PRE UNIVERSITARIO
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Primer Año
Aritmética
INDICE
Razones y Proporciones …………… Reparto Proporcional ………………. Porcentaje …………………………… Asuntos Comerciales ………………. Promedios ……………..…………… Magnitudes Proporcionales ……….. Interés Simple ………………………. Misceláneas ………………………….
03 15 24 36 45 57 70 80
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IMPRESIONES Y FOTOCOPIADO V.L.E.B. TELF.: 540–0814 / 98503121 DPTO. DE PUBLICACIONES
Aritmética
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TEMA: RAZONES Y PROPORCIONES
I) Razón o Relación.Es el resultado de la composición que se establece entre las cantidades dadas. Dicha comparación se puede dar de dos formas: 1) Hallando en cuanto excede una cantidad respecto de otra (por medio de la resta). Ejem: 6-2 = 4 2) Hallando en cuanto contiene una cantidad a otra (por medio de la división). Ejem: 6/2 = 3
Por lo tanto decimos que una razón puede ser: Aritmética o por diferencia, o Geometría o por cociente. Razón Aritmética o por Diferencia.-
Es la diferencia que se da entre 2 cantidades. Como su operación básica es la sustracción o resta, La Razón Aritmética se puede dar de 2 formas: separando las cantidades por el signo de la sustracción ( - ) o por medio de un punto ( . ) Ejem.: 6-2=4 Valor de la Razon + 2° Término (consecuente) Z
1° Término (antecedente) * Se lee : “6 excede a 2 en 4” ; “6 es mayor que 2 en 4” ; “2 es menor que 6 en 4”, etc. Propiedades de la Razón Aritmética.-
Son las mismas propiedades que en la resta o sustracción. 1) Si al antecedente de la R.A. se le suma o resta una cantidad, entonces el valor de la Razón quedará aumentado o disminuido en dicha cantidad, respectivamente. Ejem.: Si 6 2 4 6 32 4 3 ( ) 6 1 2 4 1 9
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3
2) Si el consecuente de la R.A. quedase aumentado o disminuido en cierta cantidad, entonces el valor de la Razón quedara disminuido, en el primer caso, o aumentado, en el 2do caso, en dicha cantidad. Ejm.: Si 6 2 4 6 (2 1) 4 1 ( ) 6 (2 1) 4 1 5
1
3
3
3) Si al antecedente y al consecuente de una R.A. Se le suma o se le resta una misma cantidad, entonces el valor de la Razón no se verá afectado (permanecerá constante). Ejm:
Si 6 2 4 6 1 ( 2 1) 4 () 6 1 ( 2 1) 4 7
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3
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A Ambos Términos o se les suma o se les resta la misma cantidad
Razón Geométrica o por Cociente.-
Es la Razón que se establece por medio del cociente que se obtiene al dividir 2 cantidades. Se pueden representar de 2 modos: en forma de fracción o por medio de 2 puntos, signo de la división (a/b ó ) Ejem:
6/2 = 3
6:2=3
Valor de la Razon
+
Z
2° Término (consecuente) 1° Término (antecedente)
* Se lee “6 contiene a 2 en 3” ; “ 6 contiene 3 veces a 2” ; “2 esta incluido en 6, 3 veces” etc. Propiedades de la Razón Geométrica.-
Son las mismas propiedades que en las fracciones.
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1) Si el antecedente de la R.G. , queda multiplicada o dividida por una cantidad, el valor de la Razón quedará también multiplicado o dividido por la misma cantidad, respectivamente. Ejem.:
30 2 6 6 .5 6:3 Si 3 3 .5 ( ) 3 :3 2 2 2 15 1 2) Si el consecuente de un R.G. queda multiplicado o dividido, por una cantidad entonces el valor de la Razón quedará dividido, en el 1er caso; o multiplicado, en el 2do caso, por esa misma cantidad. Ejm: 6 6 6 Si 3 3 .3 ( ) 3 :2 2 2 . 3 2 :2 1 6 1
6
3) Si el antecedente ya la consecuente de una R.G. se les multiplica o se les divide por una misma cantidad, entonces el valor de la Razón permanecerá constante. Ejm. 6/5 24 6 6 .4 6:5 Si 3 3 () 3 2 2 .4 2 :5 8
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II) PROPORCIONES.Son igualdades que se establecen entre 2 Razones de la misma clase. Las proporciones pueden ser:
1) Proporciones Aritméticas o Equidiferencia: Es la igualdad que se establece entre 2 Razones Aritméticas, Una Equidiferencia se escribe de 2 formas siguientes :a – b = c – d (v) a . b :: c . d ; a ; b ; d Z+ * Términos de una P.A:
a- b = c - d
1°miembro 2°miembro
a ;c= antecedentes b;d= consecuentes a;d= t. extremos b;c= t. medios
Se lee "a es a b como c es a d"
A a * Propiedad Fundamental: “En toda equidiferencia la suma de los extremos es igual a la suma de los medios”. Si a – b = c – d es P.A. a + d = c + b. Ejm: 8 – 6 = 11 – 9 9 + 8 = 11 + 6 17 = 17
* Clases de Equidiferencias:
1) E. Directa: Es aquella cuyos Términos medios no son iguales Forma General: a – b = c – d Ejm.. 9 – 7 = 8 – 6 Donde : * d : 4ta diferencial respecto a “a” ; “b” ; “c” * a ; b ; c : 3era diferencial o Tercia Diferencial, respecto de “a” ; “b” ; “c” (abc d).
2) E. Contínua: Es aquella cuyos Términos medios son iguales. Forma General: a – b = b – c Ejm.. 11 – 8 = 8 – 5 Donde : * b : Media diferencial respecto de “a” ; “b” ; “c” * a ; c : 3era ó Tercia diferencial, respecto a “a” ; “b” ; “c” (abc). ac Obs.: Media Diferencial o Aritmética b 2
2) Proporciones Geométricas o Equicocientes: Son las igualdades que se establecen entre 2 Razones geométricas. Una Proporción geométrica se puede representar de 2 maneras : a : b :: c : d (v) (a/b)= (c/d). * Términos de una P.G: Aritmética
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a : b :: c : d
1°miembro 2°miembro
a ;c= Antecedentes b;d= Consecuentes a;d= T. extremos b;c= T. Medios
+
Z
Se lee “a es a b como c es a d”
* Propiedad Fundamental: “En todo equicociente el producto de los extremos es igual al producto de los medios”. a c a c Si ad bc es una P.G. ; Ejm : b d b d
18 51 18 . 57 6 . 51 306 306 6 17
* Clases de Equicocientes:
3) E. Discreta: aquella cuyos Términos medios no son iguales 10 : 2 = 125 : 25 Forma General: a : b :: c : d Donde : * d : 4ta proporcional respecto de a “a” ; “b” ; “c” * a ; b ; c : 3era o tercia proporcional, respecto
de “a” ; “b” y “c” (abcd).
4) E. Contínua: aquella cuyos Términos medios son iguales .Ejm.: 32 : 16 :: 16 : 8
Forma General: a : b :: b : c Donde : * b : Media proporcional respecto de “a” ; “b” ; “c” * a ; c : 3era o Tercia proporcional, respecto a “a” ; “b” y “c” (abc). Obs.: Media Proporcional o Geométricas b a . c
Transformaciones de Proporciones Geométricas.Una P.G. puede sufrir hasta 8 transformaciones distintas y legitimas entre sí (una transformación es legitima cuando su propiedad fundamental permanece constante en valor numérico). Sea la proporción Geométrica:
a c ; sus variaciones legítimas serán. b d
1)
a b ; c d
2)
d c ; b a
3)
d b ; c a
5)
a c ; b d
6)
b a ; d c
7)
c d ; y a b
Ejm: la proporción
4)
c a ; d b
8)
b d ; a c
32 16 ; puede escribirse de 8 modos: 16 8
1)
32 16 ; 16 8
2)
8 16 ; 16 32
5)
32 16 ; 16 8
6)
8 16 ; 16 32
3)
16 32 ; 8 16
7)
16 32 ; 8 16
4)
16 8 ; 32 16
8)
16 8 ; 32 16
Obs.: Cuando la Progresión Geométrica es continua, las formas distintas serán 4 : todas legítimas. Comparación de Proporciones Geométricas.Aritmética
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1) Si 2 proporciones geométricas tienen razón común, las otras 2 Razones formarán proporción geométrica . 2 1 5 1 2 5 Ejm.: () 4 2 10 2 4 10 2) Si 2 proporciones geométricas tiene antecedentes iguales, los consecuentes formarán proporción geométrica. Ejm.:
1 3 1 3 6 12 2 4 ( ) 3 () 3 2 6 4 12 2 4 6 12
3) Si 2 proporciones geométricas tienen consecuentes iguales, los antecedentes formarán proporción 72 108 56 84 72 56 geométrica. Ejm.: ( ) 8 12 8 12 108 84 4) El producto que se obtiene al multiplicar, término a término, distintas proporciones geométricas da lugar a una proporción geométrica. Ejm: 1 2 3 6 2 8 1 3 2 6 2 6 8 96 ; ; Multiplicando x x () x x ; 2 4 9 18 3 12 54 4 18 12 864 antecedentes y 2 9 3 consecuentes 6 96 es una P.G. por que : 6 . 864 54 . 96 54 864 5) Con los 4 Términos de 2 productos iguales se puede formar una proporción geométrica. Ejm.: 6 x 3 = 2 x 9 3 2 9 6 Propiedades de las Proporciones Geométricas.-
a c ; se cumple: b d a c ab cd 1) Si b d b d
Sea la proporción
3) Si 5) Si 7) Si
a c ac a c b d bd b d a c ac bd b d ac bd
2) Si 4) Si 6) Si
a c ab cd b d ab cd
a c ab cd b d a c
a c ab c d b d ab cd
a c ac ac b d bd bd
Operaciones con las Proporciones Geométricas.-
a c ak ck Rk b d bk dk a c ak ck 2)Si R(cte) b d bk dk a c a/k c/k 3)Si R(cte) b d b/k d/k
1)Si
4 )Si
k
a c a c b d b d
k
Siendo:
R = el valor de la Razón K = constante (k Z +)
5)Si
a c a c k k b d b d
Serie de Razones Equivalentes (S.R.E.).Son las igualdades que se establecen entre los grupos de proporciones que poseen la misma constante de Razón. Puede ser de 2 formas: Aritmética
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1) S.R.E. Aritméticas: Si la igualdad se establece entre 2 o más proporciones aritméticas. Ejm: 8 – 5 = 7 – 4 = 11 – 8 = 6 – 3 =........ 18 – 15 = 15 – 12 = 12 – 9 = 9 – 6 =........ 2) S.R.E. Geométricas: Si la igualdad se establece entre 2 ó más proporciones geométricas. a b c d Ejm: .......k(cte). b c d e Propiedades de las S.R.E.G:
a b c d Z abcd.....Z ..... K(cte) (K ) n b c d e bcde ......
(*) Si
" N" RAZONES
Se Cumple : a k n ; b k (n1) ; c k (n2) ;.....; Z k Donde: (*) Si (*) Si
K = Cte. De proporcionalidad (kZ+) a = 1° antecedente N = # Total de Razones geométricas = Ultimo consecuente.
a c e Z a c e ...... Z ..... k k b d f b d f .......
a c e Z a p c p e p ...... Z p ..... k kp b d f b p d p e p ....... p
Donde: k = cte. De proporcionalidad ( Q +) . ; P Z+
Aritmética
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1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
PROBLEMAS PARA LA CLASE
Dos números son entre sí como 7 es a 13, si el menor se le suma 140, para que el valor de la razón no se altere, el valor del otro número debe quintuplicarse. Hallar el valor de los 2 números. Rpta.Dos números son entre sí como 5 a 8 ; si la suma de sus cuadrados es 712 y su diferencia es 6 2 ¿Cuál es el número menor? Rpta.-
La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación con los números 11; 3 y 560. Hallar el mayor de los números. Rpta.En una proporción continua geométrica los términos extremos son entre sí como 4 es a 9. si los términos de la primera razón suman 40. Hallar la suma de los consecuentes de dicha proporción. Rpta.-
En una proporción geométrica discreta la diferencia entre los medios es 14. Hallar uno de los términos medios si se sabe que el producto de los 4 términos de la proporción es 2601. Rpta.-
En una reunión social por cada 5 hombres adultos que ingresan, ingresan 6 niños y por cada 3 mujeres adultas que entran, ingresan 8 niñas. Si en total ingresaron unos 572 niños y el número de hombres es al número de mujeres como 7 es a 4¿Cuántos hombres asistieron a dicha reunión? Rpta.-
Tenemos dos terrenos: 1 terreno rectangular y el otro en forma cuadrada. Si uno de los lados del primero es al lado del menor del segundo es como 3 es a 2 ¿En que relación están sus perímetros, si sus áreas son iguales? Rpta.Si a cada uno de los 4 términos de una proporción se le quita una cantidad misma, se obtiene 20; 28; 32; 44. Hallar la suma de los términos de dicha proporción. Rpta.Se tiene 3 números enteros que son entre sí como 4; 7; 9. Si el cuadrado de la suma de los 2 menores números menos el cuadrado del mayor da 360. Hallar la suma de los 3 números. Rpta.-
10) ¿Cuál es el número entre el tercio proporcional y el tercio diferencial de 9 y 5? Rpta.11) Hallar la Razón de una proporción geométrica continua, sabiendo que la suma de sus términos extremos es a su diferencia como 25 es a 24 Rpta.-
12) En una serie de tres Razones geométricas contiguas e iguales la suma de los antecedentes es 147 y la suma de las tres Razones es 9/5.Hallar la suma de los consecuentes. Rpta.-
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13) En una competencia de obstáculos de 800 metros, Andrés y Belisario vencen a Carlos y Danilo por 50 metros. En la misma distancia Andrés gana a Belisario por 100 metros y Carlos a Danilo por 160 metros. ¿Por cuánto ganara Carlos a Belisario en una carrera de 1125 metros? Rpta.14) Tenemos 3 números enteros A; B y C Tales que A es a B como 4 es a 5 y B es a C como 10 es a 11 Si la diferencia entre A y C es 36 ¿Cuál es el mayor de esos 2 números? Rpta.-
15) Si el valor de la Razón aritmética y geométrica de 2 números es 5 ¿Cuál es la suma de dichos números? Rpta.-
16) Se tiene la siguiente serie de Razones geométricas equivalentes:
a b c 5 7 10
Hallar la suma de los antecedentes. Rpta.-
17) La ciudad de Belfast esta dividida en 2 bandos a raíz de la invasión anglo estadounidense a Irak, los que están a favor y los que están en contra de la reyerta, respectivamente; de manera tal que la población de los primeros y la población de los segundos están en la relación de 7 a 3. Si de uno de los bandos se pasan al otro unas 60 personas, la razón de las poblaciones que están a favor y en contra de la guerra, respectivamente se invierte ¿Cuál es la población total de la ciudad? Rpta.18) Tres números naturales A; B y C, Son tales que A es a B como 4 es a 5 y B y C están en razón de 10 a 11 .Si se cumple que A – C = 36 ¿Cuál es le mayor de los números entre A y C? Rpta.19) En un club social se lleva a cabo una reunión donde asisten unas 400 personas entre Hombres y Mujeres, asistiendo por cada 3 de los primeros; 2 de los segundos. Si a cabo de 2 horas la relación entre hombres y mujeres es de 2 a 1 ¿Cuántas parejas se retiraron? Rpta.-
20) La media Aritmética de 2 números A y B es 12. Si se establece una proporción continua con estos números, la cual tiene razón igual a 3/5; la diferencia que se dará entre los términos extremos será: Rpta.-
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PROBLEMAS PARA LA CASA 1) Si (a+b)/(a-b)=2,6 y si a y b son los menores enteros, la Razón entre las razones aritméticas y geométricas de dichos números será:
a) 2,1 d) 2,4
b) 2,2 e) N.A
c) 2,3
2) La suma de los términos de una proporción geométrica discreta es 320 y la relación entre la suma de antecedentes y la suma de consecuentes es como 7 es a 1 ¿Cuál es la suma de los consecuentes y la Razón de la proporción? a) 92 d) 74
b) 47 e) 54
c) 41
a) 5/23 d) 8/49
b) 2/49 e) 9/50
c) 1/48
3) Si A es la cuarta proporcional de 5/6 ; ¼ y 2/3 y B es tercera proporcional de 1/8 y 1/6 ¿Cuál es la tercera proporcional de B y A?
