ARITMÉTICA TEMA 7
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN SNII2A7
DESARROLLO DEL TEMA I. ADICIÓN
Es la operación binaria que; dados dos enteros "a" y "b" llamados sumandos, hace corresponder un tercer entero "S" llamado suma, el cual se compone de ambos sumandos y se representa mediante el operador +. a + b = S sumandos
suma
Ejemplo: 12 +15 + 20 47 = sumandos
suma
La adición en otros sistemas de numeración Procedimiento: • Todos los sumandos deben estar en el mismo sistema. • Al adicionar, si el resultado es igual a la base o excede a esta, se tendra que agrupar en tantas unidades como indique la base. • El número de grupos asi formado serán las unidades a llevar para el siguiente orden y las unidades restantes quedarán en el orden respectivo. Ejemplo:
Halla la suma de: 3245 + 2235 + 4345
II. SERIES
Se llama serie a la suma indicada de los términos de una sucesión. Es decir, dada una sucesión: a1; a2; a3; a4; ...........; an (sucesión finita) Entonces: a1 + a2 + a3 + ... + an Se le llama serie y la denotamos por Sn. Si la serie tiene n términos se obtiene: S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an Nota: Serie es la suma de los términos de una sucesión
III. SERIES NOTABLES A. Serie aritmética Dado la sucesión aritmética a1, a2, a3, ..., an, entonces Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an es una sucesión aritmética. 1. Sumatoria de los términos de una serie aritmética: a1 + a2 + a3 + ...an = n(an + a1) 2
3245 + 2235 4345
2. Sumatoria de los n primeros números naturales positivos: n(n + 1) 1 + 2 + 3 + 4 + .... + n = 2
20415
1°
4+3+4 = 11 = 2 × 5 + → queda lleva
3. Sumatoria de los cuadrados de los "n" primeros naturales positivos: n(n + 1)(2n + 1) 12 + 22 + 32 + n2 = 6
2°
2+(2+2+3) = 9 = 1 × 5 + → queda lleva
4. Sumatoria de los cubos de los "n" primeros números naturales positivos:
3°
1+(3+2+4) = 10 = 2 × 5 + → queda lleva
ORDEN
PROCEDIMIENTO
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
n(n + 1) 13 + 23 + 33 + 4 3 + ... + n3 = 2
11
ARITMÉTICA
2
TEMA 7
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
5. Sumatoria de los "n" primeros impares
Observación:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 ... + (2n – 1) = n2 Nota: Solo se utilizarán éstas fórmulas si la serie comienza con 1.
•
En el sistema decimal se cumple:
abc – cba
xyz
a>c
Donde: y = 9; x + z = 9; a – c = x +1
IV. SUSTRACCIÓN
VI. COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CA)
Dados dos números naturales A y B, se llama diferencia de A y B, y se representa como A – B, a un número natural D tal que A – B = D.
Se denomina sustracción a la operación que hace corresponder a ciertos pares de números naturales (A; B) su diferencia A – B.
Ejemplos: • CA (574) = 1 000 – 574 = 426 • CA (7452) = 10 000 – 7452 = 2548 • CA (29) = 100 – 29 = 71
Diferencia (D)
• CA (25(7)) = 100(7) – 25(7) = 42(7)
A–B=D
• CA (143(6)) = 1 0006 – 1436 = 4136
Sustraendo (S)
Es la cantidad que le falta a un número para ser igual a una unidad del orden inmediato superior con respecto de su cifra de mayor orden.
En general:
Minuendo (M)
Si N tiene k cifras: CA(N(b)) = 1 000 ... 00(b) – N(b) 1442443 k + 1 cifras b : base
Así tenemos: M–S=D
V. PROPIEDADES 1. En toda sustracción la suma de los 3 elementos de ella es igual al doble del minuendo. Si: M – S = D
M=S+D
Como: M = S + D M = M
y
14243
Forma práctica para calcular el CA de un numeral
Sumando
Se ubica la cifra de menor orden y además, significativa, dicha cifra se le quita a la base; las demás cifras (de orden mayor a la anterior) se quitarán de la base disminuidas en 1. Si el numeral terminase en cierta cantidad de ceros su CA terminará en la misma cantidad de ceros.
Ejemplo: 9 10
2M = M + S + D
• CA (4 5 ) = 55 9 9 9 9 10
• CA (7 4 5 0 6) = 25 494
2. En todo número de 2 cifras ab(n) se cumple:
9 9 10
• CA (3 4 5 000) = 655 000
ab(n) – ba(n) = xy(n) Donde: n ≥ 3 y a > b Entonces: x + y = n – 1
• CA (743219) = 256 781 • CA (3467203) = 6 532 797 778
3. En todo número de 3 cifras abc(n) se cumple:
• CA (4 3 2(8) ) = 3468 388 9
• CA (5 3 4 6 00(9) ) = 354 3009
abc(n) – cba(n) = xyz(n) Donde: n ≥ 3 ; a > c Entonces: • y = n – 1 • x + z = n – 1 • a – c = x + 1
TEMA 7
ARITMÉTICA
Observación: El complemento aritmético se determina en su respectiva base.
