astronomia curs

Lect¸ii de Astronomie

Cuprins Cuprins

i

1 Astronomia sferic˘ a

3

1.1

Sfera cereasc˘a: Rotat¸ia, punctele, planele ¸si liniile ei fundamentale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Sfera cereasc˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Pozit¸ia reciproc˘a a cercurilor ¸si punctelor sferei cere¸sti . . . .

5

Coordonate cere¸sti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Sistemul de coordonate orizontale . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2

Sistemul de coordonate orare (semilocale) . . . . . . . . . . .

6

1.2.3

Coordonatele ecuatoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Relat¸iile dintre coordonatele geografice ¸si cele cere¸sti ˆın cazul trecerilor la meridianul ceresc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4

Mi¸scarea Soarelui pe ecliptic˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5

Sistemul de coordonate ecliptice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6

Coordonate galactice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7

Transformarea coordonatelor cere¸sti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2

1.3

2 Problema celor dou˘ a corpuri

15

2.1

Legile mi¸sc˘arii ale lui Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2

Legea atract¸iei universale a lui Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3

Problema celor n corpuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4

Problema celor dou˘a corpuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 i

ii

CUPRINS 2.5

Teorema lui Newton privind atract¸ia unei sfere omogene . . . . . . . 22

2.6

Solut¸ia analitic˘a a problemei celor dou˘a corpuri . . . . . . . . . . . . 25

3 Legile lui Kepler

33

3.1

Prima lege a lui Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2

A doua lege a lui Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3

A treia lege a lui Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4

Determinarea masei planetare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Metode de calcul ˆın astrodinamic˘ a

41

4.1

Vectorii de pozit¸ie ¸si vitez˘a ˆın integralele mi¸sc˘arii . . . . . . . . . . . 41

4.2

Vectorii de pozit¸ie ¸si vitez˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3

Vectorii de pozit¸ie ¸si vitez˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.4

Elemente orbitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.5

Alte sisteme de elemente orbitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.5.1

Elementele lui Delaunay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.5.2

Elementele lui Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5 Funct¸iile astrodinamice fundamentale

55

5.1

Determinarea funct¸iilor f ¸si g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2

Funct¸iile f ¸si g - ˆın funct¸ie de anomalia adev˘arat˘a . . . . . . . . . . . 60

5.3

Funct¸iile f ¸si g ˆın funct¸ie de anomalia excentric˘a . . . . . . . . . . . . 63

5.4

Funct¸iile f ¸si g - ˆın funct¸ie de variabilele universale . . . . . . . . . . 68

5.5

Funct¸iile f ¸si g ˆın funct¸ie de timp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6 P˘ amˆ antul − corp ceresc 6.1

79

Cele trei latitudini geografice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.2

Variat¸ia fort¸ei de gravitat¸ie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.3

M˘asurarea masei ¸si densit˘a¸tii medii a P˘amântului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.4

Structura P˘amântului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

CUPRINS 6.5

iii

Mi¸sc˘arile P˘amântului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7 Fenomene care modific˘ a pozit¸ia a¸strilor pe cer

89

7.1

Refract¸ia astronomic˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.2

Aberat¸ia luminii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.3

7.2.1

Fenomenul aberat¸iei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.2.2

Aberat¸ia Soarelui, planetelor ¸si a cometelor . . . . . . . . . . . 92

Paralaxe diurne ¸si anuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 7.3.1

Paralaxa diurn˘a ¸si determinarea distant¸elor ˆın sistemul solar . 93

7.3.2

Paralaxa anual˘a ¸si determinarea distant¸elor stelare . . . . . . 95

7.3.3

Paralaxa secular˘a a stelelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.4

Precesia ¸si nutat¸ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.5

Mi¸sc˘arile proprii ale stelelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.6

Problemele astronomiei fundamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8 Timpul ¸si m˘ asurarea lui

103

8.1

Considerat¸ii generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

8.2

Timpul astrodinamic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 8.2.1

Timpul terestru: timpul sideral ¸si timpul solar . . . . . . . . . 104

8.2.2

Diverse sisteme de m˘asur˘a a timpului . . . . . . . . . . . . . . 108

8.2.3

Timpul efemeridelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.3

Timpul fizic: timpul atomic internat¸ional . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.4

Unit˘a¸tile fundamentale de timp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.5

Calendarul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9 Teoria perturbat¸iilor 9.1

Teoria perturbat¸iilor. Preliminarii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 9.1.1

9.2

Exemplu - Oscilatorul Armonic . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Metoda lui Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 9.2.1

9.3

119

Exemplu - Oscilatorul Armonic . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Variat¸ia parametrilor Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

CUPRINS 9.3.1

1 Exemplu - Oscilatorul Armonic . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

9.4

Integralele de mi¸scare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

9.5

Interpretarea lui

9.6

Problema perturbat˘a a celor dou˘a corpuri . . . . . . . . . . . . . . . 130

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

9.6.1

Energia ¸si semi-axa mare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.6.2 9.6.3

Momentul cinetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Înclinat¸ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.6.4

Unghiul nodal Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

9.6.5

Vectorul lui Laplace

Bibliografie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 139

2

CUPRINS

Capitolul 1 Astronomia sferic˘ a 1.1

Sfera cereasc˘ a: Rotat¸ia, punctele, planele ¸si liniile ei fundamentale.

1.1.1

Sfera cereasc˘ a

Se nume¸ste sfer˘ a cereasc˘a o sfer˘a imaginar˘a, cu raza arbitrar˘a, având centrul ˆıntr-un punct arbitrar al spat¸iului, pe a c˘arei suprafat¸˘a se trec pozit¸iile a¸strilor a¸sa cum se v˘ad ei pe cer, la un moment dat, din punctul considerat al spat¸iului. Este comod s˘a consider˘am drept centru al sferei cere¸sti ochiul observatorului (O). În acest caz, fiec˘arei drepte care porne¸ste de la ochi spre astrul de pe cer ˆıi corespunde un anumit punct (σ: proiect¸ia acestui astru pe sfera cereasc˘a). Pozit¸ia aparent˘a relativ˘a a a¸strilor o determin˘am cu ajutorul arcelor de cerc mare de pe sfera cereasc˘a dintre proiect¸iile a¸strilor sau cu ajutorul unghiurilor dintre direct¸iile a¸strilor. Rotat¸ia sferei cere¸sti, conform definit¸iei, este analoag˘ a cu rotat¸ia diurn˘a a cerului. Privind Figura 1.1 identific˘am: P P 0 → se nume¸ste axa lumii ¸si este diametrul ce une¸ste cei doi poli (P → Polul Nord, P 0 → Polul Sud). Axa de rotat¸ie a sferei cere¸sti (topocentrice) este paralel˘a cu axa de rotat¸ie a P˘amantului ( ˆın cazul sferei cere¸sti geocentrice cele dou˘a axe coincid). ZZ 0 → se nume¸ste verticala locului ¸si reprezint˘a direct¸ia firului cu plumb ˆıntrun loc dat (Z → zenit, Z 0 → nadir). Planul dus prin centrul sferei cere¸sti perpendicular pe verticala locului este planul orizontal. El taie sfera cereasc˘a dup˘a un cerc mare numit orizont matematic 3

˘ CAPITOLUL 1. ASTRONOMIA SFERICA

4

Meridian Ceresc

s Z P Parallel ceresc s

s Q

E

Ecuator ceresc

O

N

Orizont matematic

V

Q

P Z

Figura 1.1: Sfera cereasc˘ a

sau orizontul ”adev˘arat” (N ESV ). Planul dus prin centrul sferei cere¸sti perpendicular pe axa lumii se nume¸ste planul ecuatorului ceresc. El taie sfera cereasc˘a dup˘a un cerc mare numit ecuatorul ceresc (QV Q0 E), care ˆımparte sfera cereasc˘a ˆın dou˘a emisfere: emisfera boreal˘a (nordic˘a) ¸si emisfera austral˘a (sudic˘a). Orizontul matematic ¸si ecuatorul ceresc (topocentric) se intersecteaz˘a ˆın dou˘a puncte care sunt punctele cardinale E (est) ¸si V (vest). Cele dou˘a drepte, axa lumii ¸si verticala locului, determin˘a un plan numit planul meridian al locului. El taie sfera cereasc˘a dup˘a un cerc mare numit meridian ceresc (P ZQSP 0 Z 0 Q0 N ), iar planul orizontului dup˘a o linie numit˘a meridiana locului (N S). Meridiana locului taie orizontul ˆın dou˘a puncte: cel mai apropiat de Polul Nord este punctul nord (N ) iar diametral opusul lui este punctul sud (S). Pe orizont, la mijloc ˆıntre cele dou˘a puncte - ˆın dreapta observatorului ˆıntors cu fat¸a spre Polul Nord - este punctul est (E) ¸si diametral opus lui punctul vest (V ). Deci meridianul serve¸ste pentru orientarea ˆıntr-un punct dat de pe P˘amânt. Orice plan dus prin verticala locului se nume¸ste plan vertical ¸si taie sfera cereasc˘a dup˘a un cerc mare numit vertical. Planul vertical perpendicular pe planul meridian al locului determin˘a primul vertical. În mi¸scarea diurn˘a, fiecare stea (σ) descrie câte un cerc mic, paralel cu ecuatorul ceresc, numit paralel ceresc. Paralelul ceresc are cu meridianul ceresc dou˘a puncte comune numite culminat¸ii. În culminat¸ia superioar˘ a (σ 0 ) steaua atinge ˆın˘alt¸imea cea mai mare deasupra orizontului, iar ˆın culminat¸ia inferioar˘ a (σ 00 ) steaua atinge ˆın˘alt¸imea cea mai mic˘a deasupra orizontului. Stelele la care vedem ambele culminat¸ii au ˆıntreg paralelul ceresc deasupra orizontului - acestea sunt stele circumpolare; alte stele r˘asar, culmineaz˘a ¸si apun - stelele cu r˘as˘ arit ¸si apus.

1.2. COORDONATE CERES¸TI

1.1.2

5

Pozit¸ia reciproc˘ a a cercurilor ¸si punctelor sferei cere¸sti

Pozit¸ia reciproc˘a a cercurilor ¸si punctelor sferei cere¸sti, care au fost definite mai sus, depinde de direct¸ia verticalei locului, adic˘a de pozit¸ia observatorului pe suprafat¸a P˘amântului (orientarea axei lumii fiind aceea¸si pentru toate punctele suprafet¸ei terestre). Aceast˘a dependent¸˘a se traduce prin urm˘atoarea relat¸ie fundamental˘a a latitudinii astronomice:” În˘alt¸imea Polului Ceresc deasupra orizontului unui loc de pe suprafat¸a P˘amântului este egal˘a cu latitudinea astronomic˘a a acestui loc”. În cazul P˘amântului sferic, latitudinea astronomic˘a este aceea¸si cu latitudinea geografic˘a - una din coordonatele geografice care determin˘a pozit¸ia unui punct pe suprafat¸a P˘amântului (Figura 1.2). p

G

q

j

Ecuator terestru

Parallel geografic

O

q

L O

G

Meridian Geografic

p

Figura 1.2: Coordonate geografice Latitudinea geografic˘ a (ϕ) a unui loc este unghiul format de planul ecuatorului 0 terestru (qq ) cu verticala locului (T O). A doua coordonat˘a pentru determinarea locului observatorului este unghiul format de meridianul init¸ial ( meridianul Greenwich) cu meridianul locului, unghi numit longitudine geografic˘ a (L). Ea este vestic˘a sau estic˘a, dup˘a cum se m˘asoar˘a spre vest, respectiv spre est, de la meridianul init¸ial; printr-o convent¸ie, longitudinea estic˘a se consider˘a pozitiv˘a, iar cea vestic˘a negativ˘a.

1.2 1.2.1

Coordonate cere¸sti Sistemul de coordonate orizontale

Pentru fiecare sistem de coordonate consider˘am un plan, numit fundamental, care taie sfera cereasc˘a dup˘a un cerc mare (fundamental), ¸si o ax˘a fundamental˘a perpendicular˘a pe planul fundamental ˆın centrul sferei cere¸sti.


6

În sistemul de coordonate orizontale (locale sau zenitale), planul fundamental este planul orizontului matematic (N ESV ), iar axa fundamental˘a este verticala locului (OZ). Coordonatele orizontale ale unui astru σ sunt (Figura 1.3): Z P

Z

s E N

h

O V

S

s

A

Figura 1.3: Sistemul de coordonate orizontale - ˆın˘ alt¸imea deasupra orizontului (h): unghiul format de direct¸ia spre astru cu planul orizontului; se m˘asoar˘a cu arcul cercului vertical al astrului, de la orizont spre astru. Adesea, ˆın locul ˆın˘alt¸imii se utilizeaz˘a complementul ei, z = 900 − h, numit distant¸˘ a zenital˘a : unghiul format de verticala locului cu raza vizual˘a spre astru. Cercul mic al sferei cere¸sti ce trece prin astrul σ ¸si al c˘arui plan este paralel cu planul orizontului matematic se nume¸ste almuncantaratul astrului. - azimutul (A): unghiul diedru format de planul meridianului ceresc cu planul vertical al astrului. Se m˘asoar˘a cu arcul orizontului matematic cuprins ˆıntre punctul sud (S) ¸si punctul de intersectie (σ 0 ) a cercului vertical al astrului cu orizontul matematic (00 − 3600 ). Azimutul socotit de la punctul S se nume¸ste azimut astronomic, iar cel care se m˘asoar˘a de la punctul N ˆın acela¸si sens retrograd se nume¸ste azimut geodezic. Coordonatele orizontale se determin˘a cu ajutorul teodolitului sau instrumentului universal.

1.2.2

Sistemul de coordonate orare (semilocale)

Planul fundamental ˆın acest sistem este planul ecuatorului ceresc (QV Q0 E), iar axa fundamental˘a este axa lumii (P P 0 ). Planul definit de axa lumii ¸si astru se nume¸ste planul orar al astrului; el taie sfera cereasc˘a dup˘a un cerc mare numit cercul orar al astrului (sau cercul de declinat¸ie). Coordonatele orare ale unui astru σ sunt (Figura 1.4): - declinatia (δ): unghiul format de raza corespunz˘atoare astrului cu planul ecuatorului ceresc; se m˘asoar˘a prin arcul de cerc orar de la ecuatorul ceresc la astru

1.2. COORDONATE CERES¸TI

7 P z

s d E O

Q

H

Q

g V

a

s

P

Figura 1.4: Coordonate orare ¸si ecuatoriale ( 00 − ±900 ). Uneori, ˆın locul declinat¸iei se folose¸ste distant¸a polar˘ a a astrului σ, _

notat˘a cu p = P σ ¸si legat˘a de δ prin relat¸ia p + δ = 900 ; distant¸a polar˘a se socote¸ste de la Polul Nord ceresc (00 − 1800 ). - unghiul orar (H): unghiul format de meridianul ceresc al locului cu cercul orar al astrului; se m˘asoar˘a prin arcul de ecuator ceresc de la meridianul ceresc al locului pân˘a la cercul orar al astrului (00 − 3600 ). Coordonatele orare se m˘asoar˘a cu ajutorul instrumentelor având montur˘ a ecuatorial˘ a (ecuatorialul ).

1.2.3

Coordonatele ecuatoriale

Coordonatele ecuatoriale au acela¸si plan fundamental ¸si au aceea¸si ax˘a fundamental˘a ca ¸si cele orare. Declinat¸ia astrului (δ), fiind constant˘a se p˘astreaz˘a, unghiul orar se ˆınlocuie¸ste ˆıns˘a prin ascensia dreapt˘ a (α) a stelei. Se nume¸ste ascensia dreapt˘ a (α) a unui astru unghiul format de planul orar al punctului vernal (γ) cu planul orar al astrului ¸si se m˘asoar˘a ˆın sens direct (00 − 3600 sau 0h − 24h ), prin arcul de ecuator ceresc, de la punctul vernal (γ) la cercul orar (σ 0 ). Punctul vernal (γ) este punctul ˆın care drumul anual aparent al Soarelui taie ecuatorul ceresc, când trece din emisfera austral˘a ˆın cea boreal˘a. Fiind un punct al sferei cere¸sti, punctul vernal particip˘a la mi¸scarea diurn˘a ˆımpreun˘a cu astrul, deci ascensia dreapt˘a e constant˘a. Se admite aici c˘a punctul vernal are o pozit¸ie fix˘a pe sfera cereasc˘a. Unghiul orar al punctului vernal se nume¸ste timp sideral ¸si se noteaz˘a cu θ. Din Figura 1.4 rezult˘a: θ =α+H (1.2.1) Formula (1.2.1) realizeaz˘a leg˘atura ˆıntre sistemele de coordonate (1.2.2) ¸si (1.2.3).


8

În meridianul ceresc, unghiul orar al astrului este 0, deci: θ=α

(1.2.2)

Relat¸ia (1.2.2) se utilizeaz˘a pentru: - determinarea timpului sideral, când ascensia astrului ce trece prin planul meridianului ceresc se cunoa¸ste; - determinarea ascensiilor drepte ale astrilor, când timpul sideral se cunoa¸ste. Coordonatele ecuatoriale α ¸si δ sunt utilizate la ˆıntocmirea cataloagelor ¸si h˘ art¸ilor stelare.

1.3

Relat¸iile dintre coordonatele geografice ¸si cele cere¸sti ˆın cazul trecerilor la meridianul ceresc În cazul trecerii astrului la meridianul ceresc, pe lâng˘a relat¸ia: ϕ = hP ,

(1.3.1)

exist˘a ¸si alte relat¸ii simple ˆıntre ϕ, hm (sau zm ) ¸si δ. Fie σ1 un astru ˆın meridianul ceresc al locului, ˆın culminat¸ia superioar˘a, la sud de zenit (Figura 1.5). Z d2

Zm

d1 d

P

O

Q

j

zp =90-j

zQ =

d3 rp =j

N

S O

90d=N

j

Q

P Z

Figura 1.5: Proiect¸ia sferei cere¸sti pe planul meridianului ceresc Se vede imediat c˘a: ϕ = δ + zm ,

(1.3.2)

unde ϕ - latitudinea locului, δ - declinat¸ia astrului, iar zm - distant¸a zenital˘a m˘asurat˘a ˆın momentul trecerii astrului la meridianul ceresc al locului. Dac˘a astrul se afl˘a la nord de zenit (σ2 ): ϕ = δ − zm .

(1.3.3)

˘ 1.4. MIS¸CAREA SOARELUI PE ECLIPTICA

9

Pentru culminat¸ia inferioar˘ a (σ3 ), avem: zm = 1800 − (ϕ + δ).

(1.3.4)

Formulele (1.3.1) ¸si (1.3.4) sunt utile pentru determinarea latitudinii geografice a locului de observat¸ie. Observat¸ie. Pentru ca o stea s˘a fie circumpolar˘a, este necesar ca culminat¸ia sa inferioar˘a s˘a fie deasupra orizontului (Figura 1.5). Deoarece orizontul formeaz˘a cu ecuatorul ceresc unghiul 900 − ϕ, condit¸ia circumpolaritat¸ii este: δ ≥ 900 − ϕ La fel, δ 6 − (900 − ϕ) este condit¸ia ca o stea s˘a nu r˘asar˘a. Deci condit¸ia ca o stea s˘a nu fie circumpolar˘ a (s˘a nu apun˘a sau s˘a nu r˘asar˘a) este: |δ| ≥ 900 − ϕ,

(1.3.5)

iar condit¸ia ca o stea s˘a fie cu r˘as˘ arit ¸si apus este: |δ| 6 900 − ϕ.

1.4

(1.3.6)

Mi¸scarea Soarelui pe ecliptic˘ a

Soarele pe lâng˘a mi¸scarea diurn˘a la care particip˘a ˆımpreun˘a cu tot¸i a¸strii, se deplaseaz˘a ¸si printre stele, executând ˆın cursul anului un ocol complet pe sfera cereasc˘a. M˘asurând ˆın meridian distant¸a zenital˘a a Soarelui, obt¸inem, dup˘a formula (1.3.2), declinat¸ia δ¯ , care ˆın timpul unui an variaz˘a continuu ˆıntre limitele −230 270 si +230 270 , ˆın ambele sensuri, luând de dou˘a ori valoarea zero. Ascensia dreapt˘a a centrului Soarelui, α¯ , care se determin˘a cu ajutorul stelelor care culmineaz˘a la miezul nopt¸ii, variaz˘a ˆın timpul unui an intre 00 − 3600 (sau 0h − 24h ). Locul geometric al punctelor reprezentând centrul Soarelui timp de un an este un cerc mare al sferei cere¸sti (EE 0 ), al c˘arui plan este ˆınclinat cu unghiul ε = 230 270 pe planul ecuatorului ceresc. Acest cerc mare se nume¸ste ecliptic˘ a (Figura 1.6). Pe cer ecliptica trece prin constelat¸iile zodiacale care sunt ˆın num˘ar de 12, ca ¸si num˘arul lunilor ˆıntr-un an. Ecliptica taie ecuatorul ceresc ˆın dou˘a puncte diametral opuse, numite punctele echinoct¸iilor (sau echinoct¸iale) : punctul vernal (γ), ˆın care Soarele se afl˘a la 21 Martie, trecând din emisfera austral˘a ˆın cea boreal˘a (α¯ = 0h , δ¯ = 00 ), ¸si punctul autumnal (Ω), ˆın care Soarele se afl˘a la 23 Septembrie, trecând din emisfera boreal˘a ˆın cea austral˘a (α¯ = 12h , δ¯ = 00 ).


10

P

E Q

O

Q

|

E

Figura 1.6: Pozit¸ia eclipticii pe sfera cereasc˘ a Alte dou˘a puncte importante ale eclipticii sunt punctele unde declinat¸ia Soarelui ia valori extreme, puncte numite solstit¸ii: punctul solstit¸iului de var˘a (α¯ = 6h , δ¯ = +230 270 ), unde declinat¸ia este maxim˘a, ¸si punctul solstit¸iului de iarn˘a ( α¯ = 18h , δ¯ = −230 270 ), unde declinat¸ia este minim˘a. Fenomenele mi¸sc˘ arii aparente a Soarelui se explic˘a ˆın ˆıntregime prin dou˘a mi¸sc˘ ari ˆın spat¸iu ale P˘amˆ antului, socotit drept corp rigid: mi¸scarea de rotat¸ie ˆın jurul axei sale ¸si mi¸scarea de translat¸ie (numit˘a ˆın astronomie mi¸scare de revolut¸ie) ˆın jurul Soarelui. Aceste mi¸sc˘ari se execut˘a astfel ˆıncât axa de rotat¸ie r˘amâne ˆınclinat˘a fat¸˘a de planul orbitei P˘amântului cu un unghi de 660 330 , deplasându-se paralel cu ea ˆıns˘a¸si.

1.5

Sistemul de coordonate ecliptice

Cel de-al patrulea sistem de coordonate cere¸sti are ca plan fundamental planul eclipticii (EγE 0 ) ¸si ca ax˘a fundamental˘a axa polilor ecliptici (perpendicular˘a ˆın centrul sferei cere¸sti pe planul eclipticii) (ΠΠ0 ). Ea are cu sfera cereasc˘a dou˘a puncte de intersect¸ie, numite polii ecliptici (Π ¸si Π0 ). Cercul mare dus prin polii Π,Π0 ¸si astru este cercul latitudinilor (sau meridianul ecliptic) al astrului. Coordonatele ecliptice ale unui astru σ sunt (Figura 1.7): - latitudinea ecliptic˘ a (β): unghiul format de raza corespunz˘atoare astrului cu planul eclipticii. Este m˘asurat˘a prin arcul de cerc de latitudine, de la ecliptic˘a la astru. Este pozitiv˘a de la ecliptic˘a spre polul nord Π ¸si negativ˘a de la ecliptic˘a spre polul sud Π0 . - longitudinea ecliptic˘ a (λ):unghiul m˘asurat, ˆın sens direct, prin arcul eclipticii, de la cercul de latitudine al punctului vernal γ la cercul de latitudine al astrului. Se exprim˘a ˆın grade (de la 00 la 3600 ). Coordonatele ecliptice nu depind de rotat¸ia sferei cere¸sti. Ele nu se m˘asoar˘a

1.6. COORDONATE GALACTICE

11 P s b

O

E

E s

l

Figura 1.7: Sistemul de coordonate ecliptice cu instrumente, ci se deduc prin calcul din cele ecuatoriale. Ele se utilizeaz˘a mai ales la studiul mi¸sc˘ arii Lunii ¸si planetelor, care ˆı¸si execut˘a mi¸scarea ˆın apropierea eclipticii.

1.6

Coordonate galactice

Un alt sistem de coordonate cere¸sti, mult folosit ˆın studiul dinamicii stelare ¸si al structurii Galaxiei, este sistemul galactic. S˘a consider˘am planul meridian al C˘aii Lactee. Acesta taie sfera cereasc˘a dup˘a un cerc mare, numit ecuator galactic (LL0 ). Planul ecuatorului galactic impreun˘a cu axa polilor galactici (GG0 ) (polul nord galactic G avand coordonatele A =12h 40min si D= 280 , 00) formeaz˘a sistemul galactic de referint¸a˘. Fat¸a˘ de acest sistem se definesc coordonatele galactice ale unui astru σ (Figura 1.8): P L d b

G

d

Q

Q

O i G L P

Figura 1.8: Sistemul de coordonate galactice - latitudinea galactic˘a (b): unghiul format de raza corespunz˘atoare astrului cu planul ecuatorului galactic; - longitudinea galactic˘a (l): unghiul pe care-l face cercul de latitudine galactic˘a


12

al astrului cu cercul de latitudine galactic˘a al punctului de intersect¸ie a ecuatorul galactic cu ecuatorul ceresc Ω (αΩ = 18h 40min ). Acest punct se nume¸ste nodul ascendent al ecuatorului galactic. Observ˘ am c˘a, spre deosebire de coordonatele orizontale, ecuatoriale ¸si ecliptice, coordonatele galactice ale stelelor nu se determin˘a cu precizie (de obicei, nu mai precis de 00 , 1), lucru ce se explic˘a prin faptul c˘a aceste coordonate sunt folosite ˆındeosebi ˆın lucr˘arile de statistic˘a stelar˘a.

1.7

Transformarea coordonatelor cere¸sti

S˘a consider˘am sfera cereasc˘a ¸si s˘a figur˘am pe ea simultan dou˘a sisteme de coordonate: sistemul orar ¸si sistemul orizontal. Obt¸inem c˘a meridianul ceresc, verticalul astrului σ ¸si cercul de declinat¸ie al astrului σ se ˆıntretaie, formând triunghiul sferic: zenitul Z, polul lumii P ¸si astrul σ (Figura 1.9). P 90

H

-Oj

O

p=90 -d O

180 -A q

Z Z=90

O

s

Figura 1.9: Triunghiul paralactic Acest triunghi se nume¸ste triunghiul paralactic sau triunghiul de pozit¸ie (sau primul triunghi astronomic). _

_

_

Laturile acestui triunghi sunt: ZP = 900 − ϕ, Zσ = z, P σ = 900 − δ = p, iar unghiurile lui sunt Zˆ = 1800 − A, Pˆ = H, σ ˆ = q (unghi paralactic). Se vede c˘a elementele triunghiului paralactic cont¸in atât coordonatele orizontale z ¸si A, cât ¸si coordonatele orare δ ¸si H. Aplicând formulele lui Gauss (Teorema cosinusului, Teorema sinusului ¸si Formula celor cinci elemente) la rezolvarea triunghiului paralactic, obt¸inem relat¸iile de trecere de la un sistem de coordonate la altul. De exemplu, transformarea coordonatelor orizontale (z, A), pentru un moment determinat, ˆın coordonatele orare (δ, H), cunoscând latitudinea geografic˘a ϕ a locului de observat¸ie, se efectueaz˘a astfel: se aplic˘a formulele lui Gauss pentru acele

1.7. TRANSFORMAREA COORDONATELOR CERES¸TI

13

elemente ale triunghiului paralactic care cont¸in coordonatele necunoscute, adic˘a pentru latura (900 − δ) ¸si unghiul H. Avem:  cos(900 − δ) = cos(900 − ϕ) cos z + sin(900 − ϕ) sin z cos(1800 − A)    sin(900 − δ) sin z =  sin(1800 − A) sin H   0 0 0 0 sin(90 − δ) cos H = sin(90 − ϕ) cos z + cos(90 − ϕ) sin z cos(180 − A) De aici, g˘asim:

 sin δ = sin ϕ cos z − cos ϕ sin z cos A ≡ (I)  cos δ sin H = sin z sin A ≡ (II)  cos δ cos H = cos ϕ cos z + sin ϕ sin z cos A ≡ (III)

(1.7.1)

La determinarea necunoscutelor se procedeaz˘a astfel: ˆımp˘art¸ind ecuat¸ia a doua cu a treia, se determin˘a H dup˘a tangent˘a: tan H =

(II) . (III)

(1.7.2)

Dac˘a H > 450 , atunci, pentru a determina pe δ dup˘a tangent˘a, este mai bine s˘a ˆımp˘art¸im prima ecuat¸ie cu a doua, pentru c˘a ˆın acest caz eroarea de calcul influent¸eaz˘a mai put¸in sinusul: tan δ =

(I) sin H. (II)

(1.7.3)

Dac˘a H < 450 , atunci, pentru a calcula pe δ, este mai bine s˘a ˆımp˘art¸im prima ecuat¸ie cu a treia, deoarece ˆın acest caz eroarea influent¸eaz˘a mai put¸in cosinusul: tan δ =

(I) cos H. (III)

(1.7.4)

Probleme propuse: 1. Enumerat¸i punctele fundamentale de referint¸˘ a de pe sfera cereasc˘ a. 2. S˘ a se scrie coordonatele ecuatoriale ale punctelor fundamentale de referint¸˘ a de pe sfera cereasc˘a. 3. S˘ a se arate c˘a relat¸ia: θ = α + H, are o valabilitate general˘ a (nedepinzˆ and de situarea observatorului O pe globul terestru ¸si a astrului σ pe sfera cereasc˘ a)


14

4. S˘a se scrie formula pentru distant¸a dintre dou˘a puncte de pe suprafat¸a globului terestru, de coordonate geografice (L1 , ϕ1 ) ¸si (L2 , ϕ2 ). 5. Un vapor pleac˘ a ˆın ziua de 8 iulie, ora 6 dimineat¸a, din portul B(ϕ1 = 0 0 48 23 N, L1 = 4 30 V ) pe un cerc mare, spre portul C(ϕ2 = 50 170 N, L2 = 520 330 V ). Cˆ and ajunge vaporul la destinat¸ie dac˘a viteza sa medie de deplasare este de 18 mile marine pe or˘a? 0

0

6. S˘ a se scrie formula pentru distant¸a dintre dou˘a puncte de pe suprafat¸a globului terestru, de coordonate ecuatoriale σ1 (α1 , δ1 ) ¸si σ2 (α2 , δ2 ). ˆ 7. Intr-o zi, la momentul sideral θ = 19h 35min 24s , coordonatele ecuatoriˆ ce ale ale unei comete sunt urm˘atoarele: α = 17h 50min 47s , 5; δ = +270 170 3600 . In direct¸ie (A, z) trebuie ˆındreptat teodolitul de la Observatorul Astronomic din ClujNapoca (ϕ = 460 450 3400 ) pentru a observa cometa? 8. O comet˘ a are coordonatele ecliptice (λ, β). Care sunt coordonatele ecuatoriale ale cometei ¸stiind c˘a ˆınclinarea pe ecuator este ε? Aplicat¸ie: λ = 5h 43min 01s , 5; β = 450 070 4800 ; ε = 230 260 2100 . 9. S˘ a se stabileasc˘ a formulele pentru transformarea coordonatelor ecuatoriale (α, δ) ˆın coordonate galactice (l, b). 10. S˘ a se determine timpul sideral ¸si azimutul pentru punctele unde r˘asare ¸si apune steaua S, de coordonate ecuatoriale (α, δ), ˆıntr-o localitate de latitudine ϕ (nu se ¸tine seama de refract¸ie).

