conjunto Iguales Conjuntos Disjuntos Conjunto Universal

Práctica para la clase 1.- Dados los conjuntos unitarios A = { m; 3 } ; B = { n; 7 } Hallar m + n

2.- Dados los conjuntos M = { 2; 3; x } y N = { 1; 2; 3 } Si M = N, hallar x

3.- Hallar “m + n”, si el conjunto M es unitario: M = { ( 4 m . 3 ); 25; (3 n + 13 ) }

4.- Si los siguientes conjuntos A = { 32; 5 ³x - y } son iguales, hallar el valor de “3 y – 2 x“

B = { 2x+y; 125 }

5.- Hallar 2x² + y; sabiendo que: A = { 2x + y 2y – x; 3x – 6 } es un conjunto unitario .




Actividades para la casa 1.- Dados los conjuntos unitarios A = { x – 2; 6 – 3 x }

B=

2 y + 1; y – 8 } Hallar x + y

2.- Si los conjuntos A y B son iguales A = { 6; 2x – 5 }

B = { 9; 5 y – 4 } Hallar x + y

3.- Clasifica cada uno de los conjuntos en: finito, infinito, vacío, unitario. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

A = { a ;b; c; d;........ Z } B = { x/x /N y 4< x < 6 } C = { x/x /N, es par 150 < x < 154 } D = { x/x /N 0 < x < 1 } E = { 1; 2; 3; 4 ; ....... 9 } F = { x/x /N y x es múltiplo de 5 } G = {x /x /N, x es par y x < 2} H = { 3; 6; 9; 12; ..... } I = { x/x /N 8 < x ≤ 9 } J = { x/x es un animal mamífero }

................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................

4.- Considerando los conjuntos unitarios M = { 2x; 5x – 12 } N = { 3 y; 24 – y } Calcular 5 x ² - y²

5.- Sabiendo que los conjuntos P = { 24; 5x + 6 } Q=

Acepta el desafío Considerando los conjuntos unitarios V = { 2x; 32 } ; W = { 243; 3y+1 } Calcular

25 x² - 9 y ³ ----------------x- y

4; 10y – 6 } son iguales. Calcular xy - xy




RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS I ) Familia de conjuntos o conjuntos de conjuntos.- Es aquel conjunto cuyo elementos son también conjuntos. Ejemplo: 1) A = { { 2 ;3 }; { 5 ; 2 }; { 7 } ; ǿ } si es una familia de conjuntos. 2) B = { { 2 ;3 }; { 5 ; 2 }; 7; ǿ} no es una familia de conjuntos. No es un conjunto, para serlo debe estar entre llaves.

II.- Conjunto Potencia .- Es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado. Ejemplo: 1) Si A = { 5 } Los conjuntos que lo forman son: Recuerda que ǿ es subconjunto de cualquier conjunto P (A) = { 15 } ; ǿ }

Conjunto potencia de A.

2 subconjuntos

2) Si B = { a; b } los subconjuntos que se forman son: P ( B) = { { a } ; { b } ; { a ; b } ; ǿ } => tiene 4 subconjuntos 3) Si C = { 5 ;2 ; 7 } los subconjuntos que se forman son: P (c ) = { { 5 } ; { 2 } , { 7 } ; { S ; 2 } ; { 5 ; 7 ] ; { 2; 7 } ; { 5 ; 2 ;7 }; ǿ } Generalizando Si el conjunto A tiene n elementos =>

P (A ) = 2ⁿ Subconjunto

Práctica para la clase 1) Dado el conjunto A señalar si son V o F las siguientes proposiciones: A = { 1; 2; { 3; 4 }; 5 } I) 2 A II) 5 A III) { 3;4 } A IV) { 1; 2; 5 } A V) n (A) = 5

( ( ( ( (

2) Decir si las siguientes proposiciones son falsas o verdaderas A = { 2; { 3 }; { 5 } }

) ) ) ) )

I)2 A II) { 3 } A III) { { 5 }} A

( ( (

) ) )

3) Si B = { (x³ - 2) Є |N ٨ X < 5 } Hallar n (B)

4) Dados los conjuntos A = { 1; 2; 3 }; B = { 2; 3; 4; 5 } A

C = { 3; 4}

B C

Decir qué elemento se encuentra en la parte coloreada.




5) Determina cuántos elementos tienen los conjuntos “A ” y “B” sabiendo que : a) P (A) = 45 subconjuntos b) P (B) = 16³ subconjuntos

Actividades para la casa

1.- Dado el conjunto A = { 2; 3; { 4 ]; { 5, 6 } } Decir si las proposiciones son verdaderas o falsas I){2} A II) { 4 } A III) 2; 3 A IV) { { 5; 6 }}

A

( ( ( (

3.-

Si A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}; B = { 5; 6; 7; 8; 9 } ٨ C = { 4; 5; 9 } ¿Cuáles son los elementos que deben estar en la parte coloreada del diagrama?

) ) ) )

A

B C

2.- Dados los conjuntos: P = { 1; 2; 3; 4; 5; 6 } Q = { 3; 6; 7; 8; 9 } R = { 4; 5; 6; 7; 10 } 4.- Si A = { 1; 2; 5;6}; B = { 2; 3; 4; 5} C = {4; 5; 6; 7} entonces ¿Cuáles son los elementos que deben estar en la parte coloreada del diagrama?

Decir que elementos se encuentran en la intersección de los tres conjuntos

A

B

C

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS I.- UNIÓN.- Se denota así : “U” Ejemplo: 1) Si A = { 1; 2; 3 } B = { 4; 5; 6 } Hallar y graficar A Solución A B = { 1; 2; 3; 4; 5; 6 }

A

B .1 .2 .3

.4 .5 .6 . A

B

B




2.- Si A = { 1; 2; 3; 4 } B = { 3; 4; 5; 6 }

3.- Si A = { 1; 2; 3 } B = { 1; 2; 3; 4; 5 } Hallar y graficar A B Solución A B = { 1 ; 2; 3; 4; 5 }

Hallar y graficar A B Solución A B = { 1; 2; 3; 4; 5; 6 }

A

U

B

B .1

.4 .2

.5

.3

A

.4 A .5

.1 .2 .3

.6

B

Propiedades I) II) III) IV) V)

A A A A A

B = Propiedad. Conmutativa (B C) = ( A B) C Propiedad Asociativa =A U=U A=A

II.- INTERSECCIÓN.- Se denota así: “

“

Ejemplo: 1) Si A = { a; b; c; d } B = { e; f; g } Hallar y graficar A B Solución A ∩ B={ } U

A

B a b c d

e f g

Propiedades I) A B = B A Propiedad conmutativa II) A ( B C ) = ( A B ) C Propiedad Asociativa III ) A U = A IV) A = V) A A = A Propiedad Distributiva de la Unión e Intersección I) A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) II) A ( B C ) = ( A B ) ( A C )

2) Si A = {a; b; c; d} B = {a; b; c; d; e; f} Hallar y graficar A B Solución A B = { a; b; c; d} U

B

A

a b cd

e f




III.- DIFERENCIA.- Se denota así: “–” Ejemplo: 1) Si A = { m; n; p } B = { q; r; s } Hallar y graficar “A -- B ” Solución A – B = { m; n; p }

3.- Si A = { m; n; p } B = { m; n; p; q; r } Hallar y graficar “B – A” Solución B – A = { q; r }

U

A

U

B

B m n p

q s

q r

r

A–B

B– A

2) Si A = { m; n; p; q } B = { p; q; r; s } Hallar y graficar A – B Solución A – B = { m; n }

Propiedades I)A–B≠ B–A–A= III) A – B = II) A – = A IV) A – ( B C ) = ( A – B ) ( A – C ) Ley de Morgan V) A - ( B C ) = ( A – B ) ( A – C ) Ley de Morgan

U

A

B m n

p q

A

m p n

r s

A–B IV.- DIFERENCIA SIMÉTRICA.- Se denota así : “∆” Ejemplo: 1) Si A = { 5; 6;7; 8 } B = { 9; 10; 11 } Hallar y graficar “A Δ B ” Solución: A Δ b = { 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 }

