ARITMÉTICA TEMA 5
CONJUNTOS II SNII2A5
DESARROLLO DEL TEMA I. UNIÓN O REUNIÓN DE CONJUNTOS
A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, diremos que el conjuntos formado por {1; 2; 3; 4; 5} donde están todos los elementos de “A” y de “B”, se llama reunión de “A” con “B” y se simboliza: A ∪ B, y se lee “A unión B”.
A B, y se lee “A unión B”. Nota: A∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}
A
B
A y B no Disjuntos
A
A y B no Disjuntos
B
A y B Disjuntos
B
A
A⊂B
Entre la Reunión y la Intersección de dos conjuntos “A” y “B”, se pueden establecer las siguientes relaciones:
A. Propiedad Distributiva:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
III. DIFERENCIA DE CONJUNTOS B
A y B Disjuntos
A
La diferencia de los conjuntos “A” y “B” es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a “A”, pero que no pertenecen a “B”. Se denota por: A – B, que se lee: “A menos B”, ó también “A diferencia B” Así por ejemplo, sean los conjuntos: A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5} Observamos que el elemento 1 está en el conjunto “A”
B
A⊂B
La intersección de dos conjuntos cualesquiera “A” y “B” es otro conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a “A” y “B”, es decir, está formado por todos los elementos comunes a “A” y “B”. Sean los conjuntos:
pero no está en el conjunto “B”. Al conjunto formado por 1, Nota: se llama diferencia con “B”. A –deB“A” = {x/x ∈ A ∧ x ∉ B} A
A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, observamos que los elementos 2 y 3 son comunes a ambos conjuntos. El conjunto formado por estos elementos, se escribe: A ∩ B y se lee: “A intersección B”. Nota:
A
B. Propiedad Absorción:
II. INTERSECCIÓN ENTRE CONJUNTOS
B
A ∪ (A ∩ B) = A, puesto que: (A ∩ B) ⊂ A A ∩ (A ∪ B) = A, puesto que: A⊂ (A ∪ B)
Representación Gráfica:
A
Dados dos conjuntos “A” y “B”, se llama reunión de éstos a otro conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto “A” o al conjunto “B” o a ambos. Así por ejemplo; para:
B
A y B no Disjuntos
A
B B
A y B Disjuntos
A
A⊂B
IV. DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS
A ∩ B = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B}
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Se denomina diferencia simétrica de “A” y “B” al conjunto formado por la unión de “A – B” con “B – A”.
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TEMA 5
CONJUNTOS II
Entonces, en A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, se observa que el elemento 1 pertenece al conjunto “A” pero no pertenece a “B” y los elementos 4 y 5 pertenecen al conjunto “B”; pero no pertenecen al conjunto “A”, entonces, al conjunto formado por 1; 4 y 5 se le llama diferencia simétrica de “A” y “B” y se denota por: A D B.
Observación: Si el complemento es respecto al conjunto universal y además se tiene: B ⊂ U, entonces: B’ = B = CB = {x/x ∈ U ∧ x ∉ B} = {x ∈ (U – B)}
Nota:
A D B = {x/x ∈ (A – B) ∪ (B – A)}
Representación Gráfica: A
B
A y B no Disjuntos
A
B B
A y B Disjuntos
A
A
X
B
A⊂B
B
V. COMPLEMENTO ENTRE CONJUNTOS
Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e} y el conjunto B = {a, c, e}, se observa que “B” es subconjunto de “A” y los elementos “b” y “d”, pertenecen al conjunto “A” y no pertenecen al conjunto “B”. Al conjunto formado por estos elementos: {b, d} se le llama complemento de “B” con respecto a “A” y se denota por: B’ Luego, si “B” está incluido en “A”, la diferencia: “A - B” se llama complemento de “B” respecto a “A”.
Nota:
U
6. RELACIONES ENTRE LOS CARDINALES DE LOS CONJUNTOS 1. Si los conjuntos son disjuntos (A ∩ B = ∅ )
n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
2. Si los conjuntos no son disjuntos:
B’ = {x/x ∈ A ∧ x ∉ B} ó B’ = {x/x ∉ B}
a) Para dos conjuntos cualesquiera “A” y “B”:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Dados los conjuntos: A = {x ∈ N / x ≤ 5} B = {x ∈ N / 4 < x ≤ 9} ; x es par Hallar A ∪ B
⇒ B = {8; 6} ⇒ En consecuencia A ∪ B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8}
A) {0; B) {0; C) {0; D) {0; E) { }
Problema 2 Dados los conjuntos: Q = {2; 4; 6} R = {3; 5}, hallar Q – R A) {2; 4} B) {4; 6} C) {0; 2; 4} D) {2; 6; 8} E) {2; 4; 6}
A) {1; B) {2; C) {4; D) {3; E) {2;
Resolución: Como ambos conjuntos no tienen elementos comunes Luego: Q – R = Q ⇒ Q – R = {2; 4; 6}
Resolución:
2; 1; 1; 1;
4; 2; 2; 2;
6} 3; 6; 8} 3; 4; 5} 3; 4; 5; 6; 8}
NIVEL FÁCIL
Resolución: A: x ≤ 5 ⇒ A = {5, 4, 3, 2, 1, 0} Para B: Los valores que toma x son 9, 8, 7, 6, 5 de estos números solo tomamos los números pares.