Capitolul 2 Problema celor dou˘ a corpuri 2.1

Legile mi¸sc˘ arii ale lui Newton

În Cartea I ”Principiile Matematice ale Filzofiei Naturale” sau pe scurt ”Principiile”, Newton introduce urm˘atoarele trei legi ale mi¸sc˘arii: 1. Fiecare corp r˘amâne ˆın starea sa de repaus sau de mi¸scare rectilinie ¸si uniform˘a dac˘a nu este obligat de o fort¸a˘ exterioar˘a s˘a-¸si schimbe aceast˘a stare. 2. Variat¸ia mi¸sc˘arii este proport¸ional˘a cu fort¸a ¸si are loc pe direct¸ia ¸si sensul de act¸iune a fort¸ei. 3. La orice fort¸˘a (act¸iune) corespunde o react¸iune egal˘a ¸si direct opus˘a. A doua lege numit˘a ¸si legea act¸iunii fort¸elor poate fi exprimat˘a din punct de vedere matematic astfel − → d → F = (m− v) dt

(2.1.1)

¸si ¸tinând seama c˘a masa este o m˘arime constant˘a ˆın ecuat¸ia (2.1.1), aceast˘a lege se mai scrie → → − d− v → F =m = m− a dt care este ecuat¸ia fundamental˘a a mecanicii newtoniene.

15

(2.1.2)

16

2.2

˘ CORPURI CAPITOLUL 2. PROBLEMA CELOR DOUA

Legea atract¸iei universale a lui Newton

În afar˘a de cele trei legi de mi¸scare din ”Principii” Newton a formulat ¸si legea atract¸iei universale sau legea gravitat¸iei având ˆın forma actual˘a urm˘atorul enunt¸: ”Oricare dou˘a puncte materiale se atrag reciproc cu o fort¸a˘ direct proport¸ional˘a cu produsul maselor lor ¸si invers proport¸ional˘a cu p˘atratul distant¸ei dintre ele”. Matematic, aceast˘a lege se exprim˘a prin ecuat¸ia → → − m1 m2 − r F =G 2 · r r

(2.2.1)

unde m1 ¸si m2 sunt masele celor dou˘a puncte materiale aflate la distant¸a rˆıntre ele (vezi Fig. 2.1), iar G reprezint˘a un coeficient de proport¸ionalitate, numit constanta atract¸iei gravitat¸ionale (universale), a c˘arei valoare depinde de alegerea sistemului fundamental de unit˘a¸ti (de lungime, de mas˘a ¸si timp) -ˆın sistemul internat¸ional (S.I.) G = 6.67 · 10−11 '

1 15

· 10−9

-ˆın Sistemul Astronomic Fundamental (distant¸a medie P˘amânt-Soare, masa Soarelui, zona solar˘a medie): G = 0.000295912 sau G = k 2 (k = 0.01720209895 ¸si se nume¸ste constanta lui Gauss).

Figura 2.1: Legea atract¸iei universale a lui Newton

2.3

Problema celor n corpuri

În acest paragraf vom analiza ˆın detaliu mi¸scarea unui corp (planet˘a, satelit al P˘amântului sau a unei navete spat¸iale), asupra sa act¸ionând fort¸e de tip gravitat¸ional

2.3. PROBLEMA CELOR N CORPURI

17

sau fort¸e datorit˘a rezistent¸ei la ˆınaintare, a compresiunii sau a presiunii radiat¸iei solare. Vom considera sistemul de corpuri M = {mk }k=1,n ¸si consider˘am corpul mi , 1 ≤ i ≤ n, c˘aruia ˆıi vom studia mi¸scarea. Începem analiza noastr˘a prin a considera, f˘ar˘a a restrânge generalitatea, un sistem de coordonate Ox1 x2 x3 , ˆın care pozit¸iile celor n mase mk sunt cunoscute cu → → → ajutorul vectorilor de pozit¸ie − r1 , − r2 , ..., − rn , (vezi Fig. 2.2).

Figura 2.2: Problema celor n corpuri −→ Conform legii universale a gravitat¸iei lui Newton fort¸a Fik exercitat˘a de mi asupra lui mk este −→ Gmi mk − Fik = − r→ ki 3 rki

(2.3.1)

− → − − → r→ ki = ri − rk .

(2.3.2)

unde

Rezultanta acestor fort¸e gravitat¸ionale ce act¸ioneaz˘a asupra corpului i este → − Fi =

n X k=1,

sau

Gmi mk − · r→ ki 3 r ki k6=i

(2.3.3)


18

n X − → Fi = −Gmi k=1,

mk − · r→ ki . 3 r ki k6=i

(2.3.4)

− → Not˘am cu Fie rezultanta celorlalte fort¸e exterioare datorit˘a rezistent¸ei la ˆınaintare, compresiunii, presiunii radiat¸iei solare, perturbat¸iilor datorit˘a nesfericit˘a¸tii acestor − → corpuri, etc. Astfel, asupra corpului mi act¸ioneaz˘a o fort¸a˘ rezultant˘a Ri − → − → − → Ri = Fi + Fie .

(2.3.5)

Aplicând legea a doua a mi¸sc˘arii lui Newton obt¸inem − → d → (mi − vi ) = Ri dt

(2.3.6)

→ → d− vi − dmi − +→ vi = Ri dt dt

(2.3.7)

sau mi

Anumite efecte relativistice pot produce o schimbare a masei mi ca funct¸ie de timp ¸si astfel termenul al doilea din relat¸ia (2.3.7) nu poate disp˘area ˆıntotdeauna. → − − Cu alte cuvinte, ˆın astrodinamic˘a nu este mereu satisf˘acut˘a ecuat¸ia F = m→ a. −1 Înmult¸ind relat¸ia (2.3.7) cu m obt¸inem ecuat¸ia general˘a a mi¸sc˘arii pentru i corpul i − → . .. . m Ri − i − → → ri = − ri mi mi

(2.3.8)

..

→ unde − ri reprezint˘a vectorul accelerat¸iei al corpului i relativ la sistemul de coordonate Ox1 x2 x3 . Ecuat¸ia (2.3.8) reprezint˘a o ecuat¸ie diferent¸ial˘a vectorial˘a de ordinul doi neliniar˘a a c˘arei solut¸ie nu poate fi g˘asit˘a ˆın forma de mai sus, decât f˘acând anumite ipoteze simplificatoare. − → Presupunând c˘a masa mi r˘amâne constant˘a (m ˙ i = 0) ¸si c˘a Fie este identic nul, ecuat¸ia (2.3.8) se reduce la ..

− → ri = −G

n X k=1,

mk − · r→ ki . 3 r ki k6=1

(2.3.9)

˘ CORPURI 2.4. PROBLEMA CELOR DOUA

19

S˘a presupunem acum c˘a m2 este un satelit al P˘amântului, m1 este P˘amântul ¸si celelalte mase r˘amase m3 , m4 , ..., mn reprezint˘a masele Lunii, Soarelui ¸si a altor planete. Din ecuat¸ia (2.3.9) pentru i = 1 ¸si i = 2 obt¸inem ..

− → r1 = −G

n X mk k=2

3 rk1

·− r→ k1

(2.3.10)

respectiv ..

− → r2 = −G

n X k=1,

mk − · r→ k2 . 3 r k6=2 k2

(2.3.11)

Din relat¸ia (2.3.2) pentru i = 1 ¸si n = 2 obt¸inem ..

..

..

→ − → − − r→ 12 = r2 − r1 .

(2.3.12)

Substituind relat¸iile (2.3.10) ¸si (2.3.11) ˆın relat¸ia (2.3.12) g˘asim n

.. X G (m1 + m2 ) − − r→ Gmk · r→ 12 = − 12 − 3 r12 k=3

µ− ¶ − r→ r→ k2 k1 − . rk2 rk1

(2.3.13)

Aceast˘a relat¸ie scris˘a sub forma de mai sus ne va ajuta la studiul mi¸sc˘arii unui .. − → satelit de mas˘a m2 apropiat al P˘amântului de mas˘a m1 . Atunci r12 va reprezenta accelerat¸ia satelitului relativ la P˘amânt. Ultimul termen din ecuat¸ia (2.3.13) este datorat efectelor perturbatoare ale Lunii, Soarelui, planetelor ¸si altor satelit¸i apropiat¸i de P˘amânt. Pentru a aduce viitoare simplific˘ari ale acestei ecuat¸ii va trebui s˘a compar˘am m˘arimea efectelor ce produc aceste perturbat¸ii cu fort¸a de atract¸ie dintre P˘amânt ¸si satelit.

2.4

Problema celor dou˘ a corpuri

În paragraful precedent am g˘asit ecuat¸ia general˘a (2.3.13) a mi¸sc˘arii relative a dou˘a corpuri perturbat˘a de alte corpuri. Acum vom reduce aceast˘a ecuat¸ie ˆın cazul particular al problemei celor dou˘a corpuri. Vom face dou˘a ipoteze simplificatoare referitoare la modelul considerat:

20


1. Corpurile sunt uniform sferice ¸si consider˘am c˘a ˆıntrega lor mas˘a este concentrat˘a ˆın centrele lor. 2. Asupra sistemului nu act¸ioneaz˘a fort¸e interne sau externe ˆın afar˘a de fort¸ele gravitat¸ionale ce act¸ioneaz˘a de-a lungul liniei ce une¸ste centrele celor dou˘a corpuri. Vom formula urm˘atoarea problem˘a: ”S˘a se studieze mi¸scarea relativ˘a a punctului material de mas˘a m2 ˆın câmpul gravitat¸ional creat de punctul material de mas˘a m1 ” . Pozit¸a celor dou˘a puncte masice m1 ¸si m2 este cunoscut˘a cu ajutorul vectorilor → − de pozit¸ie − r1 ¸si respectiv → r2 fat¸a˘ de un reper considerat fix Ox1 x2 x3 (vezi Fig. 2.3). Admitem c˘a aceste dou˘a mase interact¸ioneaz˘a printr-o fort¸a˘ ce depinde de distant¸a relativ˘a dintre cele dou˘a mase ¸si are sensul de la m1 spre m2 . Aceast˘a fort¸˘a poate fi exprimat˘a astfel − → → − F = F · ir

(2.4.1)

→ − unde ir este versorul direct¸iei m1 m2 ¸si are urm˘atoarea expresie → r − → − ir = r

(2.4.2)

− → − → − → r =− r→ 12 = r2 − r1 .

(2.4.3)

cu

Figura 2.3: Problema celor dou˘a corpuri Aplicând legea a doua a lui Newton mi¸sc˘arii lui m2 ¸si m1 g˘asim

˘ CORPURI 2.4. PROBLEMA CELOR DOUA

21

.. − → → m2 − r2 = − F

(2.4.4)

respectiv ..

− → → m1 − r1 = F .

(2.4.5)

Pentru a obt¸ine ecuat¸ia diferent¸ial˘a a mi¸sc˘arii lui m2 ˆın raport cu m1 vom sc˘adea relat¸ia (2.4.5) din (2.4.4) ..

..

− → → r2 − − r1 = −

µ

1 1 + m2 m1

¶

− → F.

(2.4.6)

Utilizând relat¸iile (2.4.1) ¸si (2.4.3), relat¸ia (1.4.6) devine → − r =−

µ

1 1 + m2 m1

¶

→ − F i3 .

(2.4.7)

În Mecanica clasic˘a, termenul 1 1 m1 + m2 + = m2 m1 m1 m2

(2.4.8)

se nume¸ste mas˘ a redus˘ a. Utilizând relat¸iile (2.4.8) ¸si (2.2.1) ˆın (2.4.7) obt¸inem .. m1 + m2 m1 m2 − → − → r=− G 2 ir m1 m2 r

(2.4.9)

sau introducând factorul µ = G (m1 + m2 )

(2.4.10)

obt¸inem ecuat¸ia diferent¸ial˘a sub form˘a vectorial˘a a mi¸sc˘arii pentru problema celor dou˘a corpuri sub forma ..

µ− − → r + 3→ r = 0. r

(2.4.11)

Observat¸ii − → 1. Ecuat¸ia (2.4.11) r˘amâne neschimbat˘a dac˘a ˆınlocuim pe → r cu −− r . Astfel, ecuat¸ia (2.4.11) descrie fie mi¸scarea lui m2 fat¸a˘ de m1 fie invers.

22


2. Ecuat¸ia (2.4.11) descrie mi¸scarea unit˘a¸tii de mas˘a mu relativ la masa m1 + m2 situat˘a ˆıntr-o origine fixat˘a, ..

µ→ → mu − r +mu 3 − r = 0. r 3. Fort¸a gravitat¸ional˘a deriv˘a dintr-un potent¸ial ¸si ecuat¸ia (2.4.11) se scrie .. ∂v − → r=− − ∂→ r

unde µ v=− . r 4. Potent¸ialul gravitat¸ional este definit astfel ˆıncât este zero la infinit, i.e. lim v = 0.

r→∞

2.5

Teorema lui Newton privind atract¸ia unei sfere omogene

Aceste rezultate referitoare la atract¸ia unei sfere omogene goale sau pline, constituie baza teoretic˘a a aplicabilit˘a¸tii legii atract¸iei universale la studiul mi¸sc˘arii corpurilor cere¸sti. Teorem˘ a: Atract¸ia unei sfere omogene goale este acea¸si cu atract¸ia centrului ei ˆın care s-ar afla concentrat˘a ˆıntreaga mas˘a a sferei, când punctul material se afl˘a ˆın exteriorul sferei ¸si este egal˘a cu zero, când punctul material se afl˘a ˆın interiorul sferei. Consider˘am o sfer˘a de raz˘a r0 de ecuat¸ie 02 02 02 x02 1 + x2 + x3 = r

(2.5.1)

cu centrul situat ˆın originea sistemului de axe Ox1 x2 x3 , având masa atractiv˘a uniform distribuit˘a pe suprafat¸a ei, astfel reprezentând o suprafat¸˘a material˘a sferic˘a omogen˘a. Consider˘am punctul material M2 de mas˘a unitate situat pe axa Oz atras de masa superficial˘a a sferei, cu o fort¸a˘ newtonian˘a de tipul (2.2.1) ¸si fie M1 un punct curent al sferei, (vezi Fig. 2.3).

2.5. TEOREMA LUI NEWTON PRIVIND ATRACT ¸ IA

23

Expresia potent¸ialului fort¸elor newtoniene rezultat de masa superficial˘a a sferei, numit ¸si potent¸ialul simplului strat sferic ˆın punctul M2 este ZZ U (M2 ) = ρ

P

dA r

(2.5.2)

unde ρ este densitatea constant˘a a suprafet¸ei, dA un element al acestei suprafet¸e, iar −−−−→ −−−→ −−−→ → − r = M1 M2 = OM2 − OM1 .

(2.5.3)

Figura 2.4: Geometria simplului strat sferic Deoarece r2 = x23 + r02 − 2r0 x3 cos θ

(2.5.4)

dA = r02 sin θ · dθ · dψ,

(2.5.5)

¸si

obt¸inem pentru potent¸ialul U (M2 ) ZZ U (M2 ) = U (x3 ) = ρ

P

r02 sin θ · dθ · dψ

p

r02 + x23 − 2r0 x3 cos θ

=


24

ρr0 = x3

2πρr0 = x3

Z2π

Zπ p

dψ 0

0

r0 sin θ · dθ r02 + x23 − 2r0 x3 cos θ

=

¯π q ¯ 2πρr0 0 r02 + x23 − 2r0 x3 cos θ¯¯ = (r + x3 − |r0 − x3 |) . x3 0

(2.5.6)

Not˘am cu m1 masa sferei, a c˘arei mas˘a atractiv˘a este uniform distribuit˘a pe suprafat¸a sa m1 = 4πρr02

(2.5.7)

obt¸inem c˘a ½ U (z) =

m1 x3 m1 r0

dac˘a x3 ≥ r0 dac˘a x3 < r0

(2.5.8)

− → ¸si fort¸a F = 5U trece prin centrul sferei considerate. Newton a demonstrat aceast˘a teorem˘a ˆın ”Principiile” pe cale geometric˘a.Vom extinde acest rezultat ˆın cazul unei sfere pline, pe care o vom considera fiind format˘a dintr-un num˘ar foarte mare de straturi sferice concentrice omogene, foarte subt¸iri. În acest caz, utilizând coordonatele sferice elementul de volum dv are urm˘atoarea expresie dv = r02 sin θ · dr · dθ · dψ.

(2.5.9)

Pentru masa total˘a m1 obt¸inem rezultatul cunoscut Zr0 Zπ Z2π m1 = 0

0

4 ρr2 sin θ · dψ · dθ · dr = πr03 ρ. 3

(2.5.10)

0

Potent¸ialul U (M2 ) va avea urm˘atoarea expresie Zr0 Zπ Z2π U (M2 ) = U (z) = ρ 0

0

0

r0 sin2 θ · dr · dψ · dθ p . r02 + x23 − 2r0 x3 cos θ

(2.5.11)

˘ A PROBLEMEI CELOR DOUA ˘ CORPURI 2.6. SOLUT ¸ IA ANALITICA

25

Folosind relat¸iile (2.5.6),(2.5.10) ¸si ¸tinând seama c˘a ˆın cazul punctului M2 interior sferei avem

U (M2 ) =

x Z3 2πρ  x3 

 

Zr0 r [(r + x3 ) − (x3 − r)] dr +

0

r [(r + x3 ) − (r − x3 )] dr x3



(2.5.12)

obt¸inem ( U (M2 ) =

m1 0 ³ x3 , dac˘ á x3 ≥ r 2 . x 2πρ r02 − 33 , dac˘a x3 < r0

(2.5.13)

Observ˘am c˘a potent¸ialul U este continuu ˆın tot spat¸iul exterior sau interior sferei precum ¸si la traversarea suprafet¸ei din ambele cazuri.

2.6

Solut¸ia analitic˘ a a problemei celor dou˘ a corpuri

Consider˘am ecuat¸ia diferent¸ial˘a vectorial˘a a mi¸sc˘arii pentru problema celor dou˘a corpuri (2.4.11) sub forma ..

µ→ − → r = − 3− r. r

(2.6.1)

Pentru a da o solut¸ie analitic˘a complet˘a va trebui s˘a g˘asim ¸sase integrale ale³ mi¸sc˘arii. ´ Prin integrala mi¸sc˘arii a sistemului (2.6.1) vom ˆınt¸elege orice funct¸ie . − → − → f r , r , t astfel ˆıncât ³ ´ . → → f − r ,− r , t = constant.

(2.6.2)

Vom considera corpul S de mas˘a m1 ˆın câmpul s˘au gravitat¸ional creat. Ne propunem s˘a studiem mi¸scarea corpului σ de mas˘a m2 . Corpul S se nume¸ste corp central, iar punctele materiale (S, m1 ) ¸si (σ, m2 ) se numesc centru atractiv ¸si respectiv satelit. Prin satelit vom ˆınt¸elege o planet˘a, un asteroid, o comet˘a, etc., atunci când centrul atractiv este Soarele sau chiar un satelit artificial sau natural al unei planete.

26


→ În Figura 2.5 prezent˘am un sistem cartezian ˆın care vectorul de pozit¸ie − r = − → S σ este exprimat astfel − → → − − → − → r = x1 i1 + x2 i2 + x3 i3 .

(2.6.3)

Figura 2.5: Pozit¸ia orbitei fat¸˘ a de planul fundamental Vom obt¸ine integralele mi¸sc˘arii problemei celor dou˘a corpuri utilizând ecuat¸ia (2.4.11). → Înmult¸ind vectorial cu − r la stânga ambii membrii ai relat¸ei (2.4.11) sau (2.6.1) ¸si ¸tinând seama de ecuat¸ia → − − r ×→ r =0 (2.6.4) obt¸inem

.. . ´ d ³− → → − → → r×− r= r×− r = 0. dt Integrând relat¸ia de mai sus g˘asim c˘a

(2.6.5)

.

→ − → → r×− r=− c = const. , unde

(2.6.6)

³ ´ . − → → − − → → − c = c r (t) , r (t) = const. .

Astfel, am determinat prima integral˘a a mi¸sc˘arii, numit˘a integrala ariilor reprezentând legea conserv˘ arii momentului cinetic sau a ariilor ˆın mi¸scarea punctu→ lui material (de mas˘a unitate). Vectorul − c se nume¸ste vectorul moment cinetic sau − → → constanta (vectorial˘a) ariilor. Relat¸ia ˆıntre− c ¸si viteza areolar˘ a Ω este:

˘ A PROBLEMEI CELOR DOUA ˘ CORPURI 2.6. SOLUT ¸ IA ANALITICA − → − → dA 1 − → 1→ Ω = = (→ r ×− v)= − c. dt 2 2

27

(2.6.7) .

→ → Un rezultat important se obt¸ine ˆınmult¸ind scalar cu − r ¸si cu − r relat¸ia (2.6.6) ³ . ´ − → → − − → − → − → r · c = r · r× r =0 ¸si

³ . ´ . . → → − → −c =− → r×− r = 0. r ·→ r · −

(2.6.8) .

→ → Acest rezultat ne arat˘a c˘a raza vectoare − r ¸si viteza − r sunt perpendiculare pe − → − → vectorul c ; deci vectorul c este normal pe planul orbitei (planul de mi¸scare). Ecuat¸ia planului orbitei se scrie sub forma − → → r ·− c = x1 c1 + x2 c2 + x3 c3 = 0.

(2.6.9)

Observ˘am c˘a acest plan cont¸ine originea sistemului cartezian ales. .

Alt˘a integral˘a prim˘a a mi¸sc˘arii o vom obt¸ine ˆınmult¸ind scalar ecuat¸ia (2.4.11)

→ r cu −

sau

³ .. . . ´ µ → → − → r + 3 − r · − r =0 r ´ .. . . 1 d ³− → − → → − r= r ·− r ·→ r . 2 dt Observ˘am c˘a µ ¶ . d µ µ d − µ → − → → − → q − √− = ( r · r ) = r ·− r. 3 → − → dt r 3 dt → → r · r 2 (− r ·− r)

(2.6.10) (2.6.11)

(2.6.12)

Din relat¸iile (2.6.11) ¸si (2.6.12) g˘asim urm˘atoarea relat¸ie d dt

µ

. . µ 1→ − → r ·− r − 2 r

¶ = 0,

(2.6.13)

care ne conduce la integrala energiei . . ´ µ 1 ³− → → r ·− r − = h = const. 2 r

(2.6.14)

28


sau .

− →2 r µ − = h. 2 r

(2.6.15)

unde h se nume¸ste constanta energiei ¸si se determin˘a din condit¸iile init¸iale. În relat¸ia (2.6.15) primul termen reprezint˘a energia cinetic˘a a punctului material (de mas˘a unitate) iar al doilea energia lui potent¸ial˘a, ceea ce justific˘a denumirile f˘acute de integrala energiei. De asemenea, relat¸ia (2.6.15) ne arat˘a c˘a energia mecanic˘a a satelitului este constant˘a ˆın tot timpul mi¸sc˘arii, adic˘a energia se conserv˘a. Pentru a deduce ultima integral˘a vectorial˘a a mi¸sc˘arii vom ˆınmult¸i vectorial la → stânga cu vectorul moment cinetic − c relat¸ia (2.4.11) .. . ´ µ ³→ − → → − → r + 3 − r ×− r = 0. c×− r×→ r

(2.6.15)

T ¸ inând seama de (2.6.15) obt¸inem ecuat¸ia ´ i ³ . .. . µ h→ − → → → → − → → r + 3 (− r ·− r − r = 0. c×− r − − r ·→ r)− r

(2.6.16)

Primul termen din membrul drept al relat¸iei de mai sus, ¸tinând seama de (2.6.6) devine .. . ´ d ³− → − → → −c × − → r= c× r dt

(2.6.17)

iar cel de al doilea se mai poate scrie sub forma µ ¶ ³ . ´ i . d 1− µ h− → − → → − − → − → − → → ( r × r )· r − r × r · r = µ r . r3 dt r

(2.6.18)

Astfel din (2.6.16) - (2.6.18) obt¸inem ecuat¸ia ´ . d ³− µ− → → − → c × r + r = 0. dt r

(2.6.19)

Aceast˘a ecuat¸ie ne conduce la integrala mi¸sc˘ arii a lui Laplace . − → µ→ − → → c×− r + − r = −P r

(2.6.20)


29

care folosind (2.6.6) se mai poate scrie ³

. ´ . → − µ− → − − → → r× r ×− r + → r = −P . r

(2.6.21)

− → P este un vector constant numit vectorul lui Laplace sau vectorul excentricit˘a¸tii. Leg˘atura ˆıntre aceste integrale ale mi¸sc˘arii este dat˘a de urm˘atoarea − → → Propozit¸ie Între − c , h ¸si P exist˘a urm˘atoarele dou˘a relat¸ii independente: (i)

(ii)

− → − → c ·P =0

c2 µ =− µ 2h

µ

P2 1− 2 µ

¶ .

Demonstrat¸ie → Înmult¸im scalar cu − c ambii membrii din integrala lui Laplace (2.6.21) .

− → µ− − → → − → → r + → c ·→ r = −− c · P. c ·− c×− r . → −c · − → → → r = 0 obt¸inem: Cum → r ¸si − c ·− c×− − → − → c · P = 0. → − Din relat¸ia de mai sus observ˘am c˘a P este inclus ˆın planul orbitei deoarece −c . este perpendicular pe → − → → Pentru a determina cea de-a doua relat¸ie ˆıntre − c , h ¸si P vom calcula produsul − → vectorial dintre P ¸si el ˆınsu¸si: ³ ³ . ´ ³ . ´ . ´ → − → − 2µ − µ2 → − → → → − −c × − → → r · → r + r · − c×− r + 2 (− r ·→ r ). P ×P = − c×→ r r de unde obt¸inem c˘a: ³

³ . ³ . ´ ³ . ´ . ´ . ´³ . ´ − → → − → − − → − → − → − → − → − → − → − → − → c× r · c × r = r · r ( c · c)− c· r c· r . .

→ − → → Cum − c·→ r = 0 ¸si − c ·− c = c2 avem:


30

³

. ´ ³ . ´ . . − → → − → − − → → − c × r · c × r = c2 − r ·→ r

¸si obt¸inem: ³ . ´ 2µ 2µ − → → → r = − c2 . c×− r · − r r Din ultimele dou˘a relat¸ii ¸si din faptul c˘a µ2 − → (→ r ·− r ) = µ2 2 r ¸tinând seama de (2.6.14) g˘asim c2 µ =− µ 2h

µ

P2 1− 2 µ

¶ .

Ecuat¸iile (i) ¸si (ii) din Propozit¸ie ne arat˘a c˘a integralele mi¸sc˘arii (2.6.6), (2.6.14) ¸si (2.6.21) nu sunt independente ˆıntre ele. Astfel cele ¸sapte constante ale mi¸sc˘arii introduse de integralele mi¸sc˘arii se reduc datorit˘a relat¸iilor (i) ¸si (ii) la cinci. Cum pentru solut¸ia complet˘a a problemei celor dou˘a corpuri avem nevoie de ¸sase constante va trebui s˘a mai determin˘am una. Pe aceasta o vom determina ˆın cele ce urmeaz˘a din ecuat¸ia lui Kepler. → Vom ˆıncepe prin a calcula p˘atratul momentului cinetic − c ³ . ´ . ´ ³ → − → → −c = − → r . c2 = − c ·→ r×→ r · − r×−

(2.6.22)

Utilizând relat¸ia (2.6.14) obt¸inem ³ . ´ ³ . . ´ . ´ → − − → − → − → − → → − → − → − c = r · r ·(r · r )− r ·r · r · r = 2

³

µ =r

2

2µ 2h + r

¶

.