U

A

B 5

6

9

7

8

11

10

A ΔB 2) Si A = { 5; 6; 7; 8 } B = { 7; 8; 9; 10 } Hallar y graficar “A ∆ B ” Solución A = { 5; 6; 7; 8 } B = { 7; 8; 9; 10 } Hallar y graficar “A Δ B “ Solución A ∆ B = { 5; 6; 9;10 }

U

A

B 5 6

9 10 A ∆ B




B

3.- Si A = { 5; 6; 7 } B = { 5; 6; 7; 8; 9; 10 } Hallar y graficar A ∆ B Solución A ∆ B = { 8, 9, 10 }

8

6 7 5

9

U

A 10

A ∆ B

Propiedades I ) A ∆ B = B ∆ A Propiedad conmutativa II) A ∆ ( B ∆ C ) = ( A ∆ B) ∆ C Propiedad asociativa III ) A ∆ A = Ǿ IV) A Δ Ǿ = A V.- COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO 1) Con respecto a otro conjunto : Cª

b

Ejemplo : Si A = {1; 2; 3; 4 } B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 } Hallar y graficar C ª b

Solución C ª = { 5 ; 6; 7 } Se lee : El complemento del conjunto A con respecto al conjunto B está b formado por los elementos 5; 6; 7

U

B A

1 3

2 4

5

7

6

66 Cª b

2) Con respecto al conjunto universal: A Ejemplo: Si A = { a; e; i } U = { a; e; i; o; u } Hallar y graficar A‘ o Ca o Ca

U

A

u

.o .a

Solución :

.i

A‘ = { o ; u }

.e

C a ó Ca ó A u

Propiedades: I) (A’ )‘ = A II) ( A B)‘ = A‘ B‘ Ley de Morgan III) ( A B ) ‘ = A‘ B‘ Ley de Morgan IV) ’= V) ‘=

.u




Ejercicios Resueltos 1) Si A = { 2x/x IN 3 < X < 8 } ; B = { x/x es una vocal } ¿Cuántos elementos tiene A B? Solución: Determinamos por extensión los conjuntos A y B A = { 2 x/x є IN ^ 3 cx < 8 } … x está entre 3 y 8 Si x = 4 2 (x) Si x = 6 2(6) 2 (4) 12 8 Si x = 5 2( 5 ) Si x = 6 2 (7) 10 14 A = { 8; 10; 12; 14 }

¡Pongámonos a trabajar!

B = { a; e; i; o; u }

Finalmente A U B = { 8; 10; 12; 14; a; e; i; o; u } n(A B)=9

Práctica para la clase 1) Dados los conjuntos P = { x /N / x es divisor de 12 } Q = { ( 2x + 1) / x IN x < 6 } Hallar y graficar P Q

5) Los conjuntos A y B, tienen elementos en común, se sabe que n ( A) = 21; n ( B ) = 15 y n ( A B) = 6, luego n ( A B ) es:

2) Dados los conjuntos M = { x/x es par 1 < x < 13 } N = { x/x es un múltiplo de 4 2 < x < 15 } ¿Cuántos elementos tiene el conjunto M N?

6) Del siguiente diagrama, ¿Cuáles son los elementos del conjunto ( A B ) C? A B

1

C 3

2

3) Dados los conjuntos A = { 3 x + 2 / x /N 1 ≤ x < 6 } B = { x2 + 1 / x /N Λ 1 < x ≤ 5 } Hallar y graficar A B

4) Dados los conjuntos A = { x /N / x es múltiplo de 4 3 < x < 21 B = { x /N І x es múltiplo de 6 2 ≤ x < 31} C = { x /N / x es divisor de 20 } ¿Cuáles son los elementos del conjunto A B C?

4

5 6

7 8 9

7) Dados los conjuntos A = { 2x + 3 / x /N X ≤ 4 } B = { 3x + 1 / X /N X < 5 } Hallar A – B




M={ xє/N/3
10) Si: U = { x є /N 0 < x < 5 }; A = { 1; 2 }; B = { 2; 3 } Hallar A‘ B

8) Si:

9) Si D = { x/x es divisor de 10 } E = { x є Z/ / -2 < x ≤ 9 } F = { x є /N / x < 5 } Hallar ( D F ) E

Actividades para la casa 1) Dados los conjuntos

P = { x/x es un número natural mayor que 2 } Q = { x/ x es un divisor de 8 } Q

Hallar y graficar P

2) Se tienen los conjuntos A = { 3x + 2 / x B = { 2x/x |N Hallar A B

|N x < 5 } x≤6}

3) Dados los conjuntos A = { 3x + 2 / x IN 1 ≤ x < 6 } B = { x2 + 1 x є IN 1 < x ≤ 5 } Hallar ( A B )

4) Dados los conjuntos A = { x B={x Hallar A B

/N / x es múltiplo de 2, 1 ≤ x < 13 } IN / x es múltiplo de 3, 2 < x < 16 }

5) Se tiene dos conjuntos A y B tales que n ( A Hallar n ( A ) + n ( B )

6) Del diagrama, hallar ( A – B ) A

.1 .2

.4

.3

(B–C)

B ) = 16; n ( A – B ) = 5; n ( B – A ) = 8.

7) Si U = { x Hallar Q

IN / 12 < x < 18 } ; Q = {14; 16 }

B

.5 .6

7 8

C

8) Si U = { a; b; c; d } ; A = { a; b } ; B = { b; c } ¿A qué es igual B A?




9) Si U = { x IN / 0 < x ≤ 8 } A = { 1; 2; 3; 4 } B = { 2; 3; 6; 7 } C = { 3; 4; 5; 6 } ¿Qué elementos están coloreada?

A

B

en

la

parte

10) Si A = { x/x es vocal }, B = { x/x es un mes del año } Hallar n ( A U B )

U

C

PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON DOS CONJUNTOS Nos ayudará identificar en un diagrama de Venn, las diferentes zonas que se presentan. Por ejemplo: Sobre la preferencia de los cursos A o B, los encuestadores manifestaron lo siguiente. La zona que se va a colorear nos indica su preferencia.

Prefieren el curso A

A

Prefieren el curso B

B

Prefieren A y B

A

B

A

No prefieren ni A, ni B

B

A

No prefieren B

A

A

Prefieren sólo A pero no B

B

B

A

No prefieren A

A

Prefieren A o B

B

B

Prefieren solamente 1 curso

B

A

B




Ejercicios resueltos

1) De un grupo de 85 personas: 40 estudian; 50 trabajan; 10 estudian y trabajan ¿Cuántos no estudian ni trabajan? Solución : 1º Se realiza el diagrama 2º Se trasladan los datos numéricos al diagrama, tratando llenar todas las zonas con sus respectivos valores numéricos. 3º Se suman los valores de cada zona y se iguala al total.

E

T U x 10

E = 40

y

x + 10 = 40 x = 30

y + 10 = 50 y = 40

30 + 10 + 40 = 80 Como universo = 85 Rpta: 5 no estudian ni trabajan

T = 50

2) En un grupo de niños, 70 comen manzanas, 80 comen peras y 50 comen peras y manzanas. ¿Cuántos los niños del grupo? Solución:

M

P x

y

X + 50 = 70 X = 20

50 + y = 80 y = 30

50 20+ 50 + 30 = 100 Rpta : Ha 100 niños en el grupo

3) En una escuela de 600 alumnos, 100 no estudian ni francés ni inglés, 450 estudian francés 450 estudian francés y 50 estudian francés e inglés. ¿Cuántos estudian sólo inglés? Solución :

F

U

x + 50 = 450 x = 400 X 50 y Como el universo es 600 x + 50 + y + 100 = 600 400 + 50+ y + 100 = 600 100 y + 550 = 600 y = 50 Rpta :. 50 alumnos estudian solo inglés.




Práctica para la clase

1) Se realiza una encuesta y en ésta se determina que: 78 prefieren la manzanas y 62 prefieren las naranjas; si los encuestados son 100 y todos tienen preferencia por alguna de las frutas mencionadas ¿Cuántas personas prefieren una sola fruta?

4) De un grupo de 100 alumnos, los que usan sólo lápiz, es igual a los que usan sólo lapicero, e igual a los que usan lápiz y lapiceros. Si 4 no usan ni lápiz ni lapicero. ¿Cuántos usan lápiz?

