P r oblema oblemass resueltos r esueltos de de mecáni mecánica ca de de sue suelos CAPITULO NUEVE
Asentamientos 9.1. Introducción. Introducción.
El asentamiento en las fundaciones superficiales está compuesto por tres componentes, el asentamiento inmediato ( S i), el asentamiento por consolidación primaria ( S c) y el asentamiento por consolidación secundaria ( S s). El cálculo del asentamiento inmediato en general se basa en la teoría elástica. Los otros dos componentes de asentamiento resultan de la expulsión gradual de agua y del reordenamiento de partículas bajo carga constante, respectivamente. La importancia relativa de los componentes de asentamiento según el tipo de suelo, es presentada en la Tabla. Tipo de suelo
S
Arena Arcilla Suelo orgánico
Si Relativa Relativa
i
S
c
No Si Relativa
S s
No Relativa Si
Asent Asenta amient iento o inme inmediato iato. Es estimado a partir de los parámetros elásticos del suelo. Para suelos predominantemente cohesivos, esta teoría es buena, debido a que se asumen condiciones de homogeneidad e isotropía no tan alejadas de la realidad. Como datos para el cálculo, se requieren el módulo de elasticidad no drenado E U y el coeficiente de Poisson . Por otro lado, para la estimación del asentamiento inmediato de suelos granulares sin cohesión, se recomienda utilizar los métodos semi empíricos en los que sí se toma en cuenta la variación de los parámetros elásticos, como por ejemplo el método de Schmertmann.
Asent Asenta amient iento o por cons conso olida lidación ción pri pri mari a. El asentamiento por consolidación es propio de suelos saturados cohesivos o de baja permeabilidad sujetos a un incremento en el esfuerzo efectivo que se traduce en un incremento en la presión de poros. Si bien el agua y las partículas partículas de suelo son virtualmente virtualmente incompresibles, incompresibles, el cambio de volumen en la masa de suelo se debe a la expulsión gradual del agua de los poros. Para predecir el asentamiento por consolidación, es necesario conocer las propiedades esfuerzo – deformación deformación en una masa de suelo. Para esto, se desarrolla una prueba de laboratorio denominada consolidación unidimensional (prueba del edómetro), en la cual la muestra puede deformarse solamente en dirección vertical. La deformación horizontal es impedida. Las ecuaciones para la estimación del asentamiento por consolidación primaria a partir de los parámetros parámetros obtenidos en laboratorio, laboratorio, son presentada presentadass en el Anexo Anexo I. De forma meramente casual, el método de consolidación primaria unidimensional resulta muy acertado para la estimación del asentamiento total ( S i + S c). Para arcillas rígidas el asentamiento total es igual al asentamiento edométrico ( total = edómetro). Para arcillas blandas el asentamiento total es igual a 1,1 veces el asentamiento edométrico ( total = 1,1 x edómetro). Finalmente, en cuanto a la estimación del tiempo de consolidación, el Anexo I presenta las ecuaciones y tablas basadas en la teoría de consolidación unidimensional de Terzaghi.
Asent Asenta amient iento o po por cons conso olida lidación ción secu secund nda ari a. A diferencia de la consolidación primaria, el proceso de consolidación consolidación secundaria secundaria no contempla contempla la expulsión de agua de los poros, sino más bien se refiere a la reorientación, fluencia y descomposición de materiales orgánicos en el suelo por lo que tampoco es preponderante un cambio en el esfuerzo efectivo para su desarrollo. Las ecuaciones para su estimación son presentadas en el Anexo I. 24
Capítulo 9 A senta ntami ento ntos
9.2. Problemas resueltos. PROBLEMA 1
La estratigrafía de un terreno está e stá formada por 5 m de arcilla normalmente consolidada, todo ello sobre un macizo rocoso compuesto de arenisca de permeabilidad alta. El nivel freático se halla a 2 m de la superficie del terreno (Figura 9.1). El peso unitario saturado de la arcilla es 21 kN/m3. Con una muestra inalterada obtenida a 2,5 m de profundidad se realizó un ensayo de consolidación, habiéndose alcanzado los siguientes resultados: r esultados: Índice de vacíos inicial = 0,58 Índice de compresibilidad = 0,11 Coeficiente de consolidación = 0,20 m 2/año ( parámetro correspondiente al rango de presiones al que estará estará sometido sometido el suelo) suelo)
En la superficie del terreno se proyecta construir un tanque de almacenamiento de combustible de 5m de diámetro, diámetro, mismo que ejerce una presión presión vertical sobre el suelo de 143 2 kN/m . Este tanque duplicará la presión vertical efectiva que existe en la arcilla actualmente. 5
Arcilla N.C.
eo=0,58 cc=0,11 2 cv=0,2 m /año
Macizo rocoso muy fracturado
Figura 9.2. Carga sobre el suelo.
Se requiere:
a) Calcular el asentamiento. b) ¿Qué tiempo en años será necesario para alcanzar el 50 % del asentamiento en la capa de arcilla?
25
Capítulo 9 A senta ntami ento ntos
9.2. Problemas resueltos. PROBLEMA 1
La estratigrafía de un terreno está e stá formada por 5 m de arcilla normalmente consolidada, todo ello sobre un macizo rocoso compuesto de arenisca de permeabilidad alta. El nivel freático se halla a 2 m de la superficie del terreno (Figura 9.1). El peso unitario saturado de la arcilla es 21 kN/m3. Con una muestra inalterada obtenida a 2,5 m de profundidad se realizó un ensayo de consolidación, habiéndose alcanzado los siguientes resultados: r esultados: Índice de vacíos inicial = 0,58 Índice de compresibilidad = 0,11 Coeficiente de consolidación = 0,20 m 2/año ( parámetro correspondiente al rango de presiones al que estará estará sometido sometido el suelo) suelo)
En la superficie del terreno se proyecta construir un tanque de almacenamiento de combustible de 5m de diámetro, diámetro, mismo que ejerce una presión presión vertical sobre el suelo de 143 2 kN/m . Este tanque duplicará la presión vertical efectiva que existe en la arcilla actualmente. 5
Arcilla N.C.
eo=0,58 cc=0,11 2 cv=0,2 m /año
Macizo rocoso muy fracturado
Figura 9.2. Carga sobre el suelo.
Se requiere:
a) Calcular el asentamiento. b) ¿Qué tiempo en años será necesario para alcanzar el 50 % del asentamiento en la capa de arcilla?
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P r oblema oblemas s r esueltos de de mecáni ca de de sue suelos
Solución . a) Calcular el asentamiento.
El asentamiento debido a la consolidación de la arcilla NC es calculado, por la ecuación: S C
cc H c 1 eo
po p pr po
log
Reemplazando los valores se tiene que:
S C
(0,11)(2000) 1 0,58
log 2 42 mm
Este valor resulta ser el asentamiento por consolidación del ensayo del edómetro (ensayo de consolidación), o sea: S C (oed ) 42 mm
Éste debe ser corregido por factores empíricos para obtener el asentamiento por consolidación real. En este caso se puede emplear el criterio de Skempton & Bjerrum (Tabla 9.2) para arcillas suaves normalmente consolidadas, según el cual el valor del factor corrección es de 1 S C S C (oed oe d )
Entonces: SC = 42 mm
El asentamiento inmediato producido en la arena puede ser calculado según la ecuación E-3 propuesta por Harr (en (en este caso para fundaciones flexibles). Para el ejemplo, B = 5 m, E S = 2 25 MN/m , S = 0,3. El coeficiente av se puede obtener de la Figura E,1 del Anexo E. b) Tiempo en años para alcanzar el 50 % del asentamiento en la capa de arcilla.
El esfuerzo vertical efectivo efectivo inicial en el punto medio medio de la arcilla, empleando un valor para 3 el peso unitario del agua de 10 kN/m . o =
(2)(18) + (1)(20) + (1)(21) – (2)(10) (2)(10)
o =
57 kN/m2
26
Capítulo 9 A senta ntami ento ntos Entonces, el incremento de esfuerzo promedio efectivo en ese punto es igual a pav = 57 kN/m
2
A continuación se procede a estimar la carga neta en la superficie mediante un proceso inverso utilizando la ecuación de incremento de esfuerzo por debajo de una fundación circular flexible.
1 p qo 1 1 B / 2 z 2
3 2
Para B = 5 m y z = 3 m, 4 m, 5 m se obtiene que:
p av
qo 1 1 3 6 2 2 1 5 23
1 4 1 3 2 2 1 5 2 4
1 1 3 2 2 1 5 2 5
57 = qo (0,399) Por lo que la carga neta a nivel de fundación es: qo = 143 kN/m
2
Como las hipótesis de Harr H = no se cumple, se deben hacer correcciones mediante los coeficientes F 1 y F 2. Estos coeficientes se pueden obtener de las figuras E.2 y E.3 del Anexo E. Para: H 0,6 B L 1 B
F 1 0,08 F 2 0,075 07 5
Finalmente se tomará la ecuación E-4 del Anexo E.