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Respuesta: {0;1;2;3;4;5;6;8}
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Respuesta: {2;4;6}
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Problema 3 Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} B = {2; 3; 5} Hallar: A – B 4; 4; 5; 5; 4;
6} 6} 6} 6} 5}
Quitando a A lo que aparece en B tendremos: A – B = {1; 4; 6}
Respuesta: {1;4;6}
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CONJUNTOS II
PROBLEMAS DE CLASE EJERCITACIÓN 1.
Sean los conjuntos: A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} B = {0; 2; 4; 6; 8; 10} Hallar: “A – B” A) {1;3;5} B) {3;5;7} C) {1;3;5;7} D) {1;3;5;7;9} E) {0;2;4;6}
2. La región sombreada qué operación representa. A
B
A) A ∪ B B) A ∩ B C) (A – B) ∪ (B – A) D) (A ∩ B) ∪ (A – B) E) A – B 3.
Dados los conjuntos de: A = {x / x ∈ N; 5 < x < 15} B = {x / x ∈ N; 3 < x < 10} ¿Cuántos subconjuntos tiene: A ∩ B? A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 1
4. Hallar la suma de los elementos de (A ∩ B) ∪ C, sabiendo que: A = {1; 2; 3; 4}, B = {2; 3; 5} y C = {1; 3; 5; 7} A) 12 B) 14 C) 10 D) 9 E) 18
5. Dado los conjuntos "A" y "B", se sabe: n(A) = 30 n(B) = 18 n(AU B) = 40 Hallar: n(A ∩ B) A) 7 B) 8 C) 10 D) 12 E) 15
PROFUNDIZACIÓN 6. De 100 personas que leen por lo menos dos de tres diarios (El Comercio, La República y El Peruano), se observa que 40 leen El Comercio y La República, 50 leen La República y El Peruano y 60 leen El Comercio y El Peruano. ¿Cuántas de ellas leen los tres diarios? A) 35 B) 25 C) 15 D) 55 E) 50 7.
Dados los conjuntos: M = {x/x es par ∧ 1< x < 13} N = {x/x es un múltiplo de 4 ∧ 2 < x < 15} ¿Cuántos elementos tiene el conjunto M ∩ N? A) 7 B) 6 C) 5 D) 3 E) 4
8.
Si: A = { a ∈ Z / a5 + 4a = 5a3} B = { a ∈ Z / ∃ b∈Z ; a = b2} Hallar el complemento de B con respecto a A. A) {0;1;2} B) {–2;–1;0} C) {–2;0;2} D) {–2;1;2} E) {–2;2}
9. Si: A = {x/x ∈ N ∧ 2 ≤ x ≤ 6} B = {x/x ∈ N ∧ 3 ≤ x ≤ 9}
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Hallar el número de subconjuntos de (A D B). A) 8 B) 16 C) 128 D) 32 E) 64
SISTEMATIZACIÓN 10.
Sean los conjuntos: A = {x∈N/2 ≤ x ≤ 8; “x” es múltiplo de 2} B = {x ∈ N / 1< x ≤ 8 ; “x” es divisor de 8} Hallar: (A ∩ B) A) {2 ; 4} B) {1; 2 ; 4 ; 8} C) {2 ; 4 ; 8 ; 10} D) {2 ; 4; 8} E) {4 ;8}
11. En una encuesta realizada a un grupo de alumnos sobre sus preferencias de tres revistas deportivas se sabe que el 45% prefieren la revista Gol, el 35% la revista As, el 40% la revista Balón, el 15% As y Gol, el 20% Gol y Balón, el 10% As y Balón y el 25% no leen estas revistas mencionadas. Determine el porcentaje de alumnos de ese grupo que prefieren solo una de las revistas mencionadas. A) 30% B) 35% C) 25% D) 40% E) 45% 12. Siendo A y B dos subconjuntos del conjunto universal U se sabe que: n(A’) = 10 n(B’) = 5 n(U) = 17 n[(A ∩ B)’] = 13 Hallar: n(A ∩ B) + n(A ∪ B) A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 19
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