aritmetica

1.- Recordando lo básico. 2.- Sistema de Numeración. 3.- Números Primos y Compuestos. 4.- Divisibilidad. 5.- Máximo común divisor y mínimo común Múltiplo. 6.- Operaciones en Z. 7.- Potenciación y Radicación 8.- Números Racionales. 9.- Operaciones en Q. 10.- Número decimal. 11.-Fraccion Generatriz. 12.-Números Irracionales y Reales. 13.-Valor absoluto. 14.- Razones. 15.- Proporciones.

Recordando lo básico DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NUMERAL

a 6)   b

4675 = 4000 + 600 + 70 + 5 = 4 x 103 + 6x102 + 7x 10 + 5 3427 = 3000 + 400 + 20 + 7 =3x103 + 4x102 + 2x10 + 7

n



aa b

n

3 6)    4

3



33 4

3



27 64

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

FACTORIZACIÓN O DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO

Una ecuación es una relación de igualdad que establece entre 2 expresiones algebraicas que tienen como mínimo una variable.

Descomponer en factores: b) 140

a) 240 240 120 60 30 15 5 1

140 70 35 7 1

2 2 2 2 3 5

2 2 5 7

140 = 22 x 5 x 7

 240 = 24 x 3 x 5

OBSERVA: ¡Qué fácil es aprender! POTENCIACIÓN

Propiedades: 1) 2)

ab 0

Ejemplo Aplicativo

a m x a n  a mn 1) 3 2 x3 3 am a

n

a

3) a n 

 

4) a m

n

m n

2)

2

1

 2 31  2 2  4

3) 3 1 

1 an

 am

xn

5) ab  a x b n

23

 3 23  3 5  243

n

n

 

4) 2 3

2

1 3

 2 3.2  2 6  64

5) 2x3  2 x3 2

2

2

 36

Los orígenes empíricos de la matemática egipcia la despojaron de las fantasias de la magia. La rigurosa experiencia como fuente de la Aritmética puede comprobarse en el documento matemático más antiguo que se posee: el papiro descubierto por Rhind en el siglo XIX, que el escriba Ahmes (A´hmes (A’ h – mose) copió en 1650 A.C., de una obra anterior. Este papiro, llamado de Rhind o Ahmes, figura en el Museo Británico. Thales era un hombre esencialmente práctico: comerciante, hábil en ingeniería, astrónomo, geómetra, estadista. Se le incluye por tradición entre los Siete Sabios. Como lo que ahora llamaríamos ingeniero, estuvo dirigiendo obras hidráulicas y se dice que desvió el curso del río Halis mediante la construcción de diques.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Calcular: A = - 25 – 17 – 5 (6 – 7) - 3 (- 5) B = -15 + 19 – 6 (8 – 7) – 2 (-3)

0

0

III. 23 x 25  2 4

(

)

8. Hallar un número cuyo cuadrado, disminuido en 119 es igual a 25. 9. Si “n” entero positivo, además n(n+2)=80, hallar “n”. 10. De lo anterior, hallar “n”. Si n(n + 1) = 210 11. Si se sabe que la suma de 3 números enteros consecutivos es igual a 30, hallar el número mayor:

Hallar: A x B 2. Si: M = 4 – 15 + 19 – 2 (16 – 23) N = -19 – 35 – 3 (5 – 7) – ( - 8) Hallar: M x N 3. Descomponer 420 en: I. El producto de 2 factores Z+ consecutivos: ...................................................................... II. El producto de 4 factores Z+ consecutivos. ...................................................................... III.El producto de 5 factores Z+ consecutivos. ...................................................................... IV.El producto de 7 factores Z+ consecutivos. ...................................................................... 4. Descomponer 1260 en: I. El producto de 2 factores Z+ consecutivos. ...................................................................... II. El producto de 6 factores Z+ ...................................................................... III. El producto de 7 factores Z+ ...................................................................... IV. El producto de 10 factores Z+ ...................................................................... 5. Si:

12. Una persona tiene S/.2000 y otra S/.7500 cada una ahorra anualmente S/.5000, ¿dentro de cuántos años la fortuna de la primera será el doble de la segunda? 13. Se compra cierto número de relojes por S/.5625, sabiendo que el número de relojes comprados es igual al precio de unos relojes en soles, ¿Cuántos relojes se han comprado? 14. Si la suma de 2 números es 38 y su diferencia 12, hallar el número menor. 15. ¿Cuál es la edad actual de un padre que duplica la edad de su hijo y hace 24 años su edad era 10 veces que la edad de su hijo? 16. La suma de los cuadrados de 2 números es 125. Si uno de ellos es el doble del otro, hallar el número menor. 17. ¿Cuál es el número cuyo aumentado en 30 es igual 430?

cuadrado

M  3 8 x  62   53 3

N   23 x 22   33 32  4 Hallar: M – N 6. Si:

A  3 125  64  23   53

B   144  121 x  33   32 x 22 Hallar: A + B 7. Colocar verdadero (V) o falso (F), según corresponda: 0

I. 2 4  160

( )

II.  32  9 0

( )

0

(1616 – 1716) Lingüista, filósofo y matemático alemán en 1698 propuso utilizar: (.) El punto como signo de multiplicar. (, ) La coma para separar la parte entera de la decimal.

Sistema de numeración Número: Ente matemático nos permite cuantificar los elementos de la naturaleza

PRINCIPALES SISTEMA DE NUMERÁCIÓN

Numeral: Es la representación de un número mediante símbolos o guarismos. 5, CINCO, V, ....... Cifra: Son símbolos que por convención se utilizan para representar un numeral.

CIFRAS= DÍGIT OS=GUARISMOS=T IPO DE IMPRENTA

SISTEMA DE NUMERACIÓN

Conjunto de reglas que permiten formar, expresar y representar números. BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN POSICIONAL

Es un entero positivo mayor que la unidad que indica la cantidad de unidades que formará una unidad del orden inmediato superior. VALOR ABSOLUTO DE UNA CIFRA (VA)

OBSERVACIÓN:

Toda cifra de un numeral es necesariamente menor que su base y además es un entero no negativo. Cifra: {0; 1; 2; 3; …; (b - 1)} Consecuencia:

Cifra máxima = Base -1 Cifra mínima = 0 Base = {2; 3; 4; 5; …}

Es el valor que representa la cifra.

CAMBIO DE BASE

VALOR RELATIVO DE UNA CIFRA (VR )

1. DE BASE DIFERENTE A BASE 10

Es el valor que tiene la cifra por la posición que ocupa.

Cifra < Base

Este método denominado “Descomposición Polinómica”

Ejemplo: abcde(n)

Indique el VA y VR de las cifras que se indican por Un circulo.

= a.n4 + b.n3 + c.n2 + d.n + e

Ejemplos:  1234(n)

= 1.n3 + 2.n2 + 3.n + 4

 60(13) = 6 . 133 +  . 132 + 0.13 +  2. DE BASE 10 A BASE DIFERENTE DE 10 LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS

Sistema Decimal : Es aquel sistema que emplea

base 10, se le llama también sistema décuplo, según la historia el 10 se debe a los dedos de las manos Este sistema emplea al representar sus números las cifras del 0 al 9. Del 1 al 9 se les llama “cifras significativas”: mientras al 0 (cero) se le llama “cifra auxiliar”.

Este método denominado “Divisiones Sucesivas”

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.- Expresar 12345 a base 10 a) 194 b) 149 c) 491 2.- Expresar 31425 a base 8 a) 573018 b) 375018 c) 753018

d) 914

24.- Convertir: 0,3425 al sistema decimal. a) 0,677 b) 0,767 c) 0,776 d) 0,778

e) 419

d) 103578

e) 105378

3.- Expresar 1342526 al sistema decimal a) 12326 b) 12623 c) 12362 d) 12632

e) 16232

4.- Expresar 2314 al sistema quinario a) 332245 b) 422335 c) 223345 d) 224335

e) 334225

5.- Hallar en base 15, el equivalente de  0 (12) a) 5785(15) b) 5875(15) c) 8575(15) d) 7585(15) e ) 5578(15) 6.- Hallar “n” si: 1668 = 226n a) 4 b) 6 c) 7

d) 8

e) 10

7.- Calcular el valor de “b”, si: b407  1b6 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) 5

8.- Si: ab5  a7 ; Calcular el valor de: (a + b) a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 9.- Si: 11156  abc 7 ; Hallar: (a + b + c) a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 10.- Si los numerales están bien escritos: 110a, aa1b, c25,21bc ; Calcular: (a.b.c) a) 18 b) 6 c) 24 d) 36

e) 4 e) 13

13.- Convertir: 54326 al sistema decimal. a ) 1243 b) 1242 c) 1244 d) 1424

e) 1024

14.- Convertir: 1122334 al sistema senario. a) 104226 b) 104236 c) 120236 d) 102436

e) 102346

15.- Convertir: 0,1345 al sistema decimal. a) 0,352 b) 0,25 c) 0,353 d) 0,232 16.- Convertir: 0,432 al sistema quinario. a) 0,2035 b) 0,2025 c) 0,2045 d) 0,2015 d) 8

e) 0,233 e) 0,2005 e) 9

18.- ¿En qué sistema de numeración se cumple? 54 + 43 = 130 a) Quinario b) Senario c) Heptal d) Octal e) Nonario 19.- Hallar “x” , en: 123x = 53(x+2) a) 5 b) 6 c) 7

d) 4

26.- Hallar “a” en: a75(8)  25a a) 1 b) 2 c) 3

d) 4

e) 5

27.- Hallar “n” en: 455(n) = 354(n+1) a) 5 b) 6 c) 7

d) 8

e) 4

28.- Hallar “x + y” , en: 3(2x )(6)  4x ( y ) a) 5 b) 6 c) 7

d) 8

e) 9

29.- Hallar: “a y b” , en: bbaa(7)  a(2b)a a) 4 ; 3 b) 3 ; 1 c) 4 ; 1 d) 1 ; 2

e) 4,5

31.- ¿En qué sistema de numeración se cumple? 63 + 15 = 100 a) Quinario b) Senario c) Heptal d) Opta e) Nonario 32.- Si a un número de 2 cifras, se le invierte el orden de sus cifras, se obtiene un segundo número que excede en 9 unidades al cuádruplo del primero. Dar como respuesta la suma de las cifras de dicho número. a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 Un numeral capicúa de tres cifras del sistema quinario se escribe en base “x” como a3a . Calcular ( x + a) , Si “x” es la cifra central del numeral capicúa. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 34.-

Al convertir 0,1025 al sistema decimal, se obtuvo 0,abc Hallar: E = a + b + c a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

34216 al sistema nonario. b) 10849 c) 10089 d) 10489 0,216 al sistema quinario. b) 0,1025 c) 0,1035 d) 0,2035

e) 10249 e) 0,2045

;

35.- Hallar un número de tres cifras que cumpla las siguientes condiciones: la primera sea el doble de la tercera y la segunda sea el triple de la primera. Dar como respuesta la suma de las cifras del número. a) 12 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 36.- El cuádruplo de un número es de la forma ab , pero si al número se le multiplica por tres y luego se le divide entre dos se obtiene ba . Hallar: ( a – b ). a) 1 b) 5 c) 2

d) 3

e) 8

37.- Una persona nació en el año 19aa y en el año 19bb cumplió (4 a + 5 b) años. ¿Cuál fue el año en que tuvo ( a + b ) 2 años de edad?. a) 1981 b) 1976 c) 1967 d) 1971 e) 1955 38.- Convertir: 0,528 al sistema quinario. a) 0,2325 b) 0,2345 c) 0,3215 d) 0,3245

e) 0,2315

39.- El número telefónico de Rosita es capicúa. Si la primera cifra se multiplica por 11, se le añade la segunda; luego todo se multiplica por 11 y finalmente añadimos la tercera cifra y obtenemos 985. ¿Cuál es el número telefónico de Rosita? a) 985589 b) 640046 c) 816618 d) 327723 e) 648846

20.- Hallar: “a + b” , en: ab7  ba9 a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 21.- Hallar la representación decimal del mayor numeral de cuatro 40.- Si: ab(7)  ba(12)  ab0(6) ; Hallar: ( a + b ) cifras diferentes del sistema senario. a) 1244 b) 1442 c) 1241 d) 1243 e) 1245 a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 22.- convertir: a) 10839 23.- Convertir: a) 0,2015

e) 2 ; 3

30.- Si: a + b = 9 ........ (1); ab  ba  9 ....... (2) Hallar: (a2 + b2 ) a) 41 b) 42 c) 43 d) 37 e) 38

33.-

12.- Representar en el sistema cuaternario, el mayor numeral de tres cifras diferentes del sistema decimal. a) 331324 b) 331234 c) 332314 d) 231324 e) 213234

17.- Hallar “n” , en: 114(n) = 2346 a) 5 b) 6 c) 7

25.- ¿En qué sistema de numeración se cumple? 34 + 21 = 110 a) Quinario b) Senario c) Heptal d) Octal e) Nonario

e) 15

11.- El mayor numeral de dos cifras del sistema decimal, escribirlo en el sistema binario. a) 1000102 b) 11000112 c) 10010112 d) 11000012 e) 10002

e) 0,678

e) 9

41.- Si: 121( n )  ab ; Tal que: a + b = 13. Hallar el valor de: (n + a) a) 8

b) 9

c) 10

d) 11

e) 12

42..- Si: 35x ( n )  x14(8) ; Determinar el valor de: “x + n” a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

a) 200112(3) b) 101212(3) c) 210111(3) d) 101112(3) e) 210112(3) 43.- Si: aba(6)  x3x 4( a ) ; Hallar el valor de: “a + b + x” a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 44.- Si: 146( n )  abc ( n 1) ; Hallar: “a + b + c”

64.- Un número de dos cifras de base 7 al convertirse a base 4 se representa por las dos cifras pero dispuestas en el orden inverso. Dicho número es: a) 13 b) 12 c) 11 d) 10 e) 9

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 45.- Hallar un número que sea igual a 6 veces la suma de sus cifras. 65.- La suma de las dos cifras de un número en base decimal es 11 y si al número se le aumenta 27, el orden de su cifras se invierte. Dar como respuesta la diferencia de sus cifras Hallar la suma de los cuadrados de las cifras del número. a) 1 b) 5 c) 2 d) 15 e) 8 a) 65 b) 73 c) 61 d) 85 e) 72 Una persona nació en 19ab observa que en 19ba 66.- Hallar: “a + b” ; si: ab(8)  ba(9)  1ab(7) cumplirá (a + b) años. ¿ En qué cumplió (axb) años?. a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 a) 1955 b) 1963 c) 1938 d) 1965 e) 1970 67.- Hallar el valor de “n”; si: 102( n )  234(7) 47.- Hallar un número de 2 cifras tal que al sumarle el mismo a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 número pero con las cifras invertidas se obtiene 11 veces la diferencia de dichos números. Dar como respuesta el producto 68.- Hallar el valor de “n”; si: 401( n )  203( n  2) de sus cifras. 46.-

a) 28

b) 20

c) 24

d) 30

e) 35

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 4 e) 12

e) 9

48.- Si: N = 2(17) 4 + 4(17) + 2(17) 3 + 26, ¿como se escribe el 69.- ¿Cómo se escribe en base 9 el menor de los siguientes número N en base 17?. números? 7a38 ; 545b ; 6b5a a) 22509 b) 22095 c) 22059 d) 23509 e) 22490 a) 2529 b) 3529 c) 3339 d) 4189 e) 1289 49.- El número 800. ¿En qué base se representa 1331?. a) Base18 b) Base19 c) Base20 d) Base21 e) Base 22