1 1 F 1 2 F
S i
B qo
S i
(5)(143) 1 0,32 1 0,32 (0,08) 1 0,3 2(0,3) 2 (0,075) 25000
Es
2
2
s
s
2
1
s
s
2
Si = 0,00291 m = 3,0 mm
27
P r oblema oblemas s r esueltos de de mecáni ca de de sue suelos
El asentamiento calculado corresponde al asentamiento en la parte central del tanque. Empleando la Tabla E.1 del Anexo E, para un grado de consolidación del 50 %, se obtiene que el factor del tiempo correspondiente a un 50% de consolidación es: = 0,197 Mediante la ecuación E-14 del anexo E, se sabe que: T v
t
T v H dr
2
cv
Para el ejemplo, cv = 0,20 m2/año, H dr = 1 m (doble drenaje), ya que el agua de los poros en la arcilla será expulsada hacia el estrato superior de arena y hacia la base rocosa fracturada,
t
t
(0,197) (1) 2 0,20 1 año
Finalmente, se concluye que al cabo de un año (50% de consolidación) el asentamiento máximo de la fundación será: S t (42)(0,50) + 2,0
St = 23 mm
28
Capítulo 9 A sentamientos PROBLEMA 2 Se planea construir un edificio de hormigón armado de 10 niveles (incluyendo sótano). La presión aplicada al terreno por nivel es de 10 kN/m 2. La fundación de la estructura consiste de una losa rectangular flexible de 10 m de ancho y 20 m de largo, apoyada a 4 m de profundidad. La estratigrafía del terreno consiste de 8 m de arcilla sobre - consolidada que descansa sobre roca impermeable (Figura 9.3). Los parámetros obtenidos del estudio geotécnico son los siguientes: Profundidad del nivel freático respecto a la superficie del terreno = 1 m Peso unitario de la arcilla = 19 kN/m 3 Coeficiente de compresibilidad volumétrica = 0,14 m 2/MN Coeficiente de consolidación = 10 m 2/año (Estos dos últimos parámetros corresponden al rango de presiones al que será sometido el suelo). Se requiere: a) Calcular el asentamiento total del punto central de la losa de fundación, en mm b) Calcular el asentamiento total en una de las esquinas de la losa de fundación, en mm. c) Calcular la magnitud del asentamiento diferencial producido entre el punto central y la esquina de la losa. d) Suponiendo en principio un exceso de presión de poros uniforme ( uo constante), y una longitud o trayectoria de drenaje de 4 m, estimar el tiempo en años que será necesario para alcanzar el 90% del asentamiento total.
Figura 9.3. Edificio en estrato de suelo. Solución. a) Calcular el asentamiento total del punto central de la losa de f undación
El edificio tiene 10 plantas, por lo tanto la carga bruta es: q =
(10)(10) = 100 kN/m2 29
Problemas r esueltos de mecáni ca de suelos
La carga neta a nivel de fundación es: qn
q qo '
'
q D f
Para = 19 kN/m3 y una profundidad de fundación D f = 4 m, se tiene: 2
qn = 100 – (4)(19) = 24 kN/m
Para el caso de una fundación flexible se puede emplear la ecuación D-7 del Anexo D p = q I3 2
En este caso q = 24 kN/m y el factor I 3 puede ser determinado de la Tabla D.4 del Anexo D. Para determinar el asentamiento del centro de la losa, se analiza la cuarta parte del rectángulo. L = 20 / 2 = 10 m, B = 10 / 2 = 5 m, z = 2 m De este modo se obtiene que el esfuerzo vertical por debajo de la esquina es: 2
p = 5,85 kN/m
Entonces, el incremento de esfuerzo vertical en el centro de la fundación 2
p = (4)(5,85) = 23,4 kN/m
Ahora, para hallar el asentamiento de consolidación del ensayo del edómetro se tiene que: c(oed) = mv H '
c(oed) = (0,00014)(23,4)(4) c(oed) = 0,0131 m = 13 mm
Valor que debe ser corregido para obtener el asentamiento total de la arcilla. En este caso se puede emplear el criterio de Burland para arcillas rígidas sobreconsolidadas, según el cual, S total = S c(oed) = c(oed)
Entonces: Stotal = 13 mm
b) Calcular el asentamiento total en una de las esquinas de la losa de fundación. En este caso q = 24 kN/m2 y el factor I 3 puede ser determinado de la Tabla D.4 del Anexo D. Para determinar el asentamiento de la esquina de la losa, se analiza toda la losa. L = 20 m, B = 10 m, z = 2 m
30
Capítulo 9 A sentamientos De este modo se obtiene que el esfuerzo vertical por debajo de la esquina es: p =
2
5,98 kN/m
El asentamiento de consolidación del ensayo del edómetro c(oed) = mv H c(oed) = (0,00014)(5,98)(4) c(oed) = 0,0033 m = 3,3 mm
Valor que se corrige para obtener el asentamiento total de la arcilla. En este caso se empleará el criterio de Burland para arcillas rígidas sobreconsolidadas, según el cual: S total = S c(oed) = c(oed)
Entonces: S total =
3,3 mm
c) Se pide encontrar el asentamiento diferencial entre los puntos previamente analizados. Asentamiento diferencial producido: = 13 – 3,3 = 9,7 mm d) Empleando la Tabla E.1 del Anexo E, se obtiene el valor del factor tiempo, correspondiente al 90% de consolidación T v = 0,848
Además se sabe que: t
T v H
2
cv
Para el ejemplo, cv = 10 m2/año, H = 4 m (trayectoria de drenaje), entonces:
t
t
(0,848)(4) 2 10 1,4 años
31
Problemas r esueltos de mecáni ca de suelos
PROBLEMA 3
Una zapata flexible de fundación de 1,0 m x 1,0 m, soportando una carga de contacto sobre el nivel de fundación de 200 kN, es construida a una profundidad de 1,0 m debajo de la superficie del terreno. El depósito de suelo está conformado por un estrato de 2,0 m de arena. El nivel freático se encuentra a 1,0 m de profundidad respecto a la superficie. Debajo de la arena se halla un estrato de arcilla normalmente consolidada de 2,0 m de espesor que a su vez descansa sobre arena densa (Figura 9.4). 200 kN
Arena
1m 1.0m x 1.0m 1m
Arcilla compresible 2m
Arena densa Figura 9.4. Zapata en perfil de suelo. Mediante el estudio de suelos se han determinado los siguientes parámetros:
Depósito de arena Peso unitario por encima del nivel freático = 17,0 kN/m 3 Peso unitario por debajo del nivel freático = 19,0 kN/m 3 Módulo de elasticidad = 20 MPa Arcilla Peso unitario saturado = 18,0 kN/m 3 Índice de vacíos inicial = 0,7 Índice de compresión = 0,25 Índice de expansión = 0,06 Módulo de elasticidad = 25 MPa Peso unitario del agua = 9,8 kN/m3 Se pide encontrar el asentamiento total en el centro de la fundación. 32
Capítulo 9 Asentamientos Solución.