− → − r · r2 . 2

(2.6.23)

Vom considera, ˆın cele ce urmeaz˘a cazul orbitei eliptice caz ˆın care energia h este strict negativ˘a. Din relat¸ia (2.6.23) observ˘am c˘a


√ rr˙ = ± −2h

r ³ µr ´ c2 − r2 + + h 2h

31

(2.6.24)

relat¸ie ce se ¡ µmai ¢2 poate rescrie dac˘a sub cel de-al doilea radical adun˘am ¸si sc˘adem cantitatea 2h ¸si sub forma r ³ µ ´2 c2 ³ µ ´2 rr˙ = ± −2h − r + + + . h 2h 2h √

T ¸ inând seama de ecuat¸ia (ii) ˆınmult¸it˘a cu sµ

√

rr˙ = ± −2h

µ 2h

P 2h

(2.6.25)

, ecuat¸ia (2.6.25) devine

¶2

³ µ ´2 − r+ . 2h

(2.6.26)

Ecuat¸ia (2.6.26) poate fi pus˘a sub forma unei ecuat¸ii diferent¸iale cu variabile separabile sub forma: µ z − 2h ± −2hdt = q¡ ¢ dz P 2 2 − z 2h

√

(2.6.27)

unde am folosit notat¸ia µ . 2h

z=r+

(2.6.28)

Vom introduce o alt˘a notat¸ie Ã E = arccos

z

!

P 2h

.

(2.6.29)

− z2

(2.6.30)

De aici 2h sin E = P

sµ

P 2h

¶2

¸si integrând ecuat¸ia (2.6.27) obt¸inem ecuat¸ia lui Kepler √ P ± −2h (t + k) = E − sin E. µ

(2.6.31)

32

˘ CORPURI CAPITOLUL 2. PROBLEMA CELOR DOUA În ecuat¸ia lui Kepler, k este o constant˘a de integrare.

Pentru a obt¸ine o expresie de tipul r = r (E) vom folosi (2.6.28) ¸si (2.6.29), ¸si g˘asim c˘a aceasta este: µ r=− 2h

¶ µ P 1 − cos E . µ

(2.6.32)

Capitolul 3 Legile lui Kepler Johannes Kepler (1571-1630) a descoperit empiric aceste legi, publicând primele dou˘a ˆın 1609, iar pe cea de-a treia ˆın 1618 . Acestea sunt : 1.

Orbitele planetelor sunt elipse cu Soarele ˆıntr-unul din focare .

2. Vectorul ce une¸ste Soarele cu o Planet˘a m˘atur˘a arii egale ˆın intervale de timp egale . 3. P˘atratul perioadei unei planete este proport¸ional cu cubul semiaxei mari a orbitei . În acest capitol vom verifica legile lui Kepler utilizând integralele mi¸sc˘arii g˘asite ˆın Capitolul 2.

3.1

Prima lege a lui Kepler

→ Înmult¸ind scalar cu − r ambii membrii ai integralei mi¸sc˘arii a lui Laplace (2.6.20) obt¸inem . − → µ− − − → → → → r ·− c×− r + → r ·→ r = −− r · P. (3.1.1) r Primul termen din membrul stâng se reduce la .

.

− → −c × − → → → − r ·→ r = −− c ·− r×→ r = −c2

(3.1.2)

−c2 + µr = −rP cos φ.

(3.1.3)

¸si astfel (3.1.1) devine

33

34

CAPITOLUL 3. LEGILE LUI KEPLER

− → − unde φ reprezint˘a unghiul dintre vectorul de pozit¸ie → r ¸si vectorul lui Laplace P ¸si este numit anomalie adev˘arat˘ a. Din relat¸ia (3.1.3) g˘asim pentru modulul vectorului de pozit¸ie ~r expresia c2 1 r= · . P µ 1 + µ cos φ

(3.1.4)

T ¸ inând seama de ecuat¸ia standard a unei conice p 1 + e cos φ

(3.1.5)

p ≡ a(1 − e2 ),

(3.1.6)

r= cu

din (3.1.4) obt¸inem pentru parametrul conicei ¸si pentru excentricitate expresiile p=

c2 µ

(3.1.7)

P . (3.1.8) µ T ¸ inând seama de a doua relat¸ie de dependent¸˘a dintre integralele mi¸sc˘arii vom exprima constanta energiei cu unul dintre parametri conicei astfel e=

" µ ¶2 # c2 P µ =− 1− = p ≡ a(1 − e2 ). µ 2h µ Astfel obt¸inem c˘a a=−

µ 2h

(3.1.9)

(3.1.10)

ceea ce ne arat˘a c˘a semiaxa mare a conicei depinde numai de energie. Observ˘am c˘a dac˘a φ = 0 , distant¸a r atinge valoarea minim˘a rπ numit˘a distant¸a la pericentru de ecuat¸ie rπ =

a(1 − e2 ) p = = a(1 − e). 1+e 1+e

(3.1.11)

Forma conicei este determinat˘a de semnul constantei h pe baza expresiei (3.1.5), astfel h < 0 ⇔ e < 1 → elips˘a h = 0 ⇔ e = 1 → parabol˘a (3.1.12) h > 0 ⇔ e > 1 → hiperbol˘a.

3.2. A DOUA LEGE A LUI KEPLER

3.2

35

A doua lege a lui Kepler

În sistemul de coordonate polare pentru vectorii de pozit¸ie ¸si vitez˘a avem urm˘atoarele reprezent˘ari (vezi Fig. 3.1) − → → − r = r ir

(3.2.1)

. − → − → − → r = r˙ ir + rφ˙ iφ

(3.2.2)

− → unde versorul iφ este dat de relat¸ia

cu

→ − − → − → iφ = ic × ir

(3.2.3)

→ c − → − ic = . c

(3.2.4)

→ − − → − → Versorii ir , iφ , ic formeaz˘a un sistem ortogonal. În acest sistem vectorul moment cinetic este . → − ³ − → − →´ → − → → r = r ir × r˙ ir + rφ˙ iφ . (3.2.5) c =− r×− − → − → − → → → T ¸ inând seama de relat¸iile − r ×− r = 0 ¸si ir × iφ = ic obt¸inem − → − → c = r2 φ˙ ic .

(3.2.6)

Astfel modulul momentului cinetic este c = r2 φ˙ = constant.

(3.2.7)

Aria m˘aturat˘a de vectorul de pozit¸ie al punctului curent ˆın unitatea de timp este

dA 1 dφ = r2 . dt 2 dt

(3.2.8)

1 (r+ M r) (r M φ) . 2

(3.2.9)

Dar, (vezi Fig. 3.2) avem c˘a 4A =

Trecând la limit˘a cu Mr → 0 pentru 4t → 0 obt¸inem

36


Figura 3.1: Sistem local i~r , i~φ

Figura 3.2: Aria sectorului de conic˘ a

4A 4φ dA 1 1 = lim = r2 lim = c = constant. 4t→o 4t dt 2 4t→0 4t 2

(3.2.10)

Astfel am verificat legea a IIa a lui Kepler: Vectorul ce une¸ste Soarele cu o planet˘ a m˘atur˘ a arii egale ˆın intervale de timp egale.

3.3

A treia lege a lui Kepler Vom considera cazul orbitei eliptice (h¡0).

3.4. DETERMINAREA MASEI PLANETARE

37

Din relat¸iile (2.6.33), (3.1.8) ¸si (3.1.10) obt¸inem urm˘atoarea relat¸ie r = a (1 − e cos E) .

(3.3.1)

Astfel din relat¸ia (2.6.26) g˘asim c˘a √ rdr ± −2hdt = q¡ ¢ ¡ P 2 − r+ 2h

¢ µ 2 2h

.

(3.3.2)

Folosind relat¸ia (3.3.1) ecuat¸ia (3.3.2) ia urm˘atoarea form˘a simplificat˘a r

µ dt = a(1 − e cos E)dE. a

(3.3.3)

Prin integrarea relat¸iei precedente obt¸inem Z

s

T

a3 µ

dt = 0

Z

2π

(1 − e cos E)dE.

(3.3.4)

0

unde T reprezint˘a perioada unei orbite sau timpul cât E cre¸ste de la 0 la 2 π. Integrala de mai sus ne conduce la urm˘atoarea expresie s a3 . µ

T = 2π

(3.3.5)

Ridicând la p˘atrat relat¸ia (3.3.5) g˘asim µ 2

T =

4π 2 µ

¶ a3 ,

(3.3.6)

ceea ce ne arat˘a c˘a legea a treia a lui Kepler a fost verificat˘a.

3.4

Determinarea masei planetare

Legea a treia a lui Kepler poate fi folosit˘a la determinarea raportului dintre masa unei planete ¸si masa Soarelui. Vom considera pentru ˆınceput cunoscute din observat¸ii:

38

CAPITOLUL 3. LEGILE LUI KEPLER T ¸si T1 - perioada planetei ¸si respectiv a asteroidului

a ¸si a1 - semiaxa mare a orbitei planetei ¸si respectiv a asteroidului. Vom nota cu : S - masa Soarelui, P - masa planetei, G - constanta universal˘a gravitat¸ional˘a ¸si aplicând legea a treia a lui Kepler g˘asim T2 =

4π 2 a3 . G (S + P )

(3.4.1)

Analog, putem scrie cea de-a treia lege a lui Kepler pentru Soare ¸si asteroid T12 =

4π 2 a3 G(S + m1 ) 1

(3.4.2)

unde m1 reprezint˘a masa asteroidului ¸si pe care o presupunem neglijabil de mic˘a ˆın raport cu S. Din raportul relat¸iilor (3.4.1), (3.4.2) obt¸inem µ

T T1

¶2

1 + mS1 = 1 + PS

µ

a a1

¶3 .

(3.4.3)

T ¸ inând seama de presupunerea c˘a m1 << S g˘asim c˘a P = S

µ

a a1

¶3 µ

T T1

¶2 −1

(3.4.4)

¸si astfel cum T, a, T1 ¸si a1 sunt cunoscute din observat¸ii raportul dintre masa P˘amântului ¸si masa Soarelui este determinat. În cea de-a doua aplicat¸ie vom considera cunoscute din observat¸ii: T ¸si TS - perioada planetei ¸si respectiv a satelitului a ¸si aS - semiaxa mare a orbitei planetei ¸si respectiv a satelitului Vom scrie legea a treia a lui Kepler pentru mi¸scarea satelitului ¸si planet˘a: TS2 =

4π 2 a3 . G (M + mS ) s

(3.4.5)

3.4. DETERMINAREA MASEI PLANETARE

39

Consider˘am masa planetei ¸si a satelitului ca o singur˘a mas˘a ce orbiteaz˘a ˆın jurul Soarelui. Astfel relat¸ia (3.4.1 ) ia forma T2 =

4π 2 a3 . G (S + M + ms )

(3.4.6)

F˘acând raportul relat¸iilor (3.4.5), (3.4.6) obt¸inem µ

Ts T

¶2

³ a ´3 S s =( . + 1) M + ms a

(3.4.7)

De aici g˘asim valoarea raportului dintre masa Soarelui ¸si masa total˘a a planetei ¸si a satelitului: ³ a ´3 S s = M + ms a

µ

Ts T

¶2 − 1.

(3.4.8)

În Mecanica Cereasc˘a sunt foarte folosite aceste rapoarte de mase deoarece pot fi determinate din observat¸ii cu un grad ˆınalt de acuratet G - Constanta ¢ ¡ ¸e , pe când -20 Gravitatiei Universale nu este foarte exact cunoscut˘a G = 6,672 × 10 Km3 /(Kg · s2 ) .

40


Capitolul 4 Metode de calcul ˆın astrodinamic˘ a 4.1

Vectorii de pozit¸ie ¸si vitez˘ a ˆın integralele mi¸sc˘ arii

În aplicat¸iile practice, pentru studiul orbitelor satelit¸ilor si navetelor spat¸iale este util s˘a cunoa¸stem solut¸ia problemei celor dou˘a corpuri ˆıntr-un sistem de coordonate, decât s˘a cunoa¸stem integralele mi¸sc˘arii. În acest capitol vom determina . → → r ) ca funct¸ii ce depind de timp ˆın cazul mi¸sc˘arii vectorii de pozit¸ie ¸si vitez˘a (− r ¸si − eliptice (h < 0). Cele ¸sase integrale ale mi¸sc˘arii g˘asite ˆın Capitolul 2 sunt .

→ → − → r=− c r×− . 1− µ → → r ·− r − =h 2 h

− → µ → → → → (− r ×− r )×− r + ·− r = −P r ±

2h √ P −2h(t + k1 ) = E − sin E µ µ

unde r=−

P µ (1 − cos E). 2h µ →

→

Pentru a reduce cele opt constante de integrare ( c , h, P ¸si k1 ) la ¸sase, vom introduce cele dou˘a relat¸ii scalare obt¸inute din Capitolul 2 41

˘ CAPITOLUL 4. METODE DE CALCUL ÎN ASTRODINAMICA

42

− → − → c ·P =0 c2 µ P =− (1 − ( )2 ). µ 2h µ În Capitolul 3 am identificat parametrii conicei cu unele integrale ale mi¸sc˘arii p = a(1 − e2 ) =

e=

P µ

a=− precum ¸si relat¸ia r=

c2 µ

µ 2h

p . 1 + e cos ϕ

Atunci ecuat¸ia lui Kepler poate fi scris˘a n(t − tπ ) = M = E − e sin E

(4.1.1)

unde am folosit condit¸ia la limit˘a k1 = −tπ

(4.1.2)

când E = 0. De asemenea am introdus 2h √ n=− −2h = µ

r

µ a3

(4.1.3)

¸si M = n(t − tπ )

(4.1.4)

unde tπ se nume¸ste timpul trecerii la pericentru, n se nume¸ste mi¸scare medie, ¸si M se nume¸ste anomalie medie. Ecuat¸ia pentru mi¸scare r = r(E) se scrie r = a(1 − e cos E).

(4.1.5)

˘ ÎN INTEGRALELE MIS¸CARII ˘ 4.1. VECTORII DE POZIT ¸ IE S¸I VITEZA

43

Unghiul E se nume¸ste anomalie excentric˘ a. Vom prezenta ˆın cele ce urmeaz˘a o rezolvare numeric˘a a ecuat¸iei lui Kepler, utilizând metoda Newton-Raphson. Definim funct¸ia F (E) = E − e sin E − n (t − tπ )

(4.1.6)

ˆın care sunt cunoscut¸i tot¸i termenii exceptând E. Ne propunem s˘a afl˘am valoarea lui E, pentru care este satisf˘acut˘a ecuat¸ia lui Kepler adic˘a acel E pentru care F (E) = 0. O solut¸ie convenabil˘a poate fi obt¸inut˘a dezvoltând pe E ˆın serie Taylor ˆın jurul unei valori aproximative Ek : µ F (E) = F (Ek ) +

dF dE

¶ (E − Ek ) + ...

(4.1.7)

k

Din ecuat¸ia de mai sus ¸tinând seama c˘a F (E) = 0 obt¸inem o aproximare a solut¸iei F (Ek ) E = Ek − ¡ dF ¢ . (4.1.8) dE k

Iar din ecuat¸ia (4.1.6) avem c˘a µ

dF dE

¶ = 1 − e cos Ek .

(4.1.9)

k

Astfel din ecuat¸iile (4.1.8) ¸si (4.1.9) obt¸inem urm˘atoarea aproximare a solut¸iei E = Ek −

F (Ek ) . 1 − e cos Ek

(4.1.10)

Vom continua cu calculul altor solut¸ii aproximative ale lui E, ˆıncepând cu prima aproximat¸ie Ek ¸si vom termina acest procedeu iterativ când eroarea solut¸iei |E − Ek | satisface ordinul de aproximat¸ie cerut. Problema care se ridic˘a este dac˘a aceast˘a metod˘a iterativ˘a este convergent˘a. Pentru aceasta vom considera ¸sirul (En )n≥0 definit astfel: Lu˘am ca valoare init¸ial˘a E0 = ζ = n (t − tπ )

44


¸si Ek = ζ − e sin tk−1 , k = 1, n

(4.1.11)

Demonstr˘am c˘a acest procedeu iterativ de aproximare este convergent, adic˘a ¸sirul (En )n≥0 este convergent. Consider˘am seria E0 + (E1 − E0 ) + (E2 − E1 ) + ... + (En − En−1 ) + ...

(4.1.12)

Observ˘am, c˘a convergent¸a seriei (4.1.12) implic˘a convergent¸a ¸sirului (4.1.11). Pentru a demonstra convergent¸a seriei este necesar s˘a demonstr˘am c˘a ¯ ¯ ¯ En+1 − En ¯ ¯ ¯ ¯ En − En−1 ¯ < 1.

(4.1.13)

Dac˘a facem notat¸iile f (E) = ζ − e sin E ¸si En = f (En−1 ) = ζ − e sin En−1

(4.1.14)

atunci inegalitatea (4.1.13) este echivalent˘a cu ¯ ¯ ¯ f (En ) − f (En−1 ) ¯ ¯ ¯ < 1. ¯ ¯ En − En−1

(4.1.15)

Deoarece f este continu˘a ¸si derivabil˘a pe R, implicit pe [En−1 , En ] ¸si respectiv pe (En−1 , En ) , rezult˘a conform teoremei lui Lagrange c˘a exist˘a Eν ∈ (En−1 , En ) astfel ˆıncât f (En ) − f (En−1 ) = f 0 (Eν ) . En − En−1

(4.1.16)

Inegalitatea (4.1.13) ¸tinând seama de relat¸iile (4.1.14) - (4.1.16) este adev˘arat˘a: ¯ ¯ ¯ En+1 − En ¯ 0 ¯ ¯ ¯ En − En−1 ¯ = |f (Eν )| < 1, ceea ce demonstreaz˘a c˘a procesul de iterat¸ie este convergent.

(4.1.17)

˘ 4.2. VECTORII DE POZIT ¸ IE S¸I VITEZA

4.2

45

Vectorii de pozit¸ie ¸si vitez˘ a ˆın funct¸ie de anomalia adev˘ arat˘ a

Consider˘am mi¸scarea celor dou˘a corpuri de mas˘a m1 ¸si m2 ˆıntr-un sistem de coordonate carteziene inert¸ial cu originea fixat˘a ˆın masa m1 . Planul fundamental al → sistemului este planul normal, pe vectorul moment cinetic c iar direct¸ia principal˘a − → este vectorul Laplace P . Fie

→ 1 − − → iP = · P P − → 1 → ic = · −c c − → − → − → iQ = ic × iP .

− → − → − → Figura 4.1: Sistemul de coordonate de versori iP , iQ ¸si ic . → Vectorul de pozit¸ie − r are expresia − → − → − → r = r cos φ iP + r sin φ iQ .

(4.2.1)

Pentru a obt¸ine viteza, diferent¸iem ecuat¸ia (4.2.1) ¸si obt¸inem . → − − → − → r = (r˙ cos φ − rφ˙ sin φ) iP + (r sin φ + rφ˙ cos φ) iQ .

Din legea a doua a lui Kepler ˆıl obt¸inem pe φ˙

(4.2.2)


46

r2 φ˙ = c =

√

µp.

(4.2.3)

Diferent¸iind ecuat¸ia conicei r=

p (1 + e cos φ)

obt¸inem vectorul de vitez˘a r˙ r˙ = (

e sin φ 2 ˙ )r φ. p

Din relat¸ia (4.2.3) obt¸inem r µ r˙ = e sin φ. p

(4.2.4) .

→ r obt¸inem Introducând relat¸iile (4.2.3) ¸si (4.2.4) ˆın expresia lui − r r √ √ . r sin φ µp → r cos φ µp − µ µ − → − → r = [(e sin φ) cos φ − ] i + [(e sin φ) sin φ − ] iQ P p r2 p r2 r =

µ p→ − [e sin φ cos φ − sin φ ] iP + p r

r

µ p→ − [e sin2 φ + cos φ ] iQ . p r

(4.2.5)

T ¸ inând seama de ecuat¸ia (3.1.5) ˆın expresia precedent˘a a vectorului vitez˘a (4.2.5) g˘asim .

− → r=

r

µ → − [e sin φ cos φ − sin φ(1 + e cos φ) iP + p

r

µ − → [e sin2 φ + cos φ(1 + e cos φ)] iQ . p

Dup˘a simplific˘ari g˘asim c˘a .

− → r=

r

µ − → − → [(− sin φ) iP + (e + cos φ) iQ ]. p

(4.2.6)

.

− − Ecuat¸ia (4.2.1) pentru → r ¸si ecuat¸ia (4.2.6) pentru → r ne ofer˘a expresii pentru vectori de pozit¸ie si de vitez˘a ˆın funct¸ie de anomalia adevarat˘a. Urm˘atorul pas ˆın obt¸inerea solut¸iilor va fi eliminarea anomaliei adevarate φ ˆın favoarea anomaliei excentrice E.

˘ 4.3. VECTORII DE POZIT ¸ IE S¸I VITEZA

4.3

47

Vectorii de pozit¸ie ¸si vitez˘ a ˆın funct¸ie de anomalia excentric˘ a Pentru vectorii de pozit¸ie r, avem urm˘atoarele dou˘a ecuat¸ii r=

a(1 − e2 ) = a(1 − e cos E) 1 + e cos φ

de unde g˘asim c˘a cos φ =

cos E − e . 1 − e cos E

(4.3.1)

Cum r µ r˙ = e sin φ p ¸si r = a(1 − e cos E)

(4.3.2)

atunci ˙ r˙ = ae sin E E. Din ecuat¸ia p r µ/a dE 1 µ = = dt a(1 − e cos E) r a

(4.3.3)

p e µ/a sin E r˙ = a(1 − e cos E)

(4.3.4)

¸si (4.3.2) obt¸inem

sau ¸tinând seama de (4.1.5) sub form˘a echivalent˘a √ rr˙ = e µa sin E.

(4.3.5)


48

Din relat¸iile (4.2.1) ¸si (4.3.4) obt¸inem r sin φ =

p sin E a 1 − e cos E

¸si cum p ≡ a(1 − e2 ) avem √ sin φ =

1 − e2 sin E . 1 − e cos E

(4.3.6)

Înlocuind relat¸iile (4.3.1) ¸si (4.3.4) ˆın ecuat¸ia (4.2.1) avem → − − → → − r = r cos φ iP + r sin φ iQ √ cos E − e − 1 − e2 sin E → → − = r[ ] iP + r[ ] iQ . 1 − e cos E 1 − e cos E Deoarece r = a(1 − e cos E) ¸si p = a(1 − e2 ) avem → − √ − → − → r = a(cos E − e) iP + ap sin E iQ .

(4.3.7)

Diferent¸iind relat¸ia (4.3.7) obt¸inem . − → √ − → − → r = −a sin E · E iP + ap cos E · E iQ

sau ¸tinând seama de (4.3.7) ¸si (4.3.8) g˘asim urm˘atoarea expresie √ √ . µa µp − → → − − → r=− sin E iP + cos E · iQ . r r

(4.3.8) . →

→ Ecuat¸iile (4.3.7) ¸si (4.3.8) ne dau expresiile pentru − r ¸si r ˆın funct¸ie de anomalia excentric˘a E.

4.4. ELEMENTE ORBITALE

4.4

49

Elemente orbitale Elementele orbitale kepleriene sunt cosiderate urm˘atoarele (vezi Fig. 4.2) - semiaxa mare a; - excentricitatea e; - timpul trecerii la pericentru tπ ; - unghiul nodal ascendent Ω; - ˆınclinat¸ia i; - argumentul la pericentru ω.

Aceste elemente sunt ¸si integrale de mi¸scare ˆın sistemul de ecuat¸ii diferent¸iale. Vom considera urm˘atoarea problem˘a: . → → r , se cer elementele arbitrare Se dau pozit¸ia ¸si viteza la un moment dat t, − r ¸si − a, e, tπ , i, Ω si $. Vom da urm˘atorul algoritm de calcul. a) Calcul˘am energia ¸si semiaxa mare

h=

→ r = |− r|

(4.4.1)

. . µ 1− → → r − r ·− 2 r

(4.4.2)

a=−

µ . 2h

(4.4.3)

b) Calcul˘am momentul cinetic, vectorul lui Laplace ¸si excentricitatea .

→ − → → c =− r× r

. − → µ → −c × − → P = ·− r − → r r

− → P = kP k


50

e=

P . µ

(4.4.4)

Deoarece 2 1 − −c = c = a(1 − e2 ) ·→ c ·→ µ µ

atunci avem s e=

1−

c2 . aµ

(4.4.5)

c) Calcul˘am timpul trecerii la pericentru e cos E = 1 −

r a .

→ − → r r·− e sin E = √ µa E = arctg(

e sin E ) e cos E

r n=

tπ = t −

µ a3

1 (E − e sin E). n

(4.4.6)

Observat¸ii: 1. Pentru calculul excentricit˘a¸tii putem de asemenea folosi ¸si ecuat¸ia: e=

p

(e cos E)2 + (e sin E)2 .

(4.4.7)

2. Când e tinde la 0 valoarea numeric˘a pentru anomalia excentric˘a devine nedefinit˘a. 0 E −→ arctg( ) 0

4.4. ELEMENTE ORBITALE

51

Figura 4.2: Sistemul inert¸ial al elementelor orbitale ¸si astfel timpul trecerii la pericentru (tπ ) devine nedefinit. d) Calcul˘am ˆınclinat¸ia ¸si unghiul nodal − → → i = arccos( k · − c) unde → c − → − ic = ; i ∈ (00 , 1800 ) c

(4.4.8)

Orbitele cu 00 ≤ i ≤ 900 se numesc orbite directe ¸si orbitele ˆıntre 900 ≤ i ≤ 1800 se numesc orbite retrograde. Cum

− → − → i · ic = sin Ω sin i

¸si

− → → j · −c = − cos Ω sin i. Prin ˆımp˘art¸ire obt¸inem

sau

− → − → sin Ω sin i i · ic = → tgΩ = − − →, cos Ω sin i − j · ic Ã − → − → ! i · ic Ω = arctg − → → − . − j · ic

(4.4.9)

52


Din Figura 4.2 observ˘am Ω ∈ (00 , 3600 ). Atunci când i −→ 0 , sin i −→ 0 ¸si ecuatia (4.4.9) devine

0 Ω −→ arctg( ) 0

¸si Ω devine nedefinit. Planul orbital se apropie de planul ecuatorial ¸si se intersecteaz˘a oriunde ˆın planul ecuatorial. e) Calcul˘am argumentul pentru pericentru

− → − → cos ω = iN · iP

→ − − → → − sin ω = ic · iN × iP

ω = arctg(

sin ω ). cos ω

(4.4.10)

Din Figura 4.2 observ˘am c˘a ω ∈ (00 , 3600 ). Observ˘am c˘a atunci când e −→ 0, − → P devine nedefinit:

− → → 1 − 1 − → iP = → − · P = (µe) · P kP k

→

→

astfel ω devine nedefinit. De asemenea când i −→ 0 atunci iN ¸si ω devin nedefinite.

4.5. ALTE SISTEME DE ELEMENTE ORBITALE

4.5

53

Alte sisteme de elemente orbitale

4.5.1

Elementele lui Delaunay

Elementele lui Delaunay sunt date de urm˘atoarele relat¸ii r lD = M =

µ (t − tπ ) a3

gD = ω hD = Ω LD = p

GD =

√

µa

µa(1 − e2 ) = c

p µa(1 − e2 ) cos i.

HD =

Aceste transform˘ari sunt doar schimb˘ari de notat¸ie a elementelor kepleriene pentru anomalia medie, argumentul la pericentru, nodul ascendent ¸si momentul cinetic. Init¸iala D de la elementele Delaunay este opt¸ional˘a. Se folose¸ste init¸iala pentru a se evita confuzia cu alte elemente definite.

4.5.2

Elementele lui Poincar´ e

Elementele lui Poincaré sunt date de urm˘atoarele relat¸ii ρ1 = LD ρ2 =

p

ρ3 =

2(LD − GD ) cos(gd + hd )

p

2(GD − HD ) cos hD

54


σ1 = lD + gD + hD σ2 = −

p

2(LD − GD ) sin(gD + hD )

p σ3 = − 2(GD − HD ) sin hD . Avantajul elementelor lui Poincaré ˆın raport cu elementele kepleriene este c˘a acestea r˘amân definite pentru ˆınclinat¸ii ¸si valori ale excentricit˘a¸tii foarte mici. Consider˘am urmatoarele cazuri: Cazul a: Înclinat¸ie mic˘a : i −→ 0, HD −→ GD si ρ3 , σ3 −→ 0. Chiar ¸si unghiul nodal (hD = Ω) devine nedefinit , dar acest lucru nu conteaz˘a deoarece suma gD + hD este folosit˘a ˆın elementele σ1 , σ2 ¸si ρ2 . Cazul b: Excentricitatea mic˘a : e −→ 0, GD −→ LD si ρ2 , σ2 −→ 0. Argumentul pericentrului (gD = ω) devine nedefinit pentru acest caz , dar acest lucru nu conteaz˘a deoarece gD apare numai ˆın suma gD + hD prin elementul σ1 .

Capitolul 5 Funct¸iile astrodinamice fundamentale f ¸si g În acest capitol vom prezenta solut¸ia problemei celor dou˘a corpuri reprezentat˘a ˆıntr-un sistem de coordonate carteziene inert¸ial . Pentru obt¸inerea unei solut¸ii este suficient s˘a reducem problema celor dou˘a corpuri la ¸sase integrale independente de mi¸scare . În cele mai multe aplicat¸ii practice este util s˘a avem solut¸ii ˆın coordonate carteziene inert¸iale. Vom considera solut¸iile → → → din Capitolul 4 exprimate prin versorii iP , iQ , ic pentru a ajunge la solut¸ii de forma .

→ − → → ro g r =− ro f + − .

.

. − → → → ro g˙ r=− ro f + − .

.

unde f , g , f ¸si g sunt funct¸ii care depind de condit¸ii init¸iale ¸si de timp.

5.1

Determinarea funct¸iilor f ¸si g

Am ar˘atat ˆın capitolul anterior c˘a vectorii de pozit¸ie ¸si vitez˘a pot fi exprimate − → − → − → ˆın sistemul planului orbital definit de vectorii unitate iP , iQ ¸si ic prin expresiile − → − → − → r = l iP + m iQ 55

(5.1.1)

56

CAPITOLUL 5. FUNCT ¸ IILE ASTRODINAMICE FUNDAMENTALE .