2) De un grupo de 50 personas 28 conocen Arequipa, 32 conocen Lima y 15 ambas ciudades. ¿Cuántos no conocen de ninguna de estas ciudades?

5) De un conjunto de 25 alumnos, se sabe que 5 no estudian ni hacen deporte, 13 estudian y 5 estudian y hacen deporte. ¿Cuántos de ellos realizan una de los 2 actividades?

3) De un grupo de 40 personas, se sabe que 15 de ellas no estudian ni trabajan, 10 personas estudian y 3 personas estudian y trabajan. ¿Cuántas de ellas realizan solo una de los actividades?

Actividades para la casa

1) En una tribu de 100 nativos, 38 comen carne cruda, 48 comen carne cocida. Si 21 son vegetarianos. ¿Cuántos de estos nativos comen carne curda y cocida y a la vez?

4) A una peña criolla asistieron 150 personas de las cuales: 80 cantan, 60 bailan; 30 no cantan ni bailan. ¿Cuántas personas cantan y bailan?

2) En un salón de 40 alumnos, se observó que 25 aprobaron matemática, 15 aprobaron Lenguaje y 10 no aprobaron ninguno de los dos cursos. ¿Cuántos aprobaron los dos cursos?

5) Entre 97 personas que consumen hamburguesas se observaron las siguientes, preferencias en cuanto al consumo de mayonesa; 45 consumen Ketchup y 10 no consumen ninguna de estas salsas. ¿Cuántos consumen mayonesa, pero no Ketchup?

3) De los 60 alumnos de un aula, 50 tienen libro de Matemática y 15 de matemática y física. ¿Cuántos tienen un solo libro?




Acepta el desafío En el colegio “San Miguel” de Piura se ha evaluado a 1000 alumnos en las asignaturas de Lenguaje, Matemática y Biología: obteniéndose los siguientes resultados: a) b) c) d) e) f)

680 alumnos aprobaron lenguaje. 320 alumnos aprobaron biología 400 alumnos aprobaron sólo lenguaje 50 alumnos aprobaron lenguaje y biología, pero no matemática 170 alumnos aprobaron biología y matemática, pero no lenguaje 40 alumnos aprobaron biología, lenguaje y matemática

Si todos los alumnos aprobaron por lo menos uno de estos cursos: ¿Cuántos aprobaron sólo biología? ¿Cuántos aprobaron sólo lenguaje y matemática? ¿Cuántos aprobaron sólo matemática?

SITUACIONES LÓGICAS A continuación encontraremos algunos planteamientos recreativos, recuerda que en matemática se requiere sólo de lógica para resolver problemas de la vida diaria. Adelante pon a prueba tu LÓGICA.

1) Mi tía Consuelo tiene 6 hermanas y todas son mis tías, excepto una ¿quién es? a) media tía b) mi madre c) casi tía d) mi tía abuela e) también es mi tía

2) ¿Cuál es el nombre que acompaña más tareas en el hogar? a) María b) Carmen c) Dora d) Martha e) Ana

3) Pablito lo vio una vez en apuros, dos veces en oración y tres veces en sollozo. ¿Qué vio Pablito? a) una persona b) una madre c) un amigo d) La letra O e) un empresario en quiebra

4) ¿Quién es la nieta única de la abuela de la madre de Cuchita? a) Cuchita b) Yo c) La madre d) La hija e) la nieta de la madre

5) Podría el Señor Velaochaga casarse con Mónica, quién es una mujer muy atractiva tu hermana de su viuda? a) si porqué es una mujer muy atractiva b) porque es su cuñada c) Sí, si así lo desea d) No e) depende que haya atracción entre ellos.

6) En un pueblito existen solamente dos sastres, que prestan sus servicios a la comunidad, pero no así mismos, el primero siempre está muy bien vestido y con un terno de acuerdo a la estación, el segundo sastre siempre está muy mal vestido y con un terno modelo antiguo. Una turista desea que le confeccionen un terno sorpresivamente elige al segundo sastre, ¿sabe Usted porque? a) Porque le gusta vestir mal b) Porque le gusta vestir muy bien c) porque conoce al segundo sastre d) Por que el segundo sastre es el mejor. e) Hay dos respuestas correctas.




NÚMEROS NATURALES ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES PRÁCTICA PARA LA CLASE 1.- Compara los siguientes números naturales y escribe > , < ó = según corresponda. a) 447 ________ 372 b) 583 ________ 586 c) 125 846 ________ 125 709

d) 567 681 429 ________ 567 681 703 e) 780 354 293 ________ 780 354 299

2.- Completa el cuadro: Completa el cuadro Expresiones

Propiedades

5+O=S 8+3 =3+8 (4+2) + 9 = 4 + ( 2 + 9) 15 + 8 = 23 |N Si x + 9 = 10 + 9 x = 10 Si n = 7 n + 6 = 13 3.- Durante un paseo Nataly tuvo los siguientes gastos. S/ 230 en el pasaje, S/ 36 en frutas, S/45 en golosinas y S/ 12 en galletas. ¿Cuánto le había dado su padre si aún le sobra S/ 56?

4.- Franklin tiene un sueldo de 850 soles. El presente mes ha gastado 300 soles en alimentación, 130 soles en ropa, 190 soles en vivienda, 40 soles en pasajes, 75 soles en pago de letras y con el resto ha comprado un radio ¿Cuánto le cuesta la radio?

5.- La suma de los términos de una sustracción es 480 ¿Cuál es el minuendo?

ACTIVIDAD PARA LA CASA 1.- Juan pagó una deuda de 2 560 soles y más tarde pagó 4 342 soles, quedándole tanto como había pagado más 728 soles ¿Cuánto dinero tenía?




2.- Completa el cuadro Expresión

Se lee

x<3 a>2 2
X es menor que 3

( x +1) es mayor que 8 y es mayor que 15 y menor que 32 ( n + 4) es mayor que 9 y menor que 28 ( m – 2) es menor que 17

3.- Un camión realiza tres viajes: en el primero lleva 1840 ladrillos, en el segundo 2 560 y en el tercero 3245. ¿Cuántos ladrillos transportó en los tres viajes?

4. Manuel después de cobrar su sueldo ha comprado una camisa por s/.42, un pantalón por s/.78 , un par de zapatos por s/.140 y ha pagado el alquiler de su casa por s/.450, quedándose con s/.380. ¿Cuál es el sueldo de Manuel?

5. Los hermanos Ángel, Beto, Carlos y Dante han recibido una suma de dinero por pintar una flota de automóviles. Ángel recibió 1 240 soles, Beto, 350 soles menos que Ángel, Carlos 600 soles más que Beto y Dante tanto como Ángel y Beto juntos. ¿Cuántos recibieron entre los cuatro?

6. Cuatro obreros han recibido 10 000 por su trabajo en la construcción de una casa. El primero recibió 2 380 soles, el segundo 460 soles más que el primero, el tercero 700 soles menos que el segundo y el cuarto recibió el resto de la suma. ¿Cuánto recibió el cuarto obrero?

7. Un joyero compró un reloj por s/.146. ¿Qué precio debe fijar para su venta si desea ganar s/.75?

8. Elena ha gastado 400 soles en comprar regalos para sus hijas Miriam, Andrea y Samantha. Si el regalo costó 135 soles, el de Andrea 20 soles menos que el de Miriam. ¿Cuánto le costó el regalo de Samantha?

9. La Sra. Sara tenía s/.8 450 en su cuenta de ahorros del banco. El lunes retiró s/.940 para comprar los útiles escolares de sus hijos, el martes s/.280 para el teléfono y el miércoles s/.568 para pagar el alquiler de la casa; si el jueves le hacen un depósito de s/.320, hoy que es viernes. ¿Cuánto tendrá en su cuenta?

10. Un padre tiene 36 años y su hijo 7 años. ¿Qué edad tendrá el padre cuando el hijo tenga la edad que su padre tenía hace 5 años?




MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES PRÁCTICA PARA LA CLASE 1. Escribe las siguientes adiciones como una multiplicación: a) 5 + 5 + 5 + 5 = b) 3 x 3 + 3 + ...+ 3 = 15 veces b) a + a + a + a + a + a + a =

d) b + b + b +...= 48 veces e) (a + b) +( a + b ) + ...+(a + b) = 80 veces f) x + x + ...+ x = 9 veces 2. Indica las propiedades que se han aplicado: a) ( 7 x 3 ) x 8 = 7 ( 3 x 8)

...........................................……………..

b) 5 ( a + b ) = 5 a + 5b

...........................................……………..

c) Si 3 . n = 3 . 7

...........................................……………..

n=7

c) 8 . x = x . 8

...........................................……………..

e) si y = b

...........................................……………..

2 . y = 2.6

f) a.1 = a

...........................................……………..

g) 17 . 0 = 0

...........................................……………..

h) (8 + 5) . x = 8 x + 5 x

...........................................……………..

i) 7 ( 9 x ) = ( 7 x 9 ) x

...........................................……………..

j) 4 . 15 = 15 . 4

...........................................……………..

3. Haciendo uso de las técnicas abreviadas de la multiplicación calcula mentalmente los siguientes productos. a) 525 x 100 = b) 15 277 x 1000 000 = c) 58 x 5 =

d) 32 x 15 =

e) 220 x 15 =

f) 144 x 25 =




4. Calcula el resultado de: 4+3x7–8:2+1

5. M = 48 : 4 : 3 : 2 x 8 – 3 x 5 + 4 ¿Cuánto es M?

5. ¿A cuánto equivale E? E = 38 – 2 x 15 :3 + 3 – 2 x 2

6. En una división el divisor es 5, el cociente es 8 y el residuo es 3. Hallar el dividendo.

ACTIVIDADES PARA LA CASA 1. Al dividir un número N entre 7 el cociente es 5 y el residuo es máximo. Hallar N

5. Juan compró 5 decenas de vasos a s/18 cada docena para vender los a s/ 3 cada vaso .¿ cuanto ganó. Si durante la venta total se le rompieron 7 vaso?

2. ¿Qué número debe dividirse por 9 para que el residuo resulte máximo e igual a cociente?

3. En una división el dividendo es 130 el divisor es 80 y el cociente es el doble del divisor. ¿Cuál es el residuo?

6. Para pagar una deuda de 1090 dólares, Ángel paga con billetes de 50 ; 5 y 10 dólares. Si da 7 billetes de 50 dólares y 12 billetes de 10 dólares ¿ cuántos billetes de 5 dólares debe dar para cancelar la deuda?

4. Rafael tiene 987 soles entre billetes de 50, 20 y 10 soles y monedas de 5 y 1 sol. Si tiene 27 billetes de s/ 20; 13 billetes de s/10; 5 billetes de s/50 y 7 monedas de 1 sol ¿Cuántas monedas de 5 soles tiene?

7. Calcular mentalmente: a) 82 x 1000= b) 42 x 5 = c) 340 x 5 =

8. Calcular 29 – 2 x 12 : { 6 - 14 : ( 3 x 4 : 2 + 1)

d) 180 x 15 = e) 64 x 25 = f) 844 x 25 =

: 6 x 2 – (3 x 5 – 7 x 2 )

9. Hallar R R = 60 : 2 3 + 2 ( 5 + 1 ) + {35 - 6 + 2 ( 8 – 1 ) } : 3

10. Calcular 40 x ( 6 –2 ) : 8 –1 x ( 4 + 6 : 2 x 4

Consorcio Educativo “El Carmelo”


57

Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista

POTENCIACIÓN DE NÚMEROS NATURALES

PRÁCTICA PARA LA CLASE 1. Escribe los siguientes productos en forma de potencia a) 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = b) 5 . 5 . 5 . 5 = c) c . c . c . c . c . c . c . c . c . c . c . c =

d) x . x . x . x . x . x . x . x = e) 4 . 4 . 4 ...... 4 (n veces)

2. Halla las siguientes potencias: a) 34 = b) 25 =

c) 84 = d) 29 =

e) 105 = f) 70 =

3. Aplica las propiedades expresa los siguientes productos como potencias de una sola base: a) b) c) d) e)

35 . 34 = 5 . 56 = 512 : 53 = a12 . a40 = 64 : 6 =

f) (32)7 = g) (43)2 5 = h) (t4)0 7 =

ACTIVIDADES PARA LA CASA 1. Escribe los siguientes productos en forma de potencia: a) 6 . 6 . 6 . 6 . 6 . 6 . 6 =

d) 3 . 3 . 3 .... 3 = ( 16 veces )

b) a . a . a . a . a . a = c) b . b . b . b . b . b =

e) 15 . 15 . 15 ..... 15 = ( x veces )

2. Halla las siguientes potencias: a) 132 =

d) 54 =

b) 64 =

e) 44 =

c) 35 =

f)

631 =

3. Aplica las propiedades y expresa los siguientes productos como potencias de una sola base: a) 26 . 2 7

=

e) 816 : 84 =

b) 43 . 44 . 42 =

f)

c) 1519 : 15 17 =

g) y 80 . y . y 3 =

d) b34

h) m0 . m 17 =

: b21 =

LOS OLIVOS: Jr. Mercurio 7481 5330029

(26 ) 8 =

SOL DE ORO: Los Planetas 130 5330242

ANCÓN: Balneario de Ancón S/N 5520002



58


RADICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES Raíz de un número natural Ejemplo: a) 5 elevado al cuadrado es 25 52 = 25 5 elevado al cuadrado de 25

25

5 =

63 = 216 6 = 216

b) 6 elevado al cubo es 216 6 es la raíz cúbica de 216

34 = 81 3 = 4 81

c) 3 elevado a la cuarta da 81 3 es la raíz cuarta de 81

En general: n

índice

x

raíz

a

radicando

Propiedades de la radicación : 1.- Producto de raíces del mismo índice .Ejemplo : 25 . 4 = 25 .4 = 100 = 10 a)

8 .

b)

8.18 =

18 =

64 :

n

b)

3

512 :

64 : 14 =

4 =ó

8 : 4

a

.

n

b

n

b

=

n

a.b

n

a: b

144 = 12

2.- Cociente de raíces del mismo índice .Ejemplo : a)

n

64 : 4 =

a

:

=

16 = 4

2 3

64 =

3

3

512 : 64 =

8 =2

3.- Raíz de Raíz: n m

a

nm

a

Ejemplos:

81 =

a)

3 3

b)

ó

1000000 =

81 = 2.3

2.2

81 =

1000000 =

6

4

81 = 3

1000000 = 10

4.- Simplificación del índice con el exponente del radicando n

am =

n

am =

n

am

25 = 5

ó

Ejemplo:. a)

52=


5 =5





59


b)

12

84 =

c)

18

343

12

3

8 =

=

3

8 =2

343 2 =

3

3

343 2 =

3

343

2

= 72 = 49

Práctica para la clase 1) Calcular las siguientes, raíces a)

3

216 =

e)

4

81 =

121 =

b)

f) 6 64 = c)

3

1000 =

1225

d)

2.- Aplica la propiedad

c)

a.b =

n

a .