4) En una proporción de Razón igual a ¾ el producto de los consecuentes es 880. Si los antecedentes están en la misma Razón de 5 a 11 Hallar la suma de los términos de dicha proporción. a) 112 b) 84 c) 336 d) 224 e) 504 5) En una proporción de Razón menor a la unidad, la tercera proporcional es 24. Si la Razón aritmética de los términos extremos es igual a 18 ¿Cuánto vale la media proporcional? a) 3 d) 12
b) 6 e) 15
c) 9
6) La razón de 2 números es la misma que ¼ y 1/3 ; y los 2/3 del producto de esos dos números es 1152 luego, la diferencia que existe entre los 2 números es: a) 12 a) 48
b) 24 a) N.A
c) 36
7) La diferencia que se efectúa a 2 números enteros y el cociente de esos números están en la misma razón como el número menor (de los nombrados) es a 10. La menor semisuma de dichos números será: a) 10 d) 9,2
b) 9,8 e) 8
c) 9,5
8) Con los datos a continuación: i) (a/b)=(c/d)=(e/f) ii) a + c + e = 72 iii) b + d + f = 32
Aritmética
Hallar: a) 36 d) 24
ab cd ef b) 15 c) 48 e) 30
9) Si se cumple:
m p r R2 k 2 ; nqr n q s K2 Hallar : mps
a) k d) 1
b) k/R e) R
c) R/k
a) 10 d) 4
b) 8 e) 2
c) 6
a) 4 d) 64
b)16 e) 4096
c) 8
a) 25/7 d) 7/25
b) 5/8 e) 7/15
c) 25/12
a) 24 d) 27
b) 45 e) 32
c) 96
10) En una proporción donde cada uno de los 3 términos es el cuádruple al término inmediato (los términos que cumplen son el 1° ; 2° y 3°) la suma de los 4 términos es 340. ¿Cuál es el término menor?
E G J EGJ y 64 Hallar el cociente F H K FHK de la suma de los cuadrados de los antecedentes y la suma de los cuadrados de los consecuentes de la serie mostrada.
11) Si
12) En un concurso de baile el número de hombres y el números de mujeres están en la misma relación que 5 y 4 , pero en un instante determinado del concurso el número de hombres que bailan es al número de hombres que bailan es al número de número de hombres que no bailan como 5 es 3, por tanto, el número de mujeres que no bailan es al número de hombres que no bailan como:
13) Tres números a ; b y c son proporcionales a 9 ; 12 y 65. Si la cuarta proporcional de a ; b y c es 520. ¿Cuál es la tercera proporcional de a y b?
14) Si (p/q) = (r/t) = k , Hallar el valor de:
p 2 t 2q 2r q 2 t
en función de k. a) k d) (Kl.) 2
b) 2k e) Kl.
9
q t
;
c) k 2
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15) Calcular: J
a) 8/125 d) 72/625
U3 N3 I3 16
u 3 n 3 i 3 250
Si ( U/u ) = ( N/n ) = ( I/i ) = 2/5
b) 16/625 e) 9/71
c) 2/25
TEMA: REPARTO PROPORCIONAL
Concepto.Es una regla en la cual a ciertas cantidades se les puede repartir en forma directa o inversamente proporcional a otras cantidades, las cuales reciben el nombre de “factores de proporcionalidad ”, de tal manera que todas estas formas una serie de Razones iguales. Notación.Repartir un número entero “N” en partes proporcionales a “q”; “r”; “s”; ....; “z”
Sean “a” “b” “c” ;.....; “” las partes del número “N” proporcionales a “q” ; “r” ; “s” ;.....; “z” tal que : a + b + c +.....+ = N.
a b c .... k q r s z Donde: k = constante de proporcionalidad (k Q+)
a (dp) q; b (dp) r ; c (dp) s ;.....; (dp) z
Obs.: la operación del Reparto es análoga para el Reparto inverso.
Regla Práctica.Al número “N” se le dividen en números proporcionales a los índices “a” “b” “c”. Denominaremos “x” a la parte de “N” que es proporcional a “a” ; “y” a la parte proporcional “b” y “z” a la parte proporcional “c”, respectivamente, de manera tal que: 1) x + y + z = N ; 2) x y z ; y 3) a b c. Los puntos 2) y 3) permiten formar con las cantidades y con los índices de proporcionalidad una serie de Razones geométricas equivalentes. Si x y z () a b c
x y z a b c
Aplicando una de las propiedades de las Razones geométricas :
y xyz y xyz x z x xyz z ; ; a b c abc a abc b abc c
Pero : x + y + z = N
aN bN cN ; y ;Z abc abc abc Clases de Reparto. x
Reparto Proporcional
* R.P. Simple
Directo
Inverso
* R.P. Compuesto
* Regla de Compañía
Simple Compuesta
I) Reparto Proporcional Simple (RPS).1) Reparto Proporcional Directo Simple o Directamente Proporcional: Se establece cuando parte que pertenece a una cantidad es directamente proporcional con cada índice de proporcionalidad. Presenta 3 casos: (*) De un Número entero a otro Número entero.- Se usa la Regla práctica para cada caso. Ejm.: Aritmética
Reparto de 18 en 2 Números proporcionales a 2 y 4. Si 18 = x + y , aplicando la Regla General : (x/2) = (y/3)
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X = 2 (18) x = 6 ; y = 4 (18) y =12 6 6 Los Números del Reparto son : 6 y 12. (*) De un Número entero a un Número Racional: Se homogenizan los índices fraccionarios y se aplica la forma general para cada parte considerando únicamente a los numeradores de cada fracción. Ejm.:
x
Repartir 154 en partes directamente proporcionales a 2/3; ¼ ; 1/5; 1/6. Reduciendo esas fracciones al Mínimo Común Denominador: 2/3 ; ¼ ; 1/5 ; 1/6 ; 40/60 ; 15/60 ; 12/60 ; 10/60 . Prescindimos el Denominador Común (60), se aplica la Regla práctica para cada caso:
40 (154 )
40 15 12 10
; y
15 (154 )
40 15 12 10
;z
12 (154)
40 15 12 10
;u
10 (154 )
40 15 12 10
x = 80 ; y = 30 ; z =24 ; u = 20 (*) De un Número entero a un Número Real: Se consideran los casos entre los números enteros y el caso entre el número entero y el número racional.
Regla General: Se multiplica el número que se quiere repartir por cada uno de los índices de Proporcionalidad y se divide por la suma de estos últimos. Ejem.: Repartir 150 en partes directamente proporcionales a 5 ; 6 y 9.
x
5(150 ) 6(150 ) 9(150 ) 37,5 ; y 45 ; z 67,5 569 569 569
x = 37,5 ; y= 45 ; z = 67,5
2) Reparto Proporcional Simple Inverso o Inversamente Proporcional: Se establece cuando cada parte es inversamente proporcional con cada índice de inversión (índice de las magnitudes inversamente proporcionales). Presenta 3 casos: (*) De un número entero a otro número entero. (*) De un número entero a otro número Racional. (*) De un número entero a otro número Real.
En los casos se invierten los números dados y se reparte el número que se quiere dividir en partes que son directamente proporcionales a los índices de inversión de los números ya inversos.
Ejem.: Repartir 240 en partes inversamente proporcionales a a ; 6 ; 8. Invirtiendo los índices de inversión : 1/5 ; 1/6 ; 1/8 homogenizando: 24/120 ; 20/120 ; 15/20. (120 = mínimo Común Denominador). Aplicando uno de los casos del Reparto Simple Directo (Reparto entre Números enteros): Si x + y + z = 240 24( 240 ) 20(240 ) 15(240 ) x ;y ;z 24 20 15 24 20 15 24 20 15 37 21 1 x 97 ; y 81 ; z 61 59 59 59 x 97 37 59 ; y 81 2159 ; z 61 159
II) Reparto Proporcional Compuesto (RPC).-
Es aquel donde una cantidad es dividida en partes que son directamente proporcionales a otras cantidades (índices de proporcionalidad) y, a su vez pueden ser directas o inversamente proporcionales a otras cantidades (índices de inversión). Ejem.: Repartir 170 en partes d.p. con 4; 5 y 6 e i.p a 2 ; 4 ; 6.
Aritmética
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170 = x + y + z = ; multiplicamos los índices directamente proporcionales a 170 por las inversas de los índices inversamente proporcionales a 170. 170 = x + y + z () x = (dp) 4 . ½ x (dp) 2 y = (dp) 5 . ¼ y (dp) 5/4 z = (dp) 6 . 1/6 z (dp) 1
Reduciendo los nuevos índices a su mínimo común Denominador: X (dp) 2 x (dp) 8/4 ; y (dp) 5/4 y (dp) 5/4; z (dp) 1 z (dp) 4/4 Repartiendo 170 en partes directamente proporcionales a 8 ; 5; 4:
x
170(8) 170(5) 170( 4 ) 80; y 50 ; z 40 17 17 17
x 80 ; y 50 ; z 40
Aritmética
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PRE UNIVERSITARIO
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) ¿Cuál será la medida de cada uno de los ángulos de un romboide, si estos son proporcionales a 1 ; 4 ; 5 ; 8 ; respectivamente?
8)
2) Alexa ha repartido cierta cantidad de dinero entre sus tres sobrinos, en partes que son directamente proporcionales a los números 4 ; 5 y 7. Si el tercero ha recibido 42 soles más que el primero ¿Qué cantidad de dinero repartió?
9) Cuando un hombre va a almorzar a un restaurante y le atienden una mujer y un hombre, le da doble propina a la mujer que al hombre, y si le atienden el hombre y un muchacho, le da doble propina al hombre que al muchacho. Si un día le atienden el hombre, la mujer y el muchacho y da 70 centavos de propina ¿Cuánto debe recibir cada uno?
Rpta.-
Rpta.-
3) Repartir a 1560 en 3 partes tales que la primera de ellas sea a la tercera como 7 es a 3 y que la primera y la segunda están en la misma relación que los números 5 y 4 . Rpta.-
4) Un comerciante repartió una suma de dinero entre sus tres hermanos ; de 10 , 12 y 14 años respectivamente. Si el Reparto fue inversamente proporcional a las edades, siendo el de mayor edad el que recibe 420 soles. ¿Cuál es la suma que repartió? Rpta.-
5) Si se divide 23520 en partes D.P. a las raíces cuadradas de 75, 12 y 25 e I.P. a las raíces cuadradas de 27;12 y 75 respectivamente. La mayor parte es: Rpta.-
6) Las edades que tienen 5 primos en 2° grado por vía carnal son números enteros consecutivos, si se reparte una cantidad cierta de dinero entre ellos en forma directamente proporcional a sus edades; si al menor le corresponde la mitad de lo que le toca al mayor y el tercero le toca treinta y un soles con veinte céntimos ¿Cuánto le corresponderá al quinto? Rpta.-
7) Antonio reparte una cantidad de manera tal que cada una de las partes recibe el doble que la anterior, siendo hecho el reparto entre 4 personas, la diferencia que se establece entre la cuarta y la primera parte es s/. 120 mayor que la diferencia entre la tercera y la segunda. Hallar la menor de las partes en que se repartió dicha cantidad.
Se reparte el número 2480 en 3 parte que sean directamente proporcionales a los números m3 ; m2 y m, si la menor de dichas partes es 80 ¿Cuál será la parte mayor? Rpta.-
Rpta.-
10) Juan Carlos ha repartido cierta cantidad de dinero entre sus amigos: Abelardo, Benjamín y Claudio, de modo tal que las partes que estos reciben son respectivamente proporcionales a 4 ; 5 ; y 6. Si la parte que le corresponde a Abelardo es 20 soles, ¿Cuáles son las partes que le corresponden a Benjamín y a Claudio, respectivamente? Rpta.-
11) Un padre dispone en su testamento que está su fortuna constituida por una casa que esta valuada en s/. 48 mil dos y dos automóviles valuados en s/. 1500 cada uno que sea repartida entre sus hijos (3) de tal manera que el hijo mayor tenga 8 partes de la herencia, el mediano 6 y el menor de ellos; 3 ¿Cuánto le corresponderá al segundo? Rpta.-
12) Tres hermanos adquieren una propiedad en 85 mil soles y, algunos meses después, la venden en 100 mil soles. Si las partes que impusieron son proporcionales a los números 3 ; 4 y 8. ¿Cuánto ganó cada uno? Rpta.-
13) Se reparte 24 en 3 partes directamente proporcionales a 2 ; 4 y 6 ¿Cuáles son dichas partes? Dar como respuesta la mayor. Rpta.-
Rpta.-
Aritmética
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PRE UNIVERSITARIO
14) En el Planeamiento de Presupuesto General de la República para el año 2004, en concordancia con la política descentralizadora por parte del gobierno, se ha dispuesto hacer el reparto de modo directamente proporcional con las necesidades básicas de cada Región. Si se consideran solo tres Regiones, por la política gubernamental mencionada, notaremos que el reparto del Presupuesto es directamente proporcional a los números: n, n2 y n3. Si la región con menor presupuesto recibe 500 soles ¿Cuánto recibirá el segundo? Rpta.-
15) Dividir 95 en 3 partes de modo tal que la primera parte es a la segunda parte como 4 es a 3 y que la segunda parte es a la tercera como 6 es a 5. Dar como respuesta la diferencia entre la parte mayor y la parte menor. Rpta.-
16) Un amigo de mi hermano reparte 238 bolas entre cuatro muchachos en partes inversamente proporcionales a sus edades que son 2 ; 5 y 8 años respectivamente, como recompensa por sus buenas conductas ¿Cuántas bolas recibirá cada uno? Dar como respuesta la suma de las cantidades del primero y del tercero.
18) Se establece un reparto de dinero entre 3 personas, en forma directamente proporcional a sus edades, las cuales son 3 números enteros. Luego se reparte la misma cantidad de dinero, pero de modo inversamente proporcional a la misma 3 cantidades. Luego la segunda persona recibe en el segundo reparto: Rpta.-
19) Tres vecinos de la urbanización Mayorazgo deciden pintar las fachadas de sus casas siendo el costo total de 1369 soles. La extensión de la fachada del primero es los 3/5 del tercero, y la del segundo es los 7/2 de la del primero. Si el gasto se reparte en forma directamente proporcional a la extensión de las fachadas ¿Cuánto le ha correspondido abonar al tercero? Rpta.-
20) La Señora Carmen Rosa Ugarteche al fallecer legó una herencia de s/. 14 400 para repartirla proporcionalmente a las edades de sus hijos: Mauricio, Charles y Jaime Estuardo. La edad de Jaime Estuardo es el doble de la de Mauricio y a Charles le correspondió s/. 4200. Si la suma de las edades de estas 3 personas es 72 años. ¿Cuál es la edad de Jaime Estuardo? Rpta.-
Rpta.-
17) Un campesino cajamarquino tiene unas 275 aves entre gallos, gallinas y palomas. El número de gallinas es al de gallos como 7 es a 3 y el número de palomas es al de gallinas como 5 es a 2 ¿Cuántas aves de cada especie tiene? Rpta.-
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PRE UNIVERSITARIO
PROBLEMAS PARA LA CASA 1)
2)
3)
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7)
8)
Kelvin, Manolo y William disponían de un terreno, siendo las partes que les correspondían a cada a cada uno respectivamente proporcionales a 2,5 ; 1,5 y 2. Si Kelvin vende unos 200m2de un terreno a Manolo ambos tendrían terrenos iguales ¿Cuál es el área del sector del terreno que le correspondía a William? a) 1000 b)800 c)600 d) 400 e)200 Si se reparten s/. 270 entre 3 personas de modo que la parte correspondiente a la segunda persona sea los 2/3 de la parte correspondiente a la primera persona y además la parte correspondiente a la tercera persona es igual a la semisuma de las otras dos partes ¿Qué parte le corresponde a la segunda persona? a) s/.90 b) s/. 18 c) s/.108 d) s/. 84 e) s./ 72
Al repartir s/. 720 en forma directamente proporcional a m ; n ; 3n ; 9n ; 27n ;..... 3zn; el menor valor fue 18 ¿Cuál será el valor de “z”? a) 2 b)3 c)4 d) 5 e) 6 Alberto reparte cierta cantidad de dinero entre sus 3 hijos en forma directamente proporcional a los números mn; nm; nn; de tal manera que los dos primeros recibirán 228 y 339 dólares respectivamente ¿Cuál es la cantidad que se repartió ? a) $/.1450 b) S/.995 c) $/. 1045 d) S/.1304,5 e) $/. 1215
Dividimos una cantidad en 3 partes que son directamente proporcionales a tres números, de modo tal que éstos llegan a ser: 13200 ; 33000 y 52800 Si el reparto se efectúa en forma inversamente proporcional a los mismo tres números ¿Cuál sería la segunda parte? a) 35000 b) 3300 c)15000 d) 24000 e) 60000 Se divide 2210 en cuatro números tales que el segundo y el tercero estén en la misma relación que 7 y 11, el tercero y el cuarto están en la misma relación que los números 4 y “m” y la primera es a la segunda como 3 es a 5. Si el cuarto número es 1100 ¿Cuál es el valor de “m”? a) 11 b) 12 c) 8 d) 44 e) 33
Se reparte una cantidad en 3 partes de tal manera que éstas sean proporcionales a los números 3 ; 5 y 8. Si la tercera parte es mayor que la segunda parte en 78 unidades ¿Cuál fue la cantidad total que se repartió? a) 426 b) 328 c) 416 d) 461 e) 248 Se reparte un cierto número en dos cantidades, las cuales son directamente proporcionales a los números 3 y 5. Si la segunda parte es mayor en
Aritmética
42 unidades mas que la primera parte.¿Cuál es el número que se repartió? a) 168 d) 186
b) 172 e) N.A
a) 30 d) 75
b) 45 e) 90
c) 194
9) Abelardo reparte s/205 entre sus 3 mejores amigos, de tal manera que la primera recibe tanta cantidad de la segunda como 2 es 5; y el segundo recibe las ¾ partes del tercero. ¿Cuánto recibió la primera de esas 3 personas? c) 60
10) Tres muchachos tienen s/. 80 el primero; s/. 40, el segundo y s/. 30 el tercero. Convienen entregar entre todos 30 soles a los pobres, contribuyendo cada uno en función a lo que tienen ¿Cuánto pondrá cada uno? Dar como respuesta lo que pone el segundo. a) 18 soles c) 10 soles d) 8 soles
b) 16 soles d) 6 soles
11) En un colegio hay 130 alumnos, de los cuales hay cuádruple número de estadounidenses que de españoles y doble número de cubanos que de estadounidenses ¿Cuántos españoles hay en el colegio?
