UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCION Facultad Politécnica Departamento de admisión
Aritmética
Material de Apoyo Teoría y Práctica
Curso probatorio de ingreso
Hernan Arrieta Pedro Villalba
Índice general página 1. Aritmética
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1.1. Estudio del sistema de numeración . . . . . . . . . . 1.1.1. Numeración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Generación de los números . . . . . . . . . . . 1.1.3. Cifras o guarismos . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4. Sistemas de numeración . . . . . . . . . . . . 1.1.5. Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. 1.2. Estu Estudi dioo del del sist sistem emaa deci decima mall de numer umerac aciión . . . . . . 1.2.1. Sistema decimal de numeración . . . . . . . . 1.2.2. Numeración decimal hablada . . . . . . . . . . 1.2.3. Notación del sistema decimal . . . . . . . . . 1.2.4. Numeración decimal escrita . . . . . . . . . . 1.3. Valores de una cifra en un número . . . . . . . . . . . 1.4. Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. 1.4.1. 1. Rela Relaci ción ón entr entree el prod produc ucto to y el multi ultipl plic ican ando do . 1.4.2. Leyes de la multiplicación . . . . . . . . . . . 1.5. Alteraciones de los factores . . . . . . . . . . . . . . .
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2. Números primos y compuestos
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2.1. Múltiplos y divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Número prim rimo absoluto o simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Números ros com compuestos tos o no prim rimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Car Caracter cterees de divis visibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. 2.1.4. 4. Nú Núme meros ros primo primoss en entre sí o núm númer eros os primo primoss relati relativo voss . . . . . . . . . 2.1.5. Números ros prim rimos entre tre sí dos a dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. 2.1.6. 6. Prin Princi cipi pios os fund fundam amen enta tale less de de los los númer úmeros os prim primos os . . . . . . . . . . . 2.1. 2.1.7. 7. Desc Descom ompo posi sici ción ón de un númer úmeroo en sus sus fact factor ores es . . . . . . . . . . . . 2.1. 2.1.8. 8. Divis Divisor ores es simp simple less y compu compues estos tos de un número úmero comp compue uesto sto . . . . . . 2.2. Máximo común divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. mcd p or inspección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. 2.2.2. Métodos Métodos para para calcu calcular lar el el mcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Mínimo común múltiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. mcm por inspección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. 2.3.2. Métodos Métodos para para hall hallar ar el mcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Propiedades Propiedades relacionadas relacionadas al mcd y mcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Índice general página 1. Aritmética
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1.1. Estudio del sistema de numeración . . . . . . . . . . 1.1.1. Numeración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Generación de los números . . . . . . . . . . . 1.1.3. Cifras o guarismos . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4. Sistemas de numeración . . . . . . . . . . . . 1.1.5. Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. 1.2. Estu Estudi dioo del del sist sistem emaa deci decima mall de numer umerac aciión . . . . . . 1.2.1. Sistema decimal de numeración . . . . . . . . 1.2.2. Numeración decimal hablada . . . . . . . . . . 1.2.3. Notación del sistema decimal . . . . . . . . . 1.2.4. Numeración decimal escrita . . . . . . . . . . 1.3. Valores de una cifra en un número . . . . . . . . . . . 1.4. Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. 1.4.1. 1. Rela Relaci ción ón entr entree el prod produc ucto to y el multi ultipl plic ican ando do . 1.4.2. Leyes de la multiplicación . . . . . . . . . . . 1.5. Alteraciones de los factores . . . . . . . . . . . . . . .
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2. Números primos y compuestos
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2.1. Múltiplos y divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Número prim rimo absoluto o simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Números ros com compuestos tos o no prim rimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Car Caracter cterees de divis visibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. 2.1.4. 4. Nú Núme meros ros primo primoss en entre sí o núm númer eros os primo primoss relati relativo voss . . . . . . . . . 2.1.5. Números ros prim rimos entre tre sí dos a dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. 2.1.6. 6. Prin Princi cipi pios os fund fundam amen enta tale less de de los los númer úmeros os prim primos os . . . . . . . . . . . 2.1. 2.1.7. 7. Desc Descom ompo posi sici ción ón de un númer úmeroo en sus sus fact factor ores es . . . . . . . . . . . . 2.1. 2.1.8. 8. Divis Divisor ores es simp simple less y compu compues estos tos de un número úmero comp compue uesto sto . . . . . . 2.2. Máximo común divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. mcd p or inspección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. 2.2.2. Métodos Métodos para para calcu calcular lar el el mcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Mínimo común múltiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. mcm por inspección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. 2.3.2. Métodos Métodos para para hall hallar ar el mcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Propiedades Propiedades relacionadas relacionadas al mcd y mcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. Fracción o quebrado común
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3.0.1. Clases de fracciones . . . . . . . . . . . . . . 3.0.2. Frac racció ción mixta xta o número ero mixto . . . . . . . 3.0. 3.0.3. 3. Prop Propie ieda dade dess de las las frac fracci cion ones es com comunes unes . . . 3.0. 3.0.4. 4. Redu Reducc cciión y sim simplic plicac ació iónn de frac fracci cion ones es . . . 3.0.5. Frac racció ción simple o irre rreducib cible . . . . . . . . . 3.0.6. Simplificación . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.0.7. Opera peracciones con fra fracci cciones . . . . . . . . . . 3.1. Conversión de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Con Convers ersión de frac raccio ciones a deci ecimal . . . . . 3.1. 3.1.2. 2. Con Conversi ersión ón de frac fracci cion ones es deci decima male less a com común
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4. Potenciación
4.1. 4.2. 4.3. 4.3. 4.4. 4.4.
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Signos de una pot potenciación . . . . . . . . . . . . . Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cuad Cuadra rado do de la suma suma (dif (difer eren enci cia) a) de dos dos númer úmeros os Cubo Cubo de la suma suma (dif (difer eren enci cia) a) de dos dos númer úmeros os . . .
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5. Radicación
5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5.
Signos de una raíz . . . . . . . . . Propiedades . . . . . . . . . . . . Radical simple . . . . . . . . . . . Radicales semejantes . . . . . . . Oper peraciones con radicales . . . . 5.5.1. Adición y sustracción . . . 5.5.2. Multip tiplicac cación de rad radicales 5.5.3. División de radicales . . . 5.6. Racionalización . . . . . . . . . .
28 28 28 29 30 30 30 31 31 31 37 37 40 40 42
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6. Logaritmación
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42 43 44 44 46 46 46 46 47 48
6.1. 6.1. Condi Condicio cione ness de de exis existen tencia cia de los los térm términ inos os de la logar logaritm itmac ació iónn . . . . . . . . 48 6.2. Sistema de logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2
Capítulo 1 Aritmética Es la ciencia que trata de la expresión, cálculo y propiedades de los números.
1.1. 1.1. 1.1. 1.1.1. 1.
Estu Estudi dio o del del sist sistem ema a de num numer erac ació ión n Nume Numerac ración ión
Es la parte de la aritmética que se ocupa de representar los números por medio de signos, cifras ó guarismos. La numeración puede ser hablada y escrita: (i) La numeración hablada es la que enseña a expresar los números. (ii) La numeración escrita es la que enseña a escribir los números.
1.1. 1.1.2. 2.
Gene Genera raci ción ón de de los los núm númer eros os
Los números se obtienen por agregación sucesiva de la unidad. Así, si a una unidad o número uno agregamos una unidad, resulta el número dos; si a éste agregamos otra unidad, resulta el número tres, y así sucesivamente. Esto nos indica que la serie natural de los números no tiene fin, por que por más grande que sea un número, siempre podremos formar otro número mayor agregandole una unidad.
1.1. 1.1.3. 3.
Cifr Cifras as o guari guarism smos os
Son los signos que se emplean para representar los números. Las cifras que empleamos, empleamos, llamadas cifras arábicas porque fueron introducidas introducidas por los árabes a España, son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
3
Los guarismos se clasifican en: (i) cifra no significativa (o auxiliar); 0 (ii) cifras cifras signific significativ ativas: as: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
1.1. 1.1.4. 4.
Sist Sistem emas as de de num numer erac ación ión
Es un conjunto de reglas que sirven para expresar y escribir los números. 1.1. 1.1.5. 5.
Base Base
La base de un sistema de numeración es el número de unidades de un orden que forman una unidad del orden inmediato superior. Así, en el sistema decimal la base es 10, porque 10 unidades de primer orden forman una decena; diez decenas forman una centena, etc. En el sistema duodecimal, que también se emplea mucho en la práctica, la base es 12, porque 12 unidades de primer orden forman una docena y 12 docenas forman una gruesa.
1.2. 1.2. 1.2.1. 1.2.1.
Estudi Estudio o del del sistem sistema a decim decimal al de de nume numerac ración ión Sistem Sistema a deci decimal mal de numer numeraci ación ón
Es el sistema de numeración que tiene como base 10. Es el que empleamos nosotros. 1.2.2. 1.2.2.
Numera Numeració ción n decimal decimal hablad hablada a
La base del sistema de numeración decimal es 10, lo que que significa que diez unidades de un orden cualquiera constituyen una unidad del orden inmediato superior y viceversa, una unidad de un orden cualquiera está formada por diez unidades del orden inmediato inferior. 1.2. 1.2.3. 3.
Nota Notaci ción ón del del siste sistema ma deci decima mall
Ordenes: son los múltiplos de la unidad.
4
Ordenes Unidades Clases Periodos 1◦ orden: unidad 1◦ clase 1 10 o clase de primer 2◦ orden: decena ◦ 3 orden: centena 100 las unidades ◦ 1.000 4 orden: unidad de millar 2◦ clase 10.000 o clase de periodo 5◦ orden: decena de millar ◦ 100.000 millares 6 orden: centena de millar ◦ 1.000.000 7 orden: unidad de millón 3◦ clase 10.000.000 o clase de segundo 8◦ orden: decena de millón ◦ 100.000.000 millones 9 orden: centena de millón 10◦ orden: unidad de millar de millón 4◦ clase 1.000.000.000 10.000.000.000 o clase de periodo 11◦ orden: decena de millar de millón ◦ 12 orden: centena de millar de millón 100.000.000.000 millares de millones
Subordenes: son los submúltiplos de la unidad.