. − . − → → − → r =l iP + m iQ . .

(5.1.2)

.

Funct¸iile l, m , l ¸si m sunt date ˆın ecuat¸iile (4.2.1) ¸si (4.2.6) funct¸ie de anomalia adevarat˘a l = r cos φ

(5.1.3)

m = r sin φ

(5.1.4)

r ˙l = − µ sin φ p

(5.1.5)

r m ˙ =

µ (e + cos φ). p

(5.1.6)

Alt˘a mult¸ime de astfel de funct¸ii sunt date ˆın ecuat¸iile (4.3.7) ¸si (4.3.8) ˆın termenii anomaliei excentrice: l = a(cos E − e)

m=

√

(5.1.7)

ap sin E

(5.1.8)

√ ˙l = − µa sin E r

(5.1.9)

√ m ˙ =

µp cos E. r

(5.1.10) .

→ → Vom ar˘ata c˘a ecuat¸iile (5.1.1) ¸si (5.1.2) pentru − r ¸si − r pot fi transformate . − → − → ˆıntr-o solut¸ie cu condit¸iile init¸iale r0 , r0 ¸si t0 . La timpul init¸ial t0 , ecuat¸iile (5.1.1) ¸si (5.1.2) devin → − − → →− → − → r0 = l0 iP + − m0 iQ

(5.1.11)

5.1. DETERMINAREA FUNCT ¸ IILOR F S¸I G

57

. . − → − → . − → r0 =l0 iP + m0 iQ .

(5.1.12)

În cele ce urmeaz˘a vom rezolva ecuat¸iile (5.1.11) ¸si (5.1.12) pentru a afla versorii − → − → iP ¸si iQ . − → − → − → → − r0 = x0 i + y0 j + z0 k .

− → − → − → → − r0 = x˙ 0 i + y˙ 0 j + z˙0 k − → − → − → − → ip = Px i + Py j + Pz k − → − → − → − → iQ = Qx i + Qy j + Qz k unde − → − − → − → − → → − → Px = i · iP , Py = j · iP , Pz = k · iP − → → − → → − − → − → − Qx = i · iQ , Qy = j · iQ , Qz = k · iQ . Pentru componenta x, ecuat¸iile (5.1.11) ¸si (5.1.12) devin: x0 = l0 Px + m0 Qx .

.

.

x0 =l0 Px + m0 Qx

(5.1.13)

sau ˆın notat¸ie matricial˘a µ ¶ µ lo xo = . . xo lo

mo . mo

¶µ

¶ Px . Qx

Din ecuat¸ia (5.1.14) g˘asim c˘a µ

sau

Px Qx

¶

µ . 1 mo . = ∆ lo

− mo − lo

¶µ ¶ xo . xo

(5.1.14)

58

CAPITOLUL 5. FUNCT ¸ IILE ASTRODINAMICE FUNDAMENTALE

Px =

1 . . (mo xo − mo xo ) ∆

(5.1.15)

Qx =

. 1 . (− lo xo + lo xo ) ∆

(5.1.16)

unde determinantul matricii este .

.

∆ = lo mo −mo lo . Analog vom obt¸ine ¸si componentele dup˘a y ¸si z. Din ecuat¸iile (5.1.14) ¸si (5.1.15) g˘asim c˘a . 1 . → − → → ro − mo − ro ) iP = (mo − ∆

(5.1.17)

. . 1 − → → → iQ = (− lo − ro ). ro + lo − ∆

(5.1.18)

Pentru a determina pe ∆ vom folosi expresia momentului cinetic, ecuat¸iile − → − → → − − → (5.1.11) ¸si (5.1.12) ¸si ¸tinând seama c˘a iP × iP = 0 ¸si iQ × iQ = 0, obt¸inem . . − → − → − → − → → −c = l m o o ( iP × iQ ) − mo l o ( iQ × iP ).

− → − → → − Dac˘a iQ × iP = ic avem

Deci

. → . − − → → −c = (l m o −mo l o ) ic = c · ic . o

(5.1.19)

√ . c = ∆ = l0 m0 −m0 l˙0 = µp.

(5.1.20)

Ecuat¸iile (5.1.17) ¸si (5.1.18) devin . 1 . → → − → ro ) ro − mo − iP = √ (mo − µp

(5.1.21)

. . 1 − → → → ro ). ro + lo − iQ = √ (− lo − µp

(5.1.22)

Introducând ecuat¸iile (5.1.21), (5.1.22) ˆın ecuat¸iile (5.1.1) , (5.1.2) g˘asim pen→ tru vectorul de pozit¸ie − r urm˘atoarea expresie

5.1. DETERMINAREA FUNCT ¸ IILOR F S¸I G

59

. . . 1 . − − → → → → r = √ [l(mo → ro − mo − ro ) + m(− lo − ro + lo − ro )] µp

sau sub form˘a echivalent˘a . . 1 1 . → → − → ro + √ (−l mo + m lo ) − ro . r = √ (l mo −m lo )− µp µp

(5.1.23)

. − → − → → Putem obt¸ine vectorul vitez˘a − r ˆıntr-o manier˘a similar˘a ˆınlocuind iP ¸si iQ ˆın . → ecuat¸ia (5.1.2) a lui − r.

Un procedeu mai simplu este s˘a deriv˘am ˆın raport cu timpul expresia (5.1.23) . . . 1 . . 1 . . − . − → − r = √ (l mo − m lo )→ ro + √ (− l mo + m lo ) → ro . µp µp

(5.1.24)

Introducem funct¸iile . 1 . f = √ (l mo −m lo ) µp

(5.1.25)

1 g = √ (−l mo + m lo ) µp

(5.1.26)

. . 1 . . f = √ (l mo −m ˙ lo ) µp

(5.1.27)

. 1 . . g = √ (−l mo + m lo ). µp

(5.1.28)

¸si derivatele lor

.

→ → T ¸ inând seama de ecuat¸iile (5.1.25) - (5.1.28) ˆın expresiile lui − r ¸si − r (5.1.23) ¸si (5.1.24) obt¸inem : .

− → → → r =f − ro + g − ro .

.

. . → − → → ro . r =f − ro + g −

Din expresia momentului cinetic

(5.1.29) (5.1.30)

60


− → → → r×− r=− c .

.

→ → → − ¸tinˆınd seama c˘a − ro × − ro = 0 ¸si − ro × → ro = 0, obt¸inem .

.

. . → − → → − → c = f g (− ro × − ro ) + g f (→ ro ×− ro ).

Cum .

.

− → → → − → c =− r×− r=→ ro × − ro = constant . . − → −c c = (f g −g f )→

(5.1.31)

obt¸inem urm˘atoarea relat¸ie important˘a f g˙ − g f˙ = 1.

5.2

(5.1.32)

Funct¸iile f ¸si g - ˆın funct¸ie de anomalia adev˘ arat˘ a .

. Înlocuim funct¸iile l, m, l ¸si m , date ˆın ecuat¸iile (5.1.3)-(5.1.6), ˆın ecuat¸iile . . (5.1.25)-(5.1.28) pentru f, g, f , g . Ecuat¸ia (5.1.25) devine . 1 . f = √ (l mo −m lo ) = µp

1 = √ [(r − cos φ) µp | {z }

r µ µ (e + cos φo ) − (r sin φ) (− sin φo )] | {z } p p {z } {z } | | .

l r f=√ µp

r

mo r

m

µ [cos φ(e + cos φo ) + sin φ sin φo ] p

r f = [e cos φ + cos φ cos φo + sin φ sin φo ]. p

.

lo

˘ ˘ 5.2. FUNCT ¸ IILE F S¸I G - ÎN FUNCT ¸ IE DE ANOMALIA ADEVARAT A

61

Am ar˘atat c˘a r=

p 1 + e cos φ

unde e cos φ =

p − 1. r

Ecuat¸ia (5.1.25) ia urm˘atoarea form˘a simplificat˘a r p f = [ − 1 + cos(φ − φo )]. p r Folosind notat¸ia ∆φ = φ − φo ,

(5.2.1)

r f = 1 − (1 − cos ∆φ). p

(5.2.2)

ecuat¸ia pentru f devine

Pentru g vom ˆınlocui ecuat¸iile (5.1.3) ¸si (5.1.4) ˆın ecuat¸ia (5.1.26)

1 g = √ (−lmo + mlo ) = [−r cos φ ro sin φo + r sin φ | {z } | {z } | {z } µp l mo m

1 ro cos φo ] · √ | {z } µp lo

rro = √ (sin φ cos φo − cos φ sin φo ). µp Vom obt¸ine pentru g urm˘atoarea expresie rro g = √ sin ∆φ. µp T ¸ inând seama de ecuat¸iile (5.1.3) - (5.1.6) ˆın (5.1.28) obt¸inem

(5.2.3)

62


. 1 . g˙ = √ (− l mo + m lo ) = µp r r 1 µ µ = √ [− (− sin φ) ro sin φo + (e + cos φ) ro cos φo ] = | {z } | {z } µp p p | {z } | {z } .

lo

ro =√ µp

r

m

m

lo

µ ro [sin φ sin φo + cos φ cos φo + e cos φo ] = [cos(φ − φo ) + e cos φo ]. p p

T ¸ inând seama de relat¸ia e cos φo =

p −1 ro

obt¸inem g˙ = 1 −

ro (1 − cos ∆φ). p

(5.2.4)

Pentru a obt¸ine o expresie pentru f˙ vom ˆınlocui ecuat¸iile (5.2.3) - (5.2.4) ˆın (5.1.32) . r ro −g f = 1 − [1 − (1 − cos ∆φ)][1 − (1 − cos ∆φ)] p p

sau √

µp 1 − cos ∆φ rro · [r + ro − (1 − cos ∆φ)]. rro sin ∆φ p p

.

− f=

În final obt¸inem pentru f˙ expresia : .

f=

r

µ 1 − cos ∆φ 1 1 1 ( )[ (1 − cos ∆φ) − − ]. p sin ∆φ p ro r .

(5.2.5)

.

Rezumând, funct¸iile f, g , f ¸si g ˆın funct¸ii de anomalia adev˘arat˘a φ sunt r f = 1 − (1 − cos ∆φ) p

(5.2.6)

˘ 5.3. FUNCT ¸ IILE F S¸I G ÎN FUNCT ¸ IE DE ANOMALIA EXCENTRICA rro g = √ sin ∆φ µp .

g= 1 − r f˙ =

5.3

ro (1 − cos ∆φ) p

1 1 µ 1 − cos ∆φ 1 ( )[ (1 − cos ∆φ) − − ]. p sin ∆φ p ro r

63

(5.2.7) (5.2.8)

(5.2.9)

Funct¸iile f ¸si g ˆın funct¸ie de anomalia excentric˘ a .

. Înlocuim funct¸iile l, m, l ¸si m, date ˆın ecuat¸iile (5.1.3) - (5.1.6), ˆın ecuat¸ia (5.1.25) pentru f . . 1 . f = √ (l mo −m lo ) µp

1 = √ [a(cos E − e) µp = =

√

√ µp µp √ · cos Eo − ap sin E · (− sinEo ) ] = ro ro

a [(cos E − e) cos Eo + sin E sin Eo ] ro

a [−e cos Eo + cos E cos Eo + sin E sin Eo ]. ro

Din relat¸ia ro = a(1 − e cos Eo ) obt¸inem e cos Eo = 1 −

ro . a

Astfel ecuat¸ia (5.1.25) cap˘at˘a urm˘atoarea form˘a simplificat˘a:

64


f=

a ro [ − 1 + cos(E − Eo )]. ro a

(5.3.1)

Folosim notat¸ia ∆E = E − Eo

(5.3.2)

ecuat¸ia pentru f devine f =1−

a (1 − cos ∆E). ro

(5.3.3)

Derivând ecuat¸ia (5.3.3) vom obt¸ine ecuat¸ia pentru f˙ a d a dE (cos ∆E) = − sin ∆E . ro dt ro dt T ¸ inând seama de relat¸ia (4.3.5) .

f=

pµ dE a = dt r ecuat¸ia ˆın f˙ devine

√

µa f˙ = − sin ∆E. rro

(5.3.4)

Înlocuind ecuat¸iile (5.1.3) - (5.1.10) ˆın ecuat¸ia (5.1.28) g˘asim pentru g˙ √ √ . µa µp 1 1 √ ˙ o + ml g = √ (−lm ˙ o) = √ [ sin E ap sin Eo + cos Ea (cos Eo − e)] µp µp r r √ 1 a µp =√ [sin E sin Eo + cos E cos Eo − e cos E] µp r sau . a g = 1 − (1 − cos ∆E). r

(5.3.5)

Pentru a obt¸ine o expresie pentru g , vom integra ecuat¸ia (5.3.5) sub forma a dt dg dt = [1 − (1 − cos ∆E)] . dt dE r dE

˘ 5.3. FUNCT ¸ IILE F S¸I G ÎN FUNCT ¸ IE DE ANOMALIA EXCENTRICA

65

¸tinând seama de relat¸ia (5.3.3) obt¸inem r dg dt a a = − (1 − cos ∆E) r dE dE r µ sau

s dg = dt −

a3 (1 − cos ∆E)dE. µ

(5.3.6)

Deoarece dE = d(E − E0 ) = d(∆E) putem integra ecuat¸ia (5.3.6) ¸si obt¸inem s g =t−

a3 (∆E − sin ∆E) + o constant˘ a. µ

Pentru a evalua constanta, avem nevoie de valorile init¸iale ale lui g. Deoarece .

→ − → → ro r = f− ro + g − la t = t0 avem c˘a

→ − → r =− ro f (t0 ) = 1 g(t0 ) = 0 E = E0 .

Astfel ecuat¸ia (5.3.7) la t = t0 devine g(to ) = 0 = to + o constant˘ a de unde constanta = −to .

(5.3.7)

66

CAPITOLUL 5. FUNCT ¸ IILE ASTRODINAMICE FUNDAMENTALE Ecuat¸ia (5.3.7) va deveni s a3 (∆E − sin ∆E). µ

g = t − to − .

(5.3.8)

.

Rezumând, funct¸iile f, g, f ¸si g ˆın fuct¸ie de anomalia excentric˘a sunt a (1 − cos ∆E) ro

f =1−

(5.3.9)

√

µa f˙ = − sin ∆E rro

(5.3.10)

s a3 (∆E − sin ∆E) µ

g = t − to −

a g˙ = 1 − (1 − cos ∆E). r

(5.3.11) (5.3.12)

T ¸ inând seama de relat¸ia (5.3.5) ¸si de ecuat¸ia r = a(1 − e cos E) obt¸inem c˘a s dt =

a3 (1 + e cos E) dE. µ

(5.3.13)

Integrând relat¸ia (5.3.13) Z

s

t

dτ = t0

a3 µ

Z

E

(1 − e cos ε) dε E0

g˘asim s t − to =

a3 [E − Eo −e(sin E − sin Eo )]. µ | {z } ∆E

(5.3.14)

˘ 5.3. FUNCT ¸ IILE F S¸I G ÎN FUNCT ¸ IE DE ANOMALIA EXCENTRICA

67

Din urm˘atoarea identitate trigonometric˘a

sin E = cos Eo sin (E − Eo ) + sin Eo cos (E − Eo ) | {z } | {z } ∆E ∆E obt¸inem e(sin E − sin Eo ) = e[cos Eo sin ∆E + sin Eo cos ∆E − sin Eo ] = (e cos Eo ) sin ∆E + (e sin Eo )(cos ∆E − 1).

(5.3.15)

Deoarece e cos Eo = 1 −

ro a

→ − → ro · − ro e sin Eo = √ µa ecuat¸ia (5.3.15) devine .

− → − ro ·→ ro ro e(sin E − sin Eo ) = (1 − ) sin ∆E − √ (1 − cos ∆E). a µa Înlocuind acest rezultat ˆın ecuat¸ia (5.3.14) obt¸inem s t − to =

.

− → → ro · − ro a3 ro [∆E − (1 − ) sin ∆E + √ (1 − cos ∆E)]. µ a µa

(5.3.16)

Aceasta este ecuat¸ia lui Kepler ˆın raport cu timpul t ¸si anomalia excentric˘a ∆E. Din ecuat¸ia r r= unde am folosit ecuat¸ia

µ dt a d(∆E)

68


d(∆E) = a(E − Eo ) = dE ¸si din ecuat¸ia precedent˘a, g˘asim c˘a .

− → → ro ro · − ro r = a[1 − (1 − ) cos ∆E + √ sin ∆E]. a µa Observ˘am c˘a ˆın ecuat¸ia (5.3.17) apare numai un singur element orbital (semiaxa mare) ¸si singura restrict¸ie este ca orbita s˘a fie eliptic˘a (a > 0).

5.4

Funct¸iile f ¸si g - ˆın funct¸ie de variabilele universale

Scopul acestui paragraf este acela de a exprima funct¸iile f ¸si g printr-o nou˘a variabil˘a valabil˘a pentru toate orbitele . Vom prezenta câteva considerente referitoare la funct¸iile Stumpff necesare studiului nostru . Funct¸iile Stumpff sunt date de seriile cn (z) =

∞ X k=0

(−1)k

zk (2k + n)!

unde n = 0, 1, 2, 3, ... . Fie z = αj s2 , atunci primi termeni c0 , c1¸si c2 sunt  √  cos √z ch −z c0 = c0 (z) =  1  √ sin z √   √z sh c1 = c1 (z) = √ −z −z   1  √ (1−cos z)   z √ (ch −z−1) c2 = c2 (z) =   1 −z 2

αj > 0 αj < 0 αj = 0 αj > 0 αj < 0 αj = 0 αj > 0 αj < 0 αj = 0.

5.4. FUNCT ¸ IILE F S¸I G - ÎN FUNCT ¸ IE DE VARIABILELE UNIVERSALE 69 Observ˘am c˘a aceast˘a clas˘a de serii infinite reprezint˘a ˆımpreun˘a atât funct¸ii trigonometrice (α > 0) cât ¸si funct¸ii hiperbolice (α < 0). Cazul funct¸iilor parabolice (α = 0) este deasemenea inclus, deoarece cn (0) =

1 . n!

Din definit¸ie observ˘am c˘a cn (z) + zcn+2 (z) =

1 . n!

Funct¸iile Stumpff au o formul˘a de derivare convenabil˘a. De exemplu, 2z

dcn (z) = cn−1 (z) − ncn (z) , n > 0 dz

¸si dcn (z) 1 = [ncn+2 (z) − cn+1 (z)] , n ≥ 0 . dz 2 În cazul cˆınd z = αs2 avem dz = 2αs ds ¸si formula pentru prima derivat˘a devine 2αs2

dcn (αs2 ) dz = [cn−1 (αs2 ) − ncn (αs2 )]2αs dz ds

sau s

dcn (αs2 ) = cn−1 (αs2 ) − ncn (αs2 ). dz

Formula derivatei a doua devine dcn (αs2 ) dz 1 = [ncn+2 (αs2 ) − cn+1 (αs2 )]2αs dz ds 2 sau

70

CAPITOLUL 5. FUNCT ¸ IILE ASTRODINAMICE FUNDAMENTALE dcn (αs2 ) = αs[ncn+2 (αs2 ) − cn+1 (αs2 )]. dz

Dac˘a privim pe αs2 ca argument al funct¸iei Stumpff ¸si not˘am cu 0

() =

d ds

atunci aceste dou˘a ecuat¸ii ale derivatelor devin: 0

scn = cn−1 − ncn , n > 0 0

cn = αs(cn+2 − cn+1 ) , n ≥ 0. De asemenea avem urm˘atoarea identitate pentru integrare Z sk ck (ρs2 )ds = sk+1 ck+1 (ρs2 ). Câteva dintre aceste integrale sunt

c20 (z) + zc21 (z) c20 (z) − zc21 (z) c20 (z) c21 (z) c1 (4z)

= = = = =

1 c0 (4z) 1 − 2zc2 (4z) 2c2 (4z) c20 (z)c1 (z).

Vom introduce funct¸iile S(z) ¸si C(z) definite precum urmeaz˘a: S(z) =

1 z z2 − + − ... , 3! 5! 7!

pentru z > 0 avem √ S(z) =

√ z − sin z √ ( z)3

iar pentru z < 0 avem √ √ sh −z − −z √ S(z) = ; ( −z)3

(5.4.1)

5.4. FUNCT ¸ IILE F S¸I G - ÎN FUNCT ¸ IE DE VARIABILELE UNIVERSALE 71 pentru z > 0 avem 1 z z2 C(z) = − + − ... 2! 4! 6!

(5.4.2)

sau 1 − cos C(z) = z iar pentru z < 0 avem

√

z

√ ch −z − 1 C(z) = . −z

Din considerentele teoretice precedente referitoare la funct¸iile Stumpff observ˘am c˘a: S(z) = c3 (z) C(z) = c2 (z) dC(z) 1 = (1 − zS(z) − 2C(z)) dz 2z dS(z) 1 = (C(z) − 3S(z)). dz 2z Vom introduce funct¸iile S(z) ¸si C(z) ˆın expresiile funct¸iilor f, g, f˙ ¸si g˙ date ˆın ecuat¸iile (5.3.8) - (5.3.12) ca ¸si ˆın ecuat¸ia lui Kepler (5.3.16). În aceste ecuat¸ii vom introduce funct¸iile trigonometrice sin ∆E ¸si cos ∆E. Utilizând dezvoltarea ˆın serie a funct¸iei cos ∆E cos ∆E = 1 −

(∆E)2 (∆E)4 (∆E)6 + − + ... 2! 4! 6!

(5.4.3)

vom defini variabila auxiliar˘a prin expresia ∆E = sau

√

αo · x

(5.4.4)

72

CAPITOLUL 5. FUNCT ¸ IILE ASTRODINAMICE FUNDAMENTALE ∆E x= √ . αo Am notat cu αo =

1 a

a fiind semiaxa mare. Observ˘am c˘a αo > 0 pentru orbitele eliptice, αo < 0 pentru orbitele hiperbolice si αo = 0 pentru orbitele parabolice. Expresia (5.4.3) a lui cos ∆E ˆın x ¸tinând seama de (5.4.4) devine: cos ∆E = 1 −

αo x2 αo2 x4 αo3 x6 + − + ... 2! 4! 6!

sau dând factor comun pe αo x2 avem: cos ∆E = 1 − αo x2 [

1 αo x2 αo2 x4 − + − ...]. 2! 4! 6!

T ¸ inˆınd seama de expresia (5.4.2) a lui C(z) obt¸inem cos ∆E = 1 − αo x2 C(αo x2 ).

(5.4.5)

Acela¸si procedeu ˆıl vom folosi ¸si pentru sin ∆E sin ∆E = ∆E(1 −

(∆E)2 (∆E)4 (∆E)6 + − + ...) 3! 5! 7!

sau sin ∆E = ∆E(1 − (∆E)2 [

1 (∆E)2 (∆E)4 + − + ...]). 3! 5! 7!

T ¸ inând seama de (5.4.5) ecuat¸ia (5.4.6) devine sin ∆E =

√

αo x(1 − αo x2 [

sau folosind expresia (5.4.1) a lui S(z)

(∆E)2 (∆E)4 1 + − + ...]). 3! 5! 7!

(5.4.6)

5.4. FUNCT ¸ IILE F S¸I G - ÎN FUNCT ¸ IE DE VARIABILELE UNIVERSALE 73

sin ∆E =

√

αo x[1 − αo x2 S(αo x2 )].

(5.4.7)

Înlocuind ecuat¸ia (5.4.5) ˆın ecuat¸ia (5.3.3) avem urm˘atoarea ecuat¸ie x2 f = 1 − C(αo x2 ). ro

(5.4.8)

Similar, din ecuat¸ia (5.3.4) ¸si ecuat¸ia (5.4.6) √

µa f˙ = − sin ∆E. rro Din ecuat¸iile (5.3.5) ¸si (5.4.5) obt¸inem √

¡ ¢ ¤ µa £ f˙ = − αo x3 S αo x2 − x . rro

(5.4.9)

Din ecuat¸iile (5.3.5) ¸si (5.4.5) obt¸inem ecuat¸ia lui g˙ g˙ = 1 −

x2 C(αo x2 ). r

Din ecuat¸iile (5.3.8) ¸si (5.4.6) avem urm˘atoarea ecuat¸ie 1 g = t − to − √ x3 S(αo x2 ). µ .

(5.4.10)

.

Rezumând funct¸iile f, g,f ¸si g exprimate cu variabilele universale sunt: f =1−

x2 C(αo x2 ). ro

(5.4.11)

√

µ [αo x3 S(αo x2 ) − x] rro

(5.4.12)

1 g = t − to − √ x3 S(αo x2 ) µ

(5.4.13)

.

f=

g˙ = 1 −

x2 C(αo x2 ). r

(5.4.14)

74

CAPITOLUL 5. FUNCT ¸ IILE ASTRODINAMICE FUNDAMENTALE Ecuat¸ia lui Kepler (5.3.16) ¸tinând seama de ecuat¸iile (5.4.5) ¸si (5.4.6) devine: 3 √ 1 [αo2 x3 S(αo x2 ) + ro αo αo x(1 − αo x2 S(αo x2 ))+ t − to = p µαo3

r . αo − → + ro )αo x2 C(αo x2 )] (→ ro · − µ sau .

√

− → − ro → ro µ(t − to ) = √ x2 C(αo x2 ) + x3 S(αo x2 )(1 − ro αo ) + ro x. µa

(5.4.15)

Din expresia lui r funct¸ie de anomalia excentric˘a ¸tinând seama de (5.4.5) ¸si (5.4.7) obt¸inem .

− → − ro → ro ro r = a[1 − (1 − ) cos ∆E + √ sin ∆E] a µa =

1 [αo x2 C(αo x2 ) + ro αo (1 − αo x2 C(αo x2 ))+ αo .

→ → +− ro − ro

r

αo √ αo x(1 − αo x2 S(αo x2 ))] µ

sau .

− − → ro → ro r = ro + x2 C(αo x2 )(1 − ro αo ) + √ x(1 − αo x2 S(αo x2 )). µ Alternativ, putem obtine ecuat¸ia pentru distant¸a r ˆın variabile universale folosind expresia lui r funct¸ie de anomalia excentric˘a a¸sa cum am f˘acut ˆın paragraful precedent r r= Deoarece

dt µ · . a d(∆E)

5.5. FUNCT ¸ IILE F S¸I G ÎN FUNCT ¸ IE DE TIMP

∆E =

√

75

αo x

obt¸inem r=

√

µαo ·

dt √ dt = µ . √ d( αo x) dx

(5.4.17)

Ecuat¸iile (5.4.11)-(5.4.15) reprezint˘a solut¸ia problemei celor dou˘a corpuri sub forma .

− → → → r = f− ro + g − ro .

.

. .→ − → → r =f − ro + g − ro .

De¸si ea fost obt¸inut˘a pentru orbitele eliptice (αo > 0) se poate ar˘ata c˘a este adev˘arat˘a ¸si de asemenea pentru orbite parabolice (αo = 0) ¸si hiperbolice (αo < 0).

5.5

Funct¸iile f ¸si g ˆın funct¸ie de timp

Funct¸iile f ¸si g pot fi considerate ¸si ca funct¸ii explicite de timp. Dac˘a ˆınlocuim ecuat¸iile (5.1.29) ¸si (5.1.30) ˆın ecuat¸ia diferent¸ial˘a a mi¸sc˘arii a problemei celor dou˘a corpuri vom obt¸ine dou˘a ecuat¸ii diferent¸iale scalare f¨ + qf = 0

(5.5.1)

g¨ + qg = 0.

(5.5.2)

Am introdus funct¸ia q= pentru care obt¸inem ecuat¸ia diferent¸ial˘a:

µ r3

(5.5.3)

76


.

r q +3q r= 0.

(5.5.4)

Ecuat¸ia diferent¸ial˘a pentru distant¸a r este c2 µ − . r3 r

..

r=

(5.5.5)

Folosind definit¸ia pentru q ecuat¸ia diferent¸iala (5.5.5) devine ..

r= q(

c2 − r). µ

(5.5.6)

Dezvolt˘am ˆın serie Taylor ˆın funct¸ie de timp funct¸iile f, g, q ¸si distant¸a r f=

∞ X

an (t − to )n

(5.5.7)

bn (t − to )n

(5.5.8)

cn (t − to )n

(5.5.9)

dn (t − to )n .

(5.5.10)

n=0

g=

∞ X n=0

q=

∞ X n=0

r=

∞ X n=0

Înlocuim cele patru serii date de ecuat¸iile (5.5.7)-(5.5.8) ˆın cele patru ecuat¸ii diferent¸iale (5.5.1), (5.5.2), (5.5.4) ¸si (5.5.5) ¸si identificând coeficient¸ii an ,bn ,cn ,dn , vom g˘asi dup˘a calcule lungi dar elementare urm˘atoarele formule de recurent¸˘a dn+2

n X 1 c2 = ( cn − cn−k dk ) (n + 1)(n + 2) µ k=0

(5.5.11)

n−1 X 1 (3co ndn + k(3cn−k dk + ck dn−k ) ndo k=1

(5.5.12)

cn = −

5.5. FUNCT ¸ IILE F S¸I G ÎN FUNCT ¸ IE DE TIMP

77

n

an+2

X −1 = ck an−k (n + 1)(n + 2) k=0

(5.5.13)

n

bn+2 =

X −1 ck bn−k . (n + 1)(n + 2) k=0

(5.5.14)

Valorile init¸iale pentru coeficient¸i sunt

f (to ) f˙(to ) g(to ) g(t ˙ o)

= = = =

ao = 1 a1 = 0 bo = 0 b1 = 1 µ q(to ) = co = 3 ro r(to ) = do = ro r(t ˙ o ) = d1 = ro . .

→ → r este acela c˘a nu este necesar Avantajul solut¸iilor astfel obt¸inute pentru − r ¸si − s˘a rezolv˘am ecuat¸ia lui Kepler.