70.- Escriba en base 9 el número: x( x  3)( x  2)(6) a) 147(9) b) 174(9) c) 135(9) d) 186(9)

e) 153(9) 50.- ¿En qué base 68877 se representa como un número de tres cifras diferentes y lo mayor posible? 71.- Representar en el sistema octal, el menor número de tres cifras a) Base39 b) Base40 c) Bas41 d) Base42 e) Base 43 diferentes del sistema senario. a) 56(8) b) 46(8) c) 72(8) d) 11(8) e) 16(8) 51.- Hallar (m + n + p), si: m00m(6)  np1 72.- Expresar: N = 4x174 + 6x173 + 9x172 + 56? A base 17 a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 11 a) 46956(17) b) 46953(17) c) 40695(17 d) 46935(17) e) 46933(17) 52.- Hallar el valor de ( x + y ), si: aaaa(5)  xy (8) a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 73.- Si los siguientes numerales están bien representados, calcular: 53.- Hallar (a + b), si: (a  b)(a  b)(a  b)  abab(6) a) 4 b) 5 c) 6 d) 7

e) 3

54.- Si 400803(m) = 30034342(n) y m + n = 14. Hallar: “m – n” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 55.- Hallar: (a + b + c), si: ab7c ( n )  856(9) a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

“m xnxp” 1m1(4) ; nn( p ) ; 12p( m ) a) 5 b) 6 c) 12 d) 18 e) 15 74.- Hallar: “a + b + c”, si los numerales están correctamente escritos: 256( a ) ; 2a4( b ) ; 43b( c ) ; 75c a) 24

e) 8

12

56.- Efectuar: 666666(7) + 555555(7) + 442244(7) + 2233344(7) a) 2454505(7) b) 2554505(7) c) 2454515(7) d) 2453505(7) e) 2453215(7) 57.- Si: 2xx (3 x )  x 6x(7) , determine el valor de “x”. a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

58.- Si: m00m(6)  np1 , determine “m + n + p” a) 13 b) 14 c) 10 d) 11 59.- Si: 3ab  bca  1000 , determine abc a) 120 b) 100 c) 196 d) 138

e) 5

e) 172

60.- Si la suma de los complementos aritméticos de ab y ba es 79. Calcular: “a + b” a) 13 b) 15 c) 9 d) 11 e) 12 61.- Hallar el mayor número de 4 cifras tal que la suma de sus cifras sea igual a 17. Dar como respuesta el número expresado en base 8. a) 7433(8) b) 47211(8) c) 36710(8) d) 23110(8) e) 16313(8) 62.-

¿En que sistema de numeración se cumple que el menor número de 3 cifras es igual a 6 veces la base? a) 8 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 63.- El número 764 esta escrito en el sistema de base ocho. ¿Cómo se escribiría en el sistema ternario?

12

c) 32

d) 20

= 46

12

21 veces A) 1 D) 5

e) 12

b) 22

75.-Hallar el valor de “n”; si

12 B) 3 E) 6

n C) 4

e) 36

Números primos y compuestos I.

Ejm:

NÚMEROS SIMPLES Son aquellos que tienen a lo más dos divisores. I.A. La unidad Es el único entero positivo que posee un solo divisor, el mismo. I.B. Número primo También llamado “Primo absoluto”, es aquel que posee exactamente dos divisores el mismo y la unidad.

II. NÚMEROS COMPUESTOS Son aquellos que poseen más de dos divisores.  Observación: 1. La unidad es un divisor universal. 2. El número 2 es el único primo absoluto par. El 2 y el 3 son los únicos primos consecutivos. III. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI) También denominados primos relativos o “coprimos”, y son aquellos números que poseen como único divisor común a la unidad. Ejm:  ¿12, 10 y 15 son PESI? Divisores 12

:

1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12

10

:

1 , 2 , 5 , 10

15

:

1 , 3 , 5 , 15

El único divisor común de 12, 10 y 15 es la unidad, por lo tanto son PESI. IV. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA Todo

número compuesto se descompone en una

multiplicación de potencias de exponentes enteros positivos de sus divisores primos.

24 = 23 x 3 882 = 2 x 32 x 72 720 = 24 x 32 x 5 *

Observación:  A esta descomposición se le conoce con el nombre de DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA.  La descomposición canónica de un número es única. V. PRINCIPALES FÓRMULAS 

Cantidad de Divisores (C.D.) CD(N) = ( + 1) ( + 1) ( + 1) … Ejm: Hallar la cantidad de divisores de 180. 180 = 22 . 32 . 5 CD(180) = (2 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 18



Suma de Divisores (S.D.)  A 1  1   B 1  1  SD(N) =      A  1   B  1 

 C  1  1   ...  C  1 

Ejm: Hallar la suma de divisores de 180. 180 = 22 . 32 . 5  23  1   33  1   52  1  SD(180) =        546  2  1   3  1   5  1 



Suma de las inversas de los divisores (S.I.D.) SD(N) SID (N) = N

a) 9

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8 2n

22.- Calcular el valor de “n” si se sabe que 9.12

tiene 33 divisores

n

más que el número 13.12

1.- Determinar el número de divisores de 90. a) 9 b) 10 c) 12 d) 13

a) 1

e) 14

b) 2 2

c) 3

d) 4

e) 5

a

23.- Al multiplicar 3 .5 por 8 su número de divisores se incrementa en 45. Hallar el valor de “a”. a) 6 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2.- ¿Cuántos divisores menos tiene 240 que el número 720? a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15

3.- Cuantos divisores más tiene A que B, si: A  2 .3 .7 ; B  5.7 .11 24.- ¿Cuántos divisores múltiplos de 20 tiene el número 240? a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 2

2

2

4.- ¿Cuántos ceros debe tener: A  300......0 , para que admita 72 2 3 25.- ¿Cuántos factores tiene N  2 .3.5 son múltiplos de 100? divisores? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 a) 3 b) 6 c) 4 d) 5 e) 10 n

5.- Determinar “n”, sabiendo que 40 tiene 65 divisores. a) 5 b) 6 c) 3 d) 2 e) 4

k 2

26.- Si A  8  8 k

tiene 88 divisores, ¿Cuántos divisores tiene

k 2

8 ? a) 27

b) 28 c) 26 d) 25 e) 64 3 2 2 3 6.- Si A  4 .6 y B  4 .6 , ¿Cuántos divisores comunes tienen A y n n B? 27.- Si el número de divisores de los números 300 y 16.90 son a) 24 b) 16 c) 32 d) 28 e) 20 iguales, hallar “n” a) 6 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 7.- Hallar el menor número que tiene 12 divisores. De cómo resultado k la suma de sus cifras 28.- Hallar “k”, sabiendo que N  8.12 tiene 40 divisores. a) 4 b) 5 c) 6 d) 9 e) 10 a) 6 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 8.- ¿Cuántos divisores de 30 son número primos? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

e) 6

29.- Hallar “k”, sabiendo que N  6.15 ; tiene 112 divisores. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 5

9.- La suma de divisores de 35 es: a) 36 b) 42 c) 48

e) 54

30.- ¿Cuántos divisores múltiplos de 5 tiene 360? a) 16 b) 12 c) 24 d) 14

d) 45

k

10.- ¿Cuántos divisores múltiplos de 5 tiene el número 130? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 n

11.- Si 12 .8 tiene 60 divisores. ¿Cuánto vale “n”? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6

e) 7

12.- ¿Cuánto divisores de 72 tiene raíz cuadrada exacta? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

e) 18

31.- Hallar la suma de todos los divisores propios de 360 a) 820 b) 810 c) 960 d) 720 e) 760 32.- Hallar la suma de las inversas de todos los divisores de 120. a) 3 b) 6 c) 9 d) 4 e) 8 n

33.- Si: 6 tiene 30 divisores más que 7n . ¿Cuántos divisores tiene n

13.- De todos los números que dividen a 56. ¿Cuántos son pares? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

8 ? a) 12

b) 14

c) 16

d) 18

e) 20

14.- ¿Cuántos divisores de 84, tienen dos cifras? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7

e) 8

34.- Si N  2.3 .7 tiene 40 divisores múltiplos de 9 y 30 divisores múltiplos de 2. Hallar: (a + b) a) 4 b) 5 c) 8 d) 9 e) 12

15.- ¿Cuántos divisores de 150, son múltiplos de 5? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9

e) 10

35.- Halla “N” N  20.10 sabiendo que el producto de sus divisores

a

16.- Si W  9.10 tiene 27 divisores, hallar cuantas cifras tiene W. a) 9 b) 7 c) 6 d) 3 e) 8 a

b

n

9

27

es 2 .10 veces el número. a) 1000 b) 2000 c) 3000

d) 4000

e) 5000

17.- ¿Cuántos ceros debe tener W  200......0 , para que admita 56 36.- El número A  2x  23x 5 tiene 30 divisores: Hallar “x” divisores? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 37.- Hallar el valor de “x” sabiendo que el número N tiene el mismo 18.- Si “W” tiene 1 369 divisores, determinar el valor de “n”, donde: x número de divisores que 63 000. N  2 6.28 W  10.102.103.10 4.......10 n a) 10 b) 12 c) 30 d) 40 e) 21 a) 10 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 38.- ¿Cuántos divisores tiene el número 108 800? a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 e) 54 19.- ¿Cuántos divisores múltiplos de 6 tiene el número 720? a) 12 b) 13 c) 14 d) 16 e) 18 39.- ¿Cuántos divisores menos tiene 360 que el número 1800? a) 12 b) 2 c) 6 d) 10 e) 5 10.- Encontrar el valor de “a”, si 4a  4a 3 tiene 28 divisores. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 2 40.- La suma de los divisores de 144 es: a) 288 b) 312 c) 366 d) 403 e) 503 21.- Hallar “n” para que el número de divisores de “N” sea el doble n n 41.- La suma de los divisores de 360 es. que el número de divisores de “M”. Si N  30 y M  15.18 a) 2340 b) 1170 c) 351 d) 1404 e) 1240

42.- El producto de divisores de 18 es: a) 2916 b) 5832 c) 8748

d) 1166

e) 5020

A  1125.15x tiene el doble

43.- Hallar “x” sabiendo que el número de divisores que el número 2016. a) 3 b) 4 c) 5

d) 6

66.- ¿Cuántas cifras ceros es necesarios colocar a la derecha del número 35 para que el número resultante tenga 112 divisores? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 67.- Si: M  30.30.30.......30 , tiene 343 divisores. Hallar “n” " n " factores

e) 7

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

44.- La suma de los divisores de C  2 5 7 es 3720. Hallar la suma a b 68.- Si a un número de la forma N  2 .3 , se le multiplica por 2, el de los divisores de 2 x número de divisores aumenta en 3, y si se le divide por 6, su a) 15 b) 31 c) 7 d) 63 e) 24 número de divisores disminuye en 8. Hallar el número. 45.- El producto de los divisores de R  2x.7 es 21 952. Hallar “R” a) 144 b) 288 c) 298 d) 882 e) 972 a) 28 b) 56 c) 112 d) 224 e) 144 x 2

46.- ¿El número

A  246x tiene 8 divisores menos que el número

B  642x . Hallar su diferencia? a) 6912

b) 2196

c) 6294

d) 1926

69.- ¿Cuántos de los siguientes números son primos? 14(9); 21(7); 35(8); 17(9); 79(12) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) 5

e) 1026

70.- Hallar “x” si: N  2x  2x 1  2x  2  2x 3  2x  4 , tiene 20 divisores no primos. x 1 x a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 47.- La suma de las inversas de los divisores de T  2 3 5 es 3,25. El número es: x  4 x 1 a) 72 b) 180 c) 144 d) 360 e) 120 71.- El número B  2 .3 .7 , tiene 30 divisores pares. Hallar el valor de “B” 48.- Calcular el número de divisores de 1080 a) 336 b) 2016 c) 4032 d) 8064 e) 12096 a) 32 b) 30 c) 35 d) 36 e) 40 72.- ¿Cuántos divisores de 240 no son múltiplos de 6? 49.- Calcular la suma de divisores del número 600. a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 20 a) 1860 b) 1380 c) 4002 d) 4102 e) 3430 50.- ¿Cuántos divisores de más posee el 720 que el 150? a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 12 51.- ¿Cuántos números compuestos posee el número 2400? a) 32 b) 33 c) 36 d) 39 e) 43 52.- Calcular la suma de divisores compuestos del número 200. a) 450 b) 452 c) 457 d) 465 e) 446 53.- Si ab es primo ¿Cuánto divisores tiene ababab ? a, b  3. a) 16 b) 32 c) 8 d) 24 e) 36 54.- ¿Cuántos divisores de 1200 son múltiplos de 12? a) 8 b) 9 c) 11 d) 10 e) 14

73.-

La suma de los divisores de N  36.9 es 84. ¿Cuántos divisores tiene “N”? a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 30 k

74.- El producto de divisores de A  2 .3 es 1728. Hallar el valor de “A + x”. a) 7 b) 14 c) 27 d) 52 e) 96 x

75.- ¿Cuántos de los diversos de 360 tiene 2 cifras? a) 10 b) 12 c) 16 d) 14

e) 13

76.- ¿Cuántos ceros se deben poner a la derecha de 9 para que el resultado tenga 239 divisores compuestos? a) 6 b) 8 c) 9 d) 5 e) 4

n

55.- Hallar “n” si se sabe que el número 189 tiene 133 divisores. a) 5 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 n

n1

56.- Si 15 .10 tiene 160 divisores. ¿Cuánto vale n? a) 2 b) 3 c) 6 d) 7

e) 8

57.- Hallar “a” si se sabe que: N  25.45 tiene 117 divisores. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 58.- Si: N  4a  2.4a tiene 29 divisores. Hallar “a” a) 1 b) 3 c) 5 d) 4 e) 8 a

59.- Hallar (a + b) si N  5 .6 tiene 143 divisores compuestos. a) 7 b) 6 c) 5 d) 9 e) 8 a

b

77. Hallar la cantidad de divisores compuestos de: i) N = 23 x 7 x 132 a) 20 b) 21 c) 23 d) 24 e) 3 ii) N = 53 x 72 a) 12 b) 11

c) 10

d) 9

e) 2

78. Hallar la cantidad de divisores compuestos de: i) N = (23 x 3)2 a) 21 b) 20 c) 19 d) 12 e) 18 ii) N = (72 x 5)2 a) 15 b) 12

c) 10

d) 8

e) 6

60.- ¿En qué cifra termina el producto de los 47 primos números primos? a) 1 b) 3 c) 5 d) 0 e) F.D. 61.- ¿Cuál es el menor número que tiene 8 divisores compuestos? a) 48 b) 32 c) 72 d) 60 e) Ninguna

79. ¿Cuántos divisores primos tiene: (, ,  1)? i) N = 2 x 7 x 3 x 5 +  a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 ii) N = 2 +  x 7 x 13 a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

62.- Halle la suma de todos los divisores compuestos de:

80. Dos números primos suman 14. Calcular el producto de estos dos números. a) 22 b) 26 c) 33 d) 34 e) 35

N  152.213.632 a) 48 b) 32 c) 72 d) 60 e) Ninguna 63.- Hallar la suma de los divisores de 540 que sean múltiplos de 6. a) 1504 b) 1600 c) 1404 d) 1540 e) 144 64.- Hallar la suma de los divisores de 4680 que sean primos con 351. a) 30 b) 40 c) 60 d) 80 e) 90 65.- ¿Cuántos números menores que 300 son primos con 300? a) 30 b) 80 c) 140 d) 200 e) 300

81. Indicar la pareja de números PESI : a) 8 y 24 b) 21 y 44

c) 42 y 14 d) 15 y 70 e) 20 y 18

Divisibilidad La divisibilidad es una parte de la teoría de los números que analiza las condiciones que debe tener un número para que sea divisible por otro. ¿Y cuándo un número es divisible por otro? Se dice que “A” es divisible por “B”, si al dividir “A” entre “B” la división resulta exacta (cociente entero y residuo cero). “A” es divisible por “B” 

A 0

B q  cociente entero residuo cero 1. Definición de Divisor Se dice que B es divisor de A, cuando lo divide en forma entera y exacta. Es decir: Si A B 0 k Donde: A es un entero B es un número natural k es un número entero Se lee: B es divisor de A A es divisible por B 2. Definición de MÚLTIPLO Se dice que A es múltiplo de B, cuando lo contiene un número entero y exacto de veces. A = B(k) : A es múltiplo de B. Notación:

A=



B

3. NÚMEROS NO DIVISIBLES Sabemos que un número es divisible por otro cuando la división es entera y exacta. Pero cuando dicha división tiene residuo, diremos que el dividendo es múltiplo del divisor más el residuo. Es decir:

 

Cero es múltiplos de todos los números naturales. La unidad es divisor o factor de cualquier número entero. Todo número tiene infinitos múltiplos pero finitos divisores.