Subordenes Unidades 1 1◦ suborden: Décima = 0, 1 10 1 ◦ 2 suborden: Centésima = 0, 01 100 1 ◦ 3 suborden: Milésima = 0, 001 1000 1 ◦ 4 suborden: Diezmilésima 10000 = 0, 0001 1 5◦ suborden: Cienmilésima 100000 = 0, 00001 1 ◦ 6 suborden: Millonésima = 0, 000001 1000000
1.2.4.
Numeración decimal escrita
Principio fundamental de la numeración decimal escrita
Toda cifra escrita a la izquierda de otra representa unidades 10 veces mayores que las que representa la anterior y viceversa, toda cifra escrita a la derecha de otra representa unidades 10 veces menores que las que representa la anterior.
1.3.
Valores de una cifra en un número
Valor absoluto: es el valor que tiene el número por su figura.
5
Valor relativo: es el valor que tiene el número por el lugar que ocupa (decena, centena,
etc.) Ejemplo En el número 17.823,285
(i) el valor relativo de la cifra 7 es 7.000 (ii) el valor absoluto de la cifra 7 es 7 (iii) las cifras de orden impar son: 3, 8 y 1 (iv) las cifras de orden par son: 2 y 7 (v) las cifras impares son: 5, 3, 7 y 1 (vi) las cifras pares son: 8, 2, 2 y 8.
Ejercicios
1) Hallar la suma de las cifras de orden impar del número 347.238,017 2) Hallar la suma de las cifras impares del número 27.501,107 3) ¿ Que forman 10 decenas? ¿Que forman 100 centenas de millar? 4) ¿Cuantos millares tiene 1 millón? ¿Cuantos decenas de millar tiene una decena de millar de millón? 5) ¿Cuantas centenas hay en 4 millares? 6) ¿Cuantas décimas hay en una unidad? ¿Cuantas décimas hay en una decena? 7) ¿Cuantas centésimas hay en una unidad? ¿Cuantas centésimas hay en una centena? 8) ¿Cuales son las decenas de decenas? ¿Cuales son las centenas de las decenas? 9) Cien decenas de centenas de millar forman: I- una decena de millar de millar de unidades II- 10.000 centenas de centenas III- una unidad de 9◦ orden. IV- 3 clases Es o son verdadera(s): A) una B) dos C) tres
D) todas
10) Escribir los siguientes números: 6
E) ninguna
a) doscientos quince diezmilésimas. b) cuarenta y cinco milésimas. c) dos mil cuatrocientos cincuenta milésimas. 11) Al multiplicar la suma de 15.900 milésimas y 910 centésimas por 2 décimas, se tiene que la afirmación verdadera es: A) 3 unidades de 3◦ orden y 2 centésimas de millar B) 1 decena de milésima y 4 centésimas C)
5 10
milésimas de decenas de millar
D) 3 centenas de centésimas y 2 unidades del 2◦ orden E) 5 milésimas de centena y 1 decena 12) Una millonésima de décima de millar es lo mismo que una: I- décima de milésima II- diezmilésima III- decena de centésima IV- centena de milésima De las afirmaciones anteriores se deduce que: A) una es falsa B) dos son falsas C) tres son falsas D) todas son falsas E) todas son verdaderas 13) Al dividir la suma de 14.900 diezmilésima con 15.000 millonésimas entre 215 milésimas, se tiene: I- 1 millar de milésima y 6 unidades II- 7 décimas de docenas III- 2 diezmilésimas de millonésimas y 5 decenas IV- 7 mil unidades de milésimas 7
V- 3 centenas de centésimas y 4 unidades De los resultados anteriores, es o son verdaderas: A) I y II B) I, IV y V C) II, III y V D) IV y V E) I, II y III 14) Si de la suma de las cifras de orden impar se resta la suma de las cifras pares del número 74.832, se obtiene: I- diez decenas y dos centenas de centésimas II- tres centenas de décimas y diez unidades III- tres unidades de 1◦ orden IV- cuatro unidades De las afirmaciones anteriores: A) una es falsa B) dos son falsas C) tres sos falsas D) todas son falsas E) todas son verdaderas 15) Si a la derecha del número 2 añadimos tres ceros; A) el número aumenta tres veces su valor B) el número aumenta en 1.000 unidades C) el número aumenta 1.000 veces su valor D) el número aumenta en 1.998 unidades E) el número aumenta 999 veces su valor
8
1.4.
Multiplicación
Es una operación de composición que tiene por objeto, dado números llamados multiplicando y multiplicador, hallar un número llamado producto que sea respecto del multiplicando lo que el multiplicador es respecto de la unidad. multiplicador
4+4+4+4+4 =
5
multiplicando
·
4
= 20
→ producto
Si los factores son números naturales, la multiplicación es una suma abreviada. El objeto de la multiplicación es repetir como sumando un número tantas veces como indica otro número.
1.4.1.
Relación entre el producto y el multiplicando
1. Si el multiplicador es cero, el producto es cero: 5 n
× 0 = 0,
× 0 = 0 cualquiera sea el número n.
2. Si el multiplicador es 1, el producto es igual al multiplicando. El número 1 es el módulo de la multiplicación (o elemento neutro de la multiplicación): 7 n
× 1 = 7,
× 1 = n cualquiera sea el número n.
3. Si el multiplicador es mayor que 1, el producto es siempre mayor que el multiplicador:
× 5 = 40 y 40 > 8, a × b = p, si b > 1 ⇒ p > a . 8
4. Si el multiplicador es menor que 1 (y mayor que 0), el producto es menor que el multiplicando:
× 0, 5 = 4 y 4 < 8, a × b = p, si b < 1 ⇒ p < a . 8
9
1.4.2.
Leyes de la multiplicación
1. Ley de uniformidad: a- El rpoducto de dos o más números tiene un valor único, o siempre es igual. b- Los productos de números respectivamente iguales son iguales. c- Multiplicando miembro a miembro varias igualdades resulta otra igualdad. a=b c=d a+c=b=d
2. Ley conmutativa: El orden de los factores no altera el producto.
×b=b×a
a
3. Ley asociativa: El producto de varios números no varía sustituyendo dos o más factores por su producto. 2
3 4 = 24
× × × 6
4 = 24
En general, a × (b × c) = (a × b) × c 4. Ley disociativa: El producto de varios números no varía descomponiendo uno o más factores en dos o más factores. 4
2=8
× × × ×
2
2
2
=8
5. Ley de monotonia: a- Multiplicando miembro a miembro desigualdades del mismo sentido e igualdades, resulta una desigualdad del mismo sentido que las dadas:
a
×
8>3 4=4 32 > 12
5=5 3<6 15 < 30
a>b c=d c> b
a
× ×d 10
a
×
× ×d
b- Multiplicando miembro a miembro varias desigualdades del mismo sentido, resulta una desigualdad del mismo sentido que las dadas:
a
×
5>3 4>2 20 > 6
3<6 4<5 12 < 30
a>b c>d c> b
a
× ×d
a
×
× ×d
Observación: Si se multiplican miembro a miembro desigualdades de sentido con-
trario, el resultado no puede anticiparse, pues:
4>2 2<4 8=8
3>1 7<2 21 > 2
4<5 7<6 28 < 30
6. Ley distributiva:
± c) = ab ± ac (a ± b)c = ac ± bc
a(b
1.5.
Alteraciones de los factores
1- Si el multiplicando se multiplica o divide por un número cualquiera, el producto queda multiplicado o dividido por el mismo número. a- Si el multiplicando se multiplica por un número: 6 4 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24 (6 2) 4 = 6 2 + 6 2 + 6 2 + 6 2 = (6 + 6) + (6 + 6) + (6 + 6) + (6 + 6) = 2 (6 + 6 + 6 + 6) = 2
× × ×
×
×
×
11
×
×
× 24
b- Si el multiplicando se multiplica por un número:Si el multiplicando se divide por un número: 6 4 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24 (6 2) 4 = 6 2 + 6 2 + 6 2 + 6 1 6 + 12 6 + 12 6 + 12 6 = 2 4 ( 12 6) = 12 (4 6) = 12 24
× ÷ × ÷ ÷ ÷ × × × × × × × × ×
÷2=
6 2
+ 62 + 62 +
6 2
=
2- Si el multiplicador se multiplica o divide por un número, el producto queda multiplicado por dicho número: a- 6 × 4 = 24; 6 × (4 × 2) = (4 × 2) × 6 = 2 × 24 por 1.a b- 6 × 4 = 24; 6 × (4 ÷ 2) = (4 ÷ 2) × 6 = 12 × 24 por 1.b 3- Si el multiplicando .....