78


Capitolul 6 P˘ amˆ antul − corp ceresc Sfericitatea P˘amântului este dovedit˘a prin mai multe fapte, dintre care amintim: Ã forma circular˘a a orizontului aparent si cre¸sterea razei lui cu altitudinea observatorului Ã variat¸ia ˆın˘alt¸imii Polului lumii, dac˘a observatorul se deplaseaz˘a, spre nord sau spre sud, de-a lungul unui meridian geografic Ã forma circular˘a a umbrei P˘amântului pe discul Lunii ˆın timpul eclipselor de Lun˘a Ã fotografiile P˘amântului obt¸inute din Cosmos cu ajutorul rachetelor ¸si satelit¸ilor artificiali Sfericitatea P˘amântului permite determinarea dimensiunilor lui. Fie dou˘a puncte O1 ¸si O2 dou˘a puncte ale globului terestru, situate pe acela¸si meridian ge_ ografic. Notând cu l lungimea arcului de meridian O1 O2 (ˆın km de exemplu), cu n0 valoarea unghiular˘a a acestui arc (ˆın grade de exemplu), iar cu R raza globului terestru, atunci rezult˘a u¸sor: R=

1800 l πn0

unde n0 este egal˘a cu diferent¸a latitudinilor geografice ale punctelor O1 ¸si O2 : n0 = φ1 − φ2 Aceast˘a metod˘a simpl˘a a fost folosit˘a pentru prima dat˘a de c˘atre Eratostene (276-195 i.e.n.). 79

80

˘ ANTUL ˆ CAPITOLUL 6. PAM − CORP CERESC

n O1 e O2 n

Figura 6.1: Determinarea razei globului terestru Mult mai complicat˘a este determinarea distant¸ei liniare l dintre punctele O1 ¸si O2 . Metoda folosit˘a este una indirect˘a numit˘a triangulat¸ie. A fost aplicat˘a pentru prima dat˘a de c˘atre W.Snellius ˆın 1615. Aceast˘a metod˘a const˘a din: alegerea, de o parte ¸si de alta a arcului de cerc pe care dorim s˘a-l m˘asur˘am, mai multor puncte (A, B, C, D, ....), la distant¸e de 30-40km unul de cel˘alalt. Punctele se aleg astfel ca din fiecare s˘a fie vizibile cel put¸in dou˘a puncte. În toate punctele se fac construct¸ii speciale, numite semnale geodezice. Se alege una din laturi drept baz˘a (de exemplu O1 A), mai departe se masoar˘a numai unghiurile din triunghiurile O1 AB, ABC, BCD, .... Cunoscând in ret¸eaua de triunghiuri o latur˘a (baza) ¸si toate unghiurile putem calcula lungimea liniei poligonale O1 BDO2 (sau O1 ACEO2 ). Trebuie ¸tinut cont de faptul c˘a triunghiurile nu sunt plane ci sferice. Determinând azimutul direct¸iei laturii O1 A (sau O1 B),liniile poligonale de mai sus pot fi proiectate pe meridianul O1 O2 adic˘a se poate obt¸ine lungimea arcului O1 O2 ˆın unit˘a¸ti liniare. În temeiul unor considerat¸ii teoretice bazate pe legea atract¸iei universale, Newton a ar˘atat c˘a, ˆın urma rotat¸iei sale, P˘amântul, ca de altfel toate planetele, trebuie s˘a aib˘a forma unui sferoid (elipsoid de revolut¸ie), turtit la poli. Turtirea se define¸ste astfel: a−b a unde: a - semiax˘a ecuatorial˘a ¸si b - semiaxa polar˘a a sferoidului. În 1964, Uniunea Astronomic˘a Internat¸ional˘a a adoptat urmatoarele valori ale elementelor elipsoidului terestru: a = 6378,16km; b = 6356,78km. ε=

Forma adevarat˘a a P˘amântului nu poate fi reprezentat˘a exact prin nici una din

6.1.

CELE TREI LATITUDINI GEOGRAFICE

81

O1

A

B

C

D E

O2

Figura 6.2: Triangulat¸ia suprafet¸ele matematice cunoscute. De aceea vorbind de forma P˘amântului se are ˆın vedere nu forma fizica a suprafet¸ei terestre, cu oceane ¸si continente, ci a¸sa-numita suprafat¸˘a a geoidului. Se nume¸ste geoid acea suprafat¸˘a de nivel (o suprafat¸a˘ la care normalele ˆın orice punct ale ei sunt verticale) a c˘arei parte vizibil˘a coincide cu suprafat¸a neagitat˘a a oceanelor; prelungind suprafat¸a oceanelor sub continente, obt¸inem suprafat¸a ˆıntregului geoid. Astfel deosebim trei suprafet¸e ale P˘amântului: − suprafat¸a fizic˘a, a¸sa cum ne apare cu formele de relief; pe ea se fac m˘asur˘arile terestre; − suprafat¸a hidrostatic˘a sau geoidul, suprafat¸a oceanelor prelungit˘a pe sub continente; la ea se reduc m˘asur˘arile terestre; − suprafat¸a matematic˘a de referint¸˘a, adic˘a suprafat¸a elipsoidului terestru; pe ea se reprezint˘a m˘asur˘arile terestre. Problema determin˘arii formei ¸si dimensiunilor exacte ale P˘amântului se rezolv˘a astazi prin m˘asur˘ari geodezice pe suprafat¸a P˘amântului (geodezia superioar˘a), prin studiul mi¸sc˘arii satelit¸ilor artificiali ai P˘amântului(geodezie cosmic˘a) ¸si prin determinarea fort¸ei de gravitat¸ie la suprafat¸a P˘amântului (gravimetrie).

6.1

Cele trei latitudini geografice

În cazul P˘amântului elipsoidal se pot definii trei latitudini geografice diferite (longitudinea r˘amâne aceea¸si ca ˆın cazul P˘amântului sferic). Astfel avem: − latitudine astronomic˘a (φ =≮ OT1 q) care este unghiul dintre direct¸ia verti-


82

calei punctului considerat (O) ¸si planul ecuatorului terestru (qq 0 ); − latitudine geocentric˘a (φ0 =≮ OT q) care este unghiul dintre raza vectoare a punctului O ¸si acela¸si plan al ecuatorului terestru; − latitudinea geodezic˘a (φ1 =≮ OT2 q) care este unghiul dintre normala la elipsoid ˆın punctul considerat ¸si acela¸si plan al ecuatorului terestru. Direct din observat¸ii astronomice se determin˘a numai latitudinea astronomic˘a. În problemele de astronomie nu se face distinct¸ie ˆıntre latitudinea geodezic˘a ¸si cea astronomic˘a (φ1 ' φ). Putem vorbi de elipsa meridian˘a (elipsa cuprins˘a ˆıntre dou˘a cercuri concentrice tangente, unul exterior cu raza a ¸si altul interior cu raza b) x2 y 2 + 2 = 1, a2 b

(x, y) ∈ R2

O putem reprezenta parametric ˆın funct¸ie de φ prin ecuat¸iile: x= p

a cos φ 1 − e2 sin2 φ

,

h π πi φ∈ − , 2 2

a (1 − e2 ) sin φ y= p , 1 − e2 sin2 φ

¡

2

l =a 1−e

¢

Z

φ2 φ1

dφ ¡

3 ¢ 2 1 − e2 sin φ 2

,

l− lungimea arcului de meridian cuprins˘a ˆıntre punctele φ1 (x) ¸si φ2 (x) p

y O

b a q

T

j j j1 T1 T2

q

x

p

Figura 6.3: Cele trei suprafet¸e terestre

6.2. VARIAT ¸ IA FORT ¸ EI DE GRAVITAT ¸ IE

6.2

83

Variat¸ia fort¸ei de gravitat¸ie la suprafat¸a P˘ amˆ antului

Studiind problema formei P˘amântului ˆın legatur˘a cu rotat¸ia lui, Newton a demonstrat c˘a fort¸a de gravitat¸ie trebuie s˘a se miçsoreze continuu de la polii P˘amântului spre ecuator. S-a stabilit c˘a valorile accelerat¸iei de gravitat¸ie pot fi reprezentate prin formula:

gφ = g0 + (g90 − g0 ) sin2 φ, g90 − g0 = 983, 2 − 978, 0 = 5, 2cm/s2 O utilizare a m˘asur˘arilor gravimetrice este studiul anomaliilor fort¸ei de gravitat¸ie, adic˘a al abaterilor accelerat¸iei gravitat¸ionale de la valorile sale medii. Anomaliile locale ale fort¸ei de gravitat¸ie pun ˆın evident¸˘a, dac˘a sunt pozitive, existent¸a unor z˘ac˘aminte minerale, iar dac˘a sunt negative z˘ac˘aminte de sare gem˘a.

6.3

M˘ asurarea masei ¸si densit˘ a¸tii medii a P˘ amˆ antului

Rezultate destul de precise ˆın determinarea masei P˘amântului se obt¸in prin metode care, ˆın esent¸˘a se reduc la determinarea constantei gravitat¸ionale G. G = 6, 67 · 10−8 cm3 g −1 s−2 = 6, 67 · 10−11 N m2 kg −2 Luând pentru valoarea medie a razei P˘amântului R = 6371km ¸si pentru valoarea medie a accelerat¸iei fort¸ei de gravitat¸ie g = G9, 81m/s2 formula g=

M⊕ R2

ne d˘a masa P˘amântului: M⊕ = 5, 98 · 1027 g ' 6 · 1027 g = 6 · 1024 kg. Cunoscând masa P˘amântului ¸si volumul lui putem calcula ¸si densitatea sa medie (5, 52g/cm3 ). Densitatea cre¸ste de la suprafat¸a˘ spre interior.

84

6.4


Structura P˘ amˆ antului

1. Atmosfera − este regiunea din jurul P˘amântului ˆın care acesta constituie ”organizatorul” principal al mi¸sc˘arii tuturor particulelor interplanetare. Din acest punct de vedere putem distinge dou˘a p˘art¸i: (a) prima (pân˘a la 2000km ˆın˘alt¸ime), ˆın care este preponderent câmpul gravific − Atmosfera neutr˘a este format˘a din atomi ¸si molecule ˆın stare neutr˘a: − Troposfera (pân˘a la ˆın˘alt¸imea de 13km) − Stratosfera (pân˘a la ˆın˘alt¸imea de25km) − Mezosfera (ˆıntre 85-90km) − Ionosfera se compune din electroni ¸si ioni provenit¸i din ionizarea aerului rarefiat sub act¸iunea razelor ultraviolete ¸si X ale Soarelui. Partea sa inferioar˘a este termosfera. În ionosfer˘a, electronii liberi au rolul foarte important de a reflecta undele radio; − Exosfera se ˆıntinde ˆıntre 700-2000km ¸si este caracterizat˘a printr-o densitate foarte mic˘a. (b) a doua parte ˆın care este preponderent câmpul magnetic terestru, de la 2000km pân˘a la câteva zeci de raze terestre (se nume¸ste magnetosfer˘a) − Magnetosfera. Aici particulele au nu numai o agitat¸ie termic˘a ci sunt supuse ¸si câmpului magnetic terestru. Magnetosfera se ˆıntinde pân˘a la 50000km de partea Soarelui ¸si zeci de raze terestre ˆın partea opus˘a. În interiorul magnetosferei sunt dou˘a centuri de radiat¸ii (ale lui Van Allen) Prima centur˘a (intern˘a) are densitatea maxim˘a la o distant¸a˘ de 1,5 raze terestre, continuând cu o populat¸ie foarte stabil˘a de protoni energetici, neutroni cosmici reflectat¸i ¸si ˆıncetinit¸i de atmosfera ˆınalt˘a. A doua centur˘a (exterioar˘a) este populat˘a de particule energetice provenite din coroana solar˘a, atingând un un maxim al radiat¸iei la 19000km de suprafat¸a P˘amântului. Dincolo de magnetosfer˘a se ˆıntinde coroana solar˘a, care prin curgerea de protoni ¸si electroni numit˘a vânt solar, delimiteaz˘a atmosfera terestra. Densitatea atmosferei (ρ) descre¸ste foarte repede cu ˆın˘alt¸imea (h). Variat¸ia densit˘a¸tii respect˘a aproximativ legea exponent¸ial˘a: µ

h ρ ∼ exp − H

¶

6.4.

˘ ANTULUI ˆ STRUCTURA PAM

85

unde H se nume¸ste scara ˆın˘alt¸imilor. Presiunea atmosferic˘a la suprafat¸a terestr˘a este aceea a unei coloane de mercur cu ˆın˘alt¸imea de 76 cm. Aceasta scade de asemenea repede cu ˆın˘alt¸imea. Compozit¸ia chimic˘a a atmosferei se prezint˘a astfel: N2 : 78%, O2 : 21%, Ar : 0, 934%, CO2 : 0, 034%, vapori deH2 O : 0 − 2%, H2 : 5 · 10−5 % Atmosfera produce o serie de efecte cu consecint¸e astronomice: − absoarbe radiat¸ii, reducând str˘alucirea corpurilor cere¸sti (25%) − exercit˘a o absorbt¸ie selectiv˘a − schimb˘a direct¸ia razelor de lumin˘a ¸si deformeaz˘a imaginile (efectele refract¸iei astronomice) Crepusculul este perioada sc˘aderii treptate a luminii zilei dup˘a apusul Soarelui (crepuscul de sear˘a), respectiv perioada sl˘abirii treptate a ˆıntunericului nopt¸ii ˆınainte de r˘as˘aritul Soarelui (crepuscul de dimineat¸˘a). Fenomenul se produce din cauza difuziei luminii ˆın straturile atmosferice situate deasupra orizontului observatorului. Se deosebesc crepuscule civile ¸si astronomice. Crepusculul civil de sear˘a ˆıncepe ˆın momentul apusului Soarelui ¸si se sfâr¸se¸ste atunci când Soarele coboar˘a la 6 grade sub orizont (pe cer se observ˘a numai stelele cele mai str˘alucitoare). Crepusculul civil de dimineat¸˘a se produce simetric, ˆın ordine invers˘a. Crepusculul astronomic de dimineat¸˘a ¸si de sear˘a dureaz˘a mult mai mult, ˆıntrucât se consider˘a c˘a sfâr¸situl (sau inceputul) crepusculului are loc când centrul Soarelui se afl˘a la 18 grade sub orizont. Din acest moment ˆıncepe noaptea propriu-zis˘a (ˆın cazul crepusculului de sear˘a) ¸si pe cer se v˘ad ¸si stelele mai put¸in str˘alucitoare. La latitudinea geografic˘a (φ = 600 330 ) ˆın ziua solstit¸iului de var˘a, ˆın˘alt¸imea Soarelui ˆın culminat¸ia inferioar˘a (miezul nopt¸ii) este h¯ = −60 . Deci la aceast˘a latitudine ˆın ziua solstit¸iului de var˘a sfâr¸situl crepusculului civil de sear˘a coincide cu ˆınceputul crepusculului civil de dimineat¸a˘, adic˘a crepusculul civil dureaz˘a toat˘a noaptea; acesta este fenomenul nopt¸ilor albe. 2. Hidrosfera − este format˘a din totalitatea apei (dulce sau s˘arat˘a) care acoper˘a ˆın mod discontinuu aproape 75% din suprafat¸a solid˘a a P˘amântului. Adâncimea sa medie este de 4 km, ˆınsa poate ajunge ¸si la 10 km. 3. Biosfera − este totalitatea materiei organice, vii sau moarte. 4. Litosfera − sau scoart¸a terestr˘a este stratul superficial cu o grosime medie de 40km. Masa ei este ˆın medie 0,7% din cea a P˘amântului. 5. Interiorul P˘amântului − mantaua terestr˘a (pân˘a la 3000 km adâncime)


86

− interiorul adânc, pentrul studiul c˘aruia se recurge la undele seismice – unde longitudinale (P = primare,compresiune) − unde transversale (S = secundare, distorsie) − nucleu

6.5

Mi¸sc˘ arile P˘ amˆ antului

P˘amântul are urm˘atoarele mi¸sc˘ari principale: (1) Mi¸scarea de rotat¸ie − reprezint˘a mi¸scarea P˘amântului ˆın jurul propriei axe, efectuat˘a cu Prot = 23h 56min 4, 098s = 86164, 98s timp mediu. Dovezile acestei mi¸sc˘ari sunt: devierea spre est a corpurilor de la verical˘a ˆın c˘aderea liber˘a; experient¸a cu pendulul lui Focault (1851); observat¸ii directe din spat¸iul cosmic. (2) Mi¸scarea de revolut¸ie − reprezint˘a mi¸scarea P˘amântului ˆın jurul Soarelui, ˆın timpul unui an sideral. Dovezile acestei mi¸sc˘ari sunt:paralaxele stelare ¸si aberat¸ia luminii. (3) Mi¸sc˘arile de precesie si nutat¸ie. (4) Alte mi¸sc˘ari − deplasarea polilor geografici ai P˘amântului pe suprafat¸a sa, se produce datorit˘a faptului c˘a axa instantanee de rotat¸ie a P˘amântului nu p˘astreaz˘a o direct¸ie fix˘a fat¸a˘ de acesta; − mareele, ˆın vecin˘atatea meridianului terestru, când Luna sau Soarele se afl˘a deasupra acestuia, P˘amântul sufer˘a deformat¸ii periodice numite maree (fenomenul de flux ¸si reflux); − deplasarea (deriva) continentelor (deplasarea relativ˘a a continentelor unul fat¸˘a de cel˘alalt), care se explic˘a prin structura sub form˘a de pl˘aci a scoart¸ei – pl˘aci care se deplaseaz˘a unele fat¸˘a de altele. Probleme propuse: 1. S˘ a se demonstreze c˘a valoarea unghiular˘a a arcului de meridian O1 O2 (ˆın ipoteza sfericitat¸ii P˘amˆ antului) se determin˘a cu ajutorul formulei: n 0 = φ1 − φ2 = z1 − z2 , unde φ1 , φ2 sunt latitudinile geografice ale punctelor O1 , O2 , iar z1 , z2 sunt distant¸ele zenitale meridiane ale unei stele m˘asurate simultan din punctele O1 , O2 .

6.5.

˘ ˘ ANTULUI ˆ MIS¸CARILE PAM

87

2. Considerˆ and Pamântul drept elipsoid de rotat¸ie,avˆ and turtirea ε,s˘a se arate c˘ a ˆıntre aceast˘ a m˘arime ¸si excentricitatea unei elipse meridiane ’e’exist˘a relat¸ia: (1 − ε)2 = 1 − e2

3. S˘a se exprime coordonatele geocentrice ecuatoriale rectangulare ale unui punct al elipsei meridiane, M(x,y), cu ajutorul latitudinii geocentrice φ0 . 4. S˘ a se exprime acelea¸si coordonate rectangulare ca ¸si ˆın problema precedent˘ a,ˆın funct¸ie de latitudinea geodezic˘ a B (φ0 ) 5. S˘a se arate c˘a, coordonatele geocentrice ecuatoriale rectangulare ale unui observator situat la suprafat¸a P˘amˆ antului, ˆın punctul având coordonatele geodezice: L− longitudine geodezic˘ a, B− latitudine geodezic˘ a ¸si H− ˆın˘ alt¸ime geodezic˘ a, sunt date de formulele:

x = (C + H) cos B cos L, y = (C + H) cos B sin L, z = (S + H) sin B unde

a

C=p

1 − e2 sin2 B

¡ ¢ , S = 1 − e2 C

iar a ¸si e sunt semiaxa mare, respectiv excentricitatea elipsei meridiane. Reamintim definit¸ia coordonatelor geodezice: ”L− unghiul format de planul meridian al locului dat cu planul meridianul zero de la Greenwich; B− unghiul cuprins ˆıntre verticala dus˘a la planul tangent al elipsoidului de referint¸a˘ ˆın punctul dat ¸si planul ecuatorului; H− distant¸a locului de observat¸ie de la elipsoidul de referint¸˘a. 6. S˘ a se arate c˘a ˆıntre latitudinea geodezic˘ a (B) ¸si latitudinea geocentric˘ a (φ0 ) exist˘ a relat¸ia: 1 tgφ0 , 2 1−e unde e este excentricitatea elipsei meridiane. tgB =


88

7. S˘a se arate c˘a ˆıntre latitudinea excentric˘ a (Ψ)¸si latitudinea geodezic˘a (B) exist˘ a relat¸ia: √ tgΨ = 1 − e2 tgB, unde e este excentricitatea elipsei meridiane. 8. S˘ a se demonstreze c˘a diferent¸a dintre latitudinea geodezic˘ a (B) ¸si latitudinea 0 geocentric˘ a (φ ) se exprim˘a prin urmatoare relat¸ie aproximativ˘ a: B − φ0 = 10313200 , 4e2 sin (2B) , unde e este excentricitatea elipsei meridiane. Care este max (B − φ0 ) ¸si pentru care cerc meridian are loc? 9. S˘a se demonstreze c˘a lungimea arcului de meridian l

_

O1 O2

dintre puctele

O1 (φ1 ) ¸si O2 (φ2 ) ,care reprezint˘a latitudinea astronomic˘ a,se exprim˘a prin formula: Zφ2 l _ O1 O2

2

= a(1 − e )

¡

2

2

1 − e sin φ

¢−

3 2 dφ,

φ1

unde a ¸si e reprezint˘ a semiaxa mare ,respectiv excentricitatea elipsei meridiane(ε).

Capitolul 7 Fenomene care modific˘ a pozit¸ia a¸strilor pe cer Fenomenele care falsific˘a, mai mult sau mai put¸in, observat¸iile ¸si ˆıngreuneaz˘a determinarea coordonatelor a¸strilor sunt: efectul optic al refract¸iei astronomice; efectul optic al mi¸sc˘arilor P˘amântului: aberat¸ia diurn˘a, anual˘a, secular˘a; efectul geometric al mi¸sc˘arilor P˘amântului: paralaxa diurn˘a, anual˘a, secular˘a; deplasarea planetelor fundamentale de referint¸˘a: precesia ¸si nutat¸ia; mi¸sc˘arile proprii ale stelelor.

7.1

Refract¸ia astronomic˘ a

Se nume¸ste refract¸ie astronomic˘ a unghiul dintre direct¸ia ˆın care se vede (aparent) astrul (Oσ 0 ) ¸si direct¸ia dup˘a care se propag˘a razele lui ˆın afara atmosferei (Oσ). Acest unghi se noteaz˘a cu litera R. Leg˘atura ˆıntre z - distant¸a zenital˘a adev˘arat˘a ¸si z 0 - distant¸a zenital˘a aparent˘a este dat˘a de relat¸ia (Figura 7.1): z = z 0 + R.

(7.1.1)

Aceast˘a formul˘a arat˘a c˘a, datorit˘a fenomenului refract¸iei, distant¸a zenital˘a a astrului se miçsoreaz˘a cu m˘arimea R. Conform primei legi a refract¸iei, ˆıntreaga traiectorie a razei este situat˘a ˆın acela¸si plan (planul vertical), adic˘a refract¸ia astronomic˘a nu modific˘a azimutul A al astrului. Valoarea exact˘a a refract¸iei se exprim˘a printr-o formul˘a de integral˘a definit˘a dup˘a care sunt ˆıntocmite tabele speciale menite s˘a u¸sureze munca astronomilor. Se 89

90

˘ POZIT CAPITOLUL 7. FENOMENE CARE MODIFICA ¸ IA AS¸TRILOR s Z s s

Z

R

A O

/// ///

/ ///////// //////////

////////

//// /

ra

T

//

////// //// ///

A tm

os fe

Z

Figura 7.1: Schema refract¸iei astronomice deduce o formul˘a aproximativ˘a, pentru refract¸ia medie-refract¸ie corespunz˘atoare valorilor medii ale presiunii ¸si temperaturii atmosferei la un moment dat, formul˘a care se aplic˘a numai pentru distant¸e zenitale mai mici de 70 0 . Se presupune c˘a suprafat¸a P˘amântului este plan˘a ¸si c˘a atmosfera este ˆımp˘art¸it˘a ˆın straturi plane ¸si paralele cu suprafat¸a terestr˘a, având indicii de refract¸ie n0 , n1 , n2 , ..., nm (Figura 7.2). s s im=Z

vid

nm=1 im -1

nm-1

i2

n2 n1 n0

i1

i0-1

//////////////////////// Figura 7.2: Schema refract¸iei pentru straturi plan-paralele Se noteaz˘a cu im , im−1 , ..., i0 unghiurile de incident¸a˘ ale razei luminoasepe suprafet¸ele de separare ale straturilor. Aplicând legea lui Snellius–Descartes pentru straturile vecine se scrie: sin im nm−1 sin im−1 nm−2 sin i1 n0 = ; = ; ...; = . sin im−1 nm sin im−2 nm−1 sin i0 n1

7.2. ABERAT ¸ IA LUMINII

91

Prin ˆınmult¸ire membru cu membru ¸si f˘acând simplific˘arile, se obt¸ine: sin im n0 = . sin i0 nm

(7.1.2)

Având im = z; i0 = z 0 ; nm = 1, pe baza formulei (1) : im = z 0 + R ⇒

sin (z 0 + R) = n0 sin z 0

(7.1.3)

unde n0 se poate determina din m˘asur˘ari, iar z 0 se poate obt¸ine din observat¸ii. 1 Cum 00 ≤ z 0 ≤ 700 ⇒ cos R = 1, sin R = R sin 100 , unde sin 100 = , dac˘a 206265 R se m˘asoar˘a ˆın secunde de arc. Dup˘a dezvoltarea m˘arimii sin (z 0 + R) formula devine: R=

n0 − 1 tan z 0 . 00 sin 1

(7.1.4)

n0 − 1 se nume¸ste constant˘ a de refract¸ie ; pentru condit¸iile norsin 100 male (temperatura t = 100 C ¸si presiunea p = 760 mm Hg), ea are valoarea de 5800 .3. Astfel, R = 5800 .3 tan z 0 . (7.1.5) Coeficientul

La orizont R u 350 . Influent¸a refract¸iei se manifest˘a ˆın urm˘atoarele fenomene: r˘as˘aritul ¸si apusul a¸strilor, turtirea discului Soarelui ¸si al Lunii ˆın aproprierea orizontului, modificarea coordonatelor orare, ecuatoriale, ecliptice ale a¸strilor, scânteierea (scintilat¸ia) stelelor.

7.2 7.2.1

Aberat¸ia luminii Fenomenul aberat¸iei

Fenomenul aberat¸iei este deplasarea aparent˘a a direct¸iei unui astru, datorat˘a atât mi¸sc˘arii relative a observatorului ˆın raport cu astrul, cât ¸si propag˘arii luminii cu vitez˘a finit˘a. Fie observatorul ˆın T , animat ˆımpreun˘a cu P˘amântul de viteza v fat¸˘a de steaua σ, vitez˘a orientat˘a spre T punctul cerului numit apexul mi¸sc˘ arii observatorului (A),

˘ POZIT CAPITOLUL 7. FENOMENE CARE MODIFICA ¸ IA AS¸TRILOR

92

a c˘arei direct¸ie formeaz˘a cu direct¸ia aparent˘a la stea unghiul θ (Figura 7.3). Se consider˘a c˘a observatorul din T , cu o lunet˘a având obiectivul ˆın O ¸si reticulul ˆın T , urm˘are¸ste steaua σ. Datorit˘a vitezei c a luminii, ˆın timpul τ cât lumina parcurge lugimea OT a lunetei, reticulul se deplaseaz˘a cu T T 0 . Pentu a vedea steaua a c˘arei lumin˘a cade pe obiectivul din O, este necesar ca reticulul s˘a fie deplasat ˆın T 00 , astfel −−→ −−→ c˘a T T ” = T T 0 . Steaua se va vedea ˆın direct¸ia T O0 , care formeaz˘a cu direct¸ia T σ unghiul θ, numit unghi de aberat¸ie. Deci, pentru ca lumina stelei s˘a p˘atrund˘a ˆın ocular, luneta trebuie ˆınclinat˘a cu obiectivul ˆınainte, ˆın sensul mi¸sc˘arii P˘amântului, cu unghiul θ. Din teorema sinusului pentru triunghiul T OO0 (sau T T 0 O0 ) avem: sin dθ sin θ v = ⇒ sin dθ = sin θ. vτ cτ c

(7.2.1)

Unghiul θ fiind mic, sin θ w dθ, sau, ˆın secunde de arc: v dθ00 = · 206265 · sin θ. (7.2.2) c Când direct¸ia aparent˘a a stelei este perpendicular˘a pe direct¸ia mi¸sc˘arii P˘amântului, adic˘a θ = 900 , dθ are m˘arimea: v k = · 20626500 , (7.2.3) c m˘arime numit˘a constanta de aberat¸ie. Considerând mi¸scarea de ravolut¸ie a P˘amântului ˆın jurul Soarelui, avem: v = 29, 79km/s ¸si c = 299792km/s , de unde k = 2000 , 50 - valoarea constantei de aberat¸ie (anual˘a). Stelele, datorit˘a aberat¸iei luminii, descriu elipse numite elipse de aberat¸ie, având axa mare egal˘a cu 4100 ¸si axa mic˘a cu 4100 sin β, unde β - latitudinea ecliptic˘a a stelei respective.

7.2.2

Aberat¸ia Soarelui, planetelor ¸si a cometelor

Intervalul de timp τ ˆın care lumina parcurge distant¸a de la astru la P˘amânt se nume¸ste timp de aberat¸ie sau ecuat¸ia luminii. Pentru determinarea timpului de aberat¸ie este necesar s˘a se cunoasc˘a distant¸a geocentric˘a a astrului, ∆ , ˆın unit˘a¸ti astronomice. Dac˘a a - lungimea unit˘a¸tii ˆın km, avem: a τ = · ∆ = 498s 7 · ∆ = 0z , 00577∆ (7.2.4) c Direct¸ia aparent˘a a astrului la un moment dat t coincide cu direct¸ia adev˘arat˘a a astrului la momentul t − τ .