B q  A = Bq + r

Ejemplo: 43 1

43 = 43 6



 43 =

7 6

7 

7

(6) + 1

+1

 43 = 7(7) - 6

7 7

43 =



7

-6

Nótese: Por defecto 

7

+1

Por exceso =



7

-6

suman 7

4. OPERACIONES CON MÚLTIPLOS 

















a) n  n  n b) n  n  n c) n x n  n 



d) ( n )E  n 

OBSERVACIONES



A r

e)

n 

n





n

5. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Llamamos Criterios de Divisibilidad a ciertas reglas prácticas que aplicadas a las cifras de un numeral permitirán determinar su divisibilidad respecto a cierto módulo.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Indique verdadero o falso según corresponda: a) 35 = b) 5 =

A. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ENTRE 3 Ó 9 

c) 48 =



abcd  3 

abcde

=

11

a–b+c–d+e=



abcde  2 

abcde  4 

abcde  8



abcde  25 

abcde  125

(

)

(

)

+2

(

)

+3

(

)

-5

(

)

(

)

9 

 

5 

6 

7

+1



2

e=

2. Indique verdadero o falso según corresponde:



de  4

a) 42 =



b) 39 =

cde  8

d)

13

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

+2

(

)

+3

(

)

+5

(

)

+3



11

=8 

3

f) 100 =

de  25

h) 30 = i)



33

=

-1



5

g) 150 =



cde  125



4 

11 



j) 67 =

7 1.-

F. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ENTRE 13

11



e) 100 = 3 + 1



a – 2b – 3c – d + 2e + 3f + g =





6



e=0o5

E. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ENTRE 7 1 2 3 1 2 31 abcde fg

)

5

j) 50 =

D. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ENTRE POTENCIAS DE 5 

(



3

g) 36 =

c) 55 =

abcde  5

)

1000

i) 43 = C. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ENTRE POTENCIAS DE 2

(

f) 10 =

h) 38 =



11

)

4





(





B. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ENTRE 11

)

15

d) 111 = e) 48 =

(



a + b+ c + d= 3 a + b+ c + d= 9

abcd  9



5

7

Si el número 375x es divisible por 4. Hallar la suma de los valores que toma “x” a) 12 b) 16 c) 10 d) 8 e) 9

2.- El número 2x 45y es divisible por 72. Hallar el valor de “x + y” a) 11 b) 6 c) 7 d) 8 E) 10 3.- ¿Cuál es el valor de “x” si se sabe que el numeral 2x 45y es divisible entre 72? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 4.- Calcular: (a + b). Si: 5ab46a es divisible entre 24. a) 7 b) 6 c) 5 d) 10 5.- Si: N  4(2m)32m4 es múltiplo de 11. Hallar “m ”.

e) 11

a) 3

b) 2

c) 0

d) 1

e) 5

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

6.- ¿Cuántos números de la forma: 9b33 son múltiplos de 7? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

26.- Calcular: (a + b). Si: 5ab46a es divisible entre 24. a) 5 b) 6 c) 12 d) 18 e) 15

7.- Halar “z”, si 52z15 es múltiplo de 13. a) 2 b) 3 c) 4

27.- Si el número: 5 x10y es divisible por 12. ¿Cuál es el valor de “x + y”? a) 6 b) 7 c) 9 d) 5 e) 8

d) 5

8.- Hallar “a + b”, si a542ba es múltiplo de 45. a) 12 b) 7 c) 8 d) 10

e) 7

e) 11

9.- Si el número 15ab98 s múltiplo de 99. Hallar “a2 + b2” a) 72 b) 81 c) 36 d) 89 e) 54

o

28.- Si: 1a  2a  3a  ....  10a  9 . Hallar: “a” a) 12 b) 13 c) 15 d) 10

e) 14

29.- Hallar el residuo que deja la siguiente división: 167667  11 a) 6 b) 7 c) 5 d) 3 e) 2

10.- Si el número 5 x58y es divisible entre 88, ¿cuál es el residuo de dividirlo entre 9? 30.- Hallar el residuo de la siguiente división: 3828  7 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 a) 4 b) 2 c) 3 d) 1 11.- El número 1245x es divisible por 8. Hallar “x” a) 3 b) 4 c) 5 d) 6

e) 7

12.- ¿Cuántos números de la forma 3 x 2y son múltiplos de 36? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

31.- ¿Cuál es el residuo al dividir: 68 UNI a) 2 b) 1 c) 8 32.- Hallar el residuo de dividir 8 a) 2 b) 3 c) 1

436 754

98

e) 5

 11 d) 7

e) 3

 11 d) 0

e) 4

13.- Si el número 8126y es múltiplo de 3. Dar la suma de los valores 33.- Calcular a + b + c + m + n + p sabiendo que todas son de “y” significativas y diferentes entre sí y que abc es el mayor a) 15 b) 18 c) 21 d) 9 e) 24 o

abc mnp

 6 2 posible y mnp el menor posible. Además: 728 14.- El número 47 x 2 es múltiplo de 4. Los posibles valores de “x” a) 18 b) 25 c) 29 d) 30 e) 31 son: 120 a) 2; 4; 6; 7; 9 b) 4; 5; 6; 7 c) 0; 4; 8 d) 0; 4; 5; 7; 9 104 34.- Hallar el residuo de dividir N entre 5; N  102 e) 1; 3; 5; 7; 9 a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) 4 15.- ¿Hallar “x” para que el número 475x sea múltiplo de 8? a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) T.A. 35.- ¿Cuántos valores toma “a” para que se cumpla la igualdad: o

a1a 3 ?

16.- Los números: 36x50;218y 67;12z31 son divisibles por 9. Hallar la suma de los valores de x , y , z a) 9 b) 10 c) 8 d) 12 e) 15

a) 1 1.

17.- Los números: 536x34;2814y 5;3z7042 son múltiplos de 11. Hallar x – y + z a) 4 b) 5 c) 9 d) 10 e) 8

b) 2

d) 4

e) 5

¿Cuántos números de 2 cifras son divisible por 11?

a) 11 2.

c) 3

b) 10

c) 9

d) 8

e) 7

El mayor número de 2 cifras es un múltiplo de:

o

18.- En el número 2x7  13 . Hallar la cifra “x” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0 19.- El número 5473x es múltiplo de 12. Hallar el complemento aritmético del número xx . a) 22 b) 66 c) 77 d) 44 e) 55

a) 2 3.

20.- Si 47xy es divisible por 45, el valor de “x” puede ser: a) 3 ó 5 b) 4 ó 6 c) 2 ó 5 d) 2 ó 7 e) 3 o

21.- El número 21x3y  36 . ¿Qué valores puede tomar “x”? a) 2 ó 4 b) 1 ó 6 c) 3 ó 6 d) 1 ó 4 e) 4

23.- Hallar “a”, si 52a15 , es múltiplo de 13. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

5.

a) 3

25.- Hallar “x + y” en:

b) 1

c) 10

d) 20

e) 9

Si el siguiente número 453x es divisible por 7, calcular el valor de “x”. b) 6

c) 5

d) 4

e) 3

Del 1 al 3000. ¿Cuántos números no son múltiplos de 11?

º

a) 272

b2  c 2 . Hallar “p” 7

b) 1/4

e) 6

Indicar la suma de cifra del mayor número que sea 8 . I. 648 II. 1000 III. 2008 IV. 7580

a) 7

e) 7

24.- Si se cumple: 88b23  7 ; 98c827  11 Además: P 

d) 5



4.

6. º

c) 4

Relaciona correctamente: 91 es múltiplo de 8 154 es múltiplo de 3 2000 es múltiplo de 13 1941 es múltiplo de 11

a) 18 22.- En el número x 56y múltiplo de 72, x es una cifra par. Entonces el valor de, E = 2x + 5y, es: a) 14 b) 22 c) 56 d) 38 e) 54

b) 3

c) 2/7

d) 3/4

e) 81

b) 273

c) 2727

d) 2728 

7.

Del 240 al 1500. ¿Cuántos números son 1 5 ?

º

y 64 x 0y 64  72

a) 83

b) 84

c) 85

d) 86

e) 82

e) 2726



8.

¿Cuántos múltiplos de 7 están comprendidos entre 30 y 300? a) 36

9.

b) 37

c) 38

d) 39

b) 11

c) 12

¿Cuántos números de dos cifras son 5 ? a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21

5.

Hallar el menor dígito “p” que cumple:

e) 40

¿Cuántos múltiplos de 13, que no terminan en 5, hay entre 800 y 1000? a) 10

4.

d) 13



3p + 19 = 4

e) 14

a) 1

10. ¿Cuántos números de 4 cifras múltiplos de 8 que terminan en 6, existen?

6.

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Hallar “n” si cumple: 

a) 220

b) 225

c) 230

d) 250

127n  17

e) 300

11. ¿Por qué número es siempre divisible un número de la forma

abba ? a) 2

7. b) 7

c) 13

12. ¿Un número de la forma de ? a) 41

b) 43

d) 11

(3a) (3b) ab

c) 11

b) 27

c) 30

b) 7

c) 6

d) 9

b) 4

c) 3

e) 11

d) 6

e) 7



16. ¿Cuántos números del 1 al 100 son 9 + 3? a) 9

b) 8

c) 7

d) 6

e) 10

17. ¿Cuántos números de 3 cifras son divisibles por 14? a) 61

b) 62

c) 63

d) 64

e) 65

18. ¿Cuántos números de 3 cifras son divisibles por 7? a) 127

1.

b) 128

c) 129

d) 130

e) 124

¿Cuántos números d 4 cifras son múltiplos de 8 pero no de 6? a) 40

b) 36

c) 31

d) 28

e) N.A. 

2.

Del 1 al 200. ¿Cuántos números son 12 ? a) 17

b) 18

c) 15

d) 14

e) 16



3.

Si el numeral 58101x es 7 hallar “x” a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

a) 1 1.

2.

e) 0

b) 3

c) 5

d) 7

e) 9

Sabiendo que 7 xy22 es divisible entre 7 y que la a) 5

b) 6

c) 7

¿Cuántos

números

de

la

d) 8

e) 9

forma

1ababa

d) 4

e) 5

son

divisibles entre 28?

e) 40

15. Si el siguiente número 162a es divisible por 8. ¿Cuál es el valor de “a”? a) 5

e) 9

suma de sus cifras es 25. ¿Cuál es el valor de “y”?

14. Si el número 92a es múltiplo de 13 más 5. Calcular “a” a) 8

d) 7



e) 9

d) 32

c) 5

1a  2a  3a  4a  5a  37

es siempre múltiplo

d) 17

b) 3

Hallar “a” si:

e) 9

13. ¿Cuántos números pares de 3 cifras se convierten en múltiplos de 32 al sumarles 20 unidades? a) 28

a) 1

a) 1 3.

b) 2

c) 3

Si 1 3a2ba es divisible entre 63. ¿Cuál es la suma de todos los posibles valores de a y b? a) 14

b) 16

c) 18

d) 20

e) 22

Mcd y mcm MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)

1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) Es el mayor divisor que tienen en común dos o más números. Ejm:

3. MÉTODOS DE CÁLCULO DEL MCD Y MCM I.

Por descomposición canónica

 Hallar el MCD y MCM de 40 y 60. Paso 1: Descomposición canónica

Hallar el MCD de 12 y 18 40 20 10 5 1

Divisores 12 :

1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12

18 :

1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18

2 2 2 5

60 30 15 5 1

= 23 x 5

divisores comunes de 12 y 18: 1, 2, 3, 6

Paso 2:

Pero el mayor es 6.

Para el MCD

 6 es el máximo común divisor de 12 y 18. MCD (12, 18) = 6

23 > 5

2. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) Es el menor múltiplo que tienen en común dos o más números. Ejm: Hallar el MCM de 12 y 18. Múltiplos 12 :

12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72 , …

18 :

18 , 36 , 54 , 72 , …

Múltiplos comunes de 12 y 18: 36 y 72, … Pero el menor es 36:  36 es el mínimo común múltiplo de 12 y 18. MCM (12, 18) = 36

2 2 3 5

Comparación: Coloco a los menores o iguales

22

22

5

5

=

¿Qué pasa con el 3? Como no hay con quien compararlo no se coloca

Para el MCM 23

>

5

=

= 22 x 3 x 5

MCD (40, 60) 2

= 2 x 5 = 20

Coloco a los mayores o iguales

22

23

5

5 3

¿Qué pasa con el 3? Como no hay con quien compararlo se coloca

MCM (40, 60) 3 = 2 x 5 x 3 = 120

II. Por descomposición simultánea Hallar el MCD y MCM de 60 y 84 60 30 15 5

- 84 2 - 42 2 - 21 3 - 7

Como 5 y 7 son PESI entonces: La descomposición simultánea para el MCD llega a su fin.  MCD (60 y 84) = 22 x 3 = 12 Para el MCM Se sigue dividiendo, no importa si solo uno tiene divisores diferentes del otro.

60 - 84 2 30 - 42 2 15 - 21 3 5 – 7 5 1 1 – 7 7 2 1 - 1 La descomposición simultánea para el MCM llega a su fin cuando se obtienen puros unos.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Hallar el MCD de: i) 72 y 86 ii) 135 y 90 iii) 54 y 144 2. Hallar el MCD de A y B si: A = 22 x 33 x 7 x 1110 B = 23 x 34 x 56 x 1310 a) 2 x 32 b) 22 x 34 c) 23 x 33 d) 22 x 33 e) 24 x 33 3.

4. Hallar el valor de “n” si el MCD de A y B tiene 24 divisores. A = 3n x 52n+1 x 7 B = 32n x 2 x 5n + 2 a) 1

 CONCLUSIONES  Para el MCD: La descomposición simultánea acaba cuando se obtienen números PESI.  Para el MCM: La descomposición simultánea llega a su fin cuando se obtienen puros unos.