El incremento de esfuerzo promedio en el estrato de arcilla está dado por: p
1 6
( pt 4 pm
pb )
Si empleamos la ecuación: p =
q I
En este caso, la carga neta es:
qn
200,0 (1,0)(1,0)
(1)(17) 183,0 kPa
Asimismo , I = f (B, L, z), Para L = 1,0 / 2 = 0,5 m B = 1,0 / 2 = 0,5 m, se tiene que el incremento de esfuerzo vertical en la esquina es: z = 1,0 m z = 2,0 m z = 3,0 m
2
p =
15,37 kN/m 2 p = 4,94 kN/m 2 p = 2,32 kN/m
Entonces, el incremento de esfuerzo vertical bajo el centro de la fundación es: = (4)(15,37) = 61,48 kN/m2 2 pm = (4)(4,94) = 19,76 kN/m 2 p b = (4)(2,32) = 9,28 kN/m pt
Y el incremento de esfuerzo promedio en el estrato, será: pav
pav
1 6
( pt 4 pm
25 kN/m
pb )
1 6
(61,48 (4)(19,76) 9,28)
2
Asentamiento inmediato en la arcilla
Se puede emplear la ecuación propuesta por Janbu, que será: S e
A1 A2
qO B E S
Los factores A1 y A2 se obtienen de la Figura E.5 del Anexo E. Para estimar el asentamiento inmediato en la arcilla, se asume que el estrato de arcilla se extiende hasta la superficie y que tiene una base rígida. En este caso, para D f /B = 1,0 / 1,0 = 1,0 se tiene: A2 0,94 33
Problemas r esueltos de mecáni ca de suelos
Además, para H / B = (3,0) / 1,0 = 3,0 se tiene: A1 0,6 Entonces:
S e (0,6)(0,94)
(183)(1,0 25
Se = 4,13 mm
Se asume luego que el primer estrato es arcilla con características iguales al segundo estrato y con una base rígida. En este caso, para D f / B = 1,0 / 1,0 = 1,0, se tiene: A2
0,94
Además, para H / B = (1,0) / 1,0 = 1,0 se tiene: A1
0,34
Luego:
S e (0,34)(0,94)
(183)(1) 25
Se = 2,34 mm
Entonces el asentamiento inmediato en la arcilla es la diferencia entre los dos asentamientos anteriores. Se = 4,13 – 2,34 = 1,79 mm
Asentamiento por consolidación en la arcilla El esfuerzo vertical efectivo inicial en el punto medio de la arcilla 'o
= (1,0)(17,0) + (1,0)(19,0 – 9,8) + (1,0)(18,0 – 9,8)
'o
= 34,4 kN/m2
El asentamiento debido a la consolidación de la arcilla está dado por:
o' p S oed log ' 1 eO o C C H
Por lo que,
S oed
(0,25)(2000) 1 0,70
34,4 + 25 34,4
log
34
Capítulo 9 A sentamientos S OED =
69,77 mm
Valor que deberá ser corregido para obtener el asentamiento por consolidación real. En este caso se puede emplear el criterio de Burland para arcillas rígidas normalmente consolidadas, según el cual S C = S oed Entonces S total =
69,77 + 1,79 = 71,6 mm
Asentamiento en la arena
Para calcular el asentamiento en el estrato de arena, se recurre al método propuesto por Schmertmann, para el que se procede a dibujar un esquema del factor de influencia. El esfuerzo efectivo inicial al nivel de la fundación ( D f ) y a la profundidad del factor máximo de influencia ( D f + B/2) es: = (1)(17) = 17 kPa
'vo
= (1)(17) + (0,5)(19 – 9,8) = 21,6 kPa
'vp
El valor máximo del factor de influencia I z y los factores de corrección C 1, C 2 y C 3 son (v, Ecuaciones 8.2, 8.3, 8.4): I Z = 0,5 + (0,1)(183 / 21,6)1/2 = 0,79 C 1 = 1 – (0,5)(17 / 183) = 0,95 C 2 = 1,0 C 3 = 1,03 – 0,03(1,0/1,0) = 1,0
Figura 9.5. Incremento de esfuerzo verticales.
35
Problemas resueltos de mecáni ca de suelos
Para zapatas :
z f = 0 a B/2: z f = 0,25 m: z f = B/2 a 2B: z f = 0,75 m:
I z = 0,1+( z f / B)(2 I zp – 0,2] I z = 0,1+(0,25/1,0)[(2)(0,79) – 0,2] = 0,4450 I z = 0,667 I zp(2 – z f /B) I z = (0,667)(0,79)(2 – 0,75/1,0) = 0,6587
Tabla 9.5. Propiedades del estrato.
H i [m] 0,5 0,5
Estratoi 1 2
I zi
I zi H /E i i
0,4450 0,6587
0,011125 0,016468
n
I zi H i E i
0,027593
i 1
S i = (0,95)(1)(1)(183)(0,027593) S i = 4,8 mm
Finalmente, el asentamiento total en el centro de la fundación
S total = S arcilla + S arena S total = 71,6 + 4,8 S total
76,4 mm
36
Capítulo 9 A sentamientos
PROBLEMA 4 Una zapata de 2,0 m x 2,0 m transmite una carga bruta de contacto de 700 kN al nivel de la fundación que se encuentra a 1,5 m de profundidad. El estudio geotécnico ejecutado contempló la realización de una perforación y un ensayo de penetración de cono. Los resultados indican que el subsuelo está conformado por un depósito de arena medianamente densa a densa, El peso unitario de la arena seca es de 16 kN/m 3 y se estima 3 que el peso unitario saturado de la misma, es de 18 kN/m . El nivel freático se encuentra a 2,0 m de profundidad a partir de la superficie del terreno. El agua tiene un peso unitario de 9,81 kN/m3. La Figura 9.6 muestra la variación de la presión en la punta del cono de penetración con la profundidad. Se pide, determinar el asentamiento producido por la carga de fundación.
Figura 9.6 Resultados de la prueba CPT Solución .
Para analizar el problema se procede a elaborar una tabla. Como se puede apreciar en la Figura 9.6, la profundidad de influencia fue dividida en cinco estratos según el valor promedio de presión en la punta del cono y según el índice de influencia. La carga neta transmitida por la estructura, el esfuerzo efectivo al nivel de fundación y al nivel del valor máximo de I z, son: qn
700
(2)(2)
(1,5)(16) 151 kPa
= (1,5)(16) = 24 kPa
'vo
= (2)(16) + (0,5)(18 – 9,81) = 36,1 kPa
'vp
Entonces, el valor máximo del factor de influencia I z y los factores de corrección son (Ecuaciones 8.2, 8.3, 8.4, 8.5):
C 1, C 2 y C 3
37
Problemas resueltos de mecánica de suelos I Z = 0,5 + (0,1)(151 / 36,1) 1/2 0,7 C 1 = 1 – (0,5)(24 / 151) = 0,92 C 2 = 1 C 3 = 1,03 – (0,03)(2,0 / 2,0) = 1 Estrato
H i [m]
z i [m]
I zi
qc [MPa]
promedio 1 0,50 0,25 0,2500 4 2 0,50 0,75 0,5500 7 3 1,00 1,50 0,5833 7 4 1,25 2,625 0,3208 4 5 0,75 3,625 0,0875 10 zi es la profundidad hasta el punto medio del estrato analizado Nota: El módulo Es = 2,5 qc (para condiciones axisimétricas, B/L=1)
E s [MPa]
I z z/E s
Promedio 10 17,5 17,5 10 25
[m/MPa] 0,01250 0,01571 0,03333 0,04010 0,00263
(I z H /E i i )
0,10427
Finalmente, el asentamiento de la estructura es igual a:
S = (0,92)(151)(0,10427) = 14,5 mm S = 14,5 mm
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Capítulo 9 A sentamientos PROBLEMA 5 Una losa de fundación de 8,0 m x 12,0 m transmite una carga neta de 80 kPa. El nivel de fundación se encuentra a 2,0 m de profundidad. El estudio geotécnico ejecutado determinó el perfil presentado en la Figura 9.7 el cual está conformado por arcilla magra y arena limosa, sobre un lecho rocoso impermeable. El nivel freático se encuentra muy cerca a la superficie. Asumiendo que la fundación está dotada de un sistema de drenaje que permite el ingreso de agua en toda su área, y que la deformación de la arena es despreciable. Se pide determinar: a) El asentamiento total de la fundación a partir de los parámetros obtenidos. b) El tiempo que debe transcurrir para el desarrollo del 80 % de la consolidación.
q n = 80 kPa 2.0 m 5.0 m
B x L = 8 x 12 m
1.5 m
A
Arcilla magra = 20 kN/m3 Cc = 0.22 Cs = 0.09 eo = 0.6 Cv = 0.804 m2/año pc = 135 kPa
Arena limosa
1.0 m
=
3
19 kN/m
Arcilla magra 2.5 m 5.0 m
B
= 19 kN/m3 Cc = 0.30 Cs = 0.12 eo = 0.9 Cv = 0.432 m2/año pc = 95 kPa
Roca impermeable
Figura 9.7 Perfil de suelo Solución . a) El asentamiento total de la fundación a partir de los parámetros obtenidos.
Para determinar el asentamiento total de la fundación, es necesario estimar el incremento de esfuerzo efectivo vertical debido a la carga neta transmitida por la fundación. Se analiza ¼ de fundación (ver figura).