a) 50 b) 10 c) 90 d) 40 e) 80 12) Se ha comprado 2 automóviles de $ 3400 y se han pagado en razón directa a la velocidad que puedan desarrollar, que es proporcional a los números 60 y 70, y en razón inversa a su tiempo de servicio que es de 3 y 5 años, respectivamente ¿Cuánto se ha pagado por cada uno? Dar como respuesta la diferencia entre estos. a) 900 d) 600
b) 800 e) 500
c) 700
13) Tres cuadrillas de Obreros han realizado un trabajo por el que se ha pagado s/. 516 .La primera cuadrilla constaba de 10 Hombres y se trabajó durante 12 días; la segunda, de 6 hombres, trabajó 8 días y la tercera, de 5 hombres, trabajó por 18 días.¿Cuánto debe recibir la tercera cuadrilla? a) 96 soles b) 240 d) 180 e) 336
c) 276
14) Se reparte 26 en dos partes proporcionales a 3 y 4 e inversamente proporcional a 6 y 5. ¿Cuál es la parte mayor? a) 12 d) 13
b) 10 e) 11
a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 16
15) Repartir 95 en 2 partes D.P. a 0,4 y 0,6 e I.P. a 1,4 y 2 ½. Dar como respuesta la diferencia entre ellos.
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c) 7
PRE UNIVERSITARIO
TEMA: PORCENTAJE Introducción.La expresión “..... por ciento” es derivada de la expresión latina “......per centum”, apareciendo en las principales obras de aritmética en la Italia del siglo XV y su signo (%) fue fruto de una sucesiva mutilación a través de los tiempos, de la abreviatura de 100 (cto); apareciendo éste en un libro de comercio y ciencias mercantiles en el año 1685. Definición.El tanto por ciento viene a ser o una, o varias, de las cien partes en las cuales se divide una cierta cantidad. Por ejemplo, si decimos que el 10% de 100 es igual a 10; es por que éste se sustenta en el hecho de que al número 100 se le dividen en 100 partes regulares (perfectamente iguales), de manera tal que se consideran de dichas partes a unas diez. Las partes que se pueden considerar respecto de una determinada cantidad pueden ser tanto como fraccionarias. a Notación: Si a% de b es igual a c : a%b c (b ) c 100 Ejemplo: Hallar el 7 por ciento de 81 : 7%81
7 . 81 5,67 100
Propiedades del Tanto Por Ciento.1) Toda cantidad representa el 100% de sí misma.
N= 100% N .
2) Los porcentajes de diferentes cantidades se pueden sumar o restar de modo algebraico, es decir, solamente se pueden operar porcentajes que operen a una misma cantidad %N + %N - %N =(++)N; . Donde: ;; Q+ 43% M + 27%M – 15%M = 55%M Relación Entre La Teoría del Porcentaje y Las Fracciones. Las variaciones porcentuales (cambios que experimenta una determinada cantidad, con respecto de su valor original) se pueden expresar como una fracción en la cual el numerador es aquélla cantidad a operar y el denominador es el número respecto al cual se de ha ser la repartición (en el tanto por ciento, el indicador equivale a 100, por ejemplo).
Para convertir una determinada fracción a porcentaje, basta con multiplicar dicha fracción con el número al cual se ha de repartir dicha fracción. Ejemplo : (*) Convertir 1/5 a tanto por ciento : 1/5 (100) = 20% se lee : “veinte por ciento”. (*) Convertir 4/9 a tanto por 27 : 4/9 (27) = 12 “doce por veintisiete”. (*) Convertir 95% a fracción : (95/100) = 19/20 (*) Convertir 3 por 10 a fracción : 3 por 10 3/10
Obs.
* Tanto por Cuanto: Si en un inicio decimos que el tanto por ciento de cierta cantidad era una ó mas de las partes (las cien) en que se pueden dividir dicha cantidad; al tanto por cuanto se le define como una o Aritmética
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PRE UNIVERSITARIO
varias partes que se toman en cuenta de un número determinado de partes en las cuales se puede dividir una determinada cantidad. Notación: Si el a por b de c es igual a d:
a (c ) d ; donde b 100. b
3 (75 ) 45 5 * Tanto por mil: De manera análoga a las definiciones del tanto por cuanto y del tanto por ciento, podremos concluir que el tanto por mil es cada una de las mil partes en que se divide una cantidad. Hallar el 3 por 5 de 75:
a (b) c ; donde b 100. 1000 25 Hallar el tanto por mil (el 25 por mil) de 2300: (2300 ) 57,5 1000 Notación: Si el a por 1000 de b es igual a c:
* Tanto por ciento del tanto por ciento: Se denomina así al cálculo del porcentaje sobre otro porcentaje - y así, sucesivamente – de cierta cantidad. Ejemplo : Hallar el 30% del 40% del 60% de 3100 : (30/100)(40/100)(60/100)(3100) = 223,2 Operaciones Sucesivas del Tanto Por Ciento .En asuntos relacionados con el porcentaje pueden presentarse casos que involucren un aumento o disminución de cierta cantidad que se manifiesta por medio de un porcentaje sobre la cantidad indicada. Por ejemplo:
Si un individuo contaba con una cuenta de ahorros de 80 000 nuevos soles en el Banco Santander – Central Hispano (BSCH) y cuando llega a dicho banco decide extraer todos sus ahorros – los ochenta mil nuevos soles, y recibe cien mil soles en vez de los ochenta mil nuevos soles iniciales, entonces estaría recibiendo un incremento de veinte mil soles, es decir, Recibe un incremento del 25% (veinticinco por ciento) de total de su cuenta de ahorros. Casos Particulares:
1) Si realizo dos aumentos sucesivos del M% y del N% , el incremento único será: MxN AU M N 100
donde: Au =Aumento ó incremento Único 2) Si realizo dos descuentos sucesivos del M% y del N% , el descuento único será:
DU M N .
MxN 100
Du =Descuento Único Ejemplo:
* Juan Carlos compro 10 Kg. de Azúcar y lo vende haciendo dos incrementos sucesivos del 30% y del 40% sobre el precio de venta. Hallar el incremento Único que se estableció en la venta del Azúcar. Sean los incrementos del 30% y del 40% : AU=30+40+30.40/100= 82 (AU) El incremento único será del 82% * Alexander, jefe del personal de la Fabrica D’onofrio, tiene encomendado reducir el sueldo básico de sus empleados. Si llega a establecer dos descuentos del 40% y del 25%, el descuento único será: Sean M=40 ; N= 25 : DU=40+25-40 . 25/100 = 55 (DU) Aritmética
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PRE UNIVERSITARIO
El Descuento único será el 55% Obs. Las relaciones para incrementos y descuentos indicadas anteriormente, solo cumplen para dos incrementos y dos descuentos sucesivos, respectivamente. Para conocer el incremento o descuento sucesivo que se establece cuando se da una serie de incrementos o descuentos sucesivos, respectivamente, se produce la relación a continuación mencionada: (100 A )(100 B)(100 C) AU 100 % n 1 100
Ejemplo:
A ; B ; C = Aumento Sucesivos. n = Cantidad Total de Incrementos Au = Incremento Único
1) Se producen dos incrementos sucesivos de 30 y 40%.Hallar el incremento Único:
(100 30 )(100 40) (130)(140) AU 100 A U 100 182 100 21 100 100 El Incremento Único : 82%
(100 A )(100 B)(100 C) DU 100 % n1 100
A ; B ; C = Descuento Sucesivos n = Cantidad Total de descuentos Du = Descuento único
Ejemplo: 1) Se producen dos descuentos sucesivos del 40% y del 25%.Hallar el descuento Único:
(100 40 )(100 25 ) ( 60)(75 ) DU 100 D U 100 45 100 21 100 100 El Descuento Único : -55% (la cantidad se redujo en 55%) El Signo ( - ) es indicador del descuento (dcto).
Aritmética
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PROBLEMAS PARA LA CLASE
Un agricultor del Valle del Colca compro una cierta cantidad de trigo. Vendió las dos terceras partes de este con un beneficio del 10% y la mitad del resto del trigo a precio de costo. Si cuando la venta llego a su fin, el agricultor obtuvo el equivalente a la inversión ¿Cuál fue el porcentaje total de pérdida ocurrido en la venta? Rpta.-
Para hacer unos mil lápices se requieren unos 50 kilogramos de madera, del cual se pierde un 8% en la fabricación; de un lápiz se pierde por el uso aproximadamente un 20 por ciento. Si se reuniesen las cantidades perdidas por el uso de unos mil lápices y se destinaran como materia de reciclaje ¿Cuántos lápices se llegarían a hacer? Rpta.-
En un tonel de la Taberna Queirolo que contiene una cantidad indeterminada de vino tinto, se adicionan aproximadamente unos 480 litros de agua. Después de
cierto período de tiempo se extrae el 20 por ciento de dicha mezcla entre el vino y el agua y se reemplaza éste por agua; resultando luego que la cantidad de vino que se obtiene de la nueva mezcla constituye el 16 por ciento del total de la mezcla. Calcular la cantidad total de vino – inicial – que tenía el tonel. 4)
5)
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Rpta.-
Un comerciante del Campo Ferial de Mesa Redonda decide vender un objeto aumentando su precio en un 20 por ciento. Al cabo de unos días rebaja ese precio en un 10 por ciento, pero siete días después aumenta nuevamente, el nuevo precio es un 25 por ciento; mas el día siguiente decide rebajar este último precio a un 80 por ciento. Indicar si el comerciante gana o pierde e indicar cuanto es ese porcentaje. Rpta.-
Se ha estimado que una mezcladora de concreto de la Empresa Constructora Graña y Montero S.A. sufre una depreciación de diez por ciento por cada año de uso respecto al precio que tenía al comenzar cada año. Si cuatro años después el precio de la mezcladora estuvo especificado en trece mil ciento veintidós nuevos soles, indicar el costo original de la mezcladora en cuestión. Rpta.En la competencia preliminar del Vigésimo Octavo Campeonato Mundial de Tiro, uno de los participantes logra convertir unos diez y siete blancos consecutivos ¿Cuántos debe fallar para que su rendimiento sea del ochenta y cinco por ciento? Rpta.-
Aritmética
7) José Ignacio vende un equipo de cocina ganando por dicha venta el veinte por ciento del precio con el cual se dio aquella venta; de ésta, entrega el veinte por ciento a Carmelo por sus Servicios prestados y, de lo restante, utilizó posteriormente el diez por ciento para pagar el transporte del equipo de cocina hacia el domicilio del nuevo propietario, obteniendo así una ganancia neta de ciento cuarenta y cuatro soles ¿Cuál fue el precio de costo del equipo de cocina? Rpta.-
8) Un Ingeniero Industrial egresado de la Universidad Nacional del Callao compra sillas a s/.32 cada una para el centro de Producción de su Facultad. Una vez allí, anuncia la venta de dichas sillas a S soles, de modo tal que cuando realice un descuento del 20% a sus cliente potenciales, pueda ganar el 20% sobre venta Calcular el valor de “S” 9)
Rpta.-
Doce obreros de construcción Civil – quienes poseen el mismo rendimiento se comprometen a realizar una obra para el Fondo Mi Vivienda en, aproximadamente, quince días. Cuando dichos obreros avanzaron la mitad de la obra, por disposición de la Empresa Constructora, ocho de esos obreros son bruscamente despedidos. Si la Empresa Constructora es conciente de que la segunda etapa de la obra – lo que falta por construir – requiere el doble del esfuerzo realizado para construir lo ya avanzado; Calcular el rendimiento que deben tener los cinco nuevos obreros – coincidentemente también de Construcción Civil – respecto al rendimiento de los primeros, que se han de contratar, de tal manera que la obra en ejecución se termine en el plazo establecido. Rpta.-
10) A Elizabeth; al comprar una blusa, deberían hacerle un descuento del 20% mientras que a Esmeralda, al comprar un pantalón deberían haberle descontado el 10% del costo del pantalón. Él por la premura llega a equivocarse, de tal manera que Elizabeth debe pagar s/.2 más y Esmeralda, s/. 5 menos – el vendedor hace el descuento al revés – Hallar la diferencia de las cantidades que pagaron Esmeralda y Elizabeth. Rpta.-
11) Se le encomendó a una Empresa, por encargo del Gobierno Central, realizar el mantenimiento de una carretera en la Selva Alta del departamento de la Libertad, la cual quedo dañada por las lluvias incesantes que se producían en dicha región. Para llevar a cabo el mantenimiento de dicha carretera, se tuvo que extraer tierra cavando una zanja; luego la tierra sufrió un esponjamiento del 30% y ; después; un asentamiento del 20%. Si el cavado duró unos 28 días ¿ Cuánto tiempo hubiera durado el cavado si el esponjamiento fuera del 40%?
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Rpta.-
12) En la Librería Lau Chun se tiene una oferta en la venta de los libros. Cada Libro cuesta s/.3; pero si las ventas superan los s/.24, habría un descuento del 24%. Además, para ventas por encima de los 60 soles, el descuento sería del 38% y para ventas mayores a los 138 soles, el descuento sería del 85%. En la Librería Época, para venta de libros en el mismo intervalo los descuentos son , respectivamente; de 3% ; 5% y del 8%. Una persona, en su primera compra obtuvo un descuento del 24% ; en la segunda 38% y en la tercera 85% y observó que si su compra la hubiera realizado en la otra tienda hubiera gastado s/.143,1 más. Si el número de libros que compró es el menor posible, hallar el número total de dichos libros. Rpta.13) Se han mezclado tres sustancias químicas cuyos precios son proporcionales a 1;5 y 12 ; de tal manera que se usa un 20% más de la segunda sustancia respecto de la primera y de la tercera un 40%, más que la segunda; si se sabe que el precio por kilogramo de la mezcla es mayor en s/.27 que la diferencia de los precios de las dos primeras sustancias. Calcular si gana o pierde; si al vender un precio fijo, aumentando su costo en 60% y en la venta hace dos descuentos sucesivos del 25%(Indicar, además, las cantidades) Rpta.-
14) Roberto desea adquirir cierto producto, cuando solicita un descuento, la vendedora le hace uno del 20% más el 30% de su precio. Entonces, el descuento que se hace ¿es del 50%? Rpta.-
15) Si el precio de un par de guantes luego de habérsele hecho dos descuentos sucesivos del 10% y del 30% es de unos sesenta y tres soles ¿Cuál es el precio que tenían los guantes antes de producirse dicho descuento?