1600

a) b)

n

3

4

n

g)

3

0 =

d)

3

125000 x 4 3 =

e)

6

5x8 6 =

b y calcula:

216 x125 =

81x16 =

3.- Resuelve aplicando propiedades: a)

3

24 :

b)

3

175 =

3

3 =

f)

14

2

4 21

9 4=

c) d)

19835

e)

4

3 x3 x3 x... x3 =

6

g)

25

. 67

16 veces

ACTIVIDADES PARA LA CASA 1. Calcular las siguientes raíces: a)

49

d)

4

16

b)

144

e)

5

32

c)

1000000

f)


3

729





60


__ _ _ 2. Aplica la propiedad n a.b = n a . n b y calcula: _______ 3 a) 343 000

______________ 49 x 100 x 81 x 4

d) ___________ 25 X 64 X 144

b)

7

e) 5

c)

__________ 27 x 37 x 107

______ 32 X 75

3. Resuelve aplicando propiedades: ___ a) 4 362 ___ _ 4 2 4 b) 32 : 2 ________ c) 3 1 000...0

d)

3

e)

8

_________ 3 64.62.63 ____________ 3 12520 : 1254

(15 ceros)

OPERACIONES COMBINADAS 1º Se hallan las potencias y raíces, luego los cocientes y los productos y finalmente las sumas y diferencias. 2º Si hay signos de colección se resuelven primero las operaciones que están encerradas dentro de estos signos empezando por el signo de colección que está más al interior. Ejemplo: 78 : 36 + 25 – 16 2 + 25 – 16 27 – 16 11

PRÁCTICA PARA LA CLASE Resuelve: __ 1. 12 x 6 : 23 + 20 : 5 x 3 - 81 x 2 x 6º __ __ 2. 62 x 24 : 8 x 2 (33 – 42 x 3 16) __ __ ___ 3. 23 x 3 27 + 4 (5 . 36 – 7 . 22) : 3 512 ___ __ ___ __ ______ 4. 4 234 – 2 3 213 – 2 192 – 2 (3 642 - 3 7292) ___ ___ ___ __ _ 3 3 3 6 4 5. 2 . 343 + 3 ( 729 – 5 x 216 : ( 1 + 81 x 4 + 4 ) __ __ __ 6. ( 2 25 + 03 ) + 33 + 90 : 22 + 5 3 216 : ( 25 – 1 ) + 3 66 __ 7. 20 + 22 + 32 . 3 + (24)2 + 04 – (50 + 33 + 5 32 . 24) : 4 + 5 __ __ 8. (43 – 7 x 6 : 3) . 32 : 25 : 3 . 3 27





61



CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (Z) +

Al conjunto de los enteros se le reconoce como Z . Hacia la izquierda del 0, colocaremos los números enteros negativos. Estos van a la misma distancia del 0 que los enteros positivos. –

A los enteros negativos no les pueden falta el signo - . Los enteros negativos se simbolizan como Z .

...... -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

Enteros negativos Como los enteros negativos están a la misma distancia del 0 que los positivos, se les llama opuestos. Entonces, -5 es el opuesto de +5.

-5

0

+5

Resumiendo... El conjunto de los números enteros está formado por los enteros positivos, el cero y los enteros negativos.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 En símbolos:

Z = {Z

–

{0}

+

Z}

RELACIÓN DE ORDEN EN Z Z es un conjunto ordenado. Esto quiere decir que hay números enteros mayores o menores que otros. Un número es mayor que otro si su representación en la recta numérica está más a la derecha; por ejemplo 4 es mayor que 1 (se representa 4 > 1). Un número es menor que otro si su representación en la recta está más a la izquierda; por ejemplo, 2 es menor que 5 (se representa 2 < 5). Analicemos el siguiente ejemplo: Ordenaremos de menor a mayor +7, -6, +4 y -2 en la recta numérica, a partir de 0. Así, tenemos que:

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 El número es –6, porque es el que está más ala izquierda; luego viene el –2, el 4 y el 7. En símbolos queda: -6 < -2 < +2 < +7 Para cualquier número, es antecesor el que se ubica inmediatamente a la izquierda de él y es sucesor, el que está inmediatamente a su derecha. Observa:

número antecesor

sucesor

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 antecesor

sucesor

antecesor


sucesor





62

Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista número

número

En los números naturales, el 0 (cero) no tenía antecesor, en cambio, en los números enteros, todo número tiene antecesor y sucesor.

PROBLEMAS 1. Expresa las siguientes situaciones con números enteros: a) Siete grados bajo cero. b) La altitud de un pico es de 1 205 m. c) El buzo está a 32 metros de profundidad. d) El avión vuela a 8 500 m de altura. e) Veinte años antes de Cristo.

2. Escribe en tu cuaderno los números enteros comprendidos entre: a) –4 y +3 c) 10 y –2 e) +5 + 12

b) –5 y +5 d) –8 y +1

3. ¿Cuándo estoy financieramente mejor? a) b) c) d)

si tengo S/. 500 o si tengo S/. 159 si debo S/. 200 o s tengo S/. 8 si debo S/. 40 o si debo S/. 45 si no tengo dinero o si debo S/. 60

4. En cada caso, uno de los hombres mencionados es el padre y el otro es el hijo. Decida cuál es cada uno de ellos. a) Manrique nació en el año 135 a.C. y José nació en el año 188 a.C. b) Jorge nació en el año 18 d.C. y Pedro nació en el año 7 a.C. c) Marcelo nació en el año 1547 d.C. y Julián en el año 1578 d.C. d) Roberto nació en el año cero de nuestra era y Humberto en el 40 a.C. 5. Colocar el signo “>” (mayor que) o “<” (menor que) según corresponda. +34 ......... +17 +7 ......... +16 -6 ......... -8 -9 ......... -7 -150 .......... -135

-6 ............ +12 45 ........... -1 -16 .......... 10 0 ........... 24 -4 ............ 0

6. En la siguiente recta numérica, las letras representan números enteros.

M a

z

p

0

b

j

q

Completen con el signo >, < ó =. z ......... j z ......... a z ......... m b ......... a

z ......... p z ......... 0 z ......... z p ......... q

7. Recuerden que esta expresión |-n| significa “valor absoluto del número -n”. nuevamente indiquen >; < ó =. +8 0 0 |-4| |-250|

.......... .......... .......... .......... ..........

|+8| |-4| -4 |-12| |-252|

|7| -135 -135 |135| -250

......... .......... .......... ......... .........

|-7| 135 |135| -135 -252

8. Trabaja con la siguiente recta numérica:

... a) b) c) d)

a

0 1

b ...

Marca en ella los opuestos de “a” y de “b” ¿Qué signo tiene “a”? ¿Cómo te has dado cuenta? ¿Y su opuesto? ¿Qué signo tiene “b”? ¿Y su opuesto? Ordena los seis números de mayor a menor:






63


9. Completa: a) b) c) d) e)

10. Calcular: a) el opuesto del negativo de –7 b) el negativo del opuesto de +12

el opuesto de +2 es: el opuesto de –8 es: el opuesto de +15 es: el negativo de +50 es: el negativo de –30 es:

Resuelve en tu cuaderno: 11. En cada inciso ordene los números de menor a mayor y escriba entre ellos el símbolo > o el símbolo <, según corresponda. a) b) c) d)

2; 1; 4; -1; -8; -2 63; 47; 89; -83; -85; -64 286; 884; 572; -433 7525; 2996; 6477; -6214; -6214; -8357; 3234

12. En cada inciso ordene de mayor a menor y escriba entre ellos el símbolo > o el símbolo <, según corresponda: a) b) c) d)

a) los números 0; 10; -10; 20; -20; 30 y -30 b) los números -27; -28; -29; -30; -31 c) los números 0; -1; -2; -3; -4; 1; 2; 3; 4

40; -32; 28; 77; 0 3; 5; -9; -2; 7; 18 3 241; -5 008; 2 126; 999; -876 18; -59; -23; 132; -6; -220

17. Conteste las siguientes preguntas y exprese la situación con símbolos: a) El lunes, Doña Petra debía en la tienda de la esquina $ 45. El viernes siguiente debía 434. ¿Mejoró o empeoró su situación? b) En chihuahua, el día 17 de enero estaban a 5° bajo cero, y el 20 estaban a 7° bajo cero. ¿Qué día fue más alta de temperatura?

13. Encuentre el valor absoluto de los siguientes números: a) 186 d) –174

b) –30 e) 320

c) 60 f) -109

14. Encuentre todos los números enteros que son: a) mayores o iguales que 23 y menores que 32 b) mayores que 0 y menores o iguales a 13 c) mayores que –2 y menores que 3 d) mayores que –7 y menores que -1

d) El saldo de la empresa “Caluro S.A.” es de $12 807 en números rojos, y el de la empresa “Forzo S.A.” es de $ 6 014 en números negros. ¿Cuál de las dos empresas está en mejor situación? 18. Escribe el antecesor y el sucesor de los siguientes números: a) –105 d) –9 001

15. Encuentre un número: a) b) c) d) e) f) g) h)

c) El buzo A, baja a 70 metros bajo el nivel del mar, y el buzo B baja a 81 metros bajo el nivel del mar. ¿Cuál de los dos está más cerca de la superficie?

tres unidades mayor que 12 tres unidades mayor que –12 dos docenas menor que 34 dos docenas menor que –34 una centena mayor que 125 una centena mayor que –125 una centena menor que 50 una centena mayor que –50

b) 392 e) 3 415

c) –5 001 f) –4 999

19. Petronio nació el año 11 a.C. y su hijo Pericles el año 11 d.C. ¿Qué edad tenía Petronio cuando Pericles cumplía 11 años? 20. En Puno se registran las siguientes temperaturas durante la semana: -4°; 0°; 6°; 1°; -3°; 0°; 5°. ¿Cuál fue la mayor variación de temperatura entre dos días consecutivos?

