Integrales Definidas: método de Simpson 1/3
Mayra Rocí o Cuellar Fernández Código: 20121108582
Vanessa Giraldo Calder ón Código: 20121110998 Universidad Surcolombiana, Surcolombiana, Facultad de Ingeniería, Departamento Departamento de Ingeniería Electrónica Programa de: Ingenier ía Electrónica Neiva, Huila, Colombia. Mayo-2014
Resumen: En este art ículo vamos a ver cómo se utiliza el
é
por medio de c álculos matem áticos y por medio de programaci ón en matlab. Este es un método clásico para hallar el valor aproximado del área bajo una curva y encontrar una integral definida.
1 Introducción La Regla de Simpson de 1/3 proporciona una aproximación más precisa, ya que consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante parábolas de segundo grado, y sumar las áreas bajo las parábolas para obtener el área aproximada bajo la curva. Tambien se aplica en la resolucion de aquellas integrales que son dificiles de obtener una solucion de forma analitica, es decir de integrales que requieren un gran conocimiento y manejo de matematica avanzada, pueden ser resueltas de manera mas sencilla mediante este metodo. 1.1Ventajas
Proporciona una aproximación más precisa de la integral que otras formas numéricas como la de la regla del trapecio. Se logra convertir matem áticas superiores en aritm éticas básicas. Este método se adapta a la mayoría de las formas polinomial de orden 2. Su integración está basada en un número de segmentos de igual ancho. Es más preciso que el método del trapecio compuesto, ya que tiende a una solución más exacta y de forma más rápida.
1.2 Desventajas
Su aplicación requiere un n úmero específico de sub-intervalos. Ajusta cada uno de los segmentos al grado del polinomio dado. Es restringido ya que N tiene que ser par. Hay que tomar en cuenta que si a, b, es decir, los limites inferior y superior no son suficientemente pequeños el grado de error, en este caso, podría ser muy grande.
2. Ejemplo: Para la siguiente tabla de valores:
Evalúe la integral: ∫ , para h=0.4, h=0.2, h=0.1; x
F(x)
0.0 0 0.1 2.122 0.2 3.0244 0.3 3.2568 0.4 3.1399 0.5 2.8579 0.6 2.5140 0.7 2.1639 0.8 1.8358
ó
á
Primero trabajaremos con un valor de h=0.4 Donde el punto a evaluar será definido por Y el área total está dada por la siguiente ecuación Se procede a hacer los cálculos pertinentes para h=0.4 Hallamos el área total del área bajo la curva a estudiar Repetimos este procedimiento para unas alturas h=0.2 y h=0.1 Cálculos para h=0.2 Área total
Cálculos para h=0.1
3 Codigo en matlab 4
fprintf('Calculo de la integral por el metodo de Simpson de 1/3\n\n');
5
f=input('introduce la funcion:','s');
6
a=input('lime inferior:');
7
b=input('limite superior:');
8 9 10
c=input('numero de segmentos a dividir (numero par):'); h=(b-a)/c; z=0;
11 x=a; 12
for i=1:c;
13
if
(-1)^i==1
14 15 k=eval(f); 16 17 z=z+k; 18 19
end
20 21 x=h*i; 22 23
end
zz=0;
24 x=a; 25 26 27 28 29
for i=2:c;
(-1)^i==-1
if
k=eval(f); zz=zz+k; end
30 x=h*i; 31
end
32
x=a;
33
if x==a
34
d=eval(f);
35
end
36
x=b;
37 38 39 40 41 42 43 44
if x==b
e=eval(f); end
z=z*4; v=zz*2; z=z+v+d+e; z=z/(3*c); z=z*(b-a)
45 fprintf('Resultado ');
4. Conclusiones
El error asociado a la regla de Simpson nos indica que este método es más exacto que otros métodos de integración como la regla del trapecio. El error es proporcional a la cuarta derivada, por lo tanto el coeficiente del tercer grado se hace cero en la interpolación del polinomio. Se aplica la regla de Simpson 1/3 multiple con n múltiplos de 2.
Referencias
GREENSPAN, D. Theory and solutions of Ordinary Differencial Equations. 1960 The. Mc Millan Co. New York. KINCAID David y Ward Cheney; An álisis numérico: Las matemáticas del cálculo científico. tr. Rafael. 1994 (Biblioteca USCO Nro Topogr áfico: 515 / K51a). LUTHE. Rodolfo, OLIVERA Antonio, SCHUTZ Fernando, M étodos numéricos. 1986 (Biblioteca USCO Nro Topogr áfico: 511.7 / L973m). McCRACKEN, Daniel D., M étodos numéricos y programaci ón fortran: con aplicaciones en ingenier ía y ciencias. 1986. Editorial Limusa. M éxico. (Biblioteca USCO Nro. Topogr áfico: 001.6424 / M117). NAKAMURA Shoichiro; An álisis numérico y visualizaci ón gráfica con MATLAB. tr. Roberto Escalona Garc ía. 1998 (Biblioteca USCO N ro Topogr áfico: 515.1 / N163a).
http://webdiee.cem.itesm.mx/web/servicios/archivo/tutoriales/metodos/algoritmos/index.ht ml http://www.ucsc.cl/~kdt/numerico/index.htm http://luda.azc.uam.mx/curso2/cp2indic.html http://www.geocities.com/SiliconValley/Pines/7894/metodos/ http://www.uv.es/~diaz/mn/fmn.html http://proton.ucting.udg.mx/posgrado/cursos/metodos/temario.html http://webdiee.cem.itesm.mx/web/servicios/archivo/tutoriales/metodos/algoritmos/index.ht ml