Rpta.16) En cierta Empresa el sueldo mínimo es de s/. 250 y el máximo es de s/.300. Se sabe, además, que veinte empleados ganan, por lo menos, s/. 290 soles pero menos de s/. 300. Sesenta y ocho empleados ganan, por lo menos, s/. 270 ; 135 empleados ganan por lo menos s/.260 y el resto
Aritmética
de empleados ganan menos de unos 260 soles, siendo éstos últimos el 10% del total ¿Cuántos empleados ganan menos de s/.270? Rpta.-
17) Gerard compra una pieza de tela, al por menor, que vende de la siguiente manera: S/.8 con un beneficio de 60 soles el metro y lo restante con 40 soles de beneficio por metro. La ganancia total por la venta es de s/.6300, el cual representa el 15% del precio de compra. ¿Cuál es la longitud de la pieza y el precio de compra? Dar como respuesta el cuadrado de las sumas de las cifras de los resultados Rpta.-
18) Cuando el lado de un cuadrado se incrementa en 20%. Resulta que el área aumenta en 176m2. Calcular la longitud inicial del cuadrado. Rpta.19) Un estudiante de la Facultad de Letras y Ciencias Humanas de la Cuatricentenaria Universidad Nacional Mayor de San Marcos lee durante una semana el 60% de un libro más 20 páginas. En la segunda semana lee el 10% de lo que falta y en la tercera semana lee las noventa páginas restantes.¿cuántas páginas tiene dicho libro? Rpta.20) En la Fiesta de Cachimbos de la Universidad Real, Pontificia y Mayor de San Francisco Javier de Chuquisaca, en Bolivia, el total de chicas que salen a bailar lo hacen con el 6% del total de chicos. Además, Iván Ferrer – uno de los cachimbos – observo que si hubieran 20 chicas más, el número de personas que bailan respecto de las que no bailan estarían en la relación de 2 a 1 ¿Cuantos cachimbos varones que asistieron a dicha fiesta no están bailando? Rpta.-
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PROBLEMAS PARA LA CASA 1) En una reunión del Club Regatas Lima se observa que el número de mujeres esta en relación de 1 a 2 con el número de hombres, luego se retiran el 35% de los hombres y llegan unas 90 mujeres resultando que los hombres y mujeres están en relación de 1 a 1. Calcular el número de personas que habría al principio de la reunión. a) 800 d) 950
b) 850 c) 900 e) 1000
a) 120 d) 180
b) 140 e) 200
2) Se tiene un recipiente de vidrio lleno de Ron, del cual se extrae el 20% y se reemplaza con agua; luego de lo obtenido se extraer el 25% y se reemplaza con agua, de modo tal que la diferencia entre los volúmenes de Ron y de agua es de 32 litros ¿Cuál es el volumen inicial del recipiente? c) 160
3) Un litro de mezcla esta formado por 75% de alcohol y 25% de agua, por lo cual pesa unos 960 gramos, sabiendo que un litro de agua pesa 1000 gramos. Determinar el peso, en gramos, de un litro de la mezcla que tiene 15% de Alcohol y 85% de Agua (no considerar la contracción de la mezcla). a) 995 b) 992 c) 987 d) 974 e) 968 4) Un vendedor de manzanas compra unos 152kg de ellas a s/. 1,50 cada Kg. Después de lograr vender 82kga s/. 1,80 cada Kg.; guarda el resto por varios años, de modo tal que se llega a malograr aproximadamente el 30%. Calcular el precio al cual se debe vender el Kg. de lo que queda para que se pueda obtener un total de s/. 42,1 soles de ganancia. a) 3 soles b) 2,9 d) 2,5 e) 2
c) 2,6
5) En una tienda a los clientes les hacen dos descuentos del 10% y del 20%, de modo tal que llegan a ganar el 40%. Si un artículo se compra en s/ 36¿Cuál es el precio que debe fijarse para concretar su venta? a) s/.40 d) s/.70
b) s/.60 e) s/.58
c) s/.56
6) Una Fabrica de Útiles para escritorio produce lápices, cuyo costo se distribuye de la siguiente manera: 60% en materia prima 30% en mano de obra y el resto en gastos generales ; de modo tal que en la venta obtiene como ganancia el equivalente al 20% del precio costo. Debido a una variación de precios, sus costos aumentaron de la siguiente manera: 50% en materia prima, 40% en mano de obra y sus gastos generales en un 20%. Si Aritmética
ahora su ganancia neta sería del 30% del costo; calcular el tanto por ciento de los lápices, respecto al precio original de estos (Calcular el nuevo porcentaje en que se aumenta el precio de venta de los lápices) a) 56% d) 80%
b) 45% e) 70%
c) 53%
a) 38% d) 70%
b) 22% c) 60% e) 55,5%
7) El departamento de Servicio Social del Servicio Nacional para el Adiestramiento para el Trabaja Industrial (SENATI) rebaja las pensiones a aquellos estudiantes que cuentan con bajos recursos económicos en un 30 por ciento y aumenta en un 40 por ciento al resto de alumnado. Si el monto total de las pensiones de la totalidad de alumnos del SENATI queda disminuido en un 10 por ciento.¿Qué porcentaje de las pensiones – el total – representa lo pagado por los estudiantes de bajos recursos económicos?
8) Carlos razona de la siguiente manera:”para poder cancelar mi deuda con Jusep me prestaré dinero de Lucy con la cual mi deuda con ella aumenta en un 40%; pero si le llegase a pagar 420 mil soles, mi deuda con Jusep llegaría al 70% por pagarle. ”¿Cuánto es la deuda que tiene Carlos con Jusep? a) 100 mil b) 200 d) 400 e) 500
c) 300
a) 54% d) 71%
c) 39%
9) Dos recipientes “k” y “M” contienen ayahuasca, el recipiente “k” está lleno la mitad; el recipiente “M” , en un tercio de su volumen, así que se completan con agua el contenido de ambos recipientes (sus capacidades); la mezcla que se origina se vierte en el recipiente “N”. Si se sabe que las relaciones entre las capacidades de K y M es como 1 es a 2 ; determinar el porcentaje de ayahuasca que contiene la mezcla en el recipiente “N”. b) 61% e) 36%
10) Andrei acude a una tienda de electrodomésticos y compra cierto artículo por el precio de s/. 697 ; luego de unos 5 años regresa a la misma tienda y compra el mismo artículo pagando ahora 900% del precio anterior. Si el letrero del artículo decía descuento del 23,5% más el 18% indicando dos descuentos sucesivos ¿Cuál fue el precio de lista del segundo artículo comprado? a) 10 mil d) 38 mil
b) 50 mil c) 40 mil e) 5 mil
11) En una Industria se confeccionaran mil artículos de ropa: el 60% de ellos fueron
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PRE UNIVERSITARIO
fabricados por la maquina “A” y lo restante por la maquina “B” .Si conocemos que el 5% de lo fabricado por “A” es material defectuoso y el 4% de lo fabricado por “B” cumple dicha condición. Hallar la cantidad total de artículos de ropa defectuosos. a) 50 d) 46
b) 91 e) 39
c) 45
12) Si a un número se le incrementa el 20% y a la nueva cantidad se le reduce el 20%¿Qué se puede afirmar con respecto a la cantidad inicial? a) b) c) d) e)
Aumenta 10% Disminuye 10% Disminuye 42 Disminuye 8 No varía
13) Giovanni le dice a Anderson :“entre tu dinero y el mío hacemos 1125 soles; si hubiera recibido 30% menos de lo que te corresponde, nuestras cantidades serían iguales si es que yo recibiera 20% menos.” ¿Cuánto tiene cada uno?.
Aritmética
a) b) c) d) e)
G : s/. G : s/. G : s/. G : s/. G : s/.
425 ; A : 400 ; A : 525 ; A : 440 ; A : 340 ; A :
s/. 700 s/. 725 s/. 600 s/. 685 s/. 785
14) Al sueldo de un empleador de la Empresa Backus y Johnston S.A se le hace un incremento del 20% al comenzar el año y; en el mes de Julio recibe un incremento del 10% sobre el total. Calcular el porcentaje de su sueldo – que percibirá en Agosto con respecto a su sueldo percibido el año anterior. a) 128% b) 130% c) 103% d) 125% e) 132%
15) ¿En que tanto por ciento aumentará el volumen de un cilindro cuando la altura se reduce en 20% y la longitud del radio de la base aumenta en 25%? a) 10% d) 30%
b) 25% e) 20%
22
c) 15%
PRE UNIVERSITARIO
TEMA: ASUNTOS COMERCIALES
Introducción.-
Una Transacción comercial es el intercambio de bienes y servicios a cambio de dinero que se establece entre dos ó mas personas, de manera que la persona que vende dicho bien o dicho servicio puede obtener – como consecuencia de la transacción – un beneficio o una pérdida de su patrimonio. Para poder enfrentar distintas situaciones relacionadas con los asuntos comerciales, es fundamental y suficiente el correcto conocimiento de la definición de porcentaje; aunque también es necesario conocer las definiciones de las relaciones financieras dadas a continuación: 1) Precio de Venta (Pv): es aquel con el cual se cotiza un determinado artículo. Ejem: si en el mercado observamos que el kilo de Azúcar cuesta s/.1,50 entonces decimos que s/.1,50 es el precio de venta del azúcar. 2) Precio de Costo ó de Compra(Pc) : es aquel con el cual se adquiere un determinado artículo para su posterior uso. Así por ejemplo, si compramos un costal de 10 kilos de arroz a 12 soles, es decir, s/. 1,20 por cada kilo de arroz, decimos que 12 es el precio de costo por que ese fue el precio establecido para poder adquirir dicho producto. 3) Precio Fijado, de Catálogo ó Precio de Lista (Pl) : es el precio determinado en una lista o catálogo de diversas compañías o establecimientos comerciales. Ejemplo: Los precios de una determinada marca de zapatillas de vestir en una tienda de ropa. 4) Ganancia, Beneficio, Renta o Utilidad (G) es la cantidad que se obtiene cuando se vende cierto elemento a un precio mayor de lo que costo originalmente. Ejemplo: Si un televisor se compra a 200 dólares y luego se vende a 300 dólares, hablamos de una utilidad de 100 dólares. 5) Pérdida (P) : es la cantidad que se obtiene cuando se vende cierto elemento a un precio menor que lo que costo originalmente. Ejemplo: Si se compra un televisor a 300 dólares y se vende en 250 dólares, hablamos de una pérdida de 50 dólares. 6) Descuento (dcto;D) : Pago de un documento no vencido, al cual se le redujo el costo – en una cantidad acordada por ambas partes – como interés del dinero. Obs.: 1) Se determina al precio de venta como la suma del precio de costo y la ganancia. Pv = Pc + G
; donde Pv Pc
2) Se determina al precio de costo como la suma del precio de venta y la pérdida. Pc = Pv + P
; donde Pv Pc
3) Se define al precio de lista como la suma del precio de venta y el descuento. PL = Pv + D
; donde Pv PL
Además : G f (Pc ) ; P f (Pc ) ; D f (PL )
Si el precio de lista no se altera, el precio de venta y el precio de lista tienen los mismos valores
Generalmente
Aritmética
Siempre
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PRE UNIVERSITARIO
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1)
Un trabajador de una cadena de electrodomésticos realiza una venta de un sistema “Home Tealther” obteniendo, aproximadamente, el 24% de la utilidad cuando concreta la venta de los 3/5 del total de la mercadería; pero al vender el 40% restante llegó a perder el 25% de su costo. Si al culminar la jornada la venta total de la mercadería fue de seiscientos veintiséis mil cuatrocientos nuevos soles (s/. 626400). Hallar el importe de la compra de la mercadería.
6)
Un comerciante del Mercado Mayorista de Ceres compra harina a 15 soles el saco; ganándose al vender 33 1/3% del costo. Calcular el precio con el cual se vendió la harina si cada saco tiene capacidad para unos 100 kilos (por cada kilo).
7)
Rpta.2)
Rpta.-
Rpta.3)
Claudia Ángela decide incursionar en el negocio de la compra y venta de dólares americanos, de tal modo que tenía previsto obtener de beneficio aproximadamente el 20% de la cantidad que invirtió; pero cuando llega al Jirón Ocoña , en pleno Centro Histórico de Lima – La Catedral de los Cambistas – se da con la sorpresa que debe vender sus dólares americanos al 75% del precio de venta original, que era, precisamente, el precio que estimo para obtener ese anhelado 20 por ciento. Hallar el tanto por ciento de la ganancia de la venta que llega a obtener.
5)
Un comerciante del Emporio Comercial “Los Informales” de Pachacutec decide vender un determinado artículo de modo tal que obtiene aproximadamente el veinte por ciento del precio de costo como utilidad y, con dicha ganancia decidió comprar otro artículo para tiempo después, venderlo para ganar así el 25% del precio de venta. Hallar la relación en la que se han de encontrar los precios de venta de ambos artículos. Rpta.-
Un vendedor de la tienda de Electrodomésticos “CARSA” decide aplicar a la línea de electrodomésticos tres descuentos sucesivos el 20%; 25% y 20% de manera tal que el nuevo precio de venta llega a sufrir, luego, tres incrementos sucesivos del 20%; 25% y del 20% de manera tal que el nuevo precio de venta es diferente del precio de venta original en 204 nuevos soles ¿Cuál fue el precio de venta original?. Rpta.-
Aritmética
En la Pontificia Universidad Javeriana de Colombia, en el departamento general de Servicio Social decide rebajar las pensiones de enseñanza a aquellos estudiantes de escasos recursos económicos a un 80% e incrementa en un 30% al los alumnos. Si por esta política el monto total de las pensiones queda disminuido en un 10 por ciento ¿Qué porcentaje de la pensión total representa la pensión universitaria pagada por aquellos estudiantes que no se vieron afectados por dicha reducción ?. Rpta.-
8)
Rpta.4)
Para la construcción de la nueva sede de la Biblioteca Central “Pedro Zuler” en la ciudad Universitaria de la Cuatricentenaria Universidad Nacional Mayor de San Marcos se compraron ladrillos a 160 nuevos el millar. Si en cierta parte del edificio fueron necesarios unos trescientos sesenta ladrillos, los cuales representaron el 0,3% del total de ladrillos que compraron. Hallar la cantidad que se invirtió en la compra de los ladrillos.