7.3. PARALAXE DIURNE S¸I ANUALE

7.3

93

Paralaxe diurne ¸si anuale. Determinarea distant¸elor a¸strilor prin metoda trigonometric˘ a

Deplasarea real˘a a observatorului ˆın spat¸iu produce o schimbare aparent˘a a direct¸iei astrului, numit˘a deplasare paralactic˘ a . De aici rezult˘a: paralaxe diurne sau geocentrice, produse de mi¸scarea de rotat¸ie a P˘amântului ˆın jurul axei proprii; paralaxe anuale sau heliocentrice ale stelelor, produse de mi¸scarea de revolut¸ie a P˘amântului ˆın jurul Soarelui; paralaxele seculare, produse de mi¸scarea de translat¸ie a sistemului solar spre apexul solar.

7.3.1

Paralaxa diurn˘ a ¸si determinarea distant¸elor ˆın sistemul solar

Coordonatele a¸strilor determinate din observat¸ii ce se efectueaz˘a pe suprafat¸a P˘amântului se numesc topocentrice; acestea, la acela¸si astru ¸si acela¸si moment, sunt ˆın general diferite pentru diferite puncte ale suprafet¸ei terestre. Din mult¸imea de direct¸ii ˆın care astrul σ se vede din diferite puncte ale P˘amântului, se consider˘a fundamental˘a direct¸ia care porne¸ste din centrul P˘amântului (T ); aceasta indic˘a pozit¸ia geocentric˘a a astrului ¸si determin˘a coordonatele lui geocentrice. Efemeridele cuprind coordonatele geocentrice ale a¸strlor. Se nume¸ste paralax˘ a diurn˘a sau geocentric˘ a unghiul dintre direct¸iile ˆın care 0 se vede astrul σ din centrul P˘amântului ¸si dintr-un punct oarecare al suprafet¸ei terestre, adic˘a unghiul p0 (Figura 7.3 ). Altfel spus, paralaxa diurn˘a (de ˆın˘alt¸ime), p0 , este unghiul sub care se vede din astru raza P˘amântului R (raza geocentric˘a a observatorului). Fie O punctul de pe P˘amânt de unde astrul σ 0 se vede la distant¸a zenital˘a z 0 . Se noteaz˘a cu ∆ distant¸a de la centrul T al P˘amântului la astrul σ 0 ¸si cu z distant¸a sa zenital˘a geocentric˘a. Din triunghiul OT σ 0 avem: sin p0 R = ∆ sin z 0 de unde: sin p0 =

R sin z 0 . ∆

(7.3.1)

(7.3.2)

Unghiul p0 fiind mic, putem pune p0 w sin p0 . Se vede c˘a paralaxa p0 variaz˘a cu R ¸si sin z 0 , fiind maxim˘a când R = R0 (raza ecuatorial˘a a P˘amântului) ¸si sin z 0 = 1, adic˘a z 0 = 900 .

94

˘ POZIT CAPITOLUL 7. FENOMENE CARE MODIFICA ¸ IA AS¸TRILOR Z

O

p

Z

T

p

D

R

s s

D Z

Figura 7.3: Paralaxa diurn˘a (de ˆın˘ alt¸ime ¸si orizontal˘a) Paralaxa diurn˘a orizontal˘a, p, a unui astru σ (acela¸si cu σ 0 ) este unghiul sub care se vede din acel astru raza P˘amântului R, când astrul σ se afl˘a la orizontul locului. Din triunghiul OT σ avem: sin p =

R ∆

(7.3.3)

¸si formula (7.3.2) ne d˘a: p0 = p sin z 0 .

(7.3.4)

Valorile acestor paralaxe se calculeaz˘a pentru o anumit˘a raz˘a a P˘amântului; se ia pentru aceasta raza ecuatorial˘a R0 = 6378, 16km de unde avem paralaxa orizontal˘a ecuatoril˘a p0 : R0 sin p0 = . (7.3.5) ∆ Figura 7.3 arat˘a c˘a: z = z 0 − p0

(7.3.6)

Distant¸a zenital˘a adev˘arat˘a a astrului este: z = z 0 + 350 − p = 900 + 350 − p. Determinarea distant¸elor ˆın sistemul solar se poate face dup˘a formula: ∆=

206265 R0 p000

Distant¸a pentru Soare: p000 = 800 , 79 ¸si ∆ = 149, 5 · 106 .

(7.3.7)

7.3. PARALAXE DIURNE S¸I ANUALE

95

Distant¸a pentru Lun˘a: p000 = 520 200 , 5 ¸si ∆ = 384, 4 · 103 . Distant¸a astrului se obt¸ine dup˘a formula: ∆=

ct , 2

unde c = 3 · 105 km/s - viteza de pripagare a undelor radio. Distant¸a medie P˘amânt - Soare este ∆ = 149589500km (±500km). Aceast˘a distant¸˘a are o deosebit˘a important¸˘a ˆın astronomie, fiind considerat˘a ca unitate de distant¸˘ a, numit˘a unitate astronomic˘a (UA). Din anul 1970 sunt folosite urm˘atoarele valori ale paralaxei Soarelui ¸si unit˘a¸tii astronomice: p0 = 800 , 794, 1U A = 149, 6 · 106 km

7.3.2

(7.3.8)

Paralaxa anual˘ a ¸si determinarea distant¸elor stelare

Se nume¸ste paralax˘ a anual˘a sau heliocentric˘ a a unei stele unghiul sub care se vede din stea raza medie a orbitei terestre când ea este perpendicular˘a pe distant¸a P˘amânt -stea. s p D

a S

T

Figura 7.4: Paralaxa anual˘a a stelelor Fie steaua ˆın σ, Soarele ˆın S, P˘amântul ˆın T (Figura 7.4). Din triunghiul sferic σST avem: a sin π = (7.3.9) ∆ unde a = 1U A, iar ∆ - distant¸a de la centrul Soarelui la centrul stelei σ.


96

Având ˆın vedere faptul c˘a paralaxele heliocentrice ale stelelor sunt mai mici decât 100 , din formula (7.3.9) rezult˘a formula pentru calculul distant¸elor stelelor: 20626500 20626500 a = UA (7.3.10) π 00 π 00 distant¸a ∆ se obt¸ine ˆın acelea¸si unit˘a¸ti ˆın care este exprimat˘a ¸si distant¸a a. ∆=

Oserv˘am c˘a ˆın cazul când steaua σ se afl˘a ˆın direct¸ia polului ecliptic, unghiul a ¸si deoarece π este mic, se reg˘ase¸ste aceea¸si formul˘a π este exprimat˘a prin tan π = ∆ (7.3.10). Paralaxele stelare determinate pe baza deplas˘arii paralactice a stelei se numesc paralaxe trigonometrice. Cele mai perfect¸ionate instrumente de m˘asurat unghiuri permit determinarea paralaxelor stelare cu o eroare de ±000 , 01. Azi se cunosc paralaxele la aproximativ 10000 de stele. Distant¸a stelei celei mai apropiate Proxima Centauri, având parralaxa heliocentric˘a (π = 000 , 76) , va fi, conform formulei (7.3.10): ∆=

20626500 a = 272000a = 272000U A 000 , 76

Parsecul (pc) este distant¸a corespunz˘atoare unei paralaxe de 100 : 1pc = 20626500 a = 206265U A, adic˘a ˆıntr-un parsec sunt exact atâtea unit˘a¸ti astronomice 100 câte secunde de arc sunt ˆıntr-un radian. Multiplii parsecului sunt: 1kpc = 103 pc, 1mpc (megaparsec) = 103 pc. Anul lumin˘a (a.l.) este distant¸a str˘ab˘atut˘a de raza de lumin˘a, cu viteza aproximativ 3 · 105 km/s, timp de un an: 1a.l. = 9, 460 · 1012 km = 63240U A = 0, 3067pc sau: 1pc = 30, 86 · 1012 km = 206265U A = 3, 26a.l.. Distant¸ele se pot m˘asura cu ajutorul urm˘atoarelor formule simple: 1 pc π 00 3, 26 ∆ = 00 = a.l. π ∆=

7.3.3

(7.3.11) (7.3.12)

Paralaxa secular˘ a a stelelor

Soarele, ˆımpreun˘a cu sistemul solar, are o mi¸scare de translat¸ie c˘atre punctul sferei cere¸sti numit apexul solar, aflat ˆın constelat¸ia Hercule (α = 2700 , δ = +300 ) cu o vitez˘a V¯ w 20km/s. De aici o deplasare lent˘a a stelelor spre antapex, c˘areia ˆıi corespunde o paralaxa secular˘a a stelelor (Figura 7.5).

7.4. PRECESIA S¸I NUTAT ¸ IA

97

O V

q -V S

Figura 7.5: Mi¸scarea aparent˘a a stelei spre antapex cauzat˘ a de mi¸scarea Soarelui La aceasta se adaug˘a deplasarea particular˘a a fiec˘arei stele ˆıntr-o anumit˘a direct¸ie, deplasare numit˘a mi¸scare proprie (Figura 7.5) care este cu atât mai mare cu cât steaua este mai aproape. De aceea ca repere fixe se iau stelele foarte slabe, care statistic sunt foarte ˆındep˘artate.

7.4

Precesia ¸si nutat¸ia

Precesia ¸si nutat¸ia sunt efecte ale deplas˘arilor seculare ¸si periodice ale planelor fundamentale de coordonate (planul ecuatorial ¸si planul ecliptic), datorate act¸iunii comune a Lunii ¸si Soarelui asupra proeminent¸ei ecuatoriale a P˘amântului, precum ¸si act¸iunii planetelor asupra mi¸sc˘arii heliocentrice a cestuia. Explicarea fenomenului se face ˆın cadrul mecanicii cere¸sti. Urm˘atoarele fapte dovedesc deplasarea planelor fundamentale a) Cre¸sterea longitudinilor cere¸sti ale stelelor cu 5000 , 27/an, datorat˘a deplas˘arii punctului vernal γ ˆın sensul retrograd cu aceea¸si vitez˘a de-a lungul eclipticii fat¸˘a de stelele,,fix”. b) Descre¸sterea lent˘a, ˆın prezent cu 000 , 47/an, a ˆınclin˘arii eclipticii pe ecuator, care se datoreaz˘a deplas˘arii pozit¸iei planului eclipticii (de ¸si a punctului vernal) ˆın lungul ecuatorului ceresc, fapt verificat de observat¸ii ˆındelungate. Ambele aceste dovezi determin˘a fenomenul de precesie . Deplasarea ˆın lungul eclipticii a punctelor echinoct¸iale se nume¸ste precesie luni-solar˘a, iar cea ˆın lungul ecuatorului ceresc - precesie planetar˘a. Rezultanta celor dou˘a componente d˘a precesia general˘ a (ˆın longitudine), a c˘arei valoare ˆın prezent ˆınsumeaz˘a 5000 , 27 pe an. c) Polul nord are o deplasare periodic˘a, cu aceea¸si perioad˘a ca ¸si perioada retrograd˘arii nodurilor orbitei lunare (18, 6ani). Acest fenomen a fost numit nutat¸ie. Polul lumii, care se mi¸sc˘a ˆın urma precesiei, numit ¸si polul mediu, este centrul unei

98


polului m bita ijlo Or c

eclipse pe care polul adev˘arat se mi¸sc˘a ˆın sens retrograd (Figura 7.6). a iu

mi l lu

O

P

9

23,5

Pm

Pa 7

Orbita polului adevarat al lumii

Figura 7.6: Fenomenul nutat¸iei Ulterior s-a descoperit c˘a polul ceresc adev˘arat mai execut˘a ˆınc˘a dou˘a mi¸sc˘ari periodice foarte mici: una având perioada de o jum˘atate de an, iar cealalt˘a de o jum˘atate de lun˘a.Astfel, prin fenomenul de nutat¸ie se ˆınt¸elege azi ansamblul tuturor oscilat¸iilor ale polilor lumii.

7.5

Mi¸sc˘ arile proprii ale stelelor

Variat¸ia ˆın timp a stelelor se datoreaz˘a precesiei, nutat¸iei, aberat¸iei luminii ¸si paralaxei anuale. Deplasarea rest a stelei pe sfera cereasc˘a timp de un an se nume¸ste mi¸scare proprie; ea se exprim˘a ˆın secunde de arc pe an. Mi¸scarea proprie a stelei σ este unghiul sub care s-ar vedea din Soare deplasarea anual˘a a stelei pe sfera cereasc˘a (Figura 7.7) ea se noteaz˘a cu µ. Cea mai mare mi¸scare proprie o are steaua Barnad (µ = 1000 , 27/an) care, din acest motiv, se ¸si nume¸ste ”stea zbur˘atoare”. Mi¸scarea proprie a stelei se efectueaz˘a dup˘a un arc de cerc mare ¸si cu o vitez˘a constant˘a; aceata arat˘a c˘a mi¸scarea lor ˆın spat¸iu se face ˆın linie dreapt˘a ¸si uniform. În urma mi¸sc˘arii proprii a stelei σ (µ) pe arcul de cerc mare σσ 0 (Figura 7.7), ascensia dreapt˘a a stelei (α) se va modifica cu m˘arimea µα = ∆α /∆t -numit˘a mi¸scarea proprie ˆın ascensia dreapt˘ a, iar declinat¸ia (δ) -cu m˘arimea µδ = ∆δ/∆t -numit˘a mi¸scarea proprie ˆın declinat¸ie. Având ˆın vedere valorile numerice posibile ale m˘arimii µ, arcul paralelului diurn ale stelei µα cos δ, arcul cerului de declinat¸ie a stelei µδ ¸si arcul mi¸sc˘arii proprii a stelei µ pot fii considerate linii drepte concurente ˆın σ ¸si din Figura 7.8 rezult˘a

7.6. PROBLEMELE ASTRONOMIEI FUNDAMENTALE

99

P

md

m s

ma co

sa

m

d S

ma

Ecuato r ce

r es c

Figura 7.7: Componentele mi¸sc˘ arii proprii a stelei urm˘atoarea formul˘a pentru calculul mi¸sc˘arii proprii a stelei: q q 2 2 µ = (µα cos δ) + µδ = (15µsα cos δ)2 + µ2δ ,

(7.5.1)

unde µs ˆınseamn˘a c˘a m˘arimea µα este exprimat˘a ˆın unit˘a¸ti de timp, cum este exprimat˘a de obicei ¸si α.

7.6

Problemele astronomiei (astrometriei) fundamentale

Problema determin˘arii unui sistem de referint¸a˘ - adic˘a a unui sistem de axe ¸si plane fundamentale, la care s˘a se poat˘a raporta mi¸scarea corpurilor din sistemul solar ¸si din afara acestuia - se poate ˆıns˘a rezolva numai prin alegerea unor repere materiale ale c˘aror coordonate fat¸˘a de axele ¸si planele alese s˘a la defineasc˘a pozit¸iile. Alc˘atuirea unui asemenea sistem , care se materializeaz˘a sub forma unui catalog de stele, este una din problemele astronomiei fundamentale. Cataloagele de stele cuprind coordonatele ecuatoriale (α, δ) ale unui num˘ar mare de stele reprezentate pe toat˘a sfera cereasc˘a, mi¸sc˘arile proprii asociate (µ), raportate la acela¸si sistem de referint¸˘a ¸si epoc˘a, distant¸a (∆), viteza radial˘a (Vr ) ¸si câteva caracteristici fizice necesare identific˘arii stelelor. Cataloagele stelare cuprind, de asemenea, valorile numerice ale constelat¸iilor astronomice fundamentale (constanta aberat¸iei, constanta precesiei generale, constanta nutat¸iei, unitatea astronomic˘a, parsecul, etc.), care stau la baza definirii variat¸iei de timp a sistemului de referint¸˘a. Datele necesare realiz˘arii cataloagelor de stele sunt obt¸inute din observat¸ii absolute sau diferent¸iale ale stelelor: observat¸iile absolute se obt¸in derminând coor-

100


donatele stelelor ˆın raport cu un sistem de referint¸a˘ ˆın care ecuatorul se obt¸ine din distant¸ele zenitale m˘asurate ale stelelor, iar echinoxul din observat¸ii ale Soarelui; obsevat¸iile diferent¸iale sau relative se obt¸in raportând pozit¸iile stelelor la o ret¸ea de stele fundamentale cu coordonate cunocute cu precizie. Observat¸iile se efectueaz˘a cu diferite instrumente astronomice ca: cercul meridian, cercul vertical, luneta de trecere, astrlabul ¸si astrograful. Un catalog fundamental de stele este,,Fundamental Katalog des Berliner Astromischen Jahrbuch (FK4), care cont¸ine 1553 de stele. În ¸tara noastr˘a, Observatorul din Bucure¸sti a publicat catalogul stelar de pozit¸ie,,Bucharest KSZ of stars for 1950. În afara cataloagelor stelare (de pozit¸ii, de str˘aluciri, spectrale), exist˘a azi numeroase cataloage ale altor obiecte cere¸sti: cataloage de nebuloase ¸si roiuri stelare; cataloage de radio surse; precum ¸si cataloage de galaxii ¸si roiuri de galaxii. Probleme propuse: 1.S˘ a se stabileasc˘ a o formul˘a pentru refract¸ia astronomic˘ a ˆın cazul modelului sferic concentric pentru atmosfera terestr˘ a. 2.S˘ a se determine efectul pe care ˆıl are refract¸ia asupra coordonatelor ecuatoriale ale unui astru. 3.S˘ a se determine paralaxa diurn˘a orizontal˘a ecuatorial˘ a a Lunii. 4.S˘ a se determine paralaxa diurn˘a orizontal˘a ecuatorial˘ a a Soarelui . 5. Dându-se raza P˘amˆ antului R+0 , paralaxa diurn˘a orizontal˘a a unui astru π∗ ¸si diametrul s˘au aparent 2β (unghiul sub care se vede diametrul acestui astru de c˘ atre observator situat ˆın centrul P˘amˆ antului), s˘a se calculeze raza astrului respectiv ¸si distant¸a pân˘ a la el. 6.Din dou˘a observatoare diferite A, B de pe P˘amˆ ant se observ˘a ˆın acela¸si timp astrul σ ¸si se determin˘a distant¸ele zenitale zA , zB . Suma celor dou˘a paralaxe geocentrice ˆın raport cu cele dou˘a observatoare este p. S˘a se determine distant¸a de la astru la centrul P˘amˆ antului exprimat˘a ˆın raze terestre . 7. S˘ a se stabileasc˘ a formulele pentru determinarea corect¸iilor de paralax˘ a diurn˘ a ˆın coordonate ecuatoriale.

7.6. PROBLEMELE ASTRONOMIEI FUNDAMENTALE

101

8. S˘ a se determine corect¸iile de paralax˘ a heliocentric˘ a, atât ˆın coordonate ecuatoriale, cât ¸si ˆın coordonate eliptice. 9. S˘ a se determine locul geometric al pozit¸iilor aparente (geocentrice) σ 0 ale unei stele ˆın decurs de un an ˆın jurul pozit¸iei sale adev˘arate (heliocentrice) σ. 10. S˘ a se determine expresiile corect¸iilor de aberat¸ie anual˘a ˆın coordonate ecuatoriale.

102


Capitolul 8 Timpul ¸si m˘ asurarea lui 8.1

Considerat¸ii generale

Spat¸iul, timpul ¸si masa sunt not¸iunile fundamentale ale mecanicii. În acest capitol ne referim, ˆın special, la problema m˘asurarii timpului, a instituirii unit˘a¸tiilor de timp pentru exprimarea duratelor fenomenelor astronomice. Forma de existent¸a a materiei ˆın mi¸scare, timpul este o marime materiala. Neputˆındu-se realiza un etalon material de timp, ca ˆın cazul celorlalte marimi fundamentale (lungime, masa), timpul, pentru a putea fi m˘asurat, trebuie raportat la un fenomen material. Încâ Epicur (sec. IV ˆı.e.n.) sust¸inea c˘a ”timpul nu exist˘a ˆın sine, prin sine, ci doar prin intermediul unor obiecte perceptibile”. Iar Engels ar˘ata c˘a a fi ˆın spat¸iu ˆınseamna a exista ”ˆın a¸sezarea lucrurilor unul lâng˘a altul”, pe când a fi ˆın timp ˆınseamn˘a a exista ”ˆın succesiunea lor unul dup˘a altul”. Se define¸ste scara de timp ca fiind un ansamblu format dintr-un fenomen material m˘asurabil, permanent ¸si stabil, ¸si dintr-o teorie, care d˘a desf˘a¸surarea acestui fenomen ˆın funct¸ie de o variabil˘ a independent˘ a. Aceast˘a variabil˘a independent˘a a desf˘a¸sur˘arii fenomenului joaca rolul timpului. Unitatea de timp este o valoare convent¸ional˘a atribuit˘a unei durate date din evolut¸ia fenomenului de referint¸˘a, la care, cu ajutorul teoriei, putem raporta orice alt˘a durat˘a. Determinarea timpului ˆın aceast˘a scar˘a const˘a, deci, ˆın m˘asurarea fenomenului fundamental ¸si ˆın comparat¸ie cu teoria, deducerea valorii timpului, t(citind ”indicat¸iile” orologiului). ˆ Univers exist˘a multe fenomene evolutive c˘arora le putem asocia câte o scara In de timp uniform. În fiecare caz, criteriul de uniformitate este urmatorul: legiile mecanicii newtoniene trebuie verificate, dac˘a consider˘ am drept variabil˘a independent˘ a timpul, t, un parametru cu variat¸ie continu˘a ¸si uniform˘a (timp inert¸ial ). Una din problemele fundamentale ale astronomiei este s˘a g˘aseasc˘a ¸si s˘a studieze 103

104

˘ CAPITOLUL 8. TIMPUL S¸I MASURAREA LUI

mi¸sc˘ ari uniforme (sau cel put¸in aproape uniforme), acele orologii naturale care s˘a poat˘a servi la m˘asurarea timpului. În prezent, m˘asurarea timpului se bazeaza pe urm˘atoarele mi¸sc˘ ari : (1)Mi¸scarea de rotat¸ie a P˘amˆ antului, deci ¸si mi¸scarea aparent˘ a diurn˘a a sferei cere¸sti, considerându-se uniform˘a. Timpul dedus din aceast˘a mi¸scare se nume¸ste timp terestru. (2)Mi¸scarea orbital˘a a P˘amˆ antului ¸si a Lunii, deci ¸si mi¸scarea aparent˘a a Soarelui ¸si a Lunii ˆın jurul P˘amântului, dovedindu-se mai potrivit˘a decât mi¸scarea de rotat¸ie ˆın jurul axei. Timpul bazat pe aceast˘a mi¸scare, numit timpul efemeridelor, reprezint˘a, cu suficient˘a aproximat¸ie, timpul uniform al mecanicii newtoniene, t. Totu¸si, ˆın mod practic, ¸si rotat¸ia P˘amântului poate fi considerat˘a ca o scar˘a de timp uniform, dac˘a se ¸tine cont de efectele perturbatoare datorate Lunii ¸si planetelor ˆın aceas˘a mi¸scare. Dar acest timp terestru poate fi utilizat numai pentru un interval mai scurt, de ani sau chiar numai de câteva luni. Solut¸ia ideal˘ a ar fi stabilirea unui etalon fizic independent de constantele astronomice. Orologiile cu cuart¸ ¸si atomice, care determin˘a ziua cu o precizie de 10−9 10−11 , sunt pa¸si mari ˆın aceast˘a direct¸ie; pe cale astronomic˘a ziua se determin˘a cu o precizie de numai 10−7 . În cele ce urmeaz˘a vom expune succint cele dou˘a categorii de timp: timpul astronomic ¸si timpul fizic.

8.2

Timpul astrodinamic: timpul terestru ¸si timpul efemeridelor

Timpul astronomic, definit cu ajutorul fenomenelor astronomice, este a¸sa cum s-a ment¸ionat mai sus de dou˘a feluri: timpul terestru ¸si timpul efemeridelor.

8.2.1

Timpul terestru: timpul sideral ¸si timpul solar

Timpul terestru este timpul definit cu ajutorul mi¸sc˘arii aparente diurne a sferei cere¸sti, mi¸scare cauzat˘a de rotat¸ia P˘amântului ˆın jurul axei sale. Dac˘a rotat¸ia diurn˘a a sferei cere¸sti se studiaz˘a prin mi¸scarea diurn˘a a stelelor, se define¸ste timpul sideral. Datorit˘a ˆıns˘a faptului c˘a stelele au ¸si mi¸sc˘ ari proprii, care ˆın majoritatea cazurilor nu sunt suficient de bine cunoscute, s-a convenit s˘a se studieze mi¸scarea diurn˘a a sferei cere¸sti prin mi¸scarea diurn˘a a punctului vernal (γ), ale c˘arui mici deplas˘ari pe sfera cereasc˘a sunt bine studiate. Mi¸scarea aparent˘ a diurn˘a ¸si anual˘a a Soarelui,

8.2. TIMPUL ASTRODINAMIC

105

consecint˘a a mi¸sc˘arii de rotat¸ie ¸si de revolut¸ie a P˘amântului, define¸ste timpul solar. În ambele cazuri, practic, timpul se define¸ste prin unghiul orar al unui reper. În primul caz, reperul este punctul vernal, ˆın cel de-al doilea-Soarele. Într-adev˘ar, modelul metematic al desf˘a¸sur˘arii fenomenului de mi¸scare diurn˘a a stelei (punctului vernal) sau a Soarelui ˆın raport cu timpul (t), ˆın sistemul de coordonate orare (δ,H)) se exprim˘a astfel: δ = const., H = f (t) = ωrot · t

(8.2.1)

unde ωrot - viteza unghiular˘a de rotat¸ie a P˘amântului, considerat˘a constant˘a (= 15◦ /h). Într-un interval de timp bine definit, având o corespondent¸˘a biunivoc˘a ˆıntre H ¸si t, dup˘a inversarea funct¸iei f(t) obt¸inem: t = f −1 (H) =

1 ωrot · H

(8.2.2)

adic˘a din m˘asurile de pozit¸ii ale a¸strilor de reper se poate determina timpul. (1)Timpul sideral. Unitatea de m˘asur˘a a timpului sideral este ziua sideral˘ a: intervalul de timp dintre dou˘a treceri consecutive ale punctului vernal la meridianul superior (sau inferior) al locului de observat¸ie. Ca ˆınceput al zilei siderale la un meridian geografic dat se ia momentul culminat¸iei superioare a punctului vernal. Se ˆınt¸elege c˘a ziua sideral˘a este o not¸iune local˘a: ea ˆıncepe, petru dou˘a localitat¸i cu meridiane diferite, ˆın momente fizice diferite. Ziua sideral˘a se ˆımparte ˆın 24 de ore siderale, 24 · 60 minute siderale ¸si 24 · 60 · 60 secunde siderale.

Figura 8.1: Leg˘ atura timpului sideral cu ascensia drept˘ a ¸si unghiul orar. Numim timp sideral intervalul de timp scurs de la ˆınceputul zilei siderale pân˘a la un alt moment oarecare, interval exprimat ˆın ore, minute ¸si secunde siderale. Se

106


ˆınt¸elege c˘a din cauz˘a c˘a rotat¸ia diurn˘a a sferei cere¸sti este uniform˘a (ˆın apriximat¸ie), timpul sideral la un moment dat este exprimat prin acela¸si num˘ar de ore, minute ¸si secunde prin care este exprimat (ˆın unit˘a¸ti de timp) unghiul orar al punctului vernal. Din acest motiv, unghiul orar al punctului vernal (γ) este numit (de fapt, impropriu) timp sideral, adic˘a: ta ≡ θ = Hγhmins .

