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A continuación se plantea, interpreta y convierte diferentes problemas reales, en modelos matemáticos; y se los resuelve aplicando el método simplex.
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EL PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES Principio de Flotación http://perso.gratisweb.com/grupopascal/FLUIDO S%20Profe/FLUIDOS%20Profe/Carpeta%20uni dad/arquimedes/barco.swf
PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
Cualquier persona familiarizada con la natación y otros deportes acuáticos ha observado que los objetos parecen perder peso cuando se sumergen en agua. En realidad, el objeto puede incluso flotar en la superficie debido a la presión hacia arriba ejercida por el agua.
PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES Un antiguo matemático griego, Arquímedes (287-212 a.C), fué el primero que estudió el empuje vertical hacia arriba ejercido por los fluídos. El principio de Arquímedes se enuncia en la siguiente forma:
Principio de Arquímedes
Un objeto que se encuentra parcial o totalmente sumergido en un fluido experimenta una fuerza ascendente ( empuje ) igual al peso del fluido desalojado.
El principio de Arquímedes se puede demostrar estudiando las fuerzas que ejerce el fluido sobre un cuerpo que se encuentra suspendido en el. Considere un disco de área A y de altura H que esta totalmente sumergido en un fluido (ver figura)
Principio de Arquímedes
Recuerde que la presión a cualquier profundidad h esta dada por la fórmula: P = ρ.g.h
F
Densidad ρ
h1 H
mg
h2
Principio de Arquímedes
Entonces la presion total hacia abajo P 1 ejercida sobre la partes usperior del disco es:
P 1 = P a + ρgh1 (hacia abajo)
En forma similar la presion hcia arriba P 2
en la parte inferior del disco es: P 2 = P a + ρgh 2 (hacia arriba)
Principio de Arquímedes
Si representamos la fuerza hacia abajo como F1 y la fuerza hacia arriba como F2; podemos escribir: F 1 = P 1A F 2 = P 2 A La fuerza neta ejercida hacia arriba ejercida por el fluido sobre el disco se llama empuje y esta dada por:
Principio de Arquímedes F B = F 2 – F 1 = A(P 2 – P 1 )
= A(Pa + ρ.g.h2 – Pa - ρ.g.h1 = A.ρ.g (h2 – h1) = A.ρ.g H donde H = h2 – h1 es la altura del disco. Finalmente si recordamos que el volumen del disco es V= AH, obtenemos este importante resultado: F B = ρ.g .V = mg
Ejemplo
Un corcho tiene un volúmen de 4 cm 3 y una densidad de 207 kg/m3 a) ¿Que volumen del corcho se encuentra bajo la superficie cuando el corcho flota en agua? b) ¿Que fuerza hacia abajo es necesaria para sumergir el corcho por completo?
Principio de Arquímedes
EJEMPLO PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
En un recipiente que contiene Mercurio, se coloca un cilindro metálico cuya base es de 15 cm 2 y cuya altura es de 8 cm. El cilindro flota y la parte sumergida en el Mercurio tiene una altura de 5 cm. Determina el empuje ascendente sobre el cilindro (g = 9.81 m/s2, ρHg = 13,600 kg/m3)
¿Cómo saber si un cuerpo flotará o se hundirá?
Según sean los valores de E y P pueden darse tres casos: 1. Que el peso y el empuje sean iguales: E = Peso(m.g). El cuerpo estará en equilibrio (fuerza resultante nula) y "flotará entre aguas". 2. Que el empuje sea mayor que el peso: E > Peso(m.g) . El cuerpo ascenderá y quedará flotando. 3. Que el empuje sea menor que el peso : E < Peso (m.g). El cuerpo se hundirá. ¿A qué se llama peso aparente de un cuerpo?
Ejemplos
Un cubo de 100 gramos que mide 2 cm de lado se ata al extremo de una cuerda y se sumerge en totalmente en agua. ¿Cual es el empuje y cual es la tensión en la cuerda?
Ejercicio
Un cubo de madera cuyas aristas miden 5.0 cm cada una, flota en agua tres cuartas partes de su volumen sumergidas: a)¿ cual es el peso del cubo? b)¿ cual es la masa del cubo? c)¿Cual es la gravedad especifica del cubo?
Un bloque de madera de 100 gramos tiene un volumen de 120 cm 3 ¿podrá flotar en agua? ¿y en gasolina?
Un trozo de metal de 20 gramos tiene una densidad de 4000 kg/ m 3. Esta atada a un hilo delgado y se sumerge en un recipiente de aceite (1500 kg/m3) hasta que se sumerge por completo. ¿cual es la tension en el hilo?
Ejemplo
Un cubo de madera cuyas aristas miden 5.0 cm cada una, flota en agua con tres cuartas partes de su volumen sumergidas a) ¿Cual es el peso del cubo? b) ¿Cual es la masa del cubo? c) ¿ Cual es la gravedad especifica del cubo?