MEDIDAS DE ASIMETRÍA Y CURTOSIS EMPLEANDO EXCEL 1) ASIMETRÍA Es una medida de forma de una distribución que permite identificar y describir la manera como los datos tiende a reunirse de acuerdo con la frecuencia f recuencia con que se hallen dentro de la distribución. distribució n. Permite identificar las características de la distribución de datos sin necesidad de generar el gráfico.
1.1) TIPOS DE ASIMETRÍA La asimetría presenta las siguientes formas:
1.1.1) Asimetría Negativa o a la Izquierda Se da cuando en una distribución la minoría de los datos está en la parte izquierda de la media. Este tipo de distribución presenta un alargamiento o sesgo hacia la izquierda, es decir, la distribución de los datos tiene a la izquierda una cola más larga que a la derecha. También se dice que una distribución es simétrica a la izquierda o tiene sesgo negativo cuando el valor de la media aritmética es menor que la mediana y éste valor de la mediana a su vez es menor que la moda, en símbolos .
̅
Nota: Sesgo es el grado de asimetría de una distribución, es decir, cuánto se aparta de la simetría. 1.1.2) Simétrica Se da cuando en una distribución se distribuyen aproximadamente la misma cantidad de los datos a ambos lados de la media aritmética. No tiene alargamiento o sesgo. Se representa por una curva normal en forma de campana llamada campana de Gauss (matemático Alemán 1777-1855) o también conocida como de Laplace (1749-1827).También se dice que una distribución es simétrica cuando su media aritmética, su mediana y su moda son iguales, en símbolos
̅
1.1.3) Asimetría Positiva o a la Derecha Se da cuando en una distribución la minoría de los lo s datos está en la parte derecha de la media m edia aritmética. Este tipo de distribución presenta un alargamiento o sesgo hacia la derecha, es decir, la distribución de los datos tiene a la derecha una cola más larga que a la izquierda. También se dice que una distribución es simétrica a la derecha o tiene sesgo positivo cuando el valor de la media aritmética es mayor que la mediana y éste a valor de la mediana a su vez es mayor que la moda, en símbolos .
̅
1.2) MEDIDAS DE ASIMETRÍA 1.2.1) Coeficiente de Karl Pearson
̅
Donde: = media aritmética. Md = Mediana. s = desviación típica o estándar.
̅
Nota: El Coeficiente de Pearson varía entre -3 y 3 Si As < 0 → la distribución será asimétrica negativa. Si As = 0 → la distribución será simétrica. Si As > 0 → la distribución será asimétrica positiva. 1.2.2) Medida de Yule Bowley o Medida Cuartílica
Donde: = Cuartil uno;
= Cuartil dos = Mediana;
Nota: La Medida de Bowley varía entre -1 y 1
= Cuartil tres.
Si As < 0 → la distribución será asimétrica negativa. Si As = 0 → la distribución será simétrica. Si As > 0 → la distribución será asimétrica positiva.
1.2.3) Medida de Fisher
̅ ∑ ̅ ∑ ̅ ∑
Para datos sin agrupar se emplea la siguiente fórmula:
Para datos agrupados en tablas de frecuencias se emplea la siguiente fórmula:
Para datos agrupados en intervalos se emplea la siguiente fórmula: Donde: = cada uno de los valores n = número de datos = media aritmética f = frecuencia absoluta = cubo de la desviación estándar poblacional xm = marca de clase
Nota: Si As < 0 →Indica que existe presencia de la minoría de datos en la
parte izquierda de la media, aunque en algunos casos no necesariamente indicará que la distribución sea asimétrica negativa Si As = 0 → la dist ribución será simétrica Si As > 0 → Indica que existe presencia de la minoría de datos en la parte derecha de la media, aunque en algunos casos no necesariamente indicará que la distribución sea asimétrica positiva
Ejemplo ilustrativo: Calcular el Coeficiente de Pearson, Medida Cuartílica y la Medida de Fisher dada la siguiente distribución: 6, 9, 9, 12, 12, 12, 15 y 17 Solución: Calculando la media aritmética se obtiene:
̅ ∑ Para calcular los cuartiles se ordena los datos de menor a mayor 6
9
9
12 12 12 15 17
[] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] Calculando el cuartil uno se obtiene:
Calculando el cuartil dos se obtiene:
Calculando el cuartil tres se obtiene:
Calculando la desviación estándar muestral se obtiene:
∑ √
√
Calculando el Coeficiente de Pearson se obtiene:
̅ Calculando la Medida de Bowley se obtiene
Calculando la desviación estándar poblacional se obtiene:
∑ √
√
Calculando la Medida de Fisher se obtiene Datos 6 9 9 12 12 12 15 17 Total
̅ ∑
-166,375 -15,625 -15,625 0,125 0,125 0,125 42,875 166,375 12
Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:
Nota: El COEFICIENTE.ASIMETRIA(A2:A9) es un valor que tiene consideraciones semejantes a la Medida de Fisher TAREA DE INTERAPRENDIZAJE 1) Realice un organizador gráfico sobre la asimetría. 2) Consulte y realice un organizador gráfico para cada una de las biografías de Gauss, Laplace, Pearson, Bowley y Fisher. 3) Calcule empleando las fórmulas y mediante Excel el Coeficiente de Pearson, Medida de Bowley y la Medida de Fisher dadas las siguientes distribuciones. 3.1) 4, 4, 8, 14, 14, 16, 18 y 20 -0,85; -0,45; -0,31 3.1) 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 y 20 0 4) Cree y resuelva un ejercicio para el cálculo del Coeficiente de Pearson, Medida de Bowley y la Medida de Fisher para datos agrupados en tablas de frecuencias, y otro ejercicio para datos agrupados en intervalos. Emplee los conocimientos adquiridos en los anteriores capítulos.
2) CURTOSIS O APUNTAMIENTO La curtosis mide el grado de agudeza o achatamiento de una distribución con relación a la distribución normal, es decir, mide cuán puntiaguda es una distribución.
2.1) TIPOS DE CURTOSIS La curtosis determina el grado de concentración que presentan los valores en la región central de la distribución. Así puede ser:
2.1.2) Leptocúrtica.- Existe una gran concentración. 2.1.3) Mesocúrtica.- Existe una concentración normal. 2.1.4) Platicúrtica.- Existe una baja concentración.
2.2) MEDIDAS DE CURTOSIS 2.2.1) Medida de Fisher
̅ ∑ ̅ ∑ ̅ ∑
Para datos sin agrupar se emplea la siguiente fórmula:
Para datos agrupados en tablas de frecuencias se emplea la siguiente fórmula:
Para datos agrupados en intervalos se emplea la siguiente fórmula: Donde: = cada uno de los valores = número de datos = media aritmética = Cuádruplo de la desviación estándar poblacional = frecuencia absoluta = marca de clase
̅
Nota: Si α < 3 → la distribución es platicúrtica Si α = 3 → la distribución es normal o mesocúrtica Si α > 3 → la distribución es leptocúrtica
2.2.2) Medida basada en Cuartiles y Percentiles
(letra griega minúscula kappa) = Coeficiente percentil de curtosis
Nota: Si < 0,263 → la distribución es platicúrtica Si = 0,263 → la distribución es normal o mesocúrtica Si > 0,263 → la distribución es leptocúrtica
Esta medida no es muy utilizada.
Ejemplo ilustrativo: Determinar qué tipo de curtosis tiene la siguiente distribución: 6, 9, 9, 12, 12, 12, 15 y 17. Emplear la medida de Fisher y el coeficiente percentil de curtosis. Solución:
̅ ∑ Calculando la media aritmética se obtiene
Calculando la desviación estándar poblacional se obtiene:
∑ √
√
Calculando la Medida de Fisher se obtiene: Datos 6 9 9 12 12 12 15 17 Total
∑
̅
915,0625 39,0625 39,0625 0,0625 0,0625 0,0625 150,0625 915,0625 2058,5
Para calcular los cuartiles y percentiles se ordena los datos de menor a mayor: 6
9
9
12 12 12 15 17
[] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] Calculando el cuartil uno se obtiene:
Calculando el cuartil tres se obtiene:
Calculando el percentil 90 se tiene:
Calculando el percentil 10 se tiene:
Calculando el coeficiente percentil de curtosis se obtiene:
Como α= 2,23 y
, la distribución es platicúrtica
Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:
TAREA DE INTERAPRENDIZAJE 1) Realice un organizador gráfico sobre la curtosis. 2) Cree y resuelva un ejercicio similar al presentado para el cálculo de las medidas de curtosis con datos sin agrupar. 3) Resuelva el ejercicio anterior empleando Excel. 4) Cree y resuelva un ejercicio para el cálculo de las medidas de curtosis con datos agrupados en tablas de frecuencia, y otro ejercicio con datos agrupados en intervalos. Emplee los conocimientos adquiridos en los anteriores capítulos
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS SUÁREZ, Mario, (2012), Interaprendizaje de Estadística Básica, Universidad Técnica del Norte TAPIA, Fausto
Ibarra, Ecuador.