6m 4m
39
Problemas r esueltos de mecáni ca de suelos
A partir de las ecuaciones D-7, D-9, D-10 y la Tabla D.4 del Anexo D, se obtiene lo siguiente: Sea A el punto medio del estrato superior de arcilla magra (CL) Sea B el punto medio del estrato inferior de arcilla magra (CL) Para el punto A del estrato superior de arcilla: pt =
80 kPa m = 4/1,5 = 2,666 n = 6/1,5 = 4 m = 4/4 = 1 n = 6/4 = 1
I 3 = 0,2443
p m =
4 x 0,2443 x 80 78 kPa
I 3 = 0,2178
p b =
4 x 0,2178 x 80 70 kPa
Entonces: pAV(A) =
77 kPa
Para el punto B del estrato inferior de arcilla: m = 4/4 = 1
I 3 = 0,1934
p t =
4 x 0,1934 x 80 62 kPa
I 3 = 0,1341
p m =
I 3 = 0,1069
p b
n = 6/4 = 1,5 m = 4 / 6,5 = 0,615
4 x 0,1341 x 80 43 kPa
n = 6 / 6,5 = 0,923 m = 4/8 = 0,5
= 4 x 0,1069 x 80 34 kPa
n = 6/8 = 0,75 Entonces: pAV(B) =
45 kPa
A continuación se determina el esfuerzo efectivo promedio en cada uno de los estratos de arcilla, antes de la construcción de la fundación. = (3,5)(20 – 9,81) = 35,6 kPa A + pA = 113,6 kPa B = (5,0)(20 – 9,81)+(3,5)(19 – 9,81) = 83,1 kPa B + pB = 126,1 kPa 'A ' ' '
< P c = 135 kPa < P c = 135 kPa < P c = 95 kPa > P c = 95 kPa
SC SC SC NC
Como se puede observar, inicialmente ambas arcillas están sobre consolidadas. Después de la carga la arcilla superior se mantiene sobre consolidada, mientras que la arcilla inferior cambia de estado a normalmente consolidada. A continuación, los asentamientos de los estratos de arcilla superior ( S A) e inferior ( S B) son calculados, según las ecuaciones B-7 y B-8 del Anexo B respectivamente.
40
Capítulo 9 A sentamientos
S A
0,09(3000)
S B
0,12(5000)
1 0,6
1 0,9
S TOTAL
35,6 77 84,4 mm 35,6
log
95 0,30(5000) 83,1 45 log 121mm 1 0,9 95 83,1
log
84,4 121
Stotal = 205,4 mm b) El tiempo que debe transcurrir para el desarrollo del 80 % de la consolidación.
El grado de consolidación de 80% está referido al asentamiento total, por lo tanto: U = 80%
S 80 =
0,80 x 205,4 = 164,32 mm
Para un tiempo t en el estrato superior de arcilla se tiene: T v A
C v At
H dr A
2
Para un tiempo t en el estrato inferior de arcilla se tiene: Tv B
Cv B t
H dr B
2
Dividiendo ambas ecuaciones se obtiene: Tv A Tv B
Tv A
Cv A Cv B
2 H dr 0,80 4 5 2 B 2 20,68 2 1,5 H dr 0 , 43 2 A
20,68(Tv B )
Nótese que la altura de drenaje para la arcilla superior es de 1,5 m debido a que puede expulsar el agua hacia la fundación y hacia el estrato de arena. La altura de drenaje para la arcilla inferior es igual a su espesor debido a que solamente puede drenar hacia la arena. La siguiente ecuación muestra el desarrollo del asentamiento total de la fundación en función del tiempo. S (t )
U A (t ) S A U B (t ) S B
Donde: S(t) Asentamiento total de la fundación en función del tiempo. U A(t), U B(t) Grado de consolidación en función del tiempo. S A , S B Asentamiento total por consolidación en cada estrato. Se requiere determinar un tiempo t en el que S (t) = 164,32 mm.
41
Problemas r esueltos de mecáni ca de suelos
A continuación se sigue un proceso indirecto para calcular t: Suponemos primeramente un 90% de consolidación para la arcilla superior, ¿cuanto será el asentamiento total? (de la Tabla B.1, Anexo B) Tv A = 0,848 U A = 90% Tv B =
0,848 / 20,68 = 0,0410
U B
Entonces el asentamiento total es:
t
Tv A ( H dr A )
2
(de la Tabla B.1, Anexo B)
(0,90)(84,4) + (0,23)(121) = 104 mm
0,848(1,5) 2
Cv A
= 23%
0,804
2,3 años
Esto significa que transcurridos aproximadamente 2,3 años después de la aplicación de la carga, el asentamiento ha alcanzado una magnitud de 104 mm para un grado de consolidación de 90% y 23% de los estratos de arcilla superior e inferior respectivamente. El valor calculado aún está alejado de los 164,32 mm (correspondientes al 80% del asentamiento total) que se requieren alcanzar, lo cual significa que el estrato superior se consolida totalmente antes de alcanzar el asentamiento total de 164,32 mm, quedando el estrato inferior como el limitante o el crítico para este análisis. El problema ahora, se reduce a hallar el tiempo en que el estrato inferior de arcilla alcance una deformación igual a la diferencia de la deformación total requerida y la deformación total del estrato superior. El asentamiento del estrato B en el tiempo t requerido es S B(t)
= 164,32 – 84,4 = 79,92 mm
U B =
79,92 / 121 = 66,05%
Tv A =
(0,352)(20,68) = 7,3
Tv B
U A
Entonces el asentamiento total es:
= 0,352
= 100%
CUMPLE!
(de la Tabla E.1, Anexo E) (de la Tabla E.1, Anexo E)
(1,00)(84,4) + (0,66)(121) = 164,32 mm
Finalmente, el tiempo es:
t
Tv B ( H dr B ) Cv B
2
0,352(5) 2 0,432
t = 20,4 años
42
Capítulo 9 A sentamientos PROBLEMA 6 Se desea construir una zapata flexible sobre una arcilla saturada con las dimensiones que se muestran en la Figura 9.7. Considere que los parámetros de deformación de la arcilla son cc = 0,22, c s = 0,05. El índice de vacíos varia desde la superficie según la ecuación e = 0,80 – 0,05 H , donde H es la profundidad en metros, el límite inferior de e es 0,50. Asimismo se sabe que la presión de preconsolidación en la superficie es 170 kPa y disminuye según la siguiente ecuación: 2
pc = 170 – 8 H
a) Calcule la magnitud del asentamiento producida por una carga segura igual a 150 kPa. b) Calcule el coeficiente de consolidación promedio del estrato si el tiempo para que se produzca el 50% del inciso a) es 1 año.
Figura 9.8. Fundación. Solución. a) Calcule la magnitud del asentamiento producido por una carga segura.
La carga segura es una carga bruta al nivel de fundación, pero para el cálculo de los asentamientos necesitamos un incremento neto al nivel de fundación; por lo tanto para obtener este incremento, se puede proceder de la siguiente manera: qn
qn
q s
D f
150 (1,5)20 120 kPa
Los siguientes gráficos corresponden al esfuerzo efectivo inicial y carga de preconsolidación, y a el incremento de esfuerzos, respectivamente:
43
Problemas r esueltos de mecáni ca de suelos
0
1
152 Carga de preconsolidación
2
25
120
3
35
72
42 4
8
45
5
55 Esfuerzo efectivo inicial
6
65
0
1
120 2
79 3 37 27 4
de esfuerzos
20
5
6
Incremento
12
8
Figura 9.9. Trayectorias de esfuerzo.
A partir de una profundidad 5,5 m el incremento de esfuerzos se hace menor al 10% del incremento al nivel de fundación, por lo cual el análisis se realizará sólo hasta esta profundidad.
44
Capítulo 9 A sentamientos Cuando z = 4,0 se produce una intersección formada por las curvas de carga q, y carga de preconsolidación pc ( suponemos que los valores 40 y 42 son demasiado próximos); a partir de esta intersección la curva se encuentra a la izquierda de la curva q, lo cual no es posible en ninguna circunstancia debido a la concepto mismo de carga de preconsolidación, por lo cual se deduce que a partir de una profundidad igual a 5,5 m nos encontramos con una arcilla. Normalmente consolidada. Por el contrario, hasta una profundidad de 4,0 m la curva pc se encuentra a la derecha de la curva q, es decir para un punto dado pc > q, lo cual significa que estamos en presencia de una arcilla sobre consolidada.