5.

6.

b) 2

7.

MCM(A, B) x MCD(A, B) = A x B

9.

d) 4

e) 5

d) 6

e) 18

Si MCD( 5a, 4b ) = 14. Hallar (a + b) b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

Si MCD ( 7 a, (2a)a ) = 6. Hallar “a” a) 2

8.

c) 3

Hallar el MCD de A y B: A = 4 x 9 x 15 B = 2 x 6 x 14 a) 12 b) 10 c) 4

a) 4

Además: Para 2 números:

Hallar el valor de “n” si el MCD de A y B tiene 15 divisores. A = 2 n x 34 B = 2n–1 x 32 x 52 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

Un negociante tiene 3 barriles de vino de 360, 480 y 600 litros, desea venderlos en recipientes pequeños de modo que no sobre ni falte vino en ninguno de los barriles. ¿Cuál es la máxima capacidad de los recipientes? a) 60  b) 80  c) 100  Calcular el MCM de: i) 360 y 150 ii) 82 y 7 iii) 27 y 54

d) 120 

e) 140 

10. Hallar el MCM de A y B si: 3

x 5 x 7

2

x 5 x 11

A=2 B=2 3

4

4

6

6

a) 2 x 5 x 7 x 11

4

6

2

d) 5 x 7 x 2 x 11

2

4

6

3

6

2n

b) 2 x 5 e) 5 x 11 x 7 c) 2 x 11 x 7 11. Hallar el valor de “n” si el MCM de A y B, tiene 60 divisores. n+ 1 2n

B = 2 a) 0

x3 x7 5

x3 b) 1

c) 2

d) 3

n

n

3

2 2

B = n x 11 x 2 a) 1 b) 2

b) 6

c) 3

d) 5

e) 7

b) 7

c) 8

d) 9

c) 6

d) 5

e) 10

e) 4

16. Colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: i) MCD significa “mínimo común divisor” ii) El MCM de dos números contiene exactamente a dichos números siempre. iii) El MCM y MCD de dos números pueden ser iguales. 17. Hallar el MCD de A y B si: A = 72 x 113 x 5 B = 52 x 7 x 13 a) 25 b) 30 c) 35 d) 40 18. Hallar el MCD de A y B: A = 16 x 3 B = 8 x 15 b) 16

c) 24

3

d) 4

5

3

2

d) 2 x 3

2

A = 3 x 7 x 11 2

B = 2 x 7 a) 2 x 7 x 3

2

x 3 b) 2 x 3 x 7 x 11

d) 7 x 11 x 3

2

c) 72 x 3

2

e) 2 x 3 x 7 x 11

26. Hallar el valor de “n” si el MCM de A y B tiene 56 divisores. n–1

n

A = 11

n+ 2

B = 11 a) 4

x 13

2

x 13 b) 5 c) 6

d) 7

e) 8

A = 7 x 14 n

B=7x2 x3 a) 1 b) 2

e) 35

a) 4

e) 6

c) 3

d) 4

e) 5

Hallar (a + b) si MCM( 10a, 17b ) = 525 b) 6

c) 8

d) 10

e) 12

Hallar “a” si MCM ( (2a)5, a7 ) = 135 a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

El producto de dos números es 1750 y su MCM es 350. Hallar su MCD.

e) 6 a) 2

n

3

c) 2 x 3

25. Hallar el MCM de A y B si:

e) 65

21. Hallar el valor de “n” si el MCD de A y B tiene 12 divisores. A= 2 x7

b) 3 x 7

24. Relacione correctamente ambas columnas: I. 24 y 48 A) Su MCD es 24 II. 21 y 16 B) Su MCD es 1 III. 26 y 52 C) Su MCD es 26

4. d) 5

e) 5

3

20. Si MCD ( 1a7, 1(2a)9 ) = 21 Hallar el valor de “a” a) 2 b) 3 c) 4

3

a) 3 x 2

3. c) 3

d) 4

27. Hallar el valor de “n” si el MCM de A y B tiene 60 divisores.

19. Si MCD ( 5a, 1b ) = 6 Hallar (a + b) a) 2 b) 5



23. Hallar el MCD de A y B si: A = 6 x 14 x 72 B = 21 x 11 x 9

2. d) 30

2n



e) 11 x 3

15. El MCM de A y 36 es 180 y su MCD es 9. Hallar el valor de A. a) 45 b) 30 c) 35 d) 40 e) 48

a) 20

e) 5

x 11 x 13

2

14. Si MCM ( 9a, 2a ) = 196 a) 8

d) 4

B = 2 x 7 x 11 x 13 a) 1 b) 2 c) 3

13. Si MCM ( 9a, 4b ) = 90. Hallar (a + b) a) 4

c) 3

2

A= 7

e) 4

12. Hallar el valor de “n” si el MCM de A y B tiene 48 divisores (“n” es un número primo) A = n x 2 x 11

x7 b) 2

22. Hallar el valor de “n” si el MCD de A y B tiene 20 divisores.

4

A = 2

2

B =2 a) 1

b) 3

c) 5

d) 7

e) 11

Operaciones en Z

La primera operación aritmética que se conoció fue la suma. Para resolver esta operación siempre se recurría a elementos concretos, puesto que no se había llegado a un grado suficiente de abstracción matemática. En América, los incas, que alcanzaron un elevado nivel de cultura, practicaban la suma haciendo nudos en unas cuerdas de vivos colores que iban juntando hasta formar el llamado equipo.

La operación resultaba muy compleja para los antiguos. Los griegos se auxiliaban de la tabla pitagórica, que ya conocían antes de nacer Pitágoras. Los babilonios empleaban tablas de cuadrados. Entre los romanos, la operación era lenta y trabajadora, como se observa en la ilustración, debido a su notación numeral. el signo de multiplicar, Cruz de San Andrés, se atribuye a W. Oughtred, hacia 1647.

ADICIÓN

MULTIPLICACIÓN

Es una operación directa que consiste en reunir un conjunto de cantidades homogéneas en una sola: cada una de las cantidades se denomina sumando y al resultado suma.

Podemos afirmar que en la práctica la multiplicación es una operación que abrevia la suma.

a1  a2  a3  ............  an  S

Regla de Signos para la Multiplicación de Números Enteros



Donde; etc., son los sumandos; y S es la suma. SUSTRACCIÓN

Es la operación en la que dadas dos cantidades llamadas minuendo (M), sustraendo (S) respectivamente, se trata de hallar una tercera cantidad llamada diferencia (D). M – S = D M= D + S  M + S + D = 2M COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CºA) Es lo que le falta a un número para ser su respectiva unidad inmediata superior.

CA(abc) 1000  abc



Si dos números enteros tienen el MISMO SIGNO, su producto tendrá SIGNO POSITIVO. Si dos números enteros tienen DISTINTO SIGNO, su producto tendrá SIGNO NEGATIVO.

DIVISIÓN

Dividir es calcular el número de veces que contiene un número llamado dividendo (D) a otro llamado Divisor (d). Este "Número de veces" recibe el nombre de cociente (q) División Exacta.- Si el DIVIDENDO (D) contiene una cantidad EXACTA de veces al divisor (d), entonces tenemos una DIVISIÓN EXACT

20.Rocio gastó S/. 20 soles en comprarse golosinas y 2 soles más en comprar un polo. ¿Cuánto gastaría si se compra 6 polos? Hallar los números enteros a colocar en los casilleros 21.Jorge gastó S/. 10 en comprarse un CD en la "Cachina" y 30 soles más en comprarse un teléfono celular en el 1. (+1) = (+3) - (-2) mismo sitio. ¿Cuánto gastaría en comprarse tres CD y un teléfono celular? 22.Lula se pone a dieta. El primer mes bajó 1200 gr, el 2. (+8) - (-2) = (+3) segundo mes bajo 400 gr más que el mes anterior y el tercer mes, subió 900 gr por comerse tortas y dulces. 3. - (+2) = (+3) ¿Cuántos gramos bajó Lula hasta el tercer mes? 23.En un juego un apostador gana S/. 60 y luego pierde S/. 4. - (-6) = (-2) 85, después gana S/. 72 y por último vuelve a perder S/. 35. ¿Cuánto abcc  accc  5088 5 .Si: ganó o perdió? Hallar el valor de (a+b+c) 24.Si Pablo nació en el centenario de la independencia del Perú. ¿Qué edad cumplirá en el año 2001? a1b  a2b  a3b  ......  a9b  5 922 25.¿Cuánto costó lo que al venderse en 6 .Si: S/. 2937 deja una ganancia de S/. 129? Hallar el valor de (a+b) 26.¿Cuánto costó lo que al venderse en 7 .Hallar la suma: $ 600 deja una pérdida de $ 123? S=5+17+29+41+... 27.Rómulo gastó al comprar por partes su computadora (30 sumandos) $490. Si quiere ganar 8.Hallar la suma de todos los números de tres cifras que $ 230, ¿A cuánto lo tiene que vender? empiezan y terminan en cifra 7. Dar como respuesta la suma de sus cifras. 28. (+2)(+7) = +6 9. La suma de los términos de una sustracción es 964. La 29. (-1)(+5) + (-3)(-2) = suma de las cifras del minuendo es: 30. (-7)(+2) - (+3) = 10.La diferencia entre los complementos aritméticos de un 31. (-5)(-6) ¸ (-2) +7 = número de 4 cifras y otro de 3 cifras es 5 380. Si la 32.Le preguntan a Javier por su edad y éste responde: Si al suma de dichos números es 4 780. doble de mi edad le suman 4, obtienen 40 años. ¿Cuál es Hallar la suma de las cifras del menor. la edad de Javier?

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

33.Un sargento quiere formar a sus soldados en 5 filas de abc  cba  4mn 11.Sabiendo que 6 cada una, pero observa que le faltarían 4 soldados, y además a+c=11. Hallar el valor de entonces los forman en 4 filas de 5. ¿Cuántos le sobran (a+2c) ahora? 12.Después de vender una moto perdiendo $120 preste 34.La suma de dos números es 406, su cociente es 2 y el $200 y me quede con $380. ¿Cuánto me había costado la resto 91. ¿Cuáles son los números? moto? 13.Jefrey nació en 1888 se casó en el año 1924; dos años EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE MULTIPLICACION después nació su primer hijo y murió cuando su hijo tenía 38 años. ¿En qué año murió? 1. Efectuar: 14.Si recibiera $ 2480 podría comprarme un auto Mazda A = (2 + 2 + 2 + 2 + … + 2) (3 + 3 + … + 3) último modelo de $ 11500. ¿Cuánto tengo? 8 veces 5 veces 15.El menor de dos números es 15239 y la diferencia entre ambos es 257. Hallar el mayor. a) 200 b) 240 c) 100 d) 150 e) 120 16.El mayor de dos números es 3592 y la diferencia entre ambos es 649. Hallar el menor y dar como respuesta la 2. Efectuar: menor cifra empleada en su escritura. 17.La suma de dos números es 2491 y la mitad del menor es B = [(-3) + (-3) + (-3) + … + (-3)] x [(-2) (5)] 521. Hallar el mayor. 11 veces 18.¿En cuánto excede la suma de 193 y 249 a la diferencia entre 1982 y 1647? a) -33 b) -10 c) 330 d) -330 e) -110 19.Si Enrico tuviera 10 años menos tendría 36 años y si María Fe tuviera 13 años más tendría 28 años. ¿Cuánto más joven es María Fe que Enrico?

3.

Entre Toño y Jorge tienen S/. 126. Si la cantidad que tiene Toño es 17 veces la que tiene Jorge.

13. El producto de 2 números es 396, si se añaden 3

¿Cuánto más tiene Toño que Jorge? a) 129 4.

b) 112

c) 17 d) 34

unidades al multiplicador, el producto aumenta en 66 e) 68

unidades. Hallar el factor mayor.

edad de Olinda es el doble que la de Manuela. ¿Cuál es la edad de Olinda? a) 26 años 5.

a) 25

Las edades de Olinda y Manuela suman 78 años. Si la

b) 52

c) 13

d) 39

unidades respectivamente.

e) 42

Hallar la cantidad mayor.

números. a) 60

7.

1.

Si Paco gasto S/. 30,

¿Cuánto gastó Cecilia? a) S/. 60 8.

b) 70

2.

a) 5449

compró Carola. ¿Cuántos polos compraron en total?

9.

c) 12

d) 14

e) 22

3.

b) 70

c) 50

d) 20

4.

e) 30

b) 50

c) 32 d) 24

5.

e) 18

d) 704

e) 720

Calcular el dividendo si se sabe que en una división el cociente resulto 31, el divisor 23 y el residuo a) 713

responde si el doble de mi edad le suman 8, obtienen a) 48 años

b) 702 c) 721

resultó mínimo.

10. Le preguntan a Juan Pablo por su edad y este 40 años. ¿Cuál es la edad de Juan Pablo?

En una división el cociente es 19. El divisor 37 y el a) 703

que tiene el menos S/. 10. Calcular la diferencia de a) S/. 60

b) 5445 c) 5495 d) 5395 e) 5415

residuo es mínimo. Calcular el dividendo.

Francisco tiene S/. 30 y Lucía tiene el doble de lo dinero que tienen.

En una división el cociente es 83, el divisor 65 y el residuo 54. Calcular el dividendo.

que compró Paula que fueron el doble de las que b) 16

b) 2106 c) 2123 d) 2120 e) 2115

e) 80

Carola compra 6 polos y Susan la tercera parte de la

a) 20

e) 100

En una división el cociente es 78. El divisor 27 y el residuo 19. Calcular el dividendo a) 2125

c) 80 d) 100

c) 40 d) 50

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LA DIVISION

e) 30

Cecilia va de compras, y gasta el triple de lo que gastó Paco más S/. 10.

b) 80

E = 2(2 + 1) (22 + 1) (23 + 1) (24 + 1) … (224 + 1) a) 1 b) 4 c) 2 d) 5 e) 0

edad. ¿En cuánto se diferencian sus edades? c) 15 d) 25

El producto de ellos

15. En qué cifra termina el resultado de multiplicar:

e) 300

Alberto tiene 10 años y Lucho tiene el triple de su a) 20 años b) 40

e) 66

aumenta en 204 unidades. Hallar la diferencia de los

tiene una de ellas es el triple de lo que tiene la otra.

6.

c) 7 d) 22

14. Si a 2 números enteros se le aumenta y disminuye 6

Entre dos personas tienen S/. 400 si la cantidad que

a) S/. 100 b) 200 c) 150 d) 250

b) 18

b) 712

c) 731

d) 714 e) 733

Calcular el dividendo si se sabe que en una división el cociente resultó 53, el divisor es 37. El residuo resultó máximo.

11. Un teniente quiere formar a sus soldados en 6 filas

a) 1997

b) 1996 c) 1961 d) 1962 e) 1998

de 7 cada, pero observa que le faltarían 4 soldados, entonces la forma en 7 filas de 5.

¿Cuántos

6.

en cociente resultó 49, el divisor es 21 y el residuo

soldados le sobran ahora? a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

resultó mínimo.

e) 5

12. Se tiene una multiplicación de 2 factores.

a) 1029 Si se

triplica uno de ellos y se duplica el otro. ¿En cuánto varía el producto inicial? a) 5 veces

b) 6

c) 2

d) 3

e) 4

Calcular el dividendo si se sabe que en una división

7.

b) 1030 c) 1031 d) 1059 e) 1050

En una división el cociente es 37, el divisor 52, calcular el dividendo si se sabe que el residuo resultó máximo. a) 1975

b) 1943 c) 1934

d) 1974 e) 1933

8.