16. En rectas numéricas represente:

ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS LOS OLIVOS: Jr. Mercurio 7481 5330029





64


Regla de Signos en la Adición de Números Enteros 1. Para sumar números enteros del MISMO SIGNO, sumamos los valores absolutos, y el signo del resultado es el mismo de los sumandos.

2. Para sumar números enteros de DISTINTO SIGNO, restamos los valores absolutos (el mayor MENOS el menor), y el signo del resultado es el del MAYOR valor absoluto.

Ejemplos:

Ejemplos:

a) (-12) + (-8) = (-20)

a) (-15) + (-5) = (-10)

b) (+40) + (+10) = (+50)

b) (-15) + (+20) = (+5)

c) (-300) + (-100) = (-400)

c) (+8) + (-9) = (-1)

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para hallar la diferencia de dos números enteros transformamos la sustracción en una adición del minuendo con el opuesto del sustraendo. Ejemplo: Minuendo Sustraendo a) Efectuar:

(-8) – (-3)

El opuesto del sustraendo es (+3) La sustracción convertida en ADICIÓN: (-8) + (+3) = (-5)

PRACTICA PARA LA CLASE I.

Efectuar las siguientes sumas:

13. (-17) + (-15) + (+32) =

1. (+3) + (+8) =

14. (-7) + (+7) + (+1) =

2. (+8) + (-3) =

15. (-9) + (+9) + (+11) =

3. (-8) + (+5) =

16. (+17) + (-11) + (+17) + (-34) =

4. (-8) + (-7) =

17. (+21) + (+24) + (+26) + (+69) =

5. (-3) + (-3) =

18. (+49) + (+31) + (-24) + (+17) =

6. (-9) + (+9) =

19. (+11) + (-7) + (-3) + (-4) =

7. (+24) + (+32) =

20. (-3) + (-1) + (-1) + (-1) + (+6) =

8. (+13) + (-11) =

II.

Efectuar las siguientes sustracciones:

9. (-7) + (-3) + (-2 ) =

1.

(+9) – (+3) =

10. (-1) + (-2) + (-3) + (-3) =

2.

(+8) – (+9) =

11. (+9) + (-3) + (-6) =

3.

(+6) – (+12) =

12. (+11) + (-9) + (-3) =

4.

(+3) – (+2) =






65


III.

5.

(+7) – (+9) =

13.

(-62) – (-60) =

6.

(+11) – (-3) =

14.

(+62) – (-30) =

7.

(+18) – (-9) =

15.

(+311) – (-311) =

8.

(+24) – (-2) =

16.

(+24) – (+24) =

9.

(+31) – (-9)=

17.

(+24) – (1) =

10.

(-24) – (-3) =

18.

(+6) – (-6) =

11.

(-32) – (+6) =

19.

(244) – (+244) =

12.

(-81) – (-40) =

20.

(+22) – (-22) =

6.

(-31 + 20) + (-8 -15)

7.

[-15 – (14 –13) + 8]

8.

[15 – (12 –15)] – (15 –12)

Efectuar: 1.

–3 + 8 – 2 – 5

2.

7 + 37 – 9 + 2

3.

25 – 50 – 100 + 125

4.

IV.

– 8 – 9 – 10 + 11 + 12

5. (-3 + 8) – (4 – 15) Efectuar: 1.

{-5 + 7 – [8 – 9 – 10] + 3} – {[–(-5 –8) + 10] –20} a) –13

2.

e) 10

b) –1

c) 0

d) 11

e) 17

b) –9

c) –18

d) +18

e) 0

b) 36

d) 56

e) -56

d) –5

e) –6

d) –41

e) 181

c) –37

-5 –{-8 – [-7 -6 –(-5 -4)] –3 –2} –1 a) –3

7.

d) –8

c) –7

{-[-9 + 8 -(-3 –7)] + [-8 –(7 + 9 +8) –15]} a) 38

6.

b) 7

-{-[-9 - 9 – (9 –9 -9)] –9} a) 9

5.

e) 13

[3 + 8 –12 + (15 -17) + 3] –8 +9 a) 1

4.

d) –19

c) 19

{8 –15 – [(3 – 8 + 6) –13] + 5} a) 8

3.

b) 21

b) +3

c) –4

45 –{-78 + 90 –[ -10 + 101]} – (150 -157) a) 41

b) 27


c) –27





66


8.

–{7 + [5 –(-7 -2)]} + 5 –{-[9 –(14– 5)+ 3] -5} –8 a) 21

V.

VI.

c) –21

b) 42

d) –16

e) 16

Hallar los números enteros a colocar en los casilleros, empleando las propiedades estudiadas.

a.

+ (-17) = (-17)

f.

– (+2) = (-5)–(-2)

b.

+ (+2) +(-3) = (-24)

g.

(+2) +(+3) –

= (-7)

c.

– (-3) = (+16)

h.

(-2) +(-7) +(–

) = (-1)

d.

(+3) – (+8) =

i.

(+5) +

= (-7)

e.

– (+)+(-2) = (+1)–(-3)

j.

(-17) –

=0

– (+3)

Resolver: 1. Si Pablo nació en el sesquicentenario de la independencia del Perú, ¿en qué año cumplió 30 años de edad? a) 1991 d) 2002

b) 2001 e) 1999

c) 2000 a) 21 d) 6

2. Anita se pone a dieta. El primer bajó 400 g el segundo mes bajó más que el mes anterior y el tercer subió 600 g. ¿Cuántos gramos Anita en total al tercer mes? a) 200 g d) 900

b) 1 000 e) 400

mes 200 mes bajó

c) 800

3. Aldo y Carlos tienen juntos S/. 442. ¿Cuánto dinero tiene Aldo si se sabe que tiene S/. 68 menos que Carlos? a) S/. 157 d) 255

b) 187 e) 265

4. Dentro de 9 años, mi edad será 6 años más que la de Ricardo. Si actualmente nuestras edades suman 36 años, ¿cuál es la edad de Ricardo?

c) 127

b) 15 e) 8

c) 13

5. La suma de dos números es 32, si su diferencia es 10, ¿cuál es el menor de dichos números? a) 10 d) 14

b) 11 e) 16

c) 12

6. Al sumar dos números se obtiene 9. si el mayor excede al menor en 18, ¿cuál es el número mayor? a) 55 d) 90

b) 40 e) 35

c) 65

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Regla de signos para la multiplicación de números enteros: 1. “Si dos números enteros tienen el mismo signo, su producto tendrá signo positivo” Ejemplo: LOS OLIVOS: Jr. Mercurio 7481 5330029





67


(-5) x (-3) = (+15) (+8) x (+2) = (+16) 2. “Si dos números enteros tienen distinto signo, su producto tendrá signo negativo” Ejemplo: (-5) x (+3) = (-15) (+8) x (-2) = (-16) En resumen: (+)(+)=(+)

Observación: Una multiplicación como:

(–)(–)=(+)

(+5) x (-3)

(+)(–)=(–)

también puede ser expresada como:

(–)(+)=(–)

(+5) (-3)

Observación: De la regla de signos para la multiplicación se desprende lo siguiente al multiplicar dos o más factores. 1) Si todos los factores tienen signo POSITIVO, el producto también es POSITIVO. Ejemplo: a. (+3) (+2)(+5) = +30 b. (+4) (+7) (+1) (+2) = (+56) 2) Si algunos de los factores son de signo negativo, tendremos en cuenta la cantidad de estos factores. 2.1 Si la cantidad de factores que tienen signo negativo es un número PAR, el producto total es de signo positivo.