En resumen:
1,5 z 4,0 4,0 z 5,5
SOBRECONSOLIDADA NORMALMENTE
CONSOLIDADA
A partir de estas conclusiones, podemos hacer el análisis tratando a nuestra arcilla como si se tratase de dos diferentes estratos. De esta manera, realizamos el cálculo del índice de vacíos, esfuerzo inicial e incremento promedio en el centro de cada estrato.
eo = 0,8 – (0,05)(2,75) = 0,6625 Arcilla sobre consolidada P c = 109,5 kPa 2,75 m 'o
pav
120 (4)(66) 27 6
68,5
= 27,5 kPa
kPa
4,0 m eo = 0,8 – (0,05)(4,75) = 0,5625
Arcilla normalmente consolidada 4,75 m
'o =
47,5 kPa pav
En la arcilla sobre consolidada S oed
c s H
1 eo
'o + ∆pav < P c, '
log
o
27 (4)(17) 12 6
17,83 kPa
por lo tanto el asentamiento estará dado por:
p av ' o
Para arcillas sobre consolidadas, el asentamiento total es igual al edométrico: S t S oed 40,8 mm
45
Problemas r esueltos de mecáni ca de suelos
De la misma manera: que será:
S oed
S oed
cc H 1 eo
'
log
o
pav ' o
(0,22)(1500)
47,25 17,83
29,36 mm 1 0,5625 47,25 En las arcillas normalmente consolidadas, el asentamiento total es el siguiente:
log
S t 1,1 S oed 32,3 mm Por último, el asentamiento total en la arcilla será: S total 40,8 32,3 Stotal = 73 mm
b) Calcule el coeficiente de consolidación promedio del estrato.
De la relación: t
T v H dr
2
cv
El valor de T v correspondiente al 50% de grado de consolidación es 0,197. 2
Tv H dr
(0,197)(4) 2
cv
c v
= 3,152 m2/año
t
1
46
Capítulo 9 A sentamientos PROBLEMA 7 Se ha realizado la exploración geotécnica de un sitio, la Figura 9.8 muestra el perfil de suelo encontrado y sus propiedades. Se va construir una zapata flexible y rectangular a 2 m de profundidad, con las dimensiones que se presentan en el esquema. Considere que la zapata a se construye en un instante de tiempo, en el que adicionalmente el nivel freático desciende al nivel de fundación y permanece en esa posición por tiempo indefinido. El peso unitario de la arena en la parte no saturada es el 90 % del valor en el sector saturado. Asimismo, considere que no existe asentamiento secundario en la arcilla y que el asentamiento inmediato es el 50% del total. Se pide: a) Determinar el asentamiento total de la zapata. b) Determinar el tiempo que toma para que se de el 50% del asentamiento total. P = 1500 kN
0.30x0.30m
E (MN/m2) 35
m 2
arena = 20 kN/m3 Dr = 60%
B= 2.0m L= 6.0m
m 3
muestra 1 45 m 3
arcilla = 19 kN/m3 muestra 2
E (MN/m2) 40
arena = 20 kN/m3
m 2
muestra 3
Figura 9.10. Zapata.
De la muestra 2: eo = P c =
Presión 2
c v(cm
/min)
0,75; cc = 0,2; c s =0,03 85 kPa ( método Casagrande)
25
50
100
200
400
800
0,0194
0,009
0,006
0,008
0,011
0,018
47
Problemas r esueltos de mecáni ca de suelos
Solución: a) Determinar el asentamiento total de la zapata.
En primera instancia calculamos el incremento de carga neta al nivel de fundación, que es la diferencia entre las cargas efectivas antes y después de la construcción. La carga inicial efectiva al nivel de fundación qo es la siguiente: qo = (2)(20 – 9,8) = 20,4 kPa
La fuerza total al nivel de fundación F t, después de la construcción, debe incluir el peso propio de la zapata y el peso del suelo, además de la carga transmitida por la columna. 2
2
1500 + (24)[(0,3)(2)(6)+(0,3) (1,7)] + (0,9)(20)[(2)(6) – 0,3 )](1,7) = 1954,52 kN F t = q
F t A
1954,52 (6)(2)
162,88 kPa
Por lo tanto: qn = q – qo = 162,88 – 20,4 = 142,48 kPa
Cálculo de asentamientos en la arena (Según Schmertmann)
El método de Schmertmann fue propuesto para zapatas axisimétricas y corridas (L / B >10), por lo cual en una zapata como la que se trata en este problema se debe realizar una interpolación de valores, entre valores obtenidos considerando a la zapata como cuadrada y los valores obtenidos considerándola corrida. Análisis como una zapata cuadrada Iz 0,5 (0,1)
0
q ´vp
´vp = 3(20 – 9,8)=30,6
Iz 0,5 (0,1)
1
0.418 2
C 1 1 (0,5)
0.1
0.716
142,48 30,6
vo
20,4 1 (0,5) =0,928 qn 142,48
C 2 = 1
C 3 1,03 0,03
3
4
0.477
0,716
L
0,73 B 6 C 3 1,03 (0,03) 0,94 2
5
0.239
6
48
Capítulo 9 A sentamientos
0,408 0,477 ( 1 ) (43)(10) 3 (2) (1000) (40)(10) 3
S 1 (0,928)(1)(0,94)(142,48) S 1 = 4,025 mm
Considerado como una zapata corrida
I zp 0,5 (0,1) 0
q ´vp
= 4(20 – 9,8) = 40,8 I zp = 0,687 Los coeficientes C 1, C 2, C 3, se mantienen constantes, 1° estrato vp
1
2
0.2
0.443
3
0.687 4 0.630 5
0.572
6
7
8 0.229 9
0.114
10
0,630 0,443 (2) (1) 44000 41000
S 2 (0,928)(1)(0,94)(142,48) S 2 = 4,465mm
2° estrato
0,11 4 (2) 40000
S 3 (0,928)(0,94)(1)(142,48) S 3 = 0,709mm
A partir de los valores obtenidos para los casos anteriores, se debe realizar la correspondiente interpolación para la zapata de 6m x 2m en análisis. Interpolando valores:
49
Problemas r esueltos de mecáni ca de suelos
4,465 4,025 (2) 4,123mm 9 2 S i (0,709) 0,158mm 9
1° estrato
S i 4,025
2° estrato
El asentamiento total en las arenas es la sumatoria de los asentamientos en los dos estratos de arena, será: Si arenas = 4,28 mm Cálculo de asentamientos en la arcilla:
La arcilla se encuentra a una profundidad de 5 m. y tiene un espesor de 3 m., en consecuencia el incremento promedio en el estrato se calcula de la siguiente manera: pt (5m)
= 49,60 pm (6,5m) = 29,03 p b (8m) = 18,53
pt 4 pm pb
pav
6
30,707
Po=(5)(20) + (1,5)(19) – (6,5)(9,8)=64,8kN/m2 Soed
S oed
C s H 1 eo
log
(0,03)(3) 1 0,75
P c P o
log
C c H 1 eo
85 64,8
log
P o P av
(0,2)(3) 1 0,75
P c
64,8 30,707 23,41mm 85
log
En arcillas sobre consolidadas: S t = S oed Finalmente, el asentamiento total en los estratos se obtiene de la sumatoria de los asentamientos correspondientes a la arena y la arcilla. ST = 23,41+ 4,28=27,70 mm
b) Determinar el tiempo que toma para que se de el 50% del asentamiento total.
El asentamiento total para un tiempo dado, estará en función del grado de consolidación que la arcilla haya alcanzado. S t (t) = S i Arcilla + S i arena +S c Arcilla (U %) Además sabemos que la arcilla tiene un 50% de asentamiento inmediato, por lo tanto el 50% restante será una sentamiento por consolidación. S c Arcilla = 0,5(St arcilla) y S i Arcilla = 0,5(St _ arcilla) 50
Capítulo 9 A sentamientos
Combinando las anteriores igualdades, para un tiempo cero: S t (0)
= S i = 0,5 S t_arcilla +S i arena + 0,5
S oed (0) =
0,5 S t_arcilla + S i arena
Como: 0,5 S t_arcilla + S i arena > S c Arcilla = 0,5 S t_arcilla Deducidos que el asentamiento inmediato supera el 50%.
51
Problemas r esueltos de mecáni ca de suelos
PROBLEMA 8 A continuación se presentan los resultados de un ensayo de consolidación practicados en una muestra obtenida en la parte media del estrato de arcilla mostrado en la Figura 9.9. Peso seco del espécimen = 116,74 g Altura del espécimen al inicio del ensayo = 25,4 mm Diámetro del espécimen = 63,5 mm G s = 2,72
0,00
Altura final de la muestra al final de la consolidación, mm 25,400
47,88
25,189
95,76
25,004
191,52
24,287
383,04
23,218
766,08
22,062
Presión kPa
Se pide: a) Determine la presión de preconsolidación. b) Determinar la curva de compresión en campo. c) Determinar los coeficientes de compresión y expansión. d) Calcular el tiempo que toma el estrato de arcilla el alcanzar 95% de consolidación, Asumir el valor de coeficiente de consolidación encontrado a partir de los siguientes datos: Altura del espécimen antes del ensayo: 25.4 mm Deformación de la muestra, mm 0,170 0,174 0,180 0,196 0,211 0,241 0,274 0,305 0,335 0,364 0,386 0,401 0,406 0,411 0,412
Tiempo, min 0,1 0,25 0,5 1 2 4 8 15 30 60 120 240 480 1440 1900
52
Capítulo 9 A sentamientos e) En caso de que el valor del coeficiente de consolidación en el inciso d) no sea asumido, indicar la forma correcta de obtenerlo.