Un objeto encontrado en el Transatlántico “Titanic” está valuado, según una famosísima casa de antigüedades de Liverpool, en Inglaterra, en 17 mil 280 libras esterlinas. Si dicha casa de antigüedades decidiera realizar un concurso en la cual, entre los valiosísimos objetos, se pusiera en subasta pública al objeto encontrado en el Titanic ¿Cuál sería su precio base sabiendo que si al venderlo se hacen dos descuentos sucesivos del 10% y del 20%, de modo tal que la casa de antigüedades logre ganar el 10 por ciento del 20 por ciento del precio original? Rpta.-
9)
Waldir Sáenz tiene cierta cantidad de dinero, si el primer día decide gastar el 43% de su sueldo como jugador estelar de ese equipazo de PlayStation llamado Alianza Lima; Calcular el porcentaje de lo que le queda a “Wally” que debería gastar el segundo día – en juergas y trampas – para que le quede aproximadamente el 28,5% del dinero que cobro originalmente. Rpta.-
10) Un comerciante de la tienda de electrodomésticos “LA CURACAO” tiene unas tres computadoras PENTIUM IV marca Compaq, logrando vender dos de ellas en 360 dólares americanos cada una de ellas, logrando así obtener un beneficio económico – en
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PRE UNIVERSITARIO
una de ellas – del 20 por 70 de su costo y perdiendo en la venta de la segunda computadora el 20 por 100 del precio de venta. Si la tercera computadora le costo el 10 por ciento de la primera más el 80 por ciento de la segunda ¿Qué porcentaje de ganancia o pérdida debe obtener el comerciante de “LA CURACAO” para que en la venta total el beneficio y la pérdida sea nula? Rpta.-
11) El mismo comerciante que vendió las computadoras en el problema anterior de está guía efectúa la venta del 40 por ciento de los artículos que compró de la tienda de electrodomésticos “RIPLEY MAX” de tal modo que obtiene una utilidad del 40 por ciento del precio de costo; vende además el 20 por ciento de lo restante perdiendo el 20 por ciento; luego la cuarta parte de lo que llega a tener la regalará a uno de sus hermanos y lo restante lo vendió al mismo precio de costo (sin ganar ni perder). Si en toda la venta obtiene un beneficio de s/. 480 ¿Cuántos artículos compra si cada uno de estos costaba 10 nuevos soles? Rpta.-
12) Dos automóviles cuestan juntos unos trescientos mil dólares americanos (US$) el primero se devalúa en 10 por ciento de su costo inicial cada año, mientras que el segundo automóvil se devalúa – económicamente hablando – en 12 por ciento al año. Si un año después el primer automóvil se devalúo económicamente unos 9 mil 600 dólares americanos menos que el segundo. Hallar el precio del automóvil más barato. Rpta.-
13) En una fábrica de confección textil de la ciudad de Puerto Ordaz, en la República Bolivariana de Venezuela, los costos de producción se reparten del siguiente modo: el treinta por ciento del total se invierte en mano de obra y el diez por ciento restante se reparte en gastos generales, de modo tal que el 60% de la producción total se distribuye en la adquisición de materia prima; así los productos que confeccionan la fabrica los vende obteniendo el 20 por ciento del costo. Como consecuencia de la crisis que asola a Venezuela en el ámbito económico se da una variación de precios tal que sus costos se incrementaron de la siguiente manera: 50% del total se deriva a la materia prima (hilos, tejidos, entre otras), 40% del costo total se deriva a la mano de obra y los gastos generales sufren, en consecuencia, un incremento del diez por ciento respecto. Si las ganancias reportadas llegan a ser el 30% del costo. Hallar el tanto por ciento en que se incrementa el precio de venta de los artículos de confección que produce la fabrica antes mencionada. Rpta.14) Al vender un determinado artículo se hacen descuentos sucesivos del 10% y 20% pero aún se gana el 20%. Hallar el costo de dicho artículo si
Aritmética
sabemos que al fijar en un inicio su precio el costo se da un incremento de 500 nuevos soles. Rpta.-
15) Sobre el precio de venta de un artículo se rebajo el 20% del 30 % y aún quedará un margen de ganancia del 40% del costo. Hallar el precio de venta que se dijo si el precio de costo fue s/. 94 000 Rpta.-
16) En una oferta un comerciante disminuye el precio de un artículo en 25%, por tal motivo la demanda aumenta en un 60%¿En que porcentaje varía la recaudación? Rpta.-
17) Si compro un libro para, después de leerlo, lo vendo obteniendo 20% de utilidad – haciendo previo descuento de 20% - ; Hallar el porcentaje que se debe rebajar el precio inicialmente fijado para que pueda obtenerse el 14% del precio de costo. Rpta.18) Mi hermano vende a su amigo el usurero un artefacto al que descuenta el 10%; pero antes de concretarse la venta cambia de idea y le recarga el 10%; pero finalmente vuelve a efectuar el descuento del 10% de manera tal que se llega a pagar 8910 nuevos pesos. Hallar el precio original. Rpta.19) Mi hermano desea promocionar las ventas de “Cartago Representaciones S.A.C.” ofreciendo para la ocasión un descuento del 20%; pero como en realidad no quiere rebajar el precio, debe entonces hacerles un incremento previo a estos ¿En que porcentaje lo hará? Rpta.20) Xiomara ha vendido su camioneta Mitsubishi Montero obteniendo el 60% de la venta como utilidad. SI lo hubiera vendido ganando 60% del costo habría perdido 11340 soles. Hallar el costo inicial de la camioneta. Rpta.-
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PRE UNIVERSITARIO
PROBLEMAS PARA LA CASA 1) Quise vender una Radio con un recargo del 15%. Inicialmente se pensaba ganar el 20 por ciento del costo más el 25% de la venta. Si finalmente logré una utilidad neta de 25 200 euros. Hallar el importe por el recargo impuesto a la Radio. a) 6000 d) 6300
b) 6600 c) 7200 e) 13200
2) Alessandro decide adquirir 15 piezas de tela de 30 metros cada una a s/. 257,6 el metro, de manera tal que pretende obtener un beneficio final del 25% del precio de compra. Si ha vendido ya unos 270 metros de tela a s/. 230 el metro. ¿A cómo ha de vender el metro de lo restante para obtener el beneficio que se ha propuesto?. a) s/.350 b) s/.380 d) s/.420 e) s/.460
c) s/.400
3) Cuando se concreta el traspaso de un objeto ganándose el 30% del costo se gana unos s/. 6000 más que si se vende ganando el 20% del precio de venta, ¿A como se debe vender dicho objeto para ganar el 30% del precio de costo más el 20% del precio de venta?. a) 185000 175000 e) 180000
b) 195000
c) 190000
a) 20/9 d) 21/20
b) 20/13 e) 32/20
6) De las minas “Antamina” y “Yanacocha”se extrae cobre; el de la primera se da un 65% de cobre , mientras que el de la segunda, un 54%. Si se mezclan ambos minerales que se extraen, en el día, de cada mina, se obtiene un mineral que posee un 60% de Cobre. Si la extracción de la tonelada métrica se cobre del primer mineral cuesta unos $ 17,50 y del segundo, $ 14,75 y en la venta se logra un beneficio total a los 2/11 de los gastos de extracción. Calcular la cantidad extraída de cada mina durante el mes de Noviembre, si sabemos que en dicho mes se ha logrado ganar aproximadamente $ 3900. a) 18 y 15 tn. b) 35 y 25 c) 24 y 25 d) 12 y 10 e) 24 y 20
d)
4) De un grupo de personas, el 75% de éstas son aficionadas al cine de Ciencia ficción, 50 personas lo son de películas dramáticas y el 10% restante son aficionadas a ambas películas a la vez. Calcular el número total de personas y el número de estas que son aficionados, a la vez, del drama y la ciencia ficción. a) 100;10 c) 200;10 e) N.A.
b) 200;20 d) 400;20
5) Un empleado del Ministerio Público llega a multiplicar el costo de un artículo por un factor “K” de modo que llega a fijar un precio de lista; así, haciendo incluso un descuento del 25%. se logra ganar aún el 40% del precio del cual se llega a vender . Hallar “K”. Aritmética
c) 20/11
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PRE UNIVERSITARIO
7) No quise vender una casa, a pesar de que me ofrecían por ella $ 3840; con lo cual ganaría el 28% del costo, pero tiempo después llegué a venderla por $ 3750 ¿Qué tanto por ciento del costo gané al hacer la venta?. a) 40% d) 25%
b) 35% e) 20%
c) 30%
8) Un hombre vendió dos caballos cobrando s/. 5400 por cada uno. En uno de ellos ganó el 20% de lo que le costo y en el otro perdió el 20% de lo que le costo ¿Cuánto perdió?. a) 200 soles b) 726 c) 450 d) 915 e) 139 9) Vendí dos casas a s/ 7200 cada una; si en una perdí el 25% de la venta y en la otra gané el 25% del costo ¿Cuánto perdí?. a) s/.166,96 c) s/.166 e) s/.166,56
b) s/.167 d) s/.166,76
10) Una persona dispuso de s/. 600 de la siguiente manera: el 30% los invirtió en libros, el 12% en paseos, el 18% en ropa, el 15% en limosnas y el resto lo repartió en partes iguales a tres parientes ¿Cuánto recibió cada uno de ellos? a) s/.50 d) s/.70
b) s/.40 e) s/.80
c) s/.30
11) Un hombre, al morir, dispone que su fortuna se disponga de la siguiente forma : de los 20 000 dólares que tenía en vida, el 35% es destinado a su hermano mayor ; el 40% , a su hermano menor y el resto a un asilo ¿cuánto le corresponde al asilo?. a) $/.8700 $/.8070 e) $/.7008
b) $/.7800
c) $/.7080
d)
12) El precio de un objeto es de s/.897 ; si la ganancia bruta es del 15% del costo y la ganancia neta fuese s/.97. ¿Cuál es el gasto que llega a ocasionar la venta del objeto?. a) 15 soles b) 18 c) 20 d) 33 e) 45 13) Hallar el costo que posee un objeto si se sabe que al venderlo en 16 dólares se pierde un porcentaje igual al costo. a) 15 soles 20 soles e) 67 soles
b) 18 soles
c) 33 soles
d)
14) Al venderse un artículo se observa que el precio de costo más la venta representan el 120% de la utilidad. Si el artículo se vendió a 11 mil soles; Hallar el precio de costo. a) 200 soles d) 800
b) 600
c) 400
e) 1000 15) Se fija un precio a un reloj de modo que se gana el 25% del costo. Si se descuenta el 25% del 16% de la venta. Hallar el equivalente de la ganancia. a) 16% Pc. b) 17% d) 19%
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e) 20%
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c) 18%
PRE UNIVERSITARIO
TEMA: PROMEDIOS
Introducción.El promedio y el cálculo de probabilidades son las bases de la ciencia mercantil moderna. Es un hecho histórico comprobado que la Estadística – la ciencia que agrupa al promedio y el calculo probabilístico – debe su origen al juego de azar; tanto así que Blaise Pascal llegó a dar solución – a mitad del siglo XVII – a un problema vinculado con el juego de dados, fundando así la teoría de las probabilidades. Definición.El promedio (o media) es un valor que equilibra el valor de cada uno de los términos de una sucesión de números y además, no siempre pertenece a dicha sucesión. Notación.Sea
a1; a 2 ; a 3 ;....a n a n una sucesion tal que su promedio es :
P(a1; a 2 ; a 3 ;....a n ) F; donde : a 1 F a n ; de t al manera que :
a1 Valor Mínimo y a n Valor Máximo ; y se cumple que : a1 a 2 .... a n
Ejemplo: El promedio de 4 números es 10, si a 2 de ellos se les incrementan 3 unidades a su valor inicial y a un tercero se le disminuye su valor en dos unidades ¿Cuál será el nuevo promedio? Sean los 4 números: A + B + C + d = 40 ; el nuevo promedio de los números (después de sufrir la variación) (A + 3) + (B + 3) + (C - 2) + d = P Se cumple que: El Promedio de un grupo = El Promedio original + La Variación El Promedio del Grupo = ? ; El Promedio Original = Promedio : P = 11
Aritmética
332 A BCD ; Variación = El Nuevo 4 4
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PRE UNIVERSITARIO
Clases de Promedios .El promedio puede determinarse de 4 maneras diferentes: 1) Promedio Aritmético ( P.A ) 2) Promedio Geométrico ( P.G ) 3) Promedio Armónico ( P.H ) 4) Promedio Ponderado ( P.P ) Obs. A su vez, el promedio ponderado puede ser ; a su vez, de forma aritmética, geométrica y armónica ; respectivamente. I)
Promedio Aritmético( P.A ).Se define como la cantidad numérica que resulta de la división de la suma de las cantidades que determinan la sucesión con la cantidad de elementos que la forman.
a a 2 a 3 .... a n PA (a1;....;an ) 1 n
a1 ;....an : Términos de la sucesión. N : Número de Términos de la sucesión Ejemplo : Hallar el promedio de la siguiente sucesión: 10 ; 12 , 15 ; 19
P.A
II)
10 12 15 19 ; P.A 14 4
Promedio Geométrico( P.G ).Se define como el valor numérico que resulta de hallar raíz, cuyo índice es igual en valor a la cantidad de números que forman parte de una sucesión, del producto de los términos de la mencionada sucesión.
PG (a1;....;an ) n a1.a 2 .a 3 ......a n
Donde : a a2 a3 .... an Términos de la sucesión. nN Ejemplo: Hallar el promedio Geométrico que resulta de la sucesión: 10; 12 ; 15 ; 19
P.G 4 10.12.15.19 2 2 10.12.15.19 P.G 13,60 III) Promedio Armónico( P.H ).Es el valor numérico que resulta de la inversa de la suma de los Recíprocos de cada término de la sucesión que origina un promedio aritmético.
PH
1 n PH 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ..... ..... a1 a 2 a 3 an a1 a 2 a 3 a 4 an n
PH
n.a1.a 2 .a 3 ......a n a1 a 2 a 3 ...a n
(“El número de términos de la sucesión multiplicado por el producto de esos términos y el producto es dividido en la suma de los términos de la sucesión”)
Ejemplo : Hallar el promedio Armónico de los términos de la sucesión: 10 ; 12 ; 15 ; 19 Aritmética
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PRE UNIVERSITARIO
P.H(10;12;15;19 )
4.10.12.15.19 ; P.H 9,94 10 12 15 19
IV) Promedio Ponderado ( P.P ) Se presenta cuando una de las cantidades, o varias de las cantidades, se repiten en un número mayor o igual a 2 veces. Los Parámetros de ponderación indican un valor adicional a ciertas cantidades respecto de otras; ejemplo: pesos, medidas, calificaciones, etc. Como ya lo indicamos, el promedio Ponderado puede ser:
Aritmética
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PRE UNIVERSITARIO
1) Promedio Ponderado Aritmético ( P.PA ):
a1 ; a2....ak : Términos de la sucesión. m ;n;....z : Parámetros de Ponderación (m;n;...;z N)
a m a 2 n .... a k z PPA 1 m n ... z
2) Promedio Ponderado Geométrico( P.PG ) Donde : a a2 a3 .... ak
PPG mn... z a1n .a 2 n .......a k z
3) Promedio Ponderado Armónico( P.PH ) Donde : m n ... z P.P = a n a1;......a1 PPH 1 1 1 m veces (m) (n) .... ( z) a 2 ;....a 2 ; a n ;....a n a1 a2 ak
n veces
z veces
Ejemplo: Se compran las siguientes cantidades de azúcar a los correspondientes precios que se indican a continuación, 30 Kg. a s/. 1,5 cada kilo ; 20 Kg. a s/. 1,2 cada kilo ; 10 Kg. a s/. 1,6 cada kilo. Calcular el precio promedio de la mezcla: 30(1,5) 20(1,2) 10(1,6) P.P ; P.P s / .1,416 30 20 10
Propiedades Generales del Promedio.I) Para el promedio Aritmético ( P.A ): 1)Si el promedio de una serie de valores sufre un aumento o disminución de su valor es por que cada uno de los términos de una sucesión ha sufrido el aumento o la disminución, respectivamente, de su valor en una cierta cantidad.
PA (a1 k ; a2 k ;.....;an k )
P
K cons tan te
Ejemplo:
El promedio de 3 números es 30; si cada uno de ellos sufre un incremento de 3 unidades ¿Cuál será el nuevo promedio? A BC Sean los números A ; B y C ; donde: 30 A B C 90 3 Si se da variación:
30
A+3;B+3;+C+3
A+B+C+9 3
A+B+C +3=30+3 3
El nuevo promedio es = 33 2)Si cada uno de los términos de una sucesión es multiplicado o dividido su valor por una misma cantidad, entonces el valor del promedio se verá multiplicado o dividido por esa misma cantidad. PA (a1; a2 ; a3 ;...... an ) P / k ; PA (a1k; a2k; a3k;......ank ) Pk k k
Aritmética
k
k
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Ejemplo: Del ejemplo anterior:
(*) Sean los números A ; B y C donde : A B C 30 A B C 90 Si se da la variación:
A 3 ; B / 3 ;C /3 /
Dividiendo entre 3 a cada uno
3
A / 3 B / 3 C3 90 , pero 1 / 3( A B C) 30
El nuevo promedio sería: P 30
90
90 / 3
(*) Análogamente para la multiplicación : 3A ; 3B ; 3C 3 (A+B+C)=90 entonces el promedio inicial A B C 3 3. 90 3 30 x 3 270 el nuevo promedio sería : P 90 30 II) En toda sucesión de números se cumple siempre que el Promedio Aritmético es mayor, en valor, que el promedio geométrico y, a su vez, el Promedio Armónico es menor que el Promedio Geométrico z, siempre y cuando todos los elementos de la sucesión sean distintos. Si los elementos de dicha sucesión son los mismos, entonces el promedio Aritmético; Geométrico y Armónico, respectivamente, serán iguales (considerando que los números son positivos). Ejemplo: Hallar el promedio Aritmético, Geométrico y Armónico de la siguiente sucesión de números: 10 ; 12 ; 15 ; 19 Operando para obtener los promedios, se obtiene:
PA (10;12;15;19 ) 14; PG (10;12;15;19) PH(10;12;15;19 ) 9,91 Por lo visto : Si 14 13,60 9,91 PA PG PH
III) Para las cantidades A y B ; se cumple : (a b ) 2 4(MA (a,b ) 2 MG (a,b ) 2 ) Ejemplo: Sean las cantidades : 4 y 8 ; donde: MA ( 4;8) 6; MG ( 4;8) 4 2 Reemplazando en la relación: ( 4 8) 2 4(6 2 ( 4 2 ) 2 ) 16 16 (Demostración)
IV) Para dos cantidades se cumple siempre que su media geométrica es el equivalente a la media geométrica de la media aritmética y de la media armónica de dichas cantidades, respectivamente. Ejem.. Sean dos números 4 y 8 . donde : MA 6 y MG 4 2 , Hallar la medida armónica. De la propiedad (IV) : MG ( 4;8 ) MA ( 4;8 ) .MH( 4;8 ) 4 2 6.MH( 4;8 ) Elevando al cuadrado: 32 6 MH( 4;8) MH( 4;8 ) 16 / 3
Comprobando: MH( 4;8) 2( 4)(8) / 4 8 ; MH( 4;8 ) 16 / 3 (Demostración).