En una división el cociente es 63, el divisor 49,

a) 16

b) 18 c) 20 d) 22

e) 24

calcular el dividendo si se sabe que el residuo resultó máximo. a) 3135 b) 3134 c) 3087 d) 3088 9.

e) 3098

En una división el cociente es 73, el divisor es 84, calcular el dividendo si se sabe que el residuo resultó máximo. a) 6215

10.

b) 6124 c) 6130 d) 6131 e) 6214

Hallar la suma de cifras del cociente que se obtienen al dividir el número 47 256 entre 12. Siendo los términos de su división números enteros. a) 12 b) 13 c) 23 d) 22

11.

términos es:

12.

b) 8763

c) 8948 d) 9415 e) 8838

Al dividir A entre B el cociente fue 7 y el residuo el más grande posible. El más grande posible. Si A + B = 107. Hallar A x B a) 107

13.

b) 95

19. Un niño tendrá ¿Qué edad tuvo a) 4 años d) 21 años

17 años dentro de 4 años, hace 8 años? b) 7 años c) 5 años e) 13 años

e) 21

Al dividir 8743 entre 13, la suma de sus cuatro a) 9435

18. Se repartieron 858 soles en partes iguales entre 37 pobres y sobraban 7 soles. ¿Cuánto le correspondió a cada uno? a) 23 soles b) 30 c) 32 d) 40 e) 45

c) 1120 d) 1140 e) 1020

En una división inexacta el cociente es 8 y el residuo 20. Al sumar el dividendo con el divisor con

20. ¿Cuánto te tardará en cortar una pieza de tela de 70 m. de largo, en trozos de 10 m., si se emplea 5 seg. en hacer cada corte? a) 45 seg. b) 35 c) 40 d) 30 e) 50 21. Una persona tiene 4000 soles y otra 1500 soles cada una ahorra 200 soles mensuales. ¿Dentro de cuántos meses, la cantidad que habrá acumulado la primera será el doble de la segunda? a) 4 b) 5 c) 7 d) 9 e) 8

el cociente y con el residuo se obtiene 336. Hallar el dividendo. a) 256 14.

b) 20

c) 320

d) 276 e) 308

Si: W + R = 410

22. Por cada docena de manzanas que compro me obsequian una manzana. Si he recibido 780 manzanas, ¿Cuántas decenas compré? a) 85 b) 60 c) 68 d) 72 e) 75

Además al dividir W entre R se obtiene 20 de cociente y 11 de residuo. Hallar: W – R a) 391 15.

b) 372 c) 399

d) 389 e) 381

La suma de dos números es 13, su cociente es 1 y el residuo 3. Hallar el mayor de dichos números. a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

16. Calcular la edad de Luis sabiendo que si al triple de la edad que tendría dentro de 3 años se le resta el triple de la que tuvo hace 3 años, se obtiene el triple de su edad. a) 2 años b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 17. El producto de 3 números enteros consecutivos es igual a 35 veces el segundo. La suma de los números es:

23. Dos números enteros de como producto -432 y ¿Cuál es la diferencia números? a) 48 b) -36 c) 12

distintos signos dan como cociente -3, positiva de ambos d) -24 e) N.A.

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN Z CONCEPTO DE POTENCIACIÓN: Es una operación en la que dada una base entera (número entero) y un exponente natural, hallamos un tercero llamado POTENCIA “P”. Así:

Exponente

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN EN Z

  

an = P

a  Z; n  N; P  Z



n

a.b n

( a) n

m

n

=

a .

n

am

m

mnp

a =

........

a a a   "n" veces

SIGNOS DE POTENCIACION EN Z

 (+a)Par o Impar = +P  (a)Par = +P  (a)Impar = P

1. (4)2

=

2. (3)3

=

3. (5)3 = 4. (2)5

=

PROPIEDADES

   

b

= a

m n

a

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

El exponente natural “n” indica la cantidad de veces que se repite la base entera “a” como factor, I. Efectuar: así tenemos: an =

n

am

= ( a)

m n p

Base Potencia

n

=

am . an = am+n amn = amn a (an)m = anm = (am)n (a  c)n = an  cn

CONCEPTO DE RADICACIÓN : Es la operación inversa a la potenciación, que dados 2 números llamados ÍNDICE y R ADICANDO, consiste en calcular un tercer número llamado RAÍZ que elevado a un exponente igual al índice resulta el radicando. Índice

II. Resolver (3)5  (3)6 5. (7)10 (7)2 (7)3

6. (2)5 (2)7 (2)2= 7. (3)3 (3)4 (3)5= 8. 9. 10.

= R  K = Rn 11.

Radicando Raíz

= =

( 5)10 ( 5)7

( 3)12

( 3)10

= = ( 2)15 ( 2)11

( 7 )7

( 7 )5

=

=

12.

[(5)3]8=

13.

[(11)7]9=

14.

[(3)10]5=

15.

[(13)9]2=

38.

16.

(3)3 (7)3=

39.

17.

(5)2 (9)2=

40.

18.

(7)5 (11)5=

19.

(13)8 (2)8=

41. 42.

121 =

20.

43.

3

21.

8

3

22.

10000 = 625 =

(25) (4)

25.

(5)9

.

4

(5)8

.

6

(13)18

3

(16)6

=

6

( 4)3

=

5

(3)10

=

44.

( 4m

5

.

45.

( 6m

3

(33) (24 ) (22 )

3

29.

46.

P =

47.

L =

48.

A =

30.

(

3

31.

(

32.

(3

=

49.

D =

34. 35. 36.

( (5 3

(17)3 (15)6

=

1 6 )5

= )2

=

)5

=

(343)

(27)

(64)

(32)

)2

(343)



1 0000

3

(64)

=



)3

51.

= 53.

= 5

= = 8

(2)5 (2)3 (2)7 (81) (9) 16 

5

3

(3) (9)

.

(2)7 (2)3 (2)10 (5)2 (5)8

 32





7

225

3

220 (1 024) (81) (27) (3)3 4

10

.

4

16

(128)

= =

5

5

2

m

(

.

=

(2)6 (24 )

7

.

.

(2)15 (8) (27) (3)4 (9)

4

4

(64) (81)

(2)18 (2)12 (3)8 (3)12 (9)5 3

52. 33.

= 100

=

50. 4

4

=

(16) (64)

28.

=

)2m

5

27.

(16)4

49 )2m

=

(81) ( 49)

26.

8

=

3

3

4

24.

8

=

 27 =

23.

3



36

37.

(12)7

)6m

=

= = 64

Números racionales (Q) Número fraccionario:

Completa:

………………………………………………………………………… …………………………………………………………

 ¿Cómo son sus términos? _____________

f

 Las fracciones representa la ___________

a b

_______________

a ------- , b  --------o a a  b , es decir  número entero b Clasificación de fracciones Dónde:

Luego: Fracción Equivalentes: Son aquellas que ___________ la misma

Fracción Propia: es aquella menor que la Unidad. a  1; a  b b

f 

___________.

Fracción Impropia: ………………………………………….………… ……………………………………… f 

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.

a  1; a  b b

Une con flechas:

2 , 5 7 B. , 3 2 C. , 5 2 D. , 4 A.

Recuerda:

Fracción Irreductible

=

2 5

= 1 F. Mixta

2.

Completa:  2 y ___ son números primos  Luego: Fracción Irreductible: es aquella cuyo Recuerda: Las fracciones ________________ y irreductibles ______________ son no se pueden simplificar. primos entre _____.

Fracciones Equivalentes Ahora ayúdame a completar la secuencia 3 6  5 10

=

=

1.

3 6 6 5 4 7 1 2

 F. Irreductible  F. Propias  F. Impropias  F. Equivalentes

Completa y relaciona: A. N

D

Propia

B. N

D

Impropia

Colocar < ó > ó = según sea el caso

a)

2 5

6 3

e)

40 20

50 70

b)

6 7

8 9

f)

58 36

51 60

c)

5 4

7 9

g)

36 56

90 45

20 10

h)

36 36

= d)

4 5

90 45

10. 2.

Relacione las fracciones mediante flechas. Columna I

4.

10 35

4 40

2 7

12 5

6 9

18 27

I)

5 10  2 4

III)

9 3  5 2

Simplificar:

II)

12.

7 14  4 9

9 3  4 2 c) 3 d) 4 e) N.A.

b) 7/5 c) 5/7 d) 35/7 e) N.A.

Hallar la fracción de 5

9.

36 

 

a) 34/40

14.

15.

d) 2

e) N.A.

236 112

b) 10/5 c) 2/5

d) 57/17 e) N.A.

1 5

d) 3/5

e) N.A.

356 320 b) 32/40

Hallar el número mixto:

4 7

2 5

b) 2

c) 52/36 d) 56/70 e) N.A.

18 7

1 3 c) 2 7 7

d) 5

2 4

e) N.A.

Hallar la fracción equivalente de: a) 3/7 b) 9/20 c) 4/28 d) 30/7 e) 3/70

b) 3/11

b) -3/2 c) -2/3

b) 49/2

c) 11/15

d) 20/22 a) 60/22 b) 40/22 c) 60/6 d) 10/22 e) 20/1



Hallar la fracción de: 23

a) 47/3

4 5

a) 121/165 b) 11/5 c) 11/25 d) 121/25 e)121/225

1 2

 Simplificar:     24 

a) 3/2

c) 2

a) 3/33 b) 30/110 c) 33/11 d) 33/10 e) 35/20

305 85



Simplificar:

a) 9/21

35 60

a) 13/2 b) 17/2 c) 36/2 d) 52/9 e) N.A. 8.

13.

a) 2

a) 15/20 b) 55/10 c) 20/10 d) 17/13 e) N.A.

7.

1 5

Hallar la fracción impropia de 2

a) 11/5

IV)

b) 2

Simplificar:

b) 2

a) 36/12 b) 44/50c) 77/12

¿Cuántas fracciones equivalentes hay?

a) 5/12

6.

11.

Tengo un terreno, el que he dividido en cinco partes, si regalo tres partes del mismo ¿Cómo le puedo representar? Rpta.: _________________

Simplificar:

3 5

a) 2

4 5

a) 1

5.

Unir

Columna II

20 1 00

3.

equivalentes.

Hallar el mixto de 13/5

d) -2

e) -3/4

1 2

c) 57/2 d) 46/2 e) N.A.

Operaciones en Q

4 2 2 4    6 6 6 6 6 6

ADICIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS

2 1 21 3    5 5 5 5

Recuerda: F. Homogéneas son aquellas que tiene el mismo denominador.

4 2 1 4 2 1         5 5 5 5 5 5

6 5

PASO Nº 1 M.C.M. (3, 5, 6) = 30

PASO Nº 2 x

x

x

2 7 7 20  42  35     3 5 6  30





Sigamos, observa: 2 1 4 3 7    3 2 6 6

Solo tiene que dividir el MCM con el denominador y multiplicarlos con el Numerador.

1 4 = 5 5

+

3 5

Asociar significa Agrupar

7 5

=

MULTIPLICACIÓN Solo tiene que multiplicar numerador con numerador y denominador con denominador 4 2 4x2 8 x   5 6 5 x 6 30

DIVISION Para dividir una fracción con otra se multiplica la fracción por el inverso multiplicativo del Divisor. OBSERVA: 3 2  4 3

3 3 x  4 2

x 4 x



9

También lo puedes hacer así: Observa otra forma de dividir fracciones

esto solo es posible cuando los denominadores son primos entre sí.  PROPIEDADES DE LA ADICIÓN 1) Conmutativa

+ 7 5

Observa el siguiente ejemplo:

Recuerda: F. Heterogéneas son aquellas que poseen diferentes denominadores

6 6

=

2) Asociativa

ADICIÓN DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS

2 7 7    3 5 6

Conmutar significa cambiar de posición.

Producto de extremos (Numerador)

A)

3 5 2 6

=

3x6 5x2

=

18 10

Producto de medios (Numerador)

a) 6/3

b) 5/3 c) 7/3 d) 8/3

 LEY DE SIGNOS 7.

Al dividir signos iguales siempre resulta (+)

(-)(-)=+ (+)(+)=+

a) 142/15 8.

(+)(-)=(-)(+)= -

Desarrollar: 3

Al dividir signos diferentes siempre resulta (-)

Coloca una (X) a la respuesta correcta: ¿En la suma de fracciones heterogéneas necesario hallar el MCD?

Si

3.

Resolver: a) 64/12

b) 68/12

5.

F. Homogénea

(

)

B)

6 7 , 5 5

F. Heterogénea (

)

F. Homogénea

)

7 6  5 5

c) 72/12

d) 14/12 e) N.A.

a) 29/5 b) 29/4 c) 29/3 d) 28/5 e) 26/4 Coloca V ó F según corresponda: a)

2 5 , 3 3

F. Homogéneas

(

)

b)

3 6 , 3 3

F. Heterogéneas

(

)

c)

2 5 , 7 7

F. Nula

6.

(

)

5 6 8 7     4 4 4 4

Efectuar:

b) 27/4 e) N.A.

c) 28/4

6 4

1 66 = 3 3

10.

1 2 

11.

26 29 144 25    = 4 4 12 5

12.

48 525 600   = 6 5 100

 1   4   3  13.         =  5   15   9 

Efectuar:

5 2  3 3

(

 RESOLVER:

Efectuar las siguientes operaciones:

a) 25/4 d) 29/4

e) N.A.

3 4 , 5 7

es

1 18 1 3   3 3 3 4.

c) 4 d) 25/5

A)

C) 2.

b) 10

Coloca “V” ó “F” según convenga

No

1 1 5 3 6 4

b) 143/15 c) 144/15 d) 145/16 e) N.A.

15 20 100 30    = 5 5 10 10

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.

1 1 5 1 5 3

Efectuar:

a) 20/5 9.

e) N.A.

1.

14.

28 14 48 59    = 7 7 7 7

15.

640 300 640 50    = 20 150 20 10

Colocar (V) ó (F) según convenga: A) En la sustracción homogénea se coloca el mismo denominador.

(

)

B) En la sustracción se puede aplicar la propiedad asociativa.

(



EFECTUAR:

2.

1 1 5 15 3 2   = 5 5 5 5

3.

2 4 36 2 4 2   = 6 6 6 6

4.

4 81 4 1 5   3 = 9 9 9 9

5.

)

1 2 1 1 1      6 7 5 2 5

10. 

11.

1 2  2 3  1 3  2    1   6 3  5 2  5 1  3 5 1  1      5 7 5 25 3    

12.  7

2 1 1   1 2 1   1 1          3 2 8 2 3 8  4 2

13. 

2  1 1   1 1  4  1   3       3   9 7   6 14  7

14. 

4 81 144 125    = 2 9 12 5

 

15.  1  6.

Desarrollar:

81 27 49   9 3 7 a) 5

b) 6 c) 7

 3 5   4 17   1 1         7 9   3 7   18 3 

16.  2 d) 12

e) N.A.

 1



7.

c) 4

d) 5



Efectuar:

8.

1500 400 50 645    100 20 50 645 a) 35

9.

b) 45

1

e) N.A.

c) 55 d) 75 e) N.A.



Simplificar:

19.