Ejercicios
1. Efectuar y marcar la respuesta correcta. a) 5 × 6 ÷ 2 × 4 ÷ 2 × 7 A) 24
B) 6
C ) 14
D)210
b) 10 ÷ 2 + 8 ÷ 4 − 21 ÷ 7 A)
−
11 4
B) 3
C ) 4
D) 0
c) 50 − 4 × 6 + 3 × 5 − 9 ÷ 3 A)462
B) 38
C ) 300
d) 50 ÷ 5 − 16 ÷ 2 + 12 ÷ 6 A) 4
B) 32
C ) 9
D) 6
12
e) 9[15 ÷ (6 − 1) − (9 − 3) ÷ 3] A) 0
B) 11
C ) 672
D) 9
f) 8 + [9 − {6 − (5 − 4)}] + 14 − {11 − [7 − (3 − 2)]} A)
−7
B) 10
C ) 21
g) 500 − {(6 − 1)8 ÷ 4 × 3 + 16 ÷ (10 − 2)} − 5 A)463
B)482, 6
C ) 154
h) (30 − 20) ÷ 2 + (6 × 5) ÷ 3 + (40 − 25) ÷ (9 − 6) A) 30
B) 551 9
C ) 20
i) 300 ÷ [(15 − 6) ÷ 3 + (18 − 3) ÷ 5] A) 50
B) 60
C ) 80
j) [(9 − 4) ÷ 5 + (10 − 2) ÷ 4] + 9 × 6 ÷ 18 + 2 A) 8
B) 10
C ) 27
2. La suma de los 4 términos de una división entera es 544. Hallar el dividendo si el cociente es 12 y el resto la mitad del divisor. A)564
B)470
C ) 462
D)480
E ) 475
3. El cociente por exceso de una división entera es 20 y el resto por defecto es 26. Si se suma el dividendo, el divisor, el cociente por defecto y el resto por defecto, la suma obtenida es 1.011. En esas condiciones el dividendo es igual a: A)825
B)872
C ) 919
D)966
E ) 1,013
4. El residuo por defecto excede en 3 unidades a un número par primo y el divisor es uno de los factores primos no par de 14. Si la suma de los cocientes por defecto y por exceso es igual al divisor. Entonces el dividendo es igual a:
13
A) 42
B) 26
C ) 36
D) 47
E ) 60
5. En una división entera se cumple que el residuo por exceso es igual al cociente por defecto y el residuo por defecto es igual al cociente por exceso. Si además el divisor es 215, al hallar la suma de las cifras en valor absoluto del dividendo, se obtiene: A) 18
B) 10
C ) 30
D) 20
E ) 15
6. Si se realiza una división inexacta por defecto, la suma de los 4 términos es 847. Pero si dicha operación se hubiese realizado por exceso la suma de los 4 términos hubiera sido 901. Sabiendo que los cocientes suman 19, hallar el dividendo. A)756
B)806
C ) 587
D)743
E ) 692
7. El dividendo y el resto por defecto de una división inexacta son 268 y 15 respectivamente. Al determinar el valor del cociente por defecto se obtiene como resultado: A) 11
B) 23
C ) 22
D) 33
E ) 12
8. El cociente por exceso y el residuo por exceso son iguales al menor múltiplo de 5 en cifra significativa, siendo el residuo por defecto igual al residuo por exceso aumentado en la unidad. Entonces podemos afirmar que el exceso del dividendo sobre el cociente por defecto es igual a: A) 46
B) 48
C ) 49
D) 50
E ) 52
9. Al dividir 8.975 entre cierto divisor, el residuo de la división es 659. Si dividiésemos el mismo número entre un divisor 63 unidades menor, el residuo se conservaría y el cociente aumentaría en una unidad. Al hallar la suma del divisor y cociente de la división original se obtiene: A)776
B)695
C ) 763
D)767
E ) 677
10. El residuo por defecto excede en 4 unidades al divisor de todos los números naturales, el divisor es igual a 7 décimas de decenas, teniendo en cuenta que la suma de los cocientes por defecto y por exceso es igual al divisor, en esas condiciones, el dividendo es igual a: A) 36
B) 20
C ) 24
D) 26
14
E ) 30
Capítulo 2 Números primos y compuestos 2.1.
Múltiplos y divisores
∗ Múltiplo de un número es el número que contiene a éste un número exacto de veces. ∗ Divisor (o factor) de un número es un número que está contenido en el primero un número exacto de veces.
∗ Un número es par si es divisible por 2. ∗ Un número es impar si no es divisible por 2. ∗ Dos o más números son consecutivos si cada uno se diferencia del anterior en una cantidad. Por ejemplo; 5 y 6, 21 y 22, 56 y 57, etc.
2.1.1.
Número primo absoluto o simple
Es el número entero mayor que 1 que sólo es divisible por si mismo y por la unidad. Por ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, etc. Observaciones
∗ Todo número es múltiplo de si mismo. ∗ El cero es múltiplo de todos los números. ∗ El menor múltiplo de un número, consideramos como el mismo número. 2.1.2.
Números compuestos o no primo
Es el número que además de ser divisible por si mismo y por la unidad lo es también por otro factor. Por ejemplo, 14 es compuesto, pues los divisores de 14 son 1, 2, 7 y 14.
15
2.1.3.
Caracteres de divisibilidad
1. Divisibilidad por las potencias de 10:
∗ Un número es divisible por 10 cuando termina en cero. ∗ Un número es divisible por 10 cuando termina en dos cero. ∗ Un número es divisible por 10 cuando termina en tres cero. 2 3
Y así sucesivamente. 2. Un número es divisible por 2 cuando termina en cero o cifra par. 3. Un número es divisible por 5 cuando termina en cero o en cinco. 4. Un número es divisible por 7 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicandola por 2, restando este producto de lo que queda a la izquierda, y así sucesivamente, dá cero o múltiplo de 7. Observación: Si el producto de la primera cifra de la derecha por 2 no se puede restar de lo que queda a la izquierda, se invierten los términos de la resta. Veirficar si 2.058; 2.409 y 591 son múltiplos de 7. 5. Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras de orden impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de orden par es cero o múltiplo de 11. Verificar si los números 4323 y 13947 son múltiplos de 11. 6. Un número es divisible por 13 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicandola por 9, restando este producto de lo que queda a la izquierda, y así sucesivamente, dá cero o múltiplo de 13. Verificar si los números 1.456; 195 y 2.139 son múltiplos de 13. 7. Un número es divisible por 17 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicandola por 5, restando este producto de lo que queda a la izquierda, y así sucesivamente, dá cero o múltiplo de 17. Verificar si los números 2.142 y 3.524. 8. Un número es divisible por 19 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicandola por 17, restando este producto de lo que queda a la izquierda, y así sucesivamente, dá cero o múltiplo de 19. Verificar si los números 171 y 1.501 son múltiplos de 19. Ejercicios
1. ¿Cual es la menor cifra que debe añadirse al número 124 para que resulte un número de 4 cifras múltiplo de 3 A) 7
B) 1
C ) 9
D) 2
16
E ) 3
2. Para tener el mayor múltiplo de 11 contenido en 2.738, ¿en cuanto se debe disminuir este número? B) 10
A)248
C ) 15
D) 4
E ) 11
3. ¿Que cifra debe añadirse a la derecha de 3.254 para que resulte un múltiplo de 11 de cinco cifras? A) 6
B) 1
C ) 9
D) 2
E ) 0
4. ¿Cuál es la diferencia entre 871 y el mayor múltiplo de 3 contenido en él? A) 7
B) 6
C ) 9
D) 1
E ) 8
Observación:
∗ El uno no es un número primo ni compuesto. ∗ Los números simples son los números primos junto con el uno. 2.1.4.
Números primos entre sí o números primos relativos
Son dos o más números que no tienen más divisor común quer 1. El mayor divisor común o máximo común divisor de varios números primos entre si es 1. Por ejemplo; 8 y 15 son primos relativos, pues los divisores de 8 son 1, 2, 4 y 8, y los del 15 son 1, 3, 5 y 15, y el único divisor común entre ellos es 1. 2.1.5.
Números primos entre sí dos a dos
Son tres o más números tales que cada uno de ellos es primo relativo con cada uno de los demás. Por ejemplo; 8, 9 y 17 son primos dos a dos. Los números 10, 15, 16 y 21 son primos relativos, porque el único número que divide a todos es 1, pero no son primos dos a dos, porque 15 y 21 tienen como factor común al 3, así como 10 y 15 tienen a 5. Observación: Si varios números son primos dos a dos, necesariamente son primos
relativos, pero siendo primos relativos, no necesariamente son primos dos a dos. 2.1.6.
Principios fundamentales de los números primos
1. Todo número compuesto tiene por lo menos un factor primo mayor que 1. 2. La serie de los números primos es ilimitado. 3. Si un número primo no divide a otro número, necesariamente es primo con él. 4. Todo número que divide a un producto de dos factores y es primo con uno de ellos, necesariamente divide al otro factor. 5. Todo número que divide a un producto de varios factores, divide por lo menos a uno de ellos.
17
6. Todo número primo que divide a una potencia de un número tiene que dividir a este número. 7. Si dos números son primos relativos, todas sus potencias también lo son. 8. Si un número es divisible por dos o más factores primos entre sí dos a dos, es también divisible por su producto. 2.1.7.
Descomposición de un número en sus factores
Descomponer un número en sus factores primos es convertirlo en un producto indicado de factores primos. La regla para descomponer un número compuesto en sus factores primos (o descomposición canónica) es: Se divide el número dado por el menor de sus divisores primos; el cociente se divide también por el menor de sus divisores primos y así sucesivamente con los demás cocientes, hasta llegar a un cociente primo, quen se dividirá por si mismo. Ejemplos
1. Descomponer 204 en sus factores primos. 204 102 51 17 (1)
2 2 3 17
Por lo que 204 = 22 · 3 · 17
2. Descomponer 25.230 en sus factores primos. 25.230 12.615 4205 841 29 (1) 2.1.8.
2 3 5 29 29
Por lo que 25,230 = 2 · 3 · 5 · 292
Divisores simples y compuestos de un número compuesto
Para conocer cuantos divisores simples y compuestos ha de tener un número, se descompone en sus factores primos. Hecho esto, se escriben los exponentes de los factores primos; se suma a cada exponente la unidad y los números que resultan se multiplican entre sí. El producto indica el número total de divisores. Ejemplo
¿Cuantos divisores simples y compuestos tiene el número 900, y cuales son? 18
900 450 225 75 25 5 (1)
2 2 3 3 5 5
Luego 900 = 22 · 32 · 52 Por lo tanto, la cantidad de divisores de 900, representado por D(900) es: D(900) = (2 + 1)(2 + 1)(2 + 1) = 27
De los cuales, 4 son simples y 23 son compuestos.
