nivel preuniversitario, cepreUNACDescripción completa
Descripción: ray
Libro de olimpiadas matemáticasDescripción completa
contenido de aritmetica
matemática aritmeticaDescripción completa
Libro de olimpiadas matemáticasFull description
aritmética tema 9
DIVISIBILIDAD I SnIi2a9
DESARROLLO DEL TEMA 1. NOTACIÓN
3. PRINCIPIOS OPERATIVOS
Si A es múltiplo de B.
– Sobre la suma y la resta de múltiplos.
o
Entonces A = B o A = BK
Si A no es múltiplo de B. o
Entonces A ≠ B
o
A=B±r
r
1
o
o
o
(n )k = n
k ∈ +
4. BINOMIO DE NEWTON
o
⇒ 43 = 7 (7) – 6
43 = 7 – 6
Por defecto
o
Por exceso =
o
7–6
o
o
o
o
o
o
(A + B)n = A + Bn (A – B)n = A + Bn, n es par
PROPIEDADES
El cero (0) es múltiplo de todo número entero positivo. Todo número entero positivo es múltiplo de si mismo. La unidad es divisor de todo número entero. El divisor es un número entero positivo (módulo)
san marcos REGULAR 2014 – Ii
Es el desarrollo de binomio, aplicándose los criterios de divisibilidad y permite hallar el residuo de manera inmediata.
(A – B)n = A – Bn, n es impar
Suman 7
2. CONSIDERACIONES IMPORTANTES – – – –
– Sobre la potencia de un múltiplo cualquiera
o
Nótese:
o
– Sobre la división de múltiplos o A o = no se puede anticipar al resultado. A
43 = 7 + 1
7+1
o
43 = 7 (6) + 1
⇒
6 7
o
o
n × k = n k ∈
⇒ A=B±r
6
43 7
o
n–n=n
q
Ejemplo:
o
o
A = Bq + r
43 7
o
– Sobre la multiplicación de un número cualquiera con un múltiplo cualquiera.
Sabemos que un número es divisible por otro cuando la división es entera y exacta. Pero cuando dicha división tiene residuo, diremos que el dividendo es múltiplo del divisor más el residuo. Es decir: A B
o
n+n=n
Números no divisibles
o
11
o
•
N=a o
o
N = m.c.m(a;b)
N=b
aritmética
Tema 9
DIVISIBILIDAD I
o
•
N=a +r
o
N = m.c.m(a;b) + r
o
N=b+r
o
•
abcdn = n + dt
•
abcdn = (n2) + cdn
o
(# impar)#par = 8 + 1
•
Principio de Arquímedes
Si: A × B = n
⇒ Si A = n ∧ B = n
o
o
o
o
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1 Si cierta cantidad de bolas se cuentan de 4 en 4, sobran 3; si se cuentan de 6 en 6, sobran 5; y si se cuentan de 10 en 10, sobran 9. ¿Cuál es el número mínimo de bolas que se tiene? A) 57 B) 129 C) 60 D) 59 E) 119 Nivel Intermedio UNMSM 2011-II
Resolución Sea N el número de bolas: o
Respuesta: D) 59 Problema 2 Cualquier número de la forma siempre es divisible por: A) 12 B) 141 C) 15 D) 1001 E) 17 Nivel Fácil UNMSM 2004-I
abcabc = abc × 10 + abc
o
= abc × 1001
o
o
Resolución o 76m9n = 76090 + m0n = 107
o
N = m.c.m(4;6;10) – 1 = 60 – 1
o
o
⇒ m0n = 107 + 94
Si k = 2 ⇒ m0n = 308
∴ m + n = 11
Respuesta: D) 1001
o
o
= 107 + 13 + m0n = 107
= 1001
N = 10 + 9 ⇒ 10 – 1
Problema 3 Si: 76m9n es múltiplo de 107, halle el máximo valor de (m + n). A) 17 B) 11 C) 13 D) 9 E) 15 Nivel Difícil UNMSM 2013-I
m0n = 107.k + 94 3
N=6+5⇒6–1 o
N = 59
Resolución
o
N=4+3⇒4–1 o
Entonces: N = 60.1 – 1
Respuesta: B) 11
PROBLEMAS de clase EJERCITACIÓN
a) 83 d) 86
1. ¿Cuántos números de 2 cifras son divisible por 11? a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 e) 7 2. Del 1 al 3000. ¿Cuántos números no son múltiplos de 11? a) 272 b) 273 c) 2727 d) 2728 e) 2726 3. Del 240 al 1500. ¿Cuántos números o son 15?
Tema 9
b) 84 e) 82
C) 85
4. ¿Cuántos múltiplos de 7 están comprendidos entre 30 y 300? a) 36 b) 37 c) 38 d) 39 e) 40 5. ¿Cuántos múltiplos de 13, que no terminan en 5, hay entre 800 y 1000? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
aritmética
22
PROFUNDIZACIÓN 6. A una fiesta asistieron 105 personas entre niños, mujeres y hombres. La cantidad de niños era la séptima parte de las mujeres que asistieron y los hombres que no bailaban era la octava parte de las mujeres que asistieron. ¿Cuántas mujeres no bailaban? A) 20
B) 18
C) 22
D) 21
E) 24
san marcos REGULAR 2014 – Ii
DIVISIBILIDAD I
7. En una función de cine entre adultos, jóvenes y niños, suman en total 815 personas. Los 5/11 de los jóvenes son mujeres. La cantidad de adultos es igual a la séptima parte de la cantidad de jóvenes. Sabemos que la cantidad de niños es menor que la de adultos y que la tercera parte de los jóvenes llegaron tarde. Determina la cantidad de niños. a) 18 b) 22 c)23 d) 25 e) 28 8. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 15 pero no de 25?
a) 46 d) 49
b) 47 e) 50
11. En la siguiente sucesión:
c) 48
9. Un número de la forma: (2a)(2b)ab es siempre divisible entre. A) 7 B) 13 C) 19 D) 67 E) 23
SISTEMATIZACIÓN o
o
10. Si: n! = 17 + 3 y (n + 1)! = 17 + 8, halle el residuo por exceso de dividir (n + 2)! por 17. A) 2 B) 16 C) 1 D) 12 E) 4
san marcos REGULAR 2014 – Ii
33
3 + 7(1); 3 + 7(2); 3 + 7(3);...; 3 + 7(431)
¿Cuántos términos no son divisibles por 15? A) 420
B) 404
D) 402
E) 345
C) 403
12. Si: xyzw + wzyx8 = mn...xz3 halle el mínimo valor que asume el C.A(xz6), en el mismo sistema de base 6. A) 24