2.2 Si la cantidad de factores que tiene signo negativo es un número IMPAR, el producto total es de signo NEGATIVO.

Ejemplo:

Ejemplos:

a. (-2) (-3) (-1) (-4) = (+24)

a. (-8) (-2) (-1) (+3) = (-48)

N° de factores negativos: 4 ¡PAR! b. (+5) (-3) (+2) (+4) (-1) = (+120)

N° de factores negativos:3 ¡IMPAR! b. (+3) (+4) (-9) (+1) = (-108)

N° de factores negativos: 2 ¡PAR!

N° de factores negativos: 1 ¡IMPAR!

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS 1. Propiedad de Clausura “El resultado de multiplicar dos números enteros es otro número también entero” Si: a Z y b Z axb Z Ejemplo: Si: (-3) Z y (+4) Z entonces: (-3) (+4) = (-12) Z 2. Propiedad Conmutativa “El orden de los factores no altera el producto” axb=bxa Ejemplo: (+13) (-3) = (-3) (+13) (-39) = 39






68


3. Propiedad Asociativa “La forma como se agrupen los factores, no altera el producto” (a x c) x c = a x (b x c) Ejemplo: [(-5)(+2)] (-3) = (-5) [(+2)(-3)] (-10)(-3) = (-5) (-6) +30 = -30 4. Elemento Neutro “El elemento neutro de la multiplicación de números enteros es el +1. Cualquier número entero multiplicado por el elemento neutro da como producto el mismo número entero”. a x (+1) = a Ejemplo: (+157) (+1) = 157 5. Elemento Absorbente “El elemento absorbente de la multiplicación de número enteros es el CERO”. En cualquier multiplicación de dos o más factores si al menos UNO DE ELLOS es CERO, entonces el producto es cero” ax0=0 Ejemplo: (-1532) (+742) (-3) (0) (-1) = 0 6. Propiedad de monotonía “Si multiplicamos ambos miembros de una igualdad por un mismo número entero, obtenemos otra igualdad” Si: a = b

axc=bxc

Ejemplo: (-2) (-7) = (+14) multiplicamos ambos miembros por (+3) (-2) (-7) (+3) = (+14) (+3) + 42 = +42 7. Propiedad cancelativa “Si en ambos miembros de una igualdad, aparece como factor un mismo número entero DIFERENTE DE CERO, este puede cancelarse o suprimirse” Si: a x c = b x c y además c = 0 entonces a = b Ejemplo: Si: (-3) (+4) (-6) = (-3) (-8) (+3) entonces (+4) (-6) = (-8) (+3) -24 = -24 8. Propiedad distributiva “Si un número entero multiplica a una ADICIÓN, resulta la suma de los productos de dicho número entero por cada uno de los sumandos” a x (b + c) = a x b + a x c Ejemplo: (-6) [(+4) + (3)] = (-6) (+4) + (-6)(-3) (-6) [+1] = (-24) + (+18) (-6) = (-6)

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Regla de signos para la división de números enteros: LOS OLIVOS: Jr. Mercurio 7481 5330029





69


1.

Al dividir dos números enteros del MISMO SIGNO, el cociente obtenido es de SIGNO POSITIVO. Ejemplos:

2.

Al dividir dos números enteros de DISTINTO SIGNO, el cociente obtenido es de SIGNO NEGATIVO. Ejemplos:

(+20) (–40)

(+4) = (+5) (–5) = (+8)

(+20) (–40)

(–5) = (–4) (+8) = (–5)

En resumen: (+) (+)=(+)

Observación:

Las reglas de signos de la multiplicación

(–) (–)=(+)

y división de números enteros son

(+) (–)=(–)

similares

(–) (+)=(–)

PROBLEMAS I.

Completa el siguiente cuadro efectuando las multiplicaciones indicadas:

X

+6

-8

-4

+3

-10

+9

6. (-4) (+10) (+3)

+11 7. (+2) (-2) (+2) (-2) (-2)

-2 -3 +5

8. (-2) (+2) (-3) (+4) (-5)

+4 +2 9. (-1) (+2) (-3) (+4) (-5)

-7 -11

II.

Resuelve las siguientes operaciones:

10. (-3) (-3) (-3) (+2) (+2) 11. (-2) (-2) (2) ... (-2) (-2) 8 veces

1. (-9) (-3)

2. (+9) (-2)

12. (-1) (-1) (-1) ... (-1) 30 veces

3. (-10) (+3) 13. (-1) (-1) (-1) ... (-1) 101 veces

4. (+3) (-2) (+4) (+5) 14. (-1) (+1) (-1) (+1) ... (-1) (+1) 5. (-1) (-2) (-3) (-4) 34






70


18. (-9) (-8) (-7) (-6) (+5 -3 -2) 15. (+5 -3) (+5 -2) (+5 -1) (+1 -5)

19. (-8) (+2) (-1) (+4) (-3 +3) 16. (-1) (+1) (-1) (+1) ... 13 factores

20. (+12 -20) (+12 -19) (+12 -18) (+12 -17) ... (+12 -2) (+12 -1) 17. (-1) (-3) (-1) (-3) ... 7 factores

III.

Completa el siguiente cuadro efectuando las divisiones indicadas. Coloca un aspa si la división es inexacta -1 +2 -2 +3 -4 -5 -11 -15 +110 +12 -15 -24 +100 -120 +440 -600 +1000

IV.

Efectuar: 1. (-32)

6. (512)

(-8)

2. (+320)

(-16)

7. (-1024)

(-8)

3. (+480)

(-120)

8. (+444)

(+11)

4. (-1000)

(-50)

9. (-3522)

(-3)

5. (-132)

V.

(16)

(+12)

10. (780)

(+15)

Resolver:






71


1. Si en una multiplicación de tres números enteros se duplica uno de ellos, ¿qué sucede con el producto? a) queda multiplicado por 2 b) queda dividido por 2 c) queda multiplicado por 4 d) queda dividido por 4 e) no se altera

2. Si en una multiplicación de tres enteros se duplica cada uno de ellos, ¿qué sucede con el producto? a) queda multiplicado por 2 b) queda multiplicado por 4 c) queda multiplicado por 6 d) queda multiplicado por 8 e) no se altera 3. Luego de dividir el menor número entero de dos cifras entre +9 el cociente es: a) +11 b) –11 c) +10 d) +9 e) +1

a) b) c) d) e)

7. El producto de dos números no positivos es 18 y su cociente es 2. ¿Cuál es la suma de estos números? a) –12 b) –9 c) –6 d) –14 e) –8

8. Luego de multiplicar el triple de (-24) con la mitad de (-24), el producto es: a) +864 b) –864 c) +3456 d) –3456 e) N.A. 9. Tengo cierto número de pelotas para vender. Si las vendo a S/. 17 cada una, gano S/. 12, pero si las vendería a S/. 15 cada uno perdería S/. 6 en total. ¿Cuántas pelotas tengo para vender?

4. Al dividir el mayor número entero de tres cifras diferentes entre el opuesto de +3, el cociente es: a) –333 b) +333 c) –329 d) +329 e) +309

5. Tengo S/. 101 y quiero dar S/. 15 de propina a cada uno de mis 7 sobrinos, ¿cuánto dinero me falta? a) S/. 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 105

queda multiplicado por 12 queda multiplicado por 6 queda multiplicado por 5 queda dividido por 6 no se altera

a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

c) 8

10. Si un comerciante vendiera a S/. 11 cada calculadora que tiene, ganaría S/. 60 en total, pero si decide venderlas a S/. 6 cada una, pierde S/. 20 en total. ¿Cuántas calculadoras tiene para vender? a) 24 d) 12

b) 8 e) 20

c) 16

6. Se tiene una multiplicación de 2 factores. Si se duplica uno de ellos y se triplica el otro, ¿en cuánto varía el producto inicial?

POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Podemos definir la potenciación como la multiplicación abreviada.

an = P Así:

Donde:

a: base n: exponente P: potencia

n

a =axaxax…xa 1 a =a 0 a =1 0 0 = No está definido Observación: En este capítulo veremos la potenciación sólo con exponente natural. LOS OLIVOS: Jr. Mercurio 7481 5330029





72


Ejemplos: 2

3.