Ahora veamos cuales son: 1 2 4 3 6 12 9 18 36 5 10 20 15 30 60 45 90 180 25 50 100 75 150 300 225 450 900 Ejercicios
1. Determinar el valor de n, si N = 15 × 18n tiene 144 divisores: ================================================ A) 1.000
B) 1.000
C) 1.000
D) 1.000
E) 1.000
=================================================== A) 3
B) 4
C ) 5
D) 6
E ) 7
2. Si N = 15 × 30n tiene 294 divisores ¿Cuál es el valor de n? A) 3
B) 4
C ) 5
D) 7
E ) 8
3. Si N = 24 × 5n tiene 6 divisores menos que 720, entonces el valor de n es igual a: I- Un número primo. II- Múltiplo de la unidad. III- Un número impar. IV- Divisor de N . De las afirmaciones anteriores es o son falsas: A) U na
B) Dos
C) T res
D) T odas
E ) Ninguna
4. Un número N tiene 9n+6 factores, posee igual cantidad de factores que otro número M = 2n × 1,005, el valor de M es: A) 2
B)4020
C ) 24
D) 18
19
E ) 540
5. Si m y n son dos números cuya diferencia es 3. Hallar m + n si N = 3m + 3n tiene 36 divisores. A) 9
B) 11
C ) 13
D) 15
E ) 16
6. ¿Cuantos ceros se debe añadir a la derecha del número 9 para que tenga 239 divisores compuestos? A) 4
B) 5
C ) 6
D) 8
E ) 9
7. Sabiendo que A = 12 × 30n tiene doble cantidad de divisores que B = 12n × 30; hallar el valor de n. A) 3
B) 4
C ) 5
D) 6
E ) 7
8. Si el número N = 13k+1 − 13k tiene 75 divisores compuestos, hallar el valor de k. A) 3
B) 4
C ) 5
D) 6
E ) 7
9. ¿Cuántas veces habrá que multiplicar por 8 el número 300 para que el producto resultante tenga 126 divisores. A) 3
B) 5
C ) 6
D) 9
E ) 10
10. Si N = 2 × 11n+1 + 11n, posee n + 7 factores compuestos, entonces el valor de n es: A) 1
B) 3
C ) 5
D) 7
E ) 4
11. Si M = 11n + 3 × 11n+1 tiene 11 divisores más que el divisor de todos los números, entonces la suma de las cifras de M es: A) 12
B) 10
C ) 6
D)100
20
E ) 20
2.2.
Máximo común divisor
El máximo común divisor de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente. Se designa por las iniciales mcd (o M CD). 2.2.1.
mcd por inspección
Describimos todos los divisores de los números en cuestión, y vemos por simple inspección cual es el mayor divisor común entre ellos. Por ejemplo, calcular el mcd de 18 y 24 por inspección: 18 : 24 :
1, 1,
2, 2,
3, 3,
6, 4,
9, 6,
18 8,
12,
24
Por lo tanto mcd(18, 24) = 6 Observaciones
∗ El mcd de dos o más números es siempre menor o igual al menor de los números. ∗ El mcd de dos o más números es siempre múltiplo de los divisores comunes de los números.
∗ Si el mcd de dos o más números es 1, entonces los números son primos relativos. ∗ Si dos o más números son primos relativos, entonces el mcd entre ellos es 1. 2.2.2.
Métodos para calcular el mcd
1. Por descomposición en sus factores primos: El mcd por descomposición en sus factores primos es el producto de sus factores comunes con su menor exponente. Ejemplo Hallar el mcd de 180, 528 y 1260.
180 90 45 15 5 (1)
2 2 3 3 5
528 264 132 66 33 11 (1) 21
2 2 2 2 3 11
1260 630 315 105 35 7 (1)
2 2 3 3 5 7
180 = 22
2
×3 ×5 528 = 2 × 3 × 11 1260 = 2 × 3 × 5 × 11 4
2
2
Luego, mcd(180, 528, 1260) = 22 × 3 = 12 2. Método abreviado Veámoslo con el ejemplo anterior. 180 528 1260 2 90 264 630 2 45 132 315 3 15 44 105 Donde 15, 44 y 105 son primos relativos. Por lo que mcd(180, 528, 1260) = 2 × 2 × 3 = 12
2.3.
Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor número que es divisible por cada uno de ellos. Se designa por las iniciales mcm (o M CM ). 2.3.1.
mcm por inspección
Describimos los primeros múltiplos de los números en cuestión, y vemos por simple inspección cual es el menor múltiplo común entre ellos. Por ejemplo, veamos cual es el mcm de 6 y 9 por inspección: 6: 9:
6, 9,
12, 18,
18, 27,
24, 36,
30, 45,
36, 54
··· ···
Por lo tanto, mcm(6, 9) = 18 Observaciones
∗ El mcm de dos o más números siempre divide o es divisor de los múltiplos comunes. ∗ El mcm de dos o más números es siempre mayor o igual al mayor de los números. ∗ Si el mcm es el producto de los números, entonces los números son primos relativos. ∗ Si dos o más números son primos relativos, el mcm es el producto de ellos. 22
2.3.2.
Métodos para hallar el mcm
1. Por descomposición en sus factores primos: El mcm por descomposición en sus factores primos es el producto de sus factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente. Ejemplo Hallar el mcm de 32, 180 y 420:
32 16 8 4 2 (1)
2 2 2 2 2
180 90 45 15 5 (1)
2 2 3 3 5
420 210 105 35 7 (1)
2 2 3 5 7
32 = 25 180 = 22 420 = 22
2
×3 ×5 ×3×5×7
Luego, mcm(32, 180, 420) = 25 × 32 × 5 × 7 = 10080 2. Método abreviado Veámoslo con el ejemplo anterior.
32 180 420 2 16 90 210 2 8 45 105 2 4 - 2 2 - 2 (1) - 3 35 15 3 5 5 7 (1) 7 (1) Por lo tanto, mcm(32, 180, 420) = 25 × 32 × 5 × 7 = 10080
23
2.4.
Propiedades relacionadas al mcd y mcm
1. Los cocientes de dividir a varios números por el mcd de ellos son primos relativos; esto es:
A mcd(A,B,C )
= k1
B mcd(A,B,C )
= k2
C mcd(A,B,C )
= k3
⇒
k1 , k2 y k3 son primos relativos
2. Los cocientes de dividir el mcm de varios números entre uno de ellos son números primos entre sí:
mcm(A,B,C ) A
= c1
mcm(A,B,C ) B
= c2
mcm(A,B,C ) C
= c3
⇒
c1 , c2 y c3 son primos relativos
3. Para dos números cualesquiera se cumple que: (i)
A mcd(A,B )
×
B mcd(A,B )
=
mcm(A,B ) mcm(A,B )
(ii) A × B = mcd(A, B) × mcm(A, B) (iii) Si A y B son primos entre sí, entonces mcd(A, B) = 1 y mcm(A, B) = A × B . (iv) Si A es divisible por B , entonces mcd(A, B) = B y mcm(A, B) = A. En resumen:
A = mcd(A, B) k1 donde k1 y k2 son primos relativos. B = mcd(A, B) k2 mcm(A, B) = mcd(A, B) k1 k2
· ·
· ·
Ejercicios
24
1. Una persona tiene tres paquetes de billetes de banco, en uno tiene 850 $, en otro 1600 $ y en el tercero 1900 $. Si todos los billetes son iguales y del mayor valor posible. ¿Cuál es el valor de cada billetey cuántos billetes hay en cada paquete? A) 50$
y
17;32;38
B) 516800 y 16;33;52
C ) nda
2. Cuál es la menor capacidad que debe tener un estanque que se puede llenar en un número exacto de minutos por cualquiera de tres grifos que vierten 36 l por minutos, 108 l en 2 minutos y 180 l en 3 minutos. A)380 l
B)500 l
C ) 520 l
D) 116640 l
E ) 10080 l
3. Se tienen tres extensiones de terrenos de 425 m2 , 800m2 y 950m2 de superficie, respectivamente y se quieren dividir en parcelas iguales, ¿cuál ha de ser la superficie de cada parcela para que el número de parcelas de cada una sea la menor posible? A) 50m2
B) 17m2
C ) 25m2
D) 90m2
E ) 10m2
4. Al dividir 1866 y 1479 por cierto número, se tiene por restos 33 y 22, respectivamente. ¿Cuál es el número con esta condición? A) 39
B) 47
C ) 31
D) 9
E ) 10
5. Determinar el menor número que al dividir por 12, 15 y 18 dé 5 de resto. A)180
B) 30
C ) 65
D)910
E ) 185
6. Una embotelladora de refrescos necesita despachar los contenidos de tres barriles de 448 l, 128 l y 160 l en la menor cantidad de envases posibles de la misma capacidad. ¿Que contenido debe tener cada envase y cuántos se necesitan en total? A) 2 l ; 368 env
B) 32 l ; 23 env
C ) 16 l ; 46 env
D) nda
7. Un cerrajero cuenta los tornillos mque ha fabricado por decenas, por docenas y de 15 en 15, le resulta 7 tornillos sobrantes. Sabiendo que a razón de 100 Gs por tornillo ha ganado más de 50000 Gs y menos de 60000 Gs. Averiguar el número tornillos que fabricados. A)536
B) 547
C ) 53600
D) 54700
E ) 10
8. Un vendedor de frutas desea transportar 160 naranjas, 280 mandarinas y 560 pomelos, para lo cual debe colocar las frutas en el menor números de canastas y de igual número de frutas en cada una, sin que se mezclen las frutas. La cantidad de canastas necesarias para transportar las frutas es: A)1120
B) 40
C ) 1000
25
D) 25
E ) 14
9. Una fabrica confecciona telas para tres paises diferentes, en el primero, se compra cortes de 280cm; en el segundo los cortes son de 300 cm, y en el tercero de 250 cm. El largo mínimo que deberá tener la pieza hecha por la fabrica para que en cualquiera de los paises provea siempre un número exacto de cortes es: A) 10 cm
C ) 2100 cm
B) 21000 cm
D)210 cm
E ) 21 cm
10. Un carnicero tiene tres cortes de carne que pesan 10 kg , 15 kg y 25 kg . Para envasarlos para su venta, debe dividirlos en partes iguales y del mayor tamaño posible. Para no desperdiciar carne debe dividirlos en: A) 5 pedazos B) 10 pedazos C ) 50 pedazos D) 15 pedazos E ) 35 pedazos 11. Un número es 13 veces el valor de otro. Además el mcm de estos número es 559. Hallar el mcd de dichos números. A) 43
B) 55
C ) 52
D) 53
12. Si el mcm(A, B) = 2A y el mcd(A, B) = A − B = 145. A)335
C ) 515
B)165
A
3
E ) 45
. Hallar el valor de A sabiendo que D) 435
E ) 505
13. Calcular el valor de n si mcm(A, B) = 19440 × mcd(A, B). Donde A = 18 × 30n y B = 45 × 20n . A) 2
B) 3
C ) 4
D) 5
E ) 6
14. Calcular A × B sabiendo que mcd(35A, 5B) = 70 y mcm(42A, 6B) = 504. A)126
B)135
C ) 140
26
D) 168
E ) 191
-
Capítulo 3 Fracción o quebrado común Un número fraccionario o quebrado representa a una o varias partes iguales de la unidad primcipal.