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SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1 Con 3 dígitos distintos y no nulos se forman todos los números posibles de dos cifras diferentes ¿Cuál es la razón entre la suma de todos estos números de dos cifras y la suma de los 3 dígitos? A) 22 B) 26 C) 28 D) 24 E) 20
Problema 2 Sea x = abc un número representado en forma decimal, donde a>c, entonces (abc – cba) tiene como cifra intermedia a: A) 5 B) 9 C) 1 D) 7 E) 0 SAN MARCOS 2004–I NIVEL FÁCIL
SAN MARCOS 2001 NIVEL INTERMEDIO
Resolución
Del dato: (a + b + c)2 = 2 025 se obtiene que: a + b + c = 45 Luego, colocando un sumando bajo otro: abc + bca cab
SAN MARCOS 2009–I NIVEL INTERMEDIO
Resolución Sean los dígitos distintos y no nulos: a, b y c. Se pueden formar los números de dos cifras diferentes: ab; ac; ba; bc; ca; cb Sea la suma: ab+ac+ba+bc+ca+cb = 22(a+b+c) (mediante su descomposición polinómica). Sea la suma de los 3 dígitos: a + b + c Luego, la razón pedida será: 22 ( a + b + c ) = 22 a+b+c
Respuesta: A) 22
Resolución Por propiedad: abc – cba = xyz entonces: x + z = 9; y = 9
4995
Entonces la cifra central es 9.
Respuesta: B) 9 Problema 3 Calcular el valor de la expresión: abc + bca + cab = xyz, si se sabe que (a+b+c)2 = 2 025 A) 4 895 B) 4 905 C) 4 695
Observación Lo mostrado nos da la solución del ejercicio, sin embargo, lo real es que el ejercicio tiene un dato absurdo: la operación se realiza en base 10 y la suma: a + b + c = 45 es imposible, dado que las cifras toman un valor máximo de 9, siendo la suma máxima 27 y no puede ser 45.
D) 4 995
Respuesta: D) 4 995
E) 4 805
PROBLEMAS DE CLASE SIMPLES 1. Dado el capicúa (a+1)(c+1)8(2b)(6–a)(7–a), halle la suma de a+b+c. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 2. Halle la suma de: mnp + npm + pmn, sabiendo que m+n+p = 17. A) 1778 B) 1887 C) 1777 D) 1888 E) 1987 3. Sea: a5b7 + 3m2q = 9738, halle a + b + m + q. A) 9 B) 10 C) 17 D) 8 E) 6
4. Halle la suma de S + P S = 1 + 2 + 3 + 4 +…+ 35 P = 2 + 6 +12 + 20 +…+ 420 A) 3710 B) 3620 C) 3720 D) 3450 E) 3690 5. La suma de los términos de la sustracción es 3240, halle el minuendo. A) 3240 B) 1620 C) 1080 D) 2160 E) 600
A) 637 D) 675
B) 625 E) 645
C) 5481
7. Efectuar:
S = 6+66+666+6666+...+66...66 14243 “n”cifras A)
10n+1 − 9n 9
n +1 − 9n + 10 B) 10 27
PROFUNDIZACIÓN
n C) 10 − 9n + 10 27
6. Halle en base 10 el valor de “S” si sus 15 términos forman una progresión aritmética: S = 12(n) + 21(n) + 30(n) + ... + 210(n)
n+1 − 9n − 10 D) 2 10 27 10n − 9n + 10 E) 2 27
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
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ARITMÉTICA
TEMA 7
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
8. Los siguientes términos: abn; a(b + 2)n; b1n; ...; aaan, se encuentran en progresión aritmética y, además hay 74 términos, halle el valor de a + b + n. A) 1 B) 14 C) 16 D) 18 E) 19 9. Halle S = 1002 + 1003 + 1004 + ... + 10015 A) 1239 B) 1229 C) 1220 D) 1219 E) 1222
TEMA 7
SISTEMATIZACIÓN
capicúas de 2 cifras es 330 en base “n”?
10. Si:
21ab + 24ab + 27ab + ... + 69ab es xyz63
Calcule: (a + b + x + y + z) A) 28
B) 27
D) 26
E) 32
C) 24
11. ¿En que sistema de numeración “n” la suma de todos los números
ARITMÉTICA
44
A) 6
B) 4
D) 9
E) 8
C) 7
12. Halle la suma de los C.A. de todos los números que tienen tres cifras impares. A) 55 6615
B) 55635
C) 45 625
D) 55 525
E) 55 625
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II