(-5) = (-5) (-5) = +25

3

4.

(-5) = (-5) (-5) (-5) = -125

1.

(+5) = (+5) (+5) = +25

2.

(+5) = (+5) (+5) (+5) = +125

2

3

Signos de potenciación en Z Investiga con otros ejemplos adicionales los signos de la potenciación y completa el cuadro con esos datos. POTENCIA

EXPONENTE PAR

EXPONENTE IMPAR

Base positiva Base negativa En resumen:

par o impar

(+a) = +P par (-a) = +P impar (-a) = -P CASOS ESPECIALES a. Multiplicación de potencias de bases iguales 2

3

a x a = (a x a) x (a x a x a) = a 5

5

a x a = a x (a x a x a x a x a) = a

am x an = a(m+n) 6

b. División de potencias de bases iguales 5

a =

6

a=

a

a

c.

2

a5 a a a a a 3 = =a a a a2

am

an = a(m-n)

a6 a a a a a a 5 = =a a a

Potencia de potencia 4

a 2 = (a x a) x (a x a) x (a x a) x (a x a) = a8 a

3 2

= (a x a x a) x (a x a x a) = a

an

6

m

an

m

RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Ahora que conoces la operación de potenciación, recorre uno de los caminos inversos. Piensa qué número debes elevar a cada exponente para que dé el resultado que se indica y completa. 3

d) (.........) = +25

3

e) (.........) = +16

2

f) (.........) = +64

a) (.........) = +8 b) (.........) = +27 c) (.........) = +64

2

4

3

El cálculo que has hecho, recibe el nombre de RADICACIÓN. En el caso del primer ejercicio, la escribimos así:






73

Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista 3

2 porque 23 = 8

8

En símbolos: índice

n

a

b

porque

bn

a

radical radicando

raíz

Observación 1: El índice “n” debe ser un número natural mayor que UNO (n>1) PAR

Observación 2:

a

no está definida en Z.

negativo

25 ; no existe un número entero que elevado al cuadrado, dé como resultado –25.

Por ejemplo:

CASOS ESPECIALES 1. Raíz de una multiplicación indicada: n

n

a b

a

n

b

3. Raíz de una potencia: n

am

n

a

m

2. Raíz de una división indicada: n

a

n

b

a

n

b

PROBLEMAS 1. Completa el número que falta en el casillero correspondiente: 2

a. (-9) =

l.

2

(-11) =

2. Calcula:

b. (-1)

13456

c.

7

b. 3 =

8

c.

2

d. (+3) =

3

e. (-3) =

=

2

(-1) =

d. (-1) =

2

(-3) = 2

e. (-3) = f.

1

a. -3 =

0

(-2) = 2

g. (+7) =

f.

2

–3 =

3

g. –(-3) =

0

0

h. –(-3) =

h. (-4) =

3

i.

(-1) =

j.

(-7 + 7) =

k.

(+12) =

0

2


3. Resuelve: 4

a. –3 + (-3)


4




74


b. –3 + (-3) c.

2

0

5 2

0

0

d. 0 + (2 x 2 )

0

0 +2 x2

4. Completa los casilleros para que se verifiquen las siguientes igualdades: 2

3

4

5

a) (-3) (-3) (-3) (-3) = (-3)

b) (-19) c)

153

(-19)

118

( 13)10 ( 13) 8 ( 13)16 2

d) (-5) (-6)

(-5+5)

= (-19)

( 13)

=

5. Completa el número que falta (si existe) en el casillero correspondiente. a.

3

b.

27

g.

121

h.

3

64 49

c.

3

8

i.

3

1000

d.

5

32

j.

4

625

4

81

k.

5

e.

= -32

f.

3

64

l.

2

= +16

6. Calcula y completa el siguiente cuadro, en los casos posibles. Número

Cuadrado

7. Expresa simbólicamente los enunciados y luego escribe los resultados.

Cubo

a) ¿Qué números naturales elevados al cuadrado dan un resultado que no supera al número 26?

27

b) ¿Qué números enteros elevados al cuadrado dan un resultado que no supera al número 26?

-10 64

-2 -16 -64

c) Las raíces cúbicas de ciertos números enteros son mayores que 4. ¿Cuáles son esos números?

8. Ingéniatelas para completar los siguientes recuadros: a)

4

b)

27

4

c)

3


d)

3

=4

(1000) ( 64)




75



f) e)

3

= (-2)

x 36

(+5)

= 12

9. Resuelve: 2

a) 4 x [(5-2) (1-3)] – (-10-2)

5 –(-3 +1)

b) 10

2

c)

3

8 x (-4 +9) –(-8 +1)

3 2 d) – 16 x (-3) +(-9 +15) x (-2)

10. Indicar el resultado de:

14. Completar el siguiente casillero para que se verifique la siguiente igualdad:

2

[-9+6-3-2-9+1]

b) –256 e) +256

a) +128 d) +64

c) –128

( 5) 21 ( 5) 2 ( 5) ( 5) 29 ( 5) 2 a) 8 d) 7

=

b) 10 e) 6

(–5)

2

c) 11

11. Indicar el resultado de: 3

15. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

[+24-18-9+6] a) –9 d) +8

b) –27 e) –8

c) +27 I.

2 0 31

[[(-3) ] ] = -1 ......................... ( 4

II. –3 = +81 12. Indicar el resultado del opuesto del resultado 5 (-2) . b) –16 e) +16

a) +24 d) +32

( 9) 2 III. ( 3) 3

3

)

......................... (

)

......................... (

)

c) –32 a) VVF

b) VFF

d) FFV

e) VVV

c) FFF

13. Completar el valor que falta en el casillero correspondiente: 4

(-3) =

16. Indicar la suma de los valores de los recuadros en:

3

(-5) = 4

5

12

3 4

[(-2) (-3) (+15 ) ] = (+2)

(-3)

a) 76 d) 81

c) 77

(+15)

(-2) = Dar como resultados. a) –328 d) –128

respuesta

la

b) +228 e) –238

suma

de

los

c) +238

b) 82 e) 74

17. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 2

I. (-5) = + 25 3 II. (-3) = -27 3 III. (-7) = -243 LOS OLIVOS: Jr. Mercurio 7481 5330029




76



IV. (+2) = -8 a) VVFF d) FVFV

b) VVVF e) VVVV

c) VFVF

b) –1 e) No existe en Z

a) +2 d) +1

c) 0

18. Indicar el resultado de:

5 27 9 ( 3) 3

4

14

19. Indicar el resultado de restar A de B si: A=

5

B=

3

36 ( 2)

2

28 ( 51)

a) –3 d) –1

0

b) +1 e) –2

c) –5

4

II.

3

III.

2432

81

I.

3

1000

II.

4

81 No existe en Z

( 2) 4

III.

20. Indicar el valor que debe ir en los recuadros: I.

22. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

10

9

5

a) VVV b) VFV c) FVV d) FFV e) FFF 23. Completar el casillero con un número entero para que la igualdad sea correcta:

=

27

8

3 2

64 = a) 0 d) 3

1=

Dar como respuesta la suma de valores encontrados. a) +2 b) –2 c) –1 d) +1 e) 0

b) 1 e) no existe valor

c) 2

24. Operar: 2

(-5) + a) 20 d) 24

9

( 2) 9

b) 22 e) 25

( 3 3)

2

2 0

c) 23

21. Indicar el valor que debe ir en cada recuadro:

( 5) 2

I. II.

3

III.

4

( 12) 2 25. Completar los casilleros con números enteros para que la igualdad sea correcta:

27 ( 2) 2

225

( 7)( 11)

Dar como respuesta la suma de los dos mayores valores encontrados. a) +3 b) +13 c) –9 d) +16 e) –2


49

Dar como respuesta la suma de valores encontrados: a) 20 d) 23


b) 21 e) 24

c) 22




77


26. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I.

3 = 81, entonces el valor que va en el recuadro es 4.

II.

x 9 = 3, entonces el valor que va en el recuadro es 1.


27 no existe en Z, entonces el III. Si: valor que toma el recuadro es un número par. a) FFF d) FVV


b) FVF e) FFV

c) VVV


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