3 3
2 3
1 3
=
+ 3 3
5 3
2 3
Los términos de una fracción son: Numerador: partes que se toma de la unidad principal Denominador: en cuantas partes iguales se divide la unidad principal. Una fracción representa al cociente exacto de dos enteros, no representa la división, sino el resultado.
27
3.0.1.
Clases de fracciones
1. Fracciones comunes: son las fracciones cuyos denominadores son distintos de la unidad seguida de cero. Por ejemplo: 75 , 138 , 23 , etc. 2. Fracciones decimales: son las fracciones cuyos denominadores es la unidad seguida 5 de ceros. Por ejemplo: 103 = 0, 3, 100 = 0, 05, etc. Tanto las fracciones comunes y decimales se vuelven a clasificar en: (i) Fracción propia: es aquella fracción (menor que la unidad) cuyo numerador es menor que el denominador. Por ejemplo: 13 , 34 , 57 , etc. (ii) Fracción impropia: es aquella fracción (mayor que la unidad) cuyo numerador es mayor que el denominador. Por ejemplo: 32 , 53 , 74 , etc. (iii) Fracción igual a la unidad: es aquella fracción(igual a la unidad) cuyo numerador es igual al denominador. Por ejemplo: 66 , 77 , 22 , etc.
3.0.2.
Fracción mixta o número mixto
Es una fracción que está representado por una parte entera y una fracción propia. Por ejemplo: 1 1 3 5 = 5+ = 3 3
× 5 + 1 = 16 3
3
El origen de una fracción mixta es una fracción impropia.
3.0.3.
Propiedades de las fracciones comunes
1. De varias fracciones de igual denominador es mayor el que tenga mayor numerador. Por ejemplo: 7 5 y = 4 4
⇒
7 5 > 4 4
2. De varias fracciones que tenga igual numerador, es mayor el que tenga menor denominador. Por ejemplo: 3 3 y = 2 4
⇒
28
3 3 > 2 4
3. Si a los términos de una fracción propia se le suman un mismo número, la fracción resultante es mayor que el primero. Por ejemplo: 3 = 4
⇒
3+2 5 = 4+2 6
donde
5 3 > 6 4
4. Si a los términos de una fracción propia se le restan un mismo número, la fracción resultante es menor que el primero. Por ejemplo: 5 = 7
⇒ 57 −− 22 = 35
donde
3 5 < 5 7
5. Si a los términos de una fracción impropia se le suman un mismo número, la fracción resultante es menor que el primero. Por ejemplo: 7 = 5
⇒
7+2 9 = 5+2 7
donde
9 7 < 7 5
6. Si a los términos de una fracción impropia se le restan un mismo número, la fracción resultante es mayor que el primero. Por ejemplo: 7 = 5
⇒ 75 −− 22 = 53
donde
5 7 > 3 5
7. Si el numerador de una fracción se multiplica por un número, sin variar el denominador, la fracción queda multiplicada por dicho número, y si se divide, la fracción queda dividido por dicho número. 8. Si el denominador de una fracción se multiplica o divide por un número, la fracción queda dividido en el primer caso y multiplicado en el segundo caso por el mismo número. 9. Si los términos de una fracción se multiplican o dividen por un mismo número, la fracción no varia.
3.0.4.
Reducción y simplicación de fracciones
= 1. 4 13 = 4×3+1 3
2.
13 5
=
3.
8 1
=8
4.
7 1
5 = 71× ×5 =
13 3
35 5
29
3.0.5.
Fracción simple o irreducible
Una fracción está en su forma simple o irreducible cuando sus términos son primos entre si. Por ejemplo:
8 25
,
5 13
, 23 .
Todas las potencias de una fracción irreduble son irreducibles. Por ejemplo:
3.0.6.
2 3
es irreducible ⇒
22 32
=
4 9
es irreducible.
Simplificación
Simplificar una fracción es reducirlo a su forma simple: se divide ambos términos de la fracción por un factor común de los términos. Simplificar una fracción es cancelar un factor común del denominador. Por ejemplo: reducir
104 36
a su forma simple.
104 23 13 2 13 26 = 2 2 = = , que es irreducible 36 2 3 32 9
· ·
3.0.7.
·
Operaciones con fracciones
± cb = a±b c ak ±ck ± 2) ab ± dc = adbdbc = mcm(b,d) , donde b = mcd(b, d)k y d = mcd(b, d)k con k y 1) ab
2
1
1
2
1
k2 primos relativos.
3) ab
× dc = ab××dc × 4) ab ÷ dc = ab × dc = ab×dc o bién ab ÷ dc =
30
a b c d
d = ab× ×c (la fracción compleja)
Ejercicios
Efectuar las siguientes operaciones y simplificar: 1 2
1) (3
1 5
1 3
1 3
− ) ÷ [( + ) × (7 − )] 2) [3(1 + )] ÷ [( − ) + ] 3) 7-
1
1
1
1
1
2
7
8
3
5
1 5
5+ 87
1 2 4) 8 4
− 35 × 106 + 27 ÷ 57 2
5)
(5
3.1.
1 3
3 2
− + 8 3
÷ 18 ) × ( 15 ÷ 101 ) Conversión de fracciones
3.1.1.
Conversión de fracciones a decimal
1.
3 4
= fracción decimal exacta
2.
7 9
fracción decimal peíodica pura
3.
1 6
fracción decimal períodica mixta
4. fracción decimal no períodica
√
(i) 2 = 1,41 ··· √ (ii) 4 = 1,5874 · ·· (iii) π = 3,1415 · ·· 3
3.1.2.
Conversión de fracciones decimales a común
Generatriz: La generatriz de una fracción decimal es la fracción común equivalente a la
fracción decimal. 1. Generatriz de una fracción decimal exacta: Se escribe el decimal como entero en el numerador y de denominador se escribe la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya. a) 0,75 =
075 3 = 100 4
31
0135 27 = 1000 200 225 9 = c) 2,25 = 100 4 000012 3 d) 0,00012 = = 100000 25000
b) 0,135 =
2. Generatriz de una fracción decimal períodica: Se escribe el primer período como entero en el numerador y como denominador se escriben tantos nueves como tantas cifras tenga el período. a) 0,333 ··· =
3 1 = 9 3 25 = 99
b) 0,252525 ···
375 125 = 999 333 2 29 =3 = 9 9
c) 0,375375375 ··· = d) 3,222 ···
3. Generatriz de una fracción decimal períodica mixta: Se escribe como numerador la parte no períodica seguida del primer período, menos la parte no períodica, y como denominador, tantos nueves como cifras tenga el período, seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte no períodica. 325 32 293 = 900 900 22572 225 2483 b) 0,225727272 = = 99000 11000 3012 301 2711 c) 0,301222 = = 9000 9000 25487 254 25233 322233 d) 3,254878787 = 3 =3 = 99000 99000 99000
−
a) 0,32555 · ·· =
−
···
−
···
···
−
Ejercicios
1. Hallar el valor de la siguiente expresión: [(0,121912191219 A) 0
B)
7 26
··· + 0,666 ·· · ) × 1 − 0,7] ÷ [0,555 · · · − (1 −
−
17778
C )
6565
−
2. Al efectuar las operaciones indicadas 4 A) 1 50
B) 59
9 5
0,121212 (0,555
E ) nda
· · · × 0,0033 · · · − ) × 0,001
C ) 19
[0,02 ( 0,3)] 3. Al efectuar 2,999 0,0033
D) 95
1 )] 3
1 3
D) 5
E ) nda
4 5
÷ − ÷ [0,5 × (− )] , se obtiene una fracción: ···× × × (0,333 · · · − 2) 1 3
2
32
I- Decimal períodica, cuyo período es 9 decenas. II- Decimal períodica, cuya parte entera es una decena. III- Común, cuya diferencia de términos es una centena. IV- Mixta, donde la parte entera correspondiente a la fraccíon común es
2 11
De las afirmaciones anteriores se deducen que es o son falsas: A) I, II y III
B) sólo el III
C ) I y II
+ 4. Si M = (− 103 + 15 × 2) ÷ 25 + ( − 11 50 representa a una fracción:
3 10
×
4 ) 10
D) sólo el IV 1 100
E ) III y IV 1 8
÷ [ × (−5)] + × 7, entonces M ,
I- Cuya diferencia de términos, posee dos divisores primos. II- Cuya suma de términos, es un número primo. III- Decimal exacta. IV- Propia. De las afirmaciones anteriores, son verdaderas: A) Una
B) Dos
C ) Tres
(0,252525 + 0,09090 + 2 14 ) 33 5. Si A = 1 0,444 + 59 + 11 A, entonces P es:
···
···
÷
D) Todos 137 9
E ) Ninguna
, y P representa al producto de 6 por
I- Un número primo. II- Un número que es divisor de todos los números. III- Una fracción propia. IV- Un número que, posee un sólo divisor. De las afirmaciones anteriores, la camtidad de opciones falsas son: A) Una
B) Dos
C ) Tres
33
D) Todos
E ) Ninguna
Problemas de aplicación
1. Un aficionado a la loteria tenia 35 $ de ahorro y fecha. La parte de 1 $ que posee es: A) 19 20
1 B) 20