11  5   1   7    1    3     = 5  6  6  6 

20.

13  11   7  5   1    3    2  = 9  9  9  9

Para restar fracciones __________ restamos los ____________

y

conservamos

el

mismo

______________ a) Homogéneas – denominadores – signo b) Heterogéneas – numeradores – denominadores c) Homogéneas – signos – denominadores d) N.A.



1   11

1  5    5 3  18.     2       2 2 7 7 4      

25 144 516    17 5 12 516 b) 3

1

17. 3  2  1      5 3  5 6  2

Desarrollar:

a) 1

1   1 1  5 1   2      1  7   2 3 2 7

Efectuar:

1  4  5  10      2    3    1  = 3  3  3  3  

21. 

 

22.   2

1.

1  9  13  21  5   2  =    11  11  11  11  11 

Resolver aplicando la propiedad distributiba

6.

4 2 6 x   = 6 8 3

a)

10  6 2  x   = 12  4 5 

b)

3  14 2  x   = c) 7  6 9 2.

Resuelve:

a)

2 5 x   4 6

e)

3 6 x = 5 3

b)

6 7 x = 8 6

f)

8 6 x = 5 7

7.



b)

2 x 7 2



c)

3 x 5

x

7

x

4

5 1 3

Colocar verdadero o falso:

a)

4 7 6 x  .... 10 3 30

(

)

b)

2 11 22 x  .... 3 10 30

(

)

8 20 x d) = 4 5

5 6 2 x x = h) 4 5 3

c)

25 81 144 x x  5 .... 5 81 144

(

)

Relaciona el inverso multiplicativo:

Resuelve aplica propiedad asociativa

2 3 15 x x 4 5 6 6 3 1 x x 8 4 2

b)

9.

Desarrollar:

8 5 81 144 x x x = 4 25 9 12

Efectuar: 

a)

5 3

3 6

b)

6 5

2 7

c)

7 2

3 5

3 3 2 x x 2 3 5

c)

5.

4 5 x 3

6 3 9 x x = g) 4 3 9

a)

4.

a)

5 9 x c) = 9 4

8. 3.

Completar:

1 2

x

x

1 4



Colocar V ó F según corresponda:

a)

3 5 1 15 . .  ….. 7 3 2 42

(

)

b)

4 7 8 24 . .  ….. 9 5 4 7

(

)

c)

5 6 8 29 . .  ….. 4 5 3 5

(

)

1 24

10. 7 de cada 9 alumnos poseen reloj, si en un salón asistieron 90 alumnos. ¿Cuántos usan reloj? a) 20

b) 70

c) 80

d) 30

e) N.A.

11.

Calcular el número cuyos a) 26

b) 62

2 es 34. 3

c) 51

12. ¿Cuál es el número cuyos a) 117

b) 129

d) 63

e) N.A.

5 es 85? 7

c) 119

d) 139

2 3 14   ……………. 5 7 5 3 5 4   c) ……………. 4 2 10 b)

b) 93

c) 102

soles, ¿Cuánto es la propina? a) S/. 103 b) 90

c) 91

d) 97

e) N.A.

15. Un tanque tiene agua hasta la septima parte de su capacidad, total si se añadimos 100 litros ahora el

23. Efectuar:

24. Efectuar:

a)

4 6 9 6   b) 7 18 12 18

16. Desarrollar:

25. Disminuir 180 en sus c) 320 d) 1750

e) N.A.

a) 36

a) 19

17. Efectuar:

3 2  4 3  81  5 3 81  4 2

18. Resuelve:

1 1 2 3  4 3

19. Resuelve:

1 2 x 3 3  3 1 x 4 2

48 4   16 ……………. 7 7

a) 26

6 4  2 5

e) N.A.

b) 9

c) 1/18

d) 3

1 2

e) N.A.

b) 13

c) 39 d) 24

e) 25

29. Un barco recorre 30 km. por una hora, ¿Cuántos km. recorrerá en 2 a) 80

12 4  16 12 25 144  e) 5 12 30 200  f) 10 100 d)

(

d) 12

d)

28. Se divide la edad de una persona por 1/5 resulta 25 años. ¿Cuál es la edad de la persona? a) 125 b) 20 c) 5 d) 30 e) N.A.

21. Colocar verdadero ó falso a)

c) 40

4 2  5 7

27. ¿Cuántos cuartos hay en 6 ?

20. Resuelve usando el método de multiplicación en cruz

7 4  2 14 6 3  b) 4 2 8 10  c) 5 12

b) 48

11 15

c)

26. Al dividir un número entre su inversa se obtiene 81. Hallar dichos números.

5 1   7 2

a)

)

81 144 25   9 12 5  49 64 36   7 8 6

tanque tiene la quinta parte. ¿Cuál es la capacidad del tanque? a) 240 b) 300

(

22. Desarrollar:

d) 104 e) N.A.

4 14. Los de la propina de Luis equivalen a 52 nuevos 7

)

4 25  2 5  4 25  2 5

e) N.A.

3 13. ¿De qué número es 78 sus ? 4 a) 89

(

)

b) 100

2 de hora? 3

c) 40 d) 50

e) N.A.

30. Si A 3 de cada 5 jóvenes de un colegio le gusta la matemática y el colegio tiene 500 alumnos. ¿A cuántos de ellos no les gusta la matemática? a) 200

b) 300 c) 400

d) 500

e) N.A.

Número decimal 

FRACCIÓN DECIMAL:

Cuando sus denominadores son potencias de 10 4 8 2 , , 10 100 1000 

FRACCIÓN ORDINARIA

3 2 1 , , 5 7 6 

D  de potencia 10

NÚMERO DECIMAL



OPERACIONES CON DECIMALES

a) ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN: Primero tenemos que tener en cuenta que la coma debe estar una debajo de otra. La suma y resta se realiza como en los números naturales. 4, 2 + 0,23 + 4,216 4, 2 0 , 23 4 , 216 8 , 646 RECUERDA: Aquí se puede aplicar la propiedad conmutativa y asociativa en la suma pero no se cumple en la sustracción.

b) MULTIPLICACIÓN DE UN DECIMAL x UN ENTERO: La coma se escribe, de manera tal que quede con la misma cantidad de cifras a la derecha de la coma que el factor decimal.

Se lee la parte entera, luego la parte decimal nombrando el lugar que ocupa la última cifra. 1. Decimal exacto: es el que tiene un número limitado de cifras decimales.

c) MULTIPLICACIÓN DECIMAL Y DECIMA: Se escribe la coma en el resultado de manera tal que quede con la misma cantidad de cifras decimales como las que hay entre los 2 factores.

5  0,625 8

2. Decimal periódico puro: Es el que tiene una o varias cifras decimales que se repite infinitamente. 4  0,44444..... 9

3. Decimal Periódico Mixto: Es aquel que tiene una parte no periódico y otra periódica 7  0,38888..... 18

d) DIVISIÓN DE UN NÚMERO NATURAL POR UN NÚMERO DECIMAL: Se suprime la

coma del divisor y se agrega a la derecha del dividendo tantas cifras como cifras decimales tiene el divisor.

E)

DIVISIÓN

DECIMAL POR

UN

NÚMERO

NATURA:

Se resuelve como si fuera una división de números naturales, pero se pone una cama en el cociente justo antes de bajar la primera cifra decimal. f) DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS DECIMALES: Para dividir 2 números decimales, se suprime la coma del divisor y se corre la coma del dividiendo tantos lugares a la derecha como cifras decimales tenga el divisor. Si es necesario se agregan ceros.

4) 51,36

(

)

71,23

5) -612,75

(

)

613,5000

6) 13,89

(

)

13,891

7) 12,10

(

)

12,01

8) -15,08

(

)

-17,03

9) -14,07

(

)

-004,56

10) 51,36

(

)

-58,36

 Hallar el número decimal de:

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1)

5 = 8

7)

1 = 8

2)

5 = 6

8)

1 = 5

3)

7 = 9

9)

1 = 30

4)

8 = 5

10)

5 = 350

5)

7 = 6

11)

6 = 429

6)

21 = 5

12)

8 = 764

 Colocar verdadero o falso:

1) 3/8 = 0,375

………………… (

)

2) 5/9 = 0,425

………………… (

)

3) 4/20 = 0,2

………………… (

)

4) 7/8 = 0,5

………………… (

)

5) 5/11 = 0,4545

………………… (

)

6) 3/8 = 0,47

………………… (

)

7) 9/22 = 0,4090

………………… (

)

8) 5/6 = 0,43

………………… (

)

9) 7/8 = 0,5

………………… (

)

………………… (

10) 15/7 = 0,35

1.

1) -62,508

(

)

-87,52

2) 015,36

(

)

113,58

3) -6,3

(

)

8,2

A) 4,13 + 2,81 = 2,81 + 4,13

Asociativa

(

)

B) 1,21 + 1,31 = 1,31 + 1,21

Conmutativa (

)

C) (1,21) + 1,31 = 1,2 + (0,76 + 0,56)

) 2.

 Colocar > o < según corresponda:

Coloca verdadero ó falso:

Asociativa

(

Colocar (V) ó (F) según convenga: A) Commutar, es asociar …………………….…

(

)

B) Asociar, es cambiar de posición …….

(

)

C) Asociar es commutar ………………………..

(

)

 BLOQUE

1. 5,32 + 6,68

=

2. 5,433 + 9,36 = 3. 56,3 + 56,8

=

)

4. 64,3 + 3,43 5. 7,89 + 3,52

= =

2. 0,36 x 0,56 = 3. 0,52 x 0,8

=

6. 4,36 + 5,76

=

4. 0,50 x 0,9

=

5. 0,8 x 1,2

=

9. 18,6 + 16,97 = 10. 7,31 + 3,58 =

6. 0,96 x 0,3

=

7. 0,5 x 0,8

=

11. 3,51 + 5,89 = 12. 6,43 + 3,89 = 13. 59,364 + 56,3 =

8. 0,29 x 0,6

=

9. 0,25 x 0,4

=

7. 84,93 + 7,52 = 8. 18,09 + 27,7 =

14. 34,5 + 7,89

15. 3,42 + 5,267 = 



BLOQUE

BLOQUE

1. 7,5  5

=

1. 0,3 + 0,7 + 0,5 = 2. 0,5 + 0,7 + 0,8 =

2. 8,4  0,2

=

3. 6,5  0,5

=

3. 0,6 + 0,8 + 0,5 = 4. 0,6 + 0,8 – 0,7 = 5. 0,6 + 1,3 + 0,9 =

4. 56,00  0,8 =

6. 0,7 - 0,9 – 0,4 =

6. 64,1  1000 =

7. 0,8 + 0,9 + 0,5 = 8. 0,16 + 0,13 + 0,15=

7. 27,36  2,42 =

5. 900  0,10 =

9. 0,7 + 0,8 + 0,9 =

8. 36,5  22,2 =

10. 0,3 + 0,5 + 0,13 =

9. 58,3  95, 3 =

 BLOQUE

1. 6,2 + [3,7 – (2,8)] + 5,6 = 2. 4,3 + 5,6 + -0,7 = 3. 5,4 + 5,6 + 7,4 = 4. 5,6 + 13 + 3,6 + 5,3 = 5. 5,2 + 6,2 – 4,5 = 6. -9,25 – 6,20 + 7,15 + 13 = 7. 0,8 + 0,6 + 0,7 – 0,28 = 8. 0,9 + 0,7 – 0,29 = 9. 0,4 – 0,6 + 0,7 + 0,8 = 10. 3,36 + 0,27 – 0,54 + 0,27 = 

10. 0,27 x 0,36 =

=

BLOQUE

10. 55,5  0,5 =  BLOQUE

1. 16,2 x 0,5 x 0,8 = 2. 3,5 x 0,9  0,9 = 3. 3,56  3,56 x 56 4. 6,43  5,8 x 0,5 = 5. 3,2 x 0,36

=

6. 7,12 x 0,8

=

7. -8,3 x -5,6

=

8. -0,5 x -0,6 x -0,4

=

9. -0,6 x -0,8 x 0,27

=

10. 0,8 x 0,9 x 1,3 = 1. 0,54 x 0,86 =

=

FRACCIÓN GENERATRIZ

Es transformaremos un decimal a una fracción a)

FRACCIÓN GENERATRIZ DE UN DECIMAL EXACTO

0, abc...xyz     " n"cifras

b)

"n"Cifras

abc...xy...z  abc...x m 999 ...999   x10 "n"cifras

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1.

2 4

 D. Exacto

B)

7 11

 D. P. Puro

C)

7 15

 D. P. Mixto

3. Hallar la fracción generatriz de los siguientes números decimales con periodo mixto: a) 7,623 =

Periódico Mixto. Periódico Puro. Decimal Exacto.

¿Cuántas cifras decimales? I. II. III.

3.

A)

Indicar verdadero (V) o Falso (F). I. 4,6213… II. 0,4545… III. 0,12

2.

 Denominador formado por (9) y (0)

2. Que clase de decimal forma:

FRACCIÓN GENERATRIZ DE UN DECIMAL PERIODICO MIXTO

"m"cifra "n"

B) D. Periódico Puro

C) D. Periódico Mixto  Denominador Formado por (0)

FRACCION GENERATRIZ DE UN DECIMAL PERIODICO PURO.

a, bc ... ...z   x y

 Denominador formado por (9)

abc..xyz 10n

abc...xyz 0, abc...xyz     999...999   "n"cifras c)

A) D. Exacto

periódicas

b) 7,623 = tiene

los

siguientes

0,521 = 1,643 =  1,3



Responde Verdadero (V) o Falso (F). I.

Los decimales exactos tienen un número infinito de cifras II. Los decimales periódicos se dividen en periódico puro y periódico mixto. III. El número 0.1666… es un decimal periódico mixto. 4.

Calcular la fracción generatriz de : 0,81

5.

Halla la fracción generatriz de: 1,31

1. Une con flechas:

c) 7,623 = d) 2,413 = e) 3,143 = f) 0,123 = Hallar la fracción generatriz: 1) 3,666… = 7) 4,111… = 2) 5,333… =

8) 2,333… =

3) 5,3111… =

9) 7,111… =

4) 7,444… =

10) 6,222… =

5) 7,222… =

11) 5,888… =

6) 5,222… =

12) 2,141414…

2

1. Si N tiene 4 decimales, ¿Cuántas cifras significativas tiene N? a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) N.A.

1. Si: 0,25 x N Posee 6 decimales, ¿Cuántos significativos poseen N? a) 2

b) 6

c) 4

d) 5

e) N.A.

3.

4.

5.

b) 5

  1 2      5  

d) 8

e) N.A.

=

6. Si: 6,ab = 0,454545… Hallar: a + b = a) 5

b) 6

c) 7 d) 8 e) N.A.

7. Si: 0,abc = 0,345345345… Hallar: a + b + c a) 12

b) 15 c) 16 d) 18

e) N.A.

8. Desarrollar: 5,6 x 0,5  0,5 = 9. Efectuar:

2

= 0,36 x 0,58 x 0,39 =

2

3 3   x   2 2 625 49

c) 6

0,1 8  0,1 5 0,1 8  0,1 5

decimales

2. Si: a = 0,37 ¿Cuántos decimales significativos tiene a3 ? a) 4

5.