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32
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PROBLEMAS PARA LA CLASE 1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
“E” alumnos rindieron un examen. Después de la calificación se vio que la nota promedio de los alumnos de dicha sección fue “P” para los alumnos aprobados y “D” para los alumnos desaprobados (entre ellos). Si la nota promedio de los alumnos que rindieron un examen (los “E” alumnos) fue “W” ¿Cuántos alumnos habrán aprobado el examen? Rpta.-
Un individuo ha ganado en 4 días : 7 soles el primer día ; 4,40 soles el segundo día ; el tercer día, 9 soles y 10 soles al 4to día. ¿Cuál es su ganancia media? Rpta.-
Un hombre camina durante unos 5 días de la siguiente manera: 12 kilómetros al primer día, 14 kilómetros durante el 2do día, 16 Km. el tercer día; en el cuarto día recorrió 20 kilómetros y el quinto día logro caminar 23 kilómetros ¿Cuál será la distancia recorrida por día? Rpta.-
El promedio armónico de 10 números es 5 ; el promedio armónico de otros 20 números es 10 y el promedio armónico de 30 números es 6. Hallar el promedio armónico de los 60 números. Rpta.-
La media aritmética y la media geométrica de 2 números están en la relación de 25 a 24 ¿Cuál es la relación geométrica de los números? Rpta.La media aritmética de 25 números es 27; si a cada uno de los números se les multiplica por 6 y luego se les adiciona unas quince unidades, el nuevo promedio aritmético será: Rpta.Se ha establecido una prueba de personal a los empleados de Avícola San Fernando, cuyos resultados indican que los 26 hombres que laboran allí tienen unos 27 años como edad promedio ¿Cuál será el número de mujeres que laboran en la Avícola , si la edad promedio del total del personal que labora en dicho centro de trabajo es de unos 26 años?(edad promedio de mujeres : 25 años) Rpta.-
El promedio de notas de la promoción 2002 – II de la Facultad de Ingeniería Minera, Geológica y Metalurgia de la Universidad Nacional de Ingeniería es de 13,8. Si el promedio de los alumnos es de 14,2 y el de las alumnas es de 13,5 ¿En que relación estará determinado el número de alumnos y el número de alumnas (número total) que estudian en dicha facultad?
Rpta.Si P es el promedio geométrico de 40 números entero positivos de 2 cifras y es Q el promedio geométrico de los 60 números – de 2 cifras – siguientes ¿Cuál será el promedio de los 100 números considerados?
Aritmética
Rpta.-
10) El promedio Aritmético de 51 números naturales consecutivos es igual a 75 ; si para que el promedio aritmético de los números que quedan, luego de haberse eliminado dos de ellos, sea 74 ¿Cuáles son esos números (considerar esos números como consecutivos)? Rpta.-
11) La diferencia que se establece entre las inversas de los promedios aritméticos y armónicos de dos números consecutivos están en la relación de 6 a 1 respecto a la diferencia de la media armónica y la media aritmética de dichos números ¿cuál será la media geométrica de esos números? Rpta.-
12) Dadas la media aritmética, geométrica y armónica de 2 valores M y N se afirma lo siguiente:
La media geométrica forma una proporción geométrica con la media armónica y la media aritmética. La media armónica es mayor o igual que la media geométrica y esta es a su vez mayor o igual que la media aritmética (cuando M y N adoptan valores negativos). Si la media aritmética, la media geométrica y la media armónica adoptan un mismo valor, entonces M y N toman además el mismo valor ¿Cuál de estas afirmaciones es la correcta? Rpta.-
13) Si
MG(m;n) 12 y la MG(m7;n9) 20 siendo
n
mayor que m ; y Si m y n adoptan valores enteros positivos. Hallar n – m Rpta.-
14) El costo de 2 artículos de primera necesidad es tal que el producto de establecer los 3 promedios (aritmético , geométrico , armónico) de estos artículos – Respecto a sus costos – es 512. Si uno de los tres promedios de los costos de éstos dos artículos es 6,4 ¿Cuál es el mayor de dichos promedios y Cual es su valor? Rpta.-
15) En un barrio popular ubicado en el distrito limeño de Villa Maria del Triunfo se ha establecido una encuesta a unas veinte familias, concerniente al ingreso económico de cada una de ellas, si ocho familias perciben unos 180 nuevos soles; 6 familias subsisten con 190 soles; 3 familias – del mismo barrio – tienen un ingreso equivalente a la suma de lo percibido por las catorce familias anteriormente evaluadas menos 170 nuevos soles ; y las tres familias restantes reciben unos 500 nuevos soles en la relación de 12 a 13 a
33
PRE UNIVERSITARIO
favor de una de esas tres ultimas familias ¿Cuál es el ingreso promedio por familia? Rpta.-
16) La edad promedio de “P” alumnos estudiantes de quinto año de secundaria del colegio Mariano Ignacio Prado es de “K” años, siendo todos ellos menor de “M” años. ¿Cuál será la mínima edad que debería tener, por lo menos, uno de esos alumnos? Rpta.-
17) Se reúnen después de mucho tiempo cinco hermanos, donde las edades de tres de ellos son 7 ; 13 y 15. El promedio de las edades sufre un incremento de 4,1 años si se prescinde en el cálculo, de las edades de las tres edades nombradas Hallar el promedio armónico de las edades de las otras dos personas si se toma en cuenta que el producto de esas dos edades es 252.
19) La diferencia de los ingresos de dos personas jubiladas por la ley 19990 y 20530 del Sistema Nacional de Pensiones es de s/.36. Si la suma de la media aritmética y la media geométrica de ambos ingresos es 162 ¿Cuál es el mayor ingreso? Rpta.-
20) En una fabrica Reproductora de Discos Compactos (CD) y de Discos de video Digital (DVD) se elaboró la tabla mostrada a continuación:
Rpta.18) La media de las edades de dos personas, las cuales con la media armónica de esas 2 edades Calcular la mayor de las edades.
1)
2)
3)
15
2
5
20
3
3
30
5 CD
6 DVD
PROBLEMAS PARA LA CASA
a) 30,0 km/h b) 28,0 c) 25,8 d) 32,5 e) 38,4
El promedio obtenido al analizar ocho cantidades es 17/8. Calcular el máximo valor que podría tomar, por lo menos, una de esas cantidades, si sabemos que ninguna de ellas es menor que la semisuma de la menor y de la mayor entre estas fracciones: 2/3 ; 6/7 ; ½ ; 4/7. b) 13/8 c) 51/8 e) 50/11
En el aula Fc- 102 de la Facultad de Tecnología de la Universidad Nacional de Educación “Enrique Guzmán y Valle” – La Cantuta, la edad promedio de los estudiantes es “e” años. Si , a su vez, la edad promedio de los estudiantes varones y las estudiantes mujeres es “v” y “m” años. Calcular el porcentaje de las estudiantes mujeres respecto de los estudiantes varones en la mencionada sección.
Aritmética
No Calificado Semi Calificado Calificado
Días trabajados por Unidad de Producto
Rpta.-
Para una competencia de canotaje se toma en cuenta que la velocidad promedio de las aguas del Río Santa, en los tramos Caraz – Yungay, Yungay – Carhuaz y Carhuaz – Recuay es de 20; 40 y 30 km/h. Además, se considera que el tramo Caraz – Yungay y el tramo Yungay – Carhuaz están en la relación de 1 a 2 y el tramo Carhuaz – Recuay es, en longitud, dos veces mayor que la longitud del tramo Caraz – Yungay. Calcular la velocidad promedio de las aguas del Río Santa en el tramo Caraz – Recuay.
a) 48/17 d) 49/4
Pago por día (s/.)
Se pide determinar el costo promedio de la mano de obra – por día – para que la producción de CD y DVD sea posible.
ms se diferencian en 20 años está en relación de m Rpta.-
Tipo de Obreros
a) e v .100 % m e
b) m v .100 % ev
c) v m .100 %
e m d) e m .100 % v m e) v e .100 % m e
4) El promedio de un conjunto de valores numéricos es “P” . Si se eliminan unos 31 valores cuya suma es 527, el promedio de los valores que quedan no se altera. Para que este promedio no se altere se deben agregar unos 7 nuevos valores numéricos, de tal modo que la suma de estos sea: a) 123 d) 111
b) 119 e) 106
c) 118
5) En la siguiente serie numérica : 1 ; 3 ; 2 ; 6 ; 3 ; 9 ; 4 , 12 ; 5 ; 15;........; 3n ¿Cuál debe ser el valor de “n”, de tal modo que el promedio aritmético de la serie sea mayor que 119,2 y menor que 120,1? 6)
a) 131 b) 625 c) 128 d) 119 e) 419 Hallar la cantidad de pares de números enteros donde se cumple siempre que el producto de sus tres promedios es 250047.
34
PRE UNIVERSITARIO
7)
8)
a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
Uno de los guardias de seguridad de la estación del Transmilenio observo, mientras caminaba a lo largo de la vía del Tren que cada quince minutos llegaba hasta su posición uno de los trenes, y cada cinco minutos, el otro tren pasaba por su posición en la dirección contraria si el guardia de seguridad y cada uno de los trenes se desplazan con velocidad constante . Hallar el intervalo de tiempo en que dichos trenes salían de las estaciones terminales del Transmilenio. a) 6 min. d) 12
b) 7,5 e) 14
c) 9
Indicar el valor de verdad o de falsedad en cada proposición: i) El promedio de – 5; -8; -10; 12 y 11 es igual a cero. ii) Para 2 cantidades, únicamente, se cumple que la
MA x MH MG ; Siendo MA y MG y MH
sus
promedios: aritmético; geométrico y armónico. iii) Si la media aritmética y la media armónica de dos cantidades son, respectivamente ; 2,5 y 6,4; entonces la media geométrica de dichas cantidades es igual a 4.
9)
a) VVV d) VVF
b) FVV e) FFF
c) VFV
Alexander se ésta preparando para calificar, en atletismo, para las olimpiadas de Atenas 2004. José Antonio, su vecino y amigo, desde la infancia, le observo durante tres días, obteniendo así los siguientes datos: Durante el primer día: Recorrió tres tramos con velocidades que son proporcionales a 11 ; 12 ; y 13 empleando cada uno de los tramos el mismo tiempo. Durante el segundo día: Recorrió – también tres tramos de la misma longitud entre sí, con velocidades que son proporcionales a 2 ; 3 y 6.
Durante el tercer día : Recorrió los primeros 500 metros empleando unos cuatro minutos, luego otros 500 metros empleando tres minutos y empleo 5 minutos para los últimos 200 metros. Además, José Antonio pudo darse cuneta que con las velocidades promedio de Alexander, de los tres días, se puede formar una proporción geométrica continua. Calcular la suma de las velocidades promedio si éstas son las menores posibles. a) 154 d) 188
b) 163 e) 196
c) 170
10) Un trailer de 6 ruedas debe recorrer el Trayecto Lima – Tumbes (1040 Km.); si es que llevase un compartimiento posterior y utilizase, además las ruedas del repuesto que lleva dicho compartimiento; cada rueda recorrería unos 9140 Km. – promediando - ; pero si lleva un compartimiento adicional al anterior, el
Aritmética
Recorrido promedio de cada rueda sería de 880 Km. empleando las ruedas de repuesto de dicho compartimiento también. Calcular el número total de ruedas que lleva a cada compartimiento del trailer en mención. a) 24 d) 8
b) 3 e) 10
c) 17
a) 13 d) 14,5
b) 13,5 e) 15
c) 14
12 18 5 n
12 18 10 4n
11) Al calcular el promedio geométrico de tres números pares y consecutivos se obtiene 13,8 ;.....; y al calcular el promedio armónico de tres números impares consecutivos es 14,8.¿Cuál será el p. Aritmético de los seis números antes mencionados?
12) Si la diferencia entre la media aritmética y la media geométrica está comprendida entre 5 y 7 – siendo un número entero ; y, además, el cociente de la división entre los números involucrados en las operaciones anteriormente mencionadas tiene alguna relación con la diferencia de esos dos números (2), que están comprendida entre 20 y 30 ¿Cuál será dicho cociente? a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 e) 7 13) Sean x ; y ; z ; A cuatro magnitudes que guardan relación de proporcionalidad, de tal modo que en el siguiente recuadro: X Y Z A
8 12 5 9
10 15 5 9
Calcular: m – n + P a) 15 d) 18
b) 16 e) 19
6 18 10 n
m 7 15 P 12 10 36 729
c) 17
14) Tenemos dos magnitudes I y D , de tal modo que
Si D 9 I (DP) D. Si 9 D 36 I (IP)D. Si D 36 I2 (IP) D. Además , cuando I = 8 ; D = 3 ; y cuando I = x D = 81
Si “f” es una función de proporcionalidad tal que cumple: f(5) + f (x) = 72; Calcular f (3) x f (3/4) x f (5/16) a) 360 d) 540
b) 420 e) 600
c) 480
15) Calcular “k” si es que se cumple que el promedio
de :
los
“k”
términos
k(k 1)(k 2) es igual a 2310. k
i1
a) 20 d) 17
b) 19 e) 16
35
c) 18
de
la
serie
PRE UNIVERSITARIO
TEMA: MAGNITUDES PROPORCIONALES
Introducción.-
Las definiciones de las magnitudes proporcionales, como acápite de la teoría del Reparto Proporcional, tienen carácter estrictamente matemático porque los conceptos de las magnitudes – sean directa o inversamente proporcionales – no se cumplen siempre en el análisis matemático. Conceptos Previos.1) Magnitud: Es todo aquello que tiende a sufrir algún tipo de variación proporcional y es usado como patrón de medida de cierta unidad. Ejem.: Masa ( M ) ; Longitud (L) y Tiempo (t)
2) Cantidad: Es toda aquella unidad con el cual se limita cuantitativamente el valor de una magnitud Ejem.:60 Kg. ; 200m ; 38s. Una cantidad, por su naturaleza, puede ser: a) Cantidad Constante: Aquella cantidad que tiene un valor fijo o determinado. Ejem.:El costo de la edición diaria de un periódico. b) Cantidad Variable: Aquella cantidad cuyos valores se alteran. Ejem: El costo de una cierta cantidad de Kilogramos de Azúcar. 3) Función(f): Se dice que una cantidad es función de otra cuando dicha cantidad (la primera) depende de la otra cantidad (la segunda) Notación : y = f (x) la primera cantidad, por tanto, es variable respecto a la segunda. Concepto de Magnitudes Proporcionales.Son las comparaciones que se establecen entre los valores que adoptan un grupo de magnitudes mayor o igual a 2 ; teniendo una relación que por naturaleza puede ser directa o inversa entre sí. Por tanto las Magnitudes Proporcionales pueden ser: 1) Magnitudes Proporcionales Directamente.
I)
2) Magnitudes Proporcionales Inversamente. Magnitudes Proporcionales Directamente o Magnitudes Directamente Proporcionales
Se establece cuando 2 ó mas cantidades sufren la misma variación proporcional, 1; 2; 3;......; “n” veces respecto a su valor original, es decir, si una de ellas se multiplica o suma y/o resta o divide la misma constante; la otra sufriría, respectivamente la misma variación.
Magnitudes A* B*
Valores Posibles a1 ; a2 ; a3;......a n
b1; b2; b3;......bn
Operación Matematica
Donde: a1 a2 a3 ....an b1 b2 b3 ....bn
(*) cons tan te; R
Propiedad fundamental: “Dos cantidades serán directamente proporcionales si y solo si el cociente de esos dos números sea una cantidad constante (constante de proporcionalidad)” Ejem.: Si (10/5)=2 y (80/40)= 2 entonces 10 (dp)5 y 80 (dp)40 (Directamente Proporcional)
Gráfico: Puntos Colineales Discontinuos (no incluyen al origen)
Aritmética
Función de proporcionalidad Directa: Si y = f(x) y = k(x) f(x)= k(x) y = Variable Dependiente k = Constante x = Variable Independiente “Si A aumenta; B aumenta Si A disminuye; B disminuye” 36
PRE UNIVERSITARIO
A
an(b2;a2) a2a1-
-
b1 b2 ( b1 ; a1)
II)
K=Tg °
(bn;an)
B
bn
Ejemplo: El número de obreros con la dificultad de la obra; la velocidad con la distancia; la obra con el rendimiento ; etc.
Magnitudes de Proporción Inversa o Magnitudes Inversamente Proporcionales
Se establecen cuando 2 ó mas cantidades sufren variación opuesta proporcional : 1 ; 2 ;.... ; “n” veces respecto a su valor original; es decir, si una de ellas se multiplica o suma con una constante, o si se resta o divide con una misma constante ; la otra sufriría la variación opuesta, es decir, se divide o resta y/o suma o multiplica respectivamente.
Magnitudes A* B 1/*
Valores Posibles a1 ; a2 ; a3;......a n
b1; b2; b3;......bn
Donde: a1 a2 a3 ....an b1 b2 b3 ....bn
(*) cons tan te; R
Inversa de Operación Matematica Propiedad fundamental: “Dos cantidades serán inversamente proporcionales si y solo si el producto de esas 2 cantidades sea igual a una cantidad constante (potencia de inversión)” Ejem.: Si 18 . 4 =72 y 6 . 12 =72 entonces 18 (ip) 5 y 6 (ip)12 (Inversamente Proporcional)
Gráfico: Hipérbola Equilátera Asíntota A las Bases (Ejes)
A an- (b1;an) (b2;a4) a4s1 (b3;a3) a3(b4;a2) a2-
K=S ’
(bn;a1)
a1-
-
-
b1 b2 b3 b4
bn
Función de proporcionalidad Inversa:
Si y = k’ /x y = f(x) f(x)= k’(1/x) y = Variable Dependiente k’ = Constante x = Variable Dependiente
Obs. Las áreas bajo la gráfica de la magnitud inversamente proporcional son siempre iguales.