2. Un estudiante perdío 1 A) 40
1 5
B) 27 40
D) 13
de su dinero y prestó
1 5
B) 89
E ) nda
1 8
de su dinero y prestó C ) 53 50
1 8
de lo que le quedaba ¿Que parte de
7 D) 10
4. Un electricista donó 19 de su sueldo, luego gasta de su sueldo que pudo ahorrar es: 7 A) 18
$ que ganó en el sorteo de la
¿Que parte de su dinero le queda? 7 D) 10 E ) nda
C ) 53 50
B) 27 40
3. Un estudiante perdío su dinero le queda? 1 A) 40
C ) 13 20
7 20
1 D) 10
C ) 49
1 2
E ) nda
de lo que le quedaba. La fracción E ) nda
5. Los 38 de un capital se depositan en un banco, 25 del resto se depositan en una cooperativa y el resto se utilizó en gastos varios. La fracción que utilizó en gastos varios es: 9 3 A) 14 B) 40 C ) 38 D) 20 E ) nda 6. Un obrero ha hecho los 29 de un trabajo, otro hizo los 35 de lo que hizo el primero, y el tercero hizo la parte restante. La parte que hicieron los dos últimos es: 2 A) 29 B) 15 C ) 79 D) 29 E ) nda 45 7. Un comerciante recibío los 38 de un cédito, más tarde recibío los 25 de lo que le quedaba, y faltando aun por recibir 600.000 guaranies. El total del crédito en guaranies es: A) 1.600.000 B) 1.200.000 C ) 900.000 D) 225.000 E ) nda 8. Despúes de haber pagado los 23 de la mitad de la tercera parte de una deuda, quedan aun por pagar 72.000 guaranies, entonces la deuda era de: A) 648.000 B) 81.000 C ) 94.500 D) 25.000 E ) nda 9. Se distribuyen 300 l de combustible en 3 barriles y en partes iguales, el primero se llena hasta sus 35 partes de su capacidad y el segundo hasta sus 34 partes. Que fracción del tercer barril se llenará si su capacidad es la suma de las capacidades de los dos primeros: A) 13 B) 12 C ) 35 D) 34 E ) nda 10. Un librero vende cierto número de libros de la siguiente manera: Vende los 35 del número total, luego recibe un pedido de los 78 de lo que le queda, pero antes de atenderlo se le inutilizan 240 libros, por lo que enviando todos los libros útiles que le quedaban sólo pudo cubrir los 45 de la capacidad pedida. ¿Cuántos libros se vendieron en total? A) 2.100 B) 2.000 C ) 1.760 D) 2.500 E ) nda 34
11. La mitad de lo que me quedó de gaseosa en la botella es igual a la tercera parte de lo que tomé. Si vuelvo a tomar la cuarta parte de lo que me quedaba, ¿que fracción de toda la gaseosa habré tomado? 7 A) 10
1 B) 10
C ) 35
3 D) 20
E ) 25
12. Un maratonista observa que 15 de lo que ha recorrido equivale a los 35 de lo que le falta por recorrer para llegar a la meta. ¿Cuántas horas habrá empleado hasta el momento, si todo el trayecto debe hacerlo en 12 horas? A) 7 hs B) 8 hs C ) 9 hs D) 10 hs E ) 11 hs 13. En una apuesta pierdo 27 del dinero que tengo y luego recupero 370 $ en otro juego; entonces el dinero que tenía al principio queda aumentado en el doble de la mitad de sus 38 . En esas condiciones el dinero que tenía al principio es igual a: A)500$
B) 560 $
C ) 600$
D)650$
E ) 700$
14. Dos hermanos pagan una deuda que asciende a los 25 de 55.000 $. La parte que pagó el hermano menor equivale a los 29 de la parte que pagó el hermano mayor. El hermano menor pagó en $: A) 18.000 B) 6.000 C ) 4.000 D) 10.000 E ) 8.000 15. Una persona recibe viáticos para 4 días. El primer día gastó la quinta parte; el segundo día gastó 18 del resto; el tercer día gastó los 53 del primer día; el cuarto día el doble del segundo día y aun le quedó 15.000 $. La cantidad entregada como viático fué en $. A) 50.000 B) 75.000 C ) 150.000 D) 45.000 E ) 90.000 16. Tenía cierta cantidad de dinero. Pagué una deuda de 86.000 guaranies; entonces recibí una cantidad igual a la que me quedaba y después presté 20.000 guaranies a un amigo. Si ahora tengo 232.000 guaranies , ¿cuánto tenía al principio? A) 200.000 B) 225.000 C ) 212.000 D) 200.500 E ) 172.000 17. El lunes perdí 40 $; el martes gané 125 $; el miércoles gané el doble de lo que tenía el martes, y el jueves, después de perder la mitad de lo que tenía, me quedan 465 $. ¿Cuánto tenía antes de empezar a jugar? A) 310 B) 200 C ) 225 D) 250 E ) nda
35
Capítulo 4 Potenciación La potenciación es una operación derivada de la multiplicación que tiene por objeto repetir como factor un número llamado base , tantas veces como unidades tenga otro número llamado exponente . El resultado se llama potencia . Por ejemplo 2
En general a
×2×2×2 =2
4
a = an
a
× ×· · · × n veces
Los términos de una potenciación an = b son: a: base n: exponente b: potencia
1) n0 = 1 siempre que n =0 2) 1n = 1 (n finito) 3) 0n = 0 siempre que n =0 4) n1 = n
Casos particulares
Ejemplos
36
1) 50 = 1 2) 15 = 1 3) 05 = 0 4) (−2)2 = (−2)(−2) = 4 5) (−2)3 = (−2)(−2)(−2) = −8 6)
2
2
−2 = −(2 ) = −4
4.1.
Signos de una potenciación
1. La potencia par de un número positivo o negativo, es un número positivo. ( a)2n = a2n
±
2. La potencia impar de un número positivo es positivo. (+a)2n+1 = a2n+1
3. La potencia impar de un número negativo es negativo. ( a)2n+1 =
−
4.2.
2n+1
−a
Propiedades
1. Producto de potencias de igual exponente: an · bn = (a · b)n Ejemplos 54 74 = (5 7)4
·
·
(28)2 = (7 4)2 = 72 42
·
·
2. División de potencias de igual exponente: Ejemplo
5 3
4
=
54 34
3. Potencia de potencias: (an)m = anm Ejemplo
37
a b
n
an = n b
(25 )4 = 25·4 = 220 m
Observación: Notar que (an )m = an
Por ejemplo, 64 = 82 = (23)2 = 23 = 29 = 512 2
4. Producto de potencias de igual base: an × am = an+m Ejemplo 35
4
×3
= 35+4 = 39
5. División de potencias de igual base: an ÷ am =
an = an−m m a
Ejemplos 2n si n = m, tenemos m = 2n−m = 20 = 1 2
El origen de una potencia de exponente cero es el cociente de potencias de igual base e igual exponente. 25 si n > m , tenemos 3 = 25−3 = 22 2 23 si n < m , tenemos 5 = 23−5 = 2−2 2 a −n
=
b a
7. Potencia de exponente fraccionario: a =
√
6. Potencia de exponente negativo:
b
Ejemplo 2−2 =
2 1
−2
=
1 2
2
=
1 22 n m
Ejemplo 3
5 = 2
√
53
Observaciones a ab−1 = b 1 (ab)−1 = a−1 b−1 = ab Ejercicios
38
m
an
n
1) Calcule el valor de las siguientes expresiones: (i) (−2)4 + 14 − (−2)3 + 07 + 320 + 8 · 22 (ii) − (−32 · 5) + 20 ÷ (−2)2 + (−2) (−1)5
÷ ·
−5 2 1 1 (iii) 2 2 (iv) 7−4 7−3 76 (v) 4−3 8−5 2−6
(vi)
82
2
· · ÷ ÷ 8− ÷ 4− · 2− 4 · (2− ) 12
6
0
5
4 3
2) Al considerar las siguientes igualdades: I)
− − 4
1 3
3−1
=
4
−3− = − 31 1 III) (−3) = − 3 1 IV) 2 · 3− = 2·3 II)
4
4
4
4
4
4
Podemos decir que: A) Todas son verdaderas B) Todas son falsas C) Una es verdadera D) I y II son verdaderas
E) II y III son verdaderas
÷ −
1 3) Si x = 2 de x es:
1 −2 4
3
−3 2−1
1 −2 , entonces no se puede afirmar que el valor 2
A) Un número compuesto B) Un múltiplo de tres C) Seis decenas D) Un número entero E) Igual a un número elevado al doble de él
4) Al dividir (7 · 7n+2 ÷ 72+2n) entre (72 )2−n , se obtiene: A) 7−n
B) 7−1
C ) 73n
D) 72n−1
39
E ) 7n−3
Observaciones
1. La potencia de un número mayor que uno aumenta a medida que aumenta el exponente. Por ejemplo 32 = 9 < 33 = 27 < 34 = 81 < ··· 2. La potencia de un número menor que uno disminuye a medida que aumenta el exponente. Por ejemplo (0,2)2 = 0,04 > (0,2)3 = 0,008 > (0,2)4 = 0,00016 > ···
4.3.
Cuadrado de la suma (diferencia) de dos números
El cuadrado de la suma (diferencia) indicada de dos números es igual al cuadrado del primero, más (menos) el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo; es decir (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 Por ejemplo: (3 + 5)2 = 32 + 2 3 5 + 52 = 9 + 30 + 25 = 64
· ·
4.4.