3 Arena = 21 kN/m
4
8
3 Arena sat= 22 kN/m
4
3
Arcilla
3 = 20 kN/m
Arena
Figura 9.11. Características de los estratos de suelo. Solución .
Para poder obtener la carga de preconsolidación Casagrande sugirió un método gráfico basado en la curva e - log p obtenida en laboratorio. Por lo cual debemos encontrar, a partir de las alturas obtenidas en el ensayo de consolidación, la variación del índice de vacíos con las diferentes cargas. El cálculo del índice de vacíos se lo puede resumir de la siguiente manera:
1. Calcular la altura de sólidos, H s, en la muestra de sólidos: H s
W s
( A)(G s )( w )
13,55 mm
donde: W s: peso seco de la muestra. A: área de la muestra. G s: gravedad específica de los sólidos. w: peso unitario del
agua.
2. Calcular la altura inicial de vacíos, H v:
H v = H – H s = 11,85 mm
donde H : Altura inicial de la muestra,
3. Calcular el índice de vacíos inicial, eo, de la muestra:
53
Problemas r esueltos de mecáni ca de suelos
eo
H v H s
11,85 13,55
0,87 4
4. Para el primer incremento de carga, p 1, el cual provoca una deformación H 1, calcular el cambio en el índice de vacíos e1: e1
H 1
H 1 H s
0,0156
es obtenido de la diferencia entre lecturas inicial y final para la carga.
5. Calcular el nuevo índice de vacíos, e1, después de la consolidación causada por el incremento de presión p1: e1 = e0 – e1 = 0,8586
Para la siguiente presión p2, el nuevo índice de vacíos e2, puede ser calculado como:
e2 e1
H 2 H s
Donde H 2, es la deformación adicional causada por el incremento de presión.
Siguiendo este procedimiento, se puede encontrar la variación del índice de vacíos correspondiente a las diferentes presiones a las que se somete la muestra durante el ensayo, y por lo tanto la curva e - log p.
La siguiente tabla resume el cálculo efectuado para obtener la variación del índice de vacíos:
Presión,
h, mm
h
e
e
0,00
25,400
-
-
0,8742
47,88
25,189
0,211
0,0156
0,8586
95,76
25,004
0,185
0,0137
0,8450
191,52
24,287
0,717
0,0529
0,7921
383,04
23,218
1,069
0,0789
0,7132
766,08
22,062
1,156
0,0853
0,6279
kPa
54
Capítulo 9 A sentamientos Obtenida la curva de laboratorio sugerido por Casagrande:
e-
log p, pasamos a desarrollar el procedimiento
1. Por simple observación, establecer un punto a, en el cual la curva radio de curvatura mínimo.
e-
log p tiene un
2. A partir de este punto trazar una línea horizontal ab. 3. Dibujar una línea ac tangente a la curva en el punto a. 4. Dibujar la línea ad, la cual es bisectriz del ángulo bac. 5. Proyectar la parte recta gh de la curva hacia atrás hasta intersecar a la línea ad en el punto f. La abscisa del punto f es la carga de preconsolidación, p c.
0.9
a
b
0.85
f d
0.8 o í c a v e d e c i
g c
0.75
d n I
0.7
0.65
h 0.6 10
100
pc
1000
Presión, kPa
En el anterior gráfico podemos apreciar la carga de preconsolidación, en aproximadamente 138 kPa.
55
Problemas r esueltos de mecáni ca de suelos
b) El procedimiento para determinar la curva de compresión en campo depende de si el estrato se encuentra sobre consolidado o no, por lo tanto debemos verificar en que estado se encuentra nuestro estrato:
po
= 4(21) + 4(22 – 9,81) + 2(20 – 9,81) = 153,14 kPa
Se puede ver claramente que la carga p o, a la que está sometida la parte central del estrato es mayor a la carga de preconsolidación, cosa que teóricamente es imposible, por lo cual debemos asumir que se trata de una arcilla normalmente consolidada.
El procedimiento que se sigue en arcillas normalmente consolidadas es el siguiente:
- Determinar la carga de preconsolidación pc = po, Conociendo esta dibujar una línea vertical ab. - Calcular el índice de vacíos en campo , eo, Dibujar la línea horizontal cd. - Calcular 0,4 eo y dibujar la línea horizontal ef, ( Nota: f es el punto de intersección de la línea con la curva, o con la proyección lineal de esta,)
-
Unir los puntos f y g, Note que g es el punto de intersección de las líneas ab y cd. Esta es la curva de compresión virgen.
0.9000
eo = 0.8742
g
a
c
d
0.8000
0.7000 s o í c a v e d e c i
0.6000
d n I
0.5000
f 0.4000
e
0.4eo = 0.35
0.3000 10.00
100.00
153.14
1000.00
10000.00
Presión, kPa
56
Capítulo 9 A sentamientos c) Como nuestra arcilla es normalmente consolidada, solo contamos con un coeficiente de compresión, y no así con uno de expansión. Por otra parte, conocemos 2 puntos que pertenecen a la curva virgen de consolidación, el punto ( eo , po) y el punto de intersección de la proyección de la curva e - log p con la línea horizontal 0,4 eo, Tomando estos puntos para definir el coeficiente de compresión tenemos: 0,8742 0,35 e log po p log p o log7200 log153,14
C c
cc = 0,313
d) Para calcular el coeficiente de consolidación se dispone de varios métodos, de los cuales tomaremos el método del logaritmo del tiempo, el cual indica los siguientes pasos:
Extender las porciones rectas de las consolidaciones primaria y secundaria hasta intersecarlas en A. La ordenada de A es representada por d 100 - que es, la deformación en el fin de 100% de consolidación primaria.
Elegir dos tiempos t 1 y t 2, sobre la porción de la curva inicial tal que t 2 = 4t 1. De la gráfica se eligen: t 2 = 4, t 1 =1. Sea la diferencia de la deformación de la muestra durante el tiempo (t 2 – t 1) igual a x = 0,045. Trazar una línea horizontal DE tal que la distancia vertical BD sea igual a x = 0,045, La deformación correspondiente a la línea DE es d o ( que es, la deformación en 0% de consolidación).
La ordenada del punto F sobre la curva de consolidación representa la deformación a 50% de consolidación, y su abscisa representa el correspondiente tiempo (t 50).
Para un 50% de grado de consolidación T v = 0,197, entonces:
T 50
cv t 50 H
2
dr
ó
cv
0,197 H 2 dr t 50
(2,54 0,0412) (0,197) 2
2
(8)(60)
– 4
c v = 6,41(10
2
) cm /s
57
Problemas r esueltos de mecáni ca de suelos
donde H dr = distancia de drenaje promedio más larga durante la consolidación.
Figura 9.12. Gráfico deformación versus tiempo.
Obtenido ya el valor del coeficiente de consolidación, podemos hallar el tiempo para un 95 % de consolidación de la siguiente manera:
T 95
cv t 95
H
2
dr
de donde: t 95
H
2
dr T 95
cv
para un 95% de consolidación el factor
T 95 correspondiente es 1,129, por lo tanto:
2
t 95
400 (1,129) 2
t 95 =
(6,41)(10) 4
2,23 años 58
Capítulo 9 A sentamientos
e) Un buen valor de c v debe haber sido obtenido a partir de un ensayo en el que se ha sometido la muestra a un rango de cargas al cual pertenece la carga en análisis. En caso de no contar con un c v de estas características, se procede a ponderar el valor requerido en base a coeficientes obtenidos para otros rangos de cargas.
59
Problemas r esueltos de mecáni ca de suelos
PROBLEMA 9 Para la Figura 9.10, calcular el asentamiento total en el suelo (en el centro de la fundación). P = 4000 kN 0,4m x 0,4m
0 . 1 .
= 16 kN/m
Posición Inicial
2.
Arena
Posición Final
0,40m
3. B = 4m x L = 4m 2
4 .
E1 = 22 MN/m
Arena
2
5. 6 .
LEYENDA
Arena
= 20 3 kN/m
E2 = 40 MN/m
3
Fundación Flexible = Peso unitario C = Peso unitario del concreto 3 C = 24 kN/m B = Ancho de la zapata L = Largo de la zapata P = Carga puntual E = Módulo de elasticidad
2
E3 = 60 MN/m
7 . 8.
2
E4 = 15 MN/m
9 . 2
10.
E5 = 10 MN/m
Figura 9.13. Fundación en una excavación.