B
K’ = Potencia de Inversión (constante)
”Si A aumenta; B disminuye. Si B disminuye A aumenta”
Aritmética
37
PRE UNIVERSITARIO
Ejemplo: Número de obreros vs Rendimientos, números de obreros vs. Tiempo; velocidad vs. Tiempo; número de objetos vs. Costo; etc. Obs. Las magnitudes proporcionales pueden formar proporciones a partir de su propiedad fundamental y, por lo tanto, cumplen con todas las propiedades de las Proporciones Geométricas; de este modo:
Se forman proporciones de acuerdo a la naturaleza de la magnitud (Si es directamente proporcional) sin invertir alguna de ellas. Si la magnitud es inversamente proporcional, se forman proporciones invirtiendo una de ellas.
Propiedades de las Magnitudes Proporcionales.1) “Si dos cantidades son inversamente proporcionales entre sí entonces una de esas cantidades es directamente proporcional a la inversa de la otra cantidad”. Si A (ip) B A (dp) (1/B)
2) “Si dos cantidades son directamente proporciones entre sí entonces una de esas cantidades es inversamente proporcional a la inversa de la otra cantidad” Si A (dp) B A (ip) (1/B)
3) “El orden donde se ubican las cantidades no altera la magnitud proporcional”. Si A (dp) B B (dp) A y A(ip) B (ip)A
4) “Si dos cantidades son directa o inversamente proporcionales entonces todas las potencias de dichas cantidades también serán directa o inversamente proporcionales”. Si A (dp) B An (dp) Bn ; donde : n Z A (ip) B An (ip) Bn
5) “Si dos cantidades son directa o inversamente proporcionales entre sí, entonces todas las raíces enteras de dichas cantidades serán, respectivamente, directa o inversamente. proporcionales”.
Si A(dp ) B A(ip) B
n
n
A (dp ) n B donde ; n Z
A (ip) n B
6) Sean 3 magnitudes: A; B ; C
Si A (dp) B (c = cte) y Si A (dp) c (B= cte) , entonces A (dp) B – C Si A (dp) B (c = cte) y Si A (ip) c (B= cte) , entonces A (dp) B – C-1
Transmisiones.1) Transmisión por fajas o correas:
Aritmética
38
PRE UNIVERSITARIO
Cadena W1
R1
Piñon
D1
Aritmética
Pin (diente)
R2
W2
Relacion de Transmición W2 D1 = D2 W1
W = número de dientes D = Diámetro(D=2R) R = Radio n = # de vueltas
Catalina D2
39
PRE UNIVERSITARIO
2) Transmisión por engranajes:
R1
R2
Si R1 R2 n1 n2
2 R1 2 R2
Luego:n1,2 (ip) W1,2 ( W1,2 ) ( n1,2 ) = cte
3) Ruedas unidas por una faja:
Faja
R1
R2
Si R1 R2
n1 = n2
4) Transmisión por engranajes:
1
Si "n"= IMPAR. Giro es igual
2 3
5)
Si "n" = PAR Giro es contrario 4 .......... (Respecto al primero)
Transmisión por correa: * Transmisión Abierta
Los ejes presentan el mismo sentido de Rotación y la misma velocidad Tangencial
* Transmisión Cruzada Aritmética
40
PRE UNIVERSITARIO
Los ejes tienen el sentido inverso de Rotación, la misma velocidad angular y el valor absoluto de l as ve locid ade s tangenciales de los ejes es el mismo.
Aritmética
41
PRE UNIVERSITARIO
1)
2)
3)
4)
PROBLEMAS PARA LA CLASE
Tenemos 2 magnitudes P y Q tales que P es inversamente proporcional a Q2. Si P varía en 22 unidades cuando Q aumenta en un 20%, si Q disminuye su valor en un 25% ¿En cuanto variaría P? Rpta.-
Si el peso de 6 kilates de oro cuesta s/. 19800 ¿Cuál será el peso de un pedazo de oro que cuesta 55 mil soles, si su precio y el cuadrado de su peso están en relación directamente proporcional? Obs: 1 kilate 0.25 g. Rpta.A y B son magnitudes de manera tal que se cumple: A ip B2 (si B 24); Si A = 360, B = 8 A dp B2 (si B 24) ¿Cuánto será el valor de A cuando B es igual a 600? Rpta.En el siguiente grafico : Hallar: -
8)
9)
-
7)
-
6)
-
5)
Rpta.-
Se tienen 4 ruedas: P ; Q ; R ; S de modo tal que las dos primeras tienen un eje común, la segunda y la tercera constituyen transmisión, por engranajes y la tercera y la cuarta tienen, también, un eje común. Si P gira 75 RPs y S gira 1/3 de lo que gira P ¿Cuántos pines tendrá la rueda Q si tiene 20 pines menos que la tercera rueda? Rpta.El volumen de un paralelepípedo rectangular es V; si sus dimensiones todas variables son E ; F ;y G para el ancho, el largo y la altura, respectivamente. Si F es IP a E y G no depende de E, se cumple que: Rpta.-
“G” es proporcional a H – I , “H” es proporcional a “J” e “I” es proporcional a J2. Si J = 2 ; G = 48 y cuando J = S ; G = 30 ¿Cuáles serán los valores de J con los cuales G es igual a cero? Rpta.-
Las probabilidades de ingreso a la facultad de Teología, Pontificia y Civil de Lima se expresa en modo directamente proporcional a los años de permanencia en su centro Pre Universitario y en modo proporcional inverso a la edad del postulante y a su control emocional. Si Alexander tiene un grado de control emocional en proporción de 5 a 2; respecto a Donato, además que Alexander tiene una probabilidad de ingreso del 50% a sus 18 años de edad y 2 años de estudios en el centro Pre Universitario ¿Cuál será la posibilidad de ingreso de Donato si a sus 15 años de edad lleva 1 año de estudios en el centro Pre Universitario? Rpta.-
Si Q es igual a la suma de dos números de las cuales uno es proporcional a M2 y el otro es inversamente
Aritmética
proporcional a M2 y para M = 1 ; Q = 6 y si entonces Q = 9 Hallar Q para M = 2 Rpta.-
M=½
10) El Servicio Nacional de Meteriología e Hidrografía del Perú (SENAMI) pronosticó que la temperatura promedio del verano del 2004 será media vez más que la temperatura del verano 2003, si la producción algodonera varía en forma inversamente proporcional al cuadrado de la temperatura ¿Cuál será la producción algodonera para el año 2004 si en el 2003 fue de 3600 toneladas? Rpta.-
11) Si tenemos 3 magnitudes donde la primera magnitud varía en forma directamente proporcional a la segunda magnitud y la tercera de las nombradas es directamente proporcional a la suma de las dos primeras; si la primera magnitud aumenta en 2 unidades, la segunda aumenta en 5 unidades y la tercera, en 3 unidades; Hallar el valor de la tercera magnitud cuando la primera magnitud toma el valor de 20. Rpta.-
12) El costo de un articulo (Q) representa la suma de los gastos materia (M) y salarios (S) . El gasto en materia prima está en relación inversa a la cantidad de maquinaria (C) que se tiene y el salario del personal varía en relación directa con el número de horas trabajadas por día (H). Si se cumple que : C = 2; H = 6 entonces Q = 12 y si C = 4 ; H = 9 entonces para que la cantidad de maquinaria sea como 6 (en este ultimo caso) y el costo de dicho articulo sea (en el mismo caso) como 23 ¿Cuántas horas se debe trabajar? Rpta.13) El nivel de contaminación de la sierra central varía en forma directamente proporcional con el cuadrado de la cantidad de la población, con el número de las fábricas que existen en la ciudad y con la Raíz cuadrada del área de parques y jardines que existen en dicha ciudad. Si la población, el número de fábricas y las áreas verdes incrementan sus valores en 20%; 30% y 40% respectivamente ¿En que tanto por ciento se incrementa el nivel de contaminación? Rpta.14) Cuatro hermanos: Anselmo, Baldomero, Clodomiro y Dionisio han terminado un almuerzo de negocios en un exclusivo restaurante de la Capital. Resulta que Dionisio no cuenta con dinero disponible para pagar la cuenta, pero decide repartir estas 12 manzanas entre ellos (sus hermanos) en modo directamente proporcional a lo que cada uno haya aportado en la cuenta. Si la cuenta por el almuerzo fue de unos 60 soles y el aporte efectuado por Anselmo, Baldomero y Clodomiro a la cancelación de la mencionada cuenta fue, respectivamente, de 15; 20 y 25 soles. ¿Cuántas cantidades de manzanas le corresponde, respectivamente a Anselmo, Baldomero y Clodomiro ? Rpta.15) Sea f una función de proporcional tal que f (4) + f (11) = 30 ; entonces el valor del producto f (14/9) . f (3) . f (6) es de: Rpta.16) En el siguiente gráfico, Hallar (m x n)
42
PRE UNIVERSITARIO 18) Calcular x + y en el presente gráfico:
-
A B
-
8 12
x 18
Y 36
-
-
-
Rpta.-
-
Considerando que la producción de una fabrica se determina en modo directamente proporcional al número de obreros que esta posee (el primer análisis se dio con obreros experimentados y luego con obreros novatos) ¿Cuál sería la producción que realizarían 60 obreros experimentados y cuantos obreros nuevos se tendrían que requerir para producir con ellos 1760 artículos?
-
-
-
17) Considerando el siguiente grafico:
Rpta.-
19) Dos engranajes están unidos por medio de una faja de Transmisión. El primer engranaje posee 48 dientes y se mueve a 30 Revoluciones por minuto y el segundo tiene 12 pin. Si el primer engranaje llega a dar 6 vueltas, hallar el número de vueltas que da el segundo engranaje y el tiempo que esté emplea. Rpta.20) Se tienen dos engranajes en contacto de las cuales uno de ellos posee 12 pin y el otro el triple número del primero. Si el primer engranaje da 3 veces más menos 8 vueltas que el segundo engranaje ¿Cuántas vueltas dará éste? Rpta.-
Rpta.-
Aritmética
43
PRE UNIVERSITARIO
PROBLEMAS PARA LA CASA
1) Si f (4) + f (6) = 20, siendo f la función de proporcionalidad; Hallar el valor de M si: M = f (21/5) . f (5) . f (7) a) 3675 d) 2425
b) 1176 c) 3240 e) 5760
2) En los siguientes cuadros: A B
4 8 12 A 44 176 11 (C = cte) 9 18 27 C 4 2 8
Si B es constante en el segundo cuadro y, además se cumple que a = 4 cuando B=6 y C = 3. Cuando B = 7 y C = 1. ¿Cuánto valdrá A?. a) 36 d) 45
b) 40 e) 48
c)42
a) 15grs. d) 13,66
b) 21 e) 9,24
c)19,23
3) Hallar el peso de un diamante (en gramos) si su valor es de 112,5 soles y, además, un diamante de 6 gramos vale unos 7,2 soles y el valor del diamante, en ambos casos, es proporcional al cubo de su peso.
4) Tenemos 4 magnitudes de las cuales queda indicado que la primera magnitud (L) varía en modo proporcional directo con el cuadrado del valor de la segunda magnitud (M) y al cubo del valor de la tercera magnitud (N) y en modo proporcional inverso a la raíz cuadrada del valor de la cuarta magnitud. Del cuadro que se expresa a continuación indicar el valor de R + S (Cuanta Magnitud = P) Magnitudes L M N P
a) 120 d) 415
b) 260 e) 480
Cantidades R 108 324 S 2 4 2R 3R S 25 9 16
c)330
5) El costo de un terreno ubicado en Cieneguilla varía en forma inversamente proporcional al cuadrado del valor de la distancia que existe entre este y el centro de la Ciudad y varía en forma proporcional directa al valor de su área. Si dicho terreno cuesta 500 mil francos suizos y otro terreno, de doble área, ésta situado a una distancia equivalente al doble de la anterior, ¿Cuánto costará este último? a) 75980 62500 e) 60200
b) 74900
c) 62700
d)
6) Por medio de exhaustivos análisis estadísticos se ha llegado a la conclusión que el rendimiento de Aritmética
cierto empleado varía en forma directamente proporcional al valor de su cociente intelectual y en forma inversamente proporcional al cuadrado del valor de su edad. Si Fernando, de 20 años de edad hace en promedio un total de 25 mil empanadas semanales, se desea saber a qué edad él haría 24 mil empanadas semanales si es que su coeficiente intelectual aumenta cada año 10% respecto al valor que tenía a los 20 años. a) 22 d) 25
b) 23 e) 26
c) 24
7) La cantidad de obreros que son requeridos para la construcción de un edificio están en dependencia del volumen del concreto que es utilizado en dicha obra, del cociente de dificultad impuesto por los Ingenieros Civiles en su Informe ante la constructora, del número de días y del número de horas diarias de labor. Si el volumen del concreto utilizado se reduce a sus 2/3 partes, el número de días trabajados (pactados en el contrato) se triplica y la cantidad de horas de trabajo diarias se duplica , Hallar la relación en que se habrán de encontrar los números de obreros requeridos en ambos casos. a) 1 : 15 d) 1 : 50
b) 1 : 20 c) 1 : 30 e) N.A.