Cubo de la suma (diferencia) de dos números
El cubo de la suma (diferencia) indicada de dos números es igual al cubo del primero, más (menos) el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más (menos) el cubo del segundo; es decir (a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3 Por ejemplo: (2 + 5)3 = 23 + 3 22 5 + 3 2 52 + 53 = 8 + 60 + 150 + 125 = 343 (10
3
− 4)
= 103
· · · · − 3 · 10 · 4 + 3 · 10 · 4 − 4 2
2
3
Ejercicios
Calcular el valor de las siguientes expresiones: 1) 16−0,5 + 81−0,5 2)
− − − − − − − − − − − 1 2
( 2)−1
3) (2−1
3
−1 2−2 )
2−1 3−1 4) −1 2 + 3−1
5)
1 2
−2
(3−1
5 6
1
7 8
1
−1
3−2 )
−1
1 2
2
40
= 1000
− 1200 + 480 − 64 = 216
6)
7)
8)
− ÷ − − − − − · − − − · · · − ÷ { · ÷ } 8 + 125
3
5
8 27
3
10)
11)
12)
13) 2−3
3
+ −274
−2
4−5
1 3 2
2 3
1 16
3
8 125
1 2
4
−3
81 16
4
1+
−3
1 2 3
1
1 2
2 3
1 3
16 9
2 2 3
3
9)
−2
2 3
1
−2
49 25
−1
27
2
−3 4 −2 25
3
1 2
1 16
1 8
2
−2
1 4−5 8
5 −1 2
1 2
25 4
3
3
1 16
2 5
−1
41
3
−4 2 −2 5
2
25
2
Capítulo 5 Radicación Es una operación inversa a la potenciación, en el cual dada una potencia llamado radicando o cantidad subradical, y el exponente llamado índice o grado de una raíz, se busca la base, llamada raíz. En general,
√ n
b = a sí, y sólo si, an = b
Ejemplo
√ 125 = 5 porque 5 = 125 √ 2) 16 = ±4 porque (±4) = 16 √ 3) −27 = −3 porque (−3) = −27 1)
3
3
2
3
3
5.1.
Signos de una raíz
1. La raíz de índice impar de un número positivo o negativo es un número positivo o negativo. Ejemplo
1)
√ 3125 = 5 porque 5
= 3125
2)
− −
1 porque 4
5
5
3
1 = 64
3
1 = 64
−
− 1 4
3
=
− 641
2. La raíz de índice par de un número positivo es un número positivo y negativo. Ejemplo
1) 2)
√ 4 = +2 porque (+2) √ 4 = −2 porque (−2)
2
=4
2
=4
42
Convenio: Si un número n es un número natural y distinto de cero, y b un número real positivo, entonces convenimos en denotar por b a la única raíz positiva del número b. Es decir:
√ n
√
2n
2n
≥ 0 porque a √ De ahora en más, por ejemplo, 4 = 2 y ya no −2 b=a
=b
3) La raíz de indice par de un número negativo, es un número que no pertenece al conjunto de los números reales. Por ejemplo,
5.2.
√ −25 ∈/ R por que no existe un número real cuyo cuadrado dé −25.
Propiedades
Si m, n y k números reales, con n ≥ 2, entonces: 1)
√ a n
n
=a Ejemplo
√ 256 = √ 4 4
4
4
=4
√ a · a = a √ a √ 24 = √ 2 · 3 = 2√ 3 Ejemplo √ √ 3) a = a √ 8 = √ 2 = √ 2 Ejemplo 2)
n
n
n
m
m
3
nk
mk
n
√ n
Ejemplo
5)
√ n
m
a=
Ejemplo
6)
n
Ejemplo
2·3
3
3
√ a si a > 0 √ √ m
n
4
3
=
4
16 =
2·3
8
√ a √
23
3
4
=
(23 )3 =
√ 4
29 =
√ 4
24 24 2 = 2 2
· ·
··
√ 4
√ 4
2=4 2
nm
3
√ a · √ b = √ ab n
3
m
6
4) ( a)m =
3
√
24 =
√ 3
22 =
√ 3
4
n
√ √ √ − · − · · − · 2 3
3 2
2 3
6 =
√ √ 4 − 9 = 2 − 3 = −1
43
6
3 2
6 =
2 6 3
3 6 = 2
√ a √ = n
7)
n
b
a b
n
Ejemplo
8)
√ n
am = a
5
5
m n
Ejemplo
5.3.
√ 8 √ 4 =
√
8 = 4
5
5
>0 √ con a√ 3
9=
3
32 = 3
2
2 3
Radical simple
Un radical es simple si:
El radicando no contiene factores cuyos exponentes sean mayores o iguales al índice del radical. Por ejemplo:
4
√ · √ = 2 2=2 2 3
3
3
· 1 = 2
1 2 = 2 2
2 = 22
√ 2 √ 2 √ = 2 22
El exponente del radicando y el índice del radical son primos entre sí. Por ejemplo:
5.4.
3
3
No hay fracciones dentro del signo radical. Por ejemplo:
√ 16 = √ 2
√ 9 = √ 3 4
4
2
√
2·2
=
32 =
√ 3, donde mcd(2, 1) = 1.
Radicales semejantes
Dos o más radicales son semejantes si reducidos a su forma simple, tienen el mismo radicando e índice. Por ejemplo:
√ 2, √ 2 y −3√ 2 son semejantes. 5
1 2
5
5
Ejercicios
1. Al simplificar la expreseción A) 0
B)
− ··· − − ( 8,999 1 4
1 4
C ) 54
−6
)2 + 9 −2
1
÷ (−1,333 ··· )− , se obtiene:
D) 6
E ) 1
√ 3,6 × 10− −5− 2. Al simplificar la expresión √ ÷ 2 + (0,0111 ··· ) × 45, se obtiene: 3 10 A) B) − C ) D) − E ) − 1 1 2
2
627 1250
1 2
3
2
6
3 2
44 45
44
3. Al simplificar la expresión a:
√ 3
8
−1
÷ − 3
2
2−1
÷
√
16 +
√ 3
−4
, se obtiene
A) Un número que divide a 33. B) Una fracción cuya diferencia de términos es un número par primo . C) Una fracción cuya diferencia de términos es el módulo de la multiplicación. D) Un número primo. E) Un número que representa al opuesto de 3 unidades.
√ 0,9 × 0,4 4. Al simplificar la expresión: + −0,008 × 0,2 × 0,5
3
obtiene un número:
×
√ + 125, se obtiene un
0,04 + 0,1
0,0256, se
A) Que divide a una decena. B) Que es divisor de treinta decenas. C) Múltiplo de cinco. D) Divisor de dos. E) Que representa al opuesto de cinco unidades
√
3
√ √ √ + 6 12 + √ − 250 5
√ 1
−1
5. Al efectuar la operación 2 5 radical cuyo radicando e índice son dos unidades respectivamente, y de coeficiente a: 6
A) La unidad. B) Un múltiplo de 7 unidades. C) Divisor de 81. D) Un número que representa a una decena y tres unidades. E) Al opuesto de la unidad.
45
5.5.
Operaciones con radicales
5.5.1.
Adición y sustracción
√ √ √ √ √ √ 3 8 − 2 18 + 4 50
√ √ √ √ 3 2√ − 2 2 · √ 3 + 4 2 ·√ 5 · 2 2 −√ 2 · 3 2√ + 4 · 5 2 3√ 6 √ 2 − 6 2 + 20 2 20 2
1) 2 5 + 5 + 8 5
= (2 + 1 + 8) 5
2)
= = = =
3)
√
√
1 2 125 + 45 5 3
− 37
√
245 =
3
2
√
2
√
√ · − · √ √ √ · · − · √ √ − √
1 3 2 2 3 5 + 3 5 5 72 5 3 7 1 2 3 5 5+ 3 5 7 5 5 3 7 5+2 5 3 5
= = = 0
5.5.2.
Multiplicación de radicales
Con índices iguales:
√ √ √ √ √ √ √ √ √ b) −2 5 · 4 25 = −2 · 4 5 · 25 = −8 125 = −8 5 = −8 · 5 = −40 a) 4 3 · 5 2 = 4 · 5 3 · 2 = 20 6 3
3
3
3
3
3
Con índices distintos:
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ b) 2 · 3 · 4 = 2 · 3 · 4 = 2 · 3 · 2 = 2 · 3 6
6
6
a) 2 5 · 6 2 = 2 53 · 6 22 = 2 · 6 53 · 22 = 12 500 3
3
5.5.3.
4
12
6
12
4
12
3
División de radicales
Con índices iguales:
a)
√ 10 √ 5 =
10 = 5
√
2
46
6
12
6
4
6
12
12
4
=2
√
12
√ 3
34 = 2 3
b)
√ 6 10 6 √ = · 2 25 2
· · · √ √ 10 =3 15
2 =3 3
2 3
3 =3 3
·
√ 6 √ =
3
6
Con índices distintos:
√ 2 √ 2 √ 4 = √ = 22 = 4 √ √ 2 18 2 18 2 √ √ = = 8 8 3 8 3 √ 1 6
a)
3
6
4
12
4
5.6. 1) 2)
√ · √ √ √ √ √ · · 3
6
6
4
2
12
3
b)
3
12
4
3
12
23 = 24
6
1 1 = 2 2 6
184 1 = 33 4
3888
Racionalización
√ 12 = √ 3 √ 50 =
3)
√ 1116 =
4)
7 √ = 5 5
5)
√ 71− 2 =
3
3
47
12
6
6
25 = 25
6
6
(2 32 )4 1 = 33 4
6
√
25 25 1 = = 32 2 2 26
12
24 38 1 = 33 4
6
√
12
24 35 =
·
Capítulo 6 Logaritmación Es una operación inversa a la potenciación, que consiste en que dada la base y la potencia, hallar el exponente. Ejemplo
1. ¿A que exponente se debe elevar el número 2 para obtener 32? Es decir, hallar x talque 2x = 32 ⇒ 2x = 25 , de esta igualdad deducimos que x = 5. Por lo tanto, esta situación se puede representar mediante: 2x = 32
⇔
lg2 32 = 5
2. 42 = 16 ⇔ lg4 16 = 2 3. 35 = 243 ⇔ lg3 243 = 5 En general: ax = b
Donde;
⇔
lga b = x
argumento o logaritmizado base logaritmo son los términos de la logaritmación.