60
Capítulo 9 A sentamientos Solución . P = 4000 kN 0,4m x 0,4m
B = 3m x L = 6m
0 .
Arena
= 20 3 kN/m
1 .
= 16 kN/ m
Posición Inicial
3
2.
Arena
Posición Final
0.1
3.
0.2
0.4
Iz
0.6
0.260
z1 = 1
0.419
4 .
0.578
z2 = 1
z p
5. 6 .
z3 = 2
Arena
0.614
7 . 8.
0.369
z3 = 2
9 . 10.
z4 = 2
0.260
11.
z Figura 9.14. Esfuerzos bajo la fundación.
Se procede a calcular los factores de influencia para una zapata cuadrada que están mostradas en la grafica I zp
qn
0.5 0.1
'
v
0.5 0.1
0
271.5
16 x 2 19 9.8 x 2
0.737
Donde qn carga neta a nivel de fundación y vo esfuerzo efectivo inicial A continuación se calcula los factores por corrección que son los siguientes, ’
'
v0
C 1
1 0.5
C 2
1
C 3
1.03 0.03
qn
0.5 1 0.5
L
B
16 x 2 18 9.8 x1 27 1.5
0.92 6
1.00
61
Problemas r esueltos de mecáni ca de suelos
Entonces la ecuación de asentamiento inmediato es el siguiente; S i C 1C 2C 3 qn
I z z
E
Reemplazando valores calculados se tiene;
0.26 x1 0.578 x1 0.614 x2 0.369 x2 0.12 3x2 40 60 15 10 22
S i 0.92 6 x1 x1 x 271.5 x
S i 0.92 6 x27 1.5 x0.12 1 S i 30 mm
62
Capítulo 9 A sentamientos PROBLEMA 10 Para la Figura 9.11, se pide calcular: a) Carga neta b) Incremento de esfuerzos en el centro de la fundación, en función de la profundidad c) Asentamiento total en el centro de la fundación. d) Tiempo de consolidación total
LEYENDA P = 2900 kN 0,35m x 0,35m 0 .
1 .
Arcilla
2 .
= 18 kN/ m 3
3 .
0,40m B = 3m x L = 6m
4 .
5 .
cu = 59 kPa c' = 5 kPa ' = 30º
pc = 108 kPa eo = 0,8 cc = 0,23 cs = 0,08
6 .
7 .
Fundación Flexible P = Carga rápida = Peso unitario C = Peso unitario del concreto 3 C = 24 kN/m Pc = Presión de pre-consolidación Pc = Igual en todo el estrato B = Ancho de la zapata L = Largo de la zapata E = Módulo de elasticidad
Presión 0-5 25-50 50-100 100-200 200-400 400-800
Cv ( m^2/s) 5,0*10-9 -8 6,0*10 9,9*10-7 8,1*10-8 7,9*10-8 7,5*10-7
8 .
9 .
Estrato incompresible, impermeble y rugoso
Figura 9.10
Figura 9.15. Dimensiones de la fundación.
63
Problemas r esueltos de mecáni ca de suelos
Solución . P = 2900 kN 0,35m x 0,35m 0 .
1 .
Arcilla 3
3 20 kN/ KN/m m = 18
2 .
0,40m
3 .
B = 3m x L = 6m 4 .
cu = 59 kPa c' = 5 kPa ' = 30º
5 .
pc = 108 kPa eo = 0,8 cc = 0,23 cs = 0,08
6 .
7 .
8 .
Estrato incompresible, impermeble y rugoso
9 .
a) Carga neta
Como el nivel freático no varia, entonces la carga neta es, qn q ' q0' q q0
f
F
q
A
0 en este caso
;
q0 xD 20 x3 60 KPa
F 2900 24 x(3 x6 x0.4 0.35 x0.35 x2.6) 20 x(3 x6 0.35 x0.35) x2.6 4010.07 KPa KN q 222.78 3 m qn 162.79 KPa
64
Capítulo 9 A sentamientos b) Incremento de esfuerzo Opción 1 Boussinesq que asume las siguientes hipótesis del suelo P = 2900 kN
Hipótesis: Estrato de suelo Semi infinito Homogéneo Isotropito
0,35m x 0,35m 0.
1.
Arcilla = 20 kN/ m 3
2.
100
50
3.
150 200 162.78
4.
P [KPa]
Nota: No cumple especialmente con la Hipótesis de espacio semi infinito
148.60 cu = 59 kPa c' = 5 kPa ' = 30º
5.
110.75
93.17
6.
78.25
7.
55.87 40.98
8.
z [m]
9.
Figura 9.16. Incremento de esfuerzos verticales. Opción 2 Milovic & Tournier (Base rígida rugosa)
Utilizando esta opción se considera un estrato finito. Se procede a calcular el incremento de esfuerzos a diferentes profundidades, realizando interpolaciones para, H1 = 5 m
;
B=3m
;
L/B = 6/3 = 2
;
H 1/B = 5/3 = 1.667
A 1m
H 1 B H 1 B H 1 B
1
z
;
2
1.667
P
B ;
0.333
z B
0.333 z
q s
z
q s
0.94 2
z
q s
0.906
0.918
0.918 x162.78 149.43 KPa
65
Problemas r esueltos de mecáni ca de suelos
H 1
5
B 3 z 1
B L
B
3 6
1.667
0.333
3
2.00
A 2m
H 1 H 1 B z B L
5
3 2 3 6 3
B
1
B
1.66 7
H 1 H 1
2.00
;
1.667
B
0.667
B
2
B
0.66 7
z
;
z B
0.667 z
q s
z
q s z
q s
0.796 0.706
0.736
P 0.736 x162.78 119.81 KPa
A 3m
H 1 H 1
5
B 3 z 3
B L
3 6 3
B
1.66 7
B H 1 B
1.00
H 1 B
2.00
1
z
;
2
B z
;
1.667
B
H 1 H 1 B z B L B
5
3 4 3 6 3
B 1.66 7
1.33 3
2.00
H 1 B H 1 B
1
2
1.667
z
q s
z
;
1.00
P 92.13
A 4m
1.00
B
B
P 70.16
q s z
q s
0.638
0.530
0.566
KPa
1.333
z
;
z
1.333 z
q s
z
q s
0.478
z
q s
0.407
0.431
KPa
66
Capítulo 9 A sentamientos A 5m H 1 B z B L B
5
3
5 3 6 3
1.667
H 1 B
1.667
H 1 B
2.00
H 1 B
1
z
;
B
2
;
1.667
1.667
z B
1.667 z
P 52.25
q s
z
q s
0.318
z
q s
0.328
0.321
KPa
A continuación se calcula el incremento de esfuerzos promedio
P = 2900 kN 0,35m x 0,35m
P av
0.
1.
162.78 4 x106 52.52
Arcilla
50
3.
100
149.43 cu = 59 kPa c' = 5 kPa ' = 30º
119.81
6.
7.
8.
9.
150 200 162.78
P [KPa]
KPa
Hipótesis: = 0.3 Se puede interpolar y extrapolar. Considerando que el rango del coeficiente de poisson para una arcilla está entre 0.2 y 0.4 entonces se puede utilizar 0.3, que es un valor razonable.
4.
5.
P av 106.55
= 20 kN/ m 3
2.
6
90.13
70.16
106
Por lo tanto la opción 2 es la más adecuada
52.52 z [m]
Figura 9.17. Incremento de esfuerzos bajo la zapata. c) Asentamiento Total
Para calcular el asentamiento en el estrato de arcilla se tiene que calcular el índice de vacíos que corresponde al punto medio del estrato.
67
Problemas r esueltos de mecáni ca de suelos
e Cs
e1 eo ec
Cc
p1
pc
p0
log '
Figura 9.18. Trayectoria e versus log ´.
Entonces de la grafica e vs. log ’ para una arcilla sobre consolidada se puede observar que utilizando la ecuación de la pendiente c s (índice de expansión), se calcula el nuevo índice de vacíos a la profundidad que deseamos . Esfuerzo efectivo inicial a la profundad que se estrajo la muestra
p1 4 x20 9.8 40.8
KPa
El esfuerzo efectivo inicial en la parte central del estrato de arcilla p0 5.5 x20 9.8 26.1
KPa
La ecuación de la pendiente c s (índice de expansión) es, c s
e1 e0
p0 p 1
log
Despejando índice de vacíos inicial se tiene,
p e0 e1 c s log 0 p1 68
Capítulo 9 A sentamientos Reemplazando valores se obtiene;
56.1 40.8
e0 0.800 0.08 x log e0 0.789 p0 pc
Arcilla S.C
Como se trata de una arcilla sobre consolidada se tiene que sumar el incremento de esfuerzo efectivo promedio para saber que ecuación utilizar. p0 p 56.1 106.55 162.65
KPa
La ecuación para calcular asentamiento de consolidación del edometro es:
S oed
c s H 1 e0
log
pc p0
cc H 1 e0
log
p0 p pc
Reemplazando valores se tiene;
S oed
0.08 x5 x103 56.1 106.55 108 0.23 x5x103 log log 1.789 1.789 108 56.1
S oed 63.6 114.3 177.9 Para calcular el asentamiento total se debe utilizar el criterio de burland que dice. Para una arcilla sobre consolidada el asentamiento total es igual al asentamiento del edometro, entonces se tiene; Arcilla rígida
S T S oed 178
mm
Nota: Si alguien supone que la arcilla es blanda
S T 1.1 x177.9 196 mm , lo cual es también correcto d) Tiempo de consolidación 0
50
100
200 162.78
0. 1. 2. Hdr =5 m
r p
3.