8) Tres obreros de construcción Civil trabajan en el Programa “Mi Vivienda”. El propietario de la obra otorga quincenalmente una gratificación de 52 Dólares americanos para repartirlos entre los trabajadores. En la quincena en que trabajan Antonio y Bartolomé – 2 de los obreros – corresponde a Antonio el triple de la gratificación que a Bartolomé. En la quincena que trabaja Bartolomé y Ceferino, éste cobra el equivalente a un tercio de la cantidad que cobra aquél. ¿Cuánto cobraría Bartolomé en la quincena en que trabajan estos tres obreros? a) 42 Dólares b) 36 d) 7 e) 4
c) 12
9) Tres magnitudes x ; y ; z establecen las siguientes relaciones: X y
1 1
X z
1 0,25
8 0,5
27 0,3
64 0,25
2 1
3 2,25
4 4
(z = cte)
(y= cte) Si se cumple que z = 16 cuando x = 4 y y = 9 ; cuando y = 3 y z = 4 ¿Cuál será el valor de “x”? a) 36 d) 81
b) 54 e) 27
c) 9
10) Una vaca que esta atada a un árbol por medio de una soga de12m de longitud alcanza a comer
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PRE UNIVERSITARIO
unos 60 Kg. de pasto. Si se alarga la soga unos 6 metros más ¿Cuántos kilogramos adicionales llegaría a comer? a) 55 d) 70
b) 60 e) 75
c) 65
11) De 2 Kilos de sal que se introdujeron en un recipiente con agua, al cabo de 2 minutos se han disuelto unos 800 grs. Determinar la cantidad que quedará por disolverse al cabo de 2 minutos si se sabe que la cantidad de sal que no se disuelve es inversamente proporcional al cuadrado del tiempo expresado en minutos. a) 300grs. b) 250 d) 150 e) 100
c) 200
12) Un Jugador “A” de billar da 20 carambolas para 100 a otro jugador “B” y éste le da a “C” 40 carambolas para 100.¿Cuántas carambolas para 100 tendría que darle “A” a “C” si es que llegasen a enfrentarse? a) 50 x 100 40 x 100 e) 48 x 100
b) 60 x 100
c) 52 x 100
d)
13) A y B son dos magnitudes que son inversamente proporcionales para valores de B menores o iguales a 50; pero A es directamente proporcional a B para mayores o iguales valores a 50. Si A es igual a 80 cuando
Aritmética
B es igual a 25; hallar el valor de A cuando el valor de B es 25. a) 60 d) 48
b) 12 e) 72
c) 64
14) Se vende determinada cantidad de Oro en determinadas condiciones de proporcionalidad; para un peso de 13 gramos, su valor es de 1859 soles y si el peso fue de 17 gramos su valor sería de unos 3179 soles ¿Cuál será el precio de venta de una fracción de Oro cuyo peso es de 20 gramos? a) s/.4100 s/.5200 e) s/.5500
b) s/.4200
c) s/.4400
d)
15) El precio de 2 Rubíes varía como el cuadrado del valor de su peso; tres anillos – del mismo peso – que tienen todos un Rubí están valorizados en A ; B; C soles, pesando dichos Rubíes 3 ; 4 y 5 soles, respectivamente; si el costo por el trabajo que efectúa un joyero es el mismo para cada anillo ¿ Cuánto costará un Rubí que pesa un kilate? a) A B 1
2
c) A C B 2 e) A B C 3
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b) A B C 2
d) A C B 2
PRE UNIVERSITARIO
Introducción.-
TEMA: INTERÉS SIMPLE
El origen de las transacciones comerciales en las que estuvo involucrado el interés (también conocido como Usura) es incierto. El interés que se aplican en el comercio medieval llegaba hasta un 43% anual y el tipo de interés en una operación comercial común variaba entre un 12% y un 24% anual. Cuando llego a fundarse, en 1407, lo que habría de ser el primer banco comercial de la historia, la casa de San Giorgio de Génova, el interés que se cobraba no excedía el 10%. Cuando una persona toma de otra cierta cantidad de dinero, a préstamo, a cambio de pagarle una indemnización o alquiler del dinero prestado en cierto período de tiempo , se dice entonces que le paga un interés acordado por ambas partes. Definiciones Previas 1) Prestamista: aquella persona que, previo convenio, otorga cierta cantidad de dinero (préstamo) a otra. 2) Prestatario: aquella persona que recibe la cantidad otorgada por el prestamista. Ejem: Si Julio decide prestar a Pepe unos 20 dólares americanos con un interés de 2 por ciento mensual, Julio haría la labor de prestamista y Pepe, de prestatario. 3) Monto : es la suma de la cantidad invertida con el interés. 4) Capital : es la cantidad de dinero que se invierte en una transacción comercial ; es la cantidad sobre la cual se impone el interés. 5) Tasa de Interés : es el porcentaje de interés (en unidades monetarias) del dinero que se ha prestado. 6) Tiempo : es el número de períodos en los cuales permanece el capital en el negocio. Concepto de interés.El interés es definido como la ganancia, la renta, el beneficio o la utilidad que se produce por un capital, el cual ha sido impuesto a una determinada tasa de interés durante cierto tiempo. La Regla de Interés viene a ser una operación tal por medio de la cual se halla la ganancia o interés producto de una determinada suma de dinero (capital), prestado a un porcentaje establecido durante un determinado período de tiempo. Interés Legal.Es una variante de interés que se aplica en las operaciones financieras que se dan en determinadas naciones y que es dispuesta por la Ley. Usura.Es una acción, legal en distintos países – en cuanto a leyes bursátiles se refiere – que consiste en el interés elevado que se cobra por determinadas transacciones comerciales. Clasificación del Interés .El interés puede ser simple y compuesto (por razones académicas y didácticas se ha dispuesto que es prudente enseñar únicamente al primer grado de Educación Secundaria lo concerniente al Interés Simple). Interés Simple.Es aquella variante del Interés que consiste en que el capital permanece constante durante todo el tiempo que dura el préstamo – cuando los intereses se retiran – Para hallar el interés simple es necesario la determinación aritmética; cumpliéndose: I=C.E.t
Relación fundamental del Interés Simple (I)
en %
donde: C Capital (siempre constante) E Tasa de Interés o Rédito (%) anual
Aritmética
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PRE UNIVERSITARIO
t Tiempo (en años)
Obs. En la solución de distintas situaciones debemos tener en cuenta lo mencionado a continuación: 1) Las unidades de tiempo en las cuales están expresados la tasa de interés y el tiempo deben ser las mismas (generalmente en meses y en años). 2) Equivalentes del Tiempo:
1 año solar 365 días ; 5 horas. 1 año común 365 días. 1 año bisiesto 366 días. 1 año comercial 360 días 12 meses. 1 mes comercial 30 días
3) Si no está especificada la unidad del tiempo en la cual entra en acción el Interés (I) ; se considera a ésta como anual. 4) Se cumple: M = C (1 + E t)
; donde = M = monto
5) Considerando las equivalencias del tiempo:
Si el tiempo se expresa en meses:
I
C Et 1200 I 1200 I 1200 I ;C ;t ;E 1200 tE cE Ct
Si el tiempo se expresa en días:
I
c tE 36000 I 36000 I 36000 I ;C ;t ;E 36000 tE Ec Ct
Si el tiempo se expresa en años
I
C tE 100 I 100 I 100 I ;C ;t ;E 100 tE cE Ct
Donde: I = Interés ; C = Capital ; T = Tiempo ; E = Tasa de Interés o Rédito Ejemplos: 1) ¿Cuál es la suma que al 5 1/5 ha producido 104 soles en 8 meses. Aplicando la fórmula del Capital cuando el tiempo se expresa en meses.
C
1200 I 1200(104 ) C 3000 Et (26 / 5 )(8 )
Rpta.- el capital es de 3000 soles 2) Hallar el interés de 600 soles al n3 ½ en 4 años. Aplicando la formula del interés en función al tiempo expresado en años:
Aritmética
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I
CtE (600 )( 4)(7 / 2) I 84 100 100
Rpta.- el interés es de 84 soles 3) Si 600 pesos fueron impuestos al 2%; produciendo 600 pesos. Hallar el tiempo en el cual dicho dinero estuvo invertido.
t
100 I 100(600 ) t 5 cE (6000 )(2)
Rpta.- el dinero fue invertido durante 5 años.
Aritmética
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PRE UNIVERSITARIO
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1) Rudolph impone cierta cantidad como capital; el cual, imponiéndose esta al 12% trimestral llega a producir 1770 soles menos, en 5 meses, que el mismo capital impuesto al 18% cuatrimestral durante unos 160 días. Hallar dicho capital . Rpta.-
2) Si la suma de un millón de yenes se dividiese en dos partes, de modo tal que al ser impuestos: la primera parte a un 7% y la otra al 9% anual produzcan ambas partes el mismo interés. Calcular la diferencia que existe entre ambas partes. Rpta.-
3) Cierto capital de cuarenta mil nuevos pesos estuvo impuesto durante cierto tiempo (expresado en años, meses y días). Con el correr de los años se cobró un 5% anual; por los meses, un 4% y por los días se llegó a cobrar un 3%. Calcular la utilidad producida de manera total por dicho capital, si sabemos que llegó a producir unos tres mil ochocientos cuarenta nuevos pesos más que si hubiera colocado todo el tiempo el capital al 3%.
porcentaje (tasa de interés) sobre el cual se hicieron ambos préstamos y en cuánto excede una de las tasas de interés respecto de la otra. Rpta.7) Mario Rodríguez hizo un préstamo de ocho mil liras al 6% de tasa de interés y pagó unas 360 liras de interés; mientras que Sebastián Roldán llegó a hacer otro préstamo de 7000 liras al 5%, de tal manera que pagó 350 liras de interés ¿Cuál de los dos señores tardó más tiempo en devolver el dinero y cuánto tiempo más?. Rpta.-
Rpta.-
4) Hemos impuesto un capital a cierta tasa y, ocho meses después, produce un interés equivalente al 40% del mosto ¿Durante cuánto tiempo debe prestarse dicho dinero para que éste, a la misma tasa de interés, logre generar una renta equivalente al 80% del monto? Rpta.5) Los 5/9 de un capital que impuso Paulo al 5% mensual. En un negocio de abarrotes , llega a producir al mes siguiente s/. 145 más que el resto del Capital que , curiosamente, ha sido impuesto durante el mismo período de tiempo a la misma tasa de interés. Calcular el valor del capital. Rpta.6) Juan Alfonso García llega a pagar 4 libras esterlinas al mes por 480 libras esterlinas que llegó a tomar en hipoteca sobre una casa y Pedro Carcuro paga 3 libras esterlinas al mes por las novecientas libras esterlinas que tomó en hipoteca sobre un solar. Calcular el mayor Aritmética
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8) Por un capital equivalente a ocho mil sucres prestado al 8%, he pagado 80 sucres, de intereses. Si hubiera pagado de interés 85 1/3 ¿Cuánto tiempo hubiera tenido yo el dinero?. Rpta.9) Un individuo presta a su hermano unos 4500 soles durante 13 meses y 10 días; y al cabo de ese tiempo, el amigo le entrega 4700 soles, importe del capital prestado y de los intereses acumulados. Calcular la tasa E de interés anual con el cual se llevó a cabo la operación. Rpta.-
10) Mi primo invierte en una mina del departamento de La Libertad unos 4500 soles al 12% anual y; transcurridos tres años, 5 meses y 8 días de iniciada, le entregan el capital prestado y sus intereses acumulados durante ese tiempo ¿Cuánto recibirá?. Rpta.-
11) D’van le presta a su amigo una suma al 0,5% anual y, al cabo de dos años y 5 meses el amigo le entrega s/.26610, importe del capital prestado y sus intereses acumulados ¿Qué suma presto D’van a su amigo? Rpta.12) Se toma al 4 % una suma el 3 de abril y el dos de julio del mismo año se devuelven 808 soles, importe del capital recibido y sus intereses acumulados durante ese tiempo. ¿Cuál fue el capital prestado?. Rpta.13) Se impone cierta suma al 14% anual y al cabo de dos meses y diez días se retiran s/. 1849, importe del capital prestado y sus intereses acumulados durante ese tiempo ¿Cuál es la suma impuesta?. Rpta.14) Un capital impuesto a interés simple durante seis meses produjo un monto de 15822 soles. Si el mismo capital se hubiera impuesto Aritmética
logrando un Rédito igual durante 10 meses, el monto hubiera sido s/. 16770. si aumentamos la tasa al número entero más próximo. Hallar el monto obtenido cinco meses después . Rpta.15) Una empresa textil dispuso de un capital de 75 mil para un área que produjo el 5% anual y para la adquisición de un terreno que rentaba anualmente al 4%. Sabiendo que la fábrica dio 978 soles más en el primer año. Determinar el valor del terreno. Rpta.16) Una persona vende su computadora y el dinero que obtiene por su venta lo presta durante un año y nueve meses al 5% anual. Luego, el interés ganado lo reparte entre sus tres hijos, a uno de ellos le dio los 3/7 ; a el otro los 4/11 y al ultimo 64 soles. Si la computadora le costo s/.3500 a dicha persona. Calcular si gano o perdió en la venta (e indicar cuánto) Rpta.17) Se ha realizado un préstamo de unos s/. 2600 al 10% de interés mensual se acuerda que cada mes se debe pagar el interés y una cantidad fija de “k” soles. La sorpresa fue que al sexto mes se cancela el préstamo pagando “k” soles. El pago total del préstamo fue: Rpta.18) Un capital de 662 soles se presta a un interés de 10% mensual. La deuda debe ser cancelada con 3 cuotas mensuales del mismo monto. Si consideramos que el interés se aplica sobre el saldo adecuado, hallar la cuota mensual. Rpta.19) Miranda deposita a s/.1000 al banco que le paga un 20% capitalizable anualmente durante dos años, pero si hubiese invertido dicho dinero en otro negocio que le otorgaba u m% durante el mismo tiempo, ganaría 600 soles más. Otro capital de 36000 soles estuvo impuesto durante cierto tiempo, de modo que
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por los años se abono (n/13)%; por los meses; (n/4)% y por los días m%. Calcular el interés producido por este último capital si es que si se hubiese impuesto al n% todo ese tiempo produciría 8640 más soles que si se hubiera impuesto al (n -5)% todo el tiempo. Rpta.-
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20) Dos capitales difieren en 2000 yenes. El primero es impuesto al 16% anual y el segundo al 20%. Si un año después se producen montos iguales ¿Cuál es el mayor capital?. Rpta.-
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PROBLEMAS PARA LA CASA
1) Un capital impuesto a interés simple durante medio año ocasionan un monto de 15822 nuevos soles. Si el mismo capital se impondría al mismo Rédito durante unos diez meses, el monto hubiese sido de 16770 soles. Si aumentamos la tasa al número entero más cercano posible. Calcular el monto obtenido en 5 meses (Rpta.- suma de cifras). a) 9 d) 18
b) 21 e) 12
c) 13
2) Un monto producido por un capital durante medio año, al interés simple, es de 50 mil soles, pero luego de 8 meses más llegaría a ser de 55000 soles ¿Cuál fue la taza de interés?. a) 12% b) 20,4% d) 15,2% e) 23,2%
c) 16,2%
3) Un capital de cien mil soles se invierte así: 20 mil soles al 4% ; 40 mil soles al 7%. Si el interés anual final fue de s/. 4800, hallar la tasa a la que impuesta el Resto del Capital. a) 3% d) 10%
b) 2% e) 8%
c) 5%
4) Un corredor de bolsa tiene 10 mil soles, de los cuales una parte la coloca al 5% y la otra al 6% obteniendo en total (en un año) s/. 560de renta. Hallar la menor de las partes. a) s/.4000 b) 5000 d) 3000 e) 2500
c) 6000
5) Hallar el capital al 4% anual durante 5 meses produce unos 1100 soles menos que impuesto al 4% mensual durante el mismo tiempo. a) s/.5000 b) 40000 c) 60000 d) 6000 e) 12575
6) Si dos capitales son entre sí como 2 y 3; los tiempos son dp a 3 y 4 y las tasas están en razón de 4 a 5. hallar la relación en la cual están los intereses. a) 3 a 4 d) 5 a 2
b) 2 a 5 c) 6 a 1 e) 1 a 6
7) Un alumno de la UNAS solicita un préstamo a proyección social para ejecutar un proyecto de modo tal que se compromete a pagar un interés simple de 7% anual.
8)
a) 720 b) 850,66 c) 744,66 d) 900,46 e) 809,22
Dos capitales en relación de 4 a 7 se colocan: la primera al 35% y la segunda a cierta tasa, la
Aritmética
cual debe calcularse; si además, tiempo después, el interés del segundo llega a ser el triple del primero. a) 30% d) 45%
b) 36% e) 40%
c) 60%
9) Se colocó a interés simple dos cantidades: una de 6% y otra al 8%. Si ambas cantidades están en relación de 3/5 a 2/7 y los capitales e intereses reunidos suman, después de 130 meses; 159950 soles. Hallar la suma de las cantidades iniciales. a) 63 mil b) 30 d) 93 e) 95
c) 90
10) Tres capitales suman 42100 soles, invertidos durante 4 años se convierten (por el interés) en 22200 soles; 10800 y 17520 soles respectivamente. Hallar la tasa y el mayor capital. a) 9 mil;5% b) 9000;10% c) 14600;5% d) 18500;10% e) 18500;5%
11) Juan y Carlos jugaron a la lotería con un billete de 50 soles y les toco 60 mil soles. Juan impuso su parte al 4% y Carlos al 5% y sus rentas anuales entre ambos fueron de 2760 soles. Determinar el importe de uno de ellos en el billete. a) 20 soles b) 30,8 d) 10 e) 40,5
c) 15
a) 6300 d) 4500
b) 5200 e) 4800
c) 7600
a) 15% d) 40%
b) 20% e) 45%
c) 25%
12) Si un capital se duplica por la tasa – triplicada - , el interés obtenido sería 26 mil soles mayor al original. Hallar el interés inicial.
13) Un capital colocado por 2 años produjo un interés igual al 10% del monto. Hallar que porcentaje del monto es el interés producido por un capital a la misma tasa en 12 años.
14) Un capital se importa en 3 partes iguales al 14 ; 17 y 19% anual. Hallar el tiempo en que se producirá un interés igual al capital . a) 5 años. b) 6 d) 8 e) 9
c) 7
15) Los 2/7 de un capital impuesto al 4% y el resto a 4,5% originan un monto de 36525 un año después. Hallar el capital inicial. a) 20 mil d) 24 mil
b) 31 mil c) 17 mil e) 35 mil
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MISCELÁNEA 01. Un cajero de banco durante 4 años ganó 3600 soles de modo tal que en cada año ganó la mitad de lo ganado el año anterior. ¿Cuánto ganó en su primer año? a) 2600 soles c) 1920 e) 1551
b) 2100 d) 1786
02. Al multiplicar 24 . 5m por 27, su cantidad de divisores queda incrementada en 90. Hallar el valor de “m”. a) 5 c) 7 e) 9
b) 6 d) 8
03. Hallar la cantidad de divisores primos que presenta el número 24453. a) 20 c) 12 e) 4
b) 16 d) 8
04. Tenemos 4 parantes de longitudes; 420; 300; 270 y 200 metros, si se desea dividirlas en la menor cantidad de trozos posibles, siendo éstos de igual medida, ¿cuál será dicha cantidad y la medida de los trozos?
Aritmética
a) 15 cm; 106 tr. b) 18 cm; 102 tr. c) 25 cm; 200 tr. d) 10 cm; 119 tr. e) 15 cm; 119 tr. 05. Sean A y B dos números enteros positivos, si el promedio de ambos es igual a 64, hallar el número de valores distintos que puede tomar “A”. a) 131 c) 129 e) 127
b) 130 d) 128
06. Hallar la suma total de las cifras de K, si: K = 1 + 12 + 123 + … + 123456789 a) 33 c) 24 e) 28
b) 27 d) 30
07. Una rueda de 42 dientes engrana con otra de “d” dientes, de modo tal que sus velocidades son 25RPM y 2100 RPH (Revoluciones por hora), respectivamente. Hallar el valor de “d”; dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 4 c) 7 e) 6
b) 3 d) 8
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