3

2. Si: 0,6 = =

x 3

y 0,8 =

b 18

Hallar: x + b a) 16

=

b) 18 c) 24 d) 22

e) N.A

3. 0,32 x 0,abc Pose como máximo número de decimales significativos:

6. 0,8 x 0,9 x 1,3 = 1. 0,18 + 0,15

a) 2 a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4

b) 3

c) 4

d) 5

e) N.A.

e) N.A.

2. Si: 2,6 - 1,3 = 1,xy Hallar: x + y – 3

1. Efectuar: F  0,444...  0,555... 0,333.....

a) 1 b) 3.

4.

2

1/2

d) 4

e) 5

a) 1

b) 2

c) 3

d) 1/3 e) 1/5

  2. Efectuar: E  0,5  0,1 0,2 0,4

1 = 66  25     36 

c) 3

a) 11/4 =

b) 12/5

c)9/4

  3. Simplificar: F  0,5  0,4 1,5  0,2

a) 10/13

b) 13/10

c) 12/5

d) 7/4 e) 3/4

d) 5/12 e) 20

4. Simplificar: E  (0,1).(0,12 ).900 a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15   144.0,4  0,3 3 2,5  0,1

5. Simplificar: a) 2

b) 2,5

c)5

d) 1 e) 5,2

   0,002 6. Simplificar: F  (0,5).(0,1 3)    0,0 1 5 a) 0,1 b) 0,2 c) 0,12 d) 0,21 e) 0,32 7. Simplificar la siguiente expresión:

    1,2  2,3  3,4  ...  7,8 F     0,2  0,3  0,4  ...  0,8

a) 7,2 b) 2/5 c) 8,2 d) 0,72 e) 0,82 8. ¿Cuántas fracciones propias menores que 9/11 cuyos términos enteros consecutivos existen? a) 1 b) 2 c)3 d) 4 e) 5 9. Calcule el valor de:

15. ¿Qué fracción impropia sumada con su inversa resulta 2,2666…? a) 3/5 b) 5/3 c) 4/5 d) 5/4 e) 7/5 16. ¿Cuántas fracciones equivalentes a 3/5 cumplen la siguiente condición : 25 < numerador < 39 35< Denominador < 51? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 17. Siendo “x” y “z” enteros positivos y además x z   1,03636.... 11 5

Calcular el valor de “x+z” a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 18. ¿Cuántas fracciones cuyos términos sean enteros consecutivos, son menores que 65/77? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 19. Hallar “a+b”, en:

     0,23  0,34  0,45  0,56  0,67 F      0,2  0,3  0,4  0,5  0,6

a) 1,40 b) 1,025 c)1,250 d) 1,45 e) 1,405 10. Si la fracción 18/247 origina un número decimal inexacto periódico puro, ¿Cuál es la última cifra del periodo? a) 2 b) 3 c)4 d) 5 e) 6 11. Simplificar la siguiente expresión:

(0,5  0,666...  0,0555...)(0,9) F y dar la suma (3,111...)  (2,0666...) de sus términos. a) 47 b) 45 c) 85 12. Si:

d) 92 e) 93

1  0, ab...x ; hallar “x”. 47

a) 3 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8 13. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles existen que tengan por numerador un número impar y por denominador 49? a) 24 b) 23 c) 22 d) 21 e) 20 14. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles de denominador 72 existen, tales que sean mayores que 1/8 pero menores que 1/3? a) 2 b) 3 c)4 d) 5 e) 6

a b   0,969696..... 11 3 a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 20. Calcular la fracción equivalente a:

( 2,333...  0,58333...) 2 a) 5

1 2

b) 5

1 8

c) 5

1 4

d) 5

21. Hallar el triple de “C”, si:

   7  C  0,3  0,4  0,5  0,6  9

1 7 e) 16 3

NÚMEROS IRRACIONALES ( I) y REALES (R)

f)

CONJUNTO NUMÉRICOS: N, Z, Q

7



11



= - 0, 6363... = - 0,63

Número

decimal con período puro

Recordando a los números naturales (N) N = 0; 1; 2; 3; 4; ......

g)

1= 6

0,1666... = 0,16 

Número decimal

con período mixto

OBSERVACIÓN:

Recordando a los números enteros (Z) Pero, no todo número decimal puede ser Z = ...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ... Recordando a los números racionales (Q) Citemos algunos elementos del conjunto Q: Q = 7; -8; 2 ; 3



6 ; 5; 5 4

1 6

;



7 11

; 0,63;

1,68; 1,3; 2,16; 0; .... 

En diagramas Q Z

N

c) d)

Números Irracionales (I) Es todo aquel número que en su parte decimal tiene infinitas cifras decimales sin presentar período alguno. Estos números constituyen un conjunto numérico denominado CONJUNTO DE NÚMEROS IRRACIONALES y se le representa por I Ejemplo:  2  1,4142135......  3  1,7320508......  5  2,2360679......    3,14159265......  e  2,71828182..... Números Reales (R)

Ejemplos: a) b)

NZQ

expresado como número racional.

7 

8

1

es racional

La unión de los conjuntos de números racionales e irracionales recibe el nombre de conjunto de números reales. Al conjunto de los números reales se representa así: R Es decir Q  I = R:

es racional

Gráficamente

= 7 es natural, entero y racional = - 8 es entero y racional

1 2

3 5  4

 Expresión decimal de los números racionales: Ejemplos: a) 7 = 7,00

R

N

b) – 8 = c) 5 = 4

d)

2 3

e)

I

- 8,00 1,25

= 0, 666... = 0, 6

 Número decimal con período puro

6  5

Q Z

= -1,2  Número decimal terminante

Citemos algunos elementos del conjunto R: R = 0,4; 0;

2

38

; 1,57; ; -2,56;

3

; 1;

7 4

 5

; ...

; ; e;

2 3

; 0,45;

NOTAS

I.

Aún existe números que no están dentro de R como ejemplos: 4

= ? (no tiene solución en R)

4  16 6  25

1)

6 = 06,00

(

)

2)

–2 = -2,000

(

)

1

= 0,205

(

)

2

(

)

(

)

(

)

(

)

= ? (no tiene solución en R)

3)

= ? (no tiene solución en R)

4)

En general

na

B. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

5)

= ? (no tiene solución en R)

5 

3

2 25

= -0,666... = 0,08

6)

02,4 = 2,40

7)



8)

33 = 6

(

)

9)

14,15 = 1,415 . 10

(

)

10) 0,25 : 100 = 0,0250

(

)

11) 0,1717... = 0,17

(

)

12) 2 1 = 11

(

)

13) 5,182 : 1000 = 0,05182

(

)

14) 2,23

(

)

(

)

(

)

(

)

18) 1,421 . 10 = 0,1421

(

)

19) 2,15 : 10 = 0,215

(

)

20) 42,132

= 42,13200

(

)

13) 3,001 es ..............................................................

21) 2,11411



(

)

14) 1,27 es .................................................................

22) 005,3

(

)

donde:

n : par

a : número negativo

EJERCICIOS DE APLICACIÓN A. Completar los espacios en blanco con las palabras: natural entero, racional según sea el caso: 1)

7 es ....................................................................

2)

– 4 es .................................................................

3)

2

4)

es .................................................................

5 1

es ..............................................................

7

0,36 es ...............................................................

6)

2,75 es .................................................................

7)

0

8)

7

es .................................................................. es ..................................................................

4

=  24

32

4

4

5

= 2,2333...

15) 2 = 16 7

57

16) 0,7272... 

– 8 es ..................................................................

10) 1,3 es .................................................................. 11) 0,1333... es ........................................................ 12)

4

5

5)

9)

3

3 100

es ................................................................

17) –1,41 

0,7222...

-1,414

2,11414

= 05,30

A. Marcar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 1)

3  N

(

)

2)

7/5  Z

(

)

3)

–7  I

(

)

4)

4 I

(

)

5)

0,3  I

(

)

6)

0 Q

(

)

7)

2,2360679...  I

(

)

8)

1,414141...  Q

(

)

9)

2,71828128...  I

(

)

5N

(

)

Z

(

)

10) 11)

6 3

2.

3.

3 es un: a)

Un número racional

b)

Un número no racional

c)

Un periódico puro

Al efectuar 0,666... –

(

)

13) 2,333...  Q

(

)

14) – 8  N

(

)

15) 0  I

(

)

16) 1  I

(

)

17)

(

)

18)   I

(

)

19) 1,7320508  I

(

)

3 Q

e)Un periódico mixto el resultado tiene un período

2 7

de: a) 3 cifras b) 2 cifras

c) 4 cifras d) 6 cifras

4.

Si sumamos un número entero con un número decimal periódico mixto, el resultado es:

5.

a)

Un número natural

b)

Un número racional

c)

Un número irracional

d) Un número entero

e) Indefinido

Después de efectuar las operaciones indicadas en la 2 2  3: 1  1  1      6 1 2 3 4 4

Indique el decimal que se obtiene 6.

Efectuar operaciones en: (2-1 + 3-1) (3-1 + 4-1) (4-1 + 5-1) Indique luego el número decimal que se obtiene.

A.

Ubicar aproximadamente los siguientes números reales en la recta numérica.

(1) –3; (2)



5 ;  2 ; -7 ; +10

; 5,2 ; 7,1 ; -6,2

(3) –0,3 ; 5,6 ; -1,1 ; 0,3 ; 4,5 20)

81  Z

(

) (4) 7/2 ; 1/5 ; 0,5 ; 3,1 ; -1,6

21) 3  8  Z

(

) (5) –2,8 ;

1.

22) 5 32  Q Señalar

( ) la verdad o falsedad de las

11 ;  7 ; -5 ; 1/7

(6) 4,2 ; -0,1 ; -1 ; 0 ; -3

siguientes

proposiciones:

I.

(7) –1/9; 0,4; +7 ; -8,1 ; -1 2

Si 2  1; entonces: 2

2

(8) 1,6 ; 13 ;  3 ; 1,4 ; -8

 1 2

II. Como 5  -7; entonces: 5

2

 (-7)

III. Como –1  2; entonces: (-1)3  

e) No

tiene período

expresión:

12) 1,4142135...  I

d)Un decimal exacto

(2)3

B.

Resuelve los siguientes problemas

1.

Señalar las afirmaciones correctas:

I.

Q = R

III.

II.

Z  Q

IV . Q  I = 

a) Sólo I

b) Sólo I c) Sólo III

N  Z

a) b) c)

d) II y III

e) Todas

9.

Positivo si b > 0 Siempre negativo Negativo si b > 0

3.

4.

1+

3 da como resultado:

Un número natural

b)

Un número racional

c)

Un número irracional e)Todas son correctas

Un número entero

b) c)

Un número real 1

III. Q  I = R

a) Sólo I

b) Sólo II

d) I y II

e) II y III

c) Sólo III

10. Si a  N; b  I: Entonces (a + b) es un número:

a)

Natural

d) entero

b)

Irracional

e) Racional

c)

No real

11. ¿Cuál es el número real que antecede a 6? c) 2

Siempre positivo d) Un número natural Un número entero Un número racional e) No es posible precisar

Siempre positivo Siempre negativo Puede ser cero Puede ser positivo o negativo No podemos afirmar nada

a) 5

b) 5,9

c) 5,99

d) 5,999

e) Indeterminable

12. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? I.

A todos los puntos de la recta numérica en N les corresponde un número.

II.

A todos los puntos de la recta numérica en Z les corresponde un número.

III. A todos los puntos de la recta numérica en R les corresponde un número racional.

¿Cuál de los siguientes enunciados es falso? 2

a)

–7 es número entero

a) Sólo I

b) Sólo II

b)

–0,0775 es número real

d) I y II

e) Ninguna

c)

3,7 es número racional

d)

5

e) 8.

b) 1,00001 e) Indeterminable

Si a > 0 y b < -1 se deduce que ab + ba es: a) b) c) d) e)

7.

e) Todas son correctas

Si m < 0 y r > 0, entonces m – r, dará un resultado: a) b) c)

6.

d) Un número racional

El número real que le sigue a 1 es:

a) 1,1 d) 1,01 5.

d)Un número entero

2 – 0,4142..., se obtiene como resultado:

a)

3 es irracional porque lleva raíz.

II. Z  N = N

a)

Al operar:

e) N.A.

Señalar las afirmaciones incorrectas: I.

2.

d) Siempre positivo

1/2

es racional

2 : 2 tiene como resultado irracional

Si a  Z, b  Z y además: a a > 0, < 0 el valor de b – a será: b

c) Sólo III

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número real es la distancia del CERO a dicho número.

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO

1. Si dos números son opuestos, su valor

Es decir:

absoluto es el mismo. -

+

0

Es fácil que la distancia de 0 misma que de que de 0 a podemos afirmar que el valor 17 es el mismo que el de – 17 . Así:  17 = 17 =

17

Es decir:

2. El valor absoluto del producto de dos números, es igual al producto de los valores absolutos de los dos números. Es a + 17 , es la decir: – 17 , entonces ab  a b absoluto de + 3. El valor absoluto del cociente de dos números, es igual al cociente de los  17 valores absolutos de ambos números. a  a b b

En general, si a es un número real, el valor absoluto de a se representa como a y está definido así: Ejemplos:

= -a si a < 0

(3)

0,3  0,3

(7) 1  1

(4)

 11    11

(8)

1 5

?

B.

= -a si a < 0. 1 5

= 2

   1   5

=

1 5

?

Como en el interior de las barras tenemos un número real positivo: 2 = 2

2

a

6  10

5x  2  8x  5

(2) ¿A qué es igual

Porque:

(5)

(2)

5

En este caso:

Efectuar (1) 100  100

= a si a > 0 = 0 si a = 0

Como en el interior de las barras tenemos un número real negativo:  51 = 1 a

/b0

EJERCICIOS DE APLICACIÓ A.

(1) ¿A qué es igual

Porque

a  a

= a si a > 0. En este caso:

2

=

(6)

7  2 2 7

6  6

Completar el corresponda

siguiente cuadro con > ó < según

Número Real a

Número Real b

Número Real a

2

5

-7,563



10

0,3

0,33

0,72

0,7272

-7,55

-7,56

-6,1515

-6,15

20,05

20,5

>ó<

–

2

>ó<

Número Real b -7,463 2

2

0,70

4,5

4,51

3,2

-3,2

-5,21

-5,2

0,42356

0,42456

1/3

– 0,33

C. RESOLVER

17. Hallar el valor de E = 3  2  3 / 2  5 / 2

1) x + 6 = 8

a) 3 d) 4

2) x – 8  = 14 3) x + 10 = 23

b) 5 e) 6

18. Calcular el valor de

4) x - 24 = 15 5) x + 8 = 3,5

a) 4 d) -1

6) x – 2,5 = 6 7) 3 (x - 1) = 9

=7

11)

x  13 6

= 12

12)

x  21 15

=8

13) x - 7 = 11 14) x + 3 = 13

5 2

(5)

2)

1  2x 1 3 5 7

(6)

3)

0,8  5 7

4)

8  8

1 P=  

13. Dar la suma de todos los posibles valores de a en: a +1=5 b) -8 e) -2

14. Si sumamos los posibles valores b  3  7  15 , obtenemos: b) -6 e) 0

c) 4

de “ b” en

c) 4

15. Dar la suma de los posibles valores “ a” en la siguiente expresión: 2a + 1+ 2 = 0 a) 8 d) -2

b) 6 e) Absurdo

c) -4

16. ¿Qué valor debe admitir “ a” para que la siguiente expresión( a – 2) a) 1 d) 8

-1

c) -4

1)

A. Resuelve los siguientes problemas

a) -2 d) -4

b) -2 e) 1

2,3  7,1 7,1 2

(7)

7 3 5

(8) 7 3 5

20. Simplificar la siguiente expresión:

15) x - 12 = 8

a) 8 d) 0

1  1  3

expresiones:

9) 2 (x - 6) = 5 x8 3

2  2  3  3

19. Calcular el valor de cada una de las sigui entes

8) 4 (x + 5 ) = 48 10)

c) 1/2

no exista? b) 2 e) Ninguno

c) 4

1

  



1,253  

a) 

b)  +1

d) 2

e) 1

B. RESOLVER 1.

x + 6 = 8

2.

x – 8  = 14

3.

x + 10 = 23

4.

x - 24 = 15

5.

x + 8 = 3,5

6.

x – 2,5 = 6

7.