162.78 3.10 52.52
4. 5.
52.52
U 100 % T v 1.2
Figura 9.19. Tiempo de consolidación 69
Problemas r esueltos de mecáni ca de suelos
Incremento de esfuerzo de 56.1 a 162.65 Los coeficientes de consolidación están ubicados en dos rangos
cv
50 100
9.9 x10
7
m2 ; cv seg
100 200
8 m
8.1 x10 seg 2
Obteniendo la media ponderada, se pude obtener un coeficiente de consolidación aceptable
43.9
62.65
7 8 9.9 x10 8.1 x10 cv 10 6.55 10 6.55
cv 4.55 5 x10
7
m2 seg
Despejando tiempo de consolidación se tiene; T v
cv t
t
2 H dr
2 T v H dr
cv
Reemplazando valores se tiene. 1.2 x5
t
t
t
76 2
t
2.09
2
4.55 5 x10
18294.9
7
65861690
seg
hr
días años
70
Capítulo 9 A sentamientos
PROBLEMA 11 Demostrar la ecuación de la teoría de consolidación de Terzagui. u t
cv
2
u 2
z
Donde: u = exceso de presión de poros causado por el incremento de esfuerzos, t = tiempo, cv = coeficiente de consolidación, z = distancia de la parte superior del estrato al punto en consideración.
Solución .
En un perfil de suelo se considera un elemento diferencial en el punto A :
Arena
A
Arcilla
En donde se tiene el caudal de entrada y salida en el elemento diferencial v Q f v z z dz dx dy z
dz
Arena
Figura 9.20. Característica del perfil de suelo.
dy
dx v z dxdy Qi Figura 9.21. Elemento diferencial.
El cambio del caudal está definido a continuación como la razón entre el cambio de volumen y el cambio del tiempo en la dirección del eje z.
Q
V t
El caudal también puede ser definido como el producto de la velocidad por el área, entonces tenemos;ç
v V v z z dz dxdy v z dx dy z t 71
Problemas r esueltos de mecáni ca de suelos
Donde: Área en la dirección z; A dxdy Velocidad de entrada del flujo en la dirección z; v z Velocidad de salida del flujo en la dirección z; v z
v z z
dz
Realizando operaciones aritméticas se tiene la siguiente expresión; v z dxdy
v z z
dz dx dy v z dxdy
Simplificando la expresión se tiene lo siguiente; v z z
dxdydz
V
V t
(1)
t
La ley de Darcy dice que la velocidad ( v ) es igual al producto de el gradiente hidráulico (k) por el coeficiente de permeabilidad ( i ); v z ki En la base del elemento diferencial A, el gradiente hidráulico esta definido como i z
h z
El exceso de presión de poros ( u ) ocasionado por el incremento de esfuerzos, es igual al producto de la altura piezométrica ( h ) por el peso unitario del agua constante ( w ), despejando se tiene; h p
v z k i
v z
u
, entonces desarrollando las ecuaciones se obtendrá;
w
k
h p
z
k u w z
k u
(2)
w z
Reemplazando la ecuación (2) en (1), y despejando se obtiene (2) en (1)
k
2
u 2
w z
1
V
dx dy dz t
(3)
Durante la consolidación, la razón de cambio de volumen del elemento del suelo es igual a la razón de cambio en el volumen de vacíos V t
V v t
72
Capítulo 9 A sentamientos Además se sabe que el volumen total es igual a la sumatoria del volumen de sólidos del suelo y el volumen de vacíos V V s V v El índice de vacíos esta definido como la razón de el volumen de vacíos y el volumen de V v
sólidos del suelo e
V s
, despejando se tiene V v eV s
Reemplazando y realizando operaciones aritméticas se tiene, V
V v
t
V s eV s
t
t
V s t
V s
e t
e
V s t
(4)
Suponiendo que los sólidos del suelo son incompresibles, Se asume
V s t
0
(5)
Además el volumen ( V )del elemento diferencial A es igual a dxdy dz y el volumen de V
sólidos ( Vs) es igual a
V s
1 e0
V
reemplazando se tiene;
dx dy dz
1 e0
(6)
1 e0
La ecuación (5) y (6) se reemplaza en (4) para obtener la siguiente expresión;
V
dx dy dz e 1 e0
t
t
(7)
Se define
av
e
p'
El cambio de la relación de vacíos es causado por el incremento en el esfuerzo efectivo (es decir, el incremento de la presión de poro del agua en exceso). Suponiendo que esos valores están linealmente relacionados, se tiene
como
p u
'
e av av u
(8)
donde
'
av
= cambio de presión efectiva
= Coeficiente de compresibilidad ( av se considera constante para un rango estrecho de
incremento de la presión) 73
Problemas r esueltos de mecáni ca de suelos
Combinando las ecuaciones (8) y (7) se tiene 2
k u
2
av
u
1 e0
t
w z
(9)
Se define: mv
donde
m
v
av
(10)
1 e0
= Coeficiente de compresibilidad del volumen
Reemplazando la ecuación (10) en (9) se tiene 2
k u 2
w z
mv
u
(11)
t
Se define el coeficiente de consolidación como: cv
k
(12)
w mv
Entonces combinando las ecuaciones (12) en (11) se obtendrá la ecuación diferencial básica de la teoría de consolidación de Terzaghi u t
2
cv
u 2
z
Esta ecuación se puede resolver con las siguientes condiciones de borde: z 0 ,
z 2 H dr
t 0 ,
u0
,
u0
u u0
74
Capítulo 9 A sentamientos PROBLEMA 12 Demostrar la siguiente ecuación: S
c s H
1 e0
log
pc p0
cc H
1 e0
log
po
p
pc
Donde Sc = asentamiento de consolidación a partir del ensayo del edómetro, Cs = coeficiente de expansión, eo = índice de vacíos inicial, pc = presión de preconsolidación, po =presión efectiva antes de la carga, H = espesor del estrato, p pr = incremento de carga promedio en el estrato
Solución Se considera un estrato de arcilla saturada de espesor H y área de la sección transversal A bajo una presión de sobrecarga efectiva promedio. Debido a un incremento de presión , sea el asentamiento primario igual a S. Al final de la consolidación, = ’. Entonces. El cambio de volumen es
Figura 9.22. Variación del volumen en el asentamiento. V V 0 V 1 H A
H S A S A
1
Donde V0 y V1 son los volúmenes inicial y final, respectivamente. Sin embargo, el cambio en el volumen total es igual al cambio en el volumen de vacíos Vv. por lo tanto el cambio de volumen solo se da en los vacíos. Entonces,
2
V V v V
S A V v 0
V v1 V v
75
Problemas r esueltos de mecáni ca de suelos
Donde Vv0 y Vv1 son los volúmenes de vacíos inicial y final, respectivamente. De la definición de relación de índice de vacíos. Despejando se tiene
e
V v
e
V s
V v
V s
3
V v eV s
Además: e0
V v 0
V 0
V s
V s
V 0
V s
V s
1
Donde e0 es la relación de vacíos inicial en el volumen V 0, despejando volumen de sólidos se tiene e0
1
V 0
V s
V s
V 0
1 e0
4
Entonces reemplazando la ecuación (4) en (3) y (2) en (1), se obtiene e
V 0
1 e0
S A
Despajando asentamiento se tiene S
e
1 e0
5
H
H = Altura inicial del estrato a comprimirse En las arcillas sobre consolidadas, para ’0 + ’ ’c la variación de índice de vacíos y logaritmo de esfuerzo efectivo e-log( ’) esta definida por do s pendientes. La pendiente de la curva de expansión c s se denomina índice de expansión, por lo que se tiene e c s
log pc log p0
Desarrollando y despejando índice de expansión c s
e1
log
pc po
e0
ec
log
pc p0
76