6.1.
b: a: x:
Condiciones de existencia de los términos de la logaritmación
1) El argumento de una logaritmación no puede ser un número negativo. Por ejemplo; lg4 (−16) no existe. 48
2) El argumento de una logaritmación no puede ser cero. Por ejemplo; lg5 0 no existe. 3) La base de una logaritmación no puede ser cero. Por ejemplo; lg0 2 no existe. 4) La base de una logaritmación no puede ser uno. Por ejmplo; lg1 3 no existe. En conclución:
Determinar el logaritmo de un número b en la base a significa, determinar el exponente x talque ax = b.
Los números b y a deben ser necesariamente positivos y a distinto del uno.
6.2.
Sistema de logaritmo
Los logaritmos que se indican por lga b son denominados sistemos de logaritmos de base a. Existe una infinidad de sistemas de logaritmos. De entre todos los sistemas, el más importante es el sistema de logaritmos decimales, o de base 10. Se indica por lg10 o simplemente por lg. Por ejemplo, algunos logaritmos decimales son: 100 = 1 101 = 10 102 = 100 103 = 1000
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
10−1 = 0, 1 10−2 = 0, 01 10−3 = 0, 001 10−4 = 0, 0001
lg 1 = 0 lg 10 = 1 lg 100 = 2 lg 1000 = 3
Ejercicios
1) Calcular el valor de los siguientes logaritmos: I) lg16 32 II) lg√ 8 4 III) lg5 0,000064
2) Al resolver lg (x − 0,050) = 1, el valor de x representa: 1 5
I) La quinta parte de la unidad. II) La cuarta parte de la unidad. III) Veinticinco centécimas. 49
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
lg 0, 1 = 1 lg 0, 01 = 2 lg 0, 001 = 3 lg 0, 0001 = 4
− − − −
IV) Cinco centécimas. V) 0.25 unidades. De los resultados anteriores, las falsas son: A) II, III y V B) I, II y V C ) I y IV
D) III y V
E ) I, III, IV y V
3) Si P representa al cuadrado del producto de la expresión lg0,04 125
por el reciproco de
− lg
8
√
32 + lg1000 0, 001
−3,333 ··· entonces la raíz cuadrada de P es:
I) Un número que no pertenece a los números reales. II) El módulo de la multiplicación. III) Una décima de centena. IV) Un número que posee unj sólo divisor. De las afirmaciones anteriores: A) Una es falsa B) Dos son falsas C ) Tres son falsas D) Todas son falsas E ) Todas son verdaderas 4) Si k es la solución de la ecuación 6lg
4
(lg2 x)
= 0,1666
· ··
entonces k4 es un número: I) Par. II) Primo. III) Que al multiplicar por 2−1 dá un número primo. IV) Que representa a la raíz cuarta de 16. V) Que al restar con un número par primo se obtiene el módulo de la suma. De las afirmaciones anteriores la falsa es: A) I, III y V B) Sólo el I C ) Sólo el III
D) II y IV
E ) I y V
5) Si P representa al producto de A = lg5 25 · lg0,1 0,01 − lg2√ 2 512 por A, entonces la raíz cuadrada de P es: A) 4
B)
−4
C )
−2
D) 2
50
E ) 20
6) Dadas la siguientes afirmaciones: I) II) III) IV)
Si Si Si Si
− 9) = lg (−2x + 9), entonces x = 6. lg (x − 9) = lg (−x + 9), entonces x = 9. lg (−x + 9) = −2, entonces x = 17. lg (−x − 5) = −2, entonces x = −21. lg2 (x
2
5
5
3
1 4
De las afirmaciones anteriores es o son verdaderas: A) I, III y IV B) Sólo el IV C ) Todas D) I y II
51
E ) III y IV
Ejercicios
1. Un terreno de 4ha 8a costó $ 612. ¿en cuánto se debe revender el m2 para ganar $ 0,2 por área? 2. Un almacenero compra a $ 24 el Hl dos toneles de vino que tiene un costo de $ 120 entre los dos. Si el primero contiene 280 l. ¿Cuántos Dl hay en el otro? 3. Una persona ha comprado 475 Dg de chocolate y 48 Hg de cafe por $ 11,92. ¿Cuántos $ pagó por un Kg de cafe, si 500 g de chocolate valen 80 centavos? 4. Un terreno cuadrangular se desea alambrar y además, dividirlo en 4 parcelas rectangulares de dimensiones iguales. Si el alambre cuesta 1.500 gs el metro y la mano de obra, 100.000 gs el Km, ¿cuánto costará el alambrado en guaranies? 5. Dividiendo 2 Hm3 57Dm3 370m3 190dm3 entre 80Dm2 5m2 2dm2 , ¿cuál es el cociente? 6. Se quieren plantar árboles en ambos lados de una carretera de 20 Km. En cuanto ascenderá el costo sabiendo que cada docena de árboles cuesta 300 centavos. 7. Una oveja dá en término medio 0,24 Hg de lana que cuesta 1.250 centavos los 10 Kg . Cuántas ovejas tiene el estanciero que ha venido su lana en 26.250 $. 8. Un almacenero que ha comprado aceite en 0,90 $ el litro, lo vende en 1,20 $ el Kg . Cuánto ganó si un litro de aceite pesa 915 g. 9. Cuántos metros de alambre serán necesarios para para alambrar con 5 hilos, unterreno de forma rectangular de 2 Hm 5Dm 8dm de frente por 0,5Km 160Dm 45cm de fondo. 10. Cuántos Km habrá recorrido a pie en 4 horas una persona que en la primera hora recorrío 36Hm 12m, en la segunda 3.500 m, en la tercera 23,3 Hm y en la cuarta 355,8Dm. 11. ¿Cuál es el volumen en m3 de un cubo que se llena con 125 l? 12. Si A=0,007Hm2 0,6Dm2 4.000dm2 , B = 0, 17Hm y C = 50dm, entonces ¿cuál es A el valor de ? B
× C
13. El peso en Km del agua contenida en un depósito de 2.500 dm3 de volumen cuando está lleno hasta la mitad de su altura es: 14. Un cubo lleno de agua pesa 9 Kg 6Hg , y vacio 1,2Kg . La cantidad de litros de agua que contiene el cubo es: 15. Un manantial abastece continuamente de agua a tres ciudades A, B y C . La ciudad A consume 2.592l por día, la ciudad B la cuarta parte por segundo que la ciudad C , y éste la mitad por hora que la ciudad A.¿Cuántos dm3 de agua abastece por día a las tres ciudades? 16. Al sumar los en m2 :
2 3
de 0,3ha y 30m2 , los frac15 de 10Dm2 se obtiene como resultado 52
17. Si del millar de 2,25 Hm2 14 Dm2 50m2 , se resta 20Km2 , entonces la diferencia en ha es: 18. De las siguientes afirmaciones, determinar la falsa: A) el ml es la milésima parte del gramo, B) el múltiplo del m que expresa 1.000m es el Km , C) el submúltiplo del litro que expresa las décimas del l es el cl, D) la ha es una unidad 100 veces mayor que el a, E) el l es equivalente a 1dm3 de agua destilada. 19. Un patio rectangular de 1Dm 5m de largo y 3,3Dm de perímetro, debe ser recubierto con una capa de arena de 5 mm. Cuánto se gastará si los 100 Kg de arena cuestan 35,80 $ y si el m3 de arena pesa 8.000Hg .
53
Razones y proporciones
Ejercicios
1. En un salón de clases, antes del recreo el número de hombres es al de mujeres como 9 es a 5. Si después del recreo, hay 8 hombres y 4 mujeres menos, con lo cuál la razón de hombres a mujeres es 74 , hallar cuántas mujeres había antes del recreo. A) 35
B) 15
C ) 25
D) 20
E ) 36
2. La razón de dos números es 73 .¿Cuál será la razón de la suma de los cuadrados a su diferencia de cuadrados? A) 92
B) 49 5
D) 58 13
C ) 29 20
E ) 29 5
3. La media geométrica de dos números es 15. Si la proporción continua que se forma tiene razón 34 , la diferencia positiva de los extremos es: A) 3
B) 25
C ) 15
D) 9
E ) 16
4. El producto de tres números es 480 y son entre sí como 3:4:5. La alternativa correcta, es: A) Los números son 9, 12, 15. B) El cuadrado del mayor es 144. C) El cubo del menor es 125. D) La suma de los dos mayores menos el menor es 12. E) La suma de los tres números es 25. 5. En una proporción geométrica continua la suma de los extremos es 75 y la diferencia de los mismos es 21. Hallar la media proporcional. A) 18
B) 24
C ) 32
D) 30
E ) 36
6. En una proporción aritmética continua los extremos están en relación geométrica de 3 a 5. Si la suma de los cuadrados de los tres términos diferentes de la proporción aritmética es 200; hallar la media diferencial. A) 4
B) 6
C ) 8
D) 10
E ) 12
7. Sabiendo que: x es la media proporcional de 8 y 32; b es la tercera proporcional de 32 y x, y c es la cuarta proporcional de x, b y 6. Hallar x + b + c. A) 27
B) 24
C ) 32
D) 28
E ) 30
8. Sabiendo que la media proporcional de 2 y 32 es a la tercera proporcional de a y 24 como 1 es a 2; hallar a: A) 18
B) 24
C ) 36
D) 48
E ) 30
9. Una guarnición de 500 hombres tiene víveres para 20 días a razón de 3 raciones diarias. ¿Cuántas raciones diarias tomará cada hombre si se quiere que los víveres duren 5 días más? 54