3 (x - 1) = 9

8.

4 (x + 5 ) = 48

9.

2 (x - 6) = 5

10.

x8 = 7 3

2.(30,31)



2 2

c)  - 1

RAZONES

Si observamos dos magnitudes y una es mayor que la otra nos

preguntamos

¿En cuántas

unidades

3.

En una reunión hay hombres y mujeres. Siendo el número de hombres al número total de personas como 3 es a 8 y la diferencia entre los números de hombres y mujeres es 24. ¿Cuál será la relación entre hombres y mujeres si se retiran 33 mujeres? a) 4 : 3 b) 3 : 5 c) 2 : 3 d) 4 : 5 e) N.A.

4.

La razón de las cantidades de dinero de Pedro y Juan es 8/17. Si Juan le diera 63 Soles a Pedro ambos tendrían la misma suma de dinero. ¿Cuánto tiene Juan? a) 238 b) 248 c) 112 d) 122 e) 138

5.

De cada 13 alumnos de un colegio, 3 son mujeres, si del colegio hay 50 varones. ¿Cuántos alumnos son en total? a) 130 b) 80 c) 65 d) 150 e) 95

6.

Una moción fue adoptada por una rotación de 5 a 3. ¿Qué parte del total de votos esta en contra del movimiento? a) 3/5 b) 3/9 c) 5/9 d) 5/3 e) 8/5

7.

La razón geométrica de dos números es 3/5 y su suma 1 216. Hallar el menor número. a) 318 b) 456 c) 528 d) 619 e) 708

8.

La razón aritmética de 2 números es 9. Si su suma es 37. Hallar el número mayor más 5. a) 23 b) 25 c) 28 d) 29 e) 30

9.

Dos números están en la relación de 2 a 7. Agregando a uno de ellos 73 y 138 al otro se obtienen cantidades iguales. Hallar la suma de los números. a) 117 b) 65 c) 92 d) 148 e) 168

es mayor? o

¿Cuántas veces contiene la mayor a la menor?

LUEGO:

RAZÓN es la comparación de dos cantidades de una misma magnitud mediante la operación de diferencia o división. CLASES DE RAZONES

R AZÓN A RITMÉTICA Es

la comparación de dos cantidades

mediante la diferencia. Dicha diferencia determina en cuántas unidades excede una magnitud a la otra. En general:

a–b=r R AZÓN G EOMÉTRICA Es la comparación de dos cantidades por medio del cociente o división. En general:

a K b

En ambos casos : a : ANTECEDENTE b: CONSECUENTE

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.

Dos números son entre sí como 7 es a 3. Hallar el menor de los números sabiendo que su razón aritmética es 80. a) 80 b) 60 c) 70 d) 90 e) 140

2.

Dos números son entre sí como 11 es a 4. Hallar el mayor de los números sabiendo que su razón aritmética es 77. a) 99 b) 44 c) 111 d) 121 e) 130

10. Dos números se encuentran en la relación de 5/4 y su producto es 980. Hallar la suma de dichos números. a) 63 b) 108 c) 35 d) 92 e) N.A. 11. El producto de dos números es 250 y están en la relación de 5 es a 2. Hallar el doble del mayor. a) 10 b) 30 c) 50 d) 70 e) N.A.

12. Las edades de Antonio y Bernardo están en la razón de 5 a 3. Las edades de Bernardo y César están en razón de 4 a 7. Si la suma de las edades es 159 años. Hallar la edad de César. a) 63 b) 45 c) 36 d) 60 e) 75 13. La razón aritmética de las cantidades de dinero que Andrea y María tienen es S/. 240. Si la razón geométrica es 8/13. ¿Cuánto dinero tiene María? a) 328 b) 384 c) 624 d) 176 e) 260 14. En una granja el número de pollos es al de gallinas como 3 es a 5 siendo su diferencia 24. ¿Cuál es la nueva relación de pollos a gallinas si se mueren 12 gallinas? a) 3/5 b) 3/4 c) 2/3 d) 1/5 e) 2/7 15. El dinero de 2 personas están en la razón de 12  7 y una de ellas tiene S/. 850 más que la otra. ¿Cuánto dinero tiene la menor? a) 1 090 b) 1 190 c) 1 120 d) 1 000

e) 1 990

a) 60

b) 82 c) 120

22. La razón aritmética Roberto y Gabriela geométrica es 4/9. Roberto. a) 20 b) 45 c) 36

d) 96

e) 86

de las edades de es 20 y su razón Calcular la edad de d) 16

e) 54

23. La razón geométrica de dos números vale 4/7 y su razón aritmética es 45. Hallar el menor número. a) 60 b) 30 c) 20 d) 80 e) 45 24. Si A es B como 2 es a 3 y la diferencia de dichos números es 144. ¿Cuál es el menor? a) 432 b) 128 c) 144 d) 288 e) 156 25. Dos números son entre si como 4 es a 11 y su diferencia es 35. ¿Cuál es la suma de ellos? a) 28 b) 75 c) 20 d) 55 e) N.A.

16. Dos números están en la relación de 5 a 2 y su suma es 70. Hallar el mayor. a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60

26. La razón geométrica de las edades de Elena y Luis es 8/5 y su diferencia es 12. ¿Cuál es la edad de Elena? a) 24 años b) 32 c) 15 d) 20 e) 50

17. Dos números están en la relación de 3 a 7 y la diferencia de ellas es 160. Hallar el menor. a) 60 b) 120 c) 180 d) 250 e) 280

27. La razón de dos números es 3/4 y los 2/5 de su suma es 42. Hallar la diferencia de los números. a) 15 b) 18 c) 21 d) 12 e) 10

18. Dos números son entre si como 5 es a 3 y su suma es 120. Hallar el mayor. a) 60 b) 75 c) 36 d) 48 e) 45

28. Si:

19. La suma de dos números es 980 y su razón es 5/9. Hallar el menor. a) 300 b) 320 c) 340 d) 350 e) 360 20. La suma de dos números es 320 y su razón geométrica es 3/7. Hallar el número mayor. a) 336 b) 224 c) 188 d) 163 e) 218 21. Dos números son entre sí como 2 es a 5. Si su razón aritmética es 72. Hallar el número mayor.

m 5  n 9

Donde: 2m + 3n = 111 Calcular: m + n a) 15 b) 27 c) 25 d) 42 29. Si:

e) 32

x 7  y 2

Además: x + 5y = 68 Calcular: “y” a) 29 b) 4 c) 36

d) 8

e) 16

30. Las edades de Juan y Roberto son 30 y 24 años respectivamente. Dentro de cuántos años sus edades estarán en la relación de 7 a 6. a) 10 b) 18 c) 15 d) 12 e) 20

PROPORCIONES EJERCICIOS DE APLICACIÓN

______________________________________________________ ____________________________________

1. El producto de los 4 términos positivos de una P.G continua es 1296. Halla la media Proporcional. a) 8 b) 6 c) 9 d) 10 e) 12 2. Hallar la cuarta proporcional de 9; 12 y 15 a) 16 b) 20 c) 24 d) 27 e) 30 3. Halla la media proporcional de 8 y 18 a) 10 b) 15 c) 18 d) 12 e) 20 En general: 4. En una proporción geométrica, la suma de los medios es 27 y el Dónde: a y d  producto de los extremos es 180. Uno de los medios es: byc  a) 9 b) 18 c) 10 d) 24 e) 12 Además: 5. Si A es la cuarta diferencial de 18 ; 9 y 11, B es la media a b c d diferencial de 16 y 12, halla la tercera diferencial de A y B. a) 18 b)24 c) 26 d)23 e) 14 1er término 2do término 3er término 4to término 6. Si A es la tercera proporcional de 81 y 27, B es la cuarta Observación: proporcional de 24; 6 y 16, Hallar la media proporcional de A y Una proporción dependiendo de sus términos medios puede ser: B. Discreta o Continua a) 4 b) 6 c) 9 d) 8 e) 12 7. La tercera proporcional de (x-2) y (x+2) es (x+8), ¿Cuál es la PROPORCIÓN ARITMÉTICA cuarta proporcional de (x); (x+6) y (x+5)? Discreta Continua a) 18 b) 20 c) 21 d) 24 e) 25 Extremos Extremos 8. La suma de la media diferencial de 16 y 10 con la cuarta diferencial de 14; 8 y 12 es igual a: a) 24 b) 12 c) 20 d) 30 e) 28 a– b = c– d a – b = c – d 9. La diferencia entre la media diferencial de 24 y 18 con la tercia diferencial de 20 y 12 es: Medios Medios a) 13 b) 15 c) 17 d) 21 e) 23 10. Si a, b y c forman una proporción geométrica continua. Hallar b: Media diferencial o “b”, si a=3 y c=6. d: Cuarta diferencial de media aritmética de a y c

a, b y c.

b

ac 2

c: Tercera diferencial de a b. PROPORCIÓN GEOMÉTRICA Discreta Continua a c  b d

a b  b c

d: Cuarta proporcional b: Media proporcional de o media geométrica de a, b y c. a y c. b  ac

c:Tercera proporcional de a y b.

a) 3 2 b) 2 c) 2 d) 3 e) 3 11. Hallar: a) La cuarta diferencial de 24; 19 y 30. b) La tercera proporcional de 12 y 6. c) La media proporcional de 8 y 18. d) La media diferencial de 25 y 37. Dar como respuesta la suma de los resultados. a) 78 b) 72 c) 71 d) 70 e) 74 12. En una proporción geométrica continua la suma de extremos es a la suma de medios como 3 es a 2. Si la suma de los términos diferentes es 96. Calcule la media proporcional. a) 21

b) 18

c) 24

d) 15

e) 25

Si 7 es la cuarta diferencial de A, B y C ; además 30 es la tercera diferencial de 3A y 45. Hallar la media aritmética de B y C. a) 14 b) 13,5 c) 15 d) 12,5 e) 11,5 27.- La media proporcional entre M y T es 12 y la 2 tercera proporcional entre M y T es 96. Hallar: (M + T). a) 60 b) 40 c) 80 d) 90 e) 25

28.- Si la cuarta proporcional de 48, “a” y (a+20) es la media proporcional de 10 y 250. Hallar la suma de las cifras de “a” a) 7 b) 8 c) 4 d) 10 e) 6 30.- Sabiendo que: A es la media proporcional de 8 y 32; B es la tercera proporcional de 32 y A; C es la cuarta proporcional de A , B y C.. Hallar: (A+B+C). a) 27 b) 28 c) 24 d) 32 e) 21 31.- Si T es la tercera proporcional de 20 y 30 ; además M es la cuarta diferencial de 13, 9 y 24; N es la media proporcional de 16 y 4. Hallar la cuarta proporcional de M , T y N. a) 20 b) 12 c) 18 d) 15 e) 25 32.- La media proporcional de 2 y 8 es a la media diferencial de B y 4B así como la tercera proporcional de 5 y B es a la media aritmética de 50 y 4. Hallar: B. a) 5 b) 6 c) 12 d) 8 e) 16 33.- Hallar el menor de dos números que son entre si como 9 es a 2 y cuya diferencia es igual a 21. a) 4 b) 6 c) 12 d) 18 e) 24 34.- Las edades de Miguel y su hermano Santiago son proporcionales a 6 y 7, respectivamente, y suman 39 años. ¿Qué edad tiene Miguel? a) 15 b) 18 c) 21 d) 24 e) 27 43.- Amelia tuvo su hijo a los 18 años. Ahora su edad es a la de su hijo como 8 es 5. ¿Cuántos años tiene su hijo? a) 36 b) 24 c) 30 d) 20 e) 16 44.-En una proporción geométrica continua, la suma de los extremos es 34 y su diferencia 16. Encuentre la media proporcional a) 12 b) 15 c) 18 d) 21 e) 24 45.- Si hoy día la edad de Mario es a la edad de William como 7/5; si Mario es 10 años mayor que William. ¿Cuántos años tenía Mario hace 15 años? a) 12 b) 15 c) 20 d) 10 e) 24 47.-

media proporcional si es entera y es el menor posible de 3 cifras. a) 120 b) 125 c) 102 d) 108 e) 112 50.- En una proporción geométrica continua la suma de los primeros términos y la suma de los consecuentes están en la relación de 3 a 5, además la suma de los términos es 128. Calcule la media proporcional a) 20 b) 60 c) 80 d) 30 e) 70 51.- La edad de Juan excede en 15 años a la edad de Noemí, si dentro de 12 años dichas edades sumaran 65 años. Hállese la edad de Noemí. a) 13 b) 15 c) 16 d) 18 e) 19 52.- Las edades actuales de Juan y Roció están en la relación de 7 a 10; dentro de 16 años estarán en la relación de 5 a 6. Hállese la edad de Roció. a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 30 54.- Hallo la media proporcional de las hojas digitadas por 2 secretarias y que fueron 20 y 45 respectivamente. a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35 55.- Calculo la tercera proporcional de dos longitudes de los cables y que son: 1,6 m. y 2,4 m. a) 1,6 m. b) 2,6 m. c) 3,6 m. d) 4,6 m. e) 5,6 m. 56.- Hallo la cuarta proporcional de 56, a y b sabiendo que “a” es la media proporcional de 28 y 7 y “b” es la tercera proporcional de 9 y 12. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 57.- Actualmente las edades de Pedro y Juan suman 38, la relación de sus edades es de 8 a 11 respectivamente. ¿En que relación quedan sus edades dentro de 8 años? a) 4 a 3 b) 4 a 5 c) 2 a 3 d) 1 a 3 e) 1 a 4 58.- En una fiesta se cuentan 63 personas, la relación entre el número de varones al de mujeres es de 3 a 4, luego de cierto tiempo se retiran 15 parejas, ¿Cuál es la nueva relación entre varones y mujeres que quedan? a) 4/7 b) 7/4 c) 3/4 d) 3/7 e) ¼

En una proporción aritmética la suma de los términos medios es 24 además los extremos están en la relación de 5 a 3. Calcule la diferencia de 59.- Hallo el mayor de dos números que están en la estos. relación de 3 a 2, tal que si aumentamos 4 al menor a) 3 b) 5 c) 6 d) 8 y le quitamos 10 al mayor, ambos resultan e) 9 equivalentes. a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 48.- En una proporción aritmética continua, la suma de e) 30 los extremos es 24. Calcule la media diferencia. 60.- Dos números están en la relación de 3 a 4, si el a) 14 b) 16 c) 15 d) 12 menor es 27, la suma de los dos es: a) 60 b) 61 c) 62 d) 63 e) 8 49.En una proporción geométrica continua los e) 64 extremos están en la relación de9 a 16. Calcule la