(8.2.3)

Deoarece Hγ nu se poate m˘asura direct, practic, pentru determinarea timpului sideral θ la un moment oarecare, trebuie s˘a m˘asur˘am unghiul orar H al unui astru oarecare σ, a c˘arui ascensie dreapt˘a α este cunoscut˘a. Atunci, din (3) ¸si Fig. 8.1 rezult˘a, pentru orice moment ¸si orice astru, formula: θ = Hγ = α + H,

(8.2.4)

Cel mai bun mijloc de a determina ora sideral˘a (θ) const˘a ˆın observarea, la meridianul locului, a stelelor fundamentale, a c˘aror ascensie dreapt˘a este cunoscut˘a cu mare precizie. Timpul sideral (adevarat), nefiind uniform, este ˆınlocuit cu timpul cu timpul sideral mediu, determinat prin unghiul orar al punctului vernal mediu (neafectat de fenomenul de mutat¸ie). Pentru p˘astrarea timpului sideral se folosesc orologii siderale, instrumente care indic˘a timpul sideral. Timpul sideral este convenabil pentru problemele de astronomie, dar este incomod pentru viat¸a practic˘a, care se c˘al˘auze¸ste dup˘a Soare. (2)Timpul solar. Avem urm˘atoarele sisteme de timp solar: -timpul solar adev˘arat: se define¸ste cu ajutorul centrului discului solar (numit ”Soare adev˘arat”: ¯). Unitatea de timp solar adev˘arat este ziua solar˘a adev˘arat˘ a: la meridianul superior (sau inferior) al locului. Ca ˆınceput al zilei solare adev˘arate se ia, ˆın practic˘a, nu momentul culminat¸iei superioare (amiaza adev˘arat˘a), ci al celei inferoare a ”Soarelui adev˘arat” (miezul nopt¸ii adev˘arate). Intervalul de timp scurs ˆıntre ˆınceputul zilei solare adev˘arate ¸si nu alt moment oarecare se nume¸ste timpul solar adev˘arat; el se exprim˘a ˆın subdiviziunile zilei solare adev˘arate : ore, minute ¸si secunde solare adev˘arate. Între timpul solar adev˘arat ta , ˆın fiecare loc ¸si moment, ¸si unghiul orar al ”Soarelui adev˘arat” H¯ exist˘a relat¸ia: ta = H¯hmins + 12h

(8.2.5)

Cu toate c˘a m˘asurarea timpului ˆın zile ¸si fract¸iuni de zile solare adev˘arate este relativ simpl˘a, nici acest timp nu este potrivit pentru viat¸a de tote zilele, deoarece


107

zilele solare adev˘arate nu sunt egale ˆıntre ele, adic˘a cerint¸a ca intervalul de timp s˘a fie constant nu este ˆındeplinit˘a. Durata zilei solare adev˘arate nu este constant˘a din dou˘ a cauze: a) Soarele adev˘arat parcurge ecliptica ˆın mod neuniform-datorit˘a mi¸sc˘arii reale neuniforme a P˘amântului ˆın jurul Soarelui, ¸si b) mi¸scarea lui diurn˘a ˆın jurul axei lumii nu este unform˘a din cauza ˆınclin˘arii eclipticii fat¸a˘ de ecuatorul ceresc cu un unghi de 23◦ 270 -datorit˘a faptului c˘a axa de rotat¸ie a P˘amântului este ˆınclinat˘a, cu acela¸si unghi, fat¸˘a de planul orbitei sale. Pentru a obt¸ine zile de durat˘ a constant˘ a ¸si legate totodat˘a de mi¸scarea Soarelui, ˆın astronomie se define¸ste: -timpul solar mediu, care este timpul solar adev˘arat corectat de inegalit˘a¸tile sale amintite mai sus. Noul timp se de fine¸ste cu ajutorul unui punct fictiv, numit ”Soare mediu ecuatorial”(¯me ), care se afl˘a ˆın m¸scare uniform˘a pe ecuator ¸si trece prin punctul vernal deodat˘a cu ”Soarele adev˘arat”. Se nume¸ste zi solar˘a medie sau, mai scurt, zi medie intervalul de timp dintre dou˘a culminat¸ii consecutive de acela¸si fel ale ”Soarelui mediu ecuatorial” la un acela¸si meridian geografic. Ea se ˆımparte ˆın 24 ore medii, 24 × 60 minute medii ˆ ¸si 24 × 60 × 60, secunde medii. Inceputul zilei solare medii coincide cu momentul culminat¸iei inferioare a ”Soarelui mediu ecuatorial”, adic˘a cu miezul nopt¸ii mediu. Timpul scurs de ˆınceputul zilei solare medii pân˘a la un moment oarecare, exprimat ˆın ore, minute ¸si secunde solare medii, se nume¸ste timp solar mediu, ˆın momentul ¸si locul considerat. Între timpul solar mediu tm ¸si unghiul orar al ”Soarelui mediu ecuatorial” H¯m , avem, ˆın conformitate cu definit¸iile, relat¸ia: hmins tm = H¯me + 12h

(8.2.6)

(3) Ecuat¸ia timpului. Diferent¸a tm − ta se nume¸ste ecuat¸ia timpului ¸si se noteaz˘a cu E (prin ”ecuat¸ie” aici se ˆınt¸elege ”corect¸ie”); ea se determin˘a pe baza teorie mi¸sc˘arii aparente a Soarelui, calculându-se ˆın de timpul uniform, ascensiile drepte α¯ ¸si α¯me ale Soarelui, ¸si se public˘a ˆın anuare astronomice pentru fiecare zi a anului. Pentru p˘astrarea timpului solar se folosesc orologii care indic˘a timpul solar mediu. atura dintre unit˘a¸tiile de timp mediu ¸si de timp sideral se stabile¸ste (4) Leg˘ astfel: ˆın decursul unui an tropic, punctul vernal ut˘a n rotat¸ii retrogradate. În acela¸si timp, datorit˘a mi¸sc˘arii sale aparente (asem˘an˘ator mi¸sc˘arii Soarelui pe ecliptic˘a), ”Soarele mediu ecuatorial” va efectua deplasându-se spre est cu ∼ = 1◦ pe zi (3min 56s), n − 1 ritat¸ii retrogradate. Rezult˘a deci c˘a n − 1 rotat¸ii medii= n rotat¸ii siderale. Cu alte cuvinte:


108

365, 2422 zile solare medii = 366, 2422 zile siderale,

(8.2.7)

de unde rezult˘a:

8.2.2

24 ore siderale = 23h 56min 4, 091s de timp solar mediu;

(8.2.8)

24 ore solare medii = 24h 3min 56, 555s de timp sideral.

(8.2.9)

Diverse sisteme de m˘ asur˘ a a timpului

(1)Timpul local. Subliniem faptul c˘a timpurile definite pân˘a acum, sideral (adev˘arat ¸si mediu) ¸si solar (adev˘arat ¸si mediu), fiind definite prin unghiuri orare, pentru meridianul geografic al locului de observat¸ie, sunt timpuri locale. Se ˆınt¸elege c˘a pentru toate localit˘a¸tile situate pe acela¸si meridian geografic timpurile locale de acela¸si fel, ˆın acela¸si moment fizic, sunt egale. HB HA

P δx

ZA

p

Q

q

xG

B

T B

q

Q

L B

HB

L A

HA

p

R

P

Figura 8.2: Diferent¸a unghiurilor orare ¸si a longitudinilor geografice. Se pune problema schimb˘arii timpului de acela¸si fel cu schimbarea longitudinii. Fie dou˘a localit˘a¸ti pe glob, A ¸si B, de longitudini geografice LA ¸si LB (fat˘a de meridianul pGp’ de la Greenwich). S˘a not˘am cu P σP 0 (Fig. 8.2) cercul orar al astrului σ, observat simultan ˆın localit˘a¸tile A ¸si B, stabilindu-i-se unghiurile orare respective HA ¸si HB pe sfera cereasc˘a geocentric˘a. Din construct¸ia geometric˘a (Fig. 8.2) se vede c˘a diferent¸a unghiurilor orare ale unui astru oarecare σ, m˘asurate la acela¸si moment fizic ˆın dou˘a puncte diferite


109

ale suprafet¸ei terestre, este egal˘ a numeric cu diferent¸a longitudinilor geografice ale localit˘ a¸tilor respective, adic˘a: HA − HB = LA − LB

(8.2.10)

Aplicând aceast˘ a teorem˘a la fiecare timp local, pe baza formulelor (3),(5) ¸si (6),obt¸inem: θA − θB = LA − LB taA − taB = LA − LB tmA − tmB = LA − LB Deci diferent¸a timpurilor de acela¸si fel pentru dou˘a localit˘ a¸ti, corespunzând aceluia¸si moment fizic, este egal˘ a cu diferent¸a longitudinilor geografice ale localit˘ a¸tilor, exprimat˘ a ˆın unit˘a¸ti de timp. (2)Timpul universal. Se nume¸ste timp universal TU (sau GMT=Greenwich Mean Time, sau T0 ) timpul solar mediu al meridianului localit˘a¸tii Greenwich (meridianul zero): T U = tmG

(8.2.11)

Acest timp este unic pe ˆıntreaga suprafat¸a˘ terestr˘a ¸si este larg folosit ˆın astronomie pentru notarea momentelor observat¸iilor ¸si pentru calcule efemeride. Cunoscând timpul universal, timpul solar mediu local al oric˘arui punct de pe glob (de longitudine L) se obt¸ine dup˘a formula: tm = T U + L

(8.2.12)

L fiind exprimat˘a ˆın unit˘a¸ti de timp; aceast˘a formul˘a se obt¸ine din a treia formul˘a (11), dac˘a punem tmA = tm , tmB = T U, LA = L, LB = 0. (3)Fusele orare ¸si timpul legal. Deosebirea, ˆın acela¸si moment fizic, a timpurilor solare medii locale ale punctelor situate pe meridiane geografice diferite ar introduce inconveniente ˆın folosirea timpului solar mediu. Astfel, deplasându-ne pe suprafat¸a P˘amântului, spre r˘as˘arit sau apus, am fi nevoit¸i s˘a mut˘am mereu acele ceasornicului (ˆınainte sau ˆınapoi), pentru a avea ˆın fiecare moment ora local˘a a meridianului pe care ˆıl travers˘am ˆın acel moment. Pentru ˆınl˘aturarea acestui inconvenient, s-a adoptat ˆın anul 1884 a¸sa-numita convent¸ie a fuselor orare. Conform acestei convent¸ii, suprafat¸a globului terestru a fost ˆımp˘art¸it˘a ˆın 24 de fuse orare de câte 15◦ longitudine geografic˘a ˆın l˘argime (Fig 8.3). Toate localit˘a¸tile din interiorul unui fus au acela¸si timp, timpul solar mediu al meridianului lor median. În acest fel,diferent¸a dintre ora fusului ¸si ora local˘a nu dep˘a¸se¸ste ±30min .


110

Fusul

V 22

15

o

15

1 o

15

2 o

15

o

x

Greenwich

} } } } }

15

0

23

o

E

} } } } 15

o

15

o

15

o

15

o

Meridian origine

Figura 8.3: Definirea fuselor orare. Se nume¸ste ora fusului sau timpul legal timpul solar mediu al meridianului median al fusului orar respectiv. Fusul init¸ial (fusul zero) are ca meridian median meridianul zero ¸si ora fusului este chiar TU, fusul 1-meridianul de 15◦ longitudine geografic˘a, fusul 2-meridianul de 30◦ longitudine geografic˘a ¸s.a.m.d., diferent¸a timpurilor lor fat¸a˘ de timpul universal fiind 0, 1, 2, ... ore ˆıntregi. Deci ora fusului n este legat˘a de timpul universal prin relat¸ia evident˘a: tn = T U + nk

(8.2.13)

unde n este num˘arul de ordine al fusului orar. Dac˘a se trece dintr-un fus orar ˆın fusul limitrof la r˘as˘arit sau la apus, acele ceasului se mut˘a cu o or˘a ˆınainte, respectiv ˆınapoi. T ¸ ara noastr˘a, aflându-se ˆın fusul n = 2, are ora Europei Orientale: T2 = T U + 2h . Pentru o ¸tar˘a, timpul legal este de regul˘a timpul fusului capitalei sale. Astfel, timpul legal romˆ an este (¸si se nume¸ste) ora Bucure¸stiului. (4)Timpul decretat ¸si timpul de var˘a. Din motive de ordin practic, timpul legal a fost avansat cu o or˘a fat¸˘a de ora fusului. Acest timp se nume¸ste timpul decretat: Td = T U + (n + 1)h

(8.2.14)

Astfel, Moscova, de¸si se afl˘a ˆın fusul orar 2, tr˘aie¸ste dup˘a ora fusului orar 3; timpul decretat al Moscovei se nume¸ste ora Moscovei. Ea este deci avansat˘a fat¸˘a de


111

ora Bucure¸stiului cu 1h . În unele ¸t˘ari din Europa, America etc. tot din considerente de ordin practic, ora se mut˘a ˆınainte cu o unitate numai pemtru lunile de var˘a. În ¸tara noastr˘a, ora oficial˘a de var˘a se aplic˘a din anul 1979 ; ˆın anul 1984, de exemplu, ea este aplicat˘a de la 1 aprilie pân˘a la 30 septembrie. (5) Linia de schimbare a datei (linia de demarcat¸ie). Folosirea fuselor orare a impus introducerea liniei de schimbare a datei, care coincide aproximativ cu antimeridianul Geenwich. Orcine traverseaz˘a aceast˘a linie: - dac˘a merge spre est, la miezul nopt¸ii care urmeaz˘a dup˘a trecerea liniei, repet˘a data calendaristic˘a (adic˘a dup˘a 15 octombrie, de pild˘a, se va socoti tot 15 octombrie). - dac˘a merge spre vest, la miezul nopt¸ii care urmeaz˘a dup˘a trecerea liniei, se schimb˘a data cu dou˘a unit˘a¸ti (adic˘a dup˘a 15 octombrie va socoti 17 octombrie). Rezult˘a c˘a fiecare zi nou˘a pe P˘amânt ˆıncepe la vest la linia de schimbare a datei, adic˘a pe teritoriul estic extrem al U.R.S.S. În particular, tot acolo are loc prima zi a anului, adic˘a ˆınceputul fiec˘arui an nou. Fusele orare ¸si ora oficial˘a a diferitelor ¸ta˘ri, respectiv ora¸se mai mari, sunt indicate ˆın anuare astronomice.

8.2.3

Timpul efemeridelor

Dintr-o tratare riguroas˘a a problemei timpului rezult˘a c˘a, fat¸˘a de timpul uniform, unitatea de timp solar mediu -ziua solar˘a medie - nu este constant˘a, ci se lunge¸ste. Explicat¸ia const˘a, cum s-a amintit ¸si ˆın 0.1, ˆın neuniformitatea mi¸sc˘arii de rotat¸ie a P˘amântlui, care se pune ˆın evident¸˘a prin neconcordant¸a pozitiilor observate ale Lunii ¸si a planetelor apropiate de P˘amânt (Mercur ¸si Venus) cu pozit¸iile calculate (din efemeride) ale acestora. Cerint¸ele astronomiei actuale impun ca unitatea de timp s˘a fie determinat˘a cu o eroare mai mic˘a decât 10−9 . De aici nevoia definirii unui alt timp, mai uniform, adic˘a a alegerii unei unt˘a¸ti mai potrvite cu scara timpului uniform decât ziua solar˘a medie. Timpul efemeridelor, definit deja ˆın 0.1 ca fiind argumentul din efemeridele Lunii ¸si a planetelor, se determin˘a cel mai bine din mi¸scarea relativ rapid˘a a Lunii: pozit¸iile obsertvate ale Lunii, care se fixeaz˘a ˆın timpul neuniform TU, se compar˘a cu pozit¸iile calculate din efemeride, care se obt¸in ˆın timp uniform, ¸si se cite¸ste timpul corespunz˘ator acestora din urm˘a(TE ). Leg˘ atura dintre timpul efemeridelor ¸si timpul universal se stabile¸ste ˆın modul


112 urm˘ator:

- se detrmin˘a din observat¸ii timpul universal TU0, care se corecteaz˘a cu deplasarea polului terestru instantaneu fat¸a˘ de cel mediu, obt¸inându-se TU1 ; - la TU1 se adaog˘a corect¸ia datorat˘a variat¸iei sezoniere a rotat¸iei P˘amântului, ¸si se obt¸ine timpul universal cvasiuniform TU2 (TU2 este cea mai bun˘a aproximat¸ie la timpul uniform, pe care o putem obt¸ine din observat¸ii asupra mi¸sc˘arii diurne a stelelor). Pentru trecerea de la TU la TE se introduce urm˘atoarea corect¸ie, dat˘a de formula empiric˘a a lui H. Spencer Jones:

∆T = T E − T U = 24s , 349 + 72s , 318T + 29s , 950T 2 + 1s , 821B”

(8.2.15)

unde T este socotit ˆın secole juliene, de la momentul 1900 ianuarie 0, 12h T E. În aceast˘a formul˘a, primul termen asigur˘a coincident¸a ˆınceputului zilelor efemeridelor cu ˆınceputul zilelor solare medii pentru anul 1900,0, al doilea este astfel ca durata zilelor efemeridelor s˘a fie egal˘a cu durata medie a zilelor solare medii, al treilea ¸tine cont de ˆıncetinirea secular˘a a rotat¸iei P˘amântului, iar al patrulea cont¸ine fluctuat¸iile neregulate ale vitezei de rotat¸ie a P˘amântului ce se reflect˘a ˆın longitudinea Lunii. F˘ar˘a a fi identic cu timpul uniform al mecanicii clasice, timpul efemeridelor r˘aspunde, ˆın limita preciziei observat¸iilor actuale, cerint¸elor mecanicii newtoniene tot atât de bine ca ¸si primul. Începând cu anul 1960, efemeridele a¸strlor se alc˘atuiesc avân drep argument timpul efemeridelor ; pentru acel an, valoarea corect¸iei ∆T a fost de +34s , 0; pentru anul 1984, valoarea preliminar˘a a lui ∆T este de +55s , 0.

8.3

Timpul fizic: timpul atomic internat¸ional

Progresele fizicii ˆın ultimele decenii au dus la descoperirea unor fenomene fizice ce se desf˘a¸soar˘a uniform ˆın timp. Ele au permis definirea timpului fizic -independent de observat¸ii astronomice -, ca ¸si construirea orologiilor (ceasurilor) pentru determinarea ¸si p˘astrarea lui. (1)Ceasurile cu cuart¸ primul dispozitiv bazat pe un fenomen fizic pentru determinarea timpului: frecvent¸a unui cristal de cuart¸ t˘aiat dup˘a o sect¸iune principal˘a, aflat ˆıntr-un câmp electric constant, se ment¸ine constan˘a timp ˆındelungat. (2)Ceasurile atomice rezult˘a din asocierea unui etalon atomic cu un ceas cu

˘ ¸ ILE FUNDAMENTALE DE TIMP 8.4. UNITAT

113

cuart¸, aservit lui. Doi atomi ai aceluia¸si izotrop, pu¸si ˆın condit¸ii fizice similare, nu vor prezenta nici o diferent¸˘a ˆın absobt¸ia ¸si emisia de energie a unei tranzit¸ii, asigurând deci acea¸si frecvent¸a˘ etalon. De aici -construirea etaloanelor de frecvent¸e atomice, de mare stabilitate ¸si reproductibilitate. Deci ceasurile cu cuart¸ pot fi folosite pentru p˘astrarea orei, dar ele sunt controlate sau chiar aservite etaloanelor atomice. S-au construit ceasuri atomice cu cesiu, rubidiu ¸si ˆın prezent cu maseri, cu hidrogen atomic etc. Precizia lor poate ajunge pân˘a la 10−13 . Prin urmare, azi ˆın astronomie se folosesc trei sc˘ari de timp: - scara timpului astronomic universal (TU ); dac˘a se cere o precizie mai bun˘a decât 0s , 01, trebuie specificat˘a forma ˆın care este folosit (TU0,TU1 sau TU2 ); - scara timpului (astronomic al) efemeridelor (TE ), util˘a pentru interpretarea observat¸iilor anterioare aparit¸iei timpului atomic ;¸si - scara timpului atomic (fizic) internat¸ional (TAI ); este bazat˘a pe secunda internat¸ional˘a (SI -unitatea de timp din Sistemul Internat¸ional de Unit˘a¸ti), sub forma unei sc˘ari continue, ˆıncepând cu 1 ianuarie 1958. Ment¸ion˘am c˘a la baza difuz˘arii coordonate a frecvent¸elor standard ¸si a semnalelor orare st˘a scara timpului universal coordonat (TUC ); ea corespunde exact ˆın vitez˘a cu TAI, de care difer˘a printr-un num˘ar ˆıntreg de secunde (salt pozitiv sau negativ de secunde) pentru a asigura o concordat¸˘a aproximativ˘a TU1 ; aceast˘a procedur˘a se aplic˘a de la 1 ianuarie 1972, corect¸iile fiind aplicate la 1 ianuarie sau 1 iulie.

8.4

Unit˘ a¸tile fundamentale de timp

Unitatea fundamental˘a de timp este secunda, pe care ˆıns˘a o definim diferit, dup˘a fenomenul stabil considerat: - pentru timpul universal, secunda este 1/86400 din ziua sosolar˘a medie; variat¸ia ei medie 10−7 este mai mare decât erorile de m˘asurare (10−9 ) ; - pentru timpul efemeridelor, secunda este egal˘a cu 1/31 556 925,975 din anul tropic 1900,0 ianuarie 12h TE, cu o precizie de cel mult 10−9 ; - pentru timpul atomic internat¸ional, secunda atomic˘a este durata a 9 192 631


114

770 de perioade de radiat¸ie, corespunzând tranzit¸iei ˆıntre cele dou˘a nivele hiperfine ale st˘arii fundamentale a unui atom de cesiu 133, neperturbt de câmpurile exterioare electromagnetice, dar ¸tinându-se seama de câmpul gravitat¸ional existent la suprafat¸a geoidului. Asigur˘a o precizie de 10−11 secunde. Pentru nevoile practicii ¸si ¸stiint¸ei, ˆın diferite ¸t˘ari ale lumii sunt organizate servicii speciale ale orei. Un asemenea serviciu orar modern funct¸ioneaz˘a ¸si ˆın cadrul Centrului de Astronomie ¸si S¸tiint¸e Spat¸iale din Bucure¸sti. Acesta este dotat cu o lunet˘a reversibil˘a Zeiss (10-100), cu oscilatoare cu cuart¸ Belin ¸si Rhode und Schwartz ¸si cu un post de radiorecept¸ie a semnalelor orare. Prin sectorul s˘au orar, Centrul de Astronomie ¸si S¸tiint¸e Spat¸iale este colaborator permanent al Biroului Internat¸ional al Orei (Paris) ¸si al Serviciului Internat¸ional al Mi¸sc˘arii Polului (Mzusawa, Japonia).

8.5

Calendarul

Din cele mai vechi timpuri, omul a c˘autat ˆın jurul s˘au repere ¸si unit˘a¸ti de m˘ asur˘ a pentru m˘asurarea timpului. Aceste repere au fost a¸strii, iar unit˘a¸tile de m˘asur˘a -periodele lor de mi¸scare. Trei mi¸sc˘ari au influent¸at direct viat¸a omului, fiecare din ele asigurându-i câte o unitate de timp: (1) Mi¸scarea aparent˘a diurn˘a a Soarelui i-a dat perioada ei, ziua solar˘a medie, adic˘a mica unitate de timp. (2) Repetarea fazelor Lunii i-a dat luna, unitatea mijlocie de timp; aceast˘a perioad˘a are la baz˘a revolut¸ia sinodic˘ a a Lunii, având o durat˘a de 29,5306 zile medii. (3) Repetarea perioadelor de vegetat¸ie (adic˘a mi¸scarea anual˘a a Soarelui) i-a dat unitatea mare de timp, anul ; aceast˘a perioad˘a are la baz˘a anul tropic având durata de 365,2422...zile medii. Unit˘a¸tile de timp de mai sus -ziua, luna ¸si anul-, a¸sa cum se vede din valorile lor numerice, nu sunt comensurabile una cu alta; aceasta ˆınseamn˘a c˘a nu putem g˘asi o unitate care s˘a se cuprind˘a de un num˘ar ˆıntreg de ori ˆın cel˘alalte unit˘a¸ti. Problema calendarului const˘a ˆın a g˘asi o unitate convent¸ional˘a de timp -anul calendaristic - care s˘a cuprind˘a un num˘ar ˆıntreg nde zile, ce poate varia cel mult cu o zi, ˆın a¸sa fel ˆıncât succesiunea lor s˘a reproduc˘a succesiunea anilor tropici sau a lunilor sinodice. Diferite popoare, ˆın decursul veacurilor, au luat ca baz˘a a calendarului lor anul

8.5. CALENDARUL

115

tropic; acestea sunt calendarele solare, care au ca unitate anul calendaristic (cu 365 sau 366 zile). Alte popoare au la baz˘a calendarul lor luna sinodic˘ a ; acestea sunt calendarele lunare care au ca unitate luna, cu un num˘ar ˆıntreg de zile. Pentru a fi deacord ¸si cu periodele de vegetat¸ie, unele popoare, dispunând de calendare lunare, le-au transformat ˆın calendare luni-solare. Dar oricare ar fi calendarul, fiecare -ca o influent¸a˘ reciproc˘a- utilizeaz˘a toate unit˘a¸tile: ˆın calendarele solare exist˘a luni arbitrare, iar ˆın cele lunare exist˘a un an lunar arbitrar. Pe lâng˘a aceste unit˘a¸ti, s-a adoptat de c˘atre toate calendarele o nou˘a unitate, s˘ apt˘ amˆ ana, având 7 zile; acest num˘ar ˆı¸si are originea ˆın credint¸a geocentrist˘a c˘a exist˘a 7 planete (ˆıntre care ¸si Soarele ¸si Luna) Vom considera câteva moduri de solut¸ionare a problemei calendarului. Calendare solare. Cel mai vechi calendar solar este cel egiptean, bazat pe succesiunea rev˘ars˘arii Nilului. El are 12 luni de câte 30 de zile urmate de cinci zile suplimentare, deci ˆın total 365 de zile. Fiind prea scurt, ˆınceputul lui se deplaseaz˘a fat¸˘a de ˆınceputul anului tropic, astfel ˆıncât ˆın cursul a 1508 ani parcurge toate zilele anului tropic, avansând cu un an fat¸˘a de succesiunea anilor tropici. În anul 46 ˆı.e.n., Iulius Caesar decreteaz˘a utilizarea calendarului ˆıntocmit de astronomul Sosigne (din Alexandria), calendar cunoscut sub numele de calendar iulian sau stil vechi. Durata medie a anului iulian este de 365,25 zile solare medii, considerând ˆın practic˘a trei ani simpli cu câte 365 zile ¸si al patrulea -an bisect cu 365 zile. Aceasta are ˆıns˘a un neajuns: ˆın 384 de ani ˆıntârzie cu 3 zile fat¸a˘ de succesiunea anilor tropici. În secolul XVI, decalarea calendarului iulian fat¸˘a de anul tropic era de 10 zile. Din acest motiv, papa Grigore al XIII-lea realizeaz˘a ˆın 1582, cu ajutorul astronomului italian Lilius, noua reform˘a a calendarului, cunoscut sub numele de calendar gregorian sau stil nou; acesta este adoptat ast˘azi ˆın majoritatea ¸t˘arilor (¸si ˆın ¸tara noastr˘a, din anul 1924). Aceast˘a reform˘a const˘a ˆın: - ad˘augarea celor 10 zile de amintite, pentru eliminarea decalajului; astfel, dup˘a 4 octombrie 1582 a urmat 15 octombrie 1582; ˆın anul 1924 decalajul a fost de 13 zile, astfel c˘a 1 octombrie (stil vechi) - când s-a introdus la noi noul stil- a devenit 14 octombrie; - suprimarea a trei zile la 400 de ani, neconsiderând bisect¸i anii seculari al c˘aror num˘ar nu este divizibil cu 4 (1700,1800,1900, - ,2100 etc.) Astfel, lungimea medie a anului gregorian este de 365,2425 zile solare medii, de unde un decalaj (ˆıntârziere) de o zi, fat¸˘a de anul tropic, doar la 3300 ani. Calendare lunare. Majoritatea popoarelor au avut la ˆınceput un calendar lunar , cu luna calendaristic˘ a de 29 de zile ¸si 30 de zile alternativ. Anul lor lunar avea 354 sau 355 zile, adic˘a 12 luni sinodice. Pentru a evita decalajul fat¸a˘ de fazele


116

Lunii, ei consider˘a cicluri de 30 de ani, ˆın care 11 ani cu 355 zile, iar 19 ani cu 354 zile. Calendare luni-solare. S-a observat c˘a 235 luni sinodice ∼ = 19 ani tropici. Pe aceast˘a baz˘a, ˆıntr-un ciclu de 19 ani, se consider˘a 12 ani cu câte 12 luni ¸si 7 ani cu 13 luni. Este atualul calendar evreiesc. Cronologie. Se nume¸ste er˘a sau ˆınceputul cronologiei momentul de la care se num˘ar˘a anii ˆıntr-un sistem oarecare. Grecii foloseau olimpiadele, ˆıncepând cu anul 776 ˆı.e.n. (numit ”ab urbe condita”). Dup˘a r˘aspândirea cre¸stinismului, s-a introdus ”era cre¸stin˘a”, ˆın care anii se num˘ar˘a de la legendara dat˘a a ”na¸sterii lui Christos”. În prezent, fiind cea mai r˘aspândit˘a, este denumit˘a era noatr˘ a (e.n.); pentru anii anteriori acestei ere se ment¸ioneaz˘a ˆınaintea erei noastre(ˆı.e.n.). Se mai poate determina timpul prin num˘ararea continua a zilelor, indicând Data Julian˘a (DJ). Aceasta reprezint˘a Perioada Iulian˘a : ea ˆıncepe, ˆın mod arbtrar, da la 12h TU din 1 ianuarie 4713 ˆı.e.n. Unitatea este ziua medie. Se utilizeaz˘a ˆın astronomie, ˆın special astrofizic˘a, pentru studiul fenomenelor scurtperiodice. Din punct de vedere practic, neajunsul calendarului actual const˘a ˆın ˆımp˘art¸irea nerat¸ional˘a a anului ˆın luni inegale, care nu au un num˘ar ˆıntreg de s˘apt˘amâni. Un proiect de calendar propune ˆımp˘art¸irea anului ˆın patru trimestre de câte trei s˘apt˘amâni; prima lun˘a a fiec˘arui trimestru ar urma s˘a aib˘a 31 de zile, iar urm˘atoarele dou˘a-câte 30 de zile. În acest mod, fiecare trimestru ¸si fiecare an ar ˆıncepe ˆın aceea¸si zi a s˘apt˘amânii. În anii simpli s-ar ad˘auga o zi suplimentar˘a (de repaos) -ˆıntre 30 decembrie ¸si 1 ianuarie -, iar ˆın anii bisect¸i- dou˘a zile suplimentare (una ˆıntre 30 iunie ¸si 1 iulie, cealalt˘a ca ˆın anii simpli). Probleme propuse: 1. Din Bucure¸sti s-a observat un satelit artificial al P˘amântului la momentul t = 17h 35m 43s , 2. Care a fost momentul sideral al observat¸iei, ¸stiind c˘a longitudinea localit˘a¸tii Bucure¸sti este L = +1h 34m 23s , 46, iar timpul sideral la miezul nopt¸ii mijlocii la Greenwich (0h T U ) a fost θ0G = 1h 13m 32s , 6? 2. La Bucure¸sti s-a determinat timpul sideral, observându-se trecerea la meridian a unei stele având ascensia dreapt˘a α = 5h 05m 42s , 03. Care a fost momentul de timp legal corespunz˘ator observat¸iei, ¸stiind c˘a timpul sideral la 0h T U era θ0G = 2h 24m 30s , 5, iar longitudinea localit˘a¸tii Bucure¸sti este LCj = 1h 34m 23s , 46? 3. La Tokyo timpul solar mijlociu este t¯m = 19h 53m 14s , 5. S˘a se determine: a) timpul fusului la Tokyo, ¸stiind c˘a LT = 9h 19m 00s , 0 E ¸si n = 9;

8.5. CALENDARUL

117

b) timpul legal român corespunz˘ator; (LCj

c) timpul sideral corespunz˘ator la Bucure¸sti ˆın ziua de 17 octombrie 1973 = 1h 34m 23s , 5 E ¸si θ0G = 1h 41m 25s , 2).

4. Dou˘a stele cunoscute, σ(α, δ) ¸si σ 0 (α0 , δ 0 ), observate dintr-un loc de latitudine ϕ, ating o aceea¸si distant¸a˘ zenital˘a la momentele siderale θ ¸si, respectiv, θ0 . S˘a se calculeze aceast˘a distant¸a˘ zenital˘a, precum ¸si latitudinea locului de observare.

o

P

90

H'

90H 90 o -δ

Z z σ z' σ

o

δ

Q

-

H H'

P'

Q' Z'

Figura 8.4: Pentru calculul distant¸ei zenitale a unui astru ¸si al latitudinii locului de observare. 5. Dou˘a stele de coordonate ecuatoriale cunoscute au, ˆın acela¸si moment (fizic), aceea¸si ˆın˘alt¸ime. Care este valoarea timpului sideral ˆın momentul respectiv? 6. Cunoscând direct¸ia meridianei ¸si declinat¸ia Soarelui la un moment dat, s˘a se determine ora local˘a, utilizând pentru aceasta umbra l˘asat˘a de un stâlp vertical de lungime l. 7. Un acuzat de comiterea unei crime ˆıntr-o zi cunoscut˘a, la o or˘a cunoscut˘a, aduce ca o dovad˘a a nevinov˘a¸tiei sale o fotografie a sa f˘acut˘a ˆın fat¸a unei case din alt ora¸s. Pe fotografie se vede umbra l˘asat˘a de un stâlp de telegraf, atât pe teren, cât ¸si pe zidul casei. Cum se poate verifica faptul c˘a fotografia a fost f˘acut˘a ˆın ziua ¸si la ora la care s-a s˘avâr¸sit crima?

118

˘ CAPITOLUL 8. TIMPUL S¸I MASURAREA LUI 8. S˘a se reprezinte grafic ”ecuat¸ia timpului”: E = tm − ta ,

Folosind datele numerice din Anuarul Astronomic pentru anul 1997. 9. Care sunt sc˘arile de timp folosite ast˘azi ˆın astronomie?

Capitolul 9 Teoria perturbat¸iilor În acest capitol vom prezenta elemente de teoria perturbat¸iilor. Am v˘azut ˆın Capitolul I c˘a problema celor dou˘a corpuri este o problem˘a complet rezolvabil˘a. Când apar alte accelerat¸ii decât atract¸ia gravitat¸ional˘a, solut¸ia problemei nu mai este posibil˘a, deoarece integralele nu mai sunt constante, devenind funct¸ii de timp, unele pot r˘amâne constante, sau ar pot ap˘area alte integrale noi. Accelerat¸ia impus˘a, alta decât a celor dou˘a corpuri, pe care o numim perturbat¸ie, va conduce la un sistem nerezolvabil; deoarece perturbat¸ia va reduce ˆıntotdeauna num˘arul de integrale ale mi¸sc˘arii. Solut¸ia problemei perturbate, utilizând o metod˘a numeric˘a, este numit˘a metoda lui Cowell. În aceast˘a metod˘a perturbat¸ia (F~ ) este tratat˘a ˆın acela¸si fel cu rolul pe µ care ˆıl joac˘a ˆın problema celor dou˘a corpuri termenul ( 3 ~r). Avantajul acestei metode r este simplicitatea. Dezavantajul metodei lui Cowell este c˘a erorile mici ap˘arute la orice moment pot cauza divergent¸a rapid˘a a solut¸iei numerice. Alt˘a abordare a solut¸iei problemei perturbate a celor dou˘a corpuri printr-o metod˘a numeric˘a este cunoscut˘a ca metoda lui Encke. Aceast˘a metod˘a rezolv˘a problema pentru deviat¸ia (~η )a solut¸iei (~r) a problemei perturbate din solut¸ia (~ ρ) a problemei neperturbate ..

ρ~ +

µ ρ~ = 0. ρ3

Ecuat¸ia diferent¸ial˘a pentru deviat¸ii este µ ~η = 3 ρ ..

·µ

ρ3 1− 3 r

¶

¸ (~η + ρ~) − ~η + F~

119

120

CAPITOLUL 9. TEORIA PERTURBAT ¸ IILOR

unde ~η = ~r − ρ~ .

→ − iar condit¸iile init¸iale sunt − η0 = 0 ¸si → η0 = 0. Avantajul metodei lui Encke spre deosebire de metoda lui Cowell este c˘a deviat¸iile sunt mai mici ˆın modul decât solut¸ia (~r sau ρ~). Oricum, cre¸sterea erorii este aceea¸si ca ¸si pentru metoda lui Cowell - erori mici implic˘a divergent¸a solut¸iei numerice. Un dezavantaj ˆın plus este c˘a procesarea solut¸iei trebuie restartat˘a (un pas numit rectificare) când magnitudinea deviat¸iilor devine mare. O abordare mult mai inteligent˘a este s˘a consider˘am integralele de mi¸scare ca noi variabile dependente, pentru care vom dezvolta apoi un nou sistem de ecuat¸ii diferent¸iale. Aceast˘a abordare are avantajul c˘a (1) ne d˘a perspectiva efectului perturbat¸iei asupra integralelor mi¸sc˘arii; (2) câteodata ne prezint˘a oportunitatea de a rezolva noile ecuat¸ii diferent¸iale prin câteva aproxim˘ari; (3) ne d˘a un nou sistem de ecuat¸ii diferent¸iale care depind de solut¸ia numeric˘a.

9.1

Teoria perturbat¸iilor. Preliminarii.

Presupunem c˘a avem un sistem diferent¸ial de gradul ˆıntâi .

~x= f~(~x, t)

(9.1.1)

unde ~xT = (x1 , x2 , ..., xn ) ¸si f~T = (f1 , f2 , ..., fn ), care are solut¸ia ~x = ~x(~c, t)

(9.1.2)

unde ~cT = (c1 , c2 , ...cn ) sunt constante de integrare (sau integralele mi¸sc˘arii). Observ˘am c˘a sistemul (9.1.2) este complet rezolvabil.

9.1. TEORIA PERTURBAT ¸ IILOR. PRELIMINARII.

121

Fie sistemul (9.1.1) modificat de o funct¸ie ~g T (~x, t) = (g1 , g2 , ...gn ), care este numit˘a perturbat¸ie. Sistemul perturbat este .

~x= f~(~x, t) + ~g (~x, t).

(9.1.3)

Modific˘am acum solut¸ia (9.1.2) astfel ˆıncât aceasta va avea forma ~x = ~x(~c(t), t).

(9.1.4)

Observ˘am c˘a solut¸iile (9.1.2) ¸si (9.1.4) au aceea¸si form˘a exceptând faptul c˘a, componentele lui ~c sunt acum funct¸ii de variabile independente. Scopul nostru este s˘a g˘asim ecuat¸ii diferent¸iale ale funct¸iilor ck (t).

9.1.1

Exemplu - Oscilatorul Armonic

Ecuat¸ia diferent¸ial˘a pentru sistemul neperturbat este x¨ + x = 0

(9.1.5)

x = a cos t + b sin t

(9.1.6)

x˙ = −a sin t + b cos t

(9.1.7)

care are solut¸ia

Condit¸iile init¸iale (la t = 0) sunt x(0) = a si x(0) ˙ = b.

(9.1.8)

Ecuat¸ia diferent¸ial˘a pentru sistemul perturbat este x¨ + x = g(x, t).

(9.1.9)

122


Solut¸ia ecuat¸iei (9.1.9) are aceea¸si form˘a ca ¸si ecuat¸iile (9.1.6) ¸si (9.1.7), dar a ¸si b sunt acum funct¸ii de timp. Vom obt¸ine acum solut¸ia ecuat¸iei (9.1.9) diferent¸iând ecuat¸ia (9.1.6) cu a = a(t) ¸si b = b(t) x˙ = −a sin t + b cos t + a˙ cos t + b˙ sin t.

(9.1.10)

Ecuat¸ia (9.1.10) va avea aceea¸si form˘a ca ¸si ecuat¸ia (9.1.7); astfel a˙ cos t + b˙ sin t = 0.

(9.1.11)

Derivând ecuat¸ia (9.1.7) cu a = a(t) ¸si b = b(t), obt¸inem x¨ = −a cos t − b sin t − a˙ sin t + b˙ cos t.

(9.1.12)

Substituim ecuat¸ia (9.1.6) ˆın ecuat¸ia (9.1.12) ¸si obt¸inem x¨ = −x − a˙ sin t + b˙ cos t.

(9.1.13)

Comparând ecuat¸ia (9.1.13) cu ecuat¸ia (9.1.9) (ecuat¸ia diferent¸ial˘a perturbat˘a), observ˘am c˘a − a˙ sin t + b˙ cos t = g. (9.1.14) Din ecuat¸iile (9.1.11) ¸si (9.1.14) obt¸inem c˘a a˙ = −g sin t

(9.1.15)

b˙ = g cos t.

(9.1.16)

De remarcat c˘a nu am f˘acut nici o presupunere asupra formei perturba- ¸tiei g(x, t). Ecuat¸iile (9.1.6) ¸si (9.1.7) ne dau solut¸iile ecuat¸iei (9.1.9) cu a = a(t) ¸si b = b(t), g˘asite prin rezolvarea ecuat¸iilor diferent¸iale (9.1.15) ¸si (9.1.16). De asemenea este de remarcat c˘a solut¸ia depinde de forma perturbat¸iei g(x, t).

9.2

Metoda lui Poisson

Consider˘am un sistem de ecuat¸ii diferent¸iale de gradul doi complet rezolvabil ..

.

~x= f~(~x, ~x, t)

(9.2.1)

9.2. METODA LUI POISSON

123

unde ~xT = (x1 , x2 , ...xm ) ¸si f~T = (f1 , f2 , ..., fm ). Consider˘am 2m integralele de mi¸scare date de .

~σ = ~σ (~x, ~x, t) = constant

(9.2.2)

unde ~σ T = (σ1 , σ2 , ..., σ2m ). Observ˘am c˘a pentru oricare σk (1 ≤ k ≤ 2m), avem ecuat¸ia σ˙ k =

∂σk . ∂σk .. ∂σk ~x + . ~x + = 0, ∂~x ∂t ∂ ~x .

deoarece σk este o constant˘a. Observ˘am c˘a derivatele partiale ˆın raport cu ~x ¸si ~x sunt matrici de tipul 1 × m. Din ecuat¸ia (9.2.1) avem σ˙ k =

∂σk . ∂σk ~ ∂σk ~x + . f + = 0. ∂~x ∂t ∂ ~x

(9.2.3)

Vom considera sistemul perturbat ..

.

.

~x= f~(~x, ~x, t) + ~g (~x, ~x, t).

(9.2.4)

Derivata total˘a a lui σk pentru oricare solut¸ie a ecuat¸iei (9.2.4) este σ˙ k =

∂σk . ∂σk .. ∂σk ~x + . ~x + 6= 0, ∂~x ∂t ∂ ~x

deoarece σk nu mai este constant˘a. Folosind ecuat¸ia (9.2.4) aceasta devine σ˙ k =

∂σk . ∂σk ~ ∂σk ~x + . (f +~g ) + . ∂~x ∂t ∂ ~x

(9.2.5)

Introducând condit¸ia σ˙ k =

∂σk .

∂ ~x

~g ;

(9.2.6)

124


ecuat¸ia (9.2.5) devine ∂σk . ∂σk ~ ∂σk ~x + . f + = 0, ∂~x ∂t ∂ ~x

(9.2.7)

care este aceea¸si ca ¸si ˆın cazul neperturbat.

9.2.1


Ecuat¸ia diferent¸ial˘a a sistemului perturbat este x¨ = −x + g(x, x, ˙ t), cu m = 1. Solut¸ia pentru cazul neperturbat (g = 0) este x = a cos t + b sin t

x˙ = −a sin t + b cos t, unde a ¸si b sunt constante sau integrale ale mi¸sc˘arii. Rezolv˘am aceste dou˘a ecuat¸ii ˆın raport cu integralele a(= σ1 ) ¸si b(= σ2 ) ¸si obt¸inem σ1 = a = x cos t − x˙ sin t

σ2 = b = x sin t + x˙ cos t. Pentru acest exemplu, ecuat¸ia (9.2.6) devine 

 ∂a µ ¶   a˙  ∂ x˙  =  g. b˙  ∂b  ∂ x˙ Calculând derivatele part¸iale ale ecuat¸iilor (9.2.8) ¸si (9.2.9), obt¸inem

9.3. VARIAT ¸ IA PARAMETRILOR LAGRANGE

125

∂a = − sin t ∂ x˙ ∂b = cos t. ∂ x˙ Astfel obt¸inem c˘a a˙ = −g sin t b˙ = g cos t care este aceea¸si solutie cu cea obt¸inut˘a ˆın paragraful precedent.

9.3

Variat¸ia parametrilor Lagrange

Consider˘am sistemul .

~x= f~(~x, t),

(9.3.1)

cu ~xT = (x1 , x2 , ..., xn ). Acest sistem are solut¸ia ~x = ~x(~c, t) cu ~cT = (c1 , c2 , ...cn ). Introducând din nou perturbat¸ia ~g T (~x, t) = (g1 , g2 , ...gn ), ecuat¸ia (9.3.1) devine

(9.3.2)

126

CAPITOLUL 9. TEORIA PERTURBAT ¸ IILOR .

~x= f~(~x, t) + ~g (~x, t).

(9.3.3)

Considerând solut¸ia de forma ~x = ~x(~c(t), t).

(9.3.4)

Obt¸inem pentru derivata total˘a a sa ecuat¸ia .

~x=

∂~x . ∂~x ~c + ∂~c ∂t

(9.3.5)

Pentru derivata total˘a a solut¸iei neperturbate, x = x(t), ¸tinând seama de (9.3.1) avem relat¸ia .

~x=

∂~x = f~ ∂t

(9.3.6)

Din ecuat¸ia (9.3.5) ¸si (9.3.6) obt¸inem .

~x=

∂~x . ~ ~c +f . ∂~c

(9.3.7)

Din ecuat¸ia (9.3.7) ¸si (9.3.3) obt¸inem ∂~x . ~c= ~g . ∂~c De notat c˘a

∂~x este o matrice de ∂~c  ∂x1  ∂c1   ∂x2 ∂~x  =  ∂c1 ∂~c   ...   ∂xn ∂c1

(9.3.8)

forma ∂x1 ∂c2 ∂x2 ∂c2 .. . ∂xn ∂c2

∂x1 ... ∂cn ∂x2 ... ∂c1 .. .. . . ∂xn ... ∂cn .

     .    

Pentru a rezolva ecuat¸ia (9.3.8) ˆın raport cu ~c, acest˘a matrice trebuie s˘a fie inversabil˘a; astfel trebuie ca

9.3. VARIAT ¸ IA PARAMETRILOR LAGRANGE

127

·

¸ ∂~x det 6 0. = ∂~c Din ecuat¸ia (9.3.8) obt¸inem solut¸ia noastr˘a sub forma vectorial˘a ·

∂~x ~c= ∂~c .

9.3.1

¸−1 ~g .


Ecuat¸ia diferent¸ial˘a a sistemului perturbat este x¨ = −x + g Fie x1 = x ¸si x2 = x; ˙ atunci x˙ 1 = x˙ = x2 x˙ 2 = x¨ = −x1 + g sau µ ¶ µ ¶ µ ¶ x˙ 1 x2 0 = + , x˙ 2 −x1 g care este de forma .

~x =f~+~g . Când ~g = 0 atunci solut¸ia este x1 = a cos t + b sin t x2 = −a sin t + b cos t, iar constantele de integrare sunt

(9.3.9)

128

CAPITOLUL 9. TEORIA PERTURBAT ¸ IILOR µ ¶ a ~c = . b Când ~g 6= 0, ecuat¸ia diferent¸ial˘a (9.3.8) pentru ~c este ∂~x . ~c= ~g . ∂~c Atunci avem ecuat¸ia matricial˘a µ

cos t sin t − sin t cos t

¶µ ¶ µ ¶ a˙ 0 = . b˙ g

Deoarece matricea este ortogonal˘a, ˆınmultim ambii membri cu transpusa ¸si obt¸inem µ

cos t − sin t sin t cos t

¶µ

cos t sin t − sin t cos t

¶µ ¶ µ ¶µ ¶ a˙ 0 cos t − sin t , ˙b = sin t cos t g

sau µ

1 0 0 1

¶ ¶µ ¶ µ a˙ −g sin t = , g cos t b˙

de unde g˘asim a˙ = −g sin t b˙ = g cos t.

9.4

Integralele de mi¸scare a problemei celor dou˘ a corpuri

Integralele de mi¸scare pentru problema celor dou˘a corpuri au fost obt¸inute ˆın Capitolul I. Din ecuat¸ia vectorial˘a

9.4. INTEGRALELE DE MIS¸CARE

129

..

~r +

µ ~r = 0. r3

Acestea sunt 1. Integrala ariei (a momentului cinetic) .

~c=~r× ~r= constant. 2. Integrala energiei h=

1 . . µ ~r · ~r= = constant. 2 r

3. Integrala lui Laplace (vectorul de excentricitate) µ P~ = µ~ε = − ~r − ~c× ~r= constant r .

4. Timpul trecerii pericentrului s tπ = t −

a3 (E − e sin E) = constant µ

unde r = a(1 − cos E) −µ 2h e = |~ε| .

a=

Aceste integrale (~c, ~ε, h, tπ ) nu sunt independente, deoarece avem dou˘a relat¸ii de dependent¸a˘ ~c·~ε = 0 ¸si p ≡ a(1 − e2 ) =

−µ c2 = (1 − ~ε·~ε). µ 2h

130


Figura 9.1: Geometria unei orbite ˆın spat¸iu

9.5

Interpretarea lui

~ic , ~iε si ~iN ~iN

Din Fig. 9.1, 9.2, obt¸inem urm˘atoarele ecuat¸ii pentru versorii unitate ~ic , ~iε ¸si

~ic = 1 ~c = sin i sin Ω~ı − sin i cos Ω~j + cos i~k c ~iε = 1 ~ε = (cos Ω cos ω − sin Ω sin ω cos i)~i ε +(sin Ω cos ω + cos Ω sin ω cos i)~j + sin ω sin i~k ~iN sin i = ~k×~ic ~iN = cos Ω~i + sin Ω

9.6

− → j

Problema perturbat˘ a a celor dou˘ a corpuri

Mi¸scarea perturbat˘a a celor dou˘a corpuri este descris˘a de solut¸ia ecuat¸iei diferent¸iale de ordinul al doilea ..

~r +

µ ~r = F~ , r3

(9.6.1)

˘ A CELOR DOUA ˘ CORPURI 9.6. PROBLEMA PERTURBATA

131

Figura 9.2: Geometria planului orbital unde F~ reprezint˘a perturbat¸ia. Când F~ = 0 avem problema celor dou˘a corpuri analizat˘a ˆın Capitolul I. Vom obt¸ine unele ecuat¸ii diferent¸iale pentru câteva din elementele orbitale.

Figura 9.3: Perturbat¸ia F~ ¸si sistemul de coordonate i~r , i~r , i~φ

9.6.1

Energia ¸si semi-axa mare

Energia este h=

1 . . µ ~r · ~r − . 2 r

(9.6.2)

132


Când F~ = 0, h este o integral˘a de mi¸scare (vezi Fig. 9.3). Când F~ 6= 0, h va depinde de natura lui F~ . Aplicând metoda lui Poisson energiei obt¸inem ∂h h˙ = . F~ ∂ ~r .

=~r ·F~ . ∂

(9.6.3)

(9.6.3)

µ ( ) = 0. Putem obt¸ine acest binecunoscut rezultat derivând ∂ ~r r ecuat¸ia (9.6.2) ˆın raport cu timpul Observ˘am c˘a

.

1 . .. µ h˙ = (2 ~r · ~r) + 2 r. ˙ 2 r Folosind faptul c˘a .

~r· ~r r˙ = r obt¸inem .

µ ~r· ~r .. .. µ h˙ =~r · ~r + 2 =~r ·(~r + 3 ~r). r r r .

..

Acum, din ecuatia (9.6.1) g˘asim c˘a .

h˙ =~r ·F~ , adic˘a ecuat¸ia (9.6.3), care a fost obt¸inut˘a folosind metoda lui Poisson. Cum ˆıntre energie si semi-axa mare exist˘a relat¸ia a=

−µ , 2h

a˙ =

µ ˙ h. 2h2

rezult˘a c˘a

Din ecuat¸ia (9.6.4) obt¸inem

(9.6.4)


a˙ =

2 2 . ~ a ~r ·F . µ

133

(9.6.5)

Observ˘am din ecuat¸iile (9.6.3) ¸si (9.6.5) c˘a expresiile lui h ¸si a nu sunt afectate . . ~ care este normala vitezei ~r, ceea ce ˆınseamn˘a c˘a dac˘a ~r ⊥F~ de componenta lui F . atunci ~r ·F~ = 0, adic˘a h˙ = 0 ¸si a˙ = 0.

9.6.2

Momentul cinetic

Momentul cinetic este .

~c=~r× ~r,

(9.6.6)

¸si este vector constant dac˘a F~ = 0. Dac˘a F~ 6= 0 vo m aplica metoda lui Poisson pentru a obt¸ine ecuat¸iile diferent¸iale ¸ ~ = r× ~r) F~ = (~r×)F~ ~c= . F . (~ ∂ ~r ∂ ~r . ~c =~r×F~ . .

·

∂~c

·

¸

∂

.

(9.6.7)

Reamintim c˘a ˆın aceast˘a dezvoltare am folosit faptul c˘a un produs vectorial poate fi reprezentat ca o matrice, R=

∂

.

.

∂ ~r

(~r× ~r) = ~r×,

care este o matrice 3 × 3 de forma 

 0 −x3 x2 0 −x1  , R =  x3 −x2 x2 0 unde x1 , x2 , x3 sunt coordonatele carteziene ale lui ~r ˆıntr-un sistem inert¸ial. Ecuat¸ia (9.6.7) poate fi obt¸inut˘a ¸si diferent¸iind ecuat¸ia (9.6.6) ¸si folosind ecuat¸ia (9.6.1) ³ . . . .. µ ´ ~c = ~r × ~r +~r× ~r =~r × F~ − 3 ~r r

134

CAPITOLUL 9. TEORIA PERTURBAT ¸ IILOR .

~c =~r×F~ .

(9.6.8)

În cele ce urmeaz˘a vom obt¸ine o ecuat¸ie diferent¸ial˘a pentru modulul momentului cinetic astfel c2 = ~c · ~c 2cc˙ = 2(~c · ~c) cc˙ = ~c·(~r×F~ ) 1 c˙ = ~c·~r×F~ . c

(9.6.9)

Exprimând perturbat¸ia ˆın sistemul de coordonate ~ic , ~ir , ~iφ , ¸si ¸tinând seama de − → − → − → ic × ir = iφ , obt¸inem c˙ = r~iφ ·F~ . De remarcat c˘a c este afectat numai de componenta orizontal˘a a lui F~ .

9.6.3

Înclinat¸ia

Ecuat¸ia diferent¸ial˘a pentru ˆınclinat¸ie rezult˘a din ecuat¸ia lui ~c ~c = c(sin i sin Ω~i − sin i cos Ω~j + cos i~k).

(9.6.11)

Deoarece c cos i = ~k · ~c, diferent¸iind obt¸inem c˙ cos i − c sin i De aici g˘asim expresia pentru .

~c ¸si c˙ obt¸inem

di ~ . = k· ~c . dt

di ¸si folosind ecuat¸iile (9.6.7) ¸si (9.6.8) pentru dt


c sin i

135

. di = c˙ cos i − ~k· ~c= r~iφ ·F~ cos i − ~k·~r×F~ . dt

Folosind ~iφ =~ic ×~ir obt¸inem h− i − di → → ~ c sin i = r ic cos i − k · ir ×F~ . dt Înlocuind valoarea lui ~ic , obt¸inem

c sin i

h i di = r (sin i sin Ω~i − sin i cos Ω~j + cos i~k) cos i − ~k · ~ir ×F~ . dt

de unde, prin simplificare cu sin i obt¸inem c

h i di = r cos i sin Ω~i − cos i cos Ω~j − sin i~k · ~ir ×F~ . dt

(9.6.12)

Termenul din paranteza dreapt˘a este ~iN × ~ic . Astfel rezult˘a c

di = r(~iN ×~ic ) · (~ir ×F~ ). dt

Calculând membrul drept vom ajunge la h i di ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ c = r (ic ·F )(iN ·ir ) − (ic ·ir )(iN ·F ) . dt Folosind ~ic · ~ir = 0 ¸si ~ir · ~iN = cos(ω + φ) (vezi Fig. 9.1) obt¸inem ˆın final r di = cos(ω + φ)~ic · F~ . dt c

(9.6.15)

Astfel, ˆınclinat¸ia este afectat˘a numai de o perturbat¸ie normal˘a la planul orbital.

136


9.6.4

Unghiul nodal Ω

Ecuat¸ia pentru unghiul nodal Ω este tgΩ =

~i·~c , −~j·~c

unde, din ecuat¸ia (9.6.11) avem ~i·~c = c sin i sin Ω ~j·~c = −c sin i cos Ω. Derivând tgΩ ˆın raport cu timpul .

.

(~j·~c)(~i· ~c ) − (~i·~c)(~j· ~c) − sec2 ΩΩ˙ = . (~j·~c)2 Înmult¸ind cu (~j · ~c)2 ¸si folosind ecuat¸ia (9.6.11) obt¸inem . Ω˙ 2 2 2 ~i + c sin i sin Ω~j)· ~c . (c sin i cos Ω) = (c sin i cos Ω cos2 Ω

sau .

˙ sin i = (cos Ω~i + sin Ω~j)· ~c . Ωc .

Folosind ecuat¸ia (9.6.7) pentru ~c, ecuat¸ia pentru ~iN ¸si folosind ~iN × ~ir = ~ic sin(ω + φ) (vezi Fig. 9.1) g˘asim c˘a ˙ sin i = ~iN · ~r × F~ = r~iN × ~ir · F~ . Ωc

(9.6.17)

De unde obt¸inem Ω˙ =

. r sin(ω + φ) ~c ·F~ . c sin i

(9.6.17)

Astfel unghiul nodal ascendent Ω este afectat de perturbat¸iile normale la planul orbital.


9.6.5

137

Vectorul lui Laplace

Vom introduce notat¸ia facut˘a anterior P~ = µ~ε. Din paragraful 9.4 vectorul lui Laplace este exprimat ˆın funct¸ie de vectorii de pozit¸ie ¸si vitez˘a astfel . µ µ~ε = − ~r − ~c× ~r . r

(9.6.18)

Acesta este un vector constant când F~ = 0. Dac˘a F~ = 6 0 folosim metoda lui Poisson pentru a obt¸ine ecuat¸ia diferent¸ial˘a ·

· ¸ ¸ . ∂(µ~ε) ~ ∂ µ ~ε= F =− c× ~r) F~ . . . (~ ∂ ~r ∂ ~r .

Reamintim c˘a aici consider˘am derivata part¸ial˘a ·. ¸ . ∂~c µ ~ε= ~r × . − ~c× F~ . ∂ ~r

∂

.

.

∂ ~r

(~c× ~r) ca o matrice,

.

Folosind dezvoltarea lui ~c (9.6.7) ˆın ecuat¸ia precedent˘a, avem .

~c=

·

∂~c

.

∂ ~r

¸ F~ = ~r×F~ ,

obt¸inem .

.

.

µ ~ε=~r ×(~r × F~ )−(~r× ~r )×F~ .

(9.6.19)

Calculând cele dou˘a produse triplu vectoriale obt¸inem .

.

.

.

.

µ ~ε= (~r ·F~ )~r−(~r· ~r )F~ −[(~r·F~ ) ~r −( ~r ·F~ )~r], sau sub forma simplificat˘a .

.

.

.

µ ~ε= 2(~r ·F~ )~r − (~r· ~r )F~ −(~r·F~ ) ~r .

(9.6.20)

138


Bibliografie [1] Appell, P., Traité de Mécanique rationelle, vol. I-V, ed. 5., Gauthier-Villars, Paris, (1926). [2] Arnold, V., Méthodes mathématiques de la mécanique clasique, Ed. Mir, Moscova, (1976). [3] Bate, R..R; D.D. Mueller; J.E. White, Fundamentals of Astrodynamics. Dover Publications Inc., New York, (1971). [4] Baker, P.; M.L. Robert, Astrodynamics: Applications and Advanced Topics, Academic Press, New York, (1967). [5] Battin, R.H. Astronautical Guidance, Mc Graw Hill, New York, (1964). [6] Bond, V.R.; M.C. Allman, Modern Astrodynamics, Princeton University Press, New Jersey, (1996). [7] Green, R.M. Spherical Astronomy. Cambridge University Press, Cambridge, England, (1985). [8] Iacob, C., Mecanic˘ a Teoretic˘ a, Ed. Didactic˘a ¸si Pedagogic˘a, Bucure¸sti, (1971). [9] Pál, A.; V. Ureche, Astronomie, Ed. Didactic˘a ¸si Pedagogic˘a, Bucure¸sti, (1983). [10] Pollard, H. Mathematical Introduction to Celestial Mechanics. Prentice-Hall, (1966). [11] Rosser, J.B; R.R. Newton; G.L. Gross, Mathematical Theory of Rocket Flight, McGraw-Hill Book Co., New York, (1959). [12] Stuart, W.M., Celestial Mechanics, Longmans, New York, (1953). [13] Szebehely, V. Adventures in Celestial Mechanics. University of Texas Press, Austin, (1989). 139

140

BIBLIOGRAFIE

[14] Ureche, V., Universul, vol. I. Astronomie, Ed. Dacia, Cluj-Napoca, (1982). [15] William, T.T., Introduction to Space Dynamics, Wiley, New York, (1961).

astronomia curs

